Modelos Birnbaum-Saunders usando Equações de Estimação · 2017. 9. 1. · Modelos Birnbaum-Saunders usando Equações de Estimação Aline Barbosa Tsuyuguchi Tese apresentada

Modelos Birnbaum-Saunders usandoEquações de Estimação

Aline Barbosa Tsuyuguchi

Tese apresentadaao

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulopara

obtenção do títulode

Doutor em Ciências

Programa: EstatísticaOrientador: Prof. Dr. Gilberto Alvarenga Paula

Coorientadora: Profa. Dra. Michelli Karinne Barros da Silva

Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro da CAPES e doCNPq

São Paulo, maio - de 2017

Modelos Birnbaum-Saunders usandoEquações de Estimação

Esta versão da dissertação/tese contém as correções e alterações sugeridaspela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,realizada em 12/05/2017. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Prof. Dr. Gilberto Alvarenga Paula (orientador) - IME-USP

• Profa. Dra. Denise Aparecida Botter - IME-USP

• Prof. Dr. Francisco José de Azevêdo Cysneiros - UFPE

• Prof. Dr. Filidor Edilfonso Vilca Labra - UNICAMP

• Profa. Dra. Maria Kelly Venezuela - INSPER

Agradecimentos

Primeiramente, agradeço a Deus por nunca me desamparar.Aos meus pais, Yasutoshi e Marlinda, por todas as oportunidades, pelo apoio incondicional e

incentivo, vocês são essenciais. Às minhas irmãs, Ana, Bárbara e Carol por compartilharem comigoas expectativas e ansiedades. À minha sobrinha Aiko, sempre fonte de alegria. A toda minha família,pela torcida entusiasmada e presença constante mesmo quando distante.

Ao professor Gilberto, pela oportunidade de ser sua orientanda, confiança, o inestimável apoioe pelos valiosos conhecimentos transmitidos, muito obrigada.

À professora Michelli, presente na minha trajetória acadêmica desde a graduação, sou muitograta pela dedicação, paciência, amizade e todos os ensinamentos que ultrapassaram as fronteirasda sala de aula.

Ao meu companheiro Fábio, por acreditar em mim quando eu duvidei, pelo amor, compreensão,pelas alegrias compartilhadas, pela tranquilidade e a paz que você traz pra minha vida. Seu auxíliofoi muito importante para a conclusão deste trabalho.

Aos amigos que sempre me incentivaram, em especial, Fabiana, Eliza, Roger, Estefa e Cristian,pelo apoio e preciosa amizade que tornaram minha estadia em São Paulo muito mais agradável.

A Terezinha e a professora Kelly Venezuela por auxílios computacionais muito importantes.A todos os professores do IME/USP que contribuíram para minha formação durante o doutorado.

Aos funcionários que fazem parte do IME.Aos professores que aceitaram participar da banca examinadora pelas valiosas sugestões que

contribuíram para a melhoria deste trabalho.A todos que me ajudaram, de forma direta ou indireta, a passar pelas diversas dificuldades

durante esta trajetória, meu mais sincero obrigada.

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ii

Resumo

Este trabalho de tese tem como objetivo principal propor uma abordagem alternativa para ana-lisar dados Birnbaum-Saunders (BS) correlacionados com base em equações de estimação. Da classeótima de funções de estimação proposta por Crowder (1987), derivamos uma classe ótima para aanálise de dados correlacionados em que as distribuições marginais são assumidas log-BS e log-BS-t, respectivamente. Derivamos um processo iterativo para estimação dos parâmetros, métodos dediagnóstico, tais como análise de resíduos, distância de Cook e influência local sob três diferentesesquemas de perturbação: ponderação de casos, perturbação da variável resposta e resposta e per-turbação individual de covariáveis. Estudos de simulação são desenvolvidos para cada modelo paraavaliar as propriedades empíricas dos estimadores dos parâmetros de localização, forma e correlação.A abordagem apresentada é discutida em duas aplicações: o primeiro exemplo referente a um bancode dados sobre a produtividade de capital público nos 48 estados norte-americanos contíguos de1970 a 1986 e o segundo exemplo referente a um estudo realizado na Escola de Educação Física eEsporte da Universidade de São Paulo (USP) durante 2016 em que 70 corredores foram avaliadosem corridas em esteiras em três períodos distintos.

Palavras-chave: distribuição Birnbaum-Saunders, dados correlacionados, equações de estimação.

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iv

Abstract

The aim of this thesis is to propose an alternative approach to analyze correlated Birnbaum-Saunders (BS) data based on estimating equations. From the optimal estimating functions classproposed by Crowder (1987), we derive an optimal class for the analysis of correlated data in whichthe marginal distributions are assumed either log-BS or log-BS-t. It is derived an iterative process,diagnostic procedures such as residual analysis, Cook’s distance and local influence under threedifferent perturbation schemes: case-weights, response variable perturbation and single-covariateperturbation. Simulation studies to assess the empirical properties of the parameters estimates areperformed for each proposed model. The proposed methodology is discussed in two applications:the first one on a data set of public capital productivity of the contiguous 48 USA states, from 1970to 1986, and the second data set refers to a study conducted in the School of Physical Educationand Sport of the University of São Paulo (USP), during 2016, in which 70 runners were evaluatedin running machines races in three periods.Keywords: Birnbaum-Saunders distribution, correlated data, estimating equations.

i

ii

Sumário

1 Introdução 11.1 Considerações preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Distribuição Birnbaum-Saunders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Distribuição log-Birnbaum-Saunders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.3 Distribuição Birnbaum-Saunders generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.4 Distribuição log-BS-t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.5 Modelo de regressão log-Birnbaum-Saunders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.6 Modelos mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.7 Distribuição Birnbaum-Saunders multivariada generalizada . . . . . . . . . . 101.1.8 Funções de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Equações de Estimação para modelos de regressão log-BS 172.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Equações de estimação para a média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.1 Derivação da função de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Algoritmo de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2.3 Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.4 Estudo de simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2.5 Métodos de diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.6 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3 Equações de Estimação para modelos de regressão log-BS-t 393.1 Notação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Equações de estimação para a média . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Derivação da função de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.2.2 Estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.2.3 Processo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.4 Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.5 Estudo de simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.6 Métodos de diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.7 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

iii

iv SUMÁRIO

4 Equações de Estimação Conjuntas para a Média e Forma 534.1 Equação de estimação conjunta para o modelo log-BS. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Derivação de função de estimação conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2 Algoritmo de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.3 Inferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.4 Estudo de simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.5 Métodos de diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Equação de estimação conjunta para o modelo log-BS-t . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.1 Derivação de função de estimação conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2.2 Algoritmo de estimação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.2.3 Estudo de Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2.4 Métodos de diagnóstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Considerações Finais 715.1 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A 73

B Cálculos do Capítulo 2 75B.1 Função de estimação para o parâmetro de localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75B.2 Matrizes de sensibilidade e variabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77B.3 Influência conformal sob homogeneidade do parâmetro de forma . . . . . . . . . . . . 81

B.3.1 Perturbação da variável resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81B.3.2 Perturbação individual das covariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

C Tabelas referentes às simulações do Capítulo 2 85

D Cálculos do Capítulo 3 89D.1 Função de estimação para o parâmetro de localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89D.2 Matrizes de sensibilidade e variabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91D.3 Influência conformal sob homogeneidade do parâmetro de forma . . . . . . . . . . . . 94

D.3.1 Perturbação individual das covariáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

E Tabelas referentes às simulações do Capítulo 3 97

F Cálculos do Capítulo 4 107F.1 Função de estimação conjunta para o modelo heterogêneo log-BS . . . . . . . . . . . 107

F.1.1 Derivação da função de estimação para o modelo do parâmetro de forma . . 107F.1.2 Derivação da Função de Estimação Conjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109F.1.3 Derivação das matrizes de variabilidade e sensibilidade . . . . . . . . . . . . . 110F.1.4 Influência conformal sob heterogeneidade do parâmetro de forma . . . . . . . 112

F.2 Função de estimação conjunta para o modelo heterogêneo log-BS-t . . . . . . . . . . 115F.2.1 Derivação das matrizes de variabilidade e sensibilidade . . . . . . . . . . . . . 115F.2.2 Influência conformal sob heterogeneidade do parâmetro de forma . . . . . . . 117

SUMÁRIO v

G Tabelas referentes às simulações do Capítulo 4 119

Referências Bibliográficas 131

vi SUMÁRIO

Capítulo 1

Introdução

A distribuição Birnbaum-Saunders (BS) é uma distribuição de tempo de vida (life distribution)que relaciona o tempo até a ocorrência de falha com algum dano cumulativo que é assumido gaus-siano. A principal vantagem das pesquisas relacionadas a essa distribuição é o melhor ajuste nospercentis mais baixos ou mais altos da distribuição (onde há o maior interesse dos analistas) quandocomparada às demais distribuições de vida. Para maiores detalhes, veja Birnbaum e Saunders (1969)e Leiva (2016). Nas últimas décadas tem sido crescente o interesse pelo estudo da distribuição BS emuitas pesquisas utilizando essa distribuição surgiram, por exemplo, Desmond (1985) que relaxoualgumas suposições feitas por Birnbaum e Saunders (1969) e apresentou uma derivação mais geralbaseada em um modelo biológico. Além disso, Desmond (1986) estabeleceu uma conexão bastanteútil entre a distribuição gaussiana inversa e a distribuição BS. Uma outra referência importanteé o artigo Rieck e Nedelman (1991) no qual é proposto um modelo log-linear para a distribuiçãoBirnbaum-Saunders e desenvolvido métodos de estimação. O modelo log-linear proposto vêm sendoempregado em uma grande quantidade de estudos, como por exemplo Tsionas (2001) que discutea estimação Bayesiana para o modelo, Galea et al. (2004) que apresentaram vários métodos dediagnóstico para modelos log-linear BS, Leiva et al. (2007) que estudaram o modelo de regressãolog-BS com observações censuradas. Díaz-García e Leiva (2005) apresentaram uma generalizaçãoda distribuição BS, que foi derivada com base em distribuições de contornos elípticos e foi de-nominada de distribuição Birnbaum-Saunders generalizada (BSG). A principal vantagem da dis-tribuição BSG é ser mais flexível por admitir vários graus de curtose (quando comparada coma distribuição BS), veja Sanhueza et al. (2008). Barros et al. (2008) propuseram então, uma novaclasse de modelos de regressão em que os erros seguem uma distribuição log-BSG baseada no mo-delo t-Student. Santos-Neto et al. (2012) propuseram uma reparametrização da distribuição BS, quedenoraminaram Birnbaum-Saunders reparametrizada (BSR), Santos-Neto et al. (2014) forneceramalguns resultados em momentos, estimação e inferência para BSR de Santos-Neto et al. (2012) eLeiva et al. (2014) propuseram um modelo de regressão BSR em que a média é relacionada aopreditor linear através de uma função de ligação.

Embora a distribuição BS tenha sido originada a partir da fadiga de materiais, as distribuiçõesBS e BSG vêm sendo amplamente aplicadas em diversas áreas do conhecimento, tais como: en-genharia, medicina, contaminação atmosférica, qualidade da água, catástrofes naturais, negócios,finanças, indústria, ciência de gestão e controle de qualidade. Veja por exemplo: Leiva et al. (2007)

1

2 INTRODUÇÃO 1.1

onde a distribuição BS foi utilizada para modelar o tempo de sobrevivência de pacientes com múlti-plos mielomas; Balakrishnan et al. (2007) usaram a distribuição BS para modelar o tempo do inícioda execução de um software até a a falha do mesmo; Leiva et al. (2008) apresentaram a distribuiçãoBSG como um modelo útil para descrever dados de poluição, Bhatti (2010) e Marchant et al. (2013)aplicaram a distribuição BS em dados financeiros de alta frequência e Paula et al. (2012) modelaramdados oriundos de reclamações de uma seguradora, usando a BSG.

Mesmo que muitas vezes a suposição de independência não seja razoável, a maioria dos tra-balhos desenvolvidos no âmbito de modelos BS e BSG assume independência entre as unidadesexperimentais, e pouco foi desenvolvido para a análise de dados BS correlacionados. Podemos citarVillegas et al. (2011) que estudaram modelos lineares mistos com erros log-BS e, mais recentemente,Kundu et al. (2013) derivaram a versão multivariada da distribuição BS. Marchant et al. (2016a)derivaram modelos log-lineares para a distribuição BS enquanto Marchant et al. (2016b) apresen-taram procedimentos de diagnóstico em modelos de regressão BS multivariados generalizados.

A independência entre as observações é uma das principais suposições dos modelos de regressãotradicionais tais como os modelos lineares generalizados (MLGs). Contudo, é comum nos depararmoscom dados correlacionados, como ocorre em dados agrupados ou entre observações realizadas em ummesmo indivíduo ao longo do tempo, comum em estudos longitudinais. Diante disso, Wedderburn(1974) introduziu modelos de quase-verossimilhança que estendem a ideia dos MLGs para situ-ações mais gerais incluindo dados correlacionados. Liang e Zeger (1986) e Zeger e Liang (1986)propuseram o método de equações de estimação generalizadas (EEGs) com o objetivo de produzirestimativas eficientes e não viesadas para os parâmetros do modelo de regressão quando se lida comdados correlacionados não gaussianos. Nesses estudos é interessante o fato que a matriz de cor-relação de trabalho especificada para o vetor de medidas repetidas de cada unidade experimentalnão precisa estar corretamente especificada para se obter consistência dos parâmetros de regressão.Prentice e Zhao (1991) estenderam a proposta de Liang e Zeger (1986), que ficou conhecida comoEEG1, e estimando também os parâmetros de correlação via equações de estimação, desenvolvendoo que é denominado na literatura como EEG2. Mais tarde surgiram propostas em que equações deestimação também passaram a ser utilizadas para modelar o parâmetro de dispersão (EEG3), vejapor exemplo Song et al. (2004). O método de equações de estimação generalizadas tornou-se umaferramenta importante para a análise de dados correlacionados. Por exemplo, Horton et al. (1999)ajustaram um modelo de regressão logístico marginal utilizando equações de estimação generaliza-das para dados de medidas repetidas em um estudo sobre utilização de serviços de saúde mental.Artes (1997) estudou equações de estimação para dados longitudinais circulares e modelos de dis-persão e Venezuela (2008) propôs equações de estimação generalizadas para modelos de regressãobeta com medidas repetidas. Alencar et al. (2012), motivados por um exemplo prático envolvendodados longitudinais pré-teste e pós-teste, traçaram uma comparação considerando modelos lineareslog-normais mistos, modelos lineares generalizados mistos e modelos baseados em equações de esti-mação generalizadas. Os autores concluiram que modelos baseados em EEG podem ser preferíveisquando o objetivo é comparar as respostas esperadas marginais.

Assim, propomos neste trabalho a modelagem de dados correlacionados usando as distribuiçõesBS e BSG sob o ponto de vista de equações de estimação generalizadas.

1.1 CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 3

1.1 Considerações preliminares

Nesta seção faremos uma revisão da literatura que norteou os estudos necessários para o desen-volvimento desse trabalho. Serão inicialmente apresentadas as distribuições: BS, log-BS, BSG, emparticular a BS-t, e a log-BS-t. Será discutido então o modelo de regressão-log-BS, introduzido porRieck e Nedelman (1991) e amplamente utilizado. Em seguida realizaremos uma breve explanaçãosobre métodos que vêm sendo utilizados com o intuito de analisar dados BS correlacionados. Porfim, segue uma revisão dos textos introdutórios referentes a equações de estimação, baseados emLiang e Zeger (1986), Godambe (1997), Ziegler (2008) e Artes e Botter (2005).

1.1.1 Distribuição Birnbaum-Saunders

A distribuição Birnbaum-Saunders (BS) é uma distribuição de vida (life distribution) que rela-ciona o tempo até a ocorrência de falha com algum dano cumulativo que é assumido gaussiano.Conhecida também como distribuição de vida por fadiga, vem sendo amplamente aplicada em diver-sas áreas do conhecimento, tais como engenharia, medicina, contaminação atmosférica, qualidadeda água, catástrofes naturais, negócios, finanças, indústria, ciência de gestão e controle de quali-dade. A principal vantagem das pesquisas relacionadas a essa distribuição é o melhor ajuste nospercentis mais baixos ou mais altos da distribuição (onde há o maior interesse dos analistas) quandocomparada às demais distribuições de vida. Mais detalhes, ver Birnbaum e Saunders (1969) e Leiva(2016).

A fadiga é um dano estrutural que ocorre quando um material é exposto a flutuações de estressee tensão. Birnbaum e Saunders (1969) construíram essa família de distribuições de vida baseada emum determinado tipo de fadiga. Vejamos a seguir como foi obtida essa distribuição.

O processo de fadiga de materiais consiste em três etapas. A primeira etapa trata-se de umafissura imperceptível, referente aos percentis 5 e 10 da vida útil do material. A segunda etapa é ocrescimento da fissura, gerado pelo estresse cíclico e tensão. A terceira etapa é por fim a rupturaou falha do material devido à fadiga. Essa etapa trata-se de um evento pontual.

Durante um processo de fadiga o material é exposto a um padrão cíclico de tensão e força. Istoé, se l1, l2, . . . , lm é a sequência de m cargas aplicadas em um ciclo, essa mesma sequência seráaplicada em cada ciclo de cargas. Formalmente, para algum m > 1, para quaisquer dois ciclos j ek e para todo i = 1, . . . ,m, temos

ℓjm+i = ℓkm+i. (1.1)

Essas cargas geram o desgaste do material causando uma fissura. Conforme o processo aconteceocorre o crescimento de uma fissura dominante. A falha ocorre quando a fissura ultrapassa um certonível de resistência, denominado valor crítico e denotado por ω.

Sejam as variáveis aleatórias:

1. xi que denota a extensão incremental da fissura na i-ésima oscilação de carga.

2. yj+1 = xjm+1 + . . . + xjm+m que corresponde à extensão da fissura durante o (j + 1)-ésimociclo.

Birnbaum e Saunders (1969) então fizeram as seguintes suposições:

4 INTRODUÇÃO 1.1

(I) xi é uma variável aleatória com uma distribuição que só depende da fissura atual causada pelatensão neste ciclo.

(II) A extensão total da fissura, yj , devido ao j-ésimo ciclo é uma variável aleatória que segue umadistribuição com média µ e variância σ2, ∀j = 1, 2, . . . .

Logo, da suposição (I) segue a independência das variáveis aleatórias (y1, y2, . . .) e da suposição(II) o fato delas serem identicamente distribuídas. Ao serem aplicados n ciclos de cargas, a extensãototal da fissura será a fissura acumulada durante todos os n ciclos, e será dada pela variável aleatória,

wn =n∑j=1

yj ,

com função de distribuição,

Hn(w) = P (wn ≤ w).

Seja N o número de ciclos de cargas necessários para que ocorra a ruptura do material. Emoutras palavras, N é o número de ciclos que devem ocorrer para que a extensão total da fissuraultrapasse o valor crítico ω. Determinamos a função de distribuição de N por,

P (N ≤ n) = P

n∑j=1

yj > ω

= 1− P

n∑j=1

yj ≤ ω

= 1− P

(∑nj=1

(yj − µ

)σ√n

≤ ω − nµ

σ√n

)

= 1− P

(∑nj=1

(yj − µ

)σ√n

≤ ω

σ√n−

√nµ

σ

).

Logo, do Teorema do Limite Central, para variáveis aleatórias independentes e identicamentedistribuídas, segue que

P (N ≤ n) ∼= 1− Φ

(ω

σ√n−

√nµ

σ

)= Φ

[−(

ω

σ√n−

√nµ

σ

)]= Φ

(√nµ

σ− ω

σ√n

), (1.2)

em que Φ(.) é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão.Birnbaum e Saunders (1969) então propuseram substituir n em (1.2) por uma variável real não

negativa t. Dessa forma, segundo os autores, t é a extensão contínua da variável discreta N , em quet é o tempo total até que ocorra a falha.

A função de distribuição acumulada da variável aleatória t fica dada por:

F (t;β, α) = P (t ≤ t) = Φ

[1

α

(√t

β−√β

t

)], t > 0, (1.3)

com, α = σ√ωµ > 0 e β = ω

µ > 0. E assim dizemos que t segue uma distribuição BS com parâmetros


α e β e denotamos por t ∼ BS(α, β).

Podemos obter a variável aleatória t ∼ BS(α, β) a partir da distribuição normal da seguinteforma:

t = β

[αz2

+

√(αz2

)2+ 1

]2, (1.4)

em que z ∼ N(0, 1). Mais detalhes ver, por exemplo, Díaz-García e Leiva (2005).A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória t ∼ BS(α, β) é obtida derivando

(1.3) em relação a t. De modo que,

f(t;α, β) =1

2α√2πβ

[(β

t

) 12

+

(β

t

) 32

]exp

[− 1

2α2

(t

β+β

t− 2

)]. (1.5)

A média e a variância existem e são dadas, respectivamente por,

E(t) = β

(1 +

α2

2

)e Var(t) = (αβ)2

(1 +

5

4α2

).

1.1.2 Distribuição log-Birnbaum-Saunders

A partir do momento em que a distribuição normal foi criada passou a ser amplamente aplicadae desenvolvida. Johnson (1949) usou o método de translação, introduzido por Edgeworth (1898),para gerar famílias de distribuições a partir de transformações da forma z = ν+ δf(y;µ, σ), em quez é uma variável normal padrão, f(y;µ, σ) é uma função monótona simples, ν e δ são parâmetros deforma, σ é parâmetro de escala e µ é parâmetro de posição. Rieck e Nedelman (1991) desenvolverama distribuição senh-normal (SN) através da transformação y = arcsenh(αz/2)σ + µ, em que z temdistribuição normal padrão, α > 0 é o parâmetro de forma, µ ∈ IR é o parâmetro de localizaçãoe σ > 0 é o parâmetro de escala. Denotamos então y ∼ SN(µ, α, σ), e sua função densidade deprobabilidade fica dada por:

f(y) =2

ασ√2π

cosh

(y − µ

σ

)exp

−1

2

[2

αsenh

(y − µ

σ

)]2, y ∈ IR. (1.6)

Ainda podemos dizer que se y ∼ SN(α, µ, σ) então z = 2αsenh

[(y−µ)σ

]∼ N(0, 1).

A função de distribuição acumulada da variável aleatória y é então dada por

Fy(y) = Φ

2

αsenh

(y − µ

σ

), y ∈ IR, (1.7)

em que Φ(·) é a distribuição acumulada da distribuição normal padrão. Quanto aos parâmetros dessadistribuição sabemos que o parâmetro α influencia a curtose, de modo que a curva da distribuiçãotorna-se mais achatada à medida que o valor de α aumenta e σ é o parâmetro de escala, de modoque a amplitude da curva diminui à medida que σ aumenta.

6 INTRODUÇÃO 1.1

A função geradora de momentos para a distribuição SN é dada por

m(t) = exp(µs)

[Ka(α

−2) +Kb(α−2)

2K1/2(α−2)

], (1.8)

em que a = (σs + 1)/2, b = (σs − 1)/2 e K(·) é a função de Bessel modificada do terceiro tipo,dada por

Kλ(w) =1

2

(w2

)λ ∫ ∞

0y−λ−1e−y−(w2/4y)dy.

De (1.8) podemos obter a esperança e a variância da variável aleatória y ∼ SN(α, µ, σ) dadas,respectivamente, por

E(y) = µ e Var(y) = σ2g(α), (1.9)

em que g(α) é uma função baseada em Kλ(·) = K−λ(w) que depende apenas de α. Mais detalhesver Villegas et al. (2011).

Uma importante relação entre as distribuições BS e SN foi mostrada por Rieck (1989). Se avariável aleatória t tem distribuição BS(α, β), então y = log(t) tem distribuição SN(α, µ, 2), comµ = log(β). Logo, a distribuição log-BS é um caso particular da distribuição SN (senh-normal).Essa distribuição é unimodal para α < 2, platicúrtica para α = 2 e bimodal para α > 2.

A função densidade de probabilidade de y pode ser expressa como

f(y;α, µ) =1

α√2π

cosh

(y − µ

2

)exp

[−2

1

αsenh

(y − µ

2

)2]. (1.10)

1.1.3 Distribuição Birnbaum-Saunders generalizada

De acordo com Díaz-García e Leiva (2005), qualquer análise estatística em que uma distribuiçãonormal é assumida pode ser generalizada para a família de distribuições elípticas. Segundo os au-tores, apesar de não haver argumentos nem empíricos e nem relacionados às leis da física, existemrazões puramente estatísticas ou matemáticas, no sentido de que a teoria desenvolvida sob dis-tribuição normal é um caso particular da teoria obtida sob distribuições elípticas. Muitas daspropriedades de uma distribuição normal são extensíveis ao caso de distribuições elípticas e al-gumas importantes estatísticas na teoria da inferência normal são invariantes sob toda a família dedistribuições elípticas.

Diante disso, Díaz-García e Leiva (2005) apresentaram uma generalização da distribuição BS,que foi derivada com base em distribuições de contornos elípticos e foi denominada de distribuiçãoBirnbaum-Saunders generalizada (BSG).

Definição 1.1 Uma variável aleatória x segue distribuição elíptica se sua função característica édada por,

φx(t) = exp(itµ)ϕ(t2σ2), (1.11)


com ϕ : IR→ IR+, ou se a fdp de x é dada por,

fx(x) = cg

[(x− µ)2

σ2

]= cg(u); x ∈ IR, u > 0, (1.12)

em que g(u) é o núcleo da fdp de x e c é a constante normalizadora que faz com que fx seja umafunção densidade de probabilidade. A notação é dada por x ∼ EC(µ, σ2;ϕ), quando é usada a forma(1.11) e x ∼ EC(µ, σ2; g) se, a forma usada é (1.12).

Comumente, µ é o parâmetro de posição, que coincide com a média, E(x), se o primeiro momentoda distribuição existe e σ2 é o parâmetro de escala. Para casos unidimensionais de variáveis aleatóriasas distribuições elípticas correspondem a todas as distribuições simétricas em IR.

O modelo desenvolvido por Díaz-García e Leiva (2005) foi obtido relaxando a suposição denormalidade de (1.4). De modo que os autores passaram a considerar,

t = β

αU2

+

√(αU

2

)2

+ 1

2

, (1.13)

em que U ∼ EC(µ, σ2; g). E então, a variável aelatória t segue distribuição BSG e é denotada por,t ∼ BSG(α, β; g), em que α é o parâmetro de forma, β é o parâmetro de escala e g(·) determinao núcleo da função densidade e é dada em (1.12). A motivação do uso dessa nova família de dis-tribuições reside no fato dela ser mais flexível por possuir caudas mais ou menos pesadas do que adistribuição BS já estudada.

Seja t ∼ BSG(α, β; g), então a função densidade de probabilidade é dada por,

ft(t) =c

2αβ1/2t3/2(t+ β)g

[1

α2

(t

β+β

t− 2

)], t > 0. (1.14)

Díaz-García e Leiva (2005) consideraram diferentes núcleos para a fdp de t. Como por exemplo:função t-Student, normal (que recai na função de distribuição BS clássica), Cauchy, Kotz, logística,entre outras.

Trabalharemos apenas com a distribuição BSG obtida a partir da distribuição t-Student. Afunção densidade de probabilidade, neste caso, fica dada por,

ft(t) =Γ((ν + 1)/2)t−3/2(t+ β)

2α(νπβ)1/2Γ(ν/2)

(1 +

1

να2

[t

β+β

t− 2

])−(ν+1)/2

, (1.15)

em que α, β, ν > 0. E diremos que t ∼ BS-t(α, β, ν).

1.1.4 Distribuição log-BS-t

Por analogia ao caso da distribuição SN, Díaz-García e Domínguez-Molina (2006) obtiveram adistribuição seno hiperbólica esférica (senh-esférica), denotada por SS(α, µ, σ; g), cuja densidade édada por

f(y) =cσ

2

αcosh

(y − µ

2

)g

[(2

αsenh

(y − µ

2

))]2.

8 INTRODUÇÃO 1.1

Se t ∼ BS-t(α, β, ν) então y = log(t) ∼ SS(α, µ, 2, ν), ou distribuição log-BS-t(α, µ, ν). Seja g(·) o

núcleo da distribuição t-Student, ou seja, g(u) =1 + 1

νu−( ν+1

2 ) e c = c(ν) = Γ( ν+12 )

(νπ)1/2Γ( ν2 ), em que

Γ(t) =∫∞0 xt−1e−xdx. A função densidade de probabilidade de y fica dada por

f(y) = c(ν)1

αcosh

(y − µ

2

)1 +

1

ν

[2

αsenh

(y − µ

2

)]2−( ν+12 )

. (1.16)

1.1.5 Modelo de regressão log-Birnbaum-Saunders

Rieck e Nedelman (1991) motivados pela importância de prever a performance de materiais sobdiferentes condições, desenvolveram um modelo log-linear para a distribuição BS, baseado na dis-tribuição SN. Antes do desenvolvimento desse modelo análises estatísticas referentes à distribuiçãoBS tinham sido limitadas aos casos em que são consideradas amostras únicas. Apresentaremos aseguir o modelo desenvolvido pelos autores.

Sejam t1, t2, . . . , tn variáveis aleatórias independentes tais que ti ∼ BS(α, θi), para i = 1, . . . , n.Supondo que a distribuição de cada ti depende de xi = (xi1, xi2, . . . , xip)

⊤, um conjunto de valoresde variáveis explicativas (p < n), e assumindo que:

i) θi = expx⊤i β, em que β = (β1, β2, . . . , βp)

⊤ é o vetor de parâmetros desconhecidos a serestimado e,

ii) o parâmetro de forma é independente das variáveis explicativas.

então, ti ∼ BS(α, expx⊤i β).

Como a distribuição BS é fechada sob transformações de escala, considerando que ϵ∗i ∼ BS(α, 1),então, ti = expx⊤

i βϵ∗i ∼ BS(α, expx⊤i β). Portanto, fazendo yi = log(ti) obtém-se o modelo de

regressão log-linear BS

yi = x⊤i β + ϵi,

em que yi é o logaritmo do tempo para a i-ésima unidade experimental, β = (β1, β2, . . . , βp)⊤ é o

vetor de parâmetros desconhecidos a ser estimado, xi = (xi1, xi2, . . . , xip)⊤ são valores de variáveis

explicativas e ϵi = log(ϵ∗i ) são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas taisque ϵi ∼ SN(α, 0, 2).

O modelo pode ser usado para teste de vida acelerada ou para comparar vidas medianas de váriaspopulações. Rieck e Nedelman (1991) apresentaram ainda a inferência para os parâmetros des-conhecidos, discutiram métodos de estimação pontual, teste de hipóteses e intervalos de confiança.Galea et al. (2004) apresentaram métodos de diagnóstico para um modelo de regressão log-linearcom distribuição BS para os erros. Os autores desenvolveram as medidas de diagnóstico: influêncialocal, influência local total e alavanca generalizada. Leiva et al. (2007) trabalharam com métodosde diagnóstico no modelo de regressão log-BS com dados censurados. Barros et al. (2008) apresen-taram um modelo baseado na BS-t. Discutiram procedimentos de estimação robusta e métodos dediagnóstico. Os autores motivaram o estudo justificando que a distribuição BS clássica é sensívela observações aberrantes e a BS-t surge como uma alternativa a esse modelo. Lemonte e Cordeiro


(2009) introduziram uma classe de modelos de regressão não lineares BS, que trata de uma gene-ralização do modelo de regressão desenvolvido por Rieck e Nedelman (1991). Lemonte e Patriota(2011)) generalizaram então os métodos de diagnóstico de Galea et al. (2004) para a classe demodelos desenvolvida em Lemonte e Cordeiro (2009).

1.1.6 Modelos mistos

Villegas et al. (2011), partindo do fato que a maioria dos modelos baseados na distribuição BS,supõe efeitos fixos e que pouco tem sido investigado para dados correlacionados, introduziram osmodelos BS mistos para dados censurados.

Para motivar o trabalho os autores consideram um exemplo onde uma amostra de máquinas éselecionada aleatoriamente. Oe estimando tamb é estabelecer uma relação entre o desempenho damáquina (variável resposta) e o nível de estresse (preditor). Cada máquina tem seu desempenhoavaliados em níveis diferentes de estresse. Assim, devido à possível correlação entre as medidas dedesempenho de cada máquina, um modelo de efeito aleatório mostra-se mais apropriado do que ummodelo de efeitos fixos.

Seja yij o j-ésimo logaritmo da resposta associada ao i-ésimo grupo (indivíduo), para i = 1, . . . , n

e j = 1, . . . , si . O modelo log-BS de efeitos aleatórios, apresentado por Villegas et al. (2011), seguea seguinte estrutura hierárquica:

yij |bi ∼ log-BS(α, µij) e

bi ∼ Nd(0, ζ),

e componente sistemática

µij = E(yij |bi) = x⊤ijβ + z⊤ijbi,

em que i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , si, yij é a variável resposta e corresponde ao logaritmo dotempo de falha ou censura, xij = (xij1, . . . , xijp)

⊤ contém valores de variáveis explicativas as-sociadas aos efeitos fixos, β = (β1, . . . , βp)

⊤ é o vetor de efeitos fixos que precisa ser estimado,zij = (zij1, . . . , zijq)

⊤ contém valores de variáveis explicativas associadas aos efeitos aleatórios,bi = (bi1, . . . , biq)

⊤ é um vetor de efeitos aleatórios, e ζ é a matriz de variância-covariância q × q

dos efeitos aleatórios. Tem-se que,

E(yij) = x⊤ijβ,

Var(yij) = 4K(α) + z⊤ijζzij e

Cov(yij , yil) = z⊤ijζzil.

Então, a correlação intraclasse é dada por

Corr(yij , yil) =z⊤ijζzil

4K(α) + z⊤ijζzil,

para i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , si e j = l.

10 INTRODUÇÃO 1.1

1.1.7 Distribuição Birnbaum-Saunders multivariada generalizada

Kundu et al. (2010) introduziram a distribuição BS bivariada com cinco parâmetros, obtidaa partir de uma transformação monótona de duas variáveis com distribuição normal bivariada.Em Kundu et al. (2013), foi desenvolvida a distribuição BS multivariada generalizada baseada nadistribuição simétrica elíptica multivariada no lugar da distribuição normal multivariada.

Marchant et al. (2016a) e Marchant et al. (2016b) derivaram o modelo de regressão log-linearGBS multivariado e apresentaram procedimentos de diagnósticos para esses modelos, respectiva-mente.

Um vetor aleatório X, p-dimensional, é dito ter distribuição elíptica simétrica com vetor delocalização µ, p × 1, matriz de dispersão p × p, Σ, e gerador de desnsidade h(p)(·), se a funçãodensidade de probabilidade de X é da forma,

f(x,µ,Σ, h(p)) = cp|Σ|−1/2h(p)(w(x)), (1.17)

com x ∈ IRp, w(x) : IRp −→ IR+ tal que w(x) = (x− µ)⊤Σ−1(x− µ), h(p) : IR+ −→ IR+, cp > 0 e∫IRp

f(x,µ,Σ, h(p))dx = 1.

A possibilidade de escolher a função geradora h(p)(·), permite diferentes distribuições simétricaselípticas. As distribuições normal multivariada e t-multivariada (com graus de liberdade ν > 0) sãode grande interesse prático.

A função densidade de probabilidade da distribuição normal multivariada é dada por

f(x,µ,Σ) = (2π)−p/2|Σ|−1/2 exp

−1

2(x− µ)⊤Σ−1(x− µ)

,

e tomando cp = (2π)−p/2, h(p)(w(x)) = exp−w(x)/2 reduz-se á forma dada em (1.17).

Definição 1.2 Sejam α e β ∈ IRp, com α = (α1, . . . , αp)⊤ e β = (β1, . . . , βp)

⊤, com αi > 0.

βi > 0, para i = 1, . . . , p. Seja Γ p × p matriz de correlação positiva definida. Então, o vetoraleatório t = (t1, . . . , tp)⊤ é dito ter distribuição BS multivariada generalizada com parâmetros(α,β,Γ) e função geradora h(p), denotado por t ∼ GBSp(α,β,Γ, h

(p)), se a função de distribuiçãoacumulada é dada por,

P(t ≤ t) = F

[1

α1

(√t1β1

−√β1t1

), . . . ,

1

αp

(√tpβp

−

√βptp

);Γ, h(p)

]

para t > 0 e F(;Γ, h(p)) denota a função de distribuição acumulada do vetor aleatório com dis-tribuição simétrica elíptica com Σ = Γ e h(p) a função geradora. A função densidade de probabili-dade de t é dada por,

f(t,α,β,Γ) = f

[1

α1

(√t1β1

−√β1t1

), . . . ,

1

αp

(√tpβp

−

√βptp

);Γ, h(p)

]


×p∏i=1

(βiti

)1/2

+

(βiti

)3/2,

e f(·) é dado em (1.17).

1.1.8 Funções de estimação

O método de equações de estimação generalizadas (EEGs) foi proposto por Liang e Zeger (1986)e recebeu considerável atenção em pesquisas estatísticas. Para mais detalhes, indicamos Ziegler(2008) e Godambe (1997), onde são revisados pontos importantes no desenvolvimento desse métodoe algumas aplicações são apresentadas.

Segundo Godambe (1997) existem três importantes precursores na teoria moderna de funções deestimação: o método de mínimos quadrados proposto por Legendre (1805), o método dos momentosproposto por Pearson em algum instante do último século e o método de máxima verossimilhançaproposto por Fisher (1925).

Vamos agora introduzir alguns conceitos importantes à respeito do estudo de funções de esti-mação.

Como definido em Artes et al. (2000) funções de estimação são funções mensuráveis de dados eparâmetros de interesse, cujas raízes resultantes das equações de estimação são as estimatvas dosparâmetros.

Definição 1.3 Seja χ ∈ IR um espaço amostral sobre o qual define-se uma família ℘ = Pθ,θ ∈Θ ⊆ IRp de distribuições de probabilidade indexadas por um parâmetro θ desconhecido. Pordefinição, uma função ψ : X ×Θ → IR, é uma função de estimação, se para cada θ ∈ Θ, ψ(.,θ) éuma variável aleatória.

Artes (1997) ressalta que é desejável que uma pequena variação no vetor paramétrico acarreteuma grande variação no valor da função de estimação, pois quanto maior essa variação, mais eficientea função será na estimação do parâmetro.

Assumimos a existência de uma amostra de n vetores aleatórios independentes y1, . . . , yn,

tal que yi = (yi1, . . . , yisi)⊤. Cada unidade amostral será associada a uma função de estimação

que será denotada por, ψi. De forma que a função de estimação para a amostra é dada por,Ψn(y,θ) =

∑ni=1ψi(yi,θ).

Vamos nos deter ao estudo das funções de estimação cujas raízes são estimadores dos parâmetrosde interesse, ou seja,

Ψn(y, θn) = 0.

Essas equações são denominadas equações de estimação. Para simplificar a notação usaremosΨn(θn) no lugar de Ψn(y,θn) (desde que não atrapalhe o entendimento do texto.)

A função de estimação Ψn(θn) é uma função de estimação não viesada se

Eθ Ψn(θ) = 0.

Se todas as funções de estimação ψi(·), i = 1, 2, . . . , n são não viesadas então, Ψn(θ) =∑n

i=1ψi(θ)

é não viesada.

12 INTRODUÇÃO 1.1

Definição 1.4 Seja Ψn(θn) uma função de estimação não viesada. A matriz de variabilidade deΨn(θn) é definida por,

VΨ(θ) = EθΨn(θ)Ψ

⊤n (θ)

e a matriz de sensibilidade é definida por,

SΨ(θ) = Eθ

(∂

∂θ⊤Ψn(θ)

).

Definição 1.5 Uma função Ψ = (Ψ1, . . . ,Ψp)⊤ é dita regular se para todo θ = (θ1, . . . , θp)

⊤ ∈ Θ :

(i) a função Ψ é não viesada.

(ii) A derivada parcial de Ψn(θ) com relação a θ existe quase certamente para todo y ∈ χ.

(iii) É possível permutar o sinal de integração e diferenciação da seguinte forma:

∂

∂θi

∫χΨ(θ)dPθ =

∫χ

∂

∂θi[Ψ(θ)]dPθ.

(iv) Eθ Ψj(θ)Ψk(θ) ∈ IR com j, k = 1, . . . , p e VΨ(θ) é positiva definida.

(v) Eθ

∂∂θl

Ψj(θ)∂∂θm

Ψk(θ)∈ IR, com j, k, l,m = 1, . . . , p e SΨ(θ) é não singular.

Definição 1.6 A matriz de informação de Godambe de θ associada a Ψn, uma função de estimaçãoregular, é dada por

JΨ(θ) = SΨ(θ)⊤V−1

Ψ (θ)SΨ(θ). (1.18)

A informação de Godambe desempenha o papel da informação de Fisher para as funções de esti-mação regulares.

Jørgensen e Labouriau (1994) estabeleceram condições para a normalidade assintótica de es-timadores obtidos a partir de funções de estimação regulares. Artes (1997) desenvolveu um novoresultado nessa direção levando em consideração parâmetros multidimensionais, que será apresen-tado a seguir.

Teorema 1.7 (Artes, 1997) Considerando-se que,

a) yi = (yi1, . . . , yis)⊤, i = 1, 2, . . . , n, são vetores s-dimensionais, independentes e identicamente

distribuídos;

b) existe uma função mensurável f : χ×Θ → Θ, tal que ψi(θ) = f(yi,θ), i = 1, . . . , n;

c) ψi(θ), é uma função de estimação regular;

d) ψn(θ) =∑n

i=1 ψi(θ);

e) para δ,> 0 Eθ =suph:||h||≤δ||

∂ψi

∂θ(θ + h)− ∂ψi

∂θ(θ)

= ϕδ e ϕδ → 0 quando δ → 0, i =

1, . . . , n;

1.2 OBJETIVOS 13

f) θ∞n=1 é uma sequência de raízes de Ψn(θ), θ ∈ Θ e sob condições que garantam a existênciade uma sequência de raízes de Ψn(θ) que seja limitada em probabilidade, ou restrita a umconjunto compacto q.c. quando n tende a infinito, vem que θn

P−→ θ quando n→ ∞. E ainda

√n(θn − θ)

D−→ Np(0,J−1ψ (θ)).

É do nosso interesse, o estudo realizado em Crowder (1987). O autor investiga uma classeparticular de funções de estimação dadas por

Ψn(θ) =

n∑i=1

Qi(θ)ui(yi,θ), (1.19)

em que Qi(θ) é uma matriz não estocástica de pesos que, eventualmente, pode ser função de θ,enquanto ui, i = 1, 2, . . . , n, são vetores com média zero, mutuamente independentes que satisfazemas condições de regularidade. Denotaremos esta classe por L e a exemplo do que já é feito naliteratura (ver Venezuela (2008)) chamaremos de funções de estimação lineares. A classe de funçõesde estimação lineares geradas por ui é definida por,

L(u) =

Ψn(θ) ∈ R : Ψn(θ) =

n∑i=1

Qi(θ)ui(yi,θ)

. (1.20)

Crowder(1987) mostra ainda que a função de estimação ótima dentre as funções da classe L é obtidaquando a matriz de pesos é dada por

Q∗i (θ) = Eθ

(∂ui∂θ

)⊤Cov−1(ui). (1.21)

Podemos escrever Cov(ui) = Var(ui)1/2R(ui)Var(ui)1/2, em que

Var(ui) = diag Var(ui1), . . . ,Var(uis)

e R(ui) a verdadeira matriz de correlação de ui com dimensão s× s.

1.2 Objetivos

O objetivo principal deste trabalho é propor uma abordagem alternativa para analisar dadosBS correlacionados com base em equações de estimação. Da classe ótima de funções de estimaçãoproposta por Crowder (1987) (ver também, Godambe (1997) e Artes et al. (2000)), obtemos umaclasse ótima para a análise de dados correlacionados em que as distribuições marginais são assumidaslog-BS e log-BS-t.

Para atender a esse objetivo, determinamos como objetivos auxiliares:

1. garantir boas propriedades para os estimadores e implementar um método iterativo que tornepossível aplicar o trabalho desenvolvido a dados reais;

2. como as esperanças e as matrizes de variância-covariância nem sempre irão possuir formas

14 INTRODUÇÃO 1.4

fechadas, tornando-se necessário o uso de resoluções numéricas de integrais durante a progra-mação, é do nosso interesse torná-las o mais simples possível;

3. propor resíduos padronizados e alguns procedimentos de diagnóstico, mais especificamente,distância de Cook, influência local sob três esquemas de perturbação diferentes: ponderaçãode casos, perturbação da variável resposta e perturbação de uma covariável.

1.3 Contribuições

As principais contribuições deste trabalho são: desenvolvimento de equações de estimação paradados de tempo de vida que se adequem a distribuição marginal pertença à família de distribuiçõeslog-BS e log-BS-t.

Os dados correlacionados incluem diferentes estruturas de dados, tais como: observações multi-variadas, dados agrupados, medidas repetidas, dados longitudinais, para mais detalhes ver Verbeke(2000). Os dados multivariados são aqueles que recebem mais atenção na literatura, por exemplo,Kundu et al. (2013) derivou a versão multivariada da distribuição BS e recentemente Marchant et al.(2016a) derivaram o modelo de regressão log-linear GBS multivariado, bem como, Marchant et al.(2016b) apresentaram procedimentos de diagnósticos para esses modelos. Outra abordagem foiapresentada por Villegas et al. (2011) que propôs modelos lineares mistos sob erros log-BS. No en-tanto, não foram publicados estudos que analisassem dados de BS correlacionados do ponto de vistade equações de estimação generalizadas. Essa abordagem pode ser preferivel quando o objetivo écomparar as respostas marginais esperadas, ver Alencar et al. (2012). Uma outra vantagem do usode equações de estimação é o fato de que as estimativas dos parâmetros obtidos por EEGs sãoconsistentes mesmo quando a estrutura de variância-covariância é especificada de forma incorreta.

É válido salientar a importância dos procedimentos de diagnóstico desenvolvidos (análise deresíduos, distância de Cook, influência local com três esquemas de perturbação diferentes: ponde-ração de casos, perturbação da variável resposta e perturbação de uma covariável) uma vez quepermitem averiguar se as suposições iniciais do modelo ajustado são adequadas, evitando assimerros ao empregar a abordagem proposta.

1.4 Organização do trabalho

Esta tese contém cinco capítulos incluindo essa introdução. No Capítulo 2 propomos equaçõesde estimação para modelos de regressão log-BS com medidas repetidas e/ou longitudinais. Con-sideramos a modelagem da média, assumindo homogeneidade do parâmetro de forma. Propomosalgoritmo de estimação, estudos de simulação, bem como métodos de diagnóstico. Uma aplicaçãocom dados referentes à produtividade de capital público dos 48 estados norte-americanos contíguosde 1970 a 1986, que não tinha sido analisada sob essa perspectiva, é apresentada. O Capítulo 3contém o desenvolvimento de equações de estimação para os modelos log-BS-t. Aqui também pro-cedimentos de diagnóstico são propostos. Para facilitar a compreensão iremos utilizar a notaçãode forma análoga aos Capítulos 2 e 3. Um conjunto de dados relativo a um estudo realizado naEscola de Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo (USP) ano de 2016, em que70 corredores foram avaliados em corridas em esteiras em três períodos é analisado. O Capítulo 4

1.4 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO 15

traz extensões dos modelos estudados nos Capítulos 2 e 3, apresentando a modelagem conjunta damédia e da dispersão. Finalmente, no Capítulo 5 conclusões e trabalhos futuros são apresentados.

16 INTRODUÇÃO 1.4

Capítulo 2

Equações de Estimação para modelos deregressão log-BS

Apresentamos nesse capítulo o desenvolvimento de equações de estimação para os parâmetros deum modelo log-BS com dados correlacionados de forma que os estimadores obtidos sejam consisten-tes e assintoticamente normais. As equações de estimação aqui sugeridas são baseadas na propostadiscutida em Artes (1997) e Venezuela (2008). Estudamos ainda o processo iterativo, inferência emétodos de diagnóstico, tais como análise de resíduos, distância de Cook, influência local conformalsob três esquemas de perturbação diferentes, ponderação de casos, perturbação da variável respostae perturbação individual das covariáveis. Aplicaremos a teoria desenvolvida a um conjunto de dadosreais.

2.1 Notação

Considere uma amostra aleatória de n unidades amostrais, t1, . . . , tn, em que ti = (ti1, . . . , tis)⊤

é o vetor de respostas para a i-ésima unidade experimental e admitimos que cada componentetij ∼ BS(α, β∗ij). Ou seja, vamos supor inicialmente a homogeneidade do parâmetro de forma.Norteados pelo o que é feito na literatura, utilizaremos a proposta de Rieck e Nedelman (1991) evamos empregar o modelo log-linear para a distribuição BS, veja por exemplo Leiva et al. (2007)que estudam modelo de regressão log-BS com observações censuradas, Villegas et al. (2011) eDesmond et al. (2012) que estenderam o modelo de Rieck e Nedelman (1991) para incluir efeitosaleatórios.

Portanto, assumimos que cada componente yij = log(tij) ∼ log-BS(α, µij), isto é, sua dis-tribuição marginal é dada por

f(yij) =1

α√2π

cosh

(yij − µij

2

)exp

−2

[1

αsenh

(yij − µij

2

)]2, yij ∈ IR, (2.1)

α > 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , si. Sem perda de generalidade, assumiremos experimentos balan-ceados si = s.

Defina, y = (y1⊤, . . . ,yn

⊤)⊤. Seja xij=(xij1, . . . , xijp)⊤ um vetor p dimensional com valores de

variáveis explicativas relacionadas aos parâmetros µij . Além disso, Xi=(xi1, . . . ,xis)⊤.

17

18 EQUAÇÕES DE ESTIMAÇÃO PARA MODELOS DE REGRESSÃO LOG-BS 2.2

2.2 Equações de estimação para a média

2.2.1 Derivação da função de estimação

Consideremos que as médias µij sejam modeladas tais que

µij = ηij = x⊤ijβ.

em que β = (β1, . . . , βp)⊤ é um vetor de parâmetros desconhecidos a serem estimados.

Iremos primeiramente construir uma função de estimação para modelos de regressão log-BS comestrutura longitudinal, utilizando a Definição 1.19. Com esse intuito é necessário determinar umafunção ui = ui(yi,β), com média zero, mutuamente independentes e que satisfaça às propriedadesdas funções de estimação regulares tal que u′

is sejam variáveis aleatórias. Propomos que a funçãou(·) seja obtida a partir da função escore.

Definindo ξij1 = 1αcosh

(yij−µij

2

)e ξij2 = 1

αsenh(yij−µij

2

), a função densidade de probabilidade

pode ser escrita da seguinte forma:

f(yij ;µij , α) =1√2πξij1 exp

−2ξ2ij2

, (2.2)

e o logaritmo da função de verossimilhança em função de µij fica dado por

l(µij ; yij) =1

2log(2π) + log(ξij1)− 2ξ2ij2.

Observe que,

∂ξij1∂µij

=1

αsenh

(yij − µij

2

)(−1

2

)= −1

2ξij2

e∂ξij2∂µij

=1

αcosh

(yij − µij

2

)(−1

2

)= −1

2ξij1.

Então,

∂l(µij ; yij)

∂µij=

1

ξij1ξij2

(−1

2

)− 4ξij2ξij1

(−1

2

)= − ξij2

2ξij1+ 2ξij1ξij2.

Ou podemos reescrever,

∂l(µij ; yij)

∂µij= −1

2tgh

(yij − µij

2

)+

2

α2senh

(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)= −1

2tgh

(yij − µij

2

)+

1

α2senh(yij − µij).

2.2 EQUAÇÕES DE ESTIMAÇÃO PARA A MÉDIA 19

Portanto, a função escore do parâmetro µij fica dada por,

Uµij = −1

2tgh

(yij − µij

2

)+

1

α2senh(yij − µij). (2.3)

Então, tomamos ui = (ui1, . . . , uis)⊤ com uij = Uµij para a proposta de obter a função de estimação

para o parâmetro de localização da distribuição log-BS. Desta forma, garantimos que a função escoreestá contida na classe L(ui). E ui é tal que E(uij) = 0. Mais detalhes ver o Apêndice A.

Assumindo a dependência entre as observações de uma mesma unidade amostral, os termos dafunção de estimação ótima na classe L para β, gerado por ui, são dados por

E(∂ui

∂β⊤

)⊤= X⊤

i Ni e Cov(ui) = Var(ui)1/2Corr(ui)Var(ui)1/2 = Σ1/2i Corr(ui)Σ

1/2i ,

sendo Ni = E(∂ui1∂µi

)= diag E(ui), . . . ,E(uis), com E(uij) = 1

4E

sech2(yij−µij

2

)− 1

2 − 1α2 ,

Corr(ui) é a verdadeira matriz de correlação entre as medidas ui1, . . . , uis, Σi = diag Var(ui1), . . . ,Var(uis) , com Var(uij) = E

14tgh2

(yij−µij

2

)+ 1

4+1α2 . Assim, a função de estimação linear ótima

para β fica dada por,

Ψ∗n(β) =

n∑i=1

X⊤i Ni Covi(ui)−1ui.

Os cálculos para obter a equação de estimação acima encontram-se no Apêndice B.1.Na prática, a verdadeira matriz de correlação é desconhecida. Pela proposta de Liang e Zeger

(1986), assumimos a existência do vetor ρ (ℓ×1) que caracteriza a matriz de correlação de trabalho,R(ρ). Logo, a função de estimação para β fica dada por,

Ψn(β) =

n∑i=1

X⊤i NiC

−1i ui =

n∑i=1

X⊤i WiN

−1i ui, (2.4)

em que Ci = Σ1/2i R(ρ)Σ

1/2i , Wi = NiC

−1i Ni e β denota a raiz de (2.4).

2.2.2 Algoritmo de estimação

Estimação de βPara encontrarmos o estimador β de β (fixados α e ρ) devemos resolver a seguinte equação de

estimação:

Ψn(β) = 0

ou, equivalentemente,

n∑i=1

X⊤i WiN

−1i ui = 0. (2.5)

Para determinar as raízes da equação (2.5), ou seja, o valor de β, utilizaremos o método de


Newton-Raphson modificado (veja Jørgensen et al. (1996)), expandindo a EEG dada na equação(2.4) em torno de um valor inicial β

(0), de forma que obtemos o seguinte processo iterativo:

β(m+1) = β(m) −

E[

∂

∂β⊤Ψn(β(m))

]−1

Ψn(β(m))

= β(m) −

n∑i=1

X⊤i NiCiNiXi

−(m) n∑i=1

X⊤i NiCiui

(m)

= β(m) −

n∑i=1

X⊤i WiXi

−(m) n∑i=1

X⊤i WiN

−1i ui

(m)

, (2.6)

sendo m = 0, 1, 2, . . . o número de iterações e Wi = NiCiNi. As estimativas α e ρ são fornecidasinicialmente e modificadas separadamente a cada passo do processo iterativo.

A equação (2.6) reescrita na forma do processo iterativo de mínimos quadrados reponderadosfica expressa por

β(m+1) =

[

n∑i=1

X⊤i WiXi

]−1 [ n∑i=1

X⊤i Wizi

](m)

, (2.7)

que emprega uma matriz de pesos Wi e uma variável dependente modificada zi, sendo zi = ηi −N−1i ui.

Estimação de αApresentamos a seguir dois estimadores que podem ser utilizados para estimar o parâmetros α.

i) Estimador baseado na função de verossimilhança

Sob a hipótese de independência entre as observações de um mesmo indivíduo e dado β, afunção escore do parâmetro α fica dada por

Uα =

n∑i=1

s∑j=1

1

α

4

α2senh2

(yij − µij

2

)− 1

,

o estimador de α é a solução da equação Uα = 0 e é dado por,

α =

√√√√∑ni=1

∑sj=1

4 senh2

(yij−µij

2

)ns

. (2.8)

ii) Método dos momentos modificados

Também assumindo a hipótese de independência entre as observações de um mesmo indivíduo,o método dos momentos modificados consiste em igualar E(T ) e E(T−1) aos seus respecti-vos momentos amostrais. Sejam t1, t2, ...tn uma amostra aleatória de tamanho n de uma

distribuição BS. Defina, r1 = 1ns

∑ni=1

∑sj=1 tij e r2 =

1ns

∑ni=1

∑sj=1 t

−1ij

−1o estimador


obtido pelo método dos momentos modificados fica dado por,

α =

2

[(r1r2

)1/2

− 1

]1/2

e possui distribuição limite dada por, α ∼ N(α, α

2

2ns

). Maiores detalhes ver Ng et al. (2003).

Estimação de ρConsiderando a estrutura de correlação desconhecida, ρ será um vetor com s(s − 1)/2 compo-

nentes, em que ρjk, corresponde à correlação entre uij e uik e precisa ser estimado.Liang e Zeger (1986) ressaltam que para qualquer estrutura da matriz de correlação de trabalho,

R(ρ), utilizada, β e J−1n serão consistentes. A eficiência cresce quanto mais próxima da verdadeira

matriz de correlação estiver a escolha da matriz de correlação de trabalho.Artes (1997) propõe estimadores para algumas estruturas usadas para definir R(ρ).

Vamos supor então que R(ρ) = Rj,l(ρ) para j = 1, . . . , s. Em particular se R(ρ) é permutávelentão, Rjl(ρ) = ρ,∀j = l e 1 ≤ j, l ≤ t, Rjl(ρ) = 1 para j = l. Então, a estimativa de ρ fica dadapor

ρ =

(∑n

i=1

∑nj>l uij uil)

(∑n

i=1

∑nj>l u

2ij)

ns12ns(s− 1)

=

(∑n

i=1

∑nj>l uij uil)

(∑n

i=1

∑nj>l u

2ij)

2

(s− 1)

. (2.9)

Se a estrutura de correlação assumida for autoregressiva de primeira ordem, AR(1), então, Rjl(ρ) =

ρ|j−l|, 1 ≤ j, l ≤ t. Nesse caso, a estimativa de ρ fica dada por

ρ =

(∑n

i=1

∑s−1j=1 uij uij+1

)(∑n

i=1

∑s−1j=1 u

2ij

∑ni=1

∑sj=2 u

2ij

)1/2 . (2.10)

Quando a matriz de correlação é não estruturada, ou seja, Rjl(ρ) = ρjl, utiliza-se o estimador dadopor,

ρjl =

(∑n

i=1 uij uil)(∑ni=1 u

2ij

)1/2 (∑ni=1 uil

2)1/2

. (2.11)

Os passos do processo iterativo para obter as estimativas de β, α e ρ ficam dados por:

Processo iterativo

1) Para determinar o chute inicial do processo iterativo, β(0), supomos independência entreas observações da mesma unidade experimental e ajustamos um modelo log-BS;2) para determinar valor inicial para α(0), utilizamos β(0) e estimamos α utilizando a equação(2.8) e estimamos ρ a partir de alguma estrutura de correlação;3) atualizamos β de (2.7);4) atualizamos α, de (2.8) e ρ da estrutura de correlação selecionada;5) repetimos os 3-4 até a convergência.


2.2.3 Inferência

Como ressaltamos anteriormente, na prática, a verdadeira matriz de correlação não é conhecida.O Teorema 2.1, dado em Artes (1997) (Teorema 6, p. 47) apresenta condições suficientes paraassegurar que β, obtido a partir de 2.4, (ou seja, solução de Ψn(β) = 0,) é um estimador consistentee assintoticamente normal de β.

Teorema 2.1 Seja β a raiz de 2.4, sob condições gerais de regularidade, e assumindo que

a) ρ(β, α) é um estimador√n-consistente de ρ, isto é, ||ρ(β, α)− ρ|| = Op(n

−1/2);

b) α(β) é um estimador√n-consistente de α;

c) ||∂ρ(β, α)/∂α|| ≤ H(y,β), sendo H(y,β) uma função Op(1), então temos que β é um esti-mador consistente de β e

√n(βn − β)

D−→ Np(0,J−1),

com J = limn−→∞Jn/n, sendo Jn a matriz de informação de Godambe de β associada à ψ(·)e dada por

Jn =

n∑i=1

Si

n∑i=1

Vi

−1 n∑i=1

Si

.

Os cálculos detalhados para a obtenção de Si(β) e Vi(β) são obtidas no Apêndice B.1.Artes (1997) ressalta que a matriz de variância-covariância não precisa ser a verdadeira para que

os resultados assintóticos do teorema sejam válidos, embora estar corretamente especificada podegerar resultados mais eficientes.

A matriz de variância-covariância de β pode ser consistentemente estimada por

J−1n =

(n∑i=1

Si

)−1( n∑i=1

X⊤i NiC

−1i uiu

⊤i C

−1i NiXi

)(n∑i=1

Si

)−⊤

,

conhecido como estimador robusto, empírico ou sanduíche.Se também a matriz de correlação entre as observações ui1, . . . , uis estiver especificada cor-

retamente, então o estimador se reduz a J−1n =

∑ni=1 Si

−1, chamado de estimador naive. O

estimador robusto apresenta a vantagem de ser sempre consistente, enquanto que o estimador naiveé consistente quando o 0ã o está corretamente especificado, a matriz de correlação de trabalhotambém deve estar correta. Em contrapartida, Firth (1992) destaca que o estimador naive é maiseficiente e Prentice (1988) conclui que para pequenas amostras o estimador naive possui melhorespropriedades.

Segundo Johnston (1996), uma indicação que a matriz R(ρ) é adequada ocorre quando asestimativas naive e robusta são próximas.

Para avaliar o teste de hipóteses H0 : Aβ = 0 contra H1 : Aβ = 0, em que A é uma matriz(r × p) de rank r (r ≤ p), pode ser aplicado um teste tipo-Wald cuja respectiva estatística é dada


por ξW = β⊤A⊤JnAβ. Para grandes amostras e sob as usuais condições de regularidade segue que

ξW ∼ χ2r , em que χ2

r denota a distribuição qui-quadrado com r graus de liberdade.

2.2.4 Estudo de simulação

Nesta seção, descrevemos um estudo de simulação para avaliar o desempenho dos estimadoresdos parâmetros do modelo. Para gerar os dados, assumimos que yi = (yi1, . . . , yis)⊤ segue umadistribuição multivariada log-BS, como descrito em Kundu et al. (2013), com vetor parâmetro delocalização µi = (µi1, . . . , µis)

⊤, parâmetro de forma α e correlação ρ, para i = 1, . . . , n. Em adição,o componente sistemático é dado por

µij = β0 + β1xij ,

em que xij ’s denotam valores fixos gerados de uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1], parai = 1, . . . , n e j = 1, . . . , s. Consideramos estruturas de correlação, autorregressiva de primeiraordem e permutável. Os valores para os parâmetros são β0 = 4, β1 = −2, α = 0, 5 e ρ = 0, 3, 0, 6 e0, 9, tamanhos amostrais n = 10, 20, 50 e 80 e s = 3, 5 e 10. O viés relativo (VR) de βj é estimadocomo 100×|βj−βj |/βj , com βj = R−1

∑Rr=1 β

(r)j , com β

(r)j sendo a estimativa EEG de βj na r-ésima

réplica, para j = 0, 1, . . . , R, e o erro quadrático médio (EQM) é dado por R−1∑R

r=1(βj − β(r)j )2.

Consideramos para cada cenário R = 5000 réplicas.As tabelas com os resultados do estudo de simulação estão no Apêndice C. Na Tabela C.1 são

apresentados os resultados do estudo de simulação quando geramos dados com estrutura de cor-relação autorregressiva de primeira ordem e utilizamos a mesma estrutura para ajustar os dadosgerados e obter as estimativas, ou seja, escolhemos a estrutura de correlação correta. Na Tabela C.2é obtida da mesma forma mas substituindo a estrutura de correlação autorregressiva de primeiraordem pela estrutura permutável. Finalmente, na Tabela C.3 encontram-se os resultados obtidosquando existe uma má especificação da estrutura de correlação, em que geramos dados com es-trutura de correlação autorregressiva de primeira ordem e ajustamos considerando uma estruturapermutável.

Podemos observar nas Tabelas C.1 e C.2 que os vieses relativos de β0 e β1 são em geral menoresdo que 0, 2% e apresentam valores muito aproximados de β0 e β1, respectivamente. É importantesalientar que quando aumentamos o número de observações em cada indivíduo, s (tamanho docluster), o VR diminui. Quando analisamos as estimativas α percebemos que vão para os valoresverdadeiros mais lentamente. Mas, em geral, temos boas aproximações para n = 80, em todos oscenários. As estimativas de ρ também vão para os valores verdadeiros à medida que n aumenta(Tabelas C.1 e C.2).

Na Tabela C.3 observamos comportamentos semelhantes no que diz respeito as estimativas dosparâmetros β0, β1 e α. Entretanto, quando ocorre uma má especificação da estrutura de correlaçãotemos um distanciamento do valor verdadeiro de ρ estimado independente do tamanho da amostra.

Os erros quadráticos médios de β0 e β1 são, em geral, menores do que 0, 1 e decrescem quandon cresce (para s e ρ fixos) e quando s cresce (para n e ρ fixos).O erro quadrático médio de α bemcomo das estimativas β0 e β1 decresce quando n cresce ou s cresce, entretanto, cresce quando ρ

cresce.


2.2.5 Métodos de diagnóstico

Para que a seleção do modelo seja feita de forma adequada são propostos diversos métodoscom intuito de verificar a qualidade do ajuste. Os objetivos dos procedimentos de diagnóstico sãoavaliar a existência de afastamento das suposições feitas inicialmente para o modelo, bem comodetectar observações discrepantes, especialmente, pontos influentes e outliers. Essas observaçõespodem exercer grande influência sobre as estimativas dos parâmetros e em algumas situações podemcausar alterações inferenciais.

Já existe na literatura uma série de métodos de diagnóstico para modelos desenvolvidos a par-tir da abordagem EEGs. Barnhart e Williamson (1998) propuseram testes robustos de bondade deajuste para o método EEGs com respostas binárias. Horton et al. (1999) propuseram testes pararespostas binárias repetidas usando decis de risco. Embora facilmente interpretável, Oh et al. (2008)chamam atenção para o fato do método proposto por Horton et al. (1999) não conseguir detectarimportantes afastamentos do ajuste testando apenas covariáveis que estão no modelo. Lee e Qaqish(2004) apresentaram uma aproximação para respostas binárias repetidas em uma abordagem EEGsmodificadas que substitui a matriz de covariância por uma matriz baseada em distribuição multi-nomial. Park e Lee (2004) propuseram gráficos de resíduos para investigar o ajuste do modelo paradados de medidas repetidas normalmente distribuídos. Os gráficos dos resíduos são baseados em grá-ficos quantil-quantil (Q-Q) de uma distribuição qui-quadrado e então Oh et al. (2008) estenderamos métodos propostos por Park e Lee (2004) para modelos baseados em EEGs com dados discretos.Esta metodologia é particularmente útil para comparar diversos modelos simultaneamente.

Venezuela et al. (2007), com o objetivo de analisar dados longitudinais discretos e contínuos, ge-neralizaram medidas bem conhecidas: matriz de projeção, a distância de Cook e resíduos padroniza-dos desenvolvidos para respostas independentes. Os autores propuseram ainda uma aproxima-ção gráfica para identificação de outliers usando gráficos meio-normal e simulando envelopes.Venezuela et al. (2011) descrevem medidas de influência local para equações de estimação gene-ralizadas.

Vens e Ziegler (2012) recomendam a utilização de EEGs num ensaio clínico longitudinal comouma alternativa para a análise padrão, salientando que as técnicas de diagnóstico para EEGs devemacompanhar a análise, os autores utilizam diagnósticos de deleção padrão e gráficos de resíduosaplicando uma abordagem para as parcelas meio-normais com envelopes simulados.

Neste trabalho, vamos discutir algumas extensões dos procedimentos desenvolvidos por Venezuela(2008) para os modelos estudados. As medidas de diagnóstico são construídas a partir dos processositerativos reponderados usados para estimar parâmetros de regressão.

Análise de resíduos

Uma vez que a função de verossimilhança não é conhecida para os modelos propostos, os resíduosde componentes quantílicos e desvio não são possíveis de ser avaliados, a não ser para os modelosmarginais, por isso vamos derivar um tipo de resíduo de Pearson. Na convergência do processoiterativo (2.7) obtemos

β = (X⊤WX)−1X⊤Wz,


em que X = [X⊤1 , . . . ,X

⊤n ]

⊤ é a matriz modelo (∑s× p), W = diagW1, . . . ,Wn é (

∑s×

∑s)

matriz de pesos, enquanto z = (z⊤1 , . . . , z⊤n )

⊤ com zi = Xiβ −N−1i ui sendo uma pseudo-resposta

para o i-ésimo grupo, para i = 1, . . . , n. Portanto, β pode ser interpretada como uma solução demínimos quadrados da regressão linear de W1/2z tendo como matriz de planejamento W1/2X.

Por conseguinte, a matriz de projeção ortogonal de z sobre o subespaço vetorial gerado pelascolunas de W1/2X passa a ser dada por

H = diagH1, . . . , Hn,

com Hi = W12i Xi(X

⊤WX)−1X⊤i W

12i , Hi sendo uma matriz (

∑s ×

∑s), para i = 1, . . . , n. E

assim, os elementos da diagonal principal da matriz Hi, denotados por hijj , j = 1, . . . , s, podem serconsiderados medidas individuais de influência. Também, podemos construir medidas de influênciade grupos como hi =

∑sj=1 hijj/s, para i = 1, . . . , n. Os gráficos de hijj e hi contra os índices das

observações podem ser úteis para revelar observações (ou grupos de observações) com alta influêncianos próprios valores preditos.

Resíduos ordinários podem ser definidos como

ri = W1/2i zi − W

1/2i Xiβi

= W12i (zi −Xiβi).

Portanto,rij = e⊤i W

12i (zi −Xiβi),

em que ei é um vetor (∑s × 1) de zeros com 1 na j-ésima posição. Também podemos escrever

rij = W1/2i zi −HiW

12i zi. Similarmente, definimos uma versão do resíduo padronizado

trij =e⊤i W

12i (zi −Xiβ)√1− hijj

para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , s. O gráfico normal de probabilidade para trij pode revelar observaçõesoutliers, bem como a adequação do modelo proposto.

Para analisar o comportamento dos resíduos conduzimos um estudo de simulação baseado em5000 amostras geradas a partir da distribuição multivariada log-BS com estrutura de correlaçãoAR-1. Uma vez que os dados foram gerados ajustamos o modelo usando o método EEG e obtive-mos os resíduos. Na Tabela 2.1, apresentamos algumas medidas para descrever os resíduos: média,desvio padrão, coeficiente de assimetria e curtose e a estatística de teste de bondade de ajuste deKolmogorov-Sminorv para avaliar a normalidade nos resíduos. Podemos notar que os resíduos têmmédia próxima a zero, desvio padrão próximo a um, assimetria próxima a zero e curtose próximasde três. As Figuras 2.1 e 2.2 apresentam gráficos normais de probabilidade com respectivamente,n = 50 e 100. A partir desses gráficos e das medidas descritivas temos que os resíduos têm dis-tribuição aproximadamente normal. Comportamento similar foi obtido para outras estruturas decorrelação.


−2 −1 0 1 2

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=3

ρ =0.3

−2 −1 0 1 2

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=3

ρ =0.6

−2 −1 0 1 2

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=3

ρ =0.9

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=5

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=5

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=5

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=10

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

02

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=10

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil a

mo

str

al

s=10

Figura 2.1: Gráficos normais de probabilidade para os resíduos padronizados para modelos log-BS ajustadosvia EEGs com amostras de tamanho n = 50.


−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=3

ρ =0.3

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=3

ρ =0.6

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=3

ρ =0.9

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=5

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=5

−3 −2 −1 0 1 2 3

−3

−2

−1

01

23

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=5

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−2

02

4

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=10

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−2

02

4

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=10

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−2

02

4

Percentil da N(0,1)

Pe

rce

ntil

am

ost

ral

s=10

Figura 2.2: Gráficos normais de probabilidade para os resíduos padronizados para modelos log-BS ajustadosvia EEGs com amostras de tamanho n = 100.


Tabela 2.1: Medidas resumo da distribuição empírica dos resíduos tipo-Pearson padronizados do estudo desimulação no qual os dados foram gerados da distribuição BS com estrutura de correlação AR(1) e ajustadosob o modelo log-BS-EEG com a mesma estrutura de correlação.

n = 50 n = 100

ρ s =3 s =5 s =10 s =3 s =5 s =10Média -0,0001 -0,0001 < 0, 0001 -0,0001 0,0002 < 0, 0001

Desvio Padrão 1,0015 0,9876 0,9997 1,0005 0,9999 0,99970,3 Assimetria 0,0102 -0,0011 0,0002 -0,0079 0,0039 0,0041

Curtose 3,3707 3,4937 3,6100 3,5457 3,6320 3,7036Estatística 0,0183 0,0174 0,0173 0,0174 0,0180 0,0174

Média -0,0002 -0,0002 0,0002 -0,0003 0,0001 -0,0001Desvio Padrão 0,9997 0,9992 0,9983 0,9995 0,9987 0,9993

0,6 Assimetria 0,0025 0,0013 0,0070 -0,0073 0,0048 0,0008Curtose 3,3799 3,5060 3,6099 3,5499 3,6013 3,7242

Estatística 0,0182 0,0182 0,0165 0,0178 0,0168 0,0165Média -0,0004 0,0006 0,0002 0,0001 0,0001 -0,0001

Desvio Padrão 0,9876 0,9886 0,9912 0,9927 0,9926 0,99600,9 Assimetria -0,0011 -0,0051 -0,0016 0,0032 0,0039 -0,0053

Curtose 3,3688 3,4329 3,5094 3,5438 3,5644 3,5849Estatística 0,0199 0,01701 0,0152 0,0182 0,0162 0,0137

Distância de Cook

Distância de Cook (Cook (1977)) é a medida de influência mais popular desenvolvida origi-nalmente para modelos lineares para avaliar o efeito de excluir observações individuais sobre asestimativas de regressão. Pregibon (1981) estendeu o procedimento para modelos lineares genera-lizados pela introdução de uma aproximação de um passo para a obtenção de uma distância deCook aproximada, enquanto Venezuela et al. (2007) aplica esse procedimento em equações de esti-mação generalizadas. Do processo iterativo (2.7), após algumas manipulações algébricas, obtemosa seguinte aproximação de um passo:

β(1)(ij) = β − rij

(1− hijj)

√ωij(X

⊤WX)−1xij ,

em que β(1)(ij) denota a aproximação para a estimativa β(ij), em que β(ij) é a estimativa do vetor

paramétrico após remover a j-ésima medida da i-ésima unidade experimental. Então, a distânciade Cook aproximada é dada por

Cij =1

p(β

(1)(ij) − β)

⊤(X⊤WX)−1(β(1)(ij) − β)

=1

pr2ij

hijj

(1− hijj).

O gráfico de índices de Cij pode revelar as observações influentes em β.


Influência conformal

Cook (1986) introduziu o método de influência local como uma maneira geral de investigara influência local dos casos. Influência local é um procedimento que tem como principal objetivoanalisar o efeito de pequenas perturbações no modelo ou nos dados. Cadigan e Farrell (2002) gene-ralizaram a abordagem de influência local de Cook (1986) e descreveram medidas de influência localque permitem avaliar o deslocamento de qualquer função de ajuste, como por exemplo a funçãode quase-verossimilhança. Venezuela et al. (2011), seguindo a proposta de Cadigan e Farrell (2002),desenvolveram medidas de influência local para equações de estimação generalizadas, definidas paramodelos da regressão da média com medidas repetidas ou dados longitudinais.

Cadigan e Farrell (2002) descreveram a medida de influêncial local avaliando uma função deajuste F(θ) que é duas vezes diferenciável em θ e que a estimativa de θ, denotada θ, é solução de

Ψ(θ) =

[F(θ)

θ

] ∣∣∣∣θ=ˆθ

= 0.

De forma que a medida de afastamento da função de ajuste é a diferença entre a função de ajustee a função de ajuste perturbada, F(βω), e fica dada por FDω = 2F(β) − F(βω), com ω =

(ω1, . . . , ωq)⊤ sendo o vetor de perturbação e βω é a estimativa que maximiza a função de ajuste

perturbada.Então, Venezuela (2008), considerando a função Ψ(β), o vetor gradiente de uma função ajuste,

propôs uma medida de influência local para equação de estimação definida por dmax correspondendoao maior autovalor da matriz

B = −∆⊤S−1∆,

em que

∆ =∂Ψ(θ|ω)∂ω⊤ e S = E(F) = E

(∂Ψ(θ)

∂θ⊤

)(2.12)

com θ = θ e ω = ω0. Poon e Poon (1999) propuseram estudar a curvatura normal conformal nadireção d, no ponto ω0 pertencente ao gráfico de α por

Bd = − d⊤∆⊤F−1∆d√tr(∆⊤F−1∆)2

.

A exemplo de Cadigan e Farrell (2002) e Venezuela (2008) vamos considerar o valor esper-ado E(F) = S, uma vez que nem sempre é fácil determinar F . Baseado em Venezuela (2008) ePoon e Poon (1999), a medida de influência local conformal será determinada por

Bd = − d⊤∆⊤S−1∆d√tr(∆⊤S−1∆)2

.

Aqui, apresentamos a matriz ∆ para três esquemas de perturbação, a saber: ponderação de casos,perturbação na variável resposta e perturbação na variável explicativa.


i) Ponderação de casosA função de estimação estudada é dada por,

Ψ(β) = X⊤WN−1u,

então, para o esquema de perturbação de ponderação de casos, a equação de estimação fica dadapor

Ψ(β|ω) = X⊤WN−1diag(ω)u, (2.13)

em que ω = (ω⊤1 , . . . ,ω

⊤n )

⊤ com ωi = (ωi1, . . . , ωis)⊤, i = 1, . . . , n e o vetor que representa a

ausência de perturbação, ω0 que nesse caso, assume 1 para todo i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , s.

Então,

∆ =∂Ψ(β|ω)∂ω⊤ = X⊤WN−1diag(u) (2.14)

avaliados em θ = (α, β⊤)⊤ e ω = ω0.

ii) Perturbação da variável respostaConsideramos aqui que cada yij é perturbado da seguinte forma:

yωij = yij + ωijsyij , (2.15)

em que ωij = 0, ∀i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , s denota a ausência da perturbação e syij pode serestimado por

√Var(yij). A função de estimação perturbada assume a forma,

Ψ(β|ω) = X⊤WN−1uω,

em que uω = (uω1, . . . ,uωn)⊤ e o vetor perturbado da variável resposta para a i-ésima unidade

experimental é uωi = (uωi1, . . . , uωis)⊤ com

uωij = −1

2tgh

(yωij − µij

2

)+

1

α2senh(yωij − µij). (2.16)

Observe que o índice ω indica que o vetor u depende da perturbação definida em (2.15). Salientamosque daqui em diante, sempre que um vetor ou matriz possuir índice ω queremos dizer que o mesmodepende do esquema de perturbação que estiver sendo discutido.

Então, nesse caso,

∆ =∂Ψ(β|ω)∂ω⊤ = X⊤WN−1 ∂uω

∂ω⊤ ,

avaliados em θ = (α, β⊤)⊤ e ω0. Sendo a forma matricial, ∂u

∂ω⊤ = U com U = diagU1, . . . , Un

,

em que Ui = diag∂uωi1∂ωi1

, . . . , ∂uωis∂ωis

com

∂uωij∂ωij

=

[1

α2cosh(yωij − µij)−

1

4sech2

(yωij − µij

2

)]syij . (2.17)


iii) Perturbação em uma covariávelConsideramos o esquema de perturbação aditiva para k-ésima coluna da matriz X (assumida

contínua). Então, cada componente de xωk é dada por

xωijk = xijk + ωijsxk, (2.18)

em que σxk é o desvio padrão de xk. Portanto,

µωij = β1xij1 + β2xij2 + . . .+ βk(xijk + ωijksxk) + . . .+ βpxpij .

Observe que podemos escrever

Ψ(β) = X⊤NC−1u,

com C = Σ12R(ρ)Σ

12 .

Então, a equação de estimação perturbada fica dada por

Ψ(β|ω) = X⊤ωNωC

−1ω uω,

com C = Σ12ωR(ρ)Σ

12ω . Portanto,

∂Ψ(µ|ω)∂ωij

= X⊤ωNω

[∂C−1

ω

∂ωijuω +C−1

ω

∂uω∂ωij

]+

[∂X⊤

ω

∂ωijNω +X⊤

ω

∂N−1ω

∂ωij

]C−1ω uω, (2.19)

em que

∂C−1ω

∂ωij= −C−1

ω

∂Cω

∂ωijC−1ω ,

com Cω = Σ1/2ω RΣ

1/2ω .

Então, precisamos das derivadas de Nω, Cω e uω em relação a ω⊤. Temos que,

∂Nω

∂ωij=∂Cω

∂ωij= 0.

No Apêndice B detalhamos os cálculos para obter os resultados aqui apresentados. E temos

∂uωij∂ωij

=

1

4sech2

(yij − µωij

2

)− 1

α2

[1 + 2 senh2

(yij − µωij

2

)]sxk.

Portanto,

∂Ψ(µ|ω)∂ωij

= X⊤ωNωC

−1ω

∂uω∂ωij

+∂X⊤

ω

∂ωijNωC

−1ω uω,

avaliados em θ = (α, β⊤)⊤ e ω0.


2.2.6 Aplicação

Consideremos o conjunto de dados descrito em Munnell (1990) sobre a produtividade de capitalpúblico dos 48 estados norte-americanos contíguos de 1970 a 1986. Esse conjunto de dados foianalisado por Greene (2012) e Manghi et al. (2016), respectivamente, considerando os modelos:normal linear e modelos lineares mistos elípticos. Vamos analisar novamente esse conjunto de dadosatravés do ponto de vista de equações de estimação generalizadas. Em particular, iremos investigara relação entre produto interno bruto (PIB) e o capital das empresas de saneamento básico (CESB)através dos anos. Sejam ti = (ti1, . . . , ti17)⊤ e xi = (xi1, . . . , xi17)

⊤ os valores do PIB e do CESB,respectivamente, para o i-ésimo estado continental dos Estados Unidos da América durante 17anos, com i = 1, . . . , 48. Na Figura 2.3 (esquerda) está a densidade do PIB, ignorando os valores davariável explicativa CESB. Observamos que há uma indicação de distribuição assimétrica à direita,enquanto a Figura 2.3 (direita) sugere uma tendência linear entre o logaritmo natural de CESB e ologaritmo natural do PIB. Na Figura 2.4 observa-se que o PIB aumenta com o aumento do capitaldas empresas de saneamento básico. Não tem-se evidência que a iteração do ano com o aumento docapital das empresas de saneamento básico tenha efeito sobre o PIB. Devido à estrutura de sériestemporais dos dados, vamos assumir uma estrutura de correlação autoregressiva de primeira ordementre as respostas de cada estado.

0 100 200 300 400 500

0.00

00.

002

0.00

40.

006

0.00

80.

010

0.01

20.

014

GSPx 10−3

Den

sida

de

6 7 8 9 10

23

45

6

log(CESB)

log(

PIB

/100

0)

Figura 2.3: Densidade do PIB (esquerda) e dispersão entre o logaritmo natural do CESB e o logaritmonatural do PIB (direita).

Propomos, para analisar os dados, o seguinte modelo:

(i) yij ∼ log-BS(α, µij),

(ii) µij = β0 + β1log(xij),

(iii) Ri = Ri(ρ) com Rijj′ = 1, para j = j′, e Rijj′ = ρ|j−j′|, se j = j′,

em que yij = log(tij), µij e α > 0 denotam, respectivamente, a média e o parâmetro de forma, parai = 1, . . . , 48 e j = 1, . . . , 17. Esse é um modelo log-BS com estrutura de correlação AR-1, que iremosdenominar modelo log-BS-EEG. A Tabela 2.2 apresenta as estimativas dos parâmetros, obtidosutilizando equações de estimação generalizadas, cujos os coeficientes são altamente significativos.

Os gráficos índices de |Bdmax| para os esquemas de perturbação: ponderação de casos, pertur-bação da variável resposta, perturbação individual da covariável são apresentados na Figura 2.5.


6 7 8 9

23

45

1970

log(CESB)

log(

PIB

/100

0)

6 7 8 9 10

23

45

1975

log(CESB)

log(

PIB

/100

0)

6 7 8 9 10

23

45

6

1980

log(CESB)

log(

PIB

/100

0)

6 7 8 9 10

23

45

6

1985

log(CESB)

log(

PIB

/100

0)

Figura 2.4: Dispersão entre o logaritmo natural do CESB e o logaritmo natural do PIB nos anos 1970,1975, 1980 e 1985.

Como podemos verificar as observações #(7, 3), #(17, 8), #(17, 9), #(17, 10), #(39, 16) e #(39, 17)

são classificadas como potencialmente influentes. A Tabela 2.3 mostra as mudanças relativas (MR)das estimativas após excluir os indivíduos com observações que são consideradas potencialmenteinfluentes. Os valores p para as novas estimativas estão entre parênteses. A MR (em porcentagem)para cada parâmetro estimado é definido por: MRj = [βj − βj(I)]/βj × 100%, com βj(I) denotandoo estimador de βj após o conjunto I de observações ser removido. Observe que MR < 2, 3% paratodas as estimativas do modelo e não ocorre mudança inferencial.

Da Figura 2.6 (esquerda) podemos perceber que os resíduos padronizados, em geral, estão nointervalo [-2,2]. O gráfico normal de probabilidades com o envelope gerado, apresentado na Figura2.6 (direita) para os resíduos padronizados não apresentam indícios de afastamentos da distribuiçãoassumida. Portanto, é razoável assumir que marginalmente tij ∼ BS(α, ηij), com ηij = xij

β1eβ0

denotando a mediana do PIB no i-ésimo estado continental do Estados Unidos no j-ésimo ano.Portanto, das estimativas dadas na Tabela 2.2, podemos concluir que para mudança de uma unidadeno log(CESB) a mediana do PIB muda aproximadamente e0,744 = 2, 105 (105%).

Realizamos também uma nova análise dos dados em estudos utilizando modelos mistos desen-volvidos na Tese de Villegas (2010). Consideramos então o modelo log-BS misto dado por:

yij |biind∼ log-BS(α, µij),

biiid∼ N(0, ζ),


0 200 400 600 800

0.0

00

.02

0.0

40

.06

Unidade Experimental

Dis

tân

cia

de

Co

ok

(a)

(4,17)

(7,3)

0 200 400 600 800

0.0

00.0

20.0

40.0

6


Curv

atu

ra C

onfo

rmal

(b)

(7,3)

(17,9)

(17,10)(39,17)

0 200 400 600 800

0.0

00

0.0

01

0.0

02

0.0

03

0.0

04

0.0

05

0.0

06


Curv

atu

ra C

onfo

rmal

(c)

(7,3)(17,8) (39,16)

(39,17)

0 200 400 600 800

0.0

00

0.0

01

0.0

02

0.0

03

0.0

04

0.0

05

0.0

06


Curv

atu

ra C

onfo

rmal

(d)

(7,3)

(17,8)(39,16)

(39,17)

Figura 2.5: Gráfico da distância de Cook (a) e gráficos de influência local conformal segundo os seguintesesquemas de perturbação: ponderação de casos (b), perturbação da variável resposta (c) e perturbação indi-vidual das covariáveis(d).

Tabela 2.2: Estimativas dos parâmetros e erros padrão aproximados para o modelo log-BS-EEG ajustadoaos dados sobre produtividade de capital público.

Modelo log-BS-EEGParâmetro Estimativa Erro padrão z-robusto valor pβ0 4,848 0,264 18,36 < 0, 01β1 0,744 0,035 21,26 < 0, 01α 0,236ρ 0,979


0 200 400 600 800

−4

−2

02

4


Re

síd

uo

Pa

dro

niz

ad

o

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4−2

02

4

Percentil N(0,1)

Res

íduo

Pad

roni

zado

Figura 2.6: Gráfico de resíduos de Pearson padronizados (esquerdo) e gráfico normal de probabilidadespara o resíduo de Pearson padronizado (direito) referente ao modelo log-BS-EEG gerado aos dados sobreprodutividade do capital público.

Tabela 2.3: MR (em %) e correspondentes valores p entre parênteses.

Coeficientes Indivíduos excluídosestimados 7 4 17 39β0 -0,8561 2,2530 -1,2413 -0,2648

(< 0, 01) (< 0, 01) (< 0, 01) (< 0, 01)β1 0,7946 -2,1383 1,2079 0,2907

(< 0, 01) (< 0, 01) (< 0, 01) (< 0, 01)α 0,3423 0,2621 -1,6162 -0,4033ρ 0,0857 -0,0003 -0,0271 -0,0283


Tabela 2.4: Estimativas dos parâmetros e erro padrão aproximado para o modelo log-BS misto ajustado apartir do banco de dados em estudo.

Modelo log-BS mistoParâmetro Estimativa Erro padrão z-robustoβ0 4,4075 0,0337 130,6466 < 0, 01β1 0,8040 0,0045 179,8883 < 0, 01α 0,0899

0 200 400 600 800

−4

−2

02

4

Cases

RM

D

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

02

4

Theoretical quantiles

Sa

mp

le Q

ua

ntil

es

Figura 2.7: Gráficos dos resíduos tipo Martingale (esquerda) e gráfico normal de probabilidades (direita)para o modelo log-BS de intercepto aleatório gerado aos dados sobre produtividade do capital público.

em que yij é o logaritmo do PIB do i-ésimo estado americano no j-ésimo tempo, µij = µ+ bi+β0+

β1 em que bi representa o efeito aleatório associado ao i-ésimo estado americano. As estimativasde máxima verossimilhança dos parâmetros do modelo foram calculadas baseadas no logaritmoda função de verossimilhança, aproximada pela quadratura de Gauss Hermite com 50 pontos dequadratura, e foi empregado o algoritmo de quase-Newton, detalhes ver Villegas (2010) Os resultadosdas estimativas são apresentados na Tabela 2.4, e temos ainda ζ = 0, 0456 e ρ = 0, 9577. Na Figura2.7 apresentamos uma análise de resíduos tipo martigale.

Comparando os gráficos de resíduos nas Figuras 2.6 e 2.7, respectivamente, obtidos utilizandoa abordagem EEG e a abordagem de modelos mistos e a Figura 2.8 concluimos que que a análisede dados utilizando metodologia EGG é mais adequada para os dados em estudo devido ao com-portamento dos resíduos.


−3 −2 −1 0 1 2 3

−2

02

4

Theoretical quantiles

Sa

mp

le Q

ua

ntil

es

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4

−3

−2

−1

01

2

Theoritical quantiles

Sa

mp

le q

ua

ntil

es

Figura 2.8: Gráfico normal de probabilidades para o modelo log-BS de intercepto aleatório (esquerda) eGráfico normal de probabilidades para o modelo log-BS-EEG (direita) gerados aos dados sobre produtividadedo público.


Capítulo 3

Equações de Estimação para modelos deregressão log-BS-t

Com o intuito de produzir estimativas menos sensíveis a observações aberrantes, Barros et al.(2008) apresentaram modelos BS-t, que surgem como caso particular da distribuição BSG. Baseadosem Barros et al. (2008) propomos, neste capítulo, a abordagem de equações de estimação genera-lizadas para os parâmetros de um modelo log-BS-t com dados correlacionados de forma que osestimadores obtidos sejam consistentes e assintoticamente normais. Essas equações são obtidas con-siderando inicialmente a modelagem da média, supondo homogeneidade do parâmetro de forma.Seguimos a metodologia do Capítulo 2, desenvolvemos o processo iterativo e métodos de diagnósticocomo resíduos, distância de Cook e influência local. Por fim, analisamos um conjunto de dados re-lativo a um estudo realizado na Escola de Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo(USP) no primeiro semestre de 2016, em que 70 corredores foram avaliados em corridas em esteirasem três períodos. A análise foi feita sob a perspectiva de EEGs considerando os modelos log-BS elog-BS-t.

3.1 Notação

Assim, como no Capítulo 2, consideramos uma amostra aleatória de n unidades amostrais,t1, . . . , tn, em que ti = (ti1, . . . , tisi)

⊤, com tij ∼ BS−t(α,β∗ij , ν). Então, dada uma amostra aleatóriade n unidades amostrais, y1, . . . ,yn, com yi = (yi1, . . . , yisi)

⊤, assumimos que cada componenteyij = log(tij) segue a distribuição log-BS-t(α, µij , ν) cuja função densidade de probabilidade de yijfica dada por

f(yij , µij , α) = c(ν)1

αcosh

(yij − µij

2

)1 +

1

ν

[2

αsenh

(yij − µij

2

)]2−( ν+12 )

,

em que

c(ν) =Γ(ν+12

)(νπ)1/2Γ

(ν2

) ,

39

40 EQUAÇÕES DE ESTIMAÇÃO PARA MODELOS DE REGRESSÃO LOG-BS-T 3.2

α > 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , si. Sem perda de generalidade, assumimos experimentos balanceadossi = s.

Defina, y = (y⊤1 , . . . ,y

⊤n )

⊤ e xij = (xij1, . . . , xijp)⊤ um vetor p-dimensional com valores de

variáveis explicativas relacionadas com os parâmetros µij . Além disso, Xi = (x⊤i1, . . . ,x

⊤is)

⊤.

3.2 Equações de estimação para a média

3.2.1 Derivação da função de estimação

Assim como foi feito no Capítulo 2, nosso primeiro objetivo é construir uma função de esti-mação para modelos de regressão log-BS-t com estrutura longitudinal, utilizando a definição (1.19).Com esse propósito determinaremos uma função ui = ui(yi,β), com média zero, mutuamente in-dependentes e que satisfaça às propriedades das funções de estimação regulares, tal que ui’s sejamregulares.

Vamos supor inicialmente que yij ∼ log-BS-t(α, µij , ν), assumimos que ν é um parâmetro co-nhecido e consideramos que os parâmetros µij sejam modeladas por

µij = ηij = x⊤ijβ,

em que β = (β1, . . . , βp)⊤ é um vetor de parâmetros a serem estimados.

Definindo ξij1 = 1αcosh

(yij−µij

2

)e ξij2 = 1

αsenh(yij−µij

2

), a função densidade de probabilidade

de yij fica dada por

f(yij , µij , α) = c(ν)ξij11 +

4

νξ2ij2

−( ν+12 )

.

O logaritmo da função de verossimilhança em função de µij fica dado por,

l(µij , α; yij) = log(c(ν)) + log [ξij1]−(ν + 1

2

)log[1 +

4

νξ2ij2

].

Note que

∂ξij1∂µij

=1

αsenh

(yij − µij

2

)(−1

2

)= −1

2ξij2

e

∂ξij2∂µij

=1

αcosh

(yij − µij

2

)(−1

2

)= −1

2ξij1.

De modo que,

∂l(µij , α; yij)

∂µij=

1

ξij1ξij2

(−1

2

)−(ν+12

) − 1ν 4ξij2ξij1

1 + 4

ν ξ2ij2

= −ξij2

(1

2ξij1− 2 (ν + 1) ξij1

ν + 4ξ2ij2

)


= −ξij2(

1

2ξij1− 2wijξij1

),

em que wij = ν+1ν+4ξ2ij2

.

Portanto, a função escore para o parâmetro µij fica dada por,

uij = −ξij2(

1

2ξij1− 2wijξij1

). (3.1)

Como podemos notar a quantidade wij que aparece na função escore (3.1) atua como um peso,assim como no caso independente, e isso faz com que o procedimento de estimação seja robusto,uma vez que observações com valores grandes para ξ2ij2 devem receber pesos menores no processode estimação. Mais detalhes ver Paula et al. (2012). Temos que E(uij) = 0. Então, podemos definirui = (ui1, . . . , uis)

⊤, tal que E(uij) = 0 e Cov(ui) = Wi. Desta forma, a função escore está contidana classe L(ui).

Com o propósito de estruturarmos nossa função de estimação precisamos determinar(∂ui

∂θ

)⊤e

Cov−1(ui). A fim de facilitar a compreensão deste texto e a execução computacional, vamos mantera notação utilizada no Capítulo 2. Denotamos então,

Ni = E(∂ui∂µi

)= diag E(ui1), . . . ,E(uis) ,

em que

uij =1

4 + 4ξ2ij2α2− wij

(1

α2+ 2ξ2ij2

)+ 8ξ2ij2wij

(1

α2+ ξ2ij2

)1

(ν + 4ξ2ij2).

Vale salientar o fato que a forma que optamos por escrever uij na expressão (3.2) permite quemudanças de variáveis sejam realizadas e E(uij) se torne mais eficiente para implementar computa-cionalmente uma vez que não é em função de funções hiperbólicas. Portanto,

E(uij) =∫ ∞

−∞

2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 )[

1

4 + 4x2ij− wij

(1 + 2x2ijα2

)

+8x2ijwij

(α2ν + 4xi2ij)

(1 + x2ijα2

)]dxij . (3.2)

A matriz de variância-covariância de ui pode ser escrita na forma

Cov(ui) = Var(ui)1/2Corr(ui)Var(ui)1/2,

em que R(ui) representa a matriz de correlação de ui e Var(ui) é dada por,

Var(ui) = diag Var(ui1), . . . ,Var(uis) = diagE(u2i1), . . . ,E(u

2is),

em que


Var(uij) = E(u2ij) =∫ ∞

−∞

[2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 ) x2ij

α2

]× α2

4(1 + x2ij

) − 2wij + 4w2ij

(1 + x2ijα2

) dxij . (3.3)

Denotamos, Σi = diagE(u2i1), . . . ,E(u

2is). Logo,

Cov(ui) = Σ1/2i Corr(ui)Σ

1/2i . (3.4)

Portanto,

Ψ∗n(β) =

n∑i=1

X⊤i NiCovi(ui)−1ui.

Na prática a verdadeira matriz de correlação é desconhecida. Pela proposta de Liang e Zeger(1986), assumimos a existência do vetor ρ (l × 1) que caracteriza Corr(ui). Logo, a função deestimação de β fica dada por,

Ψn(β) =n∑i=1

X⊤i NiC

−1i ui =

n∑i=1

X⊤i WiN

−1i ui, (3.5)

em que Ci = Σ1/2i R(ρ)Σ

1/2i , Wi = NiC

−1i Ni e β denota a raiz de (3.5).

3.2.2 Estimação

Para encontrarmos o estimador β de β (fixados α e ρ) devemos resolver a seguinte equação deestimação:

Ψn(β) = 0

ou equivalentemente,

n∑i=1

X⊤i WiN

−1i ui = 0.

Aplicando-se o método de Newton-Raphson chegou-se ao seguinte processo iterativo:

β(m+1) = β(m) −

E[

∂

∂β⊤ψ(β(m))

]−1

ψ(β(m))

= β(m) −

( n∑

i=1

X⊤i NiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i NiXi

)(m)−1

[n∑i=1

X⊤i NiW

−1i (ρ)ui

](m) , (3.6)


sendo m = 0, 1, 2, . . . o número de iterações. É importante ressaltar que as estimativas α e ρ sãofornecidas inicialmente e modificadas separadamente a cada passo do processo iterativo.

Estimação de αSob a hipótese de independência entre as observações de um mesmo indivíduo e dado β, a função

escore do parâmetro α fica dada por

Uα =n∑i=1

s∑j=1

− 1

α+

(ν + 1)4ξ2ij2

αν + 4ξ2ij2

(3.7)

e o estimador de α é a solução da equação Uα = 0.

Para estimar ρ, procedemos como descrito na Seção 2.2.2.

3.2.3 Processo iterativo

O processo iterativo é análogo ao processo iterativo derivado no Capítulo 2, com as respectivasmudanças nas quantidades envolvidas.

3.2.4 Inferência

A parte inferencial segue de forma análoga à Seção 2.2.3, considerando ui, Ni e Wi determina-dos, respectivamente, por (3.1), (3.2), (3.3) e considerando o estimador de máxima verossimilhançade α como solução de 3.7. Os cálculos para a obtenção das matrizes Si(β) e Vi(β) são apresentadosno Apêndice D.2.


Com a finalidade de analisar o desempenho dos estimadores obtidos a partir do método deEEGs para modelos log-BS-t conduzimos um estudo de simulação. Iremos assumir que yi =

(yi1, . . . , yis)⊤ segue distribuição multivariada log-BS-t, como descrito em Kundu et al. (2013)),

com vetor parâmetro de localização µi = (µi1, . . . , µis)⊤, parâmetro de forma α, ν graus de liber-

dade (que estamos supondo conhecido) e correlação ρ, para i = 1, . . . , n. Em adição, os componentesde µi são modelados como


em que xij ’s denotam valores fixos gerados de uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1], parai = 1, . . . , n e j = 1, . . . , s. Como assumido no caso da log-BS-EEG clássica consideramos estruturasde correlação, autorregressiva de primeira ordem e permutável, β0 = 4, β1 = −2, α = 0.5 eρ = 0.3, 0.6 e 0.9, tamanhos amostrais n = 10, 20, 50 e 80 e s = 3, 5 e 10. Fixamos graus deliberdade ν = 4, 7, 10 e 30. Obtivemos o viés relativo (VR) e o erro quadrático médio (EQM) dosestimadores β0, β1 e α. Consideramos para cada cenário R = 5000 réplicas.

Os resultados deste estudo de simulação encontram-se no Apêndice E. Em relação ao VR,observamos que o estimador de α é viesado e que à medida que o tamanho do grupo aumenta oviés diminui. De forma oposta, à medida que o coeficiente de correlação aumenta, o viés relativoaumenta, em valor absoluto. Já com relação aos estimadores dos β′s, os vieses são bem pequenos.


Sob o ponto de vista de EQM, as estimativas dos parâmetros α, β0 e β1 "melhoram"quantomaior a amostra, ou o grupo, o grau de liberdade. Observamos inclusive que quando a suposiçãoda matriz de correlação está correta, quanto maior o grau de liberdade mais próximo fica ρ do ρutilizado para gerar os dados. É válido ressaltar que o EQM de α não tem um padrão únido quandoρ aumenta.


O procedimento de métodos de diagnóstico segue de forma análoga à Seção 2.2.5 considerandoagora ui, Ni e Wi dados, respectivamente, por (3.1), (3.2), (3.3) e considerando o estimador demáxima verossimilhança de α como solução de (3.7). É necessário, porém, que sejam realizadasadaptações para a obtenção da influência local. Portanto, apresentaremos aqui apenas a matriz∆ para a influência local para os esquemas de perturbação da variável resposta e perturbaçãoindividual das covariáveis. No caso particular da ponderação de casos, assim como para os resíduose distância de Cook, a forma matricial coincide com o caso clássico, necessitando apenas fazer assubstituições adequadas de ui, Ni, Wi.

i) Perturbação da variável respostaQuando consideramos a perturbação da variável resposta

yωij = yij + ωijsyij ,

em que ωij = 0 denota ausência da perturbação e syij =√

Var(yij). Temos que

Ψ(β|ω) = X⊤WN−1uω.

Então,

∆ =∂Ψ(β|ω)∂ω⊤ = X⊤WN−1 ∂uω

∂ω⊤

avaliado em β = β e ω = ω0. Definimos a forma matricial, ∂u∂ω⊤ = U com U = diag

U1, . . . , Un

,

em que Ui = diag∂uωi1∂ωi1

, . . . , ∂uωis∂ωis

.

O vetor de perturbação da variável resposta para a i-ésima unidade experimental fica dada poruωi = (uωi1, . . . , uωis)

⊤ com

uωij = −ξωij2

(1

2ξωij1− 2 (ν + 1) ξωij1

ν + 4ξ2ωij2

), (3.8)

em que ξωij1 = 1αcosh

(yωij−µij

2

)e ξωij2 = 1

αsenh(yωij−µij

2

)e cuja derivada em relação a ωij é dada

por,

∂uωij∂ωij

= −syij

[1

4 + 4ξ2ωij2α2−

(ν + 1

ν + 4ξ2ωij2

)(1

α2+ 2ξ2ωij2

)+ 8ξ2ωij2

(ν + 1

ν + 4ξ2ωij2

)(

1

α2+ ξ2ωij2

)1

(ν + 4ξ2ωij2)

]. (3.9)


iii) Perturbação em uma covariávelConsideramos o esquema de perturbação aditiva para k-ésima coluna da matriz X, dada em

(2.18). Então, precisamos apenas obter as derivadas de Nω, Cω e uω em relação a ω⊤. Temos que,

∂Nω

∂ωij=∂Cω

∂ωij= 0.

O vetor de perturbação da variável resposta para a i-ésima unidade experimental fica dada poruωi = (uωi1, . . . , uωis)

⊤ com

uωij = −ξωij2

(1

2ξωij1− 2 (ν + 1) ξωij1

ν + 4ξ2ωij2

),


(yij−µωij

2

)e ξωij2 = 1

αsenh(yij−µωij

2

)e cuja derivada em relação a ωij fica

dada por,

∂uωij∂ωij

= βksxk

[1

4 + 4ξ2ωij2α2−

(ν + 1

ν + 4ξ2ωij2

)(1

α2+ 2ξ2ωij2

)+ 8ξ2ωij2

(ν + 1

ν + 4ξ2ωij2

)(

1

α2+ ξ2ωij2

)1

(ν + 4ξ2ωij2)

].

3.2.7 Aplicação

Vamos considerar nesta seção um conjunto de dados referente a um estudo realizado na Escolade Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo (USP) no primeiro semestre 2016, emque 70 corredores foram avaliados sob as condições calçado e descalço em corridas em esteiras emtrês períodos. Os voluntários foram divididos em dois grupos de 35 indivíduos cada: o grupo controlee o grupo experimental. No período inicial não havia ainda treinamento. O grupo experimental ficoumais tempo treinando descalço do que o grupo o controle, mas ambos foram avaliados nas duascondições "calçado"e "descalço". Para cada indivíduo foi obtido o valor máximo do primeiro picode força vertical (em Newtons) em duas condições diferentes durante a corrida na esteira: calçadoou descalço e em três ocasiões: início, 3 meses após o início do experimento ou 6 meses após o iníciodo experimento. A saber, o experimento conta com um conjunto de dados desbalanceado, isto é, osindivíduos possuem quantidades diferentes de observações.

O interesse principal do experimento é determinar se a condição calçado reduz a força verticalinicial (fy1). Espera-se que o grupo experimental tenha um desempenho melhor do que o grupocontrole pois há na literatura teorias que dizem que correr descalço deve levar a um desempenhomelhor do que correr calçado e o grupo experimental treinou mais tempo descalço.

Podemos observar pelo gráfico da densidade na Figura 3.1 (à esquerda), um comportamentosimétrico da variável de interesse fy1. Observamos também na Figura 3.1 (à direita), os boxplotsda variável fy1 segundo a condição (calçado ou descaldo) para todas as semanas e todos os grupos.Nota-se valores menores de fy1 sob condição descalço do que sob condição calçado.

Na Tabela 3.1 descrevemos os valores médios com os respectivos desvios padrão e coeficientesde variação para fy1 para cada grupo (experimental ou controle) e por período de tempo para


0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

fy1 Tempo Zero

Densi

dade

Calçado Descalço

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Pri

me

iro

Pic

o d

a F

orç

a V

ert

ica

l (N

)

Figura 3.1: Densidade da variável fy1 (à esquerda) e boxplot da variável fy1 segundo a condição (calçadoou descaldo) para todas as semanas e todos os grupos (à direita).

todas as condições (calçado ou descalço). Nota-se um decréscimo no valor médio de fy1 após 3meses para os dois grupos, sendo a redução mais acentuada para o grupo experimental . Nota-setambém um aumento da variabilidade. Já ápós seis meses, enquanto praticamente não há alteraçãona média do primeiro pico de força vertical do grupo experimental, nota-se um aumento de fy1

no grupo controle. Pela Figura 3.2 pode-se perceber melhor as diferenças no comportamento davariável fy1 nos grupos controle e experimental. Vamos também investigar uma possível interaçãoentre as variáveis grupo e momento.

Tabela 3.1: Medidas-resumo para o primeiro pico de força vertical (fy1) segundo o grupo e o momento paratodas as condições.

Início 3 Meses 6 MesesMédia 1,5356 1,4876 1,5555

Grupo Controle Desvio padrão (0,3004) (0,2915) (0,3267)Coeficiente de Variação 0,195 0,195 0,21

n=67 n=33 n=28Média 1,5594 1,3900 1,3942

Grupo Experimental Desvio padrão (0,3167) (0,39970) (0,4073)Coeficiente de Variação 0,203 0,287 0,33

n=68 n=39 n=30

Denotaremos por yijkl o valor máximo do primeiro pico de força vertical para o i-ésimo indivíduo(i = 1 . . . , 70), no j-ésimo grupo (=1 controle, =2 experimental), k-ésima ocasião (=1 início, =2 após3 meses, =3 após 6 meses), para ℓ-ésima condição (=1 calçado, =2 descalço). A fim de compararmosas duas distribuições trabalhadas durante a tese vamos supor que yijkl ∼ log-BS(α, µjkl) e yijkl ∼log-BS − t(α, µjkl), em que α > 0 é o parâmetro de forma, com parte sistemática dada por,

µjkl = λ+ βj + γk + δl + (βγ)jk (3.10)

para j = 1, 2; k = 1, 2, 3 e l = 1, 2 com parametrização casela de referência, em que (βγ)jk

representa a iteração entre o grupo e o momento e βj , γk e δl são os efeitos principais: grupo,


0−Inicial 3−meses 6−meses

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Momento

Pri

me

iro

Pic

o d

a F

orç

a V

ert

ica

l (N

)

Grupo Controle

0−Inicial 3−meses 6−meses

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

Momento

Pri

me

iro

Pic

o d

a F

orç

a V

ert

ica

l (N

)

Grupo Experimental

Figura 3.2: Boxplots (robusto) da variável fy1 no grupo controle (à esquerda) e boxplot (robusto) da variávelfy1 do grupo experimental (à direita).

momento e condição, respectivamente. Teremos as restrições β1 = 0, γ1 = 0, δ1 = 0, (βγ)1k = 0

e (βγ)j1 = 0. Propomos Ri = Ri(ρ) com Rijj′ = 1, para j = j′ e Rijj′ = ρ para j = j′. Iremosdenominar os modelos log-BS e log-BS-t com estrutura de correlação permutável, respectivamente,como log-BS-EEG e log-BS-t-EEG.

Primeiramente, vamos supor que as respostas seguem distribuição marginal log-BS(µjkl, α). Asestimativas dos parâmetros são descritas na Tabela 3.2. Temos ainda que

Tabela 3.2: Estimativas dos parâmetros e erros padrão aproximados para o modelo log-BS-EEG ajustadoaos dados sobre produtividade de capital público.

λ β2 γ2 γ3 δ2 (βγ)22 (βγ)23 α ρ

Estimativas 1,591 0,010 -0,055 0,001 -0,096 -0,099 -0,210 0,247 0,459Erro Padrão 0,045 0,065 0,073 0,052 0,034 0,1 0,082

Valor p < 0, 01 0,01 0,04

A Figura 3.3 apresenta o gráfico da distância de Cook do modelo log-BS-EEG. Como podemosnotar as observações #(15, 1), #(51, 5), #(8, 3),#(6, 4) e #(56, 6) são consideradas pontencialmenteinfluentes. A Tabela 3.3 descreve as mudanças relativas (MR) das estimativas, após excluirmos osindivíduos com observações que são consideradas potencialmente influentes. Os valores p para asnovas estimativas estão entre parênteses. Podemos notar pela Tabela 3.3 que quando eliminamos oindivíduo 8 do conjunto de dados há mudanças inferenciais. A observação #(8,3) apresenta o menorfy1. A Figura 3.5 (à esquerda) apresenta o gráfico dos resíduos para o modelo log-BS ajustado viaEEGs, no qual podemos perceber alguns resíduos bem altos. Podemos observar através da do gráficode envelope na Figura 3.5 que a suposição da distribuição log-BS não parece ser adequada. Pelocomportamento do envelope, uma distribuição de caudas mais pesadas poderia ser mais indicada.

Vamos reanalisar esses dados considerando agora distribuições marginais log-BS-t(µjkl, α, ν)para as respostas. As estimativas dos parâmetros são descritas na Tabela 3.4.

Na Figura 3.6 detectamos dois casos como potencialmente influentes: #(3,6) e #(56,6), cuja aexclusão não causa mudança inferencial. Na Figura 3.8 (esquerda) podemos perceber que os resíduospadronizados se mostram de forma aleatória, não apresentando tendência e que, em geral, estão


0 50 100 150 200 250

0.0

00

.02

0.0

40

.06

0.0

8

Unidade experimental

Dis

tân

cia

de

Co

ok

(6,4)

(8,3)

(15,1)

(51,5)

(56,6)

Figura 3.3: Gráfico de distância de Cook para o modelo log-BS ajustado via EEG aos dados sobre condiçõesexperimentais calçados e descalços.

Tabela 3.3: MR (em %) e correspondentes valores p entre parênteses do modelo log-BS ajustados via EEGaos dados sobre condições experimentais calçados e descalços.

indivíduos λ β2 γ2 γ3 δ2 (βγ)22 (βγ)23 α ρexcluídas

15 1,200 -140,450 67,200 -9160,390 10,970 -38,160 -20,410 -1,360 5,390< 0, 01 < 0, 01

51 0,452 -44,536 18,717 7289,145 5,746 -10,638 16,627 -0,418 0,963< 0, 01 < 0, 01 0,01

8 -0,220 13,540 -0,060 -103,990 -7,900 -45,260 -8,110 -2,270 5,860< 0, 01 0,010 0,06

6 -0,480 71,490 -0,280 -94,680 -16,520 -3,530 0,230 -1,680 5,280< 0, 01 0,010 0,04

56 -0,350 -7,180 -0,230 -40,860 -11,870 20,360 -2,150 -0,640 2,130< 0, 01 0,01 0,05

no intervalo [-2,2], apresentando alguns casos como pontos aberrantes. Comparando a Figura 3.8(direita) com a Figura 3.5 (direita) verificamos que o modelo log-BS-t-EEG parece mais adequadopara análise dos dados estudados.

Portanto, é razoável assumir que marginalmente yij ∼ log-BS-t − EEG(α, µjkl), com µjkl =

λ+β2+γ2+γ3+δ2+(βγ)22+(βγ)23 denotando a média do pico de força inicial máximo. Portanto,das estimativas dadas na Tabela 3.4, podemos concluir que o pico de força diminui quando a condiçãodo corredor é calçado e podemos confirmar a iteração entre o grupo experimental e o momento.Havendo diminuição do pico de força no grupo experimental conforme o tempo passa.

A Figura 3.9 mostra que quando os dados são ajustados considerando log-BS-t-EEG são atribuí-dos pesos menores para dados com resíduos maiores. Observe que os pontos marcados no gráfico,que possuem resíduos maiores e pesos menores, são justamente os pontos destacados na análiselog-BS-EEG.


0 50 100 150 200 250

0.0

00.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

6


Curv

atu

ra C

onfo

rmal

0 50 100 150 200 250

0.0

00

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

0.0

30

0.0

35

Unidade ExperimentalC

urv

atu

ra C

onfo

rmal

Figura 3.4: Gráficos de influência local conformal sob os esquemas: ponderação de casos para o modelolog-BS (à esquerda) e da variável resposta para o modelo log-BS (à esquerda) ajustados via EEG aos dadossobre condições experimentais calçados e descalços.

Tabela 3.4: Estimativas do modelo log-BS-t ajustados via EEGs dos dados sobre condições experimentaiscalçados e descalços.

Parâmetro λ β2 γ2 γ3 δ2 (βγ)22 (βγ)23 α ρ

Estimativa 1,596 0,025 -0,033 0,026 -0,114 -0,102 -0,171 0,333 0,490Erro Padrão 0,045 0,065 0,073 0,052 0,034 0,100 0,082

valor p < 0, 01 < 0, 01 0,04

0 50 100 150 200 250

−4

−2

02

4


Re

síd

uo

Pa

dro

niz

ad

o

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4−2

02

4

Percentil da N(0,1)

Res

íduo

Pad

roni

zado

Figura 3.5: Gráfico de resíduos do modelo log-BS ajustado via EEGs (à esquerda) e gráfico normal de prob-abilidades para o resíduo de Pearson padronizado referente ao ajuste do modelo log-BS (à direita) ajustadosvia EEG aos dados sobre condições experimentais calçados e descalços.


0 50 100 150 200 250

0.0

00

.02

0.0

40

.06

0.0

8


Dis

tân

cia

de

Co

ok

(3,6) (56,6)

Figura 3.6: Gráfico de distância de Cook para o modelo log-BS-t ajustado via EEG aos dados sobre condiçõesexperimentais calçados e descalços.

0 50 100 150 200 250

0.0

00.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

6


Curv

atu

ra C

onfo

rmal

0 50 100 150 200 250

0.0

00

0.0

05

0.0

10

0.0

15

0.0

20

0.0

25

0.0

30

0.0

35


Curv

atu

ra C

onfo

rmal

Figura 3.7: Gráficos de influência local conformal sob os esquemas: ponderação de casos para o modelolog-BS-t (à esquerda) e da variável resposta para o modelo log-BS-t (à esquerda) ajustados via EEG aosdados sobre condições experimentais calçados e descalços.


0 50 100 150 200 250

−4

−2

02

4


Re

síd

uo

Pa

dro

niz

ad

o

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2−1

01

2Percentil N(0,1)

Res

íduo

Pad

roni

zado

Figura 3.8: Gráfico de resíduos do modelo log-BS-t ajustado via EEGs (à esquerda) e gráfico normal deprobabilidades para o resíduo de Pearson padronizado referente ao ajuste do modelo log-BS-t (à direita)ajustados via EEG aos dados sobre condições experimentais calçados e descalços.

−2 −1 0 1 2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

Resíduo Padronizado

Pe

so

(8,3)(15,1)

(56,6)

Figura 3.9: Pesos versus resíduos padronizados referente ao modelo log-BS-t ajustados via EEGs dos dadossobre condições experimentais calçados e descalços.


Capítulo 4

Equações de Estimação Conjuntas paraa Média e Forma

Rieck e Nedelman (1991) formularam um modelo log-linear para a distribuição BS. Com ointuito de fornecer uma estrutura estatística adequada para o problema da estimação, os au-tores assumiram que o parâmetro de forma α é independente do trabalho por ciclo. Embora,Rieck e Nedelman (1991) aleguem que essa hipótese é aparentemente válida para os dados de fadigainvestigados em seu artigo, alertaram para o fato que nem sempre essa hipótese é justificada. Damesma forma, Galea et al. (2004) também mencionam o problema de supor homogeneidade doparâmetro de forma no modelo log-BS.

Diante desse dilema, Xie e Wei (2007) propuseram testes para detectar homogeneidade doparâmetro de forma e apresentaram estatísticas de razão de verossimilhanças e escore. Qu e Xie(2011) investigaram o teste escore para homogeneidade para o parâmetro α do modelo log-BSquando os dados são censurados.

Li et al. (2012) introduziram então uma classe de modelos de regressão log-BS heterogêneo eobtiveram estimadores de máxima verossimilhança para os parâmetros e apresentaram medidas dediagnóstico baseadas em influência local e método de deleção de casos. Neste capítulo estudaremoso modelo de regressão log-BS heterogêneo sob o ponto de vista de equação de estimação e faremosas devidas extensões para o modelo log-BS-t.

4.1 Equação de estimação conjunta para o modelo log-BS.

4.1.1 Derivação de função de estimação conjunta

Consideramos agora uma amostra aleatória de n unidades amostrais, t1, . . . , tn, em que ti =

(ti1, . . . , tisi)⊤ e admitimos que cada componente tij ∼ BS(αij , β∗ij , 2), de forma que cada compo-nente yij = log(tij) ∼ SN(αij , µij , 2), isto é, sua distribuição marginal é dada por

f(yij) =1

αij√2π

cosh

(yij − µij

2

)exp

−2

[1

αijsenh

(yij − µij

2

)]2, yij ∈ IR, (4.1)

53

54 EQUAÇÕES DE ESTIMAÇÃO CONJUNTAS PARA A MÉDIA E FORMA 4.1

αij > 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , si. Ou seja, vamos incorporar a heterogeneidade do parâmetrode forma ao que foi feito no Capítulo 2. Sem perda de generalidade, assumiremos experimentosbalanceados si = s.

O parâmetro de localização é expresso na forma


adicionalmente, o parâmetro de forma agora assume a forma,

g(αij) = δij = z⊤ijγ,

em que β = (β1, . . . βp)⊤ e γ = (γ1, . . . γq)

⊤ são, respectivamente, vetore p e q-dimensionais deparâmetros desconhecidos, xij = (xij1 . . . xijp)

⊤ e zij = (zij1 . . . zijq)⊤ contém valores de variávéis

explicativas associadas a µij e αij , respectivamente, e g(·) é uma função de ligação monótona e duasvezes diferenciável. Devido à bimodalidade da função densidade da SN quando α > 2, que podecausar múltiplos máximos na função de verossimilhança, é razoável impor que αij ≤ 2. A exemplodo que é feito em Li et al. (2012) consideramos a função de ligação logarítmica, ou seja,

log(αij) = z⊤ijγ ou αij = exp(z⊤ijγ

).

Utilizaremos a definição de função de estimação linear ótima dada em (1.19). Baseados nafunção ui definida na Seção 2.2.1 são construídas as equações de estimação para estimar a média(mas agora abandonaremos a suposição que αij = α). Para estimar o vetor de parâmetro de forma,α, será usado a função escore de α. O logaritmo da função de verossimilhança em função de αijfica dado por

l(αij ; yij) =1

2log(2π) + log(ξij1)− 2ξ2ij2.

Observe que,

∂ξij1∂αij

= − 1

α2ij

cosh(yij − µij

2

)= − 1

αijξij1

e

∂ξij2∂αij

= − 1

α2ij

senh(yij − µij

2

)= − 1

αijξij2.

Então,

∂l(µij ; yij)

∂µij=

1

ξij1ξij1

(− 1

αij

)− 4ξij2ξij2

(− 1

αij

)= − 1

αij+ 4ξ2ij2

(1

αij

)=

1

αij

(4ξ2ij2 − 1

).

4.1 EQUAÇÃO DE ESTIMAÇÃO CONJUNTA PARA O MODELO LOG-BS. 55

Portanto, a função escore do parâmetro αij fica dada por,

vij =1

αij

[4

α2ij

senh2

(yij − µij

2

)− 1

],

e definimos vi = (vi1, . . . , vis)⊤. Análogo ao que foi feito no Apêndice A podemos mostrar que vi

são vetores com média zero.Temos que

E(∂vi∂γ⊤

)⊤= E

(∂vi∂αi

∂αi∂δi

∂δi∂γ⊤

)⊤= ZTi GiMi

em que Gi = diag∂g−1(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g

−1(z⊤isγ)/∂δis

e Mi = diag− 2α2i1, . . . ,− 2

α2is

.

E temos que

Cov(vi) = Var(vi)1/2Corr(vi)Var(vi)1/2 = Ω1/2i Corr(vi)Ω

1/2i ,

em que Corr(vi) é a verdadeira matriz de correlação entre as observações vi1, . . . , vis e Ωi =

diag

2α2i1, . . . , 2

α2is

.

A função de estimação linear ótima para γ fica, portanto, dada por,

ζn(γ) =

n∑i=1

Z⊤i GiMiCov(vi)−1vi. (4.2)

Os cálculos detalhados para a obtenção da equação (4.2) são apresentados no Apêndice D.Seja θ = (β⊤,γ⊤)⊤ e consideremos di = (u⊤

i ,v⊤i )

⊤. Uma função de estimação ótima para θgerada por di, é dada por,

Γn(θ)0 = E

n∑i=1

∂ui

∂β⊤∂ui

∂γ⊤

∂vi

∂β⊤∂vi

∂γ⊤

⊤

Cov(di)−1di.

Do Apêndice D podemos ver que,

Γn(θ)0 =

n∑i=1

(X⊤i Ni 0

0 Z⊤i GiMi

)A−1i di, (4.3)

com,

Ai = cov(di) =

(Cov(ui) Cov(ui,vi)

Cov(ui,vi) Cov(vi)

)

=

(Σ

1/2i Corr(ui)Σ

1/2i , Cov(ui,vi)

Cov(ui,vi) Ω1/2i Corr(vi)Ω

1/2i

),

em que Ni = E(∂ui∂µi


4Esech2

(yi1−µi12

)− 1

2 − 1α2ij,

Corr(ui) e Corr(vi) são as verdadeiras matrizes de correlação de ui e vi respectivamente, Σi =


diag Var(ui1), . . . ,Var(uis) , com Var(uij) = E

14tgh2

(yij−µij

2

)+ 1

4 + 1α2ij,

Gi = diag(∂g−1(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g−1(z⊤isγ)/∂δis), Mi = diag

− 2α2i1, . . . ,− 2

α2is

,

Ωi = diag

2α2i1, . . . , 2

α2is

.

Assim como Artes (2000) e Venezuela (2008), com o objetivo de diminuir o número de parâmetrosde perturbação, assumimos que as equações de estimação são independentes, isto é, Cov(ui,vi) = 0;

e que não há dependência entre os elementos de vi, ou seja, Corr(vi) = Is.

A função de estimação proposta para θ é dada então por,

Γn(θ) =

(Γn(β)

Γn(α)

)=

n∑i=1

(X⊤i Ni(Σ

1/2i Ri(ρ)Σ

1/2i )−1ui

Z⊤i GiMiΩi

−1vi

)

=

n∑i=1

Q⊤i ΛiΥ

−1i di =

n∑i=1

Q⊤i WiΛ

−1i di, (4.4)

sendo Qi =

(Xi 0

0 Zi

),Λi =

(Ni 0

0 GiMi

),Wi = ΛiΥ

−1i Λi e Υi =

(Σ

1/2i Ri(ρ)Σ

1/2i 0

0 Ωi

).


Para encontrarmos o estimador θ de θ devemos resolver a seguinte equação de estimação:

Γn(θ) = 0


n∑i=1

Q⊤i ΛiΥ

−1i di = 0.

Aplicando-se o método de Newton-Raphson modificado, assim como na Seção 2.2.2, chegou-se aoseguinte processo iterativo:

θ(m+1) = θ(m) −

E[∂

∂θ⊤Γ(θ(m))

]−1

Γ(θ(m)),

em que,

E[∂

∂θ⊤Γ(θ(m)

)]=

( ∑ni=1XiNiΣ

−1/2i Ri(ρ)Σ

−1/2i NiXi 0

0∑n

i=1 Z⊤i HiMiΩ

−1i MiHiZi

),

=

n∑i=1

Q⊤i ΛiΥ

−1i ΛiQ

⊤i . (4.5)

Portanto,

θ(m+1) = θ(m) −

[

n∑i=1

Q⊤i ΛiΥ

−1i ΛiQi

]−1 [ n∑i=1

Q⊤i ΛiΥ

−1i di

](m)


= θ(m) −

[

n∑i=1

Q⊤i WiQi

]−1 [ n∑i=1

Q⊤i WiΛ

−1i di

](m)

, (4.6)

sendo Wi = ΛiΥ−1i Λi e m o número de iterações. Os cálculos para obter a matriz (4.5) estão no

Apêndice F. O índice m no lado direito das equações acima indica que as matrizes e os vetores sãoatualizados pelas estimativas de β,α, e ρ da m-ésima iteração. Para estimar ρ, procedemos comodescrito na Seção 2.2.2.

A equação (4.6) reescrita na forma do processo iterativo de mínimos quadrados reponderadosfica expressa por

θ(m+1) =

[

n∑i=1

Q⊤i WiQi

]−1 [ n∑i=1

Q⊤i Wizi

](m)

, (4.7)

que emprega uma matriz de pesos Wi e uma variável dependente modificada zi, sendo zi = νi −Λ−1i di.

Processo iterativo

Processo iterativo

1) Para determinar o chute inicial do processo iterativo, θ(0), supomos independência entreas observações da mesma unidade experimental. Ajustamos modelos de regressão linear de y

sobre X e Z para obter, respectivamente, valores iniciais: β(0) e γ(0) (via mínimos quadrados);2) selecionamos a estrutura de correlação que será utilizada no modelo, consideramos osvalores iniciais e estimamos ρ a partir desta estrutura;3) atualizamos θ(m) pelo processo iterativo dado por (4.7).4) repetimos os passos 2 e 3 até a convergência de θ.

4.1.3 Inferência

O Teorema 4.1 descreve condições para que o estimador de θ obtido por (4.7) seja consistentee assintoticamente normal.

Teorema 4.1 Seja θ a raiz de (4.7). Sob condições gerais de regularidade e assumindo que ρ(θ) éum estimador

√n-consistente de ρ dado θ, então temos que θ é um estimador consistente de θ e

√n(θn − θ) →D Np+q(0,J

−1),

com J = limn−→∞Jn/n, sendo Jn a matriz de informação de Godambe de θ associada à Γ dadapor

Jn =

n∑i=1

Si(θ)

n∑i=1

Vi(θ)

−1 n∑i=1

Si(θ)

,

A demonstração segue análoga à encontrada em Artes (1997, Teorema 7, p. 67).


No caso em que os parâmetros µ e α são ajustados conjuntamente segundo a equação (4.7), oestimador robusto para a matriz de variância-covariâncias de θ é dado por

Jn−1

(θ) =

n∑i=1

Si(θ)

−1 n∑i=1

Q⊤i ΛiΥ

−1i didi

⊤Υ

−1i Λ

⊤i Qi

n∑i=1

Si(θ)

−1

,

em que Si(θ) =∑n

i=1Q⊤i ΛiΥ

−1i ΛiQi. As estimativas dessas duas expressões são obtidas substi-

tuindo θ e ρ por suas respectivas estimativas consistentes.Testes de hipóteses para testar H0 : θ1 = 0 contra H1 : θ1 = 0, em que θ = (θ⊤1 θ⊤2 )

⊤

podem ser desenvolvidos através de estatísticas tipo Wald, ξW = θ⊤1

ˆV ar−1

(θ1)θ1 com a matriz devariância-covariância estimada por Jn

−1(θ).


Nesta Seção iremos analisar dados log-BS correlacionados heterogêneos. Assim como na Seção2.2.4, os componentes de µi são modelados por


em que xij ’s denotam valores fixos gerados de uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1] e β0 = 4,β1 = −2. Para introduzir o parâmetro de forma variável, os componentes de αi são modelados como

αij = exp (γ0 + γ1zij) ,

em que zij ’s denotam valores fixos gerados de distribuições uniformes nos intervalo [0, 1] e [0, 1.4] eos parâmetros que compõem a parte sistemática do parâmetro de forma também variaram. O graude heterogeneidade do parâmetro α é medido por λ = max(αij)/min(αij).

Assim como na Seção 2.2.4 vamos considerar ρ = 0.3, 0.6 e 0.9, tamanhos amostrais n = 10, 20, 50

e 80 e s = 3, 5 e 10. O viés relativo (VR) de θj é estimado como 100×|θj − θj |/θj , com θj =

R−1∑R

r=1 θ(r)j , com θj = (β0, β1, γ0, γ1), θ

(r)j sendo a estimativa EEG de θj na r-ésima réplica, para

j = 0, 1, . . . , R, e o erro quadrático médio (EQM) é dado por R−1∑R

r=1(θj − β(r)j )2. Consideramos

para cada caso R = 5000 réplicas.Iremos trabalhar com 2 cenários diferentes: no cenário 1 zij ’s denotam valores fixos gerados

de uma distribuição uniforme nos intervalo [0, 1] e γ0 = −2 e γ1 = 2, no cenário 2 zij ’s denotamvalores fixos gerados de uma distribuição uniforme nos intervalo [0, (1, 4)] e γ0 = −1 e γ1 = −1.

Para cada cenário consideramos 3 casos: a) os dados são gerados e ajustados levando em consi-deração uma estrutura de correlação autoregressiva de primeira ordem, b) os dados são gerados eajustados levando em consideração uma estrutura de correlação permutável, c) os dados são gera-dos considerando estrutura de correlação autoregressiva e ajustados usando estrutura de correlaçãopermutável. Ou seja, nos casos (a) e (b) escolhemos a estrutura de correlação correta e no caso (c)consideramos uma especificação incorreta da estrutura de correlação. No cenário 1 lidamos com umgrau de heterogeneidade baixo, λ ≈ 7, já no cenário 2 temos λ ≈ 63.

As Tabelas G.1-G.6 no Apêndice G apresentam os resultados do estudo de simulação. Percebe-mos que o comportamento das estimativas de β0 e β1 é semelhante ao estudo de simulação realizado


na Seção 2.2.4, com resultados consistentes e que melhoram conforme aumenta o tamanho amostrale o tamanho do grupo.

Podemos observar também que os erros quadráticos médios das estimativas de γ0 e γ1 diminuemquando as amostras crescem e as demais características são fixas (correlação e tamanho grupo) , omesmo ocorre quando fixamos o tamanho amostral e a correlação e comparamos e o grupo aumenta,ou quando fixamos o tamanho do grupo e o tamanho amostral e quem cresce é a correlação. Podemosainda observar que para o cenário 2, que possui maior grau de heterogeneidade, os EQM’s sãomenores do que no cenário 1.


Durante a Seção 2.2.5 foram discutidos métodos de diagnósticos para modelos log-BS homogê-neos obtidos a partir da abordagem EEGs. Nesta seção iremos estender e apresentar as medidasestudadas anteriormente para o caso do modelo log-BS heterogêneo.

Análise de resíduos

No caso dos modelos heterogêneos log-BS discutidos anteriormente, a estimativa θ na convergên-cia do processo iterativo fica expressa na forma,

θ = (Q⊤WQ)−1Q⊤Wz,

em que Q = [Q⊤1 , . . . ,Q

⊤n ]

⊤ é (∑si × p) matriz modelo, W = diagW1, . . . ,Wn é (

∑si ×

∑si)

matriz de pesos, enquanto z = (z⊤1 , . . . , z⊤n )

⊤ com zi = Qiθ − Λ−1i di sendo uma pseudo-resposta

para o i-ésimo grupo, para i = 1, . . . , n. De forma que θ é interpretada como a solução de mínimosquadrados da regressão linear de W1/2z tendo como matriz de planejamento W1/2Q.

A matriz de projeção ortogonal de z sobre o subespaço vetorial gerado pelas colunas de W1/2Q

é dada porH = diagH1, . . . , Hn,

com Hi = W12i Qi(Q

⊤WQ)−1Q⊤i W

12i , Hi sendo uma matriz (

∑si ×

∑si), para i = 1, . . . , n.

Os resíduos ordinários para avaliar a solução de mínimos quadrados podem ser definidos como

rij = W1/2i zi − W

1/2i Qiθi

= W12i (zi −Qiθ).

Portanto,rij = e⊤i W

12i (zi −Qiθ),

em que ei é um vetor (∑si × 1) de zeros com 1 na j-ésima posição. Também podemos escrever

rij = W1/2i zi −HiW

12i zi. Similarmente, definimos uma versão do resíduo studentizado como

trij =e⊤i W

12i (zi −Qiθ)√1− hijj


para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , si.

Distância de Cook

Obtemos para o caso do modelo log-BS heterogêneo a seguinte aproximação de um passo:

θ1(ij) = θ − rij(1− hijj)

√ωij(Q

⊤WQ)−1qij ,

em que θ1(ij) denota a aproximação para a estimativa θ(ij), após remover a j-ésima medida dai-ésima unidade experimental. Então, a distância de Cook aproximada fica dada por

Cij =1

p(θ1(ij) − θ)

⊤(Q⊤WQ)−1(θ1(ij) − θ)

=1

pr2ij

hijj

(1− hijj).

Influência conformal

As matrizes para o estudo de influêncial local são obtidas de forma similar ao que foi descrito naSeção 2.2.5. Apresentaremos aqui apenas a matriz ∆ para cada esquema de perturbação em estudo.

i) Ponderação de casosAqui o esquema de perturbação é dado por

Γ(θ|ω) = Q⊤WΛ−1diag(ω)d, (4.8)

em que ω = (ω⊤1 , . . . ,ω

⊤n )

⊤ com ωi = (ωi1, . . . , ωis)⊤, i = 1, . . . , n e o vetor que representa a

ausência de perturbação, ω0, assume ωij = 1, para toda i = 1, . . . , n and j = 1, . . . , s.

A matriz ∆ é a derivada de Γ(θ|ω) em relação a ω resultando em

∆ = Q⊤WΛ−1D, (4.9)

com D = diag(u), diag(v)⊤ a qual deve ser avaliada em θ = θ e ω = ω0.

ii) Perturbação da variável respostaConsiderando a perturbação da variável resposta dada em (2.15) temos que

Γ(θ|ω) = Q⊤WΛ−1dω,

em que dω = (d⊤ω1, . . . ,d

⊤ωn)

⊤, com dωi = (d⊤ωi1, . . . , d⊤ωis)

⊤,

∆ =∂Γ(θ|ω)∂ω⊤ = Q⊤WΛ−1 ∂dω

∂ω⊤ ,

avaliado em θ e em ω0. O vetor perturbado na variável resposta para a i-ésima unidade experimentalfica dado por dωi = (u⊤

ωi,v⊤ωi)⊤, em que uωi = (uωi1, . . . , uωis)

⊤ e vωi = (vωi1, . . . , vωis)⊤, com uωij

definido em (2.16) com derivada em relação a ωij dada em (2.17).


Por outro lado,

vωij =1

αij

[4

α2ij

senh2

(yωij − µij

2

)− 1

],

cuja a derivada em relação a ωij é dada por,

∂vωij

∂ωij= syij

2

α3sinh (yωij − µij) .

Portanto,

∂d

∂ω⊤ =

(UV

),

com U = diagU1, . . . , Un

e V = diag

V1, . . . , Vn

em que Ui = diag

∂uωi1∂ωi1

, . . . , ∂uωis∂ωis

e Vi =

diag∂vωi1∂ωi1

, . . . , ∂vωis∂ωis

.

iii) Perturbação individual das covariáveisConforme a proposta de Thomas e Cook (1990) o esquema de perturbação considerado é na

k-ésima coluna da matriz de covariáveis X. Assim, o vetor perturbado tem cada componente igualao definido em (2.18).

Assim, perturbando a equação de estimação correspondente temos que,

Γ(θ|ω) = Q⊤ωΛωΥ

−1ω dω. (4.10)

De modo que,

∂Γ(θ|ω)∂ωij

= Q⊤ωΛω

[∂Υ−1

ω

∂ωijdω +Υω

∂dω∂ωij

]+

[∂Q⊤

ω

∂ωijΛω +Q⊤

ω

∂Λω

∂ωij

]Υ−1ω dω,

avaliada em θ e ω0, em que

∂Υ−1ω

∂ωij= −Υ−1

ω

∂Υω

∂ωijΥ−1ω .

Quando os parâmetros de localização e forma são modelados conjuntamente, consideremos osseguintes cenários que relacionam as matrizes que modelam a média e a forma (matrizes X e Z,respetivamente): as matrizes X e Z são iguais, as matrizes X e Z são totalmente diferentes e asmatrizes X e Z são parcialmente diferentes.

a) Matriz Z igual Matriz X

Neste caso a matriz de covariáveis é dada por, Q⊤ =

(X⊤ω 0

0 X⊤ω

), de modo que, ∂Q⊤

∂ω⊤ =(∂X⊤

ω

∂ω⊤ 0

0 ∂X⊤ω

∂ω⊤

)é uma matriz (2p) × 2N, (N = n × s) em que a derivada de X⊤

ω com relação a

ω⊤ é uma matriz p × N de zeros exceto a k-ésima linha que é composta pela constante sxk. As


derivadas de Υω, dω e Λω em relação ω⊤ são apresentadas a seguir. Temos que,

Λωi =

(Nωi 0

0 GωiMωi

), Υωi =

(Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

1/2ωi 0

0 Ωωi

)e dωi =

(uωi

vωi

).

em que Nωi = diag E(uωi1), . . . ,E(uωis), com E(uωij) = 14E

sech2(yij−µωij

2

)− 1

2 − 1α2ωij,

Σωi = diag Var(uωi1), . . . ,Var(uωis) , com Var(uωij) = E

14tgh2

(yij−µωij

2

)+ 1

4 + 1α2ωij, Gωi =

diag∂g−1(δωi1)/∂δi1, . . . , ∂g−1(δωis)/∂δis, Mωi = diag

− 2α2ωij, . . . ,− 2

α2ωis

e Ωωi = diag

2

α2ωi1, . . . , 2

α2ωis

. Assim, obtemos que,

∂Λωi

∂ω⊤i

=

(2GωiMωiγksxk 0

0 GωiMωi +GωiMωi

),

∂Υωi

∂ω⊤i

=

(−1

4γksxk

[Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

−1/2ωi MωiGωi +Σ

−1/2ωi MωiGωiR(ρ)Σ

1/2ωi

]0

0 γkσxkΩ

),

∂dωi

∂ω⊤i

=

(βksxkAωi − BωiGωiγksxk

CωiGωiγksxk − 2MωiGωiγksxk − Bωiβksxk

). (4.11)

em que ∂Gω

∂ω⊤ = diagGω1, . . . , Gωs

, ∂Mω

∂ω⊤ = diagMω1, . . . , Mωs

, ∂Ωω

∂ω⊤ = diagΩω1, . . . , Ωωs

,

∂Aωi

∂ω⊤ = diag Aωi1, . . . ,Aωis , ∂Bωi

∂ω⊤ = diag Bωi1, . . . ,Bωis , com Mωi = diag

4α3ωij, . . . , 4

α3ωis

,

Gωi = diag∂2g−1(δωi1)/∂δ2i1, . . . , ∂

2g−1(δωis)/∂δ2is e Ωωi = diag

− 4α3ωij, . . . ,− 4

α3ωis

. E defini-

mos

Aωij =1

4sech2

(yij − µωij

2

)− 1

α2ωij

cosh(yij − µωij), Bωij =2

α3ωij

senh(yij − µωij)

Cωij = − 12

α4ij

senh2

(yij − µωij

2

).

b) Matriz Z totalmente diferente da Matriz XQuando a matriz X, que modela o parâmetro de localização, tem a k-ésima coluna perturbada, e

a matriz de covariáveis Z é completamente diferente da matriz X, a matriz de covariáveis perturbada

fica dada por, Q⊤ =

(X⊤ω 0

0 Z

). Logo,

∂Q⊤

∂ω⊤ =

(∂X⊤

ω

∂ω⊤ 0

0 0

),

sendo uma matriz (p+ q)× 2N, em que a derivada de X⊤ω com a relação a ω⊤ é uma matriz p×N

em que k-ésima linha é composta pela constante sxk e o restante das entradas é zero. Temos que

Λωi =

(Nωi 0

0 GM

), Υωi =

(Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

1/2ωi 0

0 Ωi

)e dωi =

(uωi

vωi

),

4.2 EQUAÇÃO DE ESTIMAÇÃO CONJUNTA PARA O MODELO LOG-BS-T 63


sech2(yij−µωij

2

)− 1

2 − 1α2ij, Σωi =

diag Var(uωi1), . . . ,Var(uωis)(Σ

1/2ωi = diag

Var1/2(uωi1), . . . ,Var1/2(uωis)

), com Var(uωij) =

E

14tgh2

(yij−µωij

2

)+1

4+1α2ij,Gi = diag∂g(δi1)/∂δi1, . . . , ∂g(δi1)/∂δis,Mi = diag

− 2α2i1, . . . ,− 2

α2is

,

Ωi = diag

2α2i1, . . . , 2

α2is

, uωij = −1

2tgh(yij−µωij

2

)+ 1

α2ij

senh(yij − µωij) e

vij =1αij

[4α2ij

senh2(yij−µωij

2

)− 1

].

Assim, obtemos que,

∂Λωi

∂ω⊤i

=∂Υωi

∂ω⊤i

=

(0 0

0 0

)e∂dωi

∂ω⊤i

=

(βksxkA∗

ωi

−B∗ωiβksxk

),

em que definimos

A∗ωij =

1

4sech2

(yij − µωij

2

)− 1

α2ωij

cosh(yij − µωij), B∗ωij =

2

α3ωij

senh(yij − µωij).

c) A k-ésima coluna da matriz X é igual a l-ésima coluna da matriz Z

Vamos agora considerar o caso em que perturbamos a k-ésima coluna da matriz que modela oparâmetro de localização, X, que é igual à l-ésima coluna da matriz Z. A matriz de covariáveis é

então determinada por, Q⊤ =

(X⊤ω 0

0 Z⊤ω

), de modo que,

∂Q⊤

∂ω⊤ =

(∂X⊤

ω

∂ω⊤ 0

0 ∂X⊤ω

∂ω⊤

)

é uma matriz (p + q) × 2N, (N = n × s) em que a derivada de X⊤ω (ou Z⊤

ω ) com relação a ω⊤

é a matriz nula exceto pela k-ésima linha (l-ésima linha) que é composta pela constante sxk. Asderivadas de X⊤

ω e Z⊤ω com relação a ω⊤ possuem dimensões p ×N e q ×N, respectivamente. De

modo análogo ao item a) obtemos as derivadas de Υω, dω e Λω em relação ω⊤. Entretanto, observeque

∂αωij∂ωij

=∂g−1 (δωij)

∂δijγlsxk ,

com i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , s, k = 2, . . . , p e l = 2, . . . , q. Portanto, basta substituir em (4.1.5) γkpor γl.

4.2 Equação de estimação conjunta para o modelo log-BS-t

4.2.1 Derivação de função de estimação conjunta

Consideramos agora uma amostra aleatória de n unidades amostrais, t1, . . . , tn, em que ti =

(ti1, . . . , tisi)⊤ e admitimos que cada componente tij ∼ BS-t(αij , β∗ij , ν), de forma que cada compo-


nente yij = log(tij) ∼ log-BS-t(αij , µij , ν), isto é, sua distribuição marginal é dada por

f(yij , µij , αij) = c(ν)

1

αijcosh

(yij − µij

2

)1 +

1

ν

[2

αijsenh

(yij − µij

2

)]2−( ν+12 )

,

αij > 0, i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , si. Ou seja, vamos incorporar a heterogeneidade do parâmetrode forma ao que foi feito no Capítulo 3. Sem perda de generalidade, assumiremos experimentosbalanceados si = s.

O parâmetro de localização é expresso na forma


adicionalmente, o parâmetro de forma agora assume a forma,

g(αij) = δij = z⊤ijγ,

em que β = (β1, . . . βp)⊤ e γ = (γ1, . . . γq)

⊤ são, respectivamente, vetore p e q-dimensionais deparâmetros desconhecidos, xij = (xij1 . . . xijp)

⊤ e zij = (zij1 . . . zijq)⊤ contém valores de variávéis

explicativas associadas a µij e αij , respectivamente, e g(·) é uma função de ligação monótona e duasvezes diferenciável. Devido à bimodalidade da função densidade da SN quando α > 2, que podecausar múltiplos máximos na função de verossimilhança, é razoável impor que αij ≤ 2. Como foifeito no caso clássico será assumido que

αij = exp(z⊤ijγ

).

∂ξij2∂αij

= − 1

α2ij

senh(yij − µij

2

)= − 1

αijξij2.

Então,

∂l(µij ; yij)

∂αij=

1

ξij1ξij1

(−1

αij

)−

(ν+12

)− 8αijν

ξ2ij2

1 + 4

ν ξ2ij2

=

−1

αij+

(ν + 1)

4αijξ2ij2

ν + 4ξ2ij2

=

1

αij

(4wijξ

2ij2 − 1

),

em que wij = ν+1ν+4ξ2ij2

.

Portanto, a função escore do parâmetro αij fica dada por,

vij = =1

αij

(4wijξ

2ij2 − 1

)(4.12)


e definimos vi = (vi1, . . . , vis)⊤. Análogo ao que foi feito no Apêndice A podemos mostrar que vi

são vetores com média zero.Observe que,

dwijαij

=8wijξ

2ij2

αij(ν + 4ξ2ij2),

logo,

vij =∂vij∂αij

= − 1

α2ij

(4wijξ

2ij2 − 1

)+

1

αij

(4

(8wijξ

2ij2

αij(ν + 4ξ2ij2)

)ξ2ij2

+4wij2ξij2

(− 1

αijξij2

))=

1

α2ij

+4wijξ

2ij2

α2ij

−1 +

8ξ2ij2ν + 4ξ2ij2

− 2

.

Realizando uma mudança de variável e tomando xij = ξij2α, lembrando que wij =α2ij(ν+1)

να2ij+4x2ij

,

obtemos

E(vij) =∫ ∞

−∞

2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 )[

1

α2ij

+4wijx

2ij

α4ij

−3 +

8x2ijνα2

ij + 4x2ij

]dxij

= − 2ν

(3 + ν)α2ij

. (4.13)

Denotamos,

Mi = E(∂vi∂αi

)= diag E(vi), . . . ,E(vis) , (4.14)

portanto,

E(∂vi∂γ⊤

)⊤= E

(∂vi∂αi

∂αi∂δi

∂δi∂γ⊤

)⊤= Z⊤

i GiMi,

em que Gi = diag∂g−1(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g−1(z⊤isγ)/∂δis.

A matriz de variância-covariância de vi pode ser escrita na forma

Cov(vi) = Var(vi)1/2Corr(vi)Var(vi)1/2,

em que R(vi) representa a matriz de correlação de vi e Var(vi) é dada por,

Var(vi) = diag Var(vi1), . . . ,Var(vis) = diagE(v2i1), . . . ,E(v

2is),

em que,

v2ij =

[1

αij

(4wijξ

2ij2 − 1

)]2.


Realizando uma mudança de variável e tomando xij = ξij2α temos que

Var(vij) = E(v2ij) =

∫ ∞

−∞

2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 ) 1

α2ij

(4wij

x2ijα2ij

− 1

)2 dxij

=2ν

(3 + ν)α2ij

. (4.15)

Denotamos, Ωi = diagE(v2i1), . . . ,E(v

2is). Logo,

W∗i = Cov(vi) = Var(vi)1/2Corr(vi)Var(vi)1/2 = Ω

1/2i Corr(vi)Ω

1/2i , (4.16)

em que Corr(vi) é a verdadeira matriz de correlação entre as observações vi1, . . . , vis. A função deestimação linear ótima para γ fica portanto dada por,

ζn(γ) =

n∑i=1

Z⊤i HiMiW

∗i−1vi. (4.17)

Seja θ = (β⊤,γ⊤)⊤ e consideremos di = (u⊤i ,v

⊤i )

⊤. Uma função de estimação ótima para θgerada por di é dada por,

Γn(θ)0 = E

n∑i=1

∂ui

∂β⊤∂ui

∂γ⊤

∂vi

∂β⊤∂vi

∂γ⊤

⊤

Cov(di)−1di.

Vimos anteriormente que,

E(∂ui

∂β⊤

)⊤= X⊤

i Ni e E(∂vi∂γ⊤

)⊤= Z⊤

i HiMi.

Note que,

E(∂ui∂γ⊤

)⊤= 0 e E

(∂vi

∂β⊤

)⊤= 0.

Portanto,

Γn(θ)0 =

n∑i=1

(X⊤i Ni 0

0 Z⊤i HiMi

)A−1i di, (4.18)

com

Ai = cov(di) =

(Cov(ui) Cov(ui,vi)

Cov(ui,vi) Cov(vi)

)

=

(Σ

1/2i Corr(ui)Σ

1/2i , Cov(ui,vi)


1/2i

),


)= diag E(ui1), . . . ,E(uis), com E(uij) dada em (3.1), Corr(ui) é a ver-


dadeira matriz de correlação entre ui1, . . . , uis, Σi = diag Var(ui1), . . . ,Var(uis) ,com Var(uij)dada em D.2, Gi = diag∂g−1(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g

−1(z⊤isγ)/∂δis, Mi = diag E(vi1), . . . ,E(vis)com E(vij) dada em 4.13, Corr(vi) é a verdadeira matriz de correlação,Ωi = diag Var(ui1), . . . ,Var(uis) , com Var(vij) dada em (4.15).

Com o objetivo de diminuir o número de parâmetros de perturbação assumimos que as equaçõesde estimação são independentes, isto é, Cov(ui,vi) = 0; e que não há dependência entre os elementosde vi, ou seja, Corr(vi) = Is.

A função de estimação generalizada proposta para θ é dada então por,

Γn(θ) =

(Γn(β)

Γn(α)

)=

n∑i=1

(X⊤i Ni(Σ

1/2i Ri(ρ)Σ

1/2i )−1ui

Z⊤i HiMiΩi

−1vi

)

=n∑i=1

Q⊤i ΛiΥ

−1i di (4.19)

sendo Qi =

(Xi 0

0 Zi

), Λi =

(Ni 0

0 HiMi

)e Υi =

(Σ

1/2i Ri(ρ)Σ

1/2i 0

0 Ωi

).


Para encontrarmos o estimador θ de θ, devemos resolver a seguinte equação de estimação:

Γn(θ) = 0


n∑i=1

Qi⊤ΛiΥ

−1i di = 0.

Aplicando-se o método de Newton-Raphson chegou-se ao seguinte processo iterativo separadamentea cada passo do processo iterativo. Newton-Raphson, expandindo a EEG dada na equação (4.19)em torno de um valor inicial θ(0)

θ(m+1) = θ(m) −[∂

∂θ⊤Γ(θ(m))

]−1

Γ(θ(m)), (4.20)

sendom o número de iterações. O índice m no lado direito das equações acima indica que as matrizese os vetores são atualizados pelas estimativas de β,α, ρ da m-ésima iteração.

Para estimar ρ, procedemos como descrito na Seção 2.2.2.O processo iterativo é desenvolvido a partir das seguintes etapas:


Processo iterativo

1) Para determinar o chute inicial do processo iterativo, θ(0) e γ(0) supomos independência entreas observações da mesma unidade experimental e ajustamos modelos de regressão linear g(y)sobre X, e um sobre Z, respectivamente ambos via métodos de mínimos quadrados ordinários,2) Atualizamos ρ pela estrutura de correlação que será utilizada no modelo,3) atualizamos θ(m) pelo processo iterativo dado por (4.20).4) repetimos os passos 2 e 3 até a convergência de θ.

4.2.3 Estudo de Simulação

Seguiremos nessa sessão a metodologia estabelecida em 4.1.4. Agora iremos analisar dados log-BS-t correlacionados heterogêneos. Temos que os componentes de µi são modelados por


em que xij ’s denotam valores fixos gerados de uma distribuição uniforme no intervalo [0, 1] e β0 = 4,β1 = −2 e ν = 3 e ν = 7. Para introduzir o parâmetro de forma variável, os componentes de αi sãomodelados como

αij = exp (γ0 + γ1zij)

em que zij ’s denotam valores fixos gerados de distribuição uniforme no intervalo [0, 1] com (γ0, γ1) =

(2,−2) gerando assim grau de heterogeneidade aproximadamente 7, e distribuição uniforme nointervalo [0, 1.4] com (γ0, γ1) = (3,−3) resultando em grau de heterogeneidade de aproximadamente60.

Assim como nos demais estudos de simulação vamos considerar ρ = 0.3, 0.6 e 0.9, tamanhosamostrais n = 10, 20, 50 e 80 e s = 3, 5 e 10. O viés relativo (VR) de θj é estimado como 100×|θj −θj |/θj , com θj = R−1

∑Rr=1 θ

(r)j , com θj = (β0, β1, γ0, γ1), θ

(r)j sendo a estimativa EEG de θj na

r-ésima réplica, para j = 0, 1, . . . , R, e o erro quadrático médio (EQM) é dado por R−1∑R

r=1(θj −β(r)j )2. Consideramos para cada caso R = 5000 réplicas.

Podemos observar também que os erros quadráticos médios das estimativas de γ0 e γ1 diminuemquando as amostras crescem e as demais características são fixas (correlação e tamanho grupo) , omesmo ocorre quando fixamos o tamanho amostral e a correlação e comparamos e o grupo aumenta,ou quando fixamos o tamanho do grupo e o tamanho amostral e quem cresce é a correlação. Podemosainda observar que quando o grau de heterogeneidade é maior, os EQM’s são menores.


Assim como na Seção 3.2.6 o procedimento de diagnóstico é similar ao que foi feito na Seção 4.1.5,porém é necessário que sejam realizadas adaptações para a obtenção da influência local. Portanto,apresentaremos aqui apenas a matriz ∆ para a influência local para os esquemas: perturbação davariável resposta e perturbação individual das covariáveis.

i) Perturbação da variável resposta


Considerando a perturbação da variável resposta

yωij = yij + ωijsyij

temos que


em que dω = (d⊤ω1, . . . ,d

⊤ωn)

⊤, com dωi = (d⊤ωi1, . . . , d⊤ωis)

⊤,

∆ =∂Γ(θ|ω)∂ω⊤ = Q⊤WΛ−1 ∂dω

∂ω⊤ ,

avaliado em θ e em ω0. O vetor perturbado na variável resposta para a i-ésima unidade experimentalé dωi = (u⊤


⊤ e vωi = (vωi1, . . . , vωis)⊤, com uωij definido em

(3.8) com derivada em relação a ωij dada em (3.9).E temos que,

vωij =1

αij

[4wωijξ

2ωij2 − 1

],

em que wωij = ν+1ν+4ξ2ωij2

e ξωij2 = 1αsenh

(yωij−µij

2

)e temos que,

∂vωij

∂ωij= syij

4

αwωijξωij2ξωij1

[1−

ξ2ωij2ν + 4ξ2ωij2

],


(yωij−µij

2

). Portanto,

∂d

∂ω⊤ =

(UV

),

com U = diagU1, . . . , Un

e V = diag

V1, . . . , Vn

em que Ui = diag

∂uωi1∂ωi1

, . . . , ∂uωis∂ωis

e Vi =

diag∂vωi1∂ωi1

, . . . , ∂vωis∂ωis

.


Capítulo 5

Considerações Finais

Neste trabalho derivamos equações de estimação generalizadas para a análise de dados log-BSe log-BS-t correlacionados, cujas raízes levam a estimadores consistentes e assintoticamente nor-mais. Alguns procedimentos usuais de diagnóstico foram desenvolvidos de modo que fosse possívelaveriguar a adequação dos modelos propostos através de análise de resíduos, distância de Cook einfluência local. Este último procedimento sob três esquemas de perturbação: ponderação de casos,perturbação da variável resposta e perturbação individual das covariáveis.

Estudos de simulação foram conduzidos para avaliar as propriedades empíricas dos estimadores.Assim como, para avaliar a distribuição dos resíduos. Pudemos assim averiguar que o método pro-posto para a análise de dados BS (ou BS-t) correlacionados leva a estimativas eficientes. Destacamosque as estimativas dos parâmetros de regressão permanecem consistentes mesmo diante de erros naespecificação da estrutura de correlação.

Dados reais foram analisados com o intuito de ilustrar os procedimentos discutidos durante atese. Quando consideramos o banco de dados referente à produtividade de capital público dos 48estados norte-americanos contíguos de 1970 a 1986, concluímos ser razoável assumir que marginal-mente o PIB assume distribuição BS(α, ηij), em que ηij é explicado pelo Capital de SaneamentoBásico. Já no estudo realizado na Escola de Educação Física e Esporte da Universidade de São Paulo(USP), concluímos ser razoável admitir que marginalmente o máximo do primeiro pico de força as-sume distribuição log-BS-t(α, ηij , ν), em que ηij é explicado pelas variáveis: condição (calçado oudescalço), grupo (experimental ou controle), momento (inicial, 3 meses, ou 6 meses) e ainda pelainteração entre grupo e momento.

A metodologia proposta e discutida nesta tese foi toda implementada no ambiente R.

5.1 Trabalhos futuros

• fazer um estudo comparativo entre diferentes métodos para analisar dados Birnbaum-Saunderscorrelacionados;

• incluir o método de EEGs para estudar a estrutura de correlação;

• incluir estrutura de correlação para o modelo do parâmetro de forma, α.

71

72 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Apêndice A

Vamos obter uma função u(·) tal que,

Eµij uij(yij , µij) = 0.

A função escore do parâmetro µij é dada por,

uij = −1

2tgh

(yij − µij

2

)+

1


Note que,

uij =∂l(µij ; yij)

∂µij=∂ log f(yij , µij)

∂µij=

1

f(yij)

∂f(yij)

∂µij.

Portanto,

Eµij uij(yij , µij) =

∫ ∞

−∞uij(yij , µij)f(yij , µij)dyij =

∫ ∞

−∞

1

f(yij)

∂f(yij)

∂µijf(yij , µij)dyij

=

∫ ∞

−∞

∂f(yij , µij)

∂µijdyij .

Observe que,

∂f(yij , µij)

∂µij=

(1

α√2π

)cosh

(yij − µij

2

)exp

−2α2senh2

(yij − µij

2

)−2α−22senh

(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)(−1

2

)+

(1

α√2π

)exp

−2α2senh2

(yij − µij

2

)senh

((yij − µij)

2

)(−1

2

)=

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

−2α2senh2

(yij − µij

2

)

cosh2

(yij − µij

22α−2 − 1

2

).

Temos acima o produto de funções contínuas para todo yij ∈ IR, portanto também é contínua.De acordo com a Regra de Leibniz pode-se derivar sob o sinal da integral desde que o integrandoresultante seja uma função contínua. Mais detalhes em Lages (2000, pg 143).

73

74 APÊNDICE A

Como, ∂f(yij ,µij)∂µij

é uma função contínua segue que,

Eµij uij(yij , µij) =

∫ ∞

−∞

∂f(yij , µij)

∂µijdyij =

∂

∂µij

∫ ∞

−∞f(yij , µij)dyij = 0.

Apêndice B

Cálculos do Capítulo 2

B.1 Função de estimação para o parâmetro de localização

Iremos apresentar nesta seção os cálculos detalhados para a obtenção da função de estimaçãoótima descrita em (2.4). Temos que

uij = −1

2tanh

(yij − µij

2

)+

1


Então,

uij =∂uij∂µij

=1

4

[1− tanh2

(yij − µij

2

)]− 1

α2cosh(yij − µij)

=1

4sech2

(yij − µij

2

)− 1

α2cosh(yij − µij)

=1

4sech2

(yij − µij

2

)− 1

α2

[cosh2

(yij − µij

2

)+ senh2

(yij − µij

2

)]=

1

4sech2

(yij − µij

2

)− 1

α2

[1 + senh2

(yij − µij

2

)+ senh2

(yij − µij

2

)]=

1

4sech2

(yij − µij

2

)− 1

α2

[1 + 2senh2

(yij − µij

2

)].

Logo,

E(uij) = E1

4sech2

(yij − µij

2

)− 1

α2

[1 + 2senh2

(yij − µij

2

)]= E

1

4sech2

(yij − µij

2

)− 1

α2− 2

α2E

senh2

(yij − µij

2

).

Observe que

E

senh2

(yij − µij

2

)=

∫ ∞

−∞senh2

(yij − µij

2

)1

α√2π

cosh

(yij − µij

2

)× exp

[−2

1

αsenh

(yij − µij

2

)2]dyij .

75

76 APÊNDICE B

Fazendo a substituição a = senh(yij−µij

2

), 2da = cosh

(yij−µij

2

)dyij

Esinh2

(yij − µij

2

)=

∫ ∞

−∞

2√2πα

a2 exp

[−2( aα

)2]da

=

∫ ∞

−∞

1√2πα/2

a2 exp

(− a2

2α2/4

)da =

α2

4(B.1)

que é o segundo momento central da distribuição normal com média 0 e variância (α2/4).

Portanto,

E(uij) = E1

4sech2

(yij − µij

2

)− 1

α2− 2

α2× α2

4

=1

4E

sech2

(yij − µij

2

)− 1

2− 1

α2.

Denotamos,

Ni = E(∂ui∂µi

)= diag E(ui1), . . . ,E(uis) ,

então,

∂ui∂µi

∂µi∂ηi

∂ηi∂β⊤ = NiXi

E(∂ui

∂β⊤

)⊤= E

(∂ui∂µi

∂µi∂ηi

∂ηi∂β⊤

)⊤= X⊤

i Ni.

A matriz de variância-covariâncias de ui pode ser escrita na forma


em que Corr(ui) denota a matriz de correlação de ui e Var(ui) é dada por,


2is)= Σi,

em que,

u2ij =

[−1

2tgh

(yij − µij

2

)+

1

α2senh(yij − µij)

]2=

1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 1

α2tgh

(yij − µij

2

)senh(yij − µij) +

1

α4senh2(yij − µij)

=1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 1

α2tgh

(yij − µij

2

)2senh

(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)+

1


=1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)+

1


MATRIZES DE SENSIBILIDADE E VARIABILIDADE 77

=1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)+

1

α4

[2senh

(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)]2=

1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)+

1

α44senh2

(yij − µij

2

)cosh2

(yij − µij

2

)=

1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)1

α44senh2

(yij − µij

2

)×(1 + senh2

(yij − µij

2

))=

1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)+

1

α44senh2

(yij − µij

2

)+

1

α44senh4

(yij − µij

2

),

e

E(u2ij) = E1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)+

1

α44senh2

(yij − µij

2

)1

α44senh4

(yij − µij

2

)= E

1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2E

senh2

(yij − µij

2

)+

4

α4E

senh2

(yij − µij

2

)+

4

α4E

senh4

(yij − µij

2

). (B.2)

Analogamente a (B.1) temos que,

E(sinh4

(yij − µij

2

))=

∫ ∞

−∞

2√2πα

a4 exp

[−2( aα

)2]da

=

∫ ∞

−∞

1√2πα/2

a4 exp

(− a2

2α2/4

)da =

3α4

16. (B.3)

Portanto, aplicando (B.1) e (B.3) em (B.2) segue que

E(u2ij) = E1

4tgh2

(yij − µij

2

)− 2

α2× α2

4+

4

α4× α2

4+

4

α4× 3α4

16

= E1

4tanh 2

(yij − µij

2

)− 1

2+

1

α2+

3

4

= E1

4tgh2

(yij − µij

2

)+

1

4+

1

α2.

Logo,

Ψ∗n(β) =

n∑i=1

X⊤i Ni

(Σ

1/2i R(ui)Σ

1/2i

)−1ui.

B.2 Matrizes de sensibilidade e variabilidade

Iremos derivar nesta seção a matriz de sensibilidade, Si(β), e a matriz de variabilidade, Vi(β),

para a função de estimação generalizada (2.4).

78 APÊNDICE B

Observe inicialmente que,

∂ψi(β)

∂β=∂ψi(β)

∂µi× ∂µi∂ηi

× ∂ηi∂β

.

Temos que,

∂ψi(β)

∂µi=

∂

∂µi

X⊤i NiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i ui

= X⊤

i

∂Ni

∂µiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i ui +X⊤

i Ni∂Σ

−1/2i

∂µiR(ρ)−1Σ

−1/2i ui

+X⊤i NiΣ

−1/2i R(ρ)−1∂Σ

−1/2i

∂µiui +X⊤

i NiΣ−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i

∂ui∂µi

. (B.4)

Note que

E(uij) =1

4E

sech2

(yij − µij

2

)− 1

2− 1

α2.

Podemos provar facilmente que ∂∂µij

[14sech

2(yij−µij

2

)f(yij , µij)

]é contínua. Logo, podemos derivar

sob o sinal de integração e assim obtemos,

∂Eµij uij(yij , µij)∂µij

=∂

∂µij

∫ ∞

−∞

[1

4sech2

(yij − µij

2

)f(yij , µij)

]dyij

=

∫ ∞

−∞

∂

∂µij

[1

4sech2

(yij − µij

2

)f(yij , µij)

]dyij

=

∫ ∞

−∞

∂

∂µij

[1

4sech2

(yij − µij

2

)]× f(yij , µij)

dyij

+

∫ ∞

−∞

1

4sech2

(yij − µij

2

)× ∂f(yij , µij)

∂µij

dyij . (B.5)

Observe que,

∂f(yij , µij)

∂µij=

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)(−1

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)+

1

α√2π

cosh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)×[2

α2senh

(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)]=

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)

cosh2

(yij − µij

2

)2

α2− 1

2

. (B.6)

Logo,

∂f(yij , µij)

∂µij

[1

4sech2

(yij − µij

2

)]=

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)


cosh2

(yij − µij

2

)2

α2− 1

2

1

4sech2

(yij − µij

2

)=

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)

1

2α2− 1

8sech2

(yij − µij

2

)=

1

α32√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)− 1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)1

8sech2

(yij − µij

2

). (B.7)

E temos,

∂

∂µij

[1

4sech2

(yij − µij

2

)]f(yij , µij) =

1

α√2π

cosh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)−2

4sech

(yij − µij

2

) [−senh(yij−µij

2

)]cosh2

(yij−µij

2

) (−1

2

)=

1

α√2π

cosh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)1

4sech

(yij − µij

2

) senh(yij−µij

2

)cosh2

(yij−µij

2

)

=1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)1

4sech2

(yij − µij

2

). (B.8)

Portanto, utilizando os resultados obtidos em (B.7) e (B.8), o integrando em (B.5) fica dado por,

∂

∂µij

[1

4sech2

(yij − µij

2

)]× f(yij , µij) +

1

4sech2

(yij − µij

2

)× ∂f(yij , µij)

∂µij

=1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)× 1

2α2

+1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)1

8sech2

(yij − µi1

2

).

Logo, fazendo uma troca de variável, zij = yij − µij , e depois observando que o integrandoresultante é uma função ímpar no intervalo (−∞,∞) segue que,


=

∫ ∞

−∞

∂

∂µij

[1

4sech2

(yij − µij

2

)]× f(yij , µij) +

1

4sech2

(yij − µij

2

)×∂f(yij , µij)

∂µijdyij

= 0.

80 APÊNDICE B

Portanto,

∂Ni

∂µi= 0. (B.9)

Temos que,

E(u2ij) = E1

4tanh2

(yij − µij

2

)+

1

4+

1

α2.

Podemos provar sem dificuldades que ∂∂µij

[14tgh2

(yij−µij

2

)f(yij , µij)

]é contínua. Logo, pode-

mos derivar sob o sinal de integração e assim obtemos,

∂

∂µijE1

4tanh2

(yij − µij

2

)=

∂

∂µij

∫ ∞

−∞

f(yij , µij)

1

4tgh2

(yij − µij

2

)dyij

=

∫ ∞

−∞

∂

∂µij

f(yij , µij)

1

4tgh2

(yij − µij

2

)dyij , (B.10)

em que,

∂

∂µij

1

4tanh2

(yij − µij

2

)f(yij , µij) = −1

4tanh

(yij − µij

2

)sech2

(yij − µij

2

)×f(yij , µij) (B.11)

e de (B.6),

∂f(yij , µij)

∂µij

[1

4tanh2

(yij − µij

2

)]=

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)

cosh2

(yij − µij

2

)2

α2− 1

2

1

4tanh2

(yij − µij

2

)=

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)× 1

2α2sinh2

(yij − µij

2

)− 1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

− 2

α2senh2

(yij − µij

2

)1

8tanh2

(yij − µij

2

)= f(yij , µij)

1

2α2sinh2

(yij − µij

2

)tanh

(yij − µij

2

)+f(yij , µij)

1

8tanh3

(yij − µij

2

). (B.12)

Logo, fazendo uma troca de variável, xij = yij − µij e (B.11) e (B.12) em (B.10) e observando queo integrando resultante é uma função ímpar no intervalo (−∞,∞), segue que,

∂Eµiju2ij(yij , µij)

∂µij

=

∫ ∞

−∞

f(yij , µij)

[1

2α2sinh2

(yij − µij

2

)tgh

(yij − µij

2

)]+f(yij , µij)

1

8tanh3

(yij − µij

2

)

INFLUÊNCIA CONFORMAL SOB HOMOGENEIDADE DO PARÂMETRO DE FORMA 81

−f(yij , µij)1

4tanh

(yij − µij

2

)sech2

(yij − µij

2

)dyij

= 0.

E ainda temos,

∂

∂µij

E(u2ij)

−1/2= −1

2

1

E(u2ij)3/2∂Eu2ij(yij , µij)

∂µij

= 0,

de onde segue que,

∂Σ−1/2i

∂µi= 0. (B.13)

Portanto, aplicando (B.9) e (B.13) em (B.4) obtemos

∂ψi(β)

∂µi= X⊤


−1/2i

∂ui∂µi

= X⊤i NiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i Ui,

em que Ui = diag uij , . . . , uis .Logo,

Si(β) = E(∂ψi(β)

∂β

)= X⊤


−1/2i NiXi.

Temos ainda que,

Vi(β) = E[ψi(β)ψ

⊤i (β)

]= E

[X⊤i NiW

−1i uiu

⊤i W

−⊤i NiXi

]= X⊤

i NiW−1i E

[uiu

⊤i

]W−⊤

i NiXi

= X⊤i NiW

−1i Cov(ui)W−⊤

i NiXi.

B.3 Influência conformal sob homogeneidade do parâmetro de forma

B.3.1 Perturbação da variável resposta

Observe que

uωij =1

α2senh(yωij − µij)−

1

2tgh

(yωij − µij

2

),

cuja derivada em relação para ωij é dada por,

∂uωij∂ωij

=1

α2cosh(yωij − µij)

∂yωij∂ωij

− 1

4sech2

(yωij − µij

2

)∂yωij∂ωij

= syij

[1

α2cosh(yωij − µij)−

1

4sech2

(yωij − µij

2

)]

82 APÊNDICE B

= Uij .

B.3.2 Perturbação individual das covariáveis

Nesta seção temos as contas detalhadas das derivadas de Nωi, Cωi e uωi com relação à ω⊤i .

Primeiramente, derivamos Cωi com relação à ω⊤.

∂C

∂ω⊤ = diag∂C1

∂ω⊤1

, . . . ,∂Cn

∂ω⊤n

),

com

∂Ci

∂ω⊤i

=∂[Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

1/2ωi

]∂ω⊤

i

=∂Σ

1/2ωi

∂ω⊤i

R(ρ)Σ1/2ωi +Σ1/2

ω R∂Σ

1/2ω

∂ω⊤i

.

Temos que Σωi = diagE(u2ωi1), . . . ,E(u

2ωisi

). Observe que,

E(u2ωij) =1

4Etanh2

(yij − µωij

2

)+

1

4+

1

α2,

logo

∂E(u2ij

)∂µωij

∂yωij∂ωij

=∂

∂µωij

∫ ∞

−∞

1

4tanh2

(yij − µωij

2

)f(yij , µωij)

dyij ×

∂µωij∂ωij

.

Através de manipulação similar ao que foi feito na Seção B.1 chegamos em,

∂E(u2ij

)∂µωij

= 0

e assim,

∂C


∂ω⊤1

, . . . ,∂Cn

∂ω⊤n

= 0.

Agora derivamos uω com relação à ω⊤. A forma matricial das derivadas de u com relação àω é dada por ∂uω

∂ω⊤ = Ux com Ux = diagUx1, . . . , Uxn

, 0 em que Uxi = diag

∂uωi1∂ωi1

, . . . , ∂uωis∂ωis

.

Temos que,

uωij = −1

2tgh

(yij − µωij

2

)+

1

α2senh(yij − µωij).

de forma que

∂uωij∂ωij

=

1

4sech2

(yij − µωij

2

)− 1

α2

[1 + 2senh2

(yij − µωij

2

)]sxk.


Por fim, derivamos Nωi com relação a ω⊤i .

Nωi = E(∂uωi∂µωi

)= diag E(uωi1), . . . ,E(uωis) ,

em que,

E(uωij) =1

4E

sech2

(yij − µωij

2

)− 1

2− 1

α2.

e


=

∫ ∞

−∞

1

α√2π

senh(yij − µij

2

)exp

−2α−2senh2

(yij − µij

2

)×[

1

2α2+

1

8sech2

(yij − µij

2

)]dyij

= 0.

Portanto,

∆ =∂Ψ(µ|ω)∂ω⊤ = X⊤

ωNωC−1ω

∂uω∂ω⊤ +

∂X⊤ω

∂ω⊤NωC−1ω uω.

84 APÊNDICE B

Apêndice C

Tabelas referentes às simulações doCapítulo 2

85

86 APÊNDICE C

Tabela C.1: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariada BS comuma estrutura de correlação AR-1 e ajustado sob o modelo log-BS (via equações de estimação) com mesmaestrutura de correlação.

β0 β1 αρ s β0 VR EQM β1 VR EQM α VR EQM ρ

n = 103 4,0003 0,0068 0,0394 -2,0004 0,0224 0,0820 0,4744 -5,1218 0,0050 0,2290

0,3 5 4,0000 0,0011 0,0183 -1,9996 -0,0219 0,0480 0,4835 -3,2964 0,0032 0,258210 4,0005 0,0132 0,0101 -1,9997 -0,0143 0,0241 0,4914 -1,7166 0,0015 0,27713 4,0049 0,1224 0,0294 -2,0078 0,3910 0,0622 0,4672 -6,5674 0,0074 0,5242

0,6 5 3,9978 -0,0542 0,0190 -1,9969 -0,1571 0,0341 0,4760 -4,8022 0,0049 0,544310 4,0012 0,0304 0,0108 -2,0029 0,1434 0,0138 0,4861 -2,7712 0,0024 0,56553 4,0024 0,0594 0,0278 -1,9976 -0,1190 0,0265 0,4512 -9,7611 0,0120 0,8126

0,9 5 4,0004 0,0093 0,0206 -2,0014 0,0679 0,0064 0,4632 -7,3664 0,0095 0,847510 4,0045 0,1118 0,0160 -2,0004 0,0214 0,0028 0,4729 -5,4184 0,0072 0,8703

n = 203 3,9973 -0,0671 0,0147 -1,9980 -0,1017 0,0419 0,4879 -2,4112 0,0024 0,2695

0,3 5 3,9977 -0,0587 0,0101 -1,9979 -0,1064 0,0265 0,4922 -1,5547 0,0015 0,277010 4,0007 0,0172 0,0050 -2,0013 0,0650 0,0113 0,4959 -0,8222 0,0008 0,28743 4,0000 0,0012 0,0154 -2,0034 0,1683 0,0294 0,4830 -3,3924 0,0034 0,5588

0,6 5 4,0001 0,0019 0,0093 -1,9998 -0,0090 0,0155 0,4889 -2,2271 0,0023 0,570810 3,9998 -0,0041 0,0055 -2,0000 0,0017 0,0075 0,4928 -1,4332 0,0013 0,58103 3,9985 -0,0380 0,0121 -2,0005 0,0270 0,0079 0,4770 -4,5921 0,0056 0,8676

0,9 5 4,0000 0,0008 0,0104 -1,9995 -0,0250 0,0034 0,4818 -3,6451 0,0048 0,875410 4,0012 0,0299 0,0079 -2,0000 -0,0009 0,0016 0,4858 -2,8459 0,0035 0,8858

n = 503 3,9988 -0,0303 0,0071 -1,9981 -0,0975 0,0198 0,4949 -1,0259 0,0010 0,2844

0,3 5 4,0003 0,0080 0,0040 -2,0018 0,0907 0,0102 0,4970 -0,6005 0,0006 0,289210 4,0000 0,0007 0,0020 -2,0007 0,0356 0,0046 0,4981 -0,3804 0,0003 0,29393 4,0021 0,0515 0,0055 -2,0018 0,0878 0,0099 0,4938 -1,2315 0,0013 0,5834

0,6 5 4,0010 0,0251 0,0038 -2,0026 0,1302 0,0060 0,4952 -0,9637 0,0009 0,586110 3,9993 -0,0167 0,0020 -1,9998 -0,0083 0,0025 0,4973 -0,5480 0,0005 0,59223 3,9997 -0,0067 0,0047 -2,0004 0,0204 0,0028 0,4915 -1,6998 0,0021 0,8893

0,9 5 3,9981 -0,0473 0,0042 -1,9999 -0,0072 0,0012 0,4922 -1,5645 0,0019 0,889910 4,0010 0,0253 0,0034 -1,9996 -0,0184 0,0006 0,4947 -1,0653 0,0014 0,8938

n = 803 4,0007 0,0176 0,0044 -2,0019 0,0974 0,0109 0,4963 -0,7315 0,0006 0,2911

0,3 5 4,0006 0,0155 0,0023 -2,0005 0,0242 0,0055 0,4984 -0,3253 0,0004 0,294310 4,0001 0,0032 0,0013 -2,0009 0,0431 0,0032 0,4989 -0,2123 0,0002 0,29633 3,9987 -0,0320 0,0035 -1,9988 -0,0577 0,0063 0,4958 -0,8396 0,0009 0,5893

0,6 5 4,0001 0,0015 0,0024 -1,9995 -0,0238 0,0038 0,4967 -0,6688 0,0006 0,590410 3,9994 -0,0140 0,0013 -1,9999 -0,0039 0,0018 0,4982 -0,3503 0,0003 0,59473 3,9995 -0,0122 0,0032 -1,9990 -0,0510 0,0019 0,4942 -1,1542 0,0014 0,8913

0,9 5 4,0022 0,0546 0,0027 -2,0007 0,0348 0,0010 0,4948 -1,0337 0,0012 0,893910 3,9997 -0,0081 0,0022 -2,0003 0,0162 0,0004 0,4965 -0,6925 0,0009 0,8955

TABELAS REFERENTES ÀS SIMULAÇÕES DO CAPÍTULO 2 87

Tabela C.2: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariada BS comuma estrutura de correlação permutável e ajustado sob o modelo log-BS (via equações de estimação) commesma estrutura de correlação.


n = 103 4,0025 0,0627 0,0331 -2,0039 0,1966 0,0746 0,4713 -5,7315 0,0056 0,2305

0,3 5 4,0008 0,0209 0,0242 -2,0017 0,0868 0,0492 0,4800 -4,0021 0,0036 0,247110 4,0000 0,0000 0,0132 -2,0009 0,0473 0,0178 0,4856 -2,8826 0,0024 0,25443 4,0059 0,1466 0,0260 -2,0037 0,1846 0,0501 0,4644 -7,1272 0,0077 0,5000

0,6 5 4,0031 0,0771 0,0220 -2,0027 0,1347 0,0275 0,4717 -5,6506 0,0061 0,524510 4,0017 0,0433 0,0190 -2,0009 0,0437 0,0161 0,4738 -5,2350 0,0055 0,52363 3,9990 -0,0261 0,0260 -2,0000 0,0013 0,0145 0,4546 -9,0780 0,0120 0,8319

0,9 5 4,0037 0,0920 0,0238 -2,0006 0,0292 0,0073 0,4612 -7,7502 0,0114 0,850610 3,9990 -0,0245 0,0224 -2,0006 0,0301 0,0029 0,4603 -7,9490 0,0114 0,8586

n = 203 4,0004 0,0088 0,0167 -1,9990 -0,0513 0,0398 0,4870 -2,5983 0,0025 0,2638

0,3 5 4,0004 0,0112 0,0106 -2,0006 0,0295 0,0231 0,4900 -2,0018 0,0018 0,271210 4,0013 0,0331 0,0069 -2,0035 0,1750 0,0100 0,4931 -1,3896 0,0012 0,27813 3,9990 -0,0255 0,0196 -2,0029 0,1456 0,0385 0,4808 -3,8393 0,0038 0,5440

0,6 5 3,9981 -0,0483 0,0116 -2,0017 0,0828 0,0113 0,4873 -2,5377 0,0031 0,563410 4,0009 0,0232 0,0093 -1,9994 -0,0295 0,0061 0,4877 -2,4613 0,0026 0,56443 3,9985 -0,0378 0,0131 -1,9985 -0,0772 0,0090 0,4749 -5,0174 0,0059 0,8634

0,9 5 4,0009 0,0236 0,0119 -2,0000 -0,0020 0,0033 0,4810 -3,7923 0,0055 0,875910 4,0030 0,0743 0,0112 -2,0013 0,0649 0,0019 0,4815 -3,7079 0,0054 0,8753

n = 503 4,0009 0,0218 0,0067 -2,0010 0,0522 0,0158 0,4937 -1,2501 0,0010 0,2826

0,3 5 4,0013 0,0322 0,0044 -2,0026 0,1287 0,0095 0,4966 -0,6886 0,0007 0,286910 4,0004 0,0111 0,0028 -2,0004 0,0182 0,0046 0,4966 -0,6712 0,0004 0,28833 4,0006 0,0160 0,0059 -2,0005 0,0274 0,0104 0,4944 -1,1260 0,0015 0,5804

0,6 5 4,0008 0,0212 0,0045 -1,9998 -0,0096 0,0055 0,4942 -1,1507 0,0012 0,583310 3,9996 -0,0108 0,0036 -1,9999 -0,0058 0,0025 0,4947 -1,0579 0,0011 0,58443 3,9992 -0,0191 0,0051 -2,0008 0,0402 0,0030 0,4915 -1,7048 0,0022 0,8864

0,9 5 3,9996 -0,0105 0,0047 -2,0007 0,0344 0,0014 0,4916 -1,6796 0,0021 0,889110 3,9987 -0,0328 0,0043 -2,0004 0,0212 0,0006 0,4928 -1,4382 0,0021 0,8918

n = 803 4,0001 0,0025 0,0041 -1,9994 -0,0300 0,0106 0,4962 -0,7674 0,0006 0,2909

0,3 5 3,9999 -0,0026 0,0027 -1,9988 -0,0610 0,0057 0,4978 -0,4425 0,0004 0,292710 3,9997 -0,0083 0,0017 -2,0005 0,0258 0,0027 0,4979 -0,4148 0,0003 0,29203 3,9992 -0,0207 0,0038 -1,9986 -0,0709 0,0060 0,4956 -0,8872 0,0009 0,5875

0,6 5 3,9990 -0,0248 0,0029 -2,0001 0,0053 0,0035 0,4964 -0,7213 0,0008 0,588110 3,9999 -0,0014 0,0022 -1,9995 -0,0251 0,0016 0,4967 -0,6557 0,0007 0,58913 4,0000 0,0000 0,0031 -1,9991 -0,0445 0,0016 0,4948 -1,0410 0,0014 0,8918

0,9 5 3,9996 -0,0089 0,0031 -2,0002 0,0099 0,0010 0,4949 -1,0195 0,0013 0,892910 3,9994 -0,0144 0,0027 -2,0003 0,0161 0,0004 0,4955 -0,8907 0,0013 0,8943

88 APÊNDICE C

Tabela C.3: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariada BS comuma estrutura de correlação AR-1 e ajustado sob o modelo log-BS (via equações de estimação) com estruturade correlação permutável.


n = 103 3,9972 -0,0709 0,0537 -1,9973 -0,1373 0,1263 0,4726 -5,4754 0,0050 0,1681

0,3 5 4,0014 0,0350 0,0188 -2,0015 0,0745 0,0457 0,4845 -3,0910 0,0030 0,119010 3,9985 -0,0368 0,0095 -2,0004 0,0182 0,0227 0,4913 -1,7331 0,0015 0,06113 3,9972 -0,0694 0,0281 -1,9950 -0,2516 0,0700 0,4669 -6,6173 0,0070 0,4247

0,6 5 3,9992 -0,0209 0,0240 -1,9955 -0,2248 0,0466 0,4755 -4,8975 0,0046 0,342610 4,0008 0,0203 0,0130 -1,9994 -0,0307 0,0215 0,4862 -2,7557 0,0025 0,21123 4,0005 0,0124 0,0232 -1,9991 -0,0473 0,0148 0,4614 -7,7293 0,0114 0,8217

0,9 5 3,9993 -0,0166 0,0234 -1,9976 -0,1176 0,0165 0,4619 -7,6102 0,0100 0,740510 4,0022 0,0538 0,0198 -2,0011 0,0539 0,0082 0,4696 -6,0767 0,0073 0,6297

n = 203 3,9999 -0,0027 0,0167 -2,0003 0,0148 0,0386 0,4869 -2,6128 0,0024 0,1965

0,3 5 3,9992 -0,0204 0,0103 -1,9985 -0,0759 0,0249 0,4915 -1,6999 0,0015 0,135110 3,9999 -0,0027 0,0057 -1,9990 -0,0485 0,0150 0,4962 -0,7544 0,0007 0,07143 4,0013 0,0319 0,0166 -2,0023 0,1138 0,0402 0,4828 -3,4384 0,0035 0,4681

0,6 5 3,9989 -0,0278 0,0105 -1,9957 -0,2144 0,0191 0,4875 -2,4955 0,0023 0,367910 4,0005 0,0114 0,0067 -2,0014 0,0690 0,0127 0,4934 -1,3242 0,0012 0,22893 4,0006 0,0138 0,0127 -2,0019 0,0968 0,0073 0,4792 -4,1631 0,0054 0,8388

0,9 5 4,0006 0,0140 0,0112 -2,0027 0,1328 0,0073 0,4821 -3,5849 0,0049 0,781210 4,0013 0,0322 0,0099 -2,0001 0,0062 0,0055 0,4844 -3,1241 0,0036 0,6615

n = 503 3,9996 -0,0097 0,0068 -1,9991 -0,0468 0,0160 0,4948 -1,0391 0,0010 0,2159

0,3 5 4,0006 0,0155 0,0040 -2,0013 0,0644 0,0099 0,4966 -0,6797 0,0006 0,145310 4,0007 0,0171 0,0021 -2,0010 0,0498 0,0052 0,4984 -0,3180 0,0003 0,07813 3,9993 -0,0169 0,0060 -1,9995 -0,0249 0,0116 0,4926 -1,4779 0,0014 0,5009

0,6 5 3,9991 -0,0237 0,0044 -1,9991 -0,0451 0,0075 0,4954 -0,9122 0,0009 0,390310 4,0002 0,0049 0,0024 -2,0000 -0,0013 0,0038 0,4971 -0,5849 0,0005 0,24323 4,0013 0,0315 0,0052 -2,0007 0,0328 0,0044 0,4912 -1,7514 0,0021 0,8558

0,9 5 4,0004 0,0091 0,0049 -2,0008 0,0420 0,0028 0,4927 -1,4613 0,0019 0,800410 4,0002 0,0062 0,0038 -2,0010 0,0490 0,0013 0,4943 -1,1414 0,0014 0,6840

n = 803 3,9991 -0,0217 0,0037 -1,9992 -0,0390 0,0116 0,4968 -0,6351 0,0006 0,2201

0,3 5 4,0000 -0,0011 0,0028 -2,0000 0,0003 0,0069 0,4978 -0,4385 0,0004 0,147110 3,9997 -0,0073 0,0013 -1,9998 -0,0098 0,0035 0,4989 -0,2261 0,0002 0,07893 3,9992 -0,0200 0,0042 -1,9993 -0,0352 0,0080 0,4962 -0,7563 0,0008 0,5077

0,6 5 3,9989 -0,0283 0,0029 -1,9993 -0,0342 0,0049 0,4974 -0,5237 0,0005 0,394910 3,9989 -0,0273 0,0017 -2,0007 0,0325 0,0027 0,4985 -0,2926 0,0003 0,24553 3,9993 -0,0180 0,0032 -2,0002 0,0119 0,0022 0,4944 -1,1181 0,0013 0,8608

0,9 5 3,9999 -0,0034 0,0029 -2,0006 0,0313 0,0017 0,4949 -1,0263 0,0012 0,805110 3,9995 -0,0137 0,0025 -1,9985 -0,0734 0,0012 0,4959 -0,8211 0,0009 0,6874

Apêndice D


D.1 Função de estimação para o parâmetro de localização

Iremos apresentar nesta seção os cálculos detalhados para a obtenção da função de estimaçãoótima descrita em (3.5). Temos que

uij = −ξij2(

1

2ξij1− 2wijξij1

),

em que em que wij = ν+1ν+4ξ2ij2

.

Observe que,

uij =∂uij∂µij

= −∂ξij2∂µij

(1

2ξij1− 2 (ν + 1) ξij1

ν + 4ξ2ij2

)− ξij2

1

2

(− 1

ξ2ij1

)(∂ξij1∂µij

)

− 2 (ν + 1)

(ν + 4ξ2ij2)2

[(∂ξij1∂µij

)(ν + 4ξ2ij2)− ξij1

(8ξij2

∂ξij2∂µij

)]

=ξij12

(1

2ξij1− 2 (ν + 1) ξij1

ν + 4ξ2ij2

)− ξij2

1

2

(− 1

ξ2ij1

)(−ξij22

)

− 2 (ν + 1)

(ν + 4ξ2ij2)2

[(−ξij22

)(ν + 4ξ2ij2)− ξij1

(8ξij2

−ξij12

)]

=1

4−

(ν + 1) ξ2ij1ν + 4ξ2ij2

−ξ2ij24ξ2ij1

+2 (ν + 1) ξij2(ν + 4ξ2ij2)

2

[(−ξij22

)(ν + 4ξ2ij2) +

8ξij2ξ2ij1

2

]

=1

4−

(ν + 1) ξ2ij1ν + 4ξ2ij2

−ξ2ij24ξ2ij1

−(ν + 1) ξ2ij2(ν + 4ξ2ij2)

+(ν + 1) 8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)2

=1

4

(1−

ξ2ij2ξ2ij1

)− (ν + 1)

ν + 4ξ2ij2(ξ2ij1 + ξ2ij2) +

(ν + 1) 8ξ2ij2ξ2ij1

(ν + 4ξ2ij2)2

=1

4α2ξ2ij1− (ν + 1)

ν + 4ξ2ij2(ξ2ij1 + ξ2ij2) +

(ν + 1) 8ξ2ij2ξ2ij1

(ν + 4ξ2ij2)2

=1

4α2ξ2ij1− wij(ξ

2ij1 + ξ2ij2) +

wij8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2).

89

90 APÊNDICE D

Reescrevemos,

uij =∂uij∂γij

=1

4α2(

1α2 + ξ2ij2

) − (ν + 1)

ν + 4ξ2ij2

((1

α2+ ξ2ij2

)+ ξ2ij2

)

+(ν + 1) 8ξ2ij2

(1α2 + ξ2ij2

)(ν + 4ξ2ij2)

2

=1

4 + 4ξ2ij2α2− (ν + 1)

ν + 4ξ2ij2

(1

α2+ 2ξ2ij2

)+

(ν + 1) 8ξ2ij2

(1α2 + ξ2ij2

)(ν + 4ξ2ij2)

2

=1

4 + 4ξ2ij2α2− wij

(1

α2+ 2ξ2ij2

)+ 8ξ2ij2wij

(1

α2+ ξ2ij2

)1

(ν + 4ξ2ij2).

Realizando uma mudança de variável e tomando xij = ξij2α temos que

E(uij) =∫ ∞

−∞

2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 )[

1

4 + 4x2ij− wij

(1 + 2x2ijα2

)

+8x2ijwij

(α2ν + 4xi2ij)

(1 + x2ijα2

)]dxij , (D.1)

em que passamos a escrever wij = (1 + ν)α2/(α2ν + 4xi2ij)). Observe que reescrever uij permiteque a integral dada em (D.1) se torne mais simples para implementar computacionalmente uma vezque não é em função de funções hipoerbólicas.

Denotamos,

Ni = E(∂ui∂µi

)= diag E(ui1), . . . ,E(uis) ,

então,

E(∂ui

∂β⊤

)⊤= E

(∂ui∂µi

∂µi∂ηi

∂ηi∂β⊤

)⊤= X⊤

i Ni.

A matriz de variância-covariâncias de ui pode ser escrita na forma


em que Corr(ui) denota a matriz de correlação de ui e Var(ui) é dada por,


2is)= Σi,

em que,

u2ij =

[−ξij2

(1

2ξij1− 2wijξij1

)]2= ξ2ij2

[1

4ξ2ij1− 2wij + 4w2

ijξ2ij1

]


= ξ2ij2

1

4(

1α2 + ξ2ij2

) − 2wij + 4w2ij

(1

α2+ ξ2ij2

) .Realizando uma mudança de variável e tomando xij = ξij2α temos que

Var(uij) = E(u2ij) =∫ ∞

−∞

2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 ) x2ij

α2 α2

4(1 + x2ij

) − 2wij + 4w2ij

(1 + x2ijα2

) dxij . (D.2)

Logo,

Ψ∗n(β) =

n∑i=1

X⊤i Ni

(Σ

1/2i R(ui)Σ

1/2i

)−1ui.

D.2 Matrizes de sensibilidade e variabilidade

Iremos derivar nesta seção a matriz de sensibilidade, Si(β), e a matriz de variabilidade, Vi(β),

para a função de estimação (3.5).Observe inicialmente que,

∂ψi(β)

∂β=∂ψi(β)

∂µi× ∂µi∂ηi

× ∂ηi∂β

.

Temos que,

∂ψi(β)

∂µi=

∂

∂µi

X⊤i NiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i ui

= X⊤

i

∂Ni

∂µiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i ui +X⊤

i Ni∂Σ

−1/2i

∂µiR(ρ)−1Σ

−1/2i ui

+X⊤i NiΣ

−1/2i R(ρ)−1∂Σ

−1/2i

∂µiui +X⊤


−1/2i

∂ui∂µi

. (D.3)

Note que

E(uij) =∫ ∞

−∞

c(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 ) [

1


2ij1 + ξ2ij2)

+wij8ξ

2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]dxij .

Temos que,

dξij1dµij

=−1

2ξij2,

dξij2dµij

=−1

2ξij1

92 APÊNDICE D

e

dwijdµij

=−(ν + 1)(−4ξij2ξij1)

(ν + 4ξ2ij2)2

=4wξij2ξij1ν + 4ξ2ij2

.

Então

d

dµij

c(ν)ξij1

[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+12 ) [

1


2ij1 + ξ2ij2) +

wij8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]= c(ν)

−ξij22

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 ) [

1


2ij1 + ξ2ij2) +

wij8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]

−(ν + 1

2

)ξij1

[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+32 ) [

−4ξij2ξij1ν

][1


2ij1 + ξ2ij2)

+wij8ξ

2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]+ ξij1

[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+12 ) [

−4α2ξij1ξij2(4α2ξ2ij1)

2− 4wξij2ξij1

ν + 4ξ2ij2(ξ2ij1 + ξ2ij2)

+2wijξij1ξij2 +32wijξ

3ij2ξ

3ij1 − (ν + 4ξ2ij2)8wijξij2ξij1(ξ

2ij2 + ξ2ij1) + 4ξij2ξij1(wij8ξ

2ij2ξ

2ij1)

(ν + 4ξ2ij2)2

].

Podemos provar facilmente que

c(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 ) [

14α2ξ2ij1

− wij(ξ2ij1 + ξ2ij2) +

wij8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν+4ξ2ij2)

]é contínua. Logo, podemos derivar sob o sinal de integração e fazendo as modificações de variáveisadequadas temos que,

∂E uij(yij , µij)∂µij

=

∫ ∞

−∞

c(ν)

−ξij22

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 ) [

1

4α2ξ2ij1

−wij(ξ2ij1 + ξ2ij2) +wij8ξ

2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]− ξij1

(ν + 1

2

)[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+32 )

[−4ξij2ξij1

ν

] [1


2ij1 + ξ2ij2) +

wij8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]

+ξij1

[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+12 ) [

4α2ξij1ξij2(4α2ξ2ij1)

2− 4wξij2ξij1



3ij2ξ

3ij1

(ν + 4ξ2ij2)2

−(ν + 4ξ2ij2)8wijξij2ξij1(ξ2ij2 + ξ2ij1) + 4ξij2ξij1(wij8ξ

2ij2ξ

2ij1)

(ν + 4ξ2ij2)2

]dyij

= 0.

Portanto,

∂Ni

∂µi= 0. (D.4)


E ainda temos

E(u2ij) =∫ ∞

−∞

c(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 )

ξ2ij2

α2

4(1 + ξ2ij2α

2) − 2wij + 4w2

ij

(1 + ξ2ij2α

2

α2

)2 dxij .

Analogamente, temos quec(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 )

ξ2ij2

α2

4(1 + ξ2ij2α

2)

−2wij + 4w2ij

(1+ξ2ij2α

2

α2

)]2é contínua. Logo, podemos derivar sob o sinal de integração. A derivada

do integrando fica dada por

d

dµij

c(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 )

ξ2ij2

α2

4(1 + ξ2ij2α

2) − 2wij + 4w2

ij

(1 + ξ2ij2α

2

α2

)= c(ν)

−ξij22

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 )

ξ2ij2

α2

4(1 + ξ2ij2α

2) − 2wij + 4w2

ij

(1 + ξ2ij2α

2

α2

)−(ν + 1

2

)ξij1

[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+32 ) [

−4ξij2ξij1ν

]ξ2ij2

α2

4(1 + ξ2ij2α

2) − 2wij

+4w2ij

(1 + ξ2ij2α

2

α2

)]− c(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 )

ξij2ξij1

α2

4(1 + ξ2ij2α

2) − 2wij

+4w2ij

(1 + ξ2ij2α

2

α2

)]+ c(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 )

ξ2ij2

4α2ξij1ξij2

16(1 + ξ2ij2α

2)2

−24wijξij2ξij1ν + 4ξ2ij2

+ 8wij4wijξij2ξij1ν + 4ξ2ij2

(1 + ξ2ij2α

2

α2

)− 4w2

ijξij2ξij1

].

Portanto, realizando algumas mudanças de variáveis podemos ver que

∂Eµiju2ij(yij , µij)

∂µij

= 0.

E ainda temos,

∂

∂µij

E(u2ij)

−1/2= −1

2

1

E(u2ij)3/2∂Eu2ij(yij , µij)

∂µij

= 0,

94 APÊNDICE D

de onde segue que,

∂Σ−1/2i

∂µi= 0. (D.5)

Portanto, aplicando (F.2) e (D.5) em (D.3) obtemos

∂ψi(β)

∂µi= X⊤


−1/2i

∂ui∂µi

= X⊤i NiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i Ui

em que Ui = diag uij , . . . , uis . Logo,

Si(β) = E(∂ψi(β)

∂β

)= X⊤


−1/2i NiXi.

Temos ainda que,

Vi(β) = E[ψi(β)ψ

Ti (β)

]= E

[X⊤i NiW

−1i uiu

⊤i W

−Ti NiXi

]= X⊤

i NiW−1i E

[uiu

⊤i

]W−T

i NiXi

= X⊤i NiW

−1i Cov(ui)W−T

i NiXi.

D.3 Influência conformal sob homogeneidade do parâmetro de forma

D.3.1 Perturbação individual das covariáveis

Nesta seção temos as contas detalhadas das derivadas de Nωi, Cωi e uωi com relação à ω⊤i .

Primeiramente, observe que

∂C


∂ω⊤1

, . . . ,∂Cn

∂ω⊤n

com

∂Ci

∂ω⊤i

=∂[Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

1/2ωi

]∂ω⊤

i

=∂Σ

1/2ωi

∂ω⊤i

R(ρ)Σ1/2ωi +Σ1/2

ω R∂Σ

1/2ω

∂ω⊤i

.

Temos que Σωi = diagE(u2ωi1), . . . ,E(u

2ωisi

),(Σ

1/2ωi = diag

Var1/2(uωi1), . . . ,Var1/2(uωis)

).

E temos,

∂Var1/2(uωij)∂ωij

=1

2Var−1/2(uωij)

∂Var(uωij)∂ωij

=1

2E−1/2(u2ωij)

∂E(u2ωij)∂ωij

,

através de manipulação similar ao que foi feito na Seção D.2 chegamos em∂E(u2ij)∂µωij

= 0 e assim,∂Cωi

∂ω⊤i

= 0.

Temos que Nωi = diag E(uωi1), . . . ,E(uωis) , análogo ao que foi feito em D.2 obtemos tambémque, ∂Euij(yij ,µij)

∂µij= 0. Logo, ∂Nωi

∂ω⊤i

= 0.


Agora derivamos uω com relação à ω⊤. A forma matricial das derivadas de u com relação à ω édada por ∂uω

∂ω⊤ = Ux com Ux = diagUx1, . . . , Uxn

, em que Uxi = diag

∂uωi1∂ωi1

, . . . , ∂uωis∂ωis

. Temos

que,

uωij = −ξωij2

(1

2ξωij1− 2 (ν + 1) ξωij1

ν + 4ξ2ωij2

),


(yij−µωij

2

)e ξωij2 = 1

αsenh(yij−µωij

2

)e cuja derivada em relação a ωij é dada

por,

∂uωij∂ωij

= βksxk

[1

4 + 4ξ2ωij2α2−

(ν + 1

ν + 4ξ2ωij2

)(1

α2+ 2ξ2ωij2

)+ 8ξ2ωij2

(ν + 1

ν + 4ξ2ωij2

)(

1

α2+ ξ2ωij2

)1

(ν + 4ξ2ωij2)

].

96 APÊNDICE D

Apêndice E


97

98 APÊNDICE E

Tabela E.1: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados considerando uma estrutura de correlaçãoAR-1 e ajustado sob o modelo log-BS-t via EEG com mesma estrutura de correlação (ν = 4).


n = 103 4,0147 0,3665 0,0660 -2,0201 1,0036 0,1632 0,4997 -0,0541 0,0741 0,2341

0,3 5 3,9949 -0,1263 0,0392 -1,9810 -0,9491 0,0972 0,4960 -0,8042 0,0594 0,244510 4,0019 0,0474 0,0206 -2,0003 0,0160 0,0469 0,5092 1,8436 0,0838 0,27023 4,0064 0,1599 0,0574 -2,0059 0,2956 0,1289 0,4790 -4,1905 0,0737 0,5241

0,6 5 4,0017 0,0427 0,0465 -2,0157 0,7857 0,0827 0,4814 -3,7298 0,0574 0,533010 3,9949 -0,1277 0,0200 -2,0044 0,2179 0,0280 0,5063 1,2628 0,1119 0,54743 3,9984 -0,0401 0,0458 -1,9961 -0,1955 0,0265 0,4799 -4,0233 0,0776 0,8545

0,9 5 3,9990 -0,0257 0,0365 -2,0027 0,1340 0,0160 0,4796 -4,0840 0,0624 0,863010 4,0078 0,1947 0,0313 -2,0034 0,1689 0,0067 0,4974 -0,5255 0,0655 0,8654

n = 203 3,9968 -0,0803 0,0280 -1,9989 -0,0568 0,0656 0,5077 1,5406 0,0628 0,2642

0,3 5 4,0007 0,0184 0,0158 -1,9983 -0,0837 0,0401 0,4963 -0,7482 0,0549 0,259710 4,0004 0,0111 0,0097 -1,9992 -0,0423 0,0228 0,5352 7,0419 0,1028 0,27213 3,9971 -0,0721 0,0291 -1,9922 -0,3922 0,0537 0,4872 -2,5683 0,0551 0,5510

0,6 5 4,0011 0,0284 0,0197 -1,9942 -0,2915 0,0337 0,5127 2,5406 0,0819 0,555710 4,0023 0,0586 0,0109 -1,9994 -0,0284 0,0158 0,5098 1,9567 0,0585 0,55813 4,0005 0,0137 0,0233 -2,0019 0,0928 0,0110 0,4931 -1,3827 0,0654 0,8711

0,9 5 3,9964 -0,0911 0,0190 -1,9993 -0,0363 0,0071 0,4948 -1,0369 0,0650 0,871710 3,9976 -0,0592 0,0162 -2,0006 0,0286 0,0029 0,5202 4,0305 0,0753 0,8724

n = 503 4,0040 0,1003 0,0130 -2,0081 0,4045 0,0364 0,5221 4,4196 0,0752 0,2683

0,3 5 4,0063 0,1582 0,0071 -2,0094 0,4706 0,0171 0,5163 3,2514 0,0596 0,275910 3,9994 -0,0143 0,0041 -1,9997 -0,0133 0,0095 0,5348 6,9615 0,1076 0,27473 4,0028 0,0699 0,0130 -2,0042 0,2087 0,0239 0,5209 4,1726 0,0836 0,5612

0,6 5 3,9980 -0,0488 0,0071 -1,9981 -0,0966 0,0131 0,5181 3,6222 0,0901 0,560510 3,9991 -0,0234 0,0044 -1,9998 -0,0106 0,0065 0,5192 3,8436 0,0593 0,56443 3,9949 -0,1281 0,0094 -1,9964 -0,1806 0,0051 0,5128 2,5670 0,0679 0,8803

0,9 5 3,9971 -0,0737 0,0074 -1,9974 -0,1312 0,0028 0,5079 1,5749 0,0688 0,881210 4,0028 0,0699 0,0066 -1,9998 -0,0081 0,0014 0,5145 2,8972 0,0636 0,8807

n = 803 3,9989 -0,0268 0,0079 -1,9983 -0,0869 0,0212 0,5053 1,0639 0,0535 0,2722

0,3 5 3,9969 -0,0777 0,0041 -1,9967 -0,1629 0,0118 0,5263 5,2521 0,0744 0,277010 3,9992 -0,0205 0,0024 -1,9983 -0,0849 0,0061 0,5155 3,0942 0,0786 0,27543 3,9977 -0,0579 0,0068 -1,9937 -0,3125 0,0134 0,5189 3,7851 0,0752 0,5604

0,6 5 4,0020 0,0496 0,0044 -2,0063 0,3172 0,0072 0,5328 6,5560 0,0928 0,567610 4,0005 0,0124 0,0025 -2,0000 -0,0016 0,0033 0,5036 0,7202 0,0658 0,56433 3,9978 -0,0553 0,0060 -1,9974 -0,1288 0,0043 0,5242 4,8325 0,0804 0,8806

0,9 5 4,0022 0,0552 0,0049 -2,0008 0,0389 0,0023 0,5193 3,8664 0,0663 0,881110 3,9981 -0,0484 0,0039 -2,0000 -0,0023 0,0009 0,5121 2,4251 0,0586 0,8813


Tabela E.2: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio(EQM) de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariadaBS de uma estrutura de correlação EXC e ajustado sob o modelo log-BS-t via GEE com mesma estruturade correlação (ν = 4).


n = 103 4,0155 0,3867 0,0728 -2,0209 1,0443 0,1656 0,4983 -0,3356 0,0734 0,2312

0,3 5 3,9956 -0,1096 0,0430 -1,9809 -0,9532 0,0926 0,4931 -1,3736 0,0595 0,235810 4,0030 0,0738 0,0293 -2,0007 0,0354 0,0497 0,5030 0,6063 0,0791 0,25343 4,0065 0,1630 0,0621 -2,0054 0,2677 0,1326 0,4770 -4,6069 0,0751 0,5214

0,6 5 4,0022 0,0548 0,0525 -2,0197 0,9869 0,0789 0,4799 -4,0140 0,0606 0,523010 3,9907 -0,2315 0,0337 -2,0056 0,2794 0,0308 0,4958 -0,8455 0,1177 0,51953 3,9972 -0,0703 0,0483 -1,9939 -0,3073 0,0309 0,4786 -4,2850 0,0779 0,8537

0,9 5 4,0005 0,0125 0,0423 -2,0039 0,1963 0,0213 0,4766 -4,6722 0,0640 0,858110 4,0093 0,2330 0,0416 -2,0026 0,1306 0,0079 0,4887 -2,2654 0,0687 0,8490

n = 203 3,9965 -0,0868 0,0283 -1,9983 -0,0846 0,0620 0,5076 1,5132 0,0629 0,2646

0,3 5 4,0016 0,0411 0,0177 -2,0003 0,0140 0,0378 0,4947 -1,0590 0,0547 0,253310 4,0012 0,0290 0,0144 -1,9991 -0,0449 0,0226 0,5331 6,6270 0,1033 0,26493 3,9976 -0,0603 0,0336 -1,9929 -0,3571 0,0601 0,4861 -2,7809 0,0552 0,5498

0,6 5 4,0013 0,0316 0,0244 -1,9914 -0,4322 0,0347 0,5108 2,1605 0,0834 0,550910 4,0035 0,0874 0,0183 -1,9998 -0,0122 0,0172 0,5054 1,0737 0,0602 0,54443 4,0012 0,0292 0,0247 -2,0027 0,1346 0,0139 0,4925 -1,5082 0,0656 0,8710

0,9 5 3,9954 -0,1140 0,0223 -1,9984 -0,0797 0,0090 0,4940 -1,1921 0,0664 0,869210 3,9961 -0,0978 0,0225 -1,9997 -0,0172 0,0039 0,5158 3,1521 0,0769 0,8654

n = 503 4,0036 0,0889 0,0130 -2,0072 0,3610 0,0359 0,5218 4,3677 0,0755 0,2678

0,3 5 4,0066 0,1661 0,0084 -2,0096 0,4799 0,0180 0,5152 3,0382 0,0587 0,274710 3,9990 -0,0251 0,0060 -1,9993 -0,0344 0,0095 0,5336 6,7266 0,1073 0,27173 4,0024 0,0593 0,0141 -2,0038 0,1881 0,0248 0,5209 4,1728 0,0831 0,5602

0,6 5 3,9970 -0,0761 0,0092 -1,9968 -0,1594 0,0150 0,5168 3,3679 0,0924 0,557010 3,9980 -0,0503 0,0076 -1,9981 -0,0929 0,0069 0,5167 3,3465 0,0586 0,55943 3,9956 -0,1111 0,0101 -1,9979 -0,1073 0,0061 0,5127 2,5343 0,0681 0,8804

0,9 5 3,9969 -0,0785 0,0086 -1,9970 -0,1496 0,0038 0,5073 1,4662 0,0695 0,881010 4,0029 0,0728 0,0092 -1,9998 -0,0093 0,0019 0,5130 2,6017 0,0646 0,8783

n = 803 3,9989 -0,0285 0,0083 -1,9978 -0,1075 0,0219 0,5052 1,0425 0,0535 0,2723

0,3 5 3,9966 -0,0859 0,0047 -1,9964 -0,1778 0,0120 0,5259 5,1873 0,0745 0,276110 3,9991 -0,0230 0,0034 -1,9982 -0,0877 0,0063 0,5144 2,8893 0,0784 0,27223 3,9980 -0,0510 0,0075 -1,9941 -0,2975 0,0142 0,5186 3,7227 0,0748 0,5602

0,6 5 4,0018 0,0458 0,0058 -2,0068 0,3402 0,0084 0,5323 6,4571 0,0927 0,566410 4,0001 0,0017 0,0044 -1,9993 -0,0325 0,0038 0,5018 0,3554 0,0648 0,57913 3,9976 -0,0598 0,0065 -1,9972 -0,1405 0,0051 0,5241 4,8141 0,0803 0,8803

0,9 5 4,0022 0,0550 0,0057 -2,0009 0,0445 0,0028 0,5193 3,8587 0,0672 0,880610 3,9981 -0,0480 0,0054 -2,0000 -0,0006 0,0012 0,5117 2,3488 0,0593 0,8798

100 APÊNDICE E

Tabela E.3: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio(EQM) de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariadaBS de uma estrutura de correlação AR1 e ajustado sob o modelo log-BS-t via GEE com mesma estrutura decorrelação permutável (ν = 4).


n = 103 4,0159 0,3976 0,0605 -2,0252 1,2591 0,1626 0,5107 ,1469 0,049 0,1786

0,3 5 3,9979 -0,0519 0,0461 -1,9992 -0,0398 0,1178 0,4933 1,3361 0,0268 0,107410 4,0023 0,0581 0,0188 -2,0049 0,2426 0,0397 0,5 0,0078 0,0314 0,05143 4,0041 0,1037 0,0258 -2,0304 1,5219 0,0747 0,4734 5,3156 0,0298 0,4614

0,6 5 4,0293 0,7329 0,0296 -2,0326 1,6324 0,057 0,4629 7,4276 0,0217 0,370210 4,0021 0,0534 0,0132 -1,9647 -1,7626 0,0257 0,4957 0,8541 0,0262 0,20563 3,9943 -0,142 0,0487 -1,9923 -0,3835 0,0303 0,4707 -5,864 0,0325 0,8311

0,9 5 4,0151 0,3772 0,0341 -1,9918 -0,4119 0,0124 0,4852 -2,9532 0,0364 0,775410 3,9824 -0,439 0,0209 -1,9976 -0,1202 0,0129 0,5018 0,3681 0,0507 0,6779

n = 203 4,0176 0,4396 0,0247 -2,0201 1,0069 0,0857 0,507 1,4079 0,0458 0,2178

0,3 5 4,0074 0,1838 0,0138 -2,0169 0,8429 0,0452 0,479 -4,1972 0,0255 0,13410 4,001 0,0254 0,0069 -1,9929 -0,3538 0,025 0,4975 -0,5081 0,0332 0,07583 4,0108 0,269 0,0268 -2,0254 1,2679 0,0248 0,4747 -5,0642 0,0238 0,482

0,6 5 4,0181 0,4527 0,0255 -2,0012 0,0608 0,0373 0,4853 -2,9434 0,0241 0,364810 3,9776 -0,5609 0,0093 -1,9951 -0,2466 0,0128 0,4968 -0,6491 0,0213 0,21013 3,9902 -0,2461 0,0182 -2,0044 0,2197 0,0151 0,4801 -3,9842 0,0218 0,852

0,9 5 4,0014 0,0342 0,0179 -1,9997 -0,0165 0,009 0,4769 -4,6156 0,0255 0,791110 3,9947 -0,1321 0,0145 -2,0048 0,2402 0,0072 0,4961 -0,7775 0,0223 0,6718

n = 503 4,0047 0,1171 0,0088 -2,0066 0,3317 0,0251 0,5112 2,2355 0,0247 0,2024

0,3 5 3,9944 -0,1389 0,0059 -1,9842 -0,7877 0,0159 0,4928 -1,4437 0,0205 0,145910 4,0119 0,2972 0,0036 -2,0159 0,7963 0,0088 0,4913 -1,7361 0,023 0,07223 4,0068 0,1689 0,0105 -1,9867 -0,6632 0,0195 0,478 -4,2214 0,016 0,5112

0,6 5 3,9878 -0,3052 0,0065 -1,9894 -0,5302 0,0124 0,486 -2,6645 0,0182 0,366510 3,9988 -0,0302 0,004 -1,9968 -0,1576 0,0064 0,4961 -0,7755 0,0285 0,24273 3,9812 -0,4711 0,0067 -1,9856 -0,7198 0,0056 0,485 -2,988 0,0257 0,86

0,9 5 4,0024 0,0611 0,006 -2,0165 0,8271 0,0036 0,4988 -0,2307 0,0268 0,797110 4,0089 0,2216 0,006 -2,0092 0,4606 0,003 0,5219 4,381 0,0411 0,6823

n = 803 4,0097 0,2437 0,0071 -2,0069 0,3467 0,017 0,515 3,0019 0,0231 0,2142

0,3 5 4,0084 0,2098 0,0036 -2,0133 0,6631 0,0118 0,5214 4,2721 0,0297 0,1410 3,9955 -0,1122 0,0018 -1,9928 -0,358 0,0047 0,4969 -0,6161 0,0228 0,07923 4,0053 0,1335 0,0056 -2,0127 0,6342 0,0103 0,4845 -3,108 0,0211 0,4979

0,6 5 3,993 -0,1748 0,0034 -1,9966 -0,1698 0,0063 0,4885 -2,2993 0,0134 0,39110 4,0102 0,2557 0,0022 -2,0104 0,5186 0,0039 0,522 4,3905 0,0349 0,24643 4,0113 0,2826 0,0045 -2,0087 0,4328 0,0043 0,4767 -4,6697 0,018 0,8526

0,9 5 4,0059 0,1468 0,0061 -2,0006 0,0281 0,0041 0,5021 0,4244 0,0293 0,80110 4,0012 0,031 0,0029 -2,0098 0,4905 0,0019 0,4884 -2,328 0,0316 0,6794


Tabela E.4: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariada BS deuma estrutura de correlação permutável e ajustado sob o modelo log-BS-t via GEE com mesma estrutura decorrelação verdadeira, (ν = 7).


n = 103 4,016 0,4005 0,0586 -2,0249 1,245 0,1431 0,5113 2,2636 0,0503 0,2428

0,3 5 3,9978 -0,054 0,0457 -2,001 0,0509 0,0994 0,488 -2,4048 0,0266 0,237810 4,0015 0,0377 0,0273 -2,0051 0,2572 0,0331 0,4874 -2,5246 0,0307 0,24283 4,0042 0,1043 0,0263 -2,0318 1,5916 0,0687 0,4721 -5,5782 0,0306 0,5389

0,6 5 4,0273 0,6837 0,0273 -2,0244 1,2225 0,0425 0,4635 -7,2985 0,0241 0,5610 4,0138 0,3447 0,0199 -1,9746 -1,2684 0,0154 0,4858 -2,8371 0,0292 0,52663 3,9964 -0,0904 0,0483 -1,9948 -0,2596 0,0259 0,4694 -6,1286 0,0329 0,8686

0,9 5 4,0148 0,3696 0,0366 -1,9896 -0,5182 0,0082 0,483 -3,3967 0,037 0,871910 3,9815 -0,4633 0,024 -1,9974 -0,1278 0,004 0,5027 0,5479 0,0528 0,8829

n = 203 4,0153 0,3829 0,024 -2,0156 0,7821 0,0789 0,507 1,4048 0,0453 0,2857

0,3 5 4,0088 0,2205 0,0143 -2,0226 1,1305 0,039 0,4778 -4,4436 0,0261 0,27210 4,0051 0,128 0,0087 -1,9957 -0,2158 0,0198 0,4946 -1,0717 0,0316 0,28053 4,008 0,2004 0,0286 -2,0214 1,0702 0,0227 0,474 -5,2003 0,024 0,5599

0,6 5 4,022 0,5497 0,0258 -2,0041 0,2042 0,0244 0,4817 -3,653 0,0247 0,559210 3,9732 -0,6712 0,0136 -2,0022 0,1093 0,0076 0,4862 -2,7591 0,0228 0,54243 3,9887 -0,2835 0,0183 -2,0022 0,1089 0,0119 0,4796 -4,0783 0,022 0,8858

0,9 5 4,0008 0,0207 0,0185 -1,9983 -0,0841 0,0057 0,4764 -4,7148 0,026 0,881710 3,9906 -0,2361 0,0156 -2,0007 0,036 0,0022 0,4926 -1,4841 0,0232 0,8866

n = 503 4,0038 0,0943 0,0087 -2,004 0,2007 0,0245 0,5102 2,0425 0,0247 0,2702

0,3 5 3,9957 -0,1073 0,0059 -1,9859 -0,7063 0,0135 0,4923 -1,5482 0,0204 0,287410 4,0139 0,348 0,0047 -2,0168 0,8392 0,0075 0,4878 -2,4449 0,0227 0,27813 4,0084 0,2093 0,0099 -1,9884 -0,5795 0,0155 0,4786 -4,2729 0,016 0,5893

0,6 5 3,9894 -0,2644 0,0071 -1,9933 -0,3329 0,0085 0,4833 -3,3475 0,0186 0,561910 4,0004 0,0089 0,0056 -1,9988 -0,06 0,0037 0,4949 -1,0282 0,0278 0,58353 3,9806 -0,4845 0,0066 -1,9851 -0,7439 0,0043 0,4851 -2,9764 0,0259 0,8913

0,9 5 3,9988 -0,0308 0,0063 -2,0102 0,5125 0,002 0,4978 -0,433 0,0272 0,888410 4,0062 0,1542 0,0064 -2,0045 0,2249 0,0004 0,5207 4,1443 0,0407 0,8902

n = 803 4,0097 0,2437 0,007 -2,006 9 0,3459 0,0156 0,5144 2,8732 0,023 0,2836

0,3 5 4,009 0,2247 0,004 -2,014 0,6983 0,0111 0,5204 4,0716 0,0303 0,281910 3,9952 -0,1195 0,0025 -1,9927 -0,3642 0,0042 0,4969 -0,6126 0,0225 0,29143 4,0044 0,11 0,0052 -2,0105 0,5251 0,0085 0,4842 -3,1528 0,0212 0,5787

0,6 5 3,9944 -0,1404 0,0034 -2,001 0,0479 0,004 0,4875 -2,4977 0,0135 0,583410 4,0098 0,2444 0,0032 -2,0061 0,3072 0,0019 0,5221 4,4261 0,0348 0,58753 4,0096 0,2401 0,0043 -2,0054 0,268 0,0031 0,476 -4,8012 0,018 0,8868

0,9 5 4,0051 0,1285 0,0055 -1,9991 -0,0467 0,0017 0,5022 0,4464 0,0297 0,890210 3,9981 -0,0469 0,0033 -2,0035 0,1744 0,0005 0,4869 -2,6281 0,0319 0,8894

102 APÊNDICE E

Tabela E.5: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio(EQM) de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariadaBS de uma estrutura de correlação AR-1 e ajustado sob o modelo log-BS-t via GEE com mesma estruturade correlação verdadeira, (ν = 7).


n = 103 4,0132 0,3299 0,0603 -2,0233 1,1642 0,1536 0,5107 2,1469 0,049 0,2186

0,3 5 3,999 -0,0259 0,0468 -2,0024 0,1204 0,1165 0,4933 -1,3361 0,0268 0,25610 4,0005 0,0129 0,02 -2,0008 0,0379 0,0415 0,5 -0,0078 0,0314 0,29663 4,0035 0,0887 0,0245 -2,0317 1,5854 0,0659 0,4734 -5,3156 0,0298 0,5479

0,6 5 4,0257 0,6414 0,0226 -2,0242 1,2086 0,0478 0,4629 -7,4276 0,0217 0,563710 4,0076 0,1909 0,0127 -1,9775 -1,1234 0,0191 0,4957 -0,8541 0,0262 0,5583 3,997 -0,0744 0,0468 -1,9967 -0,1645 0,0224 0,4707 -5,864 0,0325 0,8731

0,9 5 4,014 0,349 0,0343 -1,9889 -0,5558 0,0084 0,4852 -2,9532 0,0364 0,875910 3,9875 -0,3135 0,0189 -1,9978 -0,1102 0,0043 0,5018 0,3681 0,0507 0,8867

n = 203 4,013 0,3255 0,0247 -2,0126 0,6317 0,0895 0,507 1,4079 0,0458 0,2826

0,3 5 4,0091 0,2285 0,0135 -2,0218 1,0877 0,0406 0,479 -4,1972 0,0255 0,277410 4,0045 0,1121 0,0067 -1,9993 -0,0349 0,0216 0,4975 -0,5081 0,0332 0,28943 4,0084 0,2102 0,0276 -2,0201 1,0058 0,0244 0,4747 -5,0642 0,0238 0,5676

0,6 5 4,0217 0,5437 0,0227 -2,0071 0,3554 0,027 0,4853 -2,9434 0,0241 0,569210 3,9861 -0,3485 0,0075 -2,0085 0,4262 0,008 0,4968 -0,6491 0,0213 0,57113 3,9866 -0,3355 0,0187 -2,0012 0,0584 0,012 0,4801 -3,9842 0,0218 0,8879

0,9 5 4,0008 0,0189 0,0174 -1,9982 -0,0924 0,0056 0,4769 -4,6156 0,0255 0,883710 3,9944 -0,1405 0,0129 -1,9992 -0,0381 0,0022 0,4961 -0,7775 0,0223 0,8919

n = 503 4,0019 0,0465 0,0084 -2,0001 0,0059 0,0245 0,5112 2,2355 0,0247 0,2743

0,3 5 3,9955 -0,1126 0,0054 -1,9852 -0,7379 0,0149 0,4928 -1,4437 0,0205 0,292810 4,0108 0,2711 0,0036 -2,0148 0,7411 0,0082 0,4913 -1,7361 0,023 0,29173 4,0087 0,2186 0,01 -1,9895 -0,5248 0,0162 0,4789 -4,2214 0,016 0,5913

0,6 5 3,9913 -0,2168 0,0061 -1,995 -0,2512 0,0091 0,4867 -2,6645 0,0182 0,569110 4,0007 0,0163 0,0033 -1,9983 -0,087 0,0038 0,4961 -0,7755 0,0285 0,58863 3,979 -0,5249 0,0064 -1,9828 -0,8586 0,0042 0,4851 -2,988 0,0257 0,8919

0,9 5 3,9979 -0,0532 0,0055 -2,0092 0,4593 0,0019 0,4988 -0,2307 0,0268 0,890210 4,0035 0,0863 0,0051 -2,0036 0,1811 0,0009 0,5219 4,381 0,0411 0,8921

n = 803 4,0091 0,2283 0,0068 -2,006 0,2986 0,0159 0,515 3,0019 0,0231 0,2873

0,3 5 4,0103 0,2585 0,004 -2,0167 0,8347 0,0125 0,5214 4,2721 0,0297 0,287810 3,9949 -0,1273 0,0019 -1,9917 -0,4152 0,0051 0,4969 -0,6161 0,0228 0,28973 4,0034 0,0853 0,0048 -2,0076 0,3796 0,009 0,4845 -3,108 0,0211 0,5795

0,6 5 3,9973 -0,0674 0,0028 -2,0045 0,2249 0,0041 0,4885 -2,2993 0,0134 0,587810 4,0077 0,1922 0,002 -2,0055 0,2733 0,0023 0,522 4,3905 0,0349 0,58833 4,0083 0,2076 0,0042 -2,0027 0,1343 0,0031 0,4767 -4,6697 0,018 0,8876

0,9 5 4,0047 0,1185 0,0048 -1,9995 -0,0239 0,0016 0,5021 0,4244 0,0293 0,890410 3,9995 -0,0126 0,0025 -2,0022 0,1086 0,0005 0,4884 -2,328 0,0316 0,891


Tabela E.6: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados utilizando uma estrutura de correlaçãoAR-1 e ajustado sob o modelo log-BS-t via GEE estrutura de correlação permutável, (ν = 7).


n = 103 4,0057 0,1416 0,0494 -1,984 -0,798 0,133 0,4771 -4,5773 0,026 0,2111

0,3 5 4,0006 0,016 0,0328 -1,9808 -0,9595 0,0909 0,4854 -2,923 0,0281 0,099810 4,0306 0,901 0,0217 -2,0606 3,0316 0,061 0,4942 -1,1663 0,0296 0,07223 3,9873 -0,3184 0,0415 -1,9814 -0,9301 0,0922 0,4925 -1,4997 0,0464 0,4438

0,6 5 3,983 -0,4248 0,0393 -1,9786 -1,0686 0,0853 0,4824 -3,5285 0,0378 0,350910 4,0095 0,2378 0,0147 -1,9953 -0,2373 0,0355 0,4695 -6,1066 0,0209 0,21543 4,0485 1,2117 0,0485 -2,0384 1,9193 0,0307 0,4864 -2,7231 0,0303 0,8481

0,9 5 4,0257 0,6423 0,0305 -2,0163 0,8128 0,013 0,4348 -13,0353 0,028 0,766610 3,9967 -0,0828 0,0223 -2,0055 0,274 0,0122 0,4849 -3,0254 0,0294 0,6387

n = 203 4,0303 0,7574 0,0216 -2,0708 3,5387 0,0766 0,4842 -3,1611 0,0302 0,1705

0,3 5 3,9959 -0,103 0,0143 -2,017 0,8497 0,044 0,499 -0,1944 0,0238 0,111610 4,0023 0,0584 0,0076 -1,9993 -0,035 0,0249 0,4908 -1,8305 0,0259 0,0793 3,9985 -0,0371 0,0134 -2,0058 0,2889 0,0339 0,4982 -0,3643 0,0416 0,4862

0,6 5 4,0246 0,6156 0,0186 -2,0513 2,5653 0,0323 0,4807 -3,8523 0,0187 0,363510 4,0111 0,2774 0,0077 -2,0114 0,5677 0,0116 0,4878 -2,4432 0,0267 0,23013 4,0103 0,2575 0,0191 -2,0309 1,5469 0,0132 0,479 -4,1948 0,0206 0,8495

0,9 5 4,01 0,2508 0,0155 -1,9809 -0,9543 0,0141 0,4904 -1,9178 0,0272 0,792310 3,9976 -0,061 0,0169 -1,994 -0,2991 0,0067 0,5038 0,7517 0,028 0,6745

n = 503 4,0074 0,1851 0,0063 -2,0001 0,0044 0,0205 0,5002 0,0403 0,0286 0,2048

0,3 5 3,9935 -0,1633 0,0062 -1,9725 -1,374 0,0153 0,5007 0,1432 0,0245 0,1410 4,0055 0,1386 0,0033 -2,0025 0,1253 0,0073 0,5263 5,2667 0,0419 0,07543 4,0094 0,2343 0,0073 -2,0258 1,2909 0,0111 0,5189 3,7786 0,0357 0,4931

0,6 5 3,9961 -0,0985 0,0052 -1,9827 -0,864 0,0119 0,5019 0,3879 0,0217 0,373510 4,0027 0,0679 0,0041 -2,0053 0,2674 0,0057 0,4850 -3,0093 0,0428 0,2273 4,001 0,0247 0,0074 -2,0058 0,2899 0,0046 0,4963 -0,7485 0,0327 0,8558

0,9 5 4,0018 0,0453 0,006 -1,9979 -0,1069 0,0042 0,5001 0,0226 0,024 0,799310 3,9991 -0,0223 0,0042 -2,0014 0,0720 0,002 0,4622 -7,5682 0,0167 0,6779

n = 803 3,992 -0,1988 0,0069 -1,9892 -0,539 0,014 0,4915 -1,703 0,0169 0,2143

0,3 5 3,9942 -0,1448 0,0034 -1,9839 -0,805 0,0084 0,4989 -0,218 0,0279 0,141210 3,9991 -0,0231 0,002 -2,0002 0,0083 0,0051 0,5058 1,1667 0,0273 0,0723 3,9897 -0,2575 0,0065 -1,9935 -0,3238 0,0137 0,5283 5,655 0,0359 0,5018

0,6 5 3,988 -0,3011 0,0045 -1,9876 -0,6224 0,0068 0,504 0,7915 0,0233 0,387510 3,9995 -0,0124 0,0025 -2,0000 -0,0003 0,0036 0,4841 -3,1725 0,0194 0,23613 3,9934 -0,1657 0,0041 -1,9922 -0,3901 0,0029 0,4958 -0,8429 0,027 0,8629

0,9 5 4,0011 0,0276 0,0032 -1,999 -0,0516 0,0025 0,5081 1,6287 0,0232 0,807310 3,9924 -0,1893 0,0029 -2,0012 0,0599 0,0018 0,5138 2,7514 0,0274 0,6806

104 APÊNDICE E

Tabela E.7: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariada BS deuma estrutura de correlação permutável e ajustado sob o modelo log-BS-t-GEE models com mesma estruturade correlação (ν = 10).


n = 103 3,9975 -0,0637 0,0373 -2,0006 0,0279 0,1096 0,4694 -6,1189 0,0199 0,2427

0,3 5 4,0023 0,0583 0,0281 -2,0003 0,0131 0,0590 0,4754 -4,9205 0,0179 0,252910 4,0027 0,0663 0,0167 -2,0028 0,1402 0,0260 0,4794 -4,1127 0,0174 0,26043 3,9988 -0,0301 0,0444 -1,9999 -0,0046 0,0736 0,4633 -7,3327 0,0214 0,5419

0,6 5 3,9963 -0,0925 0,0292 -2,0017 0,0851 0,0354 0,4721 -5,5809 0,0207 0,543310 4,0009 0,0231 0,0230 -2,0024 0,1216 0,0177 0,4773 -4,5387 0,0200 0,54583 3,9974 -0,0660 0,0331 -2,0007 0,0359 0,0254 0,4507 -9,8640 0,0254 0,8720

0,9 5 3,9990 -0,0246 0,0290 -2,0010 0,0504 0,0098 0,4668 -6,6337 0,0271 0,870110 4,0005 0,0121 0,0283 -1,9998 -0,0076 0,0039 0,4695 -6,1040 0,0271 0,8708

n = 203 3,9991 -0,0213 0,0223 -2,0023 0,1164 0,0515 0,4860 -2,8000 0,0187 0,2689

0,3 5 4,0020 0,0502 0,0149 -2,0054 0,2723 0,0352 0,4896 -2,0841 0,0173 0,273310 4,0022 0,0555 0,0088 -2,0033 0,1653 0,0135 0,4924 -1,5176 0,0163 0,27863 3,9964 -0,0911 0,0191 -1,9951 -0,2453 0,0398 0,4788 -4,2380 0,0186 0,5662

0,6 5 4,0005 0,0118 0,0144 -1,9992 -0,0389 0,0182 0,4845 -3,0978 0,0186 0,572210 4,0008 0,0194 0,0117 -1,9997 -0,0145 0,0096 0,4861 -2,7859 0,0179 0,56883 4,0014 0,0353 0,0163 -1,9998 -0,0118 0,0113 0,4741 -5,1841 0,0199 0,8847

0,9 5 3,9978 -0,0542 0,0143 -2,0001 0,0056 0,0039 0,4793 -4,1415 0,0209 0,884210 4,0018 0,0443 0,0141 -2,0002 0,0098 0,0023 0,4825 -3,5053 0,0206 0,8840

n = 503 3,9980 -0,0499 0,0081 -1,9966 -0,1681 0,0209 0,4917 -1,6677 0,0165 0,2862

0,3 5 4,0013 0,0329 0,0057 -2,0017 0,0862 0,0120 0,4925 -1,4946 0,0162 0,288210 4,0008 0,0205 0,0035 -2,0015 0,0758 0,0055 0,4959 -0,8254 0,0171 0,28933 3,9982 -0,0439 0,0072 -1,9981 -0,0953 0,0122 0,4896 -2,0821 0,0180 0,5857

0,6 5 3,9992 -0,0201 0,0057 -1,9999 -0,0059 0,0070 0,4921 -1,5847 0,0168 0,583210 3,9998 -0,0044 0,0043 -1,9992 -0,0421 0,0030 0,4912 -1,7556 0,0169 0,58213 4,0000 -0,0010 0,0065 -2,0009 0,0456 0,0032 0,4912 -1,7532 0,0190 0,8927

0,9 5 4,0008 0,0194 0,0060 -2,0010 0,0520 0,0017 0,4916 -1,6712 0,0173 0,893110 4,0021 0,0527 0,0055 -1,9999 -0,0073 0,0009 0,4918 -1,6431 0,0180 0,8926

n = 803 4,0026 0,0660 0,0049 -2,0026 0,1322 0,0126 0,4940 -1,2021 0,0165 0,2899

0,3 5 3,9997 -0,0081 0,0034 -2,0009 0,0471 0,0075 0,4955 -0,8978 0,0170 0,289910 3,9998 -0,0041 0,0022 -2,0004 0,0197 0,0034 0,4983 -0,3311 0,0175 0,29343 4,0007 0,0185 0,0051 -2,0007 0,0334 0,0086 0,4916 -1,6775 0,0162 0,5875

0,6 5 3,9995 -0,0117 0,0037 -1,9995 -0,0251 0,0047 0,4955 -0,9029 0,0170 0,587610 3,9995 -0,0127 0,0028 -1,9999 -0,0037 0,0019 0,4924 -1,5299 0,0160 0,58873 4,0010 0,0254 0,0040 -2,0008 0,0425 0,0023 0,4923 -1,5377 0,0166 0,8942

0,9 5 3,9993 -0,0183 0,0036 -2,0001 0,0069 0,0011 0,4944 -1,1192 0,0172 0,894910 4,0005 0,0123 0,0035 -2,0003 0,0162 0,0005 0,4966 -0,6894 0,0176 0,8946


Tabela E.8: Estimativas médias de β0, β1, α e ρ, viés relativo (VR) (em %) e erro quadrático médio (EQM)de β0 e β1 do estudo de simulação dos quais os dados são gerados de uma distribuição multivariada BS deuma estrutura de correlação permutável e ajustado sob o modelo log-BS-t via GEE com mesma estrutura decorrelação (ν = 30).


n = 103 3,9986 -0,0352 0,0330 -1,9994 -0,0318 0,0969 0,4666 -6,6841 0,0095 0,2406

0,3 5 3,9964 -0,0896 0,0252 -1,9945 -0,2734 0,0520 0,4766 -4,6807 0,0076 0,254310 4,0003 0,0063 0,0151 -2,0008 0,0410 0,0227 0,4816 -3,6701 0,0066 0,26183 4,0013 0,0315 0,0344 -2,0033 0,1641 0,0597 0,4648 -7,0428 0,0118 0,5458

0,6 5 4,0022 0,0554 0,0235 -2,0039 0,1928 0,0283 0,4722 -5,5510 0,0108 0,545410 3,9984 -0,0390 0,0195 -2,0007 0,0372 0,0127 0,4719 -5,6253 0,0094 0,54123 4,0003 0,0087 0,0278 -1,9984 -0,0820 0,0169 0,4498 -10,0401 0,0164 0,8715

0,9 5 3,9965 -0,0879 0,0254 -1,9973 -0,1357 0,0077 0,4587 -8,2671 0,0152 0,871110 3,9986 -0,0345 0,0232 -1,9993 -0,0332 0,0029 0,4622 -7,5522 0,0149 0,8690

n = 203 3,9999 -0,0035 0,0158 -2,0026 0,1311 0,0389 0,4834 -3,3186 0,0068 0,2727

0,3 5 4,0006 0,0143 0,0112 -1,9983 -0,0850 0,0252 0,4866 -2,6709 0,0062 0,275610 4,0020 0,0507 0,0073 -2,0018 0,0889 0,0115 0,4898 -2,0490 0,0055 0,27903 3,9997 -0,0070 0,0181 -2,0009 0,0471 0,0285 0,4794 -4,1157 0,0080 0,5718

0,6 5 4,0000 -0,0009 0,0118 -1,9989 -0,0547 0,0164 0,4841 -3,1800 0,0075 0,571910 3,9992 -0,0190 0,0096 -1,9990 -0,0519 0,0066 0,4849 -3,0160 0,0070 0,57213 3,9980 -0,0493 0,0137 -1,9986 -0,0712 0,0086 0,4747 -5,0501 0,0098 0,8864

0,9 5 4,0030 0,0753 0,0128 -2,0010 0,0523 0,0035 0,4775 -4,5079 0,0098 0,886310 3,9984 -0,0407 0,0119 -1,9994 -0,0281 0,0016 0,4808 -3,8350 0,0096 0,8863

n = 503 3,9991 -0,0218 0,0076 -1,9982 -0,0891 0,0162 0,4909 -1,8204 0,0055 0,2895

0,3 5 3,9988 -0,0292 0,0049 -2,0003 0,0143 0,0106 0,4919 -1,6295 0,0052 0,291910 3,9995 -0,0123 0,0030 -1,9999 -0,0029 0,0043 0,4968 -0,6489 0,0051 0,29143 4,0001 0,0032 0,0062 -2,0005 0,0250 0,0113 0,4913 -1,7344 0,0058 0,5903

0,6 5 3,9973 -0,0664 0,0052 -1,9981 -0,0925 0,0059 0,4919 -1,6297 0,0057 0,588010 3,9980 -0,0491 0,0038 -2,0001 0,0036 0,0026 0,4932 -1,3581 0,0054 0,58923 3,9998 -0,0059 0,0052 -2,0008 0,0422 0,0026 0,4905 -1,9097 0,0066 0,8951

0,9 5 3,9998 -0,0059 0,0050 -2,0003 0,0173 0,0016 0,4913 -1,7475 0,0065 0,895410 4,0003 0,0071 0,0048 -2,0004 0,0182 0,0007 0,4899 -2,0185 0,0064 0,8949

n = 803 3,9993 -0,0181 0,0042 -2,0014 0,0710 0,0109 0,4947 -1,0518 0,0049 0,2926

0,3 5 3,9988 -0,0290 0,0030 -1,9993 -0,0343 0,0061 0,4958 -0,8440 0,0048 0,294510 3,9997 -0,0069 0,0020 -2,0001 0,0043 0,0030 0,4966 -0,6900 0,0047 0,29473 4,0006 0,0158 0,0044 -2,0010 0,0520 0,0076 0,4943 -1,1484 0,0052 0,5938

0,6 5 3,9989 -0,0268 0,0031 -1,9997 -0,0161 0,0038 0,4935 -1,2973 0,0053 0,594110 3,9997 -0,0070 0,0024 -2,0004 0,0222 0,0016 0,4936 -1,2830 0,0052 0,59283 3,9996 -0,0090 0,0035 -1,9993 -0,0351 0,0021 0,4910 -1,8098 0,0060 0,8963

0,9 5 3,9977 -0,0565 0,0031 -1,9995 -0,0238 0,0009 0,4922 -1,5536 0,0056 0,897110 3,9997 -0,0082 0,0030 -1,9999 -0,0067 0,0004 0,4939 -1,2197 0,0057 0,8971

106 APÊNDICE E

Apêndice F


F.1 Função de estimação conjunta para o modelo heterogêneo log-BS

F.1.1 Derivação da função de estimação para o modelo do parâmetro de forma

Iremos apresentar nesta seção os cálculos detalhados para a obtenção da função de estimaçãodescrita em (4.2).

Temos que

vij =1

αij

[4

α2ij

senh2

(yij − µij

2

)− 1

].

Logo,

vij =∂vij∂αij

= − 1

(αij)2

[4

α2ij

senh2

(yij − µij

2

)− 1

]+

1

αij

[− 8

α3ij

senh2

(yij − µij

2

)]

= − 12

α4ij

senh2

(yij − µij

2

)+

1

α2ij

,

de (B.1) segue que,

E(∂vij∂αij

)= E

(− 12

α4ij

senh2

(yij − µij

2

)+

1

α2ij

)

= − 12

α4ij

E(

senh2

(yij − µij

2

))+

1

α2ij

= − 12

α4ij

×α2ij

4+

1

α2ij

= − 2

α2ij

.

Denotamos,

Mi = E(∂vi∂αi

)= diag E(vi1), . . . ,E(vis) = diag

(− 2

α2ij

, . . . ,− 2

α2is

),

107

108 APÊNDICE F

então,

E(∂vi∂γ⊤

)⊤= E

(∂vi∂αi

∂αi∂δi

∂δi∂γ⊤

)⊤= Z⊤

i GiMi

com Gi = diag(∂g(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g(z⊤isγ)/∂δis).

Note que αi = (αij , . . . , αis)⊤ e temos,

αi = exp(δi) e δi = Ziγ,

em que γ = (γ1, . . . γq)⊤ é o vetor de parâmetros desconhecidos de dimensão q×1, Zi = (zij . . . zil)

⊤

é a matriz de covariáveis referente à i-ésima unidade experimental, com dimensão s × q, Gi =

diag(∂g−1(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g−1(z⊤isγ)/∂δis) e Mi = diag(− 2

α2i1, . . . ,− 2

α2is).

A matriz de variância-covariância de vi pode ser escrita na forma

Cov(vi) = Var(vi)1/2Corr(vi)Var(vi)1/2,= Σ1/2i R(vi)Σ

1/2i ,

em que Corr(vi) representa a matriz de correlação de vi e Var(vi) é dada por,

Var(vi) = diag Var(vij), . . . ,Var(vis) = diag(E(v2i1), . . . ,E(v2is)) = Ωi,

em que,

Var(vi) = diag Var(vij), . . . ,Var(vis)

= diagE(v2

ij)− E2(v2ij), . . . ,E(v

2is)− E2(v2

is)

= diagE(v2

ij), . . . ,E(v2is)

= diag

2

α2ij

, . . . ,2

α2iS

.

Temos então que a função de estimação linear para γ é dada por,

ζn =

n∑i=1

Z⊤i GiMiΩ

−1/2i R(ρ)−1Ω

−1/2i vi,

em que Gi = diag(∂g−1(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g−1(z⊤isγ)/∂δis) e Di = diag(−2

α2ij, . . . , −2

α2is).

Temos então que a função de estimação linear para γ é dada por,

ζn =

n∑i=1

Z⊤i GiMiCov−1

γ (vi)vi

FUNÇÃO DE ESTIMAÇÃO CONJUNTA PARA O MODELO HETEROGÊNEO LOG-BS 109

F.1.2 Derivação da Função de Estimação Conjunta

Seja θ = (β⊤,γ⊤)⊤ e consideremos di = (u⊤i ,v

⊤i )

⊤. Uma função de estimação ótima para θgerada por di, é dada por,

Γn(θ)0 = E

n∑i=1

∂ui

∂β⊤∂ui

∂γ⊤

∂vi

∂β⊤∂vi

∂γ⊤

⊤

Cov(di)−1di.

Note que,

E senh (yij − µij) =

∫ ∞

−∞senh (yij − µij)

1

α√2π

cosh

(yij − µij

2

)× exp

[−2

1

αsenh

(yij − µij

2

)2]dyij

=

∫ ∞

−∞senh

(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)1

α√2π

×cosh(yij − µij

2

)exp

[−2

1

αsenh

(yij − µij

2

)2]dyij .

Fazendo a substituição a =yij−µij

2 e observando que o integrando resultante é uma função ímparno intervalo (−∞,∞), segue que,

E senh (yij − µij) = 0,

e podemos observar ainda,

E

senh(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)= 0.

Portanto,

E(∂ui∂γ⊤

)⊤= E

(∂ui

∂α⊤i

∂αi

∂δ⊤i

∂δi∂γ⊤

)⊤

= Z⊤i Gidiag

−E

(2

α3i1

senh (yij − µij)

), . . . ,−E

(2

α3is

senh (yis − µis)

)= 0

e

E(∂vi

∂β⊤

)⊤= E

(∂vi

∂β⊤∂βi∂η⊤i

∂ηi∂β⊤

)⊤

= Xi⊤diag

−E

(4

α3i1

senh(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)), . . . ,

−E(

4

α3is

senh(yij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

))= 0.

110 APÊNDICE F

Portanto,

Γn(θ)0 =

n∑i=1

(X⊤i Ni 0

0 Z⊤i GiMi

)A−1i di, (F.1)

com,

Ai = cov(di) =

(Cov(ui) Cov(ui,vi)

Cov(ui,vi) Cov(vi)

)

=

(Σ

1/2i Corr(ui)Σ

1/2i , Cov(ui,vi)


1/2i

),



4Esech2

(yi1−µi12

)− 1

2 − 1α2ij,

Corr(ui) é a verdadeira matriz de correlação, Σi = diag Var(ui1), . . . ,Var(uis) ,com Var(uij) =E

14tgh2

(yij−µij

2

)+ 1

4 + 1α2ij, Gi = diag(∂g−1(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g

−1(z⊤isγ)/∂δis),

Mi = diag(− 2α2i1, . . . ,− 2

α2is

),Corr(vi) é a verdadeira matriz de correlação e Ωi = diag

(2α2i1, . . . , 2

α2is

).

F.1.3 Derivação das matrizes de variabilidade e sensibilidade

Nesta seção vamos derivar a matriz de sensibilidade e a matriz de variabilidade para a funçãode estimação dada em (F.3). Observe que,

∂Γ(γ)

∂γ=∂Γ(α)

∂αi× ∂αi∂δi

× ∂δi∂γ

.

Temos que

∂Γ(γ)

∂γ=

∂

∂γ

Z⊤i GiMiΩ

−1i vi

=

Z⊤i

∂Gi

∂αiMiΩ

−1i vi + Z⊤

i Gi∂Mi

∂αiΩ−1i vi + Z⊤

i GiMi∂Ω−1

i

αivi

+Z⊤i GiMiΩ

−1i

∂vi∂αi

GiZi.

Note que

∂E(vij)∂αij

=4

α3ij

e∂E(v2ij)∂αij

= − 4

α3ij

,

∂Ωi

∂α= diag

(− 4

α3i1

, . . . ,− 4

α3is

),

em que,

EZ⊤i

∂Gi

∂αiMiΩ

−1i viGiZi

= 0,


Ω−1i = diag

1

E(v2ij), . . . ,

1

E(v2is)

= diag

αi12

2, . . . ,

α2is

2

⇒

∂Ω−1i

∂αi= diag αi1, . . . , αis ,

logo,

EZ⊤i GiMi

∂Ω−1i

αiviGiZi

= 0,

e ainda

∂Mi

∂α= diag

(4

α3ij

, . . . ,4

α3is

)e assim, E

Z⊤i Gi

∂Mi

∂αΩ−1i viGiZi

= 0.

Portanto,

E(∂Γ(α)

∂γ

)E(Z⊤i GiMiΩ

−1/2i R(ρ)−1Ω

−1/2i

∂vi∂αij

)= Z⊤

i GiMiΩ−1i MiHiZi.

Do Apêndice B.2 temos que

E(∂Γ(β)

∂β

)= E

(∂ψi(β)

∂β

)= Xi

⊤NiΣ−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i NiXi.

Temos que,

E∂Γ(β)

∂γ

= E

∂ψi(β)

∂γ

= E

∂

∂γ

Xi


−1/2i ui

= E

[Xi

⊤∂Ni

∂αiΣ

−1/2i R(ρ)−1Σ

−1/2i ui +Xi

⊤Ni∂Σ

−1/2i

∂αiR(ρ)−1Σ

−1/2i ui

+Xi⊤NiΣ

−1/2i R(ρ)−1∂Σ

−1/2i

∂αiui +Xi


−1/2i

∂ui

∂αi

]GiZi

= 0

e

∂Γ(γ)

∂β=

∂

∂β

Z⊤i GiMiΩ

−1i vi

=

Z⊤i

∂Gi

∂µiMiΩ

−1i vi + Z⊤

i Gi∂Mi

∂µiΩ−1i vi + Z⊤

i GiMi∂Ω−1

i

µivi

+Z⊤i GiMiΩ

−1i

∂vi∂µi

GiZi

= 0.

A matriz de sensibilidade e a matriz de variabilidade para a equação de estimação (F.1) são,

112 APÊNDICE F

respectivamente, dadas por

Si(θ) = E

∂

∂β⊤Ψi(β)∂

∂γ⊤Ψi(β)

∂

∂β⊤ ζi(γ)∂

∂γ⊤ ζi(γ)

=

(Xi


−1/2i NiXi. 0

0 Z⊤i GiMiΩ

−1i MiGiZi.

)= Qi

⊤ΛiΥ−1i ΛiQi,

logo

n∑i=1

Si(θ) =

n∑i=1

EQi

⊤ΛiΥ−1i did

⊤i

=

n∑i=1

Qi⊤ΛiΥ

−1i E

did

⊤i

Υ−⊤i Λ⊤

i Qi.

Temos ainda que,

Vi(θ) = E[Qi

⊤ΛiΥ−1i did

⊤i Υ

−⊤i ΛiQi

]= Qi

⊤ΛiΥ−1i E

[did

⊤i

]Υ−⊤i ΛiQi

= Qi⊤ΛiΥ

−1i Cov(di)Υ−⊤

i ΛiQi.

F.1.4 Influência conformal sob heterogeneidade do parâmetro de forma

Perturbação da variável resposta

Observe que

vωij =1

αij

[4

α2ij

senh2

(yωij − µij

2

)− 1

],

cuja derivada em relação a ωij é dada por,

∂vωij

∂ωij=

4

α3ij

senh(yωij − µij

2

)cosh

(yij − µij

2

)∂αωij∂ωij

=2syijα3

senh (yωij − µij) .

Perturbação individual das covariáveis

Matrizes X e Z iguais

Nesta Seção obtemos derivadas de Ψωi, Λωi e dωi com relação à ω⊤i .

Λωi =

(Nωi 0

0 GωiMωi

), Υωi =

(Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

1/2ωi 0

0 Ωωi

)e dωi =

(uωi

vωi

).


sech2(yij−µωij

2

)− 1

2 − 1α2ωij, Σωi =


1/2ωi = diag

Var1/2(uωi1), . . . ,Var1/2(uωis)

), com Var(uωij) =


E

14tgh2

(yij−µωij

2

)+ 1

4 + 1α2ωij, Gi = diag(∂g(z⊤i1γ)/∂δi1, . . . , ∂g(z

⊤isγ)/∂δis), Mωi =

diag(− 2α2ωij, . . . ,− 2

α2ωis

), Ωωi = diag

(2

α2ωi1, . . . , 2

α2ωis

), uωij = −1

2tgh(yij−µωij

2

)+ 1

α2ωij

senh(yij −

µωij) e vij = 1αωij

[4

α2ωij

senh2(yij−µωij

2

)− 1

].

Temos que,

∂Λωi

∂ω⊤i

=

(2GωiMωiγksxk 0

0 GωiMωi +GωiMωi

),

∂Υωi

∂ω⊤i

=

(−1

4γksxk

[Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

−1/2ωi MωiGωi +Σ

−1/2ωi MωiGωiR(ρ)Σ

1/2ωi

]0

0 γksxkΩ,

),

∂dωi

∂ω⊤i

=

(βksxkAωi − BωiGωiγksxk

CωiGωiγksxk − 2MωiGωiγksxk − Bωiβksxk

).

em que ∂Gω

∂ω⊤ = diag(Gω1, . . . , Gωs

)e ∂Mω

∂ω⊤ = diag(Mω1, . . . , Mωs

)com Mωi = diag

(4

α3ωij, . . . , 4

α3ωis

),

Gωi = diag(∂2g−1(z⊤i1γ)/∂δ2i1, . . . , ∂g

−1(z⊤isγ)/∂δis) e Ωωi = diag(− 4α3ωij, . . . ,− 4

α3ωis

). Observe

ainda que,∂[Σωi1/2R(ρ)Σωi1/2

]∂ω⊤

i

=∂Σ

1/2ωi

∂ω⊤i

R(ρ)Σωi1/2 +Σ1/2ω R

∂Σ1/2ω

∂ω⊤i

.

E temos que,

∂αωij∂ωij

=∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk ,

∂

∂ωij

[∂g−1(δωij)

∂δωij

]=∂2g−1(δωij)

∂δ2ωijγksxk,

∂E(uωij)∂ωij

=∂ 14E

sech2(yij−µωij

2

)∂µωij

∂µωij∂ωij

+∂1/α2

ωij

∂ωij= − 2

α3ωij

∂g−1 (δωij)

∂δij

∂δωij∂ωij

= − 2

α3ωij

∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk ,


=∂ 14E

14tgh2

(yij−µωij

2

)∂µωij

∂µωij∂ωij

−∂(1/α2

ωij)

∂ωij=

2

α3ωij

∂g−1 (δωij)

∂δij

∂δωij∂ωij

=2

α3ωij

∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk ,


=1

2Var−1/2(uωij)


,

∂uij∂ωij

=1

4sech2

(yij − µωij

2

)∂µωij∂ωij

− 2

α3ωij

∂αωij∂ωij

senh(yij − µωij)−1

α2ωij

cosh(yij − µωij)∂µωij∂ωij

114 APÊNDICE F

= βksxk

[1

4sech2

(yij − µωij

2

)− 1

α2ωij

cosh(yij − µωij)

]− 2

α3ωij

senh(yij − µωij)∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk

= βksxkAωij − Bωij∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk

e

∂vij∂ωij

= − 1

α2ij

∂αωij∂ωij

[4

α2ωij

senh2

(yij − µωij

2

)− 1

]+

1

αωij

[− 8

α3ωij

∂αωij∂ωij

senh2

(yij − µωij

2

)

− 2

α2ωij

2senh(yij − µωij

2

)cosh

(yij − µωij

2

)∂µωij∂ωij

]

= − 12

α4ij

∂αωij∂ωij

senh2

(yij − µωij

2

)+

1

α2ij

∂αωij∂ωij

− 2

α3ωij

senh (yij − µωij)∂µωij∂ωij

= − 12

α4ij

senh2

(yij − µωij

2

)∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk − 2Mωij

∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk − Bωijβksxk

= Cωij∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk − 2Mωij

∂g−1 (δωij)

∂δijγksxk − Bωijβksxk.

Matrizes X e Z totalmente diferentes

Obteremos agora derivadas de Ψωi, Λωi e dωi com relação à ω⊤i quando consideramos a per-

turbação da k-ésima coluna da matriz X e as matrizes para modelar os parâmetros de localizaçãoe forma são completamente diferentes.

Λωi =

(Nωi 0

0 GiMi

), Υωi =

(Σ

1/2ωi R(ρ)Σ

1/2ωi 0

0 Ωi

)e dωi =

(uωi

vωi

),


sech2(yij−µωij

2

)− 1

2 − 1α2ij, Σωi =


1/2ωi = diag

Var1/2(uωi1), . . . ,Var1/2(uωis)

), com Var(uωij) =

E

14tgh2

(yij−µωij

2

)+1

4+1α2ij,Gi = diag(∂g(δi1)/∂δi1, . . . , ∂g(δi1)/∂δis),Mi = diag

(− 2α2i1, . . . ,− 2

α2is

),

Ωi = diag(

2α2i1, . . . , 2

α2is

), uωij = −1

2tgh(yij−µωij

2

)+ 1α2ij

senh(yij−µωij) e vij = 1αij

[4α2ij

senh2(yij−µωij

2

)− 1

].

Temos que,

∂[Σωi1/2R(ρ)Σ

1/2ωi

]∂ω⊤

i

=∂Σ

1/2ωi

∂ω⊤i

R(ρ)Σωi1/2 +Σ1/2ωi R

∂Σ1/2ω

∂ω⊤i

.

e


=1

2Var−1/2(uωij)


,

e de forma similar ao que foi feito na Seção B.1 obtemos,


=∂ 14E

tgh2(yij−µωij

2

)∂µωij

∂µωij∂ωij

= 0 e∂E(uωij)∂ωij

=∂ 14E

sech2(yij−µωij

2

)∂µωij

∂µωij∂ωij

= 0.

FUNÇÃO DE ESTIMAÇÃO CONJUNTA PARA O MODELO HETEROGÊNEO LOG-BS-T 115

Portanto,

∂Nωi

∂ω⊤i

=∂Σωi

∂ω⊤i

= 0Ns×Ns,

donde

∂Λωi

∂ω⊤i

=∂Υωi

∂ω⊤i

=

(0 0

0 0

).

Por outro lado,

∂uωij∂ωij

=

[1

4sech2

(yij − µωij

2

)− 1

α2cosh(yij − µωij)

]∂µωij∂ωij

=

[1

4sech2

(yij − µωij

2

)− 1

α2cosh(yij − µωij)

]βksxk = βksxkA∗

ωij

e

∂vωij∂ωij

=4

α3ij

2senh(yij − µωij

2

)cosh

(yij − µωij

2

)×(−1

2

)∂µωijωij

= − 2

α3ij

senh (yij − µωij)βksxk = βksxkB∗ωij .

De forma que,

∂dωi

∂ω⊤i

=

(βksxkA∗

ωi

−B∗ωiβksxk

).

F.2 Função de estimação conjunta para o modelo heterogêneo log-BS-t

F.2.1 Derivação das matrizes de variabilidade e sensibilidade

Nesta seção vamos derivar a matriz de sensibilidade e a matriz de variabilidade para a equaçãode estimação (4.19). Observe que,

∂ζi(γ)

∂γ=

∂

∂γ

ZTi HiMiΩ

−1i vi

=

ZTi

∂Hi

∂αMiΩ

−1/2i R(ρ)−1Ω

−1/2i vi + ZT

i Hi∂Mi

∂αΩ−1i vi

+ZTi HiMiΩ

−1i

∂vi∂α

HiZi.

Note que

E(vij) =∫ ∞

−∞

2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 )[

1

α2ij

+4wijx

2ij

α4ij

−1 +

8x2ijνα2

ij + 4x2ij

116 APÊNDICE F

−2x2ijαij

]dxij .

Temos que,

dξij1dαij

=−1

αijξij1,

dξij2dαij

=−1

αijξij2

e

dwijdαij

=8wijξ

2ij2

αij(ν + 4ξ2ij2).

Então

d

dαij

2

αc(ν)

1 +

4

ν

(xijα

)2−( ν+12 )[

1

α2ij

+4wijx

2ij

α4ij

(−1 +

8x2ijνα2

ij + 4x2ij− 2

x2ijαij

)].

Podemos provar facilmente que

c(ν)ξij1

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 ) [

14α2ξ2ij1

− wij(ξ2ij1 + ξ2ij2) +

wij8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν+4ξ2ij2)

]é contínua, logo, podemos derivar sob o sinal de integração e fazendo as modificações de variáveisadequadas temos que,

∂E uij(yij , µij)∂µij

=

∫ ∞

−∞

c(ν)

−ξij22

1 +

4ξ2ij2ν

−( ν+12 ) [

1

4α2ξ2ij1

−wij(ξ2ij1 + ξ2ij2) +wij8ξ

2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]− ξij1

(ν + 1

2

)[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+32 )

[−4ξij2ξij1

ν

] [1


2ij1 + ξ2ij2) +

wij8ξ2ij2ξ

2ij1

(ν + 4ξ2ij2)

]

+ξij1

[1 +

4ξ2ij2ν

]−( ν+12 ) [

4α2ξij1ξij2(4α2ξ2ij1)

2− 4wξij2ξij1



3ij2ξ

3ij1

(ν + 4ξ2ij2)2

−(ν + 4ξ2ij2)8wijξij2ξij1(ξ2ij2 + ξ2ij1) + 4ξij2ξij1(wij8ξ

2ij2ξ

2ij1)

(ν + 4ξ2ij2)2

]dyij

= 0.

Portanto,

∂Ni

∂µi= 0 (F.2)

FUNÇÃO DE ESTIMAÇÃO CONJUNTA PARA O MODELO HETEROGÊNEO LOG-BS-T 117

Ω−1i = diag

1

E(v2ij), . . . ,

1

E(v2is)

= diag

αij2, . . . ,

αis2

⇒

∂Ω−1i

∂α= diag

1

2, . . . ,

1

2

e

∂Mi

∂α= diag

(4

α3ij

, . . . ,4

α3is

).

Portanto,

E(∂ζi(θ)

∂γ

)= ZT

i HiMiΩ−1i MiHiZi.

A matriz de sensibilidade e a matriz de variabilidade para a equação de estimação generalizada(F.1) são, respectivamente, dadas por

Si(θ) = E

∂

∂β⊤Ψi(β)∂

∂γ⊤Ψi(β)

∂

∂β⊤ ζi(γ)∂

∂γ⊤ ζi(γ)

=

(Xi


−1/2i NiXi. 0

0 ZTi HiMiΩ

−1i MiHiZi.

)= Qi

⊤ΛiΥ−1i ΛiQi,

logo

n∑i=1

Si(θ) =n∑i=1

EQi

⊤ΛiΥ−1i did

⊤i

=

n∑i=1

Qi⊤ΛiΥ

−1i E

did

⊤i

Υ−Ti Λ⊤

i Qi.

F.2.2 Influência conformal sob heterogeneidade do parâmetro de forma

i) Perturbação da variável respostaConsiderando a perturbação da variável resposta

yωij = yij + ωijsyij

temos que


em que dω = (d⊤ω1, . . . ,d

⊤ωn)

⊤, com dωi = (d⊤ωi1, . . . , d⊤ωis)

⊤,

∆ =∂Γ(θ|ω)∂ω⊤ = Q⊤WΛ−1 ∂dω

∂ω⊤ .

avaliado em θ e em ω0. O vetor perturbado na variável resposta para i-ésima unidade experimentalé dωi = (u⊤


⊤ e vωi = (vωi1, . . . , vωis)⊤, com uωij definido em

118 APÊNDICE F

(3.8) com derivada em relação a ωij dada em (3.9).E temos que,

vωij =1

αij

[4wωijξ

2ωij2 − 1

],

em que wωij = ν+1ν+4ξ2ωij2

e ξωij2 = 1αsenh

(yωij−µij

2

)e cujas as derivadas em relação a ωij é dada por,

∂ξωij2∂ωij

=1

αcosh

(yωij − µij

2

)1

2=ξωij12

,

∂wωij∂ωij

= −syij(ν + 1)(4ξωij2ξωij1)

(ν + 4ξ2ωij2)2

= −wωij(4ξωij2ξωij1)

ν + 4ξ2ωij2syij


(yωij−µij

2

). Portanto,

∂vωij

∂ωij=

4

α

∂wωij∂ωij

ξ2ij1 + syij4


= syij4


[1−

ξ2ωij2ν + 4ξ2ωij2

].

De forma que,

∂d

∂ω⊤ =

(UV

),

com U = diag(U1, . . . , Un) e V = diag(V1, . . . , Vn) em que Ui = diag(∂uωi1∂ωi1

, . . . , ∂uωis∂ωis

) e Vi =

diag(∂vωi1∂ωi1

, . . . , ∂vωis∂ωis

).

Apêndice G


119

120 APÊNDICE G

Tab

ela

G.1

:Est

imat

ivas

méd

ias

deβ0,β1,γ0,γ1

eρ,vi

ésre

lativo

(VR

)(e

m%

)e

erro

quad

rático

méd

io(E

QM

)dd

ospa

râm

etro

sda

regr

essã

odo

estu

dode

sim

ulaç

ãodo

cená

rio

1,a.

ρs

β0

VRβ0

EQ

Mβ0

β1

VRβ0

EQ

Mβ0

γ0

VRγ0

EQ

Mγ0

γ1

VRγ0

EQ

Mγ0

λρ

n=

10

33,

9956

-0,1

110

0,01

20-1

,994

6-0

,269

70,

0281

-2,1

381

6,90

360,

1187

2,09

694,

8430

0,26

246,

4390

680,

1748

0,3

54,

0004

0,01

070,

0067

-1,9

937

-0,3

141

0,01

79-2

,100

25,

0093

0,06

252,

0954

4,77

020,

1505

6,72

8384

0,18

5010

3,99

82-0

,044

00,

0033

-1,9

902

-0,4

884

0,00

71-2

,039

41,

9721

0,02

992,

0062

0,31

080,

0692

6,55

4528

0,20

793

3,99

47-0

,132

30,

0075

-1,9

970

-0,1

498

0,01

28-2

,142

47,

1223

0,11

522,

0885

4,42

630,

2726

6,43

9068

0,37

800,

65

3,99

42-0

,146

00,

0036

-1,9

949

-0,2

532

0,00

94-2

,135

26,

7615

0,07

452,

1092

5,45

900,

1720

6,72

8384

0,38

1210

3,99

67-0

,081

60,

0022

-1,9

972

-0,1

415

0,00

60-2

,082

24,

1086

0,04

832,

0376

1,87

780,

0733

6,55

4528

0,41

953

4,00

200,

0489

0,00

50-1

,997

6-0

,120

00,

0058

-2,1

775

8,87

560,

1531

2,13

836,

9141

0,17

986,

4390

680,

5908

0,9

53,

9992

-0,0

201

0,00

13-1

,996

7-0

,163

80,

0031

-2,0

966

4,83

200,

0920

2,03

061,

5311

0,14

366,

7283

840,

6716

104,

0025

0,06

200,

0010

-2,0

016

0,07

860,

0013

-2,0

968

4,84

220,

1120

2,03

641,

8217

0,10

406,

5545

280,

6755

n=

20

34,

0009

0,02

170,

0047

-2,0

007

0,03

610,

0116

-2,0

722

3,61

220,

0472

2,06

343,

1716

0,11

837,

2400

570,

2055

0,3

54,

0003

0,00

790,

0033

-2,0

000

0,00

190,

0076

-2,0

502

2,50

750,

0317

2,04

382,

1923

0,07

967,

2842

050,

2165

104,

0006

0,01

440,

0014

-2,0

003

0,01

410,

0027

-2,0

273

1,36

600,

0112

2,02

181,

0899

0,02

677,

2102

420,

2126

33,

9984

-0,0

393

0,00

89-1

,999

6-0

,022

20,

0081

-2,0

696

3,47

930,

0557

2,05

022,

5075

0,11

247,

2400

570,

4243

0,6

53,

9996

-0,0

090

0,00

25-1

,999

5-0

,024

10,

0048

-2,0

582

2,91

010,

0409

2,04

812,

4026

0,08

677,

2842

050,

4516

104,

0003

0,00

850,

0010

-1,9

995

-0,0

274

0,00

16-2

,030

91,

5427

0,01

772,

0147

0,73

390,

0256

7,21

0242

0,43

883

4,00

080,

0200

0,00

17-2

,000

20,

0097

0,00

26-2

,070

13,

5032

0,06

492,

0422

2,11

070,

1188

7,24

0057

0,65

170,

95

4,00

040,

0091

0,00

15-2

,000

10,

0032

0,00

15-2

,051

42,

5677

0,06

422,

0269

1,34

550,

1126

7,28

4205

0,70

5410

4,00

000,

0009

0,00

04-2

,000

10,

0065

0,00

04-2

,037

71,

8858

0,02

882,

0098

0,48

790,

0219

7,21

0242

0,67

40n=

50

33,

9992

-0,0

204

0,00

23-1

,999

4-0

,031

70,

0051

-2,0

280

1,40

090,

0143

2,02

421,

2122

0,03

957,

3121

210,

2157

0,3

54,

0008

0,02

090,

0011

-2,0

010

0,05

120,

0025

-2,0

166

0,83

180,

0085

2,01

120,

5581

0,02

197,

3766

670,

2221

104,

0001

0,00

200,

0006

-2,0

005

0,02

570,

0013

-2,0

107

0,53

540,

0051

2,00

710,

3572

0,01

257,

2115

650,

2271

33,

9999

-0,0

021

0,00

19-1

,999

5-0

,027

00,

0033

-2,0

306

1,52

810,

0163

2,02

631,

3170

0,03

837,

3121

210,

4391

0,6

54,

0001

0,00

340,

0009

-2,0

001

0,00

390,

0016

-2,0

203

1,01

570,

0114

2,01

290,

6465

0,02

337,

3766

670,

4527

104,

0003

0,00

760,

0004

-2,0

002

0,01

110,

0007

-2,0

137

0,68

680,

0077

2,00

820,

4088

0,01

317,

2115

650,

4595

33,

9998

-0,0

047

0,00

09-1

,999

8-0

,011

80,

0011

-2,0

291

1,45

750,

0192

2,01

950,

9736

0,03

907,

3121

210,

6692

0,9

53,

9998

-0,0

050

0,00

03-1

,999

7-0

,012

70,

0005

-2,0

219

1,09

650,

0155

2,01

000,

5009

0,02

397,

3766

670,

6883

104,

0000

0,00

120,

0001

-2,0

001

0,00

720,

0002

-2,0

164

0,82

150,

0124

2,00

630,

3127

0,01

357,

2115

650,

6959

n=

80

33,

9993

-0,0

179

0,00

11-1

,998

5-0

,074

10,

0029

-2,0

169

0,84

730,

0081

2,01

330,

6661

0,02

307,

3766

670,

2277

0,3

53,

9997

-0,0

071

0,00

07-1

,999

5-0

,023

50,

0017

-2,0

127

0,63

710,

0060

2,01

080,

5402

0,01

617,

3343

370,

2297

103,

9995

-0,0

118

0,00

04-1

,999

2-0

,038

00,

0008

-2,0

074

0,37

130,

0031

2,00

660,

3278

0,00

757,

3372

530,

2279

33,

9999

-0,0

018

0,00

08-2

,000

20,

0099

0,00

19-2

,017

90,

8939

0,00

952,

0122

0,60

800,

0242

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124 APÊNDICE G

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126 APÊNDICE G

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74

TABELAS REFERENTES ÀS SIMULAÇÕES DO CAPÍTULO 4 127Tab

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77

128 APÊNDICE G

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90,

0909

-2,9

900

-0,3

331

0,02

2865

,942

970,

0916

0,3

54,

0037

0,09

330,

0076

-2,0

049

0,24

670,

0186

2,99

19-0

,269

30,

0783

-3,0

225

0,74

920,

0081

66,2

6742

0,08

2210

4,00

980,

2451

0,00

59-2

,009

40,

4700

0,01

192,

9777

-0,7

446

0,06

68-3

,002

20,

0730

0,00

5765

,697

350,

0466

34,

0026

0,06

380,

0113

-2,0

167

0,83

550,

0277

2,91

63-2

,791

20,

0953

-2,9

832

-0,5

612

0,02

7465

,942

970,

2360

0,6

54,

0040

0,09

890,

0083

-2,0

047

0,23

630,

0160

2,99

03-0

,323

60,

0834

-3,0

172

0,57

340,

0095

66,2

6742

0,21

4810

4,00

900,

2253

0,00

65-2

,007

80,

3921

0,01

062,

9741

-0,8

642

0,06

84-2

,996

7-0

,111

40,

0053

65,6

9735

0,14

243

4,00

560,

1403

0,00

91-2

,017

60,

8795

0,01

952,

9139

-2,8

686

0,09

35-2

,985

8-0

,473

00,

0160

65,9

4297

0,42

660,

95

4,00

370,

0932

0,00

62-2

,003

40,

1685

0,00

892,

9833

-0,5

574

0,09

17-3

,009

50,

3161

0,01

0266

,267

420,

4359

104,

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0,21

850,

0057

-2,0

063

0,31

670,

0061

2,96

85-1

,050

90,

0724

-2,9

901

-0,3

299

0,00

8465

,697

350,

3972

TABELAS REFERENTES ÀS SIMULAÇÕES DO CAPÍTULO 4 129Tab

ela

G.1

0:Est

imat

ivas

méd

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deβ0,β1,γ0,γ1

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β0

VRβ0

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Mγ0

γ1

VRγ1

EQ

Mγ1

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,961

1-1

,947

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,082

32,

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2558

,958

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6,23

980,

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,505

40,

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-3,0

202

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1598

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4,01

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08-2

,019

80,

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0,11

533,

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0,05

340,

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-3,0

201

0,66

920,

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7999

0,03

663

3,96

38-0

,905

40,

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,088

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49-3

,024

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,976

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,787

40,

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47,3

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553

3,97

24-0

,689

70,

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577

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5807

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6662

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,039

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,993

2-0

,228

00,

1600

57,6

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51-2

,012

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6278

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10-2

,972

7-0

,908

40,

2945

47,3

7999

0,36

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20

33,

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20-1

,958

9-2

,053

30,

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,018

80,

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-2,9

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-0,8

968

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,712

920,

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54,

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,377

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-0,7

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,379

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-0,4

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,979

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,017

20,

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25-2

,916

60,

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-2,9

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-3,0

434

0,10

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,942

970,

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33,

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-0,1

942

0,05

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,947

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,612

20,

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2,90

65-3

,115

20,

2926

-2,9

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-0,0

530

0,20

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,712

920,

2013

0,6

54,

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0,04

320,

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-0,3

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3,97

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,619

50,

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-1,6

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0,04

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-2,9

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73-2

,907

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,089

00,

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,603

10,

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-1,9

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-3,4

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-4,5

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,912

8-2

,905

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4,00

600,

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,003

70,

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,021

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,379

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103,

9706

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,964

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,768

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,929

20,

2398

-2,9

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-3,1

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3765

,942

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3550

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54,

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-2,0

124

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0390

2,88

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-2,9

353

-2,1

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0,04

7266

,358

320,

0724

103,

9989

-0,0

280

0,00

72-1

,995

4-0

,232

40,

0174

2,93

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,182

40,

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-2,9

420

-1,9

349

0,25

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,469

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0396

34,

0095

0,23

740,

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-2,0

060

0,29

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2,92

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,377

20,

2566

-2,9

188

-2,7

068

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,798

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2609

0,6

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-0,1

133

0,01

24-2

,004

40,

2204

0,03

042,

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-3,7

850

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,959

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,343

20,

0533

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5832

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3,99

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,027

50,

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-1,9

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,489

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,230

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,218

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,798

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,008

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,901

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,097

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0,00

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,928

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,396

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1127

65,4

6924

0,36

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33,

9974

-0,0

660

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,008

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,944

6-1

,846

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,011

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827

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,267

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99-1

,335

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-2,9

661

-1,1

290

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7665

,697

350,

0478

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9969

-0,0

776

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74-2

,006

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-0,1

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,952

3-1

,590

00,

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65

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,014

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-0,8

582

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,267

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-2,0

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53-1

,491

40,

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-2,9

547

-1,5

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6565

,697

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1411

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0,01

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,999

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,028

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,416

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-2,9

269

-2,4

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8065

,942

970,

4174

0,9

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000,

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-1,9

994

-0,0

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0,01

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0,72

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-2,9

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-0,2

028

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,267

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4201

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-2,0

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27-1

,244

80,

1612

-2,9

862

-0,4

593

0,03

6565

,697

350,

3909

130 APÊNDICE G

Referências Bibliográficas

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Modelos Birnbaum-Saunders usando Equações de Estimação · 2017. 9. 1. · Modelos Birnbaum-Saunders usando Equações de Estimação Aline Barbosa Tsuyuguchi Tese apresentada