modelos constitutivos

333 EEEssstttaaadddooo dddeeelll AAArrrttteee sssooobbbrrreee lllaaa MMMooodddeeellliiizzzaaaccciiióóónnn CCCooonnnssstttiiitttuuutttiiivvvaaa

3.0 Introducción Se llama modelo constitutivo a una formulación matemática capaz de describir el

funcionamiento físico macroscópico de un “sólido ideal”, que resulta luego de aplicar hipótesis simplificativas sobre un “sólido real”. De aquí que la formulación de los modelos constitutivos sólo represente una “realidad condicionada” por ciertas hipótesis simplificativas y por lo tanto su utilización debe realizarse consecuentemente con ellas. Debido a esto existen innumerables modelos constitutivos y actualmente se sigue trabajando en la formulación de otros nuevos, cuyo objetivo es conseguir una formulación suficiente y acorde con el problema que se quiere resolver, ya que no es trivial obtener una formulación única que permita alcanzar la solución general para “todos los problemas”.

ESTUDIOS A GRAN ESCALA

- ESTRUCTURAS-

MECÁNICA DEL SÓLIDO: MMC (Mec. de Med. Cont.) MFL (Mec. de Frac. Lineal)

MECÁNICA COMPUTACIONAL

TÉCNICAS NUMÉRICAS

MODELOS CONSTITUTIVOS

ESTUDIOS DE LOS

MATERIALES

Figura 3.1 – Modelos constitutivos e interrelación entre las disciplinas que le dan origen.

MODELIZACIÓN NUMÉRICA DE MATERIALES COMPUESTOS 12

En la Figura 3.1 puede verse la interrelación entre distintas disciplinas que establecen las bases en que se fundamenta un modelo constitutivo genérico. Cuando en esta figura se hace referencia a la mecánica de sólido, se está englobando tanto la Mecánica de Medios Continuos clásica, como la Mecánica de Fractura.

3.0.1 Clasificación General.

No hay una forma única de clasificar los modelos constitutivos que se han formulado

para el tratamiento no lineal de los materiales, pues esto depende del punto de vista que se quiera resaltar. No obstante esto, aquí se sigue una forma clásica presentada en el ASCE y también por W. Chen and Ting, que aunque ha sido escrita en relación con el hormigón, tiene un punto de vista muy general. Así, los modelos pueden clasificarse en:

• Modelos basados en la elasticidad lineal y no-lineal • Modelos basados en la teoría de la plasticidad • Modelos basados en la teoría endocrónica • Modelos de fractura

Con esta clasificación se quiere transmitir la idea que el comportamiento macroscópico

de un sólido puede representarse por distintos caminos. Todos ellos permiten obtener muy buenos resultados sin que en ningún caso se esté representando la verdadera física microestructural que se desarrolla en el material. Así pues, el denominado fenómeno de fractura puede representarse mediante un modelo basado en mecánica de fractura en el que los fundamentos derivan de la propia teoría de la elasticidad. También puede aproximarse este comportamiento mediante mecánica de medios continuos luego de realizar adecuadas regularizaciones que permitan representar las discontinuidades que ocurren en los campos de desplazamiento y deformación.

A continuación se muestra brevemente un resumen de algunos modelos clásicos que se utilizan para representar el comportamiento del material. Por supuesto que hay algunos más adecuados que otros, según sea el problema que se quiera resolver, no obstante es bueno mencionar desde aquellos más simples hasta los de mayor complejidad.

3.0.1.1 Modelos Basados en la Elasticidad Lineal y No-lineal.

Son modelos simples pero inapropiados para representar un sólido en estado de fractura, aunque es importante tenerlos en cuenta para representar su comportamiento dentro del rango elástico. Estos modelos básicamente son,

• Elásticos de Cauchy, basados en la ley de Hooke1, en los cuales el campo tensional se

define a partir del campo de deformaciones ijσ

klε en el instante actual mediante una función tensorial del tipo . ( )klijij f ε=σ

• Hiperelásticos de Green3, tales que la tensión ijσ se define a partir de un potencial en

función de , que es la variable libre del problema. Esto es klε klij ε∂ω∂=σ .

1 Malvern, L. E. (1969). Introduction to the mechanics of a continuous medium - Prentice Hall - U.S.A.

Capitulo 3- Estado del Arte sobre la Modelización Constitutiva

13

• Hipoelásticos3,, en los cuales se define en forma arbitraria la variación temporal de la tensión en función de la variación temporal de deformación . Estos modelos pueden violar los principios básicos de la termodinámica (ver apéndice A3).

( klijij f ε=σ )

3.0.1.2 Modelos Basados en la Teoría de la Plasticidad. Estos modelos permiten la representación de un comportamiento macroscópico no-

lineal a partir de considerar una disipación energética provocada por el desarrollo de una deformación irrecuperable denominada deformación plástica2. Más adelante se presentará la aproximación necesaria que permite utilizar una formulación de este tipo para el tratamiento de problemas de fractura.

Puede ahora hacerse una clasificación de los posibles modelos basados en plasticidad que permite tratar fenómenos de fractura

• Plasticidad perfecta, basado en los clásicos modelos, de cuyas formulaciones

actualmente se utilizan las funciones umbrales de fluencia. • Plasticidad con ablandamiento y/o endurecimiento, que permite aproximar mejor el

fenómeno de fractura que la plasticidad perfecta • Plasticidad con ablandamiento y/o endurecimiento y/o daño, que completa de mejor manera

la formulación no-lineal para tratar problemas de metales y/o geomateriales.

3.0.1.3 Modelos Basados en la Teoría Endocrónica. Estos modelos desarrollados inicialmente para metales y posteriormente adaptados para

el tratamiento de geomateriales han significado un gran avance respecto de aquellos basados en la plasticidad clásica. No obstante esto, su vigencia fue muy breve debido a la gran cantidad de parámetros que necesitaban para su definición.

3.0.1.4 Modelos de Fractura. Estos modelos han sido formulados con el principal objetivo de tratar problemas de

fractura. Los hay muy diversos y en general pueden clasificarse en los siguientes tres grupos,

• Modelos de mecánica de fractura. Como su propio nombre lo indica, son modelos

formulados en factores de intensidad de tensiones o también en el concepto de concentración de tensiones, y en este capítulo se presentarán algunos de ellos.

• Modelos de fisura distribuida. Son modelos basados en la mecánica de medios continuos, pero utilizan conceptos de la mecánica de fractura. Estos modelos han sido la punta de lanza que ha permitido demostrar que los problemas de discontinuidad -fractura- pueden aproximarse mediante problemas continuos tratados en su estado límite.

• Modelos de Fisura discreta. Los orígenes de la combinación de teorías elásticas con otras de umbral máximo de tensión -fractura-, se encuentran en el modelo de Ngo and

2 Lubliner, J. (1990). Plasticity Theory. Macmillan Publishing - U.S.A.


Scordelis. Estos modelos sólo están justificados a nivel de la intuición ingenieril y se aprovechan de la representación del sólido en elementos finitos.

A continuación se muestra un cuadro sintético sobre esta clasificación y más adelante

serán presentados con detalle algunos de estos modelos significativos para el desarrollo de la simulación numérica del fenómeno de fractura.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

••••

⎪⎩

⎪⎨

⎧

•••

•

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

•••

−•

Daño y/odPlasticidaento,endurecimi y/ontoablandamie con dPlasticida

perfecta, dPlasticida

y Dañodad Plasticila deTeoría la en

basados Modelos

fractura. demecánica la en Basadosdiscreta,Fisura

difusa, oa distribuidFisura Fracturade Modelos

elástico.HipoGreen, de icoHiperelást

Cauchy, de Elástico

linealno y Linealdad Elasticila en basados Modelos

VOSCONSTITUTIMODELOS

Figura 3.2 – Clasificación de los modelos constitutivos independientes del tiempo, para representar el comportamiento de un sólido.

333...111 EEEcccuuuaaaccciiiooonneeesss CCCooonnnssstttiiitttuuutttiiivvvaaasss

n

3.1.1 Introducción. Las ecuaciones que caracterizan a cada material individualmente y su reacción cuando

sobre él se aplican cargas se denominan ecuaciones constitutivas1,2. Estas describen el comportamiento macroscópico que resulta de la constitución interna del material.

Pero los materiales, y en especial los sólidos, se comportan de una manera tan compleja, cuando se tienen en cuenta todas las posibles temperaturas y deformaciones que pueden presentar, que no es posible escribir una única ecuación o conjunto de ecuaciones que describan de forma apropiada al comportamiento de un material real. En cambio vamos a formular distintas ecuaciones que describen varios tipos de materiales ideales, con su formulación matemática diseñada para un rango restringido y apropiado.

3.1.2 Elasticidad Un material se llama elástico ideal si éste recobra su forma original completamente con solo quitar las fuerzas que causaban la deformación, y existe una relación uno a uno entre el estado de tensión y el de deformación para una dada temperatura. Los metales estructurales se aproximan a este comportamento si las deformaciones son lo suficientemente pequeñas. Los coeficientes de las ecuaciones constitutivas que relacionan las defromaciones con las tensiones para un material en general dependen de la temperatura, pero vamos a suponer que esta depoendencia es suficientemente pequeña o que la variación de la temperatura lo es y por lo tanto los coeficientes serán tratados como constantes durante la deformación. Las ecuaciones constitutivas de los modelos constitutivos elásticos clasicos están bien establecidas y son las siguientes3: 1. Modelo Elástico de Cauchy, es el más clásico de los modelos elásticos y la variable del problema se establece a través de una función tensorial lineal de argumentos tensoriales según:

)(

)(1

klijij

klijij

f

f

σε

εσ−=

= (3.1.1)

Asi resulta la tensión a partir de un modelo cuya variable libre es la deformación, o bien se obtiene la deformación en los modelos basados en variable libre de tensión. Estas 1 Malvern, L.E. (1969). Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice Hall., Englewood Cliffs, NJ. 2 Lubliner, J. (1990). Plasticity Theory. Macmillan Publishing Company, Third Avenue, N. Y. 3 Oller, S. (2002). Dinámica No-Lineal. Monografía CIMNE Nº63, UPC, Barcelona, España.


relaciones son invertibles y reversibles por lo que en elasticidad no hay disipación de la energía. 2. Modelo elástico de Green, o también llamado hiperelástico, tal que la variable del problema depende de una densidad de potencial que debe ser preestablecida ( )ijεΨ=Ψ o de su complemento ( )ijσΨ=Ψ ,

( )

( )ij

ijij

ij

ijij

σσ

ε

εε

σ

∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂=

(3.1.2)

Al igual que en el modelo de Cauchy, la tensión resulta a partir de un potencial basado en la variable libre de deformación, o, en cambio, se obtiene la deformación a partir de un potencial basado en la variable libre de tensión. También estas relaciones son invertibles y reversibles, por lo tanto no hay disipación de energía. Este modelo contiene al anterior y es la forma más general y amplia para definir el comportamiento elástico de un punto del sólido. 3. Modelos Hipoelásticos, se basan en una definición que proviene normalmente de la observación experimental. Estos modelos no son apropiados cuando se define el comportamiento de un material elástico no-lineal. Esto se debe a la arbirariedad con que pueden ser establecidos. Normalmente se pueden escribir en la siguiente forma,

( )( )mnijijij

mnijijij

g

f

σεε

σεσ

;

;

=

= (3.1.3)

En todos los modelos antes citados debe siempre cumplirse el concepto de reversibilidad termodinámica e independencia entre tensiones y trayectoria.

3.1.2.1 Elasticidad lineal

Las ecuaciones constitutivas clásicas de la elasticidad se denominan Ley de Hooke generalizada y son nueve ecuaciones que expresan la relación entre las componentes de tensión como funciones lineales homogéneas de las nueve componentes de deformación:

RSIJRSIJ ECT = (3.1.4)

Cuando el tensor de tensiones TIJ y el tensor de deformaciones lagrangeano ERS se consideran como el campo de variables constitutivas referidas al estado natural del material.

Si los gradientes de desplazamiento son en todo punto pequeños en relación a la unidad, los desplazamientos serán lo suficientemente pequeños para que no exista distinción entre las coordenadas iniciales XI y la posición deformada actual xi de la misma partícula. Entonces podemos escribir la ecuación anterior con suficiente aproximación según:

rsijrsij C εσ = (3.1.5)

El tensor de constantes elásticas Cijrs es de 4to orden tiene 81 componentes independientes en su forma mas general. Dada la simetría de σij y εrs

Capitulo 3- Estado del Arte

17

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

6

5

4

3

2

1

12

31

23

13

12

11

332313

232212

131211

333231

232221

131211

σσσσσσ

σσσσσσ

σσσσσσσσσσ

σσσσσσσσσ

σ ij

simetria

ij

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⇒

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

6

5

4

3

2

1

12

31

23

13

12

11

332313

232212

131211

333231

232221

131211

222

21

21

21

21

21

21

εεεεεε

εεε

εεε

ε

εγγ

γεγ

γγε

εεεεεεεεε

εdef

rs

notacionsimetria

rs

(3.1.6)

debe cumplirse que Cijrs=Cjirs lo cual reduce a 36 las componentes independientes.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

666564636261

165554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

6

5

4

3

2

1

εεεεεε

σσσσσσ

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

(3.1.7)

Además existe otra simetría dada la igualdad entre derivadas parciales cruzadas con lo

cual se cumple: Cijrs=Crsij y esto reduce a 21 las componentes independientes.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

6

5

4

3

2

1

665646362616

165545352515

464544342414

363534332313

262524232212

161514131211

6

5

4

3

2

1

εεεεεε

σσσσσσ

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

(3.1.8)

3.1.2.1.1 Elasticidad lineal isótropa Cuando el material es isótropo (no hay direcciones preferenciales en el material) las

constantes elásticas deben ser las mismas para una misma partícula para todos los posibles sistemas de referencia cartesianos en los que se evalúen las componentes σij y εrs.

( )jrisjsirrsijijrsC δδδδµδδλ ++= (3.1.9)

De forma que la ley de Hooke generalizada adopta la forma:


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++==

= ijjiijss

rsjrisrsjsirrsrsijrsijrsij Cεεεε

εδδεδδµεδδλεσ

ijssijij εµεδλσ 2+=

(3.1.10)

λ y µ son conocidas como constantes de Lamé. Si se hace i=j se obtiene: ( ) iiii εµλσ 23 += (3.1.11)

Las constantes de Lamé están relacionadas con los más conocidos como módulo de elasticidad transversal G y módulo de Young E y módulo de Poisson ν de la siguiente manera:

( ) ( )( )νννλ

νµ

21112 −+=

+==

EyEG (3.1.12)

El tensor C toma la forma:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+

=

µµ

µµλλλ

λµλλλλµλ

000000000000000000200020002

C (3.1.13)

Y puede escribirse la ecuación constitutiva de forma inversa según:

ijijkkij EEσνδσνε +

+−=1 (3.1.14)

Y el tensor de constantes elásticas inverso:

( )( )

( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

+−−

−−−−

=−

νν

ννν

νννν

120000001200000012000000100010001

11

EC (3.1.15)

3.1.2.2 Elasticidad no lineal

Para representar este comportamiento constitutivo se partirá de una formulación hiperelástica. Para ello será necesario definir la densidad de energía, lo cual puede hacerse tomando como variable libre el campo de deformaciones:

dtij

t

tij εσ∫

=

=Ψ0

(3.1.16)

o a partir de su forma complementaria, tomando como variable libre el campo de tensiones:

dtij

t

tij σε∫

=

=Ψ0

(3.1.17)


19

Ψ - Densidad de energía de deformación σ

ε

Ψ

Ψ Ψ - Densidad de energía complementaria

Figura 3.1.1- Energía de deformación y complementaria

3.1.2.2.1 Modelo Hiperelástico no lineal Se parte de la definición general de los potenciales a partir de los invariantes4,,

ijijIII

εσ

∂Ψ∂

=⇒Ψ=Ψ )',','( 321 Basado en deformación

ijijIII

σε

∂Ψ∂

=⇒Ψ=Ψ ),,( 321 Basado en tensión (3.1.18)

3.1.2.2.1.1 Modelo Hiperelástico basado en tensiones

Si se considera como hipótesis que en el material tienen especial influencia el primer invariante del tensor de tensiones y el segundo invariante del tensor desviador de tensiones se puede elegir el siguiente potencial basado en tensión: 21221 ),( JIbJaJI +=Ψ . De aquí resulta la siguiente ley constitutiva.

ijijij

ijijijijij

ij

IbaJbJI

J

J

I

Iδδε

δδσσσ

ε

)( 12

21

2

2

1

1

++=

∂

Ψ∂+

∂

Ψ∂=

∂

∂

∂

Ψ∂+

∂

∂

∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂=

(3.1.19)

Suponiendo un problema uniaxial a la tracción los invariantes del tensor de tensiones y del tensor desviador de tensones son:

22

231312

3322

11

1

31

03

32

σ

σ

σ

σ

=

===

−==

=

=

J

sss

ss

s

I

(3.1.20)

Figura 3.1.2- Problema uniaxial a tracción

σ

σ

el modelo que definimos se reduce a la siguiente ley constitutiva:

( ) σσσσσεε3

232

322

11abbab

+=++== (3.1.21)

4 Ver Anexos A1.4.6.4


Y para obtener los parámetros a y b se realiza un ensayo de laboratorio. Para parametrizar el modelo bastan dos puntos.

σ

baab

ab

BBB

AAA

,

323

2

2

2

⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

+=

+=

σσ

σ

ε

σε

A

B

ε

Figura 3.1.3- Energía de deformación y complementaria

3.1.2.2.1.2 Modelo Hiperelástico basado en deformaciones

Para desarrollar la formulación hiperelástica basada en deformaciones se elije la definición cuadrática clásica del potencial que es apropiada para pequeñas deformaciones.

klijklij C εε21

=Ψ (3.1.22)

Donde el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones, ambos de segundo orden pueden representarse a través de su parte simétrica como una matriz columna según las ecuaciones (2.2.6). El tensor constitutivo C es el correspondiente a un material isótropo y homogéneo y se representa según su forma simplificada como indica la ecuación (2.2.13).

Al desarrollar el producto de la ecuación (2.2.22) se tiene:

( ) ( ) ( )[ ]213

223

212332233112211

233

222

211 2

21 γγγεεεεεεεεε ++++++++=Ψ cba

(3.1.23)

Que puede escribirse en función de los invariantes del tensor de deformaciones según:

( )ijijijij

ijJ

JJ

JI

IJJIf

εεεεσ

∂∂

∂Ψ∂

+∂∂

∂Ψ∂

+∂∂

∂Ψ∂

=∂

Ψ∂=⇒=Ψ 3

3

2

2

1

1321

''

''

''

';';' (3.1.24)

3.1.2.2.2 Modelos Hipoelásticos basados en tensiones Estos modelos surgen a partir de modificaciones practicadas en las leyes constitutivas

lineales, basando la razón de estos cambios en evidencias que normalmente se observan en la experimentación.

3.1.2.2.3 Postulados de estabilidad El criterio de estabilidad o postulados de Durker garantizan indirectamente el

cumplimiento de la segunda ley de la termodinámica5, por lo que es conveniente tenerlos en cuenta.

Se considera un sólido de volumen V y superficie externa S, bajo agentes de carga de superficie externa t y cargas de volumen b, que producen un estado de desplazamiento u , deformación ε y tensión σ, en cada punto del sólido. Si ahora se considera un cambio arbitrario en la magnitud de dichos agentes de carga, t y b , que producen un incremento en los estados de desplazamiento u , deformación ε y tensión u s. Se dice ahora que el

5 Ver Anexos A1.5.10


21

comportamiento de este material será estable si se cumplen las dos condiciones siguientes (Postulados de Durker).

Requisitos de estabilidad: 1. El trabajo realizado por el cambio de magnitud de los agentes externos debe ser

siempre positivo: 0>⋅+⋅= ∫∫∫

VSV

dVdSdV ubutε:σ (3.1.25)

2. El trabajo realizado por un cambio de magnitud cíclico experimentado por los agentes externos debe ser no negativo.

∫ ∫∫ ≥⋅+⋅=V VS

dVdSdV 0ubutε:σ (3.1.26)

Existencia de la energía libre: Estos criterios de estabilidad aplicados a materiales elásticos, donde todas las

deformaciones son recuperables, constituyen una condición necesaria y suficiente que garantiza la existencia de una energía libre )(εΨ y de su complemento )(σΨ , por lo tanto la existencias de dos leyes constitutivas, una cuya variable libre es la deformación σ(ε) y otra cuya variable libre es la tensión ε(σ). Esto es,

σ

σσεσεσ

ε

εεσεσε

σ

ε

∂Ψ∂

=⇒=Ψ

∂Ψ∂

=⇒=Ψ

∫

∫)()(:)(

)()(:)(

d

d (3.1.27)

Condición necesaria y suficiente de estabilidad: Toda relación constitutiva del tipo hiperelástica o de Green, cumple los criterios de

estabilidad antes citados, siempre que los potenciales de energía sean definidos positivos.

Para probar esto, considérese una relación constitutiva del tipo ε

εεσ

∂Ψ∂

=)()( , tal que

cualquier variación en los agentes externos provoca el siguiente cambio de tensión.

εεε

εε

ε

εσεσ :)(:)()(

2

∂⊗∂Ψ∂

=∂

∂= (3.1.28)

La condición necesaria y suficiente para que se cumpla el criterio de estabilidad de cargas para todo volumen y también para cargas cíclicas es que todos y cada unos de los puntos de este sólido realicen un trabajo específico de segundo orden positivo,

0εσ >: (3.1.29)

Sustituyendo la ultima ecuación en la anterior, resulta la siguiente forma cuadrática,

0εεεε

εεε

ε

εσεεσ >

∂⊗∂Ψ∂

=∂

∂= ::)(::)(:)(

2

(3.1.30)

De forma que va a garantizarse la condición de estabilidad si el Hessiano sea definido positivo. Esto es:

0εε

εH >

∂⊗∂Ψ∂

==)(det

2

ijklH (3.1.31)

También se cumple la condición de estabilidad si el Hessiano complementario es definido positivo, para estos modelos basados en tensiones:

( ) 0)(det::)(::)(:22

>∂⊗∂

Ψ∂=⇒>

∂⊗∂Ψ∂

=∂

∂=

σσ

σH'0σσ

σσ

σσσ

σ

σεσσε (3.1.32)


Estas dos ultimas ecuaciones garantizan la existencia de la existencia de la energía libre y su carácter positivo garantiza la unicidad de la inversa de la ecuación constitutiva.

Condición de convexidad La convexidad del potencial garantiza el cumplimiento de los criterios de estabilidad

expresados por la condición de positivo del Hessiano. Se entiende que una función es convexa cuando ninguna tangente a la curva cte=Ψ )(ε o cte=Ψ )(σ corta a la misma en otro punto de dicha curva.

Función Cóncava Función Convexa

0: >∆ εσ

0: ≤∆ εσ Figura 3.1.4- Función cóncava y función convexa

B A A

A Cθ

( )ε∂

Ψ∂=aε σ ( )

ε

σ

∂Ψ∂

=aε

C A θ B

Matemáticamente se dice que una función potencial es convexa si siempre se cumple la siguiente relación entre dos estado cualesquiera de tensión: ( ) 0: ≤−=∆ εσσε:σ aba y se dice que hay concavidad en el potencial si hay al menos dos estados de tensión aσ y bσ que cumplen la relación: ( ) 0: >−=∆ εσσε:σ aba .

Figura 3.1.5- Postulados de estabilidad de Durker

ε σ ESTABLE

0>ε:σ

σ

ε

σ

εεε

σσ

εσ

ε

σ

σ

ε

INESTABLE 0: >εσ ε

σ

ε

σσ

ε

Básicamente para cumplir con los postulados de Durker conviene tener en cuenta las siguientes recomendaciones,

1. Los potenciales y )(εΨ )(σΨ deben ser definidos positivos, 2. Que exista una relación elástica directa y su inversa,


23

( ) ( )ijijijij fF σεεσ =⇔= (3.1.33)

3. Que los potenciales y )(εΨ )(σΨ sean funciones convexas.

3.1.3 Inelasticidad Para elasticidad la deformación en cada punto queda completamente determinada a

partir de la tensión actual y de la temperatura. En inelasticidad, en cambio, debe tenerse en cuenta también el historial de tensiones, de modo que en este caso existe una dependencia del tiempo. La dependencia entre la deformación actual y el historial de tensiones se puede expresar explícitamente cuando el comportamiento es lineal.

Una forma en la que el historial de tensiones puede afectar la relación entre tensión y deformación es a través de la velocidad de aplicación: la deformación producida por aplicación de carga lenta es en general mayor que la producida por aplicación rápida. Una manifestación particular de este fenómeno es el hecho de que la deformación puede en general aumentar a través del tiempo dada una tensión constante. Este fenómeno se denomina creep o fluencia lenta.

P=cte

Figura 3.1.6- Fluencia lenta Esta sensibilidad a la velocidad aumenta con la temperatura, de forma que hay materiales

que aparentan comportarse elásticamente dentro de un rango de ciertas temperaturas y se transforman en marcadamente inelásticos a temperaturas mayores.

De la misma manera una aplicación mas lenta de las cargas implica mayores deformaciones para la misma tensión, e implica una tensión menor para la misma deformación. De esta manera las tensiones van a disminuir a través del tiempo dada una deformación fija, este fenómeno se llama relajación.

l=cte

Figura 3.1.7- Relajación

La sensibilidad a la velocidad de muchos materiales, entre ellos polímetros, asfalto y hormigón, puede ser bien descrita a través de la teoría lineal, siempre dentro de ciertos


límites. Sin embargo la inelasticidad de los metales tiende a ser fuertemente no lineal en su comportamiento ya que son muy bien representables por la elasticidad dentro de cierto rango de tensiones pero muy dependientes del historial de tensiones fuera de ese rango. Cuando se alcanza ese límite del rango elástico (límite elástico) se dice que el metal fluye. Cuando el rango elástico forma una región en el espacio de las componentes de las tensiones, este se denomina región elástica y sus límites se denominan superficie de fluencia.

3.1.3.1 Deformación inelástica

Para cuerpos de comportamiento inelástico sometidos a una deformación infinitesimal, se asume que el tensor de deformaciones puede ser descompuesto aditivamente en un tensor de deformación elástica εe y un tensor de deformación inelástica εi.

iij

eijij εεε += (3.1.34)

Con klijkle

ij C σε 1−=


25

3.1.3.2 Viscoelasticidad Lineal

Uno de los comportamientos que provoca no-linealidad en la respuesta en el tiempo de los materiales se debe a la viscoelasticidad, que estudia el comportamiento reológico de los materiales, es decir, aquellos comportamientos afectados por el transcurso del tiempo. Por esta razón la respuesta depende de la velocidad con la cual se excita al elemento.

Las analogías con resortes y amortiguamiento viscoso da una representación cualitativa

del comportamiento viscoelástico.

Resorte Amortiguamiento Viscoso

Ett )()( σε =

ησε )()( tt =

Figura 3.1.8 – Ecuación y constantes para resorte elástico

Figura 3.1.9 – Ecuación y constantes para amortiguamiento viscoso

E η

Siendo E la constante elástica del muelle y η la constante viscosa del amortiguador. La fuerza axial en el modelo representa a las tensiones en el continuo y el estiramiento

axial y la velocidad representan deformación y velocidad de deformación respectivamente. Hay dos familias de modelos de elasticidad dependientes del tiempo:

1. Una de ellas, en la cual la variable libre del problema es la tensión, recibe el nombre de modelos de elasticidad retardada o de fluencia en el tiempo, y representa físicamente lo mismo que el vocablo ingles “creep”. Un modelo representativo de esta familia es el modelo viscoelástico de Kelvin.

2. La otra, cuya variable libre es la deformación, recibe el nombre de modelos de relajación. Un modelo representativo de esta familia es el modelo viscoelástico de Maxwell.

Estos modelos tienen leyes constitutivas no invertibles, pero cada uno de estos modelos representan la forma inversa implícita del otro, es decir, que un modelo de elasticidad retardada es la forma inversa de representar un modelo de relajación.

σ(t)

(tε

η

σ(t)σ(t)σ(t) σ(t)

σ(t)

E

ε(t)


3.1.3.2.1 Modelo de Maxwell Se denomina también a la formulación de Maxwell modelo de relajación y en el se

supone que la variable libre es la deformación. Este modelo dispone en serie el muelle y el amortiguador, situación que hace que la deformación total resulte de la composición de una parte elástica , más una viscosa ,

eε visε)()()()( ttEtt visevise εηεσσ ===

)()()( ttt vise εεε == (3.1.35)

E η

Figura 3.1.10 – Modelo en serie de Maxwell

Si se somete el material a un ensayo de creep y uno de relajación:

Modelo de Maxwell

Ensayo de Creep: 0=σ Ensayo de Relajación 0=ε

Ett 00)(

σησ

ε +=

tE

o eEt ηεσ−

=)(

Figura 3.1.11 – Ensayo de creep del Modelo de Maxwell

Figura 3.1.12 –Ensayo de relajación Modelo de Maxwell

Ε ε0

t0

σ

t

σ0/E

t0

ε

t

σ0/η

ε0

t0

ε

t

σ(t) σ(t)

εe εvis

σ

σ0

t t0


27

3.1.3.2.2 Modelo de Kelvin-Voigt En este modelo de elasticidad retardada, o fluencia en el tiempo, se supone que la

variable libre es la tensión. Por lo tanto, para escribir la ecuación se parte de un modelo en paralelo con compatibilidad de deformaciones y de allí se obtiene la ecuación de gobierno del problema. La tensión resulta entonces de la siguiente forma aditiva,

E

Figura 3.1.13 – Modelo en paralelo de Kelvin-Voigt

En este caso las deformaciones son la variable libre del problema. La fuerza axial total es la suma de la fuerza producida en el resorte y la producida en el amortiguamiento viscoso, pero el desplazamiento tiene que ser el mismo en ambos dispositivos

)()()( ttt vise εεε += )()()()()( ttEttt visevise εηεσσσ ====

(3.1.36)

Sometemos el material a un ensayo de creep y uno de relajación: Modelo de Kelvin-Voigt

Ensayo de Creep: 0=σ Ensayo de Relajación 0=ε

ε0

t0

ε

t

σ(t) σ(t)

η

σ

σ0

tt0


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

− tE

eE

t ησε 1)( 0

0)( εσ Et =

Figura 3.1.14 – Ensayo de creep del Modelo de Kelvin-Voigt

Figura 3.1.15 –Ensayo de relajación Modelo de Kelvin-Voigt

3.1.3.3 Plasticidad

Para representar el comportamiento de fluencia de un material puede usarse el elemento Friccional de Coulomb6,

Elemento Friccional de Coulomb

Figura 3.1.16 – Constantes para elemento Friccional de Coulomb

Este modelo establece que el módulo de la tensión que actúa sobre el dispositivo no puede alcanzar un valor limite Yσ . En consecuencia, mientras el módulo de la tensión σ sea menor que dicho valor límite, el dispositivo no presenta variación de deformación. Una vez alcanzado el valor límite Yσ el dispositivo comienza a deformarse en un estado de cuasi-equilibrio y no puede excederse ese valor para permanecer en equilibrio. Esto es,

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

=≠

<=

Y

Y

Y

siimposible

si

si

t

σσ

σσ

σσ

ε 0

0

)( (3.1.37)

Para estudiar la respuesta mecánica de la estructura matemática que rige la plasticidad se analiza el dispositivo con un resorte y un elemento Friccional de Coulomb.

6 Simo JC, Hughes TJR, (1998) Computational Inelasticity. Springer-Verlag, New York.

Ε ε0

t0

σ

t

σ0/E ε

t t0

σσ

Yσ

Yσ

σ

Pε

Yσ−


29

3.1.3.3.1 Modelo Elástico-Friccional La combinación del elemento elástico Resorte presentado en 2.3.2 y el elemento

Friccional de Coulomb dispuestos en serie da lugar a un modelo más complejo que se denomina elastoplástico.

Eσ σ

Yσ

Figura 3.1.17 – Modelo elástico friccional

Al estar los dos elementos colocados en serie, la tensión que actúa sobre cada uno de ellos es la misma. Por otro lado podemos descomponer la deformación total como la suma de la deformación experimentada por el elemento elástico más la deformación experimentada por el elemento friccional .

eεpε

ppe

e

Eεσεεε

σσσ

+=+=

== (3.1.38)

Teniendo en cuenta el comportamiento tensión-deformación de cada uno de los elementos, se tendrá para el modelo combinado

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>

=≠=

<=

Y

Yf

Ye

siimposible

si

si

t

σσ

σσε

σσε

ε 0)( (3.1.39)

Si se analiza un ciclo de carga y descarga de un material cuyo comportamiento pueda asemejarse al modelo elástico-friccional, la curva tensión-deformación que se obtiene es la siguiente:

σ

Yσ−

Yσ

ε0

Figura 3.1.18 – Modelo elástico friccional


3.1.3.3.2 Modelo de fricción con endurecimiento Experimentalmente se observa en muchos metales un fenómeno que llamamos de

endurecimiento. Este supone que luego de la tensión de fluencia el módulo de elasticidad E que suponíamos constante para el modelo elástico friccional, tiene una variación en aumento con la variación de deformación.

Esto se puede representar matemáticamente mediante el modelo elástico friccional con endurecimiento que no está compuesto de ningún elemento nuevo, sinó de la nueva disposición de los elementos ya presentados.

σ

σE

'Hσ

Figura 3.1.19 – Modelo elástico friccional con endurecimiento

El modelo esta formado por un bloque en paralelo, con un dispositivo de fricción caracterizado por el limite elástico Yσ y un resorte caracterizado por el parámetro de endurecimiento H’, y otro resorte de constante E en serie con éstos.

Analizando los dos elementos en paralelo vemos que esta disposición motiva que ambos elementos compartan la deformación mientras que la tensión total será la suma de las tensiones pasantes por cada uno de los elementos.

Yσ fσ

'H

hσ

σ σ

Figura 3.1.20 – Modelo friccional con endurecimiento

hf

fhf Hεεε

εσσσσ

==

+=+= ' (3.1.40)

Siendo la tensión que atraviesa el elemento friccional y la que atraviesa el elemento elástico.

fσ hσ

Pueden darse dos situaciones:

totalidadsuenelásticoelementoelporabsorbidoestensióndeincrementoTodoSi

nulaesndeformaciólayfriccionalodispositivelporpasatensiónlaTodaSi

Yf

Yf

⇒=

⇒<

σσ

σσ

Si se analiza ahora el modelo conjunto que combina el modelo elástico en serie con este modelo paralelo, se obtiene de las ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad de deformaciones,

hfe

hfe

−

−

+=

==

εεε

σσσ (3.1.41)


31

Analizando un ciclo de carga y descarga se puede obtener la curva en tensión deformación según:

Figura 3.1.21 – Modelo elástico friccional Yσ−

Yσ

ε

σ

0

3.1.3.4 Daño

El daño de un sólido continuo, en el sentido de degradación de rigidez, es una alteración de las propiedades elásticas durante la aplicación de la carga como consecuencia de una disminución del área efectiva resistente. Esta pérdida de área efectiva es normalmente causada por el crecimiento de vacíos y/o micro fisuras.

El fenómeno de daño sólo afecta a las propiedades elásticas del material, mientras la plasticidad se desarrolla como consecuencia de un crecimiento irrecuperable en la deformación, deformación plástica. Ambos fenómenos son complementarios y es normal observar en los materiales una pérdida de resistencia motivada por el daño –pérdida de elasticidad– y por la plasticidad –crecimiento en la deformación inelástica–.

3.1.3.4.1 Daño Isótropo La teoría del Daño Continuo fue presentada por primera vez por Kachanov en el año

1958 en el contexto de problemas relacionados con la fluencia, pero ha sido aceptada con posterioridad como una alternativa válida para simular el comportamiento de diversos materiales. Entre las diferentes formulaciones posibles, en este apartado se presenta un modelo de daño simple con una variable interna escalar que permite caracterizar el daño local. Este modelo a pesar de ser simple, tiene una gran potencialidad y puede utilizarse para representar el comportamiento no lineal de materiales metálicos y geomateriales.

Este tipo de modelo permite simular el comportamiento de materiales en los que ocurre una degradación en la rigidez del material una vez superada el umbral de daño del material.

La ecuación de daño queda definida por la siguiente expresión:

d−=

1σ

σ 0 (3.1.42)

donde d es la variable interna de daño, σ es el tensor de tensiones de Cauchy y es el tensor de tensiones efectivas, medido en el espacio “no-dañado”. Esta variable interna es una medida de la pérdida de rigidez del material y sus límites superior e inferior está dado por:

0σ

10 ≤≤ d (3.1.43)

donde d=1 representa un estado del material completamente degradado y define la rotura local completa y d=0 representa un material no dañado. Las formas que puede presentar la variable interna de daño d son discutidas en el apartado 3.3.


3.1.3.4.2 Daño Plástico El modelo constitutivo de plasticidad para geomateriales es un modelo general, muy

apropiado para representar el comportamiento de materiales tanto dúctiles como frágiles. Hasta ahora se presentaron modelos para tratar metales u otros materiales dúctiles. El modelo de plasticidad para geomateriales fue formulado inicialmente para materiales frágiles, sin embargo puede utilizarse para representar el comportamiento de algunos materiales dúctiles si se realizan algunas particularizaciones en los parámetros.

El modelo de daño plástico fundamenta su formulación en la mecánica del sólido, particularmente en la teoría de la plasticidad y en la teoría del daño continuo y utiliza como vehículo para la resolución del problema estructural el método de los elementos finitos y diversas técnicas numéricas necesarias para controlar y garantizar la solución del problema.

Materiales Friccionales, que son por ejemplo: cerámicos, suelos constituidos por arenas u otros componentes friccionales, hormigón.

Figura 3.1.22- Dilatancia

Se define a los Materiales Friccionales como aquellos cuya relación entre su resistencia y la presión depende del ángulo de rozamiento interno φ . Cuando se somete a estos materiales a tensiones tangenciales presentan dilatancia ψ que significa un cambio de volumen aparente.

Para el caso simple uniaxial la evolución de la resistencia tiene la siguiente forma:

Figura 3.1.23- Evolución de Resistencia en materiales con daño plástico

El desarrollo de este modelo se detalla en el apartado 3.3.

333...222 PPPlllaaassstttiiiccciiidddaaaddd

3.2.1 Introducción. El adjetivo “plástico” proviene del griego significando “moldear”; y entonces, describe

materiales dúctiles tales como el acero, que tienen la propiedad que se puede cambiar la forma de los cuerpos que están hechos de estos materiales mediante la aplicación de fuerzas adecuadamente dirigidas y mantener esta nueva forma luego de haberle quitado las fuerzas.

Generalmente se observa que, de existir, el cambio de volumen que acompaña a los grandes cambios de forma tiene un valor muy pequeño. Se concluye entonces que el proceso de deformación plástica es en principio una distorsión.

La teoría de la plasticidad1 representa el comportamiento de los sólidos cargados dentro de un rango de aplicación en el que no es posible hacerlo mediante la teoría de la elasticidad.

En este capítulo se presentan brevemente las bases de la teoría de la plasticidad como uno de los posibles modelos para representar los refuerzos de acero sumergidos en la matriz de hormigón que se presenta como simulación en esta tesina.

Al final del capítulo se presentan los criterios clásicos de fluencia o discontinuidad plástica. En la simulación realizada, tanto para la matriz como para las fibras, se utiliza un criterio de fluencia de daño, que se presentará en el próximo capítulo, y un criterio de potencial de Durker-Prager circunscrita, descrito al final.

3.2.2 Plasticidad en pequeñas deformaciones

La plasticidad en pequeñas deformaciones se caracteriza por postular que las deformaciones en un punto se pueden descomponer en una parte elástica y otra plástica

irreversible de forma que . La deformación plástica es la que induce a un comportamiento energético no conservativo dependiente del camino recorrido.

eεpε pe εεε +=

Para presentar algunos conceptos se analiza el caso simple de un ensayo uniaxial de un material elástico ideal. Se considera el caso de una barra de acero de longitud inicial l y sección A sometida a una fuerza de tracción F en sus extremos. La tensión de la barra será

AF=σ y la deformación lδε = , donde δ es el alargamiento de la barra.

lεδ212/ =2/δ

l

AF=σ σ

1 Oller, S. (2002). Dinámica No-Lineal. Monografía CIMNE Nº63, UPC, Barcelona, España


Figura 3.2.1- Ensayo de tracción uniaxial

Si se somete a esta pieza a varios ciclos de carga y descarga se puede obtener una respuesta en términos de la curva tensión-deformación.

Figura 3.2.2- Ciclos de carga-descarga para ensayo uniaxial

E E E

Yσ

σ

ε

1 42

eεpε

ε

53 0

Analizando el primer ciclo se observa que, mientras la tensión no supera el valor Yσ , punto 1, denominado limite elástico o limite de fluencia, se tiene un período inicial elástico caracterizado por el módulo elástico E. En este período no existen deformaciones irrecuperables.

Luego de este punto comienza el comportamiento elastoplástico caracterizado por un decrecimiento sostenido del módulo de rigidez tangente debido a la acción de los mecanismos inelásticos reversibles.

En el punto 2 se inicia un proceso de descarga hasta el punto 3. Puede observarse que solo se recupera la parte elástica del total de la deformación eε ε , quedando la deformación plástica como la parte no recuperable. Si vuelve a cargarse se produce un comportamiento incrementalmente elástico hasta que la tensión alcanza en el punto 2 el máximo valor que había alcanzado durante el proceso de carga anterior. A partir de este punto el material deja de nuevo de ser incrementalmente elástico.

pε

Este material elasto-plástico ideal permite representar bastante bien el comportamiento macroscópico de distintos materiales reales mediante una simple modificación de los límites definidos anteriormente.

3.2.2.1 Espacio de tensiones principales

Se considera un sistema de ejes cartesianos en 3213 ,, σσσ ≡≡≡ zyxR de tal

forma que a cada estado tensional, caracterizado por los valores de las tres tensiones principales 321 σσσ ≥≥ , le corresponde un punto en dicho espacio que se denomina espacio de tensiones principales o de High-Westergaard.

2σ

( )321 ,, σσσP

3σ

1σ


35

Figura 3.2.3- Dominio elástico

En este espacio de tensiones principales se puede distinguir el eje de tensión hidrostática, o espacio diagonal de tensiones, que es el lugar geométrico de los puntos del espacio de tensiones principales que verifican la condición 321 σσσ == . Los puntos situados sobre el eje de tensión hidrostática representan estados tensionales hidrostáticos2.

El plano octaédrico es cualquiera de los planos normales al eje de tensión hidrostática. La ecuación de un plano octaédrico es cte=++ 321 σσσ y la normal unitaria al mismo es

T1,1,13

1=n . En estos planos el primer invariante del tensor de tensiones se mantiene

constante. cteI =1 . A través de los invariantes puede conocerse la posición de cualquier punto P del

espacio de tensiones principales que se encuentre sobre un plano octaédrico . Π

Figura 3.2.4- Posicionamiento de un punto en función de los invariantes

1σ

2σ

3σ

Π

P

octσ3

octτ3

n

La tensión octσ es la que informa sobre la distancia entre el origen del plano octaédrico que pasa por el punto P. El lugar geométrico de todas las tensiones principales con igual octσ es el plano octaédrico que está a una distancia octσ3 del origen.

La tensión octτ informa de la distancia entre el punto P y el eje de tensión hidrostática. El lugar geométrico de los puntos del espacio de tensiones principales con igual octτ es un

cilindro cuyo eje es el eje de tensión hidrostática y cuyo radio es octτ3 . Entonces un punto P del espacio de tensiones principales queda inequívocamente

caracterizado por los tres invariantes 3211 ',', JJJI ≡ :

1I caracteriza la distancia al origen del plano octaédrico Π sobre el que está el punto

P 1333 IOA oct == σ

2'J caracteriza la distancia del punto P al eje de tensión hidrostática

2'233 JAP oct == τ

3'J caracteriza la posición del punto dentro del círculo definiendo el ángulo ( )3'Jθ

2 Ver Anexos A1.3.5


Figura 3.2.5- Posicionamiento de un punto en función de los invariantes

1σ

2σ

3σ

ΠP

33 3Ioct =σ

2'23 Joct =τ

( )3'Jθ

Plano meridiano de compresión máxima: Estos planos son ortogonales a los planos octaédricos y quedan inequívocamente definidos por la recta que describe el espacio diagonal y por cada una de las rectas que describen un radio octaédrico ρ para

πππθ69,

65,

61

= . Estos planos cortan a los ejes de tensiones principales iσ en puntos de

igual valor de tensión uniaxial de compresión Cσ . La intersección de estos planos con la superficie de fluencia define las curvas que se denominan funciones de fluencia según planos meridianos de compresión.

Planos meridianos de tracción máxima: Estos planos son ortogonales a los planos octaédricos y quedan inequívocamente definidos por la recta que describe el espacio diagonal y por cada una de las rectas que describen un radio octaédrico ρ para

πππθ69,

65,

61

−−−= . Cortan a los ejes de tensiones principales iσ en puntos de igual

valor de tensión uniaxial de compresión Tσ . La intersección de estos planos con la superficie de fluencia define las curvas que se denominan funciones de fluencia según planos meridianos de tracción.

Planos principales: Son aquellos que quedan definidos por la intersección de dos de las tres direcciones de tensión principal. La intersección de estos planos con la superficie de fluencia define curvas en el espacio de tensiones que de denominan funciones de fluencia según planos de tensión principal.


37

Figura 3.2.6- Representación de un genérico criterio de fluencia plástico,

descompuesto en planos octaédricos, meridianos y principales

3.2.2.2 Dominio elástico

Existen dos grandes aspectos a tratar dentro de la teoría matemática de la plasticidad: El criterio de fluencia o de discontinuidad ( ) 0; =qF σ , que permite establecer

durante el proceso de carga el inicio del comportamiento inelástico y posterior evolución de las fronteras del dominio elástico dentro del espacio de tensiones.

El comportamiento más allá del limite elástico, denominado comportamiento elasto-plástico, queda definido a partir de la formulación de: una descomposición de las deformaciones en una parte elástica y una plástica , una regla de flujo plástica pe εεε +=

( )σg y unas variables internas ( )qq ,σ que dependen de la evolución del proceso elastoplástico.

Figura 3.2.7- Dominio elástico

3σ

2σ

1σ

( ) 0; =qF σ ( ) imposibleqF 0; >σ

3.2.2.3 Criterio de discontinuidad de comportamiento o criterio de fluencia plástica.

Se puede definir el criterio de discontinuidad o Fluencia como una función escalar de argumentos tensoriales que delimita el dominio elástico.


Este criterio se puede representar a través de una función que se denominará función de fluencia plástica y responde a la siguiente forma matemática:

( ) 0=qσ;F (3.2.1)

Donde σ es el tensor de tensiones de Cauchy y q es el conjunto de variables internas agrupadas en forma de matriz columna (“back stress”). Esta función establece el límite a partir del cual se establece el comportamiento no lineal. Cualquier estado tensorial fuera del recinto plástico consiste en forzar a que el estado tensorial se sitúe en la frontera y en el interior de la función elastoplástica.

En un proceso uniaxial esta función está perfectamente establecida por tratarse de un escalar que se compara con otro escalar que representa el umbral entre un comportamiento elástico y otro plástico para el ensayo de laboratorio. En cambio para comportamientos multiaxiales no existe un escalar que se obtenga directamente, entonces la función de fluencia se comporta como un traductor de estados multiaxiales a uniaxiales. Una vez obtenida la tensión uniaxial equivalente al estado multiaxial, se compara con el escalar que representa el umbral obtenido en el laboratorio para un problema uniaxial.

La ley de evolución de las variables internas q pueden escribirse en forma general dependiendo del estado tensional y magnitud actual de todas las variables internas según,

( )qσ;Hq λ= (3.2.2)

Donde λ es un escalar no negativo denominado factor de consistencia plástica, es una función tensorial que describe la forma en que evoluciona cada variable

interna. ( qσ;H )

La teoría de la plasticidad solo admite dos posibles estados de comportamiento para un sólido ideal: “el estado elástico” o “el estado elasto-plástico”.

En función de la función de fluencia plástica, se distinguen los dos estados según, El proceso de deformación es elástico si:

( ) 0<qσ;F o si ( ) 0:: <∂∂

+∂∂

= qq

σσ

qσ;FFF (descarga) (3.2.3)

El proceso de deformación es elastoplástico si:

( ) 0=qσ;F y ( ) 0:: <∂∂

+∂∂

= qq

σσ

qσ;FFF (carga) (3.2.4)

Para los materiales isótropos estas funciones son simétricas y se pueden representar a través de sus invariantes3,.

A través de la experimentación que se demostró que en materiales metálicos isótropos la influencia de la presión hidrostática sobre la deformación plástica es despreciable y ésta depende fundamentalmente de la tensión desviadora. Por esto se puede reducir la función de fluencia plástica a una sólo dependiente del segundo y tercer invariante del tensor desviador de tensiones.

Material Metálico Isótropo ( ) ( ) 0, 32 == qqσ; ;JJFF (3.2.5)

En cambio para los materiales friccionales es necesario tener en cuenta las fuerzas de rozamiento entre las partículas que aumentan con la presión en sus caras. Este efecto se refleja en la tensión esférica y la tensión hidrostática. En este caso la función de fluencia dependerá también del primer invariante del tensor de tensiones.

Material Friccional Isótropo ( ) ( ) 0,, 321 == qqσ; ;JJIFF (3.2.6)

3 Ver Anexos A1.4.7


39

3.2.3 Comportamiento Elasto-Plástico No hay una teoría única para representar el comportamiento elasto-plástico de los

materiales. Existen distintas aproximaciones al problema según el objetivo para el que fuera formulado. A continuación se mencionarán aquellas aproximaciones al problema elastoplástico que se consideran más clásicas.

3.2.3.1 Teoría de Levi-Mises

Una forma de modelar el comportamiento elasto-plástico de un punto del sólido es mediante la teoría de Levy-Mises. Esta admite, como primera hipótesis, que el incremento temporal de deformación total es igual el incremento temporal de deformación plástica durante el proceso elasto-plástico. Esta suposición comporta que la deformación elástica es próxima a cero, o también que el módulo de Young se hace muy grande en este período.

Esto es:

0≅⇒= ep εεε o bien ∞→E (3.2.7)

Esta teoría también supone, como segunda hipótesis, que el sólido ideal que se modela es plásticamente incompresible ; resultando de aquí y de la hipótesis anterior, que el incremento temporal del tensor desviador de deformación plástica, es igual al incremento temporal del tensor de deformación plástica total. Esto es:

0=pvε

pppoct

pp eεe1εε ≅⇒+= o bien eε ≡ (3.2.8)

donde la deformación octaédrica es nula y se define como y el vector unidad es igual a . De estas dos hipótesis se deduce que el material se comporta como un rígido plástico no influenciado por los cambios de volumen debido a la presión hidrostática. Esto se identifica bastante bien con los materiales metálicos. La teoría de Levy-Mises propone que los ejes principales de deformación plástica coincidan con los de tensión, lo que conduce a la tercera hipótesis que define la denominada regla de flujo,

0εε v == poct

p3 T0,0,0,1,1,1=1

sεe λ=≡ (3.2.9)

donde ( ) 3I-σs σ= ), es el tensor desviador de tensiones.

3.2.3.2 Teoría de Prandtl-Reus

Es una generalización de la teoría de Levy-Mises. La diferencia fundamental con la teoría antes citada es que se considera que la deformación total resulta de la contribución de una parte elástica y otra plástica,

pe εεε += (3.2.10)

donde el incremento temporal de deformación elástica sigue las leyes de la teoría de la elasticidad y el incremento temporal del tensor de deformación plástica se obtendrá como una escala del tensor desviador de tensiones s , con lo cual la parte volumétrica del tensor de deformaciones plásticas será nula. Esta hipótesis se conoce como regla de flujo de Prandtl-Reus:

eεpε

0=⇒= vpp εsε λ (3.2.11)

El factor de consistencia plástico λ se obtiene en este caso a partir del espacio de tensiones y deformaciones principales.


( ) ( ) 3,2,1, ∈−=−→= jissεε jipj

pii

pi λλsε (3.2.12)

Elevando al cuadrado ambos miembros y sumando componente a componente se obtiene,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]231

232

221

231

232

221 ssssssεεεεεε pppppp −+−+−=−+−+− λ (3.2.13)

Pero recordando que ( ) ( )jiji ss σσ −=− , resulta,

2

2

22

'

6'6

JJ

JJP

P

=

=

λ

λ (3.2.14)

donde ( ppPJ e:e21'2 = ) es el segundo invariante del incremento temporal del tensor

desviador de deformaciones plásticas y pe ( s:s21

2 =J ) el segundo invariante del tensor

desviador de tensiones s . Sustituyendo (3.2.14) en (3.2.11), resulta:

22

2

2 ''J

JJJ P

Pp s

sε == (3.2.15)

3.2.4 Teoría Clásica de la Plasticidad Cuando el estado tensional de un punto de un sólido ideal alcanza el criterio de

discontinuidad inicial , y a la vez cumple con la condición de consistencia plástica , se admite por hipótesis que este punto se encuentra en estado elastoplástico. La teoría de la plasticidad clásica en pequeñas deformaciones permite adoptar la hipótesis de descomposición de la deformación total.

( ) 0=qσ;F( ) 0=qσ;F

ppe C εσεεε +=+= − :1 (3.2.16)

Donde la deformación plástica representa la variable interna fundamental del problema elasto-plástico, cuya definición tiene la siguiente forma,

pε

gσ

qσ,Hε

ελλλ =

∂∂

==)(G

pp (3.2.17)

Esta expresión también recibe el nombre de regla de la normalidad por ser normal a la superficie de potencial plástico cteG =)( qσ, y λ es un escalar no negativo denominado parámetro de consistencia plástica. La función de potencial plástico se determina a través de estudios experimentales y es la que define la dirección del incremento temporal de la deformación plástica.

3.2.4.1 Trabajo Plástico Unitario o Específico

El trabajo total desarrollado en una unidad de volumen de un sólido elasto-plástico ideal, en un proceso cuasi-estático y durante un pseudo-incremento de tiempo ( ), se le denomina incremento temporal de trabajo unitario o trabajo específico,

dttt +→

( ) pepepe uuu +=+=+== ε:σε:σεε:σε:σ (3.2.18)


41

Se conoce esta forma de escribir la variación temporal de la energía como elasticidad desacoplada y solo vale para problemas elastoplásticos cuyas deformaciones elásticas son infinitesimales y por lo tanto se acepta la hipótesis de aditividad de las deformaciones.

Se analiza solamente la parte plástica de la estructura, el trabajo plástico para un material metálico ideal como los vistos anteriormente será:

( )s:sε:σ

εs1ε:σ

λγτ

γτεσ

==+===

+=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

ppoctoctG

ppp

desviadoraG

p

avolumétrick

ppoctoct

pvoct

ppp

JJuu

uuIu

'38

32

:31

22

01

(3.2.19)

Donde 31Ipoct ==σ es la tensión normal octaédrica o presión, 3/2 2Joct =τ es la tensión tangencial octaédrica o desviación, es la deformación

normal octaédrica, y

3/'3/ 1pp

voctp I== εε

3/'8 2pp

oct J=γ es la desviación octaédrica. Sustituyendo la regla de flujo de Prandtl-Reus ec. (3.2.15), se tiene que:

( ) ( ) ( )ppp

ppp

JJ

u ε:εε:εs:s2

2

'1

===λ

λ (3.2.20)

Siendo:

( )0

2 31:

21' ij

pv

pij

pij

ppP eJ δεε −== ee (3.2.21)

Tal que en metales puede escribirse ( )pij

pij

PJ εε :21'2 = , con lo que el trabajo plástico,

ecuación (3.2.20), resulta

( ) pp

pp

ppp JJu ε:ε

ε:ε

ε:ε22 22 == (3.2.22)

La función potencial que sustituida en (3.2.17) da un flujo plástico equivalente a Prandtl-Reus, es la función de von Mises,

G[ ] MisesvonGG = ,

[ ]s

σg =

∂∂

=MisesvonG (3.2.23)

Donde,

[ ] [ ] 0330 22

22 =Κ−=∂⎯⎯⎯ →⎯=Κ−=∂ JGJG MisesvontambienoMisesvon (3.2.24)

Siendo 23 J=σ la tensión efectiva o uniaxial equivalente de von Mises, que sustituida en la ecuación (3.2.22), resulta:

ppppu εσσ == ε:ε32 (3.2.25)

Esta expresión permite escribir en forma general la deformación plástica efectiva, como:

ppp ε:εγε = (3.2.26)

tal que en el caso particular de la plasticidad de Prandtl-Reus (o von Mises) 32≡γ . En los casos restantes hay que determinar su magnitud.

Es más general utilizar como variable de endurecimiento el trabajo plástico u obtener la deformación plástica efectiva a partir de este trabajo,


( )∫∫∫ ===t ppt pt pp dtdtdt000 3

2ε:ε

σωεε (3.2.27)

La ecuación anterior puede simplificarse en el caso particular de un problema de carga radial, es decir cuando todas las componentes del tensor de tensión mantienen su

proporción a lo largo del proceso de carga …== 022

220

11

11

σσ

σσ

. Esto es,

( )ppp ε:ε32

=ε (3.2.28)

3.2.4.2 Superficie de Carga Plástica. Variable de Endurecimiento Plástico

En el apartado 3.2.2 se ha analizado el comportamiento uniaxial de un material elasto-plástico ideal. Se ha distinguido una zona dentro de la función de fluencia plástica, una zona límite y la zona fuera del dominio elástico. A partir de la zona límite, llamada superficie de fluencia o superficie de discontinuidad, la superficie adquiere movilidad en el espacio de tensiones, siguiendo la evolución del proceso plástico, transformándose en la denominada superficie de carga plástica. Esta superficie de carga plástica no es otra cosa que la actualización de la función límite de discontinuidad o límite de fluencia para cada valor de las variables internas q correspondiente a cada instante del pseudo tiempo t del proceso elasto-plástico. El fenómeno que gobierna este cambio de posición en el espacio de tensiones, se lo conoce como endurecimiento plástico, que puede ser isótropo o cinemático.

Figura 3.2.8- Superficie de carga plástica. Movimiento isótropo y cinemático

Una manera simple de introducir el endurecimiento en el comportamiento

elastoplástico es a través de una función de carga plástica ( ) 0=qσ;F . Esta puede definirse mediante una función escalar de argumentos tensoriales y homogénea de primer grado en las tensiones.

( ) ( ) 0=Κ−= σqσ; fF (3.2.29)

Para ello se establece la función de tensión ( )σf como un traductor de un estado tensorial de tensiones a otro escalar equivalente. Este escalar se utiliza para ser comparado con la evolución del endurecimiento plástico Κ , que inequívocamente se relaciona con la evolución de la tensión uniaxial equivalente Κ=σ .


43

3.2.4.2.1 Endurecimiento isótropo Se dice que hay endurecimiento isótropo cuando hay movimiento homotético de la

superficie de carga plástica. A su vez este movimiento puede ser: Positivo: Cuando el movimiento homotético de la superficie de carga plástica es de

expansión. En este caso se dice que el proceso es elasto-plástico isótropo con endurecimiento.

Nulo: Cuando la superficie de carga plástica no evoluciona durante el proceso elasto-plástico. En ese caso se dice que el proceso elasto-plástico es isótropo perfecto.

Negativo: Cuando hay movimiento homotético de contracción en la superficie de carga plástica. En este caso se dice de un proceso elasto-plástico con ablandamiento.

El endurecimiento isótropo, movimiento homotético de la función de carga plástica, queda controlado por la evolución de la función de endurecimiento plástico Κ , que en el caso más general puede estar definida como una variable interna q. La evolución de esta variable interna depende del proceso mismo y lo hace condicionada por una regla de evolución cuya formulación se debe ajustar al comportamiento del sólido.

En plasticidad clásica es habitual expresar la variable interna de endurecimiento plástico como una función de endurecimiento plástico ( )pκΚ , que depende a su vez de la variable interna de endurecimiento plástico pκ . . Esto es

( ) ( )⎩⎨⎧

==

=Κ pp

pppp

uconf

κεκ

κκ : (3.2.30)

Es mucho más general y permite una mayor posibilidad de representación del comportamiento de una gran diversidad de sólidos, definiendo la función de endurecimiento como una variable interna del proceso plástico,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) p

pp G

κλ

κλλκ κκ

qσ;qσ;

σ

σ;qσ;qσ;

ΚΚ ==Κ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂==

hH

hH : (3.2.31)

donde la función tensorial ( )qσ;κh y la función escalar , dependen del estado de tensiones actualizado y de las variables internas. En el caso más simple de la teoría de la plasticidad se identifican las siguientes relaciones,

( qσ;Κh )

tal que en esta última ( ) ( )pp f κκ =Κ es una función tal como lo expresa la ecuación (3.2.30).

de donde resulta: ( ) p

p

pp

ppppp

h

u

κκκκ

εσκ κκ

∂Κ∂

==Κ

==≡=⇒≡

Κ

εσεhσh :: (3.2.32)

3.2.4.2.2 Endurecimiento Cinemático El endurecimiento cinemático, movimiento de traslación de la superficie de carga

plástica, queda controlado por la variable interna de endurecimiento plástico cinemáticoη , que define las coordenadas del centro del dominio elástico en el espacio de tensiones. El continuo cambio de estas coordenadas, durante la evolución del proceso elasto-plástico, provoca un movimiento de traslación de la superficie de fluencia que puede o no combinarse con un movimiento isótropo de expansión o contracción de la misma. En el caso más general, se puede escribir la función de carga plástica como:


( ) ( ) 0=Κ−= η-σqσ; fF (3.2.33)

donde el endurecimiento plástico puede definirse, según Prager y Melan, como con p

kp εβη c== κ pp

k εεβ c= . La constante depende del tipo de función de potencial plástico que se utilice.

kc

3.2.4.3 Relación Tensión-Deformación. Consistencia Plástica y Rigidez Tangente

La ley constitutiva elasto-plástica tangente εσ :TC= y el parámetro de consistencia plástica λ pueden obtenerse a partir del criterio general de fluencia plástica y de la condición de consistencia de Prager. Esto es,

( ) ( )0::0:::

0

1

=Κ∂∂

+∂∂

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=ΚΚ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=

=Κ−=

-ηη

σση

ησ

σ

η-σqσ;FFFFFF

F f

(3.2.34)

Sustituyendo en esta la ecuación (3.2.31) y la ecuación , resulta pk

p εβη c== κ

( ) ( )

0::::::

0:::

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

=∂∂

+∂∂

Κ

Κ

σh

σησC

σεC

σ

ε-h-εη

ε-εCσ

GGFGFF

FF

κ

κ

λ hc

hc

k

ppk

p

(3.2.35)

De esta última expresión se puede obtener el factor de consistencia plástica λ , que puede interpretarse como el factor que evalúa la distancia que hay entre un estado tensional inadmisible, fuera del dominio elástico y la superficie de carga plástica. Esto es

0::::

::=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

+∂∂

∂∂

−

∂∂

=

Κ σC

σσh

ση

εCσ

GFGGF

F

A

k hc κ

λ (3.2.36)

donde A es el parámetro de endurecimiento plástico. En un caso simple de la teoría de la plasticidad clásica sin endurecimiento cinemático 0=kc , este parámetro resulta ser la pendiente de la curva tensión uniaxial equivalente ( ) ( )pp εεσ Κ= vs pε . Para demostrar esto, se considera una función de endurecimiento ( ) ( )pp f εε =Κ y se define su pendiente,

( ) ( )p

p

p

p

p

p

dd

dd

ddA

εκ

κε

εε Κ

=Κ

= (3.2.37)

De esta última y la ecuación (3.2.32), se verifica el denominador de la ecuación (3.2.36)

σh

∂∂

=∂∂

= ΚGF :κσ

κhA p (3.2.38)

Sustituyendo la ecuación (3.2.36) en la ecuación constitutiva tangente,

( )pε-ε:Cσ = (3.2.39)

Resulta la ley elasto-plástica tangente,


45

Cσε

σC

σσh

ση

Cσσ

C

-Cσ :::::

::T

k hc=⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂∂

−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∂∂

⊗⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

=

ΚGFGGF

FG

κ

(3.2.40)

Donde es el tensor constitutivo tangente continuo. TC

3.2.5 Postulado de estabilidad de Durker y Axioma de la Máxima Disipación Plástica

El segundo postulado de Durker define la estabilidad local del comportamiento de un punto de un sólido sometido a un estado tenso-deformacional . En el problema no-lineal este postulado está relacionado con el axioma de la máxima disipación plástica.

Considérese un punto de un sólido sometido a un estado de tensiones ( )qεε;σσ ;p= deformación , tal que en el instante previo sus magnitudes eran ε ( )qε;εσσ ;p∗∗ = y * . Se dice que el comportamiento ha sido estable si se cumple la siguiente desigualdad,

∗ε

( ) 0:: ≥→≥ ∗∗ ppp εσ-σεσε:σ (3.2.41)

donde puede verse que necesariamente se exige que el estado tensional posterior σ , sea siempre mayor que el anterior ∗σ .

Haciendo ahora la siguiente aproximación,

dtdt εCσ-σεε-ε :=⇒≈ ∗∗ (3.2.42)

Sustituyendo esta última en la ecuación (3.2.41), resulta la siguiente forma particular del 2ndo postulado de Durker

0:: ≥pεCε (3.2.43)

La forma local del axioma de la máxima disipación plástica (M.D.P.), se escribe,

0: ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ξ∂

eεε (3.2.44)

donde la disipación plástica Ξ , para problemas sin degradación de rigidez, se escribe como

0≥Ψ−=Ξ pε:σ (3.2.45)

Sustituyendo ésta última en la expresión de la M.D.P., se tiene

0:: ≥pεCε (3.2.46)

De esta última y de la ecuación (3.2.43) se deduce que el postulado de estabilidad de Durker, coincide plenamente con el axioma de la máxima disipación plástica.

3.2.6 Condición de estabilidad La condición de estabilidad de Durker es también conocida como condición de

estabilidad local y sólo se refiere a la estabilidad del comportamiento de un punto del sólido. El cumplimiento de esta condición en todos los puntos del sólido es suficiente para


garantizar la estabilidad del conjunto, sin embargo no es necesario que se verifique en todos y cada uno de los puntos para asegurar la estabilidad del conjunto. Este hecho puede comprobarse en materiales con ablandamiento, en los cuales puede no cumplirse la condición de estabilidad local en algunos puntos, sin que por esto el sólido global pierda estabilidad. La estabilidad de todo un cuerpo se prueba mediante una condición más débil, que es conocida como condición de estabilidad global. A continuación se hace una breve presentación de estos dos conceptos.

3.2.6.1 Estabilidad local

El segundo postulado de Durker, ecuación (3.2.41), constituye una condición de estabilidad necesaria y suficiente para problemas de plasticidad con endurecimiento y regla de flujo asociada, pero es sólo una condición suficiente para problemas de plasticidad con ablandamiento y/o regla de flujo no asociada. A continuación se prueba que exigiendo convexidad en las funciones de fluencia, potencial plástico y flujo asociado en materiales con endurecimiento, queda garantizado el cumplimiento del segundo postulado de Durker

( ) ( ) 0:::: ≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=σ

CεεCεGλp (3.2.47)

Pero el factor de consistencia plástica λ es un escalar no negativo. Por ello la desigualdad anterior puede también escribirse, como

( ) 0::,0 ≥∂∂

≥σ

CεGλ (3.2.48)

Además, analizando el propio factor de consistencia plástica, se deduce que,

0≥

∂∂

∂∂

+

∂∂

=

σ:C:

σ

ε:C:σ

FG

F

Aλ (3.2.49)

si el endurecimiento es positivo , y y son funciones convexas, para que el factor de consistencia plástico sea positivo, debe cumplirse necesariamente que

0>A G F

( ) 0:: ≥∂∂σ

CεG (3.2.50)

Para garantizar que las desigualdades (3.2.48) y (3.2.50) se cumplan a la vez, debe ocurrir que el flujo plástico sea asociado. Es decir,

,σσ ∂

∂∝

∂∂ FG Flujo asociado (3.2.51)

3.2.6.2 Estabilidad Global

Como ya se ha mencionado, para materiales con ablandamiento, el postulado de Durker se transforma en una condición suficiente de estabilidad, pero no necesaria.

La condición de estabilidad necesaria, debe formularse a nivel global, es decir, de todo el sólido. Sea una configuración estable donde la energía potencial total vale

, donde intervienen las variables de tensión

3R⊂Ω∗

ind PP ∗∗∗ −=Π ∗σ , deformación , fuerzas de superficie , volumen y desplazamiento , y donde se cumple el equilibrio del sólido. Dando un desplazamiento virtual

∗ε∗t ∗b ∗u

uδ sobre esta configuración estable, se obtiene una nueva configuración , cuyas variables son , , 3R⊂Ω t uuu δ+= ∗ εεε δ+= ∗


47

σσσ δ+= ∗ , , , y la energía total será, ∗= bb ∗= tt Π+Π+Π≅−=Π ∗ 2

!21 δδind PP . Se

dice que esta nueva configuración estará en equilibrio, si durante la aplicación del desplazamiento virtual se desarrolla una variación de energía potencial total nula. Esto es

+Π+Π≅Π−Π=∆Π⇒+Π+Π+Π=Π ∗∗ 2

0

2

!21

!21 δδδδ (3.2.52)

donde la primera variación de la energía o condición de estacionalidad del funcional vale 0=⋅−⋅−=Π ∫∫∫ dVdSdV

VSV

ubutε:σ δρδδδ . Dado que el desplazamiento virtual

uδ y sus campos derivados εδ son arbitrarios, resulta entonces la ecuación de equilibrio. La segunda variación de la energía potencial total, o condición de estabilidad del funcional, puede escribirse como 02 =⋅−⋅−=Π ∫∫∫ dVdSdV

VSV

ubutε:σ δδρδδδδδ . A pesar que

en plasticidad no siempre es posible conocer la expresión del funcional de energía potencial total, si que es posible conocer sus respectivas variaciones, por ejemplo mediante el principio de los trabajos virtuales que es lo que se ha establecido en las ecuaciones anteriores. Sustituyendo en (3.2.52) la condición de equilibrio, se tiene que el incremento total de trabajo virtual es igual a la segunda variación del funcional y que es a la vez la condición de estabilidad (concavidad o convexidad del funcional),

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⇒<

⇒>

Π+Π≅∆Π

virtualentodesplazamiesteparainestableesoriginaliónconfiguracLavirtualentodesplazamicualquierparaestableesoriginaliónconfiguracLa

0

0

!21 2

0

δδ (3.2.53)

Sustituido el estado definido anteriormente ( , , uuu δ+= ∗ εεε δ+= ∗ σσσ δ+= ∗ , , ), en la segunda variación del funcional, se obtiene, ∗= bb ∗= tt

⎩⎨⎧

⇒<⇒>

≅∆Π ∫ inestableoriginaliónConfiguracestableoriginaliónConfigurac

dVV 0

021

ε:σ δδ (3.2.54)

Según Bažant, esta condición aplicada a materiales con ablandamiento, permite definir un tamaño límite, de volumen , de la zona donde puede ocurrir un comportamiento plástico inestable, entendido según el postulado de estabilidad local de Durker (zona donde se produce ablandamiento). Así, en el resto del sólido, donde el comportamiento es elástico y cuyo volumen es , este trabajo de segundo orden es positivo tal que permite compensar el trabajo negativo dando una segunda variación del funcional no nula.

pV

pVVV −=0

Así se consigue una nueva configuración estable para un sólido cuyo comportamiento es de endurecimiento en una parte del dominio y de ablandamiento en la otra . Esto es,

0V pV

[ ] 021

21

21

0

0

>∆Π+∆Π≅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=≅∆Π ∫∫∫ p

p

VVVVV

dVdVdV ε:σε:σε:σ δδδδδδ

(3.2.55)

De todo esto, se puede concluir que en un punto del sólido es posible que se viole la condición de estabilidad de Durker, sin que necesariamente la respuesta sea inestable.


3.2.7 Condición de Unicidad en la solución Dado un punto del sólido en estado de equilibrio (configuración de origen), sobre el que se aplican dos desplazamientos virtuales 1uδ y 2uδ , y a continuación se mide la diferencia de energía potencial entre estas dos configuraciones. Puede observarse que esta diferencia de energía es igual a la que se obtiene al aplicar un único desplazamiento virtual de magnitud

( ) 12 uuu δδδ −=∆ , que provoca un cambio de deformaciones ( )εδ∆ y de tensiones ( )σδ∆ .

De este campo de tensiones y deformaciones resulta un trabajo virtual de segundo orden igual a

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧≠=

=∆∆≅Π∆ ∫ soluciónlaenunicidadhaysoluciónlaenunicidadhayno

dVV 0

0212 ε:σ δδδ (3.2.56)

Si esta segunda variación es nula ( ) 02 =Π∆ δ durante el cambio de desplazamiento virtual ( u)δ∆ , significa que la tensión en las dos configuraciones finales son iguales 22 σσ δδ = , es

decir ( ) 0=−=∆ 22 σσσ δδδ . Por lo tanto se tienen dos estados cinemáticamente admisibles e independientes entre si 12 uu δδ ≠ , pero el mismo incremento de tensión

22 σσ δδ = , lo que implica que la solución no es única y hay bifurcación en la respuesta. Dadas las mismas configuraciones cinemáticas antes mencionadas, si se obtiene una segunda variación no nula ( ) 02 ≠Π∆ δ , se dice que la unicidad de la solución está garantizada.

3.2.8 Condición de carga-descarga. Kuhn-Tucker

La condición de carga-descarga y la condición de consistencia plástica de Prager, se satisfacen simultáneamente mediante las tres condiciones de Kuhn-Tucker3 , que es otra forma de presentar el axioma de la máxima disipación plástica M.D.P . Esto es,

( )( ) 0

00

=

≤≥

qσ,

qσ,

FFλ

λ (3.2.57)

de estas tres condiciones se deduce brevemente lo siguiente,

leincompatibestado

neutraplásticacargacargaoplásticoentocomportami

descargaoelásticoentocomportami

⇒>

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎩⎨⎧

=>

⇒=

=⇒<

0

00

0

00

F

F

F

λλ

λ

(3.2.58)


49

3.2.9 Criterios Clásicos de Fluencia o Discontinuidad plástica

A continuación se hace una breve presentación, casi enumerativa, de los criterios de fluencia o discontinuidad plástica. El objetivo de esta presentación es destacar los rasgos más importantes que se debe recordar de cada uno de ellos.

En los últimos años se ha formulado una gran cantidad de criterios de fluencia, o discontinuidad plástica, con el fin de representar mejor el comportamiento plástico de los sólidos ideales. Hay criterios más apropiados para representar el comportamiento de los materiales metálicos y otros que funcionan mejor para los geomateriales. En general la formulación y/o utilización de estos criterios exigen considerar las siguientes características básicas de comportamiento:

- Los materiales metálicos tienen una resistencia a tracción y compresión del mismo orden de magnitud. La presión hidrostática, primer invariante del tensor de tensiones , influye muy poco en la determinación del estado de fluencia plástica. Los cambios de volumen permanente son despreciables (incremento temporal de deformación volumétrica permanente, dilatancia, nula ); lo que significa que la forma y tamaño de una sección transversal de la superficie de fluencia (plano octaédrico), se mantiene inalterada tanto a bajas como altas tensiones (no depende del tercer invariante del tensor desviador de tensiones 3 J ), ej.: la forma cilíndrica de la superficie de von Mises. El incremento temporal de deformación plástica depende del tensor desviador de tensiones s en cada instante del proceso de carga cuasi-estático, pudiéndose utilizar satisfactoriamente la regla de flujo de Prandtl-Reus, que es lo mismo que utilizar la forma general de la regla de flujo, con una función de potencial plástico de von Mises.

1I

0=pvε

pε

- Los materiales friccionales del tipo de los hormigones pétreos, suelos, cerámicos, etc., tienen menor resistencia a tracción que a compresión. La presión hidrostática 31Ip = , influye mucho en la condición de fluencia plástica para tensiones bajas y moderadas, en cambio comienza a perder importancia para tensiones hidrostáticas elevadas. El sólido sufre cambios de volumen irrecuperables exhibiendo fenómenos de dilatancia . La forma y dimensión de una sección transversal de la superficie de fluencia (plano octaédrico), es distinta para bajas que para altas tensiones, pasando de una forma casi triangular a otra circular, respectivamente (para bajas presiones hidrostáticas depende del tercer invariante del tensor desviador de tensiones y se independiza de él en altas presiones). La deformación plástica tiene una dirección distinta a la que da el gradiente de la superficie de fluencia, siendo necesario formular una superficie de potencial plástico distinta a la de fluencia plástica (plasticidad no asociada). En estos materiales, y a diferencia de los metales, el criterio de fluencia depende, entre otras, de tres variables: la cohesión interna entre partículas c , el ángulo de rozamiento interno entre partículas

0≠pvε

3J

φ y la dilatancia interna ψ . Estas pueden ser tratadas como variables internas del proceso mismo, o también expresadas como una función dependiente en forma explícita de la evolución de las variables internas q .

De esta breve descripción muestra la necesidad de formular distintos criterios de fluencia y potencial plástico que permitan considerar los requisitos exigidos por cada tipo de material.


3.2.9.1 Criterio de Rankine. Máxima Tensión de Tracción

Este criterio fue formulado por Rankine en 1876 y se caracteriza por depender de un solo parámetro, la máxima resistencia uniaxial de tracción . Además está influenciado por el primer invariante del tensor de tensiones Criterio de Rankine. Máxima Tensión de Tracción y el segundo y tercer invariantes del tensor desviador de tensiones ,

respectivamente. Es apropiado para establecer en forma sencilla el límite donde comienza el proceso de fractura en un punto del sólido friccional. Esta hipótesis que conduce a suponer que la fractura ocurre cuando la máxima tensión principal alcanza el valor de la resistencia uniaxial a tracción

maxTσ

1I 32 , JJ

( ) ( )κσκ maxT=Κ . Las diversas formas de expresar

matemáticamente este criterio son las siguientes, − En función de las tensiones principales:

( ) [ ] ( ) 0max maxmax =−= κσσσ TiTσ,F (3.2.59)

− En función de los invariantes del tensor de tensiones y sus desviadores,

( ) ( ) 036

cos32,, max12

max21 =−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += κσπθσθ TT IJ,JIF (3.2.60)

Figura 3.2.9- Superficie de fluencia de Rankine en el espacio de tensiones principales

de Westergaard

Figura 3.2.10- Superficie de fluencia de Rankine en el espacio de tensiones principales

de Westergaard


51

3.2.9.2 Criterio de Tresca. De la Máxima Tensión Cortante

Este criterio fue formulado por Tresca en 1864 y al igual que el criterio de Rankine, depende de un solo parámetro, la máxima resistencia al cortante . Además considera el segundo y tercer invariantes del tensor desviador de tensiones respectivamente, ignorando la influencia del primer invariante del tensor de tensiones . Es apropiado para representar el comportamiento de los metales y su mayor limitación viene dada por la falta de continuidad en sus derivadas. De acuerdo con este criterio, se alcanza la fluencia plástica cuando el valor de la función de endurecimiento plástico

maxτ32 , JJ

1I

( ) (κτκ max=Κ ) , que tiene significado de una resistencia al cortante, alcanza la máxima resistencia al cortante . Las diversas formas de expresar matemáticamente este criterio son las siguientes,

maxτ

− En función de las tensiones principales:

( ) ( ) 021max maxmax =−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= κτσστ jiσ,F (3.2.61)


( ) ( ) ( ) 0cos3

, max2max2 =−= κτθτθ

J,JF (3.2.62)

Figura 3.2.11- Superficie de fluencia de Tresca en el espacio de tensiones principales de

Westergaard

Figura 3.2.12- Superficie de fluencia de Tresca en el espacio de tensiones principales de

Westergaard


3.2.9.3 Criterio de von Mises. Tensión Cortante Octaédrica

Este criterio fue formulado por von Mises en 1913 y también, al igual que los dos anteriores, depende de un solo parámetro, la máxima resistencia al cortante octaédrica

. Además considera sólo el segundo invariante del tensor desviador de tensiones , despreciando la influencia del primer invariante del tensor de tensiones y del tercer invariante del tensor desviador de tensiones . Es el criterio más apropiado para representar el comportamiento de los materiales metálicos. De acuerdo con este criterio, se alcanza la fluencia plástica cuando el valor de la función de endurecimiento plástico

, que tiene significado de una resistencia al cortante, alcanza la máxima resistencia al cortante octaédrico . Las diversas formas de expresar matemáticamente este criterio son las siguientes,

octmaxτ 2J

1I

3J

( ) ( )ττκ octmax=Κ

octmaxτ

− En función de las tensiones principales:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 061 2max2

132

322

21max =−−+−+−= κτσσσσσστ octoctσ,F (3.2.63)


( )[ ]2max2

max2 ),( κττ octoct JJF −= (3.2.64)

Figura 3.2.13- Superficie de fluencia de von Mises en el espacio de tensiones

principales de Westergaard

Figura 3.2.14- Superficie de fluencia de von Mises en el espacio de tensiones



53

3.2.9.4 Criterio de Mohr-Coulomb. Tensión Cortante Octaédrica

Este criterio fue formulado por Coulomb en 1773 y desarrollado con más profundidad por Mohr en 1882. Este criterio depende de dos parámetros, la cohesión c y el ángulo de rozamiento interno φ entre partículas. Incluye en su expresión matemática el primer invariante del tensor de tensiones y el segundo y tercer invariantes del tensor desviador de tensiones , respectivamente. Es apropiado para establecer en forma sencilla el límite donde comienza el proceso de fractura en materiales friccionales o geomateriales. La resistencia en un punto crece con el rozamiento entre partículas

1I

32 , JJ

τ y esta a su vez depende de la tensión normal nσ y de la cohesión c entre ellas. Así, puede presentarse la siguiente forma simple del criterio de Mohr Coulomb,

( ) ( ) 0tan =−−= φστφ ncc,σ,F (3.2.65)

Figura 3.2.15- Representación plana del estado tensional en un punto, según el criterio

de Mohr-Coulomb

En el caso extremo que 0=φ , el criterio de Mohr-Coulomb tiende al criterio de Tresca, en cuyo caso se cumple que Κ== cτ

Observando la Figura 3.2.15, se puede rescribir la ecuación (6.107) en función de las tensiones principales,

( ) 0sin22

cos2

313131 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−−−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

= φσσσσ

φσσ

φ cc,σ,F (3.2.66)

donde 1σ y 3σ representan la tensión principal mayor y menor respectivamente. De esta se deduce que el criterio de Mohr-Coulomb ignora el efecto de la tensión principal intermedia 2σ , lo que es una gran limitación. No obstante, este problema se soluciona si se expresa su formulación en función de los invariantes, del tensor de tensiones y sus desviadores.

( ) ( ) 0cos63sinsincossin

3,,, 2

321 =−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= φκφθθφφθ cJ

IcJI ,F (3.2.67)

Estas funciones describen en el espacio de tensiones principales una pirámide de base hexagonal distorsionada, cuyo eje coincide con el de presiones isostáticas 321 σσσ == . El aumento de presión hace que el plano octaédrico crezca. Este plano octaédrico representa


un hexágono deformado. De la intersección del plano meridiano de tracción 6πθ −= , con la superficie de fluencia, surge una recta de pendiente ( ) ( )φφ sin3sin22 + que corta el eje de tensión tangencial octaédrica en ( ) ( )φφρτ sin3cos620 += c y el eje de

presiones en φξ cot30 c= . De la intersección del plano meridiano de compresión 6πθ += , con la superficie de fluencia, resulta una recta de pendiente

( ) ( )φφ sin3sin22 − , mayor que la del meridiano de tracción y que corta el eje de tensión tangencial octaédrica en ( ) ( )φφρ sin3cos620 −= cC . En el plano principal

0321 === σσσ , representa una hexágono deformado cuyo eje mayor coincide con el eje de tensiones 31 σσ = .

Figura 3.2.16- Superficie de fluencia de Mohr Coulomb en el espacio de tensiones


Figura 3.2.17- Superficie de

fluencia de Mohr Coulomb en el espacio de tensiones principales de

Westergaard

Figura 3.2.18- Superficie de fluencia de Mohr Coulomb en el plano


55

De las funciones que describen el criterio de fluencia de Mohr-Coulomb, resulta claro que su principal característica es la capacidad para distinguir el comportamiento a tracción del de compresión. De aquí resulta que el criterio admite implícitamente que la relación de resistencia a tracción y compresión, cumplen con la siguiente expresión

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==

24φπ

σ

σ2

0T

0C

Mohr tanR (3.2.68)

Esta definición establece una limitación importante en la adaptación de este criterio a un material en particular, pues normalmente no se da esta correlación en los materiales reales.

Para conseguir una buena correlación entre relación de resistencias y ángulo de fricción interna, es necesario modificar el criterio de Mohr-Coulomb.

Figura 3.2.19- Relación entre φ y MohrR


3.2.9.5 Criterio de Durker-Prager

Este criterio, formulado por Drucker y Prager en 1952, es considerado como una aproximación alisada del criterio de Mohr-Coulomb, pero la formulación matemática surge de una generalización del criterio de von Mises, para incluir la influencia de la presión, a través del primer invariante del tensor de tensiones y del ángulo de rozamiento interno 1Iφ . También depende del segundo invariante del tensor desviador de tensiones , despreciando la influencia del tercer invariante del tensor desviador de tensiones . Este criterio depende de dos parámetros, el ángulo de rozamiento entre partículas

2J

3Jφ y la

cohesión c. La forma de expresar matemáticamente este criterio es la siguiente, En función de los invariantes del tensor de tensiones y su desviador,

( ) ( ) ( ) 0,,, 2121 =Κ−+= φκφαφ JIc,JIF (3.2.69)

siendo las funciones de endurecimiento, luego de ser ajustadas con el criterio de Mohr-Coulomb, resultan ( ) ( )φφφα sin333sin2 += y

( ) ( ) ( )φφκφκ sin333cos6, +=Κ c . Estas dos funciones describen un cono inscrito en la pirámide de Mohr-Coulomb, coincidiendo ambos criterios en los meridianos de tracción. En el caso en que el cono circunscriba la pirámide de Mohr-Coulomb, se tiene coincidencia en los meridianos de compresión de ambas superficies, y de ello resultan las siguientes funciones ( ) ( )φφφα sin333sin2 −= y ( ) ( ) ( )φφκφκ sin333cos6, −=Κ c . Ambos casos particulares describen dos comportamientos muy diferenciados.

El plano octaédrico representa un círculo, cuyo radio varía en función de la presión. De la intersección del plano meridiano de tracción 6πθ −= , con la superficie de fluencia, surge una recta de pendiente α a , que corta el eje de tensión tangencial octaédrica en

Κ= 20Tρ y el eje de presiones en αξ 30 Κ= . De la intersección del plano meridiano

de compresión 6πθ += , con la superficie de fluencia, resulta una recta con igual pendiente que la obtenida para meridiano de tracción. En el plano principal

0321 === σσσ , representa una elipse desplazada de su centro (influencia de la presión), cuyo eje mayor coincide con el eje de tensiones 31 σσ = .


57

Figura 3.2.20- Superficie de fluencia de Durker-Prager en el espacio de tensiones


Figura 3.2.21- Superficie de

fluencia de Mohr Coulomb en el espacio de tensiones principales de

Westergaard

Figura 3.2.22- Superficie de fluencia de Mohr Coulomb en el plano

333...333 MMMooodddeeelllooo dddeee DDDaaañññooo

3.3.1 Introducción Como se dijo en el apartado 3.1, el daño de un sólido continuo, en el sentido de

degradación de rigidez, es una alteración de las propiedades elásticas durante la aplicación de la carga como consecuencia de una disminución del área efectiva resistente. Esta pérdida de área efectiva es normalmente causada por el crecimiento de vacíos y/o micro fisuras.

El fenómeno de daño sólo afecta a las propiedades elásticas del material, mientras la plasticidad se desarrolla como consecuencia de un crecimiento irrecuperable en la deformación, deformación plástica. Ambos fenómenos son complementarios y es normal observar en los materiales una pérdida de resistencia motivada por el daño –pérdida de elasticidad– y por la plasticidad –crecimiento en la deformación inelástica–.

Mediante esta teoría de daño se representará el límite de fluencia de los materiales componentes del material compuesto simulado.

3.3.2 Modelo de Daño Isótropo En los últimos años los modelos constitutivos conocidos como de daño continuo han

sido ampliamente aceptados para simular el complejo comportamiento constitutivo de muchos materiales que se utilizan en ingeniería. Estos modelo se caracterizan por su simplicidad en la implementación, versatilidad y consistencia, ya que están basados en la mecánica de daño continuo.

Físicamente, el proceso de degradación de las propiedades de un material es el resultado de la presencia y crecimiento de pequeñas fisuras y micro vacíos presentes en la estructura de cualquier material. Este proceso de crecimiento se puede simular, en el contexto de la mecánica de medios continuos, teniendo en cuenta la teoría de variables internas de estado, introduciendo una variable interna de daño representada por un escalar, vector o un tensor. Esta variable interna de daño caracteriza el nivel de deterioro del material y transforma el tensor de tensiones real a otro tensor de tensiones efectivas de la siguiente forma,

σ:Mσ 10

−= (3.3.1)

donde es el tensor de cuarto orden del modelo de daño anisótropo. Para el caso del modelo de daño isótropo, la degradación del material se desarrolla en todas las direcciones por igual y sólo depende de una variable escalar de daño d, con lo que el tensor

se reduce a y la ecuación de daño anisótropo (3.1.42) queda:

M

M ( )IM -d1=

d−=

1σ

σ 0 (3.3.2)


donde d es la variable interna de daño, σ es el tensor de tensiones de Cauchy y es el tensor de tensiones efectivas, medido en el espacio “no-dañado”. Esta variable interna es una medida de la pérdida de rigidez del material y sus límites superior e inferior está dado

0σ

por:

10 ≤≤ d (3.3.3)

donde d=1 representa un estado del material completamente degradado y define la rotura local completa y d=0 representa un material no dañado. El concepto de tensión efectiva se formuló por primera vez en conexión con la hipótesis de equivalencia de deformaciones por Lemaitre-Chaboche3 en 1978 en la siguiente forma, “...la deformación asociada a un estado dañado bajo una tensión aplicada σ es equivalente a la deformación asociada con el estado no dañado sometido a una tensión efectiva ”. En la Figura ¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. se observa una representación esquemática de la hipótesis de tensión efectiva.

0σ

Figura 3.3.1 – Representación esquemática de la hipótesis de tensión efectiva

3.3.2.1 Energía libre de Helmholtz y ecuación constitutiva

La energía libre de Helmholtz por unidad de volumen para el caso de un modelo de daño isótropo a temperatura constante está dada por:

( ) ( ) ( ) ( )εε

ε

01,,

Ψ−=Ψ=Ψ=Ψ=Ψ

dddpconp ii (3.3.4)

Donde es la energía libre de Helmholtz elástica inicial del material no dañado. En el caso de pequeñas deformaciones es suficiente caracterizar a la energía libre a través de una función cuadrática de las deformaciones del siguiente tipo,

( )ε0Ψ

( ) εC:εε 0 :21

0 =Ψ (3.3.5)

donde es el tensor constitutivo elástico del material en estado no dañado. Para problemas térmicamente estables es válida la siguiente forma de la desigualdad de Clausius-Plank,

0C

0: ≥∂Ψ∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

=Ξ dd

-εε

-σ (3.3.6)

Esta expresión de la potencia disipativa permite hacer las siguientes consideraciones:


3

a. La inecuación (3.3.6) debe cumplirse para cualquier variación temporal de la variable libre ε, con lo que el multiplicador ε tiene que ser nulo. Esta condición proporciona la ley constitutiva hiperelástica para el problema de daño escalar,

ddeconjugadad 00 0, Ψ−⇒≤Ψ−=

∂Ψ∂

∂Ψ∂

=ε

σ (3.3.7)

b. Considerando la ley constitutiva, el valor de la disipación del modelo de degradación resulta,

00 ≥Ψ=Ξ d (3.3.8)

Teniendo en cuenta la ecuación (3.3.7) se obtiene la siguiente forma de la ecuación constitutiva

( ) ( ) εCεε

σ :11 00 dd −=

∂Ψ∂

−=∂Ψ∂

= (3.3.9)

Esta es la ecuación constitutiva secante del modelo de daño y presenta la siguiente características:

1. el modelo de degradación es isótropo ya que las propiedades mecánicas del material están sólo afectadas por un escalar,

2. la integración de la ecuación constitutiva es explícita, 3. la ecuación (B5.161) se puede interpretar como una descomposición aditiva

de las tensiones elásticas e inelásticas, esto es ( ) [ ] [ ] ddd σσεCεCεCσ −=−=−= 0000 :::1 (3.3.10)

El modelo expresado en la ecuación (3.3.9) exige el conocimiento de la variable de daño en cada instante del proceso mecánico. Para ello es necesario definir la evolución de esta variable interna de daño. En los apartados que a continuación se presenta se hace un detalle de los pasos necesarios para su evaluación.

Figura 3.3.2 – Representación esquemática del modelo de daño uniaxial

3.3.2.2 Criterio umbral de daño

El criterio de daño distingue entre un estado de comportamiento elástico, que se encuentra en el interior del dominio delimitado por esta función de daño, y otro estado en el cual se verifica el proceso de degradación de las propiedades del material. Este criterio


depende del tipo de material y se define en la misma forma que para problemas de plasticidad,

( ) ( ) ( ) 0≤−= dcf 00 σq,σF (3.3.11)

Donde es una función del tensor de tensiones ( 0σf ) εCσ 0 :0= y es la función que define la posición del umbral de daño. Esta función permite, además de establecer el inicio del comportamiento no lineal de daño, definir también los estados de carga, descarga y recarga. Es una función escalar, debe ser positiva y para un estado indeformado debe ser nula. El valor inicial del umbral de daño

( )dc

( ) maxmax0 σ== cdc es una propiedad del material y está relacionado con su resistencia a compresión según sea la función umbral de daño que se elija.

Dada la ecuación que representa una superficie límite en el espacio de las deformaciones o de las tensiones no dañadas. El daño en el material se verifica cuando el valor de es igual o mayor que por primera vez. Una expresión equivalente a la (3.310) está dada por la siguiente expresión,

( 0σf ) maxmax σ=c

( ) ( )[ ] ( )[ ] dcondcGfG ≡≤−= qσq,σF 00 ,0 (3.3.12)

donde [ ]χG es una función escalar, invertible, positiva y de derivada positiva y monótona creciente.

3.3.2.3 Ley de evolución de la variable interna de daño

En los problemas de la mecánica en los que interviene la teoría de variables internas es necesario definir la ley de evolución de las mismas. En el problema de daño, la ley de evolución de la variable interna está dada por:

( )( )[ ]

( )[ ]( )[ ]0

0

0

0

σ

σ

σ

q,σF

ffG

fd

∂∂

≡∂∂

= µµ (3.3.13)

donde µ es un escalar no negativo denominado parámetro de consistencia de daño, análogo al factor de consistencia plástico λ , y se utiliza para definir las condiciones de carga, descarga y recarga a través de las condiciones de Kuhn-Tucker,

( ) ( ) 0;0;0 =∂⋅≤∂≥ q,σFq,σF 00 µµ (3.3.14)

Las condiciones expresadas en la ecuación anterior corresponden a problemas que poseen restricciones unilaterales. Si el valor de ( ) 0≤∂ q,σF 0 el criterio de daño no se verifica y para que se cumplan las condiciones de Kuhn-Tucker necesariamente debe ocurrir que 0=µ . Esto lleva a deducir de la ecuación (3.3.13) que la variación temporal del daño debe ser nula y por lo tanto el material no presenta fenómenos de daño y se está ante un proceso mecánico elástico.

0=d

Al igual que en la teoría de la plasticidad, la magnitud del factor de consistencia surge de imponer la condición de consistencia de daño de Il’ushim. De éstas y de las propiedades de la función [ ]χG G , se obtiene,

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]( )[ ]

( )[ ]( )dc

dcGffG

dcGfG∂

∂=

∂∂

⇒=⇒=∂0

000 σ

σσq,σF 0 (3.3.15)

De la condición de permanencia sobre la superficie umbral de daño se deduce que,

( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )dcfdcdcdcGf

ffG

=⇒=∂

∂−

∂∂

⇒=∂ 000

00 σσ

σ

σq,σF 00 (3.3.16)


5

Observando la variación temporal de ( )[ ] ( )[ ]00 σσ fGtfG =∂∂ (ecuación (3.3.16)) y

haciendo una analogía con la ley de evolución de la variable interna d (ecuación (3.3.13)), resulta el parámetro de consistencia de daño como,

( )[ ] ( )[ ]( )[ ] ( )

( )[ ]( )[ ]

( )[ ] ( )00

0

0

00

00

σσ

σ

σ

σσ

σσ

ffGd

ffG

d

fffG

fG≡⇒≡⇒

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

∂∂

=

∂∂

=

µµ

(3.3.17)

Desarrollando más el parámetro de consistencia puede escribirse,

( ) ( ) ( ) ( )εC

σ

σσ

σ

σσ 0

0

00

0

00 :::

∂∂

=∂

∂==≡

ffdcfµ (3.3.18)

Integrando en el tiempo la variación temporal de la variable de daño (ecuación (3.3.17)), se

concluye en la siguiente forma explícita para representar el daño en un punto del sólido,

( )[ ] ( )[ ]00 σσ fGdtfGdtddtt

=== ∫∫ (3.3.19)

Sustituyendo en la disipación (ecuación (3.3.6)), resulta la expresión que describe la evolución temporal de la disipación,

( )[ ] ( )[ ]( )[ ]

( )εC

σ

σ

σ

σσ 0

0

0

0

00 ::00 ∂∂

∂Ψ=Ψ=Ξ

fffG

fG (3.3.20)

De las definiciones previamente presentada se obtiene que el umbral de daño c en un tiempo , resulta, ts =

( ) tsfccs

≤≤∀= 0max,max max0σ (3.3.21)

3.3.2.4 Tensor constitutivo de daño tangente

El tensor constitutivo tangente de daño se obtiene considerando la variación temporal de la ecuación constitutiva secante (3.3.10).

( ) εCεCσ ::1 00 dd −−= = (3.3.22)

Reemplazando en la ecuación anterior la ley de evolución de la variable interna de daño d& dada por ecuación (3.3.13), se obtiene:

( ) ( )[ ]( )[ ] ( ) [ ]εCσσ

σεCσ 00

0

0 ::1 0 ⋅∂

∂−−= f

ffG

d (3.3.23)

Teniendo en cuenta que la variación temporal de la función umbral se escribe como

( ) ( ) ( )ε:

ε

εCσ:

σ

σσ 0

00

00 ∂

∂=

∂∂

=:ff

f (3.3.24)

Reemplazando en la ecuación (3.3.23) se tiene:

( ) ( )[ ]( )[ ]

( ) [ ]εCε:ε

εC

σ

σεCσ 0

0

0

0 ::

:1 0 ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂∂

∂−−=

fffG

d (3.3.25)

De la ecuación anterior se obtiene el tensor de daño tangente como,

( ) ( )[ ]( )[ ] [ ] ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂⊗

∂∂

−−=ε

εCεC

σ

σCC 0

00

0 ::1 0

fffG

dT (3.3.26)


3.3.3 Modelo de daño-plástico. Plasticidad para geomateriales

Se llama a este modelo con el nombre de plástico porque en él se usa la teoría matemática de la plasticidad para representar el comportamiento no-lineal que sufre un sólido cohesivo-friccional por la formación y desarrollo de micro-fisuras. De todos modos debe dejarse claro que el fenómeno físico de la plasticidad en materiales dúctiles es distinto del que se considera en materiales friccionales para representar la deformación no recuperable generada por las microfisuras.

3.3.3.1 Hipótesis sobre el comportamiento del material a representar

La formulación de un modelo constitutivo, orientado a tratar el comportamiento mecánico de una material en particular debe hacerse luego de establecer algunas hipótesis simplificativas en dicho material. Se trata entonces de crear un material ideal, tan cercano al real como sea posible y práctico. A continuación se hace una enumeración de alguna de estas hipótesis simplificativas que han sido consideradas dentro del modelo de daño plástico a modo de premisas.

− Admitir que el material friccional tiene un marcado comportamiento inelástico, que da lugar a deformaciones permanentes que pueden interpretarse como micro fisuras.

− En cada punto se produce un deterioro adireccional que se entenderá como un comportamiento isótropo local.

− El lugar geométrico de los puntos deteriorados, marca una dirección macroscópica que será interpretada como una fisura.

− Los puntos deteriorados se concentran en una zona delgada que se denominará zona dañada, cuya existencia se debe al fenómeno de localización de deformación. Esto da lugar a una anisotropía inducida por el comportamiento no lineal del sólido.

− Durante el proceso inelástico el material puede tener un comportamiento de cambio de volumen que puede identificarse con el fenómeno de dilatancia.

− La resistencia máxima, su evolución y la deformación última dependen de las características del proceso evolutivo de carga, tracción-tracción, tracción-compresión, compresión-compresión. Es decir que la resistencia evoluciona con el proceso mismo.

− Durante todo el proceso de carga cuasi-estática y monótona creciente, incluido el rango de comportamiento en el que las deformaciones son reversibles, se produce una continua y creciente degradación de la rigidez.

Como puede observarse, todos los ítem aquí nominados no son simples, pero si posibles, de conseguir dentro de una formulación mecánica.

3.3.3.2 Algunas características del modelo de daño plástico

Establecer las características mecánicas fundamentales que debe reunir un modelo constitutivo, es otro de los pasos iniciales previo a establecer la formulación. Es por ello necesario decidir sobre la teoría básica sobre la que se fundamentará su formulación y también sobre el grupo de variables internas que precisarán los mecanismos a representar en la formulación.


7

La teoría de la plasticidad proporciona una adecuada estructura físico-matemática, que permite formular el comportamiento de los materiales friccionales sometidos a estados de carga. De la extensión de sus principios básicos y de la reinterpretación de sus variables fundamentales, ha surgido el modelo de daño plástico. Así, a partir de la clásica variable de endurecimiento plástico definida en apartados previos, se ha formulado una nueva variable de daño plástico

pupκ a modo de variable interna. Esta variable está tratada como

una magnitud adimensional, normalizada a la unidad, que varía entre . Para no hay daño plástico y para

10 ≤≤ pκ0=pκ 1=pκ se define el límite de daño total del punto del

sólido. Este estado último puede ser interpretado como una pérdida total de la resistencia en el punto del sólido, y desde un punto de vista físico, como un desmembramiento de la masa del sólido en el punto de análisis (discontinuidad física). A continuación se hace una breve presentación. El criterio de fluencia plástica presentado en apartados anteriores, es ahora tratado en este modelo a través de una expresión matemática que puede ser escrita en la siguiente forma general,

( ) ( ) 0=−= cf σσ,F c (3.3.27)

donde es una función escalar homogénea de primer grado en las componentes del tensor de tensiones, que permite definir la cohesión c , o una tensión uniaxial escalada, como una función de endurecimiento plástico o como una variable interna dependiente de la evolución del proceso mecánico.

( )σf

Los criterios de plasticidad de Mohr-Coulomb y Drucker-Prager, también pueden representarse por una expresión similar a la ecuación (3.3.27), pero no aproximan adecuadamente el comportamiento real de muchos de los materiales friccionales. Numerosos criterios de fluencia plástica han tratado de mejorar esta aproximación para los materiales cohesivos-friccionales. Hay algunas funciones ( )σf no-homogéneas y de grado superior en las componentes del tensor de tensiones, característica que impide definir una función de endurecimiento plástico c con una interpretación física directa.

El modelo constitutivo de daño plástico puede utilizarse cualquier criterio de fluencia, pero para mejorar la aproximación del comportamiento particular del hormigón se pueden definir criterios apropiados a cada caso.

La cohesión c es tratada como una magnitud escalada con la resistencia inicial a compresión uniaxial del hormigón (umbral de discontinuidad tensional), que es el nivel de tensiones para el cual la deformación volumétrica

0Cσ

vε es máxima. Consecuentemente sedefine la cohesión inicial, o cohesión del material virgen, como para , situación que establece la posición inicial del criterio de fluencia, y la cohesión final, o cohesión del material totalmente deteriorado, y para

00Ccc ∝ 0=pκ

0=uc 1=pκ , situación que define la posición final del criterio de fluencia.

A diferencia de la plasticidad clásica con endurecimiento isótropo, la cohesión no es una simple función de la variable de endurecimiento plástico ) ( )pc κ , sino una variable interna que depende de la evolución del proceso elasto-plástico, gobernada por una ecuación de evolución (ecuación diferencial).

El ángulo de rozamiento interno φ también podría definirse como una variable interna a partir de una ley de evolución que dependa del proceso elasto-plástico, pero dada la evidencia del comportamiento físico de este fenómeno en hormigones, sólo se plantea una simple función explícita de la variable de daño plástico ( )pκφ . Con esta hipótesis se obtiene una fricción inicial nula cuando aún la cohesión no permite la 00 =φ 0c


movilización de la fricción, y máxima al final del proceso elasto-plástico ( ) max1 φκφφ === pu . En este último estado, cuando el hormigón se ha descohesionado,

la fricción coincide con la correspondiente a una arena. El ángulo de dilatancia ψ , que al igual que el ángulo de rozamiento interno podría

definirse como una variable interna, también en este caso es suficiente expresarlo como una función de la variable de daño plástico ( )pκψ , dado que con esta hipótesis también se ha obtenido una buena aproximación al comportamiento real del hormigón. Este ángulo vale

( ) 00 ψκψ ==p al iniciar el proceso plástico, y ( )1max == pκψψ al finalizar el proceso. En resumen, para un proceso plástico sin degradación de rigidez, el modelo de daño

plástico utiliza en su definición el siguiente conjunto de variables internas cpp ,,κεq = ,

cuyas definiciones y reglas de evolución serán presentadas a continuación como parte de las ecuaciones fundamentales que gobiernan el modelo,

1. Una descomposición de la deformación en una parte elástica y otra plástica, pPe εσ:Cεεε +=+= −1 (3.3.28)

Donde C es el tensor constitutivo elástico inicial. 2. Un criterio de fluencia plástica y potencial plástico análogo al definido por la

ecuación (3.3.27). ( ) ( ) ( ) ( ) 0;0 =−==−= ctegcf σσGσσ,F c (3.3.29)

tal que y ( )σf ( )σg son dos funciones escalares de argumentos tensoriales, denominadas función de fluencia y potencial plástico, respectivamente.

3. Una regla de flujo plástica no asociada y un grupo de variables internas,

cohesióndeVariableplásticodañodeVariable

plásticanDeformació

c

p

pp

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= κα

ε

q

εq (3.3.30)

todas ellas definidas mediante las siguientes ecuaciones de evolución (ver apartado de plasticidad clásica),

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∂∂

⋅

∂∂

∂∂

⋅=⋅≡⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==p

c

p

p

c

p

p

hh

cdtd

εh

εh

ε

σh

σh

σ

H

ε

qq

::

:

:

κ

κ

κ

κλλκ

G

G

G

(3.3.31)

donde y es un tensor de segundo orden y una función escalar respectivamente y que se definirán más adelante, que dependen del estado actual de la variable libre y del resto de las variables internas q . Como puede verse en la ecuación anterior, la variable interna fundamental es la deformación plástica partir de ella se obtienen las otras. El factor de consistencia plástica

κh cheε

pελ se obtiene tal como se ha mostrado en apartados

anteriores, a partir de la condición de consistencia de la función de fluencia plástica. 4 Una ecuación constitutiva secante y tangente, definida en forma análoga a la

plasticidad clásica,

( )Pεε:Cσ −= (3.3.32)

tal que la notación utilizada puede consultarse en el mencionado en el apartado dedicado a la plasticidad clásica y aquella que tenga una definición particular será presentada a continuación.


9

El modelo constitutivo que resulta de estas definiciones básicas, consigue una muy buena respuesta durante el proceso de fractura. A modo de resumen puede decirse que el modelo reúne las siguientes características,

− Definición de una ley constitutiva que depende de las variables internas de cohesión y daño plástico, permitiendo así representar situaciones de carga complejas no radiales.

− Trata en forma unificada los estados complejos de tensión multiaxial. − Admite que los materiales tiene distintos limites de resistencia máxima y de − deformación última, dependiendo del proceso mecánica que este

desarrollándose. − Admite la posibilidad de considerar distintos criterios de fluencia plástica, no

siendo esta una característica del modelo, sino una variable más del mismo que necesita ser preestablecida.

− Considera un flujo plástico no-asociado, que permite el control del fenómeno de dilatancia.

− Permite obtener toda la información relacionada con el deterioro de un punto a través de un post-proceso de la información mecánica del punto.

4.3.1.1 Variables fundamentales del modelo de daño plástico

Las definiciones establecidas en el apartado anterior son muy generales y necesitan ser precisadas con más detalle. Para ello a continuación se establecen las expresiones que definen la regla de evolución de las variables internas contenidas en aquellas definiciones básicas. B 5.14.1 Definición de la variable de daño plástico.

La plasticidad clásica establece una variable de endurecimiento en función de la deformación plástica efectiva pp εκ = , o también en función del trabajo plástico específico ε:σ=== ppp u εσκ (ver apartados sobre la plasticidad clásica). Estas definiciones son apropiadas para materiales cuya deformación última (estado de deterioro total en el punto), es igual a tracción que a compresión o para cualquier proceso mixto en general. En muchos materiales esto no se cumple y es necesario encontrar una variable de endurecimiento plástico que contemple la posibilidad de tener una deformación última diferenciada para cada proceso en particular. Esto se consigue estableciendo una variable interna que define una disipación normalizada a la unidad, es decir que se trata de la relación que hay entre la densidad de energía disipada en un determinado instante del proceso respecto del máximo que podría disipar el punto del sólido. Así, puede decirse que la variable de daño plástico es una “medida relativa” de la energía disipada durante el proceso plástico. Por simplicidad y orden en la presentación, es conveniente definir esta variable para procesos uniaxiales simples y luego generalizarla a procesos multiaxiales.

4.3.1.1.1 Definición de la variable de daño plástico para estados de tensión uniaxial

De un ensayo experimental uniaxial a tracción y otro a compresión, se obtienen las curvas que describen la evolución de la tensión vs. la deformación en cada instante. A partir de ellas puede deducirse las curvas pεσ − que encierran las energías de fractura y

aplastamiento , por unidad de volumen, respectivamente. (Ver anexo A3).

pfg

pcg

En función de estas curvas se obtiene la energía específica disipada al final de un proceso elasto-plástico cuasi-estático, que en el caso de un proceso de tracción uniaxial resulta,


dtg pT

tT

pf εσ∫

∞

=

=0

(3.3.33)

Donde Tσ es la tensión uniaxial de tracción y deformación plástica uniaxial de tracción. A partir de ésta última expresión, se define la variable de daño plástico para un proceso cuasiestático de tracción uniaxial, como la disipación plástica normalizada, acotada entre cero y la unidad,

pTε

1100

≤⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=≤ ∫

=

dtg

pT

t

tTp

f

p εσκ (3.3.34)

Resultando así una variable normalizada con respecto a la energía específica máxima a tracción, con valores comprendido entre para el inicio y fin del proceso plástico, respectivamente. Con

10 ≤≤ pκpκ como variable puede ahora transformarse las curvas de

respuesta uniaxial de tensión-deformación plástica en otras curvas que dependan de esta variable de daño plástico, en la cual que se cumplen los siguientes extremos,

( ) 00 Tp

T σκσ == y ( ) UltimaT

pT σκσ == 1 en el intervalo [ ]1,0 .

En el problema de compresión uniaxial, al igual que en el problema de tracción, la variable de daño plástico resulta

1100

≤⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=≤ ∫

=

dtg

pC

t

tCp

C

p εσκ (3.3.35)

Sendo la energía disipada en el proceso de compresión. Al igual que en el

proceso de tracción pura, puede ahora definirse la respuesta uniaxial de tensión deformación plástica mediante otra curva que dependa del daño plástico en lugar de la deformación plástica, en la cual que se cumplen los siguientes extremos,

dtg pC

tC

pC εσ∫

∞

=

=0

( ) 00 Cp

C σκσ == y ( ) Ultima

Cp

C σκσ == 1 en el intervalo [ ]. 1,0

Figura 3.3.3 – Transformación de la resistencia uniaxial medida en el laboratorio en la

resistencia uniaxial utilizada en el modelo de daño plástico


11

4.3.1.1.2 Definición de la variable de daño plástico para estados de tensión multiaxial

De modo general, para un proceso de carga genérico, se define la variable de daño plástico para un proceso mecánico multiaxial, como

pp εh :κκ = (3.3.36)

donde es un tensor de segundo orden que, para los casos particulares de tracción y compresión uniaxial da lugar a una variable de daño plástico que cumple con las ecuaciones (3.3.34) y (3.3.35) respectivamente, y para los restantes casos es capaz de desarrollar una magnitud de daño consecuente con el proceso de carga. Para recuperar la variable de endurecimiento plástico de la teoría clásica de la plasticidad, este tensor resulta igual al tensor de tensiones y para materiales isótropos en general puede ser definido como una disipación normalizada a la unidad,

κh

σh =κ

( ) ( )mp

Cpf

pp

gr

gr

Ξ⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −+==

σσεh

1:κκ (3.3.37)

donde es la disipación plástica y pm ε:σ=Ξ ( ) ∑∑

==

=3

1

3

1 IIr II σσσ una función escalar

que define los estado de comportamiento de un punto en función del estado tensional, siendo [ xxx += 5,0 ] la función de McAully. Obsérvese los siguientes casos particulares, ( ) 1=σr para problemas de tracción pura, ( ) 0=σr para compresión pura y

para estado de corte puro. De esta manera, la disipación plástica siempre estará normalizada respecto de la máxima energía correspondiente al proceso que está realizando en cada momento.

( ) 5.0=σr

333...444 TTTeeeooorrríííaaa dddeee MMMeeezzzccclllaaasss111

3.4.1 Introducción La utilización de materiales compuestos en el diseño de estructuras se ha visto

incrementada notablemente en los últimos años. Esta tendencia se debe al hecho de la posibilidad de diseñar el material con ciertas propiedades especiales y con ellos se consiguen cualidades mecánicas superiores a los materiales tradicionales.

Las características mecánicas de los materiales compuestos dependen de sus propiedades intrínsecas estructura macroscópica, tipo de ligadura, estructura cristalina, etc.. También influyen en el comportamiento de estos materiales sus propiedades extrínsecas: características del proceso de fabricación, tamaño de micro-poros y defectos y distribución de los mismos, microfisuras, estados tensionales iniciales, etc. En el único ámbito que se puede actuar para obtener mejoras en las propiedades es modificando sus propiedades extrínsecas. Esto puede realizarse a través de la simulación de los materiales compuestos.

Cada una de las sustancias componentes que integran el compuesto condicionan con su propia ley constitutiva el comportamiento del conjunto en función de la proporción del volumen en que participan y de su distribución morfológica dentro del compuesto.

Existen diversas teorías que permiten simular el comportamiento constitutivo de los materiales compuestos, una de ellas es la Teoría de Mezclas desarrollada por Trusdell and Toupin en 1960 2, que se considera adecuada para la simulación del comportamiento de materiales compuestos en régimen lineal.

Con ciertas modificaciones la Teoría de Mezclas permite representar el comportamiento no lineal del material. En su forma clásica, esta teoría, establece que los materiales componentes, que coexisten en un punto del sólido deben tener la misma deformación (componentes participando en paralelo). Esta hipótesis plantea una fuerte limitación en la utilización de esta teoría para la predicción del comportamiento de los materiales compuestos.

Para solucionar este problema se presenta una Formulación General de la Teoría de Mezclas a partir de una ecuación de compatibilidad que se adapta al comportamiento del compuesto (componentes participando en serie-paralelo).

Esta teoría de mezclas generalizada podría entenderse como un .gestor de los modelos constitutivos de cada componente del compuesto, permitiendo considerar la interacción entre las distintas leyes de comportamiento de las diversas fases de un compuesto. Esta técnica de combinación de comportamientos, o de sustancias en este caso particular, permite que cada una de ellas conserve su ley constitutiva original, isótropa o anisótropa,

1 Oller S. (2003). Simulación Numérica del comportamiento mecánico de los materiales compuestos. Monografía CIMNE, Barcelona. 2 Trusdell, C. and Toupin, R. (1960). The classical Field Theories. Handbuch der Physik III/I. Springer Verlag, Berlin.


lineal o no-lineal, y a la vez condicione el comportamiento global del conjunto o compuesto.

3.4.2 Comportamiento Mecánico de los Materiales Compuestos

Puede clasificarse el comportamiento mecánico de los materiales compuestos en función de cómo están dispuestos los componentes en relación a las cargas.

Existen dos tipos de disposición extremos de las componentes que pueden combinarse entre sí dando lugar a disposiciones intermedias.

El comportamiento en paralelo corresponde a una configuración del material compuesto en la que las fibras están en la misma dirección que las cargas lo cual implica igual deformación de fibra y matriz, y sin movimientos relativos entre si. Materiales que responden a este perfil son aquellos constituidos de matrices con refuerzo de fibras largas alineadas con la acción de la carga.

El comportamiento serie es el inverso del anterior y corresponde con la disposición las fibras perpendicularmente a la dirección de la carga. Esta configuración se intenta evitar en el diseño de los materiales compuestos pero puede darse en alguna proporción en combinación con la configuración en paralelo.

Esta combinación se llama el comportamiento Serie-Paralelo. Se usa para distinta orientación de la carga u otros tipos de materiales compuestos, como son los tejidos cuyas fibras tienen diversas orientaciones entre sí. Este modelo necesita correlaciones con experimentos para ajustar en cada punto el acoplamiento cinemático del material compuesto. En origen, esta teoría tenía en cuenta la orientación de los componentes y asignaba un comportamiento cinemático comprendidos entre un comportamiento extremo en serie y otro extremo en paralelo. Actualmente se ha transformado esta formulación en otra más amplia y versátil que ajusta automáticamente el comportamiento cinemático de cada componente del material compuesto mediante una interpretación de la orientación de las fibras.

Figura 3.4.1- Descripción esquemática del comportamiento serie paralelo de un

compuesto laminado


73

3.4.3 Teoría de mezclas clásica La forma clásica de la teoría de mezclas es sólo adecuada para simular el

comportamiento mecánico de ciertos materiales compuestos, cuyos componentes responden en paralelo (con igual deformación y sin movimientos relativos entre ellos).

La teoría de mezclas clásica de sustancias básicas se basa en la mecánica del sólido continuo local y se considera adecuada para explicar el comportamiento de un punto de un sólido compuesto. Se basa en el principio de interacción de entre las sustancias que componen el material compuesto, suponiendo las siguientes hipótesis básicas:

i. En cada volumen infinitesimal de un compuesto participan un conjunto de sustancias componentes; ii. Cada componente contribuye en el comportamiento del compuesto en la misma proporción que su participación volumétrica; iii. Todos los componentes poseen la misma deformación -ecuación de cierre o compatibilidad -; iv. El volumen ocupado por cada componente es mucho menor que el volumen total del compuesto.

La segunda de las hipótesis implica una distribución homogénea de todas las sustancias en cada punto del compuesto. La interacción entre las diferentes sustancias componentes, cada una con su respectiva ley constitutiva, determina el comportamiento del material compuesto y depende básicamente del porcentaje en volumen ocupado por cada componente y de su distribución en el compuesto. Esto permite combinar materiales con comportamientos diferenciados (elástico, elasto-plástico, etc.), donde cada uno de ellos presenta un comportamiento evolutivo gobernado por su propia ley.

3.4.3.1 Ecuación de cierre o compatibilidad

La tercera hipótesis establece que en ausencia de difusión atómica (los fenómenos de difusión atómica se producen a temperaturas cercanas al punto de fusión) se cumple la siguiente condición de compatibilidad bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones para cada una de las fases del material compuesto:

( ) ( ) ( )nijijijij εεεε ==== …

21 (3.4.1)

donde ijε y ( )nijε representan respectivamente las deformaciones del material

compuesto y de la componente i-ésima de dicho material compuesto.

3.4.3.2 Expresión de la energía libre

La energía libre de un material compuesto está dada por la composición aditiva de las energías libres de cada uno de los materiales componentes, ponderadas en función de su participación volumétrica, esto es:

( ) ( ) ( )( ) ∑∑==

Ψ=Ψ⇒Ψ=Ψn

cc

cc

n

cc

mc

peccc

me

mm

kmkm11

,,,,, αθεεαθε (3.4.2)

Donde: ( ) pc

eklijkl

eijmc C

cΨ+=Ψ εε2

1 es la energía libre por unidad de masa y

volumen, correspondiente a la c-ésima sustancia componente de la mezcla, es el coeficiente de participación volumétrica,

ck( )c

pε es la deformación plástica de cada fase y ( )c

mα son las variables internas que definen el comportamiento físico de un genérico componente c-ésimo.


El factor de ponderación o coeficiente de participación volumétrica permite considerar la contribución de cada fase y se obtiene considerando la participación volumétrica de cada una de los materiales componentes respecto del volumen total:

ck

0dVdVk c

c = (3.4.3)

donde representa el volumen del componente c-ésimo del material y es el volumen total del material compuesto. Los coeficientes de participación volumétrica de los distintos componentes de un material compuesto deben satisfacer la condición

cV 0V

11

=∑=

n

cck (3.4.4)

la cual permite recuperar la energía libre para el caso de materiales monofase y garantiza la conservación de la masa. Siguiendo un procedimiento similar al utilizado para materiales simples, a partir de la desigualdad de Clausius-Duhem y aplicando el método de Coleman -con el que se garantiza una disipación positiva -se obtiene la siguiente expresión para la entropía,

( ) ( )∑∑

==

=∂

Ψ∂−=

∂

Ψ∂−=

n

ccc

n

c

ciije

ccc

ie

ij skmkms11

,,,,θ

αθεθ

αθε (3.4.5)

donde es la entropía de cada una de las fases que componen el material. cs

3.4.3.3 Ecuación constitutiva

La ecuación constitutiva surge también aplicando el método de Coleman a la desigualdad de Clausius-Duhem.

( ) ( ) ( )∑∑==

=∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂=

n

ccijc

n

c ij

cie

ijccc

ij

ie

ijij kmkm

11

,,,,σ

εαθε

εαθε

σ (3.4.6)

La ecuación constitutiva secante para el material compuesto (ecuación (3.4.6)) se escribe:

( ) ( ) ( )∑∑==

===n

cc

eijc

Sijklc

n

ccijc

eij

Sijklij CkkC

11εσεσ (3.4.7)

Teniendo en cuenta la condición de compatibilidad expresada por la igualdad de deformaciones en cada componente se pueden expresar estas deformaciones según:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cklcp

klklce

klcklcp

klce

klklcklθθ εεεεεεεεε −−=⇒++== (3.4.8)

donde ( )ce

klε , ( )cp

klε y ( )cklθε representan las cuotas de deformación elástica, plástica

y de origen térmico. La deformación plástica del material compuesto se obtiene desarrollando ambos miembros de la igualdad expresada en la (3.4.7), considerando la ecuación (3.4.8) y teniendo en cuenta que en el material compuesto las deformaciones elásticas resultan ( ) ( ) ( )cklc

pklklc

ekl

θεεεε −−= , esto es,

( ) ( ) ( ) ( )( )∑=

−−=−−n

ccklc

pklklcijklckl

pklklijkl CkC

1

θσθσ εεεεεε (3.4.9)

Entonces,

( ) ( ) ( ) ( )( ) θθσσ εεεε kl

n

ccklc

pklcijklcijkl

pkl CkC −⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+= ∑

=

−

1

1 (3.4.10)

El tensor constitutivo tangente surge de considerar la variación de la tensión respecto de las deformaciones y está dado por:


75

( ) ( )∑=

=∂∂

Ψ∂=

∂

∂=

n

ccijklc

klij

ie

ij

kl

ijijkl CkmC

1

2 ,, σσ

εεαθε

εσ

(3.4.11)

El tensor conjugado del coeficiente de dilatación térmica resulta de considerar la variación de la energía libre de Helmholtz respecto de las deformaciones y de la temperatura

( ) ( )∑=

=∂∂

Ψ∂−=

n

ccijc

ij

ie

ijij km

1

2 ,,β

θεαθε

β (3.4.12)

La teoría de mezclas clásica, en la cual se parte de la hipótesis de que el campo de deformaciones es el mismo para todos los componentes del compuesto, es rigurosamente válida sólo si se aplica a materiales cuyos componentes trabajan en paralelo. Estos materiales se caracterizan por que su estado tensional resulta ser la sumatoria de las tensiones de cada componente, ponderadas de forma proporcional al volumen que ocupa cada fase respecto del total − ej.: matriz con fibras largas, hormigón armado, etc.−. En el caso de matrices con refuerzo de corta longitud no resulta válida la hipótesis de igualdad entre las deformaciones de todos los componentes. Para solucionar este inconveniente existen dos alternativas: definir otra ecuación de cierre (ecuación (3.4.1)), que permita simular adecuadamente los fenómenos que se producen en el material, o realizar una corrección en las propiedades de cada componente y mantener la hipótesis de igualdad deformaciones en cada uno de los componentes del compuesto.

3.4.4 Teoría de Mezclas Clásica generada en grandes deformaciones

En este apartado se presenta la extensión de la teoría de mezclas clásica al campo de las deformaciones finitas. Esta extensión de la formulación se hace necesaria porque los materiales compuestos se encuentran habitualmente sometidos a solicitaciones que provocan grandes deformaciones. Una muestra de la importancia de esta afirmación, se observa en el fenómeno de alineación de la fase de refuerzo con respecto a la dirección del esfuerzo al que está sometido el material en grandes deformaciones y desplazamientos.

3.4.4.1 Ecuación de cierre o compatibilidad

Las hipótesis que se han enumerado en la Teoría de Mezclas Clásica son las mismas que las que se adoptan para grandes deformaciones3. La tercera hipótesis supone que en ausencia de difusión atómica la deformación es idéntica para todos los componentes del compuesto. Está hipótesis se debe verificar tanto en la configuración referencial como en la configuración espacial para cada fase. En la configuración referencial la condición de compatibilidad de deformaciones está dada por:

( ) ( ) ( )nIJIJIJIJ EEEE ==== …21 (3.4.13)

donde ( IJIJIJ GCE −= 21 )es el tensor de deformaciones de Green-Lagrange donde G

es el tensor métrico material que para un sistema de coordenadas ortogonales se escribe

IJIJIJ IG δ== y es el tensor de deformaciones derecho de Cauchy-Green.. IJT

IJIJ FFC =

3 Todos los conceptos que aquí se utilizan se detallan en el Anexo A1


En la configuración actualizada la condición de compatibilidad de deformaciones se propone como:

( ) ( ) ( )nijijijij eeee ==== …

21 (3.4.14)

donde ( )121 −−= ij

ijIJ bge es el tensor de deformaciones de Almansi, es el tensor de

deformaciones izquierdo de Cauchy-Green y es el tensor métrico espacial dado por

y

ijg

ijijij Ig δ==

J

iiJ X

xF∂∂

= es el gradiente de deformaciones.

Teniendo en cuenta la definición del tensor derecho de Cauchy-Green y la ecuación de compatibilidad en la configuración referencial, se obtiene la ecuación de cierre en función de los gradientes de deformaciones:

( ) ( ) ( )niJiJiJiJ FFFF ==== …21 (3.4.15)

Esta hipótesis vale rigurosamente sólo si se aplica la teoría de mezclas para materiales con comportamiento en paralelo, es decir, que el estado tensional del compuesto resulta de la suma de las tensiones de cada componente proporcional al volumen que ocupan respecto del total, ej.: matriz con fibras largas, hormigón armado, etc. En el caso de matriz con refuerzo de fibras cortas la hipótesis de que las deformaciones de todos los componentes es igual no es válida. Para solucionar este inconveniente existen dos alternativas: definir otra ecuación de cierre o realizar una corrección en las propiedades de cada componente y mantener la ecuación de cierre de la teoría de mezclas clásica.

3.4.4.2 Expresión de la energía libre

Los materiales compuestos que cumplen con la ecuaciones de compatibilidad de deformaciones tanto en la configuración referencial como en la configuración espacial satisfacen la condición básica de la aditividad de la energía libre de sus componentes en las dos configuraciones también.

( ) ( ) (( )

( ) ( ) ( )( )∑

∑

=

=

=

Ψ=Ψ

n

cc

mc

pccc

me

n

cc

mc

pccc

me

eemkem

EEmkEm

1

1

00

,,,,,

,,,,,

αθψαθψ

αθαθ ) (3.4.16)

donde y cΨ cψ son las energías libres correspondientes a cada una de las n sustancias componentes de la mezcla definidas en la configuración referencial y la actualizada respectivamente, es el coeficiente de participación volumétrica, ck ( )c

pE y ( )cpe son las

deformaciones plásticas de cada fase en las configuraciones referencial y actualizada respectivamente y ( )c

mα son las variables internas del componente c-ésimo, que definen el comportamiento físico irreversible de cada sustancia componente.

La teoría de mezcla de sustancias básicas en grandes deformaciones mantiene la hipótesis en la que todas las sustancias intervienen en la respuesta del compuesto en forma proporcional al volumen que ocupan respecto del volumen total. El coeficiente de participación volumétrica se define en la configuración referencial como:

0dVdVk c

c = (3.4.17)

en la que es el volumen del componente y es el volumen total del compuesto en la configuración referencial. Por otro lado, la ecuación de continuidad establece:

cV 0V


77

0

0detdVdvJ == F (3.4.18)

donde es el volumen del compuesto en la configuración actualizada. Teniendo en cuenta la ecuación de cierre en función de los gradientes de deformaciones se deduce:

0v

ccc

c dvJ

dVJdVdv 1det =⇒== cF (3.4.19)

Esta ecuación establece que la relación entre el volumen de un componente en la configuración espacial y el volumen del componente en la configuración referencial está dado por el determinante del gradiente de deformaciones. Teniendo en cuenta la (3.3.19) y (3.4.17) se puede escribir la relación de participación volumétrica en la configuración actualizada,

00

1dvdv

dVdv

Jk cc

c == (3.4.20)

Esta ecuación muestra que el coeficiente de participación volumétrica se mantiene constante en ambas configuraciones. El coeficiente de participación volumétrico de cada componente debe cumplir con la siguiente condición que está relacionada con la ecuación de continuidad (3.4.18) la conservación de la masa:

11

=∑=

n

cck (3.4.21)


Una vez definida la función de energía libre, y a los fines de simular el comportamiento del material compuesto, es necesario definir la ecuación constitutiva del mismo. A continuación se presenta en forma sintética la ecuación constitutiva tanto para la configuración referencial como para la actualizada. Para ello se considera un problema en pequeñas deformaciones elásticas y grandes deformaciones plásticas, en el cual la energía libre será desacoplada en su parte elástica e inelástica, cuya parte elástica es una expresión cuadrática en las deformaciones.

3.4.4.3.1 Configuración referencial La definición de la tensión para el compuesto S se obtiene a partir de la formulación

del modelo hiperelástico garantizando la condición de disipación del segundo Principio de la Termodinámica, esto es:

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )∑∑

∑

==

=

==

=∂

Ψ∂=

∂Ψ∂

=

n

cc

ecc

n

ccc

n

c

cm

cP

ccc

me

kk

mkm

11

1

00 ,,,,

ECS

E

EE,

E

ES

S

αθαθ

(3.4.22)

y el tensor constitutivo del compuesto está dado por:

( ) ( )∑=

=∂⊗∂

Ψ∂=

∂∂

=n

ccc

me

km1

20 ,, SS C

EE

E

E

SC

αθ (3.4.23)

donde ( )cSC representa el tensor constitutivo tangente anisótropo real para el

componente c-ésimo.


3.4.4.3.2 Configuración actualizada Siguiendo un procedimiento deductivo análogo al realizado con la configuración

referencial, la definición de la tensión para el compuesto τ se obtiene a partir de la formulación del modelo hiperelástico garantizando y la condición de disipación establecida por el Segundo Principio de la Termodinámica. Esto es,

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) σecτ

e

ee,

e

eτ

Jkk

mkm

n

cc

ecc

n

ccc

n

c

cm

cP

ccc

me

===

=∂

∂=

∂∂

=

∑∑

∑

==

=

11

1

,,,,

τ

αθψαθψ

(3.4.24)

Siendo y τ σ las tensiones de Kirchoff y Cauchy respectivamente y J el jacobiano, (ver ecuación (3.4.19)) y el tensor constitutivo del compuesto en la configuración actualizada, resulta,

( ) ( )∑=

=∂⊗∂

∂=

∂∂

=n

ccc

me

km1

2 ,, ττ cee

e

e

τc

αθψ (3.4.25)

donde ( )cτc representa el tensor constitutivo tangente anisótropo real para el

componente c-ésimo.

3.4.5 Modificación de la teoría clásica. Modelo Serie-Paralelo

La limitación de la teoría de mezclas clásica ha impulsado a diversas modificaciones de la misma. Un camino posible es una la formulación que establece una generalización de la teoría de mezclas clásica en pequeñas deformaciones para representar el comportamiento del compuesto cuyos componentes participan según una combinación de comportamientos serie-paralelo, situación que implica un ajuste automático de las propiedades del compuesto teniendo en cuenta cada componente y su distribución topológica. Esto permite que en cada punto del sólido cada componente tenga una deformación distinta del contiguo.

Figura 3.4.2- Representación esquemática del comportamiento “serie-paralelo” de un

punto de un sólido compuesto.


79

La hipótesis fundamental de esta generalización de la teoría de mezclas se basa en la definición del campo de deformaciones del conjunto como una suma ponderada de las contribuciones en serie y en paralelo, esto es:

( ) ijser

ijpar

ij εεε ℵ+ℵ−= 1 (3.4.26)

donde y representan las deformaciones en paralelo y en serie respectivamente y es el parámetro de acoplamiento serie-paralelo que relaciona de manera ponderada los dos tipos de deformaciones −comportamientos−. Este parámetro tiene la información de dirección preferente del comportamiento del material en un punto y la relaciona con la dirección de la tensión principal mayor en el punto. Otra forma alternativa para dar valor al parámetro

ijparε ij

serε10 ≤ℵ≤

ℵ es mediante ensayos experimentales que caractericen el comportamiento del material en conjunto, situación que describe en forma implícita el acoplamiento de los comportamientos básicos bajo la hipótesis de un modelo energético cerrado.

Las componentes en paralelo y en serie de la deformación están aproximadas por las siguientes expresiones,

( )∑=

≅n

ccijij

par

n 1

1 εε y ( )∑=

≅n

ccijcij

ser k1

εε (3.4.27)

Como puede observarse en esta ecuación, la deformación en paralelo establece una forma débil de la ecuación de compatibilidad bajo la hipótesis de pequeñas deformaciones, y coinciden plenamente en el caso de componentes distribuidos estrictamente en paralelo. Teniendo en cuenta las ecuaciones (3.4.26) y (3.4.27), se obtiene la deformación de un punto cuyo comportamiento resulta de una composición de comportamientos en serie y en paralelo a la vez,

( ) ( ) ( )∑∑==

ℵ+ℵ−=n

ccijc

n

ccijij k

n 11

11 εεε

( ) ( )[ ]⎩⎨⎧

=ℵ⇒=ℵ=ℵ⇒=ℵ

⇒⋅⋅ℵ+ℵ−=∂

∂

nkSerieParalelo

Inkcc

cijklc

ckl

ij

ˆ1:1ˆ0:

1εε

(3.4.28)

donde ( )cijε es la deformación de cada componente del compuesto, n es el número de

materiales componentes que participan en cada punto del sólido compuesto, y ijε es la deformación total de un punto del compuesto. La ecuación (3.4.28) puede interpretarse como una relajación de los comportamientos básicos serie-paralelo y con influencias recíprocas debido a la utilización de del coeficiente ℵ . Bajo esta hipótesis el acoplamiento supone una redistribución interna ponderada de la energía libre del sistema entre los dos comportamientos básicos.

La energía libre se escribe en la siguiente forma aditiva que es clásica para los materiales compuestos,

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

( )cp

klcklcijklcc

pij

c

pcc

pklcklcijklc

pijcij

cc

n

ccic

eijccci

eij

Cm

Cm

mkm

)()()(1)(

)()()()()(2

1

,,,,1

εεε

εεεε

αθεαθε

σ

σ

−=∂

Ψ∂⇒

Ψ+−−=Ψ

Ψ=Ψ ∑=

(3.4.29)

donde es la energía libre de un material compuesto cuyo comportamiento y Ψ cΨ es la energía libre de uno de los materiales componentes, iα representa el conjunto de variables


internas del material compuesto, θ es la temperatura y es el coeficiente en que participa el componente c-esimo dentro del compuesto.

ck

La entropía del sistema surge de considerar la desigualdad de Clausius-Duhem y está dada por

( ) ( ) ( )( )∑∑

==

=∂

Ψ∂−=

∂

Ψ∂−=

n

ccc

n

c

cicije

ccc

ie

ij skmkms11

,,,,θ

αθεθ

αθε (3.4.30)

La ley constitutiva surge de considerar la desigualdad de Clausius-Duhem y el método de Coleman, conduciendo a la siguiente forma hiperelástica:

( )( )

( ) ( ) ( ) 1

11

ˆ,, −

==

⋅ℵ=∂

∂∂

Ψ∂=

∂

Ψ∂= ∑∑ klijc

n

ccklc

n

c ij

ckl

ckl

ccc

ij

ie

ijij Ikmkm σ

εε

εεαθε

σ

(3.4.31)

La tensión así obtenida es exacta para el material en paralelo, en tanto es sólo aproximada para el material en serie, puesto que ente último caso la expresión de la tensión en el compuesto tiende al promedio de las tensiones de sus componentes. El tensor constitutivo tangente resulta de considerar el cambio de la tensión respecto del cambio de deformaciones y está dado por:

( )( )

( )

( ) ( )[ ]( ) (∑∑

∑

=

−

=

−−

=

ℵ=⋅ℵ⋅ℵ⋅

=∂

∂∂

∂=

∂∂Ψ∂

=∂

∂=

n

ccijklcc

n

crsklcklijccijklc

n

c kl

crs

crs

cijc

klijkl

ijijkl

CkIICk

kmC

1

2

1

11

1

2

ˆˆˆ σσ

σ

εε

εσ

εεεσ

) (3.4.32)

Esta formulación que se ha descrito establece una relación simplificada en función de la dirección principal de tensión con respecto a la orientación de comportamiento dominante del material. Esta limitación ha exigido extender la formulación a nivel tensorial, en la cual se pueda relacionar todas las direcciones del tensor de tensiones actuante en el punto, con las direcciones de comportamiento del material en el mismo punto. Esta nueva formulación da lugar a un tensor de acoplamiento N=ijklN de cuarto orden, que por las simetrías puede escribirse como una matriz cuadrada y en el caso de materiales ortótropos se reduce a una matriz cuadrada diagonal. Considerando esta nueva hipótesis de comportamiento, se establece la siguiente definición del campo de deformaciones del material compuesto

( ) serpar ε:Nε:NIε +−= (3.4.33) donde es la matriz identidad y N es la matriz diagonal de acoplamiento serie-

paralelo, cuyos elementos cumplen la condición I

10 ≤≤ IN , y pueden también obtenerse de ensayos experimentales. Para esta nueva hipótesis, la energía libre no cambia respecto de la definida en la ecuación (3.4.29), es decir

( ) ( ) ( )( )∑=

Ψ=Ψn

ccic

eijccci

eij mkm

1,,,, αθεαθε (3.4.34)

Tal que para cada componente se puede también escribir en la forma clásica,

( ) ( ) pcc

pklcklijklc

pijcij

cc C

mΨ+−−=Ψ )()()()(

21 εεεε σ (3.4.35)

Bajo estas nuevas hipótesis la ecuación constitutiva y el tensor constitutivo tangente resultan:


81

( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) ( )[ ] 11

1

1

1

−−

=

−

=

⋅⋅+−⋅⋅+−=

⋅⋅+−=

∑

∑

NNI::NNI

σ:NNIσ

σσccc

n

cc

cc

n

cc

knCknkC

knk (3.4.36)

Este modelo que se ha presentado tiene la ventaja de ser una formulación general y permite analizar un material equivalente utilizando ℵ o N sin necesidad de distinguir el tipo de comportamiento de cada uno de los constituyentes del material compuesto. No obstante, esto que parece una ventaja, tiene un problema en la obtención de la deformación ( )

cijε para cada componente. Para solucionarlo, hay que establecer una formulación cuyo acoplamiento tenga en cuenta la participación del componente “c” en los restantes,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ℵ+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ℵ−−=+= ∑∑

≠∀≠∀ cmmijm

cmmijijc

pijc

eijcij k

nεεεεεε 11

con: ( ) ( )( ) dtG

cij

ccc

pij σ

λεσ

∂∂

= ∫

(3.4.37)

Como se deduce de la anterior, la solución a este problema sólo resulta por la vía iterativa, partiendo de unas supuestas deformaciones en cada componente y realizando una corrección de las mismas iterativamente hasta alcanzar un estado estacionario en sus magnitudes.

3.4.6 Teoría de Mezclas generalizada

En apartados previos se ha definido la teoría de mezclas clásica y una modificación para ser aplicada a compuestos cuyo comportamiento serie-paralelo invalidaba la hipótesis de compatibilidad de deformaciones. En este apartado se presenta una nueva formulación que está actualmente en desarrollo y que establece una generalización de la teoría de mezclas clásica para hacer posible la resolución de cualquier compuesto de matriz reforzada, sin la limitación exigida por la teoría clásica para tratar la compatibilidad de deformaciones.

Por otro lado, este nuevo planteamiento del problema permite ajustar automáticamente la ecuación de cierre del material compuesto, siendo esta la principal mejora respecto de la formulación presentada de modificación de la teoría clásica.

La teoría de mezclas de sustancias básicas, como ya se ha visto, se basa en la mecánica del sólido continuo local y es adecuada para explicar el comportamiento de un punto de un sólido compuesto cuyos componentes tienen compatibilidad de deformaciones. Se fundamenta en el principio de interacción de sustancias componentes que constituyen el material, suponiendo las siguientes hipótesis:

i. En cada volumen infinitesimal de un compuesto participan un número finito de sustancias componentes; ii. Cada material componente contribuye en el comportamiento del compuesto en la misma proporción que su participación volumétrica; iii. Todos los componentes respetan una ecuación de compatibilidad general que se adapta a la topología del compuesto serie-paralelo. Esta es la hipótesis fundamental que diferencia esta formulación de la clásica teoría de mezclas. iv. El volumen ocupado por cada componente es mucho menor que el volumen total del compuesto.


La hipótesis básica de comportamiento en paralelo implica las siguientes ideas conceptuales (teoría de mezclas clásica), que son resumidas a continuación

[ ] ( ) [ ]( ) [ ] ( ) [ ]

( )⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−≡−=

−−=Ψ

===

=++=

∑

∑

=

=

n

ccc

par

pcc

pcccc

pcc

Spcc

c

ec

n

n

cccnn

k

m

kkk

1

1

111

::

::2

1

σ

σσ

CC

εεCεεCσ

εεCεε

εεε

σσσσ

…

…

(3.4.38)

La forma complementaria de la formulación en paralelo conduce a la hipótesis de comportamiento en serie, que implica las siguientes ideas conceptuales y que se resumen a continuación:

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]

( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

≡≡−=

=Ψ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⇒=

==⇒=+=

=+=+==+=

=====

++=

−

=

−

−

=

−−

=

==

=

=

=

∑

∑∑

∑∑∑

∑

∑

1

1

1

1

1

11

1

11

1

1111

111

1

:::

::2

1

::

n

ccc

ser

pcc

ecc

pcccc

cccc

ec

n

ccc

sern

c

pcc

p

n

c

ec

defe

ccc

n

c

ecc

en

c

pc

ecc

n

c

pc

ecc

pn

enn

pe

n

cccnn

n

k

m

kk

:con:;k:kk

kkk

kkk

σ

σσσ φφ

φφφφ

CC

ε-ε:Cε:CεεCσ

σCσ

σCσCεε

εεIεεεε:

εεεεεε

εεεε

σσσ

σ

σ

…

…

…

(3.4.39)

La tercera hipótesis de esta teoría de mezclas generalizada (ver hipótesis iii), permite establecer la relación entre la deformación en el compuesto y la deformación de cada componente. Esta ecuación de compatibilidad establece el vínculo entre las hipótesis de comportamiento paralelo, (3.4.38), con las hipótesis de comportamiento en serie, (3.4.39). Por esta razón se le denominará hipótesis de compatibilidad serie-paralelo,

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )

( )( ) ( )

cijklcijklckl

cij

cp

klp

klcijklcklcijklcklijklccij

cp

klp

klklcijklcklijklccij

I

I

I

cp

kl

cser

ijcpar

ij

φχχεε

εεφχεφχεχε

εεεφχεχε

ε

εε

⋅+⋅−=∂

∂

−⋅−⋅⋅+⋅−=

+−⋅⋅+⋅−=

1

1

1

ˆ (3.4.40)

Pudiéndose también representar en las siguientes dos formas:

( ) ( ) ( )[ ] ( )cp

klcklcijklcijklccI εχεφχχε ˆ:1 −⋅+⋅−=ij O TAMBIÉN

( ) ( ) ( )[ ] ( )cp

ccccc εεIε 4 ˆ:1 χφχχ −⋅+⋅−=


83

Siendo ( )cp

klε una deformación plástica que se define con fines operativos y sin sentido físico, que resulta de la deformación plástica media del compuesto, distribuida entre sus componentes según sus respectivas relaciones de rigideces ( ) p

klcijkl εφ , y de la deformación

plástica real del componente ( )cp

klε . En la misma expresión se tiene ( )cklε que es la deformación en el componente c-ésimo, que puede descomponerse en una cuota de participación en paralelo ( )

cpar

ijε y otra en serie ( )c

serijε y klε la deformación total que

ocurre en el compuesto. El parámetro de acoplamiento serie paralelo, [ ] 1sin0 ≤=≤ χαχ c ,

que depende del ángulo ( )[ ] 2,0 1 πα σχ ≤=≤ xx f

Loc , que hay el entre la orientación de la

tensión principal ( )σ1x mayor respecto de la orientación de la fibra ( )f

Locx . Éste parámetro vale 0 para un comportamiento en paralelo puro y 1 para un comportamiento en serie puro (ver Figura 3.4.2),.Físicamente este parámetro sitúa la posición del refuerzo respecto de la acción.

Otro tensor que participa en la ecuación de compatibilidad (3.27) es el que establece la deformación del componente c-ésimo cuando todos los componentes que constituyen el compuesto están dispuestos en serie, y resulta a partir de la parte elástica de las ecuaciones (3.3.39), esto es

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )(

( ) ( ) ( ) ( )∑

∑

∑

=

−

−−−−−

=

−−−

=

===++=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛++⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛=

=++=

==++=

n

c

serrsklnijrscijklccnn

eserseresernn

eser

n

c

sercnnn

n

cc

ecn

en

ee

con:;kkk

kk

kkk

kkk

n

1

111

1111111

1

111

111

111

::::::

:::

1

CCI

εCCεCCεCC

σCσCσC

εεεε

σ

σσ

σσ

φφφφ

φφ

…

…

…

…

(3.4.41)

En esta ecuación ( )cijrsCσ es el tensor constitutivo del componente c-ésimo, y

es el tensor constitutivo del compuesto cuando sus n

componentes trabajan en serie puro.

( )1

1

1−

=

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡= ∑

n

ccijrscrskl

ser CkC σ

Obsérvese el cumplimiento de las condiciones extremas en la ecuación (3.4.40). Es decir, para un estado de alineación de la fibra de refuerzo en paralelo 0=cχ (teoría de

mezclas clásica), se obtiene la deformación ( ) ( ) ( ) ijklijklccpar

ijcij I εεχεε =⋅−== 1 para el componente c-ésimo, que resulta igual a todos los otros componentes; mientras que para una configuración en la que hay un ordenamiento de los materiales en serie 1=cχ , se

obtiene la deformación ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ijcp

klp

klklcijklccser

ijcij εεεεφχεε ≠+−⋅⋅== para el componente c-ésimo, que resulta distinta a las de los otros componentes. La energía libre de un material compuesto serie-paralelo resulta de la suma ponderada de las energías libres de cada componente y éstas a su vez se definen bajo el principio de elasticidad desacoplada, en la que la parte elástica se escribe como


( )( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑

∑

==

=

−−=Ψ=Ψ

−−=ΨΨ=Ψ

n

cc

pccc

pc

c

cc

n

cc

ecc

e

cp

klcklcijklcp

ijcijc

ce

n

cc

ecc

e

mmmk

mmk

Cmm

mk

11

1

)()(::)()(2

1

)()()()(2

1;

εεCεε σ

σ εεεε

(3.4.42)

Donde el coeficiente de participación volumétrica de cada componente se define como vvk cc = , siendo el volumen del componente c-ésimo y el volumen total. También,

en la ecuación de energía elástica el tensor representa la parte irrecuperable de la deformación del componente c-ésimo.

cv v

cp

ij )(ε

La ecuación constitutiva para un simple componente “serie-paralelo” resulta,

( )( ) ( )( ) ( )c

ptuctucijtu

e

cp

cp

tuctucrstucp

rscrsccij

ccij

cccij

C

Cm

mm

)()(

)()()()(2

1)()(

)(

εε

εεεεεε

σ

σ

σ

−=Ψ

Ψ+−−∂

∂=

∂Ψ∂

=(3.4.43)

La definición de la ecuación constitutiva para el compuesto se obtiene a partir del potencial definido en la ecuación (3.4.42), garantizando la condición de disipación del segundo principio de la termodinámica21. Así, teniendo en cuenta la ecuación anterior para un solo componente y la derivada de la deformación de un componente respecto de la total (3.4.40), resulta la ecuación constitutiva del compuesto

( ) ( ) ( )[ ][ ]

( ) ( )[ ] ( ) [ ] cccT

ccc

n

cc

c

c

ccn

cc

crsp

crscklijcklijccklrs

n

cc

ij

ckl

ckl

ccn

cc

ijij

km

mm

kmm

ICkm

mm

kmm

)()(::1

)()(

)()(1

)()(

1

1

1

1

p4 εεCI

ε

ε

εεσ

−⋅+⋅−=

=∂

∂∂

Ψ∂=

∂Ψ∂

=

−⋅+⋅−=

=∂

∂∂

Ψ∂=

∂Ψ∂

=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

σ

σ

φχχ

εεφχχ

εε

εεσ

(3.4.44)

Donde es el tensor identidad en cuarto orden. El tensor constitutivo del material compuesto resulta,

4I

( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ∑

∑

=

=

⋅+⋅−⋅+⋅−=

=∂∂

=∂Ψ∂

∂∂

=∂⊗∂

Ψ∂=

⋅+⋅−⋅⋅+⋅−=

=∂

∂=

∂Ψ∂

∂∂

=∂∂Ψ∂

=

n

ccccccccc

n

ccrstucrstuccklijcklijccijklc

ijtuijtuijtu

ijkl

k

mmm

IICk

mmmC

144

21

2

1::1

11

φχχφχχ

φχχφχχ

σεεεεε

σ

σ

σ

σ

ICI

σεεεεε

C

(3.4.45)

Las definiciones previas para la tensión y el tensor constitutivo muestran que la definición cinemática realizada mediante la ecuación (3.4.40) conduce implícitamente a un cambio en las propiedades del material, o dicho de otra manera, la definición cinemática puede reflejarse como una modificación en el tensor constitutivo (ver ecuación (3.4.35)).


85

3.4.7 Teoría de Mezclas Generalizada formulada en grandes deformaciones

En este apartado se hace una extensión conceptual de las definiciones hechas para la teoría de mezclas clásica en grandes deformaciones. Para ello se plantea la formulación a partir de la hipótesis de no-cumplimiento de la ecuación de compatibilidad y sus consecuencias. Por otro lado, este cambio en la hipótesis fundamental de la teoría de mezclas implica la siguiente definición de las funciones de energía libre en la configuración material y actualizada,

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )∑

∑

=

=

=

Ψ=Ψ

n

cc

mc

pccc

me

n

cc

mc

pccc

me

kmm

kmm

1

1

00

,,,,,

,,,,,

αθψαθψ

αθαθ

eee

EEE

(3.4.46)

donde y cΨ cψ son las energías libres correspondientes a cada una de las n sustancias componentes de la mezcla definidas en la configuración referencial y la actualizada

respectivamente, 00

1dvdv

dVdv

Jk cc

c == es el coeficiente de participación volumétrica en

función de , J ( ) ( ) ( )[ ] ( )cp

ccccc E-EIE ˆ:1 4 ⋅Φ⋅+⋅−= χχχ y ( ) ( ) ( )[ ] ( )c

pccccc e-eIe ˆ:1 4 ⋅⋅+⋅−= χφχχ son las deformaciones totales en las

configuraciones referencial y actualizada respectivamente ( )cpE y ( )c

pe son las deformaciones plásticas de cada fase en las configuraciones referencial y actualizada respectivamente y ( )c

mα son las variables internas del componente c-ésimo, que definen el

comportamiento físico irreversible de cada sustancia componente. ( )cpE y ( )c

pe son las deformaciones plásticas que se define con fines operativos y sin sentido físico. En la definición de la deformación para cada componente intervienen las variables ya introducidas en el apartado en la teoría de mezclas generalizada, con la única diferencia en la forma de obtención del factor de comportamiento en serie para cada configuración, esto es

Configuración Referencial ( ) ( )( ) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=Φ−

−

rsklser

cijrscijkl

rsklser

cijrsS

cijkl

cc

CC1

1

τφ Configuración Actualizada (3.4.47)


Siguiendo una formulación análoga a la desarrollada para la teoría de mezclas clásica en grandes deformaciones, se presenta a continuación las ecuaciones constitutivas en la configuración referencial y actualizada para la teoría de mezclas generalizadas. Obsérvese que la diferencia fundamental consiste en la definición de la deformación en cada configuración , pues en esta nueva formulación no es única para todos los componentes

( )cE

( ) ( )nEEE ≠≠≠ …1 , y de aquí resulta la siguiente expresión para la tensión en la configuración referencial,


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ∑

∑

∑

=

=

=

Φ⋅+⋅−Φ⋅+⋅−=

=∂

∂=

=∂

∂∂Ψ∂

=∂

Ψ∂=

n

cc

ecccc

STcccc

n

c

ccc

n

c

cccc

me

k

k

mkm

144

1

1

00

:1::1

:

:,,

EICI

E

ES

E

E

EE

ES

χχχχ

αθ

(3.4.48)

y en la configuración actualizada adquiere la siguiente forma, ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) σeIcI

e

e

e

e

ee

e

Jk

k

mkm

n

cc

ecccc

Tcccc

n

c

ccc

n

c

cccc

me

=⋅+⋅−⋅+⋅−=

=∂

∂=

=∂

∂∂

∂=

∂∂

=

∑

∑

∑

=

=

=

144

1

1

:1::1

:

:,,

φχχφχχ

τ

ψαθψτ

τ

(3.4.49)

Siguiendo con la deducción, resulta el tensor constitutivo del compuesto en la configuración referencial,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ∑=

Φ⋅+⋅−Φ⋅+⋅−=∂⊗∂

Ψ∂=

∂∂

=n

ccccc

STcccc

me

km1

44

20 1::1,, χχχχαθ

ICIEE

E

E

SCS

(3.4.50)

Este mismo tensor transportado a la configuración actualizada resulta,

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ∑=

⋅+⋅−⋅+⋅−=∂⊗∂

∂=

∂∂

=n

ccccc

Tcccc

me

km1

44

2

1::1,, φχχφχχαθψ τ IcIee

e

e

τcτ

(3.4.51)

La resolución algorítmica de este problema comienza en la configuración referencial y luego a través de las operaciones de transporte tensorial, desde la configuración referencial a la actualizada (.push-forward.), se aborda la solución de la ecuación constitutiva para cada uno de las fases del material compuesto. Cada una de estas fases puede presentar distintos tipos de comportamiento. Al igual que en la teoría de mezclas clásica, una vez determinado el estado tensional de cada uno de los componentes es necesario obtener la tensión del material compuesto a partir de ecuación (3.4.48) o (3.4.49), y a partir de ella obtener las fuerzas internas que se desarrollan en cada punto del material. Una vez determinadas las fuerzas internas es necesario verificar el equilibrio de estas con las fuerzas externas aplicadas.

Documents

modelos constitutivos