Modelos de seleccin de carterasde valores burstiles, con aplicacionesa las bolsas espaolas O
CARLOS ROMEROProfesor Adjunto de Economa de la Em-presa de la E.T. S. de Ingenieros Agr-nomos de la Universidad Politcnica de
Madrid
1. INTRODUCCIN
Los rendimientos de los valores burstiles son variables aleato-rias. Estas variables aleatorias se pueden caracterizar por su espe-ranza y por su varianza. Un inversor que acte con racionalidad,preferir aquellos valores que tengan una esperanza de rendimientoms alta y una varianza ms baja. La varianza de los rendimientosde un valor burstil es una especie de ndice que mide el riesgo deese valor. Cuanto ms grande sea la varianza, los rendimientos delvalor estarn ms dispersos, por lo que el riesgo ser ms grande.
Una cartera de valores burstiles puede representarse por mediode un vector fila de n elementos [X,, ... X,, ... X,,]. El elementogenrico X, representa el porcentaje de participacin del j-simo va-
ri
lor en la cartera. Por supuesto, se deber verificar que 7^ X = 1.
Si alguno de los elementos del vector anterior es cero, el correspon-diente valor burstil no entrar a formar parte de la cartera.
En 1952, Harry Markowitz (10) estableci la base de los moder-nos mtodos de seleccin de carteras de valores burstiles. Marko-witz define una cartera de valores eficiente como aquella que es devarianza mnima para una esperanza de rendimiento dada, o de espe-ranza mxima para una varianza del rendimiento dada. El problema
(*) En este artculo se recogen las explicaciones del autor en el II Cursode Financiacin de Empresas de la Universidad Politcnica de Madrid, diri-gido por el profesor Enrique Ballestero.
65
CARLOS ROMERO
de la seleccin de carteras de valores consiste en generar el con-junto de las posibles carteras eficientes.
Los objetivos que se persiguen en el presente artculo son:
1. Establecer una revisin de los principales modelos de selec-cin de carteras de valores burstiles. En el 3 se desarrolla el mo-delo de Markowitz, en el 4 el modelo de Farrar y en el 5 se co-mentan algunos modelos aproximados. Asimismo, en el 5 se enfocala seleccin de una cartera de valores burstiles comodn problemade teora en juegos.
2. Aplicar a un caso concreto alguno de los modelos anteriores.En el 6 se selecciona una cartera entre cuatro valores burstiles.Los valores burstiles elegidos son: Banco de Santander, Banco dVizcaya, Telefnica e Ibeduero, todos ellos cotizados en la Bolsade Madrid.
2. NOTACIN Y CALCULO DEL RENDIMIENTO DE UN VALOR
A lo largo de este trabajo se utilizar la siguiente notacin:
C'jt = Cotizacin del j-simo valor al principio (i) del pe-rodo t.
C'jt = Cotizacin del j-simo valor al final (f) del perodo t.Djt = Dividendo producido por el j-simo valor en el pe-
rodo t. *Vj = Valor nominal del j-simo valor.Pn = Porcentaje de ampliacin de capital a la par del j-simo
valor en el perodo t.Qit = Porcentaje de ampliacin de capital con cargo a reser-
vas del j-simo valor en el perodo t.Si = Porcentaje de ampliacin de capital con prima del
j-simo valor en el perodo t.TCJI = Prima de emisin correspondiente a la ampliacin de
capital del j-simo valor en el perodo t.Rjt = Rendimiento del j-simo valor en el perodo t.
E (Rj) = Esperanza de los rendimientos del j-simo valor.6jj = Varanza de los rendimientos del j-simo valor.
66
MODELOS DE SELECCIN DE CARTERAS DE VALORES BURSTILES...
6j = Covarianza entre los rendimientos del j-simo y delj-simo valor.
Xj = Porcentaje de participacin del j-simo valor en el totalde la cartera.
Ex = Esperanza del rendimiento de la cartera.VT = Varianza del rendimiento de la cartera.
El rendimiento del j-simo valor en el perodo puede calcularsepor medio de la siguiente frmula:
(C'j, C'jt) + Dit + (C'j, Vj) Pit + C'it Qjt +RC'j,
(C'it V, ,.) SJt[1]
El primer sumando del numerador de [1] representa el rendi-miento del j-simo valor en el perodo t debido a las plusvalas expe-rimentadas por dicho valor. El segundo sumando representa el ren-dimiento debido a los dividendos recibidos por dicho valor. Los tresltimos sumandos representan los rendimientos debidos a las am-pliaciones de capital (a la par, con cargo a reservas y con prima).
3. MODELO DE MARKOWITZ
Supongamos que un analista de valores nos hace una prediccinsobre el futuro de los rendimientos de los n valores que en principioconsideramos aconsejable formen parte de nuestra cartera. Estaprediccin se concreta en: las esperanzas y las varianzas de losrendimientos de los n valores, as como las covarianzas correspon-dientes a dichos valores.
El analista puede obtener estos datos a partir de series hist-. ,ricas, o bien estimarlos subjetivamente. El mtodo de las series his-
tricas es bueno siempre que la serie sea suficientemente amplia y'no se espere que en el futuro se produzcan cambios bruscos en elmercado de capitales. Ahora bien, si se esperan fuertes cambios enel mercado de capitales, las predicciones subjetivas del analista pue-
67
CARLOS ROMERO
den ser preferibles a las predicciones obtenidas a partir de serieshistricas. En todo caso, la prediccin definitiva puede obtenersecombinando la informacin objetiva procedente de las series hist-ricas con la informacin subjetiva del analista.
Conocidas las esperanzas, varianzas y covarianzas de los rendi-mientos de los diferentes valores, se reduce a un sencillo problemaestadstico calcular la esperanza y la varianza del total de la cartera.Segn se sabe:
-2 E(R,)X, [2]
V T = 7. / . 6U X, X, [3]
Una posible forma de generar carteras eficientes en el sentidode Markowitz es hallar las carteras de varianzas mnimas para dife-rentes valores del rendimiento medio. Es decir, hacer mnima laexpresin [3] para un valor dado de la expresin [2]. El problema,en trminos de programacin matemtica, puede pintearse de lasiguiente forma:
Funcin objetivo
Min VT = 2 , 2 6|J Xj
=i
Restriccionesn
E(Rj)Xj = E* [5]
i
2i
2 X, = 1 [6]X, ^ 0 ; j = 1, 2 ... n [7]
68
MODELOS DE SELECCIN DE CARTERAS DE VALORES BURSTILES... .
La restriccin [6] significa que toda la cartera debe invertirse.La restriccin [7] significa que la participacin de cualquier valoren la cartera no puede ser negativa.
Como la funcin objetivo [4] es de tipo cuadrtico y el conjuntode restricciones [5] a [7] es lineal, el problema de generar carteraseficientes se transforma en un problema de programacin cuadr-tica paramtrica. Para cada valor que demos al parmetro E* obten-dremos una cartera, que es eficiente por ser la de varianza mspequea para el valor de E* dado. Por tanto, para generar el con-junto de todas las carteras eficientes bastar con que el parme-tro E* tome todos los valores correspondientes a su campo de va-riacin, resolviendo las correspondientes programaciones cuadr-ticas.
La operatividad de este procedimiento es escasa, dado que laaplicacin de los algoritmos de la programacin cuadrtica cons-tituye siempre una tarea muy laboriosa. El lector interesado en losalgoritmos de la programacin cuadrtica puede consultar los tra-bajos (2, 10, 14), especialmente el (14).
Por lo general, el mtodo de resolucin seguido es el de los mxi-mos y mnimos condicionados de Lagrange. La funcin de Lagrangepara el problema anteriormente planteado, sin tener en cuenta lasrestricciones de no negatividad, es:
Min 0 = J^ 6,j X, Xj=i
i) X, E*] + ji2 [ 2 X j - l ] [8]
69
CARLOS ROMERO
Derivando la expresin [8] con relacin a X (j = 1, 2 ... n), ay a m. obtenemos el siguiente sistema de n + 2 ecuaciones:
8 0
7x7S 0
TxT
= 2 6 n X , + 261 2 X 2 + . . . 261D X + E ( R , ) ji, + fe = 0
= 262 1 X , + 262 2 X 2 + . . . 262D X n + E ( R 2 ) | i , + m = 0
S 0
TxT = 26n, X, + 26O2 X, + . . . 26U11 Xu + E (R-) ji, + |i2 = 0
E(R,) X, + E(R2) X2 + . . . E(Rc) Xu = E*
X, + X2 X. = 1 [9]
El anterior sistema de ecuaciones puede expresarse, matricial-mente, de la siguiente forma:
0,2
O 2 2
E(R.) E(R,) . .
1 1 . .
o,. 1/2 E(R.) 1/2
o2U 1/2 E(R.) 1/2
onn 1/2 E(R.) 1/2
E(RD) 0 0
1 0 0
X,
x=
X.
M-i
=
0
0
0
E*
1
[10]
su vez, el sistema de ecuaciones en forma matricial [10] puedeescribirse, abreviadamente, de la siguiente forma:
A X = B [11]
donde A es la matriz de los coeficientes; X, el vector columna delas incgnitas, y B, el vector columna de los trminos independientes.
70
MODELOS DE SELECCIN DE CARTERAS DE VALORES BURSTILES...
Premultiplicando [11] por la matriz A"1 se obtiene:
X = A 'B [12]
La ecuacin [12] nos permite generar el conjunto de carteraseficientes. Para cada valor de E*, penltimo elemento del vector B,obtendremos un vector X, cuyos n primeros elementos nos dan lacomposicin de una cartera eficiente.
Este algoritmo presenta el inconveniente de que, para ciertosvalores del parmetro E*, algunos elementos del vector de solu-ciones X son nmeros negativos. Es decir, no se cumple la restric-cin [7], por lo que los porcentajes de participacin de algunos va-lores en la cartera pueden ser nmeros negativos. A continuacinexplicaremos una posible forma de adaptar el algoritmo para con-seguir que el vector X est formado siempre por nmeros positivos.
El procedimiento consiste, en esencia, en ir dando valores cre-cientes al parmetro E* hasta que para un cierto E* = Eu* el por-centaje de participacin de un valor en la cartera se haga nulo.Supongamos que se trata del s-simo valor. Entonces eliminaremosla fila y la columna s en la matriz A, y el elemento s en los vectoresX y B. Sean A, X y
