Modelos de Valoración de Opciones Parte 2 Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández Jorge Otero Rodríguez

Modelos de Valoración de OpcionesModelos de Valoración de Opciones

Parte 2Parte 2

Prof. Dr. Prosper Lamothe FernándezProf. Dr. Prosper Lamothe Fernández

Jorge Otero RodríguezJorge Otero Rodríguez

Modelos de Valoración de Opciones 2

Opciones reales - OOpciones reales - Opción de pción de retrasarretrasar de un proyecto de inversión de un proyecto de inversión

Objetivo: valoración de la opción de retrasar un proyecto de inversión.

Black_Scholes_opciones_reales.xls.

Ubicación:

Hoja proyecto - retrasar.

Variables a suministrar.

VA de los flujos de caja incrementales por invertir en el proyecto hoy (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

Inversión inicial requerida para acometer el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))

Fecha de valoración

Fecha de vencimiento de la exclusividad

Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)

Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)

Análisis:

Perfil de resultados.

Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).

Límites de valoración

Black Scholes

OpcionesOpciones realesreales

Opciones sobre tipos de interés

Árboles binomiales

Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticas

Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Opción de abandonar un proyecto de inversión

VA de los flujos de caja en caso de continuar el proyecto (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

285.00

Fondos recibidos en caso de abandonar el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))

290.00

Fecha de valoración 28/05/2004

Fecha de vencimiento de la opción de abandono 28/05/2014

Fecha de vencimiento del proyecto 28/05/2024Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)

30.00%

Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)

5.000%

Tiempo al vto. exclusividad (años) 10.000Tiempo al vto. Contrato (años) 20.000Ingresos marginales por cada año de espera para ejercer la opción de abandono (equiv. Tasa de dividendos (continua))

5.000%

Factor de descuento 0.602Días al vto. 3653

Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%

Cálculosln(S/K) -0.0174

(r - q + vol2/2) T 0.4379

vol T (.5) 0.9487

d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 0.4433

d2 = d1 - vol t (.5) -0.5054

N(d1) 0.6712

N(d2) 0.3066

N(-d1) 0.3288

N(-d2) 0.6934KB(0,T) VA(K) 175.8939

Se -qT N(d1) 116.0262KB(0,T) N(d2) 53.9343Prima del Call (Black-Scholes) 62.0919

Se -qT N(-d1) 56.8351KB(0,T) N(-d2) 121.9596Prima del Put (Black-Scholes) 65.1246

Valor de la opción de abandonar (equiv. Prima del Put)

65.1294

Valor de la opción de abandono - Valor intrínseco

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

0 81 163 244 326 407 489 570 652 733 815

VA CF

Val

or d

e la

opc

ión

de a

band

ono

- V

alor

in

trín

seco

Valor Intrínseco Put Valor Put

Ratio de cobertura (Delta) : D= Bf (0,T) N(d1)

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1

Call Delta Bf(0,T)N(d1) Put Delta Bf(0,T)N(d1)


Opciones reales - OOpciones reales - Opción de pción de expandirexpandir un proyecto de inversión un proyecto de inversiónObjetivo: valoración de la opción de expandir un proyecto de inversión.

Black_Scholes_opciones_reales.xls.Ubicación:

Hoja proyecto - expandir.Variables a suministrar.

Estimación del VA de los flujos de caja incrementales de la expansión (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))Inversión inicial requerida para la opción de expansión (Equiv. Precio de ejercicio (K))Fecha de valoraciónFecha de vencimiento del proyectoCostes marginales por esperar un año adicional para ejercer la opción de expansión (equiv. Tasa de dividendos (continua))Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)

Análisis:Perfil de resultados.Sensibilidad de la opción ante variaciones del activo subyacente (delta).


Black Scholes



Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Opción de expansión de un proyecto de inversión

Estimación del VA de los flujos de caja incrementales de la expansión (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

1,000.00

Inversión inicial requerida para la opción de expansión (Equiv. Precio de ejercicio (K))

1,150.00

Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento del proyecto 28/05/2016Costes marginales por esperar un año adicional para ejercer la opción de expansión (equiv. Tasa de dividendos (continua))

3.000%


25.00%


5.000%

Tiempo al vto. (años) 12.000Factor de descuento 0.544Días al vto. 4383Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%


(r - q + vol2/2) T 0.6005

vol T (.5) 0.8660


d2 = d1 - vol t (.5) -0.3340

N(d1) 0.7026

N(d2) 0.3692

N(-d1) 0.2974

N(-d2) 0.6308KB(0,T) VA(K) 631.1334



Valor de la opción de expansión (equiv. Prima del Call)

257.2404

Valor de la opción de expasión - Valor intrínseco

0.00

200.00

400.00

600.00

800.00

1,000.00

1,200.00

1,400.00

1,600.00

1,800.00

0 270 539 809 1,079 1,349 1,618 1,888 2,158 2,428 2,697

VA CF expansión

Val

or d

e la

opc

ión

de e

xpas

ión

- V

alor

in

trín

seco

Valor Intrínseco Call Valor Call


-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 404.61 809.22 1,213.83 1,618.45 2,023.06 2,427.67

VA CF expansión

Del

ta (

N(d

1)



Opciones reales - Opción de abandono de un proyecto de inversiónOpciones reales - Opción de abandono de un proyecto de inversión

Objetivo: valoración de la opción de abandonar un proyecto de inversión.

Programa:

Black_Scholes_opciones_reales.xls.Ubicación:

Hoja proyecto - abandonar.Variables a suministrar.

VA de los flujos de caja en caso de continuar el proyecto (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

Fondos recibidos en caso de abandonar el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))

Fecha de valoración

Fecha de vencimiento de la opción de abandono

Fecha de vencimiento del proyecto




Black Scholes



Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Opción de retrasar un proyecto de inversión

VA de los flujos de caja incrementales por invertir en el proyecto hoy (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

50.00

Inversión inicial requerida para acometer el proyecto (Equiv. Precio de ejercicio (K))

55.00

Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vencimiento de la exclusividad 28/05/2024Desviación típica del presupuesto de capital requerido (simulación) ó desviación típica media del valor de las empresas de la industria (equiv. Volatilidad subyacente)

25.00%


5.000%

Tiempo al vto. (años) 20.000Costes marginales por cada año de espera para ejercer la opción de abandono (equiv. Tasa de dividendos (continua))

5.000%

Factor de descuento 0.363Días al vto. 7305Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%


(r - q + vol2/2) T 0.6008

vol T (.5) 1.1180


d2 = d1 - vol t (.5) -0.6659

N(d1) 0.6744

N(d2) 0.2527

N(-d1) 0.3256

N(-d2) 0.7473KB(0,T) VA(K) 20.2334



Valor de la opción de retrasar (equiv. Prima del Call)

7.2931

Valor de la opción de retrasar - Valor intrínseco

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

0 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160

VA CF proyecto

Va

lor

de la

op

ción

de

retr

asar

-

Va

lor

intr

ínse

co



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 15.96 31.91 47.87 63.83 79.78 95.74 111.70 127.65 143.61 159.57



Opciones reales - Opciones reales - Opción deOpción de flexibilidad flexibilidad financiera de una empresa (I)financiera de una empresa (I)

Objetivo: valoración de la flexibilidad financiera de una empresa.

Programa:


Ubicación:

Hoja Flexib finan.


Necesidades anuales de reinversión (CAPEX + Cambios en el Fondo de Maniobra) como % del valor de

mdo. de la empresa (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas

sin "flexibilidad financiera", i.e, en caso de no emplear fuentes de financiación ajena, serían los fondos

disponibles en la empresa tras repagar la deuda como % sobre el valor de mercado de la empresa (Equiv.

Precio de ejercicio del límite inferior (K))

Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas

como máximo sí se dispone de "flexibilidad financiera" (Equiv. Precio de ejercicio del límite superior(K))

Fecha de valoración, Fecha de vto

Desviación típica de las necesidades de reinversión sobre el valor de la empresa (equiv. Volatilidad

subyacente)

WACC , RoC, Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)


Black Scholes



Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Opciones reales - Opciones reales - Opción deOpción de flexibilidad flexibilidad financiera de una empresa (II)financiera de una empresa (II)

Análisis:

Perfil de resultados.

Sensibilidad de la opción ante

variaciones del activo subyacente

(delta).


Black Scholes



Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Valoración de la flexibilidad financiera (deuda ociosa)

Necesidades anuales de reinversión (CAPEX + Cambios en el Fondo de Maniobra) como % del valor de mdo. de la empresa (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

10.00%

Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas sin "flexibilidad financiera", i.e, en caso de no emplear fuentes de financiación ajena, serían los fondos disponibles en la empresa tras repagar la deuda como % sobre el valor de mercado de la empresa (Equiv. Precio de ejercicio del límite inferior (K))

5.00%

Necesidades anuales de reinversión como % del valor de mdo. de la empresa que pueden ser financiadas como máximo sí se dispone de "flexibilidad financiera" (Equiv. Precio de ejercicio del límite superior(K))

20.00%

Fecha de valoración 28/05/2004Fecha de vto 28/05/2008Desviación típica de las necesidades de reinversión sobre el valor de la empresa (equiv. Volatilidad subyacente)

30.00%

WACC 12.00%RoC 17.00%Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción) 3.500%Tiempo al vto. 4.000Apalancamiento financiero 5.000% 5%Factor de descuento 0.868 87%Días al vto. 1461 146100%Tasa compuesta continua libre de riesgo 3.44% 3%

Límite inferior Límite sup.

Valor de la flexibilidad financiera como % sobre el valor de la empresa

Cálculosln(S/K) 0.6931 -0.6931

(r + vol2/2) T 0.3176 0.0199

vol T (.5) 0.6000 0.6000

d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) 1.6846 -1.1222

d2 = d1 - vol t (.5) 1.0846 -1.7222

N(d1) 0.9540 0.1309

N(d2) 0.8609 0.0425

N(-d1) 0.0460 0.8691

N(-d2) 0.1391 0.9575KB(0,T) VA(K) 0.0435 0.1739

S N(d1) 0.0954 0.0131KB(0,T) N(d2) 0.0374 0.0074Prima del Call (Black-Scholes) 5.7973% 0.5697%

Se -qT N(-d1) 0.0046 0.0869KB(0,T) N(-d2) 0.0060 0.1665Prima del Put (Black-Scholes) 0.14% 7.96%

Ha de compararse con el coste de mantenerla

Valor de las opciones Call 5.7973% 0.7423%

2.1063%

Valor de opción de flexibilidad financiera - Valor intrínseco

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.0% 2.2% 4.4% 6.5% 8.7% 10.9% 13.1% 15.2% 17.4% 19.6% 21.8%

Necesidades anuales de reinversión (% s/ V.Mdo. Emp.)

Va

lor

de

opci

ón

de fl

exib

ilid

ad fi

nanc

iera

- V

alo

r in

trín

seco

Valor Call Sup Valor Intrínseco Call Sup.Valor Call Inf Valor Intrínseco Call InfValor Total


-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1

TC Spot

De

lta (

N(d

1)

Call Delta Bf(0,T)N(d1) Sup Put Delta Bf(0,T)N(d1) Sup

Call Delta Bf(0,T)N(d1) Inf Put Delta Bf(0,T)N(d1) Inf


Opciones reales - Opciones reales - Valoración de los Recursos PropiosValoración de los Recursos Propios

Objetivo: valoración de los recursos propios de una compañía como una opción.

Programa:


Ubicación:

Hoja RR.Pp.


Valor de los activos (VA flujos de caja generados por éstos descontado al WACC). (equivalente al Precio del activo subyacente en t=o (S)).

Nominal e intereses comprometidos de la deuda viva (equivalente al Precio de ejercicio (K)).

Tasa de dividendos durante la vida de la opción (anualizada).

Duración media de la deuda.

Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vencimiento similar a la opción).

Volatilidad. En empresas cotizadas: se utilizará la volatilidad media de las acciones y bonos emitidos por la empresa. En empresas no cotizadas: se utiliza la desviación típica de la industria a la que pertenece la empresa.


Black Scholes



Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Valoración de los Recursos Propios

Valor de mercado de la empresa. (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

1,200.00

Nominal e intereses de la deuda pendiente (Equiv. Precio de ejercicio (K))

1,900.00

Tasa de dividendos durante la vida de la opción (anualizada)

0.000%

Duración media de la deuda 3.940Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)

8.000%

Empresa cotizadaDesv. Tip. rendimiento de las acciones 25.00%Desv. Tip. rendimiento de los bonos 10.00%Correlación entre acciones y bonos 30%Ratio de apalancamiento medio previsto (VM(D))/(VM(D)+VM(RP)) 90%Volatilidad media 10.04%Empresa no cotizadaDesv. Tip. Media en la industria del valor de las empresas 9.00%Volatilidad a emplear 10.04%Factor de descuento 0.726Días al vto. 1439Tasa compuesta continua libre de riesgo 7.70%

Valor de los RR.PP como una opción Call 35.1221Valor de la deuda viva 1164.8779

Tasa de dto apropiada para la deuda 13.2%


(r - q + vol2/2) T 0.3231

vol T (.5) 0.1992

d1 = ( ln(S/K) +(r -q + vol2/2) t ) / vol t (.5) -0.6849

d2 = d1 - vol t (.5) -0.8841

N(d1) 0.2467

N(d2) 0.1883

N(-d1) 0.7533

N(-d2) 0.8117KB(0,T) VA(K) 1386.3216



Existen dos vías para calcular la desviación típica. En empresas cotizadas: se utilizará la volatilidad media de las acciones y bonos emitidos por la empresa. En empresas no cotizadas: se utiliza la desviación típica de la industria a la que pertenece la empresa.

Valor de los Recursos Propios - Valor intrínseco

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

731 825 919 1,013 1,106 1,200 1,294 1,387 1,481 1,575 1,669

VA CF generados por el activo

Val

or R

R.P

P



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

731.39 825.12 918.84 1012.56 1106.28 1200.00 1293.72 1387.44 1481.16 1574.88 1668.61


Enfoque de cálculo de volatilidad

Empresa cotizada Empresa no cotizada


Opciones reales - Opciones reales - Valoración de una patenteValoración de una patente

Objetivo: valoración de una patente como una

opción de compra.

Programa:


Ubicación:

Hoja patente.


VA de los flujos de caja de desarrollar la

patente ahora. (equivalente al Precio del

activo subyacente en t=o (S)).

VA de los costes de desarrollo de la

patente (equivalente al Precio de ejercicio

(K)).

Desviación típica del valor de las

empresas de la industria, o de los

presupuestos de capital de la patente

obtenidos en una simulación.

Duración de la exclusividad de la patente.

Tasa de descuento (rentabilidad de deuda

con vencimiento similar a la opción).

Coste anual de retrasar la inversión (%

sobre el VA de los flujos de caja).


Black Scholes



Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Valoración de una patente

VA de los flujos de caja de desarrollar la patente ahora. (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

250.00

VA de los costes de desarrollo de la patente (Equiv. Precio de ejercicio (K))

225.00

Desviación típica del valor de las empresas de la industria, o de los presupuestos de capital de la patente obtenidos en una simulación

15.00%

Duración de la exclusividad de la patente 25.00Tasa de dto (rentabilidad de deuda con vto similar a la opción)

5.000%

NoCoste anual de retrasar la inversión (% sobre el VA de los flujos de caja) 2.000%Tasa de dividendos durante la vida de la opción (anualizada)

2.000%

Factor de descuento 0.281Días al vto. 9131Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%

Valor de la patente (equiv a opción Call) 91.6499

Cálculosln(S/K) 0.1054

(r - q + vol2/2) T 1.0010

vol T (.5) 0.7500


d2 = d1 - vol t (.5) 0.7252

N(d1) 0.9299

N(d2) 0.7658

N(-d1) 0.0701

N(-d2) 0.2342KB(0,T) VA(K) 64.4636



Asumimos que sí no se desarrolla la patente ahora, una vez que se desarrolle se perderá 1 año de protección disminuyendo los flujos de caja proporcionalmente (1/vida pendiente de la patente)

Valor de una patente - Valor intrínseco

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

0 62 124 185 247 309 371 432 494 556 618

VA CF desarrollo de la patente

Va

lor

Pa

tent

e



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 61.75 123.50 185.25 247.00 308.75 370.50 432.25 494.00 555.75 617.50


¿Aplicar la hipótesis anterior?

Si No


Opciones reales - Opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso naturalExplotación de las reservas de un recurso naturalObjetivo: valoración de la explotación de las reservas de un recurso natural

Programa:

Black_Scholes_opciones_reales.xls

Ubicación:

Hoja recursos naturales

Variables a suministrar

Reservas del recurso natural (unidades físicas)

Precio medio unitario del recurso en el mercado

Coste marginal de extracción del recurso natural

Inversión inicial requerida para que el recurso esté en condiciones de explotación (equivalente al Precio de ejercicio (K))

Años hasta la pérdida de los derechos de explotación o agotamiento de las reservas (equivalente al Tiempo al vencimiento. (Años))

Flujo de caja anual después de impuestos tras la explotación del recurso natural

Desviación típica del precio del recurso natural (equivalente a la volatilidad subyacente)

Tasa de descuento (rentabilidad de deuda con vencimiento similar a la opción)


Black Scholes



Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESAplicación a opciones reales - Explotación de las reservas de un recurso natural

Reservas del recurso natural (unidades físicas) 75,000Precio medio unitario del recurso en el mercado 4.00Coste marginal de extracción del recurso natural 1.50Inversión inicial requerida para que el recurso esté en condiciones de explotación (Equiv. Precio de ejercicio (K))

175,000.00

Años hasta la pérdida de los derechos de explotación o agotamiento de las reservas (equiv. Tiempo al vto. (años))

12.000

Flujo de caja anual después de impuestos tras la explotación del recurso natural

10,000.00

Desviación típica del precio del recurso natural (equiv. Volatilidad subyacente)

30%


5.000%

Margen unitario del recurso natural 2.50Estimación del VA de los flujos de caja procedentes de la explotación del recurso natural (equiv. Precio del activo subyacente en t=o (S))

187,500.00

Flujo de caja anual después de impuestos tras la explotación del recurso natural (% anualizado)(equiv. Tasa de dividendos (continua))

5.333%

Factor de descuento 0.549

Días al vto. 4383

Tasa compuesta continua libre de riesgo 4.88%

Valor de la opción de explotación del recurso natural (equiv. Prima del Call)

40,083.56

Cálculosln(S/K) 0.0690

(r - q + vol2/2) T 0.4855

vol T (.5) 1.0392


d2 = d1 - vol t (.5) -0.5057

N(d1) 0.7032

N(d2) 0.3065

N(-d1) 0.2968

N(-d2) 0.6935KB(0,T) VA(K) 96042.0363

Se -qT N(d1) 69520.6762KB(0,T) N(d2) 29440.5579Prima del Call (Black-Scholes) 40,080.12

Se -qT N(-d1) 29346.6533KB(0,T) N(-d2) 66601.4784Prima del Put (Black-Scholes) 37,254.83

Valoración de la explotación de un recurso natural - Valor intrínseco

0.00

50,000.00

100,000.00

150,000.00

200,000.00

250,000.00

300,000.00

350,000.00

400,000.00

450,000.00

0 56,942

113,883

170,825

227,767

284,709

341,650

398,592

455,534

512,475

569,417

VA CF de la explotación recurso natural

Val

or e

xplo

taci

ón d

e la

s re

serv

as d

e un

re

curs

o na

tura

l



-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

0.00 85,412.58 170,825.16 256,237.74 341,650.32 427,062.90 512,475.48

VA CF de la explotación recurso natural

Del

ta (

N(d

1)



Black – Opciones sobre tipos de interésBlack – Opciones sobre tipos de interésCaplets - FloorletsCaplets - Floorlets

Objetivo: valoración de caplets / floorlets

o de una cartera de ellos (cap/floor).

Programa:

Black_opciones_tipos_interes.xls.

Ubicación:

Hoja Cap & Floor.


Fecha inicio.

Tipo de interés ejercicio.

Volatilidad.

Fecha vencimiento.

Nocional.

Curva cupón cero (sí se opta por

valorar un cap / floor).


Black Scholes

Opciones reales

Opciones sobre Opciones sobre tipos de interéstipos de interés

Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

APLICACIONES DE BLACK SCHOLESOPCIONES SOBRE TIPOS DE INTERÉS

Fecha inicio 01/06/2002Ti ejercicio 4.15%Volatilidad 18.25% 35,614.92Vencimientos (meses) 1 1Nocional 10,700,000

Fecha Días al Venc. Nocional Factor de dtoTipos cupón

ceroTipos Forward Valor floorlets

01-Jun-02 0 1.0000001-Jul-02 30 10,700,000 0.99842 1.95% 2.32% 16,301.6401-Aug-02 61 10,700,000 0.99643 2.16% 3.01% 10,445.6201-Sep-02 92 10,700,000 0.99386 2.48% 3.36% 7,191.3001-Oct-02 122 10,700,000 0.99108 2.72% 4.61% 338.3801-Nov-02 153 10,700,000 0.98716 3.13% 4.78% 266.2901-Dec-02 183 10,700,000 0.98324 3.43% 4.87% 265.1001-Jan-03 214 10,700,000 0.97913 3.66% 4.80% 426.2001-Feb-03 245 10,700,000 0.97510 3.83% 5.52% 69.0501-Mar-03 273 10,700,000 0.97093 4.02% 5.48% 93.6301-Apr-03 304 10,700,000 0.96637 4.19% 5.75% 67.9001-May-03 334 10,700,000 0.96176 4.35% 5.53% 149.7901-Jun-03 365 10,700,000 0.95720 4.47%

En ptos. basicos sobre nocional

Valor del floor en u.m.

33.28

Opción

CapFloor


Black – Valoración Caplets y Floorlets - Funciones VBABlack – Valoración Caplets y Floorlets - Funciones VBA

Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes

funciones:

DescripciónOpciones_Ti

vol_implic_Black_caplet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , Blackcaplet )

vol_implic_Black_floorlet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , Blackfloorlet )

d1_black_caplet(Fx , Rx , t , v )d2_black_caplet(Fx , Rx , t , v )

Nd1_black_caplet(Fx , Rx , t , v )

Nd2_black_caplet(Fx , Rx , t , v )

Función

Black_floorlet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , v )Black_caplet(L , Fx , Rx , t , tfin_periodo , r , periodocubierto_diasACT , v )

Parámetro d1Parámetro d2Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2Prima de un Caplet por el modelo de BlackPrima de un Floorlet por el modelo de BlackVolatilidad implícita negociada en la prima de un Caplet por el modelo de BlackVolatilidad implícita negociada en la prima de un Floorlet por el modelo de Black


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Black – Opciones sobre tipos de interés - SwaptionsBlack – Opciones sobre tipos de interés - Swaptions

Objetivo: valoración de un

receiver/payer swaption.

Programa:

Black_opciones_tipos_inter

es.xls.

Ubicación:

Hoja Swaption.


Fecha inicio.

Tipo de interés ejercicio.

Volatilidad.

Fecha vencimiento.

Nocional.

Curva cupón cero.


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

APLICACIONES DE BLACK SCHOLESCALCULO DE LA PRIMA DE UN RECEIVER SWAPTION

Fecha contrat. 28/05/2004Fecha inicio 28/05/2007Fecha vto. 28/05/2011Vencimientos (meses) 6 6Nominal 11,000,000Ti ejercicio 5.25% 210,574.75Volatilidad 15.25%

FECHAS Días al Venc. Nominal Factor Dto.Tipo cupón

ceroTipo Forward

28-May-04 1.00000 0.00%28-May-07 1095 11,000,000 0.87063 4.73% 5.12%28-Nov-07 0.84899 4.78% 2.17%28-May-08 0.82781 4.83% 2.12%28-Nov-08 0.80777 4.85% 2.07%28-May-09 0.78869 4.86% 2.02%28-Nov-09 0.76971 4.87% 1.97%28-May-10 0.75043 4.90% 1.92%28-Nov-10 0.73063 4.94% 1.87%28-May-11 0.71112 4.99% 72.93%

Valor Opción (u.m.)En ptos. basicos sobre

nocional191.43

Flujo variable

PayerReceiver


Black – Valoración Swaptions - Funciones VBABlack – Valoración Swaptions - Funciones VBA

Alternativamente a la aplicación desarrollada, se pueden utilizar las siguientes

funciones:

DescripciónSwaps

Función

vol_implic_Black_swaption_payer(Nominal , Fx , Rx , t , PrimaSwaption_payer , Suma_FDto )

Nd2_black_swaption(Fx , Rx , t , v )Black_swaption_payer(Nominal , Fx , Rx , t , v , Suma_FDto )

d1_black_swaption(Fx , Rx , t , v )d2_black_swaption(Fx , Rx , t , v )

Nd1_black_swaption(Fx , Rx , t , v )

vol_implic_Black_swaption_receiver(Nominal , Fx , Rx , t , PrimaSwaption_receiver , Suma_FDto )

Black_swaption_receiver(Nominal , Fx , Rx , t , v , Suma_FDto )

Parámetro d1Parámetro d2Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d1Función de probabilidad acumulada para la variable normalizada estándar d2Prima de un swaption payer por el modelo de Prima de un swaption receiver por el modelo de Volatilidad implícita negociada en la prima de un swaption payer por el modelo de BlackVolatilidad implícita negociada en la prima de un swaption receiver por el modelo de Black


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Árboles Binomiales - IntroducciónÁrboles Binomiales - Introducción

Una técnica muy útil y conocida para valorar una opción sobre acciones implica el uso de lo que se conoce como árbol binomial. Éste es un árbol que representa diferentes trayectorias posibles que pueden ser seguidas por el precio de las acciones durante la vida de la opción

El planteamiento seguido fue desarrollado en importante trabajo publicado por Cox, Ross y Rubinstein en 1976

Los modelos contenidos en esta sección de la OLC son de aplicación a:

Tipo de opción: Call - Put

Tipo de opción (ejercicio): Europea - Americana

Tipo de activo subyacente: Sin reparto de dividendos - Con reparto de dividendos

Los programas desarrollados son cuatro, a saber:

Binomial_Europeas.xls – Valoración Opciones Europeas por el método binomial

Binomial_Europeas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Europeas por el método binomial sobre acciones que distribuyen dividendos

Binomial_Americanas.xls – Valoración Opciones Americanas por el método binomial

Binomial_Americanas_Dividendos.xls - Valoración Opciones Americanas por el método binomial sobre acciones que distribuyen dividendos

Las hojas de cálculo permiten:

Obtenerse el árbol completo de valoración de una opción empleando hasta 100 iteraciones

Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor de la opción, obviando el desarrollo del árbol, y pudiendo utilizar un mayor número de iteraciones


Black Scholes

Opciones reales


Árboles Árboles binomialesbinomiales


Notas finales

Introducción


Fundamentos de valoración (I)Fundamentos de valoración (I)E

vo

luc

ión

de

l p

rec

io

Ev

olu

ció

n d

el

pre

cio

de

l a

cti

vo

su

by

ac

en

ted

el

ac

tiv

o s

ub

ya

ce

nte

S0

T: tiempo en años hasta el vencimiento

N: número de perídos

volatilidad anualizada

r*: tipo de interés libre de riesgo (continuo)

r: tipo de interés anual libre (compuesto)

p

1-p

1-p

p


Black Scholes

Opciones reales




Notas finales

Introducción


Fundamentos de valoración (II)Fundamentos de valoración (II)

Así el valor de las opciones CALL y PUT será

Para n períodos

n

0j

jnjjnjn }{ XSdu0;Máximop)(1pj)!(nj!

n!FDCall

n

0j

jnjjnjn }{ Sdu-X0;Máximop)(1pj)!(nj!

n!FDPut


Black Scholes

Opciones reales




Notas finales

Introducción


ÁRBOL BINOMIALValoración de opciones Europeas

u 1.062Activo subyacente So 26.85 2,685.00 d 0.942Precio de ejercicio 27.25 2,725.00 Ti instantáneo 3.78%Tipo de interés 3.85% 385.00 r* 1.0026Meses (30 días) 7 7.00 p 0.5071Días 15 15.00 1-p 0.4929Volatilidad anualizada 22.65% 2,265.00 Volatilidad del período 0.18 B(0,T) K + call: 27.88Nº periodos (max 100) 9 9.00 Tiempo al vto (años) 0.63 Bf(0,T)S(0) + put = 27.88Período de pago del dividendo 2 2.00 Nº de precios finales 10.00 Nº trayectorias del precioImporte bruto dividendo 2.00 200.00Reducción del precio ex divid. 90.00% 90.00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 943.3716.12

40.8613.68

38.49 38.4911.38 11.24

36.26 36.269.22 9.08

34.16 34.16 34.167.21 7.05 6.91

32.18 32.18 32.185.43 5.18 5.00

30.32 30.32 30.32 30.323.95 3.63 3.29 3.07

PutParidad Put-Call

Call 1.26851.0327

Tipo de opción

Call Put

Árboles Binomiales - AplicaciónÁrboles Binomiales - Aplicación

Activo sin dividendos.

Activo subyacente So.

Precio de ejercicio.

Tipo de interés.

Tiempo al vencimiento.

Volatilidad anualizada.

Nº iteraciones (max 100).

Activo con dividendos.



Tipo de interés.



Nº periodos (max 100).

Período de pago del dividendo.

Importe bruto dividendo.

Reducción del precio ex dividendo.

Variables a suministrarVariables a suministrar


Black Scholes

Opciones reales




Notas finales

Introducción


Árboles Binomiales – Funciones VBAÁrboles Binomiales – Funciones VBA

Alternativamente a las cuatro aplicaciones desarrolladas, sí únicamente se desea conocer el precio de

la opción calculada a través del método de árbol binomial, se pueden utilizar las siguientes funciones:

DescripciónBinomial_General

Función

Prima de un Call EuropeoBin_Call_Eur(S , K , t , r , v , n_iteraciones ) Prima de un Call AmericanoPrima de un Put EuropeoPrima de un Put AmericanoPrima de un Call Americano sobre divisas, índices o acciones con distribución de dividendos

Prima de un Put Americano sobre divisas, índices o acciones con distribución de dividendos

Prima de un Call - Simulación de MontecarloPrima de un Put - Simulación de MontecarloProbabilidad distribución BinomialIncremento en el precio del activo subyacente en los movimientos de ascenso en el árbol binomial (parámetro u)

Disminución en el precio del activo subyacente en los movimientos de descenso en el árbol binomial (parámetro d)

Probabilidad de ascenso del precio del activo subyacente en un árbol binomialProbabilidad de descenso del precio del activo subyacente en un árbol binomial

Bin_Put_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones )

Bin_Call_Montecarlo(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Bin_Put_Montecarlo(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Binom(n , m )

Bin_Call_Ame(S , K , t , r , v , n_iteraciones ) Bin_Put_Eur(S , K , t , r , v , n_iteraciones ) Bin_Put_Ame(S , K , t , r , v , n_iteraciones )

Bin_Call_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones )

Bin_up(v , t , n_iteraciones )

Bin_down(v , t , n_iteraciones )

Bin_probabilidad_p(v , r , t , n_iteraciones )

Bin_probabilidad_q(v , r , t , n_iteraciones )

Bin_Probabilidad_p_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(v , r , t , q , n_iteraciones ) Bin_probabilidad_q_Ame_Dividendos_Divisas_Futuros_Indices(v , r , t , q , n_iteraciones )

Probabilidad de ascenso del precio del activo subyacente en un Probabilidad de descenso del precio del activo subyacente en


Black Scholes

Opciones reales




Notas finales

Introducción


Árboles Binomiales – Simulaciones Opciones Europeas y ExóticasÁrboles Binomiales – Simulaciones Opciones Europeas y Exóticas

La técnica de los árboles binomiales es de especial utilidad para determinar el precio de opciones

cuyo valor depende total o parcialmente de cómo se ha llegado al precio final, y no exclusivamente

de la cuantía de éste.

Pueden valorarse las siguientes opciones.

Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo

subyacente a lo largo de la vida de la opción.

Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción

será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put.

Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor

cero.

As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción

sea call o put.

El programa desarrollados se encuentra en el fichero Binomial_Exoticas.xls.

El programa permite:

Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo

subyacente.

Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor

de la opción.


Black Scholes

Opciones reales




Notas finales

Introducción


Árboles Binomiales – Aplicación - Opciones Europeas y ExóticasÁrboles Binomiales – Aplicación - Opciones Europeas y Exóticas



Tipo de interés.



Número de simulaciones.

Número de iteraciones.

S knockout call.

S knockout put.

Variables a suministrarVariables a suministrar

Resulta de especial utilidad comprobar como por ejemplo las opciones asiáticas al utilizar una media y por tanto, atenuar las variaciones, abarata las opciones call, o como el valor de una opción call se reduce al incrementar el nivel knockout. Así, podemos comprobar empíricamente aquello que nos indica la intuición.


Black Scholes

Opciones reales




Notas finales

Introducción

Opciones ExóticasSimulación Árboles Binomiales

Precio acción 22.75 2275 Número de simulaciones 100 100Precio de ejercicio 23.00 2300 Número de iteraciones 50 50Tipo de interés anual 3.250% 3250 S knockout call 40 2Volatilidad 18.50% 1850 S knockout put 7 2Tiempo al vto. (años) 1 1000 (días) 365

Tipo de interés continuo 3.198% Valor de la opción 1.17

Call Asiática

16.9817.8018.6319.4520.2821.1021.9322.7523.5724.4025.2226.0526.8727.7028.5229.3530.1731.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

14.5 15.3 16.2 17.0 17.8 18.6 19.5 20.3 21.1 21.9 22.8 23.6 24.4 25.2 26.0 26.9 27.7 28.5 29.3 30.2 31.0

StV

alo

r o

pci

ón

- L

ímite

Valor opción Valor intrínseco Valor temporal

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

14.5 15.3 16.2 17.0 17.8 18.6 19.5 20.3 21.1 21.9 22.8 23.6 24.4 25.2 26.0 26.9 27.7 28.5 29.3 30.2 31.0

St

Va

lor

op

ció

n -

Lím

ite

Valor intrínseco Valor temporal


Árboles Binomiales – Opciones Exóticas - Funciones VBAÁrboles Binomiales – Opciones Exóticas - Funciones VBA

Alternativamente a la aplicación desarrolladas, sí únicamente se desea conocer el

precio de la opción exótica calculada a través del método de árbol binomial, se pueden

utilizar las siguientes funciones:Descripción

Binomial_ExoticasBin_Call_Exotica_Asiatica(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Call asíatica

Función

Bin_Put_Exotica_Asiatica(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Put asíaticaBin_Exotica_Call_o_Put(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un opción As you like itBin_Call_Exotica_Knockout(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Call KnockoutBin_Put_Exotica_Knockout(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Put KnockoutBin_Call_o_Put_Exotica_Knockout_Tunel(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones , S_min , S_max ) Prima de un opción As you like it Knockout

Bin_Call_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n

Bin_Call_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n

Bin_Put_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n

Bin_Put_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n

Bin_Call_o_Put_Exotica_Lookback_max(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n

Bin_Call_o_Put_Exotica_Lookback_min(S , K , t , r , v , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n


Black Scholes

Opciones reales




Notas finales

Introducción


IntroducciónIntroducción

La valoración de opciones exóticas, exige la utilización de procedimientos alternativos. Uno de ellos

consiste en simular diversas trayectorias del activo subyacente, y calcular de conformidad con los

fundamentos de la opción (asiática, lookback,....) su valor.

Pueden valorarse las siguientes opciones.

Asiáticas: el valor de la opción depende del precio medio que haya seguido el activo

subyacente a lo largo de la vida de la opción.

Lookback: el precio (St) del activo subyacente con el que se determinará el valor de la opción

será el mínimo/máximo registrado a lo largo de la vida de la opción call/put.

Knockout: Sí el precio perfora un nivel mínimo (call) o máximo (put) la opción tendrá valor

cero.

As you like it: el titular de la opción decide en la fecha de vencimiento sí desea que la opción

sea call o put.

El programa desarrollados se encuentra en el fichero Box_Muller_Exoticas.xls.

El programa permite:

Obtener la representación gráfica y la tabla de valoraciones en función del precio del activo

subyacente.

Utilizar las funciones de VBA integradas en la hoja de cálculo en orden a la obtención del valor

de la opción.


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales

Simulación de Montecarlo: Simulación de Montecarlo: opciones europeas y exóticasopciones europeas y exóticas

Notas finales

Introducción


Simulación - Opciones Europeas y ExóticasSimulación - Opciones Europeas y Exóticas

Objetivo: valoración de opciones europeas y exóticas sobre acciones con una tasa de reparto de dividendos continua.

Programa:• Box_Muller_Exoticas.xls

Variables a suministrar• Activo subyacente So.• Precio de ejercicio.• Tipo de interés.• Tiempo al vencimiento.• Tasa de dividendos continua.• Volatilidad anualizada.• Número de simulaciones• Número de iteraciones• S knockout call• S knockout put

Análisis:• Perfil de resultados de opciones

convencionales y exóticas en un entorno de simulación de Montecarlo.


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

Opciones ExóticasSimulación Box Muller

Precio acción 18.55 1855 Número de simulaciones 100 100Precio de ejercicio 19.00 1900 Número de iteraciones 50 50Tipo de interés anual 3.500% 3500 S knockout call 150 2Volatilidad 23.50% 2350 S knockout put 50 2Tasa de dividendos 5.00% 500Tiempo al vto. (años) 1 1000 (días) 365

Tipo de interés continuo 3.440% Valor de la opción 3.35 3.35

As you like it

12.5713.4214.2815.1315.9916.8417.7018.5519.4020.2621.1121.9722.8223.6824.5325.3926.2427.09

-2.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

10.00

10.01 11.71 13.42 15.13 16.84 18.55 20.26 21.97 23.68 25.39 27.09

St

Va

lor

opc

ión

- Lí

mite

Valor opción Valor intrínseco Valor temporal

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

10.01 11.71 13.42 15.13 16.84 18.55 20.26 21.97 23.68 25.39 27.09

St

Va

lor

op

ció

n -

Lím

ite

Valor intrínseco Valor temporal


Simulación - Opciones Europeas y ExóticasSimulación - Opciones Europeas y Exóticas

Objetivo: ilustrar la simulación de Montecarlo utilizada a través del procedimiento Box Muller.

Programa:• Box_Muller_Montecarlo.xls• Grafico_Sendas_precios.xls

Variables a suministrar• Activo subyacente So.• Precio de ejercicio.• Tipo de interés.• Tiempo al vencimiento.• Tasa de dividendos continua.• Volatilidad anualizada.• Número de simulaciones• Número de iteraciones

Análisis:• Perfil de resultados de opciones

europeas y asiáticas en un entorno de simulación de Montecarlo.

• Tabla con precios generados y estadísticos de resumen

• Gráfico de sendas de precios (al abrir actualizar vínculos)


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

Simulación Box Muller

Precio acción 100.00 10,000.00 Número de simulaciones 2,000 2,000.00Precio de ejercicio 95.00 9,500.00 Número de iteraciones (max 250) 250 250.00Tipo de interés anual 3.50% 3,500.00 Puede consultar el precio medio de cada simulación en la última columnaVolatilidad 22.30% 2,230.00 Tiempo Consumido 00:03:56 Máximo 261.15Tasa de dividendos 9.98% 998.00 Call Asiática 5.08 Mínimo 21.00Tiempo al vto. (años) 3.00 3,004.00 Put Asiática 9.58 Promedio 90.01 (días) 1,096.46 Call Europea 6.77 Rango 240.15Tipo de interés continuo 0.03 Put Europea 19.49 Desv. Tipica 24.95

0 4 9 13 18 22 260 1 2 3 4 5 6

1 100.00 96.17 95.96 95.99 94.76 92.88 92.062 100.00 99.57 97.34 100.00 99.91 96.38 99.133 100.00 97.30 95.11 95.97 99.48 99.46 97.924 100.00 102.56 106.14 105.64 105.66 106.93 104.395 100.00 103.99 103.18 109.32 111.03 105.68 102.746 100.00 101.21 99.52 97.74 94.70 94.78 94.257 100.00 94.98 94.41 93.43 92.77 94.71 97.238 100.00 102.42 101.28 104.24 106.05 107.86 109.739 100.00 100.70 99.76 95.11 97.93 96.91 97.16

10 100.00 97.24 98.95 101.41 100.73 98.11 95.5611 100.00 97.68 96.62 99.22 100.68 101.28 106.8612 100.00 102.24 106.10 107.18 103.90 103.54 105.7113 100.00 104.05 103.69 103.69 103.69 98.70 98.1014 100.00 99.64 100.96 104.17 106.52 107.50 108.2015 100.00 99.99 102.31 101.88 105.02 110.88 111.1716 100.00 102.45 104.51 102.39 99.70 101.32 104.27


Simulación de Montecarlo – Box Muller - Funciones VBASimulación de Montecarlo – Box Muller - Funciones VBA

Alternativamente a la aplicación desarrolladas, se pueden utilizar las siguientes

funciones:

DescripciónBox_Muller_Exoticas

Box_Muller_General

BM_Call(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones ) Prima de un Call - Simulación Montecarlo BM_Put(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones ) Prima de un Put - Simulación Montecarlo

BM_Call_o_Put_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n

Box_Muller() Variable normal generada mediante procedimiento Box Muller

BM_Put_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n

BM_Call_o_Put_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de una opción As you like it en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n

BM_Call_lookback_min(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = min(St) ; t=0,1, .........,n

BM_Put_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Put Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n

BM_Call_o_Put_Knockout_Tunel(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_min , S_max ) Prima de una opción As you like it Knockout

BM_Call_lookback_max(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones )Prima de un Call Lookback en la que Sn = max(St) ; t=0,1, .........,n

BM_Call_Knockout(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Call KnockoutBM_Put_Knockout(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones , S_knockout ) Prima de un Put Knockout

BM_Put_Asiatica(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Put asiáticoBM_Call_o_Put(S , K , t , r , v , q , n_simulaciones ) Prima de una opción As you like it

Función

BM_Call_Asiatica(S , K , t , r , v , q , n_iteraciones , n_simulaciones ) Prima de un Call asiático


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción


Muestreo en una distribución Normal – Box Muller e Inversión de MoroMuestreo en una distribución Normal – Box Muller e Inversión de Moro

A los efectos de ilustrar el

procedimiento de extracción

de muestras de una

distribución normal (empleada

en los procesos de Gauss-

Wiener), puede consultar el

fichero

Muestreo_Distribucion_Norm

al.xls, que ofrece la

posibilidad de extraer

muestras de hasta 20.000

observaciones por el

algoritmo de Box Muller o a

través de la Inversión de

Moro


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MUESTREO EN UNA DISTRIBUCIÓN NORMALAlgorítmos: Box Muller - Inversión de Moro

Nº de extracciones (máximo 20.000) 10,000

Clase Freq. % Freq. Acum. %-4.168 1 0.01% 1 0.01%-3.891 1 0.01% 2 0.02%-3.613 2 0.02% 4 0.04%-3.336 3 0.03% 7 0.07%-3.059 3 0.03% 10 0.10%-2.781 20 0.20% 30 0.30%-2.504 40 0.40% 70 0.70%-2.227 56 0.56% 126 1.26%-1.950 130 1.30% 256 2.56%-1.672 218 2.18% 474 4.74%-1.395 360 3.60% 834 8.34%-1.118 495 4.95% 1,329 13.29%-0.840 659 6.59% 1,988 19.88%-0.563 936 9.36% 2,924 29.24%-0.286 1,009 10.09% 3,933 39.33% Promedio -0.011 Varianza ^2 0.998-0.009 1,088 10.88% 5,021 50.21% Mediana -0.014 Desviación estandar 0.9990.269 1,073 10.73% 6,094 60.94% Rango 8.319 Coef. Variación -91.73551020.546 1,030 10.30% 7,124 71.24% Mínimo -4.168 Curtosis (normal K=0) 0.0490.823 862 8.62% 7,986 79.86% Máximo 4.151 Asimetría (normal s=0) -0.003

Distribución de frecuencias. Muestra de 10000 extracciones de una distribución Normal a través del algorítmo de Moro

Distribución de frecuencias - t

Estadísticos descriptivos - t

0

200

400

600

800

1,000

1,200

-4.1

68

-3.6

13

-3.0

59

-2.5

04

-1.9

50

-1.3

95

-0.8

40

-0.2

86

0.26

9

0.82

3

1.37

8

1.93

2

2.48

7

3.04

2

3.59

6

4.15

1t

Fre

q.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

90%

100%

% F

req.

Acu

m

Freq. Freq. Acum.

Algoritmo

Moro Box Muller


Simulación de MontecarloSimulación de MontecarloRelevancia del número de simulacionesRelevancia del número de simulaciones

Objetivo: ilustrar la importancia del

número de iteraciones en una

simulación de Montecarlo.

Programa:

• Montecarlo_factores.xls


• Activo subyacente So.

• Precio de ejercicio.

• Tipo de interés.

• Tiempo al vencimiento.

• Volatilidad anualizada.

• Número de simulaciones

• Número de iteraciones

Análisis:

• Tabla y gráfico en tres dimensiones

(iteraciones vs simulaciones) para

apreciar las variaciones en la prima.


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

100 200 300 400 500 600 700 800 900 10005 1.81 1.55 1.89 1.71 1.73 1.72 1.65 1.84 1.93 1.9910 2.24 1.56 1.75 1.91 1.69 1.93 1.63 1.87 1.87 1.8615 2.33 1.63 1.51 1.91 1.85 1.82 1.61 1.80 1.95 1.8120 1.64 1.37 2.16 1.95 2.06 1.87 1.88 1.76 1.89 1.9425 1.92 1.91 1.96 1.98 1.92 1.93 1.94 2.04 1.92 1.9930 1.63 2.25 1.81 1.96 1.86 1.93 1.80 2.09 1.96 1.9835 2.21 1.77 1.79 1.87 1.88 1.78 1.95 1.92 1.90 1.7140 1.72 1.71 1.73 1.76 1.96 1.90 1.92 2.13 1.84 1.8545 1.84 2.05 1.84 1.80 1.93 1.81 1.83 1.81 1.67 1.8750 1.94 2.04 1.96 1.92 1.91 1.66 1.76 1.75 1.86 1.92

Nº iteracio

nes

Nº simulaciones

Simulaciones de MontecarloImportancia del número de simulaciones

Precio acción 23.50 2350Precio de ejercicio 24.25 2425Tipo de interés anual 3.440% 3440 Call PutVolatilidad 19.58% 1958 Black Scholes 1.865 1.795Nº iteraciones (Binomial) 50 50 Binomial Eur 1.867 1.811Nº simulaciones (Montecarlo) 1000 1000 Binomial Ame 1.867 1.915Tiempo al vto. (años) 1 1000 Control Variable 1.865 1.900 (días) 365 Montecarlo Box Muller 1.790 1.822Tipo de interés continuo 3.382% Montecarlo Binomial 1.988 2.006


Black Scholes: convergencias de valoraciónBlack Scholes: convergencias de valoración

Objetivo: ilustrar la convergencia de

diversos métodos de valoración

respecto a la valoración de Black

Scholes.

Programa:

• Convergencias.xls


• Activo subyacente So.

• Precio de ejercicio.

• Tipo de interés.

• Tiempo al vencimiento.

• Volatilidad anualizada.

• Número de simulaciones

• Número de iteraciones


Black Scholes

Opciones reales


Árboles binomiales


Notas finales

Introducción

MODELO DE BLACK SCHOLESConvergencia de métodos de valoración

Precio acción 17.65 1765Precio de ejercicio 16.00 1600Tipo de interés anual 3.975% 3975 Call Put S+P VA(X)+CVolatilidad 28.45% 2845 Black Scholes 3.2180484 0.9445230 18.5945230 18.5945230Nº iteraciones (Binomial) 50 50 Binomial Eur 3.2130563 0.9513708 18.6013708 18.6013708Nº simulaciones (Montecarlo) 5000 5000 Binomial Ame 3.2130563 0.9840631Tiempo al vto. (años) 1 1000 Control Variable 3.2180484 0.9772153 (días) 365 Montecarlo Box Muller 3.1923038 0.9352054Tipo de interés continuo 3.898% Montecarlo Binomial 3.2930684 0.9988215

1617181920212223242526272829303132

Paridad Put Call

Convergencia Binomial - Black Scholes

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Call (Binomial Europea) Put (Binomial Europea) Call (Black Scholes) Put (Black Scholes)

Call (Binomial Americana) Put (Binomial Americana) Call (Control Variable) Put (Control Variable)


Links de interésLinks de interés

Microsoft PowerPoint Viewer 97 (versión 2000)

Visor de presentaciones Power Point. Útil en caso de carecer de la aplicación

completa.

http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?

displaylang=es&FamilyID=7C404E8E-5513-46C4-AA4F-058A84A37DF1

Excel 97/2000 Viewer

Visor de hojas de cálculo Excel. Permite visualizar e imprimir una hoja de cálculo.

Útil en caso de carecer de la aplicación completa.

http://www.microsoft.com/downloads/details.aspx?FamilyID=4EB83149-91DA-4110-

8595-4A960D3E1C7C&displaylang=EN

* Aplicaciones gratuitas y de libre distribución


Black Scholes

Opciones reales: extensiones del modelo de Black Scholes


Árboles binomiales


Notas Notas finalesfinales

Documents

Modelos de Valoración de Opciones Parte 2 Prof. Dr. Prosper Lamothe Fernández Jorge Otero Rodríguez