MODELOS FINITOS

7/21/2019 MODELOS FINITOS

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7511 Años Capacitando a la Comunidad Minera Global

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MINING SOCIETYOF SOUTH AFRICA

ISO

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logK real. logK simulado (4).

¿QUE TAN BUENO ES EL MODELO?


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log K real. log K simulado (5).

¿QUE TAN BUENO ES EL MODELO?



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Proceso de modelación.

Conceptualización y su importancia.

Datos necesarios para la conceptualización.

Identificación de procesos y estructura del modelo.

Discretización.

Calibración.

Análisis de error.

Selección de modelos.

Dificultades.

PROCESO DE MODELACION RECAPITULACION


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1.3 MODELOS DETERMINISTAS VS. ESTOCASTICOS.BREVE INTRODUCCION A LA GEOESTADISTICA.

Definición de geoestadística.

Objetivos y tipos de análisis.

Estadística univariada.

Estadística bivariada: Variograma.

Estimación condicionada: Métodos de kriging.

Simulación condicionada.



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Aplicación del formalismo de las funciones aleatorias al reconocimiento y estimación

de los fenómenos naturales (Matheron, 1962).

Estudio de fenómenos que varían en el espacio en el tiempo (Deutsch, 2002).

Colección de técnicas numéricas para la caracterización de atributos espaciales,

empleando modelos aleatorios, y análisis temporal de series que caracteriza datos

temporales (Olea, 1999).

La geoestadística es la forma de describir la continuidad espacial de fenómenosnaturales, mediante el uso de técnicas clásicas de regresión estadística (Isaaks y

Srivastava, 1989).

GEOESTADISTICA: DEFINICIONES


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9001

Objetivos: Organizar, filtrar y caracterizar estadísticos muestrales.

Tipos de análisis: Univariado, bivariado y multivariado.

El movimiento se demuestra andando (Zenón de Elea, 490- 430 AC).

Sondeos: 85.Dominio: 20 x 16 km2.Porosidad rango: 12 % - 17 %.

GEOESTADISTICA. OBJETIVOS Y TIPOS. EJEMPLO



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9001

Métodos geoestadísticos óptimos cuando:

1) Los datos o transformaciones adecuadas se distribuyen según la distribución

normal.

2) La variable es estacionaria (la media y la varianza no varían significativamente en el

espacio).

Se empieza intentando comprobar estas hipótesis:

(1) Histograma.

(2) Scatter-plot anterior.

GEOESTADISTICA. HIPOTESIS


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9001

Histograma. Cuantil-Cuantil (Q-Q plot).

Porosity (%)

D e n s i t y

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

12 13 14 15 16 17-2

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

-1 0

Standard Normal Quantiles

S o r t e d

P o r o s i t y V a l u e s

1 2

GEOESTADISTICA. ANALISIS UNIVARIADO



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Media (esperanza):

Varianza:

Estadísticos univariados: Sensibles a los valores altos de Z,especialmente, si n es bajo.

*

1

1 n

i

i

m Z xn

2

2 *

1

1

1

n

i

i

Z x mn

(Semi) variograma: ( )

2

1

1( )

2 ( )

N h

i i

i

h Z x h Z x N h

Estadísticos bivariados: Útiles para la correlación espacial.

GEOESTADISTICA. ESTADISTICOS


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Variograma muestral.

( )

2

1

1( )

2 ( )

N h

i i

i

h Z x h Z x N h

x Z

1 7

2 10

3 11

4 13

5 12

6 147 12

8 13

9 10

10 11

11 9

12 8

h = 1; (10-7)2 + (11-10)2 + (13-11)2 + (12-13)2 + (14-12)2 + (12-14)2 + (13-12)2 + (10-13)2 + (11-10)2 + (9-11)2 + (8-9)2. Resultado = 39/(2*11)

h = 2; (11-7)2 + (13-10)2 + (12-11)2 + (14-13)2 + (12-12)2 + (13-14)2 + (10-12)2 + (11-13)2 + (9-10)2 + (8-11)2. Resultado = 46/(2*10)

Etc.

GEOESTADISTICA. VARIOGRAMA MUESTRAL



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9001

Problema grave: Comportamiento del variograma muestral a cortas distancias. Las medidasno se encuentran juntas. Menores pares de valores. Es importante identificarlo, puesto que,cualquier método de interpolación asigna más peso a las medidas cercanas.

Ídem para largas distancias,menos grave.

Lag. máximo mitad del dominio(a veces menos).

Análisis de sensibilidad al lag.

GEOESTADISTICA. PROBLEMAS DEL VARIOGRAMA


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Meseta.

Pepita

Alcance.

GEOESTADISTICA. PARTES DEL VARIOGRAMA



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Meseta: No siempre se llega a la meseta, solo en procesos estacionarios.

Distancia de máxima variabilidad.

Similar a la varianza muestral.

Alcance: No siempre existe, solo en procesos estacionarios.

Más allá del alcance no existe correlación.

Pepita: A distancia 0 no existe variabilidad.

Causado por la disposición de los puntos de medida y los errores de

medida.

¿Como se estiman estos parámetros y el tipo de variograma?

GEOESTADISTICA. PARTES DEL VARIOGRAMA


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9001

Pepita puro:

Esférico:

Exponencial:

Gaussiano:

Polinómico:

GEOESTADISTICA. VARIOGRAMA MODELO



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Alcances estimados:

4141 m esférico.5283 exponencial.

2884 Gaussiano.

Se fija la meseta y elvariograma modelo, teniendoen cuenta el alcance y la pepita.

Superposición de variogramas.

Más de un variograma modelo.

0 . 0

0 . 2

0 2000 4000 6000 8000 10000

0 . 4

0 . 6

0 . 8

S e m i v a r i a n c e

Porosity Semivariogram with Three Models

Lag (meters)

SphericalExponentialGaussian

GEOESTADISTICA. VARIOGRAMA MODELO


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9001

El variograma modelo, junto con las medidas, definen un modelo

geoestadístico.

El modelo geoestadístico define la variabilidad espacial del fenómeno.

El modelo geoestadístico permite definir lo siguiente:

1) Modelo determinista: Única caracterización del fenómeno. Cómodo, limpio

y rápido. No permite evaluar la incertidumbre del fenómeno.

2) Modelo estocástico: Infinitas caracterizaciones del fenómeno. También

cómodo, limpio y rápido. Permite evaluar la incertidumbre del fenómeno.

MODELOS DETERMINISTAS VS. ESTOCASTICOS



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También conocidos como estimación condicionada. Basados en las ecuaciones de

kriging (pizarra en función del tiempo).

MODELOS DETERMINISTAS


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También conocidos como simulación condicionada. Basados también las

ecuaciones de kriging (pizarra).

MODELOS ESTOCASTICOS



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log K real. log K estimado (12).

VENTAJAS DE LOS MODELOS ESTOCASTICOS


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9001




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9001




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9001


log K real. log K simulado.


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565 593 675 506

Se realiza la predicción de trayectoria con cada simulación, acumulandolas soluciones.

Trayectoria y punto de salida




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0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

3162.5 6412.5 9662.5 12912.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

pdf

cdf

Histograma (pdf) e histograma acumulado (cdf).

Tiempo de tránsito simulado.



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La media de las simulacionescondicionadas es laestimación condicionada, silas simulaciones presentan unnúmero infinito.




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1. Tanto deterministas como estocásticos mencionan que, la geoestadística es vitalpara lograr el óptimo ejercicio de modelación.

2. Deterministas: Solución única.

Estocásticos: Rango de probabilidades.

3. Claramente, los modelos estocásticos son de mayor utilidad al ámbito académico,a pesar de que se limitan en la práctica.

* * * * * * * * * * * * * * * *

Hydrogeology4000 25

20

15

10

5

01992 1996 2000 2004

3000

2000

1000

01992 1996 2000 2004

Total number of articles Percentage

Modeling

Hydrogeology

(b)(a)

Modeling

Stochatic



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Posibles razones:

1. Lapso temporal: Método de puntos piloto de 1978. Aplicaciones en los 90.Cuando comienza a aplicarse, luego queda obsoleta. Evolución en menor tiempo.

2. Falta de certidumbre entre la clase política.

3. Prefieren determinar una o dos soluciones en lugar de todo el rango deposibilidades.

4. La realidad existe y es única. ¿Para que se quiere N simulaciones? Es suficienteproponer solo una, pero que sea buena.

5. Falta de datos en muchos casos.

6. Software exclusivamente a nivel universitario.




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Conceptos básicos de flujo.

Ecuación de flujo.

Mecanismo de transporte de solutos.

Ecuación de transporte.

1.4 ECUACIONES DE FLUJO Y TRANSPORTE


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Se basa en la ley de Darcy, fórmula empírica equivalente a la ecuación de

conservación del momento.

q=-Kh

Flujo volumétrico: Volumen de fluido por unidad desuperficie ortogonal al flujo, por unidad de tiempo[L3/L2T]].

Nivel

cte.

A

B

Sección

Q

CONCEPTOS BASICOS DE FLUJO



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Almacenamiento específico: Volumen de agua extraído del acuífero por

unidad de volumen del mismo, y por unidad de variación de nivel (la

cantidad de agua que se puede extraer del acuífero por unidad de

volumen, al deprimir el nivel en un metro).

VW=SSVacui Δh SS=[L-1]

Coeficiente de almacenamiento: Lo mismo pero por unidad de superficie

del acuífero.

VW

=S Sacui

Δh= SS

b + SY

S=[-]

Porosidad drenable.

CONCEPTOS BASICOS DE FLUJO


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Expresa el balance de masa del fluido.

Variación temporal de la masa = Balance de flujos laterales + balance defuentes/sumideros.

Como en el banco: Signo positivo es el agua que entra en el acuífero; signonegativo es el agua que sale de este.

V V

dV dV t t

Variación temporal de la masa =

Balance de flujos laterales qd

Balance de f/sV

V

r dV

S

h K h r S

t

ECUACION DE FLUJO



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1. Advección: El agua arrastra el soluto. Este se mueve a velocidad.

q

v

2. Difusión molecular: Movimiento que parece aleatorio o Browniano. Como

consecuencia del 2º principio de la máxima entropía, flujo másico de c mayor a c

menor.

3. Según la ley de Fick:

3. Dispersión hidrodinámica: Causada por variaciones de velocidad debidas a la

heterogeneidad del medio.Produce mezcla/dispersión del soluto.

V: vel. real, q: flujo vol. de agua (de Darcy), : porosidad.

PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE MASA


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Se presentan tres efectos conjuntamente:

Otros: difusión en la matriz, retardo por adsorción, reacciones químicas.

PROCESOS DE TRANSFERENCIA DE MASA



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Método numérico genérico.

Estructura típica de un programa.

Métodos numéricos más famosos.

1.5 METODOS NUMERICOS


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FORMULACION

Problemacontinuo.

h

Discretizar

bh A

Sistemaecuaciones.

Problemacontinuo.

Discretizar Problemadiscreto.

h (x, t) H (xi, t)

Definición: Herramienta para resolver ecuaciones.

EN COMUN DISTINTIVO

1) Forma dediscretizar.

2) Forma deobtener elsistema de

ecuaciones.

1) El sistema finalsiempre representala aproximación alfenómeno(normalmente, elbalance de masas).

2) Estructura similar enla programación.

1.4 ECUACIONES DE FLUJO Y TRANSPORTE



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9001

Discretización: Sustituir el medio continuo por discreto. En lugar del valor para(x,y), se calcula solo en los nudos o en el centro de las celdas.

817

9

7

5

L8,17

A8

b58

METODO GENERICO


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9001

81

79

7

5

L8,

17

A

8

b58

8558

58

855858 hha

L

hhTbQ 8998

98

899898 hha

L

hhTbQ

jiijij

jiijij hha

L

hhTbQ

jiij

ij

ij aL

Tba

k 1k

k

8

1k

8

8

tt

hhASVariación

d8

METODO GENERICO



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81

79

7

5

L8,

17

A

8

b58

8558

58

85

5858 hhaL

hh

TbQ

899898

899898 hhaL

hh

TbQ

jiijij

jiijij hha

L

hhTbQ

jiij

ij

ij aL

Tba

k 1k

k

8

1k

8

8

tt

hhASVariación

d8

Recarga: r · A8=

b8

METODO GENERICO


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Para la celda 8, se debe considerar los flujos laterales de todas lasceldas adyacentes:

F.L = a85h5+ a98h9+ a78h7+ a178h17 - (a85+ a98+ a78+ a178) h8

a88

F.L = a85h5+ a98h9+ a78h7+ a178h17 - a88h8

81

8

1

8

8 . Ar L F t t

hh AS

k k

k k

METODO GENERICO



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9001

La matriz de coeficientes aij (matriz de conductancias A):

1) Simétrica (de momento).

2) Positiva.

3) Solo tiene en cuenta los puntos conectados (casi todas son 0).

0aoaa)4

n

1 j

ij

n

i j1 j

ijii

La matriz de coeficientes di (matriz de almacenamientos D) es diagonal.

METODO GENERICO


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Finalmente, en forma matricial:

¡TODOS LOS METODOS!

bt t

hh Dh A

k k

k k

1

1

METODO GENERICO



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9001

1) Lectura de datos:

Geometría.

Propiedades.

Condición de contorno.

2) Inicialización: Lij, bij y Ai .

3) Construcción de matrices: A, D y b.

4) Construcción del sistema.

5) Resolución: Obtiene h en el tiempo que toque.

6) Si no se ha realizado la simulación de todos los tiempos, se debe volver a 4.

Observación: Si se cambia algo, tiene que ser en función al tiempo.

ESTRUCTURA TIPICA DE UN PROGRAMA


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9001

DIFERENCIAS FINITAS

Discretización mediante malla regular(normalmente rectángulos). Raro:triangular, equiláteros o hexágonos.

Celdas

Nudos

En los bordesCentrada

PASO DE REVISTA DE METODOS NUMERICOS



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9001

f(x+h/2)

f(x-h/2)

f'(x)

x x+h/2 x-h/2 x+h x-h

h

h x f h x f

x f

)2/()2/(

)('

2

)()(2)()(''

h

h x f x f h x f x f



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9001

VOLUMENES FINITOS

Sitúo los nudos que secreean importantes,luego, se dibujan lasceldas por teselación

(polígonos de Thiessen).

Derivación ecuaciones por balance de masas oformulaciones integrales (tipo de elementos finitos).




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9001

Elemento.

Elementos finitos.

Se sustituye la soluciónexacta x por la

aproximada.

Nudos.



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9001

ELEMENTOS FINITOS

i: Función de interpolación o de forma en el nudo i,

respecto al punto x e y.

hi: Solución de la ecuación en el nudo i.

Se resuelve la ecuación en los nudos de la malla; si luegose desea cambiar a otro punto, se interpola en base a lasfunciones de forma (forma lineal).

i

ii y xh y xh y xh ),(),(),(




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9001

ELEMENTOS FINITOS

Pero…

La idea es minimizar el residuo.

La ecuación se resuelve en cada elemento. Cada una de estasecuaciones, expresan el balance de las masas en el elemento.

0 h

r hT t

hS h

0



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9001

DF DFI EF VF

Comodidad entradadatos.

8 1 4 10

Precisión. 6 5 10 10

Ajuste contornos. 4 8 10 10

Heterogen. 6 4 8 2

Interp. Física. 10 10 9 8

Generalidad. 8 8 10 2

Experiencia. 10 4 8 6

CPU. 8 8 8 10

Paralelización. 10 6 6 6

PASO DEREVISTA

DE METODOSNUMERICOS:



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9001

1) Se debe realizar la selección subjetiva del método.

2) Se requiere utilizar un programa conocido.

3) Es necesario ajustar el programa al problema y realizar locontrario. Si es necesario, cambiar el programa.

CONCLUSION:



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II. SOLUCION DE LA ECUACION DEFLUJO POR DIFERENCIAS FINITAS



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2.1 Derivación formal de un esquema en diferencias finitas.

2.2 Métodos de integración temporal.

2.3 Solución del sistema lineal de ecuaciones.

SOLUCION DE LA ECUACION DE FLUJO POR

DIFERENCIAS FINITAS


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ESQUEMAS EN DIFERENCIAS.Ecuación de flujo 1D, K homogénea, estacionario:

f(x+h/2)

f(x-h/2)

f'(x)

x x+h/2 x-h/2 x+h x-h

Esquemas en diferencias:

Adelante.

Atrás.

Centrado

2.1 DERIVACION FORMAL DE UN ESQUEMA ENDIFERENCIAS FINITAS



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Para cada nudo de la malla.

Formulación matricial.

ESQUEMAS EN DIFERENCIAS


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INTEGRACION TEMPORAL.

1) Esquema explícito: = 0 (inmediato). Es inestable, por lo tanto, se aconseja noutilizarlo.

2) Esquema implícito: = 1 (indirecto).

3) Esquema centrado: = (indirecto).

2.2 METODOS DE INTEGRACION TEMPORAL



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3) COMPARATIVO

Metodo Coste Precisión Estabilidad Comentario

Explicito

Implicito

Centrado

O ( N )-2

O ( N )3

O ( N )3

; mayor que Implicito

O ( )

O ( )

mayor que Explicito

Condicionada

Incondicionada

IncondicionadaEs Generico si

Muy Bien por ser Incondic.

La condicion en la estabilidades grave. No se usa!

si

siO ( )2

O ( )

si

=

=

.5

0.5 0.50,1

INTEGRACION TEMPORAL


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SOLUCION DEL SISTEMA.

1) Métodos directos de eliminación o pivote: Gauss. Gauss-Jordan.

2) Métodos directos de descomposición: Crout.

Cholesky.

3) Métodos iterativos: Picard. Gauss-Newton. Gauss-Newton completo.

Sistemalineal.

Sistemano lineal.

Ver anexo pdf: Formulación Diferencias Finitas.

2.3 SOLUCION DEL SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES



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III. SOLUCION DE LA ECUACION DEFLUJO MEDIANTE EL METODO DE LOS

ELEMENTOS FINITOS


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3. SOLUCION DE LA ECUACION DE FLUJO MEDIANTEEL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

3.1 Generalidades. Residuos ponderados. Formulaciones alternativas.

3.2 Elementos finitos. Discretización y funciones de forma. Derivación de

ecuaciones por el método de Petrov-Galerkin.

3.3 Esquemas de integración temporal.

3.4 Aplicación a un caso unidimensional.

3.5 Ejemplo 1: Modelos deterministas. El acuífero de Badalona (Europa).



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1. Sustituir la solución exacta por la aproximación.2. Sigue siendo exacta en los nudos.

PLANTEO GENERAL


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3. Al sustituir h por su aproximación, el resultado deja de ser exacto:

4. Seleccionar los coeficientes de manera que el residuo sea mínimo:

1. Dada la ecuación:

2. Definir el operador:

Residuos ponderados.

PLANTEO GENERAL



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CERTIFICAN:



ISO

9001

Formulación dependiente de cómo se escogen esos coeficientes:

Ver anexo pdf: Elementos Finitos.

Subdominios.

Puntos de colocación.

Mínimos cuadrados.

Galerkin.

PLANTEO GENERAL


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CERTIFICAN:



ISO

9001

Zona urbana: Densamente poblada.Zona de montaña: Menos urbanizada.Grandes superficies de parques y jardines en la zona urbana.Elevados consumos de agua potabilizada para riego y limpieza de calles.Escasos recursos hídricos superficiales.Recursos hídricos subterráneos.Estado y uso potencial del agua subterránea.Problemática del agua subterránea en zona urbana.

3.5 EJEMPLO 1: MODELOS DETERMINISTAS. ELACUIFERO DE BADALONA (EUROPA).

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MODELOS FINITOS