SOBRE EL GEOIDE Y EL ELIPSOIDE TERRESTRE Modelos gravitacionales EGM96 y WGS84

Diego Liska de León1

Lis14392@uvg.edu.gt

1. Departamento de Física, Universidad del Valle de Guatemala.

Guatemala 03 de septiembre de 2015

I. INTRODUCCIÓN

Los sistemas de posicionamiento global, la navegación y la cartografía se basan en diversos modelos geodésicos. Existen dos modelos indispensables para el estudio de la forma terrestre: el geoide y el elipsoide de referencia. El modelo más utilizado para el estudio del geoide es el EGM96, mientras que para el estudio del elipsoide de referencia es el WGS84. El uso de ambos modelos permite a los sistemas de posicionamiento global determinar la altura topográfica sobre el nivel del mar en cualquier punto sobre la tierra. Estos modelos tienen su fundamento en el campo gravitacional terrestre, con el cual es posible determinar el nivel del mar alrededor del globo. Para recabar información sobre la gravedad, se utilizan diversos métodos satelitales como las técnicas Doppler, mediciones láser, altimetría de radar y mediciones de satélite con satélite.

II. EL GEOIDE Y ELIPSOIDE TERRESTRE

El geoide es una línea imaginaria que representa la forma que tendría la tierra si estuviera cubierta solamente con agua y mantuviera el mismo campo gravitacional. Esta es una superficie equipotencial con respecto a la gravedad terrestre. El geoide es utilizado para describir el nivel real del de mar alrededor del globo. Dado que es una superficie equipotencial, el vector de gravedad (g) es siempre perpendicular al geoide (Browin, 1985).

La forma del geoide es determinada por medio de mediciones gravitacionales. Las anomalías gravitatorias pueden después ser utilizadas para generar un modelo terrestre. Las mediciones se realizan observando las orbitas de los satélites cercanos a la tierra. El modelo completo se basa en expansiones de series de Laplace, donde los coeficientes de las serie son determinados experimentalmente. El geoide es utilizado como marco de referencia para determinar la altura de las superficies topográficas sobre el nivel del mar (UNACO, 2015 y Browin, 1985).

A partir del geoide, es posible encontrar el elipsoide de referencia, que representa una aproximación matemática para la forma de la tierra. Este modelo resulta ser más sencillo de utilizar que el geoide. Los sistemas de posicionamiento global (GPS) utilizan como

referencia al elipsoide WGS84 para determinar la altitud real sobre el nivel del mar (UNACO, 2015).

El elipsoide de referencia es una superficie que muestra el nivel del mar promedio y el geoide muestra nivel del mar real. A la superficie terrestre se le denomina superficie topográfica. La imagen No. 1 muestra cómo se relacionan las tres superficies.

En general se puede escribir que:

H=h−N (1)

(Browin, 1985)

III. EARTH GRAVITATIONAL MODEL 1996 (EGM96)

El Modelo Gravitacional Terrestre de 1996 (EGM96 por sus siglas en inglés) es un modelo que describe la superficie equipotencial de la tierra que mejor se aproxima al nivel del mar. Es decir el geoide. El modelo representa el potencial gravitacional terrestre (V) en coordenadas esféricas por medio de coeficientes experimentales llamados coeficientes geopotenciales. El modelo se representa matemáticamente por medio de la expresión:

V (r ,θ , λ )=GMr [1+∑

n=0

∞

[ ar ]

n

∑m=−n

n

(Cnm cosmλ+Snm sin mλ ) P (cosθ )](Wan, et. al., 2009)

Donde r representa la distancia geocéntrica, θ es la latitud, λ es la longitud, GM es la constante gravitacional geocéntrica (la cual se define como la constante de gravitación de Newton por la masa de la tierra), y a es un valor escalar asociado a los coeficientes geopotenciales Cnm y Snm. Además Pnm(cosθ) es una función de Legendre. Los términos Cnm, Snm y Pnm(cosθ) se obtienen experimentalmente a partir de observaciones gravitacionales obtenidas de distintos satélites. El EGM96 contiene 1303167 de estos coeficientes (Wan, et. al., 2009).

Imagen No. 1 Elipsoide, geoide y superficie topográfica (Browin, 1985)

(2)

Entre los satélites utilizados para obtener los datos del modelo EGM96 se encuentran:

Nombre TipoAJISAI LáserBE-C Láser, DopplerEUVE GPSGEOS-1,2 y 3 Láser, DopplerSEASAT Láser, DopplerPOSSEIDON Láser, AltímetroRADCAL DopplerLAGEOS-1 Láser

Tabla No. 1 Satélites utilizados para el modelo EGM96

(Lemoine, 2004)

IV. WORLD GEODETIC SYSTEM 1984 (WGS84)

El Sistema Geodésico Mundial de 184 (WGS84 por sus siglas en inglés) es un modelo basado en el elipsoide de referencia que mejor coincide con el geoide EGM96. Este describe a la tierra como una elipse concéntrica con el centro de masa terrestre que tiene un semieje mayor de 6 378 137.0 m y un semieje menor de 6 356 752.314 m. El achatamiento

de esta elipse (f =a−ba

) es de 1/298.257. Las variaciones entre el geoide EGM96 y el

elipsoide WGS84 se encuentran entre los -105 y 85 metros (Smith, 2007).

Imagen No. 2 Comparación entre el geoide, en azul, y el elipsoide, en verde. (UNACO, 2015)

Un elipsoide puede definirse como una superficie equipotencial y cualquier superficie equipotencial (con potencialU ) puede obtenerse de forma única a partir de cuatro

constantes independientes como parámetros del elipsoide. Estos parámetros son: el semieje mayor (a), el segundo coeficiente geopotencial (C2,0=J2=1.081874 ∙10−3), la velocidad

angular de la tierra (ω=7.292115 ∙ 10−5 rads

) y la constante gravitacional geocéntrica (GM =

3.986004418 ∙1014 m3

s2 ) (Smith, 2007). La relación está dada por las ecuaciones:

r (θ )=( cos2θa2 + sin2θ

c2 )12≅ a(1−fsi n2 θ) (3)

U =−GMr

+GM J 2 a2

2 r3(3 sin2 θ−1 )−1

2ω2r2 cos2 θ (4)

J2=23

f = a3 ω2

3GM (5)

(Smith, 2007)

Donde c es el radio polar y r es el radio del elipsoide a un ángulo θ.

En la actualidad, el elipsoide WGS84 y el geoide EGM96 son utilizados para determinar la altitud topográfica sobre el nivel del mar para los sistemas GPS a partir de la relación establecida en la ecuación No. 1 (UNACO, 2015).

V. GEODESIA SATELITAL

La forma de la tierra, su distribución de masa, su movimiento y las anomalías en su campo gravitacional pueden ser estudiadas y medidas utilizando tecnología satelital. La mayor parte de los datos necesarios para generar los modelos EGM96 y WGS84 fueron obtenidos a partir de diversos satélites. A continuación se presentan los métodos más utilizados para recabar información acerca de la gravedad terrestre.

Efecto Doppler

Esta técnica consiste en el corrimiento de una señal de radio transmitida desde un satélite orbitando la tierra. A partir del corrimiento de la señal, pude determinarse la rapidez del satélite de manera precisa. Sabiendo las anomalías en la velocidad de satélite, es posible estudiar la gravedad en la tierra (Kuhar, 2004).

Mediciones Láser por satélite

Este método consiste en enviar pulsos de luz a un satélite orbitando la tierra. Estos pulsos son reflectados después por los retrorreflectores en el satélite. La luz entonces viaja de nuevo hacia un telescopio receptor, el cual registra el tiempo que tardo la señal de ida y vuelta. A partir de esta información, se puede calcular la distancia entre los satélites. Este proceso se repite hasta que el satélite desaparece del rango de alcance del láser utilizado. A partir de la información recopilada puede estudiarse la velocidad del satélite y su distancia

con respecto al planeta. Esta técnica aporta información precisa sobre el campo gravitacional y la rapidez de rotación de la tierra (Kuhar, 2004).

Altimetría satelital

Para este método, un satélite es equipado con un radar. Con ayuda de un pulso de ondas de radio, se puede determinar con precisión la altura y posición del satélite con respecto al geoide. Estos datos después pueden ser estudiados para analizar anomalías en la gravedad terrestre (Kuhar, 2004).

Rastreo satélite con satélite

En este método un satélite es utilizado para rastrear otro satélite. Existen tres posibilidades. La primera es que un satélite de gran altitud rastree un satélite de baja altitud. La segunda es que dos satélites de baja altitud se rastreen mutuamente. La última es que varios satélites de gran altitud, como los satélites de posicionamiento global, sean utilizados para determinar la posición de un satélite de baja altitud. La información recabada puede utilizarse después para analizar el geoide y elipsoide terrestre (Kuhar, 2004).

VI. REFERENCIAS

Bowin, C.(1985). The Earth’s Geoid. Recuperado de http://principles.ou.edu/earth_figure_gravity/geoid/ [31.08.15]

Kuhar, M. (2004). Space Geodesy. Recuperado de http://www.fgg.uni-lj.si/~/mkuhar/Zalozba/SpaceGeodesy.pdf [30.08.15]

Lemoine, F. (2004). Satellite tracking data in EGM96. Recuperado de http://cddis.gsfc.nasa.gov/926/egm96/satdata.html [06.09.15]

Smith, R. (2007). Wolrd Geodetic System 1984. (1a ed.). Michigan: Defense Mapping Agency. 121p.

UNACO (2015). Elevation correction and the Geoid. Recuperado de https://www.unavco.org/education/resources/educational-resources/tutorial/elevation-and-geoid.html [25.08.15]

UNACO (2015). The Geoid and receiver measurements. Recuperado de https://www.unavco.org/education/resources/educational-resources/tutorial/geoid-gps-receivers.html [25.08.15]

Wan A., et. al. (2009). Evaluation fo the EGM96 Model of the geopotential in peninsular

Malaysia. Recuperado de http://eprints.utm.my/11944/1/ OthmanZainon_Evaluation_OfTheEgm96Model_.pdf [25.08.15]