Modelování proudění tekutin FLUENT, CFXvýuce a při užití software Fluent a CFX. Numerické modelování mnoha fyzikálních jevů je úzce spojeno s modelováním určité

i

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITAOSTRAVA

Modelování proudění tekutinFLUENT, CFX

Milada Kozubková

OSTRAVA 2008

Obsah

ii

Obsah

SEZNAM POUŽITÝCH OZNAČENÍ ............................................................................................ VI

1. ÚVOD DO NUMERICKÉHO MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ .................................................1

1.1. ÚVOD DO PROUDĚNÍ TEKUTIN ...........................................................................................11.1.1. Dělení podle fyzikálních vlastností tekutiny ..............................................................11.1.2. Dělení podle kinematických hledisek.........................................................................2

1.2. PŘENOS HMOTY, HYBNOSTI, TEPLA PŘI NEIZOTERMNÍM PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÉ

TEKUTINY ........................................................................................................................................31.3. PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE A OKRAJOVÉ PODMÍNKY...........................................51.4. OKRAJOVÉ PODMÍNKY PROUDĚNÍ NESTLAČITELNÉ TEKUTINY ...............................................7

1.4.1. Typy okrajových podmínek .........................................................................................71.4.2. Podmínky vstupu a výstupu. ......................................................................................7

1.5. ŘEŠENÍ ROVNICE VEDENÍ TEPLA .......................................................................................91.6. ŘEŠENÍ PROUDĚNÍ PŘI NÁHLÉM ROZŠÍŘENÍ PRŮŘEZU .................................................... 12

2. TVORBA GEOMETRIE A VÝPOČTOVÉ SÍTĚ ................................................................ 16

2.1. POJEM „SÍŤ“ A JEHO VÝZNAM PRO MATEMATICKÉ MODELOVÁNÍ ..................................... 162.2. GAMBIT, PRVKY SÍTĚ ....................................................................................................... 172.3. KRITÉRIA PRO POSOUZENÍ KVALITY SÍTĚ ........................................................................ 192.4. PŘÍKLAD VYTVOŘENÍ SÍTĚ ............................................................................................... 20

2.4.1. Vytvoření sítě ............................................................................................................. 212.4.2. Definování okrajových podmínek v Gambitu .......................................................... 23

3. PROGRAMOVÝ SYSTÉM FLUENT .................................................................................. 24

3.1. PŘEHLED METOD ŘEŠENÍ PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC ................................ 243.2. INTEGRACE METODOU KONEČNÝCH OBJEMŮ .................................................................. 243.3. VÝBĚR INTERPOLAČNÍHO SCHEMATU.............................................................................. 273.4. KONVERGENCE. .............................................................................................................. 28

3.4.1. Residuály ................................................................................................................... 283.4.2. Urychlení konvergence ............................................................................................. 303.4.3. Relaxace .................................................................................................................... 30

4. TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ SKUTEČNÝCH KAPALIN................................................. 32

4.1. KLASIFIKACE PROUDĚNÍ SKUTEČNÝCH KAPALIN ............................................................. 324.2. TURBULENTNÍ PROUDĚNÍ ................................................................................................ 34

4.2.1. Teorie turbulence ...................................................................................................... 354.2.2. Metody matematického modelování turbulentního proudění ................................ 38

Obsah

iii

4.2.3. Reynoldsova rovnice ................................................................................................. 394.2.4. Boussinesquova hypotéza o vírové (turbulentní) viskozitě.................................... 43

5. STATISTICKÉ MODELY TURBULENCE ......................................................................... 45

5.1. MODEL SMĚŠOVACÍ DÉLKY (NULAROVNICOVÝ MODEL) - PRANDTL ................................. 465.2. JEDNOROVNICOVÝ MODEL .............................................................................................. 465.3. DVOUROVNICOVÝ K-e MODEL ......................................................................................... 475.4. RNG K-e MODEL ............................................................................................................. 485.5. REYNOLDSŮV NAPĚŤOVÝ MODEL (RSM) ........................................................................ 485.6. MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ V BLÍZKOSTI STĚNY, STĚNOVÉ FUNKCE .................................. 49

5.6.1. Teorie stěnových funkcí dle Laundera a Spaldinga ............................................... 505.6.2. Modelování proudění v blízkosti stěny ve Fluentu ................................................. 515.6.3. Nerovnovážná stěnová funkce ................................................................................. 545.6.4. Použití stěnových funkcí a omezení ........................................................................ 555.6.5. Dvouvrstvový model (near-wall modelling) ............................................................. 555.6.6. Vliv kvality sítě na volbu stěnové funkce pro různé modely turbulence ............... 565.6.7. Vliv drsnosti na stěnovou funkci ............................................................................... 57

6. MATEMATICKÝ MODEL TURBULENCE PRO STLAČITELNÉ NEIZOTERMNÍPROUDĚNÍ ..................................................................................................................................... 58

6.1. K-e DVOUROVNICOVÝ MODEL TURBULENCE .................................................................... 586.2. OKRAJOVÉ PODMÍNKY PRO K-e TURBULENTNÍ MODEL .................................................... 59

6.2.1. Hmotnostní průtok ..................................................................................................... 596.2.2. Turbulentní veličiny ................................................................................................... 596.2.3. Tlak na vstupu ........................................................................................................... 606.2.4. Tlak na výstupu ......................................................................................................... 626.2.5. Outflow ....................................................................................................................... 62

7. ŘEŠENÍ PŘENOSU TEPLA (KONVEKCE, KONDUKCE) ............................................. 63

7.1. ÚVOD DO PROBLEMATIKY MODELOVÁNÍ PŘENOSU TEPLA............................................... 637.1.1. Kondukce – vedení tepla .......................................................................................... 637.1.2. Konvekce ................................................................................................................... 65

7.2. MATEMATICKÝ MODEL PŘENOSU TEPLA ......................................................................... 667.2.1. Přenos tepla v tekutinách ......................................................................................... 667.2.2. Přenos tepla ve vodivých stěnách ........................................................................... 67

7.3. HUSTOTA ZÁVISLÁ NA TEPLOTĚ A TLAKU, BOUSSINESQOVA APROXIMACE ..................... 687.3.1. Vyjádření hustoty pro stlačitelné médium ............................................................... 687.3.2. Vyjádření hustoty pro nestlačitelné médium ........................................................... 687.3.3. Boussinesquova aproximace ................................................................................... 69

Obsah

iv

7.4. OKRAJOVÉ PODMÍNKY PRO NEIZOTERMNÍ PROUDĚNÍ ..................................................... 717.4.1. Okrajové podmínky na tenké stěně ......................................................................... 737.4.2. Okrajové podmínky na tenké dvoustranné stěně ................................................... 747.4.3. Výpočet teploty a hustoty tepelného toku na stěně ................................................ 75

8. MODELOVÁNÍ PROUDĚNÍ PŘÍMĚSÍ ............................................................................... 80

8.1. TRANSPORTNÍ ROVNICE PRO PŘENOS PŘÍMĚSÍ .............................................................. 808.2. DEFINICE ZDROJE PŘÍMĚSI ............................................................................................. 81

8.2.1. Zdroj-inlet ................................................................................................................... 828.2.2. Objemový zdroj .......................................................................................................... 82

8.3. FYZIKÁLNÍ VLASTNOSTI PLYNŮ A JEJICH SMĚSÍ ............................................................... 838.3.1. Hustota ....................................................................................................................... 838.3.2. Viskozita ..................................................................................................................... 848.3.3. Měrná tepelná kapacita ............................................................................................ 858.3.4. Tepelná vodivost ....................................................................................................... 858.3.5. Standardní slučovací entalpie a entropie ................................................................ 85

8.4. OKRAJOVÉ PODMÍNKY PRO PŘÍMĚSI NA VSTUPU, VÝSTUPU A STĚNĚ.............................. 86

9. VÍCEFÁZOVÉ MODELY ..................................................................................................... 89

9.1. VÍCEFÁZOVÉ MODELY OBECNĚ ....................................................................................... 899.1.1. Euler-Lagrangeův přístup ......................................................................................... 909.1.2. Euler-Eulerův přístup ................................................................................................ 90

9.2. VÍCEFÁZOVÉ MATEMATICKÉ MODELY .............................................................................. 919.2.1. Vícefázový model směsi (mixture model) ............................................................... 939.2.2. Trajektorie pevných částic v plynu ........................................................................... 97

10. ČASOVĚ ZÁVISLÉ ŘEŠENÍ ............................................................................................ 103

10.1. DISKRETIZACE ČASOVĚ ZÁVISLÉ ROVNICE .................................................................... 10410.2. OKRAJOVÉ PODMÍNKY................................................................................................... 106

10.2.1. Tabulka pro časovou okrajovou podmínku ........................................................ 10610.2.2. UDF pro okrajovou podmínku ............................................................................. 108

10.3. PŘÍKLAD VYHODNOCENÍ ČASOVĚ ZÁVISLÉ ÚLOHY ........................................................ 108

11. MĚŘENÍ A VÝPOČET TURBULENCE PŘI OBTÉKÁNÍ VÁLCEV AERODYNAMICKÉM TUNELU ............................................................................................. 113

11.1. TEORETICKÝ ROZBOR ÚLOHY OBTÉKÁNÍ VÁLCE ............................................................ 11311.2. FYZIKÁLNÍ EXPERIMENT ................................................................................................ 11311.3. MATEMATICKÝ MODEL................................................................................................... 11811.4. VYHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ FYZIKÁLNÍHO EXPERIMENTU A MATEMATICKÝCH MODELŮ .. 121

Obsah

v

12. LITERATURA .................................................................................................................... 128

13. PŘÍLOHA - SČÍTACÍ PRAVIDLA .................................................................................... 131

13.1. DEFINICE A PRAVIDLA ................................................................................................... 13113.2. PŘÍKLADY ...................................................................................................................... 13213.3. SROVNÁNÍ S VEKTOROVÝM OZNAČENÍM ....................................................................... 13313.4. SUBSTANCIÁLNÍ DERIVACE ........................................................................................... 134

14. PŘÍLOHA - ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ METODY ......................................................... 136

14.1. STŘEDNÍ HODNOTA ....................................................................................................... 13614.2. REYNOLDSOVA PRAVIDLA ............................................................................................. 137

14.3. ROZPTYL, SMĚRODATNÁ ODCHYLKA, TURBULENTNÍ INTENZITA, KOVARIANCE, KORELACE

138

15. PŘÍLOHA - ROZKLAD V TAYLOROVU ŘADU............................................................. 140

15.1. DEFINOVÁNÍ PROBLÉMU ................................................................................................ 14015.2. TAYLORŮV ROZVOJ ....................................................................................................... 140

Seznam použitých označení

vi

SEZNAM POUŽITÝCH OZNAČENÍPoznámka: označení, u něhož není uveden rozměr, reprezentuje obecnou proměnnou.

a okamžitá hodnota veličiny

a¢ fluktuační složka veličiny

a časově středovaná složka veličiny

ar obecný vektor

S,A plocha [m2 ]

A Van Driestova konstanta [1]

DC konstanta [1]

nC empirická konstanta [1]

mC konstanta [1]

e1C empirická konstanta [1]



c rychlost zvuku [ms-1]

vc měrná tepelná kapacita při konstantním objemu [J×kg-1×K-1]

pc měrná tepelná kapacita při konstantním tlaku [J×kg-1×K-1]

mnD , difúzní koeficient pro příměs n ve směsi [m2s-1]

f frekvence [s-1]

ii Ff , síla [N]

cf Coriolisův parametr [s-1]

E energie [J×kg-1]

E empirická konstanta [1]

( )JFi i-tá složka složka vektoru hustoty toku veličiny J

G termická produkce turbulentní kinetické energie [m2s-3]

Gr Grashofovo číslo [1]

g tíhové zrychlení [ms-2]

fh součinitel přestupu tepla [W×m-2×K-1]


vii

h statická entalpie [J×kg-1]

oh celková entalpie [J×kg-1]

I intenzita turbulence [%]

kjirrr

,, jednotkový vektor ve směru os x, y, z [1]

J bilancovaná veličina

wpe JJJ ,, hmotnostní tok přes stěny konečných objemů [kg×m-2s-1]

k turbulentní kinetická energie [m2s-2]

Pk turbulentní kinetická energie v logaritmické vrstvě [m2s2]

I , L délkové měřítko turbulence [m]

ml směšovací délka [m]

M Machovo číslo [1]

jn j-tá složka normálového vektoru [1]

nr vektor vnější normály k ploše [1]

p tlak [Pa]

opp operační tlak [Pa]

sp statický tlak [Pa]

P mechanická produkce turbulentní kinetické energie [m2s-3]

( )JP hustota produkce veličiny J

Pr molekulové Prandtlovo číslo (stěnové funkce) [1]

h,Pr st turbulentní Prandtlovo číslo [1]

Q průtok [ m3s-1]

r měrná plynová konstanta [J.kg-1.K-1]

q ¢¢ tepelný tok [J×m -2×s-1]

R reziduál

R normalizovaný reziduál [1]

Ra Rayleighovo číslo [1]

Re Reynoldsovo číslo [1]

yRe turbulentní Reynoldsovo číslo buňky [1]

wr polohový vektor na stěně [m]

S modul tensoru střední rychlosti deformace [s-1]


viii

jiS , tensor rychlosti deformace [s-1]

Sc Schmidtovo číslo [1]

t čas [s]

T absolutní teplota [K]

iu i-tá složka rychlosti [ms-1]

iu i-tá složka střední rychlosti [ms-1]

iu¢ i-tá složka fluktuační rychlosti [ms-1]

*, uu + rychlost definovaná stěnovou funkcí [ms-1]

tu třecí rychlost [ms-1]

V objem [m3]

ix souřadnice v kartézském systému [x1, x2, x3] nebo [x, y, z]

y kolmá vzdálenost od stěny [m]

*, yy + bezrozměrná veličina při odvozování stěnových funkcí [1]

*vy bezrozměrná tloušťka podvrstvy [1]

vy tloušťka vazké podvrstvy [m]

PyD vzdálenost bodu P od stěny ve směru normály [m]

a relaxační faktor [1]

a teplotní vodivost [m2s-1]

,, ze aaa k inverzní turbulentní Prandtlova čísla [m2s-1]

b součinitel teplotní roztažnosti [K-1]

ijd Kroneckerovo delta [1]

e rychlost disipace [m2s-3]

Pe rychlost disipace v logaritmické vrstvě [m2s-3]

F disipační funkce

tG turbulentní difusivita [m2s-1]

k von Kármánova konstanta, poměr měrných tepelných kapacit [1]

l součinitel tepelné vodivosti [W×m-1×K-1]

tl součinitel efektivní tepelné vodivosti [W×m-1×K-1]

m dynamická viskozita [Pa×s]


ix

effm efektivní viskozita [Pa×s]

tm turbulentní viskozita [Pa×s]

n kinematická viskozita [m2s-1]

tn turbulentní viskozita [m2s-1]

ijp celkový tenzor napětí [Pa]

r hustota [kg×m-3]

refr referenční hustota [kg×m-3]

ks empirická konstanta [1]

es empirická konstanta [1]

hs turbulentní Prandtlovo číslo [1]

t časová perioda [s]

t vazké napětí [Pa]

ijt tenzor vazkých napětí [Pa]

wt vazké napětí na stěně [Pa]

tt turbulentní napětí [Pa]

x druhá viskozita [Pa×s]

z obecná proměnná

Indexy:

i index složky rychlosti, index iterace [1]

i sčítací index [1]

lkj ,, sumační Einsteinův index [1]

pew ,, index stěny konečného objemu [1]

NBBFSNPW ,,,,,E,,

index konečného objemu [1]

Předmluva

x

PředmluvaTato skripta jsou určena pro posluchače všech fakult magisterských a doktorských

studijních proramů, kteří se chtějí seznámit se základy numerického modelování

přenosových jevů v tekutině, tj. přenosu hmoty, hybnosti (momentu), tepla, příměsí atd. při

laminárním a turbulentním proudění. Navazují na předchozí vydání s názvem „Matematické

modely nestlačitelného a stlačitelného proudění. Metoda konečných objemů.“ autorů M.

Kozubková, S. Drábková, P. Šťáva, které bylo přepracováno dle zkušeností při aplikacích ve

výuce a při užití software Fluent a CFX.

Numerické modelování mnoha fyzikálních jevů je úzce spojeno s modelováním určité

formy pohybu matematickými prostředky. Pohyb tekutin souvisí s řešením nejrůznějších

problémů, daných fyzikálním modelem:

· laminární a turbulentní proudění v jednoduchých i složitých geometriích

· stlačitelné a nestlačitelné proudění

· stacionární, nestacionární a přechodové proudění

· přenos tepla, přirozená a smíšená konvekce, radiace

· přenos chemické příměsi včetně chemických reakcí

· vícefázové proudění, proudění s volnou hladinou, proudění s pevnými částicemi,

bublinami, resp. kapkami

· hoření a chemické reakce

· proudění porézním prostředím, atd.

Matematický model spočívá v definici rovnic výše uvedené děje popisujících. Vzhledem

k tomu, že se jedná o děje rovinné dvourozměrné, osově symetrické nebo obecně

trojrozměrné a časově závislé, jsou popsány soustavou parciálních diferenciálních rovnic,

kterou je nutné řešit numerickými metodami. Jejich využívání je podmíněno rozšířením

znalostí z oblasti proudění, turbulence, numerických metod, výpočetní techniky.

K řešení proudění je možno využít komerční programové systémy, jako je Fluent,

CFX a další. Úkolem uživatele je sestavní správného výpočtového modelu, což obsahuje

některé matematické, fyzikální a technické principy. Pro takový model je nutné najít všechny

vstupní údaje v platných normách, sestavit vstupní data pro program, kterým lze výpočtový

model řešit, provést řešení u terminálu, správně interpretovat výsledky pro další použití a ve

všech fázích provádět účinné kontroly všech vstupů a výstupů. Uživatel musí bezpečně

rozčlenit všechny informace na údaje geometrické (dvourozměrné nebo třírozměrné útvary,

topologie), údaje o působení vnějších sil a fyzikální údaje (informace o proudícím médiu,

Předmluva

xi

jeho fyzikálních vlastnostech). Tedy nezastupitelnou úlohou uživatele je znalost

hydromechaniky, termomechaniky a dalších věd podle složitosti problému.

Pokud jde o výpočetní metody, na nichž jsou založeny užívané programy, měl by

projektant znát jejich podstatu v rozsahu potřebném pro spolehlivé použití ve standardních

případech. U programu Fluent resp. CFX je třeba vědět, s jakými tvary konečných objemů se

bude pracovat, z toho vyplývá volba hustoty sítě, jaká aproximační schémata bude vhodné

použít, u dynamiky mít představu o charakteru časové závislosti jednotlivých veličin a z toho

vyplývající velikosti časového kroku, apod.

Neméně významnou částí je vyhodnocení výsledků, které je obzvlášť obtížné u

trojrozměrných úloh. Je optimální mít k dispozici alespoň orientační hodnoty počítaných

veličin, ideální je srovnání výsledků s experimentem.

Skripta jsou členěna do tří základních oblastí. V první oblasti je velmi stručně

definován matematický model nejjednoduššího typu proudění, popsána tvorba sítě a příklady

ilustrující zjednodušeně numerické řešení. Druhá část je věnována modelům turbulence,

stěnovým funkcím a okrajovým podmínkám. Pak následují aplikace na řešení proudění

s příměsí, přenosem tepla a vícefázové proudění. Tyto kapitoly jsou doplněny příklady

v jednoduchých geometriích, aby je bylo možno snadno testovat bez vytváření nové

geometrie a věnovat se novým matematickým modelům a způsobům vyhodnocení, které

v trojrozměrné geometrii není jednoduché. V přílohách jsou vysvětleny použité matematické

pojmy a označení.

V označení veličin se mohou vyskytnou jisté nejednotnosti, které jsou způsobené

čerpáním podkladů z literatury české a zahraniční. Úplné sjednocení by jistě bylo možné, ale

vzhledem k tomu, že tato skripta jsou jen určitým vodítkem pro numerické modelování a jistě

bude nutné doplňovat znalosti z doporučené literatury a především manuálu Fluentu, bylo

někde ponecháno označení veličin v souladu s tímto manuálem.

Skripta jsou doplněna dvěma skripty určenými pro cvičení s názvy:

Bojko, M.: Návody do cvičení „Modelování proudění“ Fluent

Blejchař, T.: Návody do cvičení „Modelování proudění“ CFX.

Úvod do numerického modelování proudění

1

1. Úvod do numerického modelování proudění1.1. Úvod do proudění tekutin

Proudění kapalin je možno rozdělit podle několika hledisek [25]:

1.1.1. Dělení podle fyzikálních vlastností tekutiny

Proudění ideální (dokonalé) tekutiny

· Potenciální proudění (nevířivé)

Částice tekutiny se pohybují přímočaře nebo křivočaře po dráhách tak, že vůči pozorovateli

se neotáčejí kolem vlastní osy viz obr. 1.1. Natočení částice na křivé dráze je kompenzováno

stejně velkým natočením částice kolem vlastní osy, ale v opačném smyslu. Mezi potenciální

proudění patří rovněž potenciální vír, u něhož částice krouží kolem vírového vlákna

potenciálně s výjimkou částice, která tvoří vlákno viz obr. 1.2.

· Vířivé proudění

Částice tekutiny se vůči pozorovateli natáčejí kolem vlastních os viz obr. 1.3

obr. 1.1 Potenciální proudění obr. 1.2 Potenciální vír obr. 1.3 Vířivé proudění

Proudění skutečné (vazké) tekutiny

· Laminární proudění

Částice tekutiny se pohybují v tenkých vrstvách, aniž se přemísťují po průřezu, viz obr. 1.4.

· Turbulentní proudění

Částice tekutiny mají kromě podélné rychlosti také turbulentní (fluktuační) rychlost, jíž se

PROUDĚNÍ TEKUTINY

proudění ideální(nevazké) tekutiny

proudění skutečné(vazké) tekutiny

laminární turbulentnípotenciální vířivé


2

přemísťují po průřezu viz obr. 1.5.

obr. 1.4 Laminární proudění obr. 1.5 Turbulentní

proudění

1.1.2. Dělení podle kinematických hledisek

Dělení proudění dle uspořádání v prostoru

· Proudění je třírozměrné neboli prostorové (3D), jestliže veličiny, např. rychlost, závisí

na poloze v prostoru ( )zyxvv ,,=

· Proudění dvourozměrné neboli rovinné (2D) je charakterizované veličinami, jako je

např. rychlost, závisí na poloze v rovině (příkladem je osově symetrické proudění

v potrubí) ( )yxvv ,=

· Proudění jednorozměrné (1D) předpokládá závislost počítaných veličin na poloze na

křivce (příkladem je proudění v potrubních systémech) ( )svv =

Dělení proudění podle závislosti na čase

· Proudění ustálené (stacionární) nezávisí na čase ( )tvv ¹ ; 0=¶¶t

· Proudění neustálené (nestacionární) je proudění, u něhož veličiny jsou závislé na

čase, ( )tzyxvv ,,,= ; ( )tsvv ,= ; ( )tvv = .

PROUDĚNÍ TEKUTINY

uspořádání v prostoru závislost na čase

1D 2D 3D stacionární nestacionární


3

z (x3)w (u3)v (u2)

y (x2)

u (u1)

x (x1)

obr. 1.6 Souřadný systém

V nejobecnějším případě je poloha

bodu definována souřadnicemi

( )zyxX ,,= resp. ( )321 ,, xxxX = .

Vektor rychlosti je definován

složkami ( )wvu ,,=u resp.

( )321 ,, uuu=u . Označení je patrné

z obr. 1.6

1.2. Přenos hmoty, hybnosti, tepla při neizotermním prouděnínestlačitelné tekutiny

Základní fyzikální zákony popisující proudění jsou zákony zachování hmotnosti,

hybnosti, tepla případně dalších skalárních veličin. Jsou vyjádřeny Navierovými Stokesovými

rovnicemi spolu s rovnicí kontinuity a popisují laminární i turbulentní režim proudění.

V případě nestacionárního nestlačitelného neizotermního proudění mají následující tvar

([20]):

Rovnice kontinuity:

Ozw

yv

xu =++

¶¶

¶¶

¶¶

( 1.2.1)

Navier-Stokesovy rovnice:

( ) ( ) ( )xfz

uyu

xu

xp

zuw

yuv

xuu

tu

+÷÷ø

öççè

æ+++-=+++ 2

2

2

2

2

21¶¶

¶¶

¶¶n

¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

( ) ( ) ( )yfz

vyv

xv

yp

zvw

yvv

xvu

tv

+÷÷ø

öççè

æ+++-=+++ 2

2

2

2

2

21¶¶

¶¶

¶¶n

¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

( ) ( ) ( )zfz

wyw

xw

zp

zww

ywv

xwu

tw

+÷÷ø

öççè

æ+++-=+++ 2

2

2

2

2

21¶¶

¶¶

¶¶n

¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

( 1.2.2)

kde podle schématu na obr. 1.6 jsou u , v a w složky rychlosti, p tlak, r hustota, n

kinematická viskozita a zyxf ,, označuje složky vnější objemové síly (gravitační, odstředivé

sily).

Rovnice pro přenos tepla, tj. zákon zachování energie je ve tvaru


4

( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2

af¶¶

¶¶

¶¶

a¶

¶¶

¶¶

¶¶¶

+÷÷ø

öççè

æ++=+++

zT

yT

xT

zwT

yvT

xuT

tT

÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷÷ø

öççè

æ++÷÷

ø

öççè

æ++÷÷

ø

öççè

æ++

+÷÷

ø

ö

çç

è

æ÷÷ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ+÷÷

ø

öççè

æ=

222

222

2

yw

zv

xw

zu

xv

yu

zw

yv

xu

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶f

( 1.2.3)

kdepcr

la = je teplotní vodivost, l je molekulová tepelná vodivost a pc je měrné teplo.

Při vyjádření proměnných o třech případně devíti složkách (složky rychlostí, napětí

apod.) je vhodné využít speciální zkrácené označení s přesně definovanými pravidly, známé

jako Einsteinova sumace, viz kap. 13, kdy pouze jedním členem lze vyjádřit všechny tři

složky rychlostí resp. devět napětí. Totéž lze pro přehlednost vyjádřit matematicky užitím

znaku sumy. Tedy rovnice kontinuity se zapíše zjednodušeně:

Oxu

xu

xu

=++3

3

2

2

1

1

¶¶

¶¶

¶¶

resp. Oxun

j j

j =å=1 ¶

¶ resp. O

xu

j

j =¶¶

( 1.2.4)

Navier-Stokesovy rovnice podobně:

( )i

n

j j

i

i

n

j j

jii fxu

xp

xuu

tu

++-=+ åå== 1

2

2

1

1¶¶n

¶¶

r¶¶

¶¶

resp.

( )i

j

i

ij

jii fxu

xp

xuu

tu

++-=+ 2

21¶¶n

¶¶

r¶¶

¶¶

, ni ,...,1=

( 1.2.5)

kde důsledně index i vyjadřuje složku vektoru a index j (případně další podle abecedy)

vyjadřuje sčítací index ( 3resp.2,1=j ).

Rovnice pro přenos tepla lze podobně zapsat:

( )2

2

af¶¶a

¶¶

¶¶ +=+ åå

==

n

nj j

n

nj j

j

xT

xTu

tT ,

åå= =

÷÷ø

öççè

æ+=

n

j

n

l j

l

l

j

xu

xu

1 1

2

21

¶¶

¶¶

f

resp.

( )2

2

af¶¶a

¶¶

¶¶ +=+

jj

j

xT

xTu

tT

( 1.2.6)


5

2

21

÷÷ø

öççè

æ+=

j

l

l

j

xu

xu

¶¶

¶¶

f

1.3. Parciální diferenciální rovnice a okrajové podmínkyRovnice pro zachování hmotnosti, hybnosti, rovnice energie a rovnice pro transport

chemické příměsi v obecné konzervativní formě tvoří systém parciálních diferenciálních

rovnic, přitom všechny rovnice lze formálně vyjádřit zápisem

( ) ( ) zz ¶z¶

a¶

¶zr¶

¶¶rz¶ S

xxu

xt jjj

j

+úúû

ù

êêë

é+-=

akumulace konvekce difúze zdroj

( 1.3.1)

kde z je proměnná a členy na pravé straně jsou postupně konvektivní, difúzní a zdrojový

člen, proto se rovnice nazývá také konvekčně-difúzní rovnice. Pokud z představuje teplotu,

příměs nebo jinou skalární veličinu, pak se jedná o lineární rovnici druhého řádu, pokud z

představuje složku rychlosti, lze tuto rovnici lze považovat za nelineární rovnici druhého

řádu.

Převládá-li vliv difúzního členu, jedná se o rovnice eliptické, u parabolických rovnic

převládá vliv konvektivního transportu a u hyperbolických rovnic jsou významné tlakové

změny. Rovnice ( 1.3.1) však sama nestačí k určení funkce z . Aby byla funkce určena, je

třeba znát ještě doplňující podmínky.

Nechť je definován problém najít rozložení teploty v daném tělese. Předpokládejme,

že hledaná funkce T (tedy teplota) je funkcí následných prostorových nezávisle proměnných

a čase

T=T(t,x)

2

2

xT

tT

¶¶a

¶¶

=( 1.3.2)

T=T(t,x, y)

2

2

2

2

yT

xT

tT

¶¶a

¶¶a

¶¶

+=

T=T(t, x, y, z)

2

2

2

2

2

2

zT

yT

xT

tT

¶¶a

¶¶a

¶¶a

¶¶

++=

Pokud je funkce T závislá pouze na prostorových souřadnicích a nezávislá na čase,

úloha se nazývá stacionární. Problém se zkomplikuje, jestliže je funkce T závislá na čase a


6

eventuelně na prostorových souřadnicích, jak bylo uvedeno výše. Např. těleso je ohříváno

nebo ochlazováno s rostoucím časem, pak se úloha nazývá nestacionární a funkce T je

funkcí následných nezávisle proměnných.

NEZÁVISLE PROMĚNNÉ

stacionární proudění nestacionární prouděnít

x t, x

x, y t, x, y

x, y, z t, x, y, z

Fyzikální děje (tj. rozložení teplot), jsou popisovány diferenciálnímí rovnicemi dvojího typu

· obyčejné diferenciální rovnice, tj. )(tTT = , resp. )(xTT = , např. ( )tfdtdT = ,

resp. ( )xgdxdT = , tj. T je funkcí pouze jedné nezávislé proměnné

· parciální diferenciální rovnice, tj. ),( yxTT = , ),,( zyxTT = , ),( xtTT = ,

),,( yxtTT = , ),,,( zyxtTT =

T=T1

t

T=T2

x L

D

T(x)=j(x)

obr. 1.7 Definice oblasti

Např. rovnice vedení tepla v tyči je

2

2

xT

tT

¶¶a

¶¶

=

Pro rovnici vedení tepla v tyči se řešení

hledá v obdélníku ( )txD , , viz obr. 1.7, a

musí splňovat tzv. počáteční podmínku

(jistá analogie s řešením obyčejných

diferenciálních rovnic)

Pro teplotu T je počáteční podmínka definována následovně:

( ) ( ) LxxxT áá= 00, j ( 1.3.3)

V případě, že se v rovnici vyskytuje i druhá derivace funkce T podle t, bude definovaná i

druhá počáteční podmínka jako( ) ( )xtxT y

¶¶

=0,

.

Okrajová podmínka definuje teplotu na počátku a konci oblasti (okraj tyče)

( ) ( )( ) ( )tTtLT

tTtT

2

1

,,0

=

=( 1.3.4)


7

Úloha najít řešení rovnice ( 1.3.1) splňující okrajové i počáteční podmínky se nazývá

smíšenou úlohou. Jsou-li okrajové podmínky rovny nule, nazývají se homogenní okrajové

podmínky, podobně jsou-li počáteční podmínky rovny nule, nazývají se homogenní

počáteční podmínky. Místo okrajových podmínek ( 1.3.4) mohou být dány podmínky jiného

typu, které se též nazývají okrajové.

Úvaha o okrajových a počátečních podmínkách pro teplotu je platná pro obecnou

proměnnou z .

1.4. Okrajové podmínky proudění nestlačitelné tekutiny

1.4.1. Typy okrajových podmínekOkrajové podmínky nemusí být jen konstantní veličiny, ale mohou nabývat hodnot

definovaných funkcí, tabulkou atd. ([15]):

· konstanty .konsty =

· polynom. funkce ...)( 2210 +++= xAxAAxy ,

kde koeficienty se zadávají pouze na 5 platných

cifer

· derivace podle normály (OUTLET, teplotní

tok) ( ) .1konstxxy =

¶¶

· po částech lineární funkce (piecewice linear)

( ) ( ) ( ) ( )NN yxyxyxyx ,...,,,,,, 332211

· kombinace polynom. a po částech lin.

funkce

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0 0.5 1 1.5 2

u [m.s-1]

y[m

]

u-konst

u-polynom

u-po částechlin. funkce

obr. 1.8 Profily rychlostí

1.4.2. Podmínky vstupu a výstupu. Pro dvě průtočné hranice mohou

nastat pouze následující základní

kombinace okrajových podmínek,

(kombinace vstupní rychlosti a výstupní

rychlosti nemůže nastat, protože rychlost

na druhém vstupu se počítá z rovnice

spojitosti). Při uvažování rovnice energie

se zadává navíc hodnota teploty, viz.obr.

1.9.

o utlet

rychlo st t lak stat.

rych lo st t lak stat.

tlak totál.

obr. 1.9 Kombinace vstupních a výstupních

okrajových podmínek

Podmínky na průtočných hranicích - na vstupních a výstupních průtočných hranicích


8

lze definovat tři typy okrajových podmínek

VSTUP VÝSTUP

rychlost u podmínka ustáleného proudu

0,0,0 =¶¶=

¶¶=

¶¶

nT

np

nu

totální (celkový) tlak totp

2

21 upppp statdynstattot r+=+=

statický tlak statp

teplota T

Podmínky na stěně - stěna může být nepohyblivá (rychlost tekutiny je rovna nule) nebo

pohyblivá (např. rotující nebo klouzající), se třením nebo bez tření, hladká nebo drsná.

Teplota je dána formou hodnoty nebo derivace podle nomály ke stěně, např. 0=¶¶

nT je

izolovaná stěna.

Podmínky symetrie - nulová normálová rychlost a nulové normálové gradienty všech

hledaných veličin, viz obr. 1.11.

Podmínky osové symetrie – definují osu při osově symetrických dvourozměrných

úlohách, viz obr. 1.10.

osasymetrie

řešenáoblast

obr. 1.10 Válec s osou symetrie a rovinou, pro

kterou je řešeno proudění.

rovinasymetrie

řešenáoblast

obr. 1.11 Válec s rovinou symetrie a

oblast, pro kterou je řešeno proudění.

Periodické (cyklické) podmínky – používají se v případě, kdy se opakují proudové

útvary, mohou být rotačního typu a translačního typu, kdy se umožňuje definování tlakového

spádu ve směru proudící tekutiny po celé délce oblasti.

Všechny typy podmínek mohou být časově závislé, pokud to vyžaduje jejich charakter.

Další okrajové podmínky se netýkají proudění jako takového, ale dalších veličin vyplývajících

ze složitosti matematického modelu, jako je skalární veličina teplota, teplotní toky, radiace,

hmotnostní zlomky (resp. molové zlomky) příměsí apod.


9

periodické periodicképodmínky podmínky

řešená řešenáoblast oblast

periodické podmínky periodické podmínky

rotačního typu translačního typu

obr. 1.12 Periodické podmínky rotačního a translačního typu

1.5. Řešení rovnice vedení teplaCílem numerických metod pro řešení parciálních diferenciálních rovnic je hledat

diskrétní řešení definované v dostatečně malých podoblastech základní oblasti pomocí

systému tzv. diferenčních (algebraických) rovnic v základních bodech

· dělení oblasti na diskrétní geometrické elementy – vytvoření sítě

· bilancování neznámých veličin v konečných objemech nebo uzlech a diskretizace

· numerické řešení diskretizovaných rovnic v obecném tvaru

přitom diskretizační chyba se definuje jako rozdíl mezi řešením diferenciálních a diferenčních

rovnic. Základní vlastnosti numerických metod jsou:

· míra přesnosti diskretizační chyby a residuálu

· míra stability

Existuje určitý vývoj v numerickém řešení rovnic definujících proudění tekutin.

Nejstarší klasickou metodou je diferenční metoda. Princip diferenční metody pro řešení

diferenciálních rovnic lze popsat následovně

· oblast, ve které se hledá řešení, se pokryje sítí složenou z konečného počtu

nepřekrývajících se elementů. Nejjednodušší sítě jsou


10

úsečky v jednorozměrném případě

Dx

obdélníky ve dvourozměrném případě

Dx

Dy

šestistěny ve trojrozměrném případě

Dx

Dz

Dy

· v těchto bodech se nahradí derivace diferencemi o různých přesnostech (např.

xTT

xT

xT ii

ii D-

=÷øö

çèæ

DD

»÷øö

çèæ +1¶

), vztahy pro potřebné derivace se odvodí z Taylorova rozvoje

se specifickým označením souvisejícím s prouděním, viz kap. 15,

· diferenciální rovnice přejde na soustavu algebraických rovnic o neznámých, které určují

přibližné hodnoty neznámé funkce ve všech uzlech sítě,

· soustava algebraických rovnic se řeší numericky.

Příklad

Řešte rovnici vedení tepla v tyči, danou parabolickou diferenciální rovnicí

2

2

xT

tT

¶¶a

¶¶

=

Řešení se hledá v obdélníku D ( )xt, , viz obr. 1.13, musí splňovat podmínky:

počáteční podmínka ( ) ( ) LxCxTxT O áá== 0200, 0 .

okrajová podmínka( ) ( )( ) ( ) CtTtLT

CtTtT O

02

1

20,80,0

==

==


11

D

T=T0(x)

T=T2T=T1

x L

t

t=0

n+1

n-1

i+1

i

i-1

iDx

Dt

i

n

Ti,n+1

obr. 1.13 Geometrie oblasti, okrajové podmínky, síť

Diferenční rovnice vedení tepla má

tvar

2,,1,1,1, 2

xTTT

tTT ninininini

D-+

=D

- -++ a

a po úpravě platí

2,,1,1

,1,2

xTTT

tTT ninininini D

-+D+= -+

+ a

Tedy lze explicitně vyjádřit 1, +niT

pomocí hodnot v předchozím

časovém kroku n. V tomto

jednoduchém případě lze najít

řešení v Excelu

Tabulka zadání parametrů pro iterační výpočet

a= 0.1 T(x=0)= 80 koef= 0.5

L= 1 T(x=L)= 20 Dx= 0.1

n= 10 T(t=0)= 20 Dt= 0.05

time 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50BC 0 80.00 80.00 80.00 80.00 80.00 80.00 80.00 80.00 80.00 80.00 80.00

0.1 20.00 50.00 50.00 57.50 57.50 61.25 61.25 63.59 63.59 65.23 65.23

0.2 20.00 20.00 35.00 35.00 42.50 42.50 47.19 47.19 50.47 50.47 52.93

0.3 20.00 20.00 20.00 27.50 27.50 33.13 33.13 37.34 37.34 40.63 40.63

x 0.4 20.00 20.00 20.00 20.00 23.75 23.75 27.50 27.50 30.78 30.78 33.59

0.5 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 21.88 21.88 24.22 24.22 26.56 26.56

0.6 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.94 20.94 22.34 22.34 23.93

0.7 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.47 20.47 21.29 21.29

0.8 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.23 20.23 20.70

0.9 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.12 20.12

BC 1 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00 20.00

Konvergence úlohy závisí na volbě časového a prostorového kroku. Dalším problémem je

efektivní řešení této soustavy algebraických rovnic.


12

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0.00 0.

10 0.20 0.

30 0.40 0.

50 0.60 0.

70 0.80 0.

90 1.00

0.00

10.00

20.00

30.00

40.00

50.00

60.00

70.00

80.00

T

length

time

obr. 1.14 Grafické zobrazení řešení v Excelu.

1.6. Řešení proudění při náhlém rozšíření průřezuTato kapitola ilustruje, jak zadávat a řešit nestlačitelné proudění při náhlém rozšíření

průtočného průřezu ve Fluentu, což je jednou ze základních testovacích úloh proudění,

zkoumaných jak experimentálně tak numericky. Úkolem je:

· definovat fyzikální model, fyzikální vlastnosti proudícího média a stěn,

· definovat matematický model, okrajové podmínky,

· vytvořit geometrii a sítě,

· zadat okrajové a počáteční podmínky ve Fluentu, výpočet

· vyhodnotit vypočtené veličiny

Příklad

Fyzikální model je dán tvarem oblasti, typem proudění a hydraulickými parametry

proudění. Schéma oblasti je zobrazeno na obr. 1.15 a rozměry s fyzikálními vlastnostmi

v tabulce.


13

obr. 1.15 Geometrie problému

Geometrie oblasti

délka oblasti L [m] 3.5

výška oblasti d [m] 0.5

rozšíření ss xdL [mxm] 0.7 x 0.1

Fyzikální vlastnosti tekutiny

Předpokládá se proudění nestlačitelné tekutiny o parametrech

hustota tekutiny r [kg.m-3] 1.2

dynamická viskozita m resp. h [kg.(m.s)-1] 0.0000171

Okrajové podmínky

Okrajové podmínky na vstupu jsou definovány rychlostí a na výstupu je dána podmínka

ustáleného proudu (OUTFLOW). Na stěnách se předpokládá nulová rychlost proudění.

vstup - střední rychlost su [m.s-1] 3

výstup OUTFLOW

Reynoldsovo číslom

r du s=Re [1]84705

Matematický modelZ okrajových a fyzikálních podmínek je možno určit Reynoldsovo číslo jako

bezrozměrné kritérium pro rozhodnutí, zda je proudění laminární nebo turbulentní. Hodnota

Reynoldsova čísla charakterizuje proudění v přechodové oblasti mezi laminárním a

turbulentním prouděním. Bude se tedy řešit na úvod jako laminární.

u

d

L

zOblast prouděníd-ds

ds

Ls


14

Vytvoření geometrie a sítě

V prostředí GAMBIT se vytvoří přesná geometrie metodou podobnou prostředí CAD

programů. Navíc se využije možností tohoto programu tvořit sítě. Výsledná síť by měla mít

tvar zohledňující oblasti zavíření a vývoj rychlostního profilu v blízkosti stěny, viz obr. 1.16.

obr. 1.16 Výpočetní síť v podélném řezu

Výsledky výpočtuPro přehlednost se uvádějí možnosti vyhodnocení, jako jsou vektory rychlosti, profily

rychlosti a vyplněné izočáry.

obr. 1.17 Vektory rychlosti u


15

obr. 1.18 Detail oblasti zavíření (vektory rychlosti u).

obr. 1.19 Vyplněné izočáry statického tlaku

Tvorba geometrie a výpočtové sítě

16

2. Tvorba geometrie a výpočtové sítě2.1. Pojem „síť“ a jeho význam pro matematické modelování

Síť představuje systém rozdělení výpočtové oblasti na dílčí na sebe navazující 2D

buňky ve dvoudimenzionálním prostoru nebo 3D buňky ve třídimenzionálním prostoru ([23]).

Lze říci, že výpočtová oblast pokrytá sítí je základem matematického modelování. Neboť

samostatný matematický model (systém matematických vztahů) je pouze „pasivním“

nástrojem, který nabývá smyslu až ve chvíli, kdy je aplikován na konkrétní problém

(výpočtovou oblast pokrytou sítí).

Pokud se hovoří o matematických modelech, které jsou založeny na numerickém

řešení systému parciálních diferenciálních rovnic a vyžadují takto i zadání okrajových

podmínek, lze konstatovat, že možnosti realizování úlohy jsou silně limitovány výkonem

počítačové techniky. Platí zde několik zásad:

· výpočet je o to náročnější (pomalejší), čím více rovnic je v rámci matematického

modelu do výpočtu zahrnuto (podle náročnosti a komplexnosti modelu);

· výpočet je o to náročnější, čím více má výpočtová oblast buněk;

· výpočet je o to náročnější, čím méně kvalitní je síť výpočtové oblasti.

V zájmu přesnosti matematické simulace je nutné provést tomu odpovídající

nastavení matematického modelu. Do různých modelovaných fyzikálních jevů mohou svým

vlivem zasahovat mnohé jevy další. Toto všechno je třeba v nastavení zohlednit. Ovšem

s každým dalším vlivem vstupujícím do výpočtu přibývají také další rovnice, které

matematický model musí řešit. Proto se mohou i při stejně definované výpočtové oblasti i síti

časy výpočtu u různých úloh značně lišit.

Počet buněk patří k hlavním limitujícím faktorů současného matematického

modelování. U mnohých praktických úloh se počty buněk výpočtové oblasti pohybují v řádu

milionů či mnohdy i desítek milionů. Nejsou to zanedbatelná čísla, neboť v každé z buněk je

počítáno mnoho různých veličin. Proto je cílem každého řešitele s ohledem na budoucí čas

výpočtu redukovat počet buněk na nutné minimum. Z hlediska počtu buněk představuje

obrovský nárůst například vytváření tzv. mezních vrstev (viz dále).

Minimalizování počtu buněk by však nemělo být prováděno na úkor kvality sítě.

Kvalitní síť je taková, která se skládá z na sebe navazujících geometricky pravidelných

přibližně stejně velikých a pravidelně po celé výpočtové oblasti rozložených elementů

(buněk). Elementy by měly mít rovněž přiměřenou velikost, aby bylo možné jimi zachytit

v dostatečné míře modelovaný fyzikální děj (například turbulentní vírové struktury a jevy


17

související s šířením tepla). Z hlediska reálného možného počtu buněk však v praxi dodržení

všech ideálních předpokladů pro tvorbu sítě není většinou možné. Proto se používá

zhušťování sítě v místech, která jsou z hlediska proudění tekutin nebo sdílení tepla pro

řešitele zajímavá nebo pro výpočet stěžejní a naopak použití řidší sítě v místech jiných.

Zvláštním případem zhuštění buněk je vytvoření tzv. mezní vrstvy v blízkosti stěn, která má

za úkol zachytit velké změny fyzikálních veličin u stěny. Zhušťování buněk by mělo být

plynulé. Pokud by byla změna ve velikosti buněk provedena příliš velikou skokovou změnou,

projevilo by se to znatelně na průběhu výpočtu (problémy s konvergencí úlohy) i konečném

výsledku výpočtu (chybný výsledek v daném místě výpočtové oblasti).

2.2. Gambit, prvky sítěFunkce Gambitu je mnohem širší, než jen fyzické kreslení oblasti a síťování. Na obr. 2.1

je schématicky znázorněna základní struktura zapojení ostatních programů do tvorby sítě.

obr. 2.1 Funkce programu Gambit.

Numerická metoda konečných objemů je založena na vytvoření systému

nepřekrývajících se elementů, konečných objemů. Původně byla metoda konečných objemů

postavena na konečných objemech tvaru obdélníků a křivočarých čtyřúhelníků ve

FLUENTZákladní struktura programu

FLUENT

FLUENT1. Geometrie, tvorba sítě2. Fyzikální model3. Okrajové podmínky5. Fyzikální vlastnosti6. Parametry výpočtu7. Výpočet8. Vyhodnocení, interpretace výsledků

GAMBIT-Definice geometrie-2D/3D síť

jiné CAD/CAE systémy

TGRID-2D/3D síť-hybridní sítě

síť

geometriesíť

2D/3D síť síť na hranicíchoblasti

síť na hranicíchoblasti/v objemu


18

dvourozměrném případě a kvádrů nebo obecných šestistěnů v trojrozměrných úlohách (viz

obr. 2.2). Takto vytvořená síť se nazývá strukturovaná síť. Zásadním pravidlem je, že

hranice prvků musí sousedit s jedinou hranicí sousedního elementu, nelze tedy libovolně

zhušťovat síť (je analogií pro metodu konečných diferencí včetně možnosti použití

indexování). Také výsledná výpočtová oblast je pak kvádr nebo obdélník. V současné době

se začíná prosazovat nový přístup, kdy se buduje tzv. nestrukturovaná síť. Konečným

objemem je ve 3D kvádr, čtyřstěn, prizmatický a pyramidový prvek, jehož výhody byly

ověřeny v úlohách pružnosti, řešených metodou konečných prvků.

obr. 2.2 Tvar konečného objemu

Výše vyjmenované prvky se v současné době mohou kombinovat, čímž se získá optimální

síť, kde v okolí stěny jsou použity čtyřúhelníky a kvádry (pro výpočet z hlediska přesnosti

jsou optimální) a v dalších oblastech, kde nedochází z důvodu existence mezní vrstvy

k velkým gradientů řešených veličin, se použijí zbývající prvky. Ty zajistí snadnou změnu

hustoty sítě, viz obr. 2.3.

obr. 2.3 Použití různých typů prvků

kvádr čtyřstěn pyramidovýprvek

prizmatickýprvek


19

2.3. Kritéria pro posouzení kvality sítěKvalita sítě se posuzuje podle:

· velikosti buněk (s ohledem na modelovaný děj a požadavek na přesnost výpočtu)

· vhodnosti uspořádání buněk v prostoru (například zhuštění v místech zajímavých

z hlediska proudění tekutin) s ohledem na konkrétní typ úlohy

· kvality buněk (nesouměrnost – Skewness, poměr hran (ploch) prvků - Acpect Ratio,

atd.)

Nejvýznamnějším kriteriem pro posouzení kvality buňky je nesouměrnost, kdy se

posuzuje, jak hodně se buňka svým tvarem blíží ideálnímu pravidelnému geometrickému

tvaru v souladu s odpovídajícím schématem sítě. Pokud je buňka jakkoliv deformována, je

její kvalita horší. Obecně se kvalita každé buňky vyjadřuje bezrozměrným číslem v rozsahu 0

– 1, kde 0 znamená výsledek nejlepší a naopak 1 výsledek nejhorší, tedy problematickou

buňku pro výpočty. Tato hodnota se nazývá „míra skosení buňky“ (angl. „skewness

measure“) neboli také míra deformace.

obr. 2.4 Princip posuzování kvality 2D buňky

pro trojúhelníkové prvky (angl. „tri“)

obr. 2.5 Princip posuzování kvality 3D buňky

pro sítě tvořené čtyřstěny (angl. „tet“)

Pro určení kvality 2D buňky, resp. míry její deformace slouží následující vztah:

optimal

realoptimal

SSS

TRImeasureSkewness-

=)( ( 2.3.1 )

kde optimalS představuje „optimální plochu buňky“, realS „reálnou plochu buňky“ (která může,

ale také nemusí být optimální) a )(TRImeasureSkewness je anglický výraz pro „míru

deformace buňky“ vztahující se ke 2D trojúhelníkovému schématu sítě. U jiných schémat se

vychází z obdobné logiky. Výsledná hodnota by neměla přesáhnout 0.85. Pokud by se tak

stalo, je třeba buňku nebo schéma sítě upravit, aby nebyla ohrožena realizovatelnost a

Optimální buňka(rovnostranná)

Aktuální buňka

Teoretická obalováplocha koule

Optimální plocha(rovnostranná)

Aktuální plocha

Kružniceopsaná


20

přesnost výpočtu.

Pro určení kvality 3D buňky odpovídající schématu sítě tvořené čtyřstěny platí vztah

obdobný:

optimal

realoptimal

VVV

TETmeasureSkewness-

=)( , ( 2.3.2 )

kde optimalV představuje „optimální objem buňky“, realV „reálný objem buňky“ a

)(TETmeasureSkewness je anglický výraz pro „míru deformace buňky“ vztahující se ke

schématu 3D sítě tvořené čtyřstěny. Výsledná hodnota by neměla přesáhnout 0.9. Pokud by

se tak stalo, je opět třeba buňku nebo schéma sítě upravit.

obr. 2.6– Barevná orientační škála pro vyhodnocení kvality buněk sítě

(0 – nejkvalitnější buňky; 1 – nejméně kvalitní buňky)

Kvalita sítě se dá testovat a počítat v preprocesoru Gambit 2.2.30 pomocí příkazu

„TESTUJ SÍŤ“ (angl. „Examine Mesh“). Po zadání tohoto příkazu je k dispozici

okno poskytující několik možností, jak kontrolovat lokálně či globálně kvalitu sítě v celé

výpočtové oblasti. Výsledkem testu sítě je zbarvení buněk sítě do barevného odstínu, jež

odpovídá podle barevné orientační škály stupni kvality buňky.

2.4. Příklad vytvoření sítěPro ilustraci je prezentováno

vytvoření geometrického modelu

a sítě pro řešení proudění ve

ventilu při maximálním využití

dostupných prostředků pro

konstrukci prvků ([24]). Model je

vytvořen v CAD software Solid

Edge (obr. 2.7), který jako takový

nemá na program Fluent, lépe

řečeno na program Gambit,

žádnou návaznost. Proto se

tento model musel exportovat

obr. 2.7 Řez 3D modelem otevřeného pojistného ventilu

(čáry se šipkou značí směr proudu kapaliny)

(uložit) ve formátu, který je pro Gambit srozumitelný a dokáže načíst potřebná data o

geometrii modelu. Proto byl proveden export modelu ze Solid Edge do souboru o formátu


21

IGES a STEP, což jsou dva nejpoužívanější soubory pro obecné exportování dat, tedy

především geometrie modelu. Po importu do Gambitu překladač tohoto programu bohužel

nebyl schopen načíst celou geometrii. Proto se geometrie přenesla jako mezioperace do

programu Ideas, ze kterého se dále exportovala do IGES formátového souboru a následně

opět do programu Gambit.

Model je řešen jako konstruktérská

součást, což znamená z hlediska

proudění jako „skořápka“ kolem

fluidního jádra, viz obr. 2.8, se

kterým pracuje matematický

program Fluent. Nejdříve je nutno

provést separaci tohoto jádra od

skořápky pomocí booleanovských

příkazů. Odstranění všech objemů

součásti, které nejsou

v bezprostředním kontaktuobr. 2.8 Řez modelem s vytvořenou

oblastí proudění

s kapalinou (pružiny, těsnění, plastový obal atd.) se provede opět pomocí booleanovských

funkcí (průnik) a zůstane jen objem vnitřní, tedy objem fluidní (obr. 2.9), ve kterém bude

řešeno proudění.

obr. 2.9 Vnitřní objem pojistného ventilu obr. 2.10 Vytvořený zjednodušený objem

s naznačenou oblastí pro zhuštění

Geometrie je periodická, je tedy možno vytvořit zjednodušený objem (¼ původního objemu),

dále se zkrátí vstupní přívod a provede se „vyčištění“ geometrie o velmi skloněné hrany, viz

obr. 2.10. Toto zjednodušení pomáhá usnadnit a především urychlit výpočet.

2.4.1. Vytvoření sítěVzhledem ke složitosti 3D geometrie byla zvolena síť s tetra/hybridními prvky (3D

čtyřstěny), která je nestrukturovaná s velikostmi hran jednotlivých elementů 0.17 a bylo


22

vytvořeno zahuštěním kolem ostrých hran užitím size function v místě, jak je naznačeno na

obr. 2.11. S takto vytvořenou sítí se vygenerovalo 1 500 000 buněk.

obr. 2.11 Vytvořená síť s naznačeným zhuštěním kolem zvolených hran

Kvalita vytvořené sítě v této oblasti byla posouzena užitím vyhodnocení kriteria

nesouměrnosti (skewness) a zobrazena v detailu graficky, viz obr. 2.12.

obr. 2.12 Detail sítě s vyhodnocením kvality sítě.

V tomto případě je většina buněk síťované oblasti málo nebo středně deformovaná, avšak

několik buněk se pohybuje v zóně velké deformace. To však nevadí, protože při práci ve

Fluentu bude tato síťová doména převedena na mnohostěnné buňky s jinou kvalitou sítě z

důvodu výrazného urychlení výpočtu.


23

2.4.2. Definování okrajových podmínek v GambituGambit je také nástrojem k definování vlastností stěn v souvislosti s okrajovými

podmínkami a definování vnitřních oblastí pro případně vícefázové proudění nebo pro stěny

s přestupem tepla. Tedy lze definovat dva typy okrajových podmínek :

· okrajové podmínky na hranici

· podmínky pro oblasti kontinuity (continuum types), specifikace oblasti proudění nebo

pevné látky.

Vytvoření okrajových podmínek se realizuje zadáním vlastností vybraným oblastem modelu

pro další práci, tedy vytvoření tlakového vstupu, výstupu, vytvoření dvou symetrických stěn

(rotační součást) a ostatních stěn, které nemají jinou funkci než jen ohraničit „fluidní“ objem,

viz obr. 2.13.

Tlaková výpusť

Symetrická stěna

Symetrická stěna

Tlakový vstup

vstupní podmínka Pressure inlet

výstupní podmínka Pressure outlet

podmínka symetrie Symmetry 1,2.

zbylé stěny Wall

obr. 2.13 Okrajové podmínky

Takto vytvořený vysíťovaný model je vyexportován do souboru s příponou .msh a tím je

ukončena všechna práce v programu Gambit.

Programový systém Fluent

24

3. Programový systém Fluent3.1. Přehled metod řešení parciálních diferenciálních rovnicDiferenční metoda je nejstarší všeobecně známou metodou řešení diferenciálních

rovnic, která je použita v ilustrativním příkladu vedení tepla v tyči. Spočívá v nahrazení

derivací diferenčními podíly použitím Taylorova rozvoje, odvozením diferenčních rovnic a

jejich řešením.

Metoda konečných objemů spočívá stručně řečeno ve třech základních bodech

· dělení oblasti na diskrétní objemy užitím obecné křivočaré sítě

· bilancování neznámých veličin v individuálních konečných objemech a diskretizace

· numerické řešení diskretizovaných rovnic

Fluent definuje diskretní konečné objemy užitím non-staggered schematu, kdy všechny

proměnné jsou uchovávány ve středech konečných objemů.

V současné době se začíná prosazovat v řešení proudění také metoda konečnýchprvků, která spočívá v těchto bodech

· násobení diferenciální rovnice bázovými funkcemi

· dělení oblasti na trojúhelníkové nebo čtyřúhelníkové prvky ve dvourozměrné oblasti (2D)

a čtyřstěny resp. šestistěny ve třírozměrné oblasti (3D)

· integrace přes konečné elementy založená na variačním principu

· minimalizace reziduálů

Speciální metodou je spektrální metoda vhodná pro periodické proudění

v jednoduchých oblastech (Taylorovy víry vznikající v mezeře mezi koncentrickými válci,

z nichž jeden rotuje).

Další kapitoly jsou výhradně věnovány metodě konečných objemů.

3.2. Integrace metodou konečných objemůIntegrace diferenciálních rovnic je jednoduše vysvětlena při užití kartézských souřadnic

a pro jednoduchost na rovnicích o jedné prostorové nezávisle proměnné, které si lze

představit jako proudění v trojrozměrném prostoru, kde všechny derivace proměnných ve

směru y a z jsou nulové. Proudění je navíc stacionární (nezávislé na čase).

Rovnice kontinuity je definována takto:


25

0=xu

¶¶

( 3.2.1)

rovnice zachování hybnosti

( ) Sxu

xxpuu

x+ú

û

ùêë

é+-=

¶¶n

¶¶

¶¶

r¶¶ 1

( 3.2.2)

a rovnice pro přenos skalární veličiny

( ) zz ¶¶za

¶¶z

¶¶ S

xxu

x+úû

ùêëé= ( 3.2.3)

obr. 3.1 Souřadnicové schéma se speciálním značením buněk pro 1D a 3D model místo

indexů, kde N – sever (North), S – jih (South), E – východ (East), W – západ (West), F –

vpřed (Front), B – vzad (Back)

Integrací těchto rovnic přes konečné objemy se převedou výchozí diferenciální rovnice na

objemový integrál (dV=dx.dy.dz, dA=dy.dz), užitím divergenčního teorému

( ( )òòòòò ++=÷÷ø

öççè

æ++

Szyx

V

zyx dxdzadxdzadydzadxdydzza

ya

xa

¶¶

¶¶

¶¶ , [25]) na plošný (v

geometrii velká písmena označují středy konečných objemů a malá písmena hranice, tj.

stěny mezi konečnými objemy, viz obr. 3.1) a diskretizací na výsledný algebraický tvar

následujícím způsobem:

( ) ( ) ( )weV AV

uAuAdAudxdydzxudV

xu

-===ò òò ¶¶

¶¶

( 3.2.4)

Integrace rovnice kontinuity vede na tvar

( ) ( ) 0=- we uAuA

Fyzikálně výrazy na levé straně označují rozdíl objemových průtoků

0=- we QQ ( 3.2.5)

Integrací rovnice zachování hybnosti se získá


26

( ) Þ+úû

ùêë

é+-= S

xu

xxpuu

x ¶¶

n¶¶

¶¶

r¶¶ 1

( ) VSAx

uuAx

uuAppuQuQw

WPw

e

PEewewwee D+÷÷

ø

öççè

æD-

-÷÷ø

öççè

æD-

+--=- nnr1

( 3.2.6)

a rovnice pro skalární veličinu se upraví shodným postupem na tvar

VSAxx

QQw

WPw

e

PEewwee D+÷÷

ø

öççè

æD-

-D-

=- zzzazzazz ( 3.2.7)

V předchozích rovnicích se používají veličiny a koeficienty jednak definované ve středech

konečných objemů a jednak na stěnách těchto objemů (např. rychlost v rovnici ( 3.2.6)). To

je určitá nevýhoda a je v dalším nezbytně nutné ujednotit ukládání veličin pouze ve středech

konečných objemů. Pokud tato veličina bude určena na stěně, použije se interpolační

schéma pro interpolaci této veličiny do středu buňky. Pro ilustraci je použito nejjednodušší

schéma, tj. aritmetický průměr a diferenční schéma se zjednoduší. Např. rovnici ( 3.2.6) lze

upravit následovně:

( ) VSAx

uux

uuApp

uuQ

uuQ

w

WPw

e

EPewe

WPw

PEe

D+÷÷ø

öççè

æD

--

D-

+--=

=+

-+

nnr1

22 ( 3.2.8)

a rovnici pro obecnou proměnnou takto:

VSAxx

QQw

WPw

e

EPe

WPw

EPe D+÷÷

ø

öççè

æD

--

D-

=+

-+

zzz

azz

azzzz

22

Pak lze pro tuto obecnou rovnici v jednorozměrném případě vyjádřit zP pomocí hodnot

v sousedních konečných objemech následujícími úpravami

VSQxAQ

xA

xA

xAQQ

Ww

wwE

e

eeP

ww

ee

we D+÷÷ø

öççè

æ+

D+÷÷

ø

öççè

æ-

D-=÷÷

ø

öççè

æD

-D

+- zzazazaa2222

CWWEEPP SAAA ++= zzz ( 3.2.9)

kde PWEP SAAA ---= . Předešlou rovnici lze ještě obecně upravit

( ) Ci

iii

PiP SASA +=-- åå zz ( 3.2.10)

kde součet se provede přes sousední buňky (v jednorozměrném případě je i=E, W; v

trojrozměrném případě i=N, S, E, W, F, B,). Ai jsou koeficienty, které obsahují příspěvky od

konvektivních, difúzních a zdrojových členů a SC a SP jsou složky linearizovaných

zdrojových členů a Sz = SC + SP.z P. Použité označení je patrné z obr. 3.1.


27

Rovnice řešené ve Fluentu jsou rozšířením předchozích na třídimenzionální křivočarý

souřadný systém. Každá iterace sestává z kroků, které jsou zobrazeny diagramem na obr.

3.2.

řešení rovnice pro zachováníhybnosti

řešení rovnice kontinuity(tlaková oprava)aktualizace rychlosti tlaku

kontrolakonvergence

aktualizace vlastnostítekutiny

řešení rovnic pro skalární veličinyaktualizace turbulentních veličinaktualizace skalárů

END START

obr. 3.2 Diagram algoritmu řešení Fluentem [15]

a jsou popsány následovně

· pohybové rovnice pro neznámé složky rychlosti jsou řešeny s užitím hodnot tlaků tak, aby

se aktualizovalo rychlostní pole

· rychlosti určené v předchozím bodě nemohou splňovat rovnici kontinuity, proto se určují

tzv. tlakové korekce a následně korekce i rychlostního pole

· pomocí nových hodnot rychlostí se řeší rovnice pro turbulentní energii k a disipaci e

· řeší se další rovnice pro určení teploty a dalších skalárních veličin

· aktualizují se fyzikální vlastnosti kapalin (např. viskozita)

· kontrola konvergence

3.3. Výběr interpolačního schematuFLUENT ukládá složky rychlosti a skalární veličiny v geometrických středech konečných

objemů definovaných sítí. Z důvodu výpočtového procesu jsou potřebné hodnoty těchto

veličin na hranicích konečných objemů. Tyto hodnoty jsou získány interpolací, přitom si lze


28

vybrat mezi následujícími třemi variantami lišícími se řádem přesnosti (vzestupně)

· mocninová interpolace

· kvadratická upwind interpolace (QUICK)

· interpolace druhého řádu/centrální diference

· QUICK

Při velkých změnách tlaků a průtoků je vhodné rozpočítat úlohu s nejnižším řádem přesnosti

(což je předdefinováno) a po několika iteracích využít vyšší řád přesnosti (pro proudění se

zavířením, s přenosem tepla, disipací apod.)

3.4. Konvergence.3.4.1. ResiduályPři simulaci proudění pomocí programu Fluent je velmi důležité získat konvergentní

řešení. Mírou konvergence jsou reziduály, které představují maximum rozdílu dvou

odpovídajících si veličin ve stejném bodě sítě ve dvou po sobě následujících iteracích.

Residuály jsou vyhodnocovány pro všechny počítané veličiny v každém kroku iterace a

zobrazovány pro vybrané veličiny.

obr. 3.3 Iterace při numerickém stacionárním výpočtu

Měřítkem je přesněji řečeno součet změn počítané veličiny v rovnici pro všechny buňky

v oblasti. Po diskretizaci je odvozena např. rovnice v konzervativním tvaru v jednorozměrné

oblasti pro obecnou proměnnou z ( 3.2.9)

CWWEEPP SAAA ++= zzz

Reziduál R je pak definován součtem přes všechna P

å -++=P

PPCWWEE ASAAR zzz ( 3.4.1)

i-tá iterace

i+1-tá iterace

Pi

Pi+1


29

R je nenormalizovaný reziduál, který má fyzikální rozměr odpovídající rozměru každého

členu rovnice a číselně se reziduály, např. pro tlak a rychlost, mohou lišit o řády. Proto se

obvykle používá normalizovaný reziduál definovaný následovně:

åå -++

=

PPP

PPPCWWEE

A

ASAAR

z

zzz( 3.4.2)

Reziduály lze vyhodnocovat graficky v každém kroku iterace, viz obr. 3.4, a snižující se

hodnota reziduálu svědčí o dobře konvergující úloze. Číselně lze sledovat přesné hodnoty

v tab. 3.1.

obr. 3.4 Závislost reziduálu tlaku a entalpie na počtu iterací.

Normalizovanéreziduály

počet iterací tlak rychlost u rychlost v entalpie

5.00000E+00 2.647l0E-01 3.62767E-01 4.01625E-01 3.49503E-01

1.00000E+01 4.21854E-02 7.31087E-02 6.09502E-02 1.15607E-01

1.50000E+01 1.61787E-02 5.57186E-02 6.77023E-02 6.28091E-02

2.00000E+01 9.91924E-03 4.11899E-02 5.52667E-02 4.24032E-02

2.50000E+01 7.78245E-03 3.71804E-02 5.02612E-02 3.19044E-02

3.00000E+01 6.71127E-03 3.33559E-02 4.61688E-02 2.55360E-02

3.50000E+01 4.96045E-03 3.13033E-02 4.34564E-02 2.11992E-02

4.00000E+0l 6.07668E-03 3.01096E-02 4.09786E-02 1.80783E-02

4.50000E+01 5.21358E-03 2.85215E-02 3.89507E-02 1.56768E-02

5.00000E+01 6.70681E-03 2.67667E-02 3.67708E-02 1.38577E-02

atd.

5.50000E+02 5.67326E-04 1.93322E-03 1.06027E-03 1.25243E-04

5.55000E+02 6.90138E-04 1.85336E-03 9.84238E-04 1.18761E-04

5.60000E+02 5.32427E-04 1.78220E-03 9.68897E-04 1.12885E-04


30

5.65000E+02 4.20846E-04 1.68717E-03 1.02076E-03 1.07433E-04

5.70000E+02 3.76113E-04 1.62817E-03 1.07420E-03 1.02499E-04

5.75000E+02 3.26542E-04 1.52597E-03 1.07393E-03 9.78981E-05

5.80000E+02 3.00249E-04 1.47025E-03 1.08095E-03 9.36884E-05

5.85000E+02 2.94075E-04 1.31286E-03 1.07175E-03 8.96829E-05

5.90000E+02 2.54086E-04 1.16047E-03 l.05932E-03 8.59168E-05

5.95000E+02 2.33645E-04 1.02260E-03 1.05061E-03 8.23961E-05

6.00000E+02 2.12518E-04 9.10742E-04 1.04899E-03 7.90365E-05

tab. 3.1

Dále lze vyhodnotit, ve kterém bodě oblasti je nejvyšší hodnota reziduálu. Reziduály slouží

k vyhodnocení konvergence. Obecně řešení velmi dobře konverguje, když se normalizované

reziduály snižují řádově k hodnotě 1.10-3 a entalpii k hodnotě řádově 1.10-6.

3.4.2. Urychlení konvergenceKonvergence je ovlivněna mnoha faktory, jako je počáteční odhad, velký počet

buněk, relaxační faktor atd.

Pro urychlení konvergence se navrhuje využít počátečního odhadu proměnných

významných pro proudění, což je nejlepší způsob, jak začít řešit úspěšně úlohu. V opačném

případě jsou všechny veličiny definovány inicializací, často jsou pokládány rovny nule na

počátku výpočtu. Nejvýznamnější příklady nastavení počátečních podmínek jsou:

· teplota pro problémy řešící přenos tepla při užití stavové rovnice

· rychlost při velkém počtu buněk

· teplota i rychlost při řešení přirozené konvekce

· proudění s reakcí, kdy je dobré nastavit teplotu i hmotnostní podíly.

Důležitou technikou k urychlení konvergence je technika step by step (postupně od

jednoduché úlohy ke složitější). Při řešení problému s přenosem tepla je dobré začít výpočet

z izotermního proudění, při řešení reagujícího proudění z proudění bez reakce se zahrnutím

příměsí. Problém se nadefinuje nejprve celý a teprve potom se vyberou proměnné, pro které

se vyřeší počáteční stav.

3.4.3. RelaxaceZ důvodu nelinearity diferenciálních rovnic není obecně možné získat hodnoty všech

proměnných řešením původně odvozených aproximačních diferenčních schémat.

Konvergence lze však dosáhnout užitím relaxace, která redukuje změny každé proměnné


31

v každé iteraci. Jednoduše řečeno, nová hodnota 1, +iPz v konečném objemu obsahujícím

bod P závisí na staré hodnotě z předešlé iterace iP ,z , nové hodnotě z aktuální iterace

vypiP ,1, +z (resp. vypočtené změně iPvypiPP ,,1, zzz -=D + a relaxačním parametru 1,0Îa

následovně

( ) iPvypiPiP .,1.1, 1 zaazz -+= ++

resp.

PiPiP zazz D+=+ ,1,

( 3.4.3)

obr. 3.5 Vysvětlení relaxačního parametru

Tyto relaxační parametry se mohou nastavit pro všechny počítané proměnné. Zvláště pro

rychlosti se nastavují velmi malé, řádově desetiny až setiny. Přitom je vhodné během

výpočtu tyto hodnoty měnit a tím urychlovat konvergenci, tzn. jestliže změny reziduálů jsou

velké při přechodu od jedné iterace k druhé, nastaví se malý relaxační faktor a tím se tlumí

nelinearity, pokud se změny reziduálů stávají konstantní, je vhodné relaxační faktory zvětšit.

vypiP ,1, +z

iP,z

0 11,0Îa

1, +iPz

a

z

iPvypiPP ,,1, zzz -=D +

Turbulentní proudění skutečných kapalin

32

4. Turbulentní proudění skutečných kapalin4.1. Klasifikace proudění skutečných kapalin

Proudění skutečných kapalin může být klasifikováno jako laminární nebo turbulentníproudění.

U turbulentního proudění bylo na základě experimentálních měření zjištěno, že na

stěnách potrubí nebo obtékaného tělesa vzniká vrstva kapaliny s laminárním pohybem, tzv.

laminární podvrstva, jejíž tloušťka je několik desetin milimetrů. Těsně za laminární

podvrstvou je přechodová vrstva mezi laminární podvrstvou a turbulentním jádrem, které

tvoří další oblast turbulentního proudu. Laminární podvrstva a přechodová vrstva tvoří

turbulentní mezní vrstvu. Uvažujme nejjednodušší případ - tenkou desku paralelní s proudem

tekutiny, viz obr. 4.1. Tlak je v celém objemu tekutiny konstantní. Tekutina na desce lpí,

protože vlivem viskozity se zabrzdí nejbližší vrstvy tekutiny u povrchu desky. Rychlost

tekutiny s odlehlostí od stěny narůstá až na hodnotu rychlosti nenarušeného proudu ¥v .

Tloušťka "zabržděné" tekutiny, tj. tloušťka mezní vrstvy je u náběžné hrany nulová a na

odtokové hraně je maximální. V mezní vrstvě a oblasti kolem desky nejsou proudnice

paralelní přímky, ale tvoří mírně se rozbíhající svazek. Složka rychlosti kolmá k desce je

mnohem menší a lze ji zanedbat.

obr. 4.1 Mezní vrstva při obtékání desky [22]

V přední části je mezní vrstva laminární, v zadní turbulentní, mezi nimi přechodová oblast.

Okamžitá hranice turbulentní mezní vrstvy – plná nepravidelná křivka - se s časem mění.

Střední tloušťka turbulentní mezní vrstvy je zakreslena čárkovaně. Kritérium pro stanovení

přechodu laminární mezní vrstvy na turbulentní je opět kritické Reynoldsovo číslo, jehož

hodnota se mění se stupněm turbulence proudu. Zpravidla se udává 510.5Re == ¥

nk

kxv ,

kde kx je vzdálenost od náběžné hrany, ve které laminární mezní vrstva přechází do

turbulentní. Je vidět, že stanovení typu proudění není zcela jednoduché a jednoznačné a

záleží na zkušenostech řešitele.


33

V případě jednorozměrného proudění v potrubí je přechod k turbulenci dán

experimentálně určeným kritickým Reynoldsovým číslem Re , definováným vztahem

ndvs=Re , kde sv je střední rychlost v potrubí, d jeho průměr a n kinematická viskozita.

Kritická hodnota kritRe pro potrubí kruhového průřezu je 2320. Při kritReRe £ se v potrubí

vyvine uspořádané laminární proudění, pohyb se děje ve vrstvách a částice tekutiny se

nepohybují napříč průřezem. Je-li kritReRe ³ , proudění je turbulentní. Při vyšších

Reynoldsových číslech částice tekutiny konají neuspořádaný pohyb všemi možnými směry.

Tento pohyb je nepravidelný, náhodný a připomíná pohyb molekul plynu, ale na rozdíl od

molekul se částice tekutiny mohou rozpadat a ztrácet tak svou identitu. Pohyb částic kolmo

ke stěně zvyšuje tok hybnosti ke stěně a proto je pokles tlaku ve směru proudění mnohem

větší než u laminárního proudění. Následkem promíchávání tekutiny jsou rozdíly rychlosti na

různých místech průřezu mnohem menší než u laminárního proudění mimo oblast poblíž

stěny.

Proudění lze vizualizovat různými metodami a pozorovat odlišnosti laminárního a

turbulentního proudění, viz obr. 4.2. U turbulentní mezní vrstvy lze definovat turbulentní(koherentní) vírové struktury charakteristické právě pro turbulentní proudění.

obr. 4.2 Srovnání laminární a turbulentní mezní vrstvy [5]

Vlastnosti turbulentního proudění jsou:

· náhodný pohyb částic tekutiny, tedy objemů obsahujících velké množství molekul,

přičemž pohyb částic se skládá z uspořádaného středního pohybu a z náhodných

fluktuací, z čehož vyplývá analogie mezi chováním molekuly (Brownův pohyb

molekul) a chováním částice tekutiny. Vlivem fluktuací se může dostat molekula

z oblasti větší makroskopické rychlosti do oblasti menší makroskopické rychlosti a při

nárazu na jinou molekulu se zpomalí, přičemž molekulu, na niž narazila, zrychlí a

odevzdá jí část své hybnosti. Opačně je tomu, přechází-li molekula z oblasti menší

rychlosti do oblasti větší rychlosti, kdy se její hybnost při nárazu zvětší. Tím dochází

ke sdílení hybnosti mezi oblastmi tekutiny s rozličnou rychlostí, což se projevuje

rostoucím odporem proti proudění jako vnitřní tření tekutiny.


34

· tečné napětí, vznikající u turbulentního proudění, není určeno pouze vnitřním třením

v tekutině a rychlostním gradientem jako tomu je u laminárního proudění (Newtonův

zákondydvht = ), ale změnou hybnosti makroskopických částeček, jako následek

jejich pronikání mezi sousední vrstvy. Tento neuspořádaný pohyb vyvolá tzv.

přídavné turbulentní napětí.

· turbulentní viskozita, o níž nelze mluvit jako o fyzikální konstantě tekutiny, jako

tomu je u molekulové viskozity laminárního proudění, ale jako o složité funkční

závislosti stavu proudící tekutiny a poloze uvažovaného bodu, tedy sdílení hybnosti

fluktuacemi a odlehlosti od stěny. Proto rychlostní profil u turbulentního proudění ve

srovnání s laminárním je více plochý (nemá parabolický charakter).

· difuzivní charakter turbulence, kdy gradienty rychlosti vyvolané turbulentními

fluktuacemi rychlostí jsou zdrojem vazkých napětí a disipace energie. Zvyšuje se tak

vnitřní energie tekutiny na úkor kinetické energie turbulence. Turbulence proto

potřebuje trvalý přísun energie ke krytí těchto ztrát, jinak rychle zaniká.

4.2. Turbulentní prouděníProudění se obecně nazývá turbulentní, jestliže jeho proměnné vykazují chaotické

fluktuace jak v prostoru, tak v čase, viz obr. 4.3.

obr. 4.3 Plně vyvinuté turbulentní proudění – rychlost jako funkce času

První práce z oblasti turbulentního pohybu tekutin, jednoho z fascinujících jevů

přírody, se datují od r.1883 a jejich autorem je Osborn REYNOLDS, viz [1]. Rovnice popisující

takové proudění jsou známy již desítky let. Bohužel problém turbulence z hlediska fyziky

není stále vyřešen. Ačkoliv byl v současné době udělán významný pokrok, zvláště v oblasti

nelineárních dynamických systémů nebo teorie chaosu, úplné řešení turbulence nelze

v blízké budoucnosti očekávat. Avšak zájem o turbulenci není inspirován pouze přáním


35

porozumět její podstatě, ale nutností předpovídat turbulentní proudění v mnoha technických

aplikacích. Navzdory náhodnosti turbulence detailní studie ukazují, že turbulentní proudění

sestává z prostorových struktur, které se obvykle nazývají „eddies“, (turbulentní víry), viz

obr. 4.4.

a) Mezní vrstva turbulence b) Turbulentní vírová cesta

generovaná v blízkosti stěny [2] generovaná obtékáním překážky [2]

obr. 4.4 Příklady typických turbulentních struktur

Je snahou charakterizovat turbulenci pomocí těchto struktur, aby bylo možno vysvětlit

dynamiku turbulence při vzniku, vývoji a zániku vírů „eddies“ jako funkci času. Je zřejmé, že

tento výzkum závisí na možnostech získat informace o prostorových strukturách turbulence a

jejich vývoji v čase.

Jak bylo prezentováno dříve, rovnice proudění tekutin jsou dobře známy. Rychlý rozvoj

výpočetní techniky v posledních letech umožňuje řešit tyto rovnice přístupem, který se

nazývá numerická simulace, což je jeden z nástrojů studia základních aspektů turbulence.

Její hlavní výhodou je, že dává detailní informace o trojdimenzionálních strukturách, které

nelze získat měřením v laboratoři.

4.2.1. Teorie turbulenceJak bylo řečeno v úvodu, turbulentní proudění obsahuje prostorové struktury, nazývané

„eddies“, tj. turbulentní víry různých velikostí (viz obr. 4.4). Velké víry obsahující energii se

rozpadají na menší. Tento kaskádní proces je ukončen disipací energie nejmenších vírů na

teplo, viz obr. 4.5.

Turbulentní víry jsou charakterizovány délkovým měřítkem l [m] (tj. geometrií oblasti

resp. charakteristickým rozměrem) a rychlostním měřítkem u [m.s-1]. V následujících

kapitolách budou tato měřítka označována jako makroměřítka.

Na druhé straně tekutina, ve které se objevuje turbulence, je charakterizována svými

molekulárními vlastnostmi, jako je kinematická viskozita n [m2.s-1]. Hlavním důsledkem


36

kinematické viskozity je vyhlazení rychlostních gradientů pomocí molekulární difúze.

Výše zavedené parametry dovolují zavést bezrozměrnou veličinu, známou jako

Reynoldsovo číslo:

nlu

l.Re = ( 4.2.1)

které lze upravit následovně

tl T

T

ul

l

lllu nn

n===

2

.Re( 4.2.2)

kde Tt označuje časové měřítko přenosu turbulentních vírů o makroměřítku l a Tn označuje

časové měřítko molekulární difúze. Proudění lze charakterizovat na základě hodnoty

Reynoldsova čísla následovně [6], jestliže

· tTT án tj. 1Re ál laminární proudění, procesy molekulární difúze převažují a

turbulentní víry zanikají.

· tTT ñn tj. 1Re ñl turbulentní proudění, turbulentní víry přetrvávají. Nerovnost je

splněna pro poměrně malé hodnoty parametrů proudění, takže lze udělat závěr, že

většina proudění je turbulentní.

· tTT ññn tj. 1Re ññl plně vyvinutá turbulence, což znamená, že viskózní děje, které

ovlivňují časové měřítko nT mohou být zanedbány vzhledem k dynamice vírů, které se

objevují nad hodnotou tT . Turbulentní víry v plně vyvinutém turbulentním proudění jsou

téměř neviskózní.

· tTT »n , tj. 1Re »l přechodový stav, laminární stacionární proudění se mění na

turbulentní, nestacionární, pokud je překročeno kritické Reynoldsovo číslo Rel. Proudění

se zpočátku stává periodické. Tato kvalitativní změna v chování proudění se nazývá

bifurkace, Při zvyšování Reynoldsova čísla se vytvářejí další nestability, až se proudění

stane plně turbulentní.

Důležitým důsledkem Reynoldsovy podobnosti je disipace, resp. rychlost disipace,

při které turbulentní víry ztrácejí svou kinetickou energii a mění ji na teplo. Disipace (pro

jednotku hmotnosti) e [m2s-3] je definována vztahem

lu3

=e ( 4.2.3)

Výsledkem rozměrové analýzy je délkové mikroměřítko h těchto disipačních oblastí, které

se nazývá Kolmogorovovo měřítko


37

41

3

÷÷ø

öççè

æ=

enh ( 4.2.4)

Lze snadno odvodit vztah

43

Re -= llh ll .Re 4

3-=Þ h ( 4.2.5)

0

2

4

6

8

10

12

1.00E+03 1.00E+04 1.00E+05 1.00E+06 1.00E+07Re [1]

l,h

[m]

makroměřítkomikroměřítko

obr. 4.5 Mikroměřítko a makroměřítko turbulentních vírů v dekadických a logaritmických

souřadnicích

Turbulentní proudění sestává ze spojité oblasti vírových struktur, jejichž délková měřítka

(rozměry) leží mezi l a h, viz obr. 4.5. Rozlišují se dva typy vírových struktur, struktury

v blízkosti stěny (vlásenkové víry - hairpin, pukání - bursts, proužky - streaks) a struktury

uprostřed proudu.

obr. 4.6 Turbulentní víry v proudu tekutiny, jejich štěpení, přeměna v teplo

0.000001

0.00001

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Re [1]

l,h

[m]

generace

přenos

disipace

v


38

4.2.2. Metody matematického modelování turbulentního proudění

Modelování turbulence je stále ve stádiu výzkumu a vývoje, který se neustále mění

s pokrokem v matematickém, fyzikálním a technickém odvětví. Při numerické simulaci

turbulentního proudění existují tři teoreticky odlišné přístupy, které vyplývají ze

zjednodušujících modifikací výchozích rovnic popisujících proudění ([4]).

· Metoda přímé simulace (DNS-Direct Numerical Simulation)

· Metoda velkých vírů (LES-Large Eddy Simulation)

· Metoda časového středování (RANS-Reynolds Averaged Navier-Stokes equations)

u

u

u

u

DNS LES RANS

obr. 4.7 Metody modelování turbulence

Metoda přímé numerické simulace je dána velkými nároky na kapacitu počítače z

důvodu velmi jemné sítě. Počet uzlových bodů sítě pro DNS lze odhadnout řádově z

Časové středování

LES DESModely

turbulentníviskozity

Reynoldsůvnapěťový

model - RSM

Prostorová filtrace

MODELY TURBULENCE

Přímá simulace

DNS


39

Kolmogorovova mikroměřítka turbulence (rozměr nejmenších turbulentních vírů) Np » Rel9 / 4.

Počet uzlových bodů sítě tedy prudce narůstá s Reynoldsovým číslem, což vede k technické

nereálnosti výpočtů při stávající výpočetní technice.

1000000

10000000

1E+08

1E+09

1E+10

1E+11

1E+12

1E+13

1E+14

1E+15

1E+16

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07Re [1]

Np

[1]

obr. 4.8 Odhad počtu uzlů sítě pro metodu DNS

Metoda velkých vírů (LES-Large Eddy Simulation) je založena na modelování

velkých vírů, jako prostorových časově závislých útvarů, které lze zachytit sítí. Turbulentní

víry o malých měřítcích se málo se podílejí na transportních jevech, ale jejich prostřednictvím

dochází k disipaci kinetické turbulentní energie v důsledku viskozity na teplo. Tyto malé víry

jsou parametrizovány tzv. subgridními modely a odstraněny pomocí filtrace turbulentního

pole. Volbou šířky pásma filtru, většinou odpovídajícího rozměru buněk sítě, je možné

dosáhnout takový počet buněk sítě, který lze se současnou výpočetní technikou řešit.

Pro většinu inženýrských úloh turbulentního proudění zůstávají nejpoužívanějším

nástrojem statistické modely turbulence, které jsou založeny na metodě časového(Reynoldsova) středování (RANS-Reynolds Averaged Navier-Stokes equations) veličin

turbulentního proudění a na následující proceduře časového středování bilančních rovnic.

4.2.3. Reynoldsova rovniceTurbulentní proudění se vyznačuje náhodným charakterem, ale je statisticky stabilní.

V zásadě je možno takové proudění řešit i pomocí Navierových - Stokesových rovnic při

použití statistické metody časového středování ([12]), které činí úlohu technicky


40

zvládnutelnou. Dle O. Reynoldse (1895) okamžité hodnoty veličin popisujících turbulentní

proudění lze tedy rozložit na část časově středovanou a fluktuační složku (viz obr. 4.9),

přičemž platí

obr. 4.9 Fluktuace a časove středovaná část

zzz ¢+=

kde

01

0

=¢= ò ztzzT

dT

resp. å=i

iNzz 1

Platí Reynoldsova pravidla (podrobně viz. 14.2).

xx ¶¶

=¶¶¢¢+=

+=+=¢=¢+=¢+=

zzyzyzzy

yzyzzzzzzzzzz

,.

,,0,,( 4.2.6)

kde yz ¢¢ je korelační moment fluktuačních složek.

Po dosazení součtu časově středované a fluktuační hodnoty do rovnice kontinuity se

dostane:

( )0=

¢+

j

jj

xuu

¶¶

( 4.2.7)

0=¢

+j

j

j

j

xu

xu

¶¶

¶¶

Po časovém středování platí

0=¢

+j

j

j

j

xu

xu

¶¶

¶¶

( 4.2.8)

Rovnice kontinuity pro středovanou hodnotu má tvar:

0=j

j

xu

¶¶

( 4.2.9)

Rovnice kontinuity pro fluktuační složku se dostane odečtením rovnice ( 4.2.9) od rovnice (

4.2.8):

0=¢

j

j

xu

¶¶

( 4.2.10)

Obdobně lze dosadit i do Navierovy - Stokesovy rovnice za předpokladu, že rr == ,ii ff :


41

( ) ( )( ) ( ) ( )i

j

ii

ij

jjiiii fx

uux

ppx

uuuut

uu+

¢++

¢+-=

¢+¢++

¢+2

21¶

¶n

¶¶

r¶¶

¶¶

( 4.2.11)

Výsledkem je Reynoldsova rovnice podobná formálně Navierově-Stokesově rovnici pro

středované veličiny s tím, že obsahuje navíc člen na levé straně:

ij

i

iji

jj

jii fxu

xpuu

xxuu

tu

++-=¢¢++ 2

2

.1¶¶

n¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

( 4.2.12)

Rovnice pro fluktuační složky rychlosti je

( ) ( ) ( ) ( )i

j

i

ij

ji

j

ji

j

jii fxu

xp

xuu

xuu

xuu

tu

+¢

+¢

-=¢¢

+¢

+¢

+¢

2

21¶

¶n

¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

( 4.2.13)

jiuu ¢¢- r jsou tzv. Reynoldsova (turbulentní) napětí, která existují jen při turbulentním

proudění. Turbulentní vír může směšovat tekutinu o různých rychlostech v objemu tvaru

krychle, viz obr. 4.10a).

obr. 4.10 Deformační účinky Reynoldsových napětí [12]

Jestliže tato tekutina o odlišné rychlosti obtéká jednu plochu a protilehlou plochu krychle

neovlivňuje, pak se krychle deformuje z důvodu odchylek rychlostí na těchto dvou plochách,

viz. obr. 4.10 b). Rychlost, kterou je tekutina o odlišné rychlosti transportována přes plochu

krychle, je tok hybnosti. Účinek tohoto toku na krychli je shodný s účinkem síly na plochu

krychle, která se deformuje. Tedy turbulentní tok hybnosti působí jako napětí. V tomto

případě, tekutina pohybující se svislou fluktuační rychlostí u3´ se míchá s tekutinou

a) b)

c) d)

e)- ¢ ¢ru u1 3

13uu ¢¢- r


42

pohybující se vodorovnou fluktuační rychlostí u1´. Výsledkem je složka Reynoldsových napětí

31uu ¢¢- r . Dokonce, jestliže se uvažuje pouze jedna plocha krychle, tekutina pohybující se

v jednom ze tří souřadnicových směrů může být v ní míchána a výsledkem jsou deformace

312111 ,, uuuuuu ¢¢¢¢¢¢ . Dále předpokládejme, že rychlost u1´ je turbulentně míchána na horní ploše

původní krychle, obr. 4.10 c), s předpokládanou rychlostí u3´. Výsledná deformace souvisí

s Reynoldsovým napětím 13uu ¢¢- r , obr. 4.10 d). Deformace je identická, jen má jinou

orientaci. Na obr. 4.10 e) jsou zobrazeny tyto dvě deformace bez ohledu na rotaci. Závěrem

lze říci, že 3113 uuuu ¢¢=¢¢ . Stejný počet kombinací vznikne pro plochy kolmé k dalším dvěma

souřadnicovým směrům, získá se devět složek Reynoldsových napětí, podobně jako u

viskózních napětí, a také platí symetrie.

úúú

û

ù

êêê

ë

é

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

=úúú

û

ù

êêê

ë

é

¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢¢

333231

322221

312111

332313

322212

312111

uuuuuuuuuuuuuuuuuu

uuuuuuuuuuuuuuuuuu

Turbulentní tok hybnosti působí tedy jako napětí a je nazván Reynoldsovo napětí, pro které

lze odvodit také transportní rovnice. Vyjde se z ( 4.2.13), ve které se formálně zamění sčítací

index j za k (j se vyskytuje v proměnné jiuu ¢¢ ).

( ) ( ) ( ) ( )2

21

k

i

ik

ki

k

ki

k

kii

xu

xp

xuu

xuu

xuu

tu

¶¶

n¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶ ¢

+¢

-=¢¢

+¢

+¢

+¢

( 4.2.14)

Tato rovnice se násobí ju¢ , dále rovnice ( 4.2.14) se napíše pro složku j a násobí iu¢ . Takto

získané rovnice se sečtou, časově středují a dostanou se transportní rovnice pro

Reynolsdova napětí:

( ) ( ) ( )

443442144 344 214444 34444 21

444444444 3444444444 21

disipaceceredistribuprodukce

transportdifúzní

2 úû

ùêë

é ¢¢-

úúû

ù

êêë

é ¢+

¢¢+ú

û

ùêë

é¢¢+¢¢-

-úû

ùêë

é¢¢-¢+¢

¢+¢¢¢-=

¢¢+

¢¢

k

j

k

i

i

j

j

i

k

ikj

k

jki

jik

jikikjkjikk

jik

ji

xu

xu

xu

xup

xuuu

xu

uu

uux

uupuuuxx

uuu

tuu

¶¶

¶¶

n¶¶

¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶ndd

r¶¶

¶¶

¶¶

( 4.2.15)

Reynoldsova napětí tvoří tenzor o devíti členech, přitom nezávislých je šest, proto je i rovnic

šest, což tvoří rozsáhlý systém diferenciálních rovnic obtížně řešitelných. Proto bude

pozornost věnována teoriím, zabývajícím se jednodušším vyjádřením Reynoldsových napětí

v rovnici ( 4.2.12) (tzv. modely turbulence).


43

4.2.4. Boussinesquova hypotéza o vírové (turbulentní) viskozitěZákladem matematických modelů turbulence, hlavně těch jednodušších, je popis

lokálního stavu turbulence vírovou (turbulentní) viskozitou vyjádřenou pomocí

rychlostního měřítka u a délkového měřítka l

ult .»m ( 4.2.16)

Úkolem jednotlivých modelů turbulence je pak vyjádřit turbulentní napětí a toky tepla nebo

jiných skalárních veličin pomocí zvoleného měřítka a určit rozložení tohoto parametru

v proudovém poli. Většina modelů přitom využívá Boussinesqovy hypotézy o vírové

(turbulentní) viskozitě. Tato hypotéza předpokládá, že podobně jako při laminárním proudění,

kdy platí v zjednodušeném dvourozměrném proudění pro smykové napětí Newtonův vztah,

jsou turbulentní napětí a turbulentní toky úměrné gradientu střední rychlosti, teploty,

koncentrace apod., tj .

laminární prouděnímolekulová viskozita

dydumt =

Boussinesquovahypotéza (analogie)

turbulentní prouděnívírová turbulentní viskozita

yuvu tt ¶

¶mrt =¢¢-=

Obecně

iji

j

j

itji k

xu

xuuu dr

¶¶

¶¶

mr32

-÷÷ø

öççè

æ+=¢¢- resp.

iji

j

j

itji k

xu

xuuu d

¶¶

¶¶n

32

-÷÷ø

öççè

æ+=¢¢-

( 4.2.17)

kde k je turbulentní kinetická energie

jjuuk ¢¢=21

( 4.2.18)

Podrobněji ( )23

22

21

3..1 21

21 uuuuuk

jjj ¢+¢+¢=¢¢= å

=

. Na rozdíl od laminárního proudění

turbulentní viskozita není fyzikální vlastností kapaliny, ale proudění. Je silně závislá na míře

turbulence a může se výrazně lišit v rámci proudového pole. Pohybová rovnice ( 4.2.12) se

upraví použitím Boussinesquovy hypotézy takto:

ij

it

j

i

ij

jii fxu

xu

xp

xuu

tu

+++-=+ 2

2

2

21¶¶

n¶¶

n¶¶

r¶¶

¶¶

( 4.2.19)

Rovnice pro přenos tepla resp. jiného skaláru se upraví způsobem shodným

s odvozením rovnice pro přenos hybnosti ( 4.2.12) pro středované hodnoty. Po úpravě se

v těchto rovnicích objeví člen z ¢¢- iu reprezentující turbulentní tok tepla resp. jiné skalární


44

veličiny a podobně jako ( 4.2.17) se vyjádří

jti x

u¶

z¶z G=¢¢- ( 4.2.20)

kde Gt turbulentní difusivita. Většina modelů předpokládá, že turbulentní difuzivita je úměrná

kinematické turbulentní viskozitě podle vztahut

tt s

n=G , kde st je turbulentní Prandtlovo

resp. Schmidtovo číslo pro přenos tepla resp.koncentrace.

Z hlediska modelování turbulentní viskozity v proudovém poli lze rozdělit modely

turbulence do tří skupin, a to nularovnicové (algebraické), jednorovnicové a dvourovnicové

modely, nazvané podle počtu doplňujících diferenciálních rovnic.

Statistické modely turbulence

45

5. Statistické modely turbulenceZákladní problém výpočtu turbulentního smykového proudění spočívá v přítomnosti

Reynoldsova napětí v rovnicích popisujících střední pohyb tekutiny, takže systém

pohybových rovnic není uzavřen jako v případě laminárního proudění. Soubor přídavných

rovnic a empirických vztahů, které společně s pohybovými rovnicemi tvoří řešitelný systém

rovnic, se nazývá modelem turbulence. Modely turbulence lze rozdělit do několika skupin dle

obr. 5.1.

obr. 5.1 Schéma metod řešení proudění.

Matematickémodely

proudění

Laminárníproudění

Turbulentníproudění

Metoda velkýchvírů - LES

Přímá metoda

Metoda časovéhostředování -

RANS

MetodaReynoldsových napětí

Boussinesquovahypotéza

Boussinesquovahypotéza

Nularovnicovýmodel

Jednorovnicovýmodel

Dvourovnicovýmodel

RNG k- e

k-e

Přímá metodaDNS

k-e availablemodeblel

k-w


46

5.1. Model směšovací délky (nularovnicový model) - PrandtlPrvní model popisující rozložení turbulentní viskozity tn navrhl Prandtl. Turbulentní

viskozita je vyjádřena v závislosti na střední hodnotě rychlosti opět ve zjednodušené

dvourozměrné podobě vztahem

yulmtt ¶

¶rrnm 2== ( 5.1.1)

kde lm je směšovací délka, která se stanoví na základě empirických vztahů ylm k= , kde k

je von Kármánova konstanta (0.41). Tento model je vhodný pro modelování proudění ve

smykové vrstvě. Nedostatkem je, že se předpokládá lokální rovnováha, tj. produkce

turbulentní kinetické energie (TKE) je rovna rychlosti disipace TKE. Nepostihuje transport

turbulence.

5.2. Jednorovnicový modelAby bylo možné postihnout transport turbulentních parametrů, je nutné řešit pro tyto

parametry diferenciální transportní rovnici. Nejjednodušší modely používají transportní

rovnici pro rychlostní měřítko turbulentního pohybu k , kde ( ) 223

22

21 2

121

juuuuk ¢=¢+¢+¢=

je kinetická (středovaná) energie turbulentního pohybu vztažená na jednotku hmotnosti. Pro

k lze odvodit exaktní rovnici z Navierových - Stokesových rovnic ve tvaru:

{ 43421434213214444 34444 21321VIVIV

2

2

IIIIII

2 j

l

j

l

j

ljl

jjl

llj

jj

j

xu

xu

xuuu

xkpuuu

xxku

tk

¶¶

¶¶n

¶¶

¶¶n

rd

¶¶

¶¶

¶¶ ¢¢

-¢¢-+úû

ùêë

é÷÷ø

öççè

æ ¢+

¢¢¢-=+ ( 5.2.1)

kde I – rychlost změny

II – konvektivní transport

III – turbulentní difúze v důsledku fluktuací rychlosti a tlaku

IV – molekulová difúze

V – produkce v důsledku smykového tření

VI – vazká disipace

Na pravé straně se objevují členy vyjadřující turbulentní difúzi v důsledku fluktuací rychlosti a

tlaku, dále produkci k v důsledku interakce Reynoldsových napětí a gradientu střední

rychlosti a disipaci e v důsledku přeměny energie na energii tepelnou. Působí-li v oblasti

rovněž Archimedovy síly, je na pravé straně rovněž člen odpovídající produkci (destrukci)

kinetické energie v důsledku vztlakových sil. V takto odvozené rovnici se vyskytují neznámé

korelace v difúzním a disipačním členu. Aby se získala uzavřená soustava rovnic, je nutné


47

tyto členy modelovat pomocí vztahu

lkC

xuu

xkpuuu D

j

ll

jk

tllj

2/3

2,2

=¢¢

==÷÷ø

öççè

æ ¢+

¢¢¢-

¶¶¶

ne¶¶

sn

r ( 5.2.2)

kde ks a DC jsou empirické konstanty. Po dosazení za tyto členy do rovnice pro k a

s využitím vztahů ( 4.2.17) a ( 4.2.20) pro tn a tG má rovnice pro k tvar:

43421444 3444 21 e

¶¶

¶¶

¶¶

n¶¶

sn

¶¶

¶¶

¶¶

lkC

xu

xu

xu

xk

xxku

tk

D

P

j

l

j

l

l

jt

jk

t

jj

j2/3

. -÷÷ø

öççè

æ++÷

÷ø

öççè

æ=+ ( 5.2.3)

a podle Kolmogorova-Prandtlova vztahu je

lkCt nn = ( 5.2.4)

kde Cn je empirická konstanta. Délkové měřítko l charakterizující turbulentní pohyb je

definováno pomocí empirických vztahů podobně jako v případě modelů směšovací délky.

Jednorovnicové modely postihují transport turbulence a jsou vhodné hlavně v případech, kdy

lze reálně popsat rozložení délkového měřítka l , nejsou však vhodné pro modelování

složitějších případů proudění, kdy nelze s dostatečnou přesností definovat jeho rozložení

pomocí empirického vztahu. Zde je nutno definovat další transportní rovnici a přejít na

dvourovnicový model turbulence.

5.3. Dvourovnicový k-e modelDvourovnicový k-e model určuje turbulentní viskozitu pomocí dvou transportních rovnic

pro k a e . Model využívá Boussinesqovy hypotézy o vírové viskozitě a vztahuje tm ke k ,

e a mC

em n

2kCt =( 5.3.1)

Rozložení k je dáno transportní rovnicí. Exaktní tvar transportní rovnice pro e je možné

odvodit opět z Navierových - Stokesových rovnic, tato rovnice obsahuje komplexní korelace,

které je opět nutné aproximovat. Výsledný tvar rovnice pro rychlost disipace používaný v tzv.

modelu e-k , je uváděn v této podobě:

43421444 3444 21 e

¶¶

¶¶

¶¶

n¶¶

sn

¶¶

¶¶

¶¶

lkC

xu

xu

xu

xk

xxku

tk

D

P

j

l

j

l

l

jt

jk

t

jj

j2/3

. -÷÷ø

öççè

æ++÷

÷ø

öççè

æ=+ ( 5.3.2)


48

kC

xu

xu

xu

Cxxx

ut j

l

j

l

l

jt

j

t

jj

j2

21. e¶¶

¶¶

¶¶

n¶

e¶sn

¶¶

¶e¶

¶e¶

eee

-÷÷ø

öççè

æ++÷

÷ø

öççè

æ=+ ( 5.3.3)

5.4. RNG k-e modelTento model je odvozen z klasického e-k modelu při využití matematického

postupu nazvaného metoda renormalizačních grup (RNG). Renomalizační procedura

aplikovaná na turbulenci spočívá v postupné eliminaci malých vírů, přitom se přetransformují

pohybové rovnice (Navierovy - Stokesovy rovnice) tak, že se modifikuje turbulentní viskozita,

síly a nelineární členy. Předpokládá-li se, že tyto víry souvisí s disipací e , pak turbulentní

viskozita tm resp.rm

n tt = je závislá na měřítku turbulentních vírů a RNG metoda konstruuje

tuto viskozitu pomocí iteračního odstraňování úzkých pásem vlnových čísel. Podrobně je tato

metoda uvedena v [13] s tím, že pro iterační proces se využívá relace

2

31

)(llA

dld eff

mem

= ,

kde

molekulováíturbulentnefektivní mmm +=( 5.4.1)

Integrací této rovnice přes délkové měřítko l pro počáteční podmínku molnn = a pro měřítko

4/3/ ReLll d == , což je Kolmogorovo disipační měřítko odpovídající malým turbulentním

vírům, se dostane

( ) ( ) ( )d344

31 ll

431 ³ú

û

ùêë

é-+= d

molmoleff llAl

me

mm ( 5.4.2)

Tato rovnice je interpolačním vzorcem pro výpočet ( )leffm mezi molekulovou viskozitou a

viskozitou disipačních vírů s limitou dllññ odpovídající vysokým Reynoldsovým číslům. Pro

vysoké Reynoldsovo číslo se dá dokázat, že rovnice ( 5.4.2) má tvar

( ) ulteff Ñ=» 2094.0mm ( 5.4.3)

Metoda RNG je asi o jednu desetinu pomalejší než klasický dvourovnicový model, ale

v oblastech zavíření (kde se kapalina zpomalí a je tam nižší Re číslo) je přesnější.

5.5. Reynoldsův napěťový model (RSM)Reynoldsův napěťový model zahrnuje výpočet jednotlivých Reynoldsových napětí

prostřednictvím diferenciálních transportních rovnic ve tvaru (viz ( 4.2.15))


49

( ) ( ) ( )

443442144 344 214444 34444 21

444444444 3444444444 21

disipaceceredistribuprodukce

transportdifúzní

2 úû

ùêë

é ¢¢-

úúû

ù

êêë

é ¢+

¢¢+ú

û

ùêë

é¢¢+¢¢-

-úû

ùêë

é¢¢-¢+¢

¢+¢¢¢-=

¢¢+

¢¢

k

j

k

i

i

j

j

i

k

ikj

k

jki

jik

jikikjkjikk

jik

ji

xu

xu

xu

xup

xuuu

xu

uu

uux

uupuuuxx

uuu

tuu

¶¶

¶¶n

¶¶

¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶ndd

r¶¶

¶¶

¶¶

( 5.5.1)

Za učelem uzavření soustavy rovnic Fluent aproximuje některé členy z rovnice ( 5.5.1), viz

[13]. Vypočtená Reynoldsova napětí jsou pak dosazována do rovnice pro přenos hybnosti (

4.2.12). Fluent tedy řeší:

· šest transportních rovnic ve tvaru ( 5.5.1) pro Reynoldsova napětí

· tři transportní rovnice pro středované složky rychlosti a rovnici kontinuity

· transportní rovnici pro disipaci e

· transportní rovnici pro turbulentní energii k v blízkosti stěny v případě explicitní

okrajové podmínky pro napětí jako součet rovnic ( 5.5.1)

·

5.6. Modelování proudění v blízkosti stěny, stěnové funkceModelování proudění u stěny ovlivňuje přesnost numerického řešení v celé oblasti.

V blízkosti stěny se řešené veličiny rychle mění, výrazně se zde uplatňuje přenos hybnosti a

skalárních veličin. Turbulence je těsně u stěny potlačena, ve vnější části mezní vrstvy však

dochází k výrazné produkci turbulentní kinetické energie v důsledku Reynoldsových napětí a

gradientu střední rychlosti. Četné experimenty prokázaly, že oblast u stěny, tzv. meznívrstva, může být rozdělena na více části. Bezprostředně u stěny se nachází viskózní(laminární) podvrstva, proudění je zde téměř laminární a molekulární viskozita má

dominantní vliv na přenos hybnosti, tepla a hmotnosti. Vnější část mezní vrstvy se označuje

jako plně turbulentní vrstva, dominantní úlohu zde hraje turbulence. Mezi laminární

podvrstvou a plně turbulentní vrstvou se vyskytuje přechodová vrstva, kde se stejnou

měrou uplatňují účinky molekulární viskozity i turbulence. Rozdělení mezní vrstvy je

znázorněno na obr. 5.2.


50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.001 0.010 0.100 1.000y [m]

u[m

/s]

u-expu-lamu-turb

u=(u*/к). ln((y+yo)/y)u=u*(y+yo)/y

)

experiment

plně vyvinutá turbulenceviskózní podvrstva přechodová vrstvavyvinutá

vnější vrstva

obr. 5.2 Rozdělení oblasti v blízkosti stěny – v lineárních a logaritmických souřadnicích [26]

5.6.1. Teorie stěnových funkcí dle Laundera a SpaldingaStěnové funkce vycházející z teorie Laundera a Spaldinga jsou široce používané

hlavně pro průmyslové aplikace. V turbulentním proudění se mezní vrstva skládá z viskózní

podvrstvy a tzv. oblasti logaritmického zákona pro středovanou rychlost v turbulentní oblasti

ve zjednodušeném dvourozměrném případě:

( )++ = yEu .ln1k

( 5.6.1)

Bezrozměrné veličiny v této rovnici jsou definovány takto:

tuuu =+

mr t yuy =+

rt

twu = ( 5.6.2)

kde

k = von Kármánova konstanta (=0.42)

E = empir. konstanta (=9.81)

u = střední rychlost proudění v bodě P

ut = třecí rychost

y = vzdálenost bodu P od stěny ve směru normály

m = dynamická viskozita tekutiny

Třecí rychlost tu je určena pomocí smykového napětí definovaného podobně jako

Reynoldsovo napětí (veličiny mají index s ).

0

1

2

3

4

5

6

7

8

0.0 0.5 1.0y [m]

plně vyvinutá turbulence

vnější vrstva


51

222ss

w vwvuu ¢¢+¢¢=ºr

tt ( 5.6.3)

kde totální vertikální toky hybnosti měřené v blízkosti stěny jsou určeny vztahy

22a zyxywszysxy vwvu tttrtrt +=Þ¢¢-=¢¢-=

Reynoldsova napětí se vypočítají užitím Boussinesqovy aproximace. Pro e-k turbulentní

modely v případě lokální rovnováhy produkce turbulentní energie a rychlosti disipace

definované vztahem

re¶¶t

¶¶r ==¢¢-

yu

yuvu w ( 5.6.4)

lze odvodit v logaritmické vrstvě vztah pro turbulentní kinetickou energii

m

t

Cukp

2

=( 5.6.5)

a disipaci

yu

p ke t

3

=( 5.6.6)

V rovnicích ( 5.6.1) až ( 5.6.6) vystupuje třecí (smyková) rychlost jako konstantníveličina. Tyto standardní stěnové funkce jsou také definovány ve Fluentu a jsou vyhovující

pro celou řadu aplikací. Jestliže budou výše definované funkce použity pro obecnější

proudění, může právě smyková rychlost zapříčinit problémy. Navíc pro vyčíslení turbulentní

kinetické energie a disipace se předpokládá lokální rovnováha, což je velmi silné omezení

v proudění komplexního charakteru.

5.6.2. Modelování proudění v blízkosti stěny ve Fluentu

Standardnístěnová funkce

Nerovnovážnástěnová

Stěnová funkce Dvouvrstvý model

MODELOVÁNÍPROUDĚNÍ TEKUTINY


52

Proudění v blízkosti stěny lze modelovat dvěma způsoby:

· užití stěnové funkce („wall function“), pomocí níž se překlene oblast laminární

podvrstvy a přechodové vrstvy, kde se uplatňuje molekulární i turbulentní viskozita, tj.

oblast mezi stěnou a oblastí plně vyvinutého turbulentního proudění.

· modelování proudění u stěny („near-wall modelling“) včetně vazké podvrstvy

v souvislosti s jemností sítě. Podstata obou přístupů je znázorněna na obr. 5.3.

obr. 5.3 Přístup k modelování proudění u stěny ve Fluentu

Stěnové funkce představují soubor poloempirických vztahů a funkcí, které umožňují

„propojení“ řešené proměnné v buňce v blízkosti stěny s korespondující hodnotou na stěně.

Stěnové funkce zahrnují logaritmický zákon pro střední rychlost a teplotu a vztahy pro

turbulentní veličiny v blízkosti stěny.

FLUENT nabízí dvě základní varianty stěnové funkce:

· standardní stěnové funkce

· nerovnovážné stěnové funkce

V případě proudění s velkým Reynoldsovým číslem uplatnění stěnových funkcí podstatně

snižuje nároky na výpočet a poskytuje tak ekonomické a přitom dostatečně přesné řešení

pro většinu inženýrských problémů. Tento přístup je však nevhodný v případě proudění

s nízkým Reynoldsovým číslem. V těchto případech je nutné zvolit druhý přístup, který

umožňuje modelování v bezprostřední blízkosti stěny ovlivněné viskozitou proudící tekutiny a

P

viskózní +přechodová vrstva

plně vyvinutá turbulence

P

užití logaritmickéstěnové funkce

metoda modelovánív blízkosti stěny

stěna

proud tekutiny

Dy


53

ve FLUENTU je definován jako tzv.

· metoda modelování v blízkosti stěny - dvouvrstvý model

Při využití konečných objemů byly odvozeny obecnější stěnové funkce vhodné pro

komplexní proudění a jsou dané vztahy

( )** .ln1 yEuk

= ( 5.6.7)

kde

w

4/12/1*

trmCku

u PP= ,m

r m PP yCky

D=

4/12/1* ( 5.6.8)

Tato logaritmická formule pro střední rychlost je platná pro 6030* ¸ñy . Ve Fluentu je

logaritmický předpis doporučován pro 225.11*ñy . Když je hustota sítě u stěny taková, že

225.11* áy v buňkách přiléhajících ke stěně, pak se aplikuje laminární vztah, tedy

( )ïî

ïíì

=*

** .ln1

y

yEu k ( 5.6.9)

kde *u a y* jsou definovány v ( 5.6.8). Bezrozměrná tloušťka podvrstvy yv* je jednoduše

určena jako průsečík lineárního a logaritmického profilu a přitom přibližně platí

23.114/12/1

* »=m

r m vpv

yCky ( 5.6.10)

Reynoldsova analogie mezi přenosem momentu a energie umožňuje definovat

podobný logaritmický zákon pro střední teplotu. Zákon stěny pro teplotu zahrnuje dvě

odlišné závislosti:

· lineární závislost pro teplotně vodivou podvrstvu, kde vodivost má rozhodující

význam

· logaritmický zákon pro turbulentní oblast, kde účinky turbulence převládají nad

vodivostí

Tloušťka teplotně vodivé podvrstvy je odlišná od tloušťky vazké podvrstvy a závisí na druhu

tekutiny. Zákon stěny pro střední teplotu je definován takto:

( ) ( )( ) ( )ï

î

ïí

ì

ñ÷øö

çèæ +

á=

¢¢-

=Tt

Tpppw

yyPEy

yyy

qkCcTT

Tln1.Pr

.Pr2/14/1

k

r m ( 5.6.11)

kde P je počítáno pomocí vztahu


54

( )4/12/1

PrPr1

PrPr

4/sin4/

÷øö

çèæ

÷÷ø

öççè

æ-÷

øö

çèæ= t

t

APkp

p( 5.6.12)

a kde

k = von Karmanova konstanta(=0.42)

E = empir. konstanta stěny (=9.793)

Tp = teplota v buňce přilehlé ke stěně

Tw = teplota na stěně

Pr = molekulové Prandtlovo číslo lm /pc

Prt = turbulentní Prandtlovo číslo (0.85 na stěně)

A = Van Driestova konstanta (=26)

q´´ = teplotní tok

Bezrozměrná tloušťka tepelné podvrstvy yT v rovnici ( 5.6.11) se spočítá jako hodnota y, ve

které se protíná lineární a logaritmická závislost, při daném molekulovém Prandtlově čísle.

Postup při uplatnění zákona stěny pro teplotu je takový, že Prandtlovo molekulové číslo se

spočítá ze zadaných fyzikálních vlastností tekutiny, pak se počítá tloušťka tepelné podvrstvy

yT jako průsečík lineárního a logaritmického profilu a tato hodnota se ukládá. Během

iterování je aplikován buď lineární nebo logaritmický profil v závislosti na hodnotě y pro

výpočet teploty na stěně Tw nebo teplotního toku q´´ (viz rovnice pro ( 5.6.11)).

5.6.3. Nerovnovážná stěnová funkceTam, kde je proudění u stěny vystaveno účinkům velkého tlakového gradientu a kde

se nedá předpokládat splnění podmínky lokální rovnováhy, je možné dosáhnout přesnějších

výsledků pomocí nerovnovážné stěnové funkce. Podstata nerovnovážné stěnové funkce

spočívá v následujících krocích:

· logaritmický zákon pro střední rychlost podle Laundera a Spaldinga je upřesňován

v závislosti na účinku tlakového gradientu

· bilance turbulentní kinetické energie a disipace v buňce sousedící se stěnou je

počítána ve dvou vrstvách, tj laminární a turbulentní.

Stěnová funkce pro střední teplotu se neliší od standartní stěnové funkce pro teplotu.

Logaritmický profil střední rychlosti je přepočítán pomocí tlakového gradientu podle vztahu

( )pEyuu ln1~

kt

= ( 5.6.13)

úû

ùêë

é+-+÷÷

ø

öççè

æ-=

mrkrk

2

2/12/1 ln21~ vv

v

v ykyy

yy

ky

dxdpuu ( 5.6.14)


55

a yv je fyzikální tloušťka vazké podvrstvy definovaná výrazem

2/14/1

*

pv kC

yymrm

= ( 5.6.15)

kde y*= 11.225.

5.6.4. Použití stěnových funkcí a omezeníStandardní stěnové funkce umožňují dostatečně přesné řešení pro velká

Reynoldsova čísla. Nerovnovážná stěnová funkce dále rozšiřuje možnost aplikace stěnové

funkce na případy, kdy je proudění vystaveno účinkům tlakového gradientu a nerovnováhy.

Tento přístup není vhodný, jestliže se proudění příliš liší od ideálních předpokladů,

na nichž je metoda stěnové funkce založena. Jedná se například o tyto případy:

· proudění s nízkým Reynoldsovým číslem, velký vliv stěny (např. proudění úzkou

štěrbinou, proudění velmi vazkých tekutin, proudění s malou rychlostí)

· silný tlakový gradient vedoucí k odtržení mezní vrstvy

· významné působení objemových sil (např. odstředivé síly, proudění v blízkosti

rotujícího disku, Archimedovy síly)

· trojrozměrné proudění v blízkosti stěny (Ekmanova spirála, silně zakřivená 3D mezní

vrstva).

Odpovídá-li charakter proudění některému z výše uvedených případů a je-li nutné tyto jevy

zahrnout do řešení problému, pak musíme přistoupit k podrobnému modelování proudění ustěny (near-wall modelling). K tomuto účelu Fluent nabízí dvouvrstvový model.

5.6.5. Dvouvrstvový model (near-wall modelling)V tomto modelu je celá oblast rozdělena na část, ve které se projevuje vliv viskozity, a

na plně turbulentní oblast. Hranice mezi oběma oblastmi je definována pomocí turbulentního

Reynoldsova čísla

mr nk

y ºRe ( 5.6.16)

kde n je normálová vzdálenost středu buňky od stěny, ve FLUENTU je n interpretováno

jako vzdálenost od nejbližší stěny:

wrrrn

ww

rrr -º

Gemin (5.6.17)

kde rr je polohový vektor v bodě pole a wrr je polohový vektor na stěně. wG je sjednocení

všech stěn na hranici. Tato interpretace umožňuje jednotnou definici n v oblasti

komplexního tvaru, která zahrnuje mnoho stěn.


56

V plně turbulentní oblasti (Rey>200) se používají turbulentní modely popsané v kapitole 4.1 -

4.3. V oblasti ovlivněné viskozitou v blízkosti stěny (Rey< 200), je aplikován jednorovnicový

model podle Wolfsteina, kde rovnice pro přenos hybnosti a rovnice pro k je definována

známým způsobem, turbulentní viskozita je počítána ze vztahu

mmrm lkCt2/1= (5.6.18)

a rychlost disipace

e

el

k 2/3

= (5.6.19)

Délková měřítka lm a le , která se v těchto rovnicích vyskytují, jsou definována následovně:

úúû

ù

êêë

é÷÷ø

öççè

æ--=

mm A

yCl yl

Reexp1 (5.6.20)

úû

ùêë

é÷÷ø

öççè

æ--=

ee A

yCl yl

Reexp1 (5.6.21)

Jestliže v celé oblasti je Rey <200, pak e není řešeno pomocí transportní rovnice, ale

z algebraického vztahu (4.4.22 ). Konstanty Am, Ae , vyskytující se v těchto vztazích, jsou

definovány podle autorů Chena a Patela:

Am = 70, Ae =2 cl (5.6.22)

Jestliže se používá RSM model, jako stěnové funkce mohou být využity standardní a

nerovnovážné funkce, dvouvrstvový model stěnových funkcí není vhodný.

5.6.6. Vliv kvality sítě na volbu stěnové funkce pro různé modelyturbulence

Vzdálenost středů buněk sousedících se stěnou od těchto stěn je určující pro to, je-li

správný přístup logaritmické stěnové funkce nebo je třeba volit jiný.

· logaritmický předpis je platný pro 6030* ¸ñy

· dvouvrstvý předpis je platný pro 54* ¸áy , v ideálním případě nejméně 10 buněk má

být v laminární podvrstvě

· Spalart-Allmaras model využívá logaritmické stěnové funkce za předpokladu velmi

jemné sítě ( 1* =y ) nebo sítě, pro kterou je 30* ³y .

· Large Eddy Simulation model používá logaritmickou stěnovou funkci pro velmi

jemnou síť (řádu 1* =y )


57

5.6.7. Vliv drsnosti na stěnovou funkciDrsnost stěn se zohledňuje ve vztahu pro logaritmickou stěnovou funkci následovně:

BuyuEuup D-÷÷ø

öççè

æ D= *

** lnm

rk

( 5.6.23)

kde pu je střední hodnota rychlosti v bodě P nejblíže stěny a yD je vzdálenost bodu P od

stěny. Funkce BD závisí na typu a velikosti drsnosti a je určena vztahem

( )++=D sKsKCB 1ln1k

, kdem

r *uKK ss =+ je bezrozměrná drsnost a sK skutečná fyzická

drsnost v metrech, 5.0=KsC pro pravidelnou drsnost, vyšší hodnoty ( )0.15.0 ¸=KsC jsou

doporučovány pro nepravidelnou drsnost.

Drsností lze nahradit pravidelné objekty vyskytující se v určité oblasti (soustava

trubek v chladiči, lesní porost při sledování proudění v atmosféře atd.), ale je třeba zvážit, jak

hustá bude síť u stěny, jestli drsnost nebude rozměrem převyšovat velikost buněk u stěny.

Pak by se musely překážky modelovat jako obtékané objekty.

Drsnost ovlivní tedy profil rychlosti v blízkosti stěny (tj. rychlost se sníží), ale i všechny

další veličiny, jako je profil teploty, koncentrace příměsi, apod.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

-4 -2 0 2 4 6 8

U [m/s]

z[m

]

U(z0=0.001)U(z0=0.01)U(z0=0.1)U(z0=0.5)U(z0=1)U(z0=2)U(moc)

obr. 5.4 Grafy rychlosti podle různých aerodynamických drsností při proudění v atmosféře

Matematický model turbulence pro stlačitelné neizotermní proudění

58

6. Matematický model turbulence pro stlačitelnéneizotermní proudění

Pro jednoduchost je uveden standardní e-k dvourovnicový model turbulence pro

proudění stlačitelné tekutiny s okrajovými podmínkami zahrnujícími turbulentní veličiny [15],

[11].

6.1. k-e dvourovnicový model turbulenceRovnice lze odvodit postupem uvedeným v kap.4.2.3 a 4.2.4, a jejich tvar je

následující:

rovnice kontinuity platná pro středované veličiny

( ) 0=+j

j

xu

t ¶r¶

¶r¶

( 6.1.1)

rovnice pro přenos hybnosti

( ) ( ) ( )

i

sílyyCoriolisov

jijc

sílyvztlakové

i

j

it

jij

jii

fufg

xu

xxp

xuu

tu

rerdr

mm¶¶

¶r¶

¶r¶

+++

+÷÷ø

öççè

æ

¶¶

+¶

¶+-=+

43421321 33

( 6.1.2)

V případě dvourovnicového k-e modelu jsou tyto rovnice doplněny rovnicí pro přenos

kinetické turbulentní energie k a rychlosti disipace e.

( ) ( )re

¶¶r

rsm

¶¶

¶¶

¶¶

m¶¶

sm

¶¶

¶r¶

¶r¶

--÷÷ø

öççè

æ++÷

÷ø

öççè

æ=+

4434421444 3444 21G

.jh

tj

P

j

l

j

l

l

jt

jk

t

jj

j

xg

xu

xu

xu

xk

xxku

tk

( 6.1.3)

( ) ( ) ( )k

cGcPcxxx

ut j

t

jj

j2

231. err¶

e¶sm

¶¶

¶er¶

¶re¶

eeee

-++÷÷ø

öççè

æ=+ ( 6.1.4)

kde P a G představují produkci turbulentní kinetické energie v důsledku napětí a vztlakových

sil

jh

tj

l

j

j

l

l

jt x

gGxu

xu

xuP

¶r¶

rsm

¶¶

¶¶

¶¶m ××-=

úúû

ù

êêë

é+= , ( 6.1.5)

kde C1e=1,44 , C2e=1,92, C3e=1, ks = 1, es =1.3 jsou konstanty určené empiricky a

pt

th c

lms = je Prandtlovo turbulentní číslo.

Pro doplnění jsou Reynoldsova napětí jiuu ¢¢ definována vztahem

j

itji x

uuu¶¶mr =¢¢- ( 6.1.6)


59

kde turbulentní viskozita tm se předpokládá jako funkce délkového a rychlostního měřítka

dle Kolmogorov-Prandtlovy hypotézy:

erm m

2

. kCvlt =» ( 6.1.7)

6.2. Okrajové podmínky pro k-e turbulentní model6.2.1. Hmotnostní průtokRychlostní podmínka se používá k definování okrajové podmínky na průtočné hranici

do oblasti při proudění nestlačitelného proudění. U stlačitelného proudění se předpokládá

nekonstantní hustota, která je závislá na stavových veličinách tlaku a teplotě a ovlivňuje

objemový průtok a tím rychlost, což může vést k nereálným výsledkům. V tomto případě se

zadává hmotnostní průtok uSQQm rr == .

6.2.2. Turbulentní veličinyVelký význam v souvislosti se vstupní okrajovou podmínkou má nastavení

turbulentních parametrů v podobě hodnot turbulentní kinetické energie a rychlostidisipace. Přesnější je samozřejmě vyjádření těchto veličin profilem získaným z empirických

dat nebo z empirických formulí. Pokud není profil přesně znám, lze zadat konstantní hodnotu

odhadnutou na základě zkušenosti. Tyto turbulentní veličiny mohou být určeny případně

pomocí veličin snadněji určitelných jako je intenzita turbulence, poměr turbulentní a

molekulové viskozity, hydraulického průměru a délkového měřítka turbulence. Velikost

turbulentních fluktuací se obvykle popisuje intenzitou turbulence. Za předpokladu izotropní

turbulence ( 2/3

2/2

2/1 uuu == ) se vyjadřuje relativní intenzita turbulence jako poměr

efektivní hodnoty fluktuační složky rychlosti ke střední rychlosti ve stejném místě

proudu obvykle vyjádřený v procentech. Zpravidla se měří pouze jedna směrová složka:

1

2/1

uu

I = ( 6.2.1)

Běžné turbulentní proudění je anizotropní (nesourodé v souřadnicových směrech), ale

anizotropie bývá malá. Největší rozdíly jsou mezi podélnou a příčnou složkou pohybů.

Obecně

uuuu

I jj

3

//

= , ( 6.2.2)

Rozdíl mezi fluktuacemi rychlostí v příčném směru /2u a /

3u je zpravidla velmi malý. Hodnota

intenzity je přibližně:


60

I [%]

aerodynamický tunel 0.05%

turbulentní proudění generované mříží 1-5%

úplavy 2-10%

proudění v mezní vrstvě a při průtokutrubicí

5-20%

zatopený proud 20%

recirkulační proudění s malou rychlostí u 100%

Turbulentní měřítko l je omezeno velikostí oblasti, protože turbulentní víry nemohou

být větší než je rozměr oblasti. Přibližná hodnota turbulentního měřítka se určí ze vztahu

Ll 07.0= kde L je charakteristický rozměr oblasti, případně hydraulický průměr. Intenzita

turbulence a hydraulický průměr jsou dostupné veličiny, které je možno zadat jako okrajové

podmínky, ostatní se pak přepočítají dle následujících vztahů

intenzita turbulence

uuuu

I jj

3

//

=

turbulentní měřítko Ll 07.0=

poměr turbulentní viskozitymmt lIu ..

23

=n

turbulentní kinetická energie ( )223 uk ¢= nebo ( )2

23 Iuk =

rychlost disipace 1223

43 -

÷÷ø

öççè

æ==

mm

mre mm

tkCl

kC

Samozřejmě turbulentní energii a rychlost disipace lze definovat také přímo. Podle složitosti

matematického modelu se definují také další veličiny související s přenosem tepla případně

další skalární veličiny. Hodnota turbulentní intenzity v případě LES se definuje pomocí

náhodné fluktuace rychlostního pole na vstupu.

6.2.3. Tlak na vstupuTlaková podmínka na vstupu se používá, pokud je znám celkový (totální) tlak nebo

statický tlak a průtok nebo rychlost. Tato podmínka je vhodná i pro proudění s uvažováním

vztlakových sil.

Na vstupu se definuje celkový (totální) relativní tlak (vztažený k operačnímu tlaku)

vztahem odvozeným z Bernoulliho rovnice, přitom hustota je konstantní nebo je funkcí

teploty resp. hmotnostních zlomků příměsí:


61

2

21 upp stattot r+= ( 6.2.3)

Pro stlačitelné proudění

( )12

211

-

úûù

êëé -

+=k

k

k Mapp stattot( 6.2.4)

kde totp celkový (totální) tlak

statp statický tlak

Ma Machovo číslo( ) 5.0

srTu

cuMa

k==

r měrná plynová konstantaMRr = , M je molekulová váha

k poměr měrných tepelV

p

cc

=k

c rychlost zvuku v tekutině

Rozdíl při vyhodnocení celkového tlaku při proudění vzduchu do Machova čísla 1.0=Ma je

patrný z obr. 6.1

0

200

400

600

800

1000

1200

0 5 10 15 20 25 30 35 40

u [ms-1]

p [P

a]

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

Mac

hovo

čís

lo [1

]p dynp statp celkp tot stlacMa

obr. 6.1 Zvislost tlaků na rychlosti (vzduch)

V případě, že je proudění ovlivněno vztlakovými silami, je tlakové pole zvětšeno o

hydrostatický tlak:


62

pgxp iref +=¢ r ( 6.2.5)

Tedy počítá se odchylka od hydrostatického tlaku a také se vyhodnocuje. Je ale nutné zadat

rozumnou hodnotu referenční hustoty refr při referenční teplotě. Vstupní hodnoty tlaku

celkového i statického jsou o hydrostatický tlak zvětšeny.

Při zadání tlakové podmínky je nutné definovat směr proudění pomocí složek

rychlosti případně pomocí proudění v normálovém směru k hranici.

Statický tlak na vstupu musí být specifikován v případě supersonického proudění.

Turbulentní veličiny jsou určovány shodně jako v případě okrajové podmínky hmotnostního

průtoku.

6.2.4. Tlak na výstupuTlaková okrajová podmínka na výstupu se zadává v podobě statického tlaku. Statický

tlak se definuje jen v případě subsonického proudění. Pokud je proudění supersonické, tak

se tlak i ostatní veličiny extrapolují z proudění uvnitř oblasti. Pokud se objevuje během

výpočtu zpětné proudění, je tato podmínka vhodnější než outflow, protože dosahuje lepší

konvergence. Pro zpětné proudění je ale nutné určit reálné okrajové podmínky ostatních

počítaných veličin, což je teplota a turbulentní veličiny, případně další skalární veličiny.

6.2.5. OutflowOutflow je nevhodné pro stačitelné proudění, nestlačitelné nestacionární proudění

s měnící se hustotou a v případě zadaného tlaku na vstupu.

Řešení přenosu tepla (konvekce, kondukce)

63

7. Řešení přenosu tepla (konvekce, kondukce)7.1. Úvod do problematiky modelování přenosu tepla

Teplo, jakožto forma energie, může být přenášeno 3 základními způsoby [23]:

· kondukcí (vedením),

· konvekcí (prouděním)

· radiací (sáláním).

Jedním ze základních pojmů z oblasti sdílení tepla je pojem „teplotní pole“. Jedná se

o druh pole, které udává rozložení teplot v určitém časovém okamžiku ve všech bodech

sledovaného prostoru. Mezi další základní pojmy patří například „teplotní gradient“, „tepelný

tok“ nebo „hustota tepelného toku“.

Teplotní gradient ( Tgrad ) představuje vektorovou veličinu, která udává změnu

teploty ve směru normály k izotermickému povrchu. Lze jej matematicky vyjádřit vztahem:

nT

nTT

n ¶¶

=DD

=®0

limgrad . ( 7.1.1 )

kde TD představuje „rozdíl relativních či absolutních teplot“ mezi zkoumanými izotermickými

plochami a nD je „rozdílem vzdáleností izotermických vrstev“ ve směru normály k těmto

vrstvám (plochám).

Tepelný tok – tepelný výkon Q& představuje množství tepelné energie přenesené za

jednotku času, a je definován vztahem:

tddQQ =& ( 7.1.2 )

Hustota tepelného toku q vyjadřuje tepelný tok vztažený k jednotce plochy, a je

definována vztahem:

dSQdq&

= ( 7.1.3 )

7.1.1. Kondukce – vedení teplaSdílení tepla kondukcí (vedením) vzniká v důsledku pohybu strukturních částic hmoty

(molekul). V čisté formě existuje pouze u látek pevného skupenství. V tekutinách existuje

pouze za předpokladu, že je vliv pohybu tekutiny na přenos tepla zanedbatelný (tj. že se

nejedná o přenos tepla konvekcí). Ve všech ostatních případech přispívá k přenosu tepla i

konvekce nebo dokonce konvekce spolu s radiací. Při většině inženýrských úloh do

fyzikálního děje vstupují všechny tři způsoby sdílení tepla.

Nejčastěji je tento fyzikální děj demonstrován na jednoduchém příkladu vedení tepla

homogenní nekonečnou stěnou o určité tloušťce tvořenou konkrétním materiálem. V oblasti


64

sdílení tepla kondukcí (vedením) se ještě rozlišují dva dílčí pojmy. Prvním z nich je pojem

„vedení tepla“ stěnou, který vyjadřuje situaci, kdy jsou pro výpočet zadány obě povrchové

teploty stěny, viz obr. 7.1. Druhým pojmem je pak „prostup tepla“ stěnou, o kterém

hovoříme, pokud jsou pro výpočet zadány teploty obou médií (tekutin), jež stěnu z obou stran

obklopují a které se mohou také pohybovat.

obr. 7.1 Princip „vedení tepla“

Základním zákonem vedení tepla je Fourierův zákon, který udává vztah mezi

hustotou tepelného toku q a teplotním gradientem Tgrad :

Tq gradl-= . ( 7.1.4 )

kde l je tepelná vodivost, která závisí na druhu materiálu a mění se s teplotou. Záporné

znaménko na pravé straně rovnice vyjadřuje skutečnost, že hustota tepelného toku a teplotní

gradient mají jako vektory opačný smysl (teplo se šíří ve směru klesající teploty).

Nejjednodušším případem vedení tepla je stacionární vedení tepla homogenní

neomezenou izotropní rovinnou stěnou (viz obr. 7.1), tj. stěnou, která je materiálově

stejnorodá a teplo se v ní šíří ve všech směrech stejným způsobem. Pro výpočet hustoty

tepelného toku v tomto případě platí základní vztah:

xTT

q SS

D-

×-= 21l . ( 7.1.5 )

kde 1ST a 2ST představuje teploty na stěnách a xD je tloušťkou stěny. Obdobný princip lze

aplikovat u tzv. stěny složené, která se skládá z několika vrstev o různém materiálu. Tento

postup se provede pro každou dílčí vrstvu zvlášť.

Nejjednodušším případem prostupu tepla je stacionární prostup tepla homogenní

neomezenou izotropní rovinnou stěnou (viz obr. 7.1). Podmínkou však je, aby se tekutina

VEDENÍ TEPLASTĚNOU

1sT l

xD

2sT


65

obklopující stěnu z obou stran (viz výše uvedený výklad) se výrazněji nepohybovala a

nedocházelo tak ke sdílení tepla prouděním. Pro výpočet hustoty tepelného toku v tomto

případě platí základní vztah:

( )12

21

111 TTx

q -×+

D+

=

ala

.( 7.1.6 )

kde 1a a 2a představuje součinitele přestupu tepla na rozhraní stěn a tekutiny, 1T a 2T

představují teploty obou stěn obklopujících tekutin a xD je tloušťkou stěny. Na rozdíl od

případu vedení tepla nelze stejný postup uplatnit u stěn složených.

7.1.2. KonvekceSdílení tepla konvekcí (prouděním) je na rozdíl od kondukce spjato s pohybem tekutiny

okolo nebo podél stěny, jíž teplo prochází. Opět stejně jako v případě kondukce, neexistuje

v praxi nikdy ve zcela čisté podobě, protože uvnitř proudící tekutiny stejně jako na rozhraní

tekutiny a pevné stěny je vždy doprovázeno kondukcí. Výpočet přenosu tepla je však oproti

případu kondukce ztížen faktem, že je třeba do něj zakomponovat kromě rovnic z oblasti

sdílení tepla ještě rovnice z oblasti hydrodynamiky. Tepelnou konvekci tedy v souhrnu

popisuje následující matematický model přenosu tepla.

u

qK Ts

Ts>Tvz

T

obr. 7.2 Princip „konvekce tepla“ a profily rychlosti a teploty v blízkosti stěny obtékané

vzduchem [27]

Jestliže je tekutina zahřívána a její hustota se mění v závislosti na teplotě, může

v důsledku rozdílu hustot a působení tíhového zrychlení dojít k proudění, které je

označováno jako smíšená (příp. přirozená) konvekce. Význam vztlakových sil při smíšené

konvekci lze posoudit pomocí poměru Grashofova a druhé mocniny Reynoldsova čísla:

22 ugh

ReGr

rrD= ( 7.1.7)


66

12 ññReGr - vztlakové síly významně ovlivňují proudění v oblasti.

12 ááReGr - vztlakové síly se zanedbávají.

V případě pouze přirozené konvekce je možné určit podle hodnoty tzv. Rayleighova čísla

definovaného vztahemma

rb 3TlgRa D= , kde

T¶¶

-=r

rb 1

je součinitel teplotní roztažnosti a

pc.rla = je součinitel teplotní vodivosti, zda proudění je laminární nebo turbulentní.

Ra<108 laminární proudění

108<Ra<1010 přechod do turbulence

7.2. Matematický model přenosu tepla7.2.1. Přenos tepla v tekutinách

Výše uvedené principy kondikce a konvekce se v reálných problémech vyskytují

současně a řeší se v celém komplexu ([32], [33]), z čehož plne složitost matematického

modelu přenosu tepla v tekutinách, který vychází opět ze zákona zachování hmoty,

hybnosti a navíc energie. Rovnice energie je formálně podobná předchozím rovnicím a za

předpokladu turbulentního proudění (všechny veličiny jsou uvažovány turbulentní) je

definována takto:

( ) ( ) ( )÷÷ø

öççè

æ+++

¶¶

=+j

effjl

jljjjj

j xT

xxu

futpEu

xE

t ¶¶l

¶¶

¶t¶

rr¶¶r

¶¶

( 7.2.1)

kde 2

21

juUE += celková energie, která je součtem vnitřní a kinetické energie

teff lll += , l je součinitel molekulové teplotní vodivosti, tl je součinitel trubulentní

teplotní vodivosti.

Zavede-li se pojem entalpie, definované vztahem

rpUh +=

pak 2

21

juphE +-=r

. Entalpie h je definovaná pro ideální plyny jako

ò=T

Tp

ref

dTch [Jkg-1] ( 7.2.2)

a pro nestlačitelné médium (nestlačitelné plyny a kapaliny) jako


67

rpdTch

T

Tp

ref

+= ò [Jkg-1] ( 7.2.3)

Ve výše uvedených rovnicích pro entalpie je výpočet definován pro referenční teplotu (např.

KTref 15,298= ), kterou lze měnit podle situace.

7.2.2. Přenos tepla ve vodivých stěnáchPřenos tepla ve vodivých stěnách je definován obdobnými veličinami jako

v tekutinách. Neuvažují se fluktuace teploty, neboť v pevných látkách nemají smysl. Rovnice

entalpie je:

//w q

xT

xth

jj

ww &+÷

÷ø

öççè

æ

¶¶

¶¶

=¶

¶lr ( 7.2.4)

kde wr hustota stěny,

wh entalpie stěny, cw(T – Tref),

wl tepelná vodivost stěny,

T teplota stěny,//q& jednotkový zdroj tepla ve stěně, který je dán jako objemový vývin tepla disipací

[Wm-3] nebo např. generací tepla v elektronických komponentech

Pokud jsou řešeny úlohy, kde ještě dochází k pohybu či rotaci stěn, pak tyto efekty

jsou zahrnuty v řešení rovnice energie:

( ) ///wi,v q

xT

xh

xth

iw

iw

iw

ww &+÷÷

ø

öççè

æ¶¶

¶¶

=¶¶

+¶

¶ lrr ( 7.2.5)

Konvekce tepla je z důvodu pohybu stěny rychlostí wiv , zahrnuta v rovnici energie pro oblasti

ohraničující proudění. Na pohybující se vodivé stěně je nutné zadat následující parametry:

· wi,v rychlost pohybující se stěny

· drsnost stěny (pouze při řešení turbulentního proudění)

· specifické teplo (neustálené proudění, pohybující se stěny)

Zadání teplotní vodivosti umožňuje řešit úlohy, kde pevná vodivá oblast je tvořena

oddělenými stěnami z různých materiálů a různých vlastností. Hustota a specifické teplo

stěny jsou důležité při řešení časově závislých úloh a při řešení ustáleného stavu pouze

tehdy, když se stěna pohybuje. Typickými příklady jsou řešení dopravníkových pásů,

pohybujících se ocelových válcovaných pásů v pecích a úlohy s rotačními strojními

součástmi.

Všechny fyzikální vlastnosti mohou být podle charakteru úlohy konstantní nebo závislé


68

na teplotě případně na tlaku. Nejvýznamnější veličinou je hustota.

7.3. Hustota závislá na teplotě a tlaku, Boussinesqova

aproximaceDefinování hustoty a případně vztlakových sil v matematickém modelu proudění závisí na

tom, zda proudění je modelováno jako stlačitelné nebo nestlačitelné

7.3.1. Vyjádření hustoty pro stlačitelné médiumPro stlačitelné médium (ve Fluentu jen plyny) se využívá stavové rovnice pro ideální

plyn definující hustotu ve tvaru

Trppop +

=r ( 7.3.1)

7.3.2. Vyjádření hustoty pro nestlačitelné médiumPro nestlačitelné médium (ve Fluentu plyny i kapaliny) se může vybrat jedna

z následujících metod:

· konstantní hustota .konst=r

· stavová rovnice pro nestlačitelný plyn, pokud jsou změny tlaku velmi malé a plyn je

tedy nestlačitelný, pakTr

pop=r

Operační tlak pop musí být definován dosti přesně.

· závislost hustoty na teplotě (u přirozené konvekce) je vyjádřena jako:

po částech lineární funkce ( ) 11

1 Tpro)( ++

+ áá---

+= nnnnn

nnn TTTT

TTT rrrr

polynomická funkce ...)( 2321 +++= TATAATr

Na obr. 7.3 je vyjádřena závislost hustoty vzduchu pro výše uvedené varianty, přitom

polynomická funkce je volena pro jednoduchost jako přímka a je získána metodou

nejmenších čtverců


69

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

t[0C]

r[kg

.m-3

]

ro konstro ideal (prel=0kPa)ro ideal (prel=5kPa)ro ideal (prel=10kPa)ro ideal (prel=20kParo(A1,A2)

obr. 7.3 Grafické vyjádření hustoty v závislosti na teplotě dle předchozích vztahů a pro různé

tlaky

7.3.3. Boussinesquova aproximaceJe-li proudění modelováno jako nestlačitelné, lze definovat závislost hustoty na

teplotě nebo použít Boussinesqův model, kde hustota vystupuje jako konstantní (referenční)

hodnota ve všech řešených rovnicích kromě vztlakového členu v pohybové rovnici,

( ) ( )i

sílyyCoriolisov

jijc

sílyvztlakové

ij

i

jij

jii fufgxu

xxp

xuu

tu rerrdm

¶¶

¶r¶

¶r¶

+++÷÷ø

öççè

æ

¶¶

¶¶

+-=+43421321 33

který se formálně nahradí změnou teploty takto:

( ) ( ) irefrefiref gTTg ×--=×- brrr ( 7.3.2)

kde refr a Tref jsou referenční hustota a teplota a b je součinitel teplotní roztažnosti. Platí

tedy, že ( )Tref D-= brr 1 . Tato aproximace je dostatečně přesná pokud jsou změny

hustoty malé.

Nechť *3 pxgp iiiref += dr (tj. pro i=1,2 je p=p*), kde první člen na pravé představuje

hydrostatický tlak definovaný pomocí referenční hustoty a *p je přírůstek tlaku, platí za

předpokladu hydrostatické rovnováhy

iirefi

gxp

3dr¶¶

×= ( 7.3.3)


70

Po dosazení do vztlakového členu pomocí rozdílu hustot ( ) iref g×- rr a nahrazením

hustoty r konstantní referenční hustotou rref se dostane upravená pohybová rovnice [13] pro

korekce tlaku p*:

( ) ( )

( ) iirefi

il

lt

i

j

j

it

jjiref

jiref

Fg

xp

xu

xu

xu

xuu

xu

t

+-+

+-÷÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

úúû

ù

êêë

é+×=+

rrd

¶¶

¶¶m

¶¶

¶¶m

¶¶r

¶¶r

¶¶

3

*

32

( 7.3.4)

Tato rovnice se obdrží formálně následující úpravou tak, že k pravé straně se přičte a odečte

člen rrefgi, kdei

refiref x

pg¶

¶r = , přičemž pref je hydrostatický tlak odpovídající referenční

hustotě rref . Pak pravá strana má tvar:

iii

ref

i

ref

il

lt

i

j

j

it

j

Fgx

px

pxp

xu

xu

xu

x++-+-÷

÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

úúû

ù

êêë

é+×= r

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶m

¶¶

¶¶m

¶¶

32.......

( ) iirefi

ref

il

lt

i

j

j

it

j

Fgx

pxp

xu

xu

xu

x+×-+÷÷

ø

öççè

æ--÷

÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

úúû

ù

êêë

é+×= rr

¶¶

¶¶

¶¶m

¶¶

¶¶m

¶¶

32.....

( ) iirefrefi

ref

il

lt

i

j

j

it

j

FgTTx

pxp

xu

xu

xu

x+×--÷÷

ø

öççè

æ--÷

÷ø

öççè

æ÷÷ø

öççè

æ-

úúû

ù

êêë

é+×= br

¶¶

¶¶

¶¶m

¶¶

¶¶m

¶¶

32.....

kdeii

ref

i xp

xp

xp

¶¶

¶¶

¶¶ *

=- .

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

t[0C]

r[kg

.m-3]

ro (Tref=0)ro (Tref=10)ro (Tref=20)ro (Tref=30)ro (Tref=40)ro (Tref=50)ro (Tref=60)ro ideal (prel=0kPa)

obr. 7.4 Závislost hustoty na referenční teplotě, srovnání s hustotou počítanou stavovou

rovnicí.


71

Zanedbání změny hustoty v členu na levé straně rovnice (storage člen – viz [12]) a její

zachování ve vztlakovém členu na pravé straně rovnice (buyoancy člen – viz [12]) se nazývá

Boussinesqova aproximace. Na obr. 7.4 je porovnána závislost hustoty vzduchu pro různé

referenční teploty a hustoty vzduchu počítané z rovnice pro ideální plyn a pro atmosférický

tlak.

7.4. Okrajové podmínky pro neizotermní prouděníŘešená oblast, sestávající z proudící tekutiny a případně vodivých stěn a okolního

prostředí, je omezena hranicemi, na kterých se definují okrajové podmínky.

Při izotermickém proudění je hranicí myšlena tenká stěna obklopující tekutinu

s okrajovými podmínkami danýmí pouze hodnotami rychlosti. V případě neizotermního

proudění závisí okrajové podmínky na každém konkrétním případu, tj. jestli je nutno použít

úplný model, částečně zjednodušený model nebo zjednodušený model:

· úplný model - řeší se rozložení teploty v proudícím médiu, stěně trubky (vodivá

oblast) i v okolí (vzduch), okrajové podmínky jsou definované vnějšími tepelnými

podmínkami okolí

· částečně zjednodušený model - řeší se rozložení teploty v proudícím médiu a stěně

trubky (vodivá oblast), je nutné definovat teplotu nebo hustotu toku tepla na vnější

stěně trubky,

· zjednodušený model – řeší rozložení teploty v proudicím médiu s hranicí definovanou

stěnou nulové tloušťky (lze navíc respektovat tepelný odpor stěny zadané tloušťky)

s přesně definovanými neizotermickými vlastnostmi a okrajovými podmínkami.

Jednotlivé přístupy jsou zobrazeny na obr. 7.5.

úplný model

tekutina+stěna potrubí+okolí

částečně zjednodušený

model

tekutina+stěna potrubí

zjednodušený model

tekutina+tenká stěna

obr. 7.5 Proudění tekutiny potrubím tekutina, stěna potrubí, okolí

hranice


72

Hranice je pak nejvzdálenější plocha nulové tloušťky s definovanými okrajovými

podmínkami. Na hranici je možné nastavit okrajové podmínky pro přestup tepla (teplotu nebo

hustotu tepelného toku případně radiaci), rychlost (u pohybujících se a rotujících stěn),

smykové napětí, drsnost, podmínky pro příměs, chemické reakce, podmínky pro multifázové

proudění a volnou hladinu.

Pokud se řeší přenos tepla, na hranici se nastavují následující teplotní podmínky:

· konstantní hustota toku tepla

· teplota

· konvektivní přenos tepla

· externí radiační přenos tepla

· kombinace externí radiace a externího konvekčního přenosu tepla

Rozhraní může být zjednodušené považována za jednostrannou nebodvoustrannou stěnovou zónu.

obr. 7.6 Hranice jako jednostranná a dvoustranná stěnová zóna

Je-li stěnová zóna dvoustranná (two-sided wall, tj. stěna tvoří rozhraní mezi dvěma oblastmi,

jako je rozhraní tekutina/stěna pro problém přenosu tepla), je možné modelovat vodivost

uvnitř hraničních stěn a vnitřních stěn (dvoustranných), viz obr. 7.6. Dále existuje také

možnost si vybrat, zda jsou nebo nejsou podmínky na dvoustranné stěně propojeny

(coupled).

Na obr. 7.7 je možno sledovat rozložení teploty v oblasti proudícího média a ve stěně,

kdy na vnější ploše stěny je dána konstantní podmínka pro teplotu. Šíření tepla je ovlivněno

materiálem, tj. vodivostí stěny a vody, a samozřejmě prouděním.

jednostranná stěnová zónaone-sided wall

dvoustranná stěnová zónatwo-sided wall


73

obr. 7.7 Detail konce oblasti s rozložením teploty pro částečně zjednodušený přístup řešení.

7.4.1. Okrajové podmínky na tenké stěněPodle předpokladu má stěna nulovou tloušťku. Je-li stěna nenulové tloušťky, lze

nastavit parametry pro výpočet tepelného odporu pro tenkou stěnu a modelovat tak tenkou

vrstvu materiálu mezi dvěma zónami. Např. lze modelovat účinek kousku plátu mezi dvěma

zónami tekutiny, potahování pevné látky, nebo kontaktního odporu mezi dvěma pevnými

oblastmi. FLUENT pak řeší 1D rovnici vodivosti, aby spočítal tepelný odpor definovaný

stěnou a generaci tepla ve stěně.

Aby se mohly tyto účinky zahrnout do

výpočtu přenosu tepla, je třeba

specifikovat typ materiálu, tloušťku stěny

a generaci tepla ve stěně. Tedy vybere

se materiál, specifikuje se tloušťka

stěny. Tepelný odpor stěny jelxD , kde

l je vodivost materiálu stěny a xD je

tloušťka stěny. Teplotní podmínka resp.

podmínka hustoty tepenlého toku bude

specifikována na vnější straně stěny, jak

je patrno na obr. 7.8. Dle konvence užité

ve Fluentu bude nazvána vnitřní plocha

(inner wall). wT je konstantní teplota

Tw

vnější plocha(inner wall)

vnitřní plocha(outer wall)

TENKÁ STĚNA

buňky kapalinynebo pevnévodivé stěny

Dx

resp. qw

lw

obr. 7.8 Okrajová podmínka na tenké stěně [15]

stěny. Je třeba poznamenat, že pro tenkou stěnu je možné definovat pouze konstantní


74

tepelnou vodivost. Je-li třeba užít nekonstantní tepelnou vodivost pro nenulovou tloušťku, je

nutno stěnu definovat konkrétní geometrií a vysíťovat.

7.4.2. Okrajové podmínky na tenké dvoustranné stěněJestliže stěna má na každé straně kapalinu nebo pevnou stěnu, nazývá se tato stěna

dvoustranná (two-sided wall), a je schématicky zobrazená na obr. 7.9.

Tw2qw2

Tw1qw1

TENKÁ STĚNAwall shadow wall

lw2

buňkykapaliny nebopevné vodivéstěny

buňkykapaliny nebopevné vodivéstěnylw1

obr. 7.9 Okrajová podmínka na stěně se dvěma povrchy [15]

Když je vložena z Gambitu síť s tímto typem stěny do Fluentu, vytvoří se automaticky

„shadow“ zóna tak, že každá strana stěny je stěnová zóna. V panelu WALL se ukáže jako

Shadow Face Zone. Pak lze definovat odlišné tepelné podmínky na každé zóně označené

WALL a SHADOW WALL, nebo propojit (coupled) obě zóny:

· Při propojení zón je třeba vybrat Coupled option v Thermal Conditions (tento

parametr se objeví ve WALL panelu, když stěna je dvoustranná). Žádné doplňující

tepelné okrajové podmínky nejsou požadovány, protože přestup tepla bude řešen

přímo z rovnic pro sousedící buňky. Lze ale definovat typ materiálu, tloušťku stěny a

generaci tepla pro výpočty tepelného odporu, jak bylo uvedeno výše. Parametry

odporu tepla budou automaticky nastavené na „shadow“ stěnové zóně.

· Při odlišných (nepropojených) stěnových zónách mohou být definovány odlišné

tepelné podmínky na každé z nich. Je třeba vybrat Temperature nebo Heat Flux

(Convection a Radiation nejsou možné pro dvoustrannou stěnu). Obě nepropojené

stěny mohou mít odlišnou drsnost a jsou navzájem izolovány. Pokud je třeba

specifikovat nenulové tloušťky stěn pro nepropojené zóny, tepelné podmínky budou

definovány na vnější ploše nenulových stěn, jak je patrno z obr. 7.9, kde 1wT a 2wT je


75

teplota ( 1wq a 2wq je hustota tepelného toku) definovaná na jedné a druhé stěně.

1Wl a 2Wl jsou tepelné vodivosti na nepropojených nenulových stěnách. Mezera

mezi stěnami není částí modelu, je pouze z ilustrativních důvodu zahrnuta do

obrázku.

7.4.3. Výpočet teploty a hustoty tepelného toku na stěněVýpočet tepelného toku při zadané teplotě

Je-li na stěně definována okrajová podmínka teplotou, pak lze počítat hustotu

tepelného toku z tekutiny do stěny a pro turbulentní proudění je

( ) radfwf qTThq +-= ( 7.4.1)

kde fh lokální součinitel přestupu tepla v oblasti, kde je tekutina, je určen

logaritmickou závislostí v blízkosti stěny,

wT teplota povrchu stěny,

fT lokální teplota tekutiny v buňce blízko stěny,

q konvekční hustota tepelného toku ze stěny,

radq radiační hustota tepelného toku.

Jestliže stěna hraničí s buňkou vodivé stěny, pak Fluent počítá přenos tepla k okraji stěny

jako

( ) radcwwcw qTTΔn

q +-=l

( 7.4.2)

kde cwl tepelná vodivost vodivých stěn,

cwT lokální teplota vodivých stěn,

nD vzdálenost mezi povrchem stěny a středem buňky vodivé stěny.

Příklad

Řešte proudění v trubce s přestupem tepla stěnou, uvažujte vedení tepla stěnou a přestup

tepla mezi stěnou a proudícím médiem


76

obr. 7.10 Schéma řešené oblasti

Geometrie oblasti:

Vnitřní průměr trubky d [mm] 25

Tloušťka stěny trubky s [mm] 3

Délka trubky l [m] 0.9

Fyzikální vlastnosti kapaliny a stěny:voda ocel

Hustota ρ [kgm-3] 998.2 8030

Měrná tepelná kapacita cp [J(kgK)-1] 4182 502.48

Tepelná vodivost l [W(mK)-1] 0.6 16.27

Dynamicá viskozita h [kg(ms)-1] 0.001003

Okrajové podmínky:

Teplota vody na vstupu T [K] 300

Rychlost vody na vstupu u [ms-1] 0.5

Vnější teplota stěny wT [K] 400

Teplota vnější plochy tenké stěny innerbw TT -= [K] 400

Hustota tepelného toku q [Wm-2] 0

Matematický model:

Reynoldsovo číslo Re [1] 25 000

Re =25 000 Þ proudění je turbulentní

Výsledky:

Oblast prouděníT=300Kv=0.5 m/svoda

ds

Tw=400 K, ocelq=0 Wm-2 q=0 Wm-2


77

obr. 7.11 Detail sítě konce trubky a rozložení teploty

290

310

330

350

370

390

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

r [m]

T [0 C

]

vstupvystupx=0.45

obr. 7.12 Teplotní profil v radiálním směru na vstupu, výstupu a uprostřed ve vzdálenosti

45.0=x m


78

350

355

360

365

370

375

380

385

390

395

400

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

x [m]

T [K

]

150000

160000

170000

180000

190000

200000

210000

220000

230000

240000

250000

teplota-outer

teplota-inner

hustota toku

obr. 7.13 Teplotní profil v podélném směru na vnitřní ploše (outer), vnější poše (inner) a

hustota tepelného toku na stěně

Výpočet teploty při zadané hustotě tepelného toku

Pro výpočet teploty povrchu stěny přiléhající k živé buňce se využije rovnice ( 7.4.1) a

uživatelem zadaná hustota tepelného toku.

ff

radw T

hqqT +=

-( 7.4.3)

Hustota tepelného toku je kladná pro směr ze stěnových buněk do buněk živých a naopak.

Jestliže stěnová buňka hraničí s buňkou vodivé stěny, pak se teplota povrchu stěny počítá

dle následujícího vztahu.

( )cw

cw

radw T

nqqT +

D×=

l-

( 7.4.4)

Adiabatické stěny jsou stěny bez prostupu tepla, mohou být nadefinovány zadáním

nulové hustoty tepelného toku jako okrajové podmínky na stěně.

Okrajová podmínka na stěně definovaná konvektivním přenosem tepla

Software požaduje zadání externího součinitele přestupu tepla a také zadání externí

teploty uživatelem, což je ve většině případů teplota vnějšího okolí. Slovy externí součinitelpřestupu tepla je součinitel přestupu tepla ze stěny do okolí. Tepelný tok je pak počítán dle

následujícího vztahu


79

( ) ( )wextradfw TThqTThq -=+-= extf ( 7.4.5)

kdex

hext D=

lexterní součinitel přestupu tepla, xD tloušťka stěny

extT externí teplota (teplota okolí),

radq hustota radiačního toku tepla

Další výpočty souvisejí s radiací a nebudou v této učebnici vysvětlovány.

Modelování proudění příměsí

80

8. Modelování proudění příměsí8.1. Transportní rovnice pro přenos příměsí

Typickým příkladem pro modelování příměsi je šíření znečišťujících látek z komína

nebo jiných zdrojů polutantů. K výpočtu je třeba znát parametry zdroje, proudění vzduchu

v atmosféře, povrch terénu, viz obr. 8.1

Parametry zdroje:· množství emisí· geometrie· poloha, výška

Faktory ovzduší· směr a rychlost větru· vertikální teplotní gradient· turbulence· ostatní meteorologické prvky

Faktory prostředí· konfigurace terénu· zástavba· drsnost povrchu· zdroje tepla, teplotní toky

obr. 8.1 Faktory, ovlivňující šíření znečištění v atmosféře.

Matematický model je dán rovnici kontinuity, pohybovou rovnicí, rovnicemi pro přenos

turbulentních veličin a navíc počítá lokální hmotnostní zlomky příměsí iY ¢ . Hmotnostní

zlomek příměsi je definován vztahem

iiiii

i VV

mmY ¢

¢¢¢¢¢ === a

rr

rr

( 8.1.1)

kde im ¢ [kg] hmotnost příměsi i ¢

m [kg] celková hmotnost směsi

iY ¢ [1] hmotnostní zlomek příměsi i ¢ ve směsi

i ¢a [1] objemový zlomek příměsi i ¢ ve směsi

Další veličina, která se užívá se spojení s šířením příměsi je molární koncentrace iC ¢

[kmol.m-3]. Koncentrace definovaná vztahem ii CM ¢¢ je uváděna v jednotkách [kgkmol-

1.kmolm-3=kgm-3]. Označení ppm běžné při vyhodnocování koncentrací definuje miliontinu

dané hodnoty (analogie procenta, může se vztahovat k hmotnostnímu nebo objemovému

zlomku).


81

Bilanční rovnice přenosu příměsi (tj. hmotnostního zlomku) v konzervativní formě má

tvar [24], [28]

( ) ( )iiij

ij

iji SRJxx

YutY

¢¢¢¢¢ ++

¶¶

-=¶

¶+

¶¶

,rr

( 8.1.2)

kde iu je časově středovaná složka rychlosti proudění a na pravé straně je iR ¢ rychlost

produkce příměsí i ¢ vlivem chemické reakce a iS ¢ rychlost tvorby přírůstku z distribuované

příměsi [1]. Výše uvedená rovnice platí pro 1-N příměsí, kde N je úplný počet komponent

prezentovaných v matematickém modelu. Distribuce příměsí může být realizována za

různých podmínek, obecně lze rozlišovat distribuci za laminárního nebo turbulentního

proudění [24]. ijJ ¢, představuje difúzní tok i ¢ -té komponenty směsi, který se liší pro laminární

a turbulentní proudění.

Difúzní tok pro laminární proudění

V předchozí rovnici iJ ¢ představuje difúzní tok i ¢ -té složky jednotkou plochy, který je

definovaný vztahem

j

imii x

YDJ¶¶

-= ¢¢¢ ,r [kgm-2s-1] ( 8.1.3)

kde miD ,¢ je difúzní koeficient i ¢ -té příměsi ve směsi.

Difúzní tok pro turbulentní proudění

Při turbulentním proudění pro vyjádření difúzního toku jednotkou plochy i ¢ -té složky se

uplatňuje vztah

j

i

t

tmii x

YSc

DJ¶¶

÷÷ø

öççè

æ+-= ¢

¢¢mr , [kgm-2s-1] ( 8.1.4)

kde tSc je Schmidtovo turbulentní číslo, jehož hodnota je 0,7.

8.2. Definice zdroje příměsiParametry zdroje zahrnují data o typu, velikosti a umístění zdroje v oblasti, složení a

množství vypouštěných znečisťujících látek. Je nutné definovat polohu zdroje v kartézském

souřadném systému, jeho objemový průtok, teplotu, rychlost a její směr na výstupu ze zdroje

a koncentraci (hmotnostní zlomek) jednotlivých příměsí na výstupu ze zdroje. Vydatnost

zdroje může být konstantní nebo se může měnit v závislosti na čase. V případě havarijních

úniků je obtížné definovat množství a koncentraci látky, která se bude v okamžiku havárie

v daném místě nacházet. Je nejprve nutné identifikovat a porozumět dějům, které se


82

odehrávají v samotném zdroji, jako je například výbuch, odpařování, současný únik plynné a

kapalné fáze, atd. K výpočtu potřebných parametrů pro různé typy zdrojů lze použít

empirické vztahy. Zadání zdroje je umožněno definováním objemových zdrojových členů

hmotnosti, hybnosti, energie, turbulence a dalších skalárních veličin. Je možné také

definovat tyto zdroje jako nekonstantní, závislé na čase případně dalších veličinách [8], [24].

V praktických úlohách se nejčastěji vyskytují tyto typy zdrojů: bodový zdroj (komín),

plošný zdroj a objemový zdroj. Tyto typy se liší geometrickými vlastnostmi a definicí

příměsi vystupující ze zdroje. Např. komín představuje válcovou vertikální konstrukci, ze

které jsou vypouštěny příměsi plynného i pevného charakteru. Tento typ zdroje je vhodný,

pokud je předmětem zájmu modelování obtékáni komína jako překážky v řešené oblasti. Na

příkladu komína budou definovány všechny varianty definice zdroje, jako je obvyklý inlet,

umístěný na ploše definující výstup z komína nebo na hranici oblasti a objemový zdroj

umístěný uvnitř oblasti.

obr. 8.2 Zdroje příměsi: plošný zdroj typu Inlet jako výstup z komína nebo otvor

v horní ploše oblasti

objemový zdroj typu Source uvnitř oblastk

8.2.1. Zdroj-inletPokud není nutné modelovat proudění v samotném komíně, případně vliv přestupu

tepla přes stěny komína, pak se konstruuje jeho geometrie již v pre-procesoru, horní průřez o

ploše S se pak definuje jako vstup inlet, komín se geometricky netvoří vůbec. Na vstupu se

zadají okrajové podmínky pro plošný zdroj ve výšce komína, které jsou: hmotnostní zlomek

příměsi, teplota na výstupu z komína, rychlost na výstupu z komína a turbulentní parametry

(např. hydraulický průměr, intenzita turbulence).

8.2.2. Objemový zdrojPokud je průměr komína příliš malý ve vztahu k rozměrům oblasti nelze jej definovat

Inlet1 u

Inlet2Source


83

pomocí podmínky inlet, je lepší jej nahradit objemovým zdrojem. Může obsahovat pouze

jednu buňku nebo skupinu buněk, které však musí tvořit oddělenou zónu. Tu je možné

vytvořit už v preprocesoru při přípravě sítě nebo dodatečně přímo v prostředí FLUENTu

pomocí nástrojů adaptace sítě a tvorby registru. Protože zdrojové členy jsou definovány na

jednotku objemu, je nutné nejprve určit velikost objemu buněk v dané zóně pomocí integrace

(Report-Volume Integral). Pak se objemový zdroj hmotnosti (pro jednu i více příměsí)

definuje vztahem [24]

VQsourcemass m= [kgm-3s-1] ( 8.2.1)

V rovnici kontinuity se definovaný zdroj hmotnosti objeví jako zdrojový člen mS . Obdobným

způsobem je možné definovat i zdrojový člen v pohybové rovnici jako momentum source X,

Y, Z

VQusourcemomentum mi= [Nm-3=ms-1kgs-1m-3] ( 8.2.2)

kde iu je složka rychlosti ve směru x, y, z. V pohybové rovnici se zdrojový člen objeví

v hmotnostní síle F . Tento člen definuje hybnost příměsi. Pokud je roven nule, pak příměs,

která je vložena do oblasti pouze jako zdrojový člen v rovnici kontinuity, je unášena okolním

proudem.

Analogicky lze definovat zdrojový člen v rovnici energie hS , v transportní rovnici pro

kinetickou turbulentní energii kS a rychlost disipace eS . V případě zdrojů, jejichž parametry

se mění v závislosti na čase, je možné závislosti popsat pomocí uživatelských funkcí UDF.

8.3. Fyzikální vlastnosti plynů a jejich směsíNejdříve je nutno definovat fyzikální vlastnosti jednotlivých plynů tvořících směs. Pokud

se řeší izotermní proudění (míchání látek o konstantní teplotě), pak tyto vlastnosti mohou být

konstantní. V případě neizotermního proudění je možno uvažovat jednotlivé vlastnosti jako

funkce teploty. Teprve potom se určí celková vlastnost směsi.

8.3.1. HustotaPro izotermní proudění plynů s konstantní hustotou, nebo neizotermní s hustotou

vyjádřenou jako funkce teploty (ne jako ideální plyn), je hustota definována

å ¢¢

¢=

ii

iYr

r1

( 8.3.1)

kde iY ¢ je hmotnostní zlomek příměsi i ¢ ve směsi


84

i ¢r je hustota příměsi i ¢ ve směsi

Hustotu pro neizotermní proudění je také možno zadat polynomem nebo po částech

lineární funkcí

( ) ...2321 +++=¢ TATAATir pro maxmin TTT <<

( ) ( )nnn

nininii TT

TTT -

-+=

+

¢+¢¢¢

1

,1,,

_ rrrr

(8.3.2)

Je také možno definovat vlastní závislost pomocí UDF (User Defined Function),

Pokud je hustota plynu základního proudění a všech příměsí zadána stavovou

rovnicí

( )rT

ppopi

+=¢r (8.3.3)

pak hustota směsi je dána v daném objemu součtem hustot příměsí modifikovaných podílem

hmotnostního zlomku a molekulové hmotnosti (což odpovídá objemovému zlomku)

å ¢¢

¢

+=

ii

i

op

MYRT

ppr

( 8.3.4)

kde iM ¢ je molekulová váha příměsi i ¢ ve směsi.

Shrnutí

hustota i ¢ -té příměsi hustota směsí

konsti =¢r

( ) ...2321 +×+×+=¢ TATAATir

( ) ( )nnn

nininii TT

TTT -

-+=

+

¢+¢¢¢

1

,1,,

_ rrrr

å ¢¢

¢=

ii

iYr

r1

( )rT

ppopi

+=¢r å ¢

¢

¢

+=

ii

i

op

MYRT

ppr

8.3.2. ViskozitaKinematická viskozita jednotlivých plynných látek může být konstantní, tj. nezávisí na

teplotě, nebo je vyjádřena funkcí teploty (např. jako polynom n -tého řádu, po částech

lineární funkce nebo jiná funkční závislosti na teplotě),

viskozita i ¢ -té příměsi viskozita směsí

konsti =¢m å ¢ ¢¢=i iiY mm


85

( ) ...2321 +×+×+=¢ TATAATim

( ) ( )nnn

nininii TT

TTT -

-+=

+

¢+¢¢¢

1

,1,,

_ mmmm

Ideální plyn

å

å

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢¢

úúû

ù

êêë

é÷÷ø

öççè

æ+×

úú

û

ù

êê

ë

é÷÷ø

öççè

æ×÷

÷ø

öççè

æ+

×=

i

j

j

i

i

j

j

i

i

ii

MM

MM

X

X

2/1

24/12/1

18

1mm

mm

kde iX ¢ je molový zlomek příměsi i ¢ (počet molů příměsi v jednom molu směsi).

8.3.3. Měrná tepelná kapacitaPodobně předchozím vlastnostem měrná tepelná kapacita plynů je vyjádřena např.

funkcí teploty jako polynom n -tého řádu

( ) ...2321, +×+×+=¢ TATAATc ip pro maxmin TTT << (8.3.5)

a tepelná kapacita směsí je dána vztahem

å¢

¢¢=i

ipip cYc , (8.3.6)

8.3.4. Tepelná vodivostTepelná vodivost jednotlivých plynných látek je konstantní nebo je vyjádřena funkcí

teploty jako polynom n -tého řádu

( ) ...2321 +×+×+=¢ TATAATil pro maxmin TTT << (8.3.7)

pak při definici hustoty pro ideální plyn je tepelná vodivost směsí je dána vztahem

å

å

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢

¢¢

úúû

ù

êêë

é÷÷ø

öççè

æ+×

úú

û

ù

êê

ë

é÷÷ø

öççè

æ×÷

÷ø

öççè

æ+

×=

i

j

j

i

i

j

j

i

i

ii

MM

MM

X

X

2/1

24/12/1

18

1ll

ll

(8.3.8)

8.3.5. Standardní slučovací entalpie a entropieV případech, kdy se řeší proudění s uvažováním chemické reakce, je nutné definovat

standardní slučovací entalpii (slučovací teplo) 0jh ¢ pro každou příměs j ¢ . Tato vlastnost


86

slouží k definování entalpie směsi

å ò úúû

ù

êêë

é+=

¢

¢¢¢

T

Tjpjj

jref

dTchmH,

,0 (8.3.9)

kde jrefT ¢, je referenční teplota, za které je definována 0jh ¢ .

Jestliže se uvažuje vratná chemická reakce, je nutné definovat standardní slučovací

entropii 0js ¢ pro každou příměs j ¢ . Entropie směsi je definována

úû

ùêë

é+= òå

¢

¢¢

¢¢

T

T

jpj

jj

jrefdT

Tc

smS,

,0 (8.3.10)

Hodnoty standardní slučovací entalpie a entropie lze vyhledat v tabulkách.

8.4. Okrajové podmínky pro příměsi na vstupu,výstupu a stěně

Na vstupu je definován hmotnostní zlomek příměsi. Je třeba poznamenat, že je

definován hmotnostní zlomek pouze pro N-1 příměsí, přitom poslední je doplňkem do 1,

neboť součet všech hmotnostních zlomků musí být roven 1.

Pro podmínku Outfow je nutné definovat hmotnostní zlomek příměsi pro případ zpětného

proudění.

Na stěně je předdefinována podmínka nulového gradientu příměsi, tj. příměs neprochází

stěnou. Výjimkou je příměs reagující s povrchem stěny. Je možno definovat také hmotnostní

zlomek.

Příklad

Řešte šíření příměsi lehkého a těžkého plynu v oblasti.


u

y

x

zOblast proudění

Zdroj 2

Zdroj 1


87

Geometrie oblasti

délka oblasti x [m] 3.5

výška oblasti y [m] 0.5

šířka oblasti z [m] 1.5

Fyzikální vlastnosti:vzduch Zdroj 1 CO2 Zdroj 2 SO2

Hustota ρ [kgm-3] 1.225 1.7878 2.77

Měrná tepelná kapacita cp [J(kgK)-1] 1006.43 840.37 622.28

Tepelná vodivost l [W(mK)-1] 0.0242 0.0145 0.0104

Dynamicá viskozita h [kg(ms)-1] 1.7894e-05 1.37e-05 1.2e-05

Okrajové podmínky:vzduch Zdroj 1 SO2 Zdroj 2 CO2

rychlost u [ms-1] 1 0.5 0.5

Intenzita turbulence I [%] 2 5 5

Hydraulický průměr hd [m] 0.4 0.0794 0.0794

Hmotnostní zlomek CO2 h [1] 0 0 1

Hmotnostní zlomek SO2 h [1] 0 1 0

Plyny jsou o rozdílné hustotě, proto se bude sledovat také vliv vztlakové síly na šíření plynů.

Matematický model:Reynoldsovo číslo Re =11 784 Þ proudění je turbulentní

Výsledky:

statický tlak amplituda rychlosti

obr. 8.4 Detail sítě konce trubky a rozložení teploty


88

YCO2=0.01 YSO2=0.05

obr. 8.5 Izoplochy hmotnostního zlomku v podélném a šesti příčných řezech

Vztlakové síly aktivované Vztlakové síly neaktivované

obr. 8.6 Prostorové izoplochy hmotnostního zlomku YCO2=0.01 a YSO2=0.05

Vícefázové modely

89

9. Vícefázové modely9.1. Vícefázové modely obecně

Velké množství aplikací v přírodě a v průmyslových technologiích se týká směsí fází.

Fázemi se předpokládá:

· plyn

· kapalina

· pevná látka

Ale koncepce fází je aplikována v širším smyslu. V multifázovém proudění je fáze definována

jako identifikovatelná třída materiálu, který má částečnou inertní odezvu na interakci

s prouděním a potenciálem pole, ve kterém se vyskytuje. Např. pevné částice různých

velikostí téhož materiálu mohou být považovány za různé fáze, protože každé seskupení

částic o téže velikosti má podobné dynamické vlastnosti v proudovém poli. Do vícefázového

proudění zahrnujeme řešení následujících problémů: kavitace, aerace, nukleární reaktory,bezpečnost nukleárních reaktorů, vlnění vodní hladiny, extrakce, emulsifikace,separace, homogenizace, promíchávání, hydraulická doprava, sedimentace, flotace,cyklony, pneumatická doprava, fluidizační pole reaktoru, sila, spalování, odpařování

aj. [30], [31].

Prakticky se lze setkat s různými variantami vícefázových systémů, které jsou

upřesněny v následujícím přehledu:

plyn – kapalina nebo kapalina - kapalina

· proudění bublin plynu nebo velkých kapek kapaliny ve spojitém prostředí

· proudění kapek ve spojité fázi plynu

· pomalé proudění velkých bublin

· proudění s volnou hladinou, s jasně definovanou hladinou

plyn – pevná látka

· proudění pevných částic v plynu

· pneumatická doprava

· fluidizační pole

kapalina – pevná částice

· proudění kalu

· sedimentace

třífázové proudění

· kombinace výše uvedených variant


90

proudění s částicemi, proudění s volnou hydraulická a pneumatická

bublinami, kapkami hladinou doprava

obr. 9.1 Přiklady vícefázového proudění [15]

Přístupy k modelování vícefázového proudění

V současné době existují dva přístupy pro modelování vícefázového proudění

· Euler - Lagrangeův přístup

· Euler - Eulerův přístup

9.1.1. Euler-Lagrangeův přístupPři Euler - Lagrangeově přístupu je tekutá fáze uvažována jako kontinuum a je řešena

Navierovými - Stokesovými rovnicemi, zatímco dispergovaná fáze (částice) je řešena

stopováním velkého počtu částic, bublin nebo kapek v proudovém poli. Tato dispergovaná

fáze může vyměňovat moment, hmotu a energii se spojitou fází. Základním předpokladem je,

že v tomto modelu dispergovaná fáze zaujímá malý objemový zlomek, ačkoliv pro hmotnost,

resp. hmotnostní průtok to nemusí platit ( tekutinymčásticm QQ ,, ³ ). Trajektorie (dráhy) částic nebo

kapek jsou počítány individuálně v předdefinovaných intervalech během výpočtu spojité fáze.

Toto umožňuje modelovat proudění částic ve sprejích, sušičkách, spalování uhelných a

kapalných paliv a částicemi ovlivněné proudění. Je nevhodný pro modelování směsi kapalina

- kapalina, fluidizačního lože a dalších aplikací, kde objemový zlomek druhé fáze není

zanedbatelný.

9.1.2. Euler-Eulerův přístupPři Euler-Eulerově přístupu jsou různé fáze řešeny matematicky jako vzájemně se

prostupující kontinua. Protože objem jedné fáze není překryt objemem druhé fáze, je

zaveden pojem objemového zlomku fáze. Tyto objemové zlomky se předpokládají jako

funkce spojité v čase a prostoru a jejich součet je roven 1. Rovnice jsou definovány pro

každou fázi.


91

9.2. Vícefázové matematické modelyVícefázové modely [15] umožňují modelování většího počtu oddělených, ale vzájemně se

ovlivňujících fází. Fáze mohou být kapalné, plynné a pevné v různých kombinacích (plyn-

tekutina, tekutina-tekutina, plyn-pevná látka, kapalina-pevné částice, trojfázové proudění

(kombinace předchozích)). V literatuře se diskutují tři multifázové modely, jsou to:

· VOF model

· Model směsi

· Eulerův model

Každý z těchto modelů má své typické aplikace a také své klady i zápory. Proto

v následujících odstavcích je uveden krátký přehled těchto modelů, jejich kompletní popis lze

najít v literatuře [15].

VOF MODEL je vhodný pro stratifikované (vrstvené) proudění a proudění s volnou

hladinou. Tímto modelem se může řešit proudění dvou a více nesmísitelných kapalin

řešením pohybové rovnice a sledováním objemového zlomku každé kapaliny v oblasti.

Typické aplikace zahrnují předpověď odtržení proudu, pohyb velkých bublin v kapalině,

pohyb kapaliny za hrází a ustálené nebo neustálené sledování jakýchkoliv rozhraní kapalina

- plyn.

MODEL SMĚSI (MIXTURE MODEL) je zjednodušený vícefázový model, který lze použít

k modelování vícefázového toku, kde se jednotlivé fáze posouvají různou rychlostí.

Předpokládá se ale lokální rovnováha na krátkém prostorovém délkovém měřítku. Vazba

mezi fázemi musí být silná. Toho se může využít také k modelování homogenního

vícefázového proudění s velmi silnou vazbou a fázemi pohybujícími se stejnou rychlostí.

Model směsi může modelovat n-fází (tekutina nebo částice) řešením pohybové rovnice,

rovnice kontinuity a rovnice energie pro směsi, rovnice objemového zlomku pro druhou fázi

(dispergovanou) a algebraického výrazu pro relativní rychlosti. Typická aplikace zahrnuje

sedimentace, cyklónové separátory, částice s nízkým zatížením a bublinkovité proudění, kde

objemový zlomek plynu je nízký.

EULERŮV MODEL dovoluje modelování vícenásobných oddělených interaktivních fází.

Fáze mohou být tekutina, plyn a pevné látky v nějaké kombinaci. U Eulerova multifázového

modelu je počet dalších fází limitován pouze požadavky na paměť a konvergenci řešení. To

znamená, že lze modelovat libovolný počet dalších fází, pokud je k dispozici dostatečná

paměť počítače.


92

V dalším textu je uvedena krátká rozvaha, kdy a za jakých podmínek je vhodnější použit

model směsi a kdy Eulerův model.

· Pokud se očekává velký výskyt dispergované fáze, pak je preferován model směsi

kvůli menší náročnosti na výpočet. Je-li dispergovaná fáze koncentrována jen v určité

oblasti, je lépší použít Eulerův model.

· Je-li nutno aplikovat odpor proti pohybu v systému (budˇ přímo ve Fluentu nebo

pomocí uživatelem definovaná funkce UDF), pak Eulerův model může obvykle

poskytovat přesnější výsledky než model směsí. Jestliže nejsou známy interfázové

odporové koeficienty nebo jejich použitelnost na zkoumaný systém, pak model směsi

může být lepší volbou.

· Pokud se řeší jednodušší problém, který požaduje menší výpočtovou náročnost, je

model směsi lepší volbou, jelikož řeší menší počet rovnic než model Eulerův. Když

přesnost je důležitější než výpočtová náročnost, pak Eulerův model zaručí kvalitnější

výsledek. Musí se však pamatovat na to, že komplexnost Eulerova modelu může být

příčinou menší stability řešení než u modelu směsi.

Pro snazší identifikaci multifázového proudění se zavádějí pojmy jako je:

· hmotnostní konzistence je definována parametremcc

dd

rarab = (mass density ratio),

kde d je index dispergované fáze, c je index nosné fáze, a je objemový zlomek, r je

hustota.

· podíl hustotc

d

rrg = (material density ratio), který je větší než 1000 pro fáze plyn -

pevná látka, kolem 1pro fáze kapalina - pevná látka a menší než 0.001 pro fáze plyn -

kapalina.

· průměrná vzdálenost mezi částicemi31

16

÷øö

çèæ +

=k

kp

ddL , kde

gbk = .

Informace o těchto parametrech je důležitá pro určení chování dispergované fáze. Např. pro

směs plyn - částice s 1»b je prostor mezi částicemi 8»dd

L. Částice se tedy bude chovat

jako izolovaná.

Interakce mezi fázemi se pak dělí na tři kategorie:


93

· Pro malé hodnoty b je vztah mezi fázemi jedním směrem, tj. spojitá fáze ovlivňuje

částice přes odpor a turbulenci, ale částice neovlivňují spojitou fázi. Model diskrétní fáze,

směsi a Eulerův se vypořádá s tímto typem velmi dobře. Protože Eulerův model je velmi

náročný, je možno použít model diskrétní fáze nebo model směsi.

· Pro střední hodnoty b je vztah mezi fázemi dvousměrný, tj. spojitá fáze ovlivňuje

částice přes odpor a turbulenci a částice ovlivňují spojitou fázi pomocí středního momentu a

turbulence. Modely diskétní fáze, směsi a Eulerův jsou vhodné pro řešení, ale pro výběr

modelu je nutné uvážit další parametry, jako je Stokesovo číslo.

· Pro vyšší hodnoty b je vztah mezi fázemi dvousměrný a navíc se uvažuje tlak a

viskózní napětí z důvodu existence částic (čtyřsměrný vztah). Pro tento typ je vhodný

Eulerův model.

Stokesovo číslo je definováno jako vztah mezi časovou odezvou částic a časovou

odezvou systému:

s

d

tSt t

= ( 9.2.1)

kdec

ddd

dm

rt

18

2

= a st je založeno na charakteristické délce sL a charakteristické rychlosti sV

a platís

ss V

Lt = . Pro 1ááSt budou částice unášeny proudem a všechny tři modely budou

použitelné. Je tedy vhodné vybrat rychlejší a levnější variantu modelu, tj. model směsi

(mixture model). Pro 1ñSt se částice budou pohybovat nezávisle na proudu a je možno

použít model diskrétní fáze a Eulerův model. Pro 1»St je možno vybrat kterýkoliv ze tří

modelů.

9.2.1. Vícefázový model směsi (mixture model)Mixture model je zjednodušený vícefázový model, který může být použit pro proudění, kde

fáze se pohybují odlišnými rychlostmi, ale předpokládá se rovnováha při krátkém

prostorovém měřítku. Vazba mezi fázemi je velmi silná. Tímto modelem lze také modelovat

homogenní multifázové proudění s velmi silnou vazbou mezi fázemi pohybujícími se stejnou

rychlostí. Model je navíc schopen modelovat i proudění neNewtonských kapalin.

Model může řešit proudění n fází kapaliných nebo částic řešením pohybové rovnice a

rovnice kontinuity pro směs, rovnice pro objemový zlomek druhých fází a algebraického

vztahu pro relativní rychlosti. Typickými aplikacemi jsou sedimantece, cyklóny, proudění

s částicemi o malém zatížení a proudění bublin o malém objemovém zlomku.


94

Model umožňuje řešit prolínání fází. Za tím účelem jsou definovány objemové zlomky fáze

q a p pro daný konečný objem označené jako qa a pa , jejichž hodnota je mezi nulou a

jedničkou a závisí na velikosti objemu, který zabírá daná fáze. Fáze se mohou pohybovat

různými rychlostmi, přitom se aplikuje koncepce relativních (slip) rychlostí.

Rovnice kontinuity pro směs je dána vztahem

( )0, =+

j

jmmm

xu

t ¶r¶

¶¶r

( 9.2.2)

kde jmu , jsou složky rychlosti zprůměrované podle hmotnosti

m

n

kjkkk

jm

uu

r

raå== 1

,

,( 9.2.3)

a mr je hustota směsi

å=

=n

kkkm

1rar ( 9.2.4)

kde ka je objemový zlomek fáze k .

Rovnice zachování hybnosti pro směs je získána sečtením rovnic zachování hybnosti

pro jednotlivé fáze

( ) ( )

÷÷ø

öççè

æ++

+÷÷ø

öççè

æ-÷

÷ø

öççè

æ++-=+

å=

n

kjkdrikmdrkk

ji

l

lmij

i

jm

j

imm

jijmimm

j

imm

uux

f

xu

xu

xu

xxpuu

xtu

1,,,,,

,,,,,

,

32

ra¶¶r

¶¶

md¶

¶¶

¶m

¶¶

¶¶r

¶¶

¶r¶

( 9.2.5)

kde n je počet fází, if jsou složky vnějších hmotnostních sil, mm je dynamická viskozita

směsi

å=

=n

kkkm

1mam ( 9.2.6)

a ikdru ,, je složka unášivé rychlosti

imikikdr uuu ,,,, -= ( 9.2.7)

Relativní (slip) rychlost je definována jako rychlost sekundární fáze p k rychlosti sekundární

fáze q

iqipiqp uuu ,,,, -= ( 9.2.8)

Jestliže hmotnostní zlomek fáze k je dán vztahem

m

kkkc

rra

= ( 9.2.9)


95

pak unášivá rychlost a relativní (slip) rychlost jsou ve vztahu

iqk

n

kkiqpipdr ucuu ,,

1,,,, å

=

-= ( 9.2.10)

Upřesnění unášivé rychlosti je závislé na definování odporových sil částic atd.

Rovnice objemového zlomku sekundární fáze je dána rovnicí:

( ) ( ) ( )å

=

-+-=+n

qpqmqpm

j

jpdrpp

j

jmpppp QQxu

xu

t 1,,

,,,

¶ra¶

¶ra¶

¶ra¶

( 9.2.11)

Příklad

Zobrazte objemové zlomky vody při proudění vody a vzduchu.


Geometrie oblasti




Fyzikální vlastnosti:Voda Zdroj vzduch

Hustota ρ [kgm-3] 998 1.225

Dynamicá viskozita h [kg(ms)-1] 0.001003 1.7894e-05

Okrajové podmínky:Vstup intenzita turbulence I [%] mixture 2

hydraulický průměr hd [m] mixture 0.4

rychlost u [ms-1] voda 1

u

y

x

zOblast prouděníVstup-vzduch


96

vzduch 1

objemový zlomek a [1] voda -

vzduch 0

Vstup-vzduch intenzita turbulence I [%] mixture 5

hydraulický průměr hd [m] mixture 0.0794

rychlost u [ms-1] voda 0.8

vzduch 0.8

objemový zlomek a [1] voda -

vzduch 1

Je možno také sledovat také vliv vztlakové síly na šíření vzduchu.


Výsledky:

obr. 9.3 Izoplochy objemového zlomku vzduchu v podélném a třech příčných řezech, je

uvažována vztlaková síla

obr. 9.4 Izoplochy objemového zlomku vzduchu v podélném a třech příčných řezech, není

uvažována vztlaková síla


97

9.2.2. Trajektorie pevných částic v plynuModelování pohybu částic je jedním z typů vícefázového proudění, kdy částice jsou

unášeny proudem v Lagrangeově pojetí. Tato druhá fáze obsahuje kulové částice (také

kapky nebo bubliny). Částice nejsou modelovány jednotlivě, ale jsou definovány vzorky,

charakterizující dostatečně proudění. Je možno řešit následující varianty:

· výpočet trajektorie diskrétní fáze užitím Lagrangeovy formulace, přitom se zahrnuje

diskrétní fáze pevných částic, hydrodynamický odpor a gravitační síly pro stacionární

i nestacionární případ

· vliv turbulentních vírů na rozložení částic

· ohřívání a ochlazování částic

· hoření částic

· vznik kapek

Celkový průtok částic je modelován tak, že se sleduje malý počet částic pohybujících

se ve spojité fázi. Částice se pohybuje z bodu, ze kterého je vypuštěna (injection), až do

opuštění oblasti. Pohyb částic (prachových částic, kapek, bublin) je ovlivňován

hydrodynamickým odporem a gravitací. Pohyb částic a zároveň přestup tepla a hmoty mezi

nimi je definován soustavou obyčejných diferenciálních rovnic dle času, obsahující rovnice

pro pohyb, rychlost, teplotu a hmotnost částic. Tyto rovnice jsou integrovány relativně

jednoduchými integračními metodami, aby se vypočetlo chování částic napříč oblastí.

Částice i spojitá fáze se mohou vzájemně ovlivňovat.

Rovnice pohybu částic

Rovnováha sil při použití Lagrangeova přístupu je dána vztahem

( ) ( ) XPP

xPD

P FρρρguuF

dtdu

+-+-= ( 9.2.12)

kde xF je vnější objemová síla

( )pD uuF - je síla hydrodynamického odporu vztažená na jednotku hmotnosti částice.

24Re18

2D

PPD

CDρμF =

u – rychlost kapaliny

pu – rychlost částic, řešená integrací podle času

m - molekulární viskozita kapaliny

r - hustota kapaliny


98

pr – hustota částic

pD – průměr částic

Re – Reynoldsovo čísloμ

uuρD PP -=Re

DC - koeficient hydrodyn. odporu 232

1 ReReaaaCD ++=

kde 3,2,1a jsou konstanty pro určitý rozsah Re, definované Morsim a Alexandtem

.

Rozptyl částic v důsledku turbulence

Jestliže proudění je turbulentní, pak se počítá trajektorie částice pomocí střední

rychlosti u . Fluent používá stochastické metody (RANDOM WALK MODEL) k určení

fluktuační složky rychlosti, pak ( )tuuu += . Výpočet trajektorií umožňuje sledovat vliv

turbulence na jejich rozptyl.

Okrajové podmínky na stěně pro DPM

Pokud se částice setkají se stěnou, mohou nastat následující varianty:

· odraz částice od stěny s uvažováním pružné kolize (reflected)

· částice projdou hranicí a již se v řešené oblasti nevyskytují (escape)

· částice se přichytí na stěně (trapped)

· částice projde vnitřní zónou jako je radiátor nebo porézní prostředí (pass)

· částice může klouzat podél stěny (slide)

Definování zdroje diskrétní fáze a počátečních podmínek

Pro definici zdroje částic se zadává počáteční poloha zdroje částic, rychlost, velikost

částic případně jejich teplota (hmotnostní průtok). V nabídce materiálů je nutno definovat

fyzikální vlastnosti materiálu a v nabídce fyzikálních modelů zvážit vliv eroze, Brownova

pohybu a dalších jevů.

V počátečních podmínkách se uvažuje rozložení částic podle velikosti. Je možno

uvažovat částice o konstantním průměru nebo lineární změně průměru. Velmi uživané je

Rosin-Rammlerovo rozdělení, kdy jednotlivé prachové částice nejsou o stejných průměrech

a podle jejich velikostí je lze statisticky rozdělit do určitých tříd. Velikost uhelných prachových

částic může např. vyhovovat následujícímu rozdělení, viz tab. 9.1.


99

PRŮMĚR

D

HMOTNOSTNÍ ZLOMEK

DY

0 - 70 0.05

70 - 100 0.1

100 - 120 0.35

120 - 150 0.3

150 - 180 0.15

180 - 200 0.05

tab. 9.1 Rozdělení částic podle velikostí do tříd

Ve Fluentu je rozdělení velikosti částic definováno pomocí Rosinovy - Rammlerovy

exponenciální závislosti:

÷÷ø

öççè

æ÷øö

çèæ-×=

n

D DDY exp

D - průměr částice

DY - hmotnostní zlomek částic

D - střední hodnota (MEAN DIAMETER)

n - koeficient distribuce (SPREAD PARAMETER).

Nejprve se určí hmotnostní zlomek příměsi s průměrem větším než D

PRŮMĚR

D(mm)

HMOTNOSTNÍ ZLOMEK

S PRŮMĚREM > D , YD

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 50 100 150 200

D [mm]

Y D [1

]

0 1

70 0.95

100 0.85

120 0.50

150 0.20

180 0.05

200 0.00

Logaritmická křivka se určí metodou nejmenších čtverců nebo zjednodušeným postupem

popsaným dále. D lze určit z hodnot D za zjednodušujícího předpokladu, že

( ) 368.01exp =-=DY . Z grafu hodnotě 368.0=DY odpovídá přibližně průměr D @134 mm


100

a tato hodnota je shodná se středním průměrem D=134 mm. Po dosazení hodnot DY , D a

D do Rosin-Rammlerova vztahu se získá koeficient distribuce n =4.52.

)DD(

)M(n D

ln

lnln -=

Dále se zadává maximální a minimální průměr částic a hmotnostní průtok.

Specifikace zdroje částic

Vstup částic je definován jako zdroj (injection) v následujících možných variantách

· single – pro každou částici je nutné definovat počáteční podmínky

· group – počáteční podmínky jsou definovány pro skupinu částic

· kužel

· plocha

· atd.

obr. 9.5 Definice single, group a spray zdrojů částic

Pro single zdroj je nutno definovat souřadnice zdroje, souřadnice rychlosti, průměr částic,

hmotnostní průtok.

Pro group zdroj se definuje souřadnice prvního a posledního paprsku, ostatní budou mít

souřadnice rozložené lineárně mezi těmito krajními. Ostatní zadání je podobné předchozí

úloze. Následující obrázek znázorňuje varianty group zdroje, viz obr. 9.6.

1) Bodový zdroj umístěn na počátku oblasti– 2) Bodový zdroj umístěn na počátku oblasti-

prachové částice vystupují ve směru prachové částice vystupují pod úhlem 90°.

rovnoběžném

obr. 9.6 Varianty group zdroje pro směr vodorovný, podobně je zdroj usořádaný pro směr

svislý.

j1

jn

j1

jn


101

Další speciální možnost zadání geometrie zdroje jsou v manuálu [15].

Příklad

Využijte geometrii z předchozího příkladu, který řeší proudění vzduchu a na vstup vložte

zdroj uhelných prachových částic. Zdroj je typu group - úsečka. Pohyb hmotných částic je

ovlivněn vztlakovou silou. Vyhodnotťe trajektorie prachových částic.


Geometrie oblasti:




Fyzikální vlastnosti:Vzduch Částice

Hustota ρ [kgm-3] 1.225 2000

Dynamická viskozita h [kg(ms)-1] 1.7894e-05

Okrajové podmínky:Vstup - vzduch intenzita turbulence I [%] 2

hydraulický průměr hd [m] 0.4

rychlost u [ms-1] 1

částice (DPM) escape

Vstup-injection typ group

počet proudů částic 10

materiál uhlík (carbon)

rozložení velikosti částic Rosin-Rammler

u

y

x

zOblast prouděníVstup - injection


102

1. proud 10. proud

x-souřadnice [m] 0 0

y-souřadnice [m] 0.25 0.25

z-souřadnice [m] 0.5 1

x-ová rychlost [ms-1] 0 0

y-ová rychlost [ms-1] 0 0

z-ová rychlost [ms-1] 0 0

celkový hmot. průtok [ms-1] 0.0005145

min. průměr [m] 0.000001

max. průměr [m] 0.0001

střední průměr [m] 0.00001

spread parametr [1] 3.5

Je možno také sledovat také vliv vztlakové síly na šíření částic.


Výsledky:

obr. 9.8 Trajektorie částic bez uvařování vztlakových sil a s uvažováním vztlakových sil

obr. 9.9 Trajektorie prachových částic s přihlédnutím k turbulentním fluktuacím

Časově závislé řešení

103

10. Časově závislé řešeníPokud má úloha časově závislý charakter proudění generovaný především vytvořením

sekundárního proudění (vírové cesty) při obtékání těles, viz obr. 10.1, nebo jako odezva na

časově závislé okrajové podmínky, viz obr. 10.2, pak je nutné podstoupit složitější a časově

náročnější řešení, které je funkcí času. Samozřejmě časová závislost se promítá do jevů

přenosu tepla a chemických reakcí.

obr. 10.1 Vznik vírové cesty při obtékání válce [22]

obr. 10.2 Průběh rychlosti jako odezva na konstantní a sinusovou rychlost na vstupu zleva

do oblasti (periodická okrajová podmínka vyvolá periodické proudění v celé oblasti) [25]

0

0.00

5

0.01

0.01

5

0.02

0.02

5

01

23

45

67

t [s]

u [ms-1

]

u-ko

nst

u-pe

riod


104

10.1. Diskretizace časově závislé rovniceV případě časově závislého proudění se předpokládá výchozí bilanční rovnice

(pro jednoduchost jednorozměrný tvar) pro obecnou proměnnou veličinu z ve tvaru

( ) zz ¶¶za

¶¶z

¶¶

¶¶z S

xxu

xt+úû

ùêëé=+ (10.1.1)

v integrální formě je ve tvaru

( ) òòòò +úûù

êëé=+

VAAV

dVSdAx

dAudVt zz ¶

¶zaz¶¶z

( 10.1.1)

Výchozí rovnice musí být diskretizována v čase i prostoru. Prostorová diskretizace

pro časově závislé rovnice je shodná se stacionární úlohou. Časová diskretizace

zahrnuje integraci každého členu diferenciální rovnice s časovým krokem tD .

Integrace časových výrazů je jednoduchá, jak bude uvedeno dále.

Výše uvedená rovnice se zapíše v obecné podobě

( )zz Ft

=¶¶

( 10.1.2)

kde funkce F obsahuje prostorovou diskretizaci. Pokud se na časovou derivaci

použije diferenční aproximace prvního řádu vpřed, pak je diskretizovaná rovnice

daná jako

( )zzz Ft

nn

=D

-+1

( 10.1.3)

a případně diskretizace druhého řádu přesnosti je

( )zzzz Ft

nnn

=D

+- -+ 11 43 ( 10.1.4)

kde z obecná skalární veličina

1+n hodnota v následujícím čase tt D+

n hodnota v čase t

1-n hodnota v předešlém čase tt D-

Časová diskretizace výchozí rovnice ( 10.1.1) předpokládá implicitní přístup, tedy

konvektivní, difúzní a zdrojový člen jsou vyhodnoceny v čase tt D+ .

òòòò ++

++ +¶

¶=+

¶¶

V

n

A

n

A

nn

V

dVSdAx

dAudVt

11

11zz

zazz( 10.1.5)

V iteračním schématu jsou všechny rovnice řešeny iteračně pro daný časový krok, až je

dosažena konvergence. Tedy řešení v každém časovém kroku požaduje určitý počet

vnějších iterací, dokud nezkonverguje v každém časovém kroku (odpovídá zkonvergování


105

stacionární úlohy v každém časovém kroku).

obr. 10.3 Schéma řešení při použití segregace řešiče.

Volba časového kroku je problematická. Pokud je časová závislost způsobena

známou okrajovou podmínkou, pak je možné přibližně odhadnout časový krok. V opačném

případě je časová závislost způsobena např. odtrhávajícími se víry za ostrou hranou, pak je

nutné velikost časového kroku testovat na počátku výpočtu a splnit následující požadavky:

· ideální doporučený počet vnějších iterací v každém časovém kroku je 10-20

· větší počet iterací znamená velký časový krok

· menší počet iterací znamená malý časový krok

· počátek výpočtu realizovat pro relativně malý časový krok Dt a v průběhu výpočtu

postupně zvyšovat.

t=t+nDt

Řešení pohybové rovnice

Řešení tlakové korekce

Korekce rychlosti atlakového toku

Řešení skalárních veličin(T, k, e)

Konvergence

Další časový krokn=n+1

ne

ano

vnější iterace(20)


106

Vyhodnocování výpočtu s časově závislým krokem je možné při automatickém

ukládání datových souborů příkazem FILE-WRITE- AUTO-SAVE . Jde o pravidelné ukládání

výsledků řešení po určitém počtu časových kroků během výpočtu. Jiná možnost je ukládat

hodnoty vybraných proměnných v určitém místě oblasti během průběhu časově závislého

řešení a tak sledovat jejich změny v čase a posoudit, zda se např. řešení blíží ustálenému

stavu při sledování rozběhu systému do ustáleného stavu. Nejdříve se vytvoří tzv.

monitorovací body v nabídce SURFACE-POINT zadáním přesných souřadnic sledovaného

bodu nebo odhadem myší. V příkazu SOLVE-MONITORS-SURFACE INTEGRALS je pak

možno vybrat daný bod a vyhodnocovanou proměnou. Záznam v závislosti na čase lze

zaznamenávat v souboru a zároveň kreslit do grafu na monitor.

Samozřejmě optimální vyhodnocení je animací, vytvořenou přímo softwarově během

výpočtu.

10.2. Okrajové podmínkyČasově závislé okrajové podmínky se mohou zadávat dvěma způsoby:

· pomocí souboru (tabulky) pro definici profilu

· UDF (User Defined Function) - funkce se definuje pomocí C jazyka, uloží, zkompiluje,

přiřadí v okrajových podmínkách pomocí souboru (tabulky) pro definici profilu

10.2.1. Tabulka pro časovou okrajovou podmínkuTabulka se vytvoří v textovém editoru s příponou TXT. Format takové tabulky je následující:

profile-name n_field n_data periodic?

field-name-1 field-name-2 field-name-3 .... field-name-n_field

v-1-1 v-2-1 ... ... ... ... v-n_field-1

v-1-2 v-2-2 ... ... ... ... v-n_field-2

. . .

v-1-n_data v-2-n_data ... ... ... ... v-n_field-n_data

kde profile-name sournný název všech proměnných

n-field počet proměnných

n-data počet dat charakterizujících funkční závislost (počet

řádků v tabulce)

periodic? roven 1 pro periodickou podmínku,

roven 0 pro neperiodickou podmínku


107

field-name-1 je výhradně použito pro vektor času, jehož hodnoty

musí narůstat

field-name-i vektory dalších proměnných, závislých na čase

v-1-1 … v-n_field-n_data položky v matici, jejíž sloupce odpovídají časové

závislosti vektorů proměnných

Příklad

Definujte soubor pro tabelovanou závislost rychlosti na čase

Tabulka vstupních hodnot Zadání tabulky vstupních hodnotpro Fluent

time u sampletabprofile 2 3 0time u1 102 203 30

1 10

2 20

3 30

Příklad

Definujte soubor pro tabelovanou periodickou závislost rychlosti na čase.

Proměnná periodicity se nastaví 1. n_data definuje počet dat charakterizujících jednu

periodu.

Tabulka vstupních hodnot Zadání tabulky vstupních hodnotpro Fluent

time u sampletabprofile 2 4 1time u0 101 202 30

3 10

0 10

1 20

2 30

3 10

Všechny veličiny se musejí zadat v jednotkách soustavy SI (při čtení profilu se neprovádí

konverze dat a je nutno použít jen malá písmena pro označení proměnných. Profil se přečte

z textového menu následujícími příkazy:

FILE-READ TRANSIENT TABLE

Je možno požít zkratky (f-rtt). Zadá se jméno souboru i s příponou, na obrazovce se objeví

informace o přečtení souboru. Profil se pak zadá do okrajové podmínky příkazy

DEFINE-BOUNDARY CONDITIONS


108

10.2.2. UDF pro okrajovou podmínkuOkrajové podmínky závislé na čase se mohou definovat procedurou v C-jazyku.

Proměnné mají přesně definované označení, které je nutné najít v manuálu [15], tam jsou

také jednoduché příklady.

Příklad

Nadefinujte x-ovou složku rychlosti na vstupu pomocí sinové funkce času

( ) ( )tAutux wsin0 += :

/**********************************************************************

unsteady.c

UDF for specifying a transient velocity profile boundary condition

***********************************************************************/

#include "udf.h"

DEFINE_PROFILE(unsteady_velocity, thread, position)

{

face_t f;

real t = CURRENT_TIME;

begin_f_loop(f, thread)

{

F_PROFILE(f, thread, position) = 10. + sin(7.*t);

}

end_f_loop(f, thread)

}

Soubor se vytvoří jako soubor *.txt a uloží s příponou C. Zkompiluje se interaktivním

způsobem pomocí příkazů DEFINE-UDF-ITERPRETED-COMPILE. Pak se připojí

v okrajových podmínkách pro danou vstupní hranici.

10.3. Příklad vyhodnocení časově závislé úlohyČasově závislá úloha ve srovnání s časově nezávislou (stacionární úlohou) je

mnohem složitější, neboť v každém časovém kroku dochází ke změně proudového pole a

tedy všech sledovaných veličin.


109

Nejdokonalejší obraz řešení umožňuje animace např. vektoru rychlostí, tlaku a

dalších veličin. To je ale velmi náročné z hlediska hardwarového. Navíc prezentování

výsledku vyžaduje počítač, tedy nehodí se do textových zpráv. Je-li opravdu nutné

prezentovat časovou závislost v textu, je možno vytvořit sérii obrázků tak, že se uloží datové

soubory v předem definovaných časových krocích, pak se vytvoří grafické prezentace a vloží

jako obrázky do textového souboru, viz obr. 10.2.

Z důvodu časové a hardwarové náročnosti se využívá jednodušších prostředků

k vyhodnocení, jako je graf závislosti určité veličiny v předem definovaném bodě, nebo

vyhodnocení střední hodnoty veličiny na ploše.

Příklad

Řešte proudění v oblasti, kde na vstupu je dána rychlost, která se periodicky mění dle

funkční závislosti rychlosti na čase. Vyhodnotťe rychlost a tlak ve vybraných bodech.


Geometrie oblasti:




Fyzikální vlastnosti:Vzduch

Hustota ρ [kgm-3] 1.225

Dynamická viskozita h [kg(ms)-1] 1.7894e-05

Okrajové podmínky:Vstup rychlost u [ms-1] )7sin(2 t+

u

y

x

zOblast proudění Bodyvyhodnocení

bod-virbod-schod

bod-vstup


110

střední rychlost su [ms-1] 2

intenzita turbulence I [%] 2

hydraulický průměr hd [m] 0.4


Výsledky:

Je nutno nadefinovat body, ve kterých se provede grafický i textový záznam průběhu

rychlosti a tlaku. Příkazy

Definice bodu: SURFACE-POINT zadání souřadnic a název BOD-VSTUP

BOD-SCHOD

BOD-VSTUP

Definice záznamu: SOLVE-MONITOR-SURFACE jméno, plot, write,time step, define

DEFINE-AREA WEIGHTED AVERAGE-FLOW TIME-PRESSURE

výběr bodu BOD-VSTUP

SOLVE-MONITOR-SURFACE jméno, plot, write,time step, define

DEFINE-AREA WEIGHTED AVERAGE-FLOW TIME-VELOCITY

výběr bodu BOD-SCHOD

SOLVE-MONITOR-SURFACE jméno, plot, write,time step, define

DEFINE-AREA WEIGHTED AVERAGE-FLOW TIME-VELOCITY

výběr bodu BOD-VIR

Určí se perioda závislosti vstupní rychlosti

897.0115.114.3.2

72

72 =Þ===Þ== Tffp

wpw

Spustí se časově závislý výpočet, odhadne se časový krok (menší než desetina periody)

02.0=Dt s

Při výpočtu se kontroluje, zda je počet vnitřních iterací menší než 20, jinak se časový krok

bude korigovat. Výsledek výpočtu se zapisuje do souborů BOD-VSTUP.OUT, BOD-

SCHOD.OUT A BOD-VIR.OUT. Soubory jsou textové a přečtou se do EXCELu a připraví se

grafy. Na záznamu reziduálů je vidět periodičnost děje kromě prvních několika iterací, které

jsou ovlivněny tím, že výpočet začíná od počáteční aproximace, která je dána nulovými

hodnotami proměnných, viz obr. 10.5


111

obr. 10.5 Reziduály periodického řešení

obr. 10.6 Okamžité hodnoty tlaku

Hodnoty rychlosti na vstupu, v bodě BOD-SCHOD a tlaku v bodě BOD-VSTUP jsou

vyhodnoceny a zobrazeny v EXCELu, viz obr. 10.7.


112

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

t [s]

u [m

/s]

-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

p [P

a]

r-virr-schodp-vstup

vliv poč. podmínek

obr. 10.7 Vyhodnocení rychlosti a tlaku v bodě v závislosti na čase

Na obr. 10.7 je patrný periodický průběh rychlostí a tlaku, jejichž perioda je shodná

s periodou vstupní rychlosti určené dříve. Perioda je na počátku deformovaná tím, že

výpočet začíná s nulovými počátečními podmínkami uvnitř proudového pole. Po přibližně 1

s je amplituda všech zobrazovaných funkcí již konstantní.

Měření a výpočet turbulence při obtékání válce v aerodynamickém tunelu

113

11. Měření a výpočet turbulence při obtékání válcev aerodynamickém tunelu

Úloha obtékání válce [22] je jednou ze základních úloh řešení problematiky

obtékaných těles umístěných v proudovém poli. Válec jako takový může reprezentovat

například komín, pilíř, lano, anténu, anténní věž, stožár či jinou vysokou a štíhlou konstrukci

válcového tvaru. Při obtékání takovýchto symetrických těles dochází při určité rychlosti

proudění k odtržení proudící tekutiny od povrchu válce. Toto odtržení je doprovázeno

vznikem vírových struktur, které mají významný vliv jak na samotné obtékané těleso, tak také

například na tělesa nacházející se v jeho úplavu. Vzhledem k tomu, že tato úloha je již

dostatečně zpracována v literatuře, je dobře realizovatelná v laboratorních podmínkách

katedry hydromechaniky a hydraulických zařízení a také ji samozřejmě lze namodelovat

numericky, byla zvolena jako první testovací příklad pro modernizovaný aerodynamický

tunel. Úkolem bylo srovnání fyzikálního experimentu tj. měření jednokanálovým žárovým

anemometrem CTA a matematického modelu vytvořeného v programu GAMBIT a řešeného

v programu FLUENT.

11.1. Teoretický rozbor úlohy obtékání válcePři řešení úlohy obtékání válce lze vyhodnotit kromě základních fyzikálních veličin

jako rychlost a tlak a jejich statistického zpracování také Reynoldsovo číslo, Strouhalovo

číslo (frekvenci největších odtrhávajících se vírových struktur), odporové koeficienty, místo

odtržení mezní vrstvy, případně délku úplavu.

Reynoldsovo čísloPůsobení proudového pole skutečné (vazké) tekutiny na obtékané těleso je závislé

na hodnotě Reynoldsova čísla. Základní rozdělení charakteru proudění okolo válce při

různých Reynoldsových číslech stanovil experimentálně Roshko. Rozdělil proudění okolo

válce v závislosti na Reynoldsově čísle na následující oblasti:

40 < Re < 150 - stabilní oblast

150 < Re < 300 - přechodová oblast

300 < Re < 200 000 - nestabilní oblast

Podrobnější rozdělení je dosud vzhledem k charakteru turbulence problematické. Další

zkoumané parametry jsou uvedeny v literatuře [22]

11.2. Fyzikální experimentPo nastudování metodiky měření žárového anemometru a zvládnutí měřicího zařízení

MiniCTA výrobce DANTEC, viz [28], je možno začít provádět experimentální měření. Pro


114

všechna měření byla použita jednodrátková sonda typu 55P14 výrobce DANTEC viz obr.

11.1. Pro vyhodnocení proudového pole byly zvoleny následující parametry proudového

pole:

- profil střední rychlosti meanu

- profil směrodatných odchylek rychlosti rmsu

- profil intenzity turbulence meanrms uu

- výkonové spektrum

Před měřením samotného obtékání válce je nutno provést kalibrací ([28]) žhaveného

drátku sondy 55P14 v rozsahu rychlostí 1 až 20 ms-1. Po vytvoření kalibrační křivky byla

sonda z kalibračního zařízení přemístěna do měřícího prostoru aerodynamického tunelu a

připravena na měření zvolených veličin. V tomto okamžiku je ještě nutné zvolit vzorkovací

frekvenci a dobu měření v jednom bodě. Vzhledem k tomu, že frekvence turbulentního

proudění se pohybuje v rozmezí do fmax = 10 kHz, což je Nyquistova frekvence, je zvolena dle

Shannonova-Kotelnikova kriteria max21 ft

fvz =D

= vzorkovací frekvence pro měření 20 kHz

[29]. Tato frekvence byla zvolena jako vzorkovací a nastavena v obslužném programu

MiniCTA. Dalším parametrem je volba počtu vzorků. Ten byl zvolen 32 768 v jednom bodě (z

důvodů časových a zejména hardwarových). Výsledná doba měření datového záznamu

v jednom bodě proudového pole celkováT je tedy:

vzorkovací perioda 510520000

11 -×===f

T ,

celková doba měření snTTcelková 64,132768105 5 =××=×= -

kde n = počet vzorků. Na základě zkušebních měření bylo zvoleno, že rychlostní profil bude

obsahovat 160 bodů a vzdálenost mezi jednotlivými body bude 0,5 mm, tj, rychlostní profil

obr. 11.1 Sonda v měřicím prostoru za

válcem

obr. 11.2 Traverzovací zařízení


115

bude proměřen v šíři y = 80 mm. Pro tyto rozměry byla v programu MiniCTA vytvořena

měřící síť a dokončeny tak všechny přípravy na samotné měření.

obr. 11.3 Vyobrazení míst pro měření profilů rychlosti a intenzity turbulence

Při měření je posouvání sondy mezi jednotlivými měřenými body prováděno

manuálně pomocí traverzovacího zařízení, viz obr. 11.2. Takto byly proměřeny rychlostní

profily ve třech vzdálenostech za měřeným objektem a to x/D = 1,25, x/D = 2,5 a x/D = 5, viz

obr. 11.3 , kde x je vzdálenost za válcem a D je průměr válce. Výsledky měření profilu

střední rychlosti tj. meanu a profilu intenzity turbulence tj. meanrms uu / jsou uvedeny na obr.

11.4 a obr. 11.5, kde je příklad naměřeného profilu ve vzdálenosti x/D = 2,5 za válcem.

Profil rychlosti za válcem

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

y/D [1]

u m

ean/

u vs

tup

[1]

prof il x/D = 1,25 profil x/D = 2,5 profil x/D = 5

obr. 11.4 Profil střední rychlosti

x/D=1,2 x/D=2 x/D=5

y


116

Profil intenzity za válcem

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

y/D [1]

u rm

s/ u

mea

n [1

]

profil x/D = 2,5 profil x/D = 1,25 profil x/D = 5

obr. 11.5 Profil intenzity turbulence

Rychlost je zobrazena jako podíl střední naměřené rychlosti v bodě a vstupní

rychlosti. Intenzita turbulence je zobrazena jako podíl směrodatné odchylky v měřeném bodě

a střední rychlosti v tomtéž bodě. Tato volba vyhodnocení byla zvolena z důvodu

maximálního zobecnění naměřených dat.

Naměřený profil střední rychlosti je dle předpokladů symetrický. V místě za válcem

(v oblasti -1 až +1) je zřetelný pokles rychlosti. V tomto místě jsou také patrné mírné

odchylky jednotlivých naměřených bodů od trendu křivky. Tyto odchylky si lze vysvětlit

zvýšením zavíření a vzniku velkých vírových struktur v úplavu za válcem. Jejich odstranění a

vyhlazení naměřených profilů by bylo možné pomocí prodloužení doby měření v jednom

bodě. Zde však vyvstal problém s hardwarovým omezením PC určeného pro měření, na

kterém nebylo možno vyhodnotit potřebné množství dat z jednoho bodu tak, aby byl profil

vyhlazen.

Z vykreslení profilu intenzity turbulence je patrný nárůst intenzity turbulence v úplavu

za válcem. Ze srovnání profilů a to jak rychlosti, tak intenzity turbulence je dále patrné

rozšiřování úplavu. Tento jev je dán disipativním charakterem turbulence. Tzn. velké vírové

struktury vytvořené bezprostředně za obtékaným tělesem se postupně rozpadají a předávají

svou energii dalším částicím unášeným v proudu, až do jejich úplného rozpadu. Právě tento

proces je spojen s rozšiřováním úplavu.

Kromě profilů proudového pole lze pomocí žárového anemometru vyhodnotit

frekvenci odtrhávajících se vírových struktur za obtékaným tělesem a to pomocí vyhodnocení

výkonového spektra, které je v tomto případě získáno ze záznamu hodnot okamžité rychlosti

závislé na čase užitím metody FFT [29], [15]. Tato časová řada byla měřena a po té

vyhodnocena v bodě X = [25mm,10mm] od osy válce ve směru proudění, viz schéma na obr.

11.6.


117

obr. 11.6 Schématicky znázorněný postup k získání výkonového spektra

V grafu na obr. 11.6 je patrná špička na hodnotě 105 Hz. Tato špička ve výkonovém

spektru indikuje zvýšené množství energie pulzující na této frekvenci, tzn. při této frekvenci

dochází ke zvýšenému množství přenosu energie v úplavu za obtékaným tělesem, tj.

zvýšenému výskytu vírů v této oblasti, což indikuje vírovou cestu. V okamžiku shody této

frekvence s vlastní frekvencí obtékaného tělesa může dojít k nebezpečnému rozkmitání

tohoto obtékaného tělesa až do možných nevratných změn na tělese. Z grafu tedy vyplývá,

že víry s největší energií se odtrhávají s frekvencí 105 Hz. Z vyčíslení Reynodsova čísla:

11177107894,1102010Re 5

3

=×××

=×

= -

-

udv

( 11.2.1)

lze předpokládat vývin vírové cesty za obtékaným válcem. Tento předpoklad lze dále ověřit

výpočtem Strouhalova čísla. Jeho hodnota se při vývinu vírové cesty pohybuje v rozmezí

22,017,0 -»Sh . Po dosazení je:

2,010

1020105 3

=××

=×

=-

vdfSh ( 11.2.2)

Z hodnoty vypočteného Strouhalova čísla pro tento případ lze předpokládat, že byla

skutečně naměřena frekvence odtrhávání vírů ve vírové cestě.

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

t [s]

sign

al [

V]

Spektrální výkonová hustota

0.001

0.01

0.1

1

0.1 1 10 100 1000

f [Hz]

P [m

2 .s-2]

Výkonové spektrum


118

Výsledky fyzikálního experimentu:

u [m.s-1] Re [1] FFT max [Hz] Sh [1]

10 1,1.104 105 0,21

tab. 11.1 Přehled výsledků fyzikálního experimentu

Pro potřeby matematického modelu byly z fyzikálního experimentu zjištěny tyto

parametry:

· velikost měřicí sekce: 170x140x270 mm

· průměr vloženého válce: 20 mm

· rychlost vzduchu: 10 ms-1

· okolní teplota vzduchu: 22 oC

· hustota vzduchu: 1,225 kgm-3

· viskozita vzduchu: 1,7894.10-5 Pa.s

Pro následnou verifikaci výsledků s matematickým modelem je ještě zapotřebí

vyhodnotit možnou chybu fyzikálního experimentu. Výsledky měření jednodrátkovou sondou

mohou být jak mírně nadhodnoceny, tak mírně podhodnoceny. K nadhodnocení dochází

z důvodů ochlazovacího účinku složek rychlosti ve směru y a z. Tento ochlazovací účinek je

sčítán s ochlazovacím účinkem složky x a tak jej nadhodnocuje. Instalovaný suport

umožňuje natočení sondy pouze v jednom směru, což umožňuje měření pouze dvou složek

rychlosti. Ochlazovací účinek složek rychlosti y a z proto nebyl vyhodnocován.

Nadhodnocení, které touto cestou vzniká, bylo s největší pravděpodobností kompenzováno

umístěním sondy do měřicího prostoru. Důvodem bylo obtížné stanovení kolmosti

žhaveného drátku sondy k proudu tekutiny (vzduchu). Sonda byla vždy do suportu

umísťována ručně a ručně byl také regulován úhel svírající žhavený drátek s tekutinou.

V ideálním případě by tento úhel měl být 90o. Tato hodnota však nešla ověřit jinak než

vizuální kontrolou. Mírné odchylky od hodnoty 90o však způsobují přesně opačný efekt, než

způsobují složky rychlosti y a z, a to zmenšení průmětu plochy žhaveného drátku v rovině

kolmé na proud vzduchu tj. snížení ochlazovacího efektu dominantní složky rychlosti ve

směru x. Ověření těchto hypotéz však bylo problematické, proto byla odhadnuta chyba

měření na 5 %.

11.3. Matematický modelVzhledem k tomu, že výsledky matematického modelu velmi závisí na vytvořené síti

oblasti, bylo vytvořeno v programu Gambit 2.2 a 2.3 několik testovacích verzí sítě. I přes


119

možnost volby trojúhelníkové sítě byla nakonec zvolena síť čtyřúhelníková a to z důvodu

lepší konvergence při výpočtu. Hlavní problém při tvorbě sítě nastal u síťování přechodu

okolo válce, kde docházelo k tvorbě jak příliš zdeformovaných, tak příliš velkých buněk. Toto

se nakonec podařilo odstranit rozdělením oblasti okolo válce na dílčí podoblasti společně

s ručním zadáním uzlů sítě na hranicích těchto podoblastí. Nejlepší výsledky výpočtu byly

dosaženy na sítí viz obr. 11.7. Další poznatky z tvorby a testování různých sítí pro tuto oblast

jsou následující:

· síť musí být symetrická vzhledem k ose válce ve směru proudění, není-li dodržena

tato podmínka může dojít k nesouměrnosti vírové cesty.

· okolo stěny válce je vhodné vytvořit mezní vrstvu zhuštěnou směrem k této stěně

vzhledem k zachycení zárodku vírových struktur.

· síť je vhodné vytvořit v úplavu jemnější a naopak okolo stěn oblasti hrubou. Tímto

způsobem lze ušetřit čas při výpočtu.

obr. 11.7 Obrázek sítě + detail kolem válce

Síť byla nejprve vytvořena jako dvourozměrná a poté z ní byla vytvořena její

trojrozměrná varianta. Její rozměry odpovídaly fyzikálnímu experimentu – s výjimkou výšky

z u 3D úlohy – ta byla zmenšena na 50 mm z důvodu výpočtové náročnosti rozsáhlejší

(vyšší) sítě. Pro kompenzaci tohoto zmenšení byla na spodní a horní části oblasti užita

podmínka symetrie. Další okrajové podmínky byly nastaveny takto: vsup do oblasti – velocity

inlet; výstup z oblasti – pressure outlet; stěna levá – wall; stěna pravá – wall; válec – wall.

Pro prvotní verifikaci s fyzikálním experimentem byla úloha modelována jako

dvojrozměrná. Okrajové a fyzikální podmínky byly nastaveny dle fyzikálního experimentu, tj.

rychlost vzduchu 10 ms-1, okolní teplota vzduchu 22 oC, hustota vzduchu 1,225 kg.m-3,

viskozita vzduchu 1,7894.10-5 Pa.s.

U matematického modelu jsou fyzikální veličiny vyhodnocovány v celé oblasti

proudového pole. U případu časově závislé úlohy (jako je obtékání válce) jsou fyzikální

veličiny vyhodnocovány průběžně v čase. Pro verifikaci s výsledky fyzikálního experimentu


120

provedeného pomocí měřicí metody CTA jsou však důležité zejména hodnoty analogické

s měřením, tj. získané jako průměr ze všech zaznamenaných hodnot po celou dobu výpočtu.

Na těchto časově „nezávislých“ záznamech nejsou patrné vírové struktury. To je způsobeno

symetrickým odtrháváním vírů, které v časově nezávislém vyhodnocení zaniká, viz obr. 11.8.

Tento jev je logický a mimo jiné potvrzuje korektnost vytvořené sítě a vizuální kontrolu

výpočtu.

obr. 11.8 Střední hodnota velocity magnitude 2D RNG-kε modelu [m.s-1]

Zdali je výpočet již „stabilizovaný“ lze také určit pomocí monitorovaných fyzikálních

veličin. Ve všech případech matematických modelů byla monitorována rychlost v úplavu za

válcem. Na obr. 11.9 je uveden příklad takovéhoto „stabilizovaného“ záznamu pořízeného

v monitorovacím bodě umístěném v úplavu za válcem. Je na něm patrný záznam pravidelné

amplitudy a frekvence rychlosti ve směru proudění.

obr. 11.9 Příklad záznamu rychlosti z monitorovacího bodu

Při matematickém modelování úlohy obtékání válce byly zaznamenávány a

vyhodnocovány profily rychlosti a intenzity turbulence a další a průběh rychlosti v čase

zaznamenávaný v monitorovacím bodě X = [25mm,10mm] (odpovídá záznamu z fyzikálního

experimentu). Z grafu z této časové řady bylo metodou FFT vyhodnocováno výkonové

spektrum, ze kterého lze určit při jaké frekvenci dochází k nejintenzivnějšímu odtrhávání

vírových struktur a z této frekvence lze posléze vypočítat Strouhalovo číslo.

Všechny výpočty matematického modelu proběhly s časovým krokem 1.10-3 s 30ti


121

maximálně možnými iteracemi v jednom časovém kroku. Toto nastavení bylo zvoleno jako

minimální s ohledem na délku a přesnost výpočtu – tj. množství časových kroků v jedné

periodě. Frekvence odtrhávajících se vírů byla určena jak z fyzikálního experimentu, tak

z předběžných matematických modelů. Lze tak určit, kolik časových kroků bude počítáno

během jedné periody odtržení víru 095.0105

11===

fT a počet časových kroků je pak

5.9001.0095.0

===vckTpcs , kde pcs je počet časových kroků a vck je velikost časového

kroku. Vzhledem k hustotě sítě nebylo dosaženo v jednotlivých časových krocích

konvergence výpočtu, přičemž konvergenční kritérium bylo nastaveno u všech veličin na

hodnotu 1.10-4.

Pro srovnání jsou v následující kapitole uvedeny také výsledky trojrozměrného

matematického modelu LES pro hodnotu rychlosti 10 m.s-1 a hodnotě časového kroku 1.10-4

s 40ti iteracemi v jednom časovém kroku – čemuž odpovídá 95 časových kroků při jedné

periodě odtržení vírové struktury. Tyto výsledky jsou také vyhodnoceny tabulkami.

11.4. Vyhodnocení výsledků fyzikálního experimentu a

matematických modelůVizuální srovnání výsledků matematických modelů

a) 2D model

RNG-kε

b) 3D model

RNG-kε

c) 3D model

LES

časový krok

1.10-3 [s]


122

d) 3D model

LES

časový krok

1.10-4 [s]

vstupni

x

uuu =

obr. 11.10 Vyobrazení okamžitých hodnot podílu rychlosti tekutiny ve směru x a rychlosti

tekutiny na vstupu do oblasti

Z vizuálního porovnání výsledků jednotlivých modelů na obr. 11.10 je patrné, že při

použití jak 2D modelu, tak 3D modelů vzniká za obtékaným válcem úplav s odtrhávajícími se

vírovými strukturami. Nejintenzivnější odtrhávání je patrné z modelu 3D LES při použití

časového kroku 1.10-4. Ostatní modely vykazují zavíření menší. Je však také patrný rozdíl

mezi modely LES a RNG k-ε. U modelu LES je oblast zpětného proudění za válcem

mnohem zřetelnější.

Další zajímavé, co se týče volby 3D modelování, je srovnání matematických modelů

turbulence při řezu válce osou, rovinou z. Z pohledu na obr. 11.11 je vidět, že při použití

matematického modelu RNG k-ε nejsou rozvinuty turbulentní struktury v ose z, což by podle

teoretických předpokladů mělo nastat. U modelu LES je vývin těchto struktur patrný, přičemž

nejintenzivnější zavíření je opět identifikováno u modelu LES při použití časového kroku

1.10-4.

a) 3D model

RNG-kε

vstupni

x

uuu =

b) 3D model

LES

časový krok

1.10-3 [s]

c) 3D model

LES

časový krok

1.10-4 [s]

obr. 11.11 Okamžité hodnoty podílu rychlosti tekutiny ve směru x a rychlosti tekutiny na

vstupu do oblasti v řezu osou válce

Z tohoto srovnání vyplývá, že vhodnějším modelem pro 3D úlohy bude model LES, neboť


123

dvourozměrné modely tohoto případu mají v řešení určitou odchylku od skutečnosti díky

chybějící složce rychlosti v rovině z. To, že u modelu 3D RNG k-ε dochází k menšímu

zpětnému proudění a tudíž i zavíření za válcem je také patrné z vyobrazení vířivosti v ose

z na obr. 11.12.

a) 3D model

RNG-kε

vstupni

x

uuu =

+1500 [1/s]

-1500 [1/s]

b) 3D model

LES

časový krok

1.10-3 [s]

c) 3D model

LES

časový krok

1.10-4 [s]

obr. 11.12 Okamžité hodnoty podílu rychlosti tekutiny ve směru x a rychlosti tekutiny na

vstupu do oblasti a vířivosti v ose z

Porovnání profilů rychlosti a intenzit turbulence u experimentu amatematických modelů

Srovnání profilu rychlosti a intenzity turbulence mezi fyzikálním experimentem a

matematickým modelem je možné pomocí středních hodnot, tj. střední hodnoty rychlosti

v čase a střední hodnoty směrodatné odchylky rychlosti v čase. U fyzikálního experimentu

jsou tyto hodnoty získány z naměřených dat funkcí programu MiniCTA – Data Reduction. Při

této operaci je automaticky proveden přepočet naměřených hodnot napětí přes kalibrační

křivku na hodnoty rychlosti.

U matematického modelu je pro získání těchto veličin nutné zapnout funkci „Data

sampling for time statistics“, pomocí které jsou zaznamenávány v celé oblasti proudového


124

pole modelu hodnoty vybraných fyzikálních veličin, tj. hodnoty střední rychlosti ve všech

směrech a jejich směrodatných odchylek a také hodnoty velikosti rychlosti (velocity

magnitude) a jejich směrodatných odchylek.

Pro srovnání byla vybrána vzdálenost x/D = 2.5 v úplavu za válcem. Srovnání je

provedeno na obr. 11.14 a obr. 11.15.

obr. 11.13 Schématické zobrazení měření

Profil rychlosti ve vzdálenosti x/D =2,5

00,20,40,60,8

11,21,41,61,8

2

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

y/D [1]

u m

ean/

u vs

tup

[1]

CTA 2D RNG-kE 3D LES 1.10-3 3D RNG-kE 3D LES 1.10-4

obr. 11.14 Profil střední rychlosti

Profil intenzity turbulence x/D = 2,5

00,10,20,30,4

0,50,60,70,80,9

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2

y/D [1]

u rm

s/ u

mea

n [1

]

CTA 2D RNG-kE 3D LES 1.10-3 3D RNG-kE 3D LES 1.10-4

obr. 11.15 Profil intenzity turbulence

Ze srovnání profilů rychlosti je patrné mírné nadhodnocení výsledků 3D modelů

D


125

s časovým krokem 1.10-3. Toto nadhodnocení může být způsobeno krátkou dobou výpočtu.

3D model s časovým krokem 1.10-4 a 2D model vykazuje velmi dobrou shodu s fyzikálním

experimentem. Mírné podhodnocení může být v případě 2D modelu způsobeno chybějící

složkou rychlosti v rovině z.

Ze srovnání profilů rychlosti je zřetelné výrazné nadhodnocení intenzity turbulence u

matematického modelu LES. To může být způsobeno opět krátkou dobou výpočtu, také příliš

brzkým zapisováním hodnot rychlosti pro časové středování, ale také samotným modelem

LES. U 3D modelu RNG-kε totiž dochází naopak k podhodnocení výsledků intenzity

turbulence. Z vizuálního srovnání modelů viz obr. 11.10 a obr. 11.11 vyplývá, že model

RNG-kε nezachytává všechny vírové struktury. Proto lze také podhodnocení profilu intenzity

turbulence tohoto modelu očekávat. Je zajímavé, že k takovémuto poklesu nedochází také u

2D modelu. Je také otázkou, jak by vypadal tento profil, kdyby byl použit časový krok 1.10-4.

To z časových důvodů nebylo realizováno.

Vzájemné srovnání výkonového spektra experimentu a modelůZe vzájemného srovnání výkonového spektra fyzikálního experimentu a

matematického modelu lze vyčíst, zda se jednotlivé metody liší ve frekvenci, při které

dochází k nejintenzivnějšímu odtrhávání vírových struktur.

a) měření

CTA

b) 2D model

RNG-kε

F = 105

F = 105


126

c) 3D model

LES

časový

krok

1.10-3 [s]

d) 3D model

LES

časový

krok

1.10-4 [s]

interval dat

0,12-0,24

[s]

obr. 11.16 Srovnání průběhu výkonového spektra fyzikálního experimentu a

matematického modelu

Při srovnání výkonových spekter obr. 11.16 je na první pohled patrné, že ač se

jednotlivé průběhy přenosu energie vírovými strukturami liší, frekvence, při které dochází

k nejintenzivnějšímu přenosu energie a tudíž v důsledku k odtrhávání největších vírových

struktur se shoduje, a to na hodnotě 105 Hz.

U 2D-RNG kε modelu je výkonové spektrum výrazně ovlivněno chybějící třetí složkou

rychlosti v rovině z. Průběh odtrhávání vírů je tudíž „zidealizovaný“ a jsou tak patrné vyšší

harmonické frekvence nejintenzivnějšího odtrhávání.

U 3D LES modelu je patrná poměrně dobrá shoda s fyzikálním experimentem,

přičemž hlavní rozdíl je v příkřejším sklonu křivky spektra. Tento jev je způsoben rychlejším

poklesem přenosu energie směrem k vyšším frekvencím, což je způsobeno zanedbáním

vírových struktur, a to jak zjednodušující definicí matematického modelu, tak také díky

velikosti nejmenších buněk sítě, které jsou větší než nejmenší vírové struktury a nejsou tudíž

v modelu zachyceny. U fyzikálního experimentu se tedy při vyšších frekvencích přenáší více

energie než u matematických modelů. Tyto hodnoty však mohou být také mírně

nahodnocené vlivem zašumění vstupného signálu senzoru žárového anemometru CTA.

Ze vzájemného srovnání spekter 3D LES modelu s časovým krokem 1.10-3 a 1.10-4 je

patrné, že model s časovým krokem 1.10-3 má zřetelnější maximum u modelu s časovým

F = 105

F = 105


127

krokem 1.10-4 toto maximum ještě není tak patrné. Je jasné, že by tento model potřeboval

ještě čas na úplné ustálení proudění. Což je zásadní nevýhodou modelu s tímto časovým

krokem – doba výpočtu.

Závěrem z tohoto srovnání lze říci, že je-li potřeba zjistit frekvence, při kterých

dochází k největším přenosům energie a není-li zapotřebí příliš klást důraz na co

nejpřesnější výpočet samotného proudění, je z časových důvodů u úlohy obtékání jednoho

válce výhodnější použití 2D modelu. Ze srovnání výkonových spekter je ještě parné, že

největší shodu vykazuje model 3D LES s časovým krokem 1.10-4. Je však třeba konstatovat,

že výkonové spektrum tohoto modelu bylo provedeno z malého množství dat (časový interval

0,12-0,14 s) tato úloha nebyla dále počítána z důvodů její časové náročnosti. Proto byl také

upřednostněn pro další modely časový krok 1.10-3.

Literatura

128

12. Literatura[1] REYNOLDS, O.: An Experimental Investigation of the Circumstances which

determine whether the Motion of Water shall be direct or sinuous, and the Law of Resistance

in Parallel Channels. Phil. Trans. Roy. Soc., 1883, Vol. 174, p. 935.

[2] KOZUBKOVÁ, M., DRÁBKOVÁ, S., JANČÍK, P. , SKÝBA, V. Závěrečná zpráva o

řešení projektu COST OC 715.60 COST Action 715: „Meteorology applied to urban air

pollution problems“, 715.60 „Numerical Modelling of the Small Scale Urban Air Flow and

Pollutant Dispersion“. Ostrava: VŠB-TUO, 2004, 23 s.

[3] LESIEUR, M. Turbulence in Fluids. Third Revised and Enlargened Version. Kluwer

Academic Publishers, Dordrecht, 1990, ISBN 0-7923-4416-2, 395 p.

[4] CIOFALO, M. Large Eddy Simulation of Turbulent Flows with Heat. A State of the Art

Review. Palermo: Dipartemento di Ingegneria Nucleare-Universita di Palermo, 1993, 95 p.

[5] VAN DYKE, M.: Albom těčenij židkosti i gaza. Moskva: MIR, 1986, 180 p.

[6] NIEWSTADT, F.T.M. et al. Direct and Large Eddy simulations of turbulence in fluids.

Future Generation Computer System, 1994, p.189-205.

[7] DVOŘÁK, R.: Vnitřní aerodynamika, ČVUT Praha 1997

[8] RODI, W., MURAKAMI, S. Turbulence Models for Practical Applications, výtah

z „Seisan-Kenkyu“, sv. 41, č.8, 9, 12, sv.42, č. 1,2, Institute of Industrial Science, University

of Tokyo 1989.

[9] ZUBER, I. Model turbulence k-e kontra Reynolds stress model (jedna pověra

v hydrodynamice. Osobní sdělení

[10] ŠŤÁVA, P., JANALÍK, J., KOZUBKOVÁ, M.DRÁBKOVÁ, S.: Aspekty matematického

modelování turbulentníbo proudění, Seminář 3 , Ostrava 1994

[11] RODI,W., LESCHZINER,M.A., SCHEUERER,G., SCHONUNG,B.: Numerische

Berechnung turbulenter Stroemungen in Forschung und Praxis, Sonderforschungsbereich

210, TU Karlsruhe,1992

[12] STULL, R.B. An Introduction to Boundary Layer Meteorology, Kluwer Academic

Publishers, 1994, 666 str.

[13] TESAŘ,V.: Mezní vrstvy a turbulence, skripta ČVUT Praha 1991

[14] COANTIC, M. Turbulent Fluid Flow, An Introduction to its Physics and Modelling. In A

series of lecture notes for the seminar „Industrial Mathematics and Mathematical Modelling“.

Plzeň: University of Western Bohemia, 1994, 26 p.

[15] FLUENT: Fluent 6.3.26 - User’s guide Fluent Inc. 2006. VŠB-TU Ostrava

<URL:http://sp1.vsb.cz/DOC/Fluent_6.3/html/ug/main_pre.htm>

[16] ROACHE,P.J.: Computationa Fluid Dynamics, Mir, Moskva, 1980

[17] SUNG-EUN KIM, DIPANKAR CHOUDHURY: Computations of Complex Turbulent

Literatura

129

Flows and Heat Transfer Using Two-Layer Based Wall Functions, Fluent Inc., 1995

[18] BIRD, R.,B., STEWART, W., E., LIGHTFOOT, E., N. Přenosové jevy. Academia,

Praha 1968

[19] ŠŤÁVA, P.: Turbulence a ekologické úlohy, VŠB-TU Ostrava, fakulta strojní, 1998

[20] KOZUBKOVÁ, M., DRÁBKOVÁ, S. Numerické modelování proudění – FLUENT I.

[Online]. c2003. Ostrava: VŠB – TUO, 116 s, poslední revize 6.1.2005 [cit. 2005-01-06].

Dostupné z: <URL: http://www.338.vsb.cz/seznam.htm>.

[21] YAKHOT, V., ORSZAG, S. A. Renormalization Group Analysis of Turbulence: I. Basic

Theory. Journal of Scientific Computing, 1(1): p.1-51, 1986.

[22] FABIÁN, P. Metody matematického a fyzikálního experimentu v proudění tekutin.

Dizertační práce. 2008. Ostrava: VŠB – TUO, 115 s.

[23] ZAVILA, O. Matematické modelování turbulentního proudění, šíření tepla a polutantu

v mezní vrstvě atmosféry se zaměřením na tunelové stavby. Dizertační práce. 2007.

Ostrava: VŠB – TUO, 114 s.

[24] MARÁK, R. Analýza pojistného ventilu matematickými metodami. Diplomová práce.

2007. Ostrava: VŠB – TUO, 50 s.

[25] DRÁBKOVÁ, S. a kol. Mechanika tekutin. Ostrava: VŠB-TU Ostrava, 2007. 248 s.

(Elearningová učebnice). ISBN 978-80-248-1508-4.

[26] MICHALCOVÁ, V. Numerické modelování zatížení budov při kvazistatickém působení

větru. Dizertační práce. 2007. Ostrava: VŠB – TUO, 104 s.

[27] Incropera, P. a kol.: Fundamentals of Heat and Mass Transfer. John Wiley&Sons.

2007. 997 p. ISBN-13: 978-0-471-45728-2, ISBN-10: 0-471-45728-0.

[28] FABIÁN, P., KUNDYS, J., KOZUBKOVÁ, M. Měření žárovým anemometrem [online].Návody do cvičení, Kat. hydromechaniky a hydraul. zařízení, FS VŠB-TU Ostrava, 2004,Scripta electronica. 36 s. Dostupné z : <URL http://www.338.vsb.cz/seznam.htm> [cit. 2006-01-06].[29] JANALÍK, J. Měření tekutinových mechanizmů [online], Ostrava: VŠB – TUO, 2003.116 s. Scripta electronica, Dostupné z: <URL: http://www.338.vsb.cz/seznam.htm> [cit.2006-01-06].[30] BOJKO, Marian; KOVÁŘ Ladislav. Mathematical Modelling of the Pure Oxygen BlowingProcess on Surface of Liquid Bath in Metallurgical Aggregates. Sborník vědeckých prací VŠB-TUOstrava, řada strojní, 2007, roč. LIII, č.1, s. 7 – 14. ISBN 978-80-248-1633-3, ISSN 1210-0471.[31] MALÝ, Rostislav; BLEJCHAŘ, Tomáš. Využití CFD při vývoji plazmové technologie.TRANSFER 2007, 2007, str.109-112. ISBN 978-80-8075-236-1, ISSN 1336-9695.[32] LENHARD, R., JANDAČKA, J. Simulácia parametrov pasívného stropného chladiacehokonvertora. In Sborník XXVII. setkání kateder mechaniky tekutin a termomechaniky. Plzeň: ZČUv Plzní. 24.-27. června 2008. 6 str. ISBN 978-80-7043-666-0

http://www.338.vsb.cz/seznam.htm



Literatura

130

[33] GAŠPAROVIČ, P., ČARNOGURSKÁ, M. Aerodynamic Optimisation of Centrifugal FanCasing using CFD. J. of applied science in the thermodynamics and fluid mechanics. VOl. 2. No.1/2008, 6 p. ISSN 1802-9388.

Příloha – sčítací pravidla

131

13. Příloha - sčítací pravidlaPři vyjádření proměnných o třech případně devíti složkách (složky rychlostí, napětí

apod.) je vhodné využít speciální zkrácené označení, známé jako Einsteinova sumace, kdy

pouze jedním členem lze vyjádřit všech devět napětí. V reálném případě se očekává, že

například některé síly budou působit ve všech souřadnicových směrech, jiné pouze v

některých. Záměrem je, abychom byli schopni oddělit takové závislosti. V této kapitole budou

nejdříve definovány speciální výrazy, pak pravidla pro počítání s nimi a na závěr příklady a

vazba na vektorové vyjádření [12].

13.1. Definice a pravidlaNechť m,n,q jsou celočíselné proměnné nabývající hodnot 1,2 nebo 3. Nechť am

představuje obecně vektor rychlosti, xm představuje souřadnici, dm je jednotkový vektor

(vektor délky 1 a směru shodného s jedním ze tří kartézských souřadnic).

m = 1, 2, 3 a1 = u x1 = x

n = 1, 2, 3 a2 = v x2 = y

q = 1, 2, 3 a3 = w x3 = z

( 13.1.1)

Proměnná a -bez indexu = skalár

-s jedním indexem = vektor

-se dvěma indexy = tensor

Jednotkový vektor:

e1=i e2=j e3=k ( 13.1.2)

Kroneckerovo delta

îíì

¹=+

=nmnm

mn pro0pro1

dîíì

¹=+

=nmnm

mn pro0pro1

d( 13.1.3)

Jednotkový tenzor

ïî

ïí

ì=-=+

=kombinaceostatn’pro0

132,213,321pro1312,231,123pro1

mnqmnq

mnqe ( 13.1.4)

Základní pravidla:

1. Jestliže se objevují v zápise dva indexy v témže členu, znamená to, že se jedná o součet

členů přes všechny hodnoty (1,2,3) opakovaného indexu.


132

2. Jestliže jeden index se předpokládá jako nesčítací index (volný index), pak se tento index

musí objevit jako nesčítací ve všech členech rovnice. Tudíž taková rovnice stručně

představuje 3 rovnice pro každou hodnotu nesčítacího indexu.

3. Tentýž index se nemůže objevit více než dvakrát v jednom členu.

13.2. PříkladyPříklad 1: (užití pravidla 1)

zbw

ybv

xbu

xba

xba

xba

xba

mmm

mmm

n

mn

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

++=

=++=3

32

21

1

( 13.2.1)

Příklad 2: (užití pravidla 1)

va

aaaann

=

=++=

=++=

00 2

3232221212 dddd( 13.2.2)

Příklad 3: Rozepište následující výraz (užití pravidla 2)

nmnmm cba d+=

řešení:

33333

22222

11111

cbcbacbcba

cbcba

nn

nn

nn

+=+=

+=+=

+=+=

ddd

( 13.2.3)

Příklad 4: Užijte zkrácený zápis pro pohybovou rovnici a rozepište:

úû

ùêë

é+-+-=+

n

mn

mnmncm

n

mn

m

xxpbfg

xab

ta

¶¶t

r¶¶

red

¶¶

¶¶ 11

33 ( 13.2.4)

Nejdříve se rozepíše suma pro sčítací index

úû

ùêë

é+++-

-+++-=+++

3

3

2

2

1

1

33322311333

32

21

1

11xxxx

p

bfbfbfgxab

xab

xab

ta

mmm

m

mcmcmcmmmmm

¶¶t

¶¶t

¶¶t

r¶¶

r

eeed¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

Člen em33 je roven nule, protože obsahuje dva shodné indexy.

Pro m=1:


133

úû

ùêë

é+++-

-++-=+++

3

13

2

12

1

11

1

21231113133

13

2

12

1

11

1

11xxxx

p

bfbfgxab

xab

xab

ta

cc

¶¶t

¶¶t

¶¶t

r¶¶

r

eed¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

V této rovnici je d13 a e113 rovno také nule podle definice.

Pro m=2:

úû

ùêë

é+++-

-+=+++

3

23

2

22

1

21

2

12133

23

2

22

1

21

2

11xxxx

p

bfxab

xab

xab

ta

c

¶¶t

¶¶t

¶¶t

r¶¶

r

e¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

Člen e213 je roven -1.

Pro m=3:

úû

ùêë

é+++-

--=+++

3

33

2

32

1

31

3

333

33

2

32

1

31

3

11xxxx

p

gxab

xab

xab

ta

¶¶t

¶¶t

¶¶t

r¶¶

r

d¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

Při užití substituce ( 13.1.1) lze tyto rovnice vyjádřit obvyklejším způsobem:

úû

ùêë

é+++--=+++

úû

ùêë

é+++--=+++

úû

ùêë

é+++-+=+++

zyxzpg

zww

ywv

xwu

tw

zyxypuf

zvw

yvv

xvu

tv

zyxxpvf

zuw

yuv

xuu

tu

zzzyzx

yzyyyxc

xzxyxxc

¶¶t

¶¶t

¶¶t

r¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶t

¶¶t

¶¶t

r¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶t

¶¶t

¶¶t

r¶¶

r¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

11

11

11

( 13.2.5)

Srovnáním zápisu ( 13.2.5) a ( 13.2.4) lze pozorovat obrovskou výhodu při užití

Einsteinových sumačních pravidel a navíc existuje určitá analogie s vektorovým značením,

takže soustavu rovnic ( 13.2.5) lze vyjádřit takto:

úúû

ù

êêë

é+-+-=+

j

ij

ijijci

j

ij

i

xxpufg

xuu

tu

¶¶t

r¶¶

red

¶¶

¶¶ 11

33 ( 13.2.6)

13.3. Srovnání s vektorovým označenímVektory jsou reprezentovány třemi složkami, tenzory devíti složkami. Tudíž existuje

spojitost mezi Einsteinovu sumací a definicí vektoru. Vektory mohou být přepsány v

sumačním označení, stejně jako vektorové operace.

Vektor u=umem


134

Skalární součin em.en=dmn

Vektorový součin emxen=emnqdq

Operátor Ñ ( ) ( )m

m xe

¶¶

=Ñ

( 13.3.1)

Na příkladech budou demonstrovány předchozí zápisy.

· skalární součin

( )( ) ( ) mmnmmnnmnmnnmm vuvuvueeveuevu ==== d...rr ( 13.3.2)

První úprava spočívá v substituci vektorů jejich sumačním zápisem, dále jsou vytknuty

souřadnice vektorů a provedeno skalární pronásobení jednotkových vektorů.

· vektorový součin

( ) ( ) ( ) qnmmnqnmnmnnmm evuvuxeevexuevxu e===rr ( 13.3.3)

Výsledkem je vektor. Poznamenejme, že emnq=eqmn=enqm

· divergence vektoru

( ) ( )m

m

m

nmn

m

nnmnn

mm x

uxu

xueeue

xeu

¶¶

¶¶d

¶¶

¶¶

===÷÷ø

öççè

æ=Ñ ..r

( 13.3.4)

13.4. Substanciální derivacePohyb tekutin se definuje v určitém vymezeném dostatečně malém prostoru, jímž

tekutina prochází a nazývá se konečný objem ohraničený plochami. V tomto objemu jsou

odvozeny základní rovnice zachování někdy také nazývané jako rovnice změny, protože

popisují změnu rychlosti, teploty a koncentrace vzhledem k místu a času systému, tj.

všechny hledané veličiny jsou obecně funkcí času a souřadnic ( )zyxt ,,,zz =

Nejdříve ale je třeba se seznámit se třemi druhy derivace obecné proměnné z podle

času, kterých se bude používat.

· Parciální derivace podle časut¶

¶z je změna veličiny z podle času při konstantních

prostorových souřadnicích

· Totální derivace podle časut

xxtt

zzt

yyt

xxtdt

d j

j ¶¶

¶¶

+¶¶

=¶¶

¶¶

+¶¶

¶¶

+¶¶

¶¶

+¶¶

=zzzzzzz je

změna veličiny z podle času a souřadnic (Lagrangeovo pojetí)

· substanciální derivace podle časuj

j xu

tzw

yv

xu

tDtD

¶¶

+¶¶

=¶¶

+¶¶

+¶¶

+¶¶

=zzzzzzz

je

zvláštní druh totální derivace (derivace sledující pohyb), kde wvu ,, jsou složky místní


135

rychlosti (Eulerovo pojetí).

Příloha - Příloha - základní statistické metody

136

14. Příloha - základní statistické metodyZákladním postupem k řešení turbulentního problému je stochastický přístup, proto je

užitečné mít základní znalosti ze statistiky. V následující kapitole se budou definovat

základní statistické pojmy a metody, jako je střední hodnota, rozptyl (variance), standardní

odchylka, kovariance a korelace.

14.1. Střední hodnotaPro časové, prostorové a smíšené (časové i prostorové) průměry existují tři způsoby

vyjádření. Časový průměr je definován v určitém bodě prostoru a skládá se ze součtu resp.

integrálu přes časovou periodu T. Pro libovolnou proměnnou u(t,s), která je funkcí času a

prostoru platí:

å-

=

=1

0),(1)(

N

i

t siuN

su nebo dtstuT

suT

t

t ò=

=0

),(1)( ( 14.1.1)

kde t=iDt. Prostorový průměr je definován v určitém čase a je dán součtem nebo integrálem

přes prostorovou oblast S:

å-

=

=1

0),(1)(

N

j

S jtuN

su nebo dsstuS

suS

s

S ò=

=0

),(1)( ( 14.1.2)

kde s=jDs. Smíšený průměr sestává ze sumy všech experimentů

å-

=

=1

0),(1),(

N

ii

e stuN

stu( 14.1.3)

obr. 14.1 Homogenní turbulence generovaná laboratorně za mřížkou [5]

Je-li turbulence homogenní (statisticky je shodná v každém bodě prostoru, viz obr. 14.1,

pak každý senzor bude měřit tutéž veličinu při prostorovém zprůměrování. Časové průměry


137

jsou často užívány a počítány ze senzorů umístěných v jediném určitém bodě. U turbulence,

která je homogenní a stacionární (statisticky se nemění v čase), jsou časové, prostorové a

smíšené průměry stejné. Tento jev se nazývá ergodičnost.

( ) ( ) ( ) ( )=== Ste

( 14.1.4)

Pravidla pro počítání se střední hodnotouNechť a a b jsou dvě proměnné závislé na čase a c je konstanta. Pak platí

( ) baba +=+

( ) ( )acac =.

( ) aa =

dtad

dtda

=÷øö

çèæ

( 14.1.5)

obr. 14.2Schematické srovnání lokální derivace a derivace středované složky.

14.2. Reynoldsova pravidlaPravidla o časovém průměrování budou aplikována na proměnné, které lze rozložit

na část časově středovanou a fluktuační složku aaa ¢+= a bbb ¢+= , přičemž platí

( ) ( ) ( ) 01

0

=¢Þ¢+=¢+=¢+== ò aaaaaaaadT

aT

t ( 14.2.1)

pro takto rozepsané veličiny platí Reynoldsova pravidla

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )bababababababababababbaaabbabababababbaaba

aaaaaaaa

¢¢+=¢¢+¢+¢+=¢¢+¢+¢+=¢+¢+=

+=¢+¢++=¢+¢++=¢++¢+=+

=¢=¢=¢

=

.

0

( 14.2.2)

kde ba ¢¢ je korelační moment fluktuačních složek, který je obecně nenulový podobně jako


138

2222 ,, babaa ¢¢¢¢¢ . Tato vlastnost je typická pro turbulenci, což je odlišné od mnoha lineárních

teorií vlnění, kdy nelineární členy se často zanedbávají.

14.3. Rozptyl, směrodatná odchylka, turbulentní intenzita,kovariance, korelace

Významnou statistickou veličinou daného souboru dat při známé střední hodnotě je

rozptyl definovaný jako

( )å-

=

-=1

1

22 1 N

iia aa

Ns

( 14.3.1)

Lepším odhadem rozptylu populace daného souboru dat je

( )å-

=

--

=1

1

22

11 N

iia aa

Ns

( 14.3.2)

Je-li počet měření N velký, jak je u turbulence zvykem, pak se oba vzorce shodují.

Poznamenejme, že turbulentní část (fluktuaci) turbulentní proměnné lze vyjádřit jako

aaa -=¢ . Pak po substituci do vzorce ( 14.3.2) je

21

1

22

11 aa

N

N

iia ¢=¢

-= å

-

=

s( 14.3.3)

Tedy určíme-li průměr z druhé mocniny fluktuace jako 22222 ,,,, qTwvu ¢¢¢¢¢ , můžeme jej

interpretovat jako rozptyl.

Směrodatná odchylka (obr. 14.3) je definována jako druhá odmocnina rozptylu:

( ) 2/12aa ¢=s( 14.3.4)

obr. 14.3 Směrodatná odchylka a střední hodnota

Směrodatná odchylka má stejný rozměr jako původní proměnná. Na obr. je ukázán vztah

mezi turbulentní veličinou a směrodatnou odchylkou, která může být vysvětlena jako

vzdálenost původních dat od průměru. Proto je používána k odhadu intenzity turbulence

jako bezrozměrné veličiny definované


139

aI as

=( 14.3.5)

Ve statistice je kovariance mezi dvěma proměnnými definovaná jako

( )( ) ( )( ) babaN

bbaaN

baarN

iii

N

iii ¢¢=¢¢=--= åå

-

=

-

=

1

0

1

0

11),(cov( 14.3.6)

Kovariance určuje stupeň závislosti mezi dvěma veličinami. Někdy je užitečné používat

bezrozměrnou kovarianci jako lineární korelační koeficient

baab

barss

¢¢=

( 14.3.7)

Tato veličina je v absolutní hodnotě menší než 1. Jeli rovna 1, pak veličiny jsou korelovány,

jeli rovna -1, pak jsou opačně korelovány. Veličiny, které spolu vůbec nesouvisejí, mají r=0.

Příloha - Příloha - rozklad v Taylorovu řadu

140

15. Příloha - rozklad v Taylorovu řadu15.1. Definování problému

Modelovou rovnicí přenosu je linearizovaná jednorozměrná rovnice s konvektivním a

difúzním členem, zapsaná v konzervativním tvaru [16]

( )2

2

xxu

t ¶z¶a

¶z¶

¶z¶

+-=

÷÷ø

öççè

æ+=

xu

xu

xu

¶z¶

¶¶z

¶z¶ ..

( 15.1.1)

nebo v nekonzervativním tvaru

2

2

xxu

t ¶z¶a

¶z¶

¶z¶

+-=( 15.1.2)

kde

z - je vírová funkce nebo jakákoliv jiná skalární veličina (T,z )

a - je zobecněný koeficient difúze

u - je linearizovaná rychlost konvekce.

Jestli se neřekne jinak, tak u je konstantní vzhledem k souřadnici x, ačkoliv rovnice může být

užita k zkoumání stability i v případě, že rychlost u je funkcí x, tj. u=u(x).

15.2. Taylorův rozvojZákladní diferenční schemata se získají použitím rozkladu v Taylorovu řadu. Použije

se pravoúhlá síť dle obr. 15.1.

obr. 15.1 Definice sítě

Index i odpovídá xD , n odpovídá časovému kroku tD . Předpokládá se, že funkce f a její

derivace jsou spojité do potřebného řádu. Pak Taylorova řada pro směr x je

x L

t

i i+1i-1

n

n+1

n-1

Dx

Dt


141

( ) ( )

( )32

,2

2

,,

2,,1

,2

2

,,1,

,,1

021

...21

xxx

fxxff

xxx

fxxxfff

ninini

ninini

ninini

nini

D+D÷÷ø

öççè

æ+D÷

øö

çèæ+=

+-÷÷ø

öççè

æ+-÷

øö

çèæ+= +++

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

( 15.2.1)

eventuelně

( ) ( )

( )32

,2

2

,,

2,,1

,2

2

,,1,

,,1

021

...21

xxx

fxxff

xxx

fxxxfff

ninini

ninini

ninini

nini

D+D÷÷ø

öççè

æ+D÷

øö

çèæ-=

+-÷÷ø

öççè

æ+-÷

øö

çèæ-= ---

¶¶

¶¶

¶¶

¶¶

( 15.2.2)

a je zřejmé, že má o řád vyšší přesnost. Nyní se odvodí diferenční aproximace pro druhou

derivaci sečtením ( 15.2.1) a ( 15.2.2)

)(02 42

,2

2

,,1,1 xxx

ffffni

ninini D+D÷÷ø

öççè

æ+=+ -+ ¶

¶

Z toho

( )2

,2

2,,1

,

021 xx

xf

xff

xf

ni

nini

ni

D+D÷÷ø

öççè

æ-

D-

=÷øö

çèæ -

¶¶

¶¶

( 15.2.3)

nebo méně přesně

( )xx

ffxf nini

ni

D+D

-=÷

øö

çèæ + 0,,1

,¶¶

( 15.2.4)

Tedy pro první derivaci při diferenční aproximaci vpřed dle ( 15.2.4) se dostane

xff

xf nini

ni D-

=÷øö

çèæ + ,,1

,¶¶

( 15.2.5)

Jestliže se použije Taylorova rozvoje (C.2.2), dostane se pro první derivaci

diferenční aproximace vzad

xff

xf nini

ni D-

=÷øö

çèæ - ,1,

,¶¶ ( 15.2.6)

Tzv. centrální diferenční aproximace první derivace se získá jako rozdíl rozkladů

(C.2.1) a (C.2.2) a

( )2,1,1

,

02

xxff

xf nini

ni

D+D-

=÷øö

çèæ -+

¶¶

Tedy centrální diference první derivace je

xff

xf nini

ni D-

=÷øö

çèæ -+

2,1,1

,¶¶ ( 15.2.7)


142

2,,1,1

,2

2 2x

fffx

f ninini

ni D-+

=÷÷ø

öççè

æ -+

¶¶ ( 15.2.8)

s řádem přesnosti ( )20 xD . Podobný postup platí pro nezávislou proměnnou y a poloviční

krokD Dx t2 2

, atd. Pokud se použije centrální diferenční aproximace na modelovou rovnici

(C.1.2), získá se

2,,1,1,1,11,1, 2

2.

.2 xxuu

tninininininini

D-+

+D-

-=D- -+-+-+ zzz

azzzz ( 15.2.9)

kde lze explicitně vyjádřit z in+1 pomocí hodnot na předchozím časovém kroku n. Ale lze

dokázat, že toto schema je pro Dt ñ ñ0 a 0a nestabilní, tzn. že přivádí k vzniku chaotických

řešení nemajících vztah k diferenciální rovnici. Jestliže místo centrálních diferencí v

nestacionárním členu se použije diferenční schema vpřed, je:

2,,1,1,1,1,1, 2

2 xxuu

tninininininini

D-+

+D-

-=D

- -+-++ zzza

zzzz (15.2.10)

Takové schema se nazývá schema FTCS (Forward Time Central Space). Lze dokázat, že

toto schema je stabilní alespoň při omezujících podmínkách na Dt, u, a a Dx. Při užití

diferencí vpřed i vzad (upwind) na prostorovou první derivaci lze získat schéma stabilní vždy.

Číslo skladové: 2308 300

Určeno pro posluchače: 1. r. nav. mgr. FS

Autor:Milada Kozubková, doc. RNDr., CSc.

Katedra, institut:hydromechaniky ahydraulických zařízení

338

Název:Modelování proudění tekutin,FLUENT, CFX

Místo, rok, vydání: Ostrava, 2008, 1. vydání

Počet stran 153

Vydala:

VŠB – TECHNICKÁ UNIVERZITA

OSTRAVA17. listopadu 15/2172708 33 Ostrava-Poruba

Výroba:katedra hydromechaniky ahydraulických zařízení

Náklad: 20 CD

Tématická skupina: 17

Documents

Modelování proudění tekutin FLUENT, CFXvýuce a při užití software Fluent a CFX. Numerické modelování mnoha fyzikálních jevů je úzce spojeno s modelováním určité