Modelowanie za pomocą więzów w dziedzinach skończonych

1

Modelowanie za pomocą więzów Modelowanie za pomocą więzów w dziedzinach skończonychw dziedzinach skończonych

2

Modelling wth Finite DomainsModelling wth Finite Domains

Domains and Labelling Complex Constraints Labelling Different Problem Modellings Example: Scheduling

3

Dziedziny i wyliczanieDziedziny i wyliczanie

Musimy definiować dziedziny zmiennych arytmetyczne X :: [1,2,3,4] or X :: [1..4]

niearytmetyczne X :: [red, blue, yellow] wiele zmiennych [X,Y,Z] :: [0..10]

Gdy dziedzina nieokreślona wybieramy pewien zasięg (np [-10000..10000]

4

Przykłady dziedzinPrzykłady dziedzin

Zapytanie dla problemu plecakowego:

[W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9,

15*W + 10*P + 7*C >= 30.

CLP(FD) odpowiada unknown.

Jak znaleźć rozwiązanie?

Utworzyć zupełny (nawracający) solwer

D W D P D C( ) [ .. ], ( ) [ .. ], ( ) [ .. ] 0 2 0 3 0 4

5

WyliczanieWyliczanie

Wbudowany predykat labeling daje możliwość utworzenia zupełnego solwera

labeling(Vs) bierze listę zmiennych FD Vs i znajduje rozwiązanie

[W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9,

15*W + 10*P + 7*C >= 30, labeling([W,P,C]).

Ma rozwiązanie:W P C W P C

W P C W P C

0 1 3 0 3 0

1 1 1 2 0 0

6

Ogranicz i generujOgranicz i generuj

Typowa postać programu FD defininiujemy zmienne i dziedziny podane są więzy modelujące program ,,uzupełnianie’’ za pomocą wyliczania

Można zastosować minimalizację do predykatu labelling

[W,P,C] :: [0..9], 4*W + 3*P + 2*C <= 9,

15*W + 10*P + 7*C >= 30,

minimize(labeling([W,P,C]), -15*W-10*P-7*C).

7

Send+More=Money. PrzykładSend+More=Money. PrzykładS E N D

M O R E

M O N E Y

Problem kryptoarytmetyczny, każda cyfra inna i zachodzi równaniesmm(S,E,N,D,M,O,R,Y) :-

[S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9],constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y),labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y]).

constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y) :-S != 0, M != 0, alldifferent_neq([S,E,N,D,M,O,R,Y]), 1000*S + 100*E + 10*N + D+ 1000*M + 100*O + 10*R + E= 10000*M + 1000*O + 100*R + 10*E + Y.

8

Send+More=Money. PrzykładSend+More=Money. Przykład

Po deklaracji dziedzin:D S D E D N D D D M D O D R D Y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ .. ] 0 9

Po mamy alldifferent_neq dodaje nierówn. (bez zmian)ostatecznie: (jedna reguła propagacji)

S M 0 0 D S D M( ) ( ) [ .. ] 1 9

MD S D E D D D R

D O D N D Y

1

9

91

9000

1

9000

1

9001

10

1

100

1

9000

max( , ) max( , ) max( , ) max( , )

min( , ) min( , ) min( , )

Dla bieżącej dziedziny:M 9

9

91 9

9000

9

9000

9

900

0

10

0

100

0

9000 1102.

9

Send+More=Money. PrzykładSend+More=Money. Przykład

Zatem D(M) = [1..1]Propagacja trwa dalej dając

D S D E D N D D

D M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

9 9 4 7 8 2 8

1 1 0 0 2 8 2 9

3 zmienne ustalone, wszyskie dziedziny zmniejszone

labelling próbuje S=0, S=1, ..., S=8 (zawodzą) następnie S=9. Potem E=0, E=1, E=2, E=3 (zawodzą) i E=4 (w końcu też zawodzi), następnie E=5 daje

D S D E D N D D

D M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [8.. ] ( ) [ .. ]

9 9 5 6 6 7 7

1 1 0 0 8 2 2

10

Generuj i testujGeneruj i testuj

Metodologia bez więzów:

generuj rozwiązanie i sprawdź je

smm(S,E,N,D,M,O,R,Y) :-[S,E,N,D,M,O,R,Y] :: [0..9],labeling([S,E,N,D,M,O,R,Y]),constrain(S,E,N,D,M,O,R,Y).

Ten program wymaga 95671082 wyborów przed znalezieniem rozwiązania, poprzedni jedynie 35 (z tego dwa nie dawały bezpośredniego nawrotu)

11

Złożone więzyZłożone więzy

Złożone więzy: alldifferent, cumulative i element

Bardziej zwięzłe modele Lepsza propagacja = większa efektywność Zamieńmy w przykładzie

alldifferent_neq([S,E,N,D,M,O,R,Y]) alldifferent([S,E,N,D,M,O,R,Y])

12


L F S

--5 5

10 stopowa huśtawka, Liz, Fi i Sarah chcą usiąść w równowadze, w odległości co najmniej 3 stóp. Ważą 9,8,4 czegoś tam.

apart(X,Y,N) :- X >= Y + N.apart(X,Y,N) :- Y >= X + N.

[L,F,S] :: [-5..5], 9*L + 8*F + 4*S = 0,apart(L,F,3), apart(L,S,3), apart(F,S,3),labeling([L,F,S)]

13


L F S

--5 5

Każda dziewczynka to pudełko o szerokości 3 wkładana do pudełka o szer 13

Pasuje do więzu cumulative--5 7

sarah fi liz[L,F,S] :: [-5..5], 9*L + 8*F + 4*S = 0,cumulative([L,F,S],[3,3,3],[1,1,1],1)labeling([L,F,S)]

14


Labelling może być zaprogramowany w CLP(FD) za pomocą wbudowanych predykatów dom(V,D) lista wartości D w bieżącej dziedzinie V maxdomain(V,M) maksymalna wartość M zm V mindomain(V,M) bieżca minimalna wartość M zm V

labeling([]).labeling([V|Vs]) :- indomain(V), labeling(Vs).

indomain(V) :- dom(V,D), member(V,D).

15


Wykorzystuje bierzące wartości dziedziny Przykład (Send-More-Money)

D S D E D N D D

D M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

9 9 4 7 8 2 8

1 1 0 0 2 8 2 9

Labelling próbuje S=9. potem E=4 (zawodzi w końcu), potem E=5 co dajeD S D E D N D D

D M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [8.. ] ( ) [ .. ]

9 9 5 6 6 7 7

1 1 0 0 8 2 2

Labelling dodadje N=6, D=7, M=1, O=0, R=9 i Y=2, i kończy z sukcesem

16


Dwa wybory w labelling którą zmienną wyliczamy na początku kolejność próbowanych wartości

Domyślny labelling sprawdza zmienne w kolejności z listy wartości od min do max

Możemy zaprogramować inne strategie

17

Wybór zmiennychWybór zmiennych

Wybór zmiennych wpływa na wielkość drz. wypr. Wybieramy zmienną o najmniejszej bieżącej

dziedzinie Przykład

D S D E D N D D

D M D O D R D Y

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [5.. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

9 9 4 7 8 2 8

1 1 0 0 2 8 2 9

Labelling najpierw bierze S, M, O (nic nie trzeba robić), potem E lub N. Lepiej niż Y jako pierwsza

18

Wyliczanie First-FailWyliczanie First-Fail

labelingff([]).labelingff(Vs) :- deleteff(Vs,V,R),

indomain(V), labelingff(R).

deleteff([V0|Vs],V,R) :- getsize(V0,S), minsize(Vs,S,V0,V,R)).

minsize([],_,V,V,[]).minsize([V1|Vs],S0,V0,V,[V0|R]) :-

getsize(V1,S1), S1 < S0,minsize(Vs,S1,V1,V,R).

minsize([V1|Vs],S0,V0,V,[V1|R]) :-getsize(V1,S1), S1 >= S0,minsize(Vs,S0,V0,V,R).

19

Wyliczanie First-FailWyliczanie First-Fail

labellingff wylicza najpierw wartości zmiennej o najmniejszej dziedzinie

minsize(Vs,S0,V0,V,R) znajduje wśród zmiennych Vs zmiennąr V o mnajmniejszej dziedzinie z najmniejzzą var V0 i rozmiarze S0, R to reszta zmiennych.

Zastosowanie zasady first-fail Aby wygrać, próbuj najpierw to, gdzie najłatwiej

przegrać”

20

Wybór wartości zmiennychWybór wartości zmiennych

Wybór wartości wpływa na porządek eksploracji gałęzi drzewa

Stosując wiedzę specyficzną problemowi można szybciej dojść do rozw.

Ważne dla optymalizacji dobre rozwiązanie szybko redukuje potem

przestrzeń przeszukiwań

21

N-hetmanówN-hetmanów

Q1 Q2 Q3 Q4

1

2

3

4

Problem umieszczenia N hetmanów na szachownicy NxN

Dla dużych N w rozwiązaniach wartości bardziej ,,środkowe’’

22

Porządek Middle-OutPorządek Middle-Out

indomain_mid(V) :- ordervalues(V,L), member(V,L).

ordervalues(V,L) :-dom(V,D), length(D,N), H = N//2,halvelist(H,D,[],F,S), merge(S,F,L).

halvelist(0,L2,L1,L1,L2).halvelist(N,[E|R],L0,L1,L2) :-

N >= 1, N1 = N - 1,halvelist(N1,R,[E|L0],L1,L2).

merge([],L,L).merge([X|L1],L2,[X|L3]) :- merge(L2,L1,L3).

23

Porządek Middle-OutPorządek Middle-Out

indomain_mid(V) próbuje wartości z dziedziny poczynając od środka

ordervalues tworzy uporządkowaną listę wartości

halvelist dzieli listę na dwie części, pierwszą odwraca

merge(L1,L2,L3) przeplata listy L1, L2 aby otrzymać L3

24

Efektywność wyliczaniaEfektywność wyliczania

Możemy jednocześnie użyć porządkowania zmiennych i wartości

10--19

30--39

50--59

70--79

1

10

100

1000

10000

Default

First-fail

Middleout

Rożna liczba wyborów w różnych zasięgach

25

Dzielenie dziedzinDzielenie dziedzin

Labelling to nie musi być przypisywanie zmiennym wartości

Należy zmniejszać dziedziny zmiennych Domain splitting rozdwaja dziedzinę

bieżącej zmiennej

26


labelingsplt([]).labelingsplt([V|Vs]) :-

mindomain(V,Min), maxdomain(V,Max),(Min = Max -> NVs = Vs; Mid = (Min+Max)//2,

labelsplt(V,Mid)append(Vs,[V],NVs)

),labelingsplt(NVs).

labelsplt(V,M) :- V <= M,.labelsplt(V,M) :- V >= M+1.

27


labelingsplt rekurencyjnie dzieli dziedziny zmiennych na połówki, aż każda stanie się jednopunktowa. Gdy Min=Max the zmienną usuwa się z listy, w przeciwnym wypadku dzieli się ją i daje na koniec listy zmiennych do podziałut.

labelsplt(V,M) zdecydyj, czy V ma bycr <= czy => od M

28

Jeden problem - różne modeleJeden problem - różne modele

Różne spojrzenia na problem dają różne modele

Inny modell = inne zbiory zmiennych W zależności od właściwości solwera

modele mogą dawać szybciej wynik Być może trzeba sprawdzić empirycznie

29

Rożne modeleRożne modele

Problem optymalizacyjny: 4 robotników w1,w2,w3,w4 i 4 produkty p1,p2,p3,p4. Przypisz robotników produktom aby zysk był >= 19

p p p p

w

w

w

w

1 2 3 4

1 7 1 3 4

2 8 2 5 1

3 4 3 7 2

4 3 1 6 3

Macierz zysków:

30

Model z badań operacyjnychModel z badań operacyjnych

p p p p

w

w

w

w

1 2 3 4

1 7 1 3 4

2 8 2 5 1

3 4 3 7 2

4 3 1 6 3

16 zmiennych logicznych Bij, każda mówi, że robotnik i jest przypisany do produktu j

i ijj

j ijj

B

B

P

B B B B

B B B B

B B B B

B B B B

P

14

1

4

14

1

4

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

1

1

7 3 4

8 2 5

4 3 7 2

3 6 3

19

11 więzów baz.

28 wyborów, by znaleźć 4 rozwiązania

B23

31

Lepszy modelLepszy model

Używamy więzów złożonych. Zmienne W1,W2,W3,W4 odpowiadają robotnikom

p p p p

w

w

w

w

1 2 3 4

1 7 1 3 4

2 8 2 5 1

3 4 3 7 2

4 3 1 6 3

alldifferent W W W W

element W WP

element W WP

element W WP

element W WP

P WP WP WP WP

P

([ , , , ])

( ,[ , , , ], )

( ,[8, , , ], )

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

1 2 3 4

1 7 1 3 4 1

2 2 5 1 2

3 4 3 7 2 3

4 3 1 6 3 4

1 2 3 4

19

7 więzów bazowych

14 wyborów

W1

W2

W3

W4

1 2 3 4

32

Inny modelInny model

Zmienne T1,T2,T3,T4 odpowiadające produktom.

p p p p

w

w

w

w

1 2 3 4

1 7 1 3 4

2 8 2 5 1

3 4 3 7 2

4 3 1 6 3

alldifferent T T T T

element T TP

element T TP

element T TP

element T TP

P TP TP TP TP

P

([ , , , ])

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

1 2 3 4

1 7 8 4 3 1

2 1 2 31 2

3 3 5 7 6 3

4 4 1 2 3 4

1 2 3 4

19

7 więzów bazowych

7 wyborów

1

2

3

4

T1 T2 T3 T4

33

Porównywanie modeliPorównywanie modeli

Różnice w efektywności pochodzą z bardziej bezpośredniego użycia więzów bazowych mniejszej ilości zmiennych zwykle wymaga sprawdzenia

Inne kryteria: łatwość wprowadzania dod. ogr. np.. Robotnik 3 pracuje nad produktem > niż rob. 2

B B

B B

B B B

B B B B

31 24

32 21

33 21 22

34 21 22 23

0 0

W W3 2 ?????

34

Łączenie modeliŁączenie modeli

Można łączyć modele wyrażając relację pomiędzy zmiennymi z różnych modeli

np. B13 = 1 oznacza W1 = 3, co oznacza T3 = 1 potencjalnie lepsza propagacja dla łączonych

modeli założymy istnienie więzu bazowego

iff(V1,D1,V2,D2), który oznacza V1=D1 iff V2=D2

35

Modele łączoneModele łączonealldifferent T T T T

element T TP

element T TP

element T TP

element T TP

P TP TP TP TP

([ , , , ])

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

1 2 3 4

1 7 8 4 3 1

2 1 2 31 2

3 3 5 7 6 3

4 4 1 2 3 4

1 2 3 4

alldifferent W W W W

element W WP

element W WP

element W WP

element W WP

P WP WP WP WP

P

([ , , , ])

( ,[ , , , ], )

( ,[8, , , ], )

( ,[ , , , ], )

( ,[ , , , ], )

1 2 3 4

1 7 1 3 4 1

2 2 5 1 2

3 4 3 7 2 3

4 3 1 6 3 4

1 2 3 4

19

iff W T iff W T iff W T iff W T



( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , ,

11 11 1 2 2 1 1 3 31 1 4 4 1

2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 4 4 2

31 1 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 4 4

, )

( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

3

4 1 1 4 4 2 2 4 4 3 3 4 4 4 4 4


39 prim. constraints. 5 choices to find all solutions

36

Przykład: przydzielaniePrzykład: przydzielanie Dany zbiór zadań

zależności czasowe (koniec jednego przed pocz. Innego)

i dzielone zasoby (zadania na tej samej maszynie) zaplanuj zadania, aby

więzy były spełnione czas pracy był minimalny

Na początku pytamy, czy się da w zadanym czasie

37

Przykładowe danePrzykładowe daneTasks and P recedences

job : j6d u ra tion : 4

m ach in e : m 2

E n d


m ach in e : m 1

S tag e B


m ach in e : m 2

S tag e A


m ach in e : m 1


m ach in e : m 2


m ach in e : m 1

S ta rt

Dane to lista zadań:

task(name,duration,[names],machine)

[task(j1,3,[],m1), task(j2,8,[],m1),

task(j3,8,[j4,j5],m1),

task(j4,6,[],m2),

task(j5,3,[j1],m2),

task(j6,4,[j1],m2)]

38

ProgramProgram

Plan programu Definicja zmiennych: makejobs

Variables: początek każdego zadania association list: job(name,duration,StartVar)

Zależności czasowe: precedences Więzy maszynowe: machines Wyliczanie: labeltasks

bierze zmienne z job list oraz label

39

ProgramProgram

schedule(Data,End,Jobs) :-makejobs(Data, Jobs, End),precedences(Data, Jobs),machines(Data, Jobs),labeltasks(Jobs).

makejobs([],[],_).makejobs([task(N,D,_,_)|Ts],

[job(N,D,TS)|Js], End) :-TS :: [0..1000], TS + D <= End,makejobs(Ts,Js,End).

getjob(JL,N,D,TS) :- member(job(N,D,TS),JL).

40

Zależności czasoweZależności czasowe

precedences([],_).precedences([task(N,_,P,_)|Ts],JL) :-

getjob(JL,N,_,TS),prectask(P,TS,JL),prececedences(Ts,JL).

prectask([],_,_).prectask([N|Ns],TS0,JL),

getjob(JL,N,D,TS1),TS1 + D <= TS0,prectask(Ns,TS0,JL).

41

MaszynyMaszyny

machines([],_).machines([task(N,_,_,M)|Ts],JL) :-

getjob(JL,N,D,TS),machtask(Ts,M,D,TS,JL),machines(Ts,JL).

machtask([],_,_,_,_).machtask([task(N,_,_,M1)|Ts],M0,D0,TS0,JL):-

(M1 = M0 -> getjob(JL,N,D1,TS1), exclude(D0,TS0,D1,TS1)

; true),machtask(Ts,M0,D0,TS0,JL).

exclude(_,TS0,D1,TS1) :- D1 + TS1 <= TS0.exclude(D0,TS0,_,TS1) :- D0 + TS0 <= TS1.

42

Wykonywanie programuWykonywanie programu

End=20, schedule(problem, End, JL).

makejobs: tworzy listę zadań i więzy

[job(j1,3,TS1),job(j2,8,TS2),job(j3,8,TS3), job(j4,6,TS4),job(j5,3,TS5),job(j6,4,TS6)]

0 1 1 3 20 0 2 2 8 20

0 3 3 8 20 0 4 4 6 20

0 5 5 3 20 0 6 6 4 20

TS TS TS TS

TS TS TS TS

TS TS TS TS

Początkowe dziedziny:D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 17 2 0 12 3 0 12

4 0 14 5 0 17 6 0 16

43

Wykonywanie programuWykonywanie programu

precedences: dodaje więzy, zmienia dziedziny

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 6 2 0 12 3 6 12

4 0 6 5 3 9 6 3 16

TS TS TS TS TS TS TS TS1 3 5 1 3 6 4 6 3 5 3 3

machines: dodaje punkty wyboru, zmienia dziedziny

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 4 3 12 12

4 6 6 5 3 3 6 12 16

TS TS TS TS TS TS TS TS2 8 1 1 3 2 3 8 1 1 3 3

44


Pierwsza z brzegu wartość dla każdej zmiennej.

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 3 3 12 12

4 6 6 5 3 3 6 12 12

Znalezione rozwiązanie!

45

Poprawianie programuPoprawianie programu

Informacja nadmiarowa Przypuśćmy, że t1, ..., tn to zadania do wykonania na

tej samej maszynie, które muszą być skończone przed t0

t0 must start after the sum of the durations added to the earliest start time

Oblicz poprzedników każdego zadania i dodaj extra więzy

Zmniejszona przestrzeń poszukiwań

TS TS TSn D Dn0 1 1 minimum({ , , })

46

Poprawianie programuPoprawianie programu

wiez cumulative może śłużyć do wyrażenia ograniczeń ,,maszynowych’’ cumulative([TS1,TS2,TS3],[3,8,8],[1,1,1],1) cumulative([TS4,TS5,TS6],[6,3,4],[1,1,1],1)

Nowa wersja machines Nie ma punktów wyboru. Wynik:

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 1 2 3 4 3 11 12

4 0 6 5 3 9 6 6 16

47

Metody wyliczaniaMetody wyliczania

Oryginalne sformułowanie: Picking the minimum value for each value must

be a solution. (default labelling is fine) Dla cumulative

Znajdź zadanie z minimalnym czasem startu albo umieść zadanie w tym momencie albo zabroń umieszczać w tej pozycji

Powtarzaj (jakie zadanie teraz ma najmniejszy czas)

48

Labelling the EarliestLabelling the Earliest

label_earliest([]).label_earliest([TS0|Ts]) :-

mindomain(TS0,M0),find_min(Ts,TS0,M0,TS,M,RTs),(TS = M, Rs=RTs ; TS != M, Rs=[TS0|Ts]),label_earliest(Rs).

find_min([],TS,M,TS,M,[]).find_min([TS1|Ts],TS0,M0,TS,M,RTs) :-

mindomain(TS1,M1),(M1 < M0 ->

M2=M1, TS2=TS1, RTs=[TS0|Rs]; M2=M0, TS2=TS0, RTs=[TS1|Rs]),find_min(Ts,TS2,M2,TS,M,Rs).

49

Labelling the EarliestLabelling the EarliestD TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 1 2 3 4 3 11 12

4 0 6 5 3 9 6 6 16

Label TS1 = 0

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 4 3 11 12

4 0 6 5 3 9 6 6 16

Label TS4 = 0

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 4 3 11 12

4 0 0 5 6 9 6 9 16

Label TS2 = 3

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 3 3 11 12

4 0 0 5 6 9 6 9 16

Label TS5 = 6

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 3 3 11 12

4 0 0 5 6 6 6 9 16

Label TS6 = 9

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 3 3 11 12

4 0 0 5 6 6 6 9 9

Label TS3 = 11

D TS D TS D TS

D TS D TS D TS

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

( ) [ .. ] ( ) [ .. ] ( ) [ .. ]

1 0 0 2 3 3 3 11 11

4 0 0 5 6 6 6 9 9

Rozwiązanie (minimalne)

50

Więzy reifikowaneWięzy reifikowane

Więz reifikowany c <=> B zmienną boolowską B z więzem bazowym c

Jeśli c to B = 1 Jeśli c nie zachodzi to B = 0 Propagacja w obu kierunkach Używane do budowania złożonych więzów

51

Więzy reifikowaneWięzy reifikowane

either(X,X1,X2) :-(X = X1 <=> B1),(X = X2 <=> B2),B1 + B2 >= 1.

either(A,C,E) D(A)={1,2}, D(C) ={3.4), D(E)={2,3}

wynik D(A)={2}, D(C) ={3.4), D(E)={2}

EABBCA 1201

52

53

54

Modelling with Finite Modelling with Finite Domains SummaryDomains Summary

Domains must be initialized Labelling to invoke a complete solver

Many strategies are possible Choice of variable Choice of value

Complex constraints can reduce search Problems usually have different modellings

of different efficiencies

Documents

Modelowanie za pomocą więzów w dziedzinach skończonych