MODERN LİSE EĞİTİMİNDE İLHAM VERİCİ BİR KAYNAK OLARAK İSTANBUL

İSLAM BİLİM VE TEKNOLOJİ TARİHİ MÜZESİ:

YANSIMA NOKTALARINI BULMAK İÇİN BİR ARAÇ

Henk Hietbrink

Önsöz

Bu kitapçık, Frankfurt ve İstanbul İslam Bilim ve Teknoloji Tarihi Müzesi’nde

sergilenen ve Batı Avrupa ile İslam dünyasının bilim geleneklerini birleştiren

olağanüstü bir araçla ilgilidir. Alhazen’in küresel aynalardaki ünlü yansıma

probleminin çözümü olarak Leonardo da Vinci tarafından tasarlanmıştır. Araç, bir

matematikçi ve bilim insanı tarafından ortaya atılan teorik bir probleme, zeki bir mucit

ve ressam tarafından pratik bir çözüm getirmektedir.

Leonardo da Vinci’nin el yazmaları arasında bir çizim ve notlar bulunmaktadır. Araç

hakkında ilk yayın Roberto Marcolongo tarafından 1930’larda ismi bilinmeyen bir

İtalyan dergisinde yapılır. Aracı yeniden ön plana çıkaran ve müze için model

oluşturan kişi Prof. Dr. Fuat Sezgin’dir. 2015 yılında, Prof. Dr. Fuat Sezgin İslam Bilim

Tarihi Araştırmaları Vakfı Yaz Okulu için İstanbul’da araç üzerine atölyeler geliştirdim.

O günden bu yana, Hollanda’da bu atölyeler defalarca yapıldı.

Bu kitapçık, gerçekleştirilen atölyelerin ardındaki hikayeyi anlatmakta ve atölye

malzemelerini ulaşılabilir hale getirmektedir. Gelecek yıllarda, İbnü’l-Heysem’in

deneyleri üzerine daha fazla atölye geliştirmeyi düşünüyorum.

Prof. Dr. Fuat Sezgin İslam Bilim Tarihi Araştırmaları Vakfı’na destekleri ve tüm

atölye katılımcılarına ilgileri ve faydalı yorumları için teşekkür etmek isterim. Bu

kitapçık, Prof. Dr. Fuat Sezgin’in anısına adanmıştır. E-kitap, Türkiye’de atölyemizin

tadını çıkaran tüm katılımcılarımız için bir hediyedir.

Bir Karton ve Dört Bağlantı Elemanıyla Aracın Oluşturulması

İslam Bilim ve Teknoloji Tarihi Müzesi, tarihi İstanbul’un kalbinde, Topkapı Sarayı’nın

bitişiğindeki Gülhane Parkı içerisinde yer almaktadır. Müzede tıp, denizcilik, optik,

astronomi ve matematik araçlarının ilgi çekici bir koleksiyonu bulunmaktadır. Bu, Orta

Çağ İslam Medeniyeti’nde insan yaratıcılığının harikulade bir koleksiyonudur.

Koleksiyon son derece bilimsel özenle belgelenmiştir. Katalog her bir obje için net

görüntüler ve tarihsel bilginin doğrulandığı bilimsel literatüre referanslar içerir. Katalog

farklı dillerde (Fransızca, Almanca, İngilizce ve Türkçe) ve ciltli kitaplardan oluşan

seriler halinde yayımlanmıştır. İngilizce ciltler pdf formatında

http://www.ibttm.org/ENG/ internet sitesinde mevcuttur.

Koleksiyon aynı zamanda İslam medeniyetinin etkisinin belirgin olduğu Batı

Avrupa’dan da nesneler içermektedir. Bunlardan birisi Leonardo Da Vinci(1452-

1519)’ye atfedilen bir araçtir. Bu araç, optikte “Alhazen(İbnü’l-Heysem, 965-1041)

problemi”ni, başka bir deyişle; nesnenin ve gözün konumu biliniyorsa o nesnenin

içbükey ya da dışbükey aynadaki yansımasını tespit etme problemini çözer. Araç,

modern pantograf ile ilgilidir. Bugün bilgisayar çağında bile bu araç hâlâ kullanışlı ve

öğreticidir.

Bu aracın çalışma prensibi temel fizik ve matematiğe dayanır. Problem ilginç, çözüm

ise beklenmedik ve şaşırtıcıdır. Araç, kes-çıkar kağıtlardan ve dört maşa raptiyesiyle

kolayca yapılabildiği için caziptir. Bu yüzden matematik, fizik ve sanatta pratik, çapraz

müfredatlı eğitici bir aktivite olması açısından uygundur. Bu aracın bronzdan yapılmış

modeli müzede sergilenmektedir. Aracın İngilizce katalogtan alınmış iki sayfasının

kopyalarını aşağıda görebilirsiniz.

Sezgin, F. (2010). İslam’da Bilim ve Teknoloji, C.3, s.185, Frankfurt am Main, Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften an der Johann Wolfgang Goethe-Universität

Yeni Atölyeler Geliştirmek İçin Araştırma

Geçtiğimiz yıllarda, Prof. Dr.Fuat Sezgin’i Johann Wolfgang Goethe Üniversitesi,

Frankfurt am Main’deki Arap-İslam Bilimleri Tarihi Enstitüsü’nde ziyaret etmek gibi

eşsiz bir fırsat yakaladım. Profesör Sezgin, beni, müzesindeki araçlarla ilgili yeni

atölyeler geliştirmem konusunda destekledi. Araçları incelememe, araçların detaylı

ölçümlerini yapmama ve her açıdan fotoğraflarını çekmeme izin verdi. Her ziyaretten

sonra eve yüzlerce fotoğraf, tarama ve fotokopilerle döndüm. Bu sayede, 70 TL’dan

daha az maliyeti olan hesaplı kopyalar oluşturabildim. Atölyelerimde yetişkin ve

çocuklardan oluşan katılımcıların dokunabileceği hatta deneyebileceği kartondan,

metalden ya da ahşaptan yapılmış, çok basit modeller kullanmaktayım. 2012 yılından

bu yana, Prof. Dr. Fuat Sezgin İslam Bilim Tarihi Araştırmaları Vakfı tarafından her yıl

düzenlenen, akademisyenlerin ve öğrencilerin katılmalarına, atölyelerini sunmalarına

ve fikir alışverişinde bulunmalarına olanak sağlayan İstanbul yaz okulunda

atölyelerimi sunmaktayım. 2016’dan bu yana ben ve Türk öğrencilerden oluşan

takımım, Bursa’da Turkish Airlines Science Expo’ya, Konya’da Bilim Şenliği’ne ve

Bursa Uludağ’da AstroFest’lere davet edildik.

Profesör Sezgin dil becerilerine çok önem verir ve benim mümkün olduğunca çok dil

öğrenmem gerektiği konusunda ısrar ederdi. Enstitü’de bulunan araçlar kataloğu

Almanca, Fransızca, İtalyanca, İspanyolca, Türkçe, Arapça ve İngilizce gibi çeşitli

dillerde yazılmış birçok kitap ve makaleye (ve tabii ki Latince ve Arapça yazılmış el

yazmalarına) referanslar içermektedir. Bu yüzden, tüm bu yabancı dillere hakim

olmaya çalıştım. Profesör Sezgin, bu referanslara göz atmamı tembih etti. Bana

otoriteye güvenmememi ve başkaları tarafından düzenlenmiş sonuçları

kopyalamamamı, bunun yerine kendi çalışmalarımla ve araçların modellerini kendim

yaparak bir şeyleri doğrulamam gerektiğini söyledi. Da Vinci’ye atfedilen bu araç için

izleri kaynağına kadar takip ettim ve her zamanki gibi şaşırtıcı sürprizlerle karşılaştım.

Bence İstanbul Müzesi’ndeki her aracın hikayesi henüz tamamen açığa

çıkarılamadığı için kayda değerdir. İslami bilimsel mirasın geniş bir kitle tarafından

bilinmesi Profesör Sezgin’in misyonuydu. Araçlar üzerine atölyelere katılmak ve

atölyeler geliştirmek bu amaca katkıda bulunmanın bir yoludur.

Farklı Alanlarda Aynı Problem

Şimdi de, Leonardo da Vinci tarafından yapılan araçla çözüme kavuşan “Alhazen

problemi”ni ana hatlarıyla ele alacağım. Aslında, bu bir optik problemidir. Fakat,

optikle alakası olmayan başka eşdeğer yollarla da ifade edilebilir. Burada aynı

problem dört farklı şekilde dile getirilmiştir.

1. Topu almadan önce yuvarlak yüzme havuzunun kenarına dokunmak zorunda

olduğu kuralına uyan bir yüzücü şöyle söylerdi:

“Benim konumum ve topun konumu verildiğinde, yüzme mesafesini en aza

indirgemek için nereye dokunmalıyım?”

2. Bir fizikçi, ışık kaynağının ve gözlemcinin gözünün konumunun bilindiği içbükey

ya da dışbükey bir ayna verildiğinde:

“Hangi noktalarda göz, ışık kaynağını görecek?” derdi.

“Noktalar” sözcüğünün çoğul olduğuna dikkat ediniz. Bu, İbnü’l-Heysem’in

problemi ortaya koyduğu yoldur.

3. Bir sporcu:

“Yuvarlak bir bilardo masasında, ıstaka topunun ve hedef topunun konumu

verildiğinde ıstaka topu bilardo bandına bir kez çarptıktan sonra hedef topuna

çarpması için bilardo bandında nereye doğru vurmanız gerektiğini..” sorardı.

4. Bir matematikçi:

“Göz ve ışık kaynağı olarak işaretlenen iki noktalı bir düzlem verildiğinde ve

verilen bir çemberde (ya da daha genel olarak bir eğride) çemberin ya da eğrinin

teğetiyle gözden eğri üzerindeki noktaya uzanan çizgi arasındaki açının, aynı

teğetle ışık kaynağından eğri üzerindeki noktaya uzanan çizgi arasındaki açıya

eşit olduğunu” söylerdi.

Problemin tüm ifadelerinde temel unsur, geliş açısının yansıma açısına eşit olmak

zorunda olduğunu belirten kuraldır. Çemberin birçok güzel özelliğinden dolayı ve

çember üzerindeki noktaları bulmak yeterince zor olduğu için, 19. 'uncu yüzyıla kadar

geometride en çok çembersel nesnelerle ilgilenildi. Bu makale, problemin optik

versiyonuyla ilgilidir. Fakat, okuyucu farklı bir yaklaşımı seçmekte özgürdür.

Tarihçe

Bu problemin tarihçesi yüzyıllar öncesine dayanır. Astronomi alanındaki eseri

Almagest ile ünlenen Batlamyus, Optics adlı eserinde bu problemin özel bir durumu

hakkında yazmıştır. 11.’inci yy.’da İbnü’l-Heysem (965-1041), özgün ve kapsamlı bir

yolla yansıma hakkında yazmıştır. Işık ışınlarının nesneden gözümüze ulaştığını

deneylerle göstermiştir. Bu bize aşikar gelebilir. Fakat, onun ataları, gözün nesneleri

tarayan ışınlar yaydığı fikrine takılı kalmışlardı. İbnü’l-Heysem için gözlerimizi açar

açmaz gözümüzden yayılacak bir şeyin tüm evreni doldurmaya yetebildiğini

zannetmek çok tuhaftı. Optik adlı harika eserinde, İbnü’l-Heysem, düz aynaların

yanında silindirik, küresel ve diğer içbükey ve dışbükey aynalardaki ışık ışınlarının

yansımalarını inceledi. “Alhazen Problemi”ne genel bir çözüm buldu. Fakat, onun

çözümünü bugün anlamamız kolay olmayacaktır. Kendi zamanının Arapça’sını

kullandığı ve üçgenler, çemberler ve oranlara dayalı uzun ve birbirini izleyen ispatlar

kullandığı için, problemi bize göre zor olabilecek bir geometrik yolla tartıştı. 12. yy’da,

Optik adlı eseri Latince’ye çevrildi ve adı, al-Hasan ibn el-Heysem’den Alhazen ya da

Alhacen olarak Avrupalılaştırıldı. Modern Batılı akademisyenlerin yansımalardaki

noktaları bulma hakkındaki problemi “Alhazen Problemi” olarak adlandırmalarındaki

sebep de budur. Problemin kendisi ve tarihçesi hakkında daha fazla bilgi için

[Nazif,1942], [Lohne, 1970], [Bode, 1983], [Sabra, 1985] ve [Smith, 2006]’ya bakınız.

Kamal al-Din Hasan ibn Ali ibn Hasan al-Farisi. (1309) Tanqīḥ al-manāẓer, MS Istanbul, Topkapı Kütüphanesi

Risner, F. (1572). Opticae Thesaurus Alhazeni Arabis …

Lise Öğrencileri İçin Önemi

Problemin birkaç yönü lise öğrencileri için oldukça önemlidir ve öğrencilerin bilim

tarihi hakkında bir şeyler öğrenmeleri gereklidir. Batlamyus, İbnü’l-Heysem ve Da

Vinci isimleri onlara yabancı gelebilir fakat bu alimlerin incelediği problemler,

öğrencilerin günlük hayatlarıyla ilişkilendirilebilir. Böylelikle, öğrencilere optiğin

eskiden olduğu kadar günümüzde de büyüleyici ve hatta gizemli bir bilim olduğu

gösterilebilir. Bu bilim Orta Çağ İslam alimleri (el-Ala ibn Sehl, İbnü’l Heysem,

Kemaleddin el-Farisi) tarafından doğru bir şekilde açıklanana kadar yüzyıllar boyunca

anlaşılmayan gökkuşakları ve kırılma gibi olaylarla ilgilenmiştir. Öğrenciler bilimsel

bilginin gelişiminin Antik Yunan döneminde başladığını, Orta Çağ İslam

medeniyetinde devam ettiğini ve asıl ilerlemenin 16. ve 17. yüzyıllarda gerçekleştiği

Avrupa’ya onuncu yüzyıldan hemen sonra yavaşça girdiğini öğreneceklerdir.

Öğrenciler günümüzde cebir öğreniyorlar. Hiç cebir olmadan, ileri geometriyle dolu bir

matematik dünyası hayal etmek onlar için zor. Cebir, Orta Çağ İslam geleneğinde de

çalışıldı ve Viète (1540-1603) ve Descartes(1596-1650) gibi cebirin Avrupa’daki

babalarını etkiledi. Bu hikayede Leonardo da Vinci de önemlidir. Kendisi bir

matematik dehası değildi. Fakat, Alhazen problemine orijinal, sanatsal bir çözüm

bulmuştu. Nihayetinde, Roberto Marcolongo(1862-1943)’nun Leonardo da Vinci’nin

icadını nasıl popülerleştirdiğini görmek büyüleyici.

İbnü’l-Heysem ve Işık Işınları

İbnü’l-Heysem, 965 yılında, bugün Irak sınırlarında bulunan Basra’da doğmuş ve

1041 yılı civarında yaşamını noktalamıştır. Matematik, optik ve astronomi gibi birçok

alanda yazılar yazmıştır. İbnü’l- Heysem, Batlamyus’tan bu yana optik alanında

büyük adımlar atan ilk bilim insanı olarak, bu alandaki buluşlarından dolayı

övülmüştür. Yüzyıllar sonra, optikle ilgili de çalışmalarda bulunan Johannes Kepler,

Willibrord Snell, Isaac Beeckman, Thomas Harriot ve Christiaan Huygens gibi ilim

adamları, İbnü’l Heysem’in eserlerindeki matematiksel derinliği takdir etmiş ve onu

önemli bir öncü olarak görmüşlerdir.

Smith’e [Smith, 2006, p. xvii] göre “Alhazen deneyi (eşit açılar prensibini kanıtlamak)

kullanılan araçlar ve kavramsal çerçeve bakımından Batlamyus’u ışık yılları ölçeğinde

aşmıştır” ve o “belirli bir obje noktasından belirli bir görüş merkezine yansıyacak

ışınımın içbükey ya da dışbükey küresel ayna yüzeyinde tam olarak nerede olduğunu

saptamak” gibi büyük bir adım atmıştır.

Batlamyus, problemi el almakla birlikte, göz ve ışık kaynağının silindirik aynanın

merkezine aynı uzaklıkta olduğu daha basit durumlarla kendisini sınırlandırmıştır.

Göz ve ışığın merkeze aynı uzaklıkta olmadığı genel durum ise çok daha zor ve

karışık bir konudur. İbnü’l-Heysem bunu pratik deneyler, konik kesitler ve kesin

matematik kanıtların yardımıyla çözmüştür.

Işık olgusu ve biz insanların nesneleri gözleriyle nasıl gözlemlediği olgusu basit

değildir. Günümüzde ders kitapları ve eğitici filmler gibi kaynaklar sayesinde bu

konular hakkında bilgi sahibi olmak oldukça kolay iken, birçok problemi kendi başına

çözmek zorunda kalan İbnü’l-Heysem’in zamanında bu kaynaklar bulunmamaktaydı.

Dahası, İbnü’l-Heysem yerleşik inançlara karşı çıkmak zorunda kaldı. Gözün çalışma

prensibi hâlâ bilinmiyordu ve müthiş derecede pürüzsüz aynalar o zamanlar lükstü.

Silindirik ya da konik aynaları elde etmek hiç kolay değildi.

İbnü’l-Heysem, ışık ışınlarının gözümüze nesneden düz çizgiler halinde ulaştığı fikrini

öne sürdü. Ayrıca, geliş açısının yansıma açısına eşit olduğunu belirterek yansıma

yasasını ortaya koydu. Ancak, onun tam olarak – örneğin; ışık, sudan havaya ya da

havadan suya geçiş yaptığında yön değişimini belirleyen - kırılma kanununu tam

olarak bildiğini söyleyemeyiz. Halbuki, bu kanun birkaç yıl önce İbn Sahl tarafından

anlaşılmıştı ve 17. yy’da Avrupa’da Snell ve Descartes tarafından bağımsız olarak

yeniden keşfedildi.

Nazif [Nazif 1942] İbnü’l-Heysem’in Optik adlı eserinin el yazmalarını inceledi. Arap

dilinde etkileyici bir uyarlama ve yorum yazdı. İbnü’l-Heysem’in ne tür deneyler

yaptığını anlamamıza yardım eden şekiller ekledi. Profesör Sezgin, Nazif’in kitaplarını

çoğalttı ve bu çizimlere dayalı bir çalışan bir düzenek yaptırdı. Profesör Sezgin,

Nazif’in kitaplarını çoğalttı ve bu çizimlere dayalı çalışan bir düzenek kurdu. Bu

düzeneğin videosunun da olmasını sağladı. İlgilenen herkes Youtube’da Profesör

Sezgin’in videolarını izleyebilir. Bu videolar sayesinde, İbnü’l-Heysem gibi İslam

alimlerinin bilime katkıları dolayısıyla övgüyü hak ettikleri hemen anlaşılmaktadır.

Nazif (1942) al-Hasan Ibn al-Haytham Buhuthuhu wa-Kushufuhu l-Basariya

Sezgin: Işığın Yansımayı Gözlemlemeye yarayan Apparatus videosu

Leonardo da Vinci tersten yazılmış ve ancak ayna yardımıyla okunabilen yazı yazdı, Codex Atlanticusfolio 495r

Çalışmalar

Birçok yazar, 16. ve 17.yy.’da, gökkuşağı olgusunu açıklamak, yansıma ve kırılmayı

anlamak ve ışığın doğasını incelemek istedi. Aynı zamanda Alhazen’in çember

problemine de zaman ayırdılar. Descartes, Barrow, Huygens, Sluse, Newton ve

diğerleri de problemi ya da problem hakkındaki özel durumları çözmek için geometri

ve cebir kullandılar. 21.yy.’da A.I.Sabra, M.Schramm, ve A.M.Smith gibi tarihçiler

köklere dönerek, Arapça veya Latince olan kaynakları yenide düzenleyerek yazdılar

ve İbnü’l-Heysem’in yazılarını anlamaya çalıştılar. Aynı yüzyıllarda P.Bode ve

J.A.Lohne gibi matematikçiler genel durumu olduğu kadar özel durumları da açığa

kavuşturmak için modern matematik ve geometriyi birlikte uygulamışlardır.

Leonardo da Vinci

Leonardo da Vinci’ye atfedilen ve Alhazen’in çember için problemini çözmek için icat

edilen araç İstanbul İslam Bilim ve Teknoloji Tarihi Müzesi’nde sergilenmektedir.

Leonardo da Vinci muazzam bir hayal gücüne sahip çok yönlü bir kişiydi. O bir

ressam ve bir mucitti. Onun taslak defterleri teknik ve matematik çizimleriyle doludur.

Çalışmaları dünyaca ünlüdür ve defalarca yayınlanmıştır. Da Vinci’nin taslak

defterlerine http://www.leonardodigitale.com adresinden ulaşmak mümkündür. Taslak

defterlerinden bir tanesi “Codex Atlanticus” olarak adlandırılan bir el yazmasıdır. Bu

el yazmasının 495. folyosunun rektosunda (açık bir kitabın sağ sayfası) icat ettiği

araç vasıtasıyla konik aynada nesnelerin yansımasını nasıl saptayabildiğini

belirtmiştir.

Marcolongo

Da Vinci’nin çizim aracının İstanbul müzesindeki versiyonu, İtalyan klasik mekanik ve

matematik profesörü olan Roberto Marcolongo’nun analizine göre tasarlanmıştır.

Marcolongo, mekanik araçlar hakkında pek çok yazı yazdı ve Leonardo da Vinci

tarafından icat edilenler onun özel ilgisini çekiyordu. Önceki sayfadaki figür, Da

Vinci’nin orijinal çizimini, sonraki sayfadaki figür ise Marcolongo’nun uyarlamasını

göstermektedir. İki figür arasında benzerlikler ve farklılıklar bulunmaktadır.

Marcolongo’nun uyarlaması öğretici olmasından dolayı oldukça kullanışlıdır. Fakat,

Marcolongo’nun Da Vinci’nin orijinal fikrinin üzerinde değişiklikler yaptığını keşfettik.

Leonardo da Vinci Codex Atlanticus, folio 495r

Marcolongo (1937) Lo strumento inventato da Leonardo da Vinci per la risoluzione del problema di Alhazen

Marcolongo’nun aracı, iki kolunun çembere teğet olduğu yerde eşit açılar oluşturur ve

bariz bir şekilde bir eşkenar dörtgen içerir. Leonardo’nun fikrinde daha gelişigüzel bir

dörtgen oluşmaktadır. Uçurtma şeklindeki figür, yalnızca yansıma noktaları

bulunduktan sonra ortaya çıkar. Marcolongo, Da Vinci’nin “Codex Atlanticus”taki

orijinal metninin bir kopyasını vermiştir. Bu metin internet sitesinde de bulunmaktadır.

Modern Türkçe’de Da Vinci’nin metni aşağıdaki gibi izah edebilir:

Metin ve çizim A,B,C,D,F,G,M,N,O,S ve T olarak işaretlenen açılar ya da

noktalardan bahseder.

Bir araç yardımıyla yansıma açısını yaklaşık olarak bulmak istiyoruz.

Yansıma açısı noktası O’nun ve geliş açısı noktası T’nin ONM çemberinin içinde

olduklarını varsayalım. A noktası ışık kaynağı ve B noktası gözdür. O noktası

birisinin ışık kaynağının görüntüsünü gördüğü yerdir ve aynı zamanda istenilen

açı noktasıdır.

DF’yi temsil etmek için ahşap ince bir çubuk alın. Genişliği bir insanın parmağının

yarısı kadardır. Çubukta dar bir delik bulunmaktadır. ONM çemberinin C

merkezine, DF çubuğundaki delikle uyumlu olacak şekilde bir raptiye yerleştirin.

D noktasında, aynı boyutta daha küçük iki çubuğu birleştirin. Bu çubukları BD ve

DS olarak adlandırın. Şerit BD çubuğunu B ucundaki iğneye, göze sabitleyin.

DS çubuğuna S noktasında başka bir çubuk daha ekleyin ve buna SG deyin. Bu

çubukta da bir delik olsun. A noktasına , SG çubuğuna oturacak şekilde bir raptiye

yerleştirin.

SG noktasının sonu olan G noktasını alın ve A kutbu (ışık kaynağının konumu)

etrafında yukarı aşağı hareket ettirin. Çubukların birleşme noktası ONM

çemberinin çevresinde olacak şekilde, iki şeridi de doğru noktaya getirmek biraz

çaba gerektirebilir.

Folyo 495 R ‘nin Transkripsiyonu http://www.leonardodigitale.com/

GeoGebra Animasyonu https://www.geogebra.org/m/vyn3wmvd

Da Vinci, yapısı nedeniyle SBDO dörtgeninin istenilen özelliklere sahip olduğu

sonucuna varır. O noktasındaki açılar birbirine eşit, OB ve OS kenarları da birbirine

eşittir. BD ve DS kenarlarına da eşit olabilirler fakat bu gerekli değildir.

Ancak, Da Vinci’nin daha kesin olmasını ve daha çok kelime kullanmasını isterdik.

Yazıda çember merkezinin adından bahsetmemiştir. Fakat, çiziminde bu merkezin

adı C noktası olarak işaretlenmiştir. Bu çemberi kasten çizmesine rağmen, yazıda, S

noktasının B içinden geçen C merkezi etrafındaki çemberde olması gerektiğini

belirten ikinci ön koşuldan bahsetmiyor. S noktası ve ONM çemberinin C merkezi

arasına, merkez C noktası ve B noktası arasındaki arduvaz ya da kirişle aynı boyutta

olacak bir arduvaz ya da kiriş önermemektedir. Yansıma noktasının doğru konumunu

bulmak için böyle bir ekleme olması durumu daha da kolaylaştırabilirdi. Sonuç olarak,

gerçekleştirilen çizime göre CB, CS’ye eşittir.

Matematiksel Kanıt

Çizime göre, CB CS’ye ve BD DS’ye eşit olduğunda, CBDS dörtgeni uçurtma

şeklindedir. Bu nedenle, CBD ve CSD üçgenleri benzerdir ki bu BDO açısının SDO

açısına eşit olduğu anlamına gelmektedir. OBD ve OSD üçgenleri, D ortak

noktasında eşit açı ve kenarları olduğu için de benzerdir. Bu yüzden, tüm yöndeş

açılar eşittir. Bu da DOS açısının DOB açısına eşit olduğu anlamına gelmektedir.

Küresel aynada FD normali teğete diktir. Bundan dolayı, OA (A ışık kaynağı) ve teğet

arasındaki ve OB (B göz) ve teğet arasındaki açılar da birbirine eşittir. Sonuç olarak,

Leonardo’nun çizimi geliş açısının yansıma açısına eşit olduğunu kesinleştirmektedir!

Da Vinci’ye Karşı Marcolongo

Böylece, Marcolongo eşkenar dörtgen içeren bir araç tasarlarken, Da Vinci’nin aracı

bir uçurtma oluşturmaktadır. Bu nedenle; “Marcolongo, Da Vinci’nin orijinal

fikirlerinden ilham alarak yeni bir araç geliştirmiştir” diyebiliriz. Dahası, iki araç

arasında çarpıcı bir fark vardır: Da Vinci çizimine, Margolongo’nun sadece sağ

boşlukta bir yerde olmasını talep ettiği göz noktası olan B’den başlamıştır.

Aracın Derslerde Kullanımı

İdeal olarak, her atölyenin kısa bir giriş kısmı vardır. Her atölyede 10 dakika

içerisinde herkesin çalışmaya başlaması öngörülür. Kes-çıkar ve görevler (sonraki

sayfaya bakınız) PDF olarak http://fransvanschooten.nl/alhazen.htm internet

sitesinde mevcuttur. Biz atölyemizde Marcolongo’nun uygulamasını tercih ettik.

Aynaya teğet çizgisini ekledik. Bu sayede, katılımcılar muhtemelen aracın ne

yaptığının daha kolay farkına varacaklardır yani geliş açısının yansıma açısına eşit

olduğundan emin olmak!

Lise geometrisi ile çizimin amacına ulaştığını kanıtlamak kolaydır: Işık kaynağından

gelen ışınla teğet arasındaki açı, gözlemcinin gözüne yansıma noktasından gelen

ışın ve teğet arasındaki açıya eşittir. Aracın parçalarını bir araya getirmek biraz dikkat

ve açıklama gerektirebilir. Araç temelde şu parçalardan oluşmaktadır; sabitlenmiş bir

çarpı ve hareket ettirilebilir bir eşkenar dörtgen. Dairesel bir ayna durumunda, artı

işaretinin bir ekseni dairenin yarıçapının yönüne karşılık gelir. Diğer eksen, teğet

çizgisine karşılık gelir. Eşkenar dörtgen, kollar ve eksenin bir araya geldiği pirinç

bağlantı elemanları çok önemlidir. Pirinç bağlantı elemanı aynanın kenarına

yaslanmak zorundadır. Araç, bağlantı elemanı aynanın kenarında duracak şekilde

konumlandırılmalıdır ki böylece bir kol boşluğunda göz ve diğerindeyse ışık kaynağı

görünür.

Kes-çıkar çalışma kağıdı.

Atölye katılımcılarına bir kes-çıkar çalışma kağıdı, makas, dört tane maşa raptiye ve araç parçalarını birleştirmek için bir yapışkan bant gereklidir. Ayrıca, A3 boyutunda basılmış üç alıştırma kağıdı da gereklidir.

Dairesel ayna durumunda diğer eksen dairenin yarıçapı ile çakışmaktadır. Bağlantı

elemanı şimdi doğru yerde bulunmaktadır: yansıma noktası.

Araç, düz aynalarda ve her türlü içbükey ve dışbükey dairesel, eliptik ve parabolik

aynalarda görevini gerçekleştirir. Dışbükey aynalar olması durumunda, göz ve nesne

aynanın dışındadır. Ayrıca, kızaklı mil çemberin yarıçapına denk gelir. Geniş

çemberlerde mil, merkezi gösterir. Dışbükey aynalar durumunda, eşkenar dörtgen

çemberin dışında konumlandırılmıştır. Göz ve nesne deliğe doğru düşebilir ya da

deliğin doğru uzantılarındadır. İçbükey aynalar olması halinde, göz ve nesne ayna

içinde ve eşkenar dörtgen ayna dışındadır.

Tabii ki, araç düz aynalar için de uygundur. Bu durumda, teğet çizgisini ayna boyunca

hareket ettirirsiniz ve eşkenar dörtgeni bir bacağın deliğinde göz, diğer bacağın

deliğindeyse ışık kaynağı görünecek şekilde ayarlarsınız. Eliptik bir ayna olması

durumunda teğet çizgisinin prensibi yansıma noktalarını bulmaya yardım etmektir.

Ancak, sütun, artık elipsin merkezini göstermemektedir. Teğet ekseninin eğriye doğru

bir şekilde yerleştirildiğinden emin olmak için, keskin bir göze ihtiyaç vardır. Daha

önce bahseldiği üzere, bazı deneme yanılmalar gereklidir. Fakat, bu yöntem İbnü’l-

Heysem’in karmaşık geometri tartışmalarından ya da Huygens’in analitik geometri ve

hatta cebirinden bile daha hızlıdır.

Alıştırmalar

Aşağıda bir atölye ya da sınıf için üç tane alıştırma görebilirsiniz. Her birinde amaç,

gözün ışık kaynağını göreceği ayna üzerindeki yansıma noktalarını bulmaktır.

Yanıtlar bu metnin sonunda bulunmaktadır.

Locus

İbnü’l-Heysem problemin içbükey aynada yaklaşık dört çözümü olduğunu ve kesin

sayının göz ve ışık kaynağının konumuna bağlı olduğunu fark etmişti. Geometri

eğitiminde kullanılan özel bir yazılım olan GeoGebra ile farklı çözümleri

görselleştirmek mümkündür. GeoGebra’nın özelliği, iki açının eşit olduğu tüm

noktalarda ilgili bir locus göstermek için kullanılabilmesidir. Locus, yansıma açısının

geliş açısına eşit olmasını gerektiren noktalarda ayna ile kesişir. Locus’un bazı

durumlarda oldukça güzel şekillendiğini fark edeceksinizdir.

Geometride locus, belirli gereksinimleri karşılayan noktaların toplamıdır. Burada

locus, verilen merkez C, ışık kaynağı A ve göz B için, locusun üzerindeki her bir L

noktası için, merkez C ve L noktası arasındaki düz çizgi; göz B’den L noktasına

çizilen düz çizgiyle, ışık kaynağı A’dan L noktasına çizilen düz çizgiyle oluşturulan

açının açıortayıdır. Belirli bir çemberin yarıçapının dahil edilmediğini unutmayın. Aynı

C merkezli belirli bir çember için, istenilen yansıma noktaları açıkça locus’un o

çemberle kesişim noktalarıdır.

Locus’un noktalardan nasıl oluşturulacağını anlamak kolaydır. Merkez boyunca her

düz çizgideki locus üzerinde bir nokta oluşturacağız. Merkezden gelişigüzel bir düz

çizgi seçin, ışık kaynağının noktasını o düz çizgide yansıtın, yansıtılan o nokta ve göz

noktası arasında ikinci bir düz çizgi çizin ve merkezden gelen ilk çizgiyle kesiştirmek

için çizgiyi uzatın: kesişim noktası locus’un bir noktasıdır. Kesişim noktasında,

merkezdeki düz çizgi, iki düz çizgiyi göz ve ışık kaynağı olarak böler. Şimdi locus,

merkezden geçen tüm çizgiler için bu kesişimlerinin oluşturduğu kümedir. Her biri

yukarıda belirtilen iki açının eşit olduğu koşulunu sağlar. Eğer locus aynı merkezli bir

daireyle kesişirse, geliş açısı ve yansıma açısı eşit olur.

Tüm locus’ları el yordamıyla nokta nokta oluşturmak çok uğraştırıcıdır, fakat

GeoGebra gibi araçlar bu konuda çok yardımcı olmaktadır. Göz, ışık kaynağı ya da

çemberin merkez noktaları birisi tarafından değiştirildiği anda, GeoGebra derhal

locus’u günceller. Eğer, çemberin yarıçapı belirtilmişse, yansıma noktaları da derhal

oluşturulur.

GeoGebra Animasyonu

http://fransvanschooten.nl/alhazen.htm linkinden ulaşabileceğiniz web sayfamda

öğretmenler ve öğrenciler için Geogebra animasyonu ücretsiz olarak bulunmaktadır.

Bir ayna türü (doğrusal,dairesel, eliptik ya da parabolik), göz ve ışık kaynağı

konumunu seçebilirsiniz; dairesel aynalar için locusu inceleyebilir, aracı sorgulayabilir

ve tüm çözümleri bulmayı deneyebilirsiniz. Yarıçapın ucundaki noktayı çember

üzerinde hareket ettirebilir ve locusun izini görebilirsiniz. Locusun döngüsü olan güzel

bir şekil haline gelebilir. Çok geçmeden en az iki, en fazla dört çözüm olduğu ortaya

çıkar. Aşağıda üç farklı şekil için locus’taki nokta yapısının örneklerini görebilirsiniz.

Soldaki örnekte locus aynayı dört kez kesen döngülü bir locus’tur. Bu, gözün ışık

kaynağını bu dört noktada göreceği anlamına gelir. Ortadaki örnek daha karmaşık

görünen bir locus’tur ancak sadece iki olası sonucu vardır. Sağdaki örnekte daha

küçük bir döngü görebilirsiniz. Bu durumda gözün ışık kaynağını görebileceği

yalnızca iki nokta vardır.

Şimdiye kadar yalnızca ilk yansımanın noktaları düşünüldü. Gerçek hayatta ışık

kaynağı birçok kez yansıtılabilir. Bilardo açısından söylemek gerekirse; ıstaka topu

hedefteki topa çarpmadan önce, bilardo bandına birçok kez değebilir.

İkinci Alıştırmanın Çözümü

Aşağıda içbükey dairesel aynanın çözümünü bulabilirsiniz. Locus eğrisi dört çözüm

olduğunu zaten ortaya çıkarmıştır. Fakat, her birinde gösterilen ışık ışınlarıyla,

insanlar, geliş açısının yansıma açısına gerçekten de eşit olduğuna daha çok ikna

olacaklardır.

Bu dairesel ayna, gözün bu konumu ve ışık kaynağının bu konumunda, her biri

locus’un ve çemberin kesişme noktasında olan dört çözüm vardır.

Matematiksel Açıklamalar

Bu yazının başında yansıma problemi dört farklı şekilde ifade edilmişti. Bunlardan bir

tanesi uzaklığı minimalize etmekle ilgiliydi:

Topu almadan önce yuvarlak yüzme havuzunun kenarına dokunmak zorunda olduğu

kuralına uyan bir yüzücü şöyle söylerdi: “Benim konumum ve topun konumu

verildiğinde, yüzme mesafesini en aza indirgemek için nereye dokunmalıyım?”

Yukarıdaki örnekte bu dört noktadan yalnızca bir tanesi gerçekten en az

mesafededir, diğeri yerel minimum ve diğer iki nokta da yerel maksimumdur.

Sonuç

Gerçek bir sanatçı olan Leonardo da Vinci, böyle bir sonuçtan kesinlikle memnun

kalırdı. İbnü’l-Heysem ve Christiaan Huygens, iki matematikçi, gerçek bir

matematiksel kanıt talep ederdi. Onlar yansıma noktalarının deneme yanılma yoluyla

değil, kesin olarak tespit edilebileceği yapıları tercih ettiler. Katı matematiksel kanıtları

arzu ederlerdi. Lise öğrencilerinin çoğu için İbnü’l-Heysem ve Huygens’in matematik

seviyeleri fazla iddialı olmasına karşın Leonardo da Vinci’nin uygulaması cazip

olacaktır. Öğrenciler, aslında dört çözüm olabileceğine kesinlikle şaşıracaklardır. İleri

düzeydeki öğrenciler açıortaylar ve eğriler üzerinde çalışabilirler. GeoGebra gibi

araçları kullanarak, kendileri locus oluşturabilirler. Diğer öğrenciler hazır

animasyonları incelemeyi tercih edebilirler. Her koşulda, tüm öğrenciler İslam ve

Avrupa geleneğini uzunca süre meşgul eden bir probleme aşina olacaklardır.

Atölyenin sonunda, optikteki matematiksel karmaşıklığı ve Arap-İslam geleneğinin

bilim ve teknolojiye kattıkları değerli bilgilerin önemini kavrayacaklardır.

GeoGebra ve Youtube

GeoGebra animasyonları ve YouTube videolarına aşağıdaki linklerden ulaşabilirsiniz:

Ibn al-Haytham https://www.youtube.com/watch?v=6BPIChM4o1I

Leonardo da Vinci https://www.geogebra.org/m/vyn3wmvd

Marcolongo https://www.geogebra.org/m/dYH6KqcN

Kaynaklar

Kaynakların tam sıralı listesi http://fransvanschooten.nl/alhazen.htm adresinde

mevcuttur.

Bode, P. (1893). Die Alhazensche Spiegelaufgabe in ihrer historischen

Entwicklung, In: Jahresberichtdes Physikalischen Vereins, 1891-1892, pp. 63-

107. Frankfurt am Main. (Reprinted in F. Sezgin, ed., Islamic Mathematics and

Astronomy, vol 57, pp. 66-110, Frankfurt: Institut für Geschichte der Arabisch-

Islamischen Wissenschaften, 1998)

Lohne (1970). Alhazens Spiegelproblem In: Nordisk Matematisk Tidskrift, vol 18,

pp 5-35. Oslo: Dansk Matematisk Forening.

Marcolongo, R. (1928). Lo strumento inventato da Leonardo da Vinci per la

risoluzione del problemadi Alhazen. Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli (3a) vol

34, 22-24.

Marcolongo, R. (1937). Memorie Sulla Geometria e la meccanica di Leonardo Da

Vinci. Napoli, Stabilimento Industrie Editoriali Meridionali (Reprinted with

additions in F. Sezgin., ed., Islamic Mathematics and Astronomy, vol 58,

Frankfurt: Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften,

1998.)

Nazif, M. (1942/3). Al-Hasan Ibn al-Haytham, Buhuthuhu wa-Kushufuhu l-

Basariya, Cairo, (Reprinted in F. Sezgin, ed., Natural Sciences In Islam, vol

35/36, Frankfurt: Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen

Wissenschaften, 2001)

Piantanida, S. ea. (1955). Leonardo Da Vinci. Das Lebensbild eines Genies,

Wiesbaden-Berlin, Vollmer.

Sabra, A.I. (1981) Ibn al-Haytham, In: Dictionary of Scientific Biogray, Vol 6 pp

189-210.

Sabra, A.I. (1982). Ibn al-Haytham's Lemmas for Solving "Alhazen's Problem" In:

Archive for History of Exact Sciences, Vol. 26, No. 4 (1982), pp. 299-324.

Sezgin, F. (2010). Science and technology in Islam, vol 3 pp 185, Frankfurt am

Main, Institut für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften an der

Johann Wolfgang Goethe-Universität.

Smith, A,M. (2006). Alhacen on the Principles of Reflection: A critical edition with

English translation and commentary, of Books 4 and 5 of Alhacen's "De

aspectibus", the Medieval Latin Version of Ibn al-Haytham's "Kitab al-Manazir" In:

Transactions of the American Philosophical Society, Philadelphia, 2 vols.

Çeviri ve Atölye Rehberliği

Türkiye’den katılan öğrencilerden oluşan

ekibimiz sayesinde İstanbul, Bursa ve

Konya’da atölyeler gerçekleştirme fırsatı

bulduk. Bu metnin İngilizce’den

Türkçe’ye çevirisi bu ekip tarafından

yapıldı. Çekirdek ekip Kübra Konya,

Ayça Turan ve Nakiye Güventürk’ten

oluşmaktadır. Öğrencilere ve

öğretmenlere güneş saati, usturlab,

yansıma ve geometri hakkında

eğitimlerin gerçekleştirilmesinde

desteklerini esirgemedikleri, Bursa Bilim

ve Teknoloji Merkezi ile Konya Bilim

Merkezi’ne davetleri ve bizleri evlerinde

ağırladıları için teşekkürlerimi sunarım.

Henk Hietbrink, İslam’da teknoloji ve

bilim tarihiyle ilgilenen bir matematikçidir.

Prof. Dr. Fuat Sezgin İslam Bilim Tarihi

Araştırmaları Vakfı Yaz Okulu’nda,

Bursa’da düzenlenen Turkish Airlines

Bilim Şenliği’nde ve Uludağ’da

düzenlenen AstroFest’te ve Konya’da

düzenlenen Bilim Şenliği’nde atölyelerini

gerçekleştirmektedir. Henk Hietbrink’in

son projeleri güneş saati, usturlab ve

çizim araçları üzerinedir.

İletişim : hietbrink.h@planet.nl

www.henkhietbrink.nl