Modèles stochastiques

Modèle de file d’attente

Systè

1. Structu

me de file

re de

d'att

base

ente

clients

servisPopulation file

d'attenteservice

clients

entrants

Population: La population constitue la source de clients potentiels. Elle est

caractérisée par son nombre d'élément (fini ou infini).

File d'attente: La file d'attente est caractérisée par le nombre maximum permis

de clients en attente (fini ou infini)

Clients: Les clients (issus de la population) se joignent au système avec un

taux moyen d'arrivée.

Service: Le service peut être assuré par un ou plusieurs serveurs. Le temps

qui s'écoule entre le début et la fin de service d'un client est dénoté

le temps de service suivant une distribution de probabilité. Donc le

taux de service est une autre caractéristique du système.

Systè

1. Structu

me de file

re de

d'att

base

ente

clients

servisPopulation file

d'attenteservice

clients

entrants

Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué

exponentiellement

Le temps de service es

t aussi dis

Hypo

trib

ué expo

thè

nen

t iell

e

ses:

ment

Stratégie de: La stratégie de service réfère à l'ordre selon laquelle les clients

service sont servis: premier arrivé premier servi, au hasard, selon des

priorité, K

( )

Probabilité d'avoir clients dans le système au temps

Nombre de serveurs

Taux moyen d'arrivée (espérance mathématique

Terminologie et notation

du nombre d'arrivées

:

n

n

P t n t

s

λ

=

=

=

par unité de temps) de nouveaux clients dans le système lorsque clients

sont dans le système

Paramètre définissant la distribution exponentielle des arrivées lorsque

n

clients sont dans le système

1 Temps moyen entre les arrivées lorsque clients sont dans le système

Taux moyen de service d'un client lorsque clients sont dans le système

n

n

n

n

n

λ

µ

=

=

Paramètre définissant la distribution exponentielle du service d'un client

lorsque clients sont dans le système

1 Temps moyen de service d'un client lorsque clients sont dans le sys

n

n

nµ

= tème

Quand nous commençons à analyser un système de file d'attente, l'état de ce

dernier dépend beaucoup de l'état initial et du temps écoulé. Nous disons alors

que le système est e tn r s anitua sitotion ire, et son étude est alors très complexe.

C'est pourquoi dans la théorie des files d'attente, nous préférons faire l'étude une

fois que le système a atteint sa situation d' où les états du système sont

essentiellement indépenda

équil

ntes

ibre

de l'état initial et du temps déjà écoulé.

On suppose en quelque sorte que le système est en opération depuis un

très long moment.

( )

Probabilité qu'il y ait clients dans le système

Nombre moye

Notation et terminologie lorsque la situation d'équilibre tie

n espérance mathématique de client dans le système

Nombr

n

e

t:

moyen de

n

q

P n

L

L

=

=

= ( )client dans la file d'attente excluant ceux dans le service

Temps moyen dans le système

Temps moyen dans la file (excluant le temps de service)

Nombre de serveurs

q

W

W

s

=

=

=

( )

Alors

n

n

q n

n s

L nP

L n s P≥

=

= −

∑

∑

( )

De plus, définissons

taux moyen d'arrivée

Par les formules de Little

n n

n

q q

P

L W

L W

λ λ

λ

λ

=

=

=

∑

Donc, essentiellement il faut d'abord déterminer les

pour compléter l'étude d'une file d'attentenP

2. Processus de naissance et de mort

Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué

exponentiellement

Le temps de service es

t aussi dis

Hypo

trib

ué expo

thè

nen

t iell

e

ses:

ment

processus de naissance et de

Sous les hypothèse précédentes, une file d'attente peut être vu comme un

naissance arrivée du client

mort départ du client du systè

mor

me r

t:

ap è

↔

↔ s son service

Naissance Le temps s'écoulant entre deux naissances consécutives

Dans le processus

est di

de naissance et de mort:

stribué exponentielleme

Hyp. 1:

Hy

nt

p. 2:

↔

Mort Le temps s'écoulant entre deux morts consécutives

est aussi dist

Chaque transition à partir de l'état

ribué exponent

est de typHyp. 3 e

i

:

ell

eme

n

t

n

n

↔

→ ( ) ( ) ( ) ( )1 une seule naissance ou 1 une seule mortn n n+ → −

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n

λ − 1nλ − n

λ

1nµ − n

µ 1nµ +3µ2µ1µ

Taux moyen de naissance lorsque personnes sont dans le système

Taux moyen de mort lorsque personnes sont dans le systèmen

n

n

n

λ

µ

=

=

L

Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de

Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide

des et .n n

λ µ

{ }0

0

MAIS les suivantes donne un système d'équations plus

facile à résoudre pour identifier les :

équations d'équilib

0, ,

re

1

j

M

j j i ij

ii j

M

j

j

q q j M

π

π π

π

=≠

=

= ∈

=

∑

∑

K

Interprétation intuitive:

: taux auquel le processus part de

puisque : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état

: taux de transition pour s

j j

j

j

q j

j

q

π

π

ortir de l'état étant donné que le

processus est dans l'état

: taux de passage de l'état à l'état

puisque : taux de transition de l'état à l'état

i ij

ij

j

j

q i j

q i

π

0

étant donné que le

processus est dans l'état

: taux de passage à l'état quelque soit l'état dans lequel se trouve

le processus

M

i ij

ii j

j

i

q j iπ=≠

∑

taux

Donc

de

il s'en

départ d

suit que

e = taux d'ar rivée àj j

Interprétation intuitive:

: taux auquel le processus part de

puisque : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état

: taux de transition pour s

j j

j

j

q j

j

q

π

π

ortir de l'état étant donné que le

processus est dans l'état

: taux de passage de l'état à l'état

puisque : taux de transition de l'état à l'état

i ij

ij

j

j

q i j

q i

π

0

étant donné que le

processus est dans l'état

: taux de passage à l'état quelque soit l'état dans lequel se trouve

le processus

M

i ij

ii j

j

i

q iπ=≠

∑

taux

Donc

de

il s'en

départ d

suit que

e = taux d'ar rivée àj j

Nous utilisons donc par la suite ces

É Q UA TION S DE BAL ANCE

ÉQUATIONS DE BA LANCE

{ }0

0

Équations d'équilibre

0, ,

1

M

j j i ij

ii j

M

j

j

q q j Mπ π

π

=≠

=

= ∈

=

∑

∑

K

0

Intensités de transiti n

.

oM

j ji

ij i

q q=≠

=∑

{ }

{ }

0 0 0

0 0

0

Remplaçons les valeurs des dans les équations d'équilibre:

0, ,

Donc les équations de balance deviennent

0, ,

1

j

M M M

j j i ij j ji i ij

i i ii j i j i j

M M

j ji i ij

i ii j i j

M

j

j

q

q q q q j M

q q j M

π π π π

π π

π

= = =≠ ≠ ≠

= =≠ ≠

=

= ⇔ = ∈

= ∈

=

∑ ∑ ∑

∑ ∑

∑

K

Ktaux de départ de = taux d'arrivée à j j

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n

λ − 1nλ − n

λ

1nµ − n

µ 1nµ +3µ2µ1µ

Taux moyen de naissance lorsque personnes sont dans le système

Taux moyen de mort lorsque personnes sont dans le systèmen

n

n

n

λ

µ

=

=

L

Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de

Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide

des et .n nλ µ

Nous pouvons donc appliquer les équations de balance

probabilit

pour déte

és à l'équ

rm

il

iner le

ibre

s

.n

P

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n

λ − 1nλ − n

λ

1nµ − n

µ 1nµ +3µ2µ1µ

L

Nous pouvons donc appliquer les équations de balance

probabilit

pour déte

és à l'équ

rm

il

iner le

ibre

s

.n

P

Équations de balance deviennent

0,1,2,

1

j ji i ij

i j i j

j

j

q q jπ π

π

≠ ≠

= =

=

∑ ∑

∑

K

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n

λ − 1nλ − n

λ

1nµ − n

µ 1nµ +3µ2µ1µ

L

Équations de balance deviennent

0,1,2,

1

j ji i ij

i j i j

j

j

q q jπ π

π

≠ ≠

= =

=

∑ ∑

∑

K

( )

0 1 1

1 1 1 1

Pour 0

Pour 1, 2,

o

n n n n n n n

n

P P

n

P P P

λ µ

λ µ λ µ− − + +

=

=

=

+ = +

K

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n

λ − 1nλ − n

λ

1nµ − n

µ 1nµ +3µ2µ1µ

L

( )

( )

( )

01 0

1

01 1 12 1 1 1 0 0 1 0

2 2 2 2 1

02 2 2 13 2 2 2 1 1 2 0

3 3 3 3 2 1

02 11 1 1 0

1 1 1 1 3 2 1

0

0

0

État

0

11

12

1n n n

n n n n n n n

n n n n

n

P P

P P P P P P

P P P P P P

n P P P P P P

λ

µ

λλ λ λµ λ

µ µ µ µ µ

λλ λ λ λµ λ

µ µ µ µ µ µ

λ λ λ λλ λµ λ

µ µ µ µ µ µ µ+ − −

+ + + +

=

= + − = =

= + − = =

= + − = =

1442443

1442443

M

K1442443

M

( )

0 1 1

1 1 1 1

Pour 0

Pour 1, 2,

o

n n n n n n n

n

P P

n

P P P

λ µ

λ µ λ µ− − + +

=

=

=

+ = +

K

( )1 1 11 1

1n

n n n n n n

n n

P P P Pλ

µ λµ µ

+ − −

+ +

⇔ = + −

1

00

1

Pour simplifier

1,2,

n

ii

n n

ii

P P nλ

µ

−

=

=

∏= =

∏

K

( )

( )

( )

01 0

1

01 1 12 1 1 1 0 0 1 0

2 2 2 2 1

02 2 2 13 2 2 2 1 1 2 0

3 3 3 3 2 1

02 11 1 1 0

1 1 1 1 3 2 1

0

0

0

État

0

11

12

1n n nn n n n n n n

n n n n

n

P P

P P P P P P

P P P P P P

n P P P P P P

λ

µ

λλ λ λµ λ

µ µ µ µ µ

λλ λ λ λµ λ

µ µ µ µ µ µ

λ λ λ λλ λµ λ

µ µ µ µ µ µ µ+ − −

+ + + +

=

= + − = =

= + − = =

= + − = =

1442443

1442443

M

K1442443

M

1

00

1

Pour simplifier

1, 2,

n

ii

n n

ii

P P nλ

µ

−

=

=

∏= =

∏

K

Équations de balance deviennent

0,1,2,

1

j ji i ij

i j i j

j

j

q q jπ π

π

≠ ≠

= =

=

∑ ∑

∑

K

0

1 1

0 00 0 0 0 1

1 1

1 1 0

1

1

Pour déterminer , nous utilisons

11 1

1

n n

i ii i

j n n nj n n

i i ii i i

n

ni

i

P

P P P P Pλ λ

µ µ λ

µ

− −

= =−

≥ ≥

= = =

≥

=

∏ ∏

= = + = + ⇔ = ∏ ∏ ∏

+∏

∑ ∑ ∑

∑

( )Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent

comme dans un

3. F

proc

ile d'attente infinie avec un

essus de naissance et de mort

serveur 1

où

: / 1

/s M M=

i.e., indépendants du nombre de clients dans le systèmen

n

n

n

λ λ

µ µ

≡ ∀

≡ ∀

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 1n − 1n +nL

λ λ λ λ λ λ

µ µ µµµµL

0 1

00

1

1

Alors

1 1

1

Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

1, et la progression géométrique

n n

ii

n n

ni

i

n

n

Pλλµ

µ

λ µ

λ

µ

λ

µ

−∞

==

≥

=

= = ∏ +

∏

<

∑∑

0

1

1λ

µ

∞

=

=

−∑

1

00

1

0 1

0

1

1

1, 2,

1

1

n

ii

n n

ii

n

ii

n

ni

i

P P n

P

λ

µ

λ

µ

−

=

=

−

=

≥

=

∏= =

∏

=

∏+

∏∑

K

Notons que la condition 1

assure que le système pout atteindre

l'équilibre. Autrement le système

explose!!

λ

µ<

0 1

01

1

1

Alors

1 1

1

Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

1, et la progression géométrique

n n

ii

n n

ni

i

n

n

Pλλµ

µ

λ µ

λ

µ

λ

µ

−∞

==

≥

=

= = ∏ +

∏

<

∑∑

1

1

1λ

µ

∞

=

=

−∑

0

Par conséquent,

11

1

1

Pλ

µλ

µ

= = −

−

1

00

1

0 1

0

1

1

1, 2,

1

1

n

ii

n n

ii

n

ii

n

ni

i

P P n

P

λ

µ

λ

µ

−

=

=

−

=

≥

=

∏= =

∏

=

∏+

∏∑

K

1

00 0

1

De plus

1

nn n

ii

n n

ii

P P Pλ λ λ λ

µ µ µµ

−

=

=

∏ = = = −

∏

0

Par conséquent,

11

1

1

Pλ

µλ

µ

= = −

−

( )

Il s'ensuit que

1 0,1,2,n

nP nρ ρ= − = K

Introduison la notion de facteur d'utilisation

représente en quelque sorte la proportion du temps que le serveur est occupé.

λρ

µ

ρ

=

( )

Il s'ensuit que

1 0,1,2,n

nP nρ ρ= − = K

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

0 0

1

0 0

0

a) Nombre moyen de clients dans

Calculons maintenant les caractéristiques de la fil

1

1 1

1

11

le systèm

e d'attente / /

e

1

1

n

n

n n

nn

n n

n

n

L nP n

dn

d

d

d

M M

d

d

ρ ρ

ρ ρ ρ ρ ρ ρρ

ρ ρ ρρ

ρ ρρ ρ

∞ ∞

= =

∞ ∞−

= =

∞

=

= = −

= − = −

= −

= −

−

∑ ∑

∑ ∑

∑

( )( )

2

11

1

1 1

ρ ρρ

λ

ρ λµλρ µ λµ

= −−

= = =− −−

( )

Il s'ensuit que

1 0,1,2,n

nP nρ ρ= − = K

( )

( )

( )

1

0 1

0

2

b) Nombre moyen de clients dans la file d'atte e

1

t

1

n

q n

n

n n

n n

L n P

nP P

L P

λ λ

µ λ µ

λ

µ µ λ

∞

=

∞ ∞

= =

= −

= −

= − −

= −−

=−

∑

∑ ∑

Lλ

µ λ=

−

( )

Il s'ensuit que

1 0,1,2,n

nP nρ ρ= − = K

0 0

c) Temps moyen pour un client dans le

1 1 puisque =

système

n n n

n n

L LW P P

λλ λ λ λ

λ λ µ λ λ µ λ

∞ ∞

= =

= = = = = = − −

∑ ∑

Lλ

µ λ=

− ( )

2

qL

λ

µ µ λ=

−

( ) ( )

2

d) Temps moyen pour un client dans la file d'

1

attente

q q

q

L LW

λ λ

λ λ µ µ λ λ µ µ λ= = = =

− −

Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent

comme dans un proce

4. File d'attente infini

ssus de naissance et de m

e avec s ser

ort où

v

eurs :

/ /

n

M M s

λ ≡

( )

1

2

3

1

chaque serveur a un taux de service de ,

mais le taux de service depend du nombre 2 de clients dans le système; si le nombre est

3 inférieur à seul un sous

1s

n

n

s

s

s n s

λ

µ

µ µ

µ µ

µ µ

µ µ

µ µ

−

∀

≡

≡ ≡ ≡ −

≡ ∀ ≥

M

-ensemble de serveurs

egal au nombre de clients sont actifs; si le nombre

de clients est superieur ou égal a , les

serveurs sont actifs

s s

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 1n − 1n +nL

λ λ λ λ λ λ

sµ sµ sµ3µ2µµL

Notons que la condition 1

assure que le système pout atteindre

l'équilibre. Autrement le système

explose!!

ss

λρ

µ= <

Dénotons le facteur d'utilisation comme suit:

1.s

s

ρ

λρ

µ= <

Équations de balance deviennent

0,1,2,

1

j ji i ij

i j i j

j

j

q q jπ π

π

≠ ≠

= =

=

∑ ∑

∑

K

S'appuyant sur les équations

de balance, nous pouvons

déterminer les probabilités n

P

( )

1

01

00

0

si 1!1

! ! 1

si 1! !

n

n s

s

n n

n s

P n sn

P Pn s

P s ns n s

λ

µλ λ

µ µ

ρ λ

µ

−

−

=

≤ ≤ = + = − + ≤

−

∑

( )

0

2! 1

1

1

s

s

q

s

q

q

q

q q

P

Ls

LW

W W

L W W L

λρ

µ

ρ

λ

µ

λλ λ

µ µ

=

−

=

= +

= = + = +

s! sn−s

( )Considérons la situation où le système a une capacité finie ; i.e., si le nombre

de clients dans l

5. F

e sys

ile d'attente finie avec 1 s

tème est , alors il ne peu

erveur

t entrer dans le

1 : / 1/

sy

/s M M

K

K

K

=

stème et il est

perdu.

Nous avons donc un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se

produisent comme dans un processus de naissance et de mort où

si 1

0 n

n Kλλ

≤ −=

si

si

0 si 1n

n K

n K

n K

µµ

≥

≤=

≥ +

Diagramme de transition entre les état s

0 1 2 2K − K1K −L

λ λ λ λ λ λ

µ µ µµµµ

0 1

00

1

1

1

0

Alors

1 1

1

Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

1, alors

1

1

n nK

K ii

n n

ni

i

K

nK

n

Pλλµ

µ

λ µ

λ

µ

λ

µλ

µ λ

µ

−

==

=

=

+

=

= = ∏ +

∏

<

− =

−

∑∑

∑

1

00

1

0 1

0

1

1

1, ,

1

1

n

ii

n n

ii

n

K ii

n

ni

i

P P n K

P

λ

µ

λ

µ

−

=

=

−

=

=

=

∏= =

∏

=

∏+

∏∑

K

Notons que la condition 1

assure que le système pout atteindre

l'équilibre. Autrement le système

explose!!

λ

µ<

0 1 1

Par conséquent,

11

11

où

K KP

λ

µ ρ

ρλ

µ

λρ

µ

+ +

−

− = =−

−

=

0 1

00

1

1

1

0

Alors

1 1

1

Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)

1, alors

1

1

n nK

K ii

n n

ni

i

K

nK

n

Pλλµ

µ

λ µ

λ

µ

λ

µλ

µ λ

µ

−

==

=

=

+

=

= = ∏ +

∏

<

− =

−

∑∑

∑

0 1 1

Par conséquent,

11

11

où

K KP

λ

µ ρ

ρλ

µ

λρ

µ

+ +

−

− = =−

−

=

1

00

1

0 1

0

1

1

1, ,

1

1

n

ii

n n

ii

n

ii

n

ni

i

P P n K

P

λ

µ

λ

µ

−

=

=

−

=

≥

=

∏= =

∏

=

∏+

∏∑

K

1

00 0 1

1

De plus, pour 1, ,

1

1

n

in ni

n n K

ii

n K

P P Pλ ρ

ρ ρρµ

−

=

+

=

=

∏ −= = =

−∏

K

( )

( ) ( )

1

10

01

Calculons maintenant les caractéristiques de la file d'attente /

1

1 1

1 1

/1 KK

n Kn

q

q n q

n

K LL nP W

LL n P L P W

M M

ρρ

ρ ρ λ

λ

+

+=

∞

=

+= = − =

− −

= − = − − =

∑

∑

1

Donc pour 0,1, ,

1

1n

n K

n K

Pρ

ρρ +

=

−=

−

K