Upload
achmad-sukmawijaya
View
1.035
Download
14
Embed Size (px)
Citation preview
MODUL VISISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
PRAYUDI
PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER
Persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel
yang tidak diketahui x1,x2,x3…., xn
yang dinyatakan dalam bentuk :
dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis.
Contoh Persamaan linier :(1). 2x1 + 4x2 = 10(2). 2x1 – 4x2 + 3x3 + 4x4 = 5
12211 ... bxaxaxa nn
Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk :
dimana x1, x2, …, xn disebut variabel
yang tidak diketahui, aij konstanta
koefisien sistem persamaan linier dan
bj konstanta yang diketahui
mnmnmm
nn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
..................................................
...
...
...
...
2211
44242141
33232131
22222121
11212111
Bentuk Matrik SPL
Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi, AX=Batau,
SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi :(a). SPL homogen, jika koefisien matrik
B=0(b). SPL non homogen, jika terdapat
koefisien matrik B tak nol
n
3
2
1
n
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
b
...
b
b
b
x
...
x
x
x
...
...............
...
...
...
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
633
532
2232
4432
421
431
432
321
xxx
xxx
xxx
xxx
CONTOH :SPL non homogen
Bentuk matrik SPL
6
5
2
4
3013
3201
2320
0432
4
3
2
1
x
x
x
x
KONSISTENSI SPL
Perhatikanlah contoh berikut Kasus 1. SPL berbentuk x + 2y = 10 x – y = 4Dalam bentuk grafik solusinya adalah
x+2y = 10 x – y = 4 (6,2)
SPL konsisten, solusi tunggal,x=6,y=2
Kausus 2. SPL berbentuk : x + 2y = 4 2x+ 4y = 8
x+2y = 4 ; x = 4 – 2y
2x + 4y = 8
SPL konsisten, solusi memuat parameter, yaitu y=t dan x=4 – 2t
Kasus 3. SPL benbentuk : x + 2y = 4 x + 2y = 8Dalam grafik adalah :
x+2y = 8
x+2y = 4
SPL tidak konsisten, tidak ada solusi
BAGAN KONSISTENSI SPLSISTEM PERSAMAAN LINIER
AX=B
SPL HOMOGEN AX = 0
SPL NON HOMOGENAX = B
SPL HOMOGEN KONSISTEN
SPL NH TIDAK KONSISTEN
SPL NHKONSISTEN
TRIVIALr(A)=r(A,0)=n
xi=0
NON TRIVIALr(A)=r(A,B)=r<n
xi0
SOLUSI TUNGGAL
r(A)=r(A,B)=n
SOLUSI ADAPARAMETER
r(A)=r(A,B)=r<n
Metode Solusi SPL
Metode Eliminasi Gouss Metode Eliminasi Gouss Jourdan Metode Crammer Metode Invers Matrik Metode Dekomposisi Matrik Metode Gouss Seidel Metode Jacobi Metode Numerik Solusi dengan program komputer
METODE ELIMINASI GOUSSOPERASI ELEMENTER BARIS :(1). Hi k Hi : Kalikan sembarang baris ke-I
dengan konstanta tak nol k(2). Hi Hj Tukarkanlah semua elemen
baris ke-i dengan baris ke-j(3). Hi Hi + kHj Kalikanlah baris ke-j dengan
konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahlan pada baris ke-I
RANK MATRIKRank matrik berukuran (mxn) ditulis r(A) adalah banyaknya jumlah baris tak nol dari matrik eselon baris tereduksi.
MATRIK ESELON BARISMatrik eselon baris tereduksi adalah matrik yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :(1). Jika suatu baris yang elemenya
tak nol nol, bilangan pertama pada baris tersebut 1 (–1) utama : pivot
(2). Jika terdapat baris semua elemen adalah 0, baris spt itu tempatkan pada bagian bawah matrik
(3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1 utama baris yang lebih rendah terletak jauh kekanan dari pada 1 utama baris yang lebih tingggi.
(4). Setiap kolom yang memuat 1 utama, mempunyai 0 did tempat baris yang lebih rendah
CONTOH : Tentukaan matrik eselon matrik berikut ini
Iterasi-11 2 3 4 5 8 H1=(1/a11)H10 -1 -2 -2 -3 -7 H2=H2-(a21/a11)H10 -1 -3 -5 -7 -14 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 4 7 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 0 4 5 7 H5=H5-(a51/a11)H1
Matrik Asal1 2 3 4 5 82 3 4 6 7 93 5 6 7 8 101 2 4 7 9 152 3 6 12 15 23
Iterasi-21 2 3 4 5 80 1 2 2 3 7 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 -4 -7 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 4 7 H4=H4-(a42/a22)H20 0 2 6 8 14 H5=H5-(a52/a22)H2
Iterasi-31 2 3 4 5 80 1 2 2 3 70 0 1 3 4 7 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3
Dari matrik eselon diperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol
matrik eselon = 3(2). Rank matrik A, r(A)=3
METODE ELIMINASI GOUSS
Andaikan diberikan SPL dengan m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, x1, x2,…,xn yaitu : AX = BLangkah-langkah menentukan konsitensi dan solusi SPL non homogen adalah sbb :(1). Bentuk matrik lengkap [A,B](2). Reduksilah matrik lengkap
[AB] menjadi matrik eselon baris tereduksi, E[AB] dengan menggunakan serangkaian operasi elementer baris
(3). Dari E[AB], hitunglah rank matrik, r(A) dan r(AB), dengan cara menghitung jumlah baris tak nolnya.
(4). Konsistensi SPL (a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPL
konsisten solusi tunggal (b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka
SPL konsisten solusi memuat parameter
(c). Jika r(A)r(AB), maka SPL tidak konsisten/tidak ada solusi
(5). Solusi SPL (a). Jika SPL konsisten, susunan
SPL dari matrik eselon (b). Tentukan solusi SPL dengan
cara eliminasi berulang dari xn ke x1
CONTOH : TIDAK KONSISTEN Tentukanlah solusi SPL jika ada
JawabMatrik lengkap SPL :
Operasi elementer barisReduksi x1
1053
832
522
221
321
321
xxx
xxx
xxx
10531
8132
5221
],[ BA
`
5310
2310
5221
H2 H2 – 2H1H3 H3 – 1 H1
Reduksi x2
Jadi,
Analisis(1). Jumlah baris tak nol A = 2,
sehingga r(A) = 2(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,
sehingga, r(A,B)=3(3). Karena r(A)r(A,B), maka SPL
tidak konsisten, atau SPL tidak ada solusi
`
3000
2310
5221
H3 H3+H2
`
3000
2310
5221
],[
BAE
CONTOH : SOLUSI PARAMETER
Tentukanlah solusi SPL jika ada
JawabMatrik lengkap SPL :
142486
7243
24274
26242
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
142486
71243
24274
26242
],[ BA
Reduksi x11 2 -1 3 -1 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 10 H3=H3-(a31/a11)H10 -4 10 -20 20 H4=H4-(a41/a11)H1
Reduksi x21 2 -1 3 -10 1 -2 8 -6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 -2 H3=H3-(a32/a22)H20 0 2 12 -4 H4=H4-(a42/a22)H2
Reduksi x31 2 -1 3 -10 1 -2 8 -60 0 1 6 -2 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H3
SOLUSI : SPL Parameter
00000
2-6100
6-82-10
1-31-21
),( BAE
Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=3,
sehingga r(A)=3(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,
sehingga r(A,B)=3(3). Jumlah variabel yang tidak
diketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=4, maka
SPL konsisten dan solusi memuat (n-r=1) parameter
26
682
132
43
432
4321
xx
xxx
xxxx
Solusi :x4 = t, t parameterx3 = –2 – 6x4 = –2 – 6tx2 = –6 + 2x3 – 8x4 = –6 + 2(– 2 – 6t) – 8t = – 10 – 20tx1 = –1 – 2x2 + x3 – 3x4 =1 – 2(– 10 – 20t) + (– 2 – 6t) – 3t = 19 + 31t
SPL dari matrik eselon
CONTOH : SOLUSI PARAMETER
Tentukanlah solusi SPL jika ada
JawabMatrik lengkap SPL :
1 2 3 4 2 x1 02 5 4 6 5 x2 03 5 6 7 6 x3 01 2 4 7 9 x4 02 3 8 10 3 x5 0
0310832
017421
087673
056452
024321
],[ BA
Reduksi x11 2 3 4 2 0 H1=(1/a11)H10 1 -2 -2 1 0 H2=H2-(a21/a11)H10 1 -3 -5 2 0 H3=H3-(a31/a11)H10 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a41/a11)H10 -1 2 2 -1 0 H5=H5-(a51/a11)H1
Reduksi x21 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 0 H2=(1/a22)H20 0 -1 -3 1 0 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 3 -1 0 H4=H4-(a42/a22)H20 0 0 0 0 0 H5=H5-(a52/a22)H2
Reduksi x31 2 3 4 2 00 1 -2 -2 1 00 0 1 3 -1 0 H3=(1/a33)H30 0 0 0 0 0 H4=H4-(a43/a33)H30 0 0 0 0 0 H5=H5-(a53/a33)H3
Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=3,
sehingga r(A)=3(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=3,
sehingga r(A,B)=3(3). Jumlah variabel yang tidak
diketahui x1,x2,x3,x4,x5 = 5(4). Jadi r(A)=r(A,B)=3<n=5, maka
SPL konsisten dan solusi memuat (n-r=2) parameter
000000
000000
01-3100
012-2-10
024321
),( BAE
SOLUSI : SPL Parameter
Solusi :x5 = s, s parameterx4 = t, t parameterx3 = –3x4 + x5 = –3t + sx2 = 2x3 + 2x4 – x5 = 2(–3t + s) + 2t – s = – 4t + sx1 = –2x2 –3x3 – 4x4 – 2x5 = –2(–4t +s) – 3(–3t+s) – 4t – 2s = 13t – 7s
03
022
02432
543
5432
54321
xxx
xxxx
xxxxx
SPL dari matrik eselon
CONTOH : SOLUSI TUNGGAL
Carilah solusi SPL jika ada
JawabMatrik lengkap SPL adalah :
1342
72243
28274
46242
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
134211
72243
24274
46242
],[ BA
Reduksi x11 2 -1 4 2 H1=(1/a11)H10 -1 2 -8 -6 H2=H2-(a21/a11)H10 -2 5 -10 1 H3=H3-(a31/a11)H10 -1 3 0 11 H4=H4-(a41/a11)H1
Reduksi x21 2 -1 4 20 1 -2 8 6 H2=(1/a22)H20 0 1 6 13 H3=H3-(a32/a22)H20 0 1 8 17 H4=H4-(a42/a22)H2
Reduksi x31 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 13 H3=(1/a33)H30 0 0 2 4 H4=H4-(a43/a33)H3
Reduksi x41 2 -1 4 20 1 -2 8 60 0 1 6 130 0 0 1 2 H4=(1/a44)H4
Dari matrik eselon dperoleh hasil :(1). Jumlah baris tak nol A=4,
sehingga r(A)=4(2). Jumlah baris tak nol [A,B]=4,
sehingga r(A,B)=4(3). Jumlah variabel yang tidak
diketahui x1,x2,x3,x4 = 4(4). Jadi r(A)=r(A,B)=r=4, maka
SPL konsisten dan solusi tunggal
SPL dari matrik eselon
2
136
682
242
4
43
432
4321
x
xx
xxx
xxxx
Solusi :x4 = 2x3 = 13 – 6(2) = 1x2 = 6 + 2x3 – 8x4 = 6 + 2(1) – 8(2) = – 8x1 = 2 – 2x2 + x3 – 4x4 = 2 – 2(–8) + 1 – 4(2) = 11
TUGAS : SPL Tentukan solusi SPL berikut ini dengan metode eliminasi Gouss:
a
ba
ba
ba
ba
x
x
x
x
x
baabb
abbaa
abbaa
baabb
baabb
2
2
2
32223
2311
112
211
1112
5
4
3
2
1
10
)(5
105
510
)(10
33121
311
121
111
121
5
4
3
2
1
ba
ba
ba
ba
x
x
x
x
x
bbbab
bbbaa
bbbaa
aaabb
aaabb
METODE CRAMMERAndaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,
nnnnnnn
n
n
n
b
b
b
b
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
......
...
...............
...
...
...
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
n ..., 3, 2, 1, i ;
; ; ; 33
22
11
D
Dx
D
Dx
D
Dx
D
Dx
ii
dimana Di = det(Ai) determinan
matrik berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matrik B
nnnnn
i
n
n
n
i
abaa
b
abaa
abaa
abaa
A
... ...
...... .........
... ...
... ...
... ...
)det(
21
333231
222221
111211
Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu
CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer :
Jawab :Bentuk matrik SPL, AX=B adalah :
Karena,
12364
12253
16342
321
321
321
xxx
xxx
xxx
12
12
16
x
x
x
364
253
342
3
2
1
4
364
253
342
)det( AD
248
x
74
28x
94
36x
Jadi,
8
1264
1253
1642
)det(
28
3124
2123
3162
)det(
36
3612
2512
3416
)det(
33
22
11
33
22
11
D
DD
DD
D
AD
AD
AD
CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Crammer :
Jawab :Mengingat,
20
16
10
12
x
x
x
x
2664
5653
3442
4532
4
3
2
1
5.8-x68-
26624
56512
34410
45316
8
2664
5653
3442
4532
11
D
D
-7x56-
24664
12654
10442
16532
5.12x100
22464
51254
31042
41632
-0.5x4-
26244
56123
34102
45162
44
33
22
D
D
D
METODE INVERSAndaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,
n
2
1
n
2
1
nnn2n1
ij
2n2221
1n1211
b
...
b
b
x
...
x
x
a...aa
...a......
a...aa
a...aa
Andaikan, A–1 maka SPL, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu :
X = A–1B
CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode inveres :
Jawab :Karena,
Maka solusi SPL adalah :
12
12
16
x
x
x
364
253
342
3
2
1
0.51.0-0.50
1.25-1.50.25
1.751.5-0.75-
A 1-
2
7
9-
12
12
16
0.51.0-0.50
1.25-1.50.25
1.751.5-0.75-
x
x
x
BAX
3
2
1
1-
CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :
CONTOH :Carilah solusi SPL berikut :
24
12
10
16
x
x
x
x
2664
5653
3442
4532
4
3
2
1
7-
12.5
0.5
8.5-
24
12
10
16
0.251.00.5-0.5-
0.125-1.5-0.751.25
0.125-0.5-1.250.25-
0.3752.52.75-1.25-
x
x
x
x
BAX
4
3
2
1
1-
5
7
9
6
4
x
x
x
x
x
78333
89875
56764
54543
32432
5
4
3
2
1
7-
3
12
25-
23
5
7
9
6
4
12-21-1-
1-11-22-
3-43-57-
58-65-8
2-65-3-2
x
x
x
x
x
5
4
3
2
1
SPL : METODE DEKOMPOSISI
Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,
n
2
1
n
2
1
nnn2n1
ij
2n2221
1n1211
b
...
b
b
x
...
x
x
a...aa
...a......
a...aa
a...aa
Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi : LUX = Batau, L Y= B UX = Y
Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah :(1). Tentukan dekomposisi matrik A,
menjadi A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky).
(2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan :
LY=B, dengan eliminasi maju (y1, y2, y3, …,yn)(3). Tentukanlah nilai X yang
merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan
UX=Y dengan eliminasi mundur (xn, xn-1, …,x2,x1).
CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi :
Jawab :Mengingat, dekomposisi A dengan metode Crout adalah :
12
12
16
x
x
x
364
253
342
3
2
1
100
5.210
5.121
22-4
01-3
002
LUA
Menghitung Y dari LY = B
Dari SPL diperoleh :2y1 = 16 y1=83y1 – y2 = 12 y2=124y1 – 2y2 + 2y2 = 12 y3 = 2
12
12
16
y
y
y
22-4
01-3
002
3
2
1
Menghitung X dari UX = Y
Dari SPL diperoleh :x3 = 2 x3=2x2 + 2.5x3 = 12 x2=7x1 + 2x2 + 1.53 = 2 x1=–9
2
12
8
x
x
x
100
5.210
5.121
3
2
1
CONTOH :Carilah solusi SPL berikut dengan metode Dekomposisi :
Menghitung Y, LY=B
Dari SPL diperoleh2y1 = 16 y1=82y1 + y2=10 y2=–63y1+0.5y2 – y3 = 12 y3=94y1 +0y2 – 4y3 – 4y4=24 y4= –7
24
12
10
16
x
x
x
x
2664
5653
3442
4532
4
3
2
1
1000
0.5100
1-1-10
22.51.51
4-4-04
01-0.53
0012
0002
A
Jawab :Mengingat, dekomposisi A
Menghitung X, dari UX=Y
Dari SPL diperoleh :x4 = –7x3 + 0.5 x4 =9 x3=12.5x2 – x3 – x4 = –6 x2 = –0.5 x1+1.5x2 + 2.5x3 +2x4= 8 x1= –8.5
24
12
10
16
y
y
y
y
4-4-04
01-5.03
0012
0002
4
3
2
1
7-
9
6-
8
x
x
x
x
1000
5.0100
1-1-10
25.25.11
4
3
2
1
SISTEM TRIDIAGONAL, ALGORITMA THOMASSPL, dengan bentuk sistem tridiagonal berbentuk,
n
1n
3
2
1
n
1n
3
2
1
nn
1n1n
33
222
11
c
c
...
c
c
c
x
x
...
x
x
x
fe...000
gf...000
..................
00...fe0
00...gfe
00...0gf
SPL diatas didekomposisi menjadi, A=LU yang berbentuk,
n
1n
3
2
1
n
1n
3
2
1
n
1n1n
3
22
11
n
3
2
c
c
...
c
c
c
x
x
...
x
x
x
f0...000
gf...000
..................
00...f00
00...gf0
00...0gf
1e...000
01...000
..................
00...1e0
00...01e
00...001
n
1n
3
2
1
n
1n
3
2
1
n
1n1n
3
22
11
y
y
...
y
y
y
x
x
...
x
x
x
f0...000
gf...000
..................
00...f00
00...gf0
00...0gf
LANGKAH-LANGKAH SOLUSI(1). Hitung Y dari LY=C, yaitu :
(2). Hitung X dari UX=Y, dari :
n
1n
3
2
1
n
1n
3
2
1
n
3
2
c
c
...
c
c
c
y
y
...
y
y
y
1e...000
01...000
..................
00...1e0
00...01e
00...001
ALGORITMA THOMAS :(1). Dekompoisisi DO k=2, n
ek=ek/fk–1
fk= fk – ek.gk–1
END DO
(2). Forward Substitusi DO k=2,n
ck=ck – ek.ck–1
END DO
(3). Back Substitusi
xn=cn/fn DO k=n–1,1, –1
xk=(ck– uk,xk+1)/fk END DO
CONTOH : Perhatikanlah rangkaian listrik seperti gambar
Pada kondisi, R1=10, R2=25, R3=50, R4=40, R5=25, E1=12 V, E2=24V dan, E3=60V, hitunglah arus listrik dalam tahanan.
5
2
1
5
4
3
2
1
54
432
21
E
0
E
0
E
i
i
i
i
i
RR000
11100
0RRR0
00111
000RR
60
0
24
0
12
i
i
i
i
i
2540000
11100
04050250
00111
0002510
5
4
3
2
1
Bentuk SPL-nya adalah sebagai berikut :
R1 R2
R3
V1 V3V2
R5
R4R2
R3
E1 E2 E3
– +
Forwart Subsitusi
60
0
24
0
12
y
y
y
y
y
1529.23000
01018.000
001143.70
00011.0
00001
CLY
5
4
3
2
1
647.53
270.0
429.15
2.1
12
y
y
y
y
y
5
4
3
2
1
Back Subsitusi
647.53
270.0
429.15
2.1
12
i
i
i
i
i
529.480000
17.1000
040143.5700
0015.30
0002510
5
4
3
2
1
106.1
809.0
297.0
258.0
555.0
i
i
i
i
i
5
4
3
2
1
10
)(5
105
510
)(10
13112
31123
11234
4321
32112
5
4
3
2
1
ba
ba
ba
ba
x
x
x
x
x
aaabb
aaabb
aaabb
bbbaa
bbbaa
SOAL-SOAL LATIHANCarilah solusi SPL berikut ini, dengan metode invers, metode crammer dan dekompoisisi
Soal 1
Soal 2
24)5()1( )2(
)1(16)2()1(2)(a )4(
32)2()1()2(
)2(8)1()1( )2(
4321
4321
4321
4321
xbxbaxxa
bxbxbxxa
xbxbxaax
axbxbaxxa
SOAL-SOAL LATIHAN
1.Perhatikan statika struktur berikut
Diketahui, P1=1a0 N, P2=2b0N,a). Susunlah sistem persamaan
linier dengan variabel yang tidak diketahui P, F1,F2,F3,R1 dan R2
b).Selesaikanlah SPL pada (a) dengan metode eliminasi Gouss Joudan dan dekomposisi
3aO 6bO 45O
45O
45O
P
P1 P2F1 F2
F3
R1 R2R6
R5R2
R4
R3R1
2. Perhatikan rangkaian berikut ini :
V5
V6
a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5 dan i6.
b). Pada kondisi R1=1a, R2=10 ,R3=2b , R4=20 , R5=3a R6=40, V5=2a0 volt, dan V6=0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.
R1
R2
R3
R3
R6
R4 R5
3. Perhatikan rangkaian berikut ini
R5
R6
R7
V6
V7
a). Dari rangkaian diatas, susunlah sistem persamaan linier dengan variabel bebas i1, i2, i3, i4, i5, i6 dan i7.
b). Pada kondisi R1=4a, R2=10 ,R3=2b , R4=30, R5=3a R6=40, R6=20, V6=10 volt, dan V6=2b0 volt, hitunglah arus dalam masing-masing tahanan.
4. Untuk membuat satu bangunan, seorang tukang batu membutuhkan bahan pasir, kerikil halus, dan kerikil kasar masing-masing sebanyak 4800, 5810, dan 5690 meter kubik. Terdapat empat sumber yang dapat digunakan, dan komposisinya sebagai berikut
Pasir Kerikil hls Kerikil ksr % % % ------------------------------------------- Sb1 52 30 18 Sb2 20 50 30 Sb3 25 20 55 ------------------------------------------
Berapa meter kubik harus diangkut dari tiap sumber agar kebutuhan terpenuhi.