218

Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

  • Upload
    others

  • View
    10

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��������� ������

������ �� ������ �� �� �� ��

����� �� ��� ���������� ��

��������

�������������

������ ��������� ��� ��

� �� � ����� � ��

� �� � ������ ��

��������

Page 2: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�������

�� ��� ������� ������� � ������� ��� �������� ����� ����� �� ��� ���� ��� ������ �� ����� �� ����� �� �� ��� �� ����������� � ��� �������� �������� ������������ ������� ��� ������������ ������� ���� ������� ���� � �� ��������� �� �������� � !� ������� "� "������ �� � �� � ��� ����� ������ �� #����� ����� � ����$���� %�#���� ���#�$� ����������� ���� &'()� &*+)� &,-)� &.(,)� &.'/) ��� ��#��� � ��� ��#�������� ���� ����� ��� ������������ � �#��� � ��� � �#� ���� � ������ ����0� �� ��� ����� � ��#� �������� ������� � ������� ������ ������� ��� ������ ��� ����� ��������� ������� ��� ����� �� ������ �� ��������%�� ��� ��1���������� ����������� � ������� �� ��� ����������������� ��� ������ ����� ������� �� � ������� ��� ������� �� ���������� � ����� ���� � #�� �

�� ��� ���1������$ �� �� ����������� ���� ��� ��������� ������ � ���������� ������� ����$ ���� �� �������� � ������ �$������� ����1����� ��� ������������ ������ ������ �� � �� ��� ��� �������� � �����2������$� �� ��� ����� ����� ���� ��� ���� � ��� �������� ����� ��������� �� ������� � ������� ��3����� ��������� � ������������ ������ 4������ &+')� &++)5�

����� � ��� �������� ��� ��� ������� ������ �� �� �������� ����� ��� � ������ �� ����� ��� �������� �� ������� ��� �������� ������� ���� ���������� ������ ��� �� �� �������� �� ��3����� ���� ��������0

4.5 6�1������� � ��� � �� ���� � �� ��� ��� ��� ��������������� � ��#� �������� ������� � 7����� ����$���� 8�� ��� 9������ � ��������� ������� � ������� ��� ������������ ������ �$����� � ��� ������ ����� �� ��� �� ���$ �������� � �$�������������� ����������� �������� �������� ��� 9�� ���� ��� ������ ��������� ������ ����� �������������

4:5 ;������ � ��� 9�� �� ������� ���� ������ � ������ �������� ���1���� �� ������� ��� ������������ ������� ��� ���� ��� �������� ���� ������ �� ������������ �������

Page 3: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �������

<� ��� ��� ���� � ���� �� � ������ ��� �������� ��#���� �$��� ����� ������� ������ �� ������ ����$���� �� ����������� ��� ����$ �������� ��������

���� �� �� �� �� ��������#� ���#�$ � ������������ � �������������� ���� � ����$ ������� ����������� � ��� ������ ����� ��������� ������� ��� � ��� ������������ ����$� %�� � ������� ��� �� ���� � ������� ���� ��� ��� ����� ���� � #�� ��� ��� � ���� ��1���� ���� �� ��� 9��� ����� 8�� ��� 9�� ������ ��� ������� �� ��� �������#������� � ��� ������ ����� � ��� ������������

=� ��� ��� ������ ���� � ������� ���� �� ��� 9�� �� ������$������� �������� � �#��� � ��#� #����� ���������$ ������� ��7������ : � �#� ��� ������ ��� >�#�� � ��� ������ ������ � ����������������� ��� ���� ����� � ������� ��� ��������� 4������ �$ �5 ���� ��������� ������ �������� � ���� ������� ���� � ����� � ��#� �������1�����$�

<���� � ���� ���� �� ��>���� ��� �������9� ��������� ��� ������� � �������� ��� ��� �� ������� � �� �� ��������#� ��������� � ��� 9���� ������������� � ��#� �����������$ ������ � ������ � ������� �$ 2� ?��������� ��� ������� @�� � ���� ��� �#���� �� ����� �� &,A)� =� ��$ ���1��� ���� ��� �� �$ <� �������� ��� �� @���� &++) � ��� �������������� ��� � ������� �������� � � ������������ ����� �$ �������� ��������� ��� ������� �������� ���� ����� �� � �� ��� ������� ���� � ��� ���������� ��������� � ����� ��������� � ��� ����� ��#�������� ��� ������ ����� �� �������� ��� ��� �������� ��������� �� ���9�� �� ��� ������$ �������� ��� �$ �� ?��B���� &,-)� @� 8������ &.(,)�?� %������ &.+.)� ��� � �$����������� ��� ���������� �� � ������ � ����1���� �$ �� %�$��� &.'')C&.'*) ��� !� D������ &'()� % ���� �� �� ������� �������� �������� � ��� ��������� ����$ �� � ������� ���#�$ � ��� �������������� ��� � ��� �� ��� 9�� ���� � ���� � �� �$� � ��#�������� ����� ������ �� ����� ��� ��������� ��������

�������������� ����� ��� ���� � �������������� �� %����#�?����� 6#�������� ?��#� ����� ��� %��1E�������� � ��������� � �������� ��������#� ���������� ��� ��� ������ ��� ����� �����������$ ���� ����� ���� ���$ ��#�������� ��� �� ��������#� !� ����#� D� E����#�%� <���#� !� ����$�����FG� %� 6��$�#� �� %�$���� �� %$����#� ��� E� �����1�#� ��� ����� ���������$ ���� � ����� E������ 7�������� E���������� ��� ������ �������� ��� ��� �������� �� ����� ������� ��� ����#��������� ����� ��� ���� � ������� ��� �������� � E������ D����� E����#�� ��� ������� ��� �������� � ���� �� ��� �� ��� ���� ������������ ����� �����B� �������9� ��� ����� ����������� %������ ������ � �$ ������ ������� ����� � �������� �$ �� � ���� ��� ��� ��H��� ��� ������������$ �������� �$ <86D;7I� 47����5� ����� J .(.((/'� .(:((*,�

��K�C!������KG�� :((.C:((: ������� ������

Page 4: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�����

� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .

� ������ �� ������� �� ������ ��� ������� ���������� � � � � ,:�. %����� ��9����� ��� ��������� � ��� ������ � � � � � � � � � � � � ,

:�.�. D�9����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,:�.�: E�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -:�.�' ;������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .(:�.�+ �������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .':�.�A ;�������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .A

:�: 2������ ����� ��� �������$ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .A:�:�. 2������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .A:�:�: 7������$ ��� �����9���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � .,:�:�' D���� �������� ��� ����� ������� ����� � � � � � � � � � � ./

:�' ;������� �������� ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :':�'�. ;������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :':�'�: ;������� �������� ��� "����B� �������� � � � � � � � � � � � � � :A

:�+ %�� ���������$ ���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '(:�+�. @���� � ����$ �������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � '(:�+�: @���� � �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '::�+�' 2������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '::�+�+ 2������ ����� � ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ''

:�A %$����������� ��� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '+:�A�. 7������� �$����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '+:�A�: E��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 'A

:�* L�������� ��3��������� � 2������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � ',:�*�. 2������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ',:�*�: L�������� ��3��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � '/:�*�' ��� ���H����$ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +(:�*�+ ���H����$ ��������� �� ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +'

:�, <��� �������� � ����$ ������� � ���#�� ��� �������� ���1������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � +*:�,�. ��� ���� � ��� ������ ��� ���������� � � � � � � � � � � � +*:�,�: ��� ���� � ��������� ����� ������� ��� �������� � � � � � A(:�,�' 7������� ��� ��3���������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � A+

Page 5: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

���� ����

� ������ �� ������� ������� ��� �������� ������ � � � � A,'�. 7�������� �������� ������� �� ���#����� �������� � � � � � � � � � A,

'�.�. ?��� ���� � ��� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � A,'�.�: �� ������$ ���#� �� ��� ���� � 4��4�5�� �� �4�5�5 � *('�.�' %������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � *.'�.�+ M���� ������$ ���#� �� ��� ���� � 4��4�5�� �� �4�5�5 **

'�: � 1���� �������� �� ���#����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � ,('�:�. �� ������$ ���#� �� ��� ���� � 4��4��5�� ��4��5�5

�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,('�:�: %������ ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ,.'�:�' M���� ������$ ���#� �� ��� ���� � 4��4��5�� ��4��5�5

�� �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -('�:�+ M���� ������$ ���#� �� ��� ���� � 4��4��5�� ��4��5�5

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -A'�' ������ ���#����� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -*

'�'�. ;��������$ ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � -,'�'�: ������$ ���#� �� ��� ���� � 4��4�5�� �� �4�5�5 �� ��4�5 -/

'�+ @���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /+'�+�. 7#���� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � /A'�+�: D������� �� ��� ����� � ����������� � � � � � � � � � � � � /-'�+�' ��� ���� � 4��4�5�� �� �4�5�5 �� �45 � � � � � � � � � � � � � � .(-

'�A M��#����� �������� ��� ��� ������ ����#���#�� � � � � � � � � � � � � .:('�A�. ;�������� � ��� ������ ����#���#�� � � � � � � � � � � � � � � � � .:('�A�: ��� ���� � 4��4�5�� �� �4(5�5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .:A

������ �� ������� ������� ��� !������������ ������.+.+�. ������� ��������� ��� ������ �������� ������� � � � � � � � � � .+.

+�.�. L����������� ������� � 2������ �������� � � � � � � � .+.+�.�: �� �� ��� ������ ��������$ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .+A+�.�' L����������� ���� � � ��������� � ����� � � � � � � .+-

+�: � 1���� �������� �� ������������ ���� � ��� ����� � � � .A.+�:�. %������ ��3��������� ��� �������� ��������� � � � � � � � � � � .A'+�:�: L�����$������� �������� ��� ��� �������� ���� � � � � .A++�:�' ������$ ��������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .A,+�:�+ ��� ����� �� � ;��������� � ���������� � � � � � � � � � � � � .A/+�:�A 7�������� ��� ����#�� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � .**

+�' � 1���� �������� �� ������������ ���� � ��� ���� ���� .*-+�'�. %������ ��3��������� ��� �������� ��������� � � � � � � � � � � .*-+�'�: ;������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .,:

" ������ �� #���$%����� &����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .,AA�. %�� ��������� � ������������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .,AA�: @���� � ������������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .,,

A�:�. !��������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .,-A�:�: ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .-+

Page 6: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

���� �

A�' ������� ��������� � ��� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � .-,A�+ D���������� � ��� ������������ ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ./(A�A ��#������ ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ./'

'��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ./,

(��� �� �)���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :(,

����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � :(/

Page 7: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� ���������

�� �������� ���� � ������ ����$��� �� �������� �������� 9��� � ������������� � ���������� ��� ���������� � ��� ����� � �$���� � �������1��� �� #����� ������ ������� � ������� � ������������ ����� @��$� ����� ������ ��#� ���� ��#����� � ��#� ��� ������� �� ������������ =� ������ ���� ��� ���� ��������� &+-)� &--)� ��� #��������� ������ ������C%���3�� &+-)� &..-)� &.:()� ��� � ���C?�����# ���������� �����&+)� &A*)� &/+)� &..:)� ��� ������ ��� ��� ��� 9����$� � ��#� ��� ����������7�H������ 4��� ��� �����$� ���� �� &:.)� &...)5� 8�� � ��� ������� ������� ����� ���������� � ��� �������� �������� �� � �#�� ���������� ��� ������������� � ���� � ������ �� �#�� �$ ��� ������ ����� ���� ���� ������#��������� ���������� � �������1������� ����

��� ����� � �������� ������� 4�������� ����� �����5 �� ���� ���� ����� ����� �$ �� �������� &A')� &A+)� N�� �������� 9��� ���� �� ��� ����� �� ��� ����$ � ���#����� ��������� �� ������ ���� ��� ��� ��������� � ��� �$ ��� �� � <����N 4��� &*+)� ��� ,5� ����� � !� ��������� �� ������� &/)� &.:) ��������� ��� ���� � ��� ��� ��� ������ 4������������ � ��� �������5 ���� �#� ���� � ��� ����#� ��#������� � ��������� ��� ���� ���������� � ��� ���H��� ��� ���� ���� �$ "� "������&*')� &*+) ��� ?� %������ &.+.) � �������� ��� ������ ������ ������ ������ � ��� �������� ���������� � � 2������ ������� ��� ��#����� ��������� � ��� �������� ������ �$ %���3��B� #�������� &../)� <��������#������� ��� ������������ � ��� ������ ��� ���� �$ �� !� ?��B����&,-)� 6 �� ��� ������ ����� 4��� �������� ����� ����� �� ������B�������$5 �� � � ����� �� �� ��� ������ � ������� � #����� �$������ ����� �� � �� ������ ���#����� ��� ��#���� �����$ ��� ��������$ ������������� � ������ �� ���$ �������� ������� � ������� ������ ����� ��������� � ����$�� ���� ������� �� �� ��������� ���� ��� ������������ � ����� � ��� ��9����� � ������������ �����

��� ����$ � ������������ ������ ������ �� ��� ������� � ���� ������� ������$� �� ���� ����� ����� ���� ���� �$ ������� ����������� � ��� ��� � �� �������� &A')� &A+) 4 � ��������� �1������ ��1���� ������������ ����5 ��� ��� ���� � ��� �������� ����� ��������$ � !� ������ ��� �� ������� ���� � ��� ���� ����� �� ������� �� ������� �$�� � �������� �$����� � ��3�������� �������� �� ��� ��� �$

Page 8: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

� �� ������������

@� �� �#������# 4��� ��� &-*)5� �������� ����������� � #����� 9���� ������������ ���� �� ��� �������� ��� ����$� ������������ ��$����� ��1���� ��3�������� �����$� ��#� ������ � ���� ��#������� � ��� ����$ ������������� ������� ����� � ���$�� �� �� �������� ������ � 7���������$���� � ���� ���������� � ���� ����$ ��� ���� ���� �$ @� �#���1���#� �� ��������� � ������ 4 � ������ �� � ��� 9��� <����� ���������4./'*55� � ����� 8� ������������� E� ��������FG� ��� � !��#$���FG �� ��� �������� 7� ;����� �� ?��� @� 8������� !� O����� %� ?�������� I�� 2������$����� %$����#� <� ������� 8� ���� "� !���������� 7� �������� 7������ 2� ?�������!� ����#� !� ����$�����FG� !� %�����#� ����� �������$�

!����� ������ ���� �� ��� ���� ������ ��� #��������� ������ �������� � ���������� ��������������� ��� �����1���� ���������� ��� ������������� ����� ��� ��#����� �� ������ � ��� ������� �� ����������������� @��$ � ���� ������ ��� � ���� ������������� � ��� ����� ������������ ������ � ������� ����$���� � �#��� �� ��� � ���� ��#���������� �3��� ��#�� ������� �������� %� �� ��� ������ ��� � ���1?�����# ����� &+)� &/+)� &..:) �� ���#����� �������� �� ��� ������� ������� ��� ���������� ����� �$ %��� D�1%��� &.:*) ��� ������12���� &+*)4��� ��� &-,)5 �� ��� ������������ ����� 8��$ �� ������� ��#� ���� ��#���$ ��� ������ ��� ��� ���� �������� ������� ���� ��� ���������� 7�H�������� ��� ������� ���� ��#� ���� ��� � ��� ������ ����� ��� ������� ����� ������������ ���� ���� �������$� ���� ��� �������

�� ��� ���1������$ �� �� ����������� ���� ��� ��������� ������ � ���������� ������� ����$ ���� �� �������� � ������ �$������� ����1����� ��� ������������ ������ ������ ��� ��� �������� � ����� �� ./'/8� ������������ &.A() ������ ��� ��������$ �������� �� ��#������� ������ ��#�������� �� ��� ����� ������ �� 2������ ��������� �� ��� ������� �� � ���� ��� ��� ���� N������N ��� � ��3����� ������� %� ������ ������$ ���� ��� ��������� ������ ������ ������ ��� ��� �� �$�� 2������ &..A)� �� �� ����� � ��� ���� ���� ��� ������� ��������� � ������� 2������ ������� � ���� � . ������� � '� � ' ������ ��1�������� 4�����5� ��� ������ ������� ��� � ����$ � ��� ������ � ��������������� �� ������ 2������ �������� ��� ��� ��� �������� � � ���� � ������� ��������� ��� ��� ���������� ����� � 2������ ��������� 8� ��1���������� ��� ����� ������ ��� ����� ������� �������� ����������������� ��� ����#��� ��������� ��3��������� � � 2������ �������� ���� ��� ���� ��� ��� �� � ����$ � ��� ������������ ������� ���� �� ������������B������ ��� ������$ ������������� �$ � ������� � ���� &..) ��� ���������������� ��#��������� �� ������������ ������ ��� ������� �� �� #��������������0 ��� ������� �� ���� �� �������� ��� ����$ ������� ���3��������� � �������� � 9���� ������� �$�� 4=� ����3� 2� <������"� 6������� =� �������5� ������������ ��$���� ���� �� �������� ��� ��1��������� � ��� �������1��� ����� ����$ 4 � ���������$��� E� O1���5� ��� ����$ � ����������� ���� 4�� @������ �� O�������� ;� <��

Page 9: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� ������������ �

��1D� 7��� �$� �� ?��� %� ?�������� �� ������#� 6� ����#���FG5� ��� ���1�$ � �$������� �$����� 42� D�#���$� �� D���$� "� �������� � ?����D� %����#��� 7� @�@������ �� ;������� @� $�����5� ������ ����$��� ��������� ����$ 47� ;����� �� ?��� %� 6�� �� 2$���� <� ��������� %� ?��������!� %�����#5� ����

� �#��� �������� � ��� ���������� � ������������ ���� �� ���������� ��� ���� � ��� ������ � �������� � ���#�� �� ��� ����� � ��� �1��� � ��������������$ 4������� ������ �� ��������B� �������$� ������������� �� ������B �������$5� =� ����� ��� ������ � � ������ ��� ��������������� � ��� ������ 4�� � �� ��� �������� ������ 4��� &/)P &+')�%����� .�.(5� �� �� �� �� ���� ��� �������� ��� ��� �������� ���������#������ �� ��� ������ � � �������������� ����� ��� ���� � ��� ������ � �������� � � ����#��� ��������$ ����#����� ��������� %����� ���� � ��1����� �������������� � ��� �� ��� ��9��� �$ � 9��� ���� � ����� #��������=� ������ � �������� � ���������� � 0 � � �� ��� � ������� ����1���� � ��� #������� ���� �� ��� ��� �����$ ������� ���� ��� ��#������ ���� ���������� ��� � ������� �� ��� �� �������� �$ �4�5 ������������� ��� ���� � ��� ������� ��� ������� ��������� � ��� ������ ��9��������� ����� ��� �� ����� ��� �������� ���������� �� �� ����� ��� �� � ��� ������� ���� � � ��� �� �� ���������� �� 4�5�� ��� ������ � � ��� 4��5 �4�5� ���� �4��5 Q4��5�4�5�

� ����� ������#�� ���������� � � � ����� � � � ��� ��� 2��1���� ������ � �� ���� � �� �������� �� �� �� �� ��$ ���������1���� � � � ��� ���� 4�4�55�4�5 �� 9����P ���������� �� �� ��4�5�� � 4�4�55 � �4�5� %� ��� ���������� �� �� ���������� ��� ������ ���������$�

��� ������� ��#������ 4�5 � � ������������� � �� ����� � ��� ��1���� � ��� �����$ � ���#�� ���� H�� � ������ ����� � �� ���� � ����������� ��� ��� ��� ���� � ��������������$ ��� ��� ������ � � ���1��$ � ���#��� ��� ������ �� � ���������� � � �1������ �����1���� ��������� ���� ��� ������ � ���#�� �� ��� ������ ��� ��� ������� ���� ���� ���$� ��� �� ��� ����� ��� ������ ������� �� �� �#� � ������ ��9������ �� � �� � �����$ � ���#�� �� � ��� � �� � �����$ � ��3�������� ��������4�5���� � � ��� � ��1�����#�� ����� ������ ��������� ������$ �4�5 � ����� �

�4�5���� � .� �� ��$ � � �� 4.�.5

�� � �Q �� ���� �� ��� ��$ ���� �� � ��� ������ ������ �� ������������ ��� ������ �� ���� ������ �� ��9��� ��

�4� 5 0Q ������

���

��4�5 ����� � Q �R ��� 4.�:5

�� ��� ��������� ��9����� 4��� ��� &/)P &*+)� D�9����� :�*5 ��� ������ ����1���� ��� ��������� �� 4.�.5� 4.�:5 �� ��� �� �����$ �����9���� ���#��� ����

Page 10: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

� �� ������������

��� ������� �� � ����� ��� ������ � ������#B� &.+*)� &.+/) ������� ��������� � ������������$� � ��9������ � �������� �������� � ���#��� ���1��� ��������� ��� ����� ���� �� ��� ������ �����9������$ � ���#�� ���������� ������� ��� ��� ������� ��$ �������� ������� ��� ��������$ 4����������$ �����9����5 ���#��� �� �� �������� ��� � ������� ��� �������1����� ����� � �����9���� ���#�� 4��� �� ������� �$ E� ��������FG &.*) ���� ��1�����9���� ������������ ���� � � �����9���� ���#�5� � ���� ����������� � ������� �� 4.�.5 ��� � �� D����� ������� ������� � ��� ����� ������ ��� ��� ���� ��� ������ ������� �� 4.�:5� M���� ����� ����������� ��� ������� ���� ��� ����� ��� ��� �������� ��������� ������ ����� ���� ��� ���� �� � �#�� ��������� ��� � ��� ������� ������������ ������ ���#��� =� ������ ���� ���� ����� ��� ���� ��������� � ��������� �����9����� � ��� ������� <� �������� "� ������� �� E>��� &A/) ������� ���� ��� ����� D����� ������� �� 4.�:5P �� <����� &+:) ��������� �������������� �4�5����� ��� �� � #�� � ����� ������������ ������#B� ������������ � �� ��� ���� ��� ����� ������ ������ �$ � �#�� ��� ������ ���1�����9������$� 7�������� ��� ������������ ���� � � ����$ ������ ���#�� �� ����#�� ���� ��� ��� � ��1�����9���� ����� � ���� �� ������ ���� ���� ��������� ���$ ��� �� ��������� � ��� #���� � 4.�:5 4���7� ������� 7����� &,)5�

��� ���� ��� ������ ��������� � ��� ������ �� ��� ����� ��� �����#����� ������ �$ "� "������ &*+)� ���$ ��� ��� ������� ��#������� ���� ������ ��� ��� ���������� 4����������$5 � ��� �������� ������ �� 4.�:5���� ��� ��������� ��� ��� ��� � ���� � ������ ����� �� � �� � ���� ��������� ������� %����� ����� � �������� � ���#�� � � ������������� ��� �� ����$ �������� �$������� ����� ����� ��#� ���� ��$ �� � �� � ������� ��� ��� �$ "� "������ &*')� &*+)� ?� %������ &.+.)� ��� �� ?��B����&,-) ��� �������� ��� ��� ���� � ��� ��������� � ��� �������� ��������� ��1���#��� ������ �������� ������� ��#� ���� ������� �$ "� "������ ����� ����� ������� &*') �$ ��� ���������� � %���3��B� ������� #�������� &../)���� ����� ���������� �$ �� ?��B���� &,-)C&-A)� ;� ;���B$��# &'+)� &'*)���� �� %�$��� &.'-)� &.'/) � ���$ ����������� ��� �������� ��� ��� ��������� ������ ��� ��� ������ � ��� �������� �������� � � 2������������� �$ ������ � ������� ������ ����� ������� ��>��� ��� ������� ���#���������1����$��� ������ � ��� ������ ��� ��������� ������� ��#�������� ��� ������ ������ 6 ���$�� �� ��� ����� � � ����� �� � ��#�����1��� �� ��� ����$ � ������� ��� ������������ �������� @��$ ������������� ��#� ���� ��#�� �$ ���� ������ ���� ������� ������� �����$ 6� 7�������#� @� �#������#� 8� ������������ 4��� �� ?��B���� &,-)�%� <���# &+()5P ������� � ��� �������� ����$ 4��� @� 8������ &.(,)�E� ������# &.+,)C&.+/)� 6� O��FG &.-()� &.-.)� !� %��$� &.:-)� &.:/)5P #���1������ ��� ������������ ������� 4��� "� "������ &*:)� &*+)� �� ?��B����&,-)C&-()� �� @��$�� &.(.)� �� %�$��� &.':)� ;� ;���B$��# &'+)� %� <���#&+.)� &.*')� �� !����B�# &.*')5P ������� �� ������� ������� ��� ������� �

Page 11: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� ������������ �

2������ �������� 4��� "� !��������� &.,.)� E� ������# &.+/)� <� ������ &+A)�@� !������ &.,')� &.,+)� !� O���� &.,-)� &.,/)� �� %$����# &.+:)� !� ����#��� %�����# &.')� ��� !� %��$�� &.:-)5�

����� ��� ���$ ������� � ������� ������ ��#�� �$ ��� ����������� ���� ���� �� �� ��#�� �$ ���� ������ � ����� ��� �������������������� �������� ���#�$��� ���� �� &*+)� &,-)� &'()� ��� ����� ������� ����� �#���� ������� �� ��3����� ������� � ������� ������� &+()� &,-)�&,/)P ���������� � � ��� ��������� ��� ����� ������ #������� �� ������������ &'+)� &+.)� &*:)� &,/)� &.*')P ���������� � ��� ������ � ������� ������ ��1#�������� ������ &:/)� &,-)� ������� �������� ��� ��� �������������� &:-)� &.'')C&.'*)� ����

���� ������ �#��� ����������� � ��� ������ ����� �� �������� ��� ��� �������� ��������� � 2������ �������� � � ������ � ��������������� � ������� ������ 47������ '5 ��� ������������ ������47������ +5� �� 7������ A � ������ ��� ������ �� ������������ ��������� ����#� #����� ��������� � ��� ������ ��������� � ��� ���������������� � ��� ������$�� 2������ �������� ����� � ��� ���� ��� ������������� � ��� ������������ ����$�

Page 12: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings
Page 13: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� ������ �� ������� �� ����� ��� �������

�������

���� ������� ������� �� ���������$ ����� � ��� �������� ����� ������� ��� ��� � ��� ������� �� ���� �� �� ��� �� �������� ��� ��� ���� ��� � ���� �� ����� �� ����� <� ��#�������� � �������� �� %��1��� :�+ � ������� � ��� ��� ���������$ ���� ����� � ���� ��� ������1��������� ������� ����� � �������� ������ ��� ����� ��� ��������� ��%����� :�' ��� ��������� � ��� �������� �������� ��� ���������

������� ��� �� � ��� ��� ��� �� �������0� Q � Q �R �� 0 ��� � � ��� 9���� ������ ������� Q � � � ��� �������9����� ������ ����� � ��� 2������ �������� Q � � � 0 ��� � .� ��� ���� ������4�� �5 Q � � � 0 �� � �� � ��� � � � � � (� �4(� .5 Q ���� � � � �� � ������ ���� �� �� ��� ����� ������$ ������ � �� � ����� ������ � �� � �� ��� ����� � ������ !1��������� ����������� �4�5 �� � ������ #����� �������� � � �� ���� �4�5 0Q " � � 0 " Q�4�5� � � ���

��� ������ ����� � �� �� ������� � ��� � ����

����� ��9������ ��� ������� � ���� ������ �� ��� ��� �� ��� 9�� ��&/)� &*+)� &,-)� &.(,)� &.+.)�

� � � *�+������

�� � �� � ����� �� � ��� � ������� �4�5 �� ����1#������ ���������������� �#��$ ���� ��1�����#�� ��� ��� �4�5� �� ���� ������� ��9�� ���3�������� ������ � � � �$ � 0Q �4�5�����

@��#��� � ��9�� � ������� ��#������ ������ � ���� �� ������������� � �� ��#�� �� �� Q �4�5� ���� " Q �4�5 �� � ������� ���� �����4���4"55�� �4"5�����"� ��4"5��"� �� ��� ������ ��4"5��"� ���� ���������� ��� ��� ����� � �������� � ������ ���� �� ��9��� � ��� ������� ��������� ��������$ ����#����� ������� ���� ������ � ��� ��9����� �� �� ��������2������ ������� ���� ��� ��� � ����� ��� ����� � �������

Page 14: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

� �� ������ �� ������� �� ������

�� � �� � ���#� �� �� ��� � �� D����� ���������

�4�5���� Q0 #�4�5 4:�.5

�� ���� � �� ��� �1������ � �� �� �4�5 . ����� �#��$ ���� �� �� ���� ���.1����� � ��$ �����9���� � � � �������� ��� ��� ;�������� ������ �� �����1�����9���� ����� ��#���������� ��� ������� ������ 4�� ��� ����� � D�����5��� ��� ��9����� �� #����� ��� ���������

��4�5�$ Q0 %�4�5� �$ Q �� � ��� 4:�:5

�� ������ ��� �1 � � �� �� � �� � �����$ � ���#�� � �� �� D���� �$

�4� 5 0Q �����

#�4�5

��� �1����� � ��� �����$ � � ����� ��� �������$

�4��� 5 Q ����

%�4�5

��4� 5

�� ���� � �� ��� ������� � ��� �����$ � �� � ���� ��� ��9��� �� �����#�� ��� ������� � �� ��

������ ����#����� ��� �������� 4�� � #�� � ������� �����������5 ��91����� � ��� ������ ��� �� ��������� �� ��� �� D���� �$ � ��� �����$� ��� ������� 4�� � 5 ������� �� �� ���� ��� � ������ � � � ���� �����9����� ��������� ������� #�4�5 � . �� ��� � � � � �� � �Q �� ���� � ��� ��9����� ������ ��

�4��� 5 Q ������

%�4�5�

�� ����� �� ���� ������ �� ���� �4��� 5 Q %��4�5� ���� ���� ������ �������� ��� ���� =� ��� ������#B� ������� �� �� ��� ���� ���������� ����������� %�� ����� ��� ��� ��������� ���� ������������� � ������9������

� � � ����������

6 � ��������� ������ ��� �������� ��������� � ��� ������ �4��� 5�

#$���� � � � ,������� ��#�������5� ��� � �� ���� �� �� ��� �

���� � � � � �� " Q �4�5 �� ����� �� �� �� � ���� �� � � !��� 0Q �4� 5� ����

�4��� 5 Q �4 ��� �� 5� 4:�'5

!� ���� "� ��� ��� ������� � "��� ��#��� � ��� "���� ���� �� ����� ������ �� �����

Page 15: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ���� � !�"��� #! �$���$��� �% &� ��!' '� (

$ ��� �� �� �� ��� �����$ � ��� ���������� ������� �� �� ��� � �� ��� �����$� ���������� ������� �� � � =� ��� �4�5���� Q ��4�4�55�� �4�5����� �� �� � �� �%���� �

��

�4�5���� Q��

��4�4�55�� �4�5����� Q �������

��4"5��"� � .�

�� ��$ � � � � � ��#� � � � � @���� ��� � ����� � #�������� ����� �������� ��� �� 4:�:5 � ��#� %�4�5 Q %��4 ��5� ������

�4��� 5 Q ����%�4�5 � ������� %��4 ��5 Q �4 ��� �� 5�

7�������� ��� ��#���� ��� � Q ���4"5 � ����� ��� ��#���� ���������$��� 9���� ��� ���� �

#$���� � � � ,��������� � ��� �������� ������5� %& ��� �� �� �� ���"� ��� ��� ��� �� �� ��� ������� �4��� 5 ����� �� 0Q �� Q �� �������� �"�� �

%& '� ���� � ��4� 5 Q .

$ ��� 4�5 %���� �� ��� �� ��� ��� �������� ������� �� ��� ������ �4��� 5����$ ��� ����������� ���� �

� 4��4�5 R ��4�55���� �� �� ���������� ������� ������

���4�5 R ��4�5

:

��

�$ � �4��� 5�

=� ��#� ��� ����� � ������������

( ����

���4�5� ��4�5

:

��

�$

Q

���

���4�5 R ���4�5

:�$ �

���

���4�5 R ��4�5

:

��

�$

Q �4��� 5����

���4�5 R ��4�5

:

��

�$ � (�

���� �� #���� ��$ �� ��4�5 Q ��4�5 ����� �#��$ �����4��5 =� ����� �$ ��4�5���� ���� 4����������$ ������5 �������� ������� ��

��4� 5 Q & .� ���� ��� ������ ����4�5���� �� ���������� ���

�4��� 5 � .

&�

���

4��4�55��$ Q.

&��4��� 5 � �4��� 5�

���� ����������� ��#�� 4��5� �

Page 16: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�) �� ������ �� ������� �� ������

#$���� � � � ,��������$5� !� �� � �� � �� ���� �4����5 � �4����5

��� � ��� ����������$ ��� � ��� ��� ���������$ �4��5 � �4��5������ � ��#� ����������� ��� ��������� � ��� ������� ��#������� �

��� ������ ��� ��� ��������� ���������� � ��� �������� ������ �� �� ���������� ��� ��� ������ ������� �� ��� ����$ �� ������$ ���� ��� ���������� ���� ������ ��� ���� ��� ����

� � � �������

6 � � �#� ������ �������� � ������ ��� �������� � ���#�� ���� ��������� � ��� ������ ��������� � ��� ����$ �� �� ��� "��� ��� � ���� ��������� �� � � ��� ��� ����

(����� ) * * �� � �� � �������� � Q �R �� 0 ( � � � #� ( � � � .� ���� �� ��� �����$ � ���#�� �� � ���� ������ ��� ������ �������� ����� ��� ����� �4��� 5 Q #�

) �

���� ���� �&� %#�� * �% +'$,�� � &� $�+#- � %�$ �.#�� � �����

$ ��� ��� ;�������� ������ �� Q ���� �� �#����$ ����������� ��������� ��������$ � � ���������� ������� �� ��1����$� @��#��� %��4�5 Q # ��������������$� �4��� 5 � #�

6 � ��� � �� �� ���������� ������ ��� � � �����

. ���

�4�R ��5��

���� ��� ��� <����� ������� � ����#� ����

# � �

�� ���

�4�R ��5��

�� �� Q

���

�4�5�$�

Page 17: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ���� � !�"��� #! �$���$��� �% &� ��!' '� ��

��� ��� �� �����

( ����

4.��4�55��$ Q #�:

���

�4�5�$R

���

��4�5�$ ����

��4�5�$� #

����� � ��� ���������$ ���

��4�5�$ � #

�� ��$ ���������� � ���� ����� ��� ��9��� #�� ��� �� � ��#��4��� 5 � #����� ����� ���� �4��� 5 Q # ���� �$ ������ :�.�:� ��$ ��� ;�������������� �� ��������� �

(����� ) * ) �� � �� �� ������� � Q �'�� 0 . � � � (� ( � ) � :*���� � �� ��� �����$ � ���#�� �� � ���� �������� ��� ������ ������$�������� � �� ����� �4��� 5 Q �

�� �(�

� �

���� ���� �&� %#�� * �% +'$,�� � &� #' '� %�$ �.#�� � �����

$ ��� ��� ������ �� Q ������� �� �#����$ ����������� ��������� ��� �����$

� � ���������� ������� �� ��1����$� @��#��� %��4�5 Q��� �( ���

�4��� 5 � ��� �(�

6 � ��� � �� �� ���������� ������ ��� � � �����

.

��

����

�4�'��5�)

���� ��� ��� <����� ������� ����� ��� ������ ��� ���� ���������� ���#�

�( ����

�� ����

�4�'��5�)

�� �� Q

���

�4�5

��� �$�

Page 18: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

��� ��� �� �����

( ����

4.

:*��� � �4�55��$ Q.

:*�(� .

*

���

�4�5

��� �$ R���

��4�5�$ �

����

��4�5�$ � .

:*�(�

����� � ��� ���������$ ���

��4�5�$ � .

:*�(

�� ��$ ���������� � ���� ����� ��� ��9��� #�� ��� �� � ��#� �4��� 5 ���� �(� ���� ����� ���� �4��� 5 Q

��� �( ���� �$ ������ :�.�:� ��$

��� ������ �� �� ��������� �

(����� ) * + �� � �� �� ������� � Q �'�� 0 . � � � (� ( � ) � :*���� � �� ��� �����$ � ���#�� �� � ���� ������ ��� ������ ������$�������� � �� ����� �4��� 5 Q ��

���� �

� �

���� ���� �&� %#�� * �% +'$,�� � &� #' '� %�$ �.#�� � �����

� =� ��� �� ������ ��� � ��� ��� ��� ��� ������ � � ���� ������������$�� �� ���������

<��� ���� &/,) �� ��� ����� ���� ��$ �$������� ����$ �������� �1���� � ��� �� ��������$ ������ �� �� ������� " 0 . � �"� � (� ���( �� � ������� ��#������ � �� ���� ����� ���� �� � ����$ �������������� �� ��� �� ������ � ��#� ��� ���� ����� �4��� ��5 Q �4��� ��5 ��� ������� � ��� �������� � ���#�� ���� �������� ����� ������$ ���1������ ���� ����� ���� �� � ������� ��� � �� �� ��� ���� ������������� � ����� �$ 4�5� �� ���� � �������$ ������� �������� ��������� ������� ��#������ �� � ������������� � �� ��������� ��� �$4�5�

Page 19: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ���� � !�"��� #! �$���$��� �% &� ��!' '� ��

��� , ) * * ��������$� �� ���� �� ������ ��� ������ � ;������ :�.�:�������$ �� � ������$ ��� ;������ :�.�. ���� ��� ��������� ����

6����$� � ��� ��� ��� �������� � Q � 0 ( � � � ��� �(� ( � � �

.� �� ��� ������� " 0 . � �"� � (� �$ " Q �4�5 0Q ���4:*�5� �� � ����� �����$ � ���#�� ���� ������ ��� �������� ����� � ��� ��������� �����4�� � 5 Q

��� �(� ��� �4� 5 ��� �� ������� ��� ��� �����$ � ���#��

���� �������� ��� ������$ �������� � ��� ���������$ ;������ :�.�: � �� � ���� �� � Q � 0 . � ��� � (� ��� � �� ���

�����$ � ���#�� ���� �������� ��� ������$ ��������P �� �� Q � � 4.� (5�� � ������������� ��� ��� #������� ��� ��� ���� .� .� (�( ��� � � �� ��������$ � ���#�� ���� ������ ��� �������� ����� � ��� ���� � � � � ����4��� � �5 Q �4��� 5�

� � -�%��.��$ ����

#$���� � � ,.1�� �������� �����5� ��� � �� � ������ � 0Q � 0 � ���� � (� �� ��� � � � � �� �� ������� ����� ������ ��������� ����� ������ �� ��� ����� � ���������� �� �� !� 4�5 ����� �� ��� ������� ��� "�� ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� ��� �� �� ����� � ���������������

4�5 ������

4��5� 4:�+5

��� ������ ���� � ���� � ��� ��� "��� ������� Q � �� ��� � ���������� � � ���� �� �� +

� �

��

���� ���� � '�$#�� �% &� �/� 0$1�2�+& ����#

$ ��� ��� ������ �� Q ������� �� �������� 4��� ;������ :�.�:5 �� 4�5 ����

������������$� ���������� �� 4��5� �����

4�5 Q.

:*�

(

�Q

���

4��4�55��$ ������

����

4��4�55��$ ������

4��5�

Page 20: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

8�#����$� ��� �������$ ��� ������� �� 4:�+5 ��� ������� Q � ��� ��� ������������ ������� �� ��$ +�

�� ���� � ��#� ��� ����������� � ������ 9��� ���� ����� �� � �������� . � , � -� ���� ���� ����� �� � ������ �������� �� ��� ���� �������� �� ��� ������ �� �� �� ��� �����$ � ���#�� ���� �������� ��� ������$�������� � ��� ���� ��4� 5 .� ��� �$ ������ :�.�: ���� ������ ���� �������� ��4��5 ��� ��� ���������$ ��� �� 4:�+5 �� ����������� �$ ��������� ���������$ ����

6 � � ������ ���� ����� �� � ����� ��� . � , � - ���� ���� �� ���� ������$ �������� � � �� �� �� � ��������� ������� ����� ������ �������� ��� " Q �4�5 � �� �� ��� ������� . � �"� � ���4:*4��55������ ��� ������

�� �4�5�:*��4�5� ����� � � ��

�� �������� �� 4��5� =����� ��� � ��������$� � ������ ���� � ����

� 0Q �4���4. � �"� � .R .55� D���� �$ ���� 0Q �� ���

�� ���� 4��5 Q4��

�5 R 4����5� ��� �� � ��������$ ����� . ��� ����� ��

� ��� �������� � ��������� ������� ��������� ��� ���#��� ���� $����� ���� ��� �������� �� �� �������� �� 4��

�5 �������

4��4�55��$ Q

Q

����

4��4�55��$ R�����

4��4�55��$

4���5 R4���

� 5 Q4��5�

���� ������� ��� ������ ���������$ �� 4:�+5 ��� 9������ ��� ��� ���� �

�������$� �� ��� ��#� ��� ��� �� ����������

)

��

���� ���� � '�$#�� �% &� �/! 0$1�2�+& ����#

Page 21: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!'+�! ��!' � #! +#�#+�* ��

#$���� � � " ,:1�� �������� �����5� ��� � �� ������� � Q �R �� 0( � � � #� ( � � � .� �� ��� � � � � �� �� ������� ����� ��� ��� �� �� "�� �� -���� ������� ���� �� ����� �� � !� 4�5 � ��� ������� ��� "�� ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� ������� �� �� -���� ����� ����

4�5 ������

4��5�

��� ������ ���� � ���� "��� ������� Q � �� "��� �� � ��������

� � " ���������

� �� � �� � ����������� ����� � ��� #����� / � � ��� # (P � ����� �����$ � ���#�� �� � ���� ������ ��� ����� � � ��� ������ &(� / ) ���� R #� E�#� ���� �4��� 5 Q �� 4/�#5�

� �� � �� � ����$ �������� ������ �� Q ��� Q (� � �� � �� Q ���� (� �R � � (P � �� ��� �����$ � ���#�� �� � ���� �������� ��� ������$��������� <��� ��� ������ �4��� 5 4�� � ���������� ���� ��� %�����:�+5�

� �� � �� �� ������� � 0Q � 0 � � ��� � (� ��� ��� � � � � �� �� ��1#�������� �������������� �� � ��� ��� ������ ����� � ��� ������� ��� Q ���� ��� Q (� �� 4�5 �� ��� ������ � � ��� ������� � ��� �����$ ����#�� ���� ������ ����� �������� ������ ����

4�5 ������

4��5�

��� �������$ ��� ������� ��$ �� ��� ���� ��� ������� Q � ��� ��� ����� �������������� ��� �� ���� � �������� ������ ����� ��� ��� ���� ������� ����

��� ����� � ��� �� ��������

� � � '������ ������

�� � � � �� � �����$ �������� �$������� ������ � � �� ��� � � =��������� � ����$ �������� ����� �� Q ���4�� .5 �� � ��������$ �����.� ��� �������$

�4�� �5 0Q ������

�4��5 R

.

:*� .

Page 22: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3 �� ������ �� ������� �� ������

�� ���� � �� ��� ������ ������� � ��� �������� ����� � ��� ������� ���� ���� � ����4��5 �� ��� ������ � ��� ����$ �������� ����� �� ��� ������� � ��� �����$ � ���#�� ���� �������� ��� ������$ ���������

�$ ��� 2������ ������ ������ ����� �� � ������ ������� ��� " Q�4�5 � � �� � ���� �"� � ( � � ���� ���� �4�5 Q (� � �4�5 Q .� ��������� ( �� ������ ��� ������� ������ � � ��� ������� � ��� ���� ��=� ����� �� �$ (4�� �5�

�� ��� ���� � Q ��� ������� � ��� ��� �������� ���� �� �4�5 Q�R��R����R � � � ��� ���� � �� ��� ������� ���� � ��� ���� �"� ( 0Q(4��5�

��

��

���� ��� �� &� !�"��� �% &� $�!'+�! ��!' '�

#$���� � � � ��� ����� ��������� ���� ���� ���� � ��� ��� ������ �� ��� (4�� �5 "�� ������ �� #��� ���� � � � ����� ��� �������4�� �5 ������ #���� �� ���� �� �

�� � (4�� �5

$ ��� �� " Q �4�5 Q � � � R ��4� � �5� R � � � �� ��� 2������ ������������

.4. R ����.R 04.55 � �"� � (4�� �5� � �4��5 �� .4.� ����.� 04.55 � �"� � (4�� �5��

�$ ������ :�.�' ��� ;������ :�.�: � ��#� ��� ���������$

.

:*�

(4�� �5

.4. R ����.R 04.55 �4��5 Q4�4��55 � .

:*�

(4�� �5

.4.� ����.� 04.55�

����� � ��� ��� � . � ��� ����� � ��� ������ ���������$ ��� ���� ��� �����

�� . � (� ���� ����� � ��� ��������� � ��� ������� �

��������) � � � ��� � �� ����� ��������� ���� ���� ����� � � ����� � !� �4�5 � ����� �� �� �� � ���� ��� ��4�5� � � �����4�4�5� �4�55 Q �4�� �5 R �

�� � �� �4�5�

Page 23: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!'+�! ��!' � #! +#�#+�* �4

6 � � ��9�� ��� ������� ������ �4��5 � � �����$ ������������� �� � � ��� ������� � ��9���$ �� ��� ������� ������ � ������� � � ����� ��� ��� .�� ��� ������� � ��� �����

�4��5 Q � .

:*�(4��5�

%� �� � �� � �����$ �������� �$������� ������ � � �� ��� � � ����4�5 Q ����4� � �5 R �� R ��4� � �5 R � � � �� � ������� ��� ��� �� �����4�4�5�5 Q �4�� �5� �

�� � ������

� � � �������) ��� �����+���� �������

=� �#� ��� ��9������ ��$ �� ������ ����� � �#��� ����� ��� ������1������� � ��� ���� ���� �� ���� D���� �$ �� 4�5 ��� ����� � ��������14�5 0 � � � ������$�� ��� �������� ������� �� �� ����� �� �#��$ �������1 � �� 4�5 ����� �� � ������� � ���� ���� �� ��$ � ����� ��� �� � ���� ���������$ �14��5 � 14��5� � ���� � ��� ����� �� ��� ���� � � �����������$ � 14�5 �� �� ��������� <������� ��� �� 4� 5 ��� ��������$�������� � ����� ���� ��� �������� � ��� ���� ��� ��� �������

2415 0Q

���

��14�5���$

��������� ������ ���� � ��1#�������� ������ ���� ��� �� �� ������ ���

�������� 3 Q ��� ��� ��� ��� 9��� � � �� � ���� ��� ����� �� �������� 3 �� ��� �������$ ��� 3 0Q ��� 2415 �� 1 ����� #�� ��� ����� �� 4� 5 ��� ( � 14�5 � . ����#�� � � � � 14�5 ( ����#�� � � ���14�5 . ����#�� � � ���

� �������� 3 �� ���� � �� ������� �� ����� ������ � �������� ����1#����� �� � ������� 4�5� ( � 4�5 � . ���� �� ������� �� � � �� ������� 4�5 ( �� � � ��� 4�5 . �� � � ��� ���� ������� �� ���� � �� �������� � ��� D�������� ��������� $����� ���� �� ��� ��9����� � �������$ ����������$ ������� ��$ �� ��� ���� � �� ���������� �������� ��� 14�5 4�5����� �#��$ ���� �� ��� �������� ������� �

8�#����$� ��� �������$ �� � ������� ��#������� ���� ��� �� 3� �� � ��1������ � � �4� � �� ����5 �� � ������� ��� � �� � � �� ����� ������� 3 Q ��� 3� �

�� �� ��� �� ��� �����$ �������� ������� ���� � ��� �������� ���������� ��� " Q �4�5 � � � �� ���� �� �� ������� . � �"� � ( ������ �������� ������� �� ��� �������� 3 Q ��� ��� ��

4�5 Q� �

������(

� � � � � �� �����

Page 24: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

4�5 ( �� � � ��� 4�5 . �� � � ��� ��������� ��� 3 Q :*� �(� �� 3 Q ��� ��� ��� 3� Q ��

� � ����� , Q .� � � � � - �� ���� ���������

���� ��� 3� ��#� ��1����������� 9���� ���

�� �����

��� � �� �

����

��� �

<�� ��� ��9����� � �������$ ��� ��� ��� D�������� ��������� �� ��� ����#���� ���������$ ���� �� ������ � ��� 9��� �������� ����

.

��� 3�

�����

.

��� 3�� 4:�A5

4������$ ��� ��� �������$ ��� ���� ���� &'()5� �� � �� � ������ ������ ���� =� ������� � �������� � ������� �$��

3� Q ��� � (���� �� 3����� Q ��� � (�� ��� � (��� (� � (�� ���� ������������$ 4:�A5 �������

.

��� 3��

� .

��� 3��

R.

:*�

(�

(��

��������� ��� ������� �� ��

� ��� � ( ��������� ��� ��������� ( ��� ���

�����

��� � Q ������

( ���

�� :*

��� 3�

�4:�*5

������ ��� �� ���� � �� ��� ��� ���� ����� � � ������ ��� � � � � �������� 4:�*5 �� ��� �� � �� E>���B� ������ 4��� ��� &..:)� ������ /�.,5�

6 � ����>$ ��������� ��� ��9����� ��� ��� ��������� � ��� �1�������� �������$ � � ������ ������ ��� � � � ��� �� <������ <�- Q :� '� � � � � �������

4�4�5 Q ������������

��������

��� � �� ��

��� ������� ������ ��� ���� �� �1������ <����� ����� ��� � ��� , Q.� � � � � -� ��� #���� 4� �� ����� � ��� !��������� �����������

4�4�5 Q��� ������������

4. ��� � � � ������ 5

��������� ��� �����

��� � Q ������44�4�55

�������

������ 4��� &..:)5 ��� �#�� ��� ���� �������$ � ��� ��������� �������$ ���� � ��#��� ����� 4��� ��� &.(/)5�

Page 25: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!'+�! ��!' � #! +#�#+�* �(

�� � �� � �������� �� � ��� �� Q � ��� ����� ��� ��� ��9����� ���� ��������� �������$ ��� ��� ������� ������ �� �� ����� ���� ��� � Q��� �� Q ���4�:*�4���55�

�� �� ��� �� � ���� �� � Q &(� .) ��� �������$ �� �#�� �$ ��� � Q .�+��� � ��#� � �������� 3��� Q ��� ��� � ������� �$�� �� � � � �� Q � �

� � ���� ��� 3��� �� ���� � �� ��� �$������� �������$ � �� ��� �������� Q

��� 3���� 8�� ��� ��9�� ��� ��� ���� �$ ����� � ��� ���� ���� � ��#�������� � D���� �$

4���� 4�5 Q ���

���������

��������

��� �� � ��.� ����

���������

��� ���� Q ������

44���� 4�55

������� �

6 � �� � �� � �������� �� � ��� �� Q � ��� ����

��� ���� Q ��� ��� �� Q ���4�:*4��55�

����4��5 �� ��� ������ � ��� ����$ �������� ����� �� ��� �������� ��� �����$ � ��������� ���#���

� � � *����/ �������� ��� �$��� ������� �����

=� ��� ��� �������� ��� ������ �������$ ���� ��� �������� ������ ��1�����$ �� &'*)� &-.)� &.'/)� �� �� ������ ��� ������ ������� �� ����� =� ������ ���� ������� ������ �� ��� �� ��� ������� ������ � �������� � ��#�������� � ������� ���� 4��� ��� &.*:)� &.*+)� &.**)� &.*-)� &.*/)5� ������������ � ��� ������� ����� � ���� � �������� �� �����$ �������� ��� ��� ��������� � ��� ������ ����#���#� � � ������� ��� �� ��� #������ ��� 9��� �� �������� ��������� � ��� �����������$ ���������� �� ��������������� � ����$ ���� ������� � ����$ �������� ������� �� ��� ����������#���#���

=� ��9�� ��� ������� ������ � ����� <� ������� � ����� � ��� �������$ ;� �� ;���B$��# &'*)� �� !� ?��B���� &-.)� ��� ������ ����������� ������ �������� ��� ��� ������ ����#���#�� �� ��� ��� �� &.'A)� &.'/)� &.**)�&.*-)�

�� �������� ���� �� ��� ������� � ��� ������$ ����#��� � ��1����� ���� 4��� &..:)5 �� ��� .���- ���� �� � ���� � � �� ���� �� � ������

4� Q � � � 0 � �� 4.� S��5� � )� �� � �� � 5�� ��� ) � 4(� �� 5� 5 � 4(� : �� )5� =� ��$ ���� � ��� ��� ���� ��� � � � ��� � �� �� �4�5 � � �� � � 4� � � � � �� ��$ %��� ���� 4� �� �� =� ��������� ������ ����� �$ �4�5� �� ��� ����� �4�5 � � ������ �� ��� � � � � � � ��

Page 26: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�) �� ������ �� ������� �� ������

���� � ����� �� � �� �������� �� � �� � ������� � � � ��� �� �� ������ &..:)� ���#����� �������� �� � ��#� ��� ������ ������ �� ����� ��� ������� �� ��� ��� �������� ����� ��$ �� ��� ���������� ������ �� �� ��������� ����$��� ������� � ���� ���� ��� ���� � ��� ������� �4(5 Q (� ���� ��������� ����� �4�5 ������ �� ����� ��� � � �� � @��#��� ��� ���������� ����� �� ��� ��� �������$�

=� ��$ ���� � ��� ��� ���� �� ���� � �4�5 �� � � �� �� ��� 9���������� ����� �4�5 ������ ��� ��

������ ���

�4�5� �4�5

� � �Q � �4�5�

��� ������ ����#���#� � �4�5 ������ �� ��� ��$ �� ��� ����$��� ������� � �4�5��� ��� ������ ����� � �4�5 4��� &..:)� E������� +�,5� ��������$� #��$ ��������� �� ���� ���� ��� ��������� � ��� ������ ����#���#�� � �#��� �� ����1���� � � ��� "����1=�3 ����� 4��� &..:)� E������� +�.'5 ������� ������� ������ ����#���#� � �4�5 ������ �� ��� ����� � ����#�� ��� ������ ������4�5 ������ ��� ��4�5� Q . �#�� ����� ��������� � ���#������� <������1���� �� ��� ���� � ���#����� �������� ��� @�@����� � ��� ������ &/-)��$� ���� ��� ������ ����#���#� �� 9���� �� ����� ��� ���� ������ ����� �������� � ���� ���� ��4�5� Q . ��� � ���������� ���������

�� � �� � �$������� �����$ �������� ����� �� � ��� � 9���� 9���������$ ����� �� � 4��$�� ��� ��� ���� ������5 � ��� ����� ��� ����������$� �� �� ������ � ����� %�� ��� ���� �4�� .5 ���� �� ��� ��������������� � � � �� � �� � .� ��� ��� ���� � �� ��� ������ D���� �$�� ��� ����� � � �4�� .�5 � �4�� .�5� �� ��������$ ����� .��� ���� ��������� �� � ���#� �������� ��� ������ ����� � �4�� .�5 ��� �4�� .�5� ��4��5 �� ��� ������ � ��� �����$ � ���� �� �� ���� ������ ��� ������$���� � �4�� .�5 ��� �4�� .�5 ��� ��� �� ��� �������������� �� � �� Q .� ����� � �� Q .� 4 � ���� � ����� ��� �� ���� ������ � ���� ��� ���� ��� ���������� �� ��5� �� ��� �����

�4�� �� �5 Q ���������

�.

4��5R

.

6�� .� R

.

6�� .�

�� 4:�,5

������� ���� 6� Q ��� 4� ��� 6� Q ���4� ��� ��� ����� ����� ��� 4����� ��� %��� ���� ��������� �� � �� � � � ��������#��$� ���� �� �� ������ ��� ������ ������� �� ��� ���� �� !����� �������� �������� ��� ���������� ���� ������� ������ �#�� �� ��� ���� � ����� ��� ����$��� ������$����� ��� �������� &.'/) ���� �� ���� �� �� �� �� �$� ��� ����� ������������ � ��� ����� 4:�,5 �� � ���� �������������� � ��� ����� � 4���&.'/)� ������ .�:5� �� ��� ����� � �� ������� 4��� ��� ��9����� �� &..:)���� -(5 �� ��� ����� � ��� �� ���� 4&.'/)� ������ .�'5 ��� ����� 4:�,5������� @�� �������$� ������ ���� ����� �� � ������� ��� �4�5 � �������� �4�� .�5 � � �� � �������� ������ � ���� ��� ������ ����� �4�5������ ���� �� ����� � �� � #����� � ���� ����� � ���� 6�� �� ��� �������

Page 27: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!'+�! ��!' � #! +#�#+�* ��

� ��� ��� 9���� ��1��� ������ ����#���#� � �4�5 � ��$ ���� ��� ����� ��� ��� ����� �� � ��� ���� � 4������ &..:)� ��� -(5� �� ��� ��� ��� ������� �� ��� ����� �� � ���� ��� ����� 4:�,5 ������ 4&.'/)� ������.�'5� �� �� ��� ���$ ���� "� "������ ��� ?� 8��� � &*-) �� ./,, ��������������� ����� ���������� � ����$ ��� ����#��� � � ������ ���#�������� �� � ������$ ����� 6�������$ ��� ������� �������� ��� �#�� ����� ��������� � � 9���� ��1��� ������ ����#���#�� ������������$ � �������������� ��#� ���� ������� �$ �� 2��� ��� %� ;� =������ ��� &..*)�

���

�����

���� ��� �� &� !�"��� �% &� $�!'+�! ��!' '� �% # !�-�

#$���� � � � ��� ��� ���� � "�� ��� �� ���� � � �� � �� �� ��� ������ %) /& ����� �� ��� .���- ����� � 6� �� 6� .������ ��� ��� �� ����� �� �� �4�5 �� ��� ���� � %"��� � ����� �� � �� �& ���� ���� ��� �� ��� ��� � ���� ��� ���� ���� �4�5� �4�5 "�� ��� ��� ����� 7� �� 7� � ��� �� ���� �4�5 �� �4�5 "��� "� ��� ���� ���� ���� ��� ���� ��� �� .���- ����� ��� ��� � �� "�� ��� �� ���� � �4�5 � �4�5 ���������� !� ��� ������� � �� ��� #��� ����-� � ���� �� ������ �4�5 �� � �4�5� ���� 6� Q 7�� 6� Q 7�� �� ��� ������ ������� %) /& �� ��

����� �� ������ &'*)� &-.)� &.'/) ��� ��� �� ��� ���

�4�4�5� �4�5� �4�55 Q �4�� �� �5 R.

7�� �� �4�5�R .

7�� �� �4�5� 4:�-5

$ ��� <���� � ������� � ������ ���� � ��� ���� ����� �� Q � � &(�5 �� ���� ��� ��� #������� �� (� � <�� �� ��� ��9����� � ��� ������� ��1����� ����� �$ �� ��� ����� .� � ��� � .�.�� � 4.�� .�.�5� ��� ������� ��� ������������� �� ��� ������� � ��� �����$ � ���#�� ���� ������ ����������� ����� �� ����� � 4��5 Q � ��

���������� �� ���� ���� 6� Q 6� Q :*�

���������

�4��� (�5 Q ���������

�.

4��5R

.

:*� .� R

.

:*� .�

�Q (�

Page 28: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

6 � ������� � ��� � ���� ���� ��� �������� � ��� ������ ��� ��� ��� #������� �� � ��� �� ����� �� � ������� ���#����� ��� �4�5 ����

���� � �� ��� %����� ���� �����

�4�54� � �5����� Q &� ��� ���

���4�5�4� �

�5��� Q ��� ��� ���� � ��� ��� � �4�� .�5 ���� �� ��� ���

.����

� 4�&�� � �&��.� � 04.�55 � �"� � .����

� 4�&��R �&��.� R 04.�554��� ��� &..:)� E������� ..�-5� ��� ���� ���������$ �� �����$ #���9�� �� ������� �� �������$ � ������ :�:�.� ���� ��� ����� ������� ����� ������ ����

.

4��5Q

.

4�4��55�

��� .

:*�

.� ���

� 4���� � ����.� � 04.�55

.����

� 4�&��R �&��.� R 04.�55�

.

:*�

.� ���

� 4����R ����.� R 04.�55.����

� 4�&�� � �&��.� � 04.�55

�� �

���� � ��� ���� .� R

��� .� � ���� ���� � ��� ��#� ������������ ���

����#� ���� ����� �� � ����� �� ��� ������� ��� �� �� ����� � ��� �

�������� � ����

�� ����#����� � ��� ��� ������ ������� �

�� � ������� ���#��� ���� � ��� ��� ��������

�4�5 Q "� R 4� � �5 �!��4&� R &�4� � �5 R � � � 5

���� ��� ���� �� ��� ��� ��������

�4�5 Q "� R 4� � �5 !�4�� R ��4� � �5 R � � � 5

���� ��� ���� �� ���� ��� ������� ������ � � ������ ������� � �������

�4�4�5� �4�5� �4�55 Q �4�� �� �5 R.

7�� �&��R .

7�� ����� 4:�/5

8�#����$� �� ��� ������ ���� ��9����� � ��� ���� � #������� ��� ��9�����������

=� ��� ������� � �������$ ���� �� ������ ��� ������ ������� �� � ����� �� �� �����$ �������� ��� ��� ������� ������ � � ���� <�������� � ����� � ��� ����� �$ �� I�� %�$��� &.'/)�

��� �� � �$������� �����$ �������� ����� �� � ��� ����� 9���� 9���������$ ����� ��� ��� ��� � � ��� ����� ��� ���� ������$� D���� �$�� ��� ����� � � �4�� .5 �� � ��������$ ����� .� D���� �$ 4��5 ��������� � ��� �����$ � ���� �� �� H���� ��� ������$ ��� � �4�� .5 �������� �� ��� ������������� �� � �� Q . ��� ��� �� � ��� ������� � ���� �������� � � 4 � ���� ���� � ����� ��� �� ��� ������ � ���� ��� ���� ����� �������� �� ��5� �� ��� �����

Page 29: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � ���+ %'+��� #! ��-$# � ��

��4�� �5 Q ������

�.

4��5R

.

6�� .

�������� ���� 6� �� ��� ����� ���� ��9��� �� ������ ���� �� �� ������ ��� ������ ������� �� ��� � ���� �� ��� �������� �� ��� ������� ������� ����� ��� ������� � ���� �� ��� ������� ������ � ����� �� ����� ������ ��� ������� ������ ������ ��� � �� ������� �� �� �� ����� �� �������� ��� �4�5 � ��� ������� � �� � ������� ��� � ���� ����� ��������� ������ ����� �4�5 ��� ��� ����� ���� 7� �� ��� #����� �4�5� �� ���������� � ��� ��� 9���� ��1��� ������ ����#���#� � �4�5� ���� 6� Q 7������� ��� ������� ������ � � ������ ��� ������ &.'/) ������� � ��� ����

��4�4�5� �4�55 Q ��4�� �5 R.

7�� �� �4�5��

�� � ������� ���#��� ���� � ��� ��� ��������

�4�5 Q "� R 4� � �5 �!��4&� R &�4� � �5 R � � � 5

�� � ��������� � ��� ���� �� ���� ��� ������� ������ � � �� �������$ ��� ����

��4�4�5� �4�55 Q ��4�� �5 R.

7�� �&���

��� �������� ������ �� �� ���������

�� ���� ������ � ������� ��� ������ ��������� ��� ������� ���� ���������������� ��� �������� ���� � ��� ��� ������� ��� ��� �� �������� ���H� ���� � ���� ������ ��� �� ���� �� ��� &')� &::)� &A,)�

� � � �������� ���������

� �������� ������� �� ��� ������ ����� ��� � ������ �� �� �������� �� "�

"� (� �� ������ �� ������ �������� �� 4�� �5 �� � ���� � �������#�

4� �������5 ������ � � ��1������� ��������� ������� �4�5� ���$ ���� ����� � ��� ��� � ��� ������ � � � ;��� ����� �� � ��� ��� Q�� R -�� ���� ��- ��� ��� �������� ��� ����� ��� � ������� �� � ���������� ��� ��� ��R-�� �� ������ ��� �� �������� ��� 4�� �5 �� ��������� ��$ ���� ����� ������ 4�� �

��5 � ��� ���� �������� ������� �4�5 ���

�� ��������� �$ � ������� � ���� � / � /�� ���� ��� ����� �$ / Q "�"�

��� /� Q "��"��� �� �� Q �� R -� ���

�� Q !� R !�� �����

/� Q8/ R !

�/ R -�

Page 30: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

� ���� � ����� ������ 4�� �5 � � �#�� �������� ������� �4�5 �� � ���� ��������#� ������ �� ��� ��$ �� ��� ��� �� �������� ��� �����9��0

�/ � .� �� / (� �.

:� 2� / � .

:�

� ����������� ���������� �$ ����� ������ �� ������ � �� ���� ������ ����� ����������� ���������� �$ ��� ����� �������#� ������ �� ������ � ���������� �� �� � ������ �� � ��1������� �������� ������� ��� �� ������� ��� �� ��$ �����1������������

D�9�� � ��� �#��

�Q

��#���

��#���

�#����������

�� �� � �� � ������ �������� ��� � ���� ��3����� ��� ���� ������ / Q ���� ��� �� / (� ��� �������

#��

��

.

4� ��� � -�5�� .

4�� R -�5�

���#���� ��������$ �� ��� � ��3����� ��� ��� ����� � ��� �����1��������<� �#��$ 9���� ( (� ��� ������ ��#���� �������$ �� ��� ����� ������� � (� ����� ��� ������ � � ������� ������ � ������� ������

�� �������� �������� ������� �� ���=���������� ������� 94�5 94�P�� �5��9��� �$

94�P�� �5 Q.

��R

�#��

��

.

4� ��� � -�5�� .

4�� R -�5�

��

��� ������� 94�5 �� �� �������� ������� ��� ��� �������#� ������ �� ����� ���� ��� �#�� �$ � Q �� R -�� ��� ��������� ���� � 94�5 �� � Q ( ��.����

�����

�94�5� .

��

�Q (� 94�5 Q 94��5� 9�4��5 Q �9�4�5�

��� �������� ������� 94�5 �����9�� ��� ��3�������� �������

49�4�55� Q +9�4�5� ��94�5� ���

����

�� Q *(�#��

� .

4�� R -�5 � �� Q .+(

�#��

� .

4�� R -�5��

������ ���������� ��� � ���� ������� ��

49�4�55� Q +494�5� '�5494�5� '�5494�5� '�5�

Page 31: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � ���+ %'+��� #! ��-$# � ��

���� '� R '� R '� Q (� �� Q �+4'�'� R '�'� R '�'�5� �� Q +'�'�'����� ������ �������� � 94�5 �� � Q ( �� �#�� �$

94�5 Q.

��R

�����

������

������ Q

��:(� �� Q

��:-� � � �

��� ��� �� ������� ����

94�� R ��5 Q.

+

�9�4��5� 9�4��594��5� 94��5

��

� 94��5� 94��5�

� � � �������� �������� ��� 0�����1� ���������

�������� � ��� ��� (4��

�� 4�55��� ���� � 4�5 �� � ��$����� � ���

����� � ����� ����� ��� ( �� � ������� ������� ��� �� � � �� ��� ���������� ��� ���$ ��� 9��� ������� �$�����������$ �$ ������� � �� ������ ��$ �������� ������� ��� �� ����������� �$ ����� � ����� ������������������� � 46� ,5� � 46� ,5� ��� :46� -� ,5� ���$ ��� ��� ������ ���������������� �������� � ��� 9���� ������ ��� ����� ���� ��������#��$� ��� ���������������� � ����� "����� ��� =���������� ��� ������� �$ ��� ��#����� ��������� �������� � ��� 9��� ����� <� � ���� ������ ( � , � .� ���� �� ��������� �������� ��� �� ��9��

� 46� ,5 0Q

���

�6�.� ,� ���� 6

� 46� ,5 0Q

���

�.� ,� ���� 6�6�

:46� -� ,5 0Q

���

�6

4. R - ���� 65�.� ,� ���� 6

��� ������ ,� Q�.� ,� �� ������ ��� ���������� � �������� �� ������

������ ����� �������� ��� �� ������ ��

� 4�� ,5 Q

$��

���4.� ��54.� ,���5

� 4�� ,5 0Q

$��

�.� ,���

.� �����

Page 32: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3 �� ������ �� ������� �� ������

:4�� -� ,5 0Q

$��

��

4. R -��5�4.� ��54.� ,���5

��� � Q ���6�=��� � Q . 4� 6 Q *�:5� ��� ��#� �������� ��� ���� � �� ��������

�� ���� ����� �� ����� 2 4,5 0Q � 4*�:� ,5� � 4,5 Q � 4*�:� ,5� :4,5 Q:4*�:� -� ,5� ��� ������� �������� ������ ���� �� ��� �#�� �$ 2 �4,5 2 4,�5� � �4,5 � 4,�5� ���$ ������$ ��� ������ ������� �2 � R � �2 �22 � Q *�:�

%�� ������� #����� � ��� �������� �������� ��� ��������� �������� ������������ ��

2 4(5 Q2 �4.5 Q � 4(5 Q � 4.5 Q*

:�

2 �

+2

�.� �

. R �

�Q

2

:2 � 4�5�

2

�:��

. R �

�Q 4. R �52 4�5� 2 �

�:��

. R �

�Q.

:4. R �52 �4�5�

2 �

+2

�.

(

�� .

:*� +(� ( .�

2 4.�:5 Q2 �4

.�:5 Q

&� 4.�+5)�

+�*

2 �4�:� .5 Q

�:2 4

�:� .5� 2 �

��:� .�: R .

�Q :2

��:� .�: R .

��

2

�.� ,�

. R ,�

�Q.R ,�

:2 4,5�

� + � 2 4,5 R � ,� � *

:�

%�� ������� #�����0

������

42 4,5� � +

,�5 Q ���

���42 �

24,5� :

*�

+

,5 Q ���

���4� 4,5�2 4,552 �4,5 Q (�

������

'���� �!� �

,�Q

.

.*�

M�� ��3���������� ��� �������� �������� ������

�,2 4,5 Q

� 4,5� 4,�5�2 4,5

,4,�5��

�,� 4,5 Q

� 4,5�2 4,5

,�

�,4� 4,5�2 4,55 Q �,� 4,5

4,�5��

�,4� 4,5� 4,�5�2 4,55 Q ,2 4,5�

Page 33: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � ���+ %'+��� #! ��-$# � �4

��� ��#���� ������� � ��� ������� Q � 4�� ,5 �� ������ "����B� ������������ ������� � Q �� 4� ,5 �� 45� ��� � ��� ��� ��� �������� ������� 45 Q

�.� �� �45 ��� ��� �������� ��������� �� 45 Q

�.� ,��� �45�

����� �������� ��� �� ����������� �$ ��� =���������� �������� �������� %��

,� Q'� � '�'� � '�

� �� Q '� � '��

�����

�� 4� �5 Q��

945� '��

�� 4� �5 Q

�945� '�945� '�

�� 4� �5 Q

�945� '�945� '�

��� ������ � ��� =���������� �������� 9 ��� �#�� �$

� Q :2 4,5

�Q :

��%�

�;�+;� � ��;� ��

Q :

%��%�

�;�+;� � ��;� ��

� Q :�2 �4,5�

Q :

��%�

�;�+;� � ��;� ��

Q :

%��%�

�;�+;� � ��;� ��

"����B� �������� �������� ������$ ��� ��3�������� ��������

��� 45 Q �� 45�� 45�

��� 45 Q ��� 45�� 45�

��� 45 Q �,��� 45�� 45�

D�3���������� � "����B� �������� �������� ����� � ��� �������

�,�� 4� ,5 Q

�� 45�� 45

,4,�5�� � � 4� ,5 R 4,�5� R ,��� 45�� 45

��

�,�� 4� ,5 Q ��� 45�� 45

,4,�5�� �� 4� ,5 R 4,�5� R ,��� 45�� 45

��

�,�� 4� ,5 Q �, �� 45�� 45

4,�5�� �� 4� ,5 R 4,�5� R �� 45�� 45

��

���� �� 45 �� 45��� 45�

Page 34: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

�� �� �#����� ����

�� 4�5 Q ��� 45� �� 4�5 Q �� 45� �� 4�5 Q �� 45�

"����B� �������� ��� +2 4,51�������� @�� ������$�

�� 4 � :2 4,55 Q ��� 45� �� 4 � :2 4,55 Q ��� 45��� 4 R :2 4,55 Q �� 45�

�� �� ���� ���� :2 4,5 �� � ����� � �� 45 ��� �� 45 �� �"��� �"� � %�� �������

#����� ��� �#�� ��

�� 4:2 4,55 Q (� �� 4:2 4,55 Q �.� �� 4:2 4,55 Q .��� 4+2 4,55 Q (� �� 4+2 4,55 Q .� �� 4+2 4,55 Q .�

�� 4 � :2 �4,5� ,�5 Q ��� 4� ,�5� �� 4 � +2 �4,5� ,�5 Q �� 4� ,�5� ';&�

��� �������1������ �� �� � �� � �� ������� ����

�� 41R <5 Q�� 415�� 4<5�� 4<5 R �� 4<5�� 415�� 415

.� ,��� �415�� �4<5�

�� 41R <5 Q�� 415�� 4<5� �� 415�� 4<5�� 415�� 4<5

.� ,��� �415�� �4<5�

�� 41R <5 Q�� 415�� 4<5� ,��� 415�� 4<5�� 415�� 4<5

.� ,��� �415�� �4<5�

��� �������$ "����B� ��������� ��� ��9��� ��

�� 4�� ,5 Q � �� 4� ,�5�

�� 4�� ,5 Q.

�� 4� ,�5�

�� 4�� ,5 Q�� 4� ,�5�� 4� ,�5

��� ���������� � ��� ���� "����B� ��������� ��� ��� ������ 1������#�� ��� �������� �������� ��� ��� �������#� ������ ����������� �$ 2 ���2 ��

��� ������ � �� 4� ,5 ��� +2 4,5 ��� :�2 �4,5���� ������ � �� 4� ,5 ��� +2 4,5 ��� :2 4,5 R :�2 �4,5���� ������ � �� 4� ,5 ��� 2 4,5 ��� +�2 �4,5�

��� ����� <������� � "���� ��� ��������$ �������� �� ���$ ���������#�#�� �������� ��������� ���$ ��� ��9��� �$ ��� <����� ������

=45 Q >�415 Q . R :

�����

4�.5�8�� ��4:-15�

Page 35: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � ���+ %'+��� #! ��-$# � �(

?45 Q >�415 Q :

�����

4�.5���8���!�� ���4:-� .51�

?�45 Q >�415 Q . R :

�����

8��

��4:-� .51�

=�45 Q >�415 Q . R :

�����

8��

��4:-15�

����8 Q '�

�� �

����� 1 Q

*

:2 4,5�

%�� ������� #����� ���

=4(5 Q =�42 5 Q >�4(5 Q >�4*

:5 Q

�:,�2 4,5

*�

?4(5 Q �?�42 5 Q >�4(5 Q >�4*

:5 Q (�

?�4(5 Q ?42 5 Q >�4(5 Q >�4*

:5 Q

�:,2 4,5

*�

=�4(5 Q =42 5 Q >�4(5 Q >�4*

:5 Q

�:2 4,5

*�

����� �������� ������$ ��� ��� �� ��������

=4�5 Q =45� ?4�5 Q ?45� =�4�5 Q =45� ?�4�5 Q ?45�

��� ����� <������� ��#� ��� �������� ��� "����B� �������� �#�� �$

�� 45 Q?45�,=45

Q>�415�, >�415

�� 45 Q

�,�

,

?�45

=45Q

�,�

,

>�415

>�415�

�� 45 Q�,�=�45

=45Q

�,�>�415

>�415�

�� 45 Q?45�,�?�45

Q>�415�,� >�415

����� ��� ������ � ��� ����� <������� ��� �� ������� �$ ��� ������ �"����B� ��������� ��� =���������� ������� �� �#�� �$ ��� ������� >� ��

945 Q.

'�

>���� 4(5>��4(5

� ��

��

�� >�4

�5��

Page 36: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�) �� ������ �� ������� �� ������

��� � �� ���������� ��� � ���

�� ���� ������ � ������ ��� ��� ���������$ ���� ����� ��� ������������ ���� � ��� ����$ ������� �� �������� ��������

� � ������ �� �����) ��������� ������

D���� �$ 4�5 ��� ������ � � ����$ �������� �$������� ����� � ��� ������� � ��� �����$ � ���#�� ���� �������� ��� ������$ ���������

� �� � Q � � &(� .) � &(�5� �����

4�5 Q2 �

:2

�.�(

��

) � � �

���� ���� � 5 � � �6)� �7 � 6���8�

$ ��� =� ���� � ��� ��� ������ &.� ()� �� Q � � &.� ()� �$ ;������ :�.�:��� 2����� ���������� �� %����� :�.�' ��� ������ � ��� ������������� ��

��� ������� � ��� �����$ � � � ���#�� ���� ������ ��� ���� � ��� ���� ���&.� () �� ����� � 4�5 Q �4��� � �5� ��� ������� " Q ��4�5 0Q

�� ����

��������$ �� �� ��� ����� ����1����� ?� ��� ��� �������

� Q ��4"5 0Q

&�&�

�"�4.� "�54.� �

�"�5

���� ��� ������������� ?� ��� ��� #������� �.� �.��( �� ��� �������� ��� ��� #������� �2 4.�

�(5� �2 4.�

�(5 R �2 �4.�

�(5 4��� ��� ���������

� ��� ������� � 4� ,55� <�����$� ����� ��� ������ ��� ������������ ���� #������� ����� ��� ������� ��� � Q �� Æ ��4"5� � ���������

4�5 Q2 �

:2

�.�(

��

Page 37: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ���� %$�9'� * '��! ��!' � ��

<� ���� ����� �� ��� �������� ����#��� ������� ���� ���� ������� �� ����������

� ��� '� ����� �� � Q � � � 0 ��� Q .� �� � � &* � 6� * R 6)�( � 6 � *�:�� �����

4�5 Q2 �

+2

�@�

+ R :@R�+� :@

�� @ Q : ��� 6�

) �

���� ���� �&� ��$� !��#�

�� � Q � � � 0 ��� Q .� �� � � &6� :* � 6)� ( � 6 � *�:� �����

4�5 Q2 �

+2

��: R

�+� @�

:

�Q

2 �

+2

���

6

:

�� @ Q : ��� 6�

� <� � Q � � &(� �)� ( � � � . ��� ������ ��

4�5 Q2 �

+24�5 �

� <� � Q � � &��� ��)� ( � �� � �� � . ��� ������ ��

4�5 Q2 �

+2

��� � ��.� ����

��

� <� � Q � � 4�.� () � &��� ��)� ��� ������ ��

4�5 Q2

:2 �

������

.� ��

.� ��

��

Page 38: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

� <� � Q � � &(� ��) � &��� .5� ��� ������ ��

4�5 Q2 �

:2

������

. R ��

. R ��

��

� <� � Q � � 4�.����) � &(� ��)� ��� ������ ��

4�5 Q2

:2 �

����4.� ��5�

4�� R ��54. R ����5

��

� <� � Q � � � 0 �� � �� � .�� � � 4(� .5� �R . � .� ��� ������ ��

4�5 Q.

:*�

.� ���� R�4.� ���54.� ���5

�� � ��Q

Q.

:*�

���4.� ���5 R ��

�4.� ���5�

4.� ���5��4.� ���5

� �� Q �� .� �� Q �R .�

� � ������ �� 3�������������

� =� ������� ��� ������������� � � 4�.� �)� &(� .5�� �. � � � ( � . ������ ����� ���������� ��� ��� ��� � �� ���������� ��� �� ��� ������ ����������� ��� ������ � ��� �����$ � ���#�� � ���� ������ ��� ��� ��� ��� ��

�4��� 5 Q2

2 �

�(� �

.�(�

��

� � '������ �����

� <� � Q � � 4�� () ��� ������� ������ ��� ������� � ��� ���� ( (��

�4��(5 Q.

:*� +(�

� <� � Q � ��� ������� ������ ��� ������� � ��� ���� � � &(� .5 ��

�4�� �5 Q.

:*� 4.� ��5�

Page 39: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ���� %$�9'� * '��! ��!' � ��

� <�� Q ��4�.� () ��� ������� ������ ��� ������� � ��� ���� � � &(� .5��

�4�� �5 Q.

:*�

+�4.� �5

. R ��

� <� � Q � � &�� .5 ��� ������� ������ ��� ������� � ��� ���� ��

�4�� �5 Q.

:*�

+�

4. R �5��

� <� � Q � � 4�.� �)� � � &(� .5 ��� ������� ������ ��� ������� � ������� � � 4�� .5 ��

�4�� �5 Q.

:*�

+4� � �54.� ��54.� �5

4. R �54.� �5��

� '������ ����� �� �����

� �� � Q � � &(�5� ���� �4�� (�5 Q (�

� �� � Q � � 4�.� () � &�� .5�� ����

�4�� (� �5 Q.

:*�

��

.� ���

� �� � Q � � &(� .5� ����

�4�� �� �5 Q:

*�

+�4. R �5

.� ��

� �� � Q � � 4�.� �)� � (� ����

�4�� (� (5 Q:

*�

+�

4.� �5��

� �� � Q � � &(�5� ���� �� ( (

�4��(�(5 Q:

*� +(�

Page 40: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

��� ������������ � �� � �������� �

� � �������� � ������� ���� �$����������� ��� ���������� �� ��� ��1����� � ��� ���#�$ �$ !� D������ &'() ��� ��� ������ � �������� �$ �� %�$���&.'')C&.'*)� ���� � ������� ��$ � ���� � ���� ���� � ��� ����$ ��������

� " � �������� �)����.�����

�4 �� � �� � �����$ �������� �$������� ����� �� � � D�9�� � ���� A�� � ������ � �$����������� ��� � ��$ #� ������� �� A �� ��� �������� ��$������������ � ����� �� �� ���� � �� ��� ������ � � ��� ������ -���� ��� ��� ������ �� A ��� ��� �������� #� �� ��$ ������ �������� � A���� � ��� �� �� � ��� �� ������������$� �� ���� ������ ��� �� ����������� ��� � � ������ ������ ������� �� ���� �� ��� ��� ����������� ��� ��

���� �� � �$������� ��� ���� #� � ��� ���� �������� 8�#����$� � ��� ��

��#� ��� ���� �����

�4 6 ��� � �� � ����$ �������� �$������� ����� ����� ����� �� ������������� ��� ������� � � � D���� �$ ��

� ��� ��� ��� ������� � ��������

�$����������� � �� ����� ��� ��� �������� #� ��� #� ��������#��$ ����

��� ��$ #� ������ �� A �� ��� �������� �������� � #�� ����� �� Q � ���� �

���� �� ���� � �� ��� ������ � � ��� ������ -��� �� ��� ������ ���������

���� ��

��

��

���� ��� � ��$+' #$ �*���$�2#�� �% # !�': * +��+�! !��#�

�4 �� � �� � ������������� ��� ��� ������ ����� � ��� ���� ������� ��

�� ��� ��>����� ����� ��� ��� .��� ����� ��� ����� � � �� ��� ��������� ������$ �� � ����$ �������� ����� B� D���� �$ B� ��� ������� �������� �$����������� 4�5 ��� ������� � ��� ���� ��� ��� �����#� ��������� ����� �� Q B��� �� ���� � �� ��� ������ � � ��� ������ -��� ����� ��� ��� � �� 8�� ��� �#����$ ������ ���� ��9����� � �� ��������$���� ������� � ��� ���� ���

Page 41: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �*���$�2#�� #! �� #$�2#�� ��

����� ��� ���� �$��� � �$����������� ��� ���� ��� %������ �$��������1��� ���� �� ��� ������ �� � �������� �$����������� ��� ��� ��9���� ���1���� ��� %�� ��� �$������������ ��� �������� �$����������� ��� ������ <������ � ����� � ��� ��������� ���#�$ �$ !� D������ &'()�

��� ���� ������ � �$����������� �� ��� ������ ����� � �������9��� �� ��� ��#� �������� �������

#$���� � " � ,E�$� &.(-)� "������ &*+)5� ��� � �� ������ ������������� ���� ���� � � �� �� �� ��� ����� �� � ��� ������ -��� � �%�& ��� 4�5 �� ��� ������� �� � "�� ������ �� ��� ���� �� �� ��� ������ �� �� ����� � ���������� ����� 4�5 � 4��5 "�� ��� ���������� � ��� ��� "��� �� � ����� �� � "�� ������ �� ��� ����� �������� -���

��� ������� ��� � ���� ������ �� ��� ��� ���

��������) � " � ��� � �� ����� ��������� ���� ���� ���� �� & �� ��� �� �� ��� ����� �� � ��� ������ -��� � � %& 0����� �� &�

��� � ��� � �1����� �� & ���� #� ����� ��� ������ ������� �4�� &5 ��4��� &�5 "�� ��� ��� ������� �� ��� ������ ���

#$���� � " � ,"������ &*+)5� ��� � �� ��� ��� � � ��� ��, �4A�(5"�� �"� ������� ���� �� ��� � ����� ���� ��4A�(5 �� �� �� ��� ������� � ��� ������ -��� � � %�& ��� 4�5 �� ��� ������� �� � "�� ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� ������� �� � ��� ����� � ���������� ����� 4�5 � 4��5 "�� ��� ������ ��� ���� � ��� ��� "��� �� � ����� �� � "�� ������ �� ��� ����� �� ������ -��� A

��� ����� � �#��� ��� ���� �� � ��� �9���� 8�� ��� 9�� ���� �� �������� ������ �$ "� "������ &*+)� ��� ������� ��� � ������ :�A�:���� ����� � �$����������� � ���� �� ������� �$ �� I�� %�$��� ��&.'A)�

� " � ������.�����

������ � ����� �� ���� � �$����������� �� �����������

�4=� ���� ��� ���������� � �� ��������$ ���� �� #� ��� #� �� � ����������� # ��� � ������ ����������� 7������ � ��� % ��� ����� �$ %� ������ ���� �� �$������� � % ��� ������� � ��� ���� #� �$ %�C ��� ���� � %���� � #�� �$ %�C ��� ���� � % ���� � #�� ��� ��� ��4%5 0Q 4% � %�5� �4%�%�5�� 4%� #5 � ���� ��� ������ � ���������� � ��� ��� % ��� �������� ��� ������� ���� #�� 8�� ��� ������� ��� ��� ��4%5 Q 4% � %�5� � 4% �%�5� � 4% � !5 ���� �� ��� ��� ������ � ���������� � % ��� ������� �#��

�5 $�� -��� �� ������ ��������� ���� �� =� ������� � ����$ ��1������ �$������� ����� � ��� ������ � �� Q C� �C�� D���� �$ C

�� ���

Page 42: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3 �� ������ �� ������� �� ������

��

��

��;�8

���� ����� ���#$ �� #$�2#�� �% # ���� * +��+�! !��#�

����� ���� ������� � �������� ������� � ��4C�5 ���� � #� 4� ������

C�� ��� ��� �� ��� ����1������5� ����� ��� ��� ��4�5 Q � � C�� � 4C��5

�� ������ � �� ��� ������ � ���������� � ��� ����$ �������� ����� � ���������� � ��� ������� ���� #�� ��� ���� ��9����� �� #���� �� ��4�5� 8�1���#� ���� ��4�5 �� �$������� � ��4�5 ����������� C� � C�� C� � C��

�4 $�� -��� �� ��� ��� � �� �� � �� � ������������� ��� ��� �1����� ����� � ��� ���� ������� �� �� ��� ��>����� ����� ��� ��� .��� �������� � ��� ��� ����� ���� ������$ �� � ����$ �������� �����B� D���� �$ ��4B5 ��� ������ � ���������� 4�5 ��� ������� � ��� ����������� #� ������ ����� ��� ����� ����� ��4�5 Q ��4B5 � � �� ���� � ����� ������ � ���������� � ��� ������������� � ��� ������� � #�� 8�� ����#����$ ������ ���� ��9����� � �� ��������$ ���� ������� � ��� ���� ���

#$���� � " � ,=����� &.,*)� D������ &'()5� ��� 3 Q ��� ��� �� ��������� � � �� � 435 Q ��4��5� �

�4��5� �� ��� ����� �� ��� -��� �� %�& ����� ��� 3 � ��� � 435 "�� ��� ������ ��� ���� � ��� ��� "���� 435 ������� "�� 3 � � ������ � �� 3 "�� ������ �� #

���� ������ ������� ��� ��� �� �������

#$���� � " ,%�$��� &.',)5� ��� � �� ������ ��������� ���� ���� ����� � � �� ��4�5 �� ��� ����� �� ��� -��� � � %�& ��� 4�5 �� ���������� �� � "�� ������ �� ��� ���� �� �� ��� ��� ��� �� �� ����� ����������� ����� 4�5 � 4��4�55 "�� ��� ������ ��� ���� � ������ "��� ��4�5 ������� "�� � � � ������ � �� � "�� ������ �� #

#$���� � " " ,%�$��� &.',)5� ��� � �� ��� ��� � � ��� ��, �4A�(5"�� �"� ������� ���� �� ��� � ����� ���� ��4A�(5 �� ��4�5 �� ���

Page 43: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 <'#!$#�+ !�=�$��# � � ����# �'$%#+�� �4

����� �� ��� -��� � � %�& ��� 4�5 �� ��� ������� �� � "�� �������� ��� ���� �� �� ��� ��� ������� �� � ��� ����� � ���������� �����4�5 � 4��4�55 "�� ��� ������ ��� ���� � ��� ��� "��� ��4�5������� "�� � � � ������ � �� � "�� ������ �� #

��� ��� �� ��������� ��� ���������� � �$������������� �� �4)5 Q � � &(� ��) � &(� ��'

��)�� ( � �� � .� ( � ) � :*� E�#����� 4�4)55 ��������� �� ( � ) � * �� � ������� � ) ��� ��������� ��* � ) � :*�

� ��� ������� ��� � ������ :�A�+� �� ��4)5 Q � �&��� .5� &��'��� '��(��( � �� � .� ( � ) � :*� E�#� ���� ��� ������� ������ �4��4)5� (5��������� �� ( � ) � * �� � ������� � ) ��� ��������� �� * � ) � :*�4%�$��� &.',)5

� E���������R �$������������ �� � Q � � 4�� () � &.� ()�� �� Q� � ��� ��� ���� �� �� � ���#� ���� ������� ( ��� ��� �� �������. ��� ( ���� ���� ��� ���#� �� �� �� ������ � ��� ������ &.� () �� � (� .� (� ��� �� � �� Q �� E�#� ���� 4�5 � 4��5 ��� ��� �������$��� ��$ �� � Q ���

� �� � �� � ��#�� �����$ �������� ������ ����� ��$ ������ ��������� ����� � � ���� �� �� �� �� ����� ���� �� 4�$����������� 4�55 ���������#��T

��� �������� � ��������� � ������� ��������

� ���� �������� � ��9������ ��� ������� ���� ��� �� �2� ����� ����� 9�� �� ������� �$ ��� �� � ����$��� "� "������ &*+) ��� ?� %������&.+.)� ���� � ������� ��$ ��� ����� ��9������ ��� ������ =� ��� �������� ������ � &'-)� &.(A)� &.(*)� &.'.)� &.+() �� ��� ��9������ ��� ���������� 2������ ���������

� 5 � '����� ��������

� ����� �� ��� � �� � �������� ������� ������3 ����� ��� ����� �#���� �� ��� � �$���� � ����������� �� ���� ���� �� 0 � �� ��� �� � ��1����$ ����������� �� � �� ��� #������$ ������� �� Æ ���

�� �������� ��� ��� � ����� 4�� ��5 �� � ��� �� ���� � �� � ���������������� � �� � ���������� ��

� � ���� ��� ��

� � ��� � ��� ������ ����#�����

�� ����� ���� �� ��� � ������� ��������� � �� %� � 2������ �������� ��� ����#����� ������� ���������� ��� ��� ���� ������$�� ������������ ��� ����� � �� ��� ���� 2������ �������� ��� ����� � �� ��������� ������� � .1���������� ������ ����$��� ������� ��� �������� �� ������� �������� ��$ 9���� ������ 2������ ������� �� ��������$

Page 44: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

����#����� � � ������ ��� � 9���� ������ � ������� ���� �� ���� � �� ������� � ���� �������� ��� ���� �� � ������� ��#�������

� ������� 2������ ������� � �� ��� � �������� ������3 ����� ��� ������ �������� �� ��� �#���� �� ��� � �$���� � ������������� ��� ��� ��������� �� ��#� ��� �� ���� ��� ��� ��� ����� ���������1����� ��� ��� #������$ �������� ��� ���� �������� �� ����� �� � ����1����� �� � � ���� ! � ��� � ���� �����#�� �� � ���� � ��� ������$���� �� 0 �� ��4!5 Q (� ���� ���� ���� �� ������� � �� ��� ��� ����� ��� ��� ���� ����� ��� ��� ����� � ��

�� ! � � ��� ��� �� ������� � ����� &&) � ��� ����� ���#�� ������ �� 4�������� ������� ���� ��� &(� .) ��� �5 ��� �������� �� ! ��� ��#�� ���������� %����� ���� & ���������� &&)� =� ��9�� ��� ������ ���1���� &�&� �� � ���� � &� ��� &� ��� ��� ���������� ���������� �����#���� ������� &�� �� ��9��� �� ��� ���� ���#� ��� ��� ��#���� ������1���� � ���� �� ��������� � �� � (1���#�� ��� ���� �������� ��� �����$�������������� �� ����$ ������� &&�)&&�) Q &&�&�)� &&)

�� Q &&��)� &.) �� ������ � ���#�� ������ � !� ����� ������� ��� �������� ��9��� ��� �� ������ ��������� � ��� *4�� !5 � ��� ������� � ��� ������� � ��� ����! ������ � ���#� � �������� ��� ���� ! ��� ������ ���� !� ��������� ��������� &�&���) � ����������� ���� *4�� !5 ��� *4�� !�5� %� ���� ����� ���� � ����� ����������� ��� *4�5 �� � �� ����������

<� ��$ ������ D � ��� ����������� ��� *4�5 � ��� �#�� �������� �� ��� �������� � �� 2������ ������� �� ���� �� ��1��������� ��1������ #�� �� ��� *4��5 Q D � ���� ������� �� � �#���� ������� � ���� ��� ���� ���������� $ � �� �� ������ ���#�� ��� ������ � �������� �� ��#������� <� ��� ���#��� ������ D Q &.) ��� �#���� ������� U��� ���� � �� ��� ���� �� ���� �� � �� ��� ������� U� �� �����$ ������������ �$ ��� ������������ ������ � ?��� ��� E�����K�� ����� �� � ��1����� ���������� E � U� �� ������ � � � � � ���� � � %� ��� ��������� ���� � �� ���� ����� � ����� � ������ ��������#��$� �� ����������� � �$1������� �����$ �������� ����� ��� ��� ���� � ������$ ������ ������������� $ ������� � ������� ����������� E4$5 � �� � ����������� ������ ��� ��� ������� F ÆE�� ��� ��� ��H����� F 0 U� � � ���� ��������� ����$��� ������� ��� �� ��#������ ��� � ������������ ��� �������� ������ <������� ��� ���#����� �#�� �� � �� ������9�� ������ �������� ������� ���� ����� E� =� ����� �$ B ��� ��� � ���1�������� � ��� �������� ����� ���� ��������� � ��� ��� � ����������������� �� U�� %� ��$ 2������ ������� � �� � �� ������9�� ������ ������� � Q ��B �� � ������� ����#������� ���� � �� � �������������� =� ��$ ���� B ���� �-�� ��� ������� ��

��� �������� 2������ �������� ��� ��������$ ����#����� � ��� 2������������ � � ��� ��� B �� ���� ���� ������� � ��������� ������ ������� ��1��������� � � � ��� �������� 2������ �������� ��� ��������$ ����#����������� � ��� ����� � � ��� ��������� ����� � �(�� � ��� ����� ��� ��� B

Page 45: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 <'#!$#�+ !�=�$��# � � ����# �'$%#+�� �(

�� ���� ���� �� ������ ���#��� � ���� ������� � ������������� �� Q �R-� ��� Q �R-�R�� ���� � �� � ��� ������ ������� ��� �� ��� �Q (��� -�� ��� ��� �������� ��� ���� 2������ �������� ��� � �$��������$�� ��� B �� � ������ � ��� @����� ��� �%�� � ��� ������� ���1�������� � � � ���$ ��� � ��� ���

� � '��� � �

.� �S�� � � �� ( � ) � :*�

�� ���� ���� ��� ��� B �� ������ ��� 3����� � ���� ��� ����������� �1���� � � ��� <������� ��� B �� � ����� ��� � ��� ����� � � ���� ��� ������#����� ��� ������� � ��� ������ ��� B� �����������$ ���� ��������1��� ����� �� � �$������� ��$� �� � ������ �$ ���� � ���������� ��� � �� ���� ��$� ��� � 9���� ������ � ������ ���� ��� ��� B �� 9�����$��������� � 2������ ������� � ��� � 9�����$ �������� ���������� ���B �� ���� � �� � #��� ����� �� ���� �� �� �� � ���� �� ���� ����� ����������� %�� ��� � � � � %' � �' � ��� ��� B ��� �$������� 9��� ����� ��� ���������� � +� ��� +� R :4- R �5 ����� � �� �� �� ���� ���#���- ��������� ��� � ������ ������ ���� ����� ��� �������� 3�� � � � � 3��( ���� ��� B ���������� � - �������� 9��� ����� � 3�� � � � � 3� 4������ ��5 ��� � �������� ����� � 3���� � � � � 3��( 4#������� � � ��� �5� ������������� ������$ ��� �����������

3��( Æ � � � Æ 3� Æ���' Æ%��

' Æ�' Æ%' Æ � � � Æ���� Æ%��

� Æ�� Æ%� Q ���

�� � ������� � ��� ����������$ # �$������� ������$ ��������� ���� ����������� �� ���� � �� � 9���� �$�� 4�� -� #5�

� 5 � !�������� ��6���������

�� �� -� #�� �� ��1�����#� ������� ��� �� �� � 2������ ������� � 9�����$�� 4�� -� #5 � 4�� -5 ��� # Q (� ����� �� �� � ���� � ��� ��� - ������������ # �$������� ������$ �������� 4 ��� ��� ����� �� # �Q (5� �� �����#� � 9���� ������ � ������ ������ �� *� � * R :-R '# (� ���� �� �� ��$������� ������� �$�� ��� ��� ���#����� �#���� �� ��������$ ����#������ ��� ���� ���� � Q � 0 ��� � .�� ��� ���� ������� ���� ������� ��� ������� ��� ���#����� �#���� ������ � ���������� <������� ���B� � @���������������� � � � ��� �������� � B� ��� ��� ����������� ��$�� ��� �� �������#��� 8�� ��$� ���� ��� <������� ��� B� ���������� ���2������ ������� �� ��� ���� 2������ �������� �� � �� �����9�� ��� ���������� �� Q ��B��

=� ��$ ���� � �������� 4���������5 ��������� ��3�������� 6 �� ��19��� � �� �� �� ��$ ���� ��������� � � �� ����� �� � �������� 4�����1����5 ������� 64�5 ��9��� �� ��� ���������� ���������� ���� ������������9�� ��� ������� � ��� ��#������� ��������#��$ � � ����� � ������1����� ����� �� 6� ��� 6 ��� � �������������� � ��� ��3�������� �� ����� ���� ���������� �� ��� �� ����

Page 46: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�) �� ������ �� ������� �� ������

6�4��5 Q 64�5

���

���

��

�� ��� #������$ ������� �4��5 ��9��� �� ��� ����������� � ��� �������1��� ����������� =� ����� ����� ��������� ��3��������� �����$ �$ 6 �64�5��� �� ����� � ��� ���� ��������� �� �� F�4�5 �� ��� ��H����� � ������#����� �#���� � �� 4 ���� �� �������� �� �5 �� ��� D�9�� ��� ����1���� 84�5��� � ��� ��������� ��3�������� 6 �� ��� ���#����� �#�� � �$ ��������� 84�5 Q 64F�4�554F

��4�55

�� %���� F� �� �� ��������� ������� ���������� � ��� ��� B�� ��� ��#������� ������� �� ��� ��3�������� 84�5��

�� �����9�� �� 84�4�554��4�55� Q 84�5 �� � ��� �� � � � � � � B�� �� �� ������� ��� ������� ��#������ ������

��64�5����� ��������� ��� � ��������� ��3�������� 6� ��� ������� � ����� �� ���� ������ ����"� Q ��64�5������ � ������� ������ ���#� � �� ���� ���� ��� ���������$64�5��� ( ���� � �� � ���� � � 1���� � � 6P �� � ������� � 1���� ��� �� �����9�� ��� ��#���� ���������$ 64�5��� � (� ��� ���H������� ��� �1����� ���H������� ��� �������� ��� ��� ����� ��3�������� ��������� ���� �� ������ � � ���� ���������� =� ���� � ���H����$ 4� �� ��������5 � ��� �� ����� �� � ��� � � ��� �� ��� ������� 8���� ���H������� ��� ���� � ��� ����� ���������� � ��� ���� ��� ���� ���H����$ ��������� ��� �� �#�� �� ��� ���� ���������� ��� ��� �� ���� �� "� "������ &*+) ���?� %������ &.+.)�

� ���H����$ � � ��3�������� 6 � ��� 2������ ������� �� �� ������ #���4� ������ �� ��� ���� � � �� ��� �� %������B� �������$5 �� ��� �������

��64�5�����1������ �� 9�����8�� ��$� ���� � �������� 4���������5 ��3�������� ��� 9���� ���H��1

����� �� ��� ��19���� ��� ��� ����� � ����� ����1������� ���� ��������� �#� ��� ������ ��������� ���� ��� ����� �

��������� ��3��������� ��� 9���� ���H��������

����������� � 5 � ,%������ &.+.)� �� :'5� � ������ ��� ��� �� �2� ����� �� �� �� #��� ���� � �� ��� � ���� ����� ����� �� ��� ����� � ���� ��� �� ��� ��

����������� � 5 � ,%������ &.+.)� ������ :.�:5� ��� ��� �� ������ ������ �� �2� ����� �� �� �� #��� ���� � �� "�� #��� � 1���� �� ������ �������� ���� � ������ %� ��� ���� ���� � �������� �� ��&

����������� � 5 � ,&.+.) ������ :A�:� ��� ��� &:,) 5� 4� ����� �� ���� �� ���� 4�� -5 ��� �� �2� ����� "�� #��� � 1���� �� �� � � ���� �"�� � ����� ��� � ��� ���� �� �� ��� �� �2� ����� �� #��� � �� �

� 5 � (���� ���7�����) ���������

6 � ����$ ��� ����#��� � ���H������� �� ��� ���������� � ����1�������� � � ��������� ��3�������� � ��� � ��� ������ @��$ � ����� �������

Page 47: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 <'#!$#�+ !�=�$��# � � ����# �'$%#+�� ��

��� ������ ���� ��� �� ���� �� &.+.)� 7������ ���� &*+)� 7������ : � ���� � ��� ��������� ��� ����#��� ��������� ���� ��� ���� ���H����$ ����������

7������ � �������� ��������� ��3�������� ��� � ��� 2������ ������ � �7����� ��� ��������� � � .��� �� ��� ��� ���� �� ��� ��� �������������4���5��4��5 �� � ��������� � ( �� ����� � ��� ��������� ��� %� ������3�������� ��� � ������ ���������$ �� ��� ���� ���� �� ��� ��� � ����+� ��� ���H������� � ��� ���� �#����$� �������� ������

<� � ��������� ��3�������� 64�5��� � �������� � � ������ ��� � �� ����

� Q

�� �64�5��

�� � ��������� � � ������ ���� � 64�5��� � %� �� ��� ������ � �����#����� ������ � ��� ������ �� ��� �����$ ����������

64�5 Q �� R ��� R � � � � �� �Q (�

��������� ��������� ���� �$ ���� 4���� �� ������� ��� � ��� ������ ��1#������ � ������� ������ ��� ��������� �����5 � ����� � ��1����� ��� � � �� ����� ��� ���� ���H����$ ��������� �� 64�5��� ���� ������� ���� �� ��� ���� �� �� ��� �� � ����� ��� �������

�� !� �� � ��� � ��� ��3�������� 64�5��� � �#�� ���� -� =� �������

�� �� ����� � � ���� ��������� � ���� !� ���� ���������� ���� ��� �� (� ��� ��������$ ����� ��������� � !� �� ��� ������ � ����� #����� ������� ��� ������ �� ��� �����$ ������ � Q ( ����������

64�5 Q ��!�4�� R ��� R � � � 5�

��������� ���� ���� ��� � ����� � ������� " Q ������!�4��R ���R � � � 5���� ���� ��� ���� ��������� � ��� ��������� � �� �� ��������������� #�� "1������ ��������� � �� ��������� � 0 ������!� Q " ������ � ������� ��� � � � ���� �� ������ �� � ��� ����� ���4 ������ 5�, Q (� � � � � -R .� ���� ��� �����9�� ��� �������

64�5��� Q

�-R :

:

��

������

����� ��� ���H����$ ��������� � 64�5��� �� � ��������� � ��� �� ������� �� �� ����� �� � ������ ������� ��� ��� ����� ��������� ��� ����1��� " Q ������!� ���� ���� �����

:*

-R :, � �� � �

:*

-R :4, R .5� , Q (� � � � � -R .

�� ��� ����� � � �� ����1����� ��� ��� �������� ���� ��� ��� ����� ���� ���H������� � 64�5��� � <� �� �� - �� ��� �������� ��� ���������

Page 48: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

;#8 ;:8

���� ����� �&� �+# $#>�+�$* �$'+'$� �#$ ;#8 ���� � 2�$�? ;:8 ���� � �� �

��������� � Q � ���� � � �� ��9��� �� � ����$ �#���� ���������� (�

�������$� �� !� �� � ������ ��� ���� �������� ����� � ��� ���� ���� ���H������� �� ��� ����� ( � �� � � :*�

�� !� �� � ��� � ��� ��3�������� 64�5��� � ���� :� ���� ���� �� ��������

������� ��� ��������64�5 ����� ��������� �#�� ��� ��������� �������1

��$� <������ ������������ ����� � ��� ������� ��� � � � ���� �����9����� �������

64�5��� Q���

������

������� � ��� ������� ��� ���H������� ��#� ��� ������ ��� 4��� (5���� �������� ��� 4��� � (5� � ��� ������ ��� 4�� ��� �Q (5�

��� ) ��� � ) ����� �5 )

���� ����� �&� �+# $#>�+�$* �$'+'$� �#$ # !�': � �� �

� ��� ���� ������� ���� � ��� ��� � ���� ������ ���� : � ���#� ���� ��������� ��� ���H������� ���� ���� � ��� ������� ��� ����� �� �������������$ ��#� - � : ������ ��������� ���� ���� ������� ������ ������ :*�4-� :5�

Page 49: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 <'#!$#�+ !�=�$��# � � ����# �'$%#+�� ��

���� ����� �&� �+# $#>�+�$* �$'+'$� �#$ # �� � �% �/& �$!�$

� 5 #��7�����) ��������� �� �$� ����

��� ���H������� ��� ������ ���H������� � � �#�� ��3�������� 64�5���

������ � �����#����� ������� � ��� 2������ ��������=� �#� ���� � ������9����� � ������ � ������� �$��� ��������� ���

� ��������� ��3�������� 64�5����<���� � ������ ���� ��� 2������ ������� �� �� � �$������� �$�� 4�� -5�

=� ������� � �������� ��3�������� 64�5��� � �� ���� ��� �� �����1���� � ��� ������ �� � ���

.5 =��� � ��3�������� 64�5��� ��� +���� ���7�������� ��� �� +���� �8��� � �������� �� ������ � ������� ����$ �������� �$������������ � �� ���� � �� � ��� ����� �� 64�5��� �� ����� �� � ���������$ ���� � ���H����$ ������ ����� � ���� � � ���� �� �� ��� ����� �� � ������( . ��� � ���

� Q ���

��& �� �64�5 ��

�� � & �Q (

� � �� ��� ��� . � ��� � (�

:5 =��� � ��3�������� 64�5��� � +���� �8��� � �������� �� ������ �� �� � ������ � �������� � ������ ����� � ���� ��� �����9������� �� !� �� � ������ ���� � ��� ��3�������� 64�5��

� � �� ������ ���H����$ �4!�5 � 6 ������ ����� ��� ���� !� �� �� ����� ��� ��#������ ��� � �������� ����� =� ������� ��� ������� ���H����$ ��4!�5� D�����$ % ��� ����� ��� � ��4!�5� ����� &+')� %����� :�AP &.+.)� %����� .(�:� ���������� � % �� � �����$ �������� ����� � ������ �$ 9���� �������� ���1H������� � 64�5���� @��#��� ��4!�5 Q % ���� �� ! � %� ���� ��4!5 Q %������ ��� ����� � �� ������ � ������ ������

Page 50: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

'5 =��� � ��3�������� 64�5��� ��� +���� ���7�������� � �������� �������� � ��� ������ �� � ������ �� ����� ������

� ������� �����$ �������� �$������� ����� � �� ���� � �� � ������������� �� 64�5��� �� ����� �� � ������ ���������$ !� �� �� ���� �� � ��� ����� :� � ���H����$ ������ ����� � ���� � � ���� �� � ��������� !���� ��� ��� ����� �� � ���

� Q ���

��& �� �64�5 ��

�� � & �Q (� �� � �Q !�� � Q ( �� � Q !�

� � �� ��� ���� ��� � (�8���� �$��� � ������ ������ � ���������$� � ������� �����$ ��1

������ �$������� ����� � �� ���� � �� � ����� ����� �� 64�5��� �� �������� � ������������ !� ��� !� �� ��� ���� ��� ���� � ���� :� � ���H����$������ ����� � ���� � � ���� �� � �������� !� ��� !�� ��� ����� �� ����

� Q

�� �64�5 ��

� � �� ����� � � �� � � ��� ������� �����$ �������� �$������� ����� � �� ���� � �� �� �����

����� �� 64�5��� �� ����� �� � ��� !� � ���� : �� ��� � ���H����$������ ����� � ���� � � ������� ��� ����� �� !� ���� �� �� ��� ������� � ���

� Q

�� �64�5 ��

� � �� ��� ����� � � �� ����1����� ������� � ��� ������ � ��� ���

+5 =��� � ��3�������� 64�5��� ����� ��� ��#� ����������� � ����������� �$��� � ��� ������0 �� ������ �� � ������ � ��� �������� � ������ �� ����� ������

6 � ������ � 2������ ������� �� � �� � �$������� �$�� 4�� -� #5 ��� # (� ��� ��3�������� 64�5��� ��� ��� ����� � �� �� � ���H����$ � �������� ���H����$�

A5 %����� ���� ��� ��3�������� 64�5��� ��� � ������������ � ��� ������ �� ���� �� � ���H����$ � 6� ����� ��� ���� ���H����$ ��������� ����������� �$ ��� ���� ������ �� �� ��� ���� � ������ �������� ���������� ����������

*5 %����� ���� ��� ��3�������� 64�5��� ��� � ������������ � ��� ������ �� ��� � �������� ������� � ��� ����� � �� �� �� ������ ���1H����$ � 6� ����� ��� ���� ���H����$ ��������� �� ��������� �$ ��� ���������� �� �� ��� ���� � ������ �������� ���� ��� ����� �� � �����

Page 51: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 <'#!$#�+ !�=�$��# � � ����# �'$%#+�� ��

�� N����1����N ��� N����1������N� 6����$� �� ��� ������ �$����������$��� ��3�������� �� ��� 2������ ������� �� ������� �$ ��� ��#����� � ������� �� � ��� ������$ ���������

� ������� �����$ �������� �$������� ����� � ��� � ��1����������� �������� ������$ �������� �$�� � ��� ����� � �� ������ � �� � ��� ���� �� 64�5��� �� ����� �� � ���������$ �� �� � ���H����$������ ����� � ���� � � ���� �� �� ��� ����� ��� ������� � � �� & � ����� � ���

� Q

�� �64�5 ���

� � �� � �������� 2� � � 4�� �5� �� � � 4&� �5�� ������� �����$ �������� �$������� ����� � ��� � ��������

������$ ������� �$�� � ��� ����� � �� �� ���� � �� � � ���� ��64�5��� �� ����� �� � ��� !� � ���� : �� ��� � ���H����$ ������ ����� ����� � � ���� �� �� ������ �� !�� ���� �� ��� ������$ ������� � � ���� ����� � �� ��� ����� �� � ���

� Q ���

��& �� �64�5 ��

�� � & �Q (� �� � �Q !�� � Q ( �� � Q !�

� � �� � � &(� .5�E��� � ���� : � ��� ����� � �� ��� ��� ������ N����1��������N

������ �� ��� ����� �� �� ������ ���H����$ � ��� ��3�������� �����$���� ���� � ����

��� ���H����$ ��������� � 64�5��� ������� � 9���� ������ � ��1#�������� ������ � ��� ��#� �$���� =� � �� ������� ���� ��� ����� ��� ���������� �������� ����� � 6 �� ��� ����� � ��� ��� ������1��� ���� ��� ���H����$ ��������� �� ��� ���� �� �#�� �$ ��� "������ @���%�������� ������ 4&*+)� ������ '�A� ��� ��� ��� ������� #����� �� &**)4��� ��� &.'/)P &.+.)� 7������ �!5�

�� � � � �

���� ����� �&� $#>�+�$* �$'+'$� ;� &� #$-�8 �% &� !�=�$��# ��;�8���

��� ���� ������� 4<�� :�.A5 ����� ��� ��� �������� ��3��������

Page 52: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3 �� ������ �� ������� �� ������

6�4�5��� 4&� �5���

4� � �5�4�� � .54� � �5

� ��� 2������ ������� �� Q � � �.� .� �� ��� . � & � � � ��

��! "��� �������� � � � � �� ������� � ���#�� ��

�$������ ������� ��

�� ��� ��#������� � ��� ������ ����� �� ��$ ���������� � ��1������� ���� ������$ ������ ��� ����� � �������� � ���#�� ��� �����������3��������� ��� 9���� ���H�������� ��� 9��� �� ������ � "� "������ &*')� &*,)��� �� ��#����� �$ E� ������# &.+*)� &.+/)� ��� �� ?��B���� &,-)C&-A)��� ���� ��� ��� ������ � ��� ������ � � �����$ � ���#��� ���� ���� �� ��������$ ��9��� �$ � ������ ��� �� ������� &.:) �� ��� ��������� ��������� ������ ��� ���� �� �� ��� � ?� %������ &.+.) 4��� ��� &'*)� &.',)�&.'+)� &.',)� &.'-)� &.'/)5 ��� ���� ��� ��� �������� �������� � � 2������������� �$ ������ � ������� ������

� 9 � #$� ���� �� ��� ������ ��� 3���������

�� � �� � �����$ � ���#�� � ��� � �� � ������� ��#������ ������ �4�5����4�� ����� � � ���� ��������� �5� ����� �� ��$ ���� ��������� � � ��� ��������� ����� �� � ���� #����� ��1�����#� ���������� ������� �4�5 ���� ���� ������ �� ��#������� ������� �� �����9��

��4��5 Q �4�5��� �����

�������� ����� ���� � ��9�� ��� ������ � �� ��� ��������$ ����#����� ���������������� � �� 4��� ��� %����� :�.�.5� �� � �� � �����$ � ���������#������ ������� � � �� ������$�� ��� ��� �� ���������� ������� &*')�&.+*)� �� ��$ � � � � �

�4�5���� � .� 4:�.(5

�� �� ���������� ��� %����� :�.�. � ����� � ������#B� &.+*)�&.+/) ��1����� � ��� �������� � ������������$� � ��� ��9������ � �������� ����1���� � ���#��� ������ �������� ��� ����� ���� �� ��� ��� �����9������$ ����#�� ��� ������� ������� ��� ��� ������� ��$ ���������� ������� �����������$ 4�� ��������$ �����9����5 ���#��� ���� � ������� �� 4:�.(5 ���� �� D����� �������� ��� ���� ��� ������ ����� �������� �� 4:�..5�

�� � �Q �� ���� �� ��� ��$ ���� �� � � �� ��� ������ ������ ����9��� ��� ��� ������ �� ���� ������ �� �#�� ��

Page 53: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��4 �$�� %#�� ��� �% &�����* + #���� �% +'$,�� #! �.$��# �#$���� �4

�4��� � 5 Q ������

��)�

��4�5�$� � 4:�..5

���� �$� �� ��� ���� ������� � ������ ���� ��������� � ��� ������ ��� ��� ���� �� �� %����� :�.�:�

����� ��� ������� ��#�������0 �� � �� � ������� ������ �� � �� �����4��� � 5 Q �4�� �4� 55P ��� ��� ���������� � ��� �������� ������ ����� ���� ���� ��� ������ ������� ��� ���� ����� � ������� ������ ��� ������ ��������� � ��� =� �������� ���� �� �������� ���������$�4��� ��5 � �4��� ��5 ��� �� � ��� � �#��� ��� ������ � ��� ����1����� ��� � ��� ��� � ��� �������� ������ �� ����� ��� ��� ������ ���������� ������ ������� ��� ��������� �� &*')� &*,)P &,-)� 7������ (� ������ ��������� ��� ���� ����������� �� ��� �� ��� ��� � ��� �������� �������

�#���� ����>��� ������� � ����� �$ 4�5 ������ ��� ������ �� ����$ �������� ����� � ���� � � ������������� ������� � ��� �$��� �� 4�5 Q �4��� 5 ���� � �� ��� �����$ � ���#�� ���� �������� ���������$ �������� � � ����$ �������� ����� � � � �����$ � ���#������ ������ ��� ������ ������$ �������� � � ������������� ��

6 � ��9�� ������$ ��� �����$ � � 8� � 2������ ������� �� � ���� �������� � ���#�� � Q 4��� � � � � �#5 � � �$��� �� ��� ��� 9��� �� 4�5������� � ������ ��� � �� ���� ��� �� �����$ ������ ���� ���� �������� �� 4��5 ������ ��� # ( ��� ������� � ������ ���� � �� ������ ��� �$������� ������$ �������� � ��� ��� ���#�� ��� ������� ��1�������$ ���#��� �� ������������ %��� � �������� � �� ������ ��� ������������� �� �� ����

� ��� �� � ���#�� � �� �� ���� � �� � �������� ���� �������� �$ ����� ��� ���������� �$���� 4��� � � � � �#5 �� ���� ��� ������� � ��� ���#�� ��$�� � � �� ���� ��� �����$ ������ � �� � ���

� �������� � ��� ����$ ������� � ���#�� � 0Q 4��� � � � � �#5 ����1���� �$ ��� ���������� �$���� 4��� � � � � �#5 � �� �� ���� � �� ��� � �� ������ �������� ������ �� �� ����

������ G 0Q 4G�� � � � � G#5 � �� � ��1��� #���� ��� ��1�����#� �1��������� �� � �� � �����$ � ������� ��#������ ������� � � �� ������$����� ��� �� ���������� ������� &*')� &.+*)� <� ��$ � � �� ��

�4�5���� � G� � 4:�.:5

�� � �Q �� ���� �� ��� ��$ ���� �� ��� �����$ � � �� ��� �� ��� #���� G��� ������ ������ �� ��9��� ��� ��� ������ �� ���� ������ �� �#�� �$

�4��� �� G5 Q ������

��)�

��4�5�$� � 4:�.'5

Page 54: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

�� 4:�.:5 � ������$ ���� ��� � �� D����� ������� �� �� 4:�.(5 ��� 4:�.5����� ��9����� � ��� ������ �����9�� ��� �������� ��������� � ��� ��9��1��� 4:�.(5C4:�..5 � 4:�.5C4:�:5� @��#��� �� �� �� � &*')� &*,)� ���� ����������� � ������ �������� ������ �� �� ���� ������ ������� �� �� ��9��� �$��� ������ �������� ��������� ��3�������� ��� 9���� ���H������� 64�5���

� �� ��� ��4�5 Q

��64�5��=� ���� � ����$ �������� ������� � �� ������� ��� ��� ����$

����� �� � ��� 9��� �$�� 4�5 �� ��$ ������ �� ��������� ��� ������$�������� � �� ����� � �� � ���� � ������$ ���� � ������������� �� ��� ��� �������� #������� .�:�'�+ � ��� �$������� ������$ �������� ��� � �� ������� ��� ��� ����$ ����� �� � ��� ����� �$�� 4��5 �� ��$������ ��� �������� ��� ������$ �������� � .�+ ��� :�' � ��� � ������� � �� �

��� �������� ���H������� � 64�5��� ����� �� ��� �� ��� � ��� �1����� ��� ���������� �� Q 4��

� � � � � � ��#5 ��������� ��������#��$ ���

����$ ������� � ���#�� 4��� � ��� ��� ���������5� ��$ ��������

� ��1#�������� ���������� ����$ �������� ������ ��� �����������1��� � Q 4��� � � � � �#5 � �$��� ���� ��������� ��� ��� ����$ ������� ���� ���� �����$ � �����9�� ��� ��� �� ���������$

#����

G��4��5 �#����

G��4��� 5

��� ��� �������$ ��$ �� � Q �� ����4��5 4������� � +5 �� ��� ��1���� � � ����$ �������� ����� ��� ������� � ��� �����$ � ���#�� ������������ ��� ������$ �������� � ��� ������ � � ������������� ��� ��1����� � ��� �����$ � ���#�� �������� ��� ������ ������$ ��������� ����

;��� ��� �� ������ � ��� ����� � ���� � ��������� �� ��� ���H����$

��������� � 64�5���� �� ��� �� � ��� ������ ���� ����� �� � ������� ���

��4�5� � � ��� ���� �����9�� ��� ��3�������� �������

G��

����4�5��4�5

��

Q �+*�64�5�

�� ������� �� ��� ������� . � �"� � ���4:*4��

� 55� �� ��� �� � ����������

���� ����� �� � ������� ��� ��4�5� � � ��� ���� �����9�� ��� ��3��������

�������G�� 4�

��4�55

� Q 64�5�

�� ���� ��� �� ��� �������� ( � 2�" � .� ( � ��" � 4��

� 5� =����� ��� �$���� � ������ �� ��� �� ��� ��� ������ �� ����� �� �����3�������� 64�5��� �

����� ��� ������ ������ �� ����#����� � ��� ������ � ��� ���������������� � ��� 2������ ������� �� �$ ��� ������ � ������� �$��� ��������� ��� ������� ���� �����$ � ����$ ������� � ���#���

Page 55: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��4 �$�� %#�� ��� �% &�����* + #���� �% +'$,�� #! �.$��# �#$���� �(

@��$ ���������� ����� � ���� ������ ������� ������������� �������1��� � ��� ����� � ������� �������� � ���#��� ��� ����� ����������� ������������ �� &'+)� &+()� &+.)� &,-)� &,/)� &.*')� ��� ������� � �������� ���������� ��� ���� � ���� �$��� � ��������� ������ ���� �� �����1����� ������ ����������� ������ ��� ������� �$ �� ?��B���� &,-)� &-.) ��� ;� ;���B$��#&'*)�

6 � �������� � ������$ ��3����� ������ � ��� �������� ��������� ��� 2������ ������� �� ���� �� ��� � ?� %������ 4&.+.)� %����� :(�A�=������ ��� � ��� ���������� � �����5�

� �������� ��������� ��3�������� 6 ��� 9���� ���H������� ��� � 9���� �1��� �� ���� � � �� � ����$ �$�� 4��� � � � � �#5 �� � �������������������� �$���� � ���#�� � �� �� ��� �������� ���H������� ����� �� ��� ��$���� � ��1#�������� ��� ������ ��� ���������� 4��

� � � � � � ��#5 �

����$ �$�� 4��� � � � � �#5� �� � ��������� ��3�������� 6 ��� 9���� ���H������� �� � 9���� ���

��� � ����$ �$�� 4��� � � � � �#5P 4��� � � � � � �

�#5 �� ��� �������������� �$�1

��� � ������� �� ��� �� �� ���������� ���� � ����� �$ G� ��� �����

� � ���H����$ ���� ����� � ��� ����� ��� � ��� ��3�������� 6 �� ���

��������64�5������ ������ �� 0Q G� � 4��

� 5� ����� �6� Q�#��� G� � �� �

��� ������� ������$ � ��� ��3�������� 6 �� ��������� �� ��� ��� ������������

����������� � 9 � ,%������ &.+.)� ��� .(A5� ��� � 0Q 4��5#��� �� � ��

���� �� �������� ������ �� �� ��� ���� ��� �� � ������� ������4��� � � � � �#5 �� �� ��� 6 �� ������ ��� ��� �� �2� ����� �� �� �� #���� ���� � �� "�� #��� � 1���� �� �� ���� �������� ���� 4��� � � � � �#5 �����

�4��� �� G5 Q �6� Q#����

���4��

� 5�

"�� � 4��� � � � � � �

�#5 � ��� ������ �� �� ��� ��� �����

����������� � 9 � ,%������ &.+.)� ������ :(�A5� ��� 6 �� ������ ������ �� �2� ���� �� �� �� #��� ���� � �� "�� #��� � 1���� �� ������ �������� ���� � Q 4��� � � � � �#5 "�� ��� �� ��� ��� ���� �������� Q 4��

� � � � � � ��#5 !� � Q 4��� � � � � �#5 � ������ �� ������� �����

����� �� �� �� �������� ���� 4��� � � � � �#5� ����

#����

���4��5

�#����

���4��

� 5�

"�� � ��� ������ ��� � ������� ���� �� � Q ��

��� ��������� ������ �� �#�� �� ��� ��

Page 56: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�) �� ������ �� ������� �� ������

����������� � 9 � ,%������ &.+.)� ������ :.�.5� ��� � Q 4��� � � � � �#5 ��� ������� ������ �� �� ��� �� �� .������ ��� � ����� ������ �� ��������������� ����� �� ��� ��� �� �� ��� �������� ���� "�� ������������ ����� �� �� ��������� �� ������ ����� � 4��� � � � � �#5 ��� � ����� ����� ������ ��� ��� �� �2� ���� 6 �� �� "�� #��� � 1���� ���� ������ �� ������ ��������� ����� �� ��� ��� �� 4��

� � � � � � ��#5

�� �������� ���� 4��� � � � � �#5 ���� ��� 6 � �� ��� ��� �������� ���� ��4��

� � � � � � ��#5 � ��� �� ��� ��� ���� ������ �� 6 '� ���� � �6� Q

#����

���*���

� ��

����� ��������� �#� ��� ������ � ��� ������ � ��� �������� ���1����� � � 2������ ������� 9��� ��� ���� #���� G � ��� ����� #����4��� � � � � �#5� ��� ��������� ��3������ �� ����0 �� �� �Q (� ���� ��� ����� ��

��#�� ���������� ���� ���� ��� ���� G� �Q ( ��� �� ����$ �����

� 9 � #$� ���� �� ��������/ ����� ������/ ��� ��������

=� ������� ��� ������ ������ � %����� :�,�. �� � ����� �� ��#�����$ "� "������ ��� ?� %������� 8�� ��� ����� � ��� ������ � ��� ���������������� � � 2������ ������� �$ ��� �������� � ��1#�������� ��������������� ��� � ������� ���� �����$ � ����$ ������� � ���#�� �� ����� ��� ������ ������� 2������$� �� ?��B���� ��� ����� ��� �� �$���� ����$ ������� ��� ������ ��� ��� ������ ������ ��� ��� ���������� ��� �������� �������� ��������� �� %����� :�,�.� �� ����� �� � ���������� �� ��� ������ � #����� �������� ������� �� ������� ����

=� ���� � ��� �� �$��� � ���#�� � ��� ��9����� � ��� �����������$����� � 9���� ������ � Q 4��� � � � � �#� �#��� � � � � ��� ����� � � � � ��5 � ��������� ��� ������ ���� ��� �������� �� ��� �$������� ������$ ����������� ��������� � �� ���� ��� �� �����$ ������ ���� ��� � �� �� ��������� ������� ������ �� �� ��� � �� �� ����� ���#�� ��� �� ������ �� ���� � �� ��� � �� ���������� =� ��� � ���#� �� ��� ��� �����������$���� �� ������ � � �������� 4��� �$��5 �� + Q �R .� � � � � H� �������$�� � ���#�� ������� � ���� �� ���� ��� �� ���������$ ���#���� �������� 9���� �� 9��� ����� 4� ��� ���� ����5 ���� ��� �� ������ ���������� ���� ����� � �$������� �������� � �� 4�! �$��5 �� + Q HR .� � � � � ,�

�� �� ���������� �$���� � ���#�� 4��� � � � � ��5 �� �#��� � ����$ ��1������ ����� �� � �� ��� �� �$������� ������$ ������� ��� ��������� �� ��� ���� �� �� ���� � ��#� � ����$ �$�� ��� �� ��$ �� ��� ��������� ��� ������$ �������� � � �� �����$ ������ � � ���#��� � �$�� ���� � ��� �� � �� ��� � 9��� #������� � ��� ������$4��$�� ��� ���� ����5 �� ���� � �� � ����$ �$�� �! �� ��$ ��� � ���������� � #������� �� ������ 4�� �����$5 � � ���#� �� � �$�� �!� �������� �� � �� ��� ��� 9��� #����� �� � �������� � �� �� ���� � �� �����$ �$�� �! �� ��$ ��� � �� �������� ��� #����� ��� ��� ������

Page 57: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��4 �$�� %#�� ��� �% &�����* + #���� �% +'$,�� #! �.$��# �#$���� ��

�� � ��� �$������� ������$ ������� � �� �� �����$ ������ � ����#� �� � �$�� �!�

� �$���� � ��1#�������� ����$ �������� ������� ������������������ �����$ �������� ������ 4��� � � � � ��5 � �� �� ���� � �� � �������$�� 4��� � � � � ��5 �� 4��� � � � � ��5 �� �� ���������� �$���� � ���#�� � �� ����� ��$ + � .� � � � � ,� ��� ����� �� �� � ������ �$�� �� 4�C�!5� %� ����� � ��� ����$ �������� ������ �� � �������� �$���

=� 9� � ����1����� #���� G Q 4G�� � � � � G�� E���� � � � � E�5 ��� ���������� ���� ��� �������� � �� ������� �� ����� #������� ��� � ������$ ���������� � ��������� �� ����� �� ������� ��$ 6�� Q *E��4

���+�� E�5�

+ Q HR .� � � � � ,� 6�� Q *E��4���+� E�5� ���� 2�� 42�� 5 �� ��� ��� � �������

���� ����� � ��� ���� �� ��� ��� #������� �� �� 4��5 � � ��� ���������� ��� ��� #������� �� �� � =��� � �#�� ���������� �$���� � ��� � #����G � �������� ��� �������� � Q 4��� � � � � ��5 � ������ � ��� ����$�$�� �� ������$�� ��� ������� � �����������$ � ����� ��� ������� ���� � ���� ������� ��� � ��� G�

=��� ���� � ��� ������ � �$�� ��� � �������� ��� ������� �������4��� ��5 � ��� �������� ����� �� ��� ������� � � �������� �� ��� ��� ���� ����� � �! �$�� � �������� ��� ������� ������ �4�� �� � ��5� ��� ��� �� ��� ��� #������� �� �� � �� � ��� ������� ������ ��4�� ��5� ��� ������� �� ��� ��� #����� �� �� �

%�� � ������ 4��� � � � � ��5 4�� ��� � ����5 ��� ���������� �� �������� ������ ��� ������ � ��� ������� �� � #������

� ������ ������ �$ �� ?��B���� 4&,-)� ������ (�.5 �� �������� �1������ �$ ;� ;���B$��# &'*)� �� ?��B���� &-.)� �� %�$��� &.'/) �� ������� � ����� ������� �� %�$��� &.'/) �� ��� �������� ������ ���� ��$ ��1������ � ��1#�������� ���������� ����$ �������� ������� ���������1������ ����� ��� �������� � Q 4��� � � � � ��5 � �$��� �C�! ��������� ������ ���������� �$���� � ���#�� � ��� ��� #���� G �����9�� ��� ��� �����������$

#����

G��4��5 R��

��#��

G���4�� � ��5 �

����

�����E���4�� � �� � ��5 �

��������

E����4�� � ��5 �

�#����

G��4��� 5 R

����#��

G���4��� � ��5 �

����

�����E���4�

�� � �� � ��5 �

��������

E����4��� � ��5�

��� ��� �������$ ��� ��$ �� � Q �� ���� 4��5 4������� � +5 �� ��������� � � ����$ �������� ����� ��� ������� � ��� �����$ � ���#������ �������� ��� ������$ �������� � ��� ������ � � ������������� ���������� � ��� �����$ � ���#�� ���� ������ ��� ������$ �������� � ���

Page 58: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

�� + Q .� � � � ��� �4�� � ��5 �� ��� ������� ������ � ��� �����$ ������������� �� ���� ��� ������� � ��� �������� �� � �� �� + Q �R.� � � � � H��4�� � �� � ��5 �� ��� ������� ������ � ��� ��� �� ��� ������� � ���#������� �� ��� �� 4������$ �� Q ��5 �� + Q H R .� � � � � ,�� ��4�� � ��5 ����� ������� ������ � ��� ������� �� ��� ������� � ��� #����� �� ��+ Q ,� R .� � � � � ,�

;��� ��� �� ������ � ��� ������ � ���������� � �������� ������ � ���1

����� � � ����� ����� �� ��� ���H����$ ��������� � � ������ �����������3�������� 64�5���� �� ��

� �� � �������� ������ ���� ����� �� � ������������� ��4�5� � � ��

� ���� �����9�� ��� ��3�������� �������

G��

����4�5��4�5

��

Q �+*�64�5� + Q �R .� � � � � H

��� ���� ��� �� ��� ��������� ���� ( � �"� � ���4:*�4��

� � ��55� �� ��� ��

� ����� ������ ���� ����� �� � ������� ��� ��4�5� � � ��� ���� �����9��

��� ��3�������� �������

E��

����4�5��4�5

��

Q �+*�64�5� + Q HR .� � � � � ,�

��� ���� ��� �� ��� ����� � � &(�5� �� ��

� �� � �������� ���� ����� �� �������� ��� ��4�5� � � ��

� ���� �����9�� ��� ��3�������� �������

E��

����4�5��4�5

��

Q �+*�64�5� + Q ,� R .� � � � � ,

��� ���� ��� �� ��� ������� � � &(� .5 ��� ��� #����� �� ( ��� ��� ����

������ �� ��� ������ ������ �������� ���H������� � 64�5��� ����� �� ��� �� ��� � ��� �1

������ ����������� �������� ������� ����� ������� ��� �������� �� Q4��

� � � � � � ���5 ��������� ��������#��$ ��� ��� ���������� �$���� � ���#��

��� ��� ����1����� #���� 4��� � ��� ��� ���������5�

��� ��#� ��#�� ��� ������ � ��� �������� �������� � ��� 6 ������� ���� ������ �� ��� ������ ���� � ��� ���������� �$���� � ���#�� ��� ��� ������ ������ �� �� ���� ���� � ��� ���� �� ��� ��9���� �� ������� ���� �������� ��� ������� �����

=� ������ ���� ���� ����� �� � ���#� ��� ��� ���������� �$���� � �$���!� �� � �� ��� �����$ � ������� ��#������ ������� � � �� ���� ������$��� ���������� ������� 4:�.:5 �� ��$ � � �� ��

�4�5���� � G� �

�� � �Q �� ���� �� ��� ��$ ���� �� ��� �����$ � � �� ��� �� ��� #���� G��� ������ ������ �� ��9��� ��� ��� ������ �� ���� ������ �� �#�� ��

Page 59: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��4 �$�� %#�� ��� �% &�����* + #���� �% +'$,�� #! �.$��# �#$���� ��

�4��� �� G5 Q ������

��)�

��4�5�$� �

�� ��� ���� ��� ����� �� � ���#� �� ��� ���������� �$���� ������ �� ��������� �� ��� ���� � � ���#� �� ��� ��� ���������� �$���� ���� �������� � � �������� �� � + Q � R .� � � � � H � ��� �4.#��� � � � � .�5 Q�� �����#��� � .#����� � �������� � .��� �� ����� � ��� ������������ �� ���� ���� � ������� ��� �����

�������������������������

��� ��)������������

��4�5�$� R

����#��

G��:*

� .�

���� ����� ��� � �� 9����� ����� ��� ������ �� ����� � ��� ��9��� � ��������� �� � ����� #�� � � <� ���� ������ ������ ��� �������� ������ ����9��� �$ ��� ������ ��3�������� 64�5��� ���� ��� �� ��� ����� ���� ����� ��������� �#��� � � � �� � ��� ������ � ��� ������� �� ��� �� ��� ���������� �� ���� ���������� ���� ��3�������� �� ��� ���� �� �� ��� ������ ���� �������� ���������

��� ��� ���� �! � ���������� ������ 4����� ������ ��� ��������5 �� ������H����$ ��������� � ��� �������� ��3�������� �� ��������� �� ��� ������������ �� &-.) ��� &.'/) � �� ����� ��� � ��� ���������� ��9������� ������������� ��� ������� ���� ��� �������� �������� ��� ��� ������ � ������� � � ��� ����� � ��� ������ ��������

� <� ��� ����� �� %����� :�+ �������� ����#��� ��������� ��3��������� ���� ������ �������� ������� �� ��� ���������� ������ ��������

� 7������� ��� ���� ���H����$ ��������� ��� ��� ��������� �� ��� ���� ����� ��� �� ��������� ��3��������� � �

���

�4�� � .5�

4� � A5���

��4� � .54� � :5�

4� � &5���

��� & � � �

4� � &5���

4� � �54�� � .5� �� ��3����� & 0 2� & Q (�

� <� ��� ��� �� ���������� �$����� � �� ���#� � � �$�� ���� �! ��#���� ������ � ��� �������� �������� � ��� 2������ ������� �� 7�������� ����#��� ��������� ��3�������� ��� ������ ��� ������ ��� %����� :�+0

Page 60: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ �� ������� �� ������

� Q � � ��� � Q � 0 �� � �� Q .� ��� �$���

� Q � � (� ��� � Q � 0 �� � �� Q .� ��� �$���

� Q � � (� ��� � Q � 0 ��� Q .� ��� �$���

� Q � � (� ��� � Q &(� �) �! �$���

� Q � � ��� � Q � 0 ��� Q �� �! �$���

���� ( � � � .� . �� ��������$ ������

� 9 � ���������� ��� ��6���������� �����

� ����$ � ��� ���������� � ������� ��#������� � ��� ���������� ��1�������� ������� �� ./** �$ E� ������# &.+A) ��� �������� �$ �� %�$���&.':)� ;� ;���B$��# &'A)� &',)� ��� �$ ��� ����� &.A:)� &.AA)�&.A,)� &.,()������$� � ����� ���� ��� ��������� ��3����������� ��� ������� ���1������ ��������#��$� ��� ������� ��������� � ��� ������� �� 7������ AP��� �������� ��� ��3���������� ��������� � �������� �� �������� ������ ��9������ � ��� ��#� �������� <� ��� ������ ���������� ��� &'A)�&.':)� &.'/)�

���� �� ���� ��������� � ������ �� Q � � ��� � � � � � ���� ����� ����� ������ ���� ��� ��������� ��� ��3������ %���� ��� ������ �� � ������� ��#������ � ��� ������ ���� Q (� ���� Q .� ���� Q � <������ � ��� ������� ��������� �������� ��� ��� ������� ���� ������� ��� ��� ���� � #�� � ��������������� ����$�

=� ��� ��� ������ � Q ���� � � � � � ��� (� .�� �� G� 0Q 4G��� � � � � G�#5 ��

� 9��� ���� #���� �� %����� :�,�:� B4��� 5 �� � �����$ �������� �����

���� ������� ��� ���� ��� � B4��� 5�B4��� 5 �Q �� ��� + �Q ,P B 0Q B4��� 5�� � ��

B4��#5� �#� P S� 0Q 4��� � � � � ��� G�� � � � � G#5P S�� 0Q 4��� � � � � � �

��� G

��� � � � � G

�#5�

#$���� � 9 � ,%�$��� &.':)5� ��� S� � B �� � � �� � �� ���� �� ��������� ������ �� �� ��� �� �� �� ����� !�!!! ����� �4S�5 0Q �4�� �� G5 � ��������� ������� "�� ������ �� S� 5� � � � ��������� ���� ������ � � �� � � ��������� ���� ���� �� �� 0����� �� 64�� S�5��� ��� ���� ��� �2� ���� �� ��� ������� �4�� �� G5 ����� 64�� S�5 ����� �� 64�� S��5������ ���� ��� � �

���� ��� ������� � �� ��#������� � ��� ����� ��� ���� ����������� � ��� �� �$ ��� ���� ����������

#$���� � 9 � ,%�$��� &.':)� ;���B$��# &'A)5� ��� S� � B �� ����� "����� ����� 4��� � � � � ��� G�� � � � � G#5 �� �4S�5 �� ��#��� � � ���� �� ) / * ����� �� #��� 4G�� � � � � G#5 ��� ������� �4S�5 � �2� ������ "�� �������� 4��� � � � � ��5 � ���� ������� ���� �� S�� � 6 3� #��� 4��� � � � � ��5 ���������� �4S�5 � �2� ������ "�� ������ �� 4G�� � � � � G#5 � ���� �������� ���� �� S�� � 6 '� ���� � ��� �����"�� ������� � ���

Page 61: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��4 �$�� %#�� ��� �% &�����* + #���� �% +'$,�� #! �.$��# �#$���� ��

��4S�5

���

�����$��$�

Q * 2�� ���� 64�� S�5� + Q .� � � � � -P

��4S�5

�G�

�����$��$�

Q

�:G��4��

� 5� �� ��� ������:G���4�

�� � ��5� �� �������� ������

+ Q .� � � � ���

��� ������� � ��3���������� ������ ������� �� ��� ���� � ����� �������� ��� ���H����$ ��������� � ��� �������� ��3���������

���� 4��� 5 �� ��� ������ � � ��� ������ � � ��������� �

�� �� ���

���H����$ ��������� � ��� ��3�������� 64�� S��5���� �� ����������� �� ��������������$ ��� � ��� ������ :�,�:� 6����$� ��� ������� � �4S�5 �$ �� ����� ���� ��� ��� ��� ���� ������ �������� ��� ��� �������� ���H����$ � ���

��3�������� 64�� S��5��� ������� ��� ��� ����� ������ �� #��$ ��#������ �� ��� ������ ����� � ��� ������

��� � �#� ��� ���� �� ��� � ���������� ���#�� ���� �� � ������ �������� ��� ����� � �$������������

(����� ) / * 7������ ��� ���� �����$ � ���#�� � �������� � ��� ����������$ ����� � ������ ��� ���� �������� ��� ����� (� .� ��� ���� ��� ������� �� Q ��(� .� ��� ��� .� ��� ���#�� ��� � ��� ������� �� � ��� ���� &(� .)� �� � ������ � �������� �$����������� ��� �������� ��� ������ ( ��� ��� �������� �� � ����� ���� ��� ������ �4�� � 5������� ��� ������� � ��� ������ � 0 ��� Q ���� �� ��� ���� � Q ����� =���� ����� ��� ������ ��������� ��� ������ :�,�: ��� ��� ��� ����������������� 6����$� ���� ������ ��������� ���������$ � � �� ��� ������� 0 � Q ���'���� � � 4(� *5 ��� ��������� ���������$ �� � � 4*� :*5� �������� ��� ��� ���� ���� ��� �������� ���H����$ � ��� �������� ��3��������������� ��� � ��� ��� �������� ��� ��� ����1����� �� �'� �� � (� % ���#���� � ��� ���� ��� �� ����� ���� ��� ��� ������� � ��� �������

Page 62: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings
Page 63: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� ������ �� ������� ������� ���

��������� �������

D���� �$ � ��� ����� � ��� �������� ���#����� �������� �4�5 Q � R���

� R � � � �� ��� ���� ���� � � ��� �$ �� ��� �������� � �������� ��� ������������ ��� �� ���� ������� � ����� ��� ��������� ������� � ���������� ���� ��� ?��� .V+ ������� � ��� ��� �������� �������� ���� ���#� � 1���� �������� �������� ����� � ��� 9�� ��� ���� � ��� �$����� ���������� 4��4��5�� ��4��5�5 �� ��� ������� �� �� � ���#����� ���������=� �������� ����������� ��� �������� ������� �� ���� ������� � ���1#����� �������� ���� �� ������ ��������� @���� ��������� �������� ������������� ������ ����#���#���

��� %�������� �$������ �� &���� � � ���#����� ������ ��

���� � � �� ������� �����$ ��� �����$ � ������� ��� ������� ������� ���� ���� ��� ���1�� � � ���$�� 8�� ��� 9�� ������� �� ������� ���#�$���� �������� ���� &+)� &'.)� &+-)� &*+)� &.(()� &..()� =� ����� ��� ��� �����?��� .V+ ������� ��� ?��� ������� ���� �� �������� �� ���$ ��������������� �� ,�4�5 Q �4.R �'��5��� ��� ������������ �4�5 � '���4'����5 �������� ��� ����� � ��� ������� � �

� � � 2���� ���/ ����$/ ����������

#$���� � � � ,?��� ������5� ��� ����� � �� ��� 7���� ���

�) Q��)

�4�5

� ��� ���� � � ��� � ��� �"� Q .�+ !�

���&�,��-�

�"� Q .�+

�� ���� � � ���� � � ��� 7���� ������� � �� �����

$ ��� %������ ������$ � �� ������ ���� ����� ������ ���� "� ��� �"�� �.�+� ���� ��� �� ���� � �4�5 ���� � �� �� ��� ?��� �������� �����

Page 64: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ ��� ��������� ������0

����� �� � ���#� � �� �4�5 ���� ������� "� ��� � %� ��� ������� �������� �#�� �$ ( Q �4�� (5 Q �4�4�5� (5 � �4� � �� (5� �� �� �� ��� ������ ��������� �$����������� � ��� ����� � �� ��� ������� � ��� ���� ��� ���� �������� ��9��� �$ ��� �����#� ���� ����� ����� �4� � �� (5 � �4��� (5�@��#��� �� � ,�4�5 Q � � &.�+�5� ����� �4��� (5 � (� ��������� ���#� ��� �������$ ��� �� ��� ���#��� ������������ ��� �� ������� ��$ ��'�.�4�5 Q �� Q ,�4�5 �� ��� G � � ,� �� ��� )� ���� ������������ ��������� ��� 9������ ��� ���� �

#$���� � � � ,�� �� ������5� !� � � �� ����

4. R �5�� ��4�5� � �

4.� �5�� 0Q ��� 4'�.5

"�� ��� ������ ��� ���� �� ��� 7���� ������� � �� �����

$ ��� %������ ��� ��� � �� ��������� � ������� ��� ����� � Q � �&�� '� �� 5 ��� ��� ������� ������

�4�� (5 Q.

:*�

+�

4. R �5��

4��� %����� :�+5� %����� ��� ������$� �� � �� � ������� ��� ��� ������ ��� ��4�5� � �4. R �5��� ����� ����� �$ �� ��� ������ � �������� �$�1���������� � ��� ����� �4�5 ��� ������� � ��� ���� ��� � ��� �����1��� ��9��� �$ ��� �����#� ���� ����� ����� �4�4�5� (5 � �4��� (5� @��1#��� �� � ,�4'

�� �� �5 Q � � &�4. R �5���5�� �����

�4��� (5 � .

:*�

+�

4. R �5��

��� ����������� ������� ������� ��� � �� ��������� ��� ���������� � ����������� ��9������ ����� �$����������� ����� � ��� ���������� � ����������� ������� �� � ������� ��������� � ��#� ��� �������$ ��� �� ������#��� ������������ ��$ �� '�.�4�5 Q �� Q � � &�4. R �5���5 �� ��� G� � ,��

<� ��� ����� �������� � ������� ��� ��� � � Q � � 4�'� �� � �) ���� #������� ��� ��� ���� ������ ( ��� ��� ����� ����� * �� ����� ������� �� ������� �� ��� #������� ���

�4� �� (� (5 Q:

*�

+�

4.� �5�4��� %����� :�+5�

����� � ������ ��� ������$� �� � �� � ������� ��� ��� ����� � �����4�5� �4.� �5��� ����� ��� ��� ���#��� ����������� � ���� ���� ������ � ����� �� � %����� :�,�: ���� ������� � ��� �������� ��������� ��� 2������ ������� �� Q � � (� �4�5�� ��� ��� �4� �5 �� �������

Page 65: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � #���+# �.$��# �$�: ��� %�$ '�,# � %'+��� �(

��� ���������� �� ��� ������ � ��������� ��� ������� ������ �� ��������$ � ��� ���� � �� ��� ��� ����� * �� (� ������� �� (� ��#�� �������$ �$�� ��9��� �$ � ���#� � ���� ������� � �� ��� ���� ��� ��������� ������ � �� � ��� ���� &(� �4�5)� ��� �������� ��� �� � ���� ������ ��$ &�4�5�) ������ ����� ��� �����

%� � ��#� ��� ���������$

:

*� +��4�5� � :

*�

+�

4.� �5�

4 � ��� ��� ���� ���� � �4(5 Q .5� ���� �� ����#����� � ��� ����� ���������� ��� ������� ��� ���������� � ��� �������� ��9������ ����� � ������������� � ��� �������� ��� �� � ������� �

#$���� � � � ,D������� ������5� !� � � �� ����

.� �

. R ��

����� �4�5�4�5

��� � . R �

.� �� � 0Q ���� 4'�:5

.� �

4. R �5�� �� �4�5� � . R �

4.� �5�� 4'�'5

"�� ��� ������ ��� ���� �� ��� 7���� ������� � �� �����

$ ��� =� ����� ��� ��� ����� �������� �� 4'�:5� 7������ ��� ������ � Q� � 4�.� () ��� ��� ������� ������

�4�� �5 Q.

:*�

+�4.� �5

4. R �5�

��� ����� �4�5 ��� ��� ������� �������4�� (5R��� � �� �4�5�� ���� �

��� ����$ ������ �$����������� � ��� ������� ���� ��� �������� ������������ �������� ��9������ �� ��� ������� ������� ������ �� ��� ������� ��� ����� � Q � � " Q ; ���4� �� �4�55 0 ; � 4�� ()� ��� ������ �������� �� ��� ���� �4�5� �� ��� ��� ������� ������ �4�� �4�55 Q��� � +��4�5�� ���� ����� � ��� ����1���� ���� ���������$ �� 4'�:5�

<� ��� � �� �������� �� 4'�:5 � ������� ��� ��� � � QQ � � &(� ���4� �� �55 ��� � #������� #�� ��� ���� ������ �� �� �� ��1����� �� �� ��#� ��� ����� * ����� ���

�4� �� �� �5 Q:

*�

+�4. R �5

.� �4��� %����� :�+5�

��� ��� �4� �5 ��� ��� #������� #�� �4�5 �� ��� ������� ��� ��� ���������� ������

� @� '�� &� �#�� �#�� %�$ !�=�$� :' ## �-�'� !��#�� %$�� &��$�� �&��$��

Page 66: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

3) �� ������ ��� ��������� ������0

�4�4� �5� �4�5� �4�55 Q:

*�

+�4. R �5

.� �R:

*� �� �4�5��

���� ��� �� ���������� �� ��� ������ � ��������� ��� ������� ������#�� ��� ���� � �� Q � � (� �4�5� ������� �� �4�5 ��#�� ��� ����� *����� ��� ��� ���� ����$ �$�� ��9��� �$ � ���#� � ���� ������� ��� ��� ���� �4�5 ��� ������ ��� ������ � � � ��� ���� &(� �4�5)� ����������� ��� � �� � ���� ��� ��� ��$ &(�) ���� ������ ����� ��� �����4�5� ��� ������� ������ �� �

� � +��4�5�� ���� ����� � ��� � �� �������� ��4'�:5� ��� ���������� � ��� �������� ��9������ ����� � ��� ����������� ��� �������� ��� �� � ��� �������

��� ������ � ��� �� �� ������ ��� ��� ���������$ � ��� �������$ ����� ?��� ������� ����� � ��� �������� 4'�'5� �

��� ���� N��������N ���� ��� ��� ������� ������������� � �� �4�5����� ����� ��� ��9��������� ����9����� ����� � �������� ����� ��� ���1��� � �

� � � (���� �������) ����� ��� �$� ���� �� ,��,�4�� �� �,�4�4

��� �� �� ��� D������� ������� $���� ���� ��� ���� � �� ��� ������������ 4�� �5� ���� � Q ��4�5�� � Q �� �4�5�� ���� ����� ��� �������� ��� ��� #��������

4. R �5��. R �

4.� �5�

��

��

4.� �5��. R �

4.� �5�

��

��

4. R �5��.� �

4. R �5�

��

��

4.� �5��.� �

4. R �5�

��

�� �������� ��������� ���� ��� ������ � ��� ���� 4�� �5 �� �#�� �$������� ���� ��� ���� � ��� �$���� � ���������� 24�5 Q 4��4�5�� �� �4�5�5�� ���� ���������� � ������ � ���� ������ �� ���� �$ "� "������ &*A)��� ��������#� %� ?����# &A)� !� E�# &..+)� !� ����$�����FG &A*)�

D�� � ������ �� ����� � ������� ��� ���� � Q � � 4(� .5� ��� ���� �� �������� �$���� � ���������� �� � �������� ������ ����� � ��������4� �� �� ����5 �� �������� ��� ����� 4���� ���� &A-)5� %���� ��� ���� � ������������ �� �4�5� �� � � � ��� ��4�5� 9��� �� ��� �������� ��� ������ ������� �� � 24�5 �� �����$ �������� ��� ��� �� �� ��� �������� � � �����0 ��� ��� ��� � � Q ��� �� �4�5� �� � � � ��� ��4�5� Q � 9���� ��� ������ ��� � � Q ��� �� �4�5� �� � � � ��� ��4�5� Q � 9���� =� ��������� ������ �$ ��� ������ ������

#$���� � � ��� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��� ������ ����������� 24�5 � ��� ���� � ������� �� ��� ������

.� 1� R ���

.� ��

4.� 1� R ��5�

�� �: � 1 � :�

Page 67: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � #���+# �.$��# �$�: ��� %�$ '�,# � %'+��� 3�

(�� ���� � ���� ���� �� ��� ������� �4�5 Q �4.�1�R��5�� � �� �����

$ ��� %�����

4. R �5�� �

.� 1� R ��� .

4.� �5��

�� 1 � &�:� :)� � ���� �� ��4�5� Q � ��� ������ 1 Q 1� Q � R .�� � .������ ���� ��4�5� Q ��4�5��

7������ ��� ��� � � Q � � 4�.� () � &�� .5� ��� � #������� (� �� �� ��������� �� ��� #������� ��� ��#� ��� ����� ����� :*� ��� ������� �������� �#�� ��

�4� �� (� �5 Q.

:*�

��

.� ���

��� ��� �4� �5 ��� ��� #������� (� �4�5 �� ������� �� ���� ��� ��� ���������� ������

�4�4� �5� (� �4�55 Q.

:*�

��

.� ���� �4�5��

�� �� ���������� �� ��� ������ � ��������� ��� ������� ������ #�� ������� � ����$ �$�� ��9��� �$ � Q &(� �4�5) ���� ��� ������� �� �����#������� ��� ��#� ��� ����� :*� ��� �������� ������� ������ �

�� � ��4�5���� �#�� �$ ��� ��� ������� ��� � ������� ��� � ��$� ������� ��� (��� �4�5 �$�� � ��� ������� ���� �� ��� ������ ��������� ������ �����

����� � ������ ��������� �� �4�5� � ��(�(� ��� ��� ���������� � ��� ��������

��9������ '� �� ��(��4� �5 ����� � ��� ���������� � ��� �������� ��� ��� ������� �

��� ����� ������$ ���#� �� ���� ��� ���������� ��� ��� ��������������� ��� ���������� ��� �

� � � &������ �����

��� ����� ���� � ��� �� � ��������� ��� �� ���� �� #����� ���������������� �� �� Q � � (� .� �� ��� ��������� 2������ ������� 8� �� �������� ��� ���������� �$���� 4��� ��5 � ���#�� � �$�� ��� ���� �� Q " 0�"� Q .�.� ��� �� Q " 0 �"� Q .�� ���� . �� ��������$ ����� ���� ����. ����� � ��� ����$ �������� ����� ��� ��� �� ��� �� � � � �� ��� � ��� � ��� ����� 4��� ��5 � �����$ �������� ������ � ����$ �$��4��� ��5� ����� ��� ������ � �������� �������� � �� ������� � ������������ ��� G���4���5 R G���4��� (5 #�� ��� 4��� ��5 � �� =����� ��� ���������$ � ������ G� Q .� G� Q G ��� ��� ������� � ���� ��� ������ �$ 4G5� <�� %����� :�,�: �� ��� � ���� ����� ������ � ���������� 4��

� � ���5 ���� �� �������� �� ���� ������� �

�� ��� �

�� ��� ��� ��������

������ �� ��� ���H����$ ��������� � ��� ��3��������

Page 68: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

3� �� ������ ��� ��������� ������0

64�5��� Q �% 4� � &5���

��4� � .5� % (�

) �;�8 �

��

���

���� ���� �&� $#>�+�$* �$'+'$� �% &� !�=�$��# �;�8���

���� % ��� & ��� �������� ��� ������� � G� �� G Q .� ���� ��� ������ ����H������� � ��� ��3�������� 6 ��� ��

� ��� ��� ��� ����� ��� &4.5 Q .� ��

���� ����4.5 Q ( ��� ��� Q � 0 ��� .�� ��

� Q � � �� G Q ( � G � � ������� ������ ��

� ��� ��� ��� ��������#��$ ��������� ��� 4(5 Q 45 Q

4.�:*5 � +� �� ���� ����� � ��#� ��� ��� �� �������

#$���� � � " ��� ( � G �� G �Q . ����

�4��� �5 Q

.

:*�

+�.� G�.��

�. R G�.��� 4'�+5

�4��� � (5 Q

.

:*�

+G��.� G���!.���

�. R G���!.���� 4'�A5

$ ��� =� ������� ��� ��� 1 Q 14�5 ��� ��#���� ��

� Q 4&� .5.� �� 1

4.� &5� 4. R &5 �� 1R .� 4'�*5

��� ����� ��� ������������� � ��� ��3�������� 6 �� ����� � ��� ���������1 �� ������ �����

64�5��� Q �415�1� Q �%4&�.5�& 4. R �� 15�

44.� &5� 4. R &5 �� 15� ��� 1�1�� 4'�,5

6 � ����$ ��� ���H����$ ��������� � ���� ��������� ��3�������� ������ � ������� ������ � � ������ ��� ��� ��3�������� �415�1� ��� ��� ����� ���� + �� ��� ����� *R:*, ���� ��� ��� ����� � & ����� ��� ��� 14�5�

Page 69: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � #���+# �.$��# �$�: ��� %�$ '�,# � %'+��� 3�

�� �

���

���

)

����

���� ���� �&� $#>�+�$* �$'+'$� �% &� !�=�$��# �;�8���? ) � �

<������� 14(5 Q *�:R,* ��� 145 Q )� Q �����4.�&5�4.R&5 ��� ��� ����� ��� ����� ����� ��� ����� 14.5 Q :*, ��� ������ �� ���� ��3���������

�� �� ������� � 9��� ������ � ��� ������� 14�5 ���� ���� � � &&� .)�� ��� ����� ( � 2� 1 � *� <� ( � G � . ��� �������� ����� �/

� Q 14���5

�� ������ �$ ��� �������� ���H����$ � �415�1� ������� ��� ����� �� *������� ��� ���� *�:� )� � 4(� *�:5� ��� �������� ����� �/

� Q 14���5

�� ������ �$ ��� ���� ���H����$ ��� ��� ������� ����� 2� 1 Q (� *� <�G . ��� ������$ � ��� ����� �/

� �� ��� �������� ���H����$ � �415�1�

������� ��� ����� �� * ������� ��� ���� )�� )� � 4*�:� *5� ��� ������������� �/

� Q 14���5 �� ������ �$ ��� ���� ���H����$ ��� ��� ������� �����

2� 1 Q (� *� �� ��415� + Q (� . �� ������� ���� � ��� ������ �/

� �� ��� �������� � ���� ���� ��4*�:5 Q ��4)�5 Q ( �� ��� ���� � G � . � ��4*�:5 Q��4)�5 Q ( �� ��� ���� � G .� ;��� ������� �� �����9�� �� ��� ����� �

/�

��� ��3�������� �������

G����415

��415Q :*

���415�1� G� Q .� G� Q G� 4'�-5

� �� ����� � ��� ��������� �

G��

����414�55

��414�55

��

Q �+*�64�5���� 4'�/5

����� � � �� 4'�/5 �� ��� ���� � + Q .� � � � ( �� ��� ���� � + Q : ������ % Q .�+*� ��� & Q G��

� ��������� ��� ������� ����� � 9��� ������� ��� ���� G � .� ������� &*�: R � *) � ��� ������ ���H����$ � ��� ��3�������� �415�1� ��

Page 70: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

3� �� ������ ��� ��������� ������0

� ��Æ������$ ����� Æ ��� � ������� &.�� &) ����� ��� ��� 14�5� <�� 4'�*5 � ����#� ����

Æ Q.� &

:&.� RA4.

��5� 4'�.(5

<� ����� � ������� ����� �� �� ���� �� �1����� &.'�0� '�0 )� =����� ���� ��������$� � ������ I Q (�

�� � Q ��4�5 Q %�� R%��� R � � � �� � ������ � � �� ��

� � ����� ���������� ������ � ��

� ��� �� ���������� �� (4��� � (5 Q .��%��� =� ������

�������$ ��� 4'�,5 ���� ���415 Q 4'�..5

Q � G

:*

�1

�.

���4)��:5�

��

����41�:5� ���4)��:5

���41�:5 R ���4)��:5

��R.

:�

. R ��� 1

.� ��� 1

��

���� � ���� ��� ��� 4R5 ����� ��� ������� ��

4���41�:5� ���4)��:55�4���41�:5 R ���4)��:55 (�

��� 415 ���� ���� @��#��� ���4)��:5 Q�& Q G� =� 9� ��� ������ �

��� �� �� ��� ����1���� ���� � 4'�..5 ����� 415 ����� ��� �������$ ������������� 4'�-5 ��� ��� ������� ��������� 4+ Q :5� � ����#� ����

. Q

����4*�+ R �:5 R G

���4*�+ R �:5� G

��!.

��.� �� Æ

. R �� Æ

��!�

Q

�. R G

.� G

��!.Æ

:RA4�5�

��� 9����$� ���� 4'�.(5� � �����

%� Q+&

.� &

�.� G

. R G

��!.

���� �� ����#����� � 4'�A5 �� ��� ��������� � ��� ������ �� G � .�

6 � ���� � ��� ���� G .� <� ��� ������ &(� *�:�Æ) �� ��� 11���������� �� � ������� &.�� .) �� ��� �1������ ��� ����������$� � ������� &.� .)�� ��� �1������ ��������� 4'�-5 ��� ����� �������� � �����

. Q

�G� .

GR .

��!.Æ

:RA4�5�

��� 9����$� ���� ��� ������� Æ Q ����� .� RA4.

��5� � �����

�%�� Q +&

.� &

�GR .

G� .

��!.

���� �� ����#����� � 4'�A5 �� ��� ��������� � ��� ������ �� G .�

6 � ��#� 4'�+5� �� G � .� ���� ��� ������ &(� )� � Æ) �� ��� ������/

� ��� ��� ������� &(� .�.�) �� ��� �1������ ��� ����������$� ��� �������

Page 71: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � #���+# �.$��# �$�: ��� %�$ '�,# � %'+��� 3�

&.� .) �� ��� �1������ �� � Q ��4�5 Q ����� R�� R��� R � � � �� � ��� � ��� ��

� � <�� 4'�*5 � ����#�

Æ Q�&.� &

. R &.� RA4.

��5� 4'�.:5

<���� ��� ������ � ��� �� �� 4'�.:5 ��� 4R5 ����� ��� �������$ ���� ������������ 4'�-5 ��� ��� ������� ������ � ��#�

. Q

�. R G

.� G

�.. R &

+�&Æ RA4Æ�5�

��� 9����$� ���� 4'�.:5 � �����

.

����� Q+

.� G�

�.� G

. R G

�.�

���� �� ����#����� � 4'�+5 �� ��� ��������� � ��� ������ �� G � .�

<� G . ��� ������ &)R� *) �� ��� 11����� ��� ��� ������� &.�.�� &) ����� �1������ ��� ����������$� ��� ������� &.� .) �� ��� �1������ ���������4'�-5 ��� ����� ������� � �����

.

����� Q+

G� � .

�G� .

GR .

�.�

���� �� ����#����� � 4'�+5 �� ��� ��������� � ��� ������ �� G . ����������� ��� ��� ���� �

6 � ������� ������ ������ ������ ���� �� �������� ��� ����������� ��� �� �� Q � � (� &� .� �� � ��������� 2������ ������� & �4(� .5� 8� �� � ������� ��� ���������� �$���� 4��� ��5 � ���#�� � �$�� ��� ���� �� Q " 0 �"� Q .�.� ��� �� Q " 0 �"� Q .�� ���� . �� ��������$����� ���� ���� &� . ����� � ��� ����$ �������� ����� ��� ��� �� ����� � � � �� � �� � ��� � ��� ����� 4��� ��5 � �����$ �������� ������ �����$ �$�� 4��� ��5� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � ��������� � ��������� ��� ��� G���4���5RG���4��� (5 #�� 4��� ��5 � ��D���� �$ 4��� � �

��5 � � � ������ �������� ���� � ������ �� ���� �������

=����� ��� � ��������$� � ������ G� Q .� G� Q G ��� ��� ������� ����� ��� � ����� �$ �4&� G5� <� G � �

& ���� ������ �� ����#����� � ������#��� �� ��� �4&� G5 Q4G5� G � .� <� G � .�

�& ���� ������ �� ���

����#����� � ��� ���#��� �� ��� G . ��� �4&� G5 Q4G5��&�

#$���� � � 5 ����& � G � .�

�& �����

�4��� �5 Q.

:*�

+4.� �&5.��

4. R�&5.��

� 4'�.'5

�4��� � (5 Q.

:*�

+&4.� �&5��!.����

4. R�&5��!.���

� 4'�.+5

Page 72: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

33 �� ������ ��� ��������� ������0

$ ��� ��� �������� ���� 4��� � ���5 ������� � ��� �������� ������ �

�� ���

��� �� ��� ���H����$ ��������� � ��� ��3��������

J4�5��� Q �% 4� � �5����

��4� � .54� � &5�

�$ ��� ����$ ��� ��� ��� � ������ '�.�A � ������ ���� % Q .�+*�

��� � Q G�&� =� ��� ��� ��� � ��� ��� 4'�*5 ��� ����� ��� ��3��������

J �� ����� � ��� ��������� 1

J4�5��� Q ��415�1� Q �% 4�&� �R 4�R �&� :&5 �� 15�

&44.� &5� 4. R &5 �� 15�&0H�1�1�� 4'�.A5

M����� ��� ��3�������� �415�1�� ��� ��3�������� ��415�1� ��� ��� ���� � ���

����� ���� �� ��� �����

:*, � �����

��4.� &5

�4. R &5� :&5

��

�� ��415� + Q (� . �� ������� ���� � ��� ������ �/� �� ��� ���� ����� ���� ���� ��4*�:5 Q ��4)�5 Q (� �� ����� �������� ������$ ��� ��3����������������

G��

����414�55

��414�55

��

Q �+*�J4�5���� G� Q .� G� Q G� 4'�.*5

�� ��� ���������� ������ ��� � ����� � � �� 4'�.*5 �� ��� ���� �

+ Q . � � � ( �� ��� ���� � + Q : � ����� % Q .�+*� ��� G Q ���&�

=� ��������� �������$ ��� 4'�.A5����415 Q 4'�.,5

Q � G

:*

�.

G

�1

��

��

����41�:5� �

&5

���41�:5 R�&

���R.

:

�1�

. R ��� 1

.� ��� 1

��

���� � ���� ��� ��� 4R5 ����� ��� ������� ��

4���41�:5� �&5�4���41�:5 R

�&5 (�

��� 415 ���� ���� ��������� ��� ������� 4'�.*5 ��� ��� ������� �$ �������$ ��� ������ '�.�A� �� �����$ ����#�� 4'�.'5 ��� 4'�.+5� �

� � :���� �������) ����� ��� �$� ���� �� ,��,�4�� �� �,�4�4

6 � ��� ��� ����� ���������� �� ��� �������� ������ � ����#� �������� ������$ ���#� �� �� ��� ���� � 24�5 Q 4�� �4�5�� ��4�5�5 �� ��� ������� 8�� ��� �� ����� � ����������� ����������� � � ������� � ���

Page 73: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � #���+# �.$��# �$�: ��� %�$ '�,# � %'+��� 34

�������� �������� � ��� ��������� ���� ���� ��� � ��� ��������� 2�������������

�� � Q � � (� �� �� � ��������� ���� ����� =� ������� � � ������������� �$���� � ���#�� 4�� � �

� 5 � �$�� ��� ���� �

� Q � 0 �� � �� Q .�

��� �� Q � 0 ��� Q .�� ���� . �� ��������$ ����� ���� ���� � R . � . ���. � ��:� �� � �� � ��� � ��� ����� 4�

� � ��5 � �����$ �������� ������

� ����$ �$�� 4�� � �� 5� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � �

������� � ��������� ��� ��� �4�� � (5 R G��4�

� � �5 #�� ��� 4�� � �

�5 �

�� ��� ������� � ���� ��� � ����� �$ �4G� �5� M���� ��� ���

K4�5 Q .� �4. R �5�

�4. R �5�

� �������� ������ 4���� �

��5 �� ��� ������ �� �4G� �5 ��� �����1

����� ��� � �������� ������ 4���� ��

�5 �� ��� ������ �� �4&� G5 ��� & Q 4. � �5��4. R �5�� ����� ��� ������ ��� ����� � ��� ������������ ����� ��� ������� ��� K4�5 � ������ ���� �� 4.� �5�4. R �5 �G � 4. R �5�4.� �5 ��� ��������

�4���� (5 Q

.

:*� �.� �4�

��� �5 Q

.

:*� ��!.4.� ��5

���� �� � & Q � �(� "�� �� � ��������� 2������ ������� =� ������� � � &

��� ���������� �$���� � ���#�� 4�&� � �&� 5 � �$�� ��� ���� �

&� Q " 0 �"� Q .�

��� �� Q � 0 �" � "�� Q .�� ���� . �� ��������$ ����� ���� ���� . � "��:� �� �& �� ��� ��� � ��� ����� 4�&

� � �&� 5 � �����$ �������� ������ �

����$ �$�� 4�&� � �&� 5� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � � &

������� � ��������� ��� ����4�&� � (5RG

��4�&� � "�5 #�� ��� 4�

&� � �

&� 5 �

�&� ��� ������� � ���� ��� � ����� �$ &4G5� M���� ��� ���

L 4"5 Q"� � "

"�"

� �������� ������ 4�&��� �&

��5 �� ��� ������ ��&4G5 ��� ����������

��� � �������� ������ 4���� ��

�5 �� ��� ������ �� 4G5� ����� ��������� ��� ����� � ��� ������� ����� ����� ��� ������� ��� L 4"5 � ������ ���� �� G �Q .

�4�&��� (5 Q

.

:*� +"�

�.� G�.��

�. R G�.���

�4�&��� "�5 Q

.

:*� +"�G

� �.� G���!.���

�. R G���!.����

<� G Q . � ��#�

�4�&��� (5 Q �4�&

��� (5 Q

.

:*� "��

Page 74: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

3� �� ������ ��� ��������� ������0

=� ������� ��� ���� ������ �$ ��� ��� �� ��������� ����� ��������� ������ ����

(�� � � � 3� 4.� �5�4. R �5 � G � 4. R �5�4.� �5 ��� ������

�4�&��� (5 Q �4�

��� (5

��#��� ��� ������� "�4G5 "��� �� ���� �� ���� "�� �� ���� G � ��"� Q �4. R �5�� �� "� Q �4.� �5��

#$���� � � 9 %& ��� ���� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��������� �� ��������� 24�5 Q 4��4�5�� �� �4�5�5 � ��� ���� � ������� �� �������� 4�4G5� �4G55 ��

G ��.� �

. R ��. R �

.� �

�� G �Q .�

"�� �

�4G5 Q.

+�.4. R G5.��

�.� G�.���

�4G5 Q G��.��!.���. R G.� G

���.��!. .

.� ���

!� G Q .� ���� �4.5 Q �� �4.5 Q .�4.� ��5 %& (�� ���� 4�4G5� �4G55 �� �� � ���� �� ��� ����� ������� D 4�� G5

��� ���#�� ��� �2� ���� ������

64�5��� Q 74"5�"�� G �Q .�

64�5��� Q4� � �5�4� � S�5�

��4� � �5�4� � .��5�����

74�5��� Q" � 3

"�4" � �4G55��"��

"�� � ��� Q . �� � � ��� �� �"� ���1����� �������� �� ��� ������

G.� �

. R �Q .� �4. R �5�

�4. R �5��

3 Q 34G5 Q�4G5

.� G��

��� ������� D 4�� G5 ��� ��� ��� ��, ���� ��� ������� ���� � ���� ��� � &34G5�R5 � ��� ��� G � . � 4�� 34G5) � ��� ��� G .� �� �"������� �� �� ��� � 1���� �� �� ��� �2� ���� 74"5 �"� ������ � ��34G5 ������ ���� "�� ������ �� � �� ��� ��� ����� ��������� ����D 4�� G5 � �� -� � ������ ������� "�� ������ �� ��� � ��

!� G Q .� ����

Page 75: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� � #���+# �.$��# �$�: ��� %�$ '�,# � %'+��� 3(

64�5��� Q4� � �5�4� � S�5�

��4� � �5�4� � .��5�����

74�5��� Q�.

"�4" � �4G55��"��

�� ��� ������� D 4�� .5 ��� ��� ��� ��, ���� ��� ������� ���� � �����"� ������ � �� "�� ������ �� � ���� ��� �� ��� ��� 2� " Q ��: "����� ������� �� ��-���

$ ��� �� � � � ��� � 9��� #���� � ��4�5� Q �� ��� ���#��� ����� ���������� ����� ������ ���� G� ���� "�4G5 Q �� =� ������� ��� �������� ��4�5��� ��4�5 ������$�� ��� ��������

G�����4�5

��4�5

��

Q +*�64�5���� G�����4"5

��4"5

��

Q +*�74"5�"� �

���� ��� ��3��������� 64�5��� ��� 74"5�"� ��� ��9��� �� ��� ��������� ���� ������ ��� G �� ������ ��� ����������� ���

� ��4�5 ���� ��������$��� ����� �

�� �� ��� ����� �&

��� 7������� ���� ��� ����$������$

��� ��� � ����� ��� ������� D 4�� G5 ���� ���� ��� ���� ���� �� ���

����� ���� �� ���������� ��� ������� � ��� ��3�������� 74"5�"�� �������� ����������� D �4(� G5 Q . ��� ������� D 4�� G5 �����9�� ��� ��������� ��� ������� %���� ��� ���� 4�&

��� �&

��5 �� �������� �� ��� �����$ �&� �

��#� ��� ��� �� ����� � ������������

�4�4���5� (5 R G��4�4�

��5� �4�55 Q

Q �4���� (5 R G��4�

��� �5 R

G�

:*� �� �4�5� �

� �4�&��� (5 R G��4�&

��� �5 Q

Q �4���� (5 R G��4�

��� �5 R

G�

:*� �D �4�� G5��

����� �� �4�5� � �D �4�� G5� Q �4G5� ��� ���������� � ��� �������� ��9�1����� ������� ��� ���������� � ��� �������� �������� 2����� 9������ ������� �

��� ������$ ���#�� �� ��� �� ��#� ���� ������� �$ "� "������ &*A)����$�� ��� ������� 7������ ������ ��� �$ �� ��������#� %� ?����#&A) ���� ��� ���������� ����� ����� �������� � ��� ���������� � ����������� ��������� ���� �� !� ��$�FG�# &A() ��#�� ��� ���������� � ����������� �������� ��#����� ��� � ���1?�����# ������

��������) � � � ,"������ &*+)� ��� %�� &AA)5� ��� � � � �� ��� Q � � . ����� ��� �� � �������

�� �4�5� � . R �

4.� �5�

��� 4.� �5��4�5

���1�

Page 76: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

4) �� ������ ��� ��������� ������0

"�� � M Q :4. R ��54. R �5��� ��

�� �4�5� � .� �

4. R �5�

��� 4. R �5��4�5�

���2 �"�� � N Q :4. R ��54.� �5��� � ��� ��� ��� ��� �������� � ������� ��� 7���� ������� � ���� ����

��� '( )� ��� ��� ��� � � � ���#����� ������ ��

�� ���� �������� � ����$ ��� ���� � #����� � ��� �$���� � ����������24�5 Q 4��4��5�� ��4��5�5� ( � �� � �� � . �� ��� ������� �� ��� �� D����������� #����� �$����� � ���������� ��������� � ��� #����� � � ������� ������ ����� � ��9��� �� � ��3����� ��1��� ����� ��� � ��#� ���� ��������$ ��#���� ����$���� "� "������ &*.)� &*+) ��� ��#�� ���� ��� ������� ���4��5� �� ��� ����� � �� � �#�� #���� � ��4���5� �� ��#���� �$ � �������� � ��� �� ���� ���� ����� ������$ ���#� �� ��� �$���� � ����������4��4���5�� ��4��5�5 �� ��� ����� ��� �� � ������$� �� ����#�� ��� ����� ����� ��� ��� ��4���'��5� R ��4��'��5�� � � �� =����� ��� �������� � ������������� � ��� �������� �������� ��� ���� ������ ��� ���� ������� ��������$ �� ������ &+,)� &+-)� =� ��� ���� ��� "������B ������ ��� ����� �� ����������� � ������ ��� ���� � 24�5 �� �� ������� "� ?��$W� &,*) ������� ���� � #����� � ��� ������ #����� ��������� �4��5��4��5� � � ����� �� � � �$ ��� #��������� ������

� � � (���� �������) ����� ��� �$� ���� �� ,��,��4�� ��,��4�4 ����

��� ���� �� � 24�5 �� � �����$ �������� ����� ��� �� � � �� ��� ����� �� ��� �������� � � ����� �� ���� �� ��� ��� � � Q ��� ��4��5� #��� � � ��� ��4��5� Q � 9���� ��� �� ���� �� ��� ��� � � Q ��� ��4��5� #��� � � ��� ��4��5� Q � 9���� D���� ��� ���� � 24�5 �� ��� ����� �� �$ ������ ��� ������$ ���#�� �$ ��

� ��� ��� ��������#��$�

#$���� � � � ��� ����� � �� �� ��� �� ��� ��� ��� �� ��� ������ ����������� 24�5 � ��� ���� �� ������� �� ��� ������

��.� 1�� R ���

���

.� 1�� R ���

�� �: � 1 � :�

(�� ���� � ���� ���� �� ��� ������� �4�5 Q �4.� 1� R ��5��

$ ��� ��� �� �� ������ �� ��� ���� �� ��� ������� � ��� ��� ���������

�����)�

��4�5� Q �

4. R �5�� �

.� 1� R ��� �

4.� �5�Q �����)�

��4�5�

Page 77: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� 4�

�� 1 � &�:� :)� =� ���� � ������ 1 Q 1� Q �� R .��� � .�� �� � 9�����4��5� Q � ���� ���� �4��5 Q ��4��5��

�� �� ������� ��� ��� � � Q � � 4�.� ��) � &��� .5� ��� � #�������#�� ( ���� �� ������� �� ���� ��#�� ��� ����� ����� *� ��� ������������� �� �#�� ��

�4� �� (� (5 Q:

*�

+����4�� � ��54.� ����5

��� ��� �4� �5 ��� ��� #������� #�� ( �� ��� ������� �� ���� ��� ������ ���� ������� ������� �� �� ���������� �� ��� ������ � ������������ ������� ������ #�� ��� ���� ������� �� (� � ��� ����$ �$����9��� �$ ��� ���#� �� ��#�� ��� ����� *� ��� ���#� � ��� � �������� ��( ��� ������� ��� ���� �4��5 ��#�� ��� ���� �4��5 �� ��� ������� ����� ����������� ������� ������ �� �#�� �$ ��� ��� ������� ��� � �$ �������� ��$� 4�� �4��5) ��� &�4��5�5� %���� ��� ������� ������ ����������� ��� ����� �������� ��� ���������$ �4��5 � �4��5 ���� ��� ��� �����#���� � 1� ��� ���������� � ��� �������� ��9������ �4� �5 ����� � ������������� � ��� �������� ���� �

� � � &������ �����

�� %���3 �� ��3����� ��������� � � � �� 4��� �����

�������

5 �� � �������� ���

� ���������� �$����� � ���#�� � �� Q � �%���3�� %�� �� Q � 0 ��� Q .�.��� � ��������$ ����� . ���� ���� �� �� � �$�� ��� ��� ��������� ��� ��������

��� ��� ������ ����� �� ��� ��� �������� ��� � ������� ��1������

� �� ����� ���#�� � �$�� � ���� �������� ��� ��������� % ��� � ���

��� ��������� 3� � =� ������ ���� ��� ���#� ����� �� ������ � ��� ����

��� &%��) �� 3 �� &%��)� � ���� � ��� ����� ���� �������� ��� �����%� 3 R .'���!���� ���3��� �� ���� ���� �� ���� �� ��� �����$ � ��� �����

4��� ����� 5 � ��1#�������� ������ � ����$ �$�� 4��� �

���� 5� �� �� �

�$������� �����$ �������� ������ � ��� ����� �� � �$������� ����$

�������� ������ D�������$ � ��� ����� ����� �� ������� �� ��� �����

���� ��� ������$ �������� �������� �� ������ � ����� �$ �4���5

��� ������� ������ � �� ��� ������� � ��� �$ 4����� 5 ��� ������

� ��� ����� ����� ��� ������� � ��� �����$ � ����� ���#�� ���� ��������

��� ������$ ��������� �� ��� ����� ����� ����������� ���� 4�

���� 5

#�������� 7������ ��� ������ � ��������� ��� ���

�4���5 R G�4����� 5� 4'�.-5

�� � ��1�����#� G #�� ��� 4��� ����� 5 � ����� D���� �$ ���4G�%���35

��� ������� � ��� ��� 4'�.-5� <� G Q ( ��� ������ � 9����

Page 78: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

4� �� ������ ��� ��������� ������0

���4(� %���35 �� ��� ���� �� ��� ������ � ������������ � ��� ��1������ � ������� �������$ ���� ������� ��� ����� %���3� ���� ���1��� ��� ���� ��#�� �$ �� ?��B���� 4&,/)� ������ .�*5� <� G � ��������� �� ��� ���� �� 9���� ��� ������� � ��� ������ � ����$ ��1

������ ����� #�� ��� ���� ������ � �� � ����$ �$�� ����� � ���

#���� � ���4G�%���35 ������� ��� ������� �� ��� ������ ���� � �1

����� 4��� � �

����

�5 � ���� ���� ��� ��� �������� ��� ��� ��� ����� �� ���

���H����$ ��������� � ��� ��������� ��3��������

64�5 ��� Q %� �B

4� �%54� ��54� � 35���� 4'�./5

��� ����� �����

��� ��������� ���� ����

�� ��4�5 �� � ���#����� ������� ��� � ��� ����� ��� �� ��� ����

���� � (4��� �5� ���� ���� ��45 Q (� � ���4�5

�����

Q .P ��4�5 �� � ���#�����

������� ��� � ��� ����� �����

��� ��� ������� . � ���� � � ���� ����

��4�5 Q .� ����� �������� ������$ �� ��� ������ ��� � �

����

���� ��3��������

��������

G��

����4�5

��4�5

��

Q �+*�64�5���� G� Q .� G� Q G 4'�:(5

��������#��$���� 61������ � ��� ���H������� �� ��� ��1��������� ������ ��

� ���

�����

���� ����� � . ��� G ��������#��$� ����� �������� ��9�� � ������

��� B� ����� ��� ����� � � �� ��� 9��� ������� �� 4'�:(5� � �����% Q �.�+*��(�� � � � !� ��� ���� ���� ��� �������

���4G�%���35 � ���4G�%���35

����� �� �� G �� , Q :� '� � � �

$ ��� =����� ��� � ��������$� �� ��� ��� � ���� ����� � ��������% Q ��� Q (� ��3 � (� =� ����$ ���������� ��� ������� ���� ���� ���� � ��� �������� �������� ����� ��

� ��� ��� ��� �����

�����

��� , � :� �� � ������� � ����� � ���� � ��1#�������� ������

���� �

�� ���� ��� ���������� ��� ������� � ��� ������ ��������� ���

���4G�%���35� @��#����4��� �5 � �4��

� �5 ����#�� �� �Q ��� � ���

4�����

�5 � 4��

��5 ����#�� �� �Q ���� ����� ��� ��������� � ����

'�:�. ��� � ��� ��� ����������$ � ��� ���� � ��� ������ ��� � �

����

���

���4G�%���35� �

Page 79: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� 4�

(�� � � � ��� ( � % � �� ( � ) � * ��� ���� �� ���4G�%��'�� � (5�� ���� ��� ���� "�� �� ���� ) � &(� *)

$ ��� �� ( � G � .� ��� ���H������� � ��� ��3�������� 64�5��� ��� �����1 ��� ����$���� �$ ��� ��9����� � ���������� ��� ������� � ��� ��������� � ��#� � ������ ��

�� ��� �� �� ��� ��� � ���� '�:�. ��

, Q . ���� ��� ���������� �� ���4G�%��'�� � (5� ���� � ��� ���� �����

�4��� �5 � �4��

� �5 ��� 4�����

�5 � 4��

��5� %� ���� �� ������� ��$ ��� ��� �������� ������ ������� ��� ��� ������� ���� �� ���� ����� ������H����$ � ��� ��3�������� 64�5��� �������� B ��� (� ) � 4(� *5 ���� �� �������� ����1������ ��� ������ ���������� � ���������� ��� ������� ���� ����� 4%��'��5 ��� 4(� �'��5 $����� ���� ��� ��� B ���� ����� ��� ������� ��� ��� #������� �� (� %��'���

��� ���� ���������� � ���������� �� ��� ���� G . ������� ���� ������ B ���� �� ��� ���� � ��� ���� ��� ��� ��� ����� 4(� �'��5 ��� 4(� %5 ����� � �� ����1������

�� ��� ����� ��� ���H����$ �������� ��� ����� %��'�� ���� ����� ������� � ��� ���� ��� ��� ��� ����� 4(� �'��5 ��� 4(� %5 �� ��� ����� ����1������ �� ��� � ��� ������ :�,�: ���� ��� ������� � ���4G�%��'�� � (5������ ��� ������� � ��� ����� #������� �� ��� ���� �'��� �� �1�������� ������ ���H����$ � ��� ��3�������� 64�5��� ������� �� ���� ����� ����� ��������� ������ � ���� #���� ��� ��� #���� � ��� ���� � ��� ���� �'��

�� �����#�� ���� 9������ ��� ���� �

=� �� ���� ��� ������ �$ �� ?��B���� &,/) ��� �$ �� !����B�#� %� <���#&.*') �� ��� ���� ���� � ��� ��� �� ���������� ������������ %��

M�4�5 Q .� .

*�����

'� �

�R .�

�� � �;�8 �

��

���

���� ���� �&� $#>�+�$* �$'+'$� �% &� �.$��# !�=�$��# �;�8��� � �&��$�������

Page 80: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

4� �� ������ ��� ��������� ������0

#$���� � � � ��� G (� � � . 3� ��� ����� �� ��� ��� %+ *8&��� ��� ���� ����� 3 Q �� % Q �.� � Q . ��� ������

���4G��.� .� �5 Q �4��� � G5 R G

�4���5�

����� �� ��� � ��� ���� ��� �� ��� �� ���� ��

� � ��� � 1���� ��� ���� � �� ��� �2� ����

64�5��� Q � .

+*�� � &

4� � �54�� � .5����

(�� � 1���� � � ��� � + Q .� : �� ��� �2� ���� 64�5��� � ��� ��� ���64�5����� �� ��� ������ G� � G� Q .� G� Q G� � ���� ��

� Q � � &�.� �)���

� Q � !� ( � G � M�4�5� ���� "� ��� ��� ������ ��� ��� 3� M�4�5 �G � . ��� -� � & Q &4�� G5 � ��#��� �� ��� ������

*

�G�

2 4,5

�Q �

� �!4�� &5,�

�� � .4. R !5� =�4� ,5=4� ,5

�:2 �4,5�

�� Q.� !

. R !� ! Q

�&� � .

�� � .�

, Q

�:!4�� � .5

!4�� � .5� . R �&�

!� ��� ��� �4��� �5 �� 4��

�5 ��� �

4���5 Q

.

+

�.� .

G

2 4,5

�2 4,5

2 �4,5�

�4��� �5 Q

.

:*�

+,4�� &5=�4� ,5

4�� � .54. R !5�=�4(� ,5� .

+

�G�

2 4,5

2 �4,5�

������ ��" G . !� ��� ���� ��� -� � & Q &4�� G5 � ��#��� �� ���������

*

�G� : R

2 4,5

�Q

� �!4&� �5,�

�� � .4. R !5� =�4� ,5=4� ,5

�:2 �4,5�

!� ��� ��� �4��� �5 �� 4��

�5 ��� �

4���5 Q

.

+

�. R

.

G

2 4,5� :

��2 4,5

2 �4,5�

�4��� �5 Q

.

:*�

+,4&� �5=�4� ,5

4�� � .54. R !5�=�4(� ,5R

R.

+

�G� : R

2 4,5

� � :2 4,5

2 �4,5�

Page 81: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� 4�

3� G Q . "� ��� & Q ��

4���5 Q

.

:*�

.

�R��� � .

� �4��� �5 Q

.

:*� 4�R

��� � .5�

���� � ��� ��� �������� �������� �� � �� � �� � "����B� )1��������=4� ,5 Q >�4� ,5 ��� ��� ������� �� ����� ����#���#�� ���� ��� ��9����� %����� :�'� ��� ��� � ���� ������ �� ��� ���� �� �� &,/) ��� ���� �������� '�:�'� % � � �� ������ �� ����� 8�� ��� ����� �� ��� ������'�:�'�

��� , + ) * <� ��� ������ � ���4G��.� .� �5 ��� G M�4�5 � ��#���� ��� �� ������� � ��3����������

� &4�� G5

� GQ*�!4�� � .5

:,2 �4,5�� &4�� G5

� �Q � :!

,�4�� � .5

�� �4,52 �4,5

� .

��

� G4G4��

�55 Q.

+

2 4,5

2 �4,5�

� �4G4��

�55 Q

�!

+,2 �4,5��� � .

��� , + ) ) �� � �� � 9��� ������ . � � �� � ������� G Q G4�� &5 ����� ��#���� � & Q &4�� G5� ��� ������� G4�� &5 �� ��9��� �$ ��� ��������� ������ '�:�: ��� �������� �� & � 4.�5� @��#��� G4�� &5 � M�4�5 ��& � .� ��� ������� G4�� &5� �� � ������� ��� ������� � &� �������$ ����������� & � 4.�5�

������ ���� �.� .� &�� �� ��� ��3����� ��������� � � � . � &� � �� � � �� 4���� �

��5 �� �� ���������� �$���� � ���#�� � �� Q � � �.� .� &�� ���P

��� Q � 0 ��� Q .�.� �� � ��������$ ����� . ���� ���� ��� �� � �$�� ������ ��������� ��� �������� ��� ��� �����P ��� �� � ����� ���#� � �$�� ���� ��������� ��� ��������� �.� . ��� ��� ��������� &�� ���� ������ ������� ���#� ��� �� ������ � ��� ���� ��� &�.� .)� �� � �� � �����$ � �������� 4��� ��5 � ��1#�������� ������ � ������ �$�� 4�

��� �

��5� �� ��

� �$������� �����$ �������� ������ � ��� �� �� � �$������� ����$�������� ������ ��� ����� �� ��� �� ������$ ��������� �� ���� ��������� ��� ������$ �������� �������� �� ������ � ����� �$ �4���5��� ������� ������ � �� ��� ������� � ��� �$4��5 ��� ������ ���� ����� �� ��� ������� � ��� �����$ � ������ ��� ���� �������� ���������$ ��������� �� ��� ����� �� ����������� ���� 4��5 #��������7������ ��� ������ � ��������� ��� ���

�4���5 R G�4��5� 4'�:.5

�� � ��1�����#� G #�� ��� 4��� ��5 � �� D���� �$ �4G��.� .� &�� ��5 ���������� � ��� ��� 4'�:.5� <� G Q ( ��� ������ � 9�����4(��.� .� &�� ��5 �� ��� ���� �� ��� ������ � ������������ � ��� ��1������ � ������� �������$ �������� ��� ����� �.� .� &�� ��� ���� �� ����

Page 82: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

43 �� ������ ��� ��������� ������0

���� �� ��� ������ &�.� ��)� %� �4(��.� .� &�� ��5 Q ��� �

����

<� G � ��� ������ �� ��� ���� �� 9���� ��� ������� � ��� ������ � � ����$�������� ����� #�� ��� ���� ������ � �� � ����$ �$�� �

���

%��

M�4��� &�5 Q.

*

����

��� &�

4�� � .54�� � �5���

����� �� ( � G � M�4��5 � ��#� ��� ���������� ����� <� M�4��5 � G �M�4��� &�5 ��� ����$��� ���������� �� �4���5� ��� 4��5 ��� ��#�����$ ������ '�:�: �� ��� ����� �.� .� � Q �� �� M�4�5 � G � .� <� G �M�4&�� ��5 ��� ����$��� ���������� �� �4���5 ��� 4��5 ��� ��#���� �$������ '�:�: �� ��� ����� �.� .� � Q &� �� G .� 8���� ���� ��� ��� �������� �� #�����

�� � �� ���;�8

��

���

���� ���� �&� $#>�+�$* �$'+'$� �% &� �.$��# !�=�$��# �;�8��� � �&��$�������

#$���� � � � ��� M�4��� &�5 � G � M�4&�� ��5� . � &� � �� � �������� �� ��� ��� %+ )*& ��� ��� ���� �

�4G��.� .� &�� ��5 Q �4��� � G5 R G�4���5�

� ����� �� ��� � ��� ���� ��� �� ��� �� ���� ��� � ��� � 1����� � �� ���� � �� ��� �2� ����

64�5��� Q � .

+*�4� � �5�

4� � &�54� � ��54�� � .5����

(�� � 1���� � � ��� � + Q .� : �� ��� �2� ���� 64�5��� � ��� ��� ���64�5����� �� ��� ������ G� � G� Q .� G� Q G ��� -� � � Q �4��� &�� G5�&� � � � �� � ��#��� �� ��� ������

*

�G� �

2 4,�5

�Q �

�,�4&� � �R !�4�� � �55�

!�4��� � .54. R !�5� =�4�� ,�5=4�� ,�5

�:2 �4,�5�

Page 83: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� 44

�� � Q.� !�. R !�

� !� Q

�&�� � .

��� � .�

,� Q

�:!�4��� � .5

!�4��� � .5� . R ��&��

!� ��� ��� �4��� �5 �� 4��

�5 ��� �

4���5 Q

.

+

�.� .

G

�2 4,�5

�2 4,�5

2 �4,�5�

�4��� �5 Q

.

:*�

+,�4�� � &�5=�4�� ,�5

4��� � .54. R !�5�=�4(� ,�5� .

+

�G� �

2 4,�5

��

2 �4,�5�

$ ��� =� ������� ��� ��� 1 Q 14�5 ��� ��#���� ��

� � �� Q 4&� � ��5.� �� 1

4.� !�5� 4. R !�5�� 1R .

��� ����#� ��� ������������� � ��� ��3�������� 6 �� ����� � ��� ���������1 �� ������ �����

64�5��� Q �415�1� Q.

!�4.� ���5�

��4�� ��54.� !�5 R �� � &� � 44�� ��54. R !�5 R �� � &�5�� 15

4.� !� � 4. R !�5�� 15

��

�1��

�� G � &M�4��� &�5� M�4&�� ��5)� =� ����$ ��� ���H����$ ��������� � ���

��� ;��8 �� ;��8

��

�����

���� ���� �&� $#>�+�$* �$'+'$� �% &� !�=�$��# �;�8���

Page 84: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

4� �� ������ ��� ��������� ������0

��������� ��3�������� �415�1� ���� �� � ������� ������ � � ������ ���%��

1#�� Q :4:�R -52 4,�5 R :-�2 �4,�5� �� ������ ��-�

� Q ���� 4�� ��54.� !�5 R �� � &�4�� ��54. R !�5 R �� � &�

� ���� � � 4(� :�2 �4,�5)�

� Q ���� . R !�.� !�

� ���� � � 4(�2 4,�5)�

��� ��3�������� �415�1� ��� ��� ���� � ��� ����� ���� �� ��� �����

���#�� Q � R 1#��� ���

#�� Q �� R 1#���

��� ��� ���� � ��� ����� ���� �� ��� �����

����#�� Q � R 1#��� ����#�� Q �� R 1#���

����� ��� ����� � ��� ����� �.� .� &�� �� ����� ��� ������������ 14�5 �����������#��$ ��� �����

1���#�� Q �2 4,�5� �2 �4,�5 R 1#��� 1���#�� Q �2 4,�5� '�2 �4,�5 R 1#���

1���#�� Q �:2 4,�5 R 1#��� 1���#�� Q �:2 4,�5� :�2 �4,�5 R 1#���

����� ����� ��� ������ �� ��� ��3�������� �415�1�� �� U�� �� ���������� ��� ����� ��� �$ ������� ��� ��� �������� ������ ���H����$4.� &�5� D���� �$ �� ��� 11���� � �

�� � ��� �$ �� ��� 11���� � �

�� � <��

��-� ����� ��� ����� �� �� ��� �������� ����� �� ��� ���H����$ �����1

���� � ��� ��3�������� �415�1� ������ �$ ��� ������ &����#��� �

���#��) ���

��� ��� ! �������� ��� ����� ����#��� �

���#��� � ���� � � ��� ��� �����

�� �� ������ �$ ��� ������� &1#�� � :�2 �� ����#��)� &����#��� 1#�� R :�2 �)�

&1#�� R2 � :�2 �� 1#�� R2 R '�2 �)� ��� �$ ��� ��� !� �� ��4�5 �� ��� ������� ��� � ��� ����� ��� �� ��� ���� ���� �

(4��� �5 ���� ���� ��45 Q (� � � ��4�5�����

Q .P ��4�5 �� ��� �������

��� � ��� ����� ��� �� ��� ������� . � ���� � ���� ���� ��4�5 Q .�

����� �������� ������$ �� ��� ������ ��� � ��� ��� ��3�������� ��������

G��

����4�5

��4�5

��

Q �+*�64�5���� G� Q .� G� Q G� + Q .� :�

��� 61������ � ��� ���H������� �� ��� ������ ��� ��� ��� ��� ����� �

. ��� G ��������#��$� D���� �$ � Q ��4�5 ��� ��#���� ����� �� ��� ��

��� ����$ �������� ����� ������� ��� ��� �$ ���������� ��� ��� � 0� Q ��4�5� ��� � .�.�� �$ � �� ��� 11���� � ��� � ��� ����� �

�� �� �������

Page 85: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� 4(

��� �� ���������� ��� ��������� � � ���� �� ��� 11���� � ������������� ��������� � � �����

�� � Q.� !�. R !�

� � � ���

�� � Q:�!�

. R !�� �� � Q

�� � &�

4. R !�5���� � .

7������ ��� ������������ 1��4�5 ��� ��� ��#���� ��� � Q ��4�4155� ����� � ��#�

G����4�4155

��4�4155Q ��415�1� G� Q .� G� Q G�

����

��415 Q.�

!�4.� ���5�

� 4�� � �54.� !�5� 4�� � &�5� 44�� � �54. R !�5� 4�� � &�55�� 15

4.� !� � 4. R !�5�� 15�

7������ ��� ����� U� �� ������� ��� � �� �$ ������� ��� ��� � ��� �������������� ���H����$ � ��� ��3�������� �415�1� ���� ������� ��� ����� ���� 14�5� �� � � �� ��� ���� � ��� ������ � �� � ��� ��� ����� ����������$ ��� !� �� � � � ��#�

��415 Q4�� � �54. R !�5� 4�� � &�5

4. R !�5�!�4.� ���5

R

R�� � �� � �� ��� � 1� �� � �

R�� � �� 1�� ��� � 1� �� � �

��415 Q4�� � �54. R !�5� 4�� � &�5

4. R !�5�!�4.� ���5

� =�4�� ,�5=4�� ,�5

R�D 415

�1�

����

D 415 Q�� "��/

� �� "��/� =�

�"��/

�� /�"�

� �� /�"�� =�

�/�"�

�6 � ������� ��� ������ ���� �4G��.� .� &�� ��5 ���

G � &M�4��� &�5� M�4&�� ��5)� ��� ���� � ��� ����� �� ����� ��� �������1����� � Q ��4�4155 �� ��� ����� � Q ��� � 4.�5� �� � � 4(� :*5�� ������ � ��� ���������� ��� Q .� �� � � 4(� *5� �� ��� ���� � ��� ���H����$���� ������� ��� ����� 2 � �2 � ��� 2 R �2 � �� ��� 11������ ������������ ������� �� ��4�4155 � �����

��*G Q�4�� � �54. R !�5� 4�� � &�5

4. R !�5�!�4.� ���5

� =�4�� ,�5=4�� ,�5

�:�2 �4,�5R

Page 86: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�) �� ������ ��� ��������� ������0

R �D 42 4,�5 R �2

�4,�55D 42 4,�5� �2 �4,�55

����� G � ( �� ���� �������$� � ����� ����

�D 42 4,�5 R �2

�4,�55D 42 4,�5� �2 �4,�55

Q �*�

2 4,�5�

��� ������ ��� ������� �� ��� ��� �4G5�6 � ������� �� � ��� ������ &.� )� �� �� �� ��� ��� ������� ����

������� ��� ����� 2 R �2 � ��� :�2 �� ��������� ��� ���� ������� �������� ����� � ����� ��� ��������� �� 4���5�

������ ��4��5 Q (� ��� ������ &(� .�.) �� ��� �1����� ��� ��� ��������� ��� 11����� ���� �� ��� ��� �� � �� �������� ��� ����� 14��5 Q ( ���14.�.5 Q ��� ��������� ���4�4155 � ����� ��� ��������� ���4��� �5��

� � � :���� �������) ����� ��� �$� ���� �� ,��,��4�� ��,��4�4 ����

6 � ��� ��� ����� ���������� �� %����� '�:�: � ��9�� ��� ����� ����1��$ ���#� �� � ��� ���� � 4�4��5� �4��55� ( � �� � �� � . �� ��� ����� ���8�� ��� �� ����� � ����������� ����������� � � ������� � ��� ��1������ �������� � ��� ��������� ���� ���� ��� � ��� ��������� 2�������������

�� � Q � � (� ��� ��� �� ��� ��������� ���� ����� =� ������� � ���� ���������� �$���� 4�� � �

�5 � �$��� ��� ��� � ��������#��$ ���� �

� �� �

������ �� ���� ��������� ��� ����� ��� �� ��� ( ��� �� � �� Q � 0 ��� Q .������ . �� ��������$ ����� � ���� �� ��� . � ��� �� �

�� ��� ��� � �������� 4�

� � ��5 � � �����$ �������� ����� �

� ��� � ����$ ������������� �

� � ����$ �$�� 4�� � �� 5� ����� ��� ������ � ��� ��������

�������� � � ������� � ��������� ��� ��� �4�� � (5 R G�4�

�5 #��4�

� � ��5 � �� ��� ������� � ���� ��� � ����� �$�4G� ��� ��5� M����

��� ������������

K4�5 Q:����

4�� � ��54.� ����5

�4�� R ��54. R ����5

:����� � � .

��

� �������� ������ 4���� �

��5 �� ��� ������ �� �4G� ��� ��5 ���

������ �� � �������� ������ 4���� ��

�5 �� ��� ������ � 9�����4G��.� .� &�� ��5 ����

&� Q4�� R ��54. R ����5� +����

4�� � ��54.� ����5� �� Q

4�� R ��54. R ����5 R +����4�� � ��54.� ����5

����� ��� ������ ��� ����� � ��� ������� ������ ����� ��� ���������� K4�5 � ������ ����

Page 87: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� ��

�4���� (5 Q

.

:*�

:����4�� � ��54.� ����5

R�4��� �5� 4���5 Q4��� 5�

�� M�4��� &�5 � G � M�4&�� ��5� �� � & Q � � (� "�� "�� �� ��� ��������� 2������ ������� ��

4�&� � �&����

�������

5 �� � �������� ��� � ���������� �$����� � ���#�� � � & P

�� Q � 0 ��� Q .� �� � ��������$ ����� . ���� ���� �&� �� � �$�� ��� ������������ ��� �������� ( ��� ��� �����P �&�

��� �� ����� ��� ��� ����������� � ������� ��1������ � � & ������ ��� � �$�� � ���� ����������� ��������� "� ��� "� ��� ��� ��������� (� � ������ ���� ��� ���#��&�

��� �� ������ � ��� ���� ��� &"�� "�)� �� �&��� �� ��� �����$ � ���

����� 4�&� � �

&����5 � ��1#�������� ������ � ����$ �$�� 4�&� � �

&����5�

���� �&� �� � �$������� �����$ �������� ������ ( � �&

� � �&���� �� �

�$������� ����$ �������� ������ ��� ����� �&���� ��� �� ������$ ��1

������� �� ��� ����� ������ =� ������� ��� ������ � ��������� ��� ����4�&

� � (5 R G�4�&����5 �� ��1�����#� G #�� ��� 4�&

� � �&����5 � �&

����D���� �$ &4G�"�� "�5 ��� ������� � ���� ��� �� , Q .� M���� ���������������

L 4"5 Q:"�"�

"� � "�

�"� R "�

:"�"�� .

"

�� �������� ������ 4�&

��� �&

�����5 �� ��� ������ �� &4G�"�� "�5 ���

������ �� � �������� ������ 4���� ����

�5 �� ��� ������ � 9����

���4G��.� .� �5 ��� � Q &��&�

&��&�� ����� ��� ������ ��� ����� � ���

������� ������ ����� ��� ������� ��� L 4�5 � ������ ����

�4�&��� (5 Q

.

:*�

:�"�"���"� � "�� R�4�

�� �5� 4�&

�����5 Q4��

����5�

(�� � � � 3� #��� ����� � ��� &� ���� ��� . � �� � &� �� �� �� � � � &� ��� ������

4���5 Q4���5

��#��� ������� G�4�5 "��� � �2� ������ �� �� ���� �� ���� � � �&��� &�) � �� M�4��� &�5 �� M�4&�� ��5 5� � ��

� �� ��� � ��� ��� ��� ������� �� 4G��.� .� �5 �� �4G��.� .� ��� &�5 ����������

$ ��� <� ��#�������� � �� ���� �4G��.� .� �5 4���5 ���

��4G��.� .� ��� &�5 4���5� <� � 9��� G � ��� ��� �������

G�4G��.� .� �5 Q G��4G��.� .� ��� &�5 4'�::5

�� ��� ������� �� <� G Q M�4��� &�5 ��� ������ � �4G��.� .� ��� &�5 ����������� � ��� ������ � 4G��.� .� �5� ��������� ��� ������� 4'�::5��� ��� ������ � Q ���

������ '�:�' ��� ��� ������� � ������ '�:�: ����$ ����

Page 88: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ ��� ��������� ������0

�G4G��4G��.� .� ��� &�55 Q 2 4,�5

+2 �4,�5�

�G4G�4G��.� .� �55 Q 2 4,5

+2 �4,5�

, Q ,4�� G5� ����� ��� �������$

�G4G��4G��.� .� ��� &�55 Q �

�G4G�4G��.� .� �55� 4'�:'5

���� �� G Q M�4��� &�5� ;������� ���������� $�����

� ,

� GQ

*4�� &5�!4�� � .5

:!,�4!4�� � .5 R �&� .5�2 �4,5�

������ , �, . ( �� G � .� ��� , �, . � ( �� G .� <�� 4'�:'5 � ����#� ����

��� ���������$

�G4G��4G��.� .� ��� &�55 � �

�G4G�4G��.� .� �55� 4'�:+5

���� �� G � 4M�4��� &�5� .)� ����� ��� ������ 4'�:+5 ��� ��� �������$

�4M�4��� &�5��.� .� ��5 Q ��4M�4��� &�5��.� .� ��� &�5� � ����� ����

G�4G��.� .� ��5 � G��4G��.� .� ��� &�5� G � 4M�4��� &�5� .)�

6 � ������� G�4G��.� .� �5 �� � 9��� G � &M�4��� &�5� .) �� � ������� ��� ������� � �� %���� M�4�5 ��������� ��� . � (� ����� �� � ������ U� QU�4G5 ���� ���� M�4U�5 Q G� ��� ������� �4G��.� .� �5 ��������� �� � �4��� U�4G5) ��� �4G��.� .� U�4G55 Q (� ����� ����� ������ � ������ ������ ���� ������� 4'�::5 ���� � ����� �$ � Q ��4G5�

%���� ��4M�4��� &�55 Q �� ��� ��4G5 �� �� G � 4M�4��� &�5� .)� ��� ����1

��� ��4G5 ��������� �� � ��������$ ����� G ��� ��� �����#�� 4M�4��� &�5� .)�D�3���������� 4'�::5 ��� ������� � G � 9��

���4G5�G

Q,2 �4,5

��� � .�!

�2 4,�5

2 �4,�5� 2 4,5

2 �4,5

�� 4'�:A5

%����� ���� ��4G5 ��� �� �������� �� ��� G � 4M�4��� &�5� .)� ����� ����������� UG ���� ����

���4G5�G

�����.��.

Q (����4G5�G

�����.��1����������.�

� (����4G5�G

�����.���.��.���

� (

�� . ��������$ ������ <�� 4'�:A5 � ������ ���� ,4��4UG5� UG5 Q ,�� 6 � ����$ ��� ���� ����������� ���� �� ���� �� ��� ���������� � ��������� � Q ��� G Q M�4��� &�5� ��������� �

�4G5 ��������� ��� ���������G �� ��� �����#�� 4UG� UGR .5� ���� ���������� ��� ��������� �������� �������#��� � ��4G5� � ������� ����$��� �� G � &.� M�4&�� ��5) �������� ������ � ��� ������ �

Page 89: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� ��

#$���� � � ��� ( � �� � �� � .� �� ��� �� ���

&� Q4�� R ��54. R ����5� +����

4�� � ��54.� ����5� �� Q

4�� R ��54. R ����5 R +����4�� � ��54.� ����5

G � &M�4��� &�5� M�4&�� ��5) %& ��� � ����� ������� " Q ��4�� G5 � �� ��� ���#�� � � ���

�2� ���� ������

4� � �5�4� � S�5����

��4� � ��54� � ��54.� ���54.� ���5Q

4" � 35�"�

"�4" � "�54" � "�5�

"�� � � Q �4G5� ��� Q . � ��#��� �� ��� ������

�4G5 Q:����

4�� � ��54.� ����5

�4�� R ��54. R ����5

:����� �� .

��

�� �4G5 � ��#��� � ���� �� + ) + .��

"� Q "�4G5 Q4�� � ��54.� ����5

:����

(4��� �5

(4��� �5

.

��4G5 R .�

"� Q "�4G5 Q4�� � ��54.� ����5

:����

(4��� �5

(4��� �5

.

��4G5 � .�

3 Q 34G5 Q4�� � ��54.� ����5

:����

(4��� �5

(4��� �5

.

��4G5� &4��4G5� G5�

"�� � (4��� �5� (4��� �5 � ��� ����� �� � ��#��� �� ��� ������

����� �� ���� ��� + ) )� + ) +� ��� ������� � Q ��4G5 � ��#��� �� ����+ ) +� &4G5 � ��#��� �� ���� �� + ) )

%& ��� �������� "�4G5� "�4G5 �� ��� ����������� "�� �� ���� G��

"�4M�4��� &�55 Q��

4. R ��5�� "�4M�4&�� ��55 Q

��4.� ��5�

"�4M�4��� &�55 Q��

4. R ��5�� "�4M�4&�� ��55 Q

��4.� ��5�

%& ��� ������� " Q ��4�� G5 ��� ��� ��� � ��� �� ���� ��� ��������� C �������� �� ��� � &34G5�) �� �"� ������ � �� �� ���� 1���� �� �� ��� ��� �� �2� ����

4" � 35�"�

"�4" � "�54" � "�5

�� ��� ���� �� � � �� ��� ���� 34G5 �� (4� �C� (5 Q . %�& ��� ����� � �� �� �� �� ��� ��� ��� �� ��� ������ �� ���������

24�5 � ��� ���� �� ������� �� ��� ����� 4"�4G5� "�4G55 (�� ���� � �������� �� ��� ������� ��4�� G5

Page 90: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ ��� ��������� ������0

$ ��� ���� '�:�' ������ ���� ����� ������ � ������� ��4G5 ��9��� �� ��������� &M�4��� &�5� M�4&�� ��5)� ���� ���� 4��

�5 Q4��� 5 ��� G�4�5 �� ���

��#����� ������ ����� ����� � �������� � Q ��4L 5 ��� � Q ��4K5 ���� ������ ��������

� ��� ��� ��������#��$ �� ��� ��� . � ��� � ���4:*4��

�55 Q���4:*4���55� ���$ ������$ �� �

�� ��� �

�� ��� ��3�������� ��������

G�����4L 5

��4L 5

��

Q � L � &4G�54L � �54L � � .5

�L ��

��4�.5 Q �.� ��4&5 Q ���4:*4���55�

G�����4K5

��4K5

��

Q � 4K � �5�

4K � &�54K � ��54K� � .5�K��

��4�.5 Q �. ��4&�5 Q ��4&5� ��� �����������

" Q U�4�5 Q.

�� ���� Æ ��4K4�55

�� � ������� ���������� � ��� �� �&

������ ��� �������� K4�5 ���

L 4"5 ��� ��9��� �� ��� ������� � %����� '�:�'� ��� �������

L � &4G�54L � �54L � � .5

�L � Q4K � �5�

4K � &�54K � ��54K� � .5�K��

�� ����#����� � ��� ������� �� ��� ��������� � ��� ������� �� ������� ������� ������� " Q U�4�5 ��� �� �������� ����$������$ �� �� � �4�.5 Q ���� ���� �� �� ��� �������� UC � ���� ��� �����$ �������� ������ � UC ��� ��� ������� ������

:����4�� � ��54.� ����5

(4��� �5

(4��� �5

����� ��� ������� " Q U�4�5 ���� � ��#� ���������� �� �������� ������#����� �� � ��� ��� ��������

U�4�5 Q:����

4�� � ��54.� ����5

(4��� �5

(4��� �5

� R ���� R � � � �

��� ������� " Q ��4�� G5 �� �����$ ��9��� ��

��4�� G5 Q4�� � ��54.� ����5

:����

(4��� �5

(4��� �5U�4�5�

%� �� �����9�� ��� �������� 4�5 ��� 4���5 � ��� ��������� � ������ '�:�+���� �������� "�4G5 ��� "�4G5 ��� ��������� �������

��4. R ��5�

���

4.� ��5�

�� "�4G5 0 G � &M�4��� &�5� M�4&�� ��5)��

Page 91: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ '�,# � %'+��� �����

4. R ��5��

��4.� ��5�

�� "�4G5 0 G � &M�4��� &�5� M�4&�� ��5)��

%����� ���� ����� ������

"� ��

��4. R ��5�

���

4.� ��5�

��

���� ���� "� Q "�4G�5� "� Q "�4G�5� G� �Q G�� ��� "�4G�5 � "�4G�5�6��� ���� �� "�4G�5 Q "�4G�5� ���� � ��� ��#� ��4G�5 Q ��4G�5� ��� �� ���������� �� ������ ��� �� �� �������� �� ��� ������ �� ���4G�� "�� "�4G�55� ����� ���$ ��� ���������� 4��� �� ��������5 �� ���4G�� "�� "�4G�55 ��� ��� ���������$

���4G�� "�� "�4G�55 � ���4G�� "�� "�4G�55

����� 8� ��� ���� ����� � ��#� "�4G�5 � "�4G�5 ���� ������� � ������:�,�:� ��� ������ ���4G�� "�� "�4G�55 ��������� ��� ��� �������� �#����� ��� "�4G�5 � "�4G�5 ���

���4G�� "�� "�4G�55 � ���4G�� "�� "�4G�55�

���� ���������� ��� ���#��� ���������$ ��� ��#�� ��� ���������� � ������������� ������������� � ��� ���#� �� ��� 4��5�

6 � ��#� ��� ����������$ � ��� ������� ��4�� G5 ��������#��$ � ����$���� � ���������� 4�4��5� �4��55� �� �4�5 �� �� ��������$ ������� ������ 7��� G ���� ���� �4��5 Q ��4��� G5 Q "�4G5� %����� ��� ������$��4��5 ��4��� G5� ����� 4�4�

��5� �4�

��55 �� � ���� � ���������� ������ ��

���4G�"�4G5� �4��55� <�������

�4G� ��� ��5 Q �4�4���� (5 R G�4�4�

��5 � ���4G�"�4G5� �4��55�

%���� �4��5 "�4G5� ��� ���������$

���4G�"�4G5� �4��55 � ���4G�"�4G5� "�4G55

���� ������� � ��� ��������$ � ��� ������ �� ������ ��� ��� ������������ ���4G�"�4G5� "�4G55 �� ����� � ��� ������� �� �$ ��������������� ����������� ��#�� ��� ����������$ � ��� ������� ��4�� G5 ��� 4�#5���� ����������� �� ������ ��� � ��� ��� ���������� � ��� �������� ��19�������� �

� � :���� �������) ����� ��� �$� ���� �� ,��,��4�� ��,��4�4 �� �

���� � ��#� ���� ��� ����� ������$ ���#� �� ��� ���� �� � ��� �$����� ���������� 4��4��5�� ��4��5�5� ( � �� � �� � . �� ��� ����� � �� ��� ���� ���� ��� ����� ���

Page 92: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3 �� ������ ��� ��������� ������0

#$���� � � " ��� ���� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��������� �� ��������� 4��4��5�� ��4��5�5 � ��� ���� � ������� �� ��� �����4"�4G5� "�4G55 ������ � ���� �� + ) 9 ���� � ���� �� ���G � &M�4��� &�5� M�4&�� ��5) �� ��� ����� ������� ��4�� G5 � ��

$ ��� =����� ��� � ��������$ ������ �� �4��5 Q (� 7��� G � ����"�4G5 Q �4��5 Q ��4��5�� %����� ��� ������$� ��4��5� "�4G5� �����4�4�

��� �4�

��5 �� � ���� � ���������� ������ �� ���4G�"�4G5� �4��55 ��

��� ,� %� �$ ���� '�:�.� � ��#� ��� ���������$

�4G� ��� ��5 Q �4�4���� (5 R G�4�4�

��5 �

� ���4G�"�4G5� �4��55 � ���4G�"�4G5� �4��55�

���� '�:�: ������� ��� ��� ��� L 4"5 $����� ��� ���������$

���4G�"�4G5� �4��55 � ���4G�"�4G5� ��4��5�5���� ��������$ � ��� ������ �$ ������ :�,�: $�����

���4G�"�4G5� ��4��5�5 � ���4G�"�4G5� "�4G55�

��� ��� ������ ������ �� ����� � ��� ������� �� �� ���� ����� � ��������1����� ���� ����������� ��#�� ��� ����������$ � ��� ������� ��4�� G5 ������ ��������� � ��� ������� ��� ����������� �� ������ ��� � ��� ������������� � ��� �������� ��9�������� �

=� ��� ���� ��� � �� ������$ ���#� �� �� ��� ����� � �� ��3����� ������� �� ��� ����� ��� ��� ����� �� ��� ����� � ��� �#�� �$ �������� ���� � �� ���� ��� ��� ���� ���� �� ��� ����� ����� � ���#� ��� � ������9���� �������� %���� ������� ���������� �� ���� ���� ��� �� �$������� ������� � �� �� ������� � ��� ��� ������ ����� �� ��� ��� ������� ���� ���� �� �� ��1���� ������� ����� ��� ���

��� * ��� ���#����� ������ ��

=� ����� �$ �� ��� ����� � ��� ���#����� �������� ���� �4�5 Q �� R���

� R � � � ��� � ��� ������ ��� ( � � � .� ��� ������ �������� ��4�5������� � ��� �������� ��� �� ��� ��� 9��� ������� � 9���� ��� ����������� ���$� ��� ���� ��� �� ��� ?��� ������� �� ��� ����� � �� ��� �1������E��� ������� " Q !�4�5� ��� E��� ������� �����9�� ��� �������

"

4. R '��"5�Q

��

4. R '���5��

��� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���� ���� ��� ��� ������ ���� ������� ������ ����

'����. R .� �

.� �

��

Page 93: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� B�'!�! '�,# � %'+��� �4

� � � ��������) ��������

� �$ ��� ����$ ��� ��� ��� � ��� ?��� ������ �� ��� ����� ����#���� ������ �� ��� ����� ��4�5�

#$���� � � � ��� ����� � �� ��� 7���� ���

�4 Q

��4�����4�5

� ��� ���� ��4�5 � ��� � ���

�"� Q (� Q �. R .� �.� �

!� ���&�,��-� �"� Q (� �� ���� � � ���� � � ������ ����� �� ��� $�,�������

��� � �� ������ �� �#�� �� ��� ��

#$���� � � � !� � � �� ���� !�4�5 � ��4�5� � !�4�5 "�� ��� ���������� �� ������ ����� �� ��� $�, �������

� ��� ��� �� ��� ���� �� �� ��� ��������� �� �� ������� �� �������� � �������� � ���� ��� ���� ������� �������� ����� ��� ���������� ������ � ��� �������� �������� �� ��� ���� ���� ������� � ��� ������������

@�� ���������� �������� �� ��� 9�� �� ��� �������� ��������

#$���� � � � !� � � ��� ����

�� �4�5� � ��4�5�4.� ��4�5�5. R ��4�5�

. R �

�4.� �5� � 0Q ���� 4'�:*5

"�� ��� $�, ������� !�4�5 � ��� ��� ��� ��� �� �� !��4(5 Q � '� ���� ��� �4�5� � . �� ��� � �

:� . ��� ��������:� . � �� �

$ ��� �� �4�� �5 ����� �� ��� ������� ������ � � �����$1���������$������� ����� � ��� ������� � � ���� � � �� =� ���� ��� ������ � 4'������ �� () �� ��� ������� �� ��� ��������� ��� ������� ������ 4%��1��� :�+5 �� �4� � 4'������ �� ()� �5 Q �

�� � +�4.� �5�4.R �5� ��� ����� ���� ������� ������ ����� ��� ��� � ��� ������� �$����������� ������1����$ ���� � ��� ���������$ ����� ���������$ 4'�:*5 �� ��� ��������� � ����������

6 � ������ ��� �������� #�� ��� ���� �� ���� �� �4�5� � .� ������������$

��4�5�4.� ��4�5�5. R ��4�5�

. R �

�4.� �5� .

Page 94: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� �� ������ ��� ��������� ������0

�� ����#����� �

��4�5� � &(����4.� �

. R �� �5) � &���4

.� �

. R �� �5� .5�

.5 ( � � � �:� .� ������ 4'�:*5 �� ����#����� �

��4�5� � &(� �) � &.� �

. R �� .5�

������� ��4�5� � �� ��������� �� �4�5� � . �� ��� � 0 ��� � �: � .� ��� ���

�#��� ���������$ � ��� �������$ ����

:5�:� . � � � .� ������ 4'�:*5 �� ����#����� �

��4�5� � &(�.� �

. R �) � &�� .5�

<��: � . � ��� � . ����� �� � E��� ������� ��� ��� � Q !��4(5 ����

� .� � ���� ��(��( � ��4�5� � � ���� ��������� �� �4�5� .� �

#$���� � � !� � � ��� ����

�� �4�5� � ��4�5�4. R ��4�5�5.� ��4�5�

.� �

�4. R �5� � 0Q ����

��� ������ ���� � �� ������ ����� �� ��� $�, ������� !�4�5 "�� ��!��4(5 Q �

$ ��� <� ���� � �� �������� � ������� ��� ��� � � Q � �&(� ���4� �� �55 ��� � #������� #�� ��� ���� ������ �� �� �� ������� �� �� ��#� �������� ����� * ��� ��� ������� ������ ��

�4� �� �� �5 Q:

*�

+�4. R �5

.� �4��� %����� :�+5�

��� ��� �4� �5 ��� ��� #������� #�� �4�5 ��� ��� ������� ������

�4�4� �5� �4�5� �4�55 Q:

*�

+�4. R �5

.� �R:

*� �� �4�5��

���� ��� �� ���������� �� ��� ������ � ������� � ��� ������� ������#�� ��� ���� � �� Q � �(� �4�5� ������� �� �4�5 ��� ���������� ��1��� ��� � ����$ �$�� ��9��� �$ � ���#� � ���� ������� � �� ��� �����4�5 ��� ������ ��� ������ � �� � ��� ���� &(� �4�5)� ��� �������� ���� �� � ��� ��� ���� ��� ��� ������ &(� ���4� �� �4�55) ������ �������� ���� �4�5� ��� ������� ������ �� ����� � �

� � +��4�5�4. R ��4�5�54.���4�5�5��� ���� ����� � ��� � �� ��������� ��� ���������� � ��� ����������9������ ����� � ��� ���������� � ��� �������� ��� �� � ������� �

������ '�'�+ ��� ��� ���������$ 4'�:*5 ��� ��� � 2� @� 2����� 4���&+/)� ��� A,� ������ ::5� ��� ��������� � ������ '�'�' ���� ����������

�: � . �� �� � ��� �� ��1���#����� ������ ����$��� ����

4"� D������K� &:A)5 4��� ��� &:')� ��� .-5�

Page 95: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� B�'!�! '�,# � %'+��� �(

� � � ;������) ����� ��� �$� ���� �� ,��,�4�� �� �,�4�4 �� ��,�4

6 � �������� ��� ���� � ��� �$���� � ���������� 4��4�5�� �� �4�5�5 �� �������� ��4�5� �$ � �������� ������ � ��� ������ � Q � � 4(� .5�

�� � Q � � (� ��� � � 4(� .5 �� ��� ��������� ���� ����� =� �������� � ��� �$���� � ���#�� 4�� � �

�5 ���� �

� Q � 0 �� � �� Q .� ��� �� Q

� 0 ��� Q .�� ���� . �� ��������$ ����� ���� ���� �R . � . ��� . � ��:� ��� �� � ��� � ��� ����� 4�

� � ��5 � �����$ �������� ������ � ����$

�$�� 4�� � �� 5� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � � ������� �

��������� ��� ��� �4�� � (5 R G��4�

� � �5 #�� ��� 4�� � �

�5 � �� ���

������� � ���� ��� � ����� �$ 4G� �5� M���� ��� ������������

K4�5 Q .� �4. R �5�

�4. R �5�

� �������� ������ 4���� �

��5 �� ��� ������ � 4G� �5 ��� ������

�� ��� � �������� ������ 4���� ��

�5 �� ��� ������ � �4G� &5 4 � ������� ������� � %����� '�.�'5� ���� & Q 4. � �5��4. R �5�� ����� ��������� ��� ����� � ��� ������� ����� ����� ��� ������� ��� K4�5 ������� ���� �� 4.� �5�4. R �5 � G � 4. R �5�4.� �5

�4���� (5 Q

.

:*� �.� �4�

��� �5 Q

.

:*� ��!.4.� ��5�

������� '�.�A� '�.�* ��� �������� ������� ���� ����$ ���� �� ( �G � 4.� �5�4. R �5

�4���� (5 Q

.

:*�

4. R �5�� +4.� G5.��

4. R G5.���

�4���� �5 Q

.

:*�

�4. R �5

.� �� +G

�4.� G5����

4. R G5����

<� G � 4. R �5�4.� �5

�4���� (5 Q

.

:*�

4.� �5�� +4G� .5.��

4GR .5.���

�4���� �5 Q

.

:*�

�4.� �5

. R �� +G

�4G� .5����

4GR .5����

���� 4X5 ������ ��� ����������$ � ������� �� � � 4(� �5� =� ������� ��� ���� ������ ������ �� ��� ���� ����

��� � �� ����� � �� ��� �������� ������ �� ���� ������ � ����� �$4�&

��� �&

��5 � �&� ��� �������� ������� �#� ��� #����� � ��� ��������1

�� ������� ������

=� ��9�� � � ������ � ��� �������� �������� � ��� ���� � �$ ����� �� (� � �� ��������� �� � � =� ������� ��� �����$ � � ���� � �� � ����

Page 96: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

() �� ������ ��� ��������� ������0

���� ��� ����� (� ��� �� �� � ��� ���$ ��� � #������� � ��$ � � � � ������� ����� ����������� ��� ������� � �� ������� ��� ��� ����� :*�� ��� #�������� =� ��9�� ��� ������ � ���������

������

�4�� (� �5�

����� �� � ������ ��� �� Q � � 4�.� ()� &�� .5� ���� �#�� ���� ����������� ������� ������ �� ���������� �� %����� :�+ ��

�4��� (� �5 Q.

:*�

��

.� ���

=� �#������ � ��� �$���� � ���������� 24�5 Q 4��4�5�� �� �4�5�5� � ���4�5� D���� �$ �

� ��� ��� � � Q ��� �� �4�5� �� � � ��4�5 ��� ��4�5� Q �9���� ��� �$ �� ��� ��� � � Q ��� �� �4�5� �� � � ��4�5 ��� ��4�5� Q �9���� =� ��9�� ���� ��� ���� � 24�5� � � ��4�5 �$ ��� ����� ���������������� %�� ��� ��������

�4�5 Q�

.� 1� R ��� 1 � &�:� :)�

��� B4�� 15 Q ���4� � �4�55�#$���� � � " ��� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��� ������� �� ��������� 4��4�5�� �� �4�5�5 � ��� ���� ��4�5 ������� �� ��� �����4�415� �4155 "�� � � Q B4�� 15� � Q B�4�� 15 �� �: � 1 � :� � Q ��� (������ � ���� ���� �� ��� ������� B4�� 15 � �� �����

$ ��� %����

!�4�5 Q B4���:5 � B4�� 15 � B4�� :5 Q !�4�5�

�� 1 � &�:� :)� � ���� �� � ������� � � ��4�5 ��� ������ 1 Q 1� �������� � Q ��4�5� Q B4�� 1�5� 7������ ��� ��� �

� Q � �4�.� ()� &�� .5� ���

� #������� (� �� �� �� ������� �� (� � ��� ��� ������� ������ �#�� �$

�4� �� (� �5 Q.

:*�

��

.� ���

��� ��� �4� �5 ��� ��� #������� (� �4�5 ��� ��� ������� ������

�4�4� �5� (� �4�55 Q.

:*�

��

.� ���� �4�5���

���� ��� �� ���������� �� ��� ������ � ������� � ��� ������� ������#�� ��� ���� � ����$ �$�� ��9��� �$ � Q &(� �) ���� ��� ��������� (� � ��� ��#� ��� ����� :*� ��� �������� ������� ������

Page 97: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� B�'!�! '�,# � %'+��� (�

�4��� (5 Q.

:*�

��

.� ��

�� �#�� �$ ��� ��� ������� ��� � �$ ������� � ������� 4�.� () ���&�� .5� ��������� �� �4�5� � ���(��$�

���$��(�� � ���� �� ����#����� � ��� ��������� ���� ������� ��� ���������� � ��� �������� ��9������ B4� � � 1�5 ������ ��� ���������� � ��� �������� ���� �

�� �� ��9�� � ��� ���#� ��� <� ���� � ���� ��� ��� �� ���������������

(�� � � � 3� 4.� �5�4. R �5 � G � 4. R �5�4.� �5 ��� ������� �4G5��#��� �� ��� ������

�4�&��� (5 Q �4�

��� (5 R

.

:*� ��

� ��������� �� �� ���� �� ���� � �� B4���:5 �� B4�� :5 "�� �� ����G

3� G � & ��(��( � G�) ��� ������� �4G5 � ����� ������� �� ��� ������

�.� Q�

4. R �5�+4.� G5.��

4. R G5.���

3� G � &G�� G�) ��� ������� �4G5 � � ��#��� �

�4G5 Q 4�.�5�!.�

3� G � &G����(��( ) ��� ������� �4G5 � ����� ������� �� ��� ������

�.� Q�

4.� �5�+4G� .5.��

4. R G5.���

5� � ��� ������� �4�&��� (5 �� �4�

��� (5 � ��#��� ���� �� �� G� �

����� ������� �� ��� ������

�.� Q

�.� G

. R G

�.�

G� � ����� ������� �� ��� ������

�.� Q

�GR .

G� .

�.�

$ ��� <�

G ��.� �

. R ��. R �

.� �

���� #���� � �4G5 Q 4�.�5�!. �#����$ ����������

Page 98: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

(� �� ������ ��� ��������� ������0

<�

G ��.� �

. R ��.� �

. R �

��

� ��#� ��� ����#���#�

��4G54.� �5

4. R �5�Q �

�4. R G5

4.� G5�

���� ������� ��4G5 (� ��� ����

G ��. R �.� �

�. R �

.� �

��� ��������� �������$� ��� #����� � G� ��� G� ��� ������� ��� ����������� G Q 4.��4G55�4.R�4G55 ��� G Q 4.R�4G55�4.��4G55 ��������#��$��

#$���� � � 5 %& ��� ���� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��������� �� ��������� 4��4�5�� �� �4�5�5 � ��� ���� ��4�5 ������� �� ��� �����4�4G5� �4G55� G � &4. � �5�4. R �5� 4. R �5�4. � �5) 5� � �4G5 � ��#��� ������ + + * ��

�4G5 Q�4G54. R �4G55

4.� �4G554. � ��5��!.� +G

�4.� G5����

4. R G5����

�� G � &4.� �5�4. R �5� G�):

�4G5 Q�.

��!.4.� ��5�

�� G � &G�� G�):

�4G5 Q�4G54. � �4G55

4. R �4G554. � ��5��!.� +G

�4G � .5����

4GR .5����

�� G � &G�� 4. R �5�4.� �5):

%& (�� ���� 4�4G5� �4G55 �� �� � ���� �� ����� ������� " QD 4�� G5 ������� ��� �2� ���� ������

64�5��� Q 74"5�"��

"�� �

64�5��� Q4� � �5�4� � S�5�

��4� � �5�4� � .��5�����

���� ��� ��� Q . �� � � ��� �� ��� ���1����� �������� �� ��� ������

G.� �

. R �Q .� �4. R �5�

�4. R �5��

Page 99: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� B�'!�! '�,# � %'+��� (�

74"5�"� Q4" � &54" � .�&54" � .5�

"�4" � �4G55�4" � .��4G55��"�

"�� � & Q &4G5 � ����� ������� � 4�� .5 �� ��� ������

.� G� Q�4. R &5�

&4. R �5��

�� "� ����� ��� ��� %�& � ������ �� 7 �� G � &4.� �5�4. R �5� G�):& Q &4G5 � ����� ������� � 4�.� (5 �� ��� ������

.� G� Q�4.� &5�

&4.� �5��

�� "� ����� ��� ��� %;& �� G � &G�� 4. R �5�4.� �5):

74"5�"� Q4" � &5�4" � S&5�

"�4" � �4G55�4" � .��4G55��"��

"�� � & Q &4G5 � ���� ��� �&� Q . �� & � ��� �� ��� �������� �� ���������

G.� �

. R �Q .� �4. R &5�

&4. R �5�

�� G � &G�� G�) ��� ������� D 4�� G5 ��� ��� ��� ��, � ���� ����� "�� ��� ���� ���

����"�� ����� �� �� "�� �"� ����� � �������� ��� ����� ������������� D 4�� G5 �� ��� ������ ������� � "�� ������ �� ��� � ��

$ ��� �� � � ��4�5 ��� � 9��� #���� � ��4�5� Q �� ��� ���#��� ������������ ���� ����� �� � ������ G ���� ���� �4G5 Q �� 7������ ��� ����������4�5 ��� ��4�5 ������$�� ��� ���������

���4�5

��4�5

��

Q +*�64�5����

����4"5

��4"5

��

Q +*�74"5�"��

���� ��� ��3��������� 64�5��� ��� 74"5�"� ��� ��9��� �� ��� ���������� ��� ������ ��� G �� ������ ������� '�.�A� '�.�*� ��� ������������K4�5� ��� � �������� ��� ��� �& $���� ���� ��� ����������� ���

� Æ ��4�5���� ��������$ ��� ����� �

�� �� ��� ����� �&

�� ��� ��� ��� �

��� ��3��������� 6 ��� 7 ��� � ��� ���� � ��� ��3��������� � ��� J ��%����� '�.�'� =� ������� ���� ��� ����$������$ �� �

�� ��� ����� ���

������� D 4�� G5 ���� ���� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� �� ���������� ��� ������� � ��� ��3�������� 74"5�"�� ��� ������� �����9�� ��� �������$D �4�� G5 Q �4G5 ��� ����� ��� �������� � ��� ������� =� ��#� ��� �#����������$ ������� ��� ��� ����� � ��� ������� �����

�4�4���5� (5 R G��4�4�

��5� �4�55 Q

Page 100: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

(� �� ������ ��� ��������� ������0

Q �4���� (5 R G��4�

��� �5 R

.

:*� �R

G�

:*� �� �4�5��

=� � �$�������� ��� ���� � ������ 4�4���5� �4�

��55 ��� ������� �

��� ���� ��� ��� �����#� ���� ��������� �� �� ����� ��� ������ � �����$����������� �$ 4 U��� U��5� ���� ���� �� ���������� ��� ��� ���� 4�

&��� �&

��5

�� �������� �� ��� �����$ �&� � � ��#� ��� ��� �� ����� � ������������

�4�4���5� (5 R G��4�4�

��5� �5 � �4 U��� (5 R G

��4 U��� �5 �

� �4�&��� (5 R G��4�&

��� �5 Q

Q �4���� (5 R G��4�

��� �5 R

.

:*� �R

G�

:*� �D �4�� G5��

����� �� �4�5� � �D �4�� G5� Q �4G5� ��� ���������� � ��� �������� ��9���1��� ������� ��� ���������� � ��� �������� �������� �

� ������ ��� � ��� ���� � ��� �$���� � ���������� 4�4�5� � �4�55�� ��4�5 �� ��������� �$ ��� ���������� ����� �$ !� !� ��$�FG�#�!� I�� ����$�����FG �� &A.)� ����� ������ ��� �� ��� � ������ ������'�'�*� 8�� ��� ���� ����� � ������ � � 1���� �������� ��� ��� ����1������ ���� ���� ���� �������� � �������� � ������� �� ��� ����� ��4�5 �$��� #���������� ����������� ��� ���� ������ �� ��������� �� &.+')� &.++)�

��� + ���� ������ ��

D���� �$45 ��� ����� � ��� ���#����� �������� �� � �������� �4�5 Q��� R ���

� R � � � ��� ��� ��������� ����������� �45 Q ���� �4(� .5� ���� ����������� �� �� � �� ��� @���� ������������ ��� ��������* 45 ����� ���� ��4�5� � ��� . �� � � ��� ��������

��4�5 Q�4. R 5�

4. R �5�� ��4�5 Q

�4.� 5�

4.� �5�

���$ ��� ��� � ��� ?��� �������� �� ��� ����� 45� ��� ��������

�*� Q,��

�. R

R

��

,�4�5

�� �*

� Q,���

�.�

��

,�4�5

���$ ��� ��� � ��� E��� �������� �� ��� ����� * 45� ��� ������� ��� ����#������ ����� ������� ���� ����� ��� ������� ��� �������

Page 101: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� (�

� � ������� �$�����

=� ����� ��� ��� �#���� ������ �� ��� �����45 ���� ��� ���� ��������$ "� ?��$W� ��� ;� OY����� ��� �� ./,. &,,)� =� ������� ��� ������ �������� ��� �����$ � � ����� ���#�� � �� Q � � (� � %� ���� ��� ������� �� � ��� ���� ��� ��� ������ &(� ) �� % �� &(� ) � ��� � ����� ����&(� %R �.)� &%R �.� ) ���� ���� D���� �$ �4%5 ��� ������ �4��� � 5� ��&,-) ��� #���� � �4%5 �� ���������� ��

�4%5 Q.

:�� /

��

%�

��

���� / �� ��� ������ ������� �#�� �$

/4,�5 Q�2 �4,52 4,5

���� ��� �������� �������� 2 4,5 ��� 2 �4,5 ��� �������� � �� ��� �����#�#����� �������� �������� ��� ����� �������� �������� �� ,� � 4(� .5� ��9����� �� ,� �Q ( �$ ��� ����$��� ���������� ��� ��$ ���� �� �������������� ���� ���� � ��� ,�1������ ��� ��9��� �$ ����$��� ���������� ��� ��$���� �� ��� � �� ����1����� �� ,� � ( �� ,� .�

=� ������� ��� ��� � ����� % � �� ������$�� ��� ������� �4%5 Q( Q &0-H; (� ����� ���� ��� �� � ����� ���� ���#� �� ( .�+ ����������� ��� ����� (� � 8���� ���� ���� ��� ������� � � ����� ���� �������� �� ����� ����������� ��� ��� ���� ���� ��� ��� (� � ��� ��� � �������#� �� ������� �$ �� ?��B���� 4&,-)� ��� :(A5� <� �� % � ( ��� ���4� � ����5 � ���� ���#� �� ������ �$ ��� ������� / Q /4,�5 �� �� 4�� 5 ������ � ��� ���� �� / Q (�:�

) �

� � ���

) �

� ���

���� ��� �&� +'$,� �;�8 5 �

#$���� � � ��� ����� � �� ��� 7���� ���

Page 102: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

(3 �� ������ ��� ��������� ������0

�* Q

��*�"�

�4�5

� ��� ���� 45 ������� �� ��� ����� ��� � ��� �������� �� ��� ������

�4%5 Q2 45

+2 �45�

(�� ���� % � ��* � ���� �� ��� ����� ������� �� � 45 ���� ���% Q ��4'��5 !� ��� � ���� � "�� ��� ��� ���� ������ �� �� "��� ���� � ��� � 1���� � �� ��� ��� �� �2� ����

64"5�"� Q '�0�3��"�

"4" � 54" �%5� I4%5 Q � ��

��

%�2 �

�%

��"��� � ��� ��� �� �4%5

$ ��� D���� �$ � Q ��&(� ) ��� ��� ������4�5 Q 2 45�4+2 �455�%������ ����� �� � ������� � � 45 ���� ���� ��� #���� "� Q �4'��5 � �*�� ��� )� ��� ����� �4�5 �� ���������� �� ��� ������ ������ �� ��� ��� ����$ ������� � ��� � ���#�� ���� �������� (� ��� "�� � ��� ���� '�:�. ������� ���� ��� ������ �4��� �

���5 ������� ��� ������� #��4-5 �� - Q .� ����� �4��� �

���5 � �4"�5� ���� ����� ����

2 45

+2 �45Q4�5 Q4�4�55 � �4"�5�

��� �������� ��������� ����$ �������� ����� �� �� ��� ������ � ����������� �������� �� �4"�5 �� �� Q � � (� � "�� �� ��� ��� ����� �� ������H����$ ��������� � ��� ��3��������

64"5�"� Q '�0�&���"�

"4" � 54" � "�5� I4"�5 Q � ��

��

"��

2 �

"�

���

D���� �$ �� ��� �� ��� �������� ���H������� ���� ��� ��� ������$ ��1������ � ��� �� ��� ������� � ��� D���� �$ U�� ��� �������� ����� �� ���� ������� ��� ��� ���� � ��� ����������� % Q �� � ��* ��$ U� ��� ����$ �������� ����� � � �� � U���� ;#������$� �� � U� ����4"�5 Q 4��5 � 4 U�5� ��� ����� U� �� ���������� �� ��� ������ ���� �������� �������� �� �4%5� ���� ������� ��� ���������$ 4 U�5 � �4%5����� ����� � ������������ ���������� ��� ������� ���� ��9��� %

�4%5 Q2 45

+2 �45�

���� �������� ��� ���� �

Page 103: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� (4

�� ������ ������ �� #���� �� ��� ������ @���� ��������� ��������� ������ ����� �� ��������� �� ��� �����$ � � ����� ���#�� ��& Q �4(�5 � (� � %� ���� ��� ������ � �& � ��� ���� ��� ��������� &(� ) �� % �� &(� ) � ��� � ����� ���� &(� % R �.) � &% R �.� )���� ���� D���� �$ �4%5 ��� ������ �4�&� � 5�

#$���� � � ��� ����� � �� ��� 7���� ���

�* Q

��* �"�

�4�5

� ��� ���� * 45 ������� �� ��� ����� "��� � ��� �������� �� ���������

�4%5 Q2 45

+2 �45�

(�� ���� % � ��* � ���� �� ��� ����� ������� �� � * 45 ������� % Q ��4'��5 !� ��� � ���� �4(�5 "�� ��� ��� ���� ��� �������� �� "��� � ��� � ��� � 1���� � �� ��� ��� �� �2� ����

64"5�"� QS54" � 55��"�

"4" � 54.� "54" �%54.� S%"5�

"��� � ��� ��� �� �4%5

%���� ����� �� � ���� � � ���������� � ��� ������$ ���#� � �*

�� �� ��� ����� 45 � �#� � ������ ���� ��� ������� ����������

#$���� � � ��� 7���� ��� �* � ��� ���� * 45 ������ ������� �� ��� ��, �4(� ��*

� 4�.5�5 �� �� ��� ���� ��� � ���� ����

O4�5 Q � �

.� �"*�

$ ��� � ������ ���������� � ��� �������� �*� 4�5 ��� �*

� 4�5 $����� ������� ����� �*

� 4�.5 ��� �*� 4.5 ���� � ��* � �� ����� �� � ���� % �

��* � % � �4(� ��*� 4�.5�5� �� �4%5 �� ��� ������ � ������ '�+�. ���

�� �� ��� �������� ����� �� �4%5� D���� �$ �� ��� ������ � ���������$����������� ������� � �� ��� ������� � ��� ���� ��� ��� �����#� ��������� ;#������$� �� � �4(�5 � 4���*

� 4�.5) � &(� )��� ������

�4%5 Q4��5 � 4��5 � �4�*� 4�.55�

���� ���������� �*� 4�.5 � ��* �

8�� ��� ����#� ���� �*� 4.5 Q O4�*

� 4�.55� �*� 4.5 � ��* � �� ����

% � ��* � % � O4�4(� ��*� 4�.5�55� ����� �4%5 Q 4O��4��55 ���

O��4%5 � �4(� ��*� 4�.5�5� 6��� � �$�������� ��� ����� O��4��5 ��

Page 104: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

(� �� ������ ��� ��������� ������0

�� ��� ���#��� ���� ��� ���� ��� ������ ���� �� ������� ��� ��� O1���� � ��� ������ � �$������������ �� � ��� ����� �4(�5 � &(� ) �&�*

� 4.5�5�� �� � ������� � ����� ��� ���������$

4��5 Q �4%5 Q4O��4��55 � �4�*� 4.55�

���� ���������� �*� 4.5 � ��* ��� 9������ ��� ���� �

����� ������� ��#� ���� ������� �$ "� ?��$W� &,,)� 2� ������ ;� OY����� ���&/:)� ��� �� !����B�#� E� E���� &.*A)�

� � *��������� �� �$� ������ �� ������.�����

#$���� � ��� � � 45� �4�5 Q ��� R ���� R � � � �����

4.� 5� � �� � 4. R �5�.�

. R � �� �45� � . R

.� �

��� ��� ��� �������� � ���� ��4�5 �� ��4�5

����� ��������� ����������$ ��� ��� ��� �������� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ����� 450

4�4�5 � �5 ����4�5

�45� 45

��

6 � ����� ��� ���������$ ��� ������ ����� � �� �4(5� ��� �� �45�� D�1��� �$ �� ��� ��� � � Q ��� �� �45� �� � � 4G5 ��� �� �4(5� Q �9���� ��� �$ �� ��� ��� � � Q ��� �� �45� �� � � 45 ��� �� �4(5� Q �9���� =� ��������� ���� ��� ���� � ��� �$���� � ��� ���������� �� Q4�� �4(5�� �� �45�5� � � 45� �$ ��� ������ ����� �������$ � ����$���� � ���������� 4��4�5�� �� �4�5�5 �� ��� ����� � �� %����� '�.�+�

#$���� � " ��� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��� ������ ����������� 4�� �4(5�� �� �45�5 � ��� ���� 45 ������� �� ��� ������

.� 1 R ��.� �

.� 1 R �

�� �: � 1 � :�

(�� ���� � ���� ���� �� ��� �������

�4�5 Q�4.� 1 R �5

.� 1� R ���

$ ��� %����4.� 5� � .� 1 R � � 4. R �5

�� 1 � &�:� :)� � ���� �� �� �4(5� Q � ��� ������

Page 105: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� ((

1 Q 1� Q. R � � �

� ���� �� Q � Q �� �4(5� Q ��4(5� =� ������� ��� ��� � � Q � � 4�.� () �&� .5� ��� � #������� (� � �� �� ������� �� ��� #�������� ��� ��� �����:*� ��� ��� ������� ������ ��

�4� �� (� 5 Q.

:*�

.� ��

��� ��� �4� �5 ��� ��� #������� (� ��� ��� ������� ������

�4�4� �5� (� 5 Q.

:*�

.� ��� �45���

�� �� ���������� �� ��� ������ � ������� � ��� ������� ������ #����� ���� ��#�� ��� ����$ �$�� ��9��� �$ � Q &(� )� ������� ��(� � ��� ���������� ����� �� ��� #�������� ��� �������� ������� ��������� �

� �� �#�� �$ ��� ��� ������� ��� � �$ ������� ��� � ��$�������� ��� ( ��� �$�� � ��� ������� ���� ���� ������ ����� �����

� ������ ��������� �� �4�5� � ��"�$ � ���� �� ����#����� � ��� ��������� �

��� ������� ��� ���������� � ��� �������� ��9������ �4� �5 ����� � ������������� � ��� �������� ���� �

6 � ��� ��� ����� ���������� �� %����� '�.�' � ��9�� ��� �����������$ ���#� �� �� ��� ���� � 4�� �4(5�� �� �45�5 �� ��� ����� 45�8�� ��� �� ����� � ����������� ����������� � � ������� � ����������� �������� �� ��� ��������� ���� ���� ��� �� ��� ��������� 2������������� ��� ��� �� ��� ��� ������� � ���� �� ��� �$���� � ����������4��4�5�� �� �4�5�5 �� � �� '�.�+�

�� � Q � � (� � �� ��� ��������� ���� ����� =� ������� � � ������������� �$���� 4�� � �

� 5 � �$�� ��� ���� �

� Q � 0 �� � � Q .� ���

�� Q � 0 ��� Q .�� ���� . �� ��������$ ����� � ���� R . � . ���. � �:� �� � �� ��� ��� � ��� ����� 4�

� � ��5 � �����$ �������� ������

� ����$ �$�� 4�� � �� 5� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � �

������� � ��������� ��� ��� �4�� � (5R G

��4�� � 5 #�� 4�

� � �

�5 � � �

��� ������� � ���� ��� � ����� �$ �4G� 5� M���� ��� ������������

K4�5 Q .� 4. R �5�

�4. R 5�

� �������� ������ 4���� �

��5 �� ��� ������ �� �4G� 5 ��� ������

�� � �������� ������ 4���� ��

�5 �� ��� ������ � 9���� �4G� &5� ���� & Q 4.� 5��4. R 5�� ����� ��� ������ ��� ����� � ��� ������������� ����� ��� ������� ��� K4�5� � ������ ���� �� 4.�5�4.R5 �G � 4. R 5�4.� 5 ��� ������� ����� ��� �#�� ��

�4���� (5 Q

.

:*� .� �4�

��� 5 Q

.

:*� �!.4.� �5�

Page 106: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)) �� ������ ��� ��������� ������0

�� � & Q � � (� � �� ��� ��������� 2������ ������� =� ������� �� & ��� ���������� �$���� 4�&� � �

&� 5 � �$�� ��� ���� �

&� Q � 0 �"� Q .� ���

�� Q � 0 �" � � Q .�� ���� . �� ��������$ ����� � ���� . � �:� �� �&

�� ��� ��� � ��� ����� 4�&� � �

&� 5 � �����$ �������� ������ � ����$

�$�� 4�&� � �&� 5� ����� ��� ������ � �������� �������� � � & ������� �

��������� ��� ��� �4�&� � (5 R G��4�&

� � 5 #�� ��� 4�&� � �

&� 5 � �&� ���

������� � ���� ��� � ����� �$ &4G5� M���� ��� ������������

L 4"5 Q � "

"

� �������� ������ 4�&��� �&

��5 �� ��� ������ �� &4G5 ��� ������

�� � �������� ������ 4���� ��

�5 �� ��� ������ � 9���� 4G5� ���1�� ��� ������ ��� ����� � ��� ������� ����� ����� ��� ������� ���L 4"5� � ������ ���� �� G �Q .

�4�&��� (5 Q

.

:*� +

�.� G�.��

�. R G�.��� �4�&

��� �5 Q

.

:*� +G�

�.� G���!.���

�. R G���!.����

<� G Q . � ��#�

�4�&��� (5 Q �4�&

��� (5 Q

.

:*� �

���� '�.�. �� �� ���� �� � ��� ��� �� ����

(�� � � 3� 4.� 5�4. R 5 � G � 4. R 5�4.� 5 ��� �������

�4G5 Q ���4:*4�4�&��� (5��4�

��� (555

� ��������� �� �� ���� ��� ���� � G � �� 4. R 5� �� 4.� 5��

$ ��� <� 4.� 5�4. R 5 � G � . � ��#� ��� ����#���#�

��4G5�4G5

Q.

:*�

.� G

4. R G5�

���� ������� ��4G5 � (� �� �� ���$ � ����� ����

���.����

�4G5 Q ���.����

�4G5 Q �4.5�

��� ���� G . �� ��#�� ��������$� �

#$���� � 5 %& ��� ���� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��������� �� ��������� 4�� �4(5�� �� �45�5 � ��� ���� 45 ������� �� ��� �����4�4G5� �4G55 "�� �

G ��.�

. R �. R

.�

�� G �Q .�

Page 107: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� �)�

�4G5 Q +��. �.� G�.��

�. R G�.���

�4G5 Q+�� �

�G��.� G���!.���

4.� �5�. R G���!.����

!� G Q .� ���� �4.5 Q .� �4.5 Q .�4.� �5 %& (�� ���� 4�4G5� �4G55 �� �� � ���� �� ��� ����� ������� D 4�� G5

������� ��� �2� ���� ������

64�5��� Q 74"5�"�� G �Q .�

64�5��� Q4� � �5�4� � S�5�

��4� � 5�4� � .�5�����

74"5�"� Q" � 3

"�4" � �4G55��"��

���� ��� ��� Q . �� � � ��� �� ��� ���1����� �������� �� ��� ������

G.�

. R Q .� 4. R �5�

�4. R 5��

3 Q 34G5 Q�4G5

.� G��

��� ������� D 4�� G5 ��� ��� ��� ��, ���� ��� ������� ���� � ���� ��� � &34G5�R5 � ��� G � . � 4�� 34G5) ���� "��� �� �"� ������ ���� � 1���� �� �� ��� �2� ���� 74"5 �"� ������ � "�� ������ �� � ������� ��� ����� ��������� ���� D 4�� G5 �� ��� ������ ������� �4G5 "�� ������ �� ��� � ��

!� G Q .� ����

64�5��� Q4� � �5�4� � S�5�

��4� � 5�4� � .�5�����

74"5�"� Q�.

"�4" � 5��"��

�� ��� ������� D 4�� .5 ��� ��� ��� ��, ���� ��� ������� ���� � ������� ��� ������ � "�� ������ �� � �� ���� ��� �� ��� ��� 2� " Q �:"�� ��� ������� �� ��-���

$ ��� �� � � 45 ��� � 9��� #���� � �� �4(5� Q �� ��� �������� ������������ ���� ����� �� ���� G ���� �4G5 Q �� =� ������� ��� �������� ��4�5��� ��4�5 ������$�� ��� ���������

���4�5

��4�5

��

Q +*�64�5����

����4"5

��4"5

��

Q +*�74"5�"��

Page 108: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)� �� ������ ��� ��������� ������0

���� ��� ��3��������� 64�5��� ��� 74"5�"� ��� ��9��� �� ��� ��������� ���� ������ ��� G �� ������ ��� ����������� ���

� ��4�5 ���� ��������$��� ����� �

�� �� ��� ����� �&

��� <���������� � ������� ���� ���

����$������$ ����� ��� ����� ��� ������� D 4�� G5 ���� ���� ��� ���� ����

�� ��� ����� ���� �� ���������� ��� ������� � ��� ��3�������� 74"5�"� ���� ������� �����9�� ��� �������$ D �4(� G5 Q �4G5 ��� ����� ��� ��������� ��� ������� %���� ��� ���� 4�&

��� �&

��5 �� �������� �� ��� �����$ �&� �

������ ���� ��� ��� �� ����� � ������������

�4�4���5� (5 R G��4�4�

��5� 5 Q

Q �4���� (5 R G��4�

��� 5 R

.

:*� �4G5 R

G�

:*� �� �45� �

� �4�&��� (5 R G��4�&

��� 5 Q

Q �4���� (5 R G��4�

��� 5 R

.

:*� �4G5 R

G�

:*� �D �4� G5�

�� #����� ����� �� �45� � �D �4� G5� Q �4G5� ��� ���������� � ��� ����������9������ ������� ��� ���������� � ��� �������� �������� �

��� ������$ ���#�� �� ��� �� ��� ������� �$ %� D����� �� &:+) ������ �������� ������

=� ������� � ��� ������ �� ��� ����� � ������ @���� ���������<�� &/:) �� ��� � ���� �� � � * 45� ����

�4.� 5�

4 � 5�� �� �4(5� � �4. R 5�

4 R 5��

��� �������$ ��� �� �������� �$ ��� ������� �*� �� ��� ����1���� ����

���������$ ��� �$ ��� ������� �*� �� ��� ����1���� ���� ���������$� �� �� ��

������ � ����� ��� ������ ��������� �� �� �45�04 R 54.� 5

4 � 54. R 5� �� �45� � 4 � 54. R 5

4 R 54.� 5�

��� ��� ���� �������� ��������� ��������� ��� ���� � ��� �$���� ����������� 4�� �4(5�� �� �45�5 ���� ������ ��� �������� ��9��� �$ ��� ��������������������� � ����� ��� ����� ��� � ��� ������$ ���#� � ���������� ������� ������� � ��� �������� ���������

�� � Q � � (� �� � 4(� .5 �� ��� ��������� ���� ����� =� �������� � ��� ���������� �$���� � ���#�� 4�� � �

� 5 ���� �

� Q � 0 �� � � Q .�

��� �� Q � 0 ��� Q .�� ���� . �� ��������$ ����� � ���� R . � . ���. � �:� �� � �� ��� ��� � ��� ����� 4�

� � ��5 � �����$ �������� ������

� ����$ �$�� 4�� � �� 5� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � �

������� � ��������� ��� ��� �4�� � (5R G

��4�� � 5 #�� 4�

� � �

�5 � � �

��� ������� � ���� ��� � ����� �$4G� 5� M���� ��� ������������

Page 109: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� �)�

K4�5 Q .� 4. R �5�

�4. R 5�

� �������� ������ 4���� �

��5 �� ��� ������ �� 4G� 5 ��� ������

�� � �������� ������ 4���� ��

�5 �� ��� ������ � 9���� �4G� &5 ���� & Q 4.� 5��4. R 5�� ����� ��� ������ ��� ����� � ��� ������������� ����� ��� ������� ��� K4�5 � ������ ���� �� 4.�5�4.R5 �G � 4. R 5�4.� 5

�4���� (5 Q

.

:*� .� �4�

��� 5 Q

.

:*� �!.4.� �5�

�� �& Q �4(�5 � (� � �� ��� ��������� ���� � ��� ������ � =�������� � �& ��� ���������� �$���� � ���#�� 4�&� � �

&� 5 ���� �

&� Q " 0

�" � � Q .� ��� �&� Q " 0 �"� Q .�� ���� . �� ��������$ ����� �� ������ �� �& �� ��� ��� � ��� ����� 4�&

� � �&� 5 � �����$ �������� ������ �

����$ �$�� 4�&� � �&� 5� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � �&

������� � ��������� ��� ����4�&� � (5RG

��4�&� � 5 #�� 4�

&� � �

&� 5 � � �

��� ������� � ���� ��� � ����� �$ &4G� 5� ������� '�.�A� '�.�*��� �������� ������� ���� ����$ ���� �� 4 � 5�4 R 5 � G � 4 R5�4 � 5

�4�&��� (5 Q

.

:*� ��..�

�4�&��� 5 Q

.

:*�

�!.

���!.4� � �5�

<� ( � G � 4 � 5�4 R 5

�4�&��� (5 Q

.

:*�

4 R 5�� +4.� G5.��

4. R G5.���

�4�&��� 5 Q

.

:*�

4 R 5

� � +G

�4.� G5����

4. R G5����

<� G � 4 R 5�4 � 5

�4�&��� (5 Q

.

:*�

4 � 5�� +4G� .5.��

4GR .5.���

�4�&��� 5 Q

.

:*�

4 � 5

R � +G

�4G� .5����

4GR .5����

���� 4X5 ������ ��� ����������$ � �������=� ��9�� � ��� ������� � ��� �������� �������� � ��� ���������

���� �&� �� (� �� ��� ��������� � �4(�5� =� ������� ��� �����$ � � ����� � �� � ���� ���� (� �� � ��� ���$ ��� � #������� � ��$ � � � �

��� ��� ����� :*� �� ���� ��� ������� � �� ������� �� ����� #��������=� ��9�� ��� ������ � 9���� ��� �������

Page 110: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)� �� ������ ��� ��������� ������0

�������

�4�� (� 5�

����� �� � ������ ��� ��� Q �45 � 4�� () � &�5� ���� �#�� ����

�������� 8�� ��� ��������� ���� ������� ������ �$ ����� ��� � ��������������� ���� � ��

� �� ��� ��� � � &(�5 � ������ ��� ��� �������� ��� #������� (��

�4��� � (� 5 Q

.

:*�

��

� � ��

=� �#������ � ��� �$���� � ��� ���������� 4�� �4(5�� �� �45�5� � �* 45�

D���� �$ �� ��� ��� � � Q ��� �� �45� �� � � * 45 ��� �� �4(5� Q �9���� ��� �$ �� ��� ��� � � Q ��� �� �45� �� � � * 45 ��� �� �4(5� Q �9���� =� ��������� ���� �� �$ ��� ������� ����� ���������� ������ %����� ��������

�4�5 Q�

.� 1� R ��� 1 � &�:� :)�

���

B4�5 Q���

�.� 1 R �

� �1 R �

��4�5

��

#$���� � 9 ��� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��� �������� ��������� 4�� �4(5�� �� �45�5 � ��� ���� * 45 ������� �� ��� �����4�415� �4155� "�� �

� Q�4.� 1 R �5

� �1 R ��

� Q4.� �54� �1 R �5

4� � �54.� 1 R �5�

� �: � 1 � : (�� ���� � ���� ���� �� ��� ������� B4�5

$ ��� %����

�4.� 5�

4 � 5�� �B�4(5� Q �4.� 1 R �5

� �1 R �� �4. R 5�

4 R 5�

�� 1 � &�:� :)� � ���� �� � ������� � � * 45 ��� ������

1 Q 1� Q�4.� �5 R �4� � �5

4 � �5�

���� ���� � Q �� �4(5� Q B�4(5� =� ������� ��� ��� � � Q ��4�.� ()�&� .5� ��� � #������� (� ��� ��� ������� ������

�4� �� (� 5 Q.

:*�

.� ��

Page 111: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� �)�

��� ��� �4� �5 ��� ��� #������� (� ��� ��� ������� ������

�4�4� �5� (� 5 Q.

:*�

.� ��� �45���

�� �� ���������� �� ��� ������ � ��������� ��� ������� ������ #�� ������� � ����$ �$�� ��9��� �$ � Q &(� ) ��� ��� ����� :* ���� ���������� �� (� � ��� �������� ������� ������

�4��� � (� 5 Q

.

:*�

��

� � �

�� �#�� �$ ��� ��� ������� ��� �45 �$ ������� ��� � �������

4�� () ��� &�5� ��������� �� �4�5� � *����"���*��"��$ � ���� �� ����#����� �

��� ��������� � ��� ������� ��� ���������� � ��� �������� ��9������B4� �5 ����� � ��� ���������� � ��� �������� ���� �

=� ��9�� � ��� ���#� ��� <� ���� � ���� ��� ��� �� ��������������

(�� � � 3� 4.� 5�4. R 5 � G � 4. R 5�4.� 5 ��� �������

�4G5 Q ���4:*4�4�&��� (5��4�

��� (555

� ��������� �� �� ���� ��� ���� "�� ������ �� G

� ���4. R 5�

4 R 5���

�4.� 5�

4 � 5��

5� � ��� ����� �4�&��� (5 �� �4�

��� (5 � ��#��� ���� �

$ ��� <�

G �� �

R � R

���� #���� � �4G5 Q��. �#����$ ����������

<�

G ��.�

. R � �

R

� � ��#� ��� ����#���#�

��4G5�4G5

Q �.� G

4. R G5�

���� ������� ��4G5 � (� ��� ����

G �� R

� �. R

.�

��� ��������� �������$� �

Page 112: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)3 �� ������ ��� ��������� ������0

#$���� � < %& ��� ���� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� �� ��������� �� ��������� 4�� �4(5�� �� �45�5 � ��� ���� * 45 ������� �� �������� 4�4G5� �4G55� G � &4.� 5�4. R 5� 4. R 5�4.� 5) 5� �

�4G5 Q+���.

4 R 5�� 4.� G5.��

4. R G5.���

�4G5 Q+���!.4 R 5

4.� �54 � 5� G

�4.� G5����

4. R G5����

�� G � &4.� 5�4. R 5� 4 � 5�4 R 5):

�4G5 Q ��.�

�4G5 Q� � �

���!.4.� �5�

�� G � &4 � 5�4 R 5� 4 R 5�4 � 5):

�4G5 Q+���.

4 � 5�� 4G� .5.��

4G R .5.���

�4G5 Q+���!.4 � 5

4.� �54 R 5� G

�4G � .5����

4GR .5����

�� G � &4 R 5�4 � 5� 4. R 5�4.� 5):

%& (�� ���� 4�4G5� �4G55 �� �� � ���� �� ��� ����� ������� D 4�� G5������� ��� �2� ���� ������

64�5��� Q 74"5�"��

"�� �

64�5��� Q4� � �5�4� � S�5�

��4� � 5�4� � .�5�����

���� ��� ��� Q . �� � � ��� �� ��� ���1����� �������� �� ��� ������

G.�

. R Q .� 4. R �5�

�4. R 5��

74"5�"� Q4" � &54" ���&54" �5�

"�4" � 5�4" ���5��"�

"�� � & Q &4G5 � ����� ������� � 4�5 �� ��� ������

.� G� Q4 R &5�

&4 R 5�

�� G � &4.� 5�4. R 5� 4 � 5�4 R 5):

Page 113: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� �)4

74"5�"� Q4" � &54" ���&54" R5�

"�4" � 5�4" ���5��"�

�� & Q &4G5 � ����� ������� � 4�� (5 �� ��� ������

.� G� Q4 � &5�

&4 � 5�

�� G � &4 R 5�4 � 5� 4. R 5�4.� 5):

74"5�"� Q4" � &5�4" ���&5�

"�4" � 5�4" ���5��"��

"�� � & Q &4G5 � ���� ��� �&� Q �� & � ��� �� ��� �������� �� ���������

G.�

. R Q .� 4 R &5�

&4 R 5�

�� G � &4 � 5�4 R 5� 4 R 5�4 � 5) ��� ������� D 4�� G5 ��� ��� ��� ��, ���� ��� ��, �45 ��� ����

����"�� ����� �� �� "�� �"� ����� � �������� ��� ����� ������������� D 4�� G5 �� ��� ������ ������� �4G5 "�� ������ �� ��� � ��

$ ��� �� � � * 45 ��� � 9��� #���� � �� �4(5� Q �� ��� ���#��� ������������ ���� ����� �� � ������ G ���� ���� �4G5 Q �� 7������ ��� ����������4�5 ��� ��4"5 ������$�� ��� ���������

���4�5

��4�5

��

Q +*�64�5����

����4"5

��4"5

��

Q +*�74"5�"��

���� ��� ��3��������� 64�5��� ��� 74"5�"� ��� ��9��� �� ��� ���������� ��� ������ ��� G �� ������ ������� '�.�A� '�.�*� ��� ������������K4�5� ��� � �������� ��� ��� ��� ������� �& $���� ���� ��� ��������������� Æ ��4�5 ���� ��������$ ��� ����� �

�� �� ��� ����� �&

��� ���

��� � ��� ��3��������� 6 ��� 7 ��� � ��� ���� � ��� ��3��������� � ��� J� %����� '�.�'� 7������� ���� ������ ����$������$ ���

�� � ����� ���

������� D 4�� G5 ���� ���� ��� ���� ���� �� ��� ����� ���� �� ���������� ��� ������� � ��� ��3�������� 74"5�"�� ��� ������� �����9�� ��� �������$D �4(� G5 Q �4G5 ��� ����� ��� ������������ � ��� ������� %���� ��� ����4�&

��� �&

��5 �� �������� �� ��� �����$ �&� � ��#� ��� ��� �� ����� �

�������������4�4�

��5� (5 R G��4�4�

��5� 5 Q

Q �4���� (5 R G��4�

��� 5 R

.

:*� �4G5 R

G�

:*� �� �45� �

� �4�&��� (5 R G��4�&

��� 5 Q

Q �4���� (5 R G��4�

��� 5 R

.

:*� �4G5 R

G�

:*� �D �4� G5��

����� �� �45� � �D �4� G5� Q �4G5� ��� ���������� � ��� �������� ��9�1����� ������� ��� ���������� � ��� �������� �������� �

Page 114: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)� �� ������ ��� ��������� ������0

� � #$� ���� �� ,��,�4�� �� �,�4�4 �� ��,�4

�� ��� ����� � ��� �������� ���#����� �� � �������� ��� ������������4(5 Q ( � ��#� ��� ���������$ 4��� &.(()5

��4��5���4��5� � ��4.� ��5

��4.� ��5�

�� ( � �� � �� � .� %� ��� ����� ���� � ��4�5� �� 45 �� � � � .�����$ ��� � ��� ���� ��������

��4�5� � �4.� 5�

4.� �5�

��� ��� �������� ���������� ��� ������ ���$ �������� ���� �� ��4��5��� �#��� ��� �������� �������� �� ��� ���� ( � � � � �� ��� ������#���� � � ��#� ��� ���������� ������ ��� � �� ��� �$������� ������������ � �� ���� �� � � =� � �� ������ � ��#��� ����� �������� ���� �������� ��� ������ � "� ?��$W� &,*) � ������� ��� ���� � �4�5 �� ��� �����45 �$ ��� #��������� ������ %���� � ������ ��� �$������� ������������������ � ������� �� ���� ������ ��� ������45 � �������� ���45 ��� ���� �������� �� ����� ��$�� ��������� ���� ����� ���$� ��� ���� ����� �� �� ��

<� ���� ����� ��� ��������� � ��4�5� ��� �� �#����$ ����#�� ��� ����������� ��� ��� ����� ��� 6����$�

��4�5 � �4�5 � ��4�5� �� � � � .�

��4�5 � �4�5 � ��4�5� �� ( � � � �

��4��5 � �4��5 � ��4��5� �� � . � � � (�

6 � ����� ��� ���� � ��� �$���� � ���������� 4�4�5� � �4�55 �� �������� �45� <� ���� � ���� � ��������� ��� ������� ����� � ������������� ������� =� ������� � ��� 2������ ������� �� Q � � �.� �� .���. � � � . ��� ���� � ��1����������� ���#�� 4��� ��5 � �$�� ��� ����� ������������ �$���� � ��� ��� ���#� �� ������� ��� ����� �� ������������ �������� �� . ��� �.� �P ��� ���#� �� ������� ��� ����� �� ������������ �������� �� 1. ��� .� �� <� � �#�� #���� 4.� G5 ��� � �� ��� �����$� ��� ����� 4��� ��5 � ��1#�������� ������ � ������ �$�� 4��� ��5��� �� � ��� � �� ��� ��� #������� #�� ��� ���� ������ ���� ��������� �� ��� #�������� �� �� � ����$ �$�� �� � + Q .� :� ��� �������� �����������$ � ����� ��� ����� �� �#�� �� ��� �0 �� ��� � ���������� I �� ��� #������� #�� � 7���������$� ��� ��� ��

� ��� � ���������� *�I� I Q *�4.RG5� D�������$ �� ����������� �� 4�5 �� Q � � 4�5�� Q �� 7������ ��� ������ � ��������� ��� ���

�4����5 R G��4����5 4'�:,5

Page 115: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� �)(

� �� �;�8 � � �

��

� ��

���� ��� �$#>�+�$* �$'+'$� �% &� !�=�$��# �;�8���

�� � ��1�����#� G #�� ��� 4��� ��5 � �� D���� �$4G5 Q4G��.� �� .5��� ������� � ��� ��� 4'�:,5�

#$���� � = ��� ����� �� ��� ��� %+ )/& ��� ��� ���� �

4G5 Q4G��.� �� .5 Q �4��� ��5 R G��4��

� ��5

� ����� �� ��� ����� ��� �� ��

� "��� � ��� �� � ����� � ���� 1���� � �� ���� � �� ��� ��� �� �2� ����

64�5��� Q %� � &

4� � �54�� � .5���� % (�

��� ������� % �� ��� ���� I � ��#��� � �����"� % Q .�I Q G�4*�I5�I Q *�4.RG5 (�� � ������� � 1���� � �� ��� �2� ���� 64�5��� ���� ���

� %���& � ��� ��� �

��64�5����� �� �� ������ * %G& � ��� ������ ������� %�& %G � & � %<& %G Q (& ���

!�

( � G �* R :�������

* � : �������Q0 G��

���� ��� -� � & Q &4�� G5 � ��#��� �� ��� ������

*G

. R GQ 2 4,5

�,�!

�� &�.� ��4. R !5

� =�4� ,5=4� ,5

��

�� 4� ,5 Q.� !

. R !� ! Q

�.� &�

.� ��� , Q

�:!4.� ��5

!4.� ��5 R .� �&�

!� ��� ���

�4��� ��5 Q�4G��.� �� .5 Q :G

���

2 4,5R .

�R :�

�4��� ��5 Q�4G��.� �� .5 Q :4:2 �4,5� �� 5

G2 4,5�

Page 116: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��) �� ������ ��� ��������� ������0

!� G G�� ���� ��� -� � & Q &4�� G5 � ��#��� �� ��� ������

*G

. R GQ 2 4,5

�,�!

&� ��.� ��4. R !5

� =�4� ,5=4� ,5

��

!� ��� ���

�4G��.� �� .5 Q :4:2 �4,5� �� 5

G2 4,5�

�4G��.� �� .5 Q :

G

���

2 4,5R . R G

��

!� G Q G�� ���� ��� ��� ��� �2� ���� � ��#��� �

64�5��� Q %���

�� � .�

!� ��� ���

�4G��.� �� .5 Q :*

* � : ��������

�4G��.� �� .5 Q : �������� *

: �������R *�

��� � Q ��4�5 �� ����� �� ������� ���� �� ��� ���� ��� ���� ���

�� �( � 2� � � G� � G� Q .� G� Q G� ��45 Q �

��� ������� ���#�� � ��� ��� ������

4���4�55� Q �64�5����

$ ��� =� ������� ��� ��� 1 Q 14�5 ��� ��#���� ��

� � � Q 4&� �5.� �� 1

4.� !5� 4. R !5�� 1

��� ����� ��� ������������� � ��� ��3�������� 6 �� ����� � ��� ���������1 �� ������ �����

.

%64�5��� Q �415�1� Q

!4&� �5�,�

.� ��

�. R �� 1

4.� !� 4. R !5�� 15

��

�1�� 4'�:-5

�� ( � G � G�� 6 � ����$ ��� ���H����$ ��������� � ��� �����������3�������� � ���� �� � ������� ������ � � ������ ���

%��1#�� Q :�2 4,5 R +-�2 �4,5� �� ������ ��-�

Q ���� . R !

.� !� ���� � 42 4,5�2 4,5 R :�2 �4,55�

��� ��3�������� �415�1� ��� ��� ���� � ��� ����� ���� �� ��� �����

Page 117: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� ���

���� �;�8

��� �;�8

���� �;�8 C �

D�

���� ���� �$#>�+�$* �$'+'$� �% &� !�=�$��# �;�8���

���#�� Q R 1#��� ���

#�� Q R 1#���

��� ��� ���� � ��� ����� ���� �� ��� �����

1���#�� Q :�2 �4,5 R 1#���

����� ��� ����� � ��� ����� �.� .� � ����� ��� ������������ 14�5 �����������#��$ ��� �����

1���#�� Q2 4,5 R 1#��� 1���#�� Q 2 4,5 R :�2 �4,5 R 1#��� 1���#�� Q 1#���

D���� �$ �� ��� 11���� ���� � ��� �$ �� ��� 11���� ��

�� � <����-� �����

��� ����� �� �� � ����� ����� �� ��� ���H����$ ��������� � ��� ��3���������415�1� ������ �$ ��� ������� &�:�2 �� :�2 �)� &� ) ��� ��� ���� !� ���!� �������� ��� ����� :�2 �4,5� � ��� �:�2 �4,5� ��������#��$� �������� �� �� ������ �$ ��� ������ &�+�2 �R� ) ��� �$ ��� ���� !� ���!� ���� ������ ��� ����� �:�2 �4,5� �+�2 � R � ��� ���� ��������� ����� ����� �� G G��

��� 61������ � ��� ������ ���H������� �� ��� ������ ��� ��� ��

��� ����� � . ��� G ��������#��$� =� ����� �$ � Q ��4�5 ��� ��#���� ����� ��4�5 ��9��� �� ��� ������� 7�������� ��� ���� 1 Æ ��4�5 ��� �������#����� � ����� ��� ��� �� ��������

.

%���4�4155 Q

I�G����4�4155 Q ��415�1� G� Q .� G� Q G�

����

��415 Q ,�! ��

. R ��

�� 1� �� �

���

�� Q � �� &�.� ��4. R !5

Page 118: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

���� ��� ��� �� 4R5 �� ��� ���� G � G� ��� 415 �� G G�� �� ��� ��

������� ��� �� �$ ������� Æ1���������� � ���� ��� ��� 11������ ��� �

� 1���������� � ��9���$ �� �1������ ��� ������ �� ��� �1����� � ����� �$ ��

� � <� 1 � � �� � � �� �� ��� �� ����

��415 Q ,�!�� RR

�� �� ��

�� � 1� �� � R�� �� �� 1

�� � 1� �� � �

��415 Q ,�!�� � =�4� ,5

=4� ,5R�D 415

�1�

����

D 415 Q�� "�/

� �� "�/� =�

�"�/�

�� /�"

� �� /�"� =�

�/�"�

�6 � ������� ��� ������ � 4G��.� �� .5 ��� G � G�� ��� ����

� ��� ����� ����� ����� ��� ������������ � Q ��4�4155 �� ��� ��������

( � 2� � � G� � .

4����� 5

� �� � � .

4����� 5

���� 4����� 5 �� ��� ������ � ��� ������������� �

���� � ��� ������ &(� �G)

�� ��� �1����� ��� ��� ������� &2 R :�2 �� :�2 �) �� ��� 11������ 8����#�����

�D 4:�2 �5

D 42 R :�2 �5Q :�*�

�� �� �������� ���� � ��#�� �$ ��������� ��� ������� �� ��4�4155 ������ ��#� �������

G

%Q

�,�!�� � =�4� ,�5

=4� ,�5

�2 4,5 R :�*��

�������$� � �������� ��� ������� �� ��4�4155 ��� ��� ������ &(�2 4,5)��� ������ ���� % Q 4.RG5�*� ������ G � (� � ����� � Q (� ������������ ������� �� ��� ��� & �� � ��� ���

*G

. R GQ

�,�!�� � =�4� ,�5

=4� ,�5

�2 4,5�

6 � 9�� ��� ���������� �� �4G��.� �� .5 ��� �4G��.� �� .5� ��Æ ( ��� R �Æ �� ��� 11���� � .�.� ��� ������ &(� ��4�

���� 5) �� ��� �1

����� ��� ��� ������� &.� .�.) �� ��� �1����� ��� ��� ������ &2 4,5� � �Æ)�� ��� 11������ ��������� ��� ������� �� ��� � �����

�*

:4. R G5

� .

4����� 5

R :. R G

*� .

�� � . Q

Page 119: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� ���

Q�,�!�� � =�4� ,�5

=4� ,�5

�4 � �Æ �2 4,55 R �

D 4 � �Æ5

D 42 4,55�

����� � ��� ��� ��������

�Æ Q

�!4.� ��5

,.R 04.5�

�D 4 � �Æ5

D 42 4,55Q �

�:,�� ��

=�4� ,�5

=�4(� ,�5

�R �

.

�ÆR �* R :�*��

��� ����#� ����

�4G��.� �� .5 Q :G

���

2 4,5R .

�R :�

%�������$�

�4G��.� �� .5 Q :4:2 �4,5� �� 5

G2 4,5�

��� ���� ����#����� �� G � G� ���� � ��� ���� ���������� � ������'�+�/� �

��� , + 9 * �� ( � � � � �� %��

� Q:�� �

�� L 4"5 Q

:�� �

�� :�4� � �5

�4" � �5�

����� ��� ��#���� ��� "4L 5 �����9�� ��� ���������� "4�5 Q � "4�.5 Q ��"4.5 Q (� "45 Q �� ��� �������� ��9������ 4��

� � ���5 �� ��� ���1

��� � 4G��.� �� .5 �� ���������� ����� ��� ������ "4L 5 �� ��� ��1������ ���� 4�&

��� �&

��5 �� ��� ���������� ������ ���� � ����� �$

4G� (� �� �5� ������ :�:�: ��� ��� ������� ���������� $���� ����

�4G��.� �� .5 Q�4G� (� �� �5 R:

I��

:�4� � �5

��

7���������$� � ������� � ��� 2������ ������� �� Q � ��.� &� � ��� .���. � &� � �� � . ��� ���� � ��1����������� ���#�� 4��� ��5 � �$�� �������� �� ���������� �$���� � ��� ��� ���#� �� ������� ��� ����� �� ��������� ��� �������� �� . ��� �.� &�� ��P ��� ���#� �� ������� ��� ������� ��������� ��� �������� �� 1. ��� .� &�� ��� 6 ��� � �� � �����$ � �������� 4��� ��5 � ��1#�������� ������ � ������ �$�� 4��� ��5� �� �� ���� � �� ��� ��� #������� #�� ��� ���� ������ � �� �� � ����$ �$���� � + Q .� :� ��� ������� � �����������$ � ����� ��� ����� � ��������� ���� �� �� ������ '�+�/� D�������$ �� ����������� �� 4�5 �� Q � �4�5 �� Q �� =� ������� ��� ������ � ��������� ��� ���

�4����5 R G��4����5 4'�:/5

Page 120: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

�� � ��1�����#� G #�� ��� 4��� ��5 � �� D���� �$�4G5 �4G��.� &�� ��� .5 ��� ������� � ��� ��� 4'�:/5�

�� ( � G � M�� M� Q F��4* � F�5� ����

F� Q

�����

�&� � �

4.� ��54�� � �5���

���� ���� ������ �� ������� � ������ '�+�/ ��� G � G�� �� G � M��M� Q F��4* � F�5� ����

F� Q

�����

��� � �

4.� ��54&� � �5���

���� ���� ������ �� ������� � ������ '�+�/ ��� G G�� 8���� ���� ������ �� ������ �����

#$���� � �> ��� M� � G � M� ��� ����� �� ��� ��� %+ )=& ��� ��� ���� ��

�4G5 Q �4G��.� &�� ��� .5 Q �4��� ��5 R G��4��� ��5�

� ����� �� ��� ����� ��� �� ��� "��� � ��� �� � ����� � ���� 1���� � �� ���� � �� ��� ��� �� �2� ����

64�5��� Q %4� � �5�

4� � ��54� � &�54�� � .5���� % (�

��� ��� ��� ���� ��� �� �"� ���� ����� I � �� �� ���� ��� >������������� ��� ���� ��� �� �"� ���� ����� * � I ��� ������� % �� ������� I � ��#��� � % Q .�I Q G�4* � I5� I Q *�4. R G5 (�� � �������� � 1���� � �� ��� �2� ���� 64�5��� ���� � ��� %���& �� � ��� ��� ���64�5����� ������ * %G&

��� -� � � Q �4G5 � ��#��� �� ��� ������

*G

. R GQ 2 4,�5

�,�4&� � �R !�4�� � �55�

!�4.� ���54. R !�5� =�4�� ,�5=4�� ,�5

��

�� 4�� ,�5 Q.� !�. R !�

� !� Q

�.� &��.� ���

� , Q

�:!�4.� ���5

!�4.� ���5 R .� ��&��

!� ��� ���

4��� ��5 Q ��4G��&�� ��� .5 Q :G

��� �2 4,�5

R .

�R :�

Page 121: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� ���

4��� ��5 Q ��4G��.� &�� ��� .5 Q :4:2 �4,�5� �� �5

G2 4,�5�

��� � Q ��4�5 �� ����� �� ������� ���� � �� ��� ���� ��� ������� �� �

( � 2� � � G� � G� Q .� G� Q G� ��45 Q �

��� ������� ���#�� � ��� ��� ������

4���4�55� Q �64�5����

��� � ��� � ���� ������ �� ������ � ���� �� ������ '�+�/� � ���� ���

��� , + 9 ) �� ( � �� � �� � .� (� Q �� R .��� � + Q .� :� %��

�� Q . R:4(� �(�5

:�(�� &� Q .� :4(� �(�5

: R(��

K4�5 Q . R:�4(� �(�5

. R �� � �(�� � � ��

����� ��� ��#���� ��� �4K5 �����9�� ��� ���������� �4�.5 Q ��� �4.5 Q ����4��5 Q .� �4&�5 Q �.� ��� �������� ��9������ 4��� � ���5 �� ��� ������ ��4G��.� &�� ��� .5 �� ���������� ����� ��� ������ �4K5 �� ��� ������������ 4�

��� �

��5 �� ��� ���������� ������ ������ ���� � ����� �$

�4G� (� ��� ��5� ��� ����� � ��� ������� ������ � ��� $����� ����

��4G��.� &�� ��� .5 Q ��4G� (� ��� ��5 R:

I��

:��4(� �(�5

.� ����

6 � ���� ��� ��� �� ��������� ������

(�� � � ��� ( � �� � �� � . �� ��� ����� �� ��� &� �� ��#��� � ���� �� , �� ���� �� + 9 *? ����� ��� � � ����� ������� �4G5 ��#���� G � &M�� M�) �� ��� ������

�4G��.� �� .5 Q ��4G��.� &�� ��� .5� 4'�'(5

$ ��� <����� ������ G Q G�� ����� ��� ������� 4'�'(5 �������

G� Q* � :

* R : R :* �� "�� ����

�4G�5 Q � ��

��� � .

. R �� "�� ����

��

6 ��� G � &M�� G�)� ����� ��� ������� 4'�'(5 �� ����#����� � ��� �������

Page 122: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 �� ������ ��� ��������� ������0

��

2 4,5Q

�� �2 4,�5

� 4'�'.5

8�#����$� �� G Q M� ��� ������ ���� �4G��.� &�� ��� .5 �� ����#����� ����� ���� 4G��.� �� .5� ������

��

2 4,5

�����.�1�� ����

Q�� �2 4,�5

M���� ����� �������� ��� ������� 4'�'(5 ��� ��� ������ �4M�5 Q ��� %����

G Q

����

�%4&� �5

4.� ��54�� �5���

��� ������� &4�� G5 ��������� ��� ������� � � �� ��$ 9��� G � &M�� G�)� ������������ ��� ������� � G �� ��$ 9��� � � &&�� ��)� ��������� �� � Q ����� �������� , ���2 4,5 �������� ��� ������� � G� ��� ������� ! ��������� ��� ������� � G� ��� �� 4� ,5 ��������� ��� ������� � G� ��� ��������� 4� ,5 ��������� ��� ������� � �� � &2 4,5�2 4,5 R :�2 �4,5) ����.� ,� � ��

.� ,� �� � 9��� ,� %���� �� 4� ,5 ��������� ��� �������� , �� 9��� �� � ��� �$������� ���� �� ��������� � G ������������������� � �� 4� ,5 ��� ��������� G� ���������

��

2 4,5

�����.��1��.��� ����

��� �2 4,�5

�������$�

��

2 4,5

�����.��1��.��� ����

�� �2 4,�5

��� ��������$ � ��� ����1���� ���� � 4'�'.5 ������� ��� ��������� � ��������� � ��� ������� 4'�'(5 �� ��$ 9��� G � 4M�� G�5� ��� ��������� ���� ������ �� G � 4G�� M�) �� ��#���� �� ��� ���� �������

6 � ��#� ��� ����������� <� ���� � ��� ��� ��������$ � &4�� G5 ��� ������� � � �� � 9��� G� �������$ ��� �������� ����#����� ������ ���� �� �2 4,5 ��������� �� � � &&�� ��)� ���� $����� ��� ������������

��� , + 9 + ������ � � �45� �� Q �� �� Q � ( � � � ��� ����� �$�4G5 Q "

� 4�4G5 R .5�

�4G5 Q ���*44G5 � �4G55

:4. R G5��4G5

�.� �4G5

�4.� ��5

�4 � �54.� �5�

���� ��� ������� 4'�'(5 �� ����#����� � ��� �������

Page 123: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� ��4

�4G��.� �� .5 R :4. R G5

*G�

.� ��

:Q

Q ��4G��.� &�� ��� .5� :4. R G5

*G�

.� ��

:4(� �(�5���4G5�

���� ��� &�� (�� (� ��� ��9��� �� 2������ � ������� '�+�/� '�+�.(�

#$���� � �� ��� ( � � � � .� � � �45� G � &M�� M�) %& ��� ������ ������� " Q ��4�� G5 � �45 ��� ���#�� � � ��� �2� ����������

4.� �4G554+�(��5�

+4(� �(�5

4� � �5�4� � S�5����

�4� � �5�4� � 54.� ��5�4.� �5Q

Q :4�4G5� &4�4G5� G554" � 35�"�

"4" � �4G55�4" � 5� 4'�':5

"�� � � Q �4G5� ��� Q .� �� 3 � ��#��� �� ��� �������

� Q ���

�� �����

�(� �(�

.� �4G5

�R(�

:

��

3 Q�4G5

4. R :4.� �4G5

55

.

�4G5 � &4�4G5� G5�

5� � &4�� G5 �� �4G5 � ��#��� � ���� ��� + 9 =� + 9 *?� ��4�� G5 Q �4G5����4�� G5 Q �4G5 %& ��� �������� �4G5� �4G5 ����� ��� �������

�4M�5 Q ��4�5� �4M�5 Q ��4�5�

�4M�5 Q � ��4�5� �4M�5 Q � �

�4�5�

%& ��� ������� " Q ��4�� G5 ��� ��� ��� � ����� ���� �� ���� ����������� C �������� �� ��� � &34G5�) �� �"� ������ � �� �� ������ �� �2� ����

4" � 35�"�

"4" � �4G554" � 5

��� � ���� � ��� ���� 34G5� ��� C Q . %�& ��� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� ��� ������ �� ���������

4�4�5� � �4�55 � ��� ���� �45 ������� �� ��� ����� 4�4G5� �4G55 �� ������� � ���� �� ��� ���� ������� ��4�� G5 �

$ ��� �$ ���� '�+�' ����� ������ ���� �� �4G5 ����

�4G��.� �4G5� .5 Q ��4G��.� &�� ��� .5� �� ��� ����� 4��

� � ���5 ��� 4��� � �

��5 �� �������� �� 4G��.� �� .5 ���

�4G��.� &�� ��� .5 ��������#��$� ��� ��#� �������$ ������� ���� ����� ������

Page 124: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

� ������� ��� L Q D 4K5 ��� ��� ����� ��� �� ��� ��� ��� ��� ��

�������� ���� 0

D 4K5 Q K R �� R ��.

KR � � �

=� ��9�� � �������� ��4L 5 ��� ��4K5 ������$�� �� ��� ��� �

�� ��� ����1

����

4���4L 55� Q ��. R G

*

��L � &4�4G5� G5

4L � �4G554L � � .5�L �� ��45 Q �

4���4K55� Q �

�. R G

*

��4K � �4G55�

4K � ��54K � &�54K� � .5�K�� ��45 Q �

����� �������� ��� ����� ������ �� ��� ����� ( � 2� � � G� �������� ��� L Q D 4K5 ��� ��� ��� D Q ���

� Æ ��� <�� ��� ������� 4'�':5�� ��� � ���� ��� ������� D 4K5 ��� �� ����$����� ���������� �� ��������� &&�� ��) ���� ����������� ��� ��� ����� �

�� � �� ���� ��� ������

&&�� ��) �� ��� �������� "4C5 ���� ��� ������� "4L 5 �� ��9��� ��2����� � ������ '�+�/� ����� � ��� ��9�� ��� ������� ��4�� G5 �� ������������ ��4�� G5 Q � � "4D 4K4�555� ��� ������� � �� ��9��� �$ ���������� ���C Q .� ��� ��������� � ���� ������� �#����$ ��� ���������� '�+�/� '�+�.( ��� 2�������

6 � ������ ���� ��� �������� ����� 4���� �

��5 ��� 4�&

��� �&

��5 ���

��9��� �� �� 2������ � ������� '�+�/� '�+�.( ��� �� Q �� �� Q � ����������� �4G5 ��� �4G5 ��� ��������� �������

4.� 5��

4.� �5��4. R 5��

4. R �5�

�� �4G5 0 G � &M�� M�)��

�4.� 5�4. R �5

4.� �5��4. R 5�4.� �5

4. R �5�

�� �4G5 0 G � &M�� M�)��

�� �4�5 � �45� ����� � ��� ���� G ���� ���� �4G5 Q �4�5� �����

�4�4���5� �4�5� �4�55 R G��4�4�

��5� �4�5� �4�55 Q 4'�''5

Q �4���� �� �5 R G�4�

��� �� �5 R

:

*� � �4�5�

����� ��� ���� 4�4���5� �4�

��55 �� ���������� �� ��� ������ ��

4G� (� �4G5� 5 ��� ��� ���������$

�4�4���5� �4�5� �4�55 R G��4�4�

��5� �4�5� �4�55 � 4G� (� �4G5� 5

����� ��� �������$ 4'�''5 $����� ��� ���������$ � �4�5 � �4G5� ��� ������������� ������ ��� � ��� ��� ���������� � ��� �������� ��9�������� �

�������$ �� ��� ����� ��� ������ ��� ������ ������ � ��

Page 125: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��� %'+��� ��(

#$���� � �� ��� � � �45� ( � � � � . ����� ��� ��"� ������ � �� �� �� ��� ��� �� ��� ������ �� ��������� 4�4�5� � �4�55 � ��� �����45 ������� �� ��� ������

�� ���

� .� 4.� ��5

�4� � 54.� �5

�� � �

�4. R 5��

4. R �5��4.� 5��

4.� �5�

��

(�� ���� � ���� �� ��� ����� �������

�4�5 Q�4.� 1 R �5

.� 1� R ��

"�� ��� � ���� 1 ���� ��� �4�5 Q �

<� ��� ����� ������$ ���#� � ��� ��� ������� ����� � ���������������

#$���� � �� ��� � � �45� ( � � � � . ����� ��� ���� ������ � �� �� �� ��� ��� �� ��� ������ �� ��������� 4�4�5� � �4�55 � ��� �����45 ������� �� ��� ������

�� ��.� �

� 4.� ��5

�4� � 54.� �5

�� � �

�4.� 5��

4.� �5��4. R 5��

4. R �5�

��

(�� ���� � ���� �� ��� ����� �������

�4�5 Q�4.� 1 R �5

.� 1� R ��

"�� ��� � ���� 1 ���� ��� �4�5 Q �

$ ��� =� ������� ��� ����� � Q � � 4�.� () � &� .5� ��� ��� �������������

�4�� �5 Q.

:*�

+�4 � �54. � �5

4.� ��5�

��� ����� �4�5 ��� ��� ������� ������ �4�4�5� �4�55 Q �4� � �5 R��� � �

�4�5� ���� ����� �� ���������� �� ��� ������ � ��� �������� ���1����� � � ��� ��� �������� ��9������ �� �#�� �$ ��� ����� � Q� � 4�� () � &�5� ��� ��� ������� ������

�4�� �5 Q.

:*�

+�4 � �5

� � � 4(� 5�

7��� 1 ���� ���� �4�5 Q �4�5 Q �� ����� � ��#� ��� ���������$ � ������'�+�.' ��� ��� �������$ ��� ��$ �� ��� ������� �� �

��� ��#� ������� ��#� ���� ������� �� ��� &.A,)� &.*+)� ��� ����� ����1��$ ���#� �� ��� �$���� � ��� ���������� 4�4�5� � �4�55� ( � � � � . ��� ��������� 4��� &.**)5 �$ ��� ��� ������� � %����� '�:�:� ��� �������� ����������� ��� ���� ���� �� ��� ������ ����� ����� � �$������� ���� ��� � 9���� ��������� E���������$� ���� ������ ��� �� ��� ���� ���� ��� �������� ������ '�+�..� '�+�.:� ��� � ��� �� ��#��� ���� ���� �����

Page 126: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��) �� ������ ��� ��������� ������0

��� ,��#����� ������ �� (��� ��� ������� ���#���#��

=� ������� ������� ���� � � � ��� � � =� ��#� ������$ ������� ������������ � ��� ������ ������ ��� ��� ������ ����#���#�� �� %����� :�:�'�=� ����>$ ������ ���� ���� ��� ������ �����

�4�5 Q ������ ��

�4�5� 4 �� ��$ %��� ���� �� ��

������ �� ����� ��� � � � � � ��� ���������� ��� �#�� ��� ��� �������$� ��������� #��$ ������ ��� �� ���� ���� ��� ��������� � ��� ������ ����#���#�

� �4�5 Q ������ ��

� �4�5�

���� ���� 4&..:)� 7������ *5 �� ��� ������������� �������� ������ ���� ������ ��� � �������� �����#�� � ��� ���

% Q � � � � 0 �4�� ������ ��� ��4�5� Q .��

������� ��� ������ ����#���#� ������ �� �#��$ � � % �$ ��� "����1=�3 ���� 4&..:)� E������� +�.'5� �#�� ����� ��� ��������� ���� � �� ��1H����#� �� � � �� ��$� � �#��� �� ��9����� �� �� ���� � ���#����� ����������� ��� � ��� ��� @�@����� � ��� ������ &/-) ���� � �4�5 �Q �� �������� � � %�

���� � ����� �$ ��4I5 ��� ����� � ��� ��������� ���#����� �� ��� �������� � �������� �4�5 Q ��R���

�R � � � � �4.5 Q . ���� ��� � � � ��� ��#���� 9���� ������ ����#���#� �� �4.5� Q I 9���� ��� ����� ��4I5 �� ��3������������ ��� ���� ������� � ���#����� �������� ��� ������ ��� �� ��������� %�� ��� �������� E��� ������� 4��$ ��5 �� ���� �����

��4�5 Q ,��� 4�,�4�55 � � � 4(� .5� � Q

+E

4. R E5�� ,�4�5 Q

4.� �5��

�� ���� � �� ��� ���� ���� ���� ��� 4�.��E)� <� � Q .�I� ��� ���������4�5 ����� � �

�4I5� ��� �� ��4(5� Q � Q .�I�� ��� ����� ��4I5 �� ��

������� ������� ������� ��� �������� � �������� �� ��� ��4I5 ���� ���� �� � ���� ��� � ������� ������� ��� ��� ����� ��� 4��*�-5 ������� �������� � ��� ���� ���� ��� � ����� .�-� 8�#����$� ���

��� �� Q ��� ����

��� �� ���� � ��� ����� ��4I5�

� " � �������� �� �$� ������ �����������

<� ��� ����� ��4I5 ��� �#��� �������� ( � �� �4(5� � . ����� ��� ����1�������� ���������$ �� ��#�� ���������� ��� ����� ��� � ��� ���#��� �������� ������ � ��#��� ��� ����� ��� � ��� ����1���� ���� ���������$ � ��#� ������ �� �������

Page 127: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ���

#$���� � " � 3� �� �������� � �� ��4I5 ��� �� � ������ � 0Q�� �4(5� � .�I� ����� "�� ��� ��� ��� ������� ��4�5

$ ��� �� � � ��4I5� =� ������� ��� ��� � Q � � 4�.� () ��� � #������� (�.� �� �� ������� �� (� .� ��� ��� ����� :*� * �� ��� #������� (�.��������#��$� ��� ��� ������� ������ �� �4�� (� .5 Q (� ��� ��� �4�5 ��� ��� #������� (�. �� ��� ������� �� (� .� ��� ��� ���� ����� ��� ���������� ������

�4�4�5� (� .5 Q.

:*� �� �4(5�R .

*� I�

�� �� ���������� �� ��� ������ � ������� � ��� ������� ������ #����� ���� ��#�� ��� ����$ �$�� ��9��� �$ � Q &(� .) 4 ��� ��� �����:* ��� * �� ��� #������� (� . ��������#��$ ���� ���$ ��� �������5� ����������� ������� ������ �4��

� � (� .5 Q ( �� �#�� �$ ��� ���� ��� �& Q�� ��������� �� �4(5� � .�I�� ��� ���������� � ��� �������� ��9��������4�5� � Q .�I�� ����� � ��� ���������� � ��� �������� �������� �

���� ������ �� ������� ��#�� �$ �� %�$��� �� &.'A)�7�������� ��� ��� � � 4�.� () � &�� .5� ��� � #������� #�� . ���

����$�� ������ ����#����� � ����#� �� ��� ��� �� �������

#$���� � " � 3� �� �������� � �� ��4I5 ��� �� � ������ ��!0�4�5 ���4�5� � � ����� "�� ��� ��� ��� ������� ��!0�4�5 �� ��� �������� ���������� ��� ������� ��� ������� � �� � ��� ���� ������

��� ���� ������ ���������� ������ '�A�. �� ��� ���� � ��� ����������#���#�� �� � ����� � �� �

#$���� � " � ��� G�� G� �� ������ ����� � ���� ��� G� R G� Q . ���" Q �4�5 �� ����� �� �� �� ��� ��� ��, ��� ������ �4(5 Q (� ���� ����� �"� ����� ��� �� � �� ��� ���� ���� "� Q �4��5 �� "� Q �4��5 ����� � �� .������ ��� ��� ��� ���� �� ����� � �4��5� � �4��5 � #��� 3� ��� � ���� ������� ��� �������������4��5� �4��5

�� � ��

������.�.�

� .��� �4(5��� �4��5�.�� �� �4��5�.��4'�'+5

����� 3� �� � � 4(� ��)�

�� Q��� ��"�

���.���� ��"�

���.� ���� ��� ��� �� " Q ��4�5 � ��� ����� ������� �� ��� ������

" ".�� ".��4" � "�5�.�4" � "�5�.�

Q� � �.�� �.��

4� � ��5�.�4� � ��5�.�� 4'�'A5

Page 128: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

!� �� �� �� ��� �� �2� ����� ��� ��� ��� ������� ��� ��� ��� ��,� ���� ����� ���� ��� � �"� ���� ���� ��� � 1���� �� �� ��� �2� ����

74"5�"� Q.

+*�4" � '�55�4" � '�65�

"�4" � "�5�4" � "�5��"��

"�� � P� 5 � �������� �� ��� ������� P R 5 Q * R �� "� R �� "� ��

G� � G� Q'�6 R '�5

"� � "��

��������) � " � ��� " Q �4�5 �� ����� �� �� �� ��� ��� ��, ��������� �4(5 Q (� ���� ��� ��� �� � �� �� �� Q �4��5� �� Q �4��5 .��������� ��� ��� ���� �� ����� � �4��5� � �4��5 � #��� ��� �� � �������

�� �4(5� � .��� �4��5� �4��5������ "�� ��� ��� ��� ������� ���� �� ���� �� + @ + "�� G� Q G� Q .�:�� Q �� �4(5�

<���� � �#� ��� ����������$ ����#������ �� � � Q � � (�� 8� ���������$ �� � � � 9� � ����� �� Q '��� � �� Q '��� � ( � )� � )� � :*�

��� ���� ������ ���� ��� �������� �������� � �������� �� ��� ��%�� � ��1��� ���� #���� 4G�� G�5 ��� ��1�����#� ���������� =� ��1������ � �����#��� �� Q 4(� '���5 ��� �� Q 4(� '���5 �� � �� ���� �� �� ��1�������� �$���� 4��� ��5 � ���#�� � �$�� �!� 6 � ������� ��� ����� ���1#�������� ���� 4��� ��5 � �

� ��������� ��� ��� �$���� � ���#��4��� ��5 ��� ��� #���� 4G�� G�5� ���� ��� ��� �� ��� ��� #������� �� (� '

��� �+ Q .� :� =� ������� ��� ���� �� ��� �� � �� ������� �� ����� #��1����� ��� � ������$ ��� ������� � �����������$ � ����� ��� ������ �����

6���� Q

��.�.��.�

�� ��� ����� ���� � ��� ��� �� �� ��� ���� ��� 6�����

Q * ����� ����� ���� � ��� ��� �� �� ��� ������$ ���� �� � + Q .� :� =� ���������� ���� ��� ������� ����� �4�� � (� ��5 ������

��$ �������� � ��1#�������� ���������� ���� ��������� ��� ����$���� � ���#�� 4��� ��5 ��� ��� #���� 4G�� G�5 �����9�� ��� ��� �� ��1�������$

G���4��� (� '���5 R G���4��� (� '

���5 � 4'�'*5

� G���4��� � (� '

���5 R G���4��� � (� '

���5

��� ��� �������$ ��� ��$ �� �� Q ��� � =� ����� ���� ������� �$

��4G�� G�� (� '��� � '���5 �� �� ��� ���������� � �����������

;������ �� � ����� ����� �� ��� ���H����$ ��������� � � ������ ���������

��3��������

64�5��� Q %4� � '��5�4� � '�05�

��4� � '���5�4� � '���5����� % (� 4'�',5

Page 129: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ���

��������� ��� ��� ������ ���� ��� �������� ��������� ��� ����� % �������#� ������� � ����� ������ ��� ��� ���� ���H����$ ��������� ���� ���� ���� 464�5 Q 3

� 4.R � � � 55� ���� %� �� ��� I ��� �������� � G�� G�� <���� ����� �� � ������� ��� ��4�5� � � ��

� ������$�� ��� ��3�������� �������

G��

����4�5��4�5

��

Q *�64�5� 4'�'-5

���� ���� ��� �� ��� ��� �

� Q � 0 �� � (� ��� ��� #������� �� ( ����

��� �������� ���H������� � 64�5��� ����� � � ��� �� ��� � ����� ��������

� � ��������� ��� ��� ���������� �$���� 4�� � ��� ��� ���������5�

(�� � " � ��� G�� G� � 4(�5� ( � )� � )� � :*� )� � )� � * �����

�4��� � (� '

���5 QG�*G�

�.

:� ��� ������ � �

�4��� � (� '

���5 QG�*G�

�.

:� ��� ������ � �

!� ��� �2� ���� %+ +/& "� ���

% Q4G� R G�5

+*�� I Q ������

�G� � G�G� R G�

���)� � )�

:

�R)� R )�

:�

� Q * � I R )� R )�� �� �"� � ��� � 1���� �� �� ��� �2� ���� 64�5���

�� ��� � �� ��� � �� ���� ��� ���� 6���� Q ��.�

.��.�� ����� � ��� �����

'�0 �� '��

$ ��� <���� � ����#� ���� ��� ���� ������ �� ����� �� ��� ���H����$ ���� ��3�������� 4'�',5� ��������� �64'��5'����)� ( �� ������ ����� � �� ����� ������� ���� I R � Q * R )� R )��

%���� � ��� ����� ��� ��9������ � � �'������

� � ����� ��� � ��1������$� ������ ���� )� � 4(� *�:) ��� )� Q �)��

��� ��� ��4�5 ��� ��� �������� �� Q ��!����� 4&�R � � � 5 ���� ��� �����

������ �� 4'�'-5 � � ( �� + Q .� � �����.��

������ ��

Q %� ��� ��� ��4�5

��� ��� �������� �� Q ��!����� 4&� R � � � 5 ���� ��� ����� ������ �� 4'�'-5

� � ( �� + Q :� � �����.��

������ ��

Q %� ����� � ��������� % Q �.��.���

��

��� ��� �������� ������ ��� � �

�� ������$ ��� ������� � �����������$ �

����� ��� ������ 7��� � ��� ���� '��� ��� ��� ��4�5 ��� ��� ���������� Q 4� � '���54�� R � � � 5� ������ �� 4'�'-5 � � '��� �� + Q .� � ������.�

.��.�Q .� ��� 0

��� ��� I Q ������

�.��.�.��.�

��� )�

��

Page 130: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

%����� + Q .� =� ���� ��� ������ �� �� 4'�'-5 ��� �������� �� ��������� ������ � ��� �� � ���� �4(5 Q ��� �4'���5 Q (� =� ����������� ������� �4�5 � ���� ��� ���� � ��� ��� ������$ � ��

� �$�� � ������� ������ �� ������ ��� ��� ���� ����� ����� ����� ��� ����������� � ����������$ ������� �� ��� ������� ��� ������������ � �����

��4�5 Q4� � '���54� � '����5.�!.�

���������

'����

��������

����������

�� 4'�'/5

%����� + Q :� �$ ��� ����$ ��� ��� ���#��� ����� � �����

��4�5 Q4� � '���5.�!.�4� � '����5

���������

'����

��������

����������

�� 4'�+(5

��� ������� ������ � ��� ��� �� ��� ������� � ��� #������� �� ( ��� �� ����� � ���� ��������� ���������� ��� ����#���#�� � ��� ���� �� ����� ��� ����� ��� ��� ������� � ��� ����� � ��� ������� ����� ������ ������� ���� � ����� ��� #����� � ��� ������� ����� �4��

� � (� '���5�

�4��� � (� '

���5 �������� �� ���� '�A�.� ���� 9������ ��� ���� �

��� , + @ * ��� ���� )� � )� * �� ������ ��� ��� ����� �� ����'�A�. ��� ��� ����� ����������� � � I�

6 � �#� ��� � ��� � ������ '�A�' ���� ��� �������� ��������� ��� ���� '�A�.� =� ��� ��� ���������$ 4'�',5 � ����#� ��� ���������$ 4'�'+5� �� � �� �� ��������$ ��� ��� ��� ��������� �������� �� ������ '�A�'�=����� ���� � ��������$ � ���� ������ ���� ���� �� Q ��� <�� ��� �����#�#����� � G�� G�� �� ��� ���� � ������ 4�

�� � �

��5 �� ��� �������� ���� ��

��� ������� �4G�� G�� ��� ��5 � ��� ��� 4'�',5� ����� ��� ���� � ������4�4��

�5� �4���55 �� �� ���������� ���� �� ��� ������� �4G�� G�� "�� "�5�

��������� ��� ���������$

G���4�4���5� (� "�5 R G���4�4�

��5� (� "�5 � 4'�+.5

� G���4��� � (� "�5 R G

���4�

�� � (� "�5�

���� ���� 4��� � ��� 5 �� ��� �������� ���� �� ��� ��������4G�� G�� "�� "�5�

=� ������ ����

G���4�4���5� (� "�5 R G���4�4�

��5� (� "�5 Q 4'�+:5

Q G���4��� � (� "�5 R G

���4�

�� � (� "�5 R

RG��*� �� �4��5�R G��

*� �� �4��5�R 4G� R G�5

:*� �� �4(5��

6 � ��� ���� '�A�. ��� ��������� ��� ����� �� 4'�+:5 ��� 4'�+'5������ ��������� G� R G� Q .� ��� ������������ 4'�+:5 ��� 4'�+'5 ����$ ������������$ 4'�'+5 �� ��� �������� � ������ '�A�'�

Page 131: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ���

6 � ����#� ��� �������� ������� " Q ��4�5 ��� ��� ������� 4'�'A5�=� ������� ��� ������� ��4�5 �#�� �$ 4'�'/5 ���� ���� ��� ����� ��

�� ��� ����� ��������� �� � ��� ��� ������� B� ���� ���� ��� ����� ���

�� �� � ��� ������� B� �����9�� ��� ��3�������� �������

G��

�B��4"5B�4"5

��

Q *�74"5�

�$ ��� ����$ ��� 4'�'/5� � �����

B�4"5 Q4" � "�54" � "�5

.�!.�

"��������

"�.�!�� "

�.�!�� '

����

��������

��

��� ����������� B��� Æ ��4�5 ������ �� � � 4(� ��) ��� ����� � ��� �������

4'�'A5 ��9��� �� ��� ����� ��� � 6 � ������ ��� ���� ����#����� ��

B�4�5 ���� ���� ��� ����� ��� �� �

� � ��� �����9�� �� ��� ��� ��3��������

�������

G��

�B��4"5B�4"5

��

Q *�74"5�

��� ������� ���� � ������ �� ��� ����������� B��� Æ ��4�5 �� ��� ����

�� �� ��� ��������� ��� ������� �� �� ��9��� �� ��� ��� ���� � �� ������������ ������������ ��� ���� ��� �������� ��9������ 4��

� � ���5

�� ��� �������� ��9������ 4��� � ��� 5� ����� �� �#�� ��� �������$ ��� �

4'�+:C'�+'5� ���� ��������� ��� � 4'�'+5� �

� " � #$� ���� �� ,��,�4�� �� �,>4�4

6 � ������� ��� ������ � 9���� ��� ���� � ��� �$���� � ����������4��4�5�� �� �4(5�5 �� ��� ����� ��4I5 ���������� � ��� ������ ���� �� �4(5� �� ��4�5� 9����

�� �� Q � � (� ��� � ( �� ��� � ���1��������� 2������ ������� =�������� � �� ��� ���������� �$���� � ���#�� 4��� ��5 � �$��� � ��� �!��������#��$ ���� �� Q " 0 �"� Q .�.� ��� �� Q " 0 �"��� Q ��� � ���� .�� ��������$ ������ �� � �� ��� ��� � ��� ����� 4��� ��5 � ����$ ���������������� ������ ��� ���� ��������� ��� ��� ���������� �$���� 4��� ��5��� � ����1����� #���� 4G�� G�5 �#��� ��� ���� ��� ������� � ��������� �� ����� #������� ��� ��� ������� � ��� �����������$ � �������� ����� �� �����9�� ��� ��� ����� ����� * �� ��� #������� #�� ( � ������� �� � �� ����� ��� ������ � ��� �������� �������� � �� �������� ��������� ��� ��� G���4���5 � G���4��� (� (5 #�� ��� 4��� ��5 � ��=����� ��� � ��������$� � ������ G� Q G� G� Q .� G � &(�5� ��� ���������� � ���� ��� � ����� �$4G� �5� ����� �� � ������ ���� 4��

� � ���5

���� �� �������� �� ���� ������� ��� �� ��� �������� ����� ��� �

�� �� ���

����� ����� �� ��� ���H����$ ��������� � ��� ��3��������

Page 132: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 �� ������ ��� ��������� ������0

64�5��� Q �% 4� � &5���

��4� � �5� % (� & � (� 4'�+'5

���� % ��� & ��� �������� ��� ������� � G�

�;�8 ) �

��

���

���� ���� �$#>�+�$* �$'+'$� �% &� !�=�$��# �;�8��� ;!#�&�! ��� #$� �#�� �$#>�+�$���8

�� G Q (� ���� ��� Q � ��� ��

� Q � �4�� �) �� ��� ��� ��� � #������� ��� ��� ���� ������ (� �� ���� ���� 4(� �5 Q �

� � +�� �� G � � ������

� Q � � &(� �)� �� ���� ���� 4� �5 Q ��� � +���

#$���� � " ��� ( � G � �����

�4��� �5 Q

.

:*�

+G�

�4. R G�5� .

*G

�*

:� ������

.

G

��

�4��� � (� (5 Q

:

*�

+�

. R G�R+G

*

�*

:� ������

.

G

��

$ ��� =� ������� ��� ��� 1 Q 14�5 ��� ��#���� ��

� Q &�R . R 4�� .5 �� 1

4&R .5 R 4&� .5 �� 1� 4'�++5

��� ����� ��� ������������� � ��� ��3�������� 6 �� ����� � ��� ���������1 �� ������ �����

64�5��� Q �415�1� Q 4'�+A5

Q+%&4�� &5�4. R �� 15�

44&R .5 R 4&� .5 �� 15�44�R .5 R 4�� .5 �� 15��1��

���� �����R .

�� .

���� . ���

����&R .

&� .

���� � .�

6 � ����$ ��� ���H����$ ��������� � ���� ��������� ��3�������� ������ � ������� ������ � � ������ ��� ��� ��3�������� �415�1� ��� ���� �

Page 133: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ��4

���� + �� ��� ����� *R:*, ���� ��� ��� ����� � & ����� ��� ��� 14�5�<���������� 14(5 Q �5�� � ���� 2� 5� Q ( �� ��� ���� � � . � 2� 5� Q *�� ��� ���� � .� ���

5� Q �����. R �

.� �� , Q .� :� � � � � -� � � � �

<� ��9��������� ������ � � � .� ����� 145 Q )� Q �����4.R&5�4.�&5�)� � 4(� *5� ��� )� ��� 5� ��� ��� ���� � ��� ����� ����� ��� �����14�5 Q :*, ��� ������ �� ���� ��3���������

7������ � 9��� ������ � ��� ������� 14�5 ���� ���� � � &&� �) ����� ����� ( � 2�1 � *� ��� �������� ����� �/

� Q 14���5 �� ������ �$

��� �������� ���H����$ � �415�1� ������� ��� ����� �� * ������� ��� �������� )�� ��� ����� ����� �

/� Q 14��

�5 �� ������ �$ ��� ���� ���H����$���� �������$ ����� ��� ��� ������� ���� 2�1 Q *�

�� ��415� + Q .� : �� ������� ���� � ��� ������ �/� �� ��� ����

���� � ��� ��� ��� � �&(�5 ��������#��$� ���� ���� ��4)�5 Q ( ��� ��45�5 Q(� ��4�5�5 Q � ����� �������� ������$ �� ��� ����� �/

� ��� ��3���������������

G���415

��415Q :*

���415�1� 4'�+*5

��� �� ��� ����� �/� ��� ��3�������� �������

���415

��415Q :*

��415�1� 4'�+,5

� �� ����� � ��� ��������� ��

G

����414�55

��414�55

��

Q �+*�64�5���� 4'�+-5

����414�55

��414�55

��

Q +*�64�5���� 4'�+/5

����� � � �� 4'�+-5 �� ��� ���� � + Q . � � � ( �� 4'�+/5 �� ������� � + Q :� � ����� % Q G�+*� ��� & Q ���G��

6 � ��������� ��� ������� ������ � ��� �������� ������ ��� ����&)� R � *) � ��� ������ ���H����$ � ��� ��3�������� �415�1

� �� � ���19����� ����� Æ ��� ��� ������� &�.�.�� &) ����� ��� ��� 14�5� <�� 4'�++5 � ����#�

Æ Q

��&4�� &5

.� &.� RA4.

��5� 4'�A(5

����� � ������� ��#� ��� ���� &.'�0 � '�0 ) �� ��� �1������ =����� ��� ���������$� ������ I Q (�

�� � Q ��4�5 Q %���� R %� R %�� R � � � �� � ������� ��� � ����

� � ����� ��� ������� ������ � ��� ��� �� ���������� �� �4��

� �5 Q��� � .��%��� =� ����#� �������$ ��� 4'�+A5

Page 134: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0���415 Q :

��&%�

.

&R . R 4&� .5 �� 1� .

�R . R 4�� .5 �� 1

�4'�A.5

Q � .

:*� ��1

�G �

G ��� /� � �

G ��� /� R

��

� : ��������� /

���

��

=� ���� ��� ������ � ��� �� � ���� ��� ��� 4R5 ����� �� ���� � ������#��� ���������� @��#��� ���4)��:5 Q

��& Q ���G� ��������� 4'�+*5

��� ��� ������� ��������� � ����#�

. QG ��� ���Æ

� � ��

G ��� ���� R

��

� ����:

G

�*

:� ������

��� ������

��Q

Q4�R G�5

+G��

���

�:

G

�*

:� ������

.

G

��� Æ RA4Æ�5

��� 9����$� ���� 4'�A(5� � �����

%� Q�4. R G�5

+G����

�:

G

�*

:� ������

.

G

���

���� ��� ������ �4��� �5 �� � ��� ��� ������ �� ������ '�A�+�

6��� � ��������� ��� ������� ������ � ��� ��� ��� ��� �������

� ��� � #������� ��� ��� ���� ������ (� <� ���� � ������� ��� ���������� �/

� �� ��� 11����� ��� ��� ������ � ��� �������$ ���� &(� 5� � �Æ)���� ����� � ��� �������� ���H����$ � ��� ��3�������� �415�1�� �� ��� ���������� &.�� �) �� ��� �1����� ����� ��� ������ 14�5� =� ��������� ���4'�++5 ����

Æ Q&� �

&��4�� .5

.� RA4.��5� 4'�A:5

<� ����� � ������� ����� �� �� ���� �� ��� �1����� &.� .�.) ��� ���������$ � ��� ��� � � &(�5 ���� �� ��� ���� � ��� ����� ��

� �������� ��� ��414�55� =� 9�� ���� ��� ������ � ��� ������� &.� .) ��� &.� .�.)��� ����� �� ��� ������ �������� ���� ��������� . Q ��4(5� �� � Q ��4�5 Q����� R��R��� R � � � �� � ������� ��� ��� � � &(�5 �� ��

� � �������� ������� ������ � ��

� ����� �� � �� �4��� � (� (5 Q

�� � ������ ����

���� ����#���#� �� ����� � �� �� � ��� ������ ����#���#�� �� ��� �

�$ 4'�A.5 � ��#�

��415 Q � �

:*� ��1

�G �

G ��� /� � �

G ��� /� R

��

� : ��������� /

���

�� 4'�A'5

����� � ���� ��� ������ � ��� �� ���� ���� ��� ��� 4R5 ����� ������ � ��� ����1���� ���� � 4'�A'5� =� ��#� ���45��:5 Q �

��� 2� ���� ���

������� 4'�+,5 ��

Page 135: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ��(

��

�Q �

�1

�G �

G ��� /� � �

G ��� /� R

��

� : ��������� /

���

��1�

%���� � ��� ��� ������ ������� � �������� ��� ����1���� ���� ����$����� �������$

������ " Q.

:��

. R �"

.� �"�

�����

��

�Q

�1

���:G ������ ���

G ��� /�

� �. R �

�� ���

.� ��� �

��

�� � 4'�A+5

��������� 4'�A+5 ��� ��� ������ &.� .�.) �� ��� ����1���� ����� ��� ������ #������� ������ &(� 5� � �Æ)� �� 5� (� �� ��� ����1���� ����� � ����������

. Q. R �

������Æ

��

.� ���

������

� ����:G

�������

���

G ��� 5����

� *

:

��Q

Q.� �

+�����

�:G

�������

.

G� *

:

��Æ RA4Æ�5�

<�����$� ���� 4'�A(5 ��� ����������� & Q ���G�� � �����

���� Q +�

. R G����

�:G

�*

:� ������

.

G

���

���� ����� � ��� ��������� �� ������ '�A�+� ��� ���� � . ��� �� �1������ �$ ����$�� ��� ��� " Q ,�� ���� , .��� ���� ����� � ��� ��������������� �

=� ��9�� ������ ������ � ��� �������� �������� �������� ��� ������#��� ��� �� �� Q � �&� � (� ���� �� (� &� � (� �� ��� ������1���������2������ ������� =� ������� � �� ��� ���������� �$���� � ���#�� 4��� ��5� �$�� �� �! ��������#��$� ���� �� Q " 0 �"� Q .�.� ��� �� Q " 0�"���� Q ���� � ���� ��� . �� ��������$ ������ �� � �� ��� ��� � ��� �����4��� ��5 � ����$ �������� �������� ������ ��� ���� ��������� ������ ���������� �$���� 4��� ��5 ��� � ����1����� #���� 4G�� G�5 �#��� ������� ��� ������� � �� ������� �� ����� #������� ��� ��� ������� ���� �����������$ � ����� ��� ����� �� �����9�� ��� ��� ����� ����� * ����� #������� #�� ( � ��� ���� �� � �� ����� ��� ������ � ��� ���������������� � �� ������� � ��������� ��� ��� G���4���5� G���4��� (� (5#�� ��� 4��� ��5 � �� =����� ��� � ��������$� � ������ G� Q G� G� Q.� G � &(�5� ��� ��� ������� � ���� ��� � ����� �$ �4G� &�� ��5������ �� � ������ ���� 4��� � �

��5 ���� �� �������� �� ���� ������� �

�� �� ���

Page 136: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��) �� ������ ��� ��������� ������0

�������� ����� ��� ��� �� ��� ����� ����� �� ��� ���H����$ ��������� � �����3��������

74�5��� Q �% 4� � �5����

��4� � ��54� � &�5� % (� � � (� 4'�AA5

���� % ��� � ��� �������� � G� <� G � &(��

����� ) ��� ������ ��� ��

������� � ��� ���#��� ���� 4������ '�A�+5 ��� � Q ��� �� G � � ������� Q � � &&�� ��)� �� ���� ���� �4� &�� ��5 Q

��� � +�4�� � &�5�

#$���� � " " ����

����� � G � �����

�4��� �5 Q.

:*�

+

�� � &�� .

*G

�*

:� ������

��&���

��

�4��� � (� (5 Q:

*�

+��&��� � &�

R+G

*

�*

:� ������

��&���

��

$ ��� �� �� ��� ���#��� ������� � ������� ��� ��� 1 Q 14�5 �����#���� ��

� Q &��� R . R 4�� � .5 �� 1

4&� R .5 R 4&� � .5 �� 1�

��� ����� ��� ������������� � ��� ��3�������� 7 �� ����� � ��� ���������1 �� ��� ������ �����

74�5��� Q J415�1� Q

Q+%

&�

4&�4�� R .5� �4&� R .5 R 4&�4�� � .5� �4&� � .55 �� 15�

44&R .5 R 4&� .5 �� 15�44�R .5 R 4�� .5 �� 15��1�� 4'�A*5

���� ������ R .

�� � .

���� .�

����&� R .

&� � .

���� � .�

��� ����&�4�� R .5� �4&� R .5

&�4�� � .5� �4&� � .5

���� .�

6 � ����$ ��� ���H����$ ��������� � ���� ��������� ��3�������� ���� ��� ������� ������ � � ������ ��� ��� ��3�������� �415�1� ��� ���� � ����: �� ��� ����� ��� R :*, ���� ��� ��� ����� �

&�4�� R .5� �4&� R .5

&�4�� � .5� �4&� � .5

����� ��� ��� 14�5� <���������� 14(5 Q �5�� � ���� 2� 5� Q ( �� ��� ������ � .� � 2� 5� Q * �� ��� ���� �� .� ���

5� Q �����. R �

.� �� , Q .� :� � � � � -� � � � �

Page 137: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ���

<� ��9��������� ������ � �� � .� ��� ���� �� . ��� �� ��������� �� �������� '�A�+� ����� 145 Q )� Q �����4. R &5�4.� &5� )� � 4(� *5� ��� )���� 5� ��� ��� ���� � ��� ����� ����� ��� ����� 14��5 Q :*, ��� �������� ���� ��3���������

=� ������� � 9��� ������ � ��� ������� 14�5 ���� ���� � � &&� �) ����� ����� ( � 2� 1 � *� ��� �������� ����� �/

� Q 14���5 �� ������ �$

��� �������� ���H����$ � �415�1� ������� ��� ����� �� * ������� ��� �������� )�� ��� ����� ����� �

/� Q 14��

�5 �� ������ �$ ��� ���� ���H����$���� �������$ ����� ��� ��� ������� ���� 2� 1 Q *�

�� ��415� + Q .� : �� ���#����� ������� ���� � ��� ������ �/� ����� ���� ���� � ��� ��� ��� � � &(�5 ��������#��$� ���� ���� ��4)�5 Q (��� ��45�5 Q (� ��4�5�5 Q � ����� �������� ������$ �� ��� ����� �/� �����3�������� �������

G���415

��415Q :*

��J415�1� 4'�A,5

��� �� ��� ����� �/� ��� ��3�������� �������

���415

��415Q :*

�J415�1� 4'�A-5

� �� ����� � ��� ��������� �

G

����414�55

��414�55

��

Q �+*�74�5���� 4'�A/5

����414�55

��414�55

��

Q +*�74�5���� 4'�*(5

����� � � �� 4'�A/5 �� ��� ���� � + Q . � � � ( �� 4'�*(5 �� ������� � + Q :� � ����� % Q G�+*� ��� � Q �����&��G�

�� �� ������ '�A�+ ��� ���������� �#�� ��

��J415 Q :

�%��&�

�&�

&� R . R 4&� � .5 �� 1� �

�� R . R 4�� � .5 �� 1

�Q

Q.

:*� ��1

��G � ���

/� � ��&�

��� /� R

��&� R :��������� /

����

��

����� ��� ������

Æ Q4�� � &�5

��&�.� &�

.� RA4.��5�

��� ��������� 4'�A,� '�A-5 �� ������ � ����� ��� ���������� �� ������'�A�A� �

Page 138: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

6 ��� � Q � � (� ��� � � 4(� .5 �� ��� � ���1��������� ���� �����=� ������� � � �� ���������� �$���� � ���#�� 4�� � �

�5� ���� �

� Q � 0

��� Q .� ��� �� �� �� ��� ��� ������� ��� ����� ����� �� .� ������� ����� ���� �� � �� Q �� ���� . � � ��� ��������$ ������ �� � �� � ��� ���� ����� 4�

� � ��5 � �������� ����$ �������� ������ ��� ���� �� �

��������� ��� 4�� � ��5 ��� ��� #���� 4G� .5 ��� ������$�� ��� ������� �

�����������$ � ����� ��� ����� ��� ���������$� ����� ��� ������ ���� �������� �������� � � ������� � ��������� ��� ��� G��4�

� � (5 ��4�

� � .� .5 #�� ��� 4�� � �

�5 � �� ��� ������� � ���� ��� � ����� �$

4G� �5� M���� ��� ������������ K4�5 Q 4.��5��� � �������� ������4�

��� �

��5 �� ��� ������ �4G� �5 ��� ������ �� � �������� ������

4��� � ���5 �� ��� ������ � 9���� �4G� &�� ��5 ���� &� Q �+� �� Q 4. �

�5���� ����� ��� ������ ��� ����� � ��� ������� ������ � ����#� ��������� '�A�A ���� �� G � ��(

�(��� ������� ����� ��� �#�� ��

�4���� (5 Q

.

:*�

+�

4. R �5�� .

*G

�*

:� ������

:��

.� �

�� 4'�*.5

�4���� .� .5 Q

+

*�

+4.� �5

. R �R+G

*

�*

:� ������

:��

.� �

�� 4'�*:5

6 � ������� ��� ���� ������ � ��� �������� �������� �������� ��$ " � � � D���� �$ 4�&

��� �&

��5 ��� �������� ���� � ������ ��� ��� G

#��$ ����� &(�5� �$ &4G�"5 � ����� ��� ������� � G��4�&��� (5�

�4�&��� .� .5� %����� " Q � � 4(� �5� <� G � ��$

�$ � ��#� ��� ����������

�#�� �$ 4'�*.5� 4'�*:5� <� ( � G � ��$�$ � ������ ��� ������ '�A�+

�4�&��� (5 Q

.

:*�

+�G�

4.� �5�4. R G�5� .

*G

�*

:� ������

.

G

�� 4'�*'5

�4�&��� .� .5 Q

:

*�

+4.� �5�

�4. R G�5R+G

*

�*

:� ������

.

G

�� 4'�*+5

(�� � " � *& ��� I � . �� �� #��� 3� ��(�(

� G � �� " Q � �4(� �5 ��� ������

�4���� .� .5 R

+

*� I Q �4�

��� .� .5 4'�*A5

��#��� ��� ����� ������� � Q �4G5 "���� ���� ������� �� ��� ��� �� 4(� �5�� #��� G ��� ������� �4G5 � �2� ������ �� �� ���� "�� �������� G � �� �4 ��(

�(5 Q0 ��� "��� � ��� ������� �� ��� ������

4.� �5�Q

.

I��

4.� �5��

�� ���.��

�4G5 Q �

Page 139: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ���

)& 3� ��(�(

� G � G� ��� ������� �4G5 � ��#��� �� ��� ������

4.� �5�Q

Q.

+I�

�. R �

.� �

��.

. R G����

�:G

�������

:��

.� �� ������

.

G

��� 4'�**5

� � � &��� �5 3� G� � G � ��� ������� �4G5 � ��#��� �� ��� ������

� I. R �

.� �

.� �

. R �Q G

�������

:��

.� �� ������

:��

.� �

�� 4'�*,5

� � � &��� �5 5� � G� � ����� ������� �� ��� ������ � 4G5 Q (� "�� �

� 4G5 0Q �.� �

. R �I

�. R G�

GR G

�������

.

G� ������

:��

.� �

��

$ ��� <���� � ������� ��� ���� ��(�(

� G � ��$�$� ��� ������� 4'�*A5 ���

��� ������� 4'�*:5� 4'�*+5 ����$ ��� ������� 4'�**5� %���� ��� ����1���� ����� 4'�**5 �� �����#�� �� �$� ����� �� � ������ ������ � ��� ������� 4'�**5�D�3���������� ��� ����� � 4'�**5 ��� ������� � G � �����

��4G5. R �

.� �Q

.

:I

�. R �

.� �

��.

. R G�

�������

:��

.� �� ������

.

G

��

� ���

�:G

�������

:��

.� �� ������

.

G

���

��������� ��4G5 ( ��� ��� ������� �4G5 ��������� �� ��(�(

� G � ��$�$�

<� G Q ��(�( � ��#� �4 ��(

�(5 Q �� � �� <� G Q ��$

�$��� ������� 4'�**5

�� � ��� ���

?4�5 0Q. R �

.� �� .

I� . R �.� �

���

�.� �

:��

�������

:��

.� �� ������

:��

.� �

��Q (�

����

?4�5 Q. R �

.� �

�.� .

I

�� (� ���

$��?4�5 Q ��

=� ��������� ��� ����#���#�

? �4�5 Q:

4.� �5�R

R.

:I� . R �.� �

�. R �

:��

�������

:��

.� �� ������

:��

.� �

�R

.� �

+�4. R �5

��

� ���

�.� �

:��

�������

:��

.� �� ������

:��

.� �

���

Page 140: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

���� �� �����#� �� � ��� �� � � 4(� �5� ��������� ��� ������� ?4�5 Q ( ���� ������ ������ � Q �� � 4(� �5� @��#���

?4��5 Q

�4. R �5� � :�4.� �

0� 5

.� ��

� . R �

.� �� .I���

�I

:

.� ���

�������

:��

.� �� ������

:��

I4.� �5

��� (�

������ �� ���

<�����$� ��� ������� G Q ��$�.���$�.�

������� ��� ������� � 4G5 Q (� ��

���� � �� ���� G� �� ��� ������ ������ � ��� ������ �������� � ������ ���� � 4 ��(

�(5 Q � I ( ��� ���

.��� 4G5 Q �� @��#��� � �4G5 Q

� �. � ������ �

(

��( R������ �. � (� ��������� ����� �� � ������ ������ G� �

��� ������� � 4G5 Q (�

6 � ������� ��� ���� ��$�$

� G � � ��� ������� 4'�*A5 ��� ���

������ 4'�*:5 ����$ ��� ������� 4'�*,5� D���� �$

B4�5 0Q � I. R �

.� �

.� �

. R �� G

�������

:��

.� �� ������

:��

.� �

��

��� ������� 4'�*,5 �� ����#����� � ��� ������� B4�5 Q (� 7��������� �#��

B4��5 Q �

�4. R �5� � :�4.� �

0� 5

. R �RG

�������

.

I

:��

.� �� ������

:��

.� �

�� (�

B4�5 Q � I (� @��#��� B�4�5 (� ��������� ����� �� � ������ ������� ��� ������� 4'�*,5 ���� � ����� �$ �4G5 � 4��� �5� 7��������� �������#���#� � �����

��4G5�

.

.� ��R

G

4. R �5��

�Q ������

:��

.� �� ������

:��

.� ��

%���� G � ��$�$� ��� ������� �4G5 ��������� ��� ��������� G� ��� �������

G Q ��$�.���$�.�

����� � ��� ���� ������� � 4G5 Q (� �������� �4G�5 Q ���

���� �������� ��� ���� �

6 � ���� ������� ���� ��� ��������� � ��� ��������$ � ���������� �� � � Q � � (� "�� �"� � . �� ��� � ��� ��������� ���� ����� =�

������� � � � �� ���������� �$���� � ���#�� 4��� ����� 5� ���� �� Q � 0 ��� Q

.� ��� ����� �� ��� ��� �������� ��� � ���� ��� ������� ����$ � � �� ��� ������� ��� ����� ����� �� .� ������� " ���� ���� �� � ����� Q �� �$����� � - Q . � ������ ���� �

���� �� ������ � ��� ������ &.� ")� ����

Page 141: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ���

. � �"� ��� ��������$ ������ �� ���� �� ��� ��� � ��� ����� 4����� � �

���� 5

� ����$ �������� �������� ������ ��� ���� �� � � ��������� ���

��� ���������� �$���� 4��� ����� 5 ��� ��� #���� 4G� .5� %����� ���� ����

��#� ��� ����� ����� *�: �� ��� #������� ��� ��� ������� ������ �������� ������ � ��� �������� �������� � � � ������� � ��������� ��� ���G��4�

���� � (5 ��4�

���� � .� .5 #�� ��� 4�

���� � �

���� 5 � ����� ��� ������� �

���� ��� � ����� �$ ���& 4G�"5�

(�� � " � !� ��� ���� ���� ��� �������

���& 4G�"5 � ���

& 4G�"5

����� �� �� G �� - Q :� '� � � �

$ ��� =����� ��� � ��������$ � ������ �� " (� 6 � ��� ��� ����$ ��� ������� ���� ���������� � ����$ �������� ������� <����� � �������� ��� ���� � ����$ �������� ������ 4��

���� � ��

���� 5 ����

������ �� ��� �������� �������� ����� �

����

��� ��� ��#� ������ ������

����� ��� ���� ��� � .� ��� ������ �� ��� �������� ����� ����� �

����

������

��� ���� �� � .� � . ���� ��� �$������� ���� � ���� ������������� ���������� � ��� ������ �� � .� Q .� 6 � ����$ ���������� � ��� ������

4������ � ��

���� 5 ��� ������� � ��� ���� ���� �� - � :� =� ����� �� � ������

��� ���� � ��1#�������� ����$ �������� ������ 4 U���� U�

��5 ��� ���

����� 4������ 5 � 4 U��

�5� 4������ 5 � 4 U��

�5� @��#��� ��� ���� �U���

�$�� ������ ��� ���� �� � .� � . �� ����� �$������� � ��� ������ ��� %� ������� ���������$ �� ���� �� ��� ������ � ��� ������������� U��

� � �� � .� �.� ������ � � ����� . � ( � ����� ��� ���� � ������ 4��

�� ���5 ���

��� ���������$ ���4G�"5 � G��4��� � (5 ��4��

� � .� .5 ���� �� ����� ������� 4��

�� ���5 �� ���������� �� ��� �����$ ����� ��������� G��4��

�� (5 ��4��

�� .� .5 � G��4�����

�� (5��4�

����

�� .� .5� ���� �������� ��� ���� �

�� � Q �����

� ����� ��� �������� ����� ����� ��� ���� ��� � #������� �� � 4 ��� ��� ���� ������ .5� 6 � ����9�� � ��� �������$� ��� ������� ������ � ��� �� ���� ���������� ����� D���� �$ ��

� �������� ������� ��� ��� ��� � �$ 9��� � �������� ���� � ��� � ��� ���� ������� ��� �� � ��������#��$ �$�� � ��� �������� ������$ �������� ���� ���.� � .� �� � ��������$ ����� .� D���� �$4��

�5 ��� ������� ��� �����$ � ���� �� ��

� ���� ������ � ��� ��

(�� � " ��� ���

������

�.

4���5R 4

.

6�R

.

6�5 � .

�Q �4�� �� �5 R

:

*� +�

����� "�� � 6� �� 6� � ��� ����� ���"��� ������ �� �� ��� � �� ����� �������� ����� � �� �

Page 142: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 �� ������ ��� ��������� ������0

$ ��� %���� � �� � ����� ������ �� �� ������� �� ��� ����� �� �� @��#�������� �� � ������� ���#����� ��� �4�5 ��� � �� ��� ����� ����1�����?� ���� ����

�4�54� � �5���� Q &� R G4.5�

����4�54� � �5

�� Q �� R I4.5�

���� G4.5� I4.5 ��� ��9��������� ��������� ��� ���� � ��� ��� � �� ��������#�� 4(� 4�5 ���� ����

.��� 4�&�� � �G4.5�5 � 4� � .

��� 4�&��R �G4.5�5�

� ������� ���������$ �� ��� ����#� �� ��� ���� � ��� �� ��� ���� 44��5� ��� ��� �� ��� ������ � ��� ������������� �

�� ��� �� ���������� ��

4���5 Q

2 �

2

��4� �4��4�

�Q

2

2 �

��4�

4�

��

����� �� ������ 2 4,5 ��� 2 �4,5 ����� �� ��� ������� �������� ���������=� ������ ����

4�

4��

�.� �� 4���� � �I4.5�5

.��� 4�&��R �G4.5�5 �

.� �� 4����R �I4.5�5

.��� 4�&�� � �G4.5�5

��

@��#��� � ��#� ��� ��� �� ��$������ ����#���

������

�2 �

24,5� :

*�

+

,

�Q (�

���������

������

�.

4���5R

.

6�� .R

.

6�� .

�Q

Q.

*�

�����&�

���R :

*� + Q �4�� �� �5 R

:

*� +�

����� ��� ������ ���� �4?�� (�5 Q (� � ����#� �� ��� �������� � ��������� �

#$���� � " 5 & ��� ����� � �� �� �� �� ��� ��� �� ��� ������ ����� ��������� 4��4�5�� �� �4(5�5 ��� ��� ���� ��4I5 ��� �� ������� �� ���� ����� �� ��� �� �4(5� "�� ��4�5� #���� ������� �� ��� ����� 4�� �5 ���� � ��

� �� �� ��� ��� ������� � � &��� ��) � ���� �� ��� � ���� G �4�4G5� �4G55 �� ��(

�(

� G � G�� "�� � �4G5 � ��#��� � ���� + @ ) �� ���

������ %+ AA&� �4 ��(�(5 Q ��� �4G�5 Q ��� ��

Page 143: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ��4

�4G5 QG�4. R �5

+I��4.� �5�4. R G�5����

�:4.

G� G5

�������

.

G� ������

:��

.� �

���

��� � � ��� �� �� ��� ��� ������� �� &��� �5 � ���� �������� �� ���

�� ���

� Q�4. R �5�

�4. R �5����

�:������� �(

��( � ������ �$

��$�

� 0���(����$����(����$�

��

& (�� ���� �� ��� �� �� �� � ���� �� ����� ������� � �� ������� ��4I5 ��� ���� 4�4 ��(

�(5� �4 ��(

�(55 Q 4���

�0� 5 � ���� �� ��� ������

�� �4�5� ������� ��� ������

"

4.� "5�Q

.

I�� �

4.� �5��

& (�� ���� �� �� ��� ��� ������� �� 4��� ��) � ���� �� ��� �������� ��� ��� ��� ��� ��, � ���� � ��� ���� ��� ������ �� �������

&�.� �����.�����.� ) �� �"� ����� �� �� ��� � �� �����.�����.� � ��� ����� ��

��� ������� ���#�� ��� �2� ���� ������

4" R .5�4" � �����.�����.� 54" � ��.�

�����.��� 5�"�

"�4" � �4G554" � .��4G554" � .5�Q 4'�*-5

Q4� � �4G55�4� � �4G55����

��4� � �54� � .��54� � .5��

"�� � G � 4 ��(�(� G�5 5� � �4G5 �� �4G5 � �"� ���1����� ���� �� ���

������4.� �5�

�Q �:4.� �5

G����

"�� ��4G5� Q .� &4G5 Q ����$�.���.�$�.�

�& (�� ���� �� �� ��� ��� ��� �� 4��� �5 � ���� �� ��� ������� ������ ��� ��� ��, � ���� � ��� ���� �"� ������ � %"�� ������ �� ��� �� ��& ����� �� �� ��� � ��������� � �� ��� ����� E4G5 �� E4G5�� � � ��� ������� ���#�� ��� �2� ���� ������

4" � E4G55�4" � E4G55��"�

"�4" � �4G554" � .��4G554" � .5�Q4� � �4G55�4� � �4G55����

��4� � �54� � .��54� � .5�� 4'�*/5

"�� � E4G5 �� E4G5 � �"� ���1����� ���� �� ��� ������

4.� E5�

EQ �:4.� �4G55

G���4G5

"�� �E4G5� Q .

Page 144: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� ��������� ������0

��� , + @ ) .5 %���� ��� ����� ��4I5 �� �� ������� ��� ���� �45 Q ��� �� ��������� ��� ��� ������� ������� �4�5 � �� G � �� �� ������ ����� ��4I5�

:5 ������ '�A�* �#�� ��� ����� � �� �������� � ��4�5� #�� ��� �������4I5 ��� �� �4(5� 9���� �� �4(5� � &.�I�� .)�

$ ��� =� ����� ��� ��� ���������� ��� �������� ����� �� G � & ��(�(� G�)�

������ �� Q���(��( � &� Q �+� � Q ���$�.���

$�.� � ���� ��� ��3�������� �������

4'�*-5 �� ����#����� H��� � ��� ������� 74K5�K� Q 64L 5�L � ����� ���

������������� K Q ����� � L Q ���&��

& � ���� ��� ��3��������� 6 ��� 7��� ��9��� �� 4'�+'5 ��� 4'�AA5� 6 � �������� ��� �������� ��4K5 ���D�4L 5 ���� ��� ��� ������ ��� ��� ��

� ��������#��$ �� ��� ���� ���������� � � &(�5� �$ 4'�+/5 ��� 4'�*(5� ���$ ������$ ��� ���������

� ��4K5

��4K5

��

Q +*�64K5�K��

��D�4L 5

D�4L 5

��

Q +*�74L 5�L ��

���� � �������� ��� ��� " Q ��4�5 L�� Æ D��� Æ �� Æ K4�5 � ��� �1

���� ��� �� �&

��� ���� ��� ��� �� �������� ����$������$ �$ ��� �������

4'�*-5 ��� ��� ����� ��� ����$��� ��� � ��� ���H����$ � ��� ����1����

���� ��3�������� �� 4'�*-5 �������� �4G5 ��� �4G5� 7��������� ��� ����#�1��#�� ��� ����� ��� ������ ���� '�A�:� � ������ ���� ����4(5� Q �4G5�����4.5� Q I� ���4�5� Q �4G5� ��� ���� � � �� ��� ���� G� � G � � ������ ����

�4G5 Q�4G5

�� 4. R �5�

4. R �4G55�� ���

�:

G

�������

:��4G5

.� �4G5� ������

:��

.� �

���

��� � ��� ����� ��� �������� ������ ����������� G �$ ���� '�A�:� �� � �� �� ��������$ ��� ��� ��� ����� ��4I5� ����� � ��������

������ 4���� �

��5 �� ��� ������ ���� 4G� �5 ��� ������ �� �

���������� ������ 4�4���5� �4�

��55 �� ��� ������ ����

���& 4G� �4�55

�� ��� 4-5� ���

G��4���� (5 � �4�

��� .� .5 R

G�

:*� �� �4(5� � +

*� I Q 4'�,(5

Q G��4�4���5� (5��4��

��5� .� .5 � ���

& 4G� �4�55�

%���� �4G5 ��������� �� G � &(�5 ��� �� � �� ��� �� Q �����)��0�

��4�5�� ������� G� � &(�5 ���� ���� �4G�5 Q ��4�5�� D���� �$ 4 U����

� � U����� 5 ��� ��������

���� � ������ �� ��� ������ ����& 4G� �4�55 ��� �$ 4 U��� U��5 ��� ��������

���� � ������ �� ��� ������ � ���& 4G� �4�55� �$ ���� '�A�'� � ��#�

���& 4G� �4�55 �

���& 4G� �4�55� 6 � ����$ �������� �$����������� � ���

Page 145: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��,# � %'+��� A�& &� #-' #$ !�$�,#�,�� ��(

������ 4 U��� U��5 �� ��� ��� �� �$� D���� �$ U��� ��� ����$ ��������

����� U�� � �"� � .�� 6 � �������� ��� ������������� U��� 9��� �

���� � ��� ����� U�� ���� ����� ��� ��� ���� . �$�� ����� ��� �����" � .� � .� ����� � ����$ �������� �$����������� �� ��� ����� �$ � �������$ �������� ����� U��

� ��� ������� � ��� �����#� ���� ����� ��� ���� ������������� U��

� ��� ������� � ��� �����#� ���� ���� 49��� � ��#� ��������� ��� �$������� ���� � U��

� ��� ������� � ��� ���� ������ ��� ��������$ �$����������� � ��� ����$ �������� ����� �������5� D���� �$4��

� � ���5 ��� ������ � ���� �$����������� �� . � (� M��� ���� '�A�+�

����� ��������$ ���������� ��������� � .� � ����#�

G��4 U��� (5��4 U��� .� .5 � G��4 U��� � (5��4 U��

� � .� .5� 4'�,.5

�� ��� ����� ��� ���� 4��� � �

��5 �� ���������� �� ��� ������ ����&4G� �4G55�

���������G��4 U��

� � (5��4 U��� � .� .5 � &4G� �4G55� 4'�,:5

����� ��� ������ ��� �������$

&4G� �4G55 Q G��4���� (5��4�

��� .� .5 R

G�

:*� �4G5� +

*� I�

��� ����� � ������������ 4'�,.C'�,:5 ����� � ��� ���������$ �� �4(5� � �4G5���� ���������� � ��� �������� ������� �� ��� � ��� ��� ���������� ���� �������� ��9������ �� ��� ������� &4G� �4G55� �

��� ������$ ���#� �� � ��� ���� � ��� �$���� � ��� �������1��� 4��4�5�� �� �4(5�5 �� ��� ����� ��4I5 ���� ��������� � ��� ������ ���� �� �4(5� ��� ��4�5� 9��� �� ����� ���� �� ��� ������� � ���� ������� ��� ������� �� &.*-)� &.*/)� ��� �������� ������� ��� ������� �� &.*:)��� ����� �� ���� ��� ������� � �� �4�5� �� ��� ����� ��4I5� ( � � � .� �� �#���$ ��� �������� ������� �� � ���� � ��� ���� ������ ������ ��������� �������� �� � � .�

2������$� ��� �$����������$ ��#�� ���#����� �������� ��#� �����#������ �������� 4��� &/A)� &//)� &.*,)5� D������� ������� �� ��� �� � 1���� �������� ��� ������� �� &.*,) �$ ��� ������ ����� �� ���� ����� ����#����� ���������

Page 146: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings
Page 147: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� ������ �� ������� ������� ���

������������� �������

7�������� ������� 4E� E� ��������FG &.*)� @� %���3��� �� %����� &.:.)� %� ?�������&,.)5 ����� ���� �� #����� �������� ������� � ������� ��� � �������� ����4��� ������������ ����5 �� ����� ����� ���� ��� �#�� �� ����� � ��������������� � ��� ��#���� ���� <� ���� ���� � ��� �������$ ���� ����� � ��1����� ������ � ��� ������� � �#��� �� ��� ��� ���������� ����� ������������� ���� ��� ������ � ���� � ���������� ��� �� ��� ������ �� ����� ������ ��� �#�� ��$ ��� ���������#� ��������������� �����$����� �������� ������ �� � ������������ ���� %� � ��H� ������ �� �������$ �� ����0 � 9�� � ���������� � ��� �������� ���� �� ����� � ������1��� � ��� ������ ��� ��� ��� ���������� �� �� �$ ��� ������� ����������� � ��� ����� ��� #���� ����� �� �$����� � ���������� �������� ��� � 1���� �������� �� ����� ������ ������� � ������������ �����;��� �������� ������� ��� �� ��������$ ������ �� �#��$ ������$ ���� ���� ���� �� ��������

��� -������ ��� ����� � �� ������ �$������ �� &����

� � !������������ ������ �� '����� ��������

��� ������� ���� �� ������������ ������� � ������ ������� �� � ��� ����� �� � 4������$ ����� � � 5 ��� " Q �4�5 �� � ���������� �� �� � ����� �� � � � =� ��9�� %���# ������������� ����#���#�� ��

�� 0Q��

�S�Q.

:

���

��R �

��

��

�P � 0Q

��

��Q.

:

���

��� �

��

��

��

���� ��� �����$ ������ ���������� � �� � Q � R ��� � ����������� �� ���� � �� ������������ �� � �� ��� ������ #����� ������� M� 4�5 Q���� �����9�� ��� ���������$ �M� 4�5� � . �������$ ����� �#��$ ���� ���� �� �M��� Q ��� ���

���M� 4�5� � , � .� ���� ��� ���������� � ��

���� � �� �1������������� � Q 4. R ,5�4. � ,5� ��� ������� M� 4�5 �������� ��� ������ �������������� � ������� � ������������ ��� �� ���������� ���������� ������ � ��� �������� �������

"� Q M� 4�5"� 4+�.5

Page 148: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� <������������� ������0

���� ������ �� ������ �� � � ������� ����������� � ����� ����1��� ����������� 4�� ��������� ����� ������$ 9��� ����� �� � �����$�������� �����5 ������� ��� ���������� � ��� ������ � 4+�.5� ��� ���������������� � ��������� � ������������ ���� ��� �� �����$ 9�� �� &/)� &.*)�&+')� &+A)� &,.)� &,A)� 2������� � ��� ������� ��9����� � � ��������������� �� ��� ������� ��� ���� � ��� ������ � � �����$ � ���#�� �� ������ � ��� ���� � ��������������$� � ����� ������#�� ����������� � � ����� � �� � ������� �� ���� � �� ����������� �� �� �� ����$ ����$ �������� �$������� ����� ( � � ��� ���� 4�4(55�4(5�� ������ ��� ��� ��� �� ���������$ �� �����9��

4(5

�� 4�4(55 � �4(5� 4+�:5

���� 4(5 �� ��� ������ � ��� �����$ � ���#�� ���� �������� ��� ����1��$ �������� � (� ��� ���������$ 4+�:5 � ���� ��� ������$ � ������ ��� � ��� ������� � ������������ ��� �� ������� �� ��� ��$ ��� Q . 4� , Q (5�

=� ��� ������� ����� ������ ������� � ������������ ����� ���$���0 ��C � ����� � ��� �1������������ ����������� � � ����������� �4(5 Q (� �4.5 Q .� �45 Q P ��C � ����� � ��� �1����������������������� � � ��� ��� ����������� �4(5 Q (�

�� �������� ���� � ��� ���� �� ��� ���������� � � ��������������� � ��� ���������� =� ��� ��� ��������� M� 4�� ;5 ������ � � � � ���; �� ���� � ������P M� 4�� �5 �� � ���������� ������� ��� ������� � ���M��� � .� �� M� �� -1��3���������� ��� ������� � � ��� ��� -1�� ����#���#��� ������ �������� � ���� G � 4(� .5� ���� � ������������ ������ �1 ��� � ��� ������� 4+�.5 �� 4-R.51��3���������� ��� ��� 4-R.51�� ����#���#������9�� ��� ���� ������ ������� &.*)� - � .� ����� �� ���� ������ �����1 �������� � �������� ����#���#� ����#�� M �� ��������� � �#��� ��������� ����� ��� � ��� ��� �4�5 Q �4. � � ���5� �4(5 Q (� � � � � ������ �#�� �� �������� �������� �� � Q (� E� E� ��������FG &.*) ��#�� ���� ��������� M ������� � ������ �������� � ��� ��$ ( � G � .�

��� ���������� � ��� ��������� ; �� ���� ������� �� M4�� ;5 �� � ��3����1������ � �������� ������� ��� ������� � ; 4�� ��������� �������� �������� ;5� ���� ��� ������� �1 �� ��� � ��� ���� ������$�

6 � ������ ��� ��� ��9����� � ��������������$ �� 2��������������� �� �� Q ��B� ��� �� � ������������ ���������� � � � ���" �� � ��������� � ��� ��� ���� �� ��������� ��� ��� <������� ���B�� ���� ���

�"4�4�55��4�5��4�5

Q �"4�5� �� � � B��

=� �������� � <������� ��� �$ ��� ���� B Q Æ B� Æ ��� ����� ���2������ ������� � Q ��B ������� ��� ��� �� ��������#� ������ ����� Q F Æ Æ F��

� �� � ������������ ���������� � �� �� � ��� F � F�

Page 149: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� 0��$# �%�$�#�� #! ���� � �.$��# �$�: ��� ���

� �

!!��

�� �

��� ��������� ��H������� ��� ��� � ��� ��� ���������

M� 4�5 Q �"4F��� 4�55

4F��� 4�55�

4F��� 4�55�

�� ����� � � ���� ��������� �� ��� ���� B� ��� B ��� ��� ���� ������������ �� ��� �������� F�� F ��������#��$� � ���������� �������� �� ��������� Q� � ��� <������� ���� B� � B� D��������� �"

��� ��� ���� ���� �4B�5 � ��� �������� ��3��������� �� ��� ��� ����� ���� �������� ��3��������� �4B�5 � 9���� ��� ���� ���� ��� ��#������ ���������� � ��� ������ ��� B��

��� ���������� ��� ��� � ���������� ��������� �� ��� ����$ � ���1��������� ������� ���$ ��� ��� %���# ���������� �1��������������������� ������� � ��� �������� ������� 4+�.5 ��� ��� ���������������

M� 4�5 Q ,64�5

�64�5� � , Q� � .

� R .� 4+�'5

���� 64�5��� �� � �������� ��������� ��3�������� � ��� ��� ��#������� �� ��� ������������B�� ����� ����� ������ � �������� ��������� ���1��������� 74"5�"� � �4��5� ���� ���� ��� ��#���� ��� ��� ��� ���������M���4"5 Q ,74"5��74"5�� ������������ ���� ��� �����$ ��� ��� ��� ��19��������� ������� �� ��9��������� �������� ��#�� ����� �� ����1���� ���� ������ � � ���H����$ � ��� ��3�������� 74"5�"�� ��� ���� � ����� ��� ����� ���� � �������� �� � �� ��$ ���� � �� ��3����� ��� ��������������� � 6�

=� ����� �$ �4�5 � ������� ��#����� � � ������������ ��� � ������������$� ����� �4�5 Q 4.R �M���5�4.��M���5� �� 4�� �5 �� � ������4 ��� ������� � ��5 2������ �������� ���� � �� � ���������� �� � ����� ���������� � �� ����� � �� � ������������#� � ��� ����$����� � ����������� � �� �� �� � ���������� � 0 � � �� �������� ���������� � ��� ������ 2������ ������� 4�� �5 �� 4��� � �5 ����� � Q �� � �� 4�� �5 ��� 4��� � �5 �� ������$ ������� ������ 2������ ��������� �$�� 4�� -� #5 4��� ��������� ��� �$�� � ������ 2������ �������� ����������� �$ ���� � 2������ ��������5� �� �� �� � &.-) ���� ����� ��������������� ���� ��� ��� ������ ����������� � 4�� �5 ��4��� � �5�

� ����������� ������ �� ��� ����$ � ������������ ������ �� ��1������� �$ 8� ������������ &.A() ��� ������$ ��#�� �$ � ������� � ����&..)� ��� �$ ������ ����� �$ %� ?������� &,.)� �� ��� ����$ ����� �

Page 150: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� <������������� ������0

����������� � 4�� �5 �� 4��� � �5 ����� �� � ������ ������������ ��� ���� �� ������ ������� 4,4�5 Q (5 � ����� ��� ���� , ��� � �����������3�������� 64�5���� ���� ��� ������ ��������� � ���� ��� �� � ��� ���4+�'5� �� ����������� � ��3����� ������������ ���� ��� ��#�� ������ ����� �����

������ ������ ���� ��#��� ������������ ���� �� �������� ��� ��������������� �� ������ ������� � ������������ ����� �� �� �������� ����1������ ����������� %����1E���16�#������� ������� �� % �� � ����� ����� � � ����� � ��� � � �� ��� � � � � �� �� ��������� � �� "�� � � � � "� ����������� � � ��� "�

� � � � � � "��� � � � � � "

�� � � � � � "

��� � � � � � "

��� � � � � "

��� �� ������

�������� ��� ������ ������� � ���������� � � ��� ��� ��� ����� %����� ���� �� ������ ��� #����� "� � + Q .� � � � � - �� ��� ����� �� ��� ��

��� ����� � ��3������������$ � ����4��5 Q "��� 4��� ��� �� ������� � ��

������ ��3���������� �� �� �� �� � .5� �� D 4�5 �� � ��������� 4� � �$����� ����������5 ��������� � ��� #����� � � ������� ��� ��� ����#���#�� ����� ����� �� � ����� 9���� ��� �������� � ���� ��������� 4� ��� ���� �� �$���� � ����������5 �� ����#����� � ��� ��������$ ������� � ��#������$� ��� ��#� ����������� �������

��� ���� ������� � �������� ��� ���������� ������ � ���������� ��� ��$�� �������� � � ���#����� ������� ���� � ������ ����#���� ��� #���� � � ���#����� ������� ��� ��� #���� � ��� ����#���#� �� � ����������� � ��� ��� � ��9������ ��� ���B� ������� �� ��� ������� ������� ��� ������������ ����� � �#��� �� 9��� ��$ �� ��������$ ����#��������� ���� ��� �� ��������� ���������� � ��� ���� � �4�5 �� ��� ������� �� � ��� @�� ������� ��� ��� ������ �� ����� ����� �� �� � ��$ ����������#� ���������� � ��� ��#���� ���� � ��� �������� ��� �$ #��������������� &.A)� &.*)� &,.)� ��� ������ ����� ������ &:*)�

=� �� ���� � ������ �� �� ������� ������� =� ������� ��� ����������� �� � ������������ ����������� � ��� ������ ����� ��� ������$ D 4"�� � � � � "���5 � �������� ������� � �

��� � ��� �������

�����7�

2� D 4�4��5� � � � � �4����55

�� � �� ���� �� ��� � � � � ���� 9��� ��� ��3����� ��� (�.� �� �� �� � &.A)�&.*)� &,.) ���� ��� �������� ��� �� ������������B� ��� ��� ��#���� ��� �����9����� �������� ������� � �& Q M���4"5�& ��� ��� ���������

M���4"5 Q ,'�874"5

�74"5� � , Q� � .

� R .�

74"5 Q

�������

�D

�"�

"�4"� � .5

"4" � .54" � "�5� �� " Q ��4�5� "� Q ��4��5�

���� �������� ������� ������� � �� � ���� � ����������� ����� ����������� ������ ��� �� ��#�� ��$ ���������#��$� ��������� �� ���� �3��

Page 151: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� 0��$# �%�$�#�� #! ���� � �.$��# �$�: ��� ���

���� �� ��������� � � ����� � 9���� ������������� � �������� �����$ ��� ��������� � ��� ������ ����

��� ���������� ����� � ���� ��������� � ������� � 1���� ������������� ������������ ���� ��� �� � ���� ��� �� ������� � ��������� ����������� ��������� � � 9��� ����� ��� ��� ����� ��� ��$ �� ���������#��� � ���� ���������� �� ��� ���� � ��� ����� �� ����� �� � ������ �$%� ?������� &+)� �� ������� ���� ����� �� ���� �� . ���� �� ��� � � �� �. � � � ��� ��� �� 9��� ����� ��� �� � � �(� .�� ��R�� Q .� ��� ����������� �� ��� ��������� ���

��7���4��5� �4��5� �� ��� ������������ ��� ��� ���

���������

M� 4�5 Q ,'�864�5

�64�5� � , Q� � .

� R .�

���� 64�5 Q ����&�4.� �54� � ��54� � ��5)���

���� ������� ����� ��� ��� ���������� � ��� ������ ����� � ������������ ������ �� ��� ������� �� � �� � =� �#������ ��� ���� � ��� �$����� ���������� 4��4��5�� ��4��5�5 �� 9��� ���� #����� �� ��� ��� <�� ����������� ������� � ������ ��� ����� ��������� � �����������

� � -����$ ��� ?%����� ���������)

=� ����� ��� � ���1�� � ������� ����$�� ��� ������ ������ ���9��� �� �� ���� ��������� � � �� � ��� ������������ ������������ ��� ���� ���� � �

#$���� � � ,��������FG &.A)� &.*)� ������� E>��� &A/)5� ��� � �� ���������� �� ������� ���� �� ��� ��� ��, "�� ��� ��������� ���� ?��� � �� ��� ���� �� �����

J��4�J4���55 � ��4�5� � J��4.

�J4���55�

"�� � J4;5 Q 2 �4;5�:2 4;5� ( � ; � . ��� ������ ��� � ��� ������� ��� ������� � ����� �� ��� �����

��� ��� ��-�� � �� �� ���� ��� � 1���� �� �� ��� ��� �� �2� ����� 64�5��� Q &�4���54.��S�5)����� %�� � �� �� �� ��� ���� � ���� " Q

�64�5��& ��� ��� ��� ��� �� �� ��� �� ��� ������ ��� �

��� �������� ��� ������ �� ��� �2� ���� 4�64�5���5 ��� , 9 * * =� ��#� � ����� �� ��� ������ J � ��#� ����� ��� ����1���� ������ 4��� &/.)5 �� ��� �������

M4;5 Q*

:� 2

�4;52 4;5

���������� ��� �������� ������ �� ��� ������ ���������� � �� ����� ��� ��� ��#������ � ����� �� ����� D���� �$ !�4;5 0Q J��4 �

�J4;55� <�

���� �������$ ��� ������ �������� 4!�4;55� � .*��

�� � ; �

� ��� �� ���� �� ���&*)�

Page 152: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 �� ������ ��� <������������� ������0

6 � ������ ��� ��� ��� � ������ +�.�.�

$ ��� =� ������ ��� ������$� D���� �$ �� Q !�4���5 �� � �� � ���������� ��� ����� �� ��� ��4�5� � ��� ��� ����$ �������� ����� � Q� � &�� '� �� 5 ��� ��� ������

4�5 Q.

:J4���5�

�� �� �� � ������ � �������� �$����������� � ��� ����� �4�5 ���������� � ��� ���� ��� ��� �����#� ���� ����� ����� 4�4�55 � 4�5�<� � ������������ ��� ��� �� ��� ���������$ 4�4�55 � �

�4�5����� ��� ������ �������� ��� �� ��� ������������ ��� ���� �������� ����� ������ ��� ��� ���H������� � ��� ��������� ��3��������

64�5��� Q���

�4� � �54.� �S�5�

@��#��� �� � � � &(� ��)�� ���� ������4��5 � ��J4��5� ��� ��� �����

� ����� ������������ �� #���� ��$ �� ��� ���� �� Q ��4�5�� ��� ���������� ���� �������� ��9������ ��� ��� ���������� � ��� �������� ��������������� ����$ ��� ���������� � ��� �������� ��� �� ��� ������ �� � �������

��� ����1���� ���� ���������$ ��� �� ������� ������� ��� ��� ���������1���� � � Q � � 4�.� ()� &�� .5�� ���� � Q ���� %$����������� � ��� ������4� �5 $����� ��� ���������$

2 4�5

�2 �4�5� 2 4��4�5�5

2 �4��4�5�5 ���� �� ����#����� � ��� ���������$ �� ������ +�.�.� �

��� ���� ������ ����� ��� ��� ������$ ������ ����� � ��������������� ��� ��� �� ��#�� ��������$ ���� ��� @�� ����� 4��� %����� :�+5� � &(��5 � '��� �G�: � ) � G�:���#$���� � � ,��������FG &.*)5� ��� � �� ���������� �� ������� ����� �� ��� ��� ��, "�� ��� ��������� ���� ? �� ��� � � �� ��� ���� ��� �� ������ G �� ����� ���� � � �� ��� ��� � ��� �� ������ I �����

I � + ������&!�4���G

+5)�

��� �������� ������� ������� �� ������� ��� �������� �� ��� ��� ������ ���H������� � ��� ��������� ��3�������� ��� ������ ���� �� ( ��� �� ���������� �������� � ��� ��� G�

6 � ����>$ ������ ��� ���� ������� ���� ��� ��#����� � � ��������� � ������������ ��� � ������� ���� ���������� ����� ���� � ����� ��� ������ ����� ��� ������ ��� ���� � �� ���

Page 153: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� 0��$# �%�$�#�� #! ���� � �.$��# �$�: ��� ��4

E� E� ��������FG &.*) ��� ��#�� ��� ����� ��������

��4�5� �� � @��4.

�@4���55� ����

���� @4;5 Q :J4�;�4;R .55� �� ��� �������� ��� �� �

��� ������� ������� �� ��� �������� �������� �� ������� �$ ������������� ����� �$ %��� D�1%�� &.:*)� �� � � �� � ����� ��� �������������

��4�5� �� � � 4.�+5

+*����

���� ���� � 4�5 �� ��� ;���� ����1��������=� ��� �������� ���� �� ��$������ �������� �$ E� E� ��������FG &.*)� ��

� � �� � � Q . R . �� � ����� .� ����� ��� ��$���������$ ����� ��������

��4�5� �� � .-

*

���

2 4;�5�; � +�A.

�����8�� ��� 9�� ������ ������� �� ������������ ����������� �

��� ������ ����� �� &.*)� &.:*)� &/.)�=� ������ ���� ��� ������� ������� �$ ��� ������ ����� ���� ���

�#���� �� &/)� =� ��� ��� ������ � �� ����� ��� ���� ������ 8�� ����� ����� ��� ��� ������ ��������$� � ��������� ������ �� ��� @�� �������

#$���� � � ,@�� &.(:)5� ��� � � �� ����� �� �� ��� �� � � ��������"�� ���� ����� ������� � ���

��4��5� �4��5� � .*��� � ����!� �8�� ��� 9�� ��� � ��� �$ ��� ������ ����� �� &/)�

� ������ ������ �� � ������� ��� ������� ������� .* �$ � ������#�������� ��������� � �� ���� ����� � 9��

4�5 Q ��� ��4��5� �4��5���� � ����!� P � � �� P ��� �� � ���

8�#����$� �����

4�5 Q .*� 8� ���� ?� !������� ��H������� 4&/.)� ���

*-5 ���� 4�5 Q .*���!� � ������ ������ �� � ��������� �� ���� � ���@�� ������ �� ��� � �� �������� � ��4��5 � �4��5�� E� E� ��������FG &.*)������� ��� ���������$

��4��5� �4��5� ���� � ��

+-

��� �;���������� ��9��� ��������� � 4�5 ��������� �������� � #����� ���1���������

Page 154: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� <������������� ������0

#$���� � ,=�� 7����1<�� &.,A)5� ��� � � �� ����� ��� �����"��� ���� ����� ��������

+��� ���� � ��4�5� � +���!� ����!�

����

���� �������� �� ��� ���� �� ��� �$ E� E� ��������FG &.*)� 8� ����?� !������� &/.) ��� �� ������ ������ �$ !� %����# &.::)� &.:') �� �� �����1����� � ��� ����� � ������������ > �� �� ��� ������� ��� ��� ������� �������� .� ��4�5�� � .*���!�4.� ����5�!� �#$���� � " ,%����# &.::)5� .*���!� � 4�5 � .:+���!�

� � !������������ ����� �� � 3�������� �� ������

���� � ����$ ��� ������ ����� � ����������� ������� ��������� ���� ������ � ��� ������������ ������ � ��� ������� � ��#����� � ������������� ���� � � ��������� � ��������� � ��� 2������ �������

�� �� Q � � (� .� �� ��� � Q � � (� .� "�� ���� � .� "� � � � (� .�� �� �� ��� � � � �$ ��� �������

F4"5 Q

&��"�

"4" � .54" � "�5�

9��� � ������ � ��� ��� D���� �$ ��� �� ��� ������ � ��� ������� F

��

���� ���� �� (� �� �� (� �� ��� ���� � Q �� ��� ������ ������� F�4�5���� ���� ������� �� ��� ����� � ��� ������ �� � 4��� %����� :�'5� ����

� Q :2

��� � .

�� � Q �2 �

��� � .

��

D���� �$ " Q �4�5 � ������������ ���������� � �� �� � ��������� �������� �� �� Q � � ����� ��� ����� (� .� ��������� ����� ���������� F Æ � Æ F��

� ���� ��� ���������� ������� � ������ �� � �� �������������� ������� � ������ ���

��� �� 3 Q � � -� R��P-���� ��

��� 3& Q � � -�� R ���P-���� ��� =� ������� ��� �������� ��� �����$ ������� ?� � ������������ ����������� � 0 �� � �P ? Q�?� � ��� ����� + Q . ������ � ��� ����� � ����������� ������ �F�� Æ � Æ F�� ���� � �� �� �Æ�� ��� � ��� ������� � ������ � 3 ����� ������� � ������ � 3&� ��� ������������ ������ �� � ����$ ������ ������� ������� � 9���� ��� ��9��� � ��� ��#����� �4�5 #�� ������� ��� ���� ����$ ������

=� �������� � ������ �������� ��� ��� ������������ ������ ������ ���� � � ��������� � ������ 6����$� �� ���� � ����� �� � �1������������ ��� � �� �� �T ���� ������ �� ��#�� �$ � ������ �$��� �������� ����� ������

Page 155: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� 0��$# �%�$�#�� #! ���� � �.$��# �$�: ��� ��(

#$���� � 5 ,������ &/)5� !� �� �� � �4�� "�5� ���� ��� � ����� ��

�������� �� �� �� �� ���� � "��� � ��������� � ��� ������ �� (� .� 5� � �4�� �5 � ��� ����(������ ��� � � ��(� .� ��� ������ ��� ������ ���� �� ��� ���������� �� ���������� �� � �� ? ���

<� ��� � ��� � ���� ����� � &/)��������������� � ���� ������ ��� ���� �$ %� ?������� &,A)� 6 �

������� � �������� ��� � ����$ ������� � �� � ������ ��� ���� ����������� ����� (�. ��� "��� ��� ����� + Q . ������ � ��� ����� � ��������� � � � ��� ���� ��� ��� ������ &(� .)� =� ����� �$ �4� ��5 �4"�5 ��� ���������� ������� �� �� 0Q � �� �� ��� ���� "� Q �� =�

��9�� � ���#� � � �$ ��� ������� #4(5 Q " 0 #�&�#�(� Q (�� ��� ����� �

���� ���#� �� �� � �� %����� '�+�. 4� ��� &,-)� 7�����$ A�'5� #4.5 ���������� ���� �� =� ������� ��� ����$ ������� ? � ���� �� �� �� ������ �� ������ �� ������� �� &.A.)�

#$���� � 9 !� ��� ���� "� � ������ �� ��� ���� � �� ��� ������ ����,�"�� � ����� �� #4.5� ���� ��� ��� ���� � ��� ���������� � ����� � ������ �� ��� �������� ���� ?�� � �

�����9�

�4�5 Q �����9

�4�5 � �����9�

�4�5� + �Q .�

$ ��� �� �� ������� � � ��� �����$ � ������ ��� � � � ��� ���� ����������� ��������� (�. ��� "�� � ���� �����$ �� ���������� �$ ��� ������F4"5 � ��� �����$ � ���#�� �������� � 3& ��� ����� 1

� ��� 1�R�� ������� ������ � 3& � ��� ������ &1�� 1�R��)� ��� ������ � ���� �����$�� ����� � �� : �

� � ���� /� Q "��

"��� ��� �������� ������ �� ;��������� 7������

� �������� ������������ � ������ � 3&� ������ ��� � ����� ���� ��� ������9����� � ���� ����� ������ =� ��� ��� ��9������ �������

�$ ��� =���������� ������� 941������� ��5� �� � ������� � ����� � ����$

�������� ����� � ���� �� ���������� �� ��� �������� �������� � ���2������ ������� � ��� ��� ������ � ��� 9��� �$��� ��������� ��� �������$ ����� � ��� ����� �4"�5 Q4�5 Q �4� ��5 � �� : �

� �=� ���� ��� � ������������� H4/ �5 ���� ��� ����������� � ���

����� ����1����� �� / � (� ��� ���� ��� ��� �#���� ������������� ����� ������� �� ����� �� � ��1�1�� ������������ &/) ��� ��� ��� ��1��$ ������� � ���� ?� ��� ��� ����������� H4/ �5� ��� ������ � ��������������� ������ ���� ��� ������� � ��#����� �� � ����$ ����� ����� �� �#�� �$ ��� ������

�����9�

�4�5 Q ���4:�4/� H4/ �55�

���� �4�� �5 �� ��� �$������� E�����K� �������� �� ��� ����� ����1������ ���/ Q "�

"�� <� ��� ������������� H4/ �5 ��� ���������$ �� H4/ �5 � �� / � ����

Page 156: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��) �� ������ ��� <������������� ������0

��� ��� �������$ ��� �� �������� ��$ �� ��� �������$� 8�#����$� �� ��� ���1���� �� � ��#� �4�5 Q J4.�

��5� �� ���� ���� �� /�: Q �4�5� ��� �������

� ��� ������ ���� ��� ���� "� ���� � � ���� � ��� ������ ����1 ��� ��1������ � ��� ���#� #4.5 ������� ���� ��� ������ �4"�5 ��������� � �4�5 ��� � ������ ��� ���� � ��� �������� ���H����$ � ��� �������� �����������3�������� �� �4"�5 �� � ��� ����������� ��� #4.5 ���#�� ��� ������������ ��� ��� ��9���� �������� ����� ��� ���������$ �4�5 �4"�5 �����=� ��#� ��� ���������$ �� / � �� / � � �� H4/ �5� ��� ��� 4� � /54� � S/5��

����������$ �� � ��� ���������$ �4/� H4/ �55 � �4/� / �5 ��� ��� �������$ �����$ �� ��� �������$� �����

����

�����9�

�4�5 Q ���4:�4/� / �55 Q �����9�

�4�5�

���� �������� ��� ���� �

��� ����� � ����������� �� �� ��9��� ��� �� � ? �� �4�5 � ��� � � ? � 8�#����$�

�����7�

�4�4��55 Q.

�J4.�

��5� ���

��7��4�4��55 Q �J4.�

��5�

��� �������$ ��� �� �������� �� ��� ������� ��� �� ��������#��$ ������$����� �������� ������� ��� ��� ���������

M� 4�5 Q �, 64�5�64�5� � 64�5 Q.

�4� � .54� � �5�

����� �������� ���� � ��� ����� ?��D���� �$ R 4�5 ��� ��� � ��� ����� "� ���� ���� ���

��9�4�5 Q �� ���

�$ R�4�5 ��� ��� � ��� ����� "� ���� ���� �����9�

�4�5 Q ��

����������� � � ��� ��� R 4�5 � ��� ����� � �� ��� ��� �� �4�5 ���� ���� �� !� � ��� ����� � �� ��� ����(������ ��, C � ��(� .������ �� � � "�� ��� ����(������ ��� �

� ��

$ ��� �� ����� ��� ����������� �#�� ��� ����� � R 4�5 ���� � �� ���� R 4�5 � C� �� ����� �� � ���� "� Q ��4�5 �� R 4�5� "� �� �C� ���������� �� �� � � ���� ���� ��� ���� � �4�5 �� ��� ����� ��� �� ��� ��1;�������� ���� C� � C� ��� "� � �C�� ��� ������$ ����� � C ��� �#���$ ��� �������� ��� �4�5 Q �� ������ �4��5 � � ��� ���� ���������� �����9����� � R 4�5� 6 � ��#� ���� ����� �� � ���� �� �C ���� �� ����� R 4�5� ������� �� ����� ��� ���� �������� � �#�� ���� ������ �����4�5 �� ��� ��� �������� ��� �� �� ��� ��� ����� �� � ���� ���� ������� �

Page 157: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� ���

#$���� � < ��� �� �� R�4�5 �� �������� "�� ������ �� � �� ������� R�4.5 Q �� � � ������ ���"��� ��� �� ��� #4�5 �� #4.��5 R�4�5 �� ����� ������ ���� "�� #4�5 � ��� �� �� �� ��� ��� � �� � R�4�5�� R 4�5 ��� ����� ������ ���� "�� #4.��5 � ��� �� �� ���"���* �� �

$ ��� �5 R�4�5 ��� #4�5 ��� ����������� �� � ������ ����� ������� ��� ������� �� ����� � ����� "� ��� "� � ��� ������������ ��� ���

��7��4�4��55 Q

��4�5 ��� ����� ����� � �������� ���� ���� ��4�5 Q "� � R�4�5� ��4�5 Q"� � R�4�5� ��� �� � ?�� ���� ��������� ��� �� � �� � �� ��� ���� ����"�� "� � #4�5 ����4"�5 Q �4"�5 Q ��4�5 ���� ���������� ��� ����������� ��� �������� ��� ��� ������� � ��� �������

�5 6 � ��#� ���� �� 4R�4�5� #4�55 Q (� ��� �������� ��� 4�� ��������� �4"�55 ����� � ��� ����� ?�� ��� ��������� ��� ���� � ��� ������� "� ���� ���� � ��� ���� ���� ��� #4�5� �� ��� ���� ����� �� �� ��� ��� ���� ��� R�4�5� ���� ����� ��� �� ���� �� � � ���� "� � R�4��5���� R�4��5 � ���R�4�5� ����� R�4�5 ��� ��#� ��� ���� �� ���� ������������ ��� #4�5� ���� ���������� 4�5�

�������$ �� ��� ��#� ��� �������� � ��� ������ �� ��� ���� ������������ � R�4�5 ��� #4.��5� ������ +�.�, $����� ��� �������� ����R�4�5� �

��������) � � .���� ��� ���������� � ����� �� ��� ���� ?� �� �����&�

Q �����9�

�4�5� �4�5 Q "� ����� ���&�� ��!��

��&�

Q ���&�� ���

��&�

Q � "��

��� ������ ��� ���� �� ��� ��� ������� �� R�4�5 "�� #4�5 �� #4.��5

��������) � � ������&�

Q ��&�

�� "� � #4.��5 �����9�&�� ��!��

�4�5 Q

��������) � � !� �"�� � � .� ���� ��&�

� ���&�� "�� ��� ������ ���

���� �� "� Q �"��

��� '( )� ��� ��� ��� � � � ������ �� ���� ���� � ���

�����

��� ���� ������� � ���� ������ � ������ �� � ��������

#$���� � � ��� �� �� �� �� #��� �� ������ � � �� �����%& ��� ����� ��� ��� �� �� ���� ��� ����� �� ��4��5�� ��4���5��

�� (� �� . � ��� ���� �� ��� �� ���#�� ��� <��� � ������%9 *& "�� ��� <��� � ������� %9 +& "�� �

64�5 Q&� �

�4� � .54� R ��54� � ��5�

Page 158: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� <������������� ������0

��

& Q����4�� � �� R :5

��4�� � .5 R ��4. R ��5�

%& ��� ����� ��� ��� �� ��� ���� ��� ����� �� ��4��5� �4���5��� ��4��5�R ��4���5�� �� (� �� . � ��� ���� �� ��� �� ���#�� ���<��� � ������ %9 *& "�� ��� <��� � ������� %9 +& "�� �

64�5 Q&� �

�4� � .54� R ��54� � ��5� �� �� � �� .�

64�5 Q� � &

�4� � .54� R ��54� � ��5� �� �� � �� � .�

64�5 Q�.

�4� � .54� R ��54� � ��5� �� �� � �� Q .�

��& Q

����. R �� � ��

%& ��� ����� ��� ��� �� �� ���� ��� ����� �� ��4��5 R �4��5��� ��4��5� R ��4��5�� . � �� � �� � ��� ���� �� ��� �� ���#�� ���<��� � ������ %9 *& "�� ��� <��� � ������� %9 +& "��

64�5 Q&� �

�4� � .54� � ��54� � ��5

��

& Q����4�� R �� � :5

��4�� � .5 R ��4�� � .5�

%�&��� ����� ��� ��� �� ��� ���� ��� ����� �� ��4��5� � ��4��5��. � �� � �� � ��� ���� �� ��� �� ���#�� ��� <��� � ������ %9 *&"�� ��� <��� � ������� %9 +& "�� 64�5 � � %& ��

& Q����

�� R �� � .�

#$���� � � %& ��� ����� �� �� ���� ��� ������� ����� ����4��5��4���5�� �� (� �� . � ��� ���� �� ��� �� ���#�� ��� <���� � ������ %9 *& "�� ��� <��� � ������� %9 +& "�� �

64�5 Q�.

�4� R ��54� � ��5�

'� ���� � ��� �����"�� �� � ������

��4��5���4���5� � 1�

.� 1�� .*��

�� � � �

���

4�� R ��5��� � .*��

�� � � �

���

Page 159: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� ���

1 Q !�

����

�� R ��

��

������ "�� � !�4;5 � ��#��� � ��� ��� , ��� ���� �� 9 * * %& ��� ����� �� ��� ���� ��� ������� ����� ��

��4��5��4��5�� . � �� � �� � ��� ���� �� ��� �� ���#�� ��� <��� ������� %9 *& "�� ��� <��� � ������� %9 +& "�� �

64�5 Q�.

�4� � ��54� � ��5�

'� ���� � ��� �����"�� �� � ������ � ���

��4��5���4��5� � .

.��!�

��(��(�(�

��� �

8���� ������� � ���� ��� �� ��� �� ��� ��������� ��������$�

� � &������ ��6��������� ��� ������� ����������

%����� . � �� � ��� =� ������� ��� ������� ������ ������� ��� ��1������ ��������� �������� �$ ������� ��������� ��3���������� %�� � 4�5 Q�4��.54�� ��54�� ��5� �� �� ������� ��� ��� �� ��1���������� ��������� �������� ��������� ��3��������� � �� Q � � (� .� ��� ����

6�4�5��� Q %�4G54� � &�4G55�

��4�5���� 4+�+5

���� &�4G5 � &�� () � &���)� %�4G5 (� ����� #����� ��� ���������� �$��� ��������

���

�6�4�5�� Q

.

:�

(��(�

�6�4�5�� Q

G

:P

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G�� G�)� ����

G� Q� 4������

�(��(�(��� �

�(�5

2 4.����5

� 4�� �5 �� ��� �������� ������� � ��� 9��� �����

G� Q2 4

�(��(�(��� 5

� 4������ �(���

(��(�(��� 5

� � �&��$�� ����� &� ��9'# �* � ;�8 %� �A� # �� %$�� 6�7

Page 160: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� <������������� ������0

6�4�5��� Q %�4G54� � &�4G55�

��4�5���� 4+�A5

���� &�4G5 � &(� ��)� %�4G5 � (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ��������

����

�6�4�5�� Q

.

:�

(��(�

�6�4�5�� Q

G

:P

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G�� G�)� ����

G� Q� 4������

�(��(�(��� �

�.� ���5

2 4�.� .���5

� G� Q2 4

�(��(�(��� 5

� 4�������.� .����

�(��(�(��� 5

6�4�5��� Q %�4G54� � &�4G55�

��4�5���� 4+�*5

���� &�4G5 ��� %�4G5 � (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ��������

����

�6�4�5�� Q

.

:�

(���

�6�4�5�� Q

G

:P

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G � .)� ����

G Q� 4������

�(��(����(��(���� �

�.� .���5

2 4�.� .���5

<�� 4+�+C+�*5 �� ��� ����� ��� �$������ � ���� ��� ���H������� ���������� � ��� ��������� G� ��� #����� G�� � � � � G � ��� ��������� G ����1���� � ��������$ ���

� ���� �� ��� ���H����$ ��������� � ��� ��3���������

4+�+C+�*5� ��� ��3��������� ��� � 9���� �1��� ��� ��#� 9���� ���H��������<� ���� � ���� �� ��� ��9�� ��� ������ ���� ��� ���������� ��3��1������ �� ��������� ���� ����� ���� ��� ���������� �$���� � ���#�� ��������� ��� � � ��1������ ��1�������� ���H������� � ��� ��3�������� ������ ���� #���� 4.� G5�

� � !�����)����� ��������� ��� �$� ������� ���

�� �4�5 �� � �������� �������$ ��������� ������� ��� ������� � � ����� ��9��� �� ��� ���� �� ���� ������� �� ���� � �� ��������� � � � ������� ������ � �����#� ������� ���� ����

.

� �4�R ;5� �4�5

�4�5� �4�� ;5�

�� ��$ ���� ; (� � 9���� ���� ������� � �� ������$������� � ��� ���� ������ ��� ��$ �� ����� ������ � ������������ ���������� � ���� ������� ��

Page 161: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� ���

��� ����� 4�� ���� �� ��� ����� � ��5 ����1����� 4��� ��� &/.) %����� ,5�=� ������� ��� ������ ����� � ��� ������$������� �������� ���� ����� �1������������ ���������� ��������� �$ �4(5 Q (� �4.5 Q .� <� �� �� ����� ��#������ � ������� �������� �������� ��� ��� ����� ����1����� �� �=� ����� ���� ����� � �������� ��������� ���� �$ ?� � ����� � ���������� �� ��� ��� ������ ����� �$ ��� ���� �4S�5 Q �4�5� %� ��� ����� ?��� ������� � �� � �������� � �� � <����� � ��� ��#� ��� �������� ������� ��� ���� � ��� �$���� � ���������� 24�5 Q 4�4��5� �4��55� . � �� � ����� ��� ����� ?� �

=� �������� ��� ������������ ���� �� ��9��� �� ��� ����� ����1����� ��

������$�� ��� �������� ������� 4+�.5 ��� ��� ������ ���������

M�� 4�5 Q ,6�4�5

�6�4�5� � , Q� � .

� R .� + Q .� :� '�

������ ��� ����� � Q (� .� ��������� ����� ���� ��� �� ����������� ��� ��� ����� � �$ ��� ���� �4S�5 Q �4�5� =� ��� � ���� ���������� �������� �������� ��� �$�������� ����� ��� ���� ����� �������� ��� ������� � ��� ��� �� ������ �������� �� �� ������� ��� ���1��������� 6�4�5��

�� G � 4G�� G�5 ��� ��� � ��1������ �� �� ���H���1���� �� �� ���������� �$���� � ���#�� � Q ��� ��� � ��� 8�� ��$ ��19�� ��� ������ � ��� �������� �������� �� ���� �$���� ��� ��� #����4.� G5� G � &G�� G�)� �� � Q �4�� �� G5 �� ��� ������ �� ���� �������<� � ���� �� �� ��������$ ������������ ���������� ��� ?� ���9�� ��� ������ �� Q �4�4�5� �4� 5� G5� ��� ������������ ��� �� �� ��������� �������� ���������� �� ��� ������ � ���

��9�

�� � @�� �� ��1

������ �� � ��� �4�� �� G5�� ��� ��� �������� ������ ������� 7�1����� ��� ��� ��� �� ��� ���H����$ ��������� � 6�4�5��

� ����� ��� � ��������� �� ��� ��� ��� ����� �� �� ������ �$ ��� ������ &(� .)� �����$ &&��5� ��� ��� �������� ��� Æ � ��� �������� ���H����$ ������� �������� �� &�� �� �� ������ �$ ��� ������ &��� ��) ��� ��� ��� Æ� ��� ��1���������� ���������� �� ���� �� ��� �� �� � ����� � ��� �1����� �� ��� ���H����$ ��������� � � ��������� ��3�������� 74"5�"� � �

��� ������������ ����#��� � ���� � 6�4�5���� �� �� �������� ��� ����

���������� � Q ���4 �

6�4�5��5 ��� �� Q ���4

& �74"5�"5� �� ���� �1

���� �� ��� ��� ��� ���� ��������� �� � � ���� ����$ �� ����� ����1����� � � Q � R ,S� � ��� ���� G � &G�� G�) � ��� ����� � ���H������� ��1����� ��� ���� �� 6� ��� �� 7� ��������� ��� ����������� � 7 ���������� Q4��4(�55RG

�4��4(�55 Q ���� ��� ���������� ��� � ��� &*')���� ���� ���������� �� ��� ������ �� ��� ��3��������� 6� ��� ��� ������ �� + Q :� '�

����������� � � ��� ����� �� ��

���.�.�

���� ��� ������� �����

�� ��

���.��

���� ��� ������� ����� �� �4��5 � ��� ���� ?�

Page 162: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 �� ������ ��� <������������� ������0

$ ��� ��� ������ �� �� ������ ��� � �#� ��� ��� �� ��� �������������� � �� ��� ������ ������� � ��� ������ �� �������� =� ��#�E������� +�:�. �� ��� �� G Q .� ���� &�4.5 Q �� ��� ��� ���������� �$����� ���#�� ������� � � ���#� �� ���� ��������� ��� ����� .� �� ��� ( ��� ���� �� ������ � �� � ��� ���� ��� ��� ������ &.� ��)� =� ������ ���������$� �� ����� �� � ��� � � ?� ���� ���� � �Q �� �� G Q . ��� �4��5 ���4��5

���.��

� ����� �� ���� ��� ���� ��� ?� ��� ��������� � ��

��������� �4��5 �� ������ � � �(� .� �4��5� � ��� ���� ��� ��� ������&.� �4��5)� =� ��#�

��� � 4� � 4�� () � &.� �4��5)� Q ��

� 4� � 4�� () � &.� ��4��5���.��

)� Q ����

���� ����� � ������������ �� #���� ��$ �� � ��

���.��

� ���� �����������

��#�� E������� +�:�.� <� ��� ��� ��

���.�.�

��� ��� �� �������� �

����������� � � 3� �� �� & "��

�����9�

�4��5 Q ��4��5���.�.�

� & � ��4��5���.��

Q �����9�

�4��5

��� � � ���� + �� UG ��� ��4��5���.��.

Q &

$ ��� ������� :�,�.� :�,�: ����$ ���� ��� ��3��������� 6�� � � � � 6� ������1���$ ������ � G ���� ������ ��� ���� �� ��� � � � � ��� @��#��� ��

��.�.�

Q

����.�.�

� ����.�.�

Q ����.�.�

���� ������� ��� �������� � E������� +�:�:��

#$���� � � 3� �� � � ?� ��� � � ����� UG �� + Q .� � � � � '

���� ��� "�� �4��5 Q ��4��5���.��.

Q & ��� ������� �4��5 � ��4��5���.��.

����� ��� ������ � ����� ���� �� � Q ��

���.��.

$ ��� �$ E������� +�:�: � ���� + ��� UG� ���� ���� �4��5 Q ��4��5���.��.

Q

& �� � ������� � � ?� � ������� �� ��������� + Q '� UG � &G � .)� ����� ���� ������� ��� ������ � ��� �������� �������� � �� �$ ��� ��3����1���� 6�4�5��

� ��� ��� ������ � Q �4�� �� UG5 �� ��� ���������� �$����� ���#�� � Q 4��� ��5 � ���� �� �� �����$ ������ � �� � ��� ���� ���&.� ��)� 6 � ������ ��� ������$� �� � � ?� ��� ������ ���� ��� ��

�� ��#� �4��5 � ��4��5���.��.

��� ���� �4�5 �� �� ��������� ��� ��� =� ��9��

��� ������ � ��� �������� �������� �� �� Q � � (� .� �4��5� �4��5� �� ������������� �$���� �� � � ���#�� 4���� �

��5 ��� ��� #���� 4.� UG5� � ������

Page 163: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� ��4

�� ��� ��������� ��� ����� � ( ��� .� �4��5� �4��5� ��� �� ������ ��� � ��� ���� ��� &�� ()� ��� ���#� ��� ��������� ��� ����� � (� �4��5��� .� �4��5 ��� �� ������ � �

� � ��� ���� ��� &.� �4��5)� %���� ��� �1����� �4��5� �4��5 ��� ����������� ��������� ��� ��� �$���� 4���� �

��5 ���

��� �� ����� � ������������ �� #����

.

�� � 4�4��55 R UG�4�4��55 � �4��� � �� UG5� 4+�,5

��� ������ ���������$ ��� ������� ��� ��� ���������� � �� �� ��� �������������� � ����� � ��� �������� ��������� ��3�������� �� ��� ������ ������� ��� �������� �������� ��

74"5�"� Q %�" � &�

"4" � .54" � �4��554" � �4��55�"��

���� ��� �������� %� � (� &� � &�4��5� �4��5) ��� ��9��� �$ ��� ��������

����

�74�5�� Q

.

:�

��(����

�74�5�� Q

G

:�

%���� ��� �������� ���H����$ � ��� ��3�������� 7 ������� ��� �4��5 ��� ��������#� ��������� ��� ���������� ������ ��������� �� � ��� �� � �#���� ���� �4��5 �� ���� ��������� ����� ��� ������ ��� �������� ���������� ��4�5 ��� ������� � ��� ������ � ��� �������� ��������� � ��#� ������������$ �4��� ��� UG5 � ��� Q ���� ���� ���������� � 4+�,5 ��� ���� ������ � ��� ���������$ �� ������ +�:�'� ��� ����� + Q .� : ��� �� ����������������$�

6 � ��� ��#� ��� ���������� � ��� ����� � UG ��� + Q .� � � � � '� <����� � ������ ���� ����� ��� � ��3����� ����� � ����� ���������� �������� �� � ��� ���� ���� � ��� ������$ � ��� ���� � 24�5� 8�� � ���������� � ���� �� � ����� ���� �� ��� ������������ ��� 4���� � ��5 ������ ������������ ��� ��9��� �$ ��� ���� �� � ����� �$ � � ����� � ��������� ��� �������� ��� ��� ����#� �� ��� ���� ������������ ���� ������� ��� ���� �

� � ;������) ���������.�����

=� ���

"�4;5 Q ��4��5���.���.��.��8�.�

�� ; � &(� .�')�

"�4;5 Q ��4��5���.���.��.��8��.��.�

�� ; � &.�'� :�')�

"�4;5 Q ��4��5���.�����.��8��.���

�� ; � &:�'� .)

, Q .� :�

Page 164: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ ��� <������������� ������0

#$���� � ��� � � ?� ����� ��� ���� ����� � �� �� �� ��� ����� ��� �������� 24�5 Q 4�4��5� �4��55� . � �� � ��� � � ��� �� �� �������9�

�4��5 �� �4��5 #���� � ������ � ���� ���� �� 4"�4;5� "�4;55� ; �&(� .) ��� �� �� � ������ ��� ���� ������ �� � ��� ���� 4"�� "�5 � �� ��� ���� � ; � &(� :�') �� ��� ���� � ; � &:�'� .) ��� �� �� ����� �� ��� �� �� � ��� ���� ; Q :�' � �� ��� �� � ��� ����� ; Q (� . ��� -����

$ ��� �$ 4+�+1+�*5� ��� �������� %�4G5 ��� &�4G5 �� + Q .� :� ' ��� ��3��1�������� ��� ������� � G �� ��� ���������� �����#���� � ��� ���� ��6� � �� � ��������� ��� �������� "�4;5� "�4;5 ��� ����� ��� ��3���������� ������$ ��#� ����1���� ��� ����1���� ����#���#�� �� ��� ����� .V'� :V'� =� ��1����� ��� �����#�� 4:�'� .5� =� ��#� �� ���� �����#�� ��� �������$ ��� ��� ���� ��� ������ � �� ��9��� �$ ��� �������� ��3�������� 6�� ������:�,�: ������ ����

��

�GQ :G4��5P

����

�GQ :G4��4��55P

����

�"�Q *2��&�&�74"5�

;��� � "� �� � ������ ��� � ��� �������� ��3�������� 7� �$ ���� � ���� ��� �������$

����

�GR����

�"�

�"�

�GR����

�"�

�"�

�GQ

.

��

�G�

��� ��� �� �� �������� �� ��� ������ � ��� �������� �������� ��� ��������� �� � �� ���� ��� �������� ��9������ �� ��� ���H����$ �����1���� � ��� ��3�������� 6� �� ��� �������� ��9������ �� ��� ���H����$��������� � ��� ��3�������� 7� ���������

����

�GQ

.

��

�G�

��� ������ ��3���������� ����� �� � ��� ����#���#� �"���"� ���� ������ ����� �����#� �� ��� ����� � 4:V'�.5� @��#��� �"���"� � ( �� ; � :�' R (��� �"���"� � � �� ; � .� (� �$ ��� ����$ ��� ��� ��#�� � ��#���� ����� + Q .� :� ���� ���� ��� ���� �

��� � �� ������$ �� ������� �� ��� ���� �$� =� ��� ��� � � ������������� � ����� ������� ������� �� ��� ����� ���� �$ ������� +�:�'�+�:�+� ���� � ������� ��� ��������� ��3��������� ���� ���� �� � ��� ���������������� �� ��� � �� ������$�

6 4�5��� Q % 4G54� � & 4G55�

��4�5����

���� & 4G5 � &���)� % 4G5 � (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ����1����

Page 165: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� ��(

����

�6 4�5�� Q

.

:�

(���

�6 4�5�� Q

G

:�

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &.� G�)�

6�4�5��� Q %�4G54� � &�4G55�

��4�5����

���� &�4G5 � 4�� .)� %�4G5 (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ����1���� ��

(�

�6�4�5�� Q

.

:�

(���

�6�4�5�� Q

G

:�

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G�� G�)�

6�4�5��� Q %�4G54� � &�4G55�

��4�5����

���� &�4G5 � &.� ��)� %�4G5 (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ��������

��(�

�6�4�5�� Q

.

:�

���

�6�4�5�� Q

G

:�

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G�� G�)����� ��� ������$ #����� �� ��� ��������� G ��� �� ������� �$ ������1

��� ��� ���H������� � ��� ��3��������� �� ���� � ��������$ � �� � ������ ������ �� ����� ���H����$ ����������

������� +�:�'� +�:�+ ��9�� ��� ���� � 24�5 �� ��� ����� � ������$�1������ ���������

� #$� ����� � ���������� �� �����������

���� � ����$ �$����������� � �������� ��� ���� � ��� ������$ � ������� � 24�5 �� ��� ����� �� ��� ����� ��� ��1���#��� ��������� � ����1������ ��������� � ��4��5� ��� ��4��5��

����������� � � ��� ����� �� ��

���.��

���� ��� ������� ����� ��

��4��5� � ��� ���� ��

$ ��� �� G Q .� ���� &�4.5 Q �� ��� ��� ���������� �$���� � ���#�� �������� � ���#� � ���� ��������� ��� ����� .� �� ��� (�� ��� �� ������ � ��� ��� ���� ��� ��� ������ &.� ��) �� �� E������� +�:�.� =� ������ ���������$ � ��� �������� � E������� +�:�'� �� ����� �� � ��� � � ��

���� ���� �� � �Q ��� G Q . ��� ��#���� ���������$ ��4��5� � ��4��5���.��

�����

=� ��9�� ��� ������ � ��� �������� �������� � �� Q � � (� .� ��4��5���� �� ���������� ���#� �� ���� �� � ������ �� ��������� ��� ����� � (

Page 166: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3) �� ������ ��� <������������� ������0

��� .� ��4��5�� ������ � �� � ��� ���� ��� &�� ()� D���� �$ � Q� � 4�� () � &.� ��)�� <� ��� ����� �4�5 � ��#� ��� ���������$

.

�� Q ��� � 4�4�55� 4+�-5

�� �4�5 Q � �4�� ()�&.� �)� ��� ��� ������� Q �4��4��5�5 �� ���������� �4��� � �5� ��$ �4��� � �5 Q 4��5� =� ����$ �������� �$����������� ���� ����� �4�5 ��� ��� ������ �� ��� ���� ��� ��� ��� �������� ��� ��������#� ���� ����� D���� �$ �� ��� �������� ����� � ���� �$���������������� ����� �� ���������� �� ��� ������ � ��� �������� �������� � �� ����� ���������� ���#� ��� %���� �� � �4���4��5�5

���.��

� ��� ���������$

4�4�55 � 4��5 �4��5 �4�4���4��5�5���.��

5 Q ��� 4+�/5

����� ��� 9��� ���������$ ������ ��� �������$ ��$ �� ��� ���� �� Q �4�5�

��� ��� ����� � ������������ 4+�-C+�/5 �� #���� ��$ �� � ��

���.��

� ���� ��1

��������� ���� ��� ���� �

#$���� � " ��� � � �� ����� ��� ���� ����� � �� �� �� ��� ����� ��� ������ �� ��������� 24�5 Q 4��4��5�� ��4��5�5� . � �� � �� � ��� ����

�� ������� "�� ��� �� ��� ���� ?� �� ��4��5� � ��4��5���.��

$ ��� �� �� � �� �� � ������� ���� ��������� �����7�

��4��5� �� � 9���#���� � ��4��5� � ��4��5

���.��

� ����� �$ E�������� +�:�.� +�:�'� +�:�'� �����

�� � ������� �� �� ��� + Q :� ' ��� UG ���� ���� ���4��5� Q ��4��5� <� ����������� ��� ���������$ ��4��5 � ��4��5 � ���4��5� ����� ��������� � ������� �������� �������� ��� ���� ������$�� ��� ���������$ ��4��5� ���4��5��

=� ��#� ������ +�:�A �� + Q '� <� + Q : ��� ��� �� �������� =������ ��� ��� ������ � ��� �������� �������� ��9��� �$ ��� ��3��������

6�� �$ E������� +�:�:� � ���� UG ���� ���� ��4��5� Q ��4��5���.��.

Q &

�� � ������� � � �� ��� ��4��5� � ��4��5���.�.�

� UG � &G � .)� ����� �

�������� ��� ������ � ��� �������� �������� � �� �$ ��� ��3��������6�4�5��

� ��� ��� ������ � Q �4�� �� UG5 �� ��� ���������� �$���� ����#�� � Q 4��� ��5 �� �� ������ +�:�'� =� ������ ��� ������$� �� � � ����� ������ ���� ��� �� �� ��#� ��4��5� � ��4��5

���.��.

� ��� ���� �4�5 �� ��

��������� ��� ��� 6 � ��9�� ��� ������ � ��� �������� �������� � �� Q� � (� .� ��4��5�� ��4��5�� �$ ��� ���������� �$���� �� � � ���#�� 4���� �

��5

��� ��� #���� 4.� UG5 �� ��#�� ��� ���#� ��� �� � ������ �� ���� �������� �������� � ( ��� .� ��4��5�� ��4��5�� ������ � �� � ��� ���� ��� &�� ()���� ���#� ��� ��������� ��� ��������� � (� ��4��5� ��� .� ��4��5� ��� ���

Page 167: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� �3�

����$ ��9��� �$ ���� ��� ������ �4��5� �4��5 ������$ ��� ��� �����������$

.

�� � 4�4��55 R UG�4�4��55� 4+�.(5

�� ��� ��� �

�� �� ��� �������� ���� � ��� ������ �� �4�

�� � �� UG5� ������4��� � �� UG5 Q4��

�5R UG�4���5� 6 � ����$ �������� �$����������� �

��� ������ �4��5� �4��5 ��� ��� ������ �� ��� ���� ��� ��� ��� ��������� ��� �����#� ��� �����#� ���� ���� ��������#��$� D���� �$ ��

� ��� ��� ���

�������� ������ � ���� �$������������ ���� ���� � ������ �� ������������ ��� ������ � ��� �������� �������� � �� �� ��� ���������� �$���� ��

��� ��� #���� 4.� UG5 �� ��#�� �����

�4��� � �� UG5 �4���5 R UG�4��

�5 � 4�4��55 R UG�4�4��55� 4+�..5

��� ���������$ ��� �� �������� �$ �������$ ��$ �� ��� ���� ��� Q �4��5 ���

��� Q �4��5� %���� ��� ���H����$ � ��� �������� ��3�������� �� ��� ������

������ � ��� �������� �������� ������� ��� ��4��5� ��� �����#� ��������� ��4��5�� ��� ������� � �4��� � �� UG5 �� ��� ���� ��4��5� ��� ��� ������������ ��� ��� ������ ��������� �� � ��� �� � �#� ��� ���� ��4��5�� ���4��5�.��.� ����� ��� ������ ��� �������� ��������� � ��4�5 ���������� � ��� ������ � ��� �������� �������� � ����#� �� ��� ���������$�4��� � �� UG5 � ��� Q ���� ���� ���������� ��� ����� � ������������ 4+�.(C+�..5 ��� ���� ��� ���� �

<� ��� ���� � ��� ������$ � ��� ���� � ��� �$���� � ����������24�5 Q 4��4��5�� ��4��5�5 �$����������� ��� �� �� ������� ������� �$�1�������� ������ ��� �� ���������� �� ��� ���������� ������� � ����������� ���������

#$���� � 5 ��� ����� �� ��

���.��

���� ��� ������� ����� �� ���

�������� ��4��5��4��5�� . � �� � �� � ��� ������ �� �� ?� '� ���� ���� �����"�� �� � ������ � ���

��4��5���4��5� � .

.��!�

��.� (�

(�

��� �

$ ��� �� G Q .� ���� &�4.5 Q . ��� ��� ���������� �$���� � ���#�� �������� � ���#� � ���� ��������� ��� ����� ��� �� ��� ( ��� ��� ������ � �� ��� ���� ��� ��� ������ &��� ��)� =� ������ ��� ������$� �� � � �� ���

������ ���� ��� �� �� ��#� ��4��5��4��5� � ��4��5���4��5���.��

� ��� ����

�4�5 �� �� ��������� ��� ��� =� ��9�� ��� ������ � ��� �������� ��������� �� Q � � (� .� ��4��5��4��5�� �� ��� ���������� ���#� �� ���� �� � �������� ��������� ��� ��������� � ( ��� .� �4��5��4��5� ������ � �

� ���� ���� ��� &�� ()� �� � Q � � 4�� ()� &��� ��)�� =� ������� ��� ���" Q �4�5��4��5� ��� ����� �4�5��4��5 �����9�� ��� ��� �� ���������$

Page 168: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3� �� ������ ��� <������������� ������0

.

�4�5 Q

.

�� � 4�4�5��4��55� 4+�.:5

�� �4�5 Q � � 4�� ()� &.� �)� ��� �� Q �4��4��5��4��5�5 �� ��� ����������� ����� �� �4��� � �5� ��$ �4��� � �5 Q 4��5� 6 � ����$ ���������$����������� � ��� ����� �4�5��4��5 ��� ��� ������ �� ���� ��� ������ �������� � ��� �����#� ���� ����� D���� �$ �� ��� �������� ����� ����� �$������������ ���� ����� �� ���������� �� ��� ������ � ��� ��������

�������� � �� �� ��� ���������� ���#� ��� %���� �� � �4��4��5���4��55���.��

��� ���������$

4��5 �4��5 �4�4��4��5���4��55���.��

5 Q ��� 4+�.'5

����� ��� ����� � ������������ 4+�.:C+�.'5 �� #���� ��$ �� � ��

���.��

� ���

�������� ���������� � ��� ����� ��� ��� ���������� � 4�4��4��5��4��5�55�#�� �� ��� ���������$ � ������ +�:�* �� ��� ����� �� � %���� ��� ��������������� �� ��� ?� ��� ���� ������ �� ���� �� ��� ����� ?� � ���� ���� ������� �

��� ���� ������$ ����������$ ��� � ��� ��� ���������$ �����

� ��� ��� � +�,�

��������) � � ��� �4�5 �� ������� � �� �� � ?� � . � �� � �� �����

��4��5���4��5� � .*

.*� ��� ���

� ���

��(�!(��� �

���(�!(��

�$ ��� ����$ ��� ������ +�:�*� � ����� ��� ���� ������ ���������$� =� ��� ����� ���� ��� �� ��� ������� ������� � ��� ���������������� �� ��� 4�51������ <� ������ +�:�, ��� ���������� ���#� �� � �������� ���� ��������� ��� ��������� (� �� ��� ���� �� �� ������ � �� Q� � (� ��� ��� � ��� ���� ��� ��� ������ &(� ��)�#$���� � 9 ��� � � ?� � . � �� � �� ����� ��� �����"�� �� � �������

��4��5���4��5� �

�!�

������

����

����� ��� ��� ��� ������� � ��� ���������� �� � ������ �� ��� �2� �

���� 6�

���.�.�

��������) � � ��� �4�5 �� ������� � �� ?� � . � �� � �� �����

��4��5���4��5� � .

.*���

:*

2 �4������5

2 4������5

Page 169: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� �3�

<� ��� �������� ������ +�:�- 4����1���� ���� ���������$5 ��� ���1��� � ��� �������� �������� �� ��9��� �$ ��� ���������� ���#� ���� �� ������� �� ���� ��������� ��� ��������� (� . ��� ��� ��� �� �� ������ ��� Q � � (� .� ��� ��� � ��� ���� ��� ��� ������ &(� .)� <� ��� ����1�������� ���������$ � ������� ��� ������ � ��� �������� �������� �� ��� ��1�������� ���#� ���� �� � ������ �� ���� ��������� ��� ��������� .� �� ���(� ��� �� �� ������ � ��� ���� �� � ��� ���� ��� ��� ������ &.� ��)�

#$���� � < ��� � � ?� � . � �� � �� ����� ��� �����"�� �� � ��������

��4��� ��5 � .� .���4��5�.� .���4��5� � .

��4��� ��5

���� "�� �

�4��� ��5 Q !�

����4�� � .5

��4�� � .5

��

��� ��� ��� �������� � ��� ���������� ��� ���� ��� �� ��� ��� ����2� ����� � ��� ���� � ������ �� ��� ��� ��� � ����

@�� ������ ��������� ��� #���� �� ��� ���������� ��4��5 � �4��5� �����4��5� � ��4��5��#$���� � = ��� ����� ��� ��� �� �� ���� ��� ����� �� �4��5��4��5 � ��� ���� ?� �� ��� ����� �� ��4��5����4��5�� . � �� � �� � ������� �� ��� �� ���#�� ��� <��� � ������ %9 *& "�� ��� <��� �������� %9 )& "��

64�5 Q&� �

�4� � .54� � ��54� � ��5�

"�� �& Q

������ R �� � .

$ ��� ��� ��� ����� ��� ����� ������� =� ��� ���� �� ��� �������� �������� ��� ���� ���� �#� �������� 4"�4;5� "�4;55 � ��� ����� ������$ ���#� �� � ��� ���� � ����$���� � ���������� 24�5 Q 4��4��5�� ��4��5�5�

7������ ��� ���� 4"�4.�'5� "�4.�'55 � ��� ������� +�:�+� +�:�* ����$

����

I Q ������"�4.�'5

"�4.�'5Q ������

"��4.�'5"��4.�'5

*

+�

� ����� ��� �������� ������� �� �� �� ��� G� � 4.� G�5 ���� �����9�� ���

��������$ ������� � ����������$ �� ��� ��������� �#��

"��4;�5

"��4;�5Q .� G� Q ';�4G� � G�5 R :G� � G�� ;

� � 4.�'� :�'5�

Page 170: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3� �� ������ ��� <������������� ������0

<� ��� ������� �� � ��#�

�&���� Q *2��&�&�7�4"5P �&���� Q *2��&�&�7�4"5� 4+�.+5

��� ������ �&� ������ �� ��� ������� ���� �� ����� �� ��� ���� "� �;��� � "�� "� �� � ������ ��� � ��� �������� ��3�������� 7��

7�4"5�"� Q �

" � 3

"4" � .54" � "�54" � "�5�"��

3 � &.� "�) ��� � � (� ������ � ����� �� �� ������ +�:�+� ��� �������$

����

�"�

�"�

�;R����

�"�

�"�

�;Q (�

<�� 4+�.+5 � ������ ���� �� ��� ����� G� ���� ����������$ ;�� ������$����� ��������$ ������� � ��#�

"��4;�5

"��4;�5Q"�4"� � .54"� � 35

"�4"� � .54"� � 35Q .�

� ����#������$�

3 Q"�"�

"� R "� � .� 4+�.A5

���� 3 Q 34G�� "�� "�5 �� ��� ������� ��9��� �$ ��� �������� �� �����3�������� 7��

����

�7�4H5�H Q .�:�

&��&�

�7�4H5�H Q G��:�

� 6 � ����� ����&4G�5 Q

������ R �� � .

� 4+�.*5

���� ������� ���� ����� ������ � ������ G� ��� ;� ������$�� ��� ��������$������� ����� ��������� ������ �������� ������� ��� �������� ��������#�� � ���� � �� �� ������ �� ���� ���� � ��� � ��#� ���� � ������� ��9��� ����#������

<� � 9��� G� � ������� ��� ��������� ��3��������

�6�4�5��� Q U%�� � U&�41� <5

�4� � .54� � 154� � <5���� 4+�.,5

���� U&� � &.� 1)� U%� � (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ��������

����

��6�4H5�H Q .�:�

;�/

��6�4H5�H Q G��:�

Page 171: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� �3�

���� ��� ����1#����� ��3���������� �������� 1 Q 14M5� < Q <4M5 ������ �����#����� ��� ��� ��������� � 4��� ��5� M � 4�.� .5� 14(5 Q ��� <4(5 Q ���=� �������� ��� ������������ ��� U� �� ��� ������ � ��� �������� �������4+�.5 ��� ��� �������� ������� 4+�:5 �� ��� ��������� ��3�������� 4+�.,5 ��� ��� ����������� � ��� ����� ?� � D���� �$ "�4G

�� 1� <5 Q U�4��5�"�4G

�� 1� <5 Q U�4��5� ����� �������� ��� ��3���������� ��� ������� � 1 ���< ������� U� �� ��� ������ � ��� �������� ������� ��� ��� �������� �1������ ���� �� ��3���������� ��� ������� � 1 ��� <� @��#��� � ��#����� U&�4��� ��5 Q &�4G

�5� "�4G�5 Q "�4G

�� ��� ��5� "�4G�5 Q �4G�� ��� ��5�

%���� U� � ?� � ��� ����� 4"�4G�� 14M5� <4M55� "�4G

�� 14M5� <4M555 ��� ����#�� ������������� �$ M� ���� ������ ��� ������$ ���#� �� �� ��� ����4"�4G

�5� "�4G�55�

D���� �$ �41� <5 ��� ������ ��9��� �$ ��� ��3�������� 4+�.,5� ����$ � �� ��� ������ ��9��� �$ ��� ������������ ��� U� � 8� ������ � �� Q���41� <5� 6 � ��3��������� ���� �������$ ��� ������� � 1 ��� < ��������

��,#�/�;�,/ Q

,# �

,&�� ,&��.

��/�;�,/ R

,# �

,&�� ,&��.

��/�;�,/ �

��,#�/�;�,; Q

,# �

,&�� ,&��.

��/�;�,; R

,# �

,&�� ,&��.

��/�;�,; �

4+�.-5

���� �� ��� ����1���� ����� � ����� ���������� ��� ������� ����#���#�� �������� #�� ��� ������ ���� "�� "� � ��� �������� ��3�������� �� � �� � �������� ������ ��� ���� � ��3���������� �� ��� ������ � ����� ����

141� .54< � U&�41� <55

<4< � .541� U&�41� <55Q

,# �

,&�

,&��.��/�;�,; R

,# �

,&�

,&��.��/�;�,;

,# �

,&�

,&��.��/�;�,/ R

,# �

,&�

,&��.��/�;�,/

� 4+�./5

8����#�� ����

�� ��

�"�

�����/�(�� ;�(�

Q����

�"�

�����.�.�

��� ��

�"�

�����/�(�� ;�(�

Q����

�"�

�����.�.�

��������� ��� ���������� 4+�.+5� 4+�.A5 ����$

�� ��

�"�

�����/�(�� ;�(�

Q ��� ��

�"�

�����/�(�� ;�(�

6 � ���� ��� ��������������� 1 Q �� R M�:� < Q �� � M�:� %������� ���#� 4"�4G

�� 14M5� <4M55� "�4G�� 14M5� <4M555� �#�� ��� ��� ���������

M � 4�.� .5� ������ ��� ������$ ���#� � ������ +�:�+ �� ��� ���� M Q (�

Page 172: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�33 �� ������ ��� <������������� ������0

�4"�4G�� 1� <5� "�4G

�� 1� <55�M

�����1��

Q

Q.

:

��4"�4G

�� 1� <5� "�4G�� 1� <55

�1�

� �4"�4G�� 1� <5� "�4G

�� 1� <55�<

�1��

Q (�

��� ��� ����1���� ���� � ��� �������$ 4+�./5 ������� � . �� M Q (� 41� <5 Q4��� ��5� ���� ����� � ��� #���� U&�4��� ��5 Q &4G�5 �#�� �$ 4+�.*5�

����� ��� �������� ������� �� �� �� ��9��� �$ ��� �������� ��������#�� �� ��� ��������� � ��� ������� ���� �������� ��� ���� �

�$ ��� ����$ ��� ��� �������� ������ � ����#� �� ��� ��� ������������

#$���� � �> ��� ����� ��� ��� �� �� ���� ��� ����� �� ��4��5R�4��5�� . � �� � �� � ��� ������ ?� � �� ��� �� ���#�� ��� <��� ������� %9 *& "�� ��� <��� � ������� %9 )& "��

64�5 Q&� �

�4� � .54� � ��54� � ��5�

"�� �

& Q����4�� R �� � :5

��4�� � .5 R ��4�� � .5�

��� �������� ������� �� ���� ������ �� �� �� ��� G Q G����� ���� � � �����#� �� �� ������� �$ ��� ����$ ��� ��� ��#��

@��#��� �� �� (� �� . �� ���� � ������ +�:�A �� ������� �� ������� ���� ��� ����� ������$ ���#� � ��� ���� � ��� �$���� � ����������24�5 Q 4��4���5�� ��4��5�5 �� ��� ����� �� �������� ��� ���� �� ��� �����?� ��������$�

� " ����������� ��� �������� �������

=� ����� ��� ��� ������� ����� �� ������� ������ �$ "� "������ &*+) ����������� ��� ����� ������$ ���#� � ��� ���� � ��� �$���� � ����������4��4���5�� ��4��5�5� ( � ��� �� � . �� ��� ����� � �������� ��� ���� �� ��� �������� �$ ��� ��� N�����N ��� N� ��N � ����� �� ������ ���� ��� �����4��4���5�� ��4��5�5 ��� ��������� �� ����� � ��� ���� ����� �� � �� "������B��� �� �� �������� ���� ��� 9��� ����� 4���5 ��� �� ��� �������� ����3����� ��� � ��� ���� ��������� ���� �� ��� ����� ��� %� <���# &.*')��#� ������� � � ������� ������ �� ��� �$���� � ���������� 4��4��5�� ��4��5�5�( � �� � �� � .� �� �� ��� � �� ������$ ���#�� �� ����� ������ ���$

Page 173: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� � #� �34

��� ��3����� �� ��� ������� � ��� ��� �� �� ��� ����� � ��� � �� ������$���#�� ��� �#�� �$ ��� ������ ������� �4. � 1� R ��5��� �: � 1 � :���� ����� � ��� ����� ������$ ���#�� ��� �#�� �$ �������� ��� ������������� ���������� ���$ ��#� ���� ��������� �� &*+)� &.*')�

�� ��� ������������ ���� � �������� � �������� ?� � ��� ����� ��� �������� ������$�� ��� ���� �$�����$ ������� �4�5 Q �4S�5� ���� ��������$� ��� ���� ��� �� ��� ����� �� �� ��� �������� �� �� ��� ����� �� 8����� �����$ ��� ���� ��� ����� ������$ ���#� � ��� ���� � ��� �$���� ����������� 4��4���5�� ��4��5�5� �� (� �� . #�� ��� ����� �� �������� ������� #�� ��� ����� ��� � ������ ���� ������ �� ���� � &*+) ��� &.*')� 8� ��������� ����� � ��� �� ��������$ ��3������ ��� ����� ����������� �4.5 Q .������ ������ ������$� %� � ��� �� ���� ���� � � ��#� �� ������������ �� ��� �$���� � ���������� 4��4���5�� ��4��5�5� �� (� ( � �� � .� �� ��� �$���� � ���������� 4��4��5�� ��4��5�5� ( � �� � .� �� .� ����� ��� �$���� � ���������� 4��4��5�� ��4��5�5� . � �� � �� ���� �� ��� ������ ��� ����� �������� �� ��� ������������ 7����� � @��������������������� .//- &.A/)� �� &.A*) ��� ����� ��� �� � ���� �� �1����������������������� � � � 7��������� ������ � ��� ������� �� ��� �����������

<�� ����� ������� � ������ ��� ����� ��������� �� ��� ������������4��5� � ��4���5� ��� ��4��5 � �4���5�� ��� ���� ��� � �$ � ��������������� �������� �� ����� � �������� �������� � ������ ������� ������ ������ � ��� ������ �� ��4��5 � �4���5� �� ����� ���� �� ��� �������� �� ��� � �� ��������� � ��� ��������� ��4��5����4��5��

�����$ � ������� ��� ��� �� ������� �� ���������� ��� ������ ���#�0�4 <��� ��� � �� ������$ ���#� � ��� ���� � ��� �$���� � ����������4��4��5�� ��4��5�5 �� ��� ����� �� �� ��3����� ���� ��� ����4 <��� ��� ����� ������$ ���#� � ��� ���� � ��� �$���� � ����������4��4��5�� ��4��5�5 �� ��� ����� �� �� ��3����� ��� ��� � ���� �� � ��� �� ������ ��� ������ 4(� .5 4�� ��� �� � 4(� .5 ���� ��� �� ������� �� ��� ���� �$�� ��������� �� ���� �� ���� ��������� �� �� �� � ����������5��4 8����� ��� ����� ��������� � ��4��5 � �4��5� ��� ��4��5 R �4���5� ����� �� ( �� ����� � ��� �������� ������� � ��� ������ ������� 4 8����� ��� � �� ����� ��������� � ��4��5����4���5� �� ��3����� ����#����� � �� ��� ���

���� � � �� ����� ���� ��1���� 9��� ����� ������� �� ����� ������� � �$������� �����������

Page 174: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�3� �� ������ ��� <������������� ������0

��� '( )� ��� ��� ��� � � � ������ �� ���� ���� � ���

���� ��.

=� ����� ���� ������ ������� �� ��� ���� � ��� �$���� � ����������4��4��5�� ��4��5�5 �� ������������ ����������� � ��� ���� ���� � � D�1��� �$ �� ��� ����� � ��� �1������������ ����������� " Q �4�5 ���� ���� � � � � .� ��� ��� ����������� �4(5 Q (� �4.5 Q .� � ����������� � �� ������� � ��� �������� ������$�� ��� ������� �4S�5 Q �4�5� ���� � ��� ���� ��� ������� ��� � �$�������� �������

� � &������ ��6��������� ��� ������� ����������

=� ������� ��� ��� �� ��1���������� �������� � �������� ��3����������� � � Q � � (� ��� ���� <�����$�

6�4�5��� Q %�4G5

4� � &�4G554.� &�4G5�5

�4� � ��54� � ��54.� ���54.� ���5���� 4+�:(5

���� &�4G5 � &��� .)� %�4G5 (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ��������

(��(�

�6�4�5�� Q

G

:�

����

�6�4�5�� Q

.

:P

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G�� G�)� ����

G� Q

� (�

(�

!�4�5��

�� �

��

!�4�5��

���

Q� 4�� !5

� 4I� !5� ���� !�4�5 0Q

�6�4�5

������.��(�

� Q �������

(��(�(����(��� � I Q ������ �

��(�� ! Q

�.� ��� � � 4�� �5 �� ��� ��������

������� � ��� 9��� ����� ���

G� Q

� (�

(�

!�4�5��

�� �

��

!�4�5��

���

� ���� !�4�5 0Q�6�4�5

������.���

%�����$�

6�4�5��� Q %�4G5

4� � '�0�.�54� � '��0�.�5�4� � ��54� � ��54.� ���54.� ���5

���� 4+�:.5

���� I4G5 � &(� *)� %�4G5 � (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ��������

(��(�

�6�4�5�� Q

G

:�

����

�6�4�5�� Q

.

:P

Page 175: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� '� !��E �3(

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G�� G�)� ����

G� Q

� (�

(�

!�4�5��

�� �

��

!�4�5��

���

� ���� !�4�5 0Q�6�4�5

���0�.���

������$�

6�4�5��� Q %�4G5

4� � &�4G554.� &�4G5�5

�4� � ��54� � ��54.� ���54.� ���5���� 4+�::5

���� &�4G5 � &�.� ��)� %�4G5 � (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ����1����

(��(�

�6�4�5�� Q

G

:�

����

��6�4'�55'�5�5 Q .P

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G�� G�)� ����

G� Q

(�(�4�4� � ��54.� ���55

��!��� ��

� 4. R ��� � :�� �� 55��!�

�5Q

� 4�� !5

:2 4��5�

���� 2 4�5 �� ��� ������� �������� ��������<�����$�

6 4�5��� Q % 4G5

4� � & 4G554.� & 4G5�5

�4� � ��54� � ��54.� ���54.� ���5���� 4+�:'5

���� & 4G5 � &��� ��)� % 4G5 � (� ����� #����� ��� ���������� �$ ��� ����1����

(���

�6 4�5�� Q

G

:�

����

��6 4'�55'�5�5 Q .P

G �� � 9��� ������ ��� ��� ������ &G � .)� ����

G Q

(��4�4� � ��54���� .55��!��� ��

� 4. R ��� � :�� �� 55��!�

�5Q

� 4�� ��5

:2 4��5�

���� � Q �������������

<�� ��� ���������� � ��� ��3��������� �� ��� ����� ��� �$������������������ ��� ��� ���H����$ ������ �������� � ��� ��������� G� �����3��������� 6�� 6�� 6�� ��� 6 ��#� 9���� ���� ��� 9���� ���H��������<� ���� � ���� �� ��� ��9�� ��� ������ � ��� �������� �������� ������������� �$���� � ���#�� ���� ������� � �� ��� � �������� ���� �����1������ ��1�������� ���H������� � ��� ���������� ��3��������� =���� � ��� ������ ��������

Page 176: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�4) �� ������ ��� <������������� ������0

�5 �� � � Q � � (� %���� �%� � ��� � .� =� ������� ��� ����������

�$���� � � ���#�� ���� Q 4����� � �

���� 5 ���� �

���� �� � �������� ��� � ���#��

� ��� :1�� �$�� �������� ���� ��� �������� � �� ���� �������� ( ��� %�

�P ����� �� � �������� ��� � ������ ��� � ��� .1�� �$�� ��� ��� ����$

��9��� �$ ����� � ��� ��������� %� � ��� (� �� � ������ + Q . �� �

���� ��

������ � � � � ��� ���� ��� &%��)� ( �� &%��)� ��� � ��� ���� ��� �������� ���� &%� .)

!&.��) �� ��� ������ . ��� � ����� �.� �� ( � &%��)�

=� ��� ��� ������ � ��� �������� �������� � � � �� ��� �����������$���� ���� ��� � #���� G 4.� G5� ��� �������� ������ �� ��9��� �$ ������������ ��3�������� 7�4"5�"

� �

7�4"5 Q %�4G54" � ��4G554" � .� S��4G55

"4" �%54" ��54" � .� S%54" � .� S�5�

���� %�4G5 ��� ��4G5 ��� ��9��� �$ ��� 7�1������ � ��1�������� ���H���1���� ����� ��� ��������� ���� � �������������� ������ � �� ������������ + Q .� ���� ��� �������$ ��%�4G5 Q * � ��4%����4G55 �� �����9���

��� �������� ��3�������� ��� ��� ��#� ��� ��� 7�4"5�"��

7�4"5 Q %�4G54" � '�0�.�54" � '���.�5

"4" �%54" ��54" � .� S%54" � .� S�5�

���� %�4G5� I4G5� �4G5 ��� ��9��� �$ 7�1������ � ��1�������� ���H���������� I� � ��� �������� �$ ��� ��� �� ����������

��0

�7�4'�55'

�5�5 Q (� ��%�4G5 Q �� R I

:�

��5 8� � � � ������� ��� ���������� �$���� � ���#�� ���� Q 4��� ����� 5

���� �� �� ��� ������ �� � ��� .1�� �$�� ��������� �� ��� (� %� �P �����

�� ��9��� �� ��� ���� �$ �� ��� ��#� �� �5� ��� �������$ + Q . �� ������ �� ������

��� �������� ��������� ��3�������� 7�4"5�"� �� ��� ���������� ���1

��� � ��� �������� �������� ��� ��� ���

7�4"5 Q %�4G54" � ��4G554" � .� S��4G55

"4" �%54" ��54" � .� S%54" � .� S�5�

���� %�4G5 ��� ��4G5 ��� ��9��� �� ��� ���� �$ �� �� �5� �� + Q .� ������� �������$ ��%�4G5 Q ��4%����4G55 �� �����9���

���5 7������ � � � ��� ���������� �$���� � ���#�� ��� 9��� �$�� ���� Q

��� ����� � ���� �� �� ��� ���� �� �� ��5 ��� ����� �� � ������ �� ���� ���������(� % ��� �� �� � ��� ����$ + Q . �� ��9��� �$ ��� ���� ��� &(� %)� ��� �� &(� %)� ��� �$ ��� ���� ��� ��� ����� ���� &(� � R .)

!&� R .� %) ��

� � &(� %)�

Page 177: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� '� !��E �4�

��� �������� ��������� ��3�������� 7 4"5�"� �� �#�� �$

7 4"5 Q % 4G54" � � 4G554" � .� S� 4G55

"4" �%54" ��54" � .� S%54" � .� S�5�

���� % 4G5 ��� � 4G5 ��� ��9��� �� �� �5� ��5� �� + Q .� ���� ��� �������$��% 4G5 Q ��4%��� 4G55 �� �����9��� �� % Q ��� � Q ��� ���� 7� 6� ��� �� ���������� G� ��� ������� #����� � G �������� � ��������$ �� �������������� ����� ��� �� ��� ��������� ���� ��������� ��� �����������H��������

<������ � ���� ��� ���������� ���� � �������� �� ����������=����� ��� � ��������$ � ������ % (�

����������� � � !� ��� �� ��� � ������ �� ��� ��� ��� � ���� !&� !!&�!!!&� ��� ������� ���#�� ��� �������

�4� �� � ���� G5 � �4� �� � ���� G5�

����������� � � ��� + Q . !� ��� � ����� !!!& ��� ����� -� � � 4G5 ����� � �� ��� � ��� � 1���� � �� ��� �2� ���� 7 4"5�"

� ��������� � 4G5�� � � ������ "��� ��� � ���� "�� ��� �� ���� ?� %� �� "��� G � .��� � ��� ����� " 0 ��� � �"� � .� ��� � ��4" � �5 � ��4� � %5��"��� G .

$ ��� �� $ �������� 9 + *� 9 + ) ��� ����� � ��� ��� � ����������� ��( � G � .� �� � (� =� ������� 9��� ��� ������ ���5� =� ����$ ������������� �������� ��� ������� � ��� ���� ���� � ��� �������� ����$

�������� ������ �� ��� �� ��������� ��� ��� ����� � �� � ������� � �����

��� ���� � ��1#�������� ����$ �������� ������ ��� � �

�� ����������

��� ������� � ��� ������ ��������� ��� ��� ����� � @��#�� 4��5 �

4���5 �� �� �Q ��

�� ����� ��� ��������� � E������� +�'�. ��� � ������ ����������$ � ��� ���� � ��� ������� ��� ������� �5� ��5 ��� ����������������$�

�������� ��� ���H������� � 7 ��� ����$���� �$ ��� ��9����� � �������1��� ��� ��� � ��� ���H����$ �������� � ��� � �� ������ �� ��� ���������1������ ��� ������ ���������� � ���������� ��� ������� � ��� �����4(� �5� 4%��5 ����� � ��� ��������� � E������� +�'�:� �

D���� �$ �+4�5 Q �4� �� � ���� G5 Q �7�� 4� �7��5� �++4�5 Q �7����+++4�5 Q �7 � ���������� ��� ���������� � ��� ������ � ��� ��������� � ��� ���������� ��3�������� �� � �

����������� � � !� ( � G � .� ���� �+++4���'�85 � ��� ���� �������� ; � &(� *) �� � �� ���� ������� � ; � &�*� () $ ��� =� ��#� ��� �������� �� ��1�����#� #����� � ;� �� ��� � ��������� :�,�: ���� ��� ������ �� � ��3���������� ������� ��� ������� �

Page 178: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�4� �� ������ ��� <������������� ������0

� ��� ���� ��� #���� ��4�5 �� �������� ����������$ � ��� ���H����$ ���� ��3�������� 7 �� ��� ���� �� �$ E������� +�'�: ���� #���� �� ����������� ��� ����1����� �� " S� � (� ��� ������ #���� � ��� ������ ���'�8 �� ������� � �� �������� ��� ��� ����1����� �� " S� (� ��������� ����� ������������ �� �����#�� ���� ����� � ��� ��������� � E������� +�'�'� �

��� ��� �� E�������� ��� �� ��#�� �������$�

����������� � !� ��� � ����� !&� � + Q .� ���� ��� � �� ��� � ���� 1���� �� �� ��� �2� ����� 7�4"5�"

�� 7�4"5�"� ��������� % �� � �

������ � ��� �������� �� " S� � (

����������� � " !� ��� � ����� !&� � G (� ���� ��� ������� ��4���'�85� ��� ���� ������� � ; � &(� *) �� � �� ���� ������� � ; � &�*� ()�, Q 2� 22

� � ������� �������

=� �������� ��� ������������ ���� �� �$ ��� ��3��������� 7�� � � � � 7 �� ��%����� +�:�:� ����� �1������������ ����������� ��9��� � � ������$����� �������� ������� A�. ��� ��� ������ ���������

M�� 4�5 Q ,6�4�5

�6�4�5� � , Q� � .

� R .� + Q .� :� '� +�

������ ��� ����� � Q (� . ��������� 8�#����$� �� � �� � ����� ���� ����������� ��� ������� � ��� ������� � ��� �������� �������� ������������$ ��� ��3��������� 4+�:(C+�:'5�

��� ��� �� ������ ������� ��� ��� �������� ���������� � ��� � � � � � � ��� ��������� G� =� ��#� ��

��.�.�

Q ����.�.�

� ����.�.�

Q ����.�.�

����.�.�

Q � ��.�.�

������ +�.�. $����� ���� ��� ������ ��� ��

���.�.�

�#�� ��� �������

������� ��� �

���.��

�#�� ��� ������� ������� ��4��5� �� ��� ����� �� ���� �������� ��������� � ��� � � � � � � G ����$ ���� �� ��$ ���� & ���

�����7�

��4��5� Q ���4��5�.�.� � & � �� 4��5�.�� Q �����7�

��4��5�

����� ��� ���� + ��� UG ���� ���4��5�.��. Q &� @��#��� ��� ������������ ������ ��� ������������$ �� ��� ������ &�.� .)� ������ ���4��5� Q ��4��5 ����4��5� Q ��4��5� + Q .� � � � � +�

#$���� � � 3� �� � � �� ��� � � ����� � UG �� + Q .� � � � � +���� ���

��4��5� Q ��4��5���.��.

� �� ��4��5� � ��4��5���.��.

��� ������ � ����� ���� �� � Q ��

���.��.

Page 179: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �A�/��� !���$�� %�$ 9'#��+�%�$�# �#�� �% &� '� !��E �4�

$ ��� =� ���� + ��� UG ���� ���� ��4��5� Q ��4��5���.��.

Q & �� � ����1

��� � � �� � ��� �� ��������� + Q +� UG � &G � .)� ����� � ���������� ������ � ��� �������� �������� ������� �$ ��� ��3�������� 6 4�5��

��� ��� ������ � �� ��� ���������� �$���� � ���#�� � Q 4��� ��5 ������ ����$ ��9��� �$ ��� ���� ��� &(� ��)� 6 � ������ ��� ��1

����$� �� � � �� ��� ������ ���� ��� � �� ��#� ��4��5� � � 4��5���.��.

��� ���� �4�5 �� �� ��������� ��� � � ��� ��� '�� �� ��(��� ��9��� � �$�1

��� � ���#�� '�� �� ��(���4�5 Q 4'�� �� ��(���4��5� '�� �� ��(���4��55 ������ �� ���������� �$���� ���� Q �4�5 � � � Q � � &� �4��5'�� �� ��(��� (��� ��� ,� ����� ��� � �� � �4� �� � ���� UG5� ��� �$ E������� +�'�.���� � �� � �4� �� � ���� UG5� �$ E������� +�'�' � ��#� ��� ���������$

�4� �� � ���� UG5 � �4� � &� ��4��5�� (�� � ���� UG5�

�� ��� ������ ������ ��� ������� �� ��� ���� ��4��5� �� �������� � ( ����4� � &� ��4��5�� (�� � ���� UG5 � �4� � &� �� 4��5�.��.� (�� � ���� UG5�

<� + Q .� : � ��� E�������� +�'�+ ��� �� HQ' E������� +�'�A� ������������� � ��� ���� 4+� UG5 ��� � ��� ��� ���������� � ��� ����������� �� ������������ �������� � ��� ������ �� �� ��� ��� � ������+�:�'� ����� ��� ������ �� ��#�� ��������$� �

������ "�4;5 Q ��4��5���.�8

���� + Q . �� ; � &G�� G�)� + Q : ��

; � &G�� G�)� + Q ' �� ; � &G�� G�)� "�4;5 Q � 4��5���.�8�.��.�

�� ; � &G�� G�R

.� G )P , Q .� :�

#$���� � � ��� � � �� ��� ���� ����� � �� �� �� ��� ��� ����� �������� 24�5 Q 4��4��5�� ��4��5�5� ( � �� � �� � .� � � ��� �� ���� ���

��-���4��5� �� ��4��5� #���� � � ���� -�� �� 4"�4;5� "�4;55 � ; �

&G�� G�R.�G ) ��� �� �� � ������ ��� ���� ������ �� � �� � �� ����� ; � &G�� G�) �� ��� ���� � ; � &G�� G� R . � G ) ��� �� �� ����� �� ��� �� �� � �� ��� � ��� ���� ; Q G� �� � �� -���� � ��� �����; Q G�� G� R .� G

��� ��� � ���� ������ �� ������� � ��� ��� � ������ +�:�+� ������� ��� �� ��������� ��� #�����

#$���� � � ��� � � �� � ( � �� � �� � . !� ��4��5� � ��4��5�� ����

�J

�.� ��4��5�.� ��4��5�

���4��5���4��5�

�� J

�.� ��.� ��

�����

��

!� ��4��5� ��4��5�� ����

Page 180: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�4� �� ������ ��� <������������� ������0

�J

�.� ��4��5�.� ��4��5�

���4��5���4��5�

�� J

�.� ��.� ��

�����

��

#$���� � ��� � � �� � ( � �� � �� � . !� ��4��5� � ��4��5�� ����

�J

�. R ��4��5�. R ��4��5�

���4��5���4��5�

�� J

�. R ��. R ��

�����

��

2������ � ���� ������� ��� ������� �� &.A*)� &.A,)� &.A/)� &.*.)�

Page 181: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�� ������ �� ���!�"����� #����

��� ���� ������ � ���� ������� �� � ����$ ��� ����� � � 2������ �������#��$�� ��� ������� ��������� � ���� �������� ����� � ��� ������� ��������� �� � ��������� � � ������������ ������ ��� #��������� ������� ��� �� ����#��� �$ ���� #�������� � ��� ������ ������� ��������� � ��������� ��� ������� � ��� ������ ���������� � ��� ������������ ������

��� � �� ��� ����� � � '�����/����� ������

�� �� - �� ��1�����#� ������� ��� �� �� � 2������ ������� � 9���� �$��4�� -5� ����� �� �� � ���� � ��� - ������� ���������� �� '� � ' R - (����� �� �� � �$������� ������� �$�� ��� ��� ���#����� �#�� �� ��������$����#����� � ��� ���� ���� � � ��� �#���� ���� �������� ��� ������ ���� ���#����� �#���� ������ � ���������� <������� ��� B� � @���������������� � � � 8�� ��$� ���� ��� <������� ��� B� ���������� ���2������ ������� �� ��� �� Q ��B��

��� ������������ ����� R 4��5 �� ��� ����� � ����$������$ 9���� ����������������� � � ������� ������� �� ���� � ��� ����#����� �� ����� �� �������� ��� ��� ��� ���� ���� �� ������ � ��� �������$� �� ���� ���� �� �� � ������� ����� � ������ 4 ��� ������� � ��� ������� ���������5 2������ �������� � ��� ���� ��������� ��� ����$������$ 9���� ����1��� �$��� �� � �� � 2������ ������� ��� � �� � ���������� � ���������� 2������ ������� �� �� �� =� ������� ��� ���� 4�� &� )5 �� � � ,������� �� ��� ���� &� ) �� ��� ����� � ��� ����������� ������ �� � <� ��� ��#������� � ��� ����� ��� ������ 2������ ������� �$ 4�� �5 ���� � ���������� &� )� ��� ������ 2������ �������� 4��� ��5 ��� 4��� ��5��� ���� � �� �������� �� ����� �� � ������� ���������� E 0 �� � ������ ���� ��� ��� ���

� Æ E Æ �� �� ������ � ��� �������$ ��� � ��� =����� �� ����#������ ����� � ��� ������ 2������ �������� ��� ���� �� ��� ����������� ���� ��� ��� �������� � ��� ����#������ ������� ��� ���������� ���� R R 4��5 4 ��� ������� � ��� ������� ������� ��5� ��� ����#����������� ����������� �$ ��� ������ 2������ ������� 4��� ��5 �� ���� � �� ���������� ���� ( � R 4��5� ��� ������������ ����� R 4��5 �� � ������ ����$���������� � ������ �������� '��'R-� <� ����� ������� � ����� ��� ������

Page 182: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�43 �� ������ �� ����F�1����� ������

� � !� ������ &-)� &/)� � ���� &.,) � ��#�� ��� ��������� � ���� �1�������� 4�����5 �� ��� ������������ ����� 4��� ��� &,.)5� <� ��� ��������������� � ��� ����� � &.)� &/()� &.(+)�

��� ������������ ����� R �� � ������� ��������� �����$ �������� ����� ��� ��� ������� ������������ ������ /< 4�� �5� ������ 4��� ��5 ��� 4��� ��5 ��� ��� ������ 2������ ��������� ��� ���������� �� Æ ���

� 0 �� � ���������� � ���������� � ������ 2������ ��������� ����� ��� ���1��������� ���� 4��� ��� &.-)5 ��� ��� ����������� ������ ��� Æ ���

� � �� 4��� ��5 ��������� � ���� � � R 4��5 ��� 4��� ��5 ��������� ����� � � R 4��5� �����

/< 4�� �5 0Q.

:�����

. R �M���

.� �M��� �

���� � ���� � #�� ��� ������������ ����������� ���� ��� ��1���� � �� Æ ���

� ��� �M��� Q ��� ����)�

�M� 4�5� � .�

�� �� Q ��B� ��� ��� �4B�5 �� ��� ������ ����� � �������� ��3����1����� M4�5�S���� ���� ��� ��#������ ��� ������� � ������ ��� B�� ����� M4�5�� � ���������� ������� �� � ��� �M��� � ��� M4�4�55��4�5���4�5 QM4�5� � � B�� �� �4B�5 �� ��� ���� ���� �� �4B�50 �M��� � .� ;���M � �4B�5 ��9��� �$ ����� � ��� �������� ������� � ������ �������1����� ���������� 1 0 � � � � ��� ���� ���� ��� ��� �����������14�.5 Q �.� 14�5 Q �� =� ����� �$ 24B�5 ��� ����� �������� � �����3��������� M � �4B�5 � ���� ��� ���

1 ���� ����������$ � �� ��� ���� ����� ���� �� � �� <��� � �2� ������ ��� ������������ ����� R 4��5 ��� ���������� �� ��� ������������ ����� � <������� ���� R 4B�5 Q �4B�5�24B�5�2������ �������� � ��� ���� ������� �$�� 4�� -5 ������� �������� ��1���������� ������� � ���$ ��� �� ����� � �� � ����� ������������ �����R 4�� -5� � �#��� �� ��#������� � ��� ���� ��� ������������ ����� ������ ������� 2������ �������� ����� �� � ������� �������� ��H�����J 0 �4B�5 � R 4B�5�

D���� �$ ?���4B�5 ��� ����� � ��� ��������� �������� ��3���������84�5��� �� � � ��#������ ��� ������� � B�0 84�4�554�

�4�55� Q 84�5� � � B����$ ��� ����� � ��� �������� :1���� � ���� 41+5 �� ��� ��� B� ������ 9���� ��� �8� 0Q ���

-4.�����5���84�5�� ��� ��H����� � ?���4B�5 ��

�� �� ��� ����� � ��������� �������� ��3��������� 6 � �� ��� �� ��� ����� 9���� 2������ �������� ���$ ��#� 9���� ������� �����

)�

�64�5��$� ��

8� �4B�5�?���4B�5 �� ��� ��9�� � ������

%4M5 Q

��-!=�

M8 �$ �

Page 183: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!' � � ���+&�1' �$ ��#+�� �44

D���� �$ S4B�5 ��� ����� � ������ � �� <��� � �2� ������ ����� ����������� � �4B�5 ���� ���� ��� ������ � ��� ������ %4M5� ����� ����� �������$ ��� ������ ����� � R 4B�5 �� ��� ������� ���� ��� ��� �����?4B�5 0Q �4B�5�S4B�5� �� �� ������� � ������ �� � � �������� � �4B�5�D�9�� ��� ������� ������� O1 0 M �� O14�5 � ?���4B�5�

O1 Q.:

*

��-!=�

M4�5

4� � �5 �$� � M � �4B�5�

��� ����� S4B�5 �� ��� ��� ������ � ��� ������ O1� D�9�� ��� ������O�> 0 8 �� O�>4�5 � �4B�5 ��

O�>4�5 Q84�5

4.� ����5� � 8 � ?���4B�5�

��� ������ O1 Æ O�> ���� ����������$ � ?���4B�5� ����� ��� ������ O�>

������ ��� ��� �� ����� ��������

( �� S4B�5 T� �4B�5?��� ?���4B�5 �� (�

����� ?4B�5 Q O�>4?���4B�55 �Q �4B�5�S4B�5� �� ��$ ���� ���� � R 4B�5

�� ��� ����� ��� ������ �����?4B5 �$ ��� ���� ����#����� ��� �������� ��� ��� B Q Q14B�5 ���� Q1 �� ��� ��� ��������� ��9��� �$Q1 0 B� � 1ÆB�Æ415��� ��� ������ �M� 8 0Q %4M5 ��9��� ��� ������������ ?���4B�5 ���� ��� ��������� ������ � E������� �� ��9��� ��

48�� 8�5 Q

��-!=�

8�4�58�4�5

4.� ����5� �$ �

��� ?��������� =���1E������� ������ 4��� ��� ����� �$ %� =����� &.,,)5M�� M�� Q �M�� O1� ��� �� ��9��� � ��� ������ ����� � R 4B�5 ���� �#��� ?��������� ������� ��������� � R 4B�5�

��� + ��� � '�����/����� ������

8� � 2������ ������� �� � �$�� 4�� -� #5 4�� ���� ������ � ��� # �Q (5 ���9�� �� ���������� �$���� � Q 4��� � � � � �#5 � ���#�� � �$�� �� ��� �����$���� ������� � ���� �����$ � � ��� ����$ ������� � ���#�� ���������$ ��� ���#�� � ��� ���������� �$����� � ��H� ������ ��������� �� ���������� �� ����0 ���� #��� ����� G� ��" ��� ������� �4��� �� G5 ���������� ��� � ��� �� ��� ����� �� �� ���� � �� ��T

Page 184: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�4� �� ������ �� ����F�1����� ������

" � � @���������� �������

6 �� ������� �� � #��$ ��� ������ ��������� � �� � ����#� ���������� ��� ��� ������ �4��� �� G5� ����� � ��� �� � ������ ��� ��1���� �� ��� ������������ ����� R 4��5� �� �� ��9�� ��� ������ ������4:�.:C:�.'5 �� ��� ���� �����$ � � �� ��� � ���� #���� G 9���� D������� ������ �� ���� ������ �$ �4��� �� G5� 7������ � ������������ ���" Q �4�5 0 �� � � ��� � ������ �������� ��������� M� Q ������ ���� ������� ������ 2������ ������� 4�� �5 ���������� � ���� � � ��� ����������������� R 4��5� 6 ��� �� ��9�� ��� ������ ������ 4:�.:C:�.'5 �� ��� ��1�������� �$���� � ���#�� �� Q 4�4��5� � � � � �4�#55 ��� ��� ���� ���� #��1�� G � ��� 2������ ������� �� D�9�� �� Q �4��� �� G5� �� Q �4�� �� � G5� �� 614"5�"

� 4" �� � ���� ��������� � �5 �� ��� �������� ��������� ��3��1������ �� ��� ������ ������ � �� �� Q

)�61��$&� %���� ��� ����$

�$�� � ��� ���� ��� ��� ���� ����#������ ����� � � R 4��5 ������� ��� �1���$ �$�� � ���#�� � �� ��� ������� ��#������� � ��� ������ ����������� ��� #���� � �� ��� �� ������ � ��� ����� � � � �� ������� ��$ ���� ���� � � R 4��5 ��� � ����� �� �$ �4�5 ���� � #����� #�� ��� �������� R 4��5 �� ��� ���������� �$���� � ��� ��� #���� G 9���� �4(5 Q ����� J4M�5 Q J4M�5 Q �� ���� ��� ��3�������� 61� ��� �� ������� ��� �����3�������� 61� �$ � ������� ��������� ��� ��������� ��3�������� �� ��1#������ ����� � ������� ����� � ����������� ��������� ��� ��3���������61� � 61� ��������� �� ��� ��� ���� ��3�������� 6$� 6� 6�

%��

74�5 Q 614�4�55���

�. R M4�5

64�5

�64�5���

����� ��� ��3�������� 74�5��� �� �����$ ��������� � �� ��� �7�@� � �

(�� " � � 3� ��� � ���� � �� ������ ����� "� ���

�� ���)�

�74�5��!��64�5��!��$� �

$ ��� ��� �������� ���H������� � ��� �������� ��������� ��3�������� 64�5���

����� �� ��� � �����$ � ��1#�������� ��� ������ ������� ��� ����1

������ ���#����� � �� 4�#����� Q ��5� ����� ������ ��� ��������� ������ ����$ ������� ������� � ��� 9��� �$�� ��� ��� ��� ����$ ����������#����� � ��� ����� �$��� ��������#��$� =� ��#� ������

��

�64�5��$� �����

�74�5��!��64�5��!��$� �

�� � � �� �� � ���H����$ � ��� ��3�������� 64�5��� P � ������ ���� �� ��

� ��� 9��� �$��� ����� . � + � H� �� � � �� ���� 64�5��� � ( ��� 64�5��64�5� Q

Page 185: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!' � � ���+&�1' �$ ��#+�� �4(

�S���� �� ��1������� �� ��� ����� ���#� �4�5 �� ���������� �� ��� ������������ �� �� � ��� � ��#� ��� ��� �� ����� � ��������0

G� Q

��

��64�5����� �

�����

��614"5���"� Q

Q

��

��614�4�55������ R ����S� � Q

Q

��

��614�4�55���� �

���. R M4�5�S���

��� Q ��

��74�5������

=� ���� ��� ����$ �������� ����� �� ��� � �������� ������ ���H��1��$ �� ��� � ������ ��� � ��� ��3�������� � ��� ������� ������$������� � �� ��� ����� �$ ��� ��� �����$ �������� ����� ����������� ���������

� Q P R �5 Q.

G�

� � �64�5��

�� ������� 4 ��� ������� � ��� ��������� ��3�������� 65� ����� �� ����������

������������ � Q �4�5 ��������$ ���� ��� ����� ��� �� � ��������( �� ��� �1�����P ���� �������� �� � ����� . ��� � ����� 4��5� ����4��5 �� ��� ������ � ��� ��� ����� �� ��� ������� � ��� �����$� ���#�� ���� �������� ��� ������$ �������� � �� � ��� ��3���������64�5��� ��� 74�5��� ��� ��#������ ����� ��� ����� � ��� ���� ���������� ��� ������� ��� 7���������$� 64�5��

� Q 64�5���� 74�5��� Q 74�5���� ����� ����� � ��� ���� ��������� � � ��#� 64�5 G�� � �����

����

�64�5��$� Q G��

*��� ���

�5

���

�P � G��

*��� ���

�� ���

��74�5�G�

�P

�� �5�

E����� � ��� ����� �������� � ���������

�64�5��$� � G�

���

��74�5��P�5�

7����� ��� ���� ��������� � ��� ���� ��� �������$��74�4�55� ���� � Q

��74�5��

� ������� ����

Page 186: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��) �� ������ �� ����F�1����� ����������

�64�5��$� � G�

����

��74�4�55� ���� ���$� Q

Q G�

����

��74�5� ���� ��$� Q

Q

����

�74�5��!��64�5��!��$� �

�� + Q 4HR .5� � � � ��� ��� ��#� �������� ������ #����� ��� ��� ������� ���� �� �� ����� %����� ��� �������� ������������ ��� . � �� � ��#���� ������ �

=� ������ ���� J �� � ��H����� �4B�5 � R 4B�5 Q R 4��5 ��� ?4B�5�� � ������ ����� � R 4��5 �� ��� ������� ����� ��� ��� �� ������ �#���� � #��������� ������ �� ��� ��������� �4�5C ��� ������ �������� �R 4��5�

#$���� " � � ��� � �� ���� �� R 4��5� ; Q ��� �M�� �� �� M � �4B�5���� ��� J4M5 Q � ����

�4�5 Q �4(5� :2�

��-!=�

M�4�584�5�$ R 04;5�

"�� � M� � ?4B�5� �M��� Q ;: 84�5��� � �������, �� ��� ��� ������ �� �2� ���� 64�5��� �� ��� ������� �4(5 ���� ��� ���� �� ����� �� �

$ ��� �$ ��� ���1�� � ������������ ������ � ��� ������� � ��� ���1���� ��#����� ��� � ������� ��� 4��� %����� A�.5� ����� ������ � ���1��������� ��� � ���� ���� ��������� Q ;� ��� �������� ����� �� �����

�4(5 Q

��)�

�64�5��$� ���)�

��64�574�5��$� Q

Q

��)�

��614�4�55���� �

���. R M 6�6� �����6� �$� �

��� � ��� ��� %�� ��� ���������$ � �����

�4(5 �����)�

�6145��$"���!�

�����)�

�6�

���. R M ����

����.� �M�� �$�

����!�

%������ ��� � ����� $����� ��� �������

Page 187: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!' � � ���+&�1' �$ ��#+�� ���

�4(5 � �4�5

��-!=�

�84�5�

���. R M4�5 >���>���

����.� �M4�5�� �$ �

���� � � � 4�� ��#�������� � ��� ��� ���� ������ �� ��� ������ ��1������� � ��� ������� ��� � ��� ���#����� �#����5� ���� � ��#� ���� ���

����� � #�������� M4�5 Q M4F4�55F �4�5�F �4�5� 84�5 Q 64F4�55F ��4�5� ����� Q F4�5 �� � ���� ���������� �������� ����� �� ��������� ������� ������ ���������� ��� B� 4��� %����� +�.�.5� D�#���� � ����� �$ �������� ������� ��� �������� �� � ��� � M� � ��� ����

�4�5 � �4(5� :2�

��-!=�

M�4�584�5 �$ RA4;�5� 4A�.5

� ����� ��� ��#���� ���������$� � ����$ ��� ���� �������� � ��� ��#����������� � Q ���4"5� 7��������� � ��� ��������� M� Q �M � ����� � ���

�#�� ��� ���������$

�4(5 � �4�5 � :2�

��)

61 M�� �$& RA4;

�5�

�4�5 � �4(5� :2�

��)�

614�4�55��� M

��$� RA4;�5� 4A�:5

�� ���� � �� ����

2�

��)�

4614�4�55��� � 64�55M��$� Q 04;5� 4A�'5

� �������� � ������ ��������� � �4B�5 �$ ���� ��� �����$ ������������������ ��3��������

8144�55� � 84�5 Q Z8� � � ��

���� 4�5 �� � ������������ ���������� � � ��� ��� ���������

M4�5 Q�����

Æ 4F4�55F �4�5�F �4�5

��� ��� ����������� 4�.5 Q �.� 4�5 Q �� <� �#��$ N � �4B�5 ��� �����3�������� ������� N� � ?4B�5 � ��#�

2�

��-!=�

Z8 N �$ Q 2�

��-!=�

Z8 N� �$ R 04�N��5�

Page 188: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ �� ����F�1����� ������

%����� N Q M� � ��� ���� 4A�'5 ��� �� ��#�� �� � �� ����

����1���

���� ��-!=�

48144�55� � 84�55M��$

���� Q (�

���� ������� �� � ���������� � ��� ������� ��������$ � ��� ������������� ��� ��� ��� �� �����0 4�5 ����� � � �����$ �������$ �� � P ����� � . �����$ �� �P 81 ����� � 8 �����$ �������$ �� � 4�$ #����� ���� ��#������ �61� � �6� ��� ��� ���������� � ��� ����� ��3��������5�

8�#����$� ��� �������� � ������ A�:�. ��� � ��� 4A�.CA�'5� ������������ ��� ���� �

��� ��� �� ������$ �� � ��3�������� ������ �� ��� ������ � � �����$� ���#�� ��� ������� � ��� ����������P ���� ������ �� ��#�� ������� ����$ ��3����� ������ �$ �� %�$��� ��� ;� ;���B$��# 4��� ������ :�,�:5�

��������) " � � ��� � Q (� # Q (� "� Q �14��5� + Q .� � � � � -: �� ��� � ������� Q "��� Q (� ���� Q "��� Q .� �� Q "� Q ����

� �1

� "�

�����1��

Q *2�� ���� 64�5� + Q .� � � � � 4-� '5�

$ ��� �� M� � ?4B�5� ���� ����� ������ � ������ ���� :1��� 8�4�5 �?���4B�5 � ���� 41+5 ���� ���� M

� Q 4.� ����5��8�4�5� ��������-!=�

M� 8 �$ Q��-!=�

8 4.� ����5��8�4�5 �$ Q 48� 8�5�

���� 4�� �5 �� ��� E������� ������ ������ � ?���4B�5� �� (� � + Q.� � � � � 4-� '5� �� ��� ����1����� � � � ��� �������$ ����������� #�����

.

*

��4�� � .5

�4� � .54� � ��5�

�� ?���4B�5� � ������� ��� ����� 8�������� �������� ��� (�� ������#�

� ��� E������� ������ ������� �����

48� � (�5 Q

�(� �� + �Q ,�.� �� + Q ,�

���� N� 0 N� Q 4. � ����5�8�� �� ��� ���� ����� �� ?4B�5� ��� ���������"� ��� �� ������� �� ���� ���������� � R 4(� -5� 6 ��� �������� ��� ���� ��� E������� ��3���������� ������� ��� "� Q 4�� 8�5 ��� 48� 8�5 Q�*2��&�&�64"5 4���� ���� &-/)5� �

Page 189: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!' � � ���+&�1' �$ ��#+�� ���

��� ������ � ��� �������� �������� � �� ������� � �� �����������$���� � ���#�� � Q 4��� � � � � �#5 ����� � ��� ��������� �4��� �� G5 �� ����#���� G �#��� ��#�� � #���� � Q 4��� � � � � �#5 � ������� ������ ������� ��� �������� �������� ��� �� ?� %������ 4E�������� :�,�:� :�,�'5 ���� � 9� ��� ����� � ��� ������ � ��� �$ ��� ���#�� � ��� ��������������$ �������� ���� ������� ���� �� �������� ����� ��#�� ������������ � �����#� �����

6 � �������� ��� �������� ��������� ��3�������� 64�5��� � 9���� � ��� ��� 9���� ���H������� � ��� �� 4��� � � � � �#5 �� ��� ���������������$���� � ������� �� �� ������� � � ��� �����$ � ��1#�������� ��1��$ �������� ������ ��� �������������� 4�4��5� � � � � �4�#55� ��� ������ ��� �������� ��� ������ ��� � ��� �#��� ���������$ 4�4��55 ��4��5 ����� Q ���4:/< 4(� �55� �� ���� ����$ �������� ����� �4��5 � ������ � ������ �� �$� � ��������� ��� ������$ �������� � �4��5��� �� ���� ������������� �4��5 � ������ � ������ ��� �������� ��� �1����� ����� � ��� ���� 4�$� � � � � � �

$#5 �� �� ���������� �$���� � ���#�� �

�� �$ E������� :�,�' �� ��� ���� #���� � Q 4��� � � � � �#5 � ��������� ��������� ��3�������� 64�� �5���� 64�� (5 Q 64�5 ��� 9���� ���H�������� �����$ �$�� 4�$� � � � � � �

$#5� �������$ � �4�5 ��� ��3�������� 64�� �5��

��� �� ������ � ������� M � � � ��� � ��� ���� � � R 4��5� D���� �$H4�5 Q H�4�5 Q �64�� �5�@� � =� ������ ��� ��������� � ���� ����������

����������� " � � ��� � � R 4��5� � Q ���4:/< 4(� �55 ���� H4(5�� �H4�5 � �H4(5

$ ��� �� 4�$� � � � � � �

$#5 �� ��� �������������� �����$ � ������ �� ��� ���1

��������� 64�� �5���� ��� ��� 4��� � � � � �#5 0Q 4��� � � � � � �

�#5� %���� �

$� ���

�$4��5 ��#� ��� ���� ������ �$��� E������� :�,�: ������� ��� �������1��$

H4�5 Q �64�� �5� Q#����

���4�$

� 5�

#����

���4�$4��55

8� ��� ���� ����� 4�$4��55 � ���4��5� �

#����

���4�$4��55

� �

#����

���4��5

Q �H4(5�

M��� ��� ��#���� ���� � ����� ��� ����1���� ���� ���������$ � ��� ���1������ ���� �������� ��� ���� �

��� ��� �� ������ �� ��#�� ���� �� ���� +�. ��� ������ +�.��$ ���� ��� ���������� ��������� ��� ��� ������ ���H�������� <����� ������ ���� � ��$ �#� ��� ����������

#$���� " � � ��� � �� ���� �� R 4��5� ; Q ��� �M�� �� �� M � �4B�5���� ��� J4M5 Q � �����

Page 190: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ �� ����F�1����� ������

H4�5 Q H4(5 R :2�

��-!=�

M�4�584�5�$ R 04;5�

"�� � M� � ?4B�5� �M��� Q ;: 84�5��� � �������, �� ��� ��� �� �2� ����� 64�5��� �� H4(5 ���� ��� ���� �� ���� �� �

������� A�:�.� A�:�:� �� ����������� $���� ���� �4�5 ��� H4�5 ��� �����$������� �� � ��������� � � �� ��� ��$ �� ��� �������� ��������� ���1��������� 6$ �� �����$ �������� �� ���� ����������

" � � #$��� ����

���� ��� ������� � � ������ ��� ������� 2������ ������� � �� � �$��4�� -5� <���� � ���� � ��������� ��� ����#��� ��������� ���� ��� ������� ��3��������� � 2������ ��������� =� ����� ��� ������ � &-)� &./)� &,.)�&.(+) �� ��� ���� � ������ 2������ ��������� D���� �$ F 0 � � �� ���B�1��������� �������� ��$ ��� ���� ������������ � �� Q ��B�� ������ ! �� �� ������ ������� ����� �#��$ �������� !1��3�������� 64�5���

� �� ��� �� ������ � ��� ���#����� �#�� � �$ ��� ����

64�5��� � 84�5����

���� 84�5 Q 46 Æ F4�55 4F �4�55��<� ���������$� � ����� ��� ������ #���� ������ � ��� ��3��������� ����1

����� � �� ��� � �$ ��� ���� �$��� ?���4��5�7�������� ������� 4&'-)� &.+()5 ����� �� - Q ( ����

��� �?���4��5 Q

"##$##%(� �� ! � (�.� �� ! Q (��� �� ! Q .�4:!� .54� � .5� �� ! .�

(�� " � � 3� ! � . �� - ���&'� '�� :4!� .54�� .5)� ��� �������������� �� ��� ���� ?���4��5 � ���� �� ��� �� ���

��� �?���4��5 Q 4:!� .54� � .5 R -�

$ ��� ��� ����� �� � ���������� � ��� 2������12�� ������� %������ �� � ��#��� � � ������ 2������ ������� � � ���� � .� ����� � �� � 9����(1����� � �0 � Q

����� G�!� � ���� !� ��� ����� � � ��� G� ��� ��������

��� ���� � ��� ��#��� �� !� �� �� ��� Q G� 4��� ���� �� �� Q ( �� ! �Q !�5�

��� ��� ����� �� �� � Q����� G� � ��� ��� � � ��#���� � Q

����� G�!�

��� � Q� ��� I�8� �� ��� (1����� ��9��� �$ �R� Q

����� G�!� R

� ��� I�8� �

�� !� Q 8� � ���� ��� �������� ��� ������ ��� ��� � ��� ��#���� � � ���� ������� ��� ��� ������� � ��� ��#� ������� � �������P ��� ����

Page 191: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ��!' � � ���+&�1' �$ ��#+�� ���

������� �� ��� ��#��� ��� ��� ��������� ��� ��� ��#���� ������� �� 4��5 Q�����4�G�5!� � � ��#��� � �� ������ ��1�����#� �� G� � ( �� ��� + Q .� � � � � ,��� 64�5��� �� � �������� � ��������� ��3�������� � �� ���� 465

������ ��� ��#����

465 Q�(�)

� � �� (6� ��465 Q�(�)

�� (6 Q S � ��

���� S �� ��� ������ � ���� ��� � ��� ������ � ���� � ��� ��3���������� �������� <� ! Q ( � ��#� ��465 Q (� �� &�) ����� ��� ����#����������� � � ��#��� �P �$ ��9������ � � � �� ��4���5 Q (� ����� �� ����� ������ ���������� ������� � ���� ���� �� � Q 4�5� %����� �#����$� ��� ��#������ &�) ��#� ����� ������� � ��� ��� �� &�) 0Q �� �� <���������� ��� ��4�5����� ��� ������ ������ ����� � ��������� ��3��������� 64�5��� � ����� ���� 465 � � � (� ��� ����������� 2������12�� ������ ��$� ������ ! � . � ��#�

���� ��4�5 Q ���� �

���4��5 R 4:!� .54� � .5� �� &�)� � � (�

�� � �� ��� ������ �� � ��� ������� ��� ��� ��� � Q�����4���5� ���� �� ���

��� ��������� � �� ����

�� �������� �� � ����� ���� �� ���� �������4�5�������� ��� ��� ����� ?���4��5� =� ��#� ���� �

���4��5 ( �� ��� ��$�� �� � :4!�.54��.5 4���� ���� &.'.)5� �� ��� � ���� ����� ��� ������������� � - � ��#� ���� �

�4�5 Q ���� ?���4��5 Q 4:! � .54� � .5 R -�

���� ��#�� ��� ������ �

(�� " � � ��� 64�5��� � ?���4��5� � � �� ��� N� ������ ��� � �� ����� -� � �� 6 � ��� � �� �� ��� ���� �� 6 � �� �,�� "�� ��� ��� %�& � �� � ���� �� 6 ���� ��� ����� S �� -� �� �� 6 �� �� ������� "�� ����������� ���� ��

S Q ������

N� R :!4� � .5�

$ ��� ���� ������$ ��� � ��� ��� ���� ���� ��� ��3�������� 6 ��� ������� 6 Q :!4�� .5 � ��� 7���$�� ��� ����� � ��� ��3�������� �� ��� ����1����� � �� � ��� ����1���� ����� � ����� ��� �������� � ��� �������

����� � ������� �� Q ��B�� ���� B� �� ��� ���������� <���������� ��� ��� ���� ���� � �� � �������� ������� � ��� ��� � ���1��������$� ��$ ����������� ��$� � �� � �� ������ �$ ������� ���1;�������� ����� ��� �� ��#�� �� ��� ��1;�������� ������ ��� ����� ��� ��� ���� ��� ����#������ �� !�� � � � � !( �� ��� F1��H����� � ��� ����������� �������� 9��� ����� � B�� ��� ���#����� �#���� �� �������� #���� �� ��� �������� ������ =��� ���� ���� !� � �������� ��� ������ ��

���� 4�� � .5 �� ��� ���� � �������� �� !� �� ��� �������� ���� � �� ��

Page 192: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��3 �� ������ �� ����F�1����� ������

��� �������� ����� ��� #���� 4�� �P��� � � � ��(5 �� ������ ��� ����� � � ������ B�� ����� ��� :� R � �������� � B�

%�� ��� � � � � %' � �' � 3�� � � � � 3(�

���� %� � �� ��� ��� �$������� �������� ��� 3� ��� �������� ��� ����������� � ��� ��� B�� ���$ ������$ ��� �������"$%

3( Æ � � � Æ 3� Æ���' Æ%��

' Æ�' Æ%' Æ � � �� � � Æ���

� Æ%��� Æ�� Æ%� Q ���

3#�

� Q ��� + Q .� � � � � � �� ��� �� �Q �4A�+5

(�� " � 3� ��� � ���� � � R 4��5� ��� � ���� B� �� �����4�5 �� :� R � � ���� ����� � �� %�4�� �5� � �� ��4�� �5� � �� 3�4�� �5�+ Q .� � � � � �� , Q .� � � � � � �� � ���� ���

*& ��4�5 � � ���� -�� � ����� � Q $4'��� �5� "�� � ( � ) � :*:$4'��� (5 Q '��: $4�� �5 ������� ������ ������ �� �:

)& %�4�� �5� ��4�� �5� �� 3�4�� �5 ����� ��� ����� %@ 9& �� ������������ ������ �� � �� �: ���� ���� �� ����3����� � ��� B4�5� ����� B4(5 Q B� �� �4�5 Q �4�5�B4�5 � ����� �� ���:

)& ��� � <��� � �2� ���� M ���� ��� J4M5 Q �� ������ ��������� �� �� �$ 0 �� � �4�5 ���� ��� ��� ��������� ���� �� ������� ����� � ,�� ����� �� ��� 4�4�5� �$5 � ��� ������� � �� ��� ���������� ���� R 4B�5

$ ��� �� M$4�5 Q J��4�5 �� � �������� ��3�������� ���� �� ��������� ��� B�� ����� �� � ������������ ���������� " Q �#4�5 � � ������ 9��� ����� �.� .� ��� �� ������$�� ��� �������� ������� "� Q �$" � ����

�$4�5 0Q

�M$4�5� �� � � � �(� �� � � � � � �

%�� �4�5 0Q �#4�5� �� � ������������ �� �$ 4'��� ( � ) � :*5� ����

��4�5 Q " 0 " Q �#4'�� Q0 $4'��� �5� ( � ) � :*��

%���� �$ ������� �����������$ � �� �� ��� � ���� # ���� ������$4'��� �5 ��� ������ �����������$ � �� ��� ������ �# Æ %� �����9����� �������� �������

4�# Æ%�5� Q �$4�5 4�# Æ%�5�

��������� ����� �� � ������ %�4�� �5 � ��� ����� �4�5 �� ������ ����������� �����������$ � � ��� �� ���� ���� %�4�� �5Æ�# �#Æ%�4�5� %��1�����$� ������� ��� �� ��� 3� � � ����� ������������� ��4�� �5� 3�4�� �5������ ������������� ��� � �����1<������� ��� B4�5 Q �# Æ B� Æ���

#

����� � �4�5� ��� �$�������� ��������� ��� �������� �������� � B� ���

Page 193: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� F#$���+ �$���$��� �% &� ��!' � ��4

���������� ��� �$�������� ��������� ��� �������� �������� � B4�5 4���&/*)5� 8�#����$� %�4�� �5� ��4�� �5� ��� 3�4�� �5 ������$ ��� ������� 4A�+5��� ������ �����������$ � �� ��� ������� �4�5�B4�5 �� � 2������������� �4�5�

�� F$ ����� �� ��� ��H����� �4�5 � �4�5� =� ��9�� � ��������������� �$ 0 �� � �4�5 �$ ��� ������ �$4�5 0Q F Æ �# Æ 4F$5��4�5� � � ���� ��3����� �������� ��3��������� M� ��� M�� �� ���� J4M�5 Q J4M�5 Q ����9�� ��� ���� �� Q �#� ��� �� Q �#� � ��� ���������� ������ ��4�5��� ��4�5� ��� �����1<������� ���� B�4�5 ��� B�4�5 ����� � ����� �1������ ��� ��� ������ 2������ �������� 4��4�5� &�

$� )5 ��� 4��4�5� &�

$� )5� =�

������� ��� ������� ��� �#�� �$ ? 0 ��4�5 � ��4�5 ��� ��� 9���������$ ����� �.� �� ��� .� ��� ��9����� � R 4��5 ������� ���� ��� ��1������ �������� � ��� ��� ���

� Æ? Æ�� �� �� �� ��������� � �� � ��������� ����� �� ��� ������� ��� E 0Q F$� Æ? Æ 4F$� 5��0 ��4�5 � ��4�5� ������ 4�$� 5

�� Æ E Æ �$� �� ������ � ��� �������$ � � ��� ��� ��� ������2������ �������� 4��4�5� &�

$� )5 ��� 4��4�5� &�

$� )5 ��� ����#����� ��� ���������

��� ���� �� ���� �������� ��� ��� � ���� A�:�+� �

=� ��� ���� ��� ��� �� ����������

����������� " � � ,�������� &+')� ���� .� ��./:P %������ &.+.)� ������:�*� ��� -5� ��� ���� ����� �� �������� � � ������� ������ ���� ��� �� ���� ! �� ����� �� ��� �� #��� ����� �� ���� 4�� -5 � '��' R -

��� 0��� ��� �� ������� � ��� � ���

%����� � Q (� ����� � ������� �� � �� ��� -1��������� 2������ �������- � + 4� ������ �� ��� �����#� ��� ����������� �� Q � �(� .� �� � � � � � ������$ � @����� ��������5� �� ���������� ������� ������ ��� � �#� �����$��� ��������� � ��� 6����$� ��" ��� ���� �� ��� ������� ������� �� �������� �� ����� ������ ��� ��������$ 4� � (5 ��" ��� ������� �4��� �� G5������ ���� ��� � ��� �� ��� ����� �� �� ���� � �� ��� �� �� � ���������������� ��� 4&,-)� ������ A�:5 ���� �� � Q (� - Q +� ���� ��� ��1���� �� � �������� ��� ��3���������� ������� � ��� ����� �� I�� %�$������ ;� �� ;���B$��# 4��� ������� :�,�.� :�,�: ��� ���������� ����������5��#�� ���� �� ��$ - 4� Q (5 ��� ������ �� � ��3���������� ������� � ������������� 4��� � � � � ����5�

��� ���� ���� ��� ���� ���� �$ ��� ����� &.AA) � ��#�� ���� ��- Q A ��� ������ �� � �����$ ������������ ������� ����#�� ��� ��1������ ��3�������� 6 ��� ������$ � ��1��������� ��� ������ �� ������H����$ ���������� �� ��� ���� � �� ��������� ��� ����� ��� ���1���������� ��� ���� ���������� �$ �� I�� %�$��� 4��� ��� ���������� ��&.A.)� ��� ������ A�'�.� ��� ������� ����������5� �� &.A-) � ��H�������

Page 194: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �� ������ �� ����F�1����� ������

���� �� ��$ 9���� �� -� � Q '� � ' R - ( ��� ������ �� � �����$ ���1���� ������� ��� ������� � ��� ���������� � ������� ���������� � �� ��� ��� �������� ��3�������� 6 ��� ��� ������� 4'� � ' R -5 ������ ���1��������� ��� ������ �� ��� ���H����$ ���������� ����� ���� ��� ������#�� �$ ;� �� ;���B$��# &',) ��� �$ ������ ����� �� &.,()�

=� ��� ����� �� ���� ������� ��������� � �4�5 � ��� ����������������� R 4��5 ��� ��� ������� 2������ ������� �� � ���� � ��� - ���������������� ���� ���� '� R -� ' (�

#$���� " � � ��� � Q '��'R- 3� � ������� ������ �� � �� ��� ��� "���� ����� G Q 4G�� � � � � G#5 "�� ������ ��� ����� G� >���� ������ ������� �4��� �� G5 .������ ��� ��� ��� ��� ������ ��� ��� ���2� ���� 6� �� ������ � ���������� �� �� ����� � �� � 1���� ��� ���� � ����� ��� � ����� ������� ���� � �� ��� ��� ���� �� ������������� ���� R 4��5 ���� ��� ��� �������� �� ��� ������� �4�5 � � ����� � �

$ ��� ��� ��3�������� 6� ��� ������$ � ��1��������� ��� ������ �� ������H����$ ��������� ���� �� ��� ������� ������ ��� � E������� A�'�.������ �� � ��������� � � ��� ���� � R 4��5 ���� ���� �� ��� � � ���� ��3�������� 6$ ��� ��� � ��1��������� ��� ������ �� ��� ���H����$���������� �� �� ��� ���� �������� �� ��� ��� � %����� A�:�.� �� ����� ���#� ���� ��� �������� ��3�������� 6$ ������� �����������$ � � �� �� �� �� ����� �$ 84�� �5��� ��� ����1���� � ��� ��3�������� 6$4�5��

� �� ������#����� �#�� �4�5 � ��� ������� �4�5 4���� � ��� ������� ��������� �� ���� A�:�+5� ���� A�:�: ������� ���� ���� ��3�������� ��� �� �������������

84�� �5��� Q

#����

I�4�5!�4�� �5���� 4A�A5

���� ��� ��3��������� !�4�� �5���� + Q .� � � � �� ��� ��� ����� � ?���4�4�55�

��� ���$ ��� �������� ��� ������� � �� ����� �� ����� � ��#� ������� �������� I�4�5 ��� ��� �������� ��� ������� � �� =� ����� �$84�5 84�� (5� !�4�5 !�4�� (5� �

�� ��

�4(5� =� �� 4��� %����� :�,5 ������ ���� ��1��������� ��� ����� ��

�4�5� , Q .� � � � ��� �� ��� ���H����$��������� � ��� ��3�������� 6$4�

�54�� �5�� ���� ��3�������� �� ����������� ��

6$4��54�� �5� Q �G

���"

+*�"�� 4A�*5

���� ��� ��������� " �� ��9��� �� ��� ������� ��4�5 Q . � �"� � (�4�5��4��

�4�55 Q��� �(�4�5� ��� ��� ��������� �

� �� ��9��� �� ���4�5� 6 �

������� ��� �������$ 4A�*5 �� ��� ������� ���� � Q ( ��� �� ���� �� ��

64�5��� Q �G���<

+*�<�� 4A�,5

Page 195: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� F#$���+ �$���$��� �% &� ��!' � ��(

���� ��� ��������� < �� ��9��� �� ��� ������� �� Q . � �<� � (���4��

�5 Q��� �(�� ��� ��� ��������� � �� ��9��� �� �

��� ��� ��� ��1

���� ����������� � 0 �� � �4�5� ���� ��������� ��� ���� � � R 4��5������ �� �� ���� ���� ���� ��

� �� ���4�5� =� ����� �� �$ ��� ��� ���������

M�$ �����������$ ������� � �� ���� ��� ����������� " Æ �� Æ �4<5 ������� ��� �� �� ��� ��� ��4�5 �� �� � ��

� � ���4�5 � ��4�5� �� �����9��

�� �� ��� ��3�������� ������� �"��"� Q �<��<�� 7����� #�������� �$ 4A�*�

A�,5 ��� ����$�� ��� ������������� 4A�A5 � ��#�

#����

I�4�5!�4�� �5��� Q � G��"

��

+*�"�

�. R M�$4�5

�S�

��

��

���

�� ���� ����� ����

6 � 9� '��'R- ����� <� �� ������ �� ��� ����� '��'R- �������4�5 �� �4�5 ���� ��� �������� ��� ������� � �� =� ���� ��� �����<� � ���� ����� ����� ��4�5 ��� ��3����� ��� ��� =���������� ����� ����� : 4�� E�������B� ������ ��� &./)5 � ��� ������� �4�5� ��� �������������� " Æ <4�5� "� ��� �������� ��� ������� � �� ��������� � ��#�������� � �$���� � � �������� ��� ������� � � ���� �� I�4�5 �����Æ������ ���� ��� �������� ��� ������� � ��

�� ���� � ��#� ���� ��� ������� �$���� ��� � ������ ������� ���� ���� ����� ��� ����� ��4�5 ��� ��3����� ��� ��� =���������� ������ ���=������� �� ��� ����� � ?���4�4�55 ��� ������� � ����� ����� ��� ��#����� ��� ��� ������

&!�4��4�5� �5� � � � � !�4�#4�5� �5)�� + Q .� � � � ��

��� �������$ ������������ ��������� ��� �$���� ��� � ������ ������ �� ����� ���� �� �������� �� � � �� ���� ���� ��� ���� �

��� , @ + * M���� ��� �������� � ������ A�'�. ��� ������ �4�5 �������$ ������� �� ��� ����� � R 4��5 ����#�� ��� �������� ��3�������� 6$��� '� � ' 4��� ������� ������ �$ E������� A�:�:5 ��1��������� ��������� �� ��� ���H����$ ����������

� �#��� � ��� �� ����� ���� ���� ��������������$ � �4�5� �������������� �$ �� %�$��� �� � �����

>����� ������ �� � �� � ����$ ����� � ������ ��� ���� �������� �������� (� ��� �� ���4�I5� ���4��I5 ���� �� � .� � .� �����4. � .��:5 �I � *�:� ���� ��� ������ � ���� ���4�I5� ���4��I5� � ��� ���� ������ ��$ &(�)� !��$�� � �� ��� ��������� � . � ��� ���� ��� ������� � ������� ��� ������� �� ��� ��� ��� � ��� ���� ������ ���4�;5� �;� ������4.� .��:5 4��� @�� �����5� ���� ���������� ��� ������� ������������$ �� ������� ���������

Page 196: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�() �� ������ �� ����F�1����� ������

6 ��� � Q 4��� � � � � �#5 �� �� ���������� �$���� � � Q '� � ' R -���#�� � � 2������ ������� �� ��� � ���� � #���� G Q 4G�� � � � � G#5 ����� ��� �������� ��������� ��3�������� 64�5��� ������� � ��1������������ ������ �� ��� ���H����$ ���������� =� ����� �$ �� Q �4��� �� G5 ��������� �� ��� ���������� ������ ������ ��� ��� �4�5 �� ��� �����1��� �� ��� ������������ ����� R� ���� �� ������� �� � ��������� �� ��� ���� � R 4��5� 6 � ��9�� ������ ���������� �$���� � ���#���� Q 4��� � � � � ��5 � � � , � �� ��� ��� ��� #���� �G Q 4G�� � � � � G�5 ��� ����9�� ��� ������ ������ ��� ����� �$ ��4�5 ��� �������� � ��� ���1��� ��� Q �4��� �� � �G5� ���� ��� ������ ��64�5����� �� ���������� �� ��� ������������ ������ ��� ��� ������ ��� �� ��� �� ��� ������

��6$4� �5���� ���� ���������� �� ��� ������ ������ ��� ��� ������ ��4�5� ��������� ������������$ ��4�5 � �4�5 ���� �� �� 2���������$� �� �� ���������� �$���� ������������ ���� � �� �$� ��� �������� � ������� �� � ���� ��� ����1������ ������ �� ��� ������� �$���� �� �������� ���� � ��� � ������ �� �������

��������) " � � ��� �������� �4�5 �� ��� ������� �� Q �4��� �� G5 � ���� ���� ������� � ��� "���� ���������� ���� R 4��5 �� �� �������� ������ � �� "���� ����� G

��� , @ + ) �� �� 9� �� ���������� �$���� � ��� � ���� #���� G� ���������� ��������� �� ���������� �������� ������� �����4�5 ��#�� ���������� ������� �� R 4��5� =� ����#� � ���� �4�5 ��� � ���� ������� ��R 4��5� ������� ��� �� ������� ��� ������ �M�� 8 �� ��� #��������� �������� ������ :�:� �� � 9� M� � �4��B�5 ��� �M�� 8 Q ( �� ��� 8 � �4B�5����� M� � S4B�5 ��� ���������� ��� ���� � ?4B�5 Q �4��B�5�S4B�5����� ?4B�5 Q '� � ' R -� ��� ������ �������� � ��� ������� ������4B�5 �� ��� '��'R-� ���� ������ ���� �� � 9� 8 � �4B�5 ��� �M�� 8 Q (�� ��� M� � ?4B�5� ���� 8 (� ��� 84�5��� �� ��� ����1���� � ��� ��1������ ��������� ��3�������� 64�5���� �� ���� ���� ��� ������ ���� �� ���#��������� ������ �� ��#�� (�

��� 1�������� �� � ��� '�����/����� ������

6 ��� �� �� ���� � �$������� 2������ ������� � 9���� �$�� 4�� -� #5 ���������$ ��� # �Q (� �� �� ��� �� ��� ����������� � �� �� ������ ����� �� ������ � ��� ���� ���$ ��� ��$ ������ �� � � �� �� �� Q ��4�5��� �� Q ��4�5 ��� �� �� ������ � �� � ��� ��� ��#���� ��������� �� ������� ������ ������� �� � ����0 �� Q � 0 � � ��� � .��� ( � � � .�� �� Q ���� Q .��� � � ��� �� ���� ������ � �� ���� � ��� ��� ��$ ����$� ���#�� ������� � ����$ � ����������� �� ��� ��9����� � ��������������� ������� ��#�� �� ���������� �$���� � � ���#�� � �$�� ���� � ��

Page 197: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� ���+$����� �% &� ���+&�1' �$ ��$�+ �(�

��� ��� ���� #���� G � ��9�� ��� ������ �4��� �� G5� �� �4�5 ������� ���� ������ �������� �� ��� ������������ ����� R 4��5�

#$���� " � ��� ���������� ��� � /< 4�� �5 �� ��� ���������� ����R 4��5 � ���� ��� �

/< 4�� �5 Q ����.

.

:

��� � �4�5�4�5

��� Q ����.

.

:

��� � �4��4��5� ��4� 5� G5�4��4��5� ��4� 5� G5

����"�� � 4��4��5� ��5 �� 4��4��5� ��5 � ��� � ,�� ����� �� ���� �� �������� � �� � ����������

=� ������ ���� ���� � ������� ���������� �� ������� �$ %� ?�����3&*/) �� ������ ��� ��������� 2������ �������� �� ����� � ��� ������1������� �������� ������ � � ��� ������ ��#� ��� ��� �� ������ �#����� ���������� �� ����� � ��� ��������� H4�5�

�� 6 � �4��5 �� ��� ����� � ��� �������� ��������� ��3��������� ���9���� ���H������� � ��� ����� ���� 6 ��9��� ��� #���� � Q 4��� � � � � �#5 ��� �����#� ���������� ��� ��� �$���� � Q 4��� � � � � �#5 � ��� ��1�����������H������� �� �� ���������� �$���� � ���#�� � ��� =� ��9�� ��� ���������H�4�5� � � R 4��5� �� �� ������ A�:�:�

#$���� " � ��� 6 � �4��5 ���� ��� ���������� ��� � /< 4�� �5 ����� ���������� ���� R 4��5 � ���� ��� �

/< 4�� �5 Q �����7�)��

.

:

��� � H�4�5H�4�5

����$ ��� =����� ��� � ��������$ �� ��� ������ � Q (� =� ����� �$

H4(� �5 0Q �����7�)��

.

:

��� � H�4(5H�4�5

���� 4A�-5

<���� � ��� �� ���� H4(� �5 �� � ������ ��� ����� ���� /< 4(� �5 Q H4(� �5�.5 ��� � ����� #��� ��� ���� � %@ 8&� ���� ��� � ��� E�������

A�:�.� ������� ��� ���������$ ����� ��� �� ������ � 6� % �� ��$ 9��� ���� #���� H4(� �5 �� �������$ ��9��� ��� 9�����

:5 ��� ������ � ���� ������� H4(� �5 R H4�� �5 � H4(� �5 � ���#���@��#��� �� � Q (� ���� �1� ���� J4M5 Q (� �� ������ � ��� �������$�M � 24B�5 ��� H4(� (5 Q (�

'5 !� H4(� (5 Q (� ���� � Q ( 4� � ��#� ���� H4�� �5 �� � ������5� =������� ��� ������$� ����� � �Q (� ���� ����� ������ � ������������ ��3��������M Q ;�7��7� ���� ���� ��� ����#������ ����� ��� ��� ������������#� M �� ������� � � R 4��5� ��� ���� ( � ; � .� 74�5��� �� � �������� �����������3�������� � �� ��� �7� ��

E������� :�*�' ������� ���� �� ��$ . ( ����� ������ � ����������������� ��3�������� 6 ��� 9���� ���H������� ��� � 9���� ��� ���� ����

Page 198: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�(� �� ������ �� ����F�1����� ������

�M� N�� � . ���� N Q ;�6��6� ��� ��3�������� 6 � �4��5 ��9��� � #����� Q 4��� � � � � �#5 ��� �����#� ��������� ��� ��� ���������� �$���� � ���#��� Q 4��� � � � � �#5� �� � Q �24��5� � Q J4N5� ����� ��� ��� �2 �� ��� �� ������� ��������� � Q

�6 �� ���� ��� ������� �� ��� ���H����$ ���������

� 6 � ��� ������ ���� ��� �������� ��� �������$ ���� �� E������� A�:�.��� H�4�5 Q �H�4(5� ���� � Q 4. R ;5�4. � ;5� %���� H4(� �5 Q (� �� ��$��������� ��3�������� 6 � �4��5

H�4�5 Q H�4(5� 4A�/5

6 � �������� ��� ������ D 0 � � �� � �14��5� ��� ������ �����������

MA QM� N

.� SMN

�2�

�2�

��� �MA �� � .�4. � ;�5� 6 � 9�� �� ��� ����#������ ����� &MA ) ��������������� ��3�������� M� ���� ��� ��� ��� �M�� Q .� � �MA � ��� � ���������� ������$�

��� ������� D Æ �2 � �1 ��� ��� ���� ��������� ��3�������� 64�� �5���

��� ��� ������� ��3�������� 64�5���� ��� ������ D �������� ���� ��3���������� �� ���� � ��� ��3�������� 64�� �5��� � ��� ������� ��

��� #��������� ������ � ������ A�:�: $�����

H�4�5 Q H�4�5 R :.�2�

��)

M�82�$� R 04.�5�

���� M� �� � ���� #���� � ��� ������ ����� � R 4��5 �� ��� ���� � ���82 �� � ����1���� � ��� ��3�������� 64�� �5���� ���� �������

H�4�5� H�4(5 Q:;

.� ;H�4(5 R :.�2�

��)

M�82�$� R 04.�5� 4A�.(5

��� ����1���� ���� �� �������$ �����#� �� � ��������$ ����� . ���� ������.�� ���� ���������� 4A�/5 ��� �������� ��� ��� � '5�

+5 $ ��� ��� ��� ������ ��� � H4(� �5 � ���� �� /< 4(� �5� �� � � R 4��5 �� ��3����� ��� ��� ����� M Q ;�7��7 �� � ������������

��3�������� ���� ���� J4M5 Q �� �� 7 �� � ��3�������� ��� 9���� ���H���1����� ���� � ������� ��B� ��1�����$ ������ ��1 �������� ���H�������4��� � � � � �#5 �� �� ���������� �$���� � ���#��� ����� ��� ������$ � ����1���������� ��� ������ 4��� � � � � �#5 �� ��� ���H����$ ���������� ������4��� � � � � �#5 ��� #���� � ��� ����� � �������� ���� � ��� ������ ���1H������� � 7 �������� �� ���� �� � �$ ����� ���� � �������� ��� ���������H 4�5� ��� ������������ ������ �

1 ���� ����$ �� ���� �������������� �1���� �� � ��� ��������� ������ H 4�5 Q �H 4(5 � H 4�5 Q H 4�5��� ��������� ���� H4(� �5 Q �

� ���8��8 Q /< 4(� �5�

Page 199: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �,#$�# ��$�+� �(�

�� 7 �� �� ��������$ �������� ��������� ��3�������� � ��� ���� �� ��$. � ��� ���������� �� �$ ��3��������� 6� ��� 9���� ���H������� �� �� '5���� #������� 4A�.(5 �������

/< 4(� �5� . � .

:

��� � H��4�5H��4(5

��� � H4(� �5 � /< 4(� �5�

����� H4(� �5 Q /< 4(� �5� ���� 9������ ��� ���� �

��� 2�#������ �������

��� ������������ ����� R 4�� -5 �� � 4'��'R-51���������� �$������� ����������$��� ������� ��� �� ��� ��9�� � �� �������������$ ��#������ ����������� ��������� ��� E�����K� �$������� ������� 6����$� � ��� ������� ���?��$���� ��� 7�����K���$ ������� ,< 4�� �5 ��� &< 4�� �5� �� � � R 4�� -5�������� <� ����� ��9������ ��� ��������� � ����� � &+')� &,A)� &..')�

�� �� Q ��B� ��� 84�5��� �� � �������� ��������� ��3�������� �� � �

84�4�554��4�55� Q 84�5 �� ��$ � � B�� � ������ �� ��� ������������ ���������� ���� �� ��� �������� � ��� ���� ���� �� ��� ������������ ����� R 4��5�$ 4> 0Q J4;S8��8�5� ; � �� �� ������ ��� ���������� ��,�

D���� �$ �4�� �5 ��� ����� �$������� E�����K� ������ �� ��� ���� ���� � 0

�4��� ��5 Q.

:�

. R��� ��������

���.�

��� ��������

��� � �� U�%�� �� ������ ����$��� �������� ��� �� 4%��5 �� ��� ����� ���� �������� ������� ��� % � �� ��� ?��$���� ���������� ,B4�� �5� U �� ��� ����� ��� ��� ����������� � �� U ������$�� ��� �������1��$ �4�4��5� �4��55 � �4��� ��5 �� ��$ � � �� 4��U5P ��� �� � � � ���7�����K���$ ���������� &B4�� �5 �� ��� �������� ��� ��� ����������� ��� U ������$�� ��� ���������$ �4�� �5 � �4�4�5� �4�55 �� ��$ � � �� 4U��5P�� � � R 4�� -5� ��� ����������� � U ������$ ��� ���� ��������� � ����$������� E�����K� ������0 �������� �������������$ 4�������$ � ���%�� ��� �����5 ��� ���������� ��#�������� �� ����������� �� U �� � ���1������� � R 4�� -5� ���� &B4�� �5 � &< 4�� �5� 8� ��� ������������ �������� � ��� ����������� ��� ����������� ��� �������� ��� ?��$���� ���1��� �� ������ ����� �� ��� �� ������� �$ ��� ��9��������� �������� ��� ���7�����K���$ ������ �� ��� ���� ����� � �� ��� ���� ��3������ ��� ������ �������� �������� ,B 4�� �5 � &B4�� �5�

��� ?��$���� ������ �� ��������$ ��������� �$ �� 2$��� &..,) ��./,. �� R 4�� (5 ��� �$ 7� ;����� �� ?�� &':)� &:() �� ./,+ �� R 4�� -5� ���$�� �� ���� ,< 4�� �5 Q /< 4�� �5� <� ��� ������������ ����� R 4(� +5 ��� ���1���� ,< 4�� �5� &< 4�� �5 ��� ��� ���� ������� ���� ����� �� �����������$

Page 200: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�(� �� ������ �� ����F�1����� ������

����#����� � � �$������� ����� �� � � �� &:() =� ����3� 7� ;����� �� ?������ � ������ ������ ����� ������� ��� ��� ���� � ��$ ������������������ �� ./-. %� ?������� &,:) 4��� ��� &,A)5 ���������� �� ������� �� 1�� ���� �� '� � ' R - :� - � .� � : ��� �� �#��$ � � R 4�� -5 ����� ��� ���� � � R 4�� -5 ���� ���� ,B4�� �5 &B4�� �5� �� ��� ���� $��� �� ?��&,() ������� �� ������#� ������ �� ���� ��������� 6����$� �� ��#�� ������ ��� ������������ ����� 4> � ���� ���� 8 �� � ������ � �� ������� ����1���� ��3�������� � ��� ��� ������� �������� ���� ����� �������� ��� ���� �����#� ������ �� ����������� �� �� �� � ���� ��� ���� �������� ���R 4�� -5 4��� &..)5 �� �� ������ �� ��� 7�����K���$ ������ 4%� 6� &.(')5����� ��� ������ ������ �� ������� �$ %� ?������� &,') �� ��� ���#����������������� ����� ��� �� ��� ������ ���� � ��9���� ���������� ����������������� �� �� ��#�� �� ��� E��D� ������ � � �� &/')� <� ��� ���#����� ��1���������� ����� �� %��� ��� �� ���� � &.:,) ��#� ��������� �� ������� �� ��1������� ������������ ���� ���� ��� ������� ��� ��� ����� ���� ������ �� ������� �$ � ������������ #������� � ������� ���������

��� ��� �� ������� ����$ ������� ��������� � ��� ���������� �4�5�H4�5 ��� #��������� ������� ��� ������� A�:�.� A�:�: �� ������� ����1���� �� ������������ ����� � ����� �������� � �� ������ �� ��� 7�����K���$�������

#$���� " " � ��� U( Q � 0 � � R 4�� -5� /< 4(� �5 � �� !� 6 � � ���� ��� ��� �� �2� ���� �� ��� �������� �4�5 � ��� ���� � Q (� 8 ���������, ���� ��� ���� �� ���� �� � � �� �4�5 � ��� � ���� �� U(����� �� 4> �U( ��� ���������� �7����� ��� � /< �� ��� > ��C���� ���� � &B�

� ��� ��� !� � ���� � ��� �������� � � �� �� ��� ��� �R 4�� -5 "��� � � �� U( � R 4�� -5

$ ��� 8�#����$ � ��$ ������ ���� � Q (� ��� ���� ����������� ��������� � �� ��������$ � ����� ��� � ������������ �������

=� ��#�� ��� ��9��������� ���������� � ��� 7�����K���$ ������0

&�B�4�� <5 Q ���

��E�4<5��

���� � ��� < ��� �� ��� ������ ����� � R �� � � U(� E ����� � ��� �������4U(� �5 � ��� �������� ������� ��� U( � � ��� �����9�� E4�5 Q (���� E� �� ��� ��3�������� � E�

%���� R 4�� -5 ��� U( ��� �����$ �������� 4'��'R-51���������� ��1���� ����$��� ��������� ����� ������ � �������� ������ O4�5 ���� ����2� O4�5 Q �4�5��4(5� �� O4(5 Q (� ���� � ������� ��� �������

D 4�5 QO4�5� .

O4�5 R .� D 4(5 Q (�

D ���4U(� � 5� �$ �� �#��� ���������$ �� ��� ����� � �������� � ��1��$ ������� � ���#��� � ��#�

Page 201: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �,#$�# ��$�+� �(�

'��( � ���4�:/< 4(� �55 � 2� O4�5 � ���4:/< 4(� �55 � '�(�

���� /< 4�� �5 �� ��� ������������ ������ � R 4�� -5� ��������� D ���4U(� �5�=� ��� E4;5 Q D ÆJ4;M�5� ���� M� Q S6��6�� ���� E4;5 �����9�� ��� ��1

������ � ��� %�� ��� ������ ����� �E�4(5� � .� 7��������� E�4(5 ���������$ ��� ��� ���� � ������ A�:�.� � �����

E�4(5 Q � .

�4(5

��)�

6M� �$� Q �.�

������

&�B�

�J4(5�

�J4;M�5

�;

���8��

�Q .�

��� ������� �$ ;� !�������� &.,:) ��� �� ?�� &,() ����$ ���� J4;M�5� ���� �;� �, Q 4'�(�.5�4'�(R.5� �� � ������ ������ �� ��� 7�����K���$ ������ &B�

������ &B�

4J4;�M�5� J4;�M�55 Q �4;�� ;�5� ���� �4�� �5 �� ��� �$������� E�����K������� � � � 6 � 4� �� ������ �� ��� ������ /< � ���� ��#�� ��� ��������

#$���� " " � !� 6 � � ��� ��� ��� �� �2� ���� �� ��� ��������H4�5 � ��� ���� � Q (� 8 �� �������, ���� ��� ���� �� ���� �� � � ��H4�5 � ��� � ���� �� U(� ���� �� 4> � U( ��� ���������� �7�������� � /< �� ��� > ��C���� � ��� � &B�

� ��� ��� !� � ���� � ����������� � � �� �� ��� ��� � R 4�� -5 "��� � � �� U( � R 4�� -5

����� �� ��� ���������� � ����� ������� &< � /< � ,< � ��� ���������������� 4> �� �� ������� � ����� ������ �� � ��� ���������� �4�5� H4�5 ��1������ �$ � ��������� ��3�������� 6 �� ������������ � R 4�� -5 � ������6 ��� �#�� ���� � ��� 6�� ���� ��� ���������� � ��� ������� ������� ������� �� ������ � �������� ������� �� ������ ������� � ���������1��� ���� &,+)�

������� ����� �� ������ A�'�. �� ���� ������� A�A�.� A�A�: ������������

��� ������ ������ 4:�.:5C4:�.'5 ��>���� ��� D�������� ���������� 6����$� � ��� �#�� � 2������ ������� �� � � 9���� �$�� 4�� -� #5 �������� � ��1���� ���������� ��� � ���� �����$ � ����$ ������� � ���#�� � ��� 9��� �������� �$��� � ��� ��� D�������� ������ ������� � 9���� ��� ������� � �1��� � � ��������� ��3�������� 6 ���������� � ��� ������ ���������� �� ��� ��� ��3��������� � ��� �#�� ����$ �$�� ��� ��� ���� �����$���� ���H������� � ���� ��3�������� ��#� ��� ������ �� ��� ������

��6� ������� �� ���� ���� ���������� �����#� �������� ��� D�������� ��������� ���������� ����� ������ � ������ ��3�������� �������� ���� �������� �� ���� ������� D�������� ��������� �� � ���������� ���� � ��� ������ ������ ��� ����� ��$ �������

��6� ��� ��� ����� � ��� ���������� �������� ��� �������

Page 202: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�(3 �� ������ �� ����F�1����� ������

�$ "� "������ ��� ?� %������ ��������� ���� ��� ������� � ��� ���������#�#� ��� ���� �������

� ������� ������� �� ������� �$ =� ������� ��� ��������� �� &'/)��� ��� ������$� ��� D�������� ���������� �� ��� ����� � ��� ����$ �������� ���#�� �� ��� �������� �������� ��������� 8�� ��� �� � �������� ��� �1��� �� ��� ����� � ��3��������� ��#�� ������� ������ � ���#����� � �#�� ����$ ����� �� ��� ������ ���6� �� ���� ���� ��� ����� ����� ����� ��� ������� � � ������� �������� �������� � ������� �� ��������$ ����� ������������� � ����$ ������� �$ �����#� �������� ;��� ����������� � ��$ � ��� ��������

��� ��� � � �������� ������� ���$� � ������� ��� �� ��� ��� ���� �������� ��������� ��3�������� �� � ������ ������� 8�� ��� ����#� ����������� � ��� ������������ ������ ��� ������� ���� ��� ������� ���1������ � ���� ��� �� �������� ��� ��#������ ������� � ?��$���� ���7�����K���$ ������� � ���� �� ��� ������� <� ��9����� � ��� ������ ��������� � �������� �������� � ����� � &'/)� &+')� &*()�

2������ � ���� ������� ��� ������� �� &.A.)� &.A:)� &.A')� &.A+)� &.AA)�&.*()� &.,()�

Page 203: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

$��������

�� �� ������? ��� ���� ������ ������ �� ��� ������ �����? ��+'$� ���� ��#&�? ��$�-�$/��$ #-? �� � ��)? �(�)

�� �� �����? �������� ������ � ��� ��������� �� ������? �� �+#!� �+����� ��$ � �? ��� ;�(3�8? �G��

�� �� �� ��������? ��� ���� �� ��� ������ �� ����� �������? ���+�AH �#'E#?�(4)I �- ��& $#� �? �$#�� �% �#&��#�+# ���-$#�&�? �� � 4(� ���$��#&� ��+�? �$�,�!�+�? ��? �(()

�� �� �� ������ ���!? ���� ��� ���������� � ��� ������ �� �������� ��������? �#'E#? ���+�A? �(43 ;�'���#8

�� ? �� �� ��"� �!? �� ����� ������ �� ��� ������ �� � �������������� ��� �� ��� ������ �� �� ��������? ��:�$�E� �#� J&�? ;�(338? ��G�);�'���#8

3� #� $� � ����� ? %� �� &�'� �'(�)�*? %� &(��� � ? ������ �� ���������� ���������� ��� ��������� �� ������? K� @� �*? �((4 ;� �+$��+,�$���8

4� +� � ����� +���,(? �� ��� ����� �� ������ � �� ��� ������ �� ���������� �� ������? ��!�$ �$�: ��� �% &� &��$* �% ## *�+ %'+���� �$�+� ����%�? ���+�AH �#'E#? �(33? ��G�4

�� -� &� ���.���? ��� � ���� ������ �������� �� ��� ���� �� ����� � ����������? �# *�+ %'+���? �$�+�� ;�(3)8? ��G33

(� ? !������ �� ��������� �� ������? �# ���$#! �#&� �'!�?�$�+��? ��K�? �(33

�)� ? ������ �� ��������" ���� � #�� ��� $����� ������?�+0$�A/F� ? �(4�

��� ? -� /���? %���� �� � ��� ������� ��� ��������� �� �������? �� �+�� �% �#��$�� ���+�AH ���$##*# ���$#'$#�? �(3�

��� ? �� /�(��� �? ������ �� �������� ��� ������������� ��������? �+# �#&�? �� ;�(�)8? �� �/�? �)�G��(

��� &� &� ����!?/� 0(� �(�)� �!?&���� �� �� ��� �� ����� �� � � ����� ������? ��:�$�E� �#� J&�? �� ;�(()8? �� �? �3�G�33I �- ��& $#� �? ��:�$�#�#&� K�? �� ;�(()8? �� �? ��(G���

��� �� /����� ? ��� ��� ���� �� ������ ������? ��$�-�$? ��A L�$E? �(��

��� 1� 1� /��� ���23? �� � �������� ����� ��������� �� �����? ��E � �+#!��+�� ����? �� ;�(��8? �� �? ((4G((� ;�'���#8

�3� ? #������ ��������� �� ��������� �� ������? ��,���:�$�EH�#'E#�? �(4� ;�'���#8

Page 204: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�(� ��%�$�+��

�4� -� /���? %���� �� � ��� ������� �� ������� �� ���? B' � ���$� �#&���+� ;�(3)8? (�G�)�

��� ? '�������� �� ������ ��� ��� ������(� ������ ? �# *�+%'+���? �$�+�� ;�(3)8? �(G��)

�(� ? )��� ���� �*�������� �� ������� �� ����? B' � ���$��#&� ��+� ;�(3�8? �� �? (�G�)�

�)� ? �� ��� ;�!��$�8? + ���� ����� �� ,����� ������? ;��+'$��?���+�# ������? �'# @��$ ����-? ���$� �#&� ��+�? �# �$#+��+�?�# �%�? �(4�8? ��+'$� ���� � �#&�? �� � �))? ��$�-�$? B�$ �? �(4�

��� -� �� /�� ���? ��� ����� �� ��� ���-���� �� ��� .������� ��/�����?�&� B��:�$:#+& +�>�+'$� ;@�� �#%#*��? �!�? �(��8? �#&� �'$,�*� ���/-$#�&�? ��? ���$� �#&� ��+�? �$�,�!�+�? ����? �(�3? �((G�)�

��� 1� �� /*��? %� $� �����'� ? )������0 �� ����� �������� ��� ����������� �������? ��$�-�$/��$ #-? B�$ �? 01��-�? F��!� :�$-? �(��

��� +� +���)�4�����*? $��0�����������? �� � �? B#�� ? B�$E&1#'��$? �(�)

��� �� $5�'� ? 1����� ��� �������� ������ ��� �������� &����� �������?��:�$�E� �#� J&�? � ;�((38? �� �? �)�G��3I �- ��& $#� �? ��:�$�# �#&� K�?� ;�((38? �� �? (�G�)�

��� 6� $��(�� 4�? ������� ��� �������� �����2� �� ������� ��� �����3� �� ��

��� ������� �����4�� �(��� ������� � �����? �� �+�� M�+� � ��$�� �'��?��;�(��8? ��4G���

�3� /� $�))'��? ����� �������� � ����0����� �� +��������� ��� ����� ���%��������������� �? J���+&$�% %1'$ �# *��� '! �&$� �A�!'-�? � ;�(�38?�� 3? �3�G�4�

�4� �� $(��*? 6� 7(�����? �� ��� ������ �� %������ ��� �? �,�� �#&�? � ;�(4�8? �4�G�4(

��� &� �� $(�� � ? ������ �� ��� �� ������ � �� ���5����? �#� �:�;����8? ���8�9 ;�(��8? �� �? �4�G�4( ;�'���#8

�(� ? %� ���5������ ����� � ������ � �� �������������� ��� ���? �#&� �:� ;����8? ���8� 9 ;�(��8? �� �? ��)G��� ;�'���#8

�)� ? %� ���5���� � ��� ��� ��� ������ �� ������� �� � � �����������? ����E&� �#� �#'E? �� ;�((�8? �� �;�(�8? �G43 ;�'���#8

��� 1� $(�� ? 6������� �������? ��$�-�$? ��A L�$E? �(��

��� +� 6� :����? �� ��� ������4������ ��� � ��� ������ �����? ���+��'�'�0$�'�� #! ����# �'$%#+���? �� �#&� �'!�? � ;�(4�8? ((G�)�

��� ? �� ���? �� ���� ���� ������ ������� ��� ������ �����?��$�:'��� � �# *��� ;�!� �� �& %�$� � # �8? ��L�H �+#!���+ �$���? �(4�?�)4G���

��� :� #� :'��;*� �!? + ���� �� ������� ���� ��� �������� � �� �������?J#�� �#'+&� ���� ���-$#!� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ��� ;�(��8?��G(�I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? �� ;�(��8? �� �? �)(�G��))

��� ? %� � ��������� �� ���� �� ���� �� ���? J#�� �#'+&� �������-$#!� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ��� ;�(��8? 4�G��I �- ��&$#� �? K� ��,�� �#&�? �� ;�(��8? �� �? �)��G�)()

�3� ? �� ����� �� ��������� ������ �? J#�� �#'+&� ���� ���-$#!��!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ��� ;�(�38? 43G�(I �- ��& $#� �? K� ��,���#&�? �� ;�(��8? �� �? ����G��33

Page 205: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��%�$�+�� �((

�4� ? ������ � �� ����� �� ��� ������ � ����� �� � ��� �������?J#�� �#'+&� ���� ��/���$�:� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? �� ;�)))8?��G�)� ;�'���#8

��� 7� ������? �� ���? � ��� �������? 0$#!'#� ��.� � �#&�? �� � 4�?��$�-�$/��$ #-? �(�)

�(� �� ��)��? �� -�(�� ��,�? &� 1�� ��(? ������� �� �������� ��� ��� ��������� +��������? ��+� �#&� �$�? �#$��? �(4(? 33G34

�)� �� �� ������!? ����������(� ��������� ������ � ��� ������ �� ��� ������� ����� ����� ��� ������ ������ � ��� �������� ����� �� ������? �#��:� ;����8? ���8�9 ;�(��8? �� �? ���G��( ;�'���#8

��� ? &���� �� ����� �� ��� �� ����� ��� ��� ��� �� ������ �� ";��8� ��� ���� �� �������� ������� ��� ���� ������? J#�� �#'+&� �������-$#!� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ��� ;�(��8? ��3G�34 ;�'���#8

��� /� �(�����? ����� �� ������ ��� �������� � ������? �+# �#&�? ��;�(�48? �4�G��(

��� �� 1� #���� ��? ��� ������ ������ ��� ������� �*��������? @� �* ��$/�+��+�? ��L�? �(�4

��� ? 7� %��(�? ����� �� ������ ��� ���� �� ��� ������ ����? ���/� �. �#$�#: ��? � ;�((�8? �)(G��4

��� �� �� #���� �? 6� &5���5��5�? ��� ������ �� ��������� ���� �� �� ���� ��� ����? �+# �#&�? ��� ;�(3�8? 3)G��)

�3� �� �� #���� �? :� <��,�? +��� �������� ����� ��������� �� ������?�� �+#!� �+�� ���? ��$� ��� �#&�? ��� ;�(338? �G��

�4� #� %� #��(�� ? �� �������� ������ � � ��� ������ �� ����� �� ������?�#��� �:� ;����8? ��8 9 �(�3? �� �? �4(G�()

��� ? #�� ������ $��0�����������? ��'�+&�$ ��$ #-? B�$ �? �(�4

�(� �� �� #���'� ? 6������� �������? �� � �G��? �#$��$ �': ��&�- �����?�+�? �(��

�)� &� &� #��*�23 �!? ����� ��� � ��� ���� �� ��������� �������� �� �������� � �������� ������ ��� �� ��������? �&��$* �% �#���-� #! #��$�.��#/�� �% %'+���? �#'E�,# �'�E#? N��,? �(��? ��G�( ;�'���#8

��� ? &� 0�� #()�*� ���23? ����� �� ������ � � ��� ���� !� ? �#&/��#�+� +� �+��? �2!#� �#'E�,# �'�E#? N��,? �(43? ���G��3

��� %� #��'�!? )������� ����? ���#*� � -$�'� &��$*? �!� ����0�$��� �����': �+#��� �? ��$�-�$/��$ #-� ;�(�48? 4�G�3��

��� 7� #�5�)��,�? �6��� ���� ����� �������� � ��� 0����� �� +���������" 1711?B�$� ��$&�/ �1#+&�� �E#!� @���� ����2�-? �#&�G�&*�� N �? � ;�(��8? �34G�43�

��� ? �6��� �� 8��5������ �� ���0����� �� ������� +��������� ����� 5��� ������������ ������� .�����? B�$� ��$&�/ �1#+&�� �E#!�@���� ����2�-? �� ;�(�)8? 3(G�)�

��� #( � �� ? ���������� �� ��� ������ �� ����� ������� 9" �������� ������� �? �+# �+�� ���+#? � ;�(��8? ��(G��(

�3� &� 0�� #()�*� ���23? ���� ��� ������������� ��� ����� �� ������ � � ��������� �� �������� �������? ����� ��+� �+��? �#&� ��� �+#!� �+�� �E$� ���?N��,? �(4�

�4� 7� 7� ,�,�? ����� ��������? ��,�$ �': �? �L? �(��

Page 206: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)) ��%�$�+��

��� �� 7�(�����? %�� ������? �/$! �!� ;$#� �8? �&� ��#? ��A L�$E? �(�4

�(� 6� 7���,�? �� 1=(���? #������5��� �� �� � �� %����5 �� �� ������� �� ����� ��� ����� ���� ������� �����������������? ���� �+#!� �+���#$���? ��� ;�(��8? ��G��

3)� 6� 7(�����? 7� %��(�? '������ �*�������� ��� ��������? �+# �#&�?��� ;�(4(8? ���G�4�

3�� 6� 6� �� �? %� ���5���� ������� ��� �� � ����� �� ��������? ���$� K��#&�? � ;�(��8? �� �? ��)G���

3�� ? �� � ������ �� #�������? �� �% �#&�? �� ;�(��8? �� �? �()G�)�

3�� ? �� ��� ������� �� ����� ������� ����� �� ����? �� �%�#&�? ;�(�48? �� �? ��)G���

3�� ? 6������� ������� ��� ����� �� �����? ��$�-�$/��$ #-? �(��

3�� ? �� ������� �������� � ����� �� �����? � ���� K� �#&�? �;�(3)8? ��G�4

33� ? �� ��� ������ �������� �� ��� ���/������ �� � ������ ��������*�������? � ���� K� �#&�? � ;�(3)8? �)�G���

34� ? �� ��� ������� �� ����� ������� ����� �� ����" 11? �O�&�E'�#&� K� ;�8? �� ;�((�8? �� �? �)�G���

3�� ? �� >���?�? ������ ���� ��� �� ������ ���� �� ��� ��������?K� ���� �-�A� �#&�? ��� ;�(448? (�G��4

3(� �� ���,����? ��� ��� ���� ��� ���� �� ��� ������ ����? ���� �-*? ��;�(�)8? ��G��

4)� �� ���? ��� ������4������ ��� �� +����� ��� ������ ��0�? K� !P�# *���#&�? � ;�(��8? ��(G���

4�� �� -� ��(�����? '�������� �� ������ ��� � ��� �������? � F# ��!�$��� B��E� �+$��# ��$��� � �#&��#�+�� @�& # %�$�A�$! :* ����# B�$�� ��F� @��� Q ���? @#�&�-�? ����I K�& @� �* Q ���? ��A L�$E/��$��?��/��!�? �(4(

4�� ? 1������� ���� � ��� ������ �����? ��:��E� �#� J&�? ��;�(��8? �� �? �)(G��� ;�'���#8

4�� ? 1������� ���� �� ��� ������ ����� ��� ��������� �� ������������ �� ������ �������? �� �+#!� �+�� ���? � ;�(��8? �((G�)�

4�� ? + ��� ����� ��� ������ ��������� ������ � � ��� ������ ����������� �� ������? ��:�$�E� �#� J&�? �� ;�(��8? �� �? �)�G���I �- ��&$#� �? ��:�$�# �#&� K�? �� ;�(��8? �� �? ���G���

4�� ? <� �5(� �(? '���0����� � +���������:���� &������� ���+����������? ��':�$/��.� 2'$ �#&��#�E? �� ��� B�B B� 0� ��':�$��$ #-�-��� �+&#%? ����2�-? �(��

43� 6� ���*@�? �� ��� ����� �� �������� �� ��� ���� ";��8�";��8 ���� ��� ����! �� �������� �������? �� ��,� �#$�#� �'$��/�ER �!�A�E#� ��+ ��? �;�(3�8? �� �? ��G3�

44� ? :� AB��)���?�,�? ,���� ���� ��� �������� ������� ��� ��� ����������� �����? �� �+#!� �+�� ��� ��$� � �� �#&�? ��? �(4�

Page 207: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��%�$�+�� �)�

4�� #� &� �(�;'� �? &���� �� ���� �� ��� ��� ������� �*��������? �$'!*�#� ��� ��E �,�? ��� ;�(�)8? �G��)I �- ��& $#� �? �$�+� �� �� ��E �, ����#&�? �(��? �� �

4(� ? �� � ������ ������ ��� � ���� �� ��? �$��$� ���-$#!��!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? �/3/��? �(��

�)� ? &������ ������ ��� � ���� �� �� � � ����� ���? J#���#'+&� ���� ���-$#!� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ��� ;�(��8? ���G��4

��� ? �� ����� �� ��������� �� ������� �*�������� ��� ������0� ��� ��� � ���� ���/����� ��������? J#�� �#'+&� ���� ���-$#!� �!� � �#���� ��E �,� ;����8? ��� ;�(�38? ��)G��(I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�?�� ;�(��8? �� �? ��4(G��(�

��� ? ����� �� ��������� �� ������� �*�������� ��� ���/������ ������� ��� �������� � ��� �� ������� ������? J#�� �#'+&� ���� ���-$#!��!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? � ;�(�48? ���G��4I �- ��& $#� �? K���,�� �#&�? �� ;�(()8? �� �? �)��G�)(�

��� ? �� ����� �� ��������� �� ������� �*�������� ��� ��� �� ���� ��� �������� �� ���/������? J#�� �#'+&� ���� ���-$#!� �!� � �#���� ��E �,� ;����8? �� ;�(��8? (�G���I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�?�� ;�((�8? �� �? ���G�(3

��� ? �� ��� ������� �� ������� �*�������� ��� ����� �� ����� �������? J#�� �#'+&� ���� ��/���$:'$-� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ���;�((�8? ��(G���I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? �� ;�((48? �� 3? 44�G44�

��� ? �� ��� ������� �� ������� �*�������� ��� �������� ����������? J#�� �#'+&� ���� ��/���$:'$-� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ��;�((38? ��)G��4I �- ��& $#� �? K� �#&� �+�� ;��A L�$E8? �� ;�((�8? �� �?((3G�))4

�3� %� �� -�!�� )��!? + ������� ������ �� ��� ������ �� ���������� �� �������������� �� ����� ������? �#� �:�$�E ;���8? ��8�9 ;�(�48? ��G��)

�4� 6� B-�?�* �?�,�? 6� ���*@�? '�������� �� ������ � ��� �����; ���� ������ ������? ��+'$� ���� � �#&�? �� � (4�? ��$�-�$/��$ #-? B�$ �G��AL�$E? �(��

��� �� �� -�����!? ��� ���� ������ � ��� ������ �� �������� �������?���+�AH �#'E#? �(4� ;�'���#8

�(� 6� -�� ��? ���������� ������ ��� ���� ���� �������? �#&� �'$,�*�?�� �? ���$� �#&� ��+�? �$�,�!�+�? ��? �(3�

()� >� -��)�? 6������� ������� ��� ��� ������ �����? 0$#!'#� ��.� ��#&��#�+�? �� � �)(? ��$�-�$/��$ #-? ��A L�$E/B�$ �? �(�4

(�� ? �� �� &��)� � ? '�������� �� ������ � ��� �����? ��+/�! �!���� ��� 0$'! �&$� !�$ �#&��#��+&� @�����+&#%�? B#! ��3���$�-�$/��$ #-? ��A L�$E/F��!� :�$-? �(4�

(�� <� 6� -�����? :� 6� AB��)���?�,�? .������ &����� �������� �������? �� �9��#&�? � ;�(��8? �� �? �3(G�44

(�� -�( -�CD� �? 1������� ���� � ��� ������ �����? �&��� �&����� ���'��% �#&��#�+�? �'!# ��,�$��*? �&#-&#�? �&�#? �((�

(�� �� -5�? ��? 6������������ ����� ������ 0����� � +��������� ��� ������0�����? K� �� �#&�? �� ;�(��8? �)�G���

Page 208: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)� ��%�$�+��

(�� �� %�? $� %� ��? )����������� ����� �������? �� �� �� �#&�? ;�((�8? ��G�))

(3� �� %���� ? �� -����� ��������� $����� ������? ������ �#&� F� ,�?�� ;�(348? �� �? ��G��

(4� �� �� %���(���!�,�? ������ �� ������� �� � � ���� �������? �� � �? ��? ���?��+�! �- ��& �!���� �&� ��# �': ��&�- ���? ��A L�$E? �(44

(�� 6� :� %,%���� ? .������� �������� �� � ����� �� �����? �+# �#&�?��� ;�(3(8? ��G34

((� $� %�E43�? +�� 1�''��� ��? �� ������������ ����� �������? K� 0�����# *����? � ;�)))8? �� �? �3�G�4�

�))� �� %� %��� ? 6������� ������� ��� �������� �� ����� �? ���$� �#&���+�? �$�,�!�+�? ����? �(44

�)�� �� 1� %�)*(�? ��� ������ �� �� ���5���� ��� ������ ������� ������� ��� ����� �� �� ���������? �E$#�� �#� J&�? � ;�(3�8? �� �? �3G��;�'���#8

�)�� �� %���? �� �� �������� ������� � ��� ������ �� ��������� �� ������?K� �#&� K#�#�? � ;�(�38? �� �? ��3G�33

�)�� �� ���? <��������� ��0� � ������ � ��� ������ ����? ���$� K� �#&�?� � ;�(��8? �((G�)�

�)�� ? ��� � ���� ������ ������ �� ��� ������ �����? � @� �*/��$�+��+� �': �+#��� K�& @� �* Q ���? �+�? ��A L�$E? �(��

�)�� <� ��!� �� �? 6���� ������? JA��� �'S#-�� ��� 0$'! �&$� !�$�#&��#��+&� @�����+&#%� � ��2� !#$�� '-� �� :���!�$�$ B�$+E/��+&�-'- !�$ �A�!'-�-�:���? B#! 3�? ��$�-�$/��$ #-? B�$ �/��A L�$E?�(34

�)3� ? +����� �������? �$#� #�! %$�� &� ��+�! 0�$�# �!���:* �&� �� ���-� ��� 0$'! �&$� !�$ �#&��#��+&� @�����+&#%�? B#!�3�? ��$�-�$/��$ #-? ��A L�$E/B�$ �? �(4)

�)4� %� >�)�(��? ������ ������ � ����� �� ������� ��� �� � ����? �# ���/$#!? ��A L�$E? �(4)

�)�� #� 14��*�? %�� �� � �������� ������? ��$� �+#!� �+�� �#$��? �� ;�(�)8?�� �? ��G�4

�)(� ? #� ����5�? �6��� ��� �����-���� ���� ����� =,����5�����0��������> ��� ������ ��� ���� ����� ���0� �����? K� �����-�A� �#&�? �� ;�(��8? �G�(

��)� +�� 1�''��� ��? 6������� �������� ��� � ������ �� ������� �*��������� �� #" ?�����? �#!�&��+E Q �'�$�+&? 01��-�? �(4�

���� ? ��� .������� ��/�����? �#&� �� �-�+�$ 4 ;�(��8? �� �?��G��

���� ? .������� �������� �� ����� �� ���? ��$�-�$/��$ #-? �((�

���� :� �� 1���)���23 ? /� &� �����)? 1������� ����? �'$$� �$�: ��� ��#&��#�+�� �'!#��# !�$�+���? �� � (? ��-� �#'E� � ��E&�E�? �E#!��#'E ����? �����*'2� ��� �#'+&� � ��E&� �%�$�� ;������8? ���+�A? �(�3?4�G��� ;�'���#8

���� &� �� 1�"�!? ��� ����� �� � ����� �� ��������� �� ��� ���� !? �$'!*����E� 0��� ��,� ��$� ��&�/�#�? ��� ;�(3�8 �� �? �)3G��� ;�'���#8

Page 209: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��%�$�+�� �)�

���� /� <��'� ? #��� ���� &���� ����� @��0�� A? �'% ��? ��':�$?����2�-? ����

��3� /� <��� ? �� :� ����,��?���? ����� �� ������ ��� ��� �������� ���������� ����� �� ������? �� �+#!� �+�� ��� ��$� � � �#&�? � ;�(438? �34G�))

��4� 7� -� <�*�� ? +��� ����� � ��� �� ���� �� ��� ������ �����? �!/,#+�� � &� �&��$* �% ����# �'$%#+��? �� �#&� �'!�? ;�(4�8? �3(G���

���� �� +� �,������F $� +� �"� ���? ������ ������ ��� ����� �������?�� �9'�� �': �? �� � ��? ���$� �#&� ��+�? �L? �(�)

��(� %� �,�����? �� ��� ������ �� �������������� �� ���? <'#$� K� �#&�?�.%�$! ��$�? � ;�(�38? �(4G���

��)� ? $� +� �"� ��� $�������� �� -��� � ��� �������? �$�+�/� ��,� �$����? �$�+��? �K? �(��

���� ? #� �,�����? + ��������� ����� ��� ������� �� ��� �� ���������� �� ������? K� �# *�� �#&�? �� ;�(4�8? ��)G�3�

���� &� �� ��'� �!? %� � ���� �� ����� � ��� ��������� �� ������?��:�$�E� �#� J&�? �� ;�(�48? �� �? �(3G�)3 ;�'���#8

���� ? ������ ��������� �� ��� ��������� �� ��� ������ �������� �����? ��,� ��'�� �#&� �'$��? ��� �? � ;�((�8? �� (G�)? �)�G���

���� /� &� �����)? �� ��� ������ �� ��������� �� ������ � ����? ��,���#&� ��E �? � ;�(3)8? 4�)G4��

���� ? ��� ������ ����� � ����? ��,�� �#&� ��E �? � ;�(3)8? �3�G�3�

��3� ���� $��C��� �? ���� ��� ������������� �� ��������� �� ������?�+��+� ��+�$!? � ;�(�(8? �))G�)4

��4� 7� �����? 7� G� ���?�? #����0�(� �������� ��� �� ��������� �� ���� ������ �����? N�!#� �#&� K�? � ;�((�8? �3�G�4�

���� &� �� ���*�? ������ �� � �������� ��� ��� ������ �� � �� �� �� ���������� �������? J#�� �#'+&� ���� ���-$#!� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8?��� ;�(()8? �3�G��� ;�'���#8

��(� ? �� ��� ������� ������� #������ ��� #� ������? ��:�$�E� �#�J&�? �� ;�((�8? �� 3? ��3G���I �- ��& $#� �? ��:�$�# �#&� K�? �� ;�((�8?�� 3? ��(3G��))

��)� ? �� ��� ��������� �� �� ����� �� ������ ��� ��� #������ �� ���������? J#�� �#'+&� ���� ��/���$:'$-� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8?�� ;�((38? ���G��� ;�'���#8

���� &� &� ����(��!? � ��� ������� ��� ������� �����? �+*+ ��#�!�#�#&� �+��? �� � ��? ��$�-�$/��$ #-? B�$ �? �((�? �G�33

���� �� 0(� ���* � ? ��� ��������� �� � ������ ������ ��� � �� �� �� ����������� ������ �� ���� �����? J#�� �#'+&� ����� ���-$#!� �!� � �#� �����E �,� ;����8? ��� ;�(��8? ��3G���I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? ��;�(�48? �� �? ����G���(

���� ? �� ��� �� ������ �� ������ �� ��� �� ���� -���? J#���#'+&� ����� ���-$#!� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? ��� ;�(��8?��3G��(I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? �� ;�(�48? �� �? ���)G����

Page 210: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)� ��%�$�+��

���� ? %������ �� �� ����� ��� ������ �� �4�����%5����? J#���#'+&� ����� ���-$#!� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8? �� ;�(��8?��)G���I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? �� ;�((�8? �� �? ���G��)

���� ? .������� �������� ��� ����� �� ������ � � �� � ������ ���������� �������? J#�� �#'+&� ���� �� ���$�:'$-� �!� � �#� �����E �,� ;����8? � � ;�((�8? ���G���I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? �;�((38? �� �? ����G����

��3� ? ����� �� ��-�������� � �� � ������ � �� ����� ��� ���� �� ������? J#�� �#'+&� ����� ��/���$:'$-� �!� � �#� ��� ��E �,�;����8? �� ;�((38? �4)G�(�I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? �� ;�((�8? ���? �)��G�)�(

��4� ? ����� �� ������ � �� ����� �� ���� ��� ��� ���� ��� ���� �� �������? �$��$� ��/���$:'$-� �!� � �#� ��� ��E �,� ;����8?���� �$��$�G�T�((3� ��/���$�:'$-? �((3

���� ? ������� ��� �������������� �� ��� ��� ����� �� ����������� ����� �� ������? J#�� �#'+&� ����� ��/���$:'$-� �!� � �#� �����E �,� ;����8? �� ;�((38? ��(G�3�I �- ��& $#� �? K� ��,�� �#&�? ��;�((�8? �� �? �))�G�)�4

��(� ? &������ ��� ����� �� ��� ������ �? � -�:$# � �# �2? ��;�(((8? �� �? �G�3I �- ��& $#� �? ��/���$�:'$- �#&� K�? �� ;�)))8? ���? �G4)�

��)� #� �"�� ���? 1��������� �� � ��� %������? �!!���/@�� �*? ��#!�-?�#���? �(��

���� �� �)�����? ��������� ���������? ��$�-�$/��$ #-? �(��

���� �� &� �*,�5�!? &���� ��� ������ ��������� �� ������? ��,���:�$�EH�#'E#? �(4) ;�'���#8

���� >� G�''�? ����� � ������ � ��� ������� �������� �������? ��+'$����� � �#&? ,� � 3�3? ��$�-�$? B�$ �? �(4�

���� ? ����� � ������ � ��� ������� �������� ������� 11? ��+'$����� � �#&? ,� � (��? ��$�-�$? B�$ �? �(��

���� 1� %� G�'����!? �������� �� ����� ����� �� ��������? �E$#�� �#�J&�? �� ;�(338? �� 3? 4�G�� ;�'���#8

��3� ? + ������ �� ��� �������� ��� ����� �� ������? ����,DU!DU �E#!��#'E �E$#1U� ���? � ;�(338? ��G�� ;�E$#�#8

��4� ? �� ��������� ������ � ��� ��� ������� ��������? ��� �#&��E$� �+#!� �+��? �$��$� �� �? N��,? �(�)? �G��

���� ? ������� �� ���������" + ����� �� ���� ��� �����? �#��:� ;����8? ���8��9 ;�(��8? �� �? �)G4� ;�'���#8

��(� ? &������ ��� ������� ����� �� ���� ��� ���� � � ������ � ����� ������? �#� �:�? ��� ;�((�8? �� �? ��G4�I �- ��& $#� �? �'�/��# �+#!� �+�� �:� �#&�? � ;�((�8? �� �? ���G���

��)� >� G��,�'5(����? ����� ��� ����0����� � +��������� ��� �����������*��������? �:&#! � �$�'��� �E#!� @����? �#&�/�#'$A���� N �? �� ;�(�)8?�G�(4

���� �� &����;�!? '����������� �� ��� ������ �� �� ����� ������ �� ��������� ��� ��� ������ ������ ? �E$#�� �#� J&�? �� ;�((�8? �� �? ��(G��3I�- ��& $#� �? �E$#��# �#&� K�? �� ;�((�8? �� �? �(�G�((

Page 211: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��%�$�+�� �)�

���� ? )�� �� ��������� �� ��� ������ �� � �� �� �� ������ ���������� ���� �� � ��� ������ ����? ��E � �'��� �E#!� �#'E? ��� ;�((�8?�� �? ���G���

���� ? )� ������ �� ����� ��� ������� ��� ��� ��� ������ ���?�#� J#��E�? �� ;�((38? �� 3? (��G(�3I �- ��& $#� �? �#&� ����? ��;�((38? �� �/3? 33�G34�

���� ? &���� �� �� ��� �� ������ ��� ������� ���� �� ��� ���� ���� ����? ��:�$�E� �#� J&�? � ;�((38? �� �? (�3G((�I �- ��& $#� �?��:�$�# �#&� K�? � ;�((38? �� �? �3�G�4�

���� ? )�� �� ��������� ��� ������� ���� �� ��� ����������? � -�:$# � �# �2? � ;�((48? �� �? �(G4�I �- ��& $#� �? ��/���$�:'$-�#&� K�? � ;�((�8? �� �? ��G��

��3� ? 1����� ��� ������ ������ � ��� ��������� �� ���� ����� ��� ��� ��0? �2,� �*��&� �+&�:� J#,�!� �#� ;�((48? �� �? ��G��I �- ��& $#� �?�'���# �#&� ;�2,� ��J8? �� ;�((48? �� �? ��G��

��4� ? 8������������ ��� ������ �� ��� ������� �� ����� �� ��� ��� ������ � �� ��� ������ �� ����� �� ��� ��������� �� ������? �$��+�� F#:� �&�����? ��,���:�$�E �#� ��,�? ��,���:�$�E? �'���#? �((4

���� ? )�� �� ��������� �� ��� ������ �� �� ��� �� ����� �� ���� ������ �����? �#&� #! ��� �+#���? �!� �#$#�, �#� ��,� ;�((�8? �(G�)�

��(� ? ��� ���� �������� ������ � ��� ��������� �� ������? �/�$#��# ��-$��� �% �#&��#�+�#� ;���/(�8? B�$ �? �'-'� ��G�4? �((�?�:�$#+� �% �&�$ +���'�+#���? ���3�

�3)� ? '������ �*�������� ��� ������� ���/������ ��� ��� ���� ������ ���? ��,'� ��'�� �#&� �'$�� � ��� �? �� ;�(((8? �� �? 3��G33�

�3�� ? �������� �������� ������ � ��� ��������� �� ������?�$��$� ��� �)))T��? ���#$#��� !� �#��M#�+#? ��,� �M�+�+# ��!�$�+��## �#$MU#? �# �#$#MU��? ;�)))8? �G�(

�3�� ? �� �������� ����� ������� �������� ������� ��� ��� ��������������� -���? �$��$� ��� �)))T��? ���#$#��� !� �#��M#�+#? ��,��M�+�+# ��!�$�+� �## �#$MU#? �# �#$#MU��? ;�)))8? �G��? � #���#$ � ���� �.�#$�#: ���

�3�� ? �� ������!? +������� �� ��� ����� �� ���� � �� ����� �������� �� ����� �� �����? �2,� �*��&� �+&�:� J#,�!� �#� �(()? �� �?��G��I �- ��& $#� �? ��,�� �#&� ;�2,� ��J8? �� ;�(()8? �� �? ��G��

�3�� ? #� ��'*���!�? &���� �� ����������� �� ��� � ��� ��������� �� ����� ��� ������ �� ����� �� �����? ��:�$�E� �#� J&�? � ;�((38?�� �? 3)G3(I �- ��& $#� �? ��:�$�# �#&� K�? � ;�((38? �� �? ��G3�

�3�� ? 1� 1�� � ? �� �� � ����� �� ������ � ��� ������� ��������������� ��� &�����(� ��� ��5����? �����$#�� �#&�? � ;�((�8? �� �G�? 4)�G4)4

�33� ? 1� 1�� � ? ��� ����� �� � ����� �� ��������� ��� ��� &������������� �������? B� � ��+� �#� ��.�+##? ;�)))8? �� �? �44G�()

�34� ? $� %�E43�? +�� 1�''��� ��? �������� ������ � ��� ������������� ����� �������? ���� �. �#$�#: ��� �� ;�))�8? �� �? ��4G��)

Page 212: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)3 ��%�$�+��

�3�� ? +�� 1�''��� ��? �� ������� �������� ������� ��� ��� �������� ��������? �� ��,� �#$�# �'$��/�E �!�A�E#� ��+� �� �� ;�)))8? ���? 4(G�)3

�3(� ? +�� 1�''��� ��? +������ ��������� �� ������� ��������������� ��� ����� �� �������� �� ��� ��� ��0? �$��$� ��� �)))T��? ��/�#$#��� !� �#��M#�+#? ��,� �M�+�+# ��!�$�+� �## �#$MU#? �# �#$#MU��?;�)))8? �G�3? � #���#$ � �#+�"+ K� �#&�

�4)� ? <� 7������? )�� �� ���� �� �� ��� �� ����� �� ���� ������ �����? �+���#� ��$� �#&� �+�� � ;�))�G�))�8? 3�G3(

�4�� 6� &5���5��5�? !������ �� $7� ������� ��������� �� ������? ��+'$����� � �#&� ��$�-�$/��$ #-? �� � ��(? �(4�

�4�� :� &��� )� �? �� ���� ������� ��� ���� ���� ���? �*����� �#&�? �� ��3? �+#!���+ �$���� ��!�/ ��A L�$E? ;�(��8? ���G��)

�4�� %� &(��� � ? ������ �� �������� ��� ����������� ������? K� !P�# *���#&�? �� ;�(��8? 3(G���

�4�� ? ������ �� ��� ���� ��� ����������� ������? ��+'$� ����� �#&�? �� � ���(? ��$�-�$/��$ #-? B�$ �/ ��A L�$E? �(��

�4�� �� � +�(� C�� �? + ����� ��� �� &��� ������ �� '� ������? N�.'�K� '? � ;�(3)8? ���G��4

�43� &� ���� )��? ��������� �� ����� �� ��������? ���$� K� �#&�? � ;�(��8?�� �? ��4G3)3

�44� �� ���"��)? ��������(� � ����� ��� ��� ��� ������ ����? K� ��=�$/��# 0����? �� ;�(�38? �� �? ���G�4�

�4�� &� �� A���,�? ������������� �� ��������� ����� ����������� �� ������ �� � ����? ��E � �+#!� �+�� ����? ��� ;�(3�8? �� 3? ��)(G���� ;�'���#8

�4(� ? ��� ������ �� �� ����� ������ ��� ���� ��������� �� ������� �� ������� ��� ��� ������� ���� ������ �? <'#��+�%�$�# ��#+��#���-�? ��+'$� ���� � �#&�? �� � ��)�? ��$�-�$? B�$ �? �((�? ���G���

��)� �� &� A���23? ������� ��� ������ ���������� �� ������� ����������������? �E$#�� �#� J&�? �� ;�(()8? �� (? ��(�G��((I �- ��& $#� �?�E$#��# �#&� K�? �� ;�(()8? �� (? �)�(G�)3�

���� ? ������� �� � ���� ��������? B' � ��+� �+�� ��� R�M�!M2? �M�$���+&� �M�%�$��? �� ;�((48? ��4G���

Page 213: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

%� �� #&����

� ������ �����

� 2������ ������� ���� ������ ���� ������� ���� ������ �����#� ���� ����S� ������ � ����� ������� � �� Æ � ����������� � ��� �,�4�5 ?��� �������!�4�5 E��� �������(4�� �5 ������� ������ � � ��� ������� � �4�5 ������� ������ � � ����$ ��������

����� � ��������������4�� �5 ������� ������ � � ��� ������� � ��4�� �� �5 ������� ������ � � ��� � ���

������� � ��� #������� � ��� ���4�� �5 ������� ������ � � ������� � ���

������� � ��� #����� ���� 3 �������$ � � �������� 3� ��������� ���#����� ���������� ��������� ���#����� �������� ���

���� ���������� ������ ���#����� �������� � � � � ( � (��4�5 � � ��� � �4(5 Q �� ( � � � .45 @����B� ���#����� ��������

4�4(5 Q (� �45 Q 5* 45 ������ @����B� ����������4I5 �������� ��� �� ��� ��� 9����

������ ����#���#� I �� .

Page 214: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�)� ��� �% �*�:� �

�� ������������ ����������� � � ��4(5 Q (� �4.5 Q .

�� ������������ ����������� � � ��4(5 Q (

9 =���������� �������� ��������� �������� ������ �������� ������� �������� ����������� �������� ������� � � � : ������ �������� �������� ��������

� ��� 9���� ������ ��� ����� ����2 � 2 � ������� �������� ������� � ��� 9��� ����

��� ��� �����������$>������� ����� <������� � "����=�?�=�� ?� �� �������� ����� <������� � "������ Q ��B� ������������ � � 2������ ������� ��

�$ � <������� ��� B�

R 4��5 R 4B�5 R 4�� -5 ������������ ����� � � ��������$9���� 2������ ������� �� � �$�� 4�� -5

/< 4�� �5 ������������ ������ � R 4��5,< 4�� �5 ?��$���� ������ � R 4��5&< 4�� �5 7�����K���$ ������ � R 4��5?��� ����� � �������� !1��3��������� � ��

Page 215: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

����

�:� �# !�=�$��# ? �(�#!�����: � �*��� �% +'$,��? �4? �)G !��#�? ��? ��G ��$�+? �? �3#-' #$ !�$�,#�,�? �)?G ���? �(#$+? �)? ��? ��? �(? �(? 3)? 3�#$�# � ���? �#$�# ��&�!? �#���+�#�! !��#�? ��? (3G +��� �� � ���+ ��-$# ? �3G ��$�+? �)

B� $#�� !�=�$��# ? �43G �9'#��? ���B��:�$:#+& ��>�+'$�? �? ���:�'!#$* �#$#���$�2#��? ��4? �4�:�'!�! %'+���? �3

+#�#+�*? �4G ? &*��$:� �+? �(G ? �-#$�&��+? ��+�$+' #$ !��#�? ��+&#$#+�$���+ !��#�? ��+ ���! $#>�+�$*? �)+���#+ + #��? 3)G �'$%#+�? ���+���#�:� �* �% #- �� #! &��-&�? �)+��� �� � ���+ ��-$# ? �3+�!���$? �4+�%�$�# �#���-? �? �? 4? �4G �,#$�#+�? 4? �G �$'+'$�? �4? ��4+�,�$�- &��$���? �4? �4? (�G G %�$ ��� %'+���? (�+�,�$�- �'$%#+�? ��+$��+# $#>�+�$*? �)G ? ���? �)

!�+E �#���-? ��? �(!�#���$? $#�"��? ��G ? &*��$:� �+ $#�"��? �(

!�=�$��# ? 9'#!$#�+? �(G ? B� $#��? �43!�-�? �)!� ##��? ���!���$�� &��$��? �(? ��? (�G ? A�/���? 4)? ���? �3�!��#�? !�': * +��+�!? ��? �)? �3?

�4G ? +�$+' #$? ��G ? +&#$#+�$���+? ��G ? �!�-? ��G ? $�-? ��? ��G ? ���� * +��+�!? �)? ��? �)G ? ���$# ? ��? ��

� ��� �% #$�#? �G �% �-&? �? �(� ���+ %'+��? ��G ��-$# ? ��G ��� �(G *�� �% �'$%#+��? ���!�- !��#�? ���.$��# �-&? �? �G %'+��? ���? ���? �4�G ��$�+? �? (? �4G G ? '�9'���� �%? (

��E�� ����? ��"�� $#>�+�$���? �)%� �#��? ��#�'$�!? �(3%$�� %#�� *? �4%'+�� �% @���$�$#��? ��G �% K#+�:�? �3%'!#��# -$�'�? ���'+&��# -$�'�? ��? ���? �43? �44

-�'�? �4- �:# $#>�+�$* �$'+'$�? ��-$�A& &��$��? ��? �4? ���G %�$ +�%�$�# �#���-? ��G %�$ 9'#��+�%�$�# �#���-? ���0$1�2�+& ���#�? ��

Page 216: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��) �!�.

G �$�: ��? �

&# %/� #�? �4? ��? ���? ��(? ���&��-&? �)&�����* + #�� �% +'$,��? �4G �% �#��? ���? ���? �4�&�����* *��? �4? ��F1� !�$ +��'�*? ���? ���&*��$:� �+ ���? ��G ? *�� �% �'$%#+��? ��&*��$:� �+ ��$�+? �(�

�,#$�#+�? +�!��� �%? �(? �3�,#$�# ��$�+? 4? �3? �(�

K#+�:�P� %'+��? ��? �3K�E��P �$'+'$� �&��$��? ��K�$!# !��#�? ��3K' �#/@� = ����#? �)? ��)

N��:� %'+��? �4N��:� &��$��? �4N��:� ��? �4? (�? (4

��-�!$� � ���+ ��-$# �? �� �-&? �.$��# ? �? �G ? �% # %#�� * �% +'$,��? � �+# $#>�+�$* �$'+'$�? �) �+# * $�,�# B� $#�� !�=�$��# ? �44�1�A�$/N'%#$�, ��&�!? �? �

�#$E�! ����# �'$%#+�? ���? �4��#.��'� �$�+�� �? ��(�+�� # �A�� �&��$��? �)? ��)��$�+ #!�����: �? �G ? �.$��# ? �G ? +�%�$�# �,#$�#? 4? �4? ��G ? �,#$�#? �(3G ? ���+#$M�? �(�G ? N�:#*#�&�? �(�? �(�G ? �#$#&M��!�$*? �(�? �(���!' � �% ����# �'$%#+��? ���!' '� �% %#�� * �% +'$,��? �? �? �4? ��G ? ��&�! �%? �G ? �����+�* �%? �)? ���G ? !�"��� �%? �G ? �.#�� ��? �)? ��? ��G ? +## �-'�? �(G ? �% # %$�� %#�� *? �4G ? �% # $�+#- �? �)G ? �% # 9'#!$� #�$# ? �G ? �% # #' '�? ��G ? �$�: �� �%? �? �4? ��G ? $�!'+�!? �3

G ? $�!'+�! �% # !�-�? �)G ? $�!'+�! �% # $�#- �? ���1�:�'� -$�'�? ��? �(��� %'+��? (���$� !��#�? �)��$� &��$��? ��4�#�? +�%�$�# ? �? �? 4? �4G ? �% !�+E? �(G ? 9'#��+�%�$�# ? �? ���G ? �% ,�+��*? �4

#'$# �#$#���$? �)�$� %�? 4G ? �����# ? �43

�$&�-�# $#>�+�$*? �(

�#$#:� �+ ���? �(G *�� �% �'$%#+��? ���#$#���$? �+# ? �4? �(�#$#���$�2#��? ��4? �4��#$���? ��G :* !�': * +��+�! !��#��? ��G :* !�-��? ��G :* 9'#!$� #�$# �? ��G :* $�#- ��? �����$��� �+# #$ �$�!'+? �44? ����S'-�$P� &��$��? ����+E %'+��? �3? �4� '$�&#$���+ ��!' '�? ��4? �(��� #$�2#��? ���� � �% # 9'#!$#�+ !�=�$��# ? ��G ? �$!�$ A�? ��? ��G ? �,� �$!�$? ��G ? �!! �$!�$? ��G ? ���� �? ���'+'$�? ��? �(

9'#!$#�+ !�=�$��# ? �(G ? #���+�#� ��$�+? �(G ? +$��+# $#>�+�$*? �)G ? �.#�� ��? ��? ��G ? $�-' #$ $#>�+�$*? �)G ? �' /:#+E? ���? ���9'#!$#�+ !�=�$��# �% "�� �$�? �)G ? A�& "�� $#>�+�$���? �)9'#!$� #�$# ? �? ��? ��? ��? �39'#!$#- �? ��9'#!$'� � �% ����? ���9'#��+�%�$�# �#�? �? ���? ���9'#��/�'+&��# -$�'�? ��39'#���*���$�+ �#�? ���

$�+#- �? ��!' '� �%? �)

Page 217: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

�!�. ���

$�!'+�! #$�#? �G ? ��!' '�? �3G G ? �% # !�-�? �)G G ? �% # $�#- �? ������#/��+& &��$��? �������# ��&�$�? �? �? ��? �������# �'$%#+�? �4? ���? �4�? ���? ��4$�- !��#�? ��? �3? ��$�#��? ��?

�+&'$/��+E/��,# �# �$�: ��? �����-#'$� �% ����# �'$%#+�? ��3���+�# ��!' �? �? (? �(? 3�? 4�? �)(���$# !��#�? ���� 2 #- �? �(? ��)�$�� !��#�? ��? ���$'+'$� �% $#>�+�$���? �+# ? �)G ? � &� #$-�? ���'$%#+� �$��? ��*���$�2#��? ��? ��

���+&�1' �$ !��E? �(�G �#� ���? ���? �4�G ��$�+ �43? �(�G ? ��#+� �4�&�# %'+���? ��

$#>�+�$* �$'+'$�? �)G ? �+# ? �)G ? � &� #$-�? ��$#>�+�$* �% # 9'#!$#�+ !�=�$��# ?

�(? �)G ? �$&�-�# ? �)G ? +$��+# ? �)G ? $�-' #$? �)G ? "��? �)$�,�# B� $#�� !�=�$��# ? �43*��? +�%�$�# �% �'$%#+�? �4G ? &�����* � �% # !��#�? �4G G ? �% !�=�$��# ? ��

'�%�$��2#��? ��'�9'���� �% &� �.$�� # ��$�+? �'�,# � %'+��? �4? 4)? �3? (�? ��)

,#$�#�� �% &� ��!' '�? �4�,#$�#��# ��&�!? �? �

@���$�$#�� %'+��? ��? ���@�� /���$��� ��$�+? �44

2�$� �% 9'#!$#�+ !�=�$��# ��

Page 218: Moduli of Families of Curves for Conformal and Quasiconformal Mappings

��� �!�.