Módulo 02 - Lajes 02. VÃOS - files.joaoluisfeis.webnode ...files.joaoluisfeis.webnode.com.br/200000053-31b0732a9d/Lajes_Mod2.pdf · Laje “muito curvada” na direção x e “pouco

Modulo 02 - 1

Módulo 02 - Lajes

0011.. DDEEFFIINNIIÇÇÃÃOO

Placa: elem//tos de superfície plana, em geral horizontais, sujeitos principalmente a ações perpendiculares ao seu plano.

Lajes: são placas de concreto armado cuja função é receber carregamentos atuantes nos andares e transferi-los para os apoios (ex.: vigas, paredes, pilares, etc.)

Neste módulo: lajes retangulares maciças de concreto armado, apoiadas sobre vigas ou paredes. Os apoios serão considerados indeslocáveis.

Obs.: p/ carga ser transferida aos apoios, a laje deve suportar os esforços:

a) Momento Fletor:

Carregamento

curvatura

flexão.

b) Força Cortante:

Carregamento

deslocamento vertical de uma seção em relação à seção

adjacente cisalhamento

c) Momento Torçor:

Carregamento

rotações diferentes de seções adjacentes, mas localizadas em faixas

diferentes torção

CIV 1167 – Estruturas de Concreto II Prof. José Luiz P. Melges UNESP – Campus de Ilha Solteira Agosto de 2012

Modulo 02 - 2

0022.. VVÃÃOOSS

Vão Livre (o ): distância entre faces internas dos apoios

Vão Teórico ():

Laje apoiada:

21olaje aa

Laje em balanço:

1olaje a

(No geral: = distância entre os eixos dos apoios). EXEMPLO 01:

h3,0

2/ta 1

1

h3,0

2/ta 2

2

h3,0

2/ta 1

1

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Modulo 02 - 3

0033.. CCLLAASSSSIIFFIICCAAÇÇÃÃOO

Eixo x é paralelo ao menor vão e eixo y é paralelo ao maior vão.

x

y

Obs.: p/ Laje com 2 :

Laje “muito curvada” na direção x e “pouco curvada” na direção y.

Nesse caso o cálculo é feito para faixas de 1 metro de laje.

Esquema das armaduras:

0044.. VVIINNCCUULLAAÇÇÃÃOO

Se 2 , então laje é

armada nas duas direções.

Armadura principal: p/ resistir ao momento fletor

Armadura secundária: para solidarizar faixas, prevendo eventual concentração de esforços em uma delas

FLECHA

y

x

1 m y x

CORTE A- A: vinculação

Borda engastada

Bor

da

ap

oiad

a

Bor

da

ap

oiad

a

Borda livre

B

B

A A

CO

RT

E B

– B

: vi

ncu

laçã

o

Obs.:

Borda livre: não têm vigas apoiando a borda.

Borda engastada: engaste ocorre devido à existência de lajes adjacentes.

Se 2 , então laje é armada em uma direção.

Modulo 02 - 4

OBS. 01) Camacho: analisar a relação entre vãos

OBS. 02) Libânio: analisar a momentos de engastamento nas lajes adjacentes

A

Se

engastadafica2L

engastadafica1L4/12

Se

engastadafica2L

apoiadafica1L4/12

L1 L2

L1 L2

Se

engastadafica2L

apoiadafica1L2

m

m´2

´1

L1 L2

Borda analisada

A

Corte A-A

L1 L2

1 2

Borda analisada

´1m

´2m

L1 L2 L1 L2

L1 L2

´1m ´

2m

L1 L2

Se

engastadafica2L

engastadafica1L2

m

m´2

´1

´2

´1 mm


Modulo 02 - 5

OBS. 03) Lajes rebaixadas: suas

bordas em geral são consideradas

apoiadas e não engastam as lajes

adjacentes. Para maiores detalhes, ver

apostila do Prof. Camacho.

OBS. 04) Pode ocorrer que na prática uma borda não esteja inteiramente

apoiada ou engastada.

EXEMPLO 02:

a) Para laje armada em 2 direções ( 2)

3

2

3Se

y1y

y

calcular os esforços para as 2 situações (borda totalmente apoiada e

borda totalmente engastada) e adotar os maiores valores dos esforços no dimensionamento.

engastadaborda

considerar3

2Se

.apoiadaborda

considerar3

Se

y1y

y1y

1y 2y

engaste

y

x

apoio

Modulo 02 - 6

b) Para laje armada em 1 direção ( > 2)

Armar faixas de 1 metro de largura, para trecho engastado e para o trecho

apoiado, repetindo a armadura ao longo dos respectivos comprimentos.

1y 2y

y

x

1 m 1 m

Vinculação da faixa

ao longo do

comprimento 1y :

1 m

Vinculação da

faixa ao longo do

comprimento 2y :

1 m


Modulo 02 - 7

0055.. EESSPPEESSSSUURRAA,, CCOOBBRRIIMMEENNTTOOSS MMÍÍNNIIMMOOSS

EE PPRRÉÉ--DDIIMMEENNSSIIOONNAAMMEENNTTOO

5.1) Espessura Mínima

NBR 6118:2003: para as lajes maciças apoiadas sobre vigas, devem ser respeitadas as seguintes espessuras mínimas:

5 cm: lajes de cobertura, exceto balanços

7 cm: lajes de cobertura em balanço e lajes de piso

10 cm: lajes destinadas a passagem de veículos de peso menor ou igual a 30kN

12 cm: lajes destinadas a passagem de veículos de peso total maior que 30kN

5.2) Cobrimento da armadura

O cobrimento vai depender do nível de agressividade do ambiente (tab.6.1

da NBR 6118).

Modulo 02 - 8

Cobr. nominal (c) = cobr. mínimo (cmin) + tolerância de execução (c)

Valor tabelado pela norma, considerando -se c = 10 mm (TABELA 7.2). (em caso de controle rigoroso, pode-se reduzir o valor de c para 5 mm).


Modulo 02 - 9

Observações:

Aproveitando o assunto “Agressividade”, a Norma também estabelece

uma resistência mínima do concreto:

Modulo 02 - 10

5.3) Pré-Dimensionamento

Expressão 01 para

altura útil estimada (dest)

(melhor para lajes com bordas

apoiadas ou engastadas):

Expressão 02 para

altura útil estimada (dest)

(melhor para lajes em balanço):

32

xestd

; onde:

2 = coeficiente dado em função

de y x e da vinculação da laje ;

3 = coeficiente dado em função da

resistência do aço

(obs.: 1,15 Sd = fyk).

Obs.: 2 ; 3 tabela 2.1

(Tabelas de Lajes - Pinheiro,1993).

Com o valor do dest, pode-se estimar o valor da espessura (ou altura da laje, h).


Modulo 02 - 11

Prof. Chust: p/ laje armada nas 2 direções considerar dest em relação à armadura

mais distante da face inferior (a favor da segurança).

)cm1mm10estimar(

c5,1dh estest

Modulo 02 - 12

EXEMPLO 03:


Modulo 02 - 13

0066.. AAÇÇÕÕEESS ((NNBBRR 66112200 ee NNBBRR 66111188))

6.1) Tabelas Tabela – Peso específico dos materiais de construção

Materiais Peso específico aparente, em kN/m3

Rochas

Arenito Basalto Gnaisse

Granito Mármore e calcáreo

26 30 30

28 28

Blocos artificiais

Blocos de argamassa Cimento amianto Lajotas cerâmicas

Tijolos furados Tijolos maciços Tijolos sílico-calcáreos

22 20 18

13 18 20

Revestimentos e

concretos

Argamassa de cal, cimento e areia Argamassa de cimento e areia

Argamassa de gesso Concreto simples Concreto armado

19 21

12,5 24 25

Madeiras

Pinho, cedro

Louro, imbuia, pau óleo Guajuvirá, guatambu, grápia Angico, cabriúva, ipê róseo

5

6,5 8 10

Metais

Aço Alumínio e ligas

Bronze Chumbo Cobre

Ferro fundido Estanho Latão

Zinco

78,5 28

85 114 89

72,5 74 85

75

Materiais diversos

Alcatrão

Asfalto Borracha Papel

Plástico Vidro plano

12

13 17 15

21 26

Tabela – Valores mínimos de cargas de uso

LOCAL kN/m2

Bibliotecas

Sala de leitura Sala para depósito de livros Sala com estantes de livros, a ser determinada, ou 2,5 kN/m2 por

metro de altura, porém com mínimo de

2,5 4

6

Casas de máquinas (incluindo máquinas) a ser determinada, porém com o mínimo de 7,5

Corredores Com acesso ao público Sem acesso ao público

3 2

Edifícios residenciais

Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro Despensa, área de serviço e lavanderia

1,5 2

Escadas Com acesso ao público Sem acesso ao público

3 2,5

Escritórios Sala de uso geral e banheiro 2

Forros Sem acesso ao público 0,5

Garagens; estaciona//tos P/ veículos de passageiros c/ carga máxima de 25 kN por veículo 3

Terraços Com acesso ao público

Sem acesso ao público

3

2

Modulo 02 - 14Inacessível a pessoas 0,5

6.2) Tipos de Ações

Piso

Camada de regularização

Peso próprio

Revestimento / forro

Paredes divisórias

Cargas de uso (pessoas, equipamentos móveis, etc)

Observação 01: na ausência de informações com relação às ações de

piso/regularização/forro, é usual, mas com os devidos cuidados, adotar o valor de

1 kN/m2.

Observação 02: ação em parapeitos

PERMA-NENTES

VARIÁ-VEIS


Modulo 02 - 15

EXEMPLO 04:

Modulo 02 - 16

6.3) Peso próprio de parede de alvenaria

6.3.1) Materiais

Bloco cerâmico, argamassa de assentamento, argamassa de revestimento. a) Bloco cerâmico com 6 furos.

b) Argamassa de Assentamento (cal, cimento e areia)

c) Argamassa de Revestimento (cal, cimento e areia)

14 cm

11,5 cm

24 cm

Peso: 2,4 kgf = 0,024 kN

Espessura (horizontal e vertical): 1cm Peso específico: 19 kN/m3

Espessura do revestimento =

ensãodimblocodo

daespessura"acabadaparede"

Peso específico: 19 kN/m3


Modulo 02 - 17

OBSERVAÇÃO: dependendo da posição do bloco, poderemos ter paredes de:

6.3.2) Peso por m2 de parede

O cálculo é feito para uma parede com 1 m de comprimento e 1 m de altura. EXEMPLO 05: Cálculo do peso próprio de parede de 1/2 bloco, com 15 cm de espessura acabada, com bloco cerâmico de 6 furos mostrado no item 6.3.1.

“1 bloco” (ou “inteira”)

“1/2 bloco” (ou “meia”)

“espelho”

24 cm

14 cm

11,5 cm

Modulo 02 - 18

Peso dos Blocos:

Área do “bloco” na parede:

Portanto, quantidade de “blocos" =

Portanto, peso dos blocos = 32 x 0,024 kN = 0,77 kN (para 1m2 de parede)

Peso da argamassa de assentamento =

= (volume da parede ainda sem o revestimento – volume dos blocos cerâmicos) x peso

específico da argamassa =

Portanto, peso da arg. assent. = 0,31 kN (para 1m2 de parede)

Peso da argamassa de revestimento =

volume do revestimento x peso específico da argamassa =

Peso da parede (“1/2 bloco”) =

24 + 0,5 +0,5 = 25 cm

11,5 + 0,5 +0,5 = = 12,5 cm

cos"blo"32m125,0m25,0

m1m1

x

x

3m/kN19.m24,0.m115,0.m14,0.32m14,0.m1.m1

0,5 cm

14 cm 0,5 cm

15 cm

3m/kN19.m14,0m15,0.m1.m1

Portanto, peso da arg. revest. = 0,19 kN

(para 1m2 de parede)


Modulo 02 - 19

= 0,77 + ,0,31 + 0,19 = 1,27 kN

( por m2 de parede)

EXEMPLO 06:

Modulo 02 - 20


Modulo 02 - 21

6.4) Carga de parede na laje

6.4.1) Para Lajes armadas em 1 direção

a) Alvenaria na direção do menor vão (apostila Prof. Camacho):

distribuir uniformemente a carga da parede segundo uma faixa de largura (b)

dimensionar o trecho como uma viga de largura bw, altura h e vão teórico l.

Modulo 02 - 22

b) Alvenaria na direção do maior vão (apostila Prof. Camacho):

6.4.2) Para Lajes armadas em 2 direções

Critério simplificado: considerar peso total da parede distribuído

uniformemente por sobre a laje:

Quando a posição da parede não estiver definida no projeto

considerar carga distribuída por metro quadrado de piso como sendo igual ao maior valor entre:

1/3 do peso por metro linear da parede pronta 1 kN / m2

a) conhecendo o peso/m2 de parede, o comprimento, e a altura da parede, posso calcular a força total que a parede aplica na laje; b) distribuir essa força total pela área da laje, calculada em função dos vãos teóricos.


Modulo 02 - 23

EXEMPLO 07:

Calcular o peso da parede que atua na laje (em kN/m2 de laje).

Dados:

Espessura da laje estimada em 14 cm.

Espessura da parede igual a 20 cm.

Largura das vigas estimada em 12 cm.

Peso da parede: 1,27 kN/m2 de parede.

Distância de piso a piso (“pé direito”) de 3m.

Considerar eixo da viga coincidindo com eixo de parede.

Modulo 02 - 24

0077.. RREEAAÇÇÕÕEESS DDEE AAPPOOIIOO

As lajes transferem as ações para as vigas através das suas reações de apoio.

Neste processo, a reação que vai para cada viga é proporcional a uma determinada

área definida pelas linhas de plastificação (linhas que aparecem na laje quando ela

está na iminência de ruir). As reações são consideradas uniformemente distribuídas

nas vigas de apoio, o que representa uma simplificação de cálculo.

Os triângulos e trapézios, relacionados ao carregamento que vai para cada apoio,

são obtidos traçando-se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:

Notação:

Eixo x: // ao menor lado;

Eixo y: // ao maior lado

Reação vx corresponde à borda perpendicular ao eixo x.

Reação vy corresponde à borda perpendicular ao eixo y.

O apóstrofe (´) indica que se trata de uma borda engastada.

• 45 entre apoios de mesmo tipo;

• 60 a partir do apoio engastado quando o

outro for livremente apoiado;

• 90 a partir do apoio quando a borda

vizinha for livre.

Exemplos:


Modulo 02 - 25

EXEMPLO 08:

Modulo 02 - 26

O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso de tabelas, como as

encontradas em PINHEIRO (1993). As tabelas fornecem coeficientes adimensionais

com os quais calculam-se as reações:

vp

x xx

10 ; vp

x xx

' '

10 ;

vp

y yx

10 ; v

py y

x' '

10

Para as lajes armadas em uma direção, as reações de apoio são calculadas a partir

dos coeficientes adimensionais correspondentes à condição y x 2 .

Neste caso, o dimensionamento é feito para faixas de 1 metro de laje.

Nas Tabelas de PINHEIRO (1993) foram feitas correções para levar em conta a

possibilidade de ocorrência de engastamento parcial.

Quando isto ocorre, há um aumento da reação na borda simplesmente apoiada

oposta à borda engastada.

Os alívios decorrentes dos momentos fletores atuantes na borda engastada foram

considerados pela metade, para garantir a segurança nos casos em que esse

momento negativo não se apresentar com o valor máximo previsto, ou seja, quando

o engastamento perfeito não for assegurado.


Modulo 02 - 27

Exemplo:

Isolando-se uma faixa de laje de largura

unitária e considerando-se a vinculação

mostrada na figura, têm-se as seguintes

reações nas bordas engastada e apoiada,

perpendiculares ao vão x .

vx=3,8 kN/mv´x=6,6 kN/m

m´x

lx

Supondo-se que, por algum motivo

(falha na concretagem, deficiência no

posicionamento das barras da

armadura junto à face superior da

laje), não ocorra o engastamento,

então as reações nos apoios serão as

mostradas na figura ao lado.

Portanto, o alívio de 1,4 kN/m ( = 5,2 - 3,8 ) que ocorreria no apoio simples

pela presença do engaste deixará de ocorrer.

Deste modo, para se estar a favor

da segurança, o cálculo pela tabela

leva em conta a possibilidade de

engastamento parcial: considera-se

que irá ocorrer um alívio no apoio

simples da ordem de 50% daquele

que ocorreria se o engaste fosse

perfeito.

Modulo 02 - 28

EXEMPLO 09:


Modulo 02 - 29

0088.. MMOOMMEENNTTOOSS FFLLEETTOORREESS

Lajes: solicitadas essencialmente por esforços de flexão: momentos fletores e

forças cortantes.

8.1) Métodos de Cálculo

Teoria das placas delgadas (teoria da elasticidade ou de “Kirshoff”): cálculo

exato só existe para placa circular, com carga simétrica ao eixo da placa. Para

outros tipos de placas, pode-se calcular os esforços usando:

métodos analíticos (séries trigonométricas)

métodos numéricos (computador):

diferenças finitas

elementos finitos

elementos de contorno

considerando a laje como uma grelha

(elementos de barras em 2 direções)

Tabelas

8.2) Cálculo utilizando Tabelas

Serão adotadas as Tabelas apresentadas em PINHEIRO (1993), adaptadas de

BARES e admitindo-se coeficiente de Poisson igual a 0,15.

Modulo 02 - 30

Os coeficientes tabelados (x , ' x , y , ' y) são adimensionais, sendo os

momentos fletores por unidade de comprimento dados pelas expressões:

mp

x xx

2

100

mp

x xx

' '

2

100

mp

y yx

2

100

mp

y yx

' '

2

100

mx , m x' momento fletor na direção do vão x

my , m y' momento fletor na direção do vão y

Para as lajes armadas em uma direção, os momentos fletores são

calculados a partir dos coeficientes adimensionais correspondentes à

condição y x 2 .


Modulo 02 - 31

8.3) Compatibilização dos Momentos Fletores

Quando lajes adjacentes puderem ser consideradas engastadas umas às outras,

para o cálculo dos momentos fletores, consideram-se os apoios internos de lajes

contínuas como perfeitamente engastados, o que representa uma idealização, visto

que, de fato, os engastes são parciais.

Em um pavimento, em geral, as lajes adjacentes diferem nas condições de

apoio, nos vãos teóricos ou nos carregamentos, resultando, no apoio comum, dois

valores diferentes para o momento negativo. Daí a necessidade de promover a

compatibilização destes momentos.

Na compatibilização dos momentos negativos, será considerado o maior valor

entre: a média dos dois momentos e 80% do maior. Acredita-se que este critério

apresenta razoável aproximação quando os momentos, entre as lajes vizinhas, são da

mesma ordem de grandeza. Assim, o momento fletor a ser adotado para o

dimensionamento da armadura sobre o apoio é dado por:

m

m m

m'

' '

, '

1 2

2

20 80

Modulo 02 - 32

Em decorrência da compatibilização dos momentos negativos, os

momentos positivos na direção analisada devem sofrer as devidas

correções. Se esta correção tende a diminuir o valor do momento positivo,

como ocorre na laje L1, despreza-se esta redução (a favor da segurança).

Caso contrário, se houver acréscimo no valor deste momento, a correção

deverá ser feita, somando-se ao momento fletor positivo, a média das

variações ocorridas nos momentos fletores negativos sobre os respectivos

apoios. Assim, para o exemplo da laje L2, tem-se:

m mm

cor2 2 2,'

, com m m m' ' ' 2


Modulo 02 - 33

EXEMPLO 10:

Modulo 02 - 34

0099.. DDIIMMEENNSSIIOONNAAMMEENNTTOO DDAASS AARRMMAADDUURRAASS

9.1) Tabelas

● Tabela 1.1 do Prof. Libânio:

considerando-se b =100 cm, calculam-se os valores de kc, de ks e

a área de armadura as (em cm2 por metro de largura da laje).

● Tabela 1.4 do Prof. Libânio:

relaciona a área calculada com o diâmetro e o espaçamento das

barras.

Área da seção de barras por metro de largura as (cm2/m)

s (espaça-

mento, em cm)

Diametro Nominal (mm) s (espaça-mento, em cm)

5,0 6,3 8,0 ... 16

5,0

5,5

...

10,0 3,12

...

33,0

Exemplo:

cm0,10cadaamm3,6 corresponde a uma área as de

m/cm12,3 2


Modulo 02 - 35

9.2) Taxa de armadura

● Taxa de armadura: h.b

a

w

ss , com bw = 100 cm, deve respeitar os

limites da Norma.

● Esses limites dependem:

● se a laje é armada em 1 ou 2 direções

● se a área as é para armadura positiva ou negativa

Armaduras negativas: mins

Armaduras positivas de lajes armadas em duas direções:

mins 67,0

Armadura positiva principal de lajes armadas em uma direção:

mins

Observação: Para armadura positiva secundária de lajes armadas em uma direção, deve-se obedecer os seguintes valores mínimos:

principal.armdado%20 s.sec.arm,s

min.sec.arm,s 5,0

m/cm9,0a 2.sec.arm,s

AGORA VEREMOS COMO É QUE CALCULA O min

Modulo 02 - 36

TABELA DA NORMA (válida para CA50, 4,1c e 15,1s ):

Quando a tabela não puder ser aplicada, deve-se calcular a Taxa Mínima

de Armadura )( min com base na Taxa Mecânica Mínima de Armadura

)( min :

%15,0

f

f.

yd

cdminmin

No caso de lajes, considerar seção retangular,.com largura igual a 100 cm:

035,0min


Modulo 02 - 37

9.3) Outros Limites

● 8

h.long.arm , onde h = altura da laje

● Distancia livre entre barras na direção horizontal (eh):

agregadomax,

h

2,1

mm20

e

●

cm20

h2principal.armoespaçament

● cm33undáriasec.armoespaçament

Modulo 02 - 38

EXEMPLO 11:


Modulo 02 - 39

1100.. VVEERRIIFFIICCAAÇÇÃÃOO DDAA CCOORRTTAANNTTEE

O uso de armaduras para absorver a força cortante em lajes é raro.

Pode-se dispensar a armadura transversal quando a força cortante de

cálculo obedecer à expressão:

db402,1kV

V.4,1Vonde;VV

w1RdSd

SkSd1RdSd ;

onde:

Rd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento

ctdRd f25,0 , onde: cinf,ctkctd /ff ; ctminf,ctk f.7,0f ; 3/2ckctm f3,0f

Portanto: 3/2ckRd f0375,0 , com Rd e fck em MPa

k é um coeficiente que tem os seguintes valores:

para elementos onde 50% da armadura inferior não chega até o

apoio: 1k

para os demais casos, 1d6,1k , com d em metros

Modulo 02 - 40

02,0quemaiornão,d.b

Aarmaduradetaxa

w

1s1 , onde:

1sA : área de armadura de tração que se estende até não menos que

nec,bd além da seção considerada

(obs.: nec,b definido no item 9.4.2.5 e figura 19.1)

bw: a largura da seção transversal ao longo da altura útil d

(no caso correspondente à largura de 100 cm).


Modulo 02 - 41

EXEMPLO 12:

Modulo 02 - 42

1111.. FFLLEECCHHAASS (( EEssttaaddoo LLiimmiittee ddee UUttiilliizzaaççããoo))

11.1) Definição de Análise “Não-

Linear”

(Figuras e material didático

disponibilizados no site da TQS –

Informática, pelo Eng. Alio Kimura)

Vamos supor que uma estrutura

com um carregamento “P” vai

sofrer um deslocamento

horizontal “d” em um

determinado ponto.

PERGUNTA: se aplicarmos o dobro do carregamento (“2P”), qual será o

deslocamento no mesmo ponto considerado?

RESPOSTA: se a análise for LINEAR, poderemos dizer que será o dobro do

deslocamento anterior (“2d”)


Modulo 02 - 43

OBS: agora, se a análise for NÃO-LINEAR, poderemos dizer que o

deslocamento provavelmente será maior que o dobro do deslocamento

anterior ( > “2d” ).

PERGUNTA: O que provoca o comportamento Não-Linear ?

RESPOSTA:

Modulo 02 - 44

11.1.1) Não-Linearidade Física

O concreto não apresenta

diagrama “tensão x deformação”

linear.

Conforme a solicitação vai

aumentando, o concreto vai

“amolecendo” (ou seja, o módulo

de deformação E vai diminuindo).

Além disso, devido à baixa resistência do concreto à tração, é muito

comum o concreto fissurar quando o carregamento aumenta. No cálculo

das flechas, o efeito da fissuração provoca uma diminuição da rigidez à

flexão do elemento estrutural.


Modulo 02 - 45

11.1.2) Não-Linearidade Geométrica

É muito importante no estudo da estabilidade global de edifícios e no

projeto de pilares. Será visto com maiores detalhes nos módulos seguintes.

11.2) Relembrando o conceito de “Estádio I” e “Estádio II”.

Para calcular as flechas levando em conta o

efeito da fissuração é necessário considerar o

comportamento da seção transversal

baseado no conceito de “Estádios”.

11.2.1) Estádio I

a estrutura se deforma pouco;

seções planas permanecem planas (deformações são proporcionais à

distância da linha neutra);

as tensões normais são pequenas (o concreto resiste à tração e vale a

lei de Hooke);

o momento de inércia da seção transversal pode ser considerado igual

ao momento de inércia da seção bruta de concreto armado.

11.2.2) Estádio II

existem pequenas fissuras nas proximidades da borda inferior da

viga;

Modulo 02 - 46

despreza-se a colaboração do concreto tracionado (“concreto não

resiste à tração”);

a armadura absorve as tensões de tração em função da existência da

aderência entre os materiais.

seções planas permanecem planas (as deformações são proporcionais

à distância da linha neutra);

vale a lei de Hooke para o concreto comprimido e para a armadura

tracionada “homogeneizada” (vamos ver o que é isso a seguir!!!);

adota-se a relação entre o módulo de elasticidade do aço e o módulo

de elasticidade secante do concreto como sendo igual a e (e = Es / Ecs ).

Comportamento estrutural da seção transversal no Estádio II


Modulo 02 - 47

Portanto, para calcular as tensões no concreto quando a seção está

trabalhando no Estádio II, utilizam-se os conceitos da resistência dos

materiais, “homogeneizando” a seção transversal de concreto armado, ou

seja, transforma-se a área de aço tracionado em uma área de concreto

equivalente tracionado.

“Transformando” um área de aço As por uma áreade concreto equivalente Ac,eq

Para fazer essa transformação, devemos considerar duas coisas: que vale

a lei de Hooke e que o alongamento da barra de aço é igual ao

alongamento da área de concreto equivalente.

Alongamento aço = Alongamento do concreto equivalente

Modulo 02 - 48

Sendo assim, aplica-se a lei de Hooke:

Para o aço: sss

s

EA

N

E

(I)

Para o concreto: cseq,ccs

eq,c

EA

N

E

(II)

Es = módulo de elasticidade do aço = 210 000 MPa

Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto

2/1

ckf560085,0 ,

com Ecs e fck em MPa.

Igualando-se (I) e (II), tem-se que:

scs

seq,c

cseq,cssA

E

EA

EA

N

EA

N Ac,eq = e As

Segundo a teoria de resistência dos materiais, têm-se que:

a) a posição da L. Neutra está localizada no c.g. da seção homogeneizada;

b) o momento estático da seção em relação ao eixo que passa pelo c.g.

é nulo;

c) a tensão que atua na seção homogeneizada de concreto é igual a:

yI

M

IIc


Modulo 02 - 49

Convenção de sinais para cálculo das tensões atuantes

Para relacionar a tensão na área de concreto equivalente e a tensão na

armadura basta lembrar que:

cseq.c EA

N

Podemos então dizer que:

eq,ceeq,ccs

s

cseq.csss

A

N

E

E

EA

NEE

Observação:

Para calcular a posição do c.g. da seção no estádio II, o momento estático

da seção homogeneizada em relação à Linha Neutra deve ser igual a zero.

Para calcular o momento de Inércia no estádio II, pode-se considerar

apenas o “transporte” da área homogeneizada de concreto tracionado.

Modulo 02 - 50

2se

23

II

ses

xdA.2

x.x.b

12

x.bI

02

x.x.b)xd(.A.0m

; com

cs

se

E

E

EXEMPLO 13:


Modulo 02 - 51

11.3) Momento de Fissuração

A seção vai fissurar se:

● momento atuante (Ma,max ) > momento de fissuração (Mr).

Nesse caso, o momento “Ma,max” é calculado para combinação rara,

uma vez que, se fissurar, “é para sempre”:

● mom. atuante (Ma,max) =

= mom. permanente (Mg) + mom. acidental (Mq)

O momento “Mr” é calculado pela expressão da Resistência dos

Materiais quando a seção está “quase fissurando mas ainda não fissurou”.

Nesse caso, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta (Ic).

Portanto, da Resistência dos Materiais:

y

I

M

t I

M

Modulo 02 - 52

Portanto: t

cctr

y

I.f.M

, onde:

= fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração

na flexão com a resistência à tração direta, sendo igual a 1,5 para

seções retangulares.

yt = distância do centro de gravidade da seção bruta à fibra mais

tracionada.

Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto

fct = resistência à tração direta do concreto, definida conforme o item

8.2.5, com o quantil apropriado a cada verificação particular. Para

determinação do momento de fissuração deve ser usado o fct,m no

estado limite de deformação excessiva.

3/2

ckm,ctct f3,0ff , com fct , fct,m e fck em MPa.

11.4) Modelo de Comportamento da Estrutura

Nos estados limites de serviço, as estruturas trabalham parcialmente

no estádio I e parcialmente no estádio II.


Modulo 02 - 53

Exemplo:

Viga de concreto armado biapoiada:

EstádioI

EstádioI

EstádioII

próximo ao apoio, o momento é pequeno e a seção trabalha no estádio I;

próximo ao meio do vão, os momentos são grandes e existe a

possibilidade da peça fissurar, trabalhando no estádio II.

Sendo assim, a NBR 6118:2003, para uma avaliação imediata em vigas,

recomenda a expressão para o cálculo do momento de inércia equivalente:

cII

3

a

rc

3

a

req II

M

M1I

M

MI

; onde:

Ic = momento de inércia da seção bruta de concreto

III = momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II,

calculado com e = Es/Ec.

Ma = momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento

máximo no vão para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio

Modulo 02 - 54

para balanços, ppaarraa aa ccoommbbiinnaaççããoo ddee aaççõõeess aa sseerr ccoonnssiiddeerraaddaa nneessssaa

aavvaalliiaaççããoo.. NNeessssee ccaassoo,, MMaa jjáá nnããoo éé mmaaiiss oobbrriiggaattoorriiaammeennttee oo vvaalloorr uussaaddoo

ppaarraa vveerriiffiiccaarr ssee aa sseeççããoo vvaaii oouu nnããoo ffiissssuurraarr ((MMaa,,mmaaxx)),, ee vvaaii ddeeppeennddeerr ddee

qquuaall lliimmiittee ddee ddeessllooccaammeennttooss,, rreeffeerreennttee aaoo EEssttaaddoo LLiimmiittee ddee UUttiilliizzaaççããoo,,

qquuee sseerráá vveerriiffiiccaaddoo..

Mr = momento de fissuração do elemento estrutural, cujo valor deve ser

reduzido à metade no caso de utilização de barras lisas.

11.5) Cálculo da Flecha Imediata (ai)

I.E

.p.

12

b.

100a

c

4x

i

, onde:

= coeficiente tabelado em função da vinculação e de (=y/x)

x = menor vão

b = largura da seção (no caso de lajes, b = 1 m ou 100 cm)

mrmse,I

mrmse,IcI

max,aeq

max,a

,

(lembrar que ma,max, nesse caso, é o valor calculado considerando-se a

combinação rara g + q ).

Ec = módulo de elasticidade secante

2/1

ckf560085,0 ,

com Ecs e fck em MPa.


Modulo 02 - 55

p = valor calculado em função das cargas permanente e acidental,

dependendo do Limite e do tipo de combinação que sera usada.

Exemplo:

para verificar o Deslocamentos visíveis em elementos estruturais

usamos a combinação Quase-Permanente;

para verificar as vibrações no piso, usamos a combinação

Frequente.

Portanto:

comercialedifício/p6,0

lresidenciaedifício/p4,0onde,qgp:Frequente.Comb

comercialedifício/p4,0

lresidenciaedifício/p3,0onde,qgp:.PermQuase.Comb

1

11

2

22

(obs.: tanto uma quanto a outra verificação serão vistas no próximo item)

11.6) Flecha Diferida no Tempo para Vigas/Lajes (af)

ITEM DA NORMA:

Modulo 02 - 56

11.7) Limites para Deslocamentos

TTiippoo ddee RRaazzããoo ddaa EExxeemmpplloo DDeessllooccaammeenn-- DDeessllooccaammeennttoo CCoommbbiinnaa--

sc

Rs

Rs´

Concreto vai continuar “querendo encurtar” mas armadura “não vai deixar” ou “pelo menos vai diminuir esse efeito”

M


Modulo 02 - 57

eeffeeiittoo lliimmiittaaççããoo ttoo aa ccoonnssiiddeerraarr

lliimmiittee ççããoo ddee aaççõõeess

Aceitabili-dade

sensorial

Visual

Deslocamentos visíveis em elementos estruturais

Total 250

Quase perma-nente

Outro

Vibrações sentidas no

piso

Devido a cargas

acidentais* 350

Fre-qüente

Observações:

Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço.

Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados com contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano

maior que /350**

* Para calcular o deslocamento devido apenas a cargas acidentais, mas levando-se

em conta a fissuração que pode ter sido causada pela ação permanente, adota-se o

seguinte procedimento:

Flecha devido a cargas acidentais =

= flecha p/ comb. Frequente – flecha p/ comb. Permanente

** A contraflecha deve sempre proporcionar a menor flecha possível para o

elemento estrutural.

Exemplo: af = flecha

cf = contraflecha

Modulo 02 - 58

!OKentãoLimiteafSe

Podemos adotar um valor de cf até o limite de 350/ para que a laje

tenha a menor flecha possível.

:overificaçãnovafazere350

cfadotarentãoLimiteafSe

)lajeda.espessaumentar(!OKNÃOentãoLimitecfafse

!OKentãoLimitecfafse

TABELAS ÚTEIS:


Modulo 02 - 59

Modulo 02 - 60


Modulo 02 - 61

EXEMPLO 14:

Modulo 02 - 62

1122.. DDEETTAALLHHAAMMEENNTTOO DDAASS AARRMMAADDUURRAASS

Armadura Negativa: na face superior da laje

Armadura Positiva: na face inferior da laje.

1122..11 AArrmmaadduurraa nneeggaattiivvaa ssoobbrree bboorrddaa eennggaassttaaddaa

Conforme Prof. Libânio, o comprimento das barras negativas deve ser

calculado com base no diagrama de momentos fletores na região dos

apoios. Em edifícios usuais, em apoios de lajes retangulares que não

apresentem borda livre, os comprimentos podem ser determinados de

forma aproximada, com base no diagrama trapezoidal mostrado a seguir:

Adota-se como sendo igual a um dos valores:

=

o maior entre os menores vãos das lajes adjacentes ,

quando ambas forem consideradas engastadas nesse

apoio;

o menor vão da laje engastada, quando a outra foi

simplesmente apoiada nesse vínculo.


Modulo 02 - 63

Recomenda-se adotar, perpendicularmente a essa armadura negativa,

barras de distribuição que tenham as mesmas áreas e espaçamentos que os

indicados para armaduras secundárias.

1122..11..11 UUmm ssóó ttiippoo ddee bbaarrrraa

Adota-se um comprimento a1 para cada lado do apoio, com a1 sendo

igual ao maior valor mostrado a seguir:

Onde:

d5,1a deslocamento do diagrama de momentos

diâmetro da barra

b7,0 70 % do comprimento de ancoragem básico

1a

b7,0a

1025,0 (em geral, maior valor)

Modulo 02 - 64

(o que equivale a dizer que nas extremidades da barra vão

existir ganchos)

Tabela correspondendo ao:


Modulo 02 - 65

Situações de boa e de má aderência (PINHEIRO & MUZARDO, 2003)

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Modulo 02 - 66

1122..11..22 DDooiiss ttiippooss ddee bbaarrrraass

Uma alternativa ao detalhamento anterior é adotar dois comprimentos de

barra conforme a figura a seguir:

21a

b7,02

a25,0

1025,0 (em geral, maior valor)

22a

b7,0a

10

2

a25,0 (em geral, maior


Modulo 02 - 67

1122..11..33 BBaarrrraass aalltteerrnnaaddaass ddee mmeessmmoo ccoommpprriimmeennttoo

Podem ser adotadas barras de mesmo comprimento, considerando na

alternativa anterior as expressões que, em geral, conduzem aos maiores

valores:

102

a25,01025,0aaa 2221

d75,0208

3a ; a

3

2a 21 ; a

3

1a22

Modulo 02 - 68

1122..11..44 OObbsseerrvvaaççõõeess

Em geral, os comprimentos são arredondados para múltiplos de 5 cm.

Recomenda-se adotar barras de distribuição que tenham as mesmas áreas

e espaçamentos que os indicados para armaduras secundárias na direção

perpendicular a essa armadura


Modulo 02 - 69

1122..22 AArrmmaadduurraa nneeggaattiivvaa ssoobbrree bboorrddaa aappooiiaaddaa

Essa armadura é

usada para evitar que

ocorra uma fissuração

excessiva na ligação

da face superior da

laje com a viga.

Não se deve adotar

espaçamento dessa

armadura superior a

33 cm.

(Figura adaptada da apostila do Prof. Camacho)

1122..33 AArrmmaadduurraa nneeggaattiivvaa ddee llaajjeess eemm bbaallaannççoo

Conforme recomendação

do prof. Libânio, sendo L o

comprimento da barra no

balanço, adota-se o

comprimento total no

trecho horizontal como

sendo igual a 2,5L. O

gancho diferenciado na

extremidade da borda livre

serve para protegê-la.

Modulo 02 - 70

1122..44 AArrmmaadduurraa ddee ccaannttoo

Nos cantos de lajes retangulares, formados por duas bordas

simplesmente apoiadas, existe uma tendência deles se levantarem

decorrente da ação de momentos volventes (ou torçores). Sendo assim,

deve-se adotar uma armadura nesta região, tanto na face superior como

na face inferior, para impedir aberturas de fissura excessivas.

Quando toda a armadura positiva (na face inferior) se estender de

apoio a apoio, faz-se necessária apenas a colocação da armadura negativa

(na face superior). Caso contrário, deve-se garantir uma armadura na face

inferior igual à adotada para a face superior.

As barras devem se estender até a distância igual a 1/5 do menor vão

teórico da laje, medida a partir das faces dos apoios. O Prof. Libânio

recomenda que a malha de armadura deva ter, em cada direção, uma área

não inferior a asx/2, onde asx é a armadura no centro da laje, na direção

mais armada.


Modulo 02 - 71

1122..55 AArrmmaadduurraass ppoossiittiivvaass ((nnaa ffaaccee iinnffeerriioorr ddaa llaajjee))

As barras das armaduras inferiores vão estar ancoradas desde que se

estendam, além da face interna do apoio, um comprimento que seja maior

ou igual a 10 e 6 cm .

Nas extremidades do edifício, elas costumam ser estendidas até junto a

essas extremidades, respeitando-se o cobrimento especificado.

Conforme o Prof. Libânio, nos casos de barras interrompidas fora dos

apoios, seus comprimentos devem ser calculados seguindo os critérios

especificados para as vigas.

Modulo 02 - 72

Conforme o Prof. Camacho, outros modos de ser armar a laje podem ser

vistos na figura a seguir.

TABELA: DETALHAMENTO DOS GANCHOS

ARMADURA DE TRAÇÃO:

a) b) c)

Diâmetros dos pinos de dobramento, para armadura de tração

Bitola (mm) CA – 25 CA – 50 CA - 60

< 20 4 5 6

20 5 8 _

ESTRIBOS:


Modulo 02 - 73

Diâmetros dos pinos de dobramento, para estribos

Bitola (mm) CA – 25 CA – 50 CA - 60

t 10 3 t 3 t 3 t

10 < t < 20 4 t 5 t _

t 20 5 t 8 t _

Obs. Dimensão correspondente à altura do gancho deve respeitar a

dimensão da espessura da laje subtraída dos cobrimentos inferior e superior.

TABELA: COMPRIMENTO TOTAL DAS BARRAS COM GANCHOS comprimento calculado considerando-se a linha que passa pelo c.g. da armadura = diâmetro da barra; dob. = diâmetro interno de dobra

TR = trecho reto; L1 = projeção horizontal da barra

Modulo 02 - 74


Modulo 02 - 75

1133.. VVEERRIIFFIICCAAÇÇÃÃOO DDAA PPUUNNÇÇÃÃOO

1133..11 DDeeffiinniiççããoo

1133..22 OOnnddee ooccoorrrree

Modulo 02 - 76

1133..33 SSuuppeerrffíícciiee ddee rruuíínnaa ((eexxeemmpplloo:: llaajjee lliissaa))

Como ficam o pilar e a laje após a ruína ?

1133..33..11 PPoossiiççããoo ddoo ppiillaarr


Modulo 02 - 77

1133..33..22 PPrreesseennççaa ddaa aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo

Exemplo: conectores tipo pino.

Modulo 02 - 78

Influência da armadura de punção:


Modulo 02 - 79

1133..44 TTeeoorriiaa ddee bbiieellaass ee ttiirraanntteess

a) Biela comprimida b) Tirante tracionado

Modulo 02 - 80

1133..55 MMooddeellooss ddaa SSuuppeerrffíícciiee ddee CCoonnttrroollee

1133..66 RReeccoommeennddaaççõõeess ddaa NNoorrmmaa NNBBRR 66111188::22000077

1133..66..11 LLiiggaaççããoo sseemm aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo ((22 vveerriiffiiccaaççõõeess))


Modulo 02 - 81

1133..66..22 LLiiggaaççããoo ccoomm aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo ((33 vveerriiffiiccaaççõõeess))

1133..77 CCoollaappssoo PPrrooggrreessssiivvoo

A ruína final não é proporcional à causa inicial.

As: armadura de flexão inferior; somatória das áreas das barras que

cruzam cada uma das faces do pilar.

fyd: tensão de escoamento (valor de cálculo) da armadura

Modulo 02 - 82

Exemplo:

[ (As para 1 barra ) x 8 ] x fyd FSd

(armadura passando internamente à armadura do pilar)

Observação: a armadura deve ser colocada na face da laje à qual a força está sendo aplicada.


Modulo 02 - 83

1133..88 FFoorrmmuulláárriioo

SSIITTUUAAÇÇÃÃOO::

PPiillaarr IINNTTEERRNNOO,, SSEEMM mmoommeennttoo fflleettoorr ddeessbbaallaanncceeaaddoo aattuuaannttee,, SSEEMM

aarrmmaadduurraa ddee ppuunnççããoo

(Para outras situações, ver apostila do Prof. Camacho)

1133..88..11 VVeerriiffiiccaaççããoo aa 22dd ddaa ffaaccee ddoo ppiillaarr

Cálculo de Sd:

onde:

Modulo 02 - 84

Cálculo de Rd1:

(lajes ou trechos sem armadura de punção)

Cuidado:

d em centímetros, fck em MPa, Rd1 em MPa

Observação:


Modulo 02 - 85

1133..88..22 VVeerriiffiiccaaççããoo nnaa ffaaccee ddoo ppiillaarr

Cálculo de Sd:

onde:

Cálculo de Rd2:

Sugestão para unidades: fck, fcd e Rd2 em MPa

Modulo 02 - 86

EEXXEEMMPPLLOO 1155


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Módulo 02 - Lajes 02. VÃOS - files.joaoluisfeis.webnode ...files.joaoluisfeis.webnode.com.br/200000053-31b0732a9d/Lajes_Mod2.pdf · Laje “muito curvada” na direção x e “pouco