MATEMÁTICASCLEI V

 

EL UNIVERSO DE LOS

SÍMBOLOS Y

LOS NÚMEROS

Tabla de Contenido

Unidad 1

Unidad 2

Unidad 3

Unidad 4

UNIDAD 1

PENSAMIENTO

NUMERICO-VARIACIONAL

PENSAMIENTO NUMÉRICO Y VARIACIONAL

ESTÁNDARES DE MATEMATICAS PARA GRADOS 10 & 11:

• Analizo representaciones decimales de los números reales para diferenciar entre racionales e irracionales.

• Reconozco la densidad e incompletitud de los números racionales a través de métodos numéricos, geométricos y algebraicos.

• Comparo y contrasto las propiedades de los números (naturales, enteros, racionales y reales) y las de sus relaciones y operaciones para construir, manejar y utilizar apropiadamente los distintos sistemas numéricos.

• Utilizo argumentos de la teoría de números para justificar relaciones que involucran números naturales.

• Establezco relaciones y diferencias entre diferentes

notaciones de números reales para decidir sobre su uso en una situación dada.

Utilizo las técnicas de aproximación en procesos infinitos numéricos.

• Interpreto la noción de derivada como razón de cambio y como valor de la pendiente de la tangente a una curva y desarrollo métodos para hallar las derivadas de algunas funciones básicas en contextos matemáticosy no matemáticos.

• Analizo las relaciones y propiedades entre las expresiones algebraicas y las gráficas de funciones polinómicas y racionales y de sus derivadas.

• Modelo situaciones de variación periódica con funciones trigonométricas e interpreto y utilizo sus derivadas.

ESTÁNDARES EN TIC´S PARA GRADOS 10 & 11:

1. Diseñar, desarrollar y poner a prueba un juego digital de aprendizaje con el que se

demuestre conocimiento y habilidades relacionados con algún tema del

contenido curricular. (1, 4)

2. Crear y publicar una galería de arte en línea, con ejemplos y comentarios que demuestren la comprensión de diferentes períodos históricos, culturas y países. (1, 2)

3. Seleccionar herramientas o recursos digitales a utilizar para llevar a cabo una tarea del mundo real y justificar la selección en base a su eficiencia y efectividad. (3, 6)

4. Emplear simulaciones específicas sobre contenidos curriculares para practicar procesos de pensamiento crítico. (1, 4)

5. Identificar un problema global complejo, desarrollar un plan sistemático para investigarlo y presentar soluciones innovadoras y sostenibles en el

tiempo. (1, 2, 3, 4)

6. Analizar capacidades y limitaciones de los recursos TIC tanto actuales como emergentes y evaluar su potencial para atender necesidades personales, sociales, profesionales y de aprendizaje a lo largo de la vida. (4, 5, 6)

7. Diseñar un sitio Web que cumpla con requisitos de acceso. (1, 5)

8. Modelar comportamientos legales y éticos cuando se haga uso de información y tecnología (TIC), seleccionando, adquiriendo y citando los recursos en forma apropiada. (3, 5)

9. Crear presentaciones mediáticas enriquecidas para otros estudiantes respecto al uso apropiado y ético de herramientas y recursos digitales. (1, 5)

10. Configurar y resolver problemas que se presenten con hardware, software y sistemas de redes

para optimizar su uso para el aprendizaje y la productividad. (4, 6)

Tabla de Símbolos

Indicadores de Desempeño (1290)

Mapa conceptual

SITUACIÓN PROBLEMA

FUNCIONES REALESLa construcción y lectura de gráficos son necesidades imprescindibles en el mundo actual. No es posible comprender un diario si no se tiene idea de cómo interpretar un gráfico. Como primer acercamiento observemos el siguiente gráfico que contiene información simple de leer.

En las empresas ferroviarias se utilizan diagramas similares a estos para programar la señalización a lo largo de la vía férrea.

En el eje vertical se han marcado los puntos O, A, B, C, D, y E que son estaciones ferroviarias. En el eje horizontal se ha representado el tiempo medido en horas.

Cada línea quebrada indica la posición del tren, cuyo número está marcado sobre la misma, en función del tiempo. Observemos que algunos trenes no llegan a la última estación y algunos no paran en ciertas estaciones.

Veamos algunas preguntas que podemos hacer para interpretar el gráfico: 1) ¿A qué hora sale el tren nº 2? 2) ¿A qué hora llega a la estación E el tren nº 4?

3) ¿Cuánto tiempo transcurre entre la salida del tren nº 3 y el nº 4? 4) ¿Cuánto tarda el tren nº 1 en ir de la estación O a la estación B? 5) ¿Cuánto tiempo el tren nº 1 está detenido en la estación B? 6) ¿Cuánto tiempo transcurre en la estación D desde la partida del tren nº 1 hasta que pasa el tren nº 6? 7) ¿Hasta dónde llega el tren nº 3? 8) ¿A qué hora y en qué lugar se cruzan los trenes nº 1 y nº 2?

¿Qué es una

función? Una función es

como una máquina: tiene una entrada y una salida. Y lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

El concepto de función es el mejor objeto que los matemáticos han podido inventar para expresar el cambio que se produce en las cosas al pasar el tiempo.

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia

entre dos o más cantidades.

ACTIVIDAD

VIRTUAL

Ingresa a la página web:

http://www.youtube.com/watch?v=iBFu6kLa9uY&feature=PlayList&p=5729FB431A8FE634&index=0&playnext=1

Primero, es útil darle un nombre a una

función. El nombre más común es "f", pero puedes ponerle otros como "g"... o hasta "mermelada" si quieres.

Y también está bien darle nombre a lo que se va adentro de la función, se pone entre paréntesis () después del nombre de la función:

Así que f(x) te dice que la función se llama "f", y "x" se pone dentro

Y normalmente verás lo que la función hace a la entrada:

f(x) = x2 nos dice que la función "f" toma "x" y lo eleva al cuadrado.

Así que con la función "f(x) = x2", una entrada de 4 da una salida de 16. De hecho podemos escribir f(4) = 16.

A veces las funciones no tienen nombre, y puede que veas algo

como y = x2

Arriba dije que una función es como una máquina. Pero una función no tiene engranajes ni correas ni partes que se muevan. ¡Y no destruye lo que pones dentro!

En realidad, una función relaciona la entrada con la salida.

Decir que "f(4) = 16" es como decir que 4 está relacionado de alguna manera con 16. O también 4 → 16

Ejemplo: este árbol crece 20 cm cada año, así que la altura del árbol está relacionada con la edad por la función a:

a(edad) = edad × 20

Así que si la edad es 10 años, la altura es a(10) = 200 cm

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

La introducción de símbolos para las incógnitas y para las operaciones y potencias algebraicas, a finales del siglo XVI, constituyó un avance importante en el álgebra. Debido a este avance, el libro III de su Traite de Géometric (1637), escrito por el matemático y filósofo Rene Descartes se parece bastante a un texto moderno de álgebra.

La obra de Descartes dominó el siglo XVII y la primera mitad del siglo XVIII. Su memorable Traite de Géometric es una obra capital en la evolución de las matemáticas; en ella emplea el álgebra en la geometría, completa el simbolismo algebraico e introduce el Cálculo algebraico de tangente y

curvatura, entre otros. Inventa, de esta manera, la Geometría Analítica con la introducción de las coordenadas, la cual permite reducir la solución de problemas geométricos a la solución de problemas algebraicos. Su libro de geometría contiene también los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de una ecuación.

El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.

Mientras que el cálculo diferencial e integral surgió en el siglo XVII, el concepto de función vino a conocerse un siglo después, y el limite, entendido de una manera formal y rigurosa, solo a finales del siglo XIX, lo cual difiere de la forma como se presenta actualmente el cálculo, en donde primero se enseñan funciones, luego limites y finalmente derivadas o integrales.

Antes de Euler, el matemático y filosofo francés René Descartes(1596-1650) mostró en sus trabajos de geometría que tenía una idea muy clara de los conceptos de ``variable'' y ``función'', realizando una clasificación de las curvas algebraicas según sus grados, reconociendo que los puntos de intersección de dos curvas se obtienen resolviendo, en forma simultánea, las ecuaciones que las representan.

Lee nuevamente el texto anterior y luego encierra en un círculo, la letra que corresponda a la respuesta correcta:

1. La oración que mejor expresa la idea principal es:

a. Descartes y Newton entre la inmortalidad y el olvido.b. Cómo ha evolucionado la ciencia por aplicación de un principio.c. El avance de las matemáticas con Descartes , Newton y Leibniz.d. La actividad creadora de los hombres del siglo XVIII.

2. Uno de los siguientes enunciados es falso:

a. Descartes se destacó en los campos de la geometría, el álgebra y la filosofíab. Fueron infructuosos los esfuerzos de Lagrange en el trabajo con derivadas.c. Newton y Leibniz fueron los creadores del cálculo infinitesimal.

d. En su libro de geometría, Descartes incursiona en el terreno de las ecuaciones.

3. Según el texto se puede afirmar que:

a. primero se enseñan funciones, luego límites y finalmente derivadas o integrales. b. La obra de Descartes tiene vigencia durante los siglos XVI y XVIIc. Descartes y Newton son los padres de la investigación científicad. Las ciencias matemáticas existían antes de aparecer el hombre

LAS FUNCIONES EN LA VIDA REAL

En el mundo en que vivimos muchas cosas suelen presentarse

en cantidades variables: kilos de manzanas, $ boletos de

microbuses, mm de agua caída, etc. Además podemos también

observar que muchas veces una cantidad depende de otra,

hay relaciones de interdependencia entre ellas. Por ejemplo:

La cantidad de combustible que consume un vehículo depende de la distancia recorrida.

La temperatura ambiente depende del instante que la midamos.

La cuenta de luz a fin de mes depende de la cantidad de electricidad que se ha consumido.

Analiza las siguientes situaciones:

a) Sombra de un árbol ( altura del árbol y su sombra)b) El volumen de una caja (medida de la arista y su

respectivo volumen)c) Restricción vehicular (día y el término de las

patentes de los vehículos)

Se dice que a) y b) corresponden a funciones. ¿Por

qué c) no lo es?.

Anota tus conclusiones:

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

NO ES FUNCION, CUANDO?

Conclusión una función relaciona entradas con salidas una función toma elementos de un conjunto (el

dominio) y los relaciona con elementos de un conjunto (el condominio).

las salidas (los verdaderos valores de la función) se llaman la imagen o rango

una entrada sólo produce una salida (no una u otra)

una entrada y la salida que corresponde se llaman juntos un par ordenado

así que una función también se puede ver como un conjunto de pares ordenados

ACTIVIDAD COMPLEMENTARIA

COMPETENCIA ARGUMENTATIVA

1. Señala si las siguientes afirmaciones son verdadreas (V) o falsas (F).

a) ....... Todas las funciones son relaciones.b) ....... El dominio de la función de A en B es el

conjunto A.

c) ....... El recorrido de una función corresponde a los elementos y = f(x)

d) ....... Una función de A en B es inyectiva cuando a elementos distintos de A, les corresponden imágenes iguales en B.

e) ....... La función epiyectiva la llaman también función sobre.

f) ....... Una función es biyectiva cuando es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

g) ....... La expresión y = 1/x no es función.

h) ....... Si f(x) = 1/x, entonces f(0) no está definida

i) Se llama función al valor de una variable dependiente (Y) que proviene de una variable independiente (X) como consecuencia de la aplicación de un modelo matemático.

j) Una función se pude reprentar como f(x), g(x) o como Y

INTERPRETATIVA

2. Dado f(x) = x2 - 2x, determina:

a) f(-1)

b) f(4)

c) f(-1/2)

d) f(a - 1)

3. Si f(x) = , determina

a) f(1/2)

2) f(2)

f(-2)

f(1 - a)

4. Representa graficamente Las siguientes funciones:

a) y = 2x + 1

b) y = - x + 2

c) y=

d) y = -2

PROPOSITIVA

Inventa dos funciones, grafícalas y halla el dominio y rango de cada una

TALLER

1. a) Indicar si los siguientes gráficos corresponden a funciones.

Justificar.

b) Hallar el dominio y la imagen de los que corresponden a

función.

2. Dados los siguientes gráficos correspondientes a funciones, determinar los

conjuntos dominio e imagen de cada una de ellas:

ACTIVIDAD INTERACTIVA1. Realiza las siguientes funciones en Excel, utilizando el siguiente

video que te ayudará a resolverlo:

http://www.youtube.com/watch?v=yZSlnDMIZPY

Y=2x+3

Y=-2x

Y= 2x -5

IMPRIMELO Y COMPARTELO CON TUS COMPAÑEROS DE CLASE

2. practica la función lineal con:http://www.thatquiz.org/es/practice.html?algebra

PRE-ICFESRESPONDA LAS

PREGUNTAS 1 A 3 DE ACUERDO CON LA

SIGUIENTE INFORMACIÓN

En una fábrica se realizó un estudio de mercadeo para analizar el precio de venta al público de un producto en función de las unidades que se distribuyen en el comercio, en dos ciudades diferentes.

De dicho estudio se concluyó que:

I. el precio del producto en la ciudad 1(C1), en miles de pesos esta dado por

II. II. el precio del producto en la ciudad 2 (C2), en miles de pesos esta dado por

U representa las unidades de mil del producto que se encuentra en el comercio en cada ciudad. La empresa distribuye máximo 12000 unidades y no menos de 1000 unidades en cada ciudad. En el siguiente gráfico se ilustra las relaciones C1 (U) y C2 (U).

1. Teniendo en cuenta el comportamiento de las relaciones en las ciudades C1 y C2, es correcto afirmar que:

A. cuando la fábrica distribuye a las dos ciudades 8000 unidades del producto, los precios en estas ciudades son iguales

B. B. si se distribuye menos de 8000 unidades en cada ciudad, el precio del producto en C2

siempre será menor en comparación con la otra ciudad

C. cualquiera que sean las unidades distribuidas en cada ciudad el precio del producto en C1,, siempre será menor en comparación con la otra ciudad

D. cuando la fábrica distribuye más de 8000 unidades en cada ciudad, el precio del producto en C2 siempre será menor en comparación con la otra ciudad

2. Si la fábrica distribuye a las ciudades una cantidad de productos superior a 9000 unidades; los precios en las ciudades nunca serán iguales, porque

A. para que haya una cantidad de productos distribuidos cuyo precio sea igual en ambas ciudades, la relación C2(U) debería ser igual a alguna con

a є (4.5, 6]

B. la relación expresada por C1(U) siempre es mayor que C2(U) cuando se distribuye una cantidad de productos superior a 9000 unidades

C. para que haya una cantidad de productos distribuidos, cuyo precio sea igual en ambas ciudades, la relación C1(U), deberá ser igual

D. la relación expresada por C2(U) siempre es mayor que C1(U) cuando se

disminuye una cantidad de productos menor a 8000 unidades

3. La empresa modificó el precio de su producto en la

ciudad 2, así mientras que en la ciudad 1 permaneció igual. De acuerdo con lo anterior podemos decir que:

A. el precio en las ciudades 1 y 2 nunca podrá ser igual, así se distribuya una cantidad muy grande de productos en estas ciudades

B. el nuevo precio en la ciudad 2 siempre es mayor que el anterior precio y también mayor que en la ciudad 1

C. el nuevo precio en la ciudad 2 es igual a la ciudad 1 cuando se distribuyen 5500 unidades del producto

D. el precio en la ciudad 1 aumenta con el cambio en la relación C2(U)