MODULO4-PRECALCULO

TALLER DE NIVELACIÓN EN MATEMÁTICAS PARA ALUMNOS DE NUEVO INGRESO 2008

PRECÁLCULO

Del 4 al 8 de agosto De 7:30 a 13:00 hrs

TEMARIO

1. Conceptos básicos de Teoría de Conjuntos

1.1 Definiciones 1.2 Operaciones con conjuntos 1.3 Subconjuntos importantes en los números reales

2. Intervalos en la recta real 2.1 Tipos de intervalos, notación y representación gráfica

2.2 Operaciones con intervalos 3. Desigualdades 3.1 Resolución de desigualdades 3.2 Desigualdades con valor absoluto 4. Funciones 4.1 Conceptos básicos 4.2 Gráfica de una función

4.3 Funciones especiales y sus gráficas 4.4 Efectos de los parámetros de una función 4.5 Operaciones con funciones 4.6 Función inversa

Total: 25 horas

BIBLIOGRAFÍA

1. Matemáticas 4: Precálculo.

Juan A. Trejo Peña, Mario A. Quijano Ancona y Eric J. Ávila Vales McGraw-Hill Interamericana. 2004. Cap. 1 págs. 1- 24; Cap. 2 págs. 27 -50, 65-84 y 92-97; Cap.3 págs. 101-127-138; Caps. 4 – 9.

2. Precálculo. James Stewart, Lotear Redlin y Saleem Watson. Thomson. Tercera edición. Secc. 2.4 Pág. 162.; Cap. 10.

3. Algebra y trigonometría con geometría analítica.

Earl W. Swokowski Thomson.

Facultad de Matemáticas – UADY Taller de Nivelación en Matemáticas Departamento de Matemática Educativa Módulo: Precálculo

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1. CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS 1.1. Definiciones Conjunto: Colección bien definida de objetos llamados elementos. Existen dos formas de describir un conjunto: *Por comprensión: Cuando se expresa el conjunto mediante una característica común a todos los

elementos que lo constituyen. *Por enumeración: Cuando se enlistan todos y cada uno de los elementos del conjunto. Ejemplo: a) El conjunto de los divisores de 24. Por comprensión: A= {x | x es divisor de 24}, o también: A= {x∈N | x

24 ∈N} Por enumeración: A= {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} EJERCICIOS 1. Escribir los siguientes conjuntos en algunas de las dos formas anteriores:

a) El conjunto de las vocales del alfabeto. b) El conjunto de los enteros negativos. c) El conjunto de todos lo números racionales mayores que 5. d) El conjunto de los números que son raíces de la ecuación: x 2– x = 0.

2. Describir por enumeración los siguientes conjuntos enlistando sus elementos:

a) A = {x∈Z | x2=9} b) C = {x∈N | x es primo ∧ x ⟨ 100} c) H = {x∈Z | -3 ≤ x ⟨ 0} d) G = {x∈N | x es múltiplo de 7}

3. Expresar en notación por comprensión los conjuntos siguientes.

a) C = {2, 4, 6, 8} b) F = {π , e, ...,4 5,3,2 } c) K = {…, -5, -3, -1, 1, 3, 5,…} d) I = { , , , , , , }

1.2. Operaciones con conjuntos Unión: La unión de los conjuntos A y B, que se denota A∪B, es el conjunto de todos los elementos

de A o todos los elementos de B reunidos en uno solo (no se repite un mismo elemento). En símbolos se expresa: A∪B = {x | x∈A ó x∈B}

Intersección: La intersección de los conjuntos A y B que se denota como A∩B es el conjunto de

los elementos de A que también pertenecen a B. En notación de conjuntos se expresa: A∩B = {x | x∈A y x∈B}


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Diferencia: La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos que pertenecen a A, pero no a B. Se denota por: A – B = {x | x∈A y x∉B}

Complemento: Dado un conjunto A, el complemento de A, expresado AC, es el conjunto de los

elementos que pertenecen al universo U y no pertenecen a A. Esto es: AC= {x | x∈U, x∉A}

Subconjunto: Se dice que un conjunto B es subconjunto de A, si todos los elementos de B

pertenecen a A. En símbolos se expresa: B⊂ A. EJERCICIOS 1. Escribe F o V sobre las líneas según corresponda:

a) El conjunto C={2, 4, 6} no es subconjunto del D={2, 4, 6, 8, 10} __ b) Si A={x | x≠x} =⇒ A φ __

c) A∪ φ =φ __

d) Sea C= {10, 20}. Los subconjuntos de C son: φ , {10}, {20} y {10, 20} __ e) A∪ (B∩C)=(A∪B)∩ (A∪C) __

2. Sea U = Z, A = {x∈N | 2 ≤ x ⟨ 15}, B = {x∈Z | x ≤ 0} y C = {x∈Z | –6 ⟨ x ≤ 8}. Calcular:

a) A∪B b) A – C c) (A∩B)∪ (A∩C) d) (A∩B)C

1.3 Subconjuntos importantes de los números reales (R) Números naturales (N): 1, 2, 3, 4,...

Subconjunto, de los números reales, formado por los números que se obtienen al sumar sucesivamente 1. Son también llamados enteros positivos ( +Z ).

Números enteros (Z): ...,-2, -1, 0, 1, 2,...

Subconjunto, de los números reales, formado por los negativos, el cero y los positivos, obtenidos al sumar sucesivamente 1 o -1.

Números racionales ( Q ): 35

− , 5,23,

52

, ...

Subconjunto, de los números reales, definido como ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≠∈ 0,,| bZba

ba

Números irracionales ( cQ ): π , 2 , 3 3 Subconjunto, de los números reales, formado por los números que no pueden expresarse de la

forma ba

, .0≠b


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Los números reales están formados por la unión de los racionales y los irracionales. CQQR ∪=

EJERCICIOS 1. Completa la tabla siguiente:

Números Natural (N)

Entero (Z)

Racional (Q)

Irracional (QC)

Real ℜ

-5

2.7

3

53

0

-4π

32−

8

e15

2. Escribe, dentro del paréntesis de la derecha, V si la proposición es verdadera o F si es falsa. a) Todos los enteros son racionales. ( ) b) 0.75 es racional y real. ( ) c) Los irracionales se expresan por medio de expansiones decimales infinitas ( ) d) Los racionales tienen decimales infinitos no periódicos ( ) e) El cero es irracional ( )

2. INTERVALOS EN LA RECTA REAL 2.1 Tipos de intervalos, notación y representación gráfica Los números reales pueden representarse con los puntos de una recta numérica.

Intervalos son conjuntos de números reales que coinciden con tramos de la recta real. Para ello hay una notación específica. Hay distintos tipos de intervalos:


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Intervalos Notación de intervalos

Notación de conjuntos Gráfica

Intervalo abierto ( )ba , { }bxaRx <<∈ |

Intervalo cerrado [ ]ba, { }bxaRx ≤≤∈ |

[ )ba, { }bxaRx <≤∈ |

Semiabiertos ( ]ba, { }bxaRx ≤<∈ |

[ )∞,a { }axRx ≥∈ |

( )a,∞− { }axRx <∈ |

Intervalos infinitos

( )∞∞− , R

2.2. Operaciones con intervalos EJERCICIOS 1. Dados los intervalos E= [ )5,3− , F= ( )∞,1 , G= ( ]5,1− y H= ( ]1,−∞ , efectuar las operaciones siguientes, representar en la recta numérica el resultado y escribirlo en notación de conjunto. (Considere que el conjunto U=R).

a) E∪F∪G b) HC –E c) E-F d) E∩F∩G

3. DESIGUALDADES 3.1 Resolución de desigualdades Definición: Si a y b son números reales positivos y a - b es positivo, decimos que a es mayor que b, y escribimos a>b. En otras palabras: Los símbolos > y < se llaman símbolos de desigualdades.

Si a, b +∈ R y +∈− Rba , a > b o bien b < a.

( ) a b

[ ] a b

[ ) a b

( ] a b

[ a

) a

0


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Propiedades: Si a y b pertenecen a R entonces a = b, a b. ( Tricotomía ) Si a 0, entonces ac < bc Si a bc

Si a 0 entonces ca

< cb

Si a cb

Definición: Si se tiene una desigualdad en x y un valor a tal que al sustituirlo por x da un enunciado verdadero, se dice que a es una solución de la desigualdad. EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes desigualdades y grafica la solución sobre la recta real. a) yyy 32132 −≤−≤− b) 527 ≥− x

c) 53

2 −>+ xxx

d) 85

225≥

−+

zz

e) 13

5>

+x

f) 0452 <++ xx

g) ww +

>− 3

27

5

h) 2140 ≤−≤ x i) 1

13

−<+x

j) 78 <+ x k) 0253 2 <−+ xx

l) 32 2 ≤− xx

m) 5x+2>3x-5 n) 5

2347 <

−<−

x o) 03522 <−− xx

3.2. Desigualdades con valor absoluto Entre las desigualdades más importantes que aparecen en el cálculo están aquellas los cuales contienen valores absolutos. Veamos antes la definición de valor absoluto. Definición: Para todo número x definimos el valor absoluto de x como sigue:

⎩⎨⎧

<−≥

=0,

0,xx

xxx

El número no negativo x se llama el valor absoluto de x y representa la distancia en la recta real que hay entre el punto cuya ordenada es x y el origen (0,0), sin importar la dirección.


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Propiedades básicas: 1. x 0≥ 2. ≤x x

3. x = x− 4. x = 2x

5. yxxy = 6. - x ≤≤ x x

7. yxxy111

=

Desigualdad Solución Notación de intervalos Gráfica

x < a axa <<− ( )aax −−∈ ,

x >a ax > ó ax −< ( )ax −∞−∈ , ∪ ( )∞,a

x = a ax = , ax −= { }aa −,

x ≥ a ax ≥ ó ax −≤ ],( ax −−∞∈ ∪ ),[ ∞a

x ≤ a axa ≤≤− ∈x [ ]aa,−

EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes desigualdades. Indica la solución en notación de intervalos dando el intervalo solución y grafica la solución en la recta real. a) 152 ≥−x b) 72 =−x

c) 23

14<

−x d) 22

3≤−

x

e) 2−x - x 42 ≥+ x f) 5443 +≤+ xx 2. Encontrar todos los números x para los que se cumple: a) 211 <++− xx c) 312 +≥− xx

b) 121 >−+− xx d) 1x11x +≥++ 3. Supongamos que en un parque de diversiones para un determinado juego mecánico se desea establecer las alturas mínimas y máximas que deberán tener los niños para permitir su entrada al juego. La empresa fabricante del juego recomienda que la altura promedio sea de 120 cm, sin embargo los empresarios de juego desean que los niños entre 6 y 12 años puedan participar en el juego. Como es muy difícil comprobar la edad de los niños al momento de subir al juego deciden que la diferencia de alturas con respecto a la promedio debe ser menor o igual a 15 cm. Expresar matemáticamente lo anterior y resolver.

a ( )

0 -a

a [ ]

0 -a

a ] [

0 -a

a ) (

0 -a

a 0 -a . .


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4. FUNCIONES 4.1 Conceptos básicos Sean A y B dos conjuntos dados, una función de A en B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de A uno y solamente uno de B. En una función: A es el dominio de la función. B es el contradominio de la función. El conjunto de elementos de B a los que corresponde alguno de A es el rango o imagen de la función. Definición: Una función de A en B es un conjunto de pares ordenados (x, y), donde Ax∈ , y y es el elemento que le corresponde de B. Además si (x, y) está en la función y (x, y’) también está en la función, entonces y = y’. EJERCICIOS 1. ¿Cuál de las siguientes son funciones?

{ }4,3,2,1=A { }10,9,8,7,6,5=B a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,4,5,3,5,2,5,1=af b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }6,4,5,3,4,2,3,1=bf c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }11,5,9,4,7,3,5,2,3,1,1,0=cf 2. Si f es la función ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,2,3/2,2/3,4,1,2,0,4,1 −− , encuéntrese

)1(−f , )1(f , )2/3(f .

3. Sea x

xf+

=1

1)( , encuentre ( )xf /1 , )(cxf , )( yxf + , )()( yfxf + , ))(( xff .

4. Si { }3,2,1=A y { }9,,2,1,0 K=B y f es una función de A en B definida por 12 −= xy , ¿cuáles son las parejas que integran a f ? 5. Sea la función RRt →: definida por 3)( += xxt , encuentra 5 pares que pertenezcan a la función y 5 pares que no pertenezcan a ella. 6. Escribe la expresión algebraica que define cada una de las siguientes funciones y determínese el rango de dichas funciones. a) { }0,2,4,6,8,10,12=A , Zb =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,0,3,2,1,4,1,6,3,8,5,10,7,12 −−−=f b) ZZg →:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }KK ,12,4,9,3,6,2,3,1,0,0,3,1,6,2,9,3,12,4, −−−−−−−−=g 7. Sea RNh →: definida por xy =2 , ¿es h una función de N en R?


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8. ¿Es la siguiente una función de Z en Z? ( ){ }xyyxf 2/, ==

9. Sea { }1/),(: 22 =+ yxyxf , ¿es f una función de [ ]1,1− en R? 10. Determina cuales de las siguientes relaciones son funciones Las funciones podemos clasificarlas en inyectivas, suprayectivas y biyectivas Definición: Una función YXf →: se dice que es uno a uno (1-1) ó inyectiva si

YyXx ∈∀∧∈∀ , )()( yfxf ≠ , cuando yx ≠ . Es decir, si yxyfxf =⇒= )()( . Definición: Una función YXf →: se dice que es sobre o suprayectiva si y solo si

.)( yxfXxYy =∋∈∃∈∀ Definición: Una función YXf →: se dice que es biyectiva si y solo si es uno a uno y sobre.

.

. . . .

. .

x y

a) b) c)

d) e)

. .

x

. . . . . y

. . . . . y

. . x

. .

. . .

. .

x y

.

..

. x y

. .


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Formas de determinar si una función es inyectiva. Forma gráfica: La prueba de la línea horizontal. Si al trazar cualquier línea horizontal paralela al eje x, ésta corta a la gráfica de la función en un solo punto entonces la función es inyectiva. Veamos los siguientes ejemplos: En la figura 1 al trazar la línea punteada vemos que corta a la gráfica de la función en 2 puntos, por lo tanto la función no es inyectiva. En la figura 2 la línea punteada corta a la gráfica de la función en un solo punto, por lo tanto la función es inyectiva. Forma algebraica: Considere RRf →: 12)( −= xxf . ¿Es )(xf inyectiva? Solución: Sean 1x , 2x tales que

21

21

21

1212)()(

xxxx

xfxf

=−=−

=

Por lo tanto )(xf es inyectiva. También podemos hacernos la pregunta, ¿Es )(xf sobre?

Sea y R∈ ⇒ 2

112 +=⇒−=

yxxy

Por lo tanto yyyyfyxRx =−+=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∋+

=∈∃ 1112

122

12

1, , es decir,

yxfRx =∋∈∃ )(, . Por lo tanto )(xf es sobre. Conclusión: Como )(xf es inyectiva y sobre⇒ )(xf es biyectiva.

Figura 1 Figura 2


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EJERCICIOS 1. ¿Cuáles de las siguientes funciones son inyectivas? ¿Cuáles son sobre? ¿Cuáles son biyectivas?

a) 221)( += xxf b) 24)( xxf −=

c) 1)( 2 −= xxf d) 5)( −= xxf

e) 1)( 3/1 += xxf f) 2)( −= xxf 4.2 Gráfica de una función Definición: Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano cartesiano ( 2R ) para los cuales (x, y) es un par ordenado de f. De esta definición se deduce que la gráfica de una función f es la misma que la gráfica de la ecuación y = f(x). Recuerda que en una función existe un solo valor de la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) del dominio de la función. En términos geométricos esto significa que:

EJERCICIOS 1. Determina si las siguientes gráficas representan a una función.

4.3Funciones especiales y sus gráficas

I. FUNCIONES ALGEBRAICAS ( Aquellas que pueden construirse usando operaciones algebraicas a partir de polinomios )

FUNCIÓN DOMINIO RANGO GRÁFICA Constante BAf →: Aabaf ∈∀=)(

Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más en un punto.


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2)( =xf 2=y

( )∞∞−= ,R { }2

Polinomial BAf →: nn

n10 xa...xaa)x(f +++= , Raaa n ∈,,, 10 K

Función lineal Función polinomial de grado 1. Ejemplo: 2)( += xxf 2+= xy

( )∞∞−= ,R ( )∞∞−= ,R

Función identidad xxf =)(

xy = ( )∞∞−= ,R ( )∞∞−= ,R

Función cuadrática Función polinomial de grado 2. Ejemplo: 2)( xxf = 2xy =

( )∞∞−= ,R ),0[ ∞

2=y

xy =

2+= xy

2xy =


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Función cúbica Función polinomial de grado 3. Ejemplo: 3)( xxf = 3xy =

( )∞∞−= ,R ( )∞∞−= ,R

Radical BAf →: , n xfxf )()( =

Raíz cuadrada 2 )()( xfxf =

Ejemplo: xxf =)(

xy =

[ ]∞,0 ),0[ ∞

Racional BAf →: 0)(,)()()( ≠= xh

xhxfxf )(,)( xhxf son funciones polinomiales.

3xy =

xy=


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Ejemplo: x

xf 1)( =

x

y 1=

{ }0−R { }0−R

Valor Absoluto RRf →: , xxf =)(

xxf =)(

xy =

( )∞∞−= ,R

),0[ ∞

II. FUNCIONES TRASCENDENTES (Funciones que no son algebraicas)

Función exponencial xexf =)( xey =

( )∞∞−= ,R ( )∞,0

xy 1=

xy =

1

xey =


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Función logaritmo xxf ln)( = xy ln=

( )∞,0 ( )∞∞−= ,R

Funciones trigonométricas

Función seno )()( xsenxf =

)(xseny =

Dominio

( )∞∞−= ,R

Rango [ ]1,1−

Función coseno )cos()( xxf =

)cos(xy =

Dominio

( )∞∞−= ,R Rango [ ]1,1−

xy ln=

2/π

π

2/3π

π2

2/π−

π−

2/3π−π2−

2/π

π

2/3ππ2

2/π−

π−

2/3π−π2−


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Función tangente )tan()( xxf =

)tan(xy =

Dominio)2/)(12( π+− nR

Rango

( )∞∞−= ,R

EJERCICIOS

1. Determina el dominio de la función x

xf+

=1

1)(

2. La función h está definida por 39)(

2

−−

=x

xxh . Determine el dominio y el rango de h.

3. Determina el dominio y rango de 1)( 2 += xxf y grafica la función. 4.4. Efecto de los parámetros de una función Pero ¿Cómo graficar funciones? Una forma sería situar en el plano cartesiano varios puntos de la forma ))(,( xfx y luego unirlos. La gráfica que se forme será la gráfica de la función. Sin embargo este procedimiento requiere de tiempo y suele ser impreciso. Algunas funciones (no todas, claro) se podrán graficar de una manera más rápida. La función del ejemplo anterior es parecida a la función 2xy = , solo que aumentada 1 unidad. Nota que la gráfica 12 += xy es muy parecida a la gráfica de 2xy = vista anteriormente, solo que desplazada 1 unidad sobre el eje y. ¿Cuál será la gráfica de 12 −= xy ? En general, al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada podemos obtener las gráficas de ciertas funciones relacionadas. Supóngase que 0>c . Para obtener la gráfica de:

cxfy += )( , se desplaza la gráfica de )(xfy = una distancia de c unidades hacia arriba. cxfy −= )( , se desplaza la gráfica de )(xfy = una distancia de c unidades hacia abajo. )( cxfy −= , se desplaza la gráfica de )(xfy = una distancia de c unidades hacia la derecha. )( cxfy += , se desplaza la gráfica de )(xfy = una distancia de c unidades hacia la izquierda.

Supóngase que 1>c . Para obtener la gráfica de:

)(xcfy = , alárguese la gráfica de )(xfy = verticalmente un factor de c.

2/π

π2/3π2/π−

π−2/3π−


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)()/1( xfcy = , comprímase la gráfica de )(xfy = verticalmente un factor de c. )(cxfy = , comprímase la gráfica de )(xfy = horizontalmente un factor de c.

)/( cxfy = , alárguese la gráfica de )(xfy = horizontalmente un factor de c. )(xfy −= , refléjese la gráfica de )(xfy = respecto al eje x. )( xfy −= , refléjese la gráfica de )(xfy = respecto al eje y.

EJERCICIOS 1. Dada la gráfica xy = , use las transformadas para graficar 2−= xy , 2−= xy ,

xy −= , xy −= . 2. Trace la gráfica de 1)2ln( −−= xy 3. Clasifica las siguientes funciones. a) 5)( xxf = b) )2tan()( xxg = c) 49)( xxxh +=

d) xx

xxi++

= 3

2 1)(

e) xxxj += 22)( f) 10)( xxk = 4. Relaciona las ecuaciones que a continuación se presentan con su gráfica correspondiente. a) 23 += xy b) 23 −= xy

c) 2

)2( 2−=

xy

5. Suponga que se tiene la gráfica xy = . Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de f, como se indica:

a) Desplácela 3 unidades hacia arriba. b) Desplácela 3 unidades hacia abajo. c) Desplácela 3 unidades hacia la derecha. d) Desplácela 3 unidades hacia la izquierda. e) Refléjela respecto al eje x. f) Refléjela respecto al eje y. g) Alárguela verticalmente un factor 3. h) Contráigala verticalmente un factor de 3.


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6. Dibuja la siguiente función: ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−−<+−

=0104

)(2

xxxx

xf

7. Grafique xseny = . ¿Cómo se relaciona la gráfica de ( )xfy = con la gráfica de f ? 8. Grafica la función 1)( 2 −= xxg

9. Para las siguientes funciones determine su dominio y rango. a) 23 −= xy b) 24 xy −=

c) 12 += xy d) 3−= xy

e) 4

12 −

=x

y f) xseny =

g) xseny = h) 4−= xy

i) 2+= xey j) 2

652

+++

=x

xxy

k) 32

1+

−=

xy l) )1ln( += xy

m) 1+= xy n) )cos(xy −=

o) xy /1−= p) 12 +−= xy

q) 22 416

1xx

y−+−

= r) 216)( xxseny −+=

4.5. Operaciones con funciones Definición: Para dos funciones f y g, la composición fg o se define como la función cuyo valor en x está dada por ( ) ( ) ( ))(xfgxfg =o donde x es un elemento que está en fD y tal que gDxf ∈)( . EJERCICIOS

1. Si x)x(f = , 2x-4)x(g = , encuentra las funciones f+g, f-g, fg y f/g, gf o y

define sus dominios correspondientes.

2. Encuentra hgf oo para cada inciso.

a) x1

)x(f = , 3x)x(g = , 2x)x(h 2 +=

b) x)x(f = , 1-x

x)x(g = , 3 x)x(h =


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3. Expresa las funciones de la forma gf o y posteriormente halla fg o

a) 59)-x()x(f = , 4x

x)x(g 2

2

+=

b) xxgxxf =−= )(,1)( 2

c) )x()( senxf = , 3

1)(+

=x

xg

4. Encuentra gf o , el dominio y rango de las siguientes funciones.

a) xxf −= 2)( , xxg =)( b) xxxf −= 22)( , 23)( += xxg

c) 16)( 2 −= xxf , xxg =)( d) 1)( 2 −= xxf , 1)( −= xxg

e) 1

1)(+

=x

xf , 2

)(−

=x

xxg f) 15)( 2 +

+=

xxxf , 1)( += xxg

g) ( )xxf ln)( = , xexg =)( h) 1)( 3 ++= xxxf , 2)( −= xxg

i) 1)( 2 −= xxf , x

xg 1)( =

4.6. Inversa de una función Función inversa: Si f es una función uno a uno con dominio en X y rango en Y, y g es una función con dominio en Y y rango en X, entonces g es la función inversa de f si y solo si

xxgf =))(( o para toda x en el dominio de g y xxfg =))(( o para toda x en el dominio de f. EJERCICIOS 1. Verifica si las funciones siguientes son inversas entre si.

a) f(x)=x-2 y g(x)= x+2

b) f(x)=x3 y g(x)= 3 x

c) x1)x(f = y

x1)x(g =

d) f(x)=4x-8 y g(x)= (x/4) + 2

e) f(x)=x3-8 y g(x)= 3 8x +

f) f(x)= 3x + 4 y g(x)= 31 (x-4)

g) f(x)= 3- 2x y g(x)= -21 (x-3)

h) f(x)= 2x + 6 y g(x) = 21 x - 3

2. Determina las inversas de las siguientes funciones, obtén su domino y rango y traza su gráfica

a) f(x)=2x + 3

b) f(x) = x2 – 4x, para x 2≥

c) f(x) =2x-3

d) f(x) =x2+1

e) 3

2)(−

=x

xf

f) 1

2)(+

=x

xxf

g) f(x)=x2-4

h) f(x)=4x + 1

i) f(x)=2x3 + 5

j) f(x) = x2 – 4, para x 0≥

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MODULO4-PRECALCULO