Moduloiii i. o El Metodo Simplex Para Soluci n de Problemas de Programaci n[1]

EL METODO SIMPLEX PARA SOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL

UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI

MODULO III INVESTIGACION DE OPERACIONES

PROFESOR JUAN C. PORTOCARRERO C.3. EL MTODO SIMPLEX PARA SOLUCIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN LINEAL Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin. Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consiste en buscar sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace siempre a travs de los lados del polgono (o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Como el nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin.El mtodo del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la funcin objetivo, f, no toma su valor mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta. El mtodo del simplex fue creado en 1947 por el matemtico George Dantzig . El mtodo del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programacin lineal en los que intervienen tres o ms variables. El lgebra matricial y el proceso de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del mtodo simplex.

3.1 Mtodo Simplex para Maximizar

Con miras a conocer la metodologa que se aplica en el Mtodo SIMPLEX, vamos a resolver el siguiente problema: MaximizarZ= f(x,y)= 3x + 2y

sujeto a:2x + y18

2x + 3y 42

3x + y24

x0 , y 0

IMPORTANTE: Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicndolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by - c y estamos en el caso anterior. Esto aplica para ejercicios donde se presenten restricciones combinadas de y . Es decir, que para aplicar el mtodos simplex para maximizar o minimizar, siempre en todas las restricciones funcionales de un problema de maximizacin, stas se deben especificar con y siempre en todas las restricciones funcionales de un problema de minimizacin, stas se deben especificar con . Por ejemplo: maximizar Z= 2X1+ 3X2 con las restricciones funcionales:

1) xi+x250

2) 2X1+3X2100

3) X2 40

La primera restriccin se debe multiplicar toda por -1 quedando de la siguiente forma: -X1 X2 -50.

Si el ejemplo anterior fuera para minimizar, entonces las restricciones dos y tres se deben multiplicar por menos uno y cambiar las desigualdades a mayor o igual que. Se consideran las siguientes fases en el mtodo Simplex: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + h = 18

2x + 3y + s = 42

3x +y + d = 24

2. Igualar la funcin objetivo a cero - 3x - 2y + Z = 0 (Aqu Z es positivo y los coeficientes negativos)3. Construir la tabla inicial simplex En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo: Tabla I . Iteracin n 1

BaseVariable de decisinVariable de holguraValores solucin

xyhsd

h2110018

s2301042

d3100124

Z-3-20000

4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base A. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos en la ltima fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3. Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado). B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir. El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado). Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base. C. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z. Tambin se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote: Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) / (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Vemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II): Vieja fila de s2301042

------Coeficiente222222

xxxxxxNueva fila pivote11/3001/38

======Nueva fila de s07/301-2/326

Tabla II . Iteracin n 2


xyhsd

h01/310-2/32

s07/301-2/326

x11/3001/38

Z0-100124

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=24] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma anloga a la anterior obtenemos la tabla: Tabla III . Iteracin n 3


xyhsd

y0130-26

s00-70412

x10-1016

Z0030-130

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:6/(-2) [=-3] no se tiene en cuenta, 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s. C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla: Tabla IV . Final del proceso


xyhsd

y01-1/20012

d00-7/4013

x10-3/4003

Z005/40033

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos, hemos llegado a la solucin ptima. La solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisin que han entrado en la base: D(3,12) Interpretacin geomtrica del mtodo del simplex

Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice A(0,0), siendo este 0. A continuacin se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B. Este paso aporta la Tabla IIEn esta segunda iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice B(8,0): Z=f(8,0) = 24 Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En esta tercera iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice C(6,6) : Z=f(6,6)=30. Contina haciendo clculos a travs de la arista CD, hasta llegar al vrtice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IVConcluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solucin no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor mximo de la funcin objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vrtice D). Si calculas el valor de la funcin objetivo en el vrtice E(0,14)=28, su valor no supera el valor 33. 3.2 Mtodo Simplex para MinimizarSi en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la funcin objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son negativos. Con miras a conocer la metodologa que se aplica en el Mtodo SIMPLEX, para minimizar vamos a resolver el siguiente problema similar al anterior: MinimizarZ= f(x,y)= 3x + 2y

sujeto a:2x + y18

2x + 3y 42

3x + y24

x0 , y 0

IMPORTANTE: Si en el problema de minimizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax + by c; multiplicndolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by - c y estamos en el caso anterior. Esto aplica para ejercicios donde se presenten restricciones combinadas de y . Es decir, que para aplicar el mtodos simplex para maximizar o minimizar, siempre en todas las restricciones funcionales de un problema de minimizacin, stas se deben especificar con y siempre en todas las restricciones funcionales de un problema de maximizacin, stas se deben especificar con. Se consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 2x + y + h = 18

2x + 3y + s = 42

3x +y + d = 24

2. Igualar la funcin objetivo a cero 3x +2y - Z = 0 (Aqu Z es negativa y los coeficientes positivos)3. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo:Tabla I . Iteracin n 1


xyhsd

h2110018

s2301042

d3100124

Z+3+20000

4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base D. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos en la ltima fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variable x de coeficiente 3. Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos. Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos positivos. La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color azulado). E. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8] Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir. El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color azulado). Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes puede salir de la base. F. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z, los cuales deben ser todos negativos para parar el proceso y obtener la solucin. Tambin se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote: Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Vemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II): Vieja fila de s2301042



======Nueva fila de s07/301-2/326



xyhsd

h01/310-2/32

s07/301-2/326

x11/3001/38

Z0100-1-24

Como en los elementos de la ltima fila hay uno positivo, 1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: D. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente 1

E. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=24] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h. F. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.



xyhsd

y0130-26

s00-70412

x10-1016

Z00-301-30

Como en los elementos de la ltima fila hay uno positivo, 1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: D. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1

E. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s. F. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla:

Tabla IV . Final del proceso


xyhsd

y01-1/20012

d00-7/4013

x10-3/4003

Z00-5/400-33

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son negativos, hemos llegado a la solucin ptima. La solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin, en nuestro caso: -33. En la misma columna se puede observar el vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisin que han entrado en la base: D(3,12) Interpretacin geomtrica del mtodo del simplex

Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice A(0,0), siendo este 0. A continuacin se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B. Este paso aporta la Tabla IIEn esta segunda iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice B(8,0): Z=f(8,0) = -24 Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En esta tercera iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice C(6,6) : Z=f(6,6)=-30. Contina haciendo clculos a travs de la arista CD, hasta llegar al vrtice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IVConcluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solucin no mejora al desplazarse por la arista DE, o sea, Z= f(0,14)= -28 ) El valor mnimo de la funcin objetivo es -33 que es el menor valor (-24, -30, -28 son mayores negativos), y corresponde a x = 3 e y = 12 (vrtice D). Si calculas el valor de la funcin objetivo en el vrtice E(0,14)=-28, su valor no supera el valor -33. Otro Ejemplo de Minimizacin:El siguiente ejemplo de las vitaminas es ms sencillo que el anterior ya que se deben construir solo 3 tablas simplex:MinimizarZ = 5x + 8ySujeto a las restricciones funcionales: 4x + 10y 40 vitamina W 10x + 5y 50 vitamina X 7x + 7y 49 vitamina Y x 0, y 0 no negatividadSe consideran las siguientes fases: 1. Convertir las desigualdades en igualdades Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales: 4x + 10y + h= 40

10x + 5y + s= 50

7x + 7y + d=49 2. Igualar la funcin objetivo a cero 5x +8y - Z = 0 (Aqu Z es negativa y los coeficientes positivos)3. Escribir la tabla inicial simplex En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo:Tabla I . Iteracin n 1


xyhsd

h41010040

s10501050

d7700149

Z+5+80000

4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base G. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos en la ltima fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente positivo mayor (en valor absoluto).En nuestro caso, la variable y de coeficiente 8. Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente positivo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos positivos. H. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 40/10 [=4] , 50/5 [=10] y 49/7 [=7] El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el primero, ya 4 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, h. Esta fila se llama fila pivote (En color verdozo). I. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 10.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de y se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila h por el pivote operacional, 10, que es el que hay que convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z, los cuales deben ser todos negativos para parar el proceso y obtener la solucin. Tambin se puede hacer utilizando el siguiente esquema: Fila del pivote: Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote) Resto de las filas: Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote) Vemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de y en la Tabla II): Vieja fila de s10501050



======Nueva fila de s80-1/21030



xyhsd

y2/511/10004

s80-1/21030

d21/50-7/100121

Z9/50-4/500-32

Como en los elementos de la ltima fila hay uno positivo, 9/5, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso: G. La variable que entra en la base es x, por ser la variable que corresponde al coeficiente 9/5

H. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los trminos correspondientes de la nueva columna pivote:4:2/5 [=10] , 30:8 [=15/4] y 21:21/5 [=5] y como el menor cociente positivo es 15/4, tenemos que la variable de holgura que sale es s. I. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 8.



xyhsd

y013/40-1/2005/2

x101/161/8015/4

d00-7/16-21/4011/4

Z00-73/80-9/400-155/4

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son negativos, hemos llegado a la solucin ptima. La solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin, en nuestro caso: -155/4. En la misma columna se puede observar el vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisin que han entrado en la base: D(5/2,15/4) Interpretacin geomtrica del mtodo del simplex

Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice A(0,0), siendo este 0. A continuacin se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B. Este paso aporta la Tabla IIEn esta segunda iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice B(0,4): Z=f(0,4) = -40 Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En esta tercera iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice C(15/4,5/2) : Z=f(15/4,5/2)=-155/4. Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solucin no mejora al desplazarse por la arista CD, o sea, Z= f(6,0)= -30 ) El valor mnimo de la funcin objetivo es -155/4 que es el menor valor negativo, y corresponde a x = 15/4 e y = 5/2 (vrtice C). Si calculas el valor de la funcin objetivo en el vrtice D(6,0)=-30, su valor no supera el valor -155/4.B (0,4)

C (15/4,5/2)A(0,0) D (6,0)

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