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Laboratorio 2: Momento de InerciaUniversidad de San Carlos, Facultad de Ingeniería, Departamento de Física, Laboratorio de Física I

2013-14681, Luis Alfredo Estrada Donis

Resumen—Se utilizo un plano inclinado, para hacer rodar unaesfera sólida de metal, con coeficiente de fricción despreciable,tomando una serie de datos de tiempo y de esa forma deter-minar experimentalmente la aceleración de su centro de masay posteriormente determinar su momento de inercia. Se pudocomprobar que el momento de inercia puede ser calculado dedos formas distintas: utilizando el enfoque por energías (ley deconservación de la energía) o utilizando una fórmula analítica quedepende del cuerpo a estudiar, en este caso una esfera, además dealgunos resultados interesantes como el hecho de que hacer unmayor número de cálculos con incertezas conduce a un resultadocon una mayor incertidumbre.

I. OBJETIVOS

I-A. Generales

• Demostrar de manera experimental la fórmula del mo-mento de inercia de una esfera.

I-B. Específicos

* Determinar la inercia de una esfera utilizando la fórmulateórica.

* Determinar la inercia de una esfera utilizando la ley dela conservación de la energía.

* Comparar y analizar los resultados obtenidos que deter-minaron de formas diferentes la inercia de una esfera.

II. MARCO TEÓRICO

II-A. Momento de Inercia

II-A1. Inercia: Propiedad de la materia que hace que éstase resista a cualquier cambio en su movimiento, ya sea dedirección o de velocidad.

II-A2. Momento de Inercia (rotacional): Cualquier cuerpoque gira alrededor de un eje presenta inercia a la rotación,es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotacióny la dirección de su eje de giro. La inercia de un objetoa la rotación está determinada por su momento de inercia.Para cambiar la velocidad de giro de un objeto con elevadomomento de inercia se necesita una fuerza mayor que si elobjeto tiene bajo momento de inercia.

El momento de inercia para una partícula es:

I = mr2 (1)

En donde r es la distancia medida desde el eje de rotaciónhasta la partícula.

Si un cuerpo rígido es una distribución continua de masa,como un cilindro o una esfera sólidos, no pueden representarse

con unas cuantas masas puntuales. En este caso la fórmula dela inercia está dada por la integral:

I =

∫r2dm (2)

II-A3. Momento de Inercia de una esfera (Inercia Teóri-ca): Como ya se sabe para calcular el momento de inerciade una distribución continua de masa, como una esfera, senecesita plantear una integral como en (2), que da comoresultado:

I =2

5mr2 (3)

II-B. Energia Cinética rotacional

Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento,así que posee energía cinética. Dicha energía es conocida comoenergía cinética rotacional y puede expresarse por la siguienterelación:

KR =1

2Iω2 (4)

II-C. Ley de la Conservación de la Energía

En términos sencillos dice que: la energía de un sistema nose crea ni se destruye, solo cambia de forma (se transforma).

Matemáticamente está dada por:

∆KTo0 + ∆Ug0 = ∆E = 0 (5)

En un sistema en donde intervienen, la energía cinética(traslacional y rotacional), energía potencial, y no intervienetrabajo hecho por fuerzas no conservativas (fricción), tenemos:

KR0 + KT 0 + Ug0 = KRf + KT f + Ugf (6)

II-C1. Momento de inercia de una esfera (Inercia Expe-rimental): Para hacer este análisis se toma en cuenta que laesfera rueda sin resbalar y que una de las condiciones paraesto se expresa de la siguiente manera:

Vcm = ωr (7)

Además utilizando la ley de la conservación de la energía,las relaciones planteadas en (3), (4) y (6), y tomando en cuentaque la esfera parte del reposo, y al final no posee altura,haciendo las respectivas reducciones matemáticas tenemos:

Iexp =2mghr2

V 2cm

−mr2 (8)

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III. DISEÑO EXPERIMENTAL

Para poder determinar el momento de inercia de formaexperimental y así recopilar datos acerca de las variablesque influyen en el análisis, se utilizo un tablero de madera yunos trozos pequeños para levantarlo, a manera de un planoinclinado, este se midió, posteriormente se colocó una cintade papel con siete divisiones regulares igualmente espaciadasde 10 cm cada una. Se hiso rodar una esfera sólida de metalen el plano inclinado, tomando el tiempo que tardaba en cadaparte, para poder determinar la velocidad del centro de masade la esfera, y posteriormente calcular la aceleración acmdel mismo. Para determinar el radio se midió el diámetrode la esfera con un vernier, y posteriormente se calculódicha variable. Para medir la masa de la esfera se utilizo unabalanza analítica.

Figura 1: Diagrama de instrumentación simplificado

III-A. Materiales

? Esfera Solida.? Tablero de Madera.? Cinta Metrica.? Cronómetro.? Trozos de Madera.? Vernier.? Balanza Analitica.? Cinta de Papel con Escala.? Cinta adhesiva.? Varilla de Aluminio.

III-B. Magnitudes físicas a medir

? Tiempo.? Distancia Recorrida.? Altura del Tablero.? Diámetro de la Esfera.? Masa de la Esfera.

III-C. Procedimiento

1. Dividir el tablero con 7 marcas regularmente espaciadas(10 cm) en la cinta de papel.

2. Inclinar el tablero con los bloques de madera.3. Medir la altura desde la cual se pone a rodar la esfera.4. Liberar la esfera desde la parte mas alta y tomar el

tiempo en que tarda en llegar a la marca x (tres veces).5. Repetir el paso 3 para todas las marcas.6. Medir el diametro de la esfera con el vernier.7. Medir la masa de la esfera con la balanza.

IV. RESULTADOS

n x[m] t1 t2 t3 t4 t[s] ∆t[s]

1 0.10 0.51 0.52 0.50 0.50 0.51 0.01

2 0.20 0.78 0.81 0.85 0.82 0.81 0.03

3 0.30 1.00 0.98 1.02 0.99 1.00 0.02

4 0.40 1.18 1.15 1.16 1.20 1.17 0.02

5 0.50 1.39 1.35 1.41 1.38 1.38 0.02

6 0.60 1.54 1.57 1.62 1.62 1.59 0.04

7 0.70 1.68 1.72 1.73 1.74 1.72 0.03

Tabla I: Tiempos y Desplazamientos

Figura 2: Desplazamiento vs Tiempo

acm[m/s2

]∆acm

[m/s2

]0.501 0.017

Tabla II: Aceleracion lineal del centro de masa de la esfera

Vcmf

[m/s2

]∆Vcmf

[m/s2

]0.87 0.04

Tabla III: Rapidez final del centro de masa de la esfera

No. Iteo[kg ∗m2

]Iexp

[kg ∗m2

]Eo/o

• 0.0000628 ±0.0000008 0.000063 ±0.000016 0.32

Tabla IV: Momento de inercia teórico y experimental (com-paración)

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Figura 3: Diagrama de Incertezas

V. DISCUSIÓN DE RESULTADOS

La gráfica de los datos mostrados en la TablaI puedenvisualizarse en la Figura2, de ahí se puede determinar queel modelo para la posición de la esfera en el plano inclinado,en cualquier instante de tiempo, tiene la forma de una funcióncuadrática: x(t) = 1

2acmt2, suponiendo que la esfera partiódel reposo y que el nivel de referencia se situó en el lugar dedonde la esfera empezó a rodar. Como se puede observar en laFigura2 la curva de mejor ajuste que pudo ser obtenida conel programa de graficación utilizado, tiene cierto error al nopasar tan cerca de algunas mediciones hechas (que pudieronser mejores), para nuestros fines el error que se tiene es muypequeño y puede despreciarse haciendo que los resultados dela velocidad (TablaII), y aceleración (TablaIII) del centrode masa de la esfera sean aceptables y en cierta medidaconfiables.

Se puede observar que los momentos de inercia calculados(teórico y experimental) de la TablaIV , tienen un errorporcentual de tan solo 0.32o/o, por lo que esto confirma laidea de que el error producido en la curva de ajuste de lagráfica de posición vs tiempo (Figura2) se puede, de ciertamanera, ignorar. Además este resultado confirma y demuestraque la inercia de una esfera efectivamente es I = 2

5mr2

porque el momento de inercia teórico está dentro del rangodel momento de inercia experimental.

Muchas veces para efectos experimentales se busca hacer lamenor cantidad de cálculos posibles, porque a mayor númerode cálculos, mayor propagación de error en los resultados,es decir se obtendrán resultados con una mayor cantidad deerror. Como ya se había discutido de los datos de la TablaIVestos parecen demostrar la fórmula de la inercia de una esfera,además muestran que es posible obtener la inercia de dichocuerpo (y también de otros cuerpos), ya sea por la ley deconservación de la energía (enfoque por energias) o por laformula dada en (3), sin embargo como ya se dijo se obtienenresultados con una propagación de error mucho mayor porla mayor cantidad de datos implicados en el cálculo, estopuede visualizarse al observar el diagrama de incertezas de

la Figura3.

VI. CONCLUSIONES

1. Se coprobó efectivamente que el momento de inerciaestá dado por la fórmula dada en (3).

2. Efectivamente se comprobó que el calculo del momentode inercia de una esfera se puede realizar utilizando elenfoque por energias o por la fórmula analítica dadaen (3) (tambien valido para otros cuerpos, con susrespectivas fórmulas analíticas).

3. Como resultado inesperado se encontro que experimen-talmente al hacer un mayor número de calculos coninsertidumbre se da una mayor propagación de error.

VII. FUENTES DE CONSULTA

[1] Young, Hugh D. y Freedman, Roger A. (Decimo tercera edición).(2013)Física Universitaria, Volumen 1. México: Pearson.

[2] Raymond Serway, John Jeweet. (Sexta edición).(2005). Física Paraciencias e ingenierías Volumen 1. México: Cengage Learning.

[3] Resnick, Robert. Halliday, David. Krane, Kenneth S.(Quinta edi-ción).(2004) Física, Volumen 1. Mexico: CECSA.

[4] Reckdahl, K. (Versión [3.0.1]). (2006). Using Imported Graphics inLATEX and pdfLATEX.