Table des matières

I) Algèbre linéaire - rappels et compléments 21) Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22) Famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

a) Familles génératrices - familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7b) Base d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3) Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16a) Propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16b) Endomorphismes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4) Hyperplans en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245) Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

a) Sous espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30b) compléments sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Chapitre I)

Algèbre linéaire - rappels etcompléments

1) Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels.Dans ce chapitre K désigne R ou C. La notion (la définition essentiellement) d’ espace vectorielest supposée acquise.

• Kn, n ∈ N∗.

• K[X], l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.

• Kn[X], l’ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré inférieur ou égal à n ∈ N.

• L’ensemble des fonctions continues à valeurs dans K, définies sur un intervalle I de R.

• Mn,p(K), l’ensemble des matrices à n lignes, p colonnes à coefficients dans K.

• Mn(K), l’ensemble des matrices de taille n ∈ N à coefficients dans K.

exemples d’espaces vectoriels

Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel et F ⊂ E. On dit que F est un sous espace vectoriel de E si(F,+, .) est un K-espace vectoriel.

sous espace vectoriel

Soit (E,+, .) un K-espace vectoriel et F ⊂ E. (F,+, .) est un sev de E ssi :

• F n’est pas vide.

• F est stable par combinaisons linéaire : Pour tout couple (x, y) ∈ F 2 de vecteurs de F ettout couple (a, b) ∈ K2 de scalaires, le vecteur ax+ by est un élément de F .

comment établir que F est un sev de E ?

Soit E un K-ev et E1, · · · En une famille de sev de E. Alors E1 ∩ · · · ∩ En est un sev de E.

Remarque : Ce théorème est faux pour la réunion.

sev et intersections

Notons F = E1 ∩ · · · ∩ En.

Pour tout i ∈ [[1, n]], Ei est un sev de E, par conséquent le "vecteur nul" 0E appartient à chacundes espaces vectoriels Ei donc aussi à F. Ainsi F 6= ∅.

Montrons que F est stable par combinaisons linéaires :

Soient x et y deux éléments de F et (a, b) ∈ K2. Par définition, pour tout i ∈ [[1, n]] , x ∈ Ei ety ∈ Ei, donc (Ei étant par hypothèse un e.v) ax+ by ∈ Ei. Ceci étant vrai pour tout i ∈ [[1, n]],on déduit que ax+ by ∈ F .

Soit E un K-ev, (Ei)i∈[[1,n]] une famille de sev de E.

On note E1 +E2 + · · ·+En =n∑

i=1Ei les vecteurs x ∈ E qui s’écrivent sous la forme x =

n∑i=1

xi.

L’ensemblen∑

i=1Ei est un sev de E appelé somme des sev (Ei)i∈I .

somme de sous-espaces vectoriels

Soient E1, E2, · · · , En n sous espaces vectoriels d’un K-ev E. On dit que E est somme directe

des e.v E1, · · · , En si nE =max∑i=1

Ei et si tout vecteur de E se décompose de manière unique sous

la forme x = x1 + · · ·+ xn avec ∀i ∈ [[1, n]] xi ∈ Ei. On note alors E = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · ⊕ En.

Remarque Ainsi E = E1 ⊕ E2 ⊕ · · · ⊕ En, implique bien sûr E = E1 + E2 + · · ·+ En.

somme directe de sous-espaces vectoriels

Soient E1 et E2 deux sev d’un K-ev E. Alors E = E1 ⊕E2 ssi E = E1 +E2 et E1⋂E1 = {0E}

somme directe de deux sev

Si E = E1⊕E2 alors E = E1 +E2. De plus, pour tout x ∈ E1⋂E2 et tout vecteur y = x1 + x2

de E, y s’écrit aussi y = (x1 + x) + (x2− x). Ce qui de par l’unicité de la décomposition, imposex = 0.Réciproquement,Si E = E1 + E2 et E1

⋂E2 = {0E}. Supposons que y ∈ E s’écrit y = x1 + x2 = x′1 + x′2, alors

x1 − x′1 = x2 − x′2. Ce qui entraîne que le vecteurs x1 − x′1 est à la fois élément de E1 et de E2.D’où x1 − x′1 = 0, c’est à dire x1 = x′1 et x2 = x′2. La décomposition est unique.

2) Famille de vecteursa) Familles génératrices - familles libres

Soit (xi)i∈[[1,n]] une famille de vecteurs d’un K-espace vectoriel E. On appelle combinaison linéaire

des (xi)i∈[[1,n]], toute sommen∑

i=1λixi où pour tout i, λi ∈ K .

combinaison linéaire

L’ensemble F des combinaisons linéaires des (xi)i∈[[1,n]] est un sev de E noté V ect(x1, · · · , xn).C’est le plus petit sev de E contenant tous les xi.

ev engendré par une famille de vecteurs

Soit (xi)i∈I une famille d’un K-ev E. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

i) Pour toute combinaison linéaire :∑i∈I

λixi = 0E =⇒ ∀i ∈ I, λi = 0.

ii) Aucun vecteur de la famille n’est combinaison linéaire des autres.

Une famille de vecteurs vérifiant i) ou ii) s’appelle une famille libre (on dit aussi que les vecteursde cette famille sont linéairement indépendants). Dans le cas contraire, la famille est dite liée.

familles libres - familles liées

• Une famille est liée dès qu’elle contient le vecteur nul.

• Une famille composée d’un seul vecteur est libre si et seulement si ce vecteur n’est pas nul

• Une famille composée de deux vecteurs est libre si et seulement s’ils ne sont pas colinéaires.

• Toute sous-famille d’une famille libre est libre.

• Toute famille contenant une famille liée est liée.

propriétés élémentaires

b) Base d’un espace vectoriel

Soit E un espace vectoriel vérifiant E = V ect(x1, · · · , xn), alors toute famille {y1, · · · , yn} librede E à n éléments vérifie :

E = V ect(x1, · · · , xn) = V ect(y1, · · · , yn)

théorème fondamental

Procédons par récurrence :

• pour n = 1, c’est immédiat.

• Supposons la propriété vraie au rang n− 1 et montrons qu’alors elle l’est au rang n.

Puisque E = V ect(x1, · · ·xn), nous pouvons poser :

y1 = β1,1x1 + · · ·β1,nxn

y2 = β2,1x1 + · · ·β2,nxn

· · ·yn = βn,1x1 + · · ·βn,nxn

Nous pouvons supposer sans perte de généralité que β1,1 6= 0 de sorte que les vecteurs

v2 = y2 −β2,1

β1,1y1, · · · , vn = yn −

βn,1

β1, 1y1 soient tous des éléments de V ect(x2, · · · , xn).

La famille (y2, · · · yn) étant libre, il est immédiat que la famille (v2, · · · , vn) l’est aussi. On a doncpar hypothèse de récurrence :

V ect(v2, · · · , vn) = V ect(x2, · · · , xn)

Donc v1 = y1 − β1,1x1 ∈ V ect(v2, · · · , vn) d’où x1 ∈ V ect(y1, · · · , yn).Finalement, pour tout i ∈ [[1, n]], xi ∈ V ect(y1, · · · , yn). Autrement dit :

V ect(x1, · · · , xn) = V ect(y1, · · · , yn)

Soit E un espace vectoriel vérifiant E = V ect(x1, · · · , xn), alors toute famille libre a au plus néléments.

corollaire

Une famille libre et génératrice d’un ev E est appelée base de E.

qu’est-ce qu’une base ?

Si (ei)i∈I est une base d’un ev E, alors pour tout x ∈ E, il existe une et une seule combinaisonlineaire telle que x =

∑i

λiei.

Les scalaires (λi)i∈I s’appellent les coordonnées de x dans la base (ei)i∈I .

coordonnées relativement à une base

Un espace vectoriel est dit de dimension finie s’il peut être généré par une famille finie de vecteurs ;il est dit de dimension infinie sinon.

dimension finie - infinie

Soit G une famille génératrice d’un ev E et L ⊂ G une famille libre. Il existe une base B de E,vérifant L ⊂ B ⊂ G.

théorème de la base incomplète

Considérons l’ensemble FL de toutes les familles libres contenues dans G et L̃ l’ensemble desentiers correspondant aux tailles des familles de FL.

FL (et donc L̃) ne sont pas vides car L ∈ FL.

L’ensemble L̃ est majoré par le cardinal de G de par le théorème fondamental et son corollaire.Il admet donc un plus grand élément. Posons n = max(L̃) et désignons par B un élément de FL

de cardinal n.

La famille B est libre puisqu’elle est dans FL, elle est de plus génératrice ; on pourrait sinon luiadjoindre un élément supplémentaire sans qu’elle perde sa qualité d’être libre, ce qui contrediraitla maximalité de son cardinal.

Toutes les bases d’un ev E de dimension finie ont le même cardinal n. On dit que n est ladimension de E et on note n = dimE.

qu’est-ce qu’une dimension ?

Soit E un K-ev de dimension finie n ∈ N∗ :

- Tout système libre de n vecteurs de E est une base de E.

- Tout système générateur de n vecteurs de E est une base de E.

conséquences directes

Soit E un K-ev de dimension finie n ∈ N∗. Soient E1, · · · , Ek k sev de E.

E = E1 ⊕ · · · ⊕ Ek ssi{E = E1 + · · ·+ Ek

dim(E) = dim(E1) + · · ·+ dim(Ek)

caractérisation de la somme directe par les dimensions

Sens directe :

supposons que E = E1 ⊕ · · ·Ek et montrons que{E = E1 + ·+ Ek

dim(E) = dim(E1) + · · ·+ dim(Ek)

Nous savons déjà que E = E1 ⊕ · · ·Ek =⇒ E = E1 + · · ·+ Ek.

pour tout i ∈ [[1, k]], désignons par Bi une base de Ei.Nous allons montrer que la famille B = {B1, · · · ,Bk} est une base de E, ce qui établira quedim(E) = dim(E1) + · · ·+ dim(Ek) :

Il est immédiat que la famille B est génératrice de E puisque E = E1 + · · ·Ek.D’autre part, par définition des sommes directes, il existe une unique manirèe d’écrire0E = y1 + · · · yk avec yi ∈ Bi ; cette manière ne peut être que celle pour laquelle tous les vecteursyi sont nuls. Autrement dit, la famille B est libre.

Sens réciproque :

Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe deux moyens distincts de décomposerun vecteur y ∈ E sur la famille B) (dont on sait par hypothèse qu’elle est génératrice) :{y = y1 + · · · yk

y = y′1 + · · ·+ y′kCela entraînerait que la famille B n’est pas libre et par conséquent que

dim(E) < dim(E1) + · · ·+ dim(Ek), ce qui est contraire aux hypothèses.

Soit E un K-ev et E1, E2 deux sev de E de dimension finie. Alors E1 + E2 est de dimensionfinie et : dim(E1 + E2) = dim(E1) + dim(E2)− dim(E1 ∩ E2)

formule de Grassmann

Désignons par B12 une base de E1 ∩E2. Le théorème de la base incomplète garantit qu’il existedeux familles B′1 et B′2 telles que B1 = {B12,B′1} soit une base de E1 et B2 = {B12,B′2}, une basede E2.

Notons E′1 = V ect(B′1) et E′2 = V ect(B′2).Les familles B1 et B2 étant libres, on déduit que E12 ∩ E′1 = {0E} et donc que E1 = E12 ⊕ E′1.De même, E2 = E12 ⊕ E′2.

Considérons la famille B = {B12,B′1,B′2}. Par construction, elle est génératrice de E1 + E2.Montrons qu’elle est libre :

Si 0E = x12 + x′1 + x′2 (notations évidentes) alors x′1 est à la fois un vecteur de E′1 (donc deE1) et un vecteur de E2. x′1 est donc un vecteur de E12, or E′1 ∩ E12 = {0E} donc x′1 = 0E . Demême x′2 = 0E , ce qui entraîne x12 = 0E .

La famille B est donc une base de E1 + E2, par conséquent :

dim(E1 + E2) = dim(E1 ∩ E2) + dim(E′1) + dim(E′2)= dim(E1 ∩ E2) + dim(E1) + dim(E2)− 2 dim(E1 ∩ E2)= dim(E1) + dim(E2)− dim(E1 ∩ E2)

3) Applications linéairesa) Propriétés générales

Soient E et F deux K-ev et f : E → F une application. On dit que f est linéaire si :

∀(x, y) ∈ E × F, ∀(a, b) ∈ K2, f(ax+ by) = af(x) + bf(y)

L’ensemble des applications linéaires de E dans F est un K-ev noté L(E,F ).

qu’est-ce qu’une application linéaire ?

• Si λ ∈ K, l’application φ1 : E → E, x 7→ λx est linéaire.

• L’application φ2 : C([0, 1],R), f 7→1∫

0

f(t) dt est linéaire.

• L’application φ3 : R2 → R3, (x, y) 7→ (x− 2y, x+ y, 3x− y) est linéaire.

exemples

• Une application linéaire de E dans K est appelée forme linéaire.

• Une application linéaire de E dans E est appelée endomorphisme.

• Si f est linéaire, alors f(0E) = 0F .

• La composée de deux applications linéaires est linéaires.

• Si f : E → F est linéaire et bijective, on dit que f est un isomorphisme. L’applicationréciproque f−1 : F → E est alors aussi un isomorphisme.

• Si f ∈ L(E,F ), il suffit de connaître les images des éléments d’une base pour connaître f .

vocabulaire et propriétés élémentaires

L’image (ou l’image réciproque) d’un sev par une application linéaire est un sev.

conservation de la structure d’ev

Soient E et F deux K-ev et f ∈ L(E,F ).

On appelle noyau de f l’ensemble noté ker(f) = f−1(0F ) = {x ∈ E | f(x) = 0F }.

On appelle image de f l’ensemble noté im(f) = f(E).

Les ensembles ker(f) et im(f) sont des sev. Par ailleurs, f est injective ssi ker(f) = {0E}

im(f) et ker(f)

Soient E et F deux K-ev et f ∈ L(E,F ). On dit que f est de rang fini si im(f) est de dimensionfini. L’entier dim(im(f)) est alors appelé rang de f et est noté rg(f).

rang de f

Soient E et F deux K-ev et f ∈ L(E,F ).

dim(E) = dim(ker(f)) + dim(im(f))

théorème du rang

Notons n = dim(E) et m = dim(ker(f)). Puisque ker(f) ⊂ E, on a : m ≤ n.

Si m = n, alors ker(f) = E et im(f) = 0F .

Supposons m < n. Nous savons que ker(f) admet un supplémentaire dans E.Posons E = ker(f)⊕ E′ et considérons B′ = {e′1, · · · , e′n−m} une base de E′.

Nous remarquons que la famille {f(e′1), · · · , f(e′n−m)} est génératrice de im(f) ; elle est de pluslibre :

λ1f(e′1) + · · ·+ λn−mf(e′n−m) = 0F ⇐⇒f(λ1e

′1 + · · ·+ λn−me

′n−m) = 0F ⇐⇒

λ1e′1 + · · ·+ λn−me

′n−m ∈ E′ ∩ ker(f) ⇐⇒

λ1e′1 + · · ·+ λn−me

′n−m = 0E

La famille B′ étant libre, cela impose la nullité des λi et donc le caractère libre de famille{f(e′1), · · · , f(e′n−m)}. Cette famille est donc une base de im(f), ainsi :

dim(E) = dim(ker(f)) + dim(E′) = dim(ker(f)) + dim(im(f))

Pour une application linéaire f ∈ L(E ,F), si dim(E) = dim(F ) alors :f est bijective ⇐⇒ f est injective ⇐⇒ f est surjective.

corollaire

b) Endomorphismes remarquablesE désigne un ev de dimension n.

On appelle homothétie de rapport λ tout endomorphisme h ∈ L(E) définie par :

∀x ∈ E, h(x) = λx

qu’est-ce qu’une homothétie ?

Soit E = F ⊕ G de sorte que pour tout x ∈ E, il existe un unique couple (x1, x2) ∈ F × G telque x = x1 + x2.

On appelle projection sur F parallélement à G l’application linéaire p définie par :

∀x ∈ E, p(x) = x1

qu’est-ce qu’un projecteur vectoriel ?

Soit p ∈ L(E). p est une projection vectorielle sur im(p), parallèlement à ker(p) ssi pop = p.

caractérisation des projecteurs

sens direct :

Si p est un projecteur, alors avec les notations de la définition, pour tout x ∈ E : p(x) = x1 etpop(x) = p(x1) = x1. Donc pop = p.

réciproque :

Soit p ∈ L(E) vérifiant p = pop. Désignons par K et I respectivement le noyau et l’image de p.

D’après le théorème du rang, dim(K) + dim(I) = dim(E).

De plus, pour tout x ∈ E, xI = p(x) est un élément de I et xK = x − xI est un élément de K(en effet, p(xK) = p(x− xI) = p(x)− p(xI) = xI − pop(x) = xI − p(x) = xI − xI = 0E).

Ainsi{

dim(K) + dim(I) = dim(E)K + I = E

donc E = K ⊕ I

Enfin, pour tout x = xK + xI , il existe y ∈ E tel que :xI = p(y) et xI = p(y) = pop(y) = p(xI) = p(x) :p est le projecteur sur im(p) parallélement à ker(p).

Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice relativement à la base canonique s’écrit :

M =

1 2 1−1 −2 −12 4 2

Montrer que f est un projecteur et préciser ses caractéristiques géométriques.Quelle est la matrice de f relativement à la concaténation d’une base de im(f) et à une base deker(f) ?

exo : un exemple

Soit E = F⊕G, p le projecteur sur F parallélement à G et q le projecteur sur G parallélement à F .

Exprimer q en fonction de p.

exo

Soit E = E1 ⊕ · · · ⊕ Em. Puisque tout vecteur x ∈ E se décompose de manière unique sousla forme x = x1 + · · ·xm (où xi ∈ Ei), on peut définir les endomorphismes pi par la relationpi(x) = xi. Alors :

• pi est la projection sur Ei parallélement à⊕j 6=i

Ej .

• p1 + · · ·+ pm = IdE

• Pour j 6= i, pi o pj = 0.

généralisation

Soit E = F ⊕G. Si x ∈ E, il existe un unique couple (x1, x2) ∈ F ×G tel que x = x1 + x2. Onappelle symétrie par rapport à F parallèlement à G l’application linéaire s définie par :

∀x ∈ E, s(x) = x1 − x2

symétries vectorielles

Illustrer la définition précédente par des exemples sur R2 ou R3.

exo : interprétation

Soit s ∈ L(E). s est une symétrie vectorielle par rapport à ker(s− IdE) parallèlement àker(s+ IdE) si et seulement si sos = IdE .

caractérisation des symétries

Sens direct :

Si s est une symétrie, alors il existe deux sev F et G tels que tout x ∈ E = F⊕G se décompose demanière unique sous la forme x = xF +xG et sos(x) = s(xF−xG) = xF +xG = x. D’où sos = IdE .

Réciproque :

Sois s ∈ L(E) vérifiant sos = IdE . Nous allons montrer que E = ker(s− IdE)⊕ ker(s+ IdE) etque s est la symétrie par rapport à K+ = ker(s− IdE) parallélement à K− = ker(s+ IdE).

Remarquons que(s− IdE)o(s+ IdE) = sos− s+ s− IdE = 0 (E)

et posons pour tout x ∈ E :x− = 1

2(s− IdE)x

x+ = 12(s+ IdE)x

Nous remarquons que x+ ∈ K+ et x− ∈ K− ( de par l’identité (E)) et

que x+ − x− = x.Nous pouvons donc affirmer E = K+ +K−.D’autre part, si x ∈ K− ∩K+ alors (s − IdE)x = 0E =⇒ s(x) = x et (s + IdE)x = 0E =⇒s(x) = −x donc x = −x =⇒ x = 0E . AinsiK+∩K− = ∅, et on peut conclure que E = K+⊕K−.

D’après ce qui précède, tout x ∈ E s’écrit de manière unique sous la forme (notations évidentes)x = xK+ +xK− et s(x) = s(xK+)+s(xK−) = xK+ +xK− = x : s est bien la symétrie par rapportà K+ = ker(s− IdE) parallélement à K− = ker(s+ IdE).

Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice relativement à la base canonique s’écrit :

M =

1 −1 12 −2 12 −1 0

Montrer que f est une symétrie vectorielle et préciser ses caractéristiques géométriques.Quelle est la matrice de f relativement à la concaténation d’une base de ker(f − Id) et à unebase de ker(f + Id) ?

exo : un exemple

4) Hyperplans en dimension finieE désigne dans tout ce paragraphe un espace vectoriel de dimension n ∈ N∗.

On appelle hyperplan de E tout sous-espace vectoriel de E admettant une droite commesupplémentaire. Autrement dit, si H est un hyperplan de E, il existe u ∈ E non nul tel queE = H ⊕ V ect(u).

qu’est-ce qu’un hyperplan ?

Un sev de E est un hyperplan ssi dim(H) = n− 1

caractérisation par la dimension

Un sev H est un hyperplan ssi il est le noyau d’une forme linéaire φ ∈ L(E,K) non nulle.

caractérisation par les formes linéaires

Sens direct :

Si H est un hyperplan, considérons un vecteur x0 /∈ H. On a E = H ⊕V ect(x0) et par construc-tion, H est le noyau de la forme linéaire φ définie par ∀x ∈ E, φ(x) = λ ⇐⇒ x = xH + λx0(xH ∈ H ).

Réciproque :

Si φ est une forme linéaire non nulle, alors le théorème du rang entraîne que dim(ker(φ)) =dim(E)− 1, c’est à dire ker(φ) est un hyperplan.

Soit E un espace de dimension n et p un entier inférieur ou égal à n.

i) L’intersection de p hyperplans de E est un sous-espace de dimension au moins n− p.

ii) Tout sous-espace de dimension n− p est l’intersection de p hyperplans de E.

sous-espaces vectoriels comme intersection d’hyperplans

i) Soient H1, · · · , Hp des hyperplans respectivement noyaux des formes linéaires φ1, · · · , φp.

Considérons l’application linéaire Φ :{E → Kp

x 7→ (φ1(x), · · · , φp(x))On remarque que x ∈

⋂1≤i≤p

Hi ⇐⇒ x ∈ ker(Φ). Mais, d’après le théorème du rang,

dim(im(Φ)) + dim(ker(Φ)) = n, or dim(im(φ)) ≤ p donc dim(ker(Φ)) ≥ n− p.

ii) Soit F un sev de E de dimension n − p et BF = {e1, · · · , en−p} une base de F . D’après lethéorème de la base incomplète, BF peut être complétée en une base B de E :B = {BF , v1, · · · , vp}.Pour tout i ∈ [[1, p]] le sev Hi généré par tous les vecteurs de B sauf vi est un hyperplan.Par construction,

⋂1≤i≤p

Hi = F .

L’ensemble des solutions d’un système de p ≤ n équations à n inconnues est un espace vectorielde dimension au moins n− p.

Il est de dimension exactement n − p si les p équations (ce sont des formes linéaire de Kn dansK) sont linéairement indépendantes.

une application importante

5) Matricesa) Sous espaces stables

Soient E un K-espace vectoriel et f ∈ L(E). On dit qu’un sous-espace-vectoriel F de E est stablepar f si f(F ) ⊂ F .

La restriction de f à F est alors un endomorphisme de F, induit par f sur F.

stabilité d’un sev par un endomorphisme

Soit f ∈ L(E) et F un sev de E de dimension p.On note BF une base de F complétée en une base B = {BF ,B′} de E.

F est stable par f ssi sa matrice représentative relativement à la base B s’écrit :

MatB(f) =(

A B0n−p,p C

)A étant la matrice (carrée d’ordre p) relativement à la base BF de la restriction de f à F .

On a alors det(MatB(f)) =∣∣∣∣A B0 C

∣∣∣∣ = det(A) · det(C).

trigonalisation par blocs

Si E =p⊕

i=1Ei et si B = {B1, · · · ,Bp} est une base de E telle que pour tout i, Bi soit une base

de Ei.

Les sev Ei sont stable par f ∈ L(E) ssi MatB(f) =

A1 0 · · · 00 A2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · Ap

On a alors det(MatB(f)) =

p∏i=1

det(Ai).

généralisation

Montrer que si deux endomorphismes f et g de E commutent (ie fog = gof) alors im(f) etker(f) sont stables à la fois par f et par g.

stabilité et commutation

• Pour tout sev F de E, on a f(F ) ⊂ im(f), en particulier f(im(f)) ⊂ im(f) et im(f) eststable par f .

• Pour tout y ∈ im(f), il existe x ∈ E tel que y = f(x). Donc, g(y) = gof(x) = f(g(x)) ∈Im(f). Ainsi im(f) est stable par g.

• On a f(ker(f)) = {0E} ⊂ ker(f) donc ker(f) est stable par f .

• Pour tout y ∈ ker(f), fog(y) = gof(y) = g(0E) = 0E et g(y) ∈ ker(f). Ainsi, ker(f) eststable par g.

b) compléments sur les matrices

Soient n ∈ N∗ et A = (aij) ∈Mn(K). On appelle trace de A la somme de ses éléments diagonaux :

Tr(A) =n∑

i=1aii

trace d’une matrice

Soit n ∈ N∗

• L’application tr :{Mn(K)→ KA→ tr(A)

est une forme linéaire.

• Pour tout couple (A,B) ∈Mn(K), tr(AB) = tr(BA).

propriétés élémentaires

Il est immédiat de montrer que l’application trace est une forme linéaire.

On a de plus :

tr(AB) =∑

1≤i≤n

(AB)ii =∑

1≤i≤n

∑1≤j≤n

aijbji =∑

1≤j≤n

∑1≤i≤n

bjiaij =∑

1≤j≤n

(BA)jj = tr(BA)

Soient (A,B) ∈Mn(K)2.On dit que A et B sont semblables s’il existe P ∈ GLn(K) telle que : B = P−1AP .

matrices semblables

Deux matrices semblables ont même trace.

conservation de la trace par similitude

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.On définit la trace d’un endomorphisme f de E comme étant la trace d’une matrice M représentantf sur une base quelconque de E.

trace d’un endomorphisme