ESCOLA DE MSICA E BELAS ARTES DO PARAN COORDENAO DE PS-GRADUAO E PESQUISA

PROGRAMA DE INICIAO CIENTFICA

TIAGO SCHAUMLFFEL

MSICA, CAOS E FRACTAIS: UMA INVESTIGAO SOBRE NOVAS PERSPECTIVAS PARA A COMPOSIO MUSICAL

CURITIBA JULHO DE 2012

TIAGO SCHAUMLFFEL

MSICA, CAOS E FRACTAIS: UMA INVESTIGAO SOBRE NOVAS PERSPECTIVAS PARA A COMPOSIO MUSICAL

Monografia apresentada Coordenao de Ps-Graduao e Pesquisa da Escola de Msica e Belas Artes do Paran como requisito de concluso do Programa de Iniciao Cientfica.

Orientador: Prof. Dr. Joo Jos de Flix Pereira

CURITIBA JULHO DE 2012

RESUMO

Grandes mudanas no mundo contemporneo tm ocorrido em diversas reas do conhecimento humano. Notavelmente, uma grande descoberta da matemtica, com o auxlio dos computadores, vem transformando de forma visvel as artes, a meteorologia, a fsica, entre outras. Tal descoberta trata-se da teoria do caos e das j bem conhecidas imagens fractais, rea baseada no estudo dos sistemas dinmicos no-lineares. E da msica, que se tem feito? Como esta teoria pode ser aplicvel a ela? No texto, feita uma busca por novos meios de expresso musical, condizentes com a realidade de um pensamento mais atual.

Palavras-chave: msica e caos, fractais musicais, sistemas dinmicos, algoritmos para composio, msica eletrnica.

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SUMRIO

1 INTRODUAO ....................................................................................................................................... 5

1.1 Origem .......................................................................................................................................... 5

1.2 O surgimento das teorias do Caos e Fractais ............................................................................... 6

1.3 Breve descrio da teoria ............................................................................................................. 6

1.4 O uso de computadores ............................................................................................................... 7

1.5 Dificuldades de investigao ........................................................................................................ 7

1.6 Questionamentos ......................................................................................................................... 8

2 OBJETIVOS ............................................................................................................................................ 9

2.1 Geral .............................................................................................................................................. 9

2.2 Especficos ..................................................................................................................................... 9

3 METODOLOGIA .................................................................................................................................... 9

4 REVISO BIBLIOGRFICA ................................................................................................................... 10

4.1 Conceituao .............................................................................................................................. 10

4.1.1 Caos ...................................................................................................................................... 10

4.1.2 O Efeito Borboleta ............................................................................................................... 11

4.1.3 Iterao ................................................................................................................................ 11

4.1.4 Mtodo das Aproximaes Sucessivas ............................................................................... 12

4.2 Fractais ........................................................................................................................................ 14

4.2.1 O que fractal? ................................................................................................................... 14

4.2.2 Dimenso fractal ................................................................................................................. 15

4.2.3 Auto-semelhana ou auto-similaridade fractal .................................................................. 16

4.2.4 Nmeros complexos ............................................................................................................ 17

4.3 Alguns modelos Fractais ............................................................................................................. 18

4.3.1 O Conjunto, ou Poeira de Cantor ........................................................................................ 18

4.3.2 O Tringulo de Sierpinski..................................................................................................... 19

4.3.3 Esponja de Menger .............................................................................................................. 20

4.3.4 Curva de Koch ...................................................................................................................... 21

4.3.5 Conjunto de Julia ................................................................................................................. 21

4.3.6 Conjunto de Mandelbrot ..................................................................................................... 22

4.3.7 Mapa de Henon ................................................................................................................... 24

4.4 Fractais na Msica ...................................................................................................................... 25

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4.4.1 Retomando os Fractais ........................................................................................................ 25

4.4.2 Os trs rudos ....................................................................................................................... 25

4.4.2.1 O rudo branco - 1/f0 ......................................................................................................... 26

4.4.2.2 O rudo marrom ou browniano - 1/f2 ................................................................................ 27

4.4.2.3 O Rudo Rosa - 1/f ............................................................................................................. 28

4.4.3 Alguns modelos de anlise fractal na musical ................................................................... 30

4.4.3.1 Mtodo Box-counting e a dimenso fractal da msica ..................................................... 30

4.4.3.2 Anlise por reduo de escala ........................................................................................... 31

4.4.3.3 Anlise atravs da rvore de Eventos ............................................................................... 33

4.4.4 Mtodos para composio fractal ...................................................................................... 34

4.4.4.1 Composio atravs da rvore de Eventos ....................................................................... 34

4.4.4.2 Floco de Neve de Dodge.................................................................................................... 38

4.4.4.3 Jogo binrios dos dados .................................................................................................... 39

4.4.4.4 Composio com Mapa de Hnon .................................................................................... 41

4.4.4.5 Variaes atravs do mapeamento catico ...................................................................... 42

4.4.5 Repertrio existente ............................................................................................................ 44

4.4.6 A utilizao do computador ................................................................................................ 45

5 GUIA DE AUDIO ............................................................................................................................. 46

5.1 Referncias ouvidas para o trabalho ......................................................................................... 46

5.2 Comentrios ................................................................................................................................ 46

6 CONSIDERAES FINAIS .................................................................................................................... 48

7 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................................................... 49

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Primeiro Passo ....................................................................................................................... 12

Figura 2 - Segundo passo....................................................................................................................... 13

Figura 3 - Terceiro passo ....................................................................................................................... 13

Figura 4 - Quarto passo ......................................................................................................................... 14

Figura 5 - Dimenses ............................................................................................................................. 15

Figura 6 - Auto-semelhana .................................................................................................................. 17

Figura 7 - Nmeros reais ....................................................................................................................... 17

Figura 8 - Plano complexo ..................................................................................................................... 18

Figura 9 - Conjunto de Cantor ............................................................................................................... 19

Figura 10 - Construo do tringulo de Sierpinski ................................................................................ 20

Figura 11 - Passos iterativos do tringulo de Sierpinski ........................................................................ 20

Figura 12 - Esponja de Menger ............................................................................................................. 21

Figura 13 - Curva de Koch ...................................................................................................................... 21

Figura 14 - Conjunto de Julia 1 .............................................................................................................. 22

Figura 15 - Iteraes do conjunto de Mandelbrot ................................................................................ 23

Figura 16 - Conjuntos de Julia contidos no de Mandelbrot .................................................................. 24

Figura 17 - Mapa de Henon ................................................................................................................... 25

Figura 18 - Rudo branco, notas x intensidade ...................................................................................... 26

Figura 19 - Rudo browniano, notas x intensidade ............................................................................... 28

Figura 20 - Rudo 1/f, notas x intensidade ............................................................................................ 29

Figura 21 - Grfico Box-counting ........................................................................................................... 30

Figura 22 - Tabela de dimenses ........................................................................................................... 31

Figura 23 - As redues de A a F, respectivamente, 1/1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32. ............................ 32

Figura 24 - rvore hierrquica dos eventos, em Mozart. ..................................................................... 34

Figura 25 - Pontos de uma linha que definem os eventos ................................................................... 36

Figura 26 - Linha completa transposta rvore de eventos ................................................................. 36

Figura 27 - Tabela de dados formando nmeros binrios .................................................................... 40

Figura 28 - Mapeamento catico .......................................................................................................... 43

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1 INTRODUAO

1.1 Origem

Arte e cincia tm, em ltima instncia, o mesmo estofo, a saber, justamente o mundo tal como ele se posta diante de ns (SCHOPENHAUER, 2003). Ambas representam, cada qual a sua maneira, ramificaes do pensamento humano. Ns, que nos postamos diante de tal mundo, o fazemos diferente e mutavelmente, de acordo com a poca e cultura dentro da qual vivemos. Desde 300 a.C. at o final do sculo XIX a cincia dita exata, ou seja, a matemtica e aquilo que dela deriva, teve sua origem no livro Os Elementos, de Euclides de Alexandria, que, com seus 23 axiomas, exerceu desde sua publicao uma influncia contnua e primordial nos hbitos humanos. Foi a fonte primria do raciocnio geomtrico, teoremas e mtodos at, pelo menos, o advento da geometria no-euclidiana. Euclides fixou o padro do raciocnio dedutivo e da instruo geomtrica na qual figuras como Ren Descartes, Isaac Newton e Pierre de Fermat esto profundamente enraizados (BRITANNICA, 2011). Da mesma maneira, autores sobre a Histria da msica como GROUT & PALISCA (1994) vem a msica ocidental instituda pela herana helnica. Embora formas folclricas de dana e msica da Grcia e Roma antigas tenham sido abolidas por questes religiosas no incio da Idade Mdia, as teorias musicais estiveram na base das teorias medievais e foram integradas na maior parte dos sistemas filosficos, sendo assim, foi a teoria, e no a prtica, dos Gregos que afetou a musica da Europa ocidental. J era evidente na antigidade clssica a relao entre msica e matemtica. Para os primeiros pitagricos, a boa msica a expresso sensvel das relaes matemticas que regem o mundo. Idias que no tardaram a ter considervel influncia sobre o pensamento e a msica dos gregos. (CAND, 2001). No mbito prtico, Pitgoras foi o primeiro a explorar a base acstica que determina as leis do nosso sistema musical: dividindo uma corda vibrante em quocientes simples, na razo 2:1 encontrou o intervalo de oitava, na de 3:2 a quinta e na 4:3 a quarta, desatando assim a conhecida srie harmnica (GROUT & PALISCA, 1994).

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1.2 O surgimento das teorias do Caos e Fractais

A msica freqentemente relacionada com a natureza, ou como ela capaz de imitar as mudanas que o mundo sofre no decorrer do tempo. Essa relao tem se reforado com novas idias advindas das formas fractais, dos sistemas dinmicos, estes que, como a natureza, no podem ser totalmente compreendidos, se analisados fora de um contexto holstico (LEACH & FITCH, 1995). Um notvel rompimento com a antiga viso de mundo surgiu com o advento da geometria no-euclidiana, donde surgiram a teoria do caos e as formas fractais - conceito introduzido primeiramente pelo matemtico Felix Hausdorff em 1918 e ampliado por Benoit Mandelbrot, na dcada de 1970, que tambm cunhou o termo. Os fractais so objetos geomtricos complexos, irregulares e no-uniformes, com os quais se pretende extrair formas mais parecidas com as da natureza, distintas das formas euclidianas, como os quadrados, tringulos, etc. Tais objetos podem ser divididos em partes, cada uma sendo similar ao todo do objeto inicial, caracterstica conhecida como auto-similaridade, produzida normalmente por iterao (processo elucidado adiante) (BRITANNICA, 2011). A teoria do caos foi desenvolvida a partir do trabalho do meteorologista Edward Lorenz, na dcada de 1960. Lorenz desenvolveu um modelo meteorolgico baseado em equaes diferenciais. Quando o modelo foi simulado no computador, Lorenz descobriu que uma diferena muito pequena na condio inicial, depois de um tempo, gerou grandes mudanas no clima previsto. A descoberta da sensibilidade s condies iniciais de um sistema uma das principais caractersticas da teoria do caos (VALLE, 2000).

1.3 Breve descrio da teoria

Definindo em poucas palavras, a teoria do caos o estudo qualitativo do comportamento instvel e aperidico de sistemas dinmicos no-lineares. Algumas concluses podem ser extradas de tal definio: entende-se por sistema dinmico um sistema que sofre mudanas com a decorrncia do tempo; a instabilidade e aperiodicidade significam que os resultados do sistema no se repetem nem geram um padro linear, ou seja, as condies finais so desproporcionais s iniciais; embora o comportamento catico resulte complexo, pode ter causas simples; por ser

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um sistema determinstico. Embora catico o comportamento no ser aleatrio mesmo que sua aperiodicidade e imprevisibilidade faam-no parecer como tal (VALLE, 2000). Uma caracterstica dos sistemas caticos a iterao: repetio na qual o resultado gerado de uma ocorrncia do sistema usado como ponto de partida para o prximo clculo. Por muito tempo o fenmeno catico foi indesejvel na sua aplicao musical. Principalmente pela dependncia das condies iniciais, desejando o controle do desenvolvimento e resultado final, o que dentro de um sistema catico torna-se impossvel, dado a sensibilidade que tal sistema possui em suas iteraes, gerando resultados inesperados (COCA et al, 2009). Devido relao entre a geometria fractal e o comportamento catico, no final da dcada de 80, msicos pesquisadores interessados no assunto comearam a descobrir o potencial musical dos sistemas dinmicos no-lineares, principalmente por sua caracterstica catica, que permite obter grande quantidade de fragmentos musicais diferentes com uma leve mudana nas condies iniciais de determinado sistema (COCA et al, 2009).

1.4 O uso de computadores

Em sua grande maioria, as pesquisas feitas at agora a respeito deste tema interdisciplinar vo de encontro a uma soluo eletroacstica, ou seja, utilizam meios eletrnicos para desenvolver o material sonoro. Um novo gnero foi criado dentro da composio musical, aplicando estruturas fractais na gerao automtica de msica, conhecida pela sigla em ingls CAC - computer assisted composition, ou, composio assistida por computador, que, utilizando diferentes mtodos para a criao de sistemas de funes iteradas, denominada "musica fractal" (COCA et al, 2009).

1.5 Dificuldades de investigao

evidente a carncia de estudos na rea de fractais aplicados musica. H algum tempo atrs, a bibliografia se resumia a uns 5 ou 6 artigos publicados em revistas estrangeiras, tendo um brando crescimento em pocas mais recentes, e, ainda assim, quase exclusivamente em lngua estrangeira.

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H, porm, os pesquisadores brasileiros interessados que, muitas vezes, fora da rea da msica, passaram a pesquisar a aplicao de fractais nela. Alguns compositores brasileiros tambm j experimentaram com esse tipo de musica, um exemplo Frederico Richter, pesquisador pela UFRGS, que possui algumas obras de carter fractal, que no esto disponveis na internet, assim como seus estudos. No obstante essa carncia, uma vasta bibliografia a respeito de fractais em geral e, separadamente, outra sobre msica, encontra-se disponvel. Para que a msica possa ser introduzida ainda mais nesse novo conceito e partilhar do desenvolvimento de novas idias, o trabalho necessrio o de unir dois pontos, com uma tortuosa linha fracionada. Todavia a dificuldade dessa unio encontra-se na linguagem da bibliografia fractal, que tem por necessidade de preciso, ser extremamente matemtica, sendo bastante custoso ao msico que se prope unir algo de muita rigorosidade formal e exatido cientfica, com algo extremamente subjetivo, que a arte da msica.

1.6 Questionamentos

Constatando as visveis mudanas que tais teorias matemticas tm causado nas mais diversas reas do conhecimento, ficam as instigantes questes:

O que so esses conceitos, pode algo to matemtico ser aplicado msica? Quais mtodos podem ser utilizados para uma criao condizente com as

idias de fractais e caos? Se so formas da natureza, a musica j existente est impregnada de

fractais?

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2 OBJETIVOS

2.1 Geral

Investigar acerca dos conceitos que regem as leis caticas da matemtica e suas possibilidades de aplicao na msica.

2.2 Especficos

Esclarecer a concepo dos fractais de forma que possa ser utilizada musicalmente;

Produzir material cientfico a partir da elaborao, anlise, interpretao e sntese dos resultados obtidos com o desenvolvimento da pesquisa proposta;

Disponibilizar material cientfico especfico a respeito do tema.

3 METODOLOGIA

Foram investigadas caractersticas pertinentes rea musical no tocante matemtica no-euclidiana, por meio de pesquisa exploratria bibliogrfica e documental, para que pudessem ser distinguidos os conceitos matemticos para uma utilizao musical ulterior.

A produo musical do gnero pretendido foi analisada em suas caractersticas forma a atestar sua condiscncia com as informaes obtidas pelas pesquisas.

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4 REVISO BIBLIOGRFICA

4.1 Conceituao

4.1.1 Caos

Segundo RICIERI (1990), a noo de caos no recente na Matemtica, conforme a interpretao da maioria dos cientistas. As primeiras idias remontam ao sculo XIX, com os trabalhos de Weierstrass e Sonja Kovaleivskaia que vieram a influenciar os estudos de Henry Poincar a respeito dos sistemas dinmicos.

A melhor explicao para a Teoria do Caos pode ser definida como sendo para a fsica e a matemtica, a teoria que explica o funcionamento de sistemas complexos e dinmicos. Um sistema complexo quando suas partes s fazem sentido como um todo, que ser mais do que apenas a soma de suas partes, reunindo todas suas propriedades, estas que, em geral, tendem a ter uma relao no-linear umas com as outras, gerando uma Unidade Coletiva.

Um Sistema Complexo composto por um conjunto de partes conectadas por alguma forma de inter-relao entre elas. Assim, para caracterizar um sistema necessrio no somente conhecer as partes, mas tambm os modos de relao entre elas. As partes, conectadas por uma rede de relaes, geram conjuntamente uma Unidade Coletiva comumente chamado Sistema. Molcula, clula, ecossistema, cidade, colnia de formigas, crebro, computador, ser humano, podem ser considerados como um sistema ou unidade coletiva. Cada sistema possui suas regras internas, e um elemento ao ser inserido no sistema fica sujeito as leis prprias desse sistema. Um estrangeiro ao entrar em um pas fica sujeito a jurisdio deste pas, uma protena ao ser absorvida por uma clula fica sujeita a dinmica da clula e assim por diante (WIKIPEDIA, 2012).

Por fim, uma caracterstica interna desses sistemas de que cada parte constituinte ter um funcionamento prprio, criando um subsistema, e mesmo que seu funcionamento seja similar a de outras partes, quando os resultados se somam emerge outro sistema de funcionamento complexo. Dentro da evoluo temporal, os resultados podem ser instveis em virtude dos seus parmetros, causados pela iterao destes elementos de uma forma aparentemente aleatria. O conceito de dinamismo, inerente teoria do caos, vem da idia fsica de colocar o sistema dentro de um espao temporal, ou seja, no ser inerte. Um sistema dinmico evolui segundo algo que liga seu estado presente com seus estados passados.

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4.1.2 O Efeito Borboleta

Em 1960 o meteorologista Edward Lorenz estudava, no Instituto de Tecnologia de Massachusetts, a possibilidade de prever com um modelo matemtico a evoluo do clima, que pudesse predizer com dias ou semanas de antecedncia a formao climtica de determinado lugar com preciso exata. Depois de muito esforo, Lorenz finalmente concluiu seu modelo climatolgico, o qual gerava dados futuros em funo do presente, tcnica que chamou de Equao no-linear de recorrncia. (RICIERI, 1990). Essa equao, que levava em conta Temperatura Inicial (Ti), Presso Inicial (Pi), e Vento Inicial (Vi), gerando um resultado Xi, foi posta no computador do MIT para fazer uma simulao do clima do mesmo lugar, uma semana depois. Lorenz usou, como numero inicial, Xi = 0,532493, segundo registrou com seu anemmetro, a velocidade tangencial do vento. O resultado gerado (sendo Xi+1) foi de 0,128579. Para confirmar o resultado do clculo, o meteorologista fez uma nova simulao, arredondando apenas a ltima casa decimal para Xi = 0,532490, o resultado da nova simulao foi absurdamente discordante do primeiro, tendo Xi+1 como 1,701935. Percebendo a sensibilidade desse sistema s suas condies iniciais, Lorenz figurou como que o simples vo de uma borboleta influenciaria o clima dias depois.

Desta analogia, surgiu ento o chamado Efeito Borboleta, que caracteriza um sistema na sua sensibilidade aos fatores que com ele interagem, causando grandes distores nos resultados, maiores medida que o tempo decorre.

4.1.3 Iterao

Iterao um termo oriundo da programao computacional, que, de acordo com o dicionrio, definido como o ato de repetir. quando o novo resultado de uma equao matemtica depende do ltimo resultado da mesma equao, gerando uma realimentao, um loop. Tais equaes iterativas so tambm uma forma de algoritmo, que uma frmula que contm uma seqncia de instrues a ser executada dentro de um perodo de tempo.

Os nmeros gerados por uma funo iterada apresentam trs caractersticas comportamentais marcantes: uma condio firme, peridica e catica. Funes

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caticas so casos especiais de sistemas dinmicos no-lineares, elas mostram extrema sensibilidade sua condio inicial. Desta forma que o estudo destes sistemas - dinmicos no-lineares, determinsticos, instveis e aperidicos so comumente referidos como Teoria do Caos (CHAPEL, 2003).

4.1.4 Mtodo das Aproximaes Sucessivas

Localizar numericamente regies caticas implica em desenvolver um ferramental matemtico especfico, para investigar a soluo de determinadas equaes algbricas. Um modo simples de produzir tais resultados atravs do mtodo denominado de Aproximaes Sucessivas (RICIERI, 1990). Como exemplo, podemos observar a seguinte equao algortmica: 2X 2 = X A soluo dessa equao de primeiro grau 2. Graficamente (Figura 1) a soluo encontrada quando traamos as duas retas (lado esquerdo e lado direito da equao) e marcamos o ponto de concorrncia:

Figura 1 - Primeiro Passo

Fonte: RICIERI (1990).

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Em termos de Mtodo das Aproximaes Sucessivas, rotula-se o lado direito da equao de Ft, lado esquerdo de Ft+1 e arbitramos um valor qualquer como soluo. Por exemplo, X = 4 (Figura 2):

Figura 2 - Segundo passo

Fonte: RICIERI (1990)

Para X = 4 verifica-se Ft = 4 e Ft+1 = 6, porm o novo valor de X, mais prximo da soluo, aquele que satisfaz Ft+1 = 4, ou seja, X = 3 (Figura 3):

Figura 3 - Terceiro passo

Fonte: RICIERI (1990)

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Para X = 3 tem-se Ft = 3 e Ft+1 = 4, sendo que o novo valor de X, mais prximo da soluo, ser aquele que verifica Ft+1 = 3, ou melhor, X = 2,5 (Figura 4):

Figura 4 - Quarto passo

Fonte: RICIERI (1990)

E assim sucessivamente... Existe uma convergncia para a soluo da equao (X = 2), medida que se aumenta a interao.

4.2 Fractais

4.2.1 O que fractal?

Benot Mandelbrot, criador do neologismo fractal, afirma ser um termo derivado do adjetivo latino fractus, que significa irregular, quebrado. Existe uma dificuldade de conceituao do termo sem o apoio de uma linguagem matemtica que vai alm da elementar, porm, o autor defende um significado intuitivo, devido semelhana destes objetos com a organizao dos objetos da natureza, que nos so familiares. O todo ser passvel de apreciao medida que for esclarecido o conjunto das caractersticas necessrias para que um objeto seja denominado fractal.

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Diz-se de uma figura geomtrica ou de um objeto natural que combine as seguintes caractersticas: a) As suas partes tm a mesma forma ou estrutura que o todo, estando porm a uma escala diferente, e podendo estar um pouco deformadas. b) a sua forma ou extremamente irregular ou extremamente interrompida ou fragmentada, assim como todo o resto, qualquer que seja a escala de observao. c) Contm elementos distintos cujas escalas so muito variadas e cobrem uma vasta gama (MANDELBROT, 1998).

4.2.2 Dimenso fractal

Uma das principais caractersticas de um objeto fractal se refere sua dimenso. Essa dimenso representada por D uma medida do grau de irregularidade e fragmentao de um objeto, representa o grau de ocupao do mesmo, dentro do espao em que est contido.

De acordo com a geometria euclidiana, conhecemos as dimenses espaciais tradicionais: um ponto representa uma dimenso 0; uma linha reta ou qualquer curva lisa representa uma dimenso 1; um plano como um quadrado ou um

tringulo - ou qualquer superfcie padro constitui uma figura de dimenso 2; um cubo tem dimenso 3. Segundo MANDELBROT (1998), a estas coisas j bem conhecidas, diversos matemticos do incio do sculo passado, comeando por Hausdorff 1919, acrescentaram que certas figuras tm dimenses no inteiras (Figura 5), podendo ser fraes, como 1/2, 2/3, 4/5, nmeros irracionais como log3/log2, como mostra o quadro comparativo abaixo:

Figura 5 - Dimenses

Fonte: Retirado de , acesso em 21/03/12.

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guisa de exemplo, imagine medir a costa da Inglaterra. Usando um mapa teramos uma estimativa, se fossemos Inglaterra e caminhssemos ao entorno de toda a ilha teramos uma estimativa muito maior, pois adentraramos por todas as baas, passando por todas as irregularidades. Dessa forma temos uma idia do que se trata a dimenso fractal. Temos diferentes estimativas de comprimento dependendo da escala da rgua utilizada. Uma maneira conveniente de obter a dimenso de determinado objeto pela equao:

Onde N() representa a quantidade de passos utilizados para medir o objeto (por ex.: para medir algo de comprimento 1 metro utilizando uma rgua de 10cm, precisaremos utiliz-la 10 vezes), o tamanho do passo (rgua de 10cm), e D a dimenso (MEYER, 1993).

4.2.3 Auto-semelhana ou auto-similaridade fractal

Auto-semelhana identificada quando as partes, de uma figura ou de um objeto, podem ser vistas como uma rplica do todo - mesmo estando um pouco deformadas sem variao de escala, ou seja, o objeto apresenta a mesma aparncia independentemente do grau de ampliao com que visto (ORTIZ, 2000). Um exemplo visual o tringulo de Sierpinski (Figura 07), em que dentro de cada tringulo pode ser criado um novo, traando os lados a partir da metade de cada segmento do tringulo existente.

Para recriar essa propriedade, um recurso essencial utilizado por Mandelbrot foi o computador, pois que seria praticamente impossvel gerar tais objetos, devido a quantidade quase infinita de iteraes que necessitam os algoritmos auto-alimentados, para resultar em tamanha complexidade e semelhana (SECCO & ROCHA, 2004).

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Figura 6 - Auto-semelhana

Fonte: acesso em 12/04/12

4.2.4 Nmeros complexos

Nmeros complexos surgiram em resposta necessidade de se obter a raiz quadrada de nmeros negativos. Os nmeros imaginrios fazem parte deste conjunto numrico. A expresso surgiu no Discurso do Mtodo de Descartes, onde escreve: Nem sempre as razes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equao so reais. s vezes elas so imaginrias. (CERRI & MONTEIRO, 2001). Um nmero complexo um nmero Z e pode ser representado como Z= X + iY", onde X e Y so os nmeros reais e i sendo a parte imaginria, respectiva a i = -1. (WIKIPEDIA, 2012).

Esse conjunto numrico ser fora motriz de alguns algoritmos fractais, assim como sua representao grfica.

Podemos entender melhor o conjunto complexo dispondo-o num plano cartesiano, como mostra a figura 7.

Para os nmeros reais, podemos represent-lo numa linha X simples, onde o zero o ponto de partida, direita os nmeros positivos e esquerda os negativos, como mostra a figura:

Figura 7 - Nmeros reais

Fonte: SECCO & ROCHA (2004)

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Para os nmeros complexos necessitaremos de duas dimenses (Figura 8), a parte real (R) e a imaginria (I):

Figura 8 - Plano complexo

Fonte: SECCO & ROCHA (2004)

4.3 Alguns modelos Fractais

4.3.1 O Conjunto, ou Poeira de Cantor Georg Cantor (1845-1918) foi o matemtico que elaborou a teoria dos

conjuntos e apresentou idias altamente inovadoras a respeito do conceito de infinito.

O Conjunto de Cantor tambm conhecido como Poeira de Cantor desenvolvido por Cantor um subconjunto infinito de pontos no intervalo unitrio [0,1]. A sua construo numrica permite-nos obter a idia de um subconjunto fechado de nmeros reais. A construo geomtrica permite-nos ter uma melhor percepo desde conceito e leva-nos estruturao de um fractal. (NUNES, 2006)

Para a construo de um Conjunto de Cantor (figura 09), iniciamos com um segmento de reta (um intervalo fechado I0 = [0,1]). Dividimos o segmento em trs partes iguais e exclumos o tero do meio, nas etapas seguintes, dividimos em 3 e retiramos o tero mdio de cada parte subseqente (ASSIS et al, 2008).

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Figura 9 - Conjunto de Cantor

Fonte: ASSIS et al (2008) interessante analisar o que acontece com o nmero de segmentos, nN, com o comprimento de cada segmento, cN, bem como com o comprimento total do conjunto, CtN, em cada gerao N de sua construo. Entende-se por comprimento total a soma dos comprimentos dos segmentos de um conjunto. No nvel inicial, ou seja, para N = 0, tem-se um segmento de modo que n0 = 1. No nvel 1, tm-se 2 segmentos. No nvel 2 so quatro segmentos, enquanto na gerao 3 so oito segmentos. Deste modo, decorre imediatamente desta construo, que no n-simo nvel, o nmero de segmentos 2N, ou seja, nN = 2, no Conjunto de Cantor, isto , para N , tem-se limN 2N = , ou seja, nesta estrutura, o nmero de segmentos tende ao infinito. Uma caracterstica, aparentemente paradoxal com a afirmao anterior, pode ser verificada ao se analisar o comprimento total do conjunto de cantor, CtN. Para isso, necessrio primeiramente analisar o comprimento de cada segmento, cN, que compe o Conjunto de Cantor no correspondente nvel. No primeiro nvel, N = 0, o comprimento do segmento cN = 1; no segundo nvel cN = 1/3; no terceiro nvel cN= 1/9. Ento, no n-smimo nvel, o comprimento de cada segmento expresso por cN = (1/3)N. Portanto tem-se que, no limite para infinitos nveis limN cN = limN (1/3)N = 0. Desta maneira, o comprimento de cada segmento tende a zero (ASSIS et al, 2008).

De maneira similar, o conjunto inteiro ter um nmero de segmentos tendendo ao infinito e o comprimento do Conjunto tendendo a zero. Sua dimenso fractal de aproximadamente 0,63.

4.3.2 O Tringulo de Sierpinski

Objeto de estudo do matemtico polaco Waclav Sierpinski (1882-1969), sua figura obtida a partir de um processo recursivo, em que, partindo de um tringulo eqiltero, tomamos o ponto mdio de cada lado e traamos um novo tringulo inscrito, aps a remoo do tringulo central, sobraro trs tringulo congruentes, com lados da metade do tamanho do tringulo original. O processo repetido em cada um dos trs tringulos e depois, novamente com os tringulos restantes. Dessa forma, de maneira anloga ao Conjunto de Cantor, a soma da rea dos tringulos tender a zero, enquanto que o permetro tender ao infinito (NUNES, 2006).

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Os passos de construo do tringulo so mostrados nas figuras 10 e 11, com sua representao grfica e seus passos iterativos, respectivamente:

Figura 10 - Construo do tringulo de Sierpinski

Fonte: NUNES (2006)

Figura 11 - Passos iterativos do tringulo de Sierpinski

Fonte: NUNES (2006)

4.3.3 Esponja de Menger A construo da esponja de Karl Menger (1902-1985) se assemelha ao tringulo de Sierpinski. um fractal tridimensional obtido de um cubo, onde so retirados outros cubos, de maneira sistemtica. Seu resultado mostrado na a figura 12.

Divide-se o cubo em 27 cubos iguais removendo-se o cubo central e os seis cubos centrais de cada face. Repete-se o processo em cada um dos cubos restantes e continuando-o indefinidamente, obtemos uma figura de rea infinita e volume zero. (NUNES, 2006)

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Figura 12 - Esponja de Menger

Fonte: NUNES (2006)

4.3.4 Curva de Koch

Helge von Koch (1870-1924) desenvolveu sua Curva de Koch (figura 13) sobre um segmento de reta inicial. No primeiro passo da construo, dividimos o segmento em trs partes iguais, substitumos a parte central por um tringulo eqiltero e removemos sua base, repetimos o processo indefinidamente em cada um dos novos segmentos. O nmero de lados se multiplicar tendendo ao infinito, enquanto que o comprimento de cada segmento diminuir tendendo a zero.

Figura 13 - Curva de Koch

Fonte: ASSIS et al (2008)

4.3.5 Conjunto de Julia Gaston Julia e Pierre Fatou apresentaram alguns estudos em 1918 envolvendo processos iterativos e nmeros complexos.

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Considerando Zn+1 = Z2n + c em que c um ponto fixo no plano complexo, obteremos, se iterarmos a funo, uma seqncia de nmeros complexos, denominada rbita de Z0, da seguinte maneira:

Se a rbita de Z0 escapa, atrada para o infinito, ento Z0 um nmero no pertencente ao conjunto de Julia. No entanto, se a rbita de Z0 atrada para um crculo em torno da origem de Z0 ento este nmero faz parte do conjunto de Julia. O conjunto de todos os pontos formados pelos nmeros de Z0 num conjunto de Julia so prisioneiros de c. Dessa forma, o valor de c determina a formao do conjunto de Julia (NUNES).

A figura 14 ilustra uma imagem gerada por computador, atravs da iterao da funo de Julia:

Figura 14 - Conjunto de Julia 1

Fonte: retirada de , acesso em 15/06/12

4.3.6 Conjunto de Mandelbrot O conjunto de Mandelbrot pode ser visto como uma compilao dos conjuntos de Julia no plano complexo. Sua construo feita a partir da mesma funo Zn+1 = Z2n + c, onde Zn sendo n um numero natural e c so nmeros complexos. Z0 ter o valor 0.

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Todos os nmeros complexos c, em que aps certo nmero de iteraes da funo Z no tende para o infinito, so definidos como nmeros pertencentes ao conjunto de Mandelbrot. A funo iterada para cada ponto c no plano complexo. Cada um desses pontos c, do conjunto de Mandelbrot, tem em si contido um conjunto de Julia (NUNES, 2006). As cores da imagem podem ser definidas de acordo com o nmero de iteraes n necessrias para Z atingir seu limite, a saber, quatro, antes de tender para o infinito. Quanto mais escura a cor, mais iteraes foram necessrias para atingir esse limite. Deve-se notar, na imagem (figura 15), que o centro do Conjunto , em cada passo, sempre de cor preta, dado que os pontos pretos so pontos que excedem o limite de Z, no fazendo parte do conjunto de Mandelbrot.

Figura 15 - Iteraes do conjunto de Mandelbrot

Fonte: retirado de , acesso em 24/07/12

Sendo feita dessa forma, a construo dos dois conjuntos possibilita que, para cada ponto c do conjunto de Mandelbrot um conjunto de Julia possa ser extrado/gerado, como mostra a figura 16 (NUNES, 2006).

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Figura 16 - Conjuntos de Julia contidos no de Mandelbrot

Fonte: NUNES (2006)

4.3.7 Mapa de Henon

O astrnomo Michel Henon desenvolveu, atravs de seus estudos de rbitas de objetos celestes, nos anos 70 no observatrio de Nice, um sistema de equaes, como um modelo simplificado da seo de Poincar e do modelo de Lorenz. A rbita descria pela equao descrevem formas cujas ampliaes se revelam idnticas s formas menos ampliadas, assumindo um carter auto-similar, sendo assim, o Mapa de Henon um fractal. O sistema de equaes dado por: Xn+1 = y n+1 Ax n2 Yn+1 = Bx n O sistema atinge estado catico nos valores A = 1,4 e B = 0,3 (Figura 17), gerando rbitas no-peridicas definindo um movimento de atrator estranho. (LOPES, s/d)

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Figura 17 - Mapa de Henon

Fonte: LOPES (s/d)

4.4 Fractais na Msica

4.4.1 Retomando os Fractais

Para relembrar brevemente, fractais so formas geomtricas que possuem uma dimenso no necessariamente inteira e exibem auto-similaridade (MEYER, 1993). Veremos quais reflexes tem sido feitas acerca dessas idias no mbito musical.

Caos o termo utilizado para definir o comportamento de sistemas dinmicos no-lineares quando so iterados, gerando um resultado que pode ser visto como um ponto no espao n-dimensional.

4.4.2 Os trs rudos

Densidade espectral , em fsica, uma funo determinstica do tempo que possua dimenso energtica. Na anlise de espectro sonoro que uma representao grfica da relao entre freqncia e amplitude podemos classificar grosseiramente um conjunto sonoro de trs maneiras distintas, a saber, rudo branco (1/f0), rudo vermelho ou browniano (1/f2) e rudo rosa (1/f1).

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4.4.2.1 O rudo branco - 1/f0

Levando em conta os mtodos matemticos de probabilidade, uma das formas mais fceis de gerar notas atravs de um dado. Podemos montar uma escala de algumas oitavas utilizando, digamos, 6 dados, o alcance de nmeros ser de 6 a 36. Definimos 6 como uma nota d, 7 ento ser r, 8 mi e assim por diante. No exemplo, uma escala maior, porm, qualquer modo ou escala pode ser definido e s suas notas atribudo um valor numrico. A probabilidade est distribuda igualmente a todas as notas, portanto no h qualquer relao, nem sequer sentido, entre as notas sorteadas. Ouvindo esse tipo de msica se notar que ela soa bastante ruim (BULMER, 2000).

O espectro gerado por um determinado segmento de notas criado desta forma resultar em rudo branco, que adjetivado desta forma em analogia ao funcionamento da luz branca, formada pela combinao de todas as freqncias cromticas (WIKIPEDIA, 2012).

Uma roda estilo roda-da-fortuna pode ser usada tambm, onde h uma diviso igual das fatias de um circulo e um apontador preso no centro da roda, que posto para girar, ele tem chances iguais de parar o movimento sobre qualquer uma das fatias. Para sofisticar um pouco mais uma melodia criada dessa maneira, outra roda pode ser usada para selecionar os valores de tempo, ainda assim a msica feita dessa maneira soar estpida, como se fosse composta por um macaco. (GARDNER, 1992). A figura 18 exibe graficamente uma composio de 256 notas vezes as possibilidades que podem geradas pelo mtodo descrito (BULMER, 2000).

Figura 18 - Rudo branco, notas x possibilidades.

Fonte: BULMER (2000)

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4.4.2.2 O rudo marrom ou browniano - 1/f2

Movimento browniano foi observado pela primeira vez pelo bilogo Robert Brown (1773-1858) e mais elaborado pelo fsico Albert Einstein (1879-1955). O rudo criado por esse movimento um pouco mais complexo, caracterizado pelo movimento aleatrio observado em partculas macroscpicas suspensas em um lquido, chocadas pela atividade trmica das partculas. Elas se movem tridimensionalmente e as posies formam uma seqncia de movimentos altamente correlacionados. Pode-se dizer que como se a partcula lembrasse onde ela esteve (GARDNER, 1992).

O exemplo comumente associado de um bbado que cambaleia aleatoriamente para qualquer lado.

Seu movimento possui um padro escondido na aleatoriedade, que Mandelbrot (1978) classifica como um movimento fractal, por descrever um padro dinmico bastante definido.

Musicalmente falando, para suplantar o problema da falta de conexo entre as notas de um rudo branco, pode haver vrios mtodos que resultaro em um rudo browniano. Um mtodo que pode ser utilizado de utilizar um dado para escolher relaes intervalares a partir de uma nota, ao invs de notas avulsas, centralizando, dessa maneira, as escolhas em uma nota. Como exemplo, podemos partir de determinada nota, rolamos um dado, se resultar 1 descemos duas notas de qual havamos partido; resultando 2 descemos uma nota; se 3, subimos uma nota; se 4, subimos duas notas; para 5 e 6 permanecemos na mesma nota. O mesmo mtodo pode ser utilizado para durao das notas.

O resultado no ser to doloroso quanto no rudo branco, mas ainda assim ser bastante fastidioso pelo seu excesso de previsibilidade (BULMER, 2000).

A linha desenhada pelo rudo browniano representada graficamente na figura 19, conservando 256 tentativas versus suas possibilidades.

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Figura 19 - Rudo browniano, notas x possibilidades.

Fonte: BULMER (2000)

4.4.2.3 O Rudo Rosa - 1/f

Pudemos ver que tanto o rudo branco por sua absoluta imprevisibilidade -, quanto o rudo browniano pela demasiada previsibilidade situam-se nos extremos para algo que se pretenda comunicar ou apreciar no mbito da musica

O termo rosa originou-se pelas caractersticas intermedirias desse rudo, entre o branco e o vermelho.

Mandelbrot foi o primeiro a reconhecer o quanto a natureza, de muitas maneiras diferentes, exibe uma forma 1/f (GARDNER, 1992). Entre essas maneiras, as variaes anuais de quantidade de chuva em determinado local, padres de atividade de manchas solares, cheias dos rios, rudo de aparelhos eletrnicos, fluxo de trnsito, amortecimento dos nveis de radioatividade, compostos qumicos, fluxo granular, sistemas ecolgicos, fala humana e tambm na msica. (CHAPEL, 2003)

A msica tradicional parece encontrar um balano entre estes extremos. Um compositor pode formular a grande estrutura de uma pea inteira, criar sees menores e compor notas para cada seo. Isso resultar numa ligao de interdependncia das partes que, ainda assim, envolvero pequenas aleatoriedades ou surpresas.

Podemos comparar essa caracterstica com a construo da curva de Koch, que possui estruturas similares medida que olhamos mais de perto, resultando em auto-similaridade. Assim como a curva situa-se em dado espao, notas musicais situam-se no tempo. Por possurem uma forma tal que tenha suas partes

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interligadas e auto-semelhantes, podemos dizer que musicas que formam um espectro de 1/f (figura 20) possuem forma fractal (BULMER, 2000).

Figura 20 - Rudo 1/f, notas x possibilidades.

Fonte: Bulmer (2000)

1/f significa que a densidade espectral de potncia inversamente proporcional freqncia, ou seja, quanto maior a freqncia, menor sua intensidade.

A densidade espectral das flutuaes de amplitude no udio de muitas peas musicais varia muito pouco perto do valor de 1/f. As observaes mostram que o rudo 1/f uma boa escolha para composio estocstica. Composies nesses termos se mostraram agradveis aos ouvintes. As geradas atravs ferramentas utilizando rudo branco soaram muito aleatrias, ao passo que as geradas por rudo 1/f2 soaram muito correlatas. (VOSS, 1978)

Ou seja, uma musica eletrnica derivada de um rudo 1/f apresenta uma caracterstica mais prxima da msica humana. Uma grande diferena do rudo rosa para os outros sua estrutura auto-semelhante. O rudo branco no possui qualquer afinidade entre seus valores, o browniano, por sua vez, possui uma afinidade direta entre seus valores mais prximos, j o 1/f, apesar de possuir uma aleatoriedade local, entre seus valores mais prximos, possui uma similaridade a longo-prazo. Essa espcie de rudo correlaciona-se logaritmicamente com seu passado, de modo que a mdia da atividade dos ltimos dez eventos tem tanta influncia no valor corrente quanto os ltimos cem, ou mil, como se os padres a longo-prazo fossem memorizados. (CHAPEL, 2003).

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4.4.3 Alguns modelos de anlise fractal na musical

4.4.3.1 Mtodo Box-counting e a dimenso fractal da msica

Lembrando que uma linha reta tem dimenso 1 e um plano tem dimenso 2, Aps submetermos amostras de 2 segundos de msicas a uma anlise computadorizada atravs do mtodo que ser descrito a seguir, observamos que a dimenso fractal dessas amostras tem dimenso entre 1 e 2, mais especificamente, 1.65, e invariante para uma grande gama de estilos musicais. O mtodo desenvolvido para analisar a dimenso fractal de uma seqncia musical utiliza um algoritmo chamado Box-counting, que expresso por:

A base do algoritmo consiste em representar graficamente (figura 21) a dimenso do objeto a partir da inclinao descendente da linha criada pela multiplicao de log(N()) por log().

Figura 21 - Grfico Box-counting

Fonte: MEYER (s/d)

A msica gravada pode ser representada como uma srie de dados no tempo, numa forma de onda. Para medir utilizando tamanhos diferentes de rguas (medir em escalas diferentes), criamos uma grade sobre o grfico com tamanhos de espaamento e contamos quantos quadrados so tocados pelos dados, que sero, ento, normalizados de modo a ter a mesma proporo na linha vertical e horizontal. Ento log(N()) multiplicado por log() e o declive negativo da linha resultante a dimenso fractal da forma de onda.

Admitindo dimenso fractal como auto-similaridade, podemos supor que, em msica, auto-semelhana pode provir dos ritmos e melodias mais complexos que

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existem dentro de diferentes escalas de tempo, podendo assim, explicar a relao entre dimenso fractal e os mais variados estilos de msica (MEYER, 1993).

A anlise resultou que as dimenses analisadas tiveram uma mdia de 1.65, chegando a um mximo de 1.69 um mnimo de 1.60, como mostra a figura 22. Tambm foi feita a analise do rudo branco, que teve sua dimenso bem acima das outras, com 1.95.

Figura 22 - Tabela de dimenses

Fonte: MEYER (s/d)

4.4.3.2 Anlise por reduo de escala

A anlise musical, pelo ngulo da auto-similaridade, pode ser vista de maneira que uma pea possa ser reduzida na sua quantidade de notas e manter sua silhueta.

Comparando ao mtodo de medio de uma linha costeira, que tem seu comprimento tendendo ao infinito medida que a escala de medio reduzida, e mantida sua forma principal mais rudimentar medida que o tamanho da medio aumentado, na anlise musical a linha meldica no perder seu desenho, se for medida mais "grosseiramente" excluindo notas em dado intervalo de quantidade.

Para aplicar o mtodo, primeiramente o udio transformado em sinais

digitais. Ento utilizada a seguinte frmula:

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Onde L(|i|) o comprimento da musica no sentido de soma de todos os intervalos, o tamanho da escala de medio, D a dimenso fractal e c uma constante de proporcionalidade, sendo um nmero emprico.

A base terica utilizada para afirmar que uma partitura possa ser reduzida a 1/2, 1/4, 1/8, etc. a independncia escalar, ou auto-similaridade de uma paisagem fractal.

A forma grfica digitalizada da msica, em questo a BWV772 de Bach, semelhante a um cenrio paisagstico. O processo ento aplicado melodia da msica com = 0 (forma inalterada), 1, 2, 3, 4, 5 e 6.

Como mostra a figura 23, o contorno da linha meldica da msica mantido e claramente auto-semelhante:

Figura 23 - As redues de A a F, respectivamente, 1/1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32.

Fonte: HS & HS (1991)

A similaridade pode tambm constatada em udio. Tocando a partitura reduzida pela metade ou um quarto, a msica manter soando muito semelhante ao estilo de Bach, embora d a impresso de uma msica menos ornamentada, as trs redues seguintes tendero a eliminar cada vez mais o preenchimento da melodia, embora preservando ainda a linha mais geral. Na reduo 1/64 sobraram apenas 3

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notas, que foram consideradas as trs notas chaves, em que toda a composio teve sua fundao.

Como afirma o autor, uma anlise tal como essa no pretende ajudar no processo criativo de um compositor, mas pode ajudar na programao de um software, com regras e diretrizes.

De qualquer forma, a msica reduzida nos mostra seu esqueleto, podendo sugerir um maior entendimento do funcionamento das grandes composies. Podemos nos perguntar ainda se a msica poder, um dia, ser composta com xito por um computador, nas bases do esqueleto de alguma msica de um grande compositor. (HS & HS, 1991)

4.4.3.3 Anlise atravs da rvore de Eventos A msica freqentemente faz analogia a processos naturais. Lembrando

tambm das caractersticas do rudo 1/f, entenderemos a noo de Evento. Pensando no exemplo de uma pedra, que solta do topo de um penhasco e

observada por algum a distncia, esse observador ficar mais tenso a medida que a pedra cai, chegando ao mximo de tenso quando ela atinge o solo e, a partir desse momento, toma lugar um crescente relaxamento. Podemos abstrair desse exemplo que a tenso aumenta por que somos capazes de prever o resultado do evento, estamos vendo a pedra cair num determinado perodo de tempo e sabemos que ela cair; nossa tenso se esvai quando no h mais movimento a partir do resultado.

Podemos imaginar ainda uma pedra que solta de uma montanha e no chegar diretamente ao cho, ela ir cair, rolar e bater diversas vezes em sub-eventos. Em msica, cada grupo de notas pode ser vista como um evento, com seqncias movendo-se para uma nota mais importante, que representar um pice. Baseado na idia dos eventos, Jeremy Leach e John Fitch (1995) vem uma possibilidade de encontrar na natureza e o Homem, compositor intuitivo de musica tambm fazendo parte dela - tais padres referindo-se s caractersticas fractais. A figura 24, retirada do texto dos autores, mostra a sinfonia n.40 de Mozart dividida em funo dos eventos, exibindo uma caracterstica de auto-similaridade, que nos remete poeira de cantor, ou s ramificaes de um galho de rvore (LEACH & FITCH, 1995).

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Figura 24 - rvore hierrquica dos eventos, em Mozart.

Fonte: LEACH & FITCH (1995)

4.4.4 Mtodos para composio fractal

4.4.4.1 Composio atravs da rvore de Eventos Os fractais 1/f apresentam um espectro sonoro que pode ser considerado aprazvel ao ouvido e so usados em softwares como ferramentas geradoras de variaes agradveis em melodias.

No entanto, o problema de criar fractais 1/f est no fato de que os mtodos utilizados acarretam na insero aleatria de dados. Como resultado, no encontramos padres bem definidos de repetio de temas, notas, dinmica e ritmo, como costumamos encontrar na musica tradicional. Este problema, porm, pode ser contornado inserindo o caos. Quando um sistema de equaes dinmicas no-lineares iterado, cada passo da iterao cria um ponto num espao n-dimensional. A seqncia de pontos produzida dessa forma pode ser chamada de rbita de um sistema. O comportamento a longo prazo de uma rbita depende substancialmente das condies iniciais e dos parmetros do sistema utilizado.

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Esse comportamento se divide em trs categorias: constante (onde todos os pontos da rbita so idnticos), oscilatrio (onde a rbita consiste em conjunto de repeties de k pontos distintos), e catico (onde nenhum ponto na seqncia uma repetio de um ponto anterior) (LEACH & FITCH, 1995).

A categoria mais musicalmente interessante a catica. Ela no apresenta um comportamento randmico, cada ponto um resultado de uma equao precisa, que contm nenhum elemento aleatrio, resultando numa rbita altamente estruturada, com elementos auto-semelhantes e repeties um pouco modificas, que so muito de muito valor musical por terem o poder de criar temas que se repetem mas ainda assim contm uma modificao, inserindo novas idias musicais. Dessa forma o ouvinte pode sentir a previsibilidade a curto prazo e a imprevisibilidade a longo prazo. Agora a questo transformar uma rbita de um sistema dinmico no-linear numa rvore de eventos para ser usado na msica. Para isso precisamos decidir quais caractersticas da rbita queremos transpor. Reduziremos o foco apenas aos valores reais obtidos atravs do exame de uma das n-dimenses do sistema. Os parmetros musicais sero atrelados de maneira que a seqncia de valores produzida pelo sistema dinmico corresponder a uma nota na melodia; a ordem das notas no tempo seguir as iteraes do sistema, e dependendo do tamanho do valor obtido, ser atribudo um grau de importncia a um evento quanto maior, mais importante -. Uma maneira de realizar essa transcrio do orbital rvore de eventos analisar o valor real da rbita numa linha unidimensional, observando seus aclives e declives, atravs de um algoritmo capaz de mapear os pontos nessa linha. Os picos sero considerados eventos importantes, como mostra a figura 25:

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Figura 25 - Pontos de uma linha que definem os eventos

Fonte: LEACH & FITCH (1995)

Para criar um conjunto mais completo, uma rvore mais ramificada (figura 26), necessita-se de um algoritmo recursivo, que mapeie todos os picos para criar uma hierarquia de eventos. Como est se fazendo uma transio direta da rbita para a rvore, qualquer seo que repete com pequenas variaes na rbita, ser vista como repetio de partes na rvore de eventos.

Figura 26 - Linha completa transposta rvore de eventos

Fonte: LEACH & FITCH (1995)

Sendo que qualquer rbita dinmica pode ser transposta para uma estrutura musical, o autor se pergunta qual tipo de rbita correta deve ser criada.

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Sendo que o comportamento a longo prazo do sistema depende de seus parmetros, se eles forem fixados este comportamento se tornar imutvel e previsvel aps certo nmero e iteraes. Como vimos antes, a msica deve ser tambm um processo natural ou que imite a natureza e esta, por sua vez, ainda que apresente padres, no sero imutveis, nem previsveis. Na natureza um sistema dinmico no existe sozinho, ele est interligado com outras variveis, outros sistemas, de forma que o resultado de um provoca alteraes em variveis de outro, e os resultados dependero de uma relao mtua entre os diversos processos naturais. Como comparativo, utilizado o sistema de mapeamento logstico, que se refere ao crescimento populacional. A taxa de crescimento de uma determinada populao de coelhos, por exemplo, forma um sistema dinmico que varia dentro de suas prprias condies, dentro de um perodo de tempo, mas essa taxa tambm ser afetada de acordo com o meio, onde entram outros fatores sistmicos, como o clima, a vegetao, a taxa de crescimento da populao de predadores do coelho, etc.

Sob esse ponto de vista, portanto, um sistema que apresenta somente um tipo de comportamento, no pode ser considerado natural.

A coisa mais natural a se fazer, para gerar mudanas de um parmetro do sistema durante a iterao, utilizar estes parmetros como resultados de outros sistemas dinmicos no-lineares, mais ainda, pode ser criada uma longa cadeia de interaes desses mesmos (LEACH & FITCH, 1995).

Para aplicar o mtodo na gerao de uma melodia, introduzida a idia de rvore de escalas, onde a escala raiz ser a escala cromtica de 12 tons, por possuir todas as notas de uma oitava. Ramos dessa escala levam sub-escalas.

Podemos ver as escalas quanto s notas que esto ou no presentes, utilizando 0 e 1, sendo para o valor 0 a ausncia da nota e para o valor 1 a presena da mesma. Por necessidade, as sub-escalas devem ter menor quantidade de 1s que as escalas superiores. Ento, a escala maior de D, por exemplo, uma sub-escala da cromtica, o acorde de D Maior tambm uma sub-escala da escala maior de D e, por fim, a nota tnica D, pode ser uma sub-escala contida no acorde D Maior.

A aplicao se d de forma que, na rvore, a nota mais importante ser definida dentro de uma sub-escala mais restrita, como por exemplo uma nota tnica, enquanto as menos importantes tero uma possibilidade maior. As notas de fato sero definidas em

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funo da nota de maior importncia. Quando elas atingem o ponto culminante dessa nota, a direo muda. Assume-se que as notas se movimentam numa taxa intervalar constante e tambm que a nota de maior importncia deve ser uma sub-escala das notas que vem antes e depois dela. Assim, o nmero de notas em que a melodia se altera dentro de uma escala, ter um padro constante at atingir a nota de maior importncia da seo, ento essa taxa modificada e ser constante at a prxima nota de importncia.

4.4.4.2 Floco de Neve de Dodge

O objetivo de Charles Dodge (1988) , segundo ele mesmo, criar msicas agradveis com um programa de computador atravs da aplicao recursiva de algumas regras. Sua idia era a de preencher o tempo, de maneira anloga ao floco de neve de Koch (em que o espao preenchido) e utilizar o rudo1/f para determinar parmetros como ritmo, altura e dinmica. Para tal propsito Dodge desenvolveu um algoritmo que cria uma linha destinada voz mais lenta de uma estrutura a trs vozes. Isso feito criando uma sucesso aleatria de valores que so mapeadas dentro de um espectro cromtico de notas.

O nmero de notas determinado estocasticamente, o compositor especifica um nmero de notas pitch-class (que o autor define como notas independentes de oitava. O pitch-class de D, por exemplo, abrange todas as notas D, no apenas uma, como D3 ou D4.) para que a recorrncia dessas notas seja incentivada e para controlar o nmero de elementos produzidos atravs de um limite de diversidade ao redor de cada pitch-class. Dessa forma a primeira linha inclui pelo menos a quantidade de pitch-classes pr-determinada, mas normalmente mais, devido natureza do rudo 1/f.

A implementao da noo da diversidade de pitch-class como um controle sobre um nmero de elementos num conjunto estocasticamente escolhido central em Profile. A implementao foi feira de duas maneiras diferentes, dependendo do contexto. O primeiro mtodo foi parar de gerar novas notas com a nota que completa a diversidade desejada. O segundo mtodo foi parar de gerar novas notas pouco antes daquela que iria acrescentar a diversidade alm da especificada. No primeiro caso, a ltima nota gerada sempre uma nova pitch-class. Isso ir assim dar uma sensao de alcanar a meta de concluso das notas de uma parte. No segundo caso, a nota final de uma camada pode ou no ser uma nova pitch-class, e desse modo esse mtodo tem menos probabilidade de produzir a sensao de alcanar a meta com a concluso de uma parte (DODGE, 1988).

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O primeiro mtodo selecionado. Aps a primeira linha ter sido criada, o programa faz uma nova passagem para criar a segunda, uma srie de notas gerada para cada nota da primeira linha, at que tenha atingido a diversidade de pitch-classes estipulada. A terceira feita da mesma forma, porm o segundo mtodo de controle de diversidade utilizado. Para determinar o ritmo das notas, o programa retorna e faz novamente uma passagem, como se fosse criar uma quarta linha. Escolhe-se uma diversidade de pitch-classes. Ento ao invs do programa incluir essas notas na partitura, o programa multiplica a quantidade de notas dentro da seqncia criada para cada nota da terceira linha e multiplica esse nmero por uma constante de tempo arbitrria o autor utiliza 0,025 em sua composio e o resultado se torna o valor da durao de tempo de cada uma dessas notas da terceira linha. As notas da segunda linha tm seu tempo determinado pela soma dos valores de tempo das seqncias de notas da terceira linha para cada nota da segunda. Da mesma maneira feito com a primeira linha (DODGE, 1988).

4.4.4.3 Jogo binrios dos dados

Embora tenha sido observado muito do rudo 1/f na natureza, no passar das ultimas dcadas desde sua descoberta, ele mostrou-se bastante difcil de simular por computadores e mtodos aleatrios. Compositores de musica estocstica do passado no conheceram o rudo 1/f, mas se tivessem conhecido, teriam extrema dificuldade em reproduzi-lo. R. Voss foi solicitado se poderia fazer uma maneira simples de gerar rudo 1/f e chegou a uma concluso simplificada de um algoritmo de computador, que ser melhor explicado se exemplificado: considere uma sequncia de oito notas escolhidas dentro de uma escala com 16. Trs dados de cores vermelho, verde e azul so usados, possibilitando somas que vo de 3 a 18. Selecione 16 notas de qualquer tipo (brancas ou pretas) no teclado do piano e numere-as de 3 a 18.

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Escreva em notao binria1 os oito primeiros nmeros, de 0 a 7, cada dgito do nmero binrio ser associado a um dos trs dados coloridos (figura 25).

Figura 27 - Tabela de dados formando nmeros binrios

Fonte: GARDNER (1992)

O procedimento acontecer de forma que apenas o dado que corresponde mudana de dgito ser lanado, e sua soma com os outros resultar no nmero atribudo anteriormente a uma nota do piano. A primeira nota de nossa seqncia meldica ser obtida pela soma do resultado do lanamento dos trs dados. Como de 000 para 001 apenas o digito da coluna vermelha se altera, jogaremos apenas o dado vermelho, deixando de lado os dados referentes s colunas inalteradas. A nova soma dos trs dados nos dar a segunda nota da seqencia. De 001 para 010 alteram-se as colunas verdes e vermelhas, portanto os dados verde e vermelho sero lanados, somando-se ao nmero pr-existente do dado azul, resultando na terceira nota. Para a quarta nota apenas o dado vermelho ser lanado, para a quinta, os trs novamente, e assim por diante. Esse mtodo no resultar precisamente em 1/f, mas o nmero ser to prximo que seria impossvel distinguir uma melodia criada por ele de uma criada por um rudo 1/f natural. 1 A notao binria, no mundo ocidental, foi desenvolvida pelo matemtico alemo Gottfried Leibnitz,

em 1695, porm, a descoberta j constava em um texto referente a msica, entitulada Chhandahshastra,pelo matemtico indiano Pingala do sculo II d.C.. O sistema forma a base de funcionamento dos computadores modernos e de todos os sistemas denominados digitais. Seu funcionamento se refere a um modo de escrita de posio dos nmeros. Na notao moderna so usados 0 e 1. Com uma combinao de 3 posies podemos obter 8 nmeros, progressivamente: 000; 100; 010; 110; 001; 101; 011 e 111. (http://home.ica.net/~roymanju/Binary.htm)

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O balano alcanado devido a posio dos dgitos. O que se altera com mais freqncia est situado mais a direita, tornando a mudana menos significante, quanto mais a esquerda das trs colunas, menos recorrente a mudana, tornando-a mais estvel e possuindo uma significncia maior quanto a amplitude do nmero, quando sorteado no dado (GARDNER, 1992).

4.4.4.4 Composio com Mapa de Hnon

O Mapa de Hnon usado nesse mtodo como auxlio para composio de uma pea. Esse fractal consiste num sistema catico bidimensional, pode ser expresso pelas equaes Xn+1 = y n+1 Ax n2 e Yn+1 = Bx n em que A e B so constantes positivas. Por ser bidimensional, os parmetros musicais atribudos sero do altura de notas (em pitch-class) e valores de tempo, que possuem uma tabela de equivalncia do resultado numrico com a figura de tempo estipulada. Para a aplicao do Mapa de Hnon, foi desenvolvido um programa, dentro do qual so definidos os valores de A, B, o nmero de iteraes a serem feitas e o tipo de padro a ser buscado de trs, quatro, cinco ou seis notas -, no resultado da produo do Mapa. A partir disso, o programa gera um grfico do Mapa, uma seqencia MIDI com as notas criadas e enumeradas e uma tabela com os padres de notas, expressos com seus nmeros. Ento, o arquivo MIDI aberto no editor de partituras Finale para que, com o auxlio da tabela de padres, estes sejam identificados. A ordem hierrquica de importncia de cada padro dada de acordo com a sua recorrncia, quanto mais vezes aparecer, mais importante ele ser para a construo da pea. Apenas os padres que aparecerem no mnimo 4 vezes sero utilizados. As pitch-class de um padro podem ser transpostas para caber em uma mesma oitava, gerando motivos ou pequenos temas. A coerncia da conexo entre os motivos alcanada pela alterao de apenas um semitom em quase todos os elementos, invertendo s vezes a ordem das notas dentro do motivo. A aplicao literal tambm usada. Os padres so utilizados tambm de forma a demarcar as sees da obra, onde sero definidas suas recorrncias.

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O ritmo tambm revelado em padres e pode ser usado na sua forma literal, como tambm pode ser alterado. Assim, a musica construda a partir de uma mescla dos padres meldicos e rtmicos criados pelo programa, uma hierarquia formal, definida pela recorrncia dos padres, e pelas modificaes, adaptaes e instrumentao juntamente com a construo da obra total, feita pelo compositor (OLIVEIRA & BARBOSA, s/d)

4.4.4.5 Variaes atravs do mapeamento catico

Essa tcnica apresenta uma idia para variar seqncias musicais. Ela pode ser usada por um compositor de maneira semelhante a qualquer outra tcnica de variao, como inverso ou retrogradao de um motivo ou tema, dessa maneira, o compositor tem a liberdade de escolher as variaes que lhe agradam e tambm de modific-las. A propriedade de sensibilidade e interdependncia das trajetrias caticas oferece um mecanismo natural para produzir variaes, portanto, os resultados sero diferentes e dinmicos, ou seja, passa a existir a possibilidade de mudana a cada nova audio de uma msica, em que utilizada a tcnica de variao. Dessa maneira a msica ganha um carter dinmico e mutvel, mas ainda assim reconhecvel: as variaes produziro mudanas, grandes ou pequenas, mas ainda assim mantero aspectos da parte original, tornando a pea sempre reconhecvel. O mtodo consiste em criar primeiramente uma trajetria catica utilizando uma aplicao (Runge-Kutta de quarta ordem) da equao de Lorenz. Essa trajetria servir como referncia. O tamanho dos passos h escolhido para definir a trajetria. A cada passo ser associada uma nota da seqencia original. A seguir, criada uma nova trajetria com uma condio inicial diferente e o mesmo tamanho de h. Esta segunda trajetria , ento, comparada trajetria de referncia, assim, para cada ponto da nova trajetria, as notas so re-associadas. Aquelas que possuem o mesmo valor se mantero na mesma altura, as que ficarem acima do valor sero associadas com o valor mais prximo da associao anterior, na condio de que seja maior do que aquele da nota que se alterou.

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Se nova condio inicial tiver uma mudana pequena em relao primeira, menos notas mudaro, se a mudana for mais drstica, as rbitas estaro mais distantes, gerando uma variao bastante distinta. A figura X mostra em a uma trajetria de referncia com 12 passos, mais 2 valores que se mostraro importantes. Em b as 12 primeiras notas da seqncia so vistas. Em c os valores da trajetria so combinados com as notas. Uma nova trajetria criada em d. Em e as notas so re-associadas, a observar que a nota numero 9, que possua em c, o valor 15,26, mudou para 15,27 em e, tendo sua nota re-combinada com o maior valor mais prximo, que se refere em c, no passo 93, a 15,73. Em f a nova seqencia de 12 notas exibida (DABBY, 1996).

Figura 28 - Mapeamento catico

Fonte: DABBY (1996)

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4.4.5 Repertrio existente

A idia de antemo para o trabalho era a de investigar formas de aplicar a teoria dos fractais e do caos msica, nas grandes estruturas, frases, melodias ou ritmos, de maneira conceitual, ou seja, abstrair dessas teorias uma idia passvel de representao musical, pouco mais indiretamente. medida que as teorias vieram a ser conhecidas, ficou evidente que uma abstrao tal qual a que era proposta, seria impossvel. Uma linguagem extremamente matemtica e, portanto, especfica necessria para demonstrar as idias e suas caractersticas muito exclusivas, como dimenso fractal e auto-semelhana. Assim tambm como a necessidade do uso recorrente de computadores para iterar funes fractais. Essas necessidades tornam extremamente rdua a tarefa de abstrair um conceito para a aplicao musical. Dessa forma foi observado no repertrio existente, que a aplicao do conhecimento fractal feito de forma direta e utilizando o computador, seja para criar uma partitura para ser interpretada, criando uma ponte entre computador e humano, ou at, mais freqentemente, uma criao sonora imediata, sintetizada pelo prprio computador. A grande maioria das peas ditas fractais, compostas mo livre", sem utilizar o recurso do computador, que foram ouvidas e analisadas, raramente, de fato, so. Um equvoco comum na tentativa de abstrair a idia dos fractais o conceito de auto-semelhana, que por si s, no o suficiente para caracterizar um objeto como fractal. Msicas compostas dessa forma no apresentam sonoridade semelhante quelas compostas atravs de algoritmos em computadores. Porm, como foi exposto na seo 4.4.3, sobre anlise, musicas dos mais diversos estilos apresentaram dimenso ou outras caractersticas fractais, dessa forma, ainda mais rdua a tarefa de determinar um gnero que possa ser chamado de msica fractal ou ainda, determinar quais musicas so e quais no so fractais. O repertrio de musica fractal bastante recente e vem se expandindo medida que novas plataformas de composio computadorizada so criadas. Duas delas, MAX/MSP e PureData, foram vistas ferramentas muito utilizadas na criao de algoritmos geradores de fractais musicais. Desde os anos 70, porm, j h uma produo significante nessa rea, sem a utilizao de plataformas facilitadoras. A

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criao de cdigos diretamente em linguagem de programao foi usada primordialmente e ainda desenvolvida por muitos. Nessa gnese musical tambm importante ressaltar o carter experimental do estilo, porquanto no um gnero de caractersticas bem fundamentadas, nem uma corrente artstica bem definida.

4.4.6 A utilizao do computador

A teoria dos fractais e do caos j eram estudadas mesmo sem seus nomes atuais antes do advento do computador. Gaston Julia e Pierre Fatou j haviam descoberto no incio do sculo XX, nmeros do plano complexo que faziam parte de um novo conjunto numrico, por possuir comportamento caracterstico, que dcadas depois, Benot Mandelbrot compilou e modificou, aprofundando o tema, nomeando tais objetos de fractais. Henri Poincar, no final do sculo XIX, tambm j havia desenvolvido muito do que seria a base dos sistemas caticos, do que Edward Lorenz chamaria nos anos 60 de Efeito Borboleta. Iterao e probabilidade j eram postas em prtica para provar novas teorias matemticas e fsicas que surgiam na passagem dos sculos XIX e XX. Dessa forma fica mais evidente que o surgimento dos computadores tenha acontecido como uma necessidade prtica, de ferramenta cientfica. O uso dos computadores foi ponto chave no desenvolvimento dos fractais de Mandelbrot e dos sistemas meteorolgicos caticos de Lorenz. Assim como as simulaes meteorolgicas, os fractais, para serem gerados necessitam de muitos passos de iteraes, sendo praticamente impossvel de ger-los de forma manual (SECCO & ROCHA, 2004). Alguns programas j foram desenvolvidos para uso pblico de gerao de musica fractal, entre eles esto o Mandelbrot Music de Yo Kubota, FMusic de David Singer, Art Song 2.3 de David T. Strohbeen e o MusiNum de Lars Kindermann.

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5 GUIA DE AUDIO

5.1 Referncias ouvidas para o trabalho

- DABBY, D.

Musical Variations From a Chaotic Mapping.

o Disponvel em:

- MARQUES, J.O.A.

The Strange Beauty of Fractal Music (1998) (CD) o Disponvel em:

- RICHTER, F.

Monumenta Frac Tallis-thomas para rgo e Fita Magntica. o Disponvel em:

- STILTNER, B.

mandelbrot.3.25.ji mandelbrot.4.25.ji mandelbrot.5.25.ji

o Disponvel em:

- THOMPSON, P.

Organised Chaos (CD) o Disponvel em:

5.2 Comentrios

A tcnica de variaes de Diana Dabby foi ouvida sendo aplicada sobre o preldio n.1 do Cravo Bem Temperado de J.S. Bach, em dois estgios. No primeiro, a tcnica foi utilizada com uma mudana breve nas Condies Iniciais dos dados, o que resultou numa variao muito prxima do original. No segundo, a diferena da Condino Inicial foi aumentada, resultando numa variao bastante acentuada, mas ainda assim, mantendo a caracterstica harmnica da pea.

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Como essa tcnica no afeta o ritmo original, acaba por haver mais um ponto de ligao entre as variaes e a parte.

Frederico Richter, compositor brasileiro, possui uma obra intitulada Monumenta Frac Tallis-thomas para rgo e Fita Magntica que rene um coral de Thomas Tallis com uma estrutura fractal gerada pela linguagem de programao BASIC, o compositor no especifica quais parmetros foram utilizados para a aplicao fractal. Percebe-se que cabe fita magntica a parte fractal da obra, que apresenta uma sonoridade bastante catica e estocstica.

Billy Stiltner um compositor americano que utiliza a interface PureData na gerao de suas musicas. Em sua msica h uma mistura de sons gerados a partir de clculos fractais e outros algoritmos mais controloados. Em seu lbum Uncertain Unas Lost Location podemos ouvir trs msicas: mandelbrot.3.25.ji, mandelbrot.4.25.ji e mandelbrot.5.25.ji, que apresentam sonoridade bastante catica, lembrando a produzida pelo cdigo BASIC de Frederico Richter. Essas trs musicas so homofncas, sem acompanhamento nem contraponto. Os parmetros para utilizao de fractais tambm no puderam ser encontrados.

Jos Oscar de Almeida Marques professor de filosofia da UNICAMP e tambm compositor de msica fractal. Na sua pgina (listada na referncia dessa seo) encontramos uma variedade de musicas. Muitas delas foram compostas com a ajuda de alguns dos softwares, listados em 4.4.6 A utilizao do computador, para o desenvolvimento da musica fractal.

Phil Thompson um compositor britnico de musica fractal. Sua musica bastante elaborada, tem uma sonoridade caracterstica de musica ambiente (soundscape), e minimalista, trabalhando com vrias camadas de repeties. O compositor possui seus prprios programas desenvolvidos para gerao de suas musicas.

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6 CONSIDERAES FINAIS

Uma reunio bibliogrfica a respeito dos assuntos pertinentes ao texto foi feita. Pudemos observar que mesmo com a escassez de pesquisa na rea, esta apresenta uma gama muito grande de possibilidades novas e diferentes, como foi verificado com alguns mtodos de composio musical, dentre tantos que possam ou ainda viro a existir. De acordo com o conceito natural imanente dos fractais, tambm foi possvel observar suas caractersticas em msicas j existentes, dos mais diversos gneros. Todos os mtodos expostos no texto so capazes de gerar msica, cada um, entretanto, resultar de forma diversa, visto que foi criado a partir de mecanismos distintos por pessoas com idias e pensamentos diferentes.

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7 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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