VPLYV ZMENY TEPLOTY A PREŤAŽENIA NA MECHANICKÉ NAPÄTIE VO VODIČI – STAVOVÁ

ROVNICA NAPNUTÉHO VODIČA

Pri zmenách teplôt a preťaženia vodiča (od vetra alebo námrazy) mení sa mechanické napätie (σH) vo vodiči a taktiež jeho priehyb f . Mechanický výpočet sa robí pre najnepriaznivejší prípad, to znamená pre také klimatické podmienky, pri ktorých vzniká fmax, t. j. je najmenšia vzdialenosť vodiča od zeme, resp. od križovaných objektov – daná je predpismi a za žiadnych okolností sa nesmie prekročiť.

Vodič sa pri montáži musí napnúť na také σH a taký priehyb, aby aj pri predpokladaných možných najnepriaznivejších poveternostných podmienkach nenastalo väčšie σH a priehyb, než ako to povoľujú predpisy.

Stavová rovnica VSV vyjadruje závislosť mechanického napätia od teploty, zaťaženia (námraza, vietor) a rozpätia.

Na základe stavovej rovnice sa zostrojuje montážna tabuľka, v ktorej sú uvedené σH a k tomu príslušné hodnoty f v závislosti od teploty, v intervale od -30 °C do +40 °C a pre -5 °C a preťaženie.

Montážna tabuľka

Montážna tabuľka sa zostrojuje preto, lebo dopredu nevieme určiť pri akej teplote sa bude montáž robiť.

a = 290,59 m a = 235,64 m a = 248,3 m a = 225,47 m t [oC]

σ [MPa] fm [m] σ [MPa] fm [m] σ [MPa] fm [m] σ [MPa] fm [m] -30 42,401 8,628 47,83 5,027 46,156 5,785 49,45 4,451 -25 41,659 8,783 46,41 5,181 44,956 5,94 47,812 4,604 -20 40,95 8,935 45,089 5,333 43,83 6,092 46,295 4,755 -15 40,273 9,085 43,855 5,483 42,774 6,243 44,888 4,904 -10 39,626 9,234 42,703 5,631 41,78 6,392 43,58 5,052 -5 39,006 9,381 41,624 5,777 40,844 6,538 42,326 5,197 0 38,413 9,527 40,612 5,922 39,961 6,683 41,225 5,34 5 37,843 9,671 39,662 6,064 39,127 6,826 40,163 5,482 10 37,296 9,813 38,767 6,204 38,337 6,967 39,168 5,621 15 36,771 9,953 37,923 6,342 37,588 7,106 38,234 5,759 20 36,265 10,093 37,127 6,479 36,878 7,243 37,357 5,894 25 35,779 10,23 36,373 6,613 36,202 7,378 36,531 6,028 30 35,31 10,367 35,659 6,746 35,56 7,512 35,751 6,16 35 34,858 10,501 34,982 6,877 34,947 7,644 35,015 6,29 40 34,422 10,635 34,339 7,006 34,363 7,775 34,318 6,418

Odvodenie stavovej rovnice

index 0 – počiatočný stav, index 1 – montážny (hľadaný) stav

Predpokladajme, že sa zvýši teplota z 0 na 1 (1 > 0 ). Zvýšením teplotysa vodič predĺži o hodnotu .0100 lll

Predĺžením vodiča sa zväčší jeho priehyb a tým sa zmenší mechanické napätie v ňom, čím sa vodič pružne skráti .H1H0

0H

0σ

E

l

E

ll

Celková zmena dĺžky vodiča potom bude

.H0H10

010

H1H00

010σ

E

ll

E

lllll

Dĺžka vodiča pri teplote 0 (počiatočný stav) a pri teplote 1

21

3

120

3

0 24resp.,

24 c

aal

c

aal

Rozdielom týchto dĺžok je dané predĺženie vodiča

20

3

21

3

20

3

21

3

01 24242424 c

a

c

a

c

aa

c

aalll

Zmeny dĺžok vodiča podľa predchádzajúcich vzťahov sa musia rovnať

H0H10

0102H0

20

3

2H1

21

3

2424

E

ll

zaza

Keďže pri parabolickom výpočte môžeme uvažovať

al 0

H0H1012H0

20

2

2H1

21

2 1

2424

E

zaza

H0H10

010 E

lll

Rovnicu vynásobíme výrazom a dostávame2H1σE

H0H12H101

2H1

2H12

H0

20

221

2

2424

EEzaEza

Po úprave

21

2

H001

2

H0

02

2H1

3H1 2424

zaE

EzaE

Keďže α, γ, E sú pre určitý vodič (materiál) konštanty, pre praktické použitie rovnicu stavu možno upraviť na tvar

21H001

2

H0

02H1

3H1 zaAB

zaA

.,24

2

EBE

A

H0H1012H0

20

2

2H1

21

2 1

2424

E

zaza

Kritické rozpätie

– najmenšie rozpätie, ktoré by sa malo používať

Zmena teploty zmena mechanického napätia vo vodiči.

S poklesom teploty sa skracuje dĺžka vodiča a rastie mechanické napätie v ňom. Vo vodiči môže byť pri nižších teplotách väčšie mechanické napätie ako pri -5 °C a preťažení. Z toho dôvodu sa určuje tzv. kritické rozpätie, pri ktorom je mechanické napätie rovnaké ako pri -5°C a preťažení. Parametrom je teplota a obvykle sa kritické rozpätie určí pre -30 °C. Pri tejto teplote je hodnota kritického rozpätia maximálna.

Z praktického hľadiska – pri rozmiestňovaní stožiarov – nesmú byť skutočné rozpätia menšie!!!, ako je kritické rozpätie, pretože pri danej teplote by sa zvýšilo mechanické napätie nad dovolenú hodnotu.

a = 290,59 m a = 235,64 m a = 248,3 m a = 225,47 m t [oC]

σ [MPa] fm [m] σ [MPa] fm [m] σ [MPa] fm [m] σ [MPa] fm [m] -30 42,401 8,628 47,83 5,027 46,156 5,785 49,45 4,451 -25 41,659 8,783 46,41 5,181 44,956 5,94 47,812 4,604 -20 40,95 8,935 45,089 5,333 43,83 6,092 46,295 4,755 -15 40,273 9,085 43,855 5,483 42,774 6,243 44,888 4,904 -10 39,626 9,234 42,703 5,631 41,78 6,392 43,58 5,052 -5 39,006 9,381 41,624 5,777 40,844 6,538 42,326 5,197 0 38,413 9,527 40,612 5,922 39,961 6,683 41,225 5,34 5 37,843 9,671 39,662 6,064 39,127 6,826 40,163 5,482 10 37,296 9,813 38,767 6,204 38,337 6,967 39,168 5,621 15 36,771 9,953 37,923 6,342 37,588 7,106 38,234 5,759 20 36,265 10,093 37,127 6,479 36,878 7,243 37,357 5,894 25 35,779 10,23 36,373 6,613 36,202 7,378 36,531 6,028 30 35,31 10,367 35,659 6,746 35,56 7,512 35,751 6,16 35 34,858 10,501 34,982 6,877 34,947 7,644 35,015 6,29 40 34,422 10,635 34,339 7,006 34,363 7,775 34,318 6,418

Kritické rozpätie – zo stavovej rovnice za predpokladu:

krit10

0H0H1 1, ,C5, aaz

22

H01

2

H0

02

2H0

3H0 24

524

aE

EzaE

22

3H01

2H0

20

23H0 24

524

aE

EzaE

5124 1

2H0

20

22

za

1

524

1

52420

1H020

21

2H0

krit

zzaa

C30Pre 1 1

610

1

5302420

H020

H0krit

zz

a

21H001

2

H0

02H1

3H1 zaAB

zaA

Závislosť mechanického napätia od rozpätia pre rôzne teploty

Závery: pri nižšej (mínusovej) teplote vychádza kritické rozpätie väčšie, pri a > akrit, je mechanické napätie pri danej zvolenej teplote

(mraze) menšie ako pri -5 °C a preťažení , pri a < akrit vznikne vo vodiči väčšie mechanické napätie pri danej

zvolenej teplote (mraze) ako pri -5 °C a preťažení. rozpätia na vedeniach musia byť väčšie, ako je hodnota akrit

H0H1 σσ

1

52420

1H0krit

za

1

610

C30pre

20

H0krit

01

za

Kritická teplota Pri návrhu elektrického vedenia sa vyžaduje, aby priehyb vodiča ani pri -5 °C a preťažení, ani pri +40 °C nezasiahol do ochranných pásiem nad križovanými objektmi a zemou. K určeniu, v ktorom prípade nastane nepriaznivejší stav (max. priehyb), treba vypočítať kritickú teplotu. Je to teplota, pri ktorej je priehyb vodiča rovnaký ako pri -5 °C a preťažení.

predĺženie vodiča vplyvom teploty sa rovná pružnému skráteniu vplyvom zmeny mechanického napätia:

σll

1,,C5, 1HkritH10krit1 zPredpoklady výpočtu

,HkritH00

0krit0 E

ll .5

1HkritH0krit

E

Hkritσ

Vo vzťahu je neznáma , ktorá sa určí z rovnosti priehybov

pri -5 °C a preťažení a pri teplote .Hkritσ

krit

.kde,88 0

H0Hkrit

Hkrit

2

H0

02

m z

azaf

Dosadením do vzťahu dostávame pre krit

51

51

0

0H0

0

H0H0krit

z

z

EzE

kritická teplota nezávisí od dĺžky rozpätia

Zvyčajne sa porovnáva s teplotou +40 °C, pretože STN uvažujú s touto maximálnou teplotou.

Môžu nastať tieto prípady:

> 40 °C, max. priehyb je pri -5 °C a preťažení,

= 40 °C, max. priehyb je pri -5 °C a preťažení a je rovný priehybu pri +40 °C,

< 40 °C, max. priehyb je pri +40 °C.

Tento poznatok je dôležitý pri projektovaní, resp. stavbe vonkajšieho vedenia preto, aby sa vedelo, pri ktorej poveternostnej podmienke bude max. priehyb, t. j. vodič bude najbližšie k zemi alebo nad iným križovaným objektom.

krit

krit

krit

),mMN,CMPa,

m;(23,9911,3

1099,186

03427,0

48,9310

1

610

3-1-0

2

6

20

H0krit

za

)MPa,,C,MPa,

C;(14,4051,3

11,3

738611099,18

48,935

1

1-0

06

0

0H0krit

z

z

E

MPa,-)MPa;(15,301,3

48,93

0

H0Hkrit

z

Pre lano AlFe 240/39 vypočítajte kritické rozpätie pri -30 °C, kritickú teplotu a mechanické napätie pri kritickej teplote.

a) Kritické rozpätie

b) Kritická teplota

c) Mechanické napätie pri kritickej teplote

Riešenie stavovej rovnice - rovnica tretieho stupňa

Výpočet iteračným postupom

Riešenie jednoduché, dá sa použiť pre určenie jednej hodnoty mechanického napätia (napr. pri -30 °C). Pri určovaní viacerých hodnôt mechanického napätia (napr. pre zostavenie montážnej tabuľky) je toto riešenie veľmi zdĺhavé, nevhodné.

Stavovú rovnicu možno prepísať

kde,alebo, H12H1

2H1

3H1 NMNM

.a 21H001

2

H0

0 zaANBza

AM

Rovnica sa rieši tak, že po vypočítaní koeficientov M, N sa odhadne hodnota a ľavá strana rovnice sa má rovnať pravej. Pri nerovnosti sa odhadne nová hodnota a výpočet sa opakuje dovtedy, kým sa nedosiahne vyžadovaná presnosť.

H1σ

H1σ

21

2

H001

2

H0

02

2H1

3H1 2424

zaE

EzaE

Príklad: kde,alebo, H12H1

2H1

3H1 NMNM

21H001

2

H0

0 a zaANBza

AM

MPa,93 σH0

(MPa)36,217935307386110991,18

93

1,3295

24

7386103427,0

24

6

22

H001

2

H0

02

E

zaEM

)(MPa314540129524

7386103427,0

2432

22

1

2

zaE

N

.31454036,217Potom H12H1

MPa.28,35odhadomZvolíme H1

Určite mechanické napätie vo vodiči AlFe 240/39 s rozpätím a = 295 m pri teplote -30 °C, ak pri -5 °C apreťažení (námraza v námrazovej oblasti N2) je

.m MN03427.0mN 1003427.0 -3-36

Riešenie s využitím výpočtovej techniky

a) Cardanove riešenie rovnice tretieho stupňa

Všeobecný tvar rovnice:

Použijeme substitúciu

.023 cxbxax

3

ayx

a po vyjadrení dostávame kde,03 qypy

.327

2,

3

1 32 cba

aqbap

Pre náš prípad stavovej rovnice platí b = 0.

Pre koreň rovnice y1 platí:

.,2

,2

,33 1

33

23

BAyRq

BRq

Aqp

R

21

2

H001

2

H0

02

2H1

3H1 2424

zaE

EzaE

b) Newtonova metóda pre riešenie nelineárnej rovnice

kde xk+1 je koreň rovnice v k+1 iterácii,xk - koreň rovnice v k-tej iterácii,f(xk) - funkcia v bode xk,f´(xk) - derivácia funkcie v bode xk,xk+1 je riešením (koreňom) rovnice, ak pre zvolenú presnosť

platí

Oba tieto výpočtové postupy sa riešia s využitím výpočtovej techniky.

,

f

f

k

kk1k x

xxx

Mx

NMx

H12H1

2H1

3H1

23f

f

.k1k xx

Zápis pre Newtonovu metódu

Príklad: Zostrojte montážnu krivku a zostavte montážnu tabuľku aj s maximálnym priehybom pre lano AlFe 240/39 v intervale teplôt od 30 °C do +40 °C pre rozpätie a = 300 m. Východzím stavom, stavom „0“, je teplota 5 °C a námraza. Zodpovedajúce mechanické napätie je 93,48 MPa a z0 = 3,1.

,2424

21

2

H001

2

H0

02

2H1

3H1 za

EE

zaE

H11 a

C), C MPa, MPa, MPa, MPa,, ,m MN MPa,, ,m MN,Cm, C;(

24

o1-o3-3-1-oo

0H0H1

2

H0

0

2

H1

12

1

E

zza

Vychádzame zo stavovej rovnice

kde hľadanou veličinou je budeme odhadovať.

a vyjadríme nasledovne

Rovnicu upravíme do tvaru

H02

H0

20

2

H12H1

21

2

01

1

24

1

24

E

za

E

za

.47,1934026,1

10237,0

54026,1

48,9310292,1

0012,010197,47

51099,1873861

48,93

48,93

1,303427,0103427,0

1099,1824

300

H12H1

6

H162H1

6

6H1

22

H16

2

1

Hodnoty pre zostrojenie montážnej krivky

1

H1 (MPa) 30 31 32 33 34 35 36 37

(°C) 42,9 25,8 10,27 3,96 17 29 40 50,4

Hσ

(°C) 30 20 10 5 5* 0 10 20 30 40

(MPa) 35,09 34,24 33,45 33,08 93,48 32,71 32,02 31,36 30,75 30,16

fm (m) 10,99 11,26 11,52 11,66 12,79 11,79 12,04 12,29 12,54 12,78

Montážna tabuľka určená z montážnej krivky fH H

2

m 8

za

f

)f( H

0H0H1

2

H0

0

2

H1

12

1 24

E

zza