Monte Carlo.pdf

7/26/2019 Monte Carlo.pdf

1/31

Metode Monte Carlo

dan Simulasi


2/31

MONTE CARLO DAN

SIMULASI

Bilangan Acak

Estimasi Luas danVolume dengan Metode

Monte CarloSimulasi


3/31

Pendahuluan

Arus lalu lintas


4/31

13 1 Bilangan Acak

Metode Monte Carlo merupakan

metode yang menggunakan komputer

untuk membuat tiruan sebuahfenomena nyata yang memiliki

perubahan pada setiap saat. Sehingga

pembahasan pertama adalah Bilangan

Acak.


5/31

Ciri-ciri barisan bilangan acak:

Bilangan menyebar pada seluruh

interval dan tidak ada pola.

misal : 0.2 0.4 0.6

Tidak meningkat secara monoton

Setiap elemen tidak diperoleh dari

elemen sebelumnya

misal : 0.2 0.4 0.8


6/31

>> rand(10,1)ans =

0.28590.5437

0.98480.7157

0.8390

0.4333

0.4706

0.5607

0.2691

0.7490

Membangkitkan 10 bilangan acak

pada interval (0,1)


7/31

Program:function x = acak2(a,b,n)

x=(b-a)*rand(n,1)+a;

Contoh:>> acak2(2,5,5)

ans =

3.0874

4.3643

4.3409

4.0055

2.4005

Membangkitkan n bilangan acak

pada interval (a,b)


8/31

Program:function x = acak3(a,b,n)

r=(b-a)*rand(n,1)+a;

x=round(r); Contoh:>> acak3(2,10,5)

ans =

6

7

4

3

6

Membangkitkan n bilangan bulat

secara acak pada interval [a,b]


9/31

13 2 Estimasi Luas dan Volume

dengan Metode Monte Carlo

Integral Numerik

Contoh 1Contoh 2

Contoh 3


10/31

Integral Numerik

Aproksimasi integral tentu dengan

Metode Monte Carlo

Pertama memilih n elemen

dari barisan acak pada interval (0,1)

n

i

ixfn

dxxf1

1

0

)(1)(

nxxx ,...,, 21


11/31

Erroratau galat dari aproksimasi :

Pada dimensi yang lebih besar metode ini

sangat atraktif

Contoh pada dimensi yang lebih besar :

n

1

1

0

1

0 1

1

0

),,(1

),,(n

i

iii zyxf

n

dxdydzzyxf


12/31

Pada interval (a,b)

b

a

n

i

i

b

a

n

i

i

xfn

abdxxf

xfn

dxxfab

1

1

)()(

)(1

)(1


13/31

Contoh:

n

i

iii

n

i

iii

zyxfn

dxdydzzyxf

zyxfn

dxdydzzyxf

1

3

1

1

1

2

0

1

3

1

1

1

2

0

),,(8),,(

),,(1

),,(8

1


14/31

Secara Umum :

(ukuran A)x(rata-rata f dari n elemen pada A)

Sehingga rata-rata sebuah fungsi pada sebuah

himpunan sama dengan integral fungsi padahimpunan dibagi dengan ukuran himpunan.

fA


15/31

Contoh 1

Tentukan nilai integral di bawah ini denganmenggunakan Metode Monte Carlo

Dimana:

dxdyyxfdxdyyx

),()1ln(sin

4

1)

2

1()

2

1(:),(

22yxyx


16/31

Jawaban:

(luas )x(rata-rata f dari n titik acak) dxdyyxf ),(

n

i

ii

n

i

ii

yxfn

yxf

n

r

1

1

2

),()4

(

),(1

)(


17/31

Program:

function doubleintegral(n)

x = rand(n,1);

y = rand(n,1);

total=sum(sin(sqrt(log(x+y+1)))

);vol=((pi/4)*total)/n

Contoh:

>> doubleintegral(10000)vol =

0.5618 (mendekati 0.57)


18/31

Contoh 2

Tentukan nilai integral di bawah inidengan menggunakan Metode Monte

Carlo

1

1

1

1

1

1

222 )( dxdydzzyx


19/31

Jawaban:

1

1

1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1 1

),,(8),,(

),,(1

),,(222

1

n

i

iii

n

i

iii

zyxfn

dxdydzzyxf

zyxfn

dxdydzzyxf


20/31

Program:function integral(n)

z=acak2(-1,1,n);

y=acak2(-1,1,n);

x=acak2(-1,1,n);

total=sum((x.^2) + (y.^2) +(z.^2));

vol=((8)*total)/n

Contoh:

>> integral(10000)vol =

7.9807 (mendekati 8)


21/31

Contoh 3

Gunakan metode Monte Carlo untuk mencarisecara numerik bahwa

dengan menggunakan 2500 bilangan acak

dxx 2/1

2

0

2 )4(


22/31

Jawaban:

n

i

i

n

i

i

xn

dxx

xn

dxx

1

2/122/12

0

2

1

2/122/1

2

0

2

)4(2

)4(

)4(1

)4(02

1


23/31

Program:

function integral2(n)

x=acak2(0,2,n);

total=sum((4-x.^2).^(1/2));

hasil_integral=(2*total)/n

Hasil program:

>> integral2(2500)

hasil_integral =

3.1403 (mendekati nilai )


24/31

13 3 Simulasi

Buffons needle problem

Two dice problem


25/31



26/31


u = jarak garis kertas terdekat dengan

titik tengah jarum

v = sudut antara jarum dengan garis

tegak lurus u

Secara teori:

peluang jarum memotong salah satu

garis adalah 0.63662


27/31


Perpotongan terjadi jika dan hanya jika

Sehingga u adalah bilangan acak padainterval (0,1/2) dan v adalah bilanganacak pada interval (0,/2)

Secara Numerik (simulasi) :Melakukan sejumlah percobaan dalamjumlah yang sangat besar.

)sin(2

1vu


28/31

Two dice problem

36 kemungkinan hasil pelemparan 2 dadu


29/31

Two dice problem

Berapa peluang muncul angka 12 pada2 dadu dengan 24 kali pelemparan?

Secara teori:

Untuk 1 kali pelemparan:

Peluang tidak muncul angka 12 :

Sehingga untuk 24 kali pelemparan:

Peluang tidak muncul angka 12 :

49140.036

351

24

36

35


30/31

Two dice problem

Peluang muncul angka 12:

Secara Numerik (simulasi) :

Melakukan percobaan (24 kali

pelemparan 2 dadu) dalam jumlah yang

sangat besar. Dengan menggunakan

bilangan acak bulat pada interval [1,6].

49140.036351

24


31/31

Documents

Monte Carlo.pdf