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Moti stratificati (3/5). Idraulica Ambientale 2 a.a. 2005/06. Stratificazione e diffusione turbolenta. Effetto della stratificazione (numero di Richardson). (definizione mediata). Coefficienti. Esercizi. mix verticale: mezzo stratificato (cuneo salino) scarico caldo. - PowerPoint PPT Presentation
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Moti stratificati (3/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
Stratificazione e diffusione turbolenta
bTz
Tstratz RiaDD 10,,
Effetto della stratificazione (numero di Richardson)
2
dz
du
dz
dgRi
Coefficienti
2
U
HgRib
(definizione mediata)
Esercizi
mix verticale:
mezzo stratificato (cuneo salino)
scarico caldo
Temperatura come tracciante passivo (mix trasversale):
scarico caldo
Moti stratificati (4/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
Onde interne
onde di superfici isopicne (denistà costante)
stratificazione continua: “onde interne”
stratificazione a gradino (strati): “onde di interfaccia”, “onde di superficie”
Rif. bibl.: dispense di Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (cap. 10)
Onde di interfaccia
ipotesi:• fluidi immiscibili• contorni superiori e inferiori rigidi• moto piano• moto inviscido (viscosità nulla, Re grande)
• moto irrotazionale in ogni strato• onde di piccola ampiezza
interfaccia
contorno rigido superiore
contorno rigido inferiore
Equazioni
Potenziale di velocità (moto irrotazionale) x
u
zw
Equazione di continuità
0
z
w
x
u0
2
2
2
2
yx
012
022
strato superiore
strato inferiore
gpdt
ud Equazione del moto(inviscido)
gz
p
dt
dw
x
p
dt
du
z
ww
x
wu
t
w
dt
dw
Condizioni al contorno
0 zFinterfaccia:
Condizione cinematica: 0dt
dF0
xxtzx
ut
w
in superficie (z=-h1) e al fondo (z=-h2) 01
1
h
h zw
0
2
2
h
h zw
Onda periodica nello spazio (x) e nel tempo
Condizione dinamica: 21 pp (le tensioni tangenziali sono nulle)
tkxf
Adimensionalizzazione e linearizzazione
* zaz * xx **0 , , wuUwu *
0
tU
at
0
x
ut
w
0*
**
*
**
x
ua
tw
ampiezza dell’onda lunghezza d’onda
1a
onde di piccola ampiezza 0
t
w
Condizione cinematica semplificata: 000
zz
tztw
gz
p
t
w
Condizione all’interfaccia (linearizzata)
Equazione del moto semplificata
0
gz
p
tz (in ogni strato)
0cgzpt
Teorema di Bernoulli non stazionario costante lungo una
linea di corrente
Lungo l’interfaccia (linea di corrente) 21 pp
gt
gt 2
221
11
Sistema da risolvere
gt
gt 2
221
11
01
tz
021
2
21
2
zx
Equazioni 0
22
2
22
2
zx
02
tz
Condizioni all’interfaccia(z=0)
Struttura della soluzione
tkxitkxatkxiatx sincosexp,
tkxizZtzx jj exp,, (notazione complessa)
Condizioni al contorno
01 z
02
z
1hz 2hz
Soluzione per lo strato j=1,2
02
2
2
2
yxjj
022
2
jj Zk
z
Z tkxia exp
tkxiZ jj exp
0
tzj all’interfaccia
(z=0)
kzDkzCZ jjj expexp
soluzione generale
iaDCk jj
al contorno(z= zc)
0zj 0expexp cjcj kzDkzC
Condizioni al contorno per determinare Cj e Dj
sistema di 4 equazioni in 4 incognite C1, C2, D1, D2
Soluzione kzDkzCZ jjj expexp
1
11 sinh
cosh
kh
hzk
k
iaZ
2
22 sinh
cosh
kh
hzk
k
iaZ
tkxikh
hzk
k
ia
expsinh
cosh
1
11
tkxikh
hzk
k
ia
expsinh
cosh
2
22
potenziale:
velocità nei due strati:
tkxia expposizione interfaccia:
le intensità rimangono indeterminate
tkxikh
hzka
xu
expsinh
cosh
1
111
tkxikh
hzka
xu
expsinh
cosh
2
222
tkxikh
hzkia
zw
expsinh
sinh
1
111
tkxikh
hzkia
zw
expsinh
sinh
2
222
tkxiZ jj exp
Relazione di dispersione
gt
gt 2
221
11
condizione dinamica all’interfaccia
gkhkhk 12
2
2
1
12
tanhtanh
relazione tra frequenza e numero d’onda
T
2frequenza-
periodo 2
knumero-lunghezza d’onda
celerità di propagazione
0
dxx
dtt
d tkxa cos 0 akdxdta
kdt
dxc
Casi particolari: dominio non limitato
1h 2h
12
12
gk
gkhkhk 12
2
2
1
12
tanhtanh
1tanh 1 kh
frequenza
onde di superficie
12
12
k
gccelerità
01
gkfrequenzak
gc celerità
onde di Boussinesq 21
2
kgfrequenza
k
gc
2
celerità
0
12
g
la celerità dipende da k lunghezze d’onda diverse si separano
Casi particolari: acqua bassa
01 kh 02 kh
2112
1221
hh
hhgk
gkhkhk 12
2
2
1
12
tanhtanh
11tanh khkh
frequenza celerità
2112
1221
hh
hhgc
onde di superficie 01
ghkfrequenza ghc celerità
onde di Boussinesq 21
21
21
hh
hhgk
frequenza celerità21
21
hh
hhg
la celerità non dipende da k onde non dispersive
Effetto della superficie libera
0cgzpt
condizione in superficie libera
relazione di dispersione 21214 ,,,, hhkf
onde lunghe (acqua bassa) di Boussinesq: due soluzioni semplificate
gHhhgc 21 H
hhg
hh
hhgc 21
21
21
modo esterno - veloce(onda di superficie)
modo interno - lento(interfaccia)
moto barotropico moto baroclinicop parallelo a p inclinato rispetto a
Onde stazionarie
effetto della dimensione finita del bacino: numero finito di semi-lunghezze d’onda
2
nL
L
nk
2numeri d’onda possibili
nT
L
kTc
22
celerità
periodonc
LT
2 modo esterno
gHn
LT
2
H1h
2h
modo interno
Hhh
gn
LT
21
2
(lento)
Onde di sessa (seiche)
vento eccita un’onda stazionaria con n=1
wind set-up: sollevamento
0 LFFF wrlx equilibrio mentre soffia il vento
202
1sl aHgF 202
1sr aHgF spinte idrostatiche 02 0 LHga ws
gH
La ws
2
set-up superficie
equilibrio tra le pressioni al fondo rl pp iisl ahgaahgp 2211
iisr ahgaahgp 2211 si aa12
set-up interfaccia
Stratificazione continua
gz
p
t
w
0
1
0
z
w
x
u
x
p
t
u
0
1
Equazioni linearizzate, ip. Boussinesq
continuità
q.d.m. orizzontale
incomprimibilità
q.d.m. verticale
3 equazioni in 4 incognite pgwu ,,,
la quarta equazione viene dall’incomprimibilità
00
dz
dw
t
0
gg
02
wNt
g
dz
dgN 0
0
2
Stratificazione continua: relazione di dispersione
modi verticali
modi orizzontalikx
2
mz
2
equazioni + condizioni al contorno
relazione di dispersione
22
222
mk
kN
22 Nonde
22 N non possono esserci onde
(frequenza di eccitazione maggiore dell’autofrequenza - Eigenfrequency)
Moti stratificati (5/5)
Idraulica Ambientale 2
a.a. 2005/06
InstabilitàAnalisi di stabilità idrodinamica:1. soluzione in moto laminare delle equazioni2. perturbazione della soluzione con piccoli disturbi (sinusoidali nel tempo e
nello spazio)3. sostituzione della soluzione perturbata nelle equazioni e linearizzazione
problema agli autovalori (eigenvalues)4. soluzione delle equazioni perturbate:
a. disturbo che cresce nel tempo instabilità assolutab. disturbo che cresce nello spazio instabilità convettivac. disturbo che decade stabilità
Riferimenti bibliografici: - Socolofsky & Jirka, Special Topics in Mixing and Transport Processes in the Environment, 2005 (dispense, cap. 11)- Drazin & Reid, Hydrodynamic stability (Second edition), Cambridge Mathematical Library, 2004
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
Lavoro delle forze di galleggiamento
dy
dgO
dy
dygygygygB
2
dy
dgygygB
forze di galleggiamento
2
2
0
y
dy
dgd
dy
dg
y
2
20 y
dy
dgd
dy
dg
y
particella 1
particella 2
2ydy
dgWB
lavoro totale
lavoro
Variazione di energia cinetica
22
20
20 uuu
E
prima
2
0
222
uuu
E
dopo
velocità media
20
4uE
variazione di energia cinetica
Instabilità: approccio euristico
instabilità: quando l’energia cinetica persa è più grande del lavoro richiesto dalle forze di galleggiamento nello spostamento delle particelle di fluido
BWE
20
4y
dy
dgu
4
12
0
u
y
dy
dgRi
(senza viscosità)
Instabilità di Kelvin-Helmholtz
1U
2U
moto irrotazionalefluido idealepiccole perturbazioni…
u
Formulazione del problema
Condizione dinamica: 21 pp (le tensioni tangenziali sono nulle)
Equazioni
Condizione cinematica all’interfaccia (z=)
Condizioni al contorno
11 Uu z z
0111
z
w
y
v
x
u0222
z
w
y
v
x
u
0, 11 wv22 Uu 0, 22 wv
0111
y
vx
ut
w 0222
y
vx
ut
w
02 1
12
111
p
gzu
tcTeorema di Bernoulli
non stazionario (z=):0
2 2
22
222
p
gzu
tc
gu
tcg
u
tc
22
222
22
211
11
Soluzione del moto base
Perturbazione della soluzione
xUu
111
xUu
222
zw
11
yv
22
interfaccia
11 Uu
22 Uu
gzpp 101
gzpp 202 0interfaccia
1Linearizzazione
011 wv
022 wv
22
22
22
21
11
Uc
Uc costanti del trinomio di Bernoulli
yv
11
zw
22
Sistema per le perturbazioni (linearizzato)
g
xU
tg
xU
t2
22
21
11
1
011
xU
tz
021
2
21
2
21
2
zyx
Equazioni 0
22
2
22
2
22
2
zyx
022
xU
tz
Condizioni all’interfaccia(z=0)
Struttura della soluzione
lykxilykxstalykxistatx sincosexpexp,
lykxistzZtzx jj exp,, (notazione complessa)
Condizioni al contorno
01 02 z z
Relazione di dispersione
211
222 ikUsKgikUsKg
22 lkK numero d’onda totale
soluzione trovata con Maple
Coefficiente di amplificazione
21
122
21
221212
21
2211
KgUU
kUU
iks
stabilità neutrale
2212122
122 UUkKg
instabilità
>=
<
2212122
122
2121
2211 UUkKgiUU
iks
curva marginale kKl ,0
21
21
222
21
k
gUU
2=1000,1=995 2
112
0
Uk
KgRi
Casi particolari
Onde di gravità
Onde interne
Instabilità dovuta alle tensioni
Kgis
2212122
122
2121
2211 UUkKgiUU
iks
sempre stabili0,0,0 211 UU
0,0, 2121 UU 21
12
Kgis
stabili onde instabili12 12
2121 , UU
21212
21
221
2242UU
kUUikUU
ki
UUiks
sempre instabili
Effetto della tensione superficiale
x
z
p1
p2
221 xypp
esempio: onde generate sul marevelocità del vento minima, lunghezza d’onda (Kelvin, 1871; Chandrasekhar, 1961)
soluzione trovata con Maple
curva marginale
kk
gUU
21
12
21
21
222
21
kcrit
U)2crit
(condizione dinamica all’interfaccia)
mNmkgmkg /074.0,/1020,/25.1 32
31
smUU /6.621 cmkL 7.12
kKl ,0