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7/24/2019 MOUVEMENTS D'UN SOLIDE
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M3 : MOUVEMENTS PARTICULIERS D'UN SOLIDE
I.
NOTION DE SOLIDE
II.
SOLIDE EN TRANSLATION
III.
SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE
IV.
EXEMPLES DAPPLICATION
V.
ANALOGIE ENTRE MOUVEMENT LINEAIRE ETROTATION AUTOUR DUN AXE FIXE
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M3 : MOUVEMENTS PARTICULIERS D'UN SOLIDE
I.
NOTION DE SOLIDE
I.1.Dfinition d'un solide= systme indformable: la distance entre deux points quelconques dusolide reste constante au cours du temps.
modle
Ensemble de solides un solide (en gnral)Rsultats tablis pour les systmes matriels applicables aux solides
(= systmes particuliers).
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I.2.
Champ des vitesses d'un solide= rfrentiel de lobservateur,
S= rfrentiel li au solide.
( / ) r
S : vecteur rotation de Sdans .
M et P, 2 points du solide (S) : Sv(P / ) v(M / ) ( / ) MP = + r r ur uuur
Torseur des vitesses outorseur cinmatiquedun solide :
*rsultante = vecteur rotation ( / ) r
S ;
*moment en P= ( / )r
v P .Mouvements particuliers :
* Solide en translation
* Solide en rotation autour d'un axe fixe
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I.3.
Energie cintique d'un solide
Systme matriel quelconque : 2c 1E (S/ ) = v (M / )dm2
V
Autre forme pour un solide
B, point quelconque du solide :
Energie cintique du solideS dans = 1/2 comoment des torseurscintique et cinmatique.
Rsultat indpendant du point B choisi.
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I.4.
Puissance reue par un solide
Expression de la puissance
Puissance reue par (S) t : P(t) = V( )
v( ) f ( )S
M d r
r
.
B : point quelconque du solide.
P(t) = R v(B)ur r
+ B uur ur
M pour un solide
Puissance reue par un solide = comoment du torseur cinmatique et du
torseur des actions qui s'exercent sur (S).
(Rsultat indpendant de B)
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Puissance des actions intrieuresSolide par dfinition indformable puissance des actions intrieuresnulle.
La puissance des actions intrieures un solide est nulle dans toutrfrentiel : P int (Solide/ ) = 0
On retrouve ce rsultat en utilisant, Pint,(t) = intR v(B)ur r
+ B,int uur ur
M
pour un solide et B,intintR ,
uurr
M =0 pour tout systme.
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I.5.
Thorme de lnergie cintique
Thorme de la puissance cintique pour un solide :
c/d(E )
dt
= Pext
Thorme de lnergie cintique pour un solide
Dans un rfrentiel Galilen, la variation de lnergie cintique dun
solide (S) entre deux instants est gale la somme des travaux des
actions extrieures sexerant sur (S): c extE W =
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Thorme de lnergie mcanique pour un solide :
Travail des actions intrieures nul, seule une partie des actions
extrieures drivent d'un potentiel.
m ext,ncE W =
Systme conservatif : uniquement des forces conservatives Em= cte
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II.
SOLIDE EN TRANSLATION
II.1.
Champ des vitesses et des acclrations
Champ des vitesses uniforme dans tout le solide.
Et M et P (S), (P / ) (M / ) (S/ )
= = .
Suivant la nature de la trajectoire dun point du
solide, on peut avoir une translation rectiligne,
circulaire ou quelconque.
Exemple : Translation circulaire
A
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II.2.
Elments cintiques
Solide (S) en translation dans : mmes lments cintiques qu'unpoint matriel fictif confondu avec G ( centre d'inertie) o serait
concentre toute la masse de (S).
II.3.Dynamique d'un solide en translation
Thorme de la rsultante cintique :
/
ext
d
Rdt
=
r
r
Gv
M
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Thorme de la puissance cintique:c/d(E )
dt
= Pext
Puissance reue : P(t) = extR v(B)ur r
(B qcq du solide) car
S/ 0 =ur r
extR
: rsultante des actions extrieures s'exerant sur le solide.
2
/
1d( )
2dt
GMv
= extR .v(G / )r
r
Thorme de lnergie cintique :
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III. SOLIDE EN ROTATION AUTOUR D'UN AXE FIXE
Solide en rotation dans autour de l'axe fixe passant par O et dirig par u
r
.
(t) u
=
r
: vecteur rotation du solide dans .
III.1.
Champ des vitesses
Chaque point P du solide dcrit un cercle daxe .
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III.2.Elments cintiques dun solide en rotation autour dun axe fixe
III.2.1.
Rsultante cintique
III.2.2. Moment cintique par rapport
Dfinition: O.u =
ur
r
,
O
ur
: moment cintique de (S) en un point O de .
Solide en rotation autour de :(S/) =
[J] =
Jdpend de la forme du solide et de la rpartition des masses lintrieur du solide ; dautant plus grand que le solide est massif et que
la masse est distribue grande distance de .
Mr
r
d,
dm = (M).d
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2a
a
Exemples :- Cylindre homogne de rvolution, de masse M,
rayon R, hauteur h : J=1
2MR
2
- Barre homogne de longueur 2a :
J=1
3M a
2
-Sphre homogne de rayon R : J=25 M R2
Remarque : Additivit des moments d'inertie
S1et S22 solides disjoints, si S = { S1, S2} est un solide alors :
h
R
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Thorme de Huygens
Relie les moments dinertie Jet JGde S
Gparallle et passant par le centre de masse G du solide.
Enonc:G
2
J = md + J
o d est la distance de G laxe .
III.2.3. Energie cintique
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III.3. Dynamique d'un solide en rotation autour d'un axe fixe
suppos galilen.III.3.1. Thorme du moment cintique en projection sur
Rappel pour un systme matriel quelconque(S) en rotation autour dun axe fixe dans .Thorme du moment cintique projet sur :
Cas d'un solide en rotation autour de fixe
Thorme du moment cintique :
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Liaison parfaite :
Deux solides (S) et () en liaison pivot si le seul mouvement possible de
(S) par rapport () est une rotation autour d'un axe li ().
Liaison pivot parfaite(sans frottements) si la composante sur du
moment des actions de contact, en un point A de , est nulle:
MA, contact.
u
= 0 .
Dans ces mmes conditions la puissance des actions mcaniques de
contact de () sur (S) est nulle : Pcontact = 0
Liaison pivot parfaite : M, ext
= moment par rapport des actions
mcaniques extrieures autres que celles de contact.
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Conservation du moment cintique par rapport laxe :
Si M, ext= 0 alorsd
dt
= 0 : le moment cintique du systme par
rapport se conserve.
Moment d'une force par rapport un axe :
Mindpendant de O, point fixe de
F (P) un champ de force : M=
MO. u
= ( OP
F ). u
.
M= F. r
Distance de M laxe : bras de levierComposante orthoradiale de F
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Signification physique
Mdtermine les effets dune force pour ce qui est de la rotation du
solide autour de .
Fr rencontre : sans effet sur la rotation,tend arracher le solide.
Fzparallle : tend souleverle solide.Ftend provoquer la rotationdautant plus
facilement que M est loign de .
Signe de M: M> 0, rotation dans le sens positif de .
Fr
F
Fz
z
u P
H r
Solide mobile autour de
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III.3.2.
Thorme de l'nergie cintique
Rappel :
Thorme de la puissance cintique pour un solide:"Pour un solide, en mouvement dans un rfrentiel galilen , ladrive de l'nergie cintique est gale la puissance des actions
mcaniques extrieures qui s'exercent sur le solide."
dt
dC
E
= Pext
Rappel : B (S), dtd CE
= Pext.= extR .v(B / )
+ B,ext .
M
= ext GR .v
+ G,ext .
M
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Solide en rotation autour d'un axe fixe de :
Puissance des actions extrieures :Cas usuel : liaison parfaite
O point fixe de Thormes de la puissance cintique et du moment cintique en
projection sur mme quation diffrentielle.
Remarque :non galilen, tenir compte dans le moment de toutes les
actions extrieures, y compris les forces d'inertie.
Thorme de lnergie cintique pour un solide en rotation autourdun axe fixe :
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IV.
EXEMPLES DAPPLICATION
IV.1.
PouliePoulie de rayon a = solide de rvolution tournant autour dun axe
et prsentant une gorge dans laquelle peut senrouler un fil.
Hypothses : Poulie tourne sans frottement autour de son axe
Masse du fil ngligeable
Dterminer lacclration angulaire de la poulie.
2T
1T
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IV.2.
Pendule pesant
Solide (S) de forme quelconque, de masse m, de centre de masse G,mobile sans frottement (liaison parfaite) autour daxe horizontal Oz.
Position de (S) repre par = (r
ux ,OG
).
Moment dinertie du solide par rapport Oz = J.
IV.2.1. Equation du mouvement
IV.2.2.
Oscillations de faibleamplitude
IV.2.3. Oscillations de grandeamplitude
G
a
O
r
u x
r
u z
r
u r
r
u m.g
r
r
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IV.3.
Mise en mouvement dun volant par un rotor
Un rotor (S1) et un volant (S2)peuvent tourner sans
frottement autour dun axe de
rotation horizontal commun(zz).
J1et J2leurs moments dinertie
par rapport (zz).
(S1) tourne la vitesse uniforme 0et (S2) est fixe.A t = 0 on met en contact D1et D2solidaires de (S1) et (S2).
Au bout dun certain temps et du fait des frottements entre D1et D2 le
volant et le rotor tournent la mme vitesse .Dterminer .
Faire un bilan dnergie.
S1 S2
D1D2z z
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V.
ANALOGIE ENTRE MOUVEMENT LINEAIRE ETROTATION AUTOUR DUN AXE FIXE
Problmes un degr de libert
x
v =
x
=
v
=
x
= m J
Px= m.v Moment cintique : J= J
2
C
1E mv
2
= E1
2JC
2
=
M(m)xx' x(t)
G
(t)
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Force F Moment MLoi fondamentale de la
Dynamique : m x F
=
Thorme du moment cintique / :
J
=M
Puissance : P F.v = F.x=
r
r
P . .
= = M M
Petits mouvements autour dune position dquilibre stable
Force de rappel : F = - k.x
Modle: k = raideur du ressort, x
longation par rapport la position
dquilibre stable
Moment de rappel : = - C.
Modle:C = constante de torsion, angle de torsion par rapport la
position dquilibre stable
Energie potentielle lastique du
ressort : 2P1
E kx2
=
Energie potentielle lastique de
torsion : 2P1
E C2
=
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nergie potentielle lastique d'un fil de torsion ou ressort spirale
Fil de torsion. Ressort spirale
Fil de torsion li en deux points P et Q deux solides.
Angle de torsion du fil : = P-Q.
Fil exerce sur le solide en P un couple: Pur
= - C ur
C : constante de torsion du fil et ur
, vecteur unitaire donnant
l'algbrisation des angles.
Fil exerce sur le solide en Q un couple: Qur
= - Pur
Travail lmentaire de ces deux couples :