Movimiento 0ndulatorio i

17/04/2023 07:25 p. m.

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS

F Í S I C A 2MOVIMIENTO 0NDULATORIO

IAutor: Segundo Lizardo Gallardo

ZamoraTrujillo-2013

MOVIMIENTO ONDULATORIO

ONDA. Es la propagación de la perturbación generada en algún medio físico. La onda transmite la energía de la perturbación.

El mundo en que vivimos está lleno de dos tipos de ondas: ONDAS MECANICAS y ONDAS ELECTROMAGNETICAS.

Las ondas mecánicas se generan perturbando las moléculas de un medio físico con propiedades elásticas. Este medio oscila debido a las ondas

Ejemplos:

Figura 1. Ondas generadas al per-turbar el agua de un depósito

Figura 2. Ondas generadas al mover lateralmente y en forma periódica el extremo libre de una cuerda tensa.

Fv

17/04/2023 07:25 p. m. 2Segundo L. Gallardo Zamora


Ondas electromagnéticas. Son ondas generadas mediante un campo electromagnético oscilante y no requieren de un medio físico para propagarse. Las ondas de radio, televisión, luz, rayos X, son ondas electromagnéticas. Se generan y propagan como se muestra en las Fyg.3,4 y 5.

Figura 3. Campo eléctrico de carga

constante positiva en reposo

E

Figura 4. Campo eléctrico magnético variable de una

carga en movimiento

Fig.5. Onda electromagnética generada por un campo electromagnético variable

E

B

B

E


V

V


GENERACIÓN DE NDAS MECANICAS

Para generar ondas mecánicas se requiere:

Una fuente generadora de la perturbación.1.-Un medio elástico que pueda perturbarse2.-

Una conexión física entre las porciones adyacentes del medio de forma tal que puedan interactuar entre sí para transportar la energía de un lugar a otro en el medio físico.

3.-

Tipos de ondas mecánicas

Ondas transversales. Son las ondas que hacen oscilar al medio físico en forma perpendicular a la dirección en que se propagan. Por ejemplo las ondas en una cuerda tensa, como en la Fig.6.


v

Figura 6F

Figura 8. Representación gráfica de una onda transversal

A = Ym

- A = -Ym

Y

x

A

-A

CADA MASA EN LA MALLA OSCILA EN DIRECCION PERPENDICULAR A LA VELOCIDAD DE PROPAGACION V DE LA ONDA

V


MOVIMIENTO ONDULATORIOFigura 7. Ondas transversales que hacen oscilar verticalmente a los cuerpos atados a una malla.

V


Ondas Longitudinales. Son las ondas que hacen oscilar al medio en dirección paralela a la velocidad de propagación.

± u

Pistón

Figura 9. Ondas longitudinales generadas en un tubo de aire mediante un pistón que oscila con velocidad ± u.

Las ondas longitudinales, en esta figura, están constituidas por zo-nas de condensación (agrupamiento) y enrarecimiento (separación) de las moléculas del aire en el tubo, oscilando en dirección paralela a la velocidad de propagación V de la onda.

-sm +sm

VS

X-sm +sm



PARÁMETROS DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO

Longitud de Onda ( ). Es la distancia entre dos puntos de la onda que están en fase. También se denomina período espacial.

o

Y

Ym

-Ym

x

(Amplitud)

Amplitud de Onda ( Ym ). Es la amplitud del MAS que realiza cada partícula del medio donde se genera la onda.

Cresta

ValleFigura 10. Forma de onda senoidal


(Amplitud)

http://www.youtube.com/watch?v=xysFGcPTxmE&feature=related


Número de Onda ( k ). Es el número de ondas en la distancia 2 uni-dades de longitud. Simbólicamente se define como: k = 2 / , y se expresa en [rad/m], [rad/cm] y [rad/pie]

Período ( T ). Es el tiempo que demora una oscilación del punto o molécula del medio perturbado. Se mide en: [s]. Es también el tiempo que demora una cresta o valle en pasar por un punto de observación.Frecuencia ( f ). Es la rapidez con que se repiten las oscilaciones de un punto del medio perturbado. Se mide en: [ciclos/s] = Hertz = [ Hz ]. La frecuencia es el inverso del período: f = 1/T.

Velocidad de onda ( v ). Es la velocidad con que se propaga la onda (perturbación) en el medio perturbado. Se define por:

v = T

(1)

óv = f (2)

Se mide en [m/s], [cm/s o [pie/s].



DESCRIPCION MATEMÁTICA DE UNA ONDA TRANSVERSAL UNIDIMENSIONAL

Para poder describir matemáticamente una onda mecánica armónica se deben considerar tres propiedades fundamentales:

El medio a ser perturbado debe tener propiedades elásticas.1.La velocidad de propagación de la perturbación debe ser constante

2.

La perturbación debe conservar su forma original en todo instante y posición.

3.

En la Fig. 11(a), de la siguiente diapositiva, se muestra la forma de un pulso en una cuerda tensa, que puede definirse como función de onda y = f(x,t) en el instante t = 0, propagándose con velocidad v en el sentido del eje X positivo.


El pulso debe mantener invariable su forma en todo instante, por lo tanto el desplazamiento “y” depende tanto de (x) como de (t).


Figura 11 a.

y = f(x,t)

Y, Y´

o

En t = 0y = f(x)

Figura 11 b.

X = X'

v t

o

Y´

y´ = f (x´,t) = y

En t > 0

En la Fig.(11.b), se muestra un pulso en otro instante t > 0, pero con la misma forma que tuvo en t = 0. Para garantizar esta forma usamos el sistema (X´,Y´) que acompaña al pulso durante su movimiento con la velocidad v.

v

x´

y´

P

x

yP



En el caso de un pulso propagándose en el sentido del eje X nega-tivo, la función de onda es

Si las perturbaciones forman un tren de ondas (ondas viajeras), la función general es

La velocidad de fase o de propagación de una onda está dada por

y´ = f ( x + v t ) (4)

y = f ( x v t )

(5)

V = dx dt

(6)


En la nueva posición, el pulso esta descrito por la función y = f(x´, t), de forma tal que las coordenadas del punto P, respecto al sistema (X,Y) son:

x = v t + x´ , y = y´

x´ = x – v t de donde:

y = f ( x – v t ) (3)Por lo tanto:


SUPERPOSICION E INTERFERENCIA

Principio de Superposición. Si dos o más ondas viajeras se mueven a través de un medio, la función de onda resultante en cualquier punto es la suma algebraica de las funciones de onda individuales.

Las ondas que obedecen este principio se denominan ondas lineales y las que violan este principio son ondas no lineales.

Según este principio, dos ondas viajeras pueden pasar una a través de la otra sin destruirse o alterarse.

En la Fig.12, consideramos dos pulsos opuestos en una cuerda, uno que viaja hacia la derecha y1 = f(x – vt) y el otro hacia la izquierda y2 = f(x + vt).

Los pulsos son diferentes, uno hacia arriba y el otro hacia abajo, tienen la misma rapidez y cada uno es simétrico respecto al eje Y.



Y

X( t1 )

Y

X( t3 > t2 )

Figura 12

v

y1

- vy2

y1

Y

X

y2

( t2 > t1 )- v

y = y1 + y2

v

v

y1

- vy2



La onda resultante se denomina interferencia, y está definida por la función de onda:

Las ondas, luego de superponerse, continúan moviéndose por separado manteniendo su forma y velocidad originales.

Si la amplitud de la onda resultante es mayor que la amplitud de las componentes se tiene una interferencia constructiva. Si la amplitud resultante es menor que la amplitud de las componentes se tiene una interferencia destructiva.

y = y1 + y2 (7)


ONDAS MECÁNICAS ARMÓNICAS

Son el tipo de ondas mecánicas que tienen la forma de las funciones armónicas SENO O COSENO, como la que se muestra en la Fig.11. Este tipo de ondas son el ejemplo más simple de ondas periódicas continuas.


v

Y

X

Las ondas mecánicas transmiten energía a las partículas del medio donde se propagan, haciéndolas oscilar respecto a su posición de equilibrio, sin moverlas o transportarlas de su posición, tal como se demuestra con la animación de la Fig.13


Figura 13

La forma general de una onda armónica es la que se muestra en la Fig. 14 de la siguiente diapositiva, con una amplitud Ym , propagándose en dirección del eje X positivo con velocidad v


y = Ym sen k ( x – v t ) (8)ó

y = Ym sen ( k x – k v t ) (9)

Donde: Ym , es la amplitud de onda, k = 2 / , es el número de onda

y kv = , es la frecuencia angular de la onda.

Y

Xo

Ym

- Ym

v

Figura 14

Si elegimos la función SENO en la figura anterior para describir una onda en cualquier posición x e instante t, estará definida por la función



Usando el número de onda k = 2 / , y la frecuencia angular

= 2 / T , esta función de onda se puede escribir en las siguientes formas adicionales:

y = Ym sen [ ( 2 / ) x – ( 2 / T ) t ] (11)

y = Ym sen ( k x – t ) (10)

La forma más general de la función de onda es

y = Ym sen ( k x t + ) (12)

Donde es la fase inicial o constante de fase de la onda.

Velocidad Transversal. Es la velocidad con que oscila cada punto o partícula del medio perturbado por una onda transversal. Se define mediante la derivada parcial

vy =¶

y

tX = constante (13)



Que nos da:

Donde: Ym = vymax , es la amplitud de la velocidad transversal

Aceleración Transversal. Es la aceleración con que oscila cada partícula o punto del medio perturbado por una onda transversal. Se define mediante la derivada parcial

ay =¶

v

tX = constante

(15)

vy = – Ym cos ( k x – t ) (14)

Que nos da:

ay = – 2 Ym sen ( k x – t ) (16)

Donde: 2 Ym = aymax , es la amplitud de aceleración transversal.



ENERGIA TRANSPORTADA POR LAS ONDAS ARMONICAS EN UNA CUERDA TENSALas ondas al propagarse transportan solamente energía y no materia. Esto se verifica al observar una ola de mar o al escuchar un sonido, solamente se percibe la energía de la perturbación y no la materia del medio donde se generó tal perturbación.

Para analizar la forma como se transmite energía mediante ondas, consideremos una onda viajera senoidal generada en una cuerda atada en el extremo de un vibrador, Fig.15. La onda generada avanza hacia la derecha con velocidad v

Figura 15

Y

X

v

dx

y



Si tomamos un trozo elemental de cuerda de masa dm y longitud dx, observaremos en la Fig.16, que al pasar la onda oscilará vertical-

mente en la dirección Y, con MAS de frecuencia angular .

v

Figura 16

Y

dm

dx

En una determinada posición vertical “y” el elemento de masa tendrá una energía potencial

dEp = ½ dm 2 y2 (17)



Pero, la masa del elemento se puede expresar en la forma

Donde es la masa por unidad de longitud de la cuerda y se mide en [kg/m], [g/cm] ó [lb/pie].

dm = dx (18)

Como la onda es armónica y = Ym sen (k x – t), entonces

dEp = ½ 2 Ym2 sen2 (k x – t ) dx

Si congelamos la onda en t = 0, la energía potencial del segmento elemental es

dEp = ½ 2 Ym2 sen2 k x dx (20)

Esta energía es recibida por el elemento de masa dm en cada ciclo de oscilación vertical, proceso durante el cual la onda avanza una distancia igual a una longitud de onda

Por lo tanto dEp = ½ 2 y2 dx (19)



Por lo tanto, la energía potencial total promedio que absorbe cada trozo de cuerda del tamaño de una longitud de onda, se puede hallar integrando la Ec.(20) desde x = 0 hasta x = .

Ep = ½ 2 Ym2 sen2 k x dx

X= 0

X=

Ep = ½ 2 Ym2 sen2 k x dx

X= 0

X=

Ep = ½ 2 Ym2 ½ x – (1/4 k) sen 2 k x

0

(21)Ep = 2 Ym2 / 4



De igual forma, se deduce que cada segmento de cuerda del tamaño de una longitud de onda tiene una energía cinética

E = Ep + Ek

Por lo tanto, la energía mecánica total en una longitud de onda es

E = ½ 2 Ym2 (23)

POTENCIA. Es la rapidez con que la onda transmite energía a través de la cuerda en un período de oscilación.

P = ½ 2 Ym2 ( )

T Donde = V, es la velocidad de propagación de la onda.

T


P =

E T

(22)Ek = d Ek = 2 Ym2 / 4

X=

X= 0


Por lo tanto:

Según esta ecuación, la energía transferida en la unidad de tiempo por una onda sinodal en una cuerda, es proporcional al cuadrado de la frecuencia angular y de la amplitud.

P = ½ v 2 Ym2 (24)

Ejemplo 1. La ecuación de una onda transversal que avanza por una cuerda está dada por la función y = 10 sen [(0,01x-2t)], donde x , y se miden en [cm] y t en segundos. a) Hallar la amplitud, el número de onda, la frecuencia angular, la longitud de onda y la velocidad de fase; b) hallar la máxima velocidad transversal de cada partícula en la cuerda


Datos. La ecuación de onda dada también se puede escribir en la forma: y = 10 sen (0,01 x-2 t).Solución: a) La nueva forma de la función es similar a la Ec.(10). Por lo tanto: Ym = 10 m, k = 0,01 0,0314 m-1, = 3 rad/s, = 2/k = 2 /(0,01 ) = 100 m y v = /k = 3/(0,01 ) = 300 m/s.


b) La velocidad transversal de cada partícula en la cuerda, según la Ec.(14) es:

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Segundo L. Gallardo Zamora

vy = – 20 cos (0,01 x-2 t) m/s

Entonces: vymax = 20 m/s

Ejemplo 2. Para cierta onda transversal en una cuerda se observa que por un punto dado, a lo largo de la dirección de propagación, pasan 7 máximos cada 12 [s]. También se observa que la distancia entre dos máximos sucesivos es de 18 [cm] y la distancia entre cresta y valle es de 28 [cm]. Calcular: el período, la longitud de onda, la frecuencia angular, la amplitud y la rapidez de la onda.

Y

X2Ym

v

1 2 3 4 5 6 7

Figura 17

Solución: En la Fig.17 se muestra la forma de la onda con las 7 crestas y 6 longitudes de onda que avanzan en los 12 segundos.

- Entonces: 6T = 12 s, luego T = 2 s.


- La longitud de onda es: = 18 cm.


Ejemplo 3.- a) Escriba una expresión Y(x,t) para una onda sinodal que viaja por una cuerda en dirección del eje X negativo con las siguientes características: Ymax = 7 [cm], = 90 [cm], f = 4 [Hz] y Y(0,t) = 0 en t = 0,2 [s]. b) Escriba una expresión de Y en función de X para la onda definida en (a), suponiendo que Y(x,0) = 0 en x = 12 [cm].Datos: a) y = f(x,t); Ym = 7 cm, = 90 cm, f = 4 Hz y Y(0,t) = 0 en t = 0,2 s

b) y = f(x,t); Ym = 7 cm, = 90 cm, f = 4 Hz y Y(x,0) = 0 en x = 12 [cm].

- La frecuencia angular es: = 2/T = 2/2 = rad/s - La distancia cresta-valle es el doble de la amplitud. Por lo tanto:

Ym = 28/2 = 14 cm/s - La rapidez de la onda es v = /T = 18 / 2

v = 9 cm/s

Solución: a) La función de onda es: y = Ym sen(kx + t + ), donde

falta calcular: k = 2/ = 2/90 = /45 cm-1, = 2 f = 2(4) = 8 rad/s


La fase inicial lo calculamos usando las condiciones iniciales: Y(0,t) = 0 en t = 0,2 s en la función de onda:

Ejemplo 4.- Un alambre de acero de 38 [m] de longitud y otro de cobre de 25 [m] de longitud, ambos con un diámetro de 1 [mm], se conectan en uno de sus extremos y se estiran sujetos a una tensión de 240 [N]. ¿Cuánto tiempo le toma a una onda transversal viajar a lo largo de los dos alambres?


Datos: L1 = 38 m, L2 = 25 m, D = 1 mm = 0,001 m, F = 240 N

0 = Ym sen[k(0) + (0,2) + ](1,6 + ) = 0

0 = sen[0,2(8 )+ ] = - 1,6 rad.

Luego: y = 7 sen[(/45 )x + 8 t - 1,6)] donde: x,y se expresan en [cm] y t en [s].

b) Queda como ejercicio para el estudiante.


Solución: En la Fig.18 se muestra la rapidez con que se propaga la onda en cada porción de alambre, la longitud y el tiempo que demora-rá en propagarse en cada uno de ellos.


Como no conocemos la masa por unidad de longitud de cada alambre, podemos expresarla en función de la masa por unidad de volumen .

= = = mL

V L

A L L

= A

v = F

La rapidez de la onda en un alambre se obtiene con:

L1 (t1)

El tiempo total que demora la onda en viajar a través de los dos alam-bres es igual a la suma de los tiempos que demora en cada uno.

t = t1 + t2 = L1/v1 + L2/v2

F-Fv1 v2

L2 (t2)

Figura 18


Entonces:


t = + L1

F 1 A

L2

F 2 A

t = (L1 1 + L2 2 )AF

En los textos de física encontramos que las densidades son: del acero 1 = 7800 kg/m3 y del cobre 2 = 8900 kg/m3.

y como los alambres son de igual diámetro, el área de su sección transversal A es la misma y su valor es:

A = D2/4 = (0,001)2/4 A = 7,9x10-7 m2

Por lo tanto, el tiempo buscado es:

t = (38 7800 + 25 8900 )

7,9x10-7 240

t = 0,33 s


Ejemplo 5. Una cuerda estirada tiene una masa de 0,18 [kg] y una lon-gitud de 2,4 [m]. ¿Qué potencia se debe suministrar para generar on-das armónicas con una amplitud de 12 [cm], longitud de onda 25 [cm] y una rapidez de propagación de 0,9 [cm/s].


Datos: m = 0,18 kg, L = 2,4 m, Ym = 12 cm = 0,12 m; = 25 cm = 0,25 m, v = 0,9 cm/s = 0,009 m/s. Solución. La potencia de una onda en una cuerda se obtiene con:

P = ½ v 2 Ym2

Donde: = m/L = 0,18/2,4 = 0,075 kg/m

= k v = (2 /) v = (2 /0,25)(28) = 224 rad/s

Luego:P = ½ (0,075)(0,009)(224 )2 (0,12 )2

P = 2,41 [w]

MOVIMIENTO ONDULATORIOEjercicios MON 01


1. Dos ondas en una cuerda son descritas por las funciones: Y1 = 3 Cos(4x - 5t) y Y2 = 4 Sen(5x - 2t), donde Y y x se expresa en [m] y t en [s] Encuentre la superposición de las ondas Y1 + Y2 en: a) x = 1 [m]; t =1 [s]; b) x = 1[m]; t = 0,5 [s; c) x = 0,5 [m]; t = 0.

2. Dos ondas armónicas en una cuerda están definidas por las fun-ciones: Y1 = 2 Sen(19x-3t), Y2 = Sen(28x -45t), donde Y y x están en [cm] y t en [s]. a) ¿Cuál es la diferencia de fase entre estas dos ondas en el punto x = 5 [cm] y t = 2[s]. b)¿Cuál es el valor positivo de x más cercano al origen para el cual las dos fases difieren por ± en t = 2 [s]? (Esto es, donde la suma de las dos ondas es cero).

3. El extremo izquierdo de una cuerda larga y estirada, con una fuer-za de 150 N, oscila a razón de 240 osc/s y amplitud de 2,5 cm. La cuerda tiene una densidad = 0,15 kg/m y además en t = 0 el ex-tremo izquierdo de las cuerda tiene un desplazamiento y(0,0) = 2 cm, determine: a) la longitud de onda y b) la ecuación de la onda.


4. a) Escriba una expresión de Y en función de x y t para una onda sinoidal que viaja por una cuerda en dirección del eje X negativo con las siguientes características: Ymax = 7 [cm], = 90 [cm], f = 4 [Hz] y Y(0,t) = 0 en t = 0,2 [s]. b) Escriba una expresión de Y en función de X para la onda definida en a), suponiendo que Y(x,0) = 0 en x = 12 [cm].


5. Demostrar como se obtiene la fórmula de la velocidad de propa-gación v de una onda transversal en:

6. Ondas armónicas transversales de 5 [cm] de amplitud se transmi-ten a lo largo de una cuerda cuya densidad lineal es 4x10-2 [kg/m]. Si la máxima potencia proporcionada por la fuente es de 360 [W] y la cuerda está sujeta a una tensión de 120 [N]. ¿Cuál es la máxima frecuencia de vibración a la cual puede operar la fuente?

a) una cuerda tensa.

b) en una barra metálica.v =

F

v = G

Donde: F = fuerza, = m/L, G = módulo de corte y = masa/volumen



Continuamos en Ondas 2.

7. Tres barras de metal se localizan unas respecto a las otras como se muestra en la Fig.19, donde L1 + L2 = L3. Los correspon-dientes valores de densidad y módulo de Young para los tres materiales son: 1 = 2,7x103 [kg/m3], Y1 = 7x1010 [Pa], 2 = 11,3x103

[kg/m3], Y2 = 1,6x1010 [Pa], 3 = 8,8x103 [kg/m3], Y3 = 11x1010 [Pa]. a) Si L3 = 1,5 [m], ¿cuál debe ser la razón (L1 / L2) para que la onda sonora que viaja a lo largo de la barra 1 y 2 lo haga al mismo tiempo que la que viaja por la barra 3? b)Si la frecuencia de la fuente es de 4000 [Hz], determinar la diferencia de fase entre la onda que viaja a lo largo de la barra 1 y 2 y la onda que viaja en la barra 3.

L3

L2L1

Figura 19

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