MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS CELESTES.

LEY DE LA GRAVITACIÓN

MOVIMIENTOS DE LOS CUERPOS CELESTES.

LEY DE LA GRAVITACIÓN

Ptolomeo observó que ciertos planetas realizaban movimientos retrógrados, volviendo sobre su trayectoria formando lazos en la esfera celeste

Para justificarlo utilizó un movimiento compuesto por dos movimientos:

a) El planeta se mueve sobre el epiciclo (circunferencia pequeña de trazos)

b) Cuyo centro a su vez se mueve sobre el deferente (circunferencia grande de trazos).

EL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEOEL GEOCENTRISMO DE PTOLOMEO

Claudio Ptolomeo vivió en Alejandría en el siglo II y fue el más célebre astrónomo de la antigüedad.Publicó sus observaciones en su obra ALMAGESTO.

La Teoría Geocéntrica coloca la Tierra en el centro del universo, y los astros, incluido el Sol, girando alrededor de la Tierra. Estuvo en vigor hasta el siglo XVI cuando fue reemplazada por la teoría heliocéntrica.

Teoría Heliocéntrica de COPÉRNICO. (1473-1543 d.C.)

Teoría Heliocéntrica de COPÉRNICO. (1473-1543 d.C.) La Teoría Heliocéntrica nos dice que la Tierra y los planetas se mueven alrededor de un Sol relativamente estacionario y que está en el centro del Sistema Solar. La idea de que la Tierra gira alrededor del Sol fue propuesta desde el siglo III a.C. por Aristarco de Samos aunque no recibió apoyo de otros astrónomos de la antigüedad.

Este planteamiento le permitió justificar el movimiento retrógrado de los planetas para el que Ptolomeo había introducido los epiciclos.

A

AA

C

C

C

D

D

D

G

G

GH

H

H

B

B

B

I

II

F

F

F

E EE

La contribución de GALILEO. (1564-1642 d.C.)La contribución de GALILEO. (1564-1642 d.C.)

Se convirtió en el primer defensor a ultranza del sistema heliocéntrico copernicano

Encontró infinidad de estrellas nunca vistas hasta entonces y llegó a descubrir la deformidad de la Luna y su superficie rugosa

En 1610 Galileo descubrió los satélites de Júpiter, confirmando así que la Tierra no era el centro del universo

En 1632 publicó en Florencia su obra Diálogo sobre los dos grandes sistemas del mundo

Un año después fue procesado por la Inquisición

Galileo nació en Pisa en 1564

LAS LEYES DE KEPLER. (1571-1630 d.C.)LAS LEYES DE KEPLER. (1571-1630 d.C.)

Sol

Foco Eje menor

Las leyes de Kepler describen la cinemática del movimiento de los planetas en torno al Sol.

Con los datos de Tycho Brahe, tras cuatro años de observaciones sobre Marte, llegó a la conclusión de que las órbitas de los planetas no eran circulares

Descubrió que la elipse era la curva que mejor podía definir el movimiento planetario

La posición del extremo del semieje mayor más alejada del Sol se llama afelio

Primera ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, estando situado éste, en uno de sus focos

Afelio

b

a

Eje mayor La posición más cercana, es el perihelio.

Perihelio

Segunda ley: El radiovector dirigido desde el Sol a los planetas, barre áreas iguales en tiempos iguales

Kepler observó que la velocidad de los planetas dependía de su posición en la órbita.

vAFELIO < vPERIHELIO

Tercera ley: El cuadrado de los periodos de revolución de los planetas alrededor del Sol (T) es proporcional a los cubos de los radios medios, de sus órbitas (r), T

2 = Kr 3 siendo K una constante igual para todos los

planetas

1 Junio

30 Junio1 Diciembre

30 Diciembre

Actividades:1.- La Estación Espacial Internacional (ISS) orbita a una altura media de 340 km sobrela superficie terrestre. Teniendo en cuenta que la distancia Tierra-Luna es de 380 000 km y que el período lunar es de 2.36 106 s, determina cuánto tardará la ISSen dar una vuelta completa a la Tierra.RT = 6 370 km (Sol: 92 minutos),

2.- A partir de los datos orbitales terrestres con respecto al Sol (T = 365 días yrsol-TIERRA = 1.496 1011m) determina cuánto tarda Júpiter en completar una órbita alrededor del Sol (en segundos y años terrestres) sabiendo que su distancia al Soles de 7.78 1011 m. (Sol: 3.74 108s = 11.8 años).

3.- Conocidas las distanciasrP y rA, deduce la relaciónentre las velocidades del planeta en los puntos P y A.¿Avalan estos resultados lasobservaciones de Kepler?

rArP

NOCIONES ACTUALES SOBRE EL SISTEMA SOLAR

- Leyes de Kepler ↔ descripción cinemática del movimiento planetario.

- Nuestro SOL tampoco es el centro de nada.

- Regularidades de nuestro sistema solar:

a) Los planetas efectúan dos movimientos: traslación alrededor del Sol y rotación en torno a su propio eje.

b) Los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol.

c) Casi todas las órbitas planetarias están en el plano de la Eclíptica.

d) Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol.

NOCIONES ACTUALES SOBRE EL SISTEMA SOLAR

- Leyes de Kepler ↔ descripción cinemática del movimiento planetario.

- Nuestro SOL tampoco es el centro de nada.

- Regularidades de nuestro sistema solar:

a) Los planetas efectúan dos movimientos: traslación alrededor del Sol y rotación en torno a su propio eje.

b) Los planetas describen órbitas planas alrededor del Sol.

c) Casi todas las órbitas planetarias están en el plano de la Eclíptica.

d) Todos los planetas se trasladan en el mismo sentido alrededor del Sol.

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR EN EL CAMPO GRAVITATORIO

m

F II r

Fuerza central

depende de r

m’v

r

F

AAPP vrvr

ctemxcte vrLL

'

0dtLd

M

r Si la fuerza es central, los vectores y tienen la

misma dirección y su momento cinético es constante:F

0

FrM x

La conservación del momento angular implica que se conserven módulo, dirección y sentido

¿Por qué?

r

v

El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores y , por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano

Si conserva el sentido, la partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido de giro.

L

X

Y

Z

m

O

p

L

rF

Considerando el perihelio (P) y el afelio (A):

AAPPAP

o

vrvrLLcteL

siendo

senvmrL

90

'

Por conservar el sentido

Por conservar la dirección:

Por conservar el módulo:

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSALPublicada por NEWTON en su obra “PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE

FILOSOFÍA NATURAL” (1 686 d.C.)

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSALPublicada por NEWTON en su obra “PRINCIPIOS MATEMÁTICOS DE

FILOSOFÍA NATURAL” (1 686 d.C.)

La interacción entre dos masas:a) es una interacción a distancia y se representa en la línea que une ambas masas.b) es CENTRAL al tener dirección RADIAL.c) es directamente proporcional al producto de las dos masas e inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que las separa.d) es siempre ATRACTIVA.e) la distancia r se determina desde el centro de masas de cada una de ellas.f) es independiente del medio en que se encuentren las masas.

universal) (es 10 67.62

211

22

kg

NmG

r

MmGFu

r

MmGF r

M

m

r

F

F

Actividades:1.- ¿A qué distancia del centro lunar es atraída con una fuerza de 1 N una masa de1 kg?. RL = 1.738 106 m. ML = 7.20 1022 kg (Sol: 2 190 km).

2.- Dos esferas de 100 y 200 kg respectivamente se encuentran separadas 1 m a lo largo del eje-Y, la esfera de 100 kg está situada encima de la otra.Determina la fuerza neta que ejercen sobre una tercera masa de 0.1 kg situada sobre el eje-X a 0.25 m del punto medio entre las esferas. Expresa el resultado en notación vectorial y calcula el módulo y la dirección de la fuerza neta.

3.- Deduce la expresión de la aceleración de caída libre de los cuerpos en las superficies planetarias. ¿Qué aproximación podremos utilizar si consideramosh << RPLANETA ?

4.- Si la masa de la Luna es 0.012 veces la de la Tierra y su radio aproximadamente0.27 veces el terrestre, determina:a) la aceleración de caída de los objetos en la superficie lunar. (Sol: 1.88 m/s2)b) la distancia que recorre un cuerpo en 3 s cayendo libremente. (Sol: 7.2 m)c) la altura a la que ascendería un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba si conla misma velocidad se elevara en la Tierra hasta 30 m. (Sol: 183.7 m)

5.- Considerando un planeta de masa m que orbita alrededor del Sol de masa mS siguiendouna trayectoria circular de radio r, demuestra la 3ª ley de Kepler, utilizando la Ley de laGravitación Universal.

6.- La Estación Espacial Internacional gira alrededor de la Tierra siguiendo una órbita circular a una altura h = 340 km sobre la superficie terrestre. Deduce la expresión teórica y calcula el valor numérico de :

a) La velocidad de la Estación Espacial en su movimiento alrededor de la Tierra.¿Cuántas órbitas completa al día?

b) La aceleración de la gravedad a la altura a la que se encuentra la estación espacial.Datos: RT = 6 400 km;; MT = 6 1024 kg;; G = 6.67 10-11 Nm2/kg2

7.- Un satélite se sitúa en órbita circular alrededor de la Tierra. Si su velocidad orbital es de 7.6 103 m/s, calcula el radio de la órbita y el período orbital del satélite.

Datos: RT = 6.4 106 m;; go = 9.8 m/s2

8.- El módulo del campo gravitatorio de la Tierra en su superficie es una constante de valor go.Calcula a qué altura h desde la superficie el valor del campo se reduce a la cuarta parte de go.Realiza primero el cálculo teórico y después el numérico, utilizando únicamente este dato:Radio de la Tierra, RT = 6 370 km. (Sol: h = 6 370 km).

9.- El Apolo VIII orbitó en torno a la Luna a una altura de su superficie de 113 km. Si la masalunar es 0.012 la terrestre y su radio e 0.27 veces el terrestre, Calcula:a) El período de su órbita. (Sol: 7 113 s)b) Su velocidad orbital y su velocidad angular. (Sol: 1 618 m/s;; 8.8 1024 rad/s).Datos: go = 9.81 m/s2;; RT = 6 370 km)

ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA A UNA FUERZA CENTRAL

ENERGÍA POTENCIAL ASOCIADA A UNA FUERZA CENTRAL

-¿Toda fuerza CENTRAL es CONSERVATIVA?:a) Si la fuerza es central, la trayectoria será CÍCLICA, y como F ┴ r, el trabajorealizado por dicha fuerza para desplazamientos infinitesimales en la trayectoria cíclica, será NULO.b) Como el trabajo realizado por una fuerza conservativa sólo depende de las posiciónesinicial y final, pero no de la trayectoria seguida, y como en una trayectoria cíclica las posiciones inicial y final coinciden, deducimos que el trabajo realizado por las fuerzasconservativas en un ciclo cerrado es NULO.c) Concluimos por tanto que toda fuerza CENTRAL es CONSERVATIVA.

-A toda fuerza conservativa se le puede asociar una energía potencial (o energía que depende de la posición del objeto):

La energía potencial asociada a la fuerza gravitatoria es:

r

MmGEu

r

MmGF PrG

2

1.- El signo (-) se debe al carácter ATRACTIVO de la FG

2.- La EP es una magnitud ESCALAR y su unidad en el SI es el julio (J).

-El trabajo realizado por una fuerza conservativa: PPoPFC EEEW

Actividades:1.- Deducir la expresión de la Ep = mgh que utlizamos cuando un cuerpo de masa mse encuentra a cierta altura h sobre la superficie de un planeta, siendo h<<<RPLANETA.Para ello utilizaremos la expresióny calcularemos la variación de Epcuando la masa cae desde ciertaaltura h hasta el suelo.

2.- ¿Cuándo utilizaremos Ep = mgh y cuándo ?¿Dónde situaremos el origen de Ep en cada caso?

3.-¿Cuánto trabajo se realiza al desplazar una masa de 1 000 kg desde la superficieterrestre hasta una altura igual a dos veces el radio de la Tierra?Interpreta el signo del trabajo resultante.Datos: go = 9.81 m/s2;; RT = 6 370 km. (Sol: -4.19 1010 J)

4.- Un sistema consta de cuatro partículas de 10 g cada una, situadas en los vérticesde un cuadrado de 20 cm de lado. Calcula la Ep del sistema. (Sol: -1.8 10-13 J).Dato: G = 6.67 10-11 Nm2/kg2

r

MmGEP

r

MmGEP

ASPECTOS ENERGÉTICOS DEL MOVIMIENTO EN EL ESPACIO DE LOS CUERPOS

ASPECTOS ENERGÉTICOS DEL MOVIMIENTO EN EL ESPACIO DE LOS CUERPOS

1.- PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA DE PLANETAS Y SATÉLITES EN SUS RESPECTIVAS ÓRBITAS.-

Los planetas y satélites en su movimiento orbitalcumplen el PCEM aunque la órbita sea elíptica.Efectivamente, la velocidad es distintaen el afelio y en el perihelio (vAFELIO < VPERIHELIO

lo que determina que Ec(afelio)<Ec(perihelio)),por lo tanto, la energía potencial variará en la misma proporción, de forma que la energía total permanezca constante, en cualquier punto de la trayectoria.

r

MmGmvE

EpEcE

T

TOTAL

2

2

1

v = velocidad orbital del planeta o satéliter = R + h

- Para dos puntos distintos de latrayectoria:

ET1 = ET2

Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2

Forma de las trayectorias según el valor de la ET

Forma de las trayectorias según el valor de la ET

Sol

Dado que dentro de un campo de fuerzas gravitatorio la energía potencial de un cuerpo siempre es negativa, y su energía cinética siempre positiva, la ET de ambas podrá ser negativa, nula o positiva

Si es la mitad de la Ep rmM

G21ET

Atendiendo al signo de la ET, la trayectoria descrita por el cuerpo, será una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola

CIRCUNFERENCIA

Si es mayor que la anterior pero menor que cero

0ErmM

G21

T ELIPSE

PARÁBOLA

HIPÉRBOLA

Si ET = 0 Ec = Ep

Si ET 0 Ec Ep

2.- ENERGÍA DE AMARRE O LIGADURA (EL).--Energía mínima necesaria para que un cuerpo de masa m pueda escapar de laatracción gravitatoria de un planeta.- Por definición: EL = -EP (en la superficie del planeta)

R

MmGEL

3.- VELOCIDAD DE ESCAPE DE LA SUPERFICIE DE UN PLANETA (ve).- -La energía cinética que se le ha de comunicar a un objeto de masa m paraescapar TOTALMENTE de la atracción gravitatoria de un planeta ha de ser,como mínimo, igual a la energía de ligadura, de forma que la velocidad de escape:

LEEc

(TIERRA)

R

R

Actividades:1.- ¿Cuánta energía se le ha de comunicar a una sonda espacial de 500 kg de masapara ponerla en órbita circular de radio 2RT alrededor de la Tierra?.2.- Si el radio de la Luna es 0.27 veces el terrestre y la masa lunar es 0.012 laterrestre: a-¿cuál es la velocidad de escape de la superficie lunar?.(Sol:2.35 km/s). b-¿cuánto valdrá la energía de ligadura lunar por kg de masa?.(Sol:2.76 106J/kg).3.- La distancia de la Tierra al Sol es de 152 100 000 km en el afelio, mientras queen el perihelio es de 147 100 000 km. Si la velocidad orbital de la Tierra es de30 270 m/s en el perihelio, determina por conservación de la energía mecánica, cuálserá su velocidad en el afelio?.(Sol: 29 247.5 m/s).4.- Una sonda espacial de 1 000 kg se halla enuna órbita circular a una distancia RT sobre lasuperficie de la Tierra. ¿Cuánta energía serequiere para transferir la sonda hasta otraórbita circular de distancia 2RT sobre lasuperficie de la Tierra?.(Sol: 5.24 109 J).Datos: RT = 6 370 km;; MT = 6 1024 kgG = 6.67 10-11 Nm2/kg2

E

5.- Los agujeros negros se denominan así porque su increíble densidad hace que suacción gravitatoria sea tan intensa que ni la luz tiene suficiente velocidad de escapepara salir de él. A la distancia crítica en la que este hecho sucede (medida desde elcentro del agujero) se la denomina “radio de Schwarzchild”. ¿Cuál sería este radiopara un agujero de diez masas solares?. (Sol: 29 644 m)Datos: MSOL= 2 1030 kg;; velocidad de la luz c = 3 108 m/s.6.-Halla la velocidad de escape de la superficie de un planeta cuyo radio es un terciodel terrestre, y cuya aceleración gravitatoria en la superficie del planeta es de 5.4m/s2.(Sol: 4 800 m/s).7.- Explica brevemente el significado de la velocidadde escape. ¿Qué valor adquiere la velocidad deescape en la superficie de la Tierra?. Calcúlalautilizando exclusivamente los siguientes datos:RT = 6.4 106 m;; aceleración de la gravedadgo = 9.8 m/s2.8.- Un satélite se sitúa en órbita circular alrededorde la Tierra. Si su velocidad orbital es 7.6 103 m/scalcula:a) El radio de la órbita y el periodo orbital del satélite.b) La velocidad de escape del satélite desde ese punto.Datos: utilizar exclusivamente: go = 9.8 m/s2;; RT = 6.4 106 m

9.- La velocidad de escape de un objeto desde la superficie de la Luna es de2 375 m/s. Calcula la velocidad de escape de dicho objeto desde la superficie de un planeta de radio 4 veces el de la Luna y masa 80 veces la de la Luna.10.- Se sabe que la energía mecánica de la Luna en su órbita alrededor de la Tierraaumenta con el tiempo. Escribe la expresión de la energía mecánica de la Luna enfunción del radio de su órbita y, discute si se está alejando o acercando a la Tierra.Justifica la respuesta prestando especial atención a los signos de las energías.