METODA POTENTIALE METRA (M.P.M)( M etra P otential M ethod )

1. Generalităţi

Este denumită, pe scurt, metoda potenţialelor.La fel ca şi metoda C.P.M., singurul parametru analizat este timpul, iar durata fiecărei

activităţi reprezintă o constantă.În principiu, nu există nicio deosebire principală între etapele, subetapele şi fazele de

aplicare ale metodei C.P.M. şi celei ale metodei potenţialelor. Singura deosebire între C.P.M. şi M.P.M. constă în faptul că prima utilizează o reţea cu activităţile pe arce, iar a doua o reţea cu activităţile pe noduri (utilizează procesul AON – Activities On Nodes)

Reţelele C.P.M. se întemeiază pe corespondenţa biunivocă între elementele proiectului (activităţi şi evenimente) şi cele ale modelului (arce şi noduri). Metoda M.P.M. se bazează pe corespondenţa biunivocă între activităţile proiectului şi nodurile reţelei.

Pornindu-se de la premisa unui unic element primordial al proiectului, şi anume activitatea, se evită conceptul de eveniment, care nu este necesar pentru construirea modelului. Se obţine astfel o relaţie clară model-obiect, bazată pe un bogat suport intuitiv şi capabilă de a reflectă cu uşurinţă unele particularităţi de o mare însemnătate practică, în special proprietăţi de succesiune temporală.

Modelarea unei probleme utilizând metoda M.P.M. impune următoarele reguli de construcţie a grafului reţea, astfel:

1. fiecărei activităţi a proiectului i se asociază un nod al grafului;2. un nod se reprezintă printr-un dreptunghi;3. ficărui nod i se asociază o valoare, dată de durata activităţii pe care o reprezintă;4. condiţionarea dintre două activităţi se reprezintă printr-un arc orientat în sensul

succesiunii de la o activitate la alta; 5. fiecărui arc i se asociază o valoare, reprezentând timpul întârziere al începerii sau

terminării unei activităţi faţă de altă activitate.

Faţă de C.P.M., metoda M.P.M. oferă următoarele avantaje principale:1. elaborarea reţelei este simplificată prin înlăturarea evenimentelor şi a activităţilor

fictive;2. modificările se fac cu uşurinţă, introducerea sau anularea unor activităţi neantrenând

alterarea restului reţelei;3. există posibilităţi de a se reprezenta în mod firesc unele categorii de restricţii

temporale, cum sunt continuitatea, suprapunerea sau decalarea activităţilor;4. calculul programului este mai puţin laborios, obţinându-se pe calea cea mai scurtă

principalii parametri (termenele şi rezervele activităţilor)

2. Reguli de construire a reţelei AoN

O activitate este reprezentată printr-un dreptunghi şi acesta este un nod în diagrama asociată proiectului:

A

O interdependenţă între activităţi este dată în figura de mai jos, unde activitatea B depinde de activitatea A.

Dependenţele între mai multe activităţi se reprezintă astfel:

Activitatea K depinde de activitatea A, iar activitatea L depinde de activităţile A şi B.Reţelele AoN au avantajul că nu necesită introducerea activităţilor fictive. Excepţie

face nodul de start şi nodul final care reprezintă activităţile fictive cu durata zero.Totodată, într-o reţea AoN nu sunt acceptate circuitele şi nodurile suspendate,

considerându-le ca situaţii imposibile.O activitate (nod) este suspendată dacă nu este o activitate finală şi nu implică nici un

succesor.

Activitatea K depinde de activitatea A, activitatea L depinde de activităţile A şi B iar activitatea M depinde de activitatea B.

Simbolul pentru un nod ( activitate ) este următorul :

EST – termenul cel mai devreme de începere ( Earliest Start Time )LST – termenul cel mai târziu de începere ( Latest Start Time )EFT – termenul cel mai devreme de terminare ( Earlist Finish Time )

A B

A K

B L

A K

B M

L

ESTdEFTDenumire (cod) activitateLSTRtLFT

Începutul

activităţii

Sfârşitul

activităţii

LFT – termenul cel mai târziu de terminare ( Latest Finish Time )

Relaţiile utilizate în calculul termenelor sunt următoarele :

EFT = EST + dLFT = LST + d

Rt = LST – EST = LFT – EFT

Durata totală a unui proiect ( TPT = total project time ) reprezintă intervalul cel mai scurt în care proiectul poate fi terminat, aceasta fiind determinată de secvenţele activităţilor ( drumul critic ).

Pentru a calcula durata totală a unui proiect ( TPT ) se efectuează „mersul înainte” în reţeaua proiectului şi se calculează pentru fiecare activitate termenul de începere cel mai devreme ( EST).

Pentru mai multe activităţi care converg într-un nod, termenul EST al activităţii următoare este cea mai mare sumă dinte termenul EST al activităţii precedente şi timpul de dependenţă ( în mod asemănător metodei C.P.M. ). Pentru că activitatea de final are durata zero, termenul EST pentru această activitate reprezintă intervalul de timp cel mai devreme în care poate fi terminat proiectul. Drumul critic poate fi determinat efectuând „mersul înapoi” în reţeaua priectului, calculând termenul cel mai târziu de începere LST pentru fiecare activitate. Mersul înapoi începe cu finalul reţelei, adică de la activitatea finală. Atribuim activităţii finale un termen LST egal cu termenul EST al acesteia; acest fapt este echivalent cu declaraţia că proiectul va fi terminat cel mai repede posibil ( LST = EST = TPT ).

Pentru activităţi succesive, termenul LST pentru activitatea precedentă se calculează scăzând timpul de dependenţă din termenul LST al activităţii succesoare. Pentru mai multe activităţi care converg într-un nod în mersul înapoi, termenul LST al activităţii precedente va fi cea mai mică diferenţă între termenele LST ale activităţilor concurente şi timpii de dependenţă. Drumul critic este dat de acele activităţi pentru care termenul EST şi termenul LFT este acelaşi.

2. Diagrame de precedenţă

Sistemul de activitate – nod ( AoN ) evidenţiază ca esenţială relaţia dintre activităţi: startul unei activităţi depinde de starturile activităţilor precedente. Începând cu 1960, sunt utilizate multiple dependenţe incluse în „reţele de precedenţă” sau “diagrame de precedenţă”

Există patru tipuri de dependenţă :

a) FINISH – TO – START ( ”Sfârşit – Început” )

Reprezintă tipul de dependenţă normal, redat astfel :

Activitatea B nu poate începe decât după cel puţin α unităţi de timp după terminarea activităţii A. Dacă activitatea B poate să urmeze imediat după activitatea A atunci α = 0 şi, de obicei, este ignorat.

Considerăm următorul exemplu :

A Bα

Se dau : dA = 5, dB = 10 , dC = 15 , dQ = 20.

Q nu poate începe decât după cel puţin 13 u.t. după terminarea activității A , după 10 u.t. după terminarea activităţii B şi 14 u.t. după terminarea activităţii C.Totodată se cunosc: EST (A) = 10, EST (B) = 12, EST (C) = 14.

EFT(A) = 10+5 = 15EFT(B) = 12+10 = 22EFT(C) = 14+15 = 29EST(Q) = max( 15+13; 22+10; 29+14 ) = max(28; 32; 43) = 43EFT(Q) = 43+20 = 63

Se cunoaşte că LFT(Q) = 100 u.t.LST(Q) = 80LFT(A) = 80-13 = 67LFT(B) = 80-10 = 70LFT(C) = 80-14 = 66LST(A) = LFT(A) – d(A) = 67-5= 62LST(B) = 70-10 = 60LST(C) = 66-15 = 51Rt(Q) = 100-63 = 80-43 = 37Rt(A) = 62-10 = 67-5 = 52Rt(B) = 60-12 = 70-22 = 48 Rt(C) = 51-14 = 66-29 =37

b) START – TO – START ( ”Început – Început” )

O astfel de dependenţă este redată în figura de mai jos:

A

B

C

Q

10 5 15

62 52 67

12 10 22

60 48 70

14 15 29

51 37 66

43 23 63

80 37 100

13

10

14

A Bβ

Activitatea B nu poate începe decât după cel puţin β unităţi de timp de la începerea activităţii A. În situaţia când β > 0, începutul activităţii B este întârziat după începutul activităţii A. Această dependenţă mai este numită şi relaţie ”întârziere – start” (lay – start).Dacă β = 0, acesta este ignorat şi cele două activităţi pot începe simultan.Reluăm exemplul anterior cu dependenţe de tip Start – to – Start:

EST(Q) = max( 10+13; 12+10; 14+14) = max(23; 22; 28) = 28LST(A) = 80-13 = 67LST(B) = 80-10 = 70LST(C )= 80-14 = 66LFT(A) = 67+5 = 72LFT(B) = 70+10 = 80LFT(C) = 66+15 = 81Rt(Q) = 80-28 = 100 – 48 = 52Rt(A) = 67-10 = 72-15 = 57Rt(B) = 70-12 = 80-22 = 58Rt(C) = 66-14 = 81-29 = 52

c) FINISH – TO – FINISH ( “Sfârşit – Sfârşit” )

O astfel de dependenţă este redată ca în figura de mai jos:

Activitatea B nu se poate termina decât după cel puţin γ unităţi de timp după terminarea activităţii A. În situaţia când γ>0 terminarea activităţii B este întârziată după

A

Q

10 5 15

67 57 72

B12 10 22

70 58 80

C14 15 29

66 52 81

28 20 48

80 52 100

13

10

14

A B

γ

terminarea activităţii A. Această dependenţă mai este şi numită relaţie ”întârziere – finish” (lay – finish).Dacă γ = 0, acesta este ignorat şi cele două activităţi se pot termina simultan.Reluăm exemplul dat cu dependenţe Finish – to – Finish:

EFT(Q) = max(15+13; 22+10; 29+14) = max(28; 32; 43)= 43EST(Q )= EFT(Q) – d(Q) = 43-20 = 23LFT(A) = 100-13 = 87LFT(B) = 100-10 = 90LFT(C) = 100-14 = 86LST(A) = 87-5 = 82LST(B) = 90-10 = 80LST(C) = 86 -15 = 71Rt(Q) = 80-23 = 100-43 = 57Rt(A) = 82-10 = 87-15 = 72Rt(B) = 80-12 = 90-22 = 68Rt(C) = 71-14 = 86-29 = 57

d) START – TO – FINISH ( “Început – Sfârşit” )

O astfel de dependenţă este redată ca în figura de mai jos:

Din figură rezultă că cel puţin δ unităţi de timp trebuie să se scurgă de la începutul activităţii A până la terminarea activităţii B.

Reluăm exemplul analizat ţinând cont de dependenţele Start- to- Finish.

A

Q

10 5 15

82 72 87

B12 10 22

80 68 90

C14 15 29

71 57 86

23 20 43

80 57 100

13

10

14

A B

δ

EFT(Q) = max( 10+13; 12+10; 14+14) = max(23; 22; 28) = 28EST(Q) = EFT(Q) – d(Q) = 28-20 = 8LST(A) = 100-13 = 87LST(B) = 100-10 = 90LST(C) = 100-14 = 86LFT(A) = 87+5 = 92LFT(B) = 90+10 = 100LFT(C) = 86+15 = 101Rt(A) = 87-10 = 92-15 = 77Rt(B) = 90-12 = 100-22 = 78Rt(C) = 86-14 = 101-29 = 72

A

Q

10 5 15

87 77 92

B12 10 22

90 78 100

C14 15 29

86 72 101

8 20 28

80 72 100

13

10

14