Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi EgyetemGépészmérnöki Kar

Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék

1111, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334.Tel: 463-16-80 Fax: 463-30-91http://www.vizgep.bme.hu

Készítette: dr. Váradi Sándor

Mérnöki alapok 7. előadás

Mérnöki alapok. 7. előadás

Áramló folyadék egyensúlya

Jellemzi a sebesség- és nyomáseloszlás; változhat a hely (helyvektor:) és az idő (t) függvényében( )r

Mérnöki alapok. 7. előadás

Időben állandó (stacionárius) áramlás: a sebesség (v), a nyomás (p), a sűrűség (ρ) nem függ az időtől, csak a helytől

Időben változó (instacionárius) áramlás: a fenti jellemzők hely és idő függvényei

Pl. lakás fűtés gázkazánnal, hőfokszabályozás („cirko”)

keringtető szivattyú indul – vagy leáll: instacionárius

közben állandó fordulatszámon jár: stacionárius (az áramlás szempontjából, de közben melegszik, tehát a hőtechnikai folyamat instacionárius)

Mérnöki alapok. 7. előadás

Áramlások leírása: az anyagmegmaradás és a mozgásegyenletekben

Anyagmegmaradás törvénye (kontinuitás) – csőben egyváltozós függvény

Mérnöki alapok. 7. előadás

Térfogatáram: időegység alatt áthaladó folyadék térfogat (q v. Q)Q = A v mértékegysége:

keresztmetszetátlagsebesség

Tömegáram: időegység alatt áthaladó folyadék tömegmértékegysége:

Anyagmegmaradás: állandó a hely függvényében

Ha ρ=áll. (cseppfolyós közeg)Nagy keresztmetszet, kis sebesség

s

m3

( )m&

Avqm ρ=ρ=&

s

kg

m&

222111áll. vAvAm ρ=ρ==&

2211 vAvA =

Mérnöki alapok. 7. előadás

Alkalmazás

Lakás központi fűtés kazánjának vízellátását végző szivattyú q=8dm3/min vizet szállít (egy vödör víz 1.25min!). A csővezeték hálózat ¾”-os és ½”-os csövekből épült.

¾” belső átmérő d3/4=20mm; A3/4= 3.14*10-4m2

½” belső átmérő d1/2=13mm; A1/2=1.33*10-4m2

Vízsebességek:

smmsmdm

dm

A

qv /425.0

10*14.3

1*

min/60*/10

min/824333

3

4/34/3 ===

−

Mérnöki alapok. 7. előadás

Legyen: fele balra, fele jobbra

smA

q

v /5.010*33.1

1*

60*10

8*21

*21

432/1

2/1 ===−

Mérnöki alapok. 7. előadás

MOZGÁSEGYENLET

Legegyszerűbb eset:� Ideális folyadék (nincs súrlódás)

� Állandósult áramlás (nem függ az időtől)

Energia megmaradás: a helyzeti és mozgási energia összegének megváltozása a külső erők munkájával egyenlő

Mérnöki alapok. 7. előadás

Mérnöki alapok. 7. előadás

A h1, h2 szinteket közös alapsíktól mérjük

Anyagmegmaradás (ρρρρ=áll. esetében)

F1 erő munkája

F2 erő munkája

E1 energia

E2 energia

22221111 sAtvAtvAsAV ∆=∆=∆=∆=

VptvApsFW 1111111 =∆=∆=

VptvApsFW 2222222 =∆=∆=

részközösEvVghVE 2111 2

+ρ

+ρ=

222 2 2

vVghVEE részközös

ρ+ρ+=

Mérnöki alapok. 7. előadás

Egyensúly:

Rendezve

Bernoulli egyenlet

(energia megmaradás)

1221 EEWW −=−

( )

ρ−ρ−

ρ+ρ=−

211

22221 22

vghvghVVpp

2222

2111 22

vghpvghpρ

+ρ+=ρ

+ρ+

.2

2állvghp =

ρ+ρ+

Mérnöki alapok. 7. előadás

Bernoulli, Daniel (1700-1782)

(Alapképzettsége orvos)

Bázelben fizika professzor

1738-ban „Hidrodinamika” c. könyvet jelentet meg Strassburgban

Ebben már benne van a róla elnevezett egyenlet

Eulerrel együtt sok problémát közösen oldanak meg

Mérnöki alapok. 7. előadás

A levezetett egyenletben minden tag mértékegysége: [N/m2]� p nyilván� ρρρρgh

�

Energetikai szempontból:

térfogategységre eső energia

22

2

223m

N

m

s

kgm

ms

kgm

s

m

m

kg===

22

2

2

2

3m

N

m

s

kgm

ms

kg

s

m

m

kg===

2

2v

ρ

332m

J

m

Nm

m

NPa ===

Mérnöki alapok. 7. előadás

ρρρρ-val osztva minden tag mértékegysége

azaz tömegegységre eső energia:

ρρρρg-vel osztva minden tag mértékegysége

azaz súlyegységre eső energia:

kg

Nm

.2

2

állv

ghp

=++ρ

== m

N

Nm

N

J

.2

2

állg

vh

g

p=++

ρ

Mérnöki alapok. 7. előadás

Bármelyik alakot használjuk az egyenletek dimenzionális homogenitásának teljesülnie kell! Ez a felismerés FOURIER, Jean-Baptiste Joseph báró (1768-1830) francia matematikus és fizikus nevéhez fűződik. 1807-ben mutatta be a francia akadémián a hővezetés differenciálegyenletét tartalmazó dolgozatát. Ebben azt is állította, hogy bármely, a [0, 2π] intervallumon értelmezett függvény, trigonometrikus sorba fejthető és ilyen sorokkal az egyenlet megoldható. 1822-ben publikálta „A hővezetés matematikai elmélete” című klasszikus művét. Két évvel később az akadémia tagja és titkára lett. Ma már a Fourier-sorok és a Fourier transzformáció nélkülözhetetlen eszközei a parciális differenciálegyenletek megoldásának.

Mérnöki alapok. 7. előadás

Alkalmazás: Folyadék energiája a központi fűtés csövében

Adatok:

ρρρρ=103kg/m3

p=1.5bar

v=0.425m/s

h=3m

Mérnöki alapok. 7. előadás

A sebesség négyzetes tag, tehát a súlyegységre vonatkoztatott mozgási energia ebben a feladatban elhanyagolható!

Légvezeték esetén (pl. áruházi szellőztető-fűtő rendszer)Adatok:ρρρρ=1.2kg/m3

p=0.1bar=104N/m2

v=15m/s

h=8m (a fejünk felett)

mmmmhg

v

g

p29.1830092.029.153

81.9*2

425.0

81.9*10

10*5.1

2

2

3

52

≈++=++=++ρ

Mérnöki alapok. 7. előadás

Itt az utolsó két tag azonos nagyságrendű

PaPaPaPaghvp 1022994135108*81.9*2.115*2

2.110

24242

=++=++=ρ+ρ

+

Mérnöki alapok. 7. előadás

VENTURI CSŐ

Elemei:

� konfúzor

� torok vagy nyak

� diffúzor

Mérnöki alapok. 7. előadás

Kontinuitás (ρρρρ=áll.)

Bernoulli 1-2

Mivel az ábrán bemutatott Ventúri cső vízszintes helyzetű, azaz a két nyomásmegcsapolás azonos magasságban van, így a térfogategységre felírt helyzeti energia a Bernoulli egyenlet mindkét oldalán azonos, ezért kiesik

2211 vAvA =1

2

2

1

A

A

v

v=

222

211 22

vpvpρ

+=ρ

+

Mérnöki alapok. 7. előadás

ha kör-keresztmetszet:

ezzel a Bernoulli egyenlet:

( )

−

ρ=

−

ρ=−

ρ=−

2

1

222

2

2

122

21

2221 1

21

22 A

Av

v

vvvvpp

4

1

2

2

1

2

=

d

d

A

A

−

ρ=−

4

1

22221 1

2 d

dvpp

Mérnöki alapok. 7. előadás

Manométer egyensúlyi egyenlet:

( ) hggzphzgp Hgvv ∆ρ+ρ+=∆+ρ+ 21

( ) hgpp vHg ∆ρ−ρ=− 21

( )

−

−=

4

1

2

212

1

2

d

d

ppv

ρ

Mérnöki alapok. 7. előadás

Ventúri cső mint mérőeszköz

∆∆∆∆h-t megmérem ∆∆∆∆p számolható v2 számolható

Tehát a Ventúri cső nyomáskülönbség mérése alapján működő térfogatáram mérőeszköz, ugyanilyen típusú mérőeszköz a mérőperem is

( )

−

−==

4

1

2

21222

1

2

d

d

ppAvAq

ρ