Upload
benjamin-musa-
View
73
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
funkcije
Citation preview
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
TRIGONOMETRIJSKEFUNKCIJE
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Sličnost trokuta Nacrtajmo dva trokuta različitih veličina koji imaju unutarnje
kutove jednake 30°, 60° i 90°.
A1
B1 C1
A2
B2C2
Unutrašnji kutovi trokuta A2B2C2 sukladni su unutrašnjim kutovima trokuta A1B1C1
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Sličnost trokuta Usporedimo li duljine dviju stranica nacrtanih trokuta koje su nasuprot
sukladnim kutovima, dobivamo:
2
2
2
1
2
1
2
1
2
ccbbaa
12 2 aa
12 2 bb
12 2 cc
A1
B1 C1
A2
B2C2
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Sličnost trokuta Omjeri duljina stranica koje su nasuprot sukladnim kutovima
nacrtanih trokuta isti su i jednaki 2. Tada možemo pisati ovako:
1
2
1
2
b
b
a
a
1
2
1
2
c
c
a
a
1
2
1
2
c
c
b
b, ,
1
2
1
2
1
2
c
c
b
b
a
a
Trokuti na slici očito su slični (istog oblika) pa ćemo na isti način i općenito odrediti slične trokute.
A1
B1 C1
A2
B2C2
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Dva su trokuta slična ako su kutovi jednog trokuta sukladni s kutovima drugog trokuta i ako su im omjeri odgovarajućih stranica trokuta jednaki.
Da su trokuti slični kraće pišemo A2B2C2 ~ A1B1C1
Sličnost trokuta
A1
B1 C1
A2
B2C2
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Radijani
O r
r s = r
1 radian
s
rO
r
Radijanska mjera kuta određuje se kao omjer duljine luka prema polumjeru luka.
Veza radijana i stupnjeve:
180
θ rad =
θ rad =r
s
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
aba'b'
aca'c'
bcb'c'
bab'a'
cac'a'
cbc'b'
β
α
β
aa’
c
c’
b’
b
Trigonometrijske funkcije oštrog trokuta
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Pravokutni trokut Prema položaju stranica “a” i “b” u odnosu na kut “α”, stranicu “a”
nazivamo NASUPROTNA KATETA, a stranicu “b” PRILEŽEĆA KATETA.
α A
B
C
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Omjeri kateta i hipotenuze u pravokutnom trokutu
sinus c
a
hipotenuza
katetaprotnanasu
_sin
kosinusc
b
hipotenuza
katetapriležeca
_cos
tangensb
a
katetapriležeca
katetauprotnanastg
_
_
kotangensa
b
katetaprotnanasu
katetapriležecactg
_
_
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Sinus, cosinus i tanges ugla
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Vrijednosti trigonometrijskih funkcija Za svaki oštri kut α uvijek vrijedi:
0 < sin α < 1 0 < cos α < 1 jer su u pravokutnom trokutu katete manje od hipotenuze.
Vrijednosti funkcija tg α i ctg α mogu biti po volji odabrani pozitivni brojevi, jer takvi mogu biti omjeri kateta.
A1
B1 C1
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
Sinus i kosinus
x
y
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Temeljni identitet
Za svaki realni broj t vrijedi
cos2t sin2t 1
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Sinus i cosinus ugla
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Cosinus ugla trougla
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Tangens
Vrijednost funkcije tangens (tg t) je ordinata točke u kojoj pravac OP siječe tangentu p.
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
t
O
P
p
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Kotangens
Vrijednost funkcije kotangens (ctg t) je apscisa točke u kojoj pravac OP siječe tangentu q.
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1q
O
P
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Predznaci trigonometrijskih funkcija
Koordinate točaka na brojevnoj kružnici mijenjaju predznak pri prijelazu u novi kvadrant.
Sinus i kosinus će mijenjati svoj predznak kad tačka T obiđe brojevnu kružnicu.
cos x
sin x
(1,0)(-1,0)
(0,-1)
T
tg x
ctg x
(0,1)
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
KVADRANT KVADRANT KVADRANT KVADRANT
I II III IV
+ + – –
+ – – +
+ – + –
sin x
cosx
tg x
ctg x
cos
sintg
to će tg i ctg biti pozitivni tamo gdje su sinus i kosinus istog predznaka: u I i III kvadrantu.
sin
cosctg
Kako vrijedi:
Predznaci trigonometrijskih funkcija
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Točke E(t) i E(-t) simetrične su s obzirom na os Ox. Zato se njihove apscise podudaraju, a ordinate razlikuju u predznaku:
Parnost i neparnost
sinus je neparna, a kosinus parna funkcija.
tangens i kotangens su neparne funkcije
cos (-t) = cos (t) , sin (-t) = -sin (t) tЄR
tg (-t) = -tg (t) , ctg (-t) = -ctg (t) tЄR ,
kt
2kt
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
Periodičnost funkcija sinus i kosinus
Brojevima t i t + 2π odgovara ista točka T na brojevnoj kružnici. Zato vrijedi za svaki realni broj t
sin (t+2π) = sin t , cos (t+2π) = cos t
Ovo se svojstvo naziva periodičnost funkcije sinus, odnosno kosinus.
UNIVERSITY OF SARAJEVO ¤ MECHANICAL ENGINEERING FACULTY ¤ DEFENSE TECHNOLOGIES DEPARTMENT ¤ www.dtd.ba
sin (t+2kπ) = sin t , cos (t+2kπ) = cos t
Sinus i kosinus su periodičke funkcije s periodom 2π.
Periodičnost funkcija sinus i kosinus
Da bismo odredili vrijednosti trigonometrijskih funkcija sinus i kosinus, dovoljno je poznavati njihove vrijednosti unutar intervala [0,2π].
sin t
cos t