ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤTĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DƯƠNG VIỆT THÔNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤTĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ

KHÔNG GIÃN

Chuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 62460102

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS. TS. Nguyễn Bường

2. GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả

của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công

trình nào khác.

NCS. Dương Việt Thông

1

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy giáo,

GS. TS. Nguyễn Bường và GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng

kính trọng và biết ơn sâu sắc đến các Thầy. Các Thầy đã truyền thụ kiến thức,

từng bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề một cách tự

nhiên để từ đó có thể chủ động, tự tin trong suốt quá trình học tập và nghiên

cứu. Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của

thầy Nguyễn Bường và thầy Phạm Kỳ Anh đã giúp cho tác giả có ý thức trách

nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận án của mình.

Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. TSKH. Đỗ Hồng Tân vì

những chỉ dẫn tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy dành cho

tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.

Tác giả xin chân thành cám ơn TS. Nguyễn Thị Thanh Hà, TS. Lê Anh

Dũng, TS. Nguyễn Văn Khiêm và TS. Nguyễn Thế Vinh đã động viên và góp

nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một số

vấn đề trong lý thuyết KKM và lý thuyết điểm bất động" do Bộ môn Giải

tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xét

quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể.

Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ môn Giải

tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể

2

các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học,

Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác

giả hoàn thành luận án của mình.

Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh

tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế

đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập,

nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường.

Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, những

người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu

và hoàn thành luận án này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014

Tác giả

3

Mục lục

Lời cam đoan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Một số ký hiệu và chữ viết tắt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.1. Giới thiệu về hình học không gian Banach . . . . . . . . . . . . 17

1.2. Ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.3. Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp . . . . . . . . . . . 27

1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Chương 2. PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.1. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn . . . . . 38

2.2. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt . . . . . 47

2.3. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Chương 3. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.1. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56

3.2. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67

3.3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số . . . . . . . . . . . . . 74

3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

KẾT LUẬN CHUNG. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1. Kết quả đạt được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

4

2. Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . 84

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUANĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5

MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

R tập số thực

N tập số tự nhiên

⇀ hội tụ yếuw∗

⇀ hội tụ * yếu

F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T

ωw(xn) tập các điểm tụ yếu của dãy xn

⋂

t≥0

F (T (t)) tập điểm bất động chung của họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0}

lim = lim sup giới hạn trên

lim = lim inf giới hạn dưới

PC(x) hình chiếu của x lên tập C

X không gian Banach

X∗ không gian liên hợp của không gian X

2X tập hợp tất cả các tập con của X

2X∗

tập hợp tất cả các tập con của X∗

δ(ǫ) môđun lồi của không gian Banach

J ánh xạ đối ngẫu của không gian X

Jλ = (I + λA)−1 giải thức của toán tử A

Aλ =1

λ(I − Jλ) xấp xỉ Yosida

〈., .〉 giá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng

6

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điểm bất động do L. E. J. Brouwer khởi xướng năm 1912 đến

nay đã được hơn 100 năm tuổi. Đó là một chương quan trọng của Giải tích

phi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với tên

tuổi của các nhà Toán học lớn như: E. Picard, L. E. J. Brouwer, S. Banach, J.

Schauder, S. Kakutani, A. N. Tikhonov, Ky Fan, F. E. Browder,...

Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ không

giãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi tuyến.

Điều này kết nối giữa lý thuyết hình học của không gian Banach cùng với sự

liên quan của lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng. Như ta đã

biết nếu ký hiệu X∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X, toán

tử đa trị A : X → 2X∗ với miền xác định D(A) được gọi là đơn điệu nếu

〈x∗ − y∗, x− y〉 ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A) và x∗ ∈ A(x), y∗ ∈ A(y).

Toán tử đa trị A : X → 2X∗ được gọi là toán tử đơn điệu cực đại nếu A là

toán tử đơn điệu trên X sao cho với mọi x ∈ X và x∗ ∈ X∗ thỏa mãn

〈x∗ − y∗, x− y〉 ≥ 0 ∀y ∈ D(A) và y∗ ∈ A(y)

thì x∗ ∈ A(x).

Toán tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử tăng trưởng nếu ∀x, y ∈D(A) và x∗ ∈ A(x), y∗ ∈ A(y) tồn tại j(x − y) ∈ J(x− y) sao cho

〈x∗ − y∗, j(x− y)〉 ≥ 0.

7

Một trong những sự kiện liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử tăng

trưởng là chúng trùng nhau trong không gian Hilbert. Các tính chất của toán

tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là rất quan trọng trong các lĩnh vực như

giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi. Điều đặc biệt là dưới vi

phân của một hàm lồi là toán tử đơn điệu. Nhắc lại rằng, trong không gian

Banach X cho hàm f : X → (−∞,+∞], dưới vi phân của f là toán tử đa trị

∂f : X → 2X∗ được xác định bởi

∂f(x) := {j ∈ X∗ : f(y)− f(x) ≥ 〈y − x, j〉 ∀y ∈ X} ∀x ∈ X.

Nếu f là nửa liên tục dưới và lồi chính thường trong không gian Banach thực

phản xạ thì ∂f là đơn điệu cực đại [28]. Dễ thấy rằng 0 ∈ ∂f(x) nếu và chỉ nếu

x=argmin{f(y) : y ∈ X}. Như vậy vấn đề tìm cực tiểu của hàm lồi dẫn đến

tìm không điểm của toán tử đơn điệu. Mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu và

ánh xạ không giãn là dựa trên sự kiện sau: nếu T là ánh xạ không giãn trong

không gian Hilbert thì A := I − T là toán tử đơn điệu và tập điểm bất động

của ánh xạ không giãn T trùng với tập không điểm của toán tử đơn điệu.

H. Brezis, M. G. Crandall và A. Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán tử

đơn điệu trong không gian Banach trong [17]. Họ đã thiết lập các tính chất cơ

bản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quan đến không

điểm của toán tử đơn điệu. Trong không gian Banach X cho A : X → 2X là

toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó giải thức Jλ của toán tử A là ánh xạ đơn trị

và được xác định theo công thức Jλ = (I +λA)−1, ∀λ > 0. Chúng ta biết rằng

A−10 = F (Jλ). Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn. Suy ra vấn đề tìm không

điểm của toán tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất

động của ánh xạ không giãn Jλ.

Giữa lớp ánh xạ không giãn và toán tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.

Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu

∀x, y ∈ X tồn tại j(x− y) ∈ J(x− y) sao cho

〈Tx− Ty, j(x− y)〉 ≤ ‖x− y‖2.

8

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] L. A. Dũng (2009), Điểm bất động và ứng dụng trong không gian Banach,

không gian metric, không gian metric siêu lồi, Luận án tiến sỹ Toán học,

ĐHSP Hà Nội.

[2] N. X. Liêm (2002), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.

[3] Đ. H. Tân và N. T. T. Hà (2003), Các định lý điểm bất động, NXB Đại

học Sư phạm Hà Nội.

[4] N. T. Vinh (2011), Lý thuyết KKM trong nửa dàn tôpô và ứng dụng, Luận

án tiến sỹ Toán học, Viện Toán học.

Tiếng Anh

[5] R. P. Agarwal, D. O’Regan, D. Sahu (2009), Fixed point theory for

Lipschitzian-type mappings with applications, Spinger.

[6] R. P. Agarwal, X. Qin, S. M. Kan (2011), "Strong convergence theorems

for strongly continuous semigroups of pseudocontractions", Appl. Math.

Letters., 24, pp. 1845-1848.

[7] A. Aleyner, Y. Censor (2005), "Best approximation to common fixed points

of a semigroup of nonexpansive operators", J. Nonlinear Convex Anal., 6,

pp. 137–151.

87

[8] P. K. Anh, N. Buong, D.V. Hieu (2014),"Parallel methods for regularizing

systems of equations involving accretive operators", Appl. Anal., 93, pp.

2136-2157.

[9] P. K. Anh, C.V. Chung (2104), "Parallel hybrid methods for a finite family

of relatively nonexpansive mappings", Numer. Funct. Anal. Optim., 35, pp.

649-664.

[10] P. N. Anh (2012), "Strong convergence theorems for nonexpansive map-

pings and Ky Fan inequalities", J. Optim. Theory Appl., 154, pp. 303-320.

[11] P. K. Anh, D.V. Hieu, "Parallel and sequential hybrid methods for a finite

family of quasi ϕ- asymptotically nonexpansive mappings", J. Appl. Math.

Comput., DOI: 10.1007/s12190-014-0801-6.

[12] G. V. R. Babu, K. N. V. V. Vara Prasad (2006), "Mann iteration converges

faster than Ishikawa iteration for the class of Zamfirescu operators", Fixed

Point Theorey and Applications, vol. 2006, Article ID 49615, 6 pages.

[13] J. Banasiak, L. Arlotti (2006), Perturbations of Positive Semigroups with

Applications, Springer, London.

[14] V. Berinde (2007), Iterative Approximation of Fixed Points, Spinger Ver-

lag, Lectures Notes in Mathematics, 1912.

[15] V. Berinde (2004), "On the convergence of the Ishikawa iteration in

the class of quasi contractive operators", Acta Mathematica Universitatis

Comenianae, 73, pp. 119-126.

[16] V. Berinde (2004), "Picard iteration converges faster than Mann itera-

tion for a class of quasi-contractive operators", Fixed Point Theorey and

Applications, 2, pp. 97-105.

88

[17] H. Brezis, M. G. Crandall, A. Pazy (1970), "Perturbations of nonlinear

maximal monotone sets in Banach spaces", Comm. Pure Appl. Math., 23,

pp. 123–144.

[18] F. E. Browder (1967), "Convergence of approximants to fixed points

of nonexpansive non-linear mappings in Banach spaces", Arch. Rational

Mech. Anal., 24, pp. 82-90.

[19] F. E. Browder, W.V. Petryshyn (1967), "Construction of fixed points of

nonlinear mapping in Hilbert space", J. Math. Anal. Appl., 20, pp. 197-228.

[20] N. Buong, L. T. Duong (2011), "An explicit iterative algorithm for a class

of variational inequalities in Hilbert spaces", J. Optim. Theory Appl., 151,

pp. 513-524.

[21] N. Buong (2010), " Strong convergence theorem for nonexpansive semi-

groups in Hilbert space", Nonlinear Anal., 72, 4534-4540.

[22] N. Buong (2010), "Strong convergence theorem of an iterative method for

variational inequalities and fixed point problems in Hilbert spaces", Appl.

Math. Comp., 217, pp. 322-329.

[23] N. Buong (2011), "Hybrid-Ishikawa iterative methods for a nonexpansive

semigroup in Hilbert space", Comp. Math. Appl., 61, pp. 2546-2554.

[24] N. Buong, N. D. Lang (2011), "Hybrid Mann-Halpern iteration methods

for nonexpansive mappings and semigroups", Appl. Math. Comp., 218, pp.

2459-2466.

[25] L. C. Ceng, S. AI-Homidan, Q. H. Ansari, J.C. Yao (2009), "An iterative

scheme for equilibrium problems and fxed point problems of strict pseudo-

contraction mappings", J. Comp. Appl. Math., 223, pp. 967-974.

89

[26] Y. Censor, S. A. Zenios (1997), Parallel Optimization: Theory, Algorithms,

and Applications, Numerical Mathematics and Scientific Computation,

Oxford University Press, New York, NY, USA.

[27] F. Cianciaruso, G. Marino, L. Muglia (2010), "Iterative methods for equi-

librium and fixed point problems for nonexpansive semigroups in Hilbert

spaces", J. Optim. Theory Appl., 146, pp. 491-509.

[28] I. Cioranescu (1990), Geometry of Banach spaces, Duality Mappings, and

Nonlinear Problems, Kluwer Academic Publishers.

[29] R. Chen, H. He (2007), "Viscosity approximation of common fixed points

of nonexpansive semigroups in Banach spaces", Appl. Math. Lett., 20, pp.

751-757.

[30] J. Chen, L. Zhang, T. Fan (2007), "Viscosity approximation methods for

nonexpansive mappings and monotone mappings", J. Math. Anal. Appl.,

334, pp. 1450-1461.

[31] R. Chen, Y. Song, (2007), "Convergence to common fixed point of non-

expansive semigroups", J. Comput. Appl. Math., 200, pp. 566-575.

[32] R. D. Chen, Y. S. Song, H. Zhou (2006), "Convergence theorems for im-

plicit iteration process for a finite family of continuous pseudocontractive

mappings", J. Math. Anal. Appl., 314, pp. 701-706.

[33] C. E. Chidume, M. Abbas, B. Ali (2007), "Convergence of the Mann

iteration algorithm for a class of pseudocontractive mappings", Appl. Math.

Comp., 194, pp. 1-6.

[34] C. E. Chidume, N. Shahzad (2010), "Weak convergence theorems for a

finite family of strict pseudocontractions", Nonlinear Anal., 72, pp. 1257-

1265.

90

[35] P. Cholamjiak, S. Suantai (2013), "Iterative methods for solving equilib-

rium problems, variational inequalities and fixed points of nonexpansive

semigroups", J. Glob. Optim., 57, pp. 1277-1297.

[36] Dr. Christian, O. Ewald (2007), Games, Fixed Points and Mathematical

Economics, Lecture Notes for a course in Game Theory.

[37] C. S. Chuang, L. J. Lin, W. Takahashi (2013), "Halpern’s type itera-

tions with perturbations in Hilbert spaces: equilibrium solutions and fixed

points", J. Glob. Optim., 56, pp. 1591-1601.

[38] V. Colao, G. Marino, H. K. Xu (2008), "An iterative method for finding

common solutions of equilibrium and fixed point problems", J. Math. Anal.

Appl., 344, pp. 340-352.

[39] K. Deimling (1974), "Zeros of accretive operators", Manuscripta Math.,

13, pp. 365-374.

[40] K. Goebel, W. A. Kirk (2008), "Some problems in metric fixed point

theory", J. Fixed point Theory Appl., 4, pp. 13-25.

[41] J. P. Gossez, E. Lami Dozo (1972), "Some geometric properties related to

the fixed point theory for nonexpansive mappings", Pacific J. Math., 40,

pp. 565-573.

[42] C. W. Groetsch (1972), "A note on segmenting Mann iterates", J. Math.

Anal. Appl., 40, pp. 369-372.

[43] B. Halpern (1967), "Fixed points of nonexpanding maps", Bull. Amer.

Math. Soc., 73, pp. 957-961.

[44] Y. Hao (2008), "Convergence theorems of common fixed points for pseu-

docontractive mappings", Fixed Point Theory Appl., Vol. 2008 Art. ID

902985.

91

[45] J. G. O’Hara, P. Pillay, H. K. Xu (2006), "Iterative approaches to convex

feasibility problems in Banach spaces", Nonlinear Anal., 64, pp. 2022-2042.

[46] H. He, R. Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQ

method for nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Appli-

cations, vol. 2007, Article ID 59735, 8 pages.

[47] H. He, R. Chen (2007), "Strong convergence theorems of the CQ method

for nonexpansive semigroups", Fixed Point Theorey and Applications, vol.

2007, Article ID 59735, 8 pages.

[48] S. Ishikawa (1974), "Fixed points by a new iteration method", Proc. Amer.

Math. Soc., 44, pp. 147-150.

[49] C. Jaiboon, P. Kumam (2010), "A general iterative method for solving

equilibrium problems, variational inequality problems and fixed point prob-

lems of an infinite family of nonexpansive mappings", J. Appl. Math. Com-

put., 34, pp. 407-439.

[50] A. Kaewcharoen, W.A. Kirk (2006), "Proximinality in geodesic spaces",

Abstr. Appl. Anal. Article ID 43591, 10 pages.

[51] S. Kamimura, W. Takahashi (2000), "Weak and strong convergence of so-

lutions to accretive operator inclusions and applications", Set-Valued Anal.,

8, pp. 361-374.

[52] R. Kannan (1973), "Construction of fixed points of class of nonlinear

mappings", J. Math. Anal. Appl., 41, pp. 430-438.

[53] R. Kannan (1971), " Some results on fixed points-III", Fund. Math., 70,

pp. 169-177.

[54] T. H. Kim, H. K. Xu (2006), "Strong convergence of modified Mann iter-

ations for asymptotically nonexpansive mappings and semigroups", Non-

linear Anal. Appl., 64, pp. 1140-1152.

92

[55] M. A. Krasnoselskij (1955), "Two remarks on the method of successive

approximations", Uspekhi Mat. Nauk., 10, pp. 123-127.

[56] P. Kumam (2009), "A new hybrid iterative method for solution of equilib-

rium problems and fixed point problems for an inverse strongly monotone

operator and a nonexpansive mapping", J. Appl. Math. Comput., 29, pp.

263-280.

[57] T. Laokul, B. Panyanak (2009), "Approximating fixed points of nonex-

pansive mappings in CAT(0) spaces", Int. Journal Math. Analysis, 3, pp.

1305-1315.

[58] H. Y. Li, H. Z. Li (2009), "Strong convergence of an iterative method for

equilibrium problems and variational inequality problems", Fixed Point

Theory and Applications, vol. 2009, article ID 362191, 21 pages.

[59] W. R. Mann (1953), "Mean value methods in iterations",Proc. Amer.

Math. Soc., 4, pp. 506-510.

[60] G. Marino, H. K. Xu (2007), "Weak and strong convergence theorems for

strict pseudo-contractions in Hilbert spaces", J. Math. Anal. Appl., 329,

pp. 336-346.

[61] A. Moudafi (2013), "A relaxed alternating CQ-algorithm for convex fea-

sibility problems", Nonlinear Anal., 79, pp. 117-121.

[62] A. Moudafi (2000), "Viscosity approximating methods for fixed point

problems", J. Math. Anal. Appl., 241, pp. 46-55.

[63] K. Nakajo, W. Takahashi (2003), "Strong convergence theorems for non-

expansive mappings and nonexpansive semigroups", J. Math. Anal. Appl.

279, pp. 372-379.

93

[64] W. Nilsrakoo, S. Saejung (2008), "Weak and strong convergence theorems

for countable Lipschitzian mappings and its applications", Nonlinear Anal.,

69, pp. 2695-2708.

[65] W. Nilsrakoo, S. Saejung (2011), "Strong convergence theorems by

Halpern-Mann iterations for relatively nonexpansive mappings in Banach

spaces Appl. Math. Comp., 217, pp. 6577-6586.

[66] M. O. Osilike (2004), "Implicit iteration process for common fixed points

of a finite family of strictly pseudocontractive maps", J. Math. Anal. Appl.,

294, pp. 73-81.

[67] B. Panyanak (2008), "Mann and Ishikawa iterative processes for multival-

ued mappings in Banach spaces", Comp. Math. Appl., 54, 872-877.

[68] J. W. Peng, J.C. Yao (2010), "Ishikawa iterative algorithms for a general-

ized equilibrium problem and fixed point problems of a pseudo-contraction

mapping", J. Glob. Optim., 46, pp. 331-345.

[69] S. Plubtieng, R. Punpaeng (2008), "A new iterative method for equilib-

rium problems and fixed point problems of nonexpansive mappings and

monotone mappings", Appl. Math. Comp., 197, pp. 548-558.

[70] S. Plubtieng, R. Punpaeng (2007), "A general iterative method for equi-

librium problems and fixed point problems in Hilbert spaces", J. Math.

Anal. Appl., 336, pp. 455-469.

[71] S. Plubtieng, T. Thammathiwat (2010), "A viscosity approximation

method for equilibrium problems, fixed point problems of nonexpansive

mappings and a general system of variational inequalities", J. Glob. Op-

tim., 46, pp. 447-464.

94

[72] O. Popescu (2007), "Picard iteration converges faster than Mann iteration

for a class of quasi-contractive operators", Mathematical Communications,

12, pp. 195-202.

[73] X. Qin, Y. J. Cho (2010), "Implicit iterative algorithms for treating

strongly continuous semigroups of Lipschitz pseudocontractions", Appl.

Math. Lett., 23, pp. 1252-1255.

[74] X. Qin, S. M. Kang, Y. J. Cho (2010), "Approximating zeros of monotone

operators by proximal point algorithms" J. Glob. Optim., 46, pp. 75-87.

[75] Y. Qing, B. E. Rhoades (2008), "Comments on the rate of convergence

between Mann and Ishikawa iterations applied to Zamfirescu operators",

Fixed Point Theory and Applications, vol. 2008, Article ID 387504, 3 pages.

[76] S. Saeidi (2008), "Approximating common fixed points of Lipschitzian

semigroup in smooth Banach spaces", Fixed Point Theory and Applica-

tions, vol. 2008, article ID 363257, 17 pages.

[77] S. Saejung (2008), "Strong convergence theorem for nonexpansive semi-

groups without Bochner integrals", Fixed Point Theorey and Applications,

vol. 2008, Article ID 745010, 7 pages.

[78] M. I. Sezan, H. Stark (1987), "Application of convex projection theory

to image recovery in tomography and related areas", in Image Recovery:

Theory and Applications, H. Stark, Ed., pp. 415-462, Academic Press, Or-

lando, Fla, USA.

[79] N. Shahzad, J. Markin (2008), "Invariant approximations for commuting

mappings in CAT(0) and hyperconvex spaces", J. Math. Anal. Appl., 337,

pp. 1457-1464.

95

[80] T. Shimizu, W. Takahashi (2007), "Strong convergence to common fixed

points of families of nonexpansive mappings", J. Math. Anal. Appl., 211,

pp. 71-83.

[81] T. Shi, S. He (2010), "Modified hybrid algorithms for Lipschitz quasi-

pseudo-contractive mappings in Hilbert spaces", Comp. Math. Appl., 59,

pp. 2940-2950.

[82] S. M. Solutuz (2005), "The equivalence of Picard, Mann and Ishikawa

iterations dealing with quasi-contractive operators", Mathematical Com-

munications, 10, pp. 81-88.

[83] Y. Song, R. Chen (2007), "Convergence theorems of iterative algorithms

for continuous pseudocontractive mappings", Nonlinear Anal., 67, pp. 486-

497.

[84] Y. Song, J. I. Kang, Y. J. Cho (2010), "On iterations methods for zeros

of accretive operators in Banach spaces", Appl. Math. and Comp., 216, pp.

1007-1017.

[85] Y. Song, S. Xu (2008), "Strong convergence theorems for nonexpansive

semigroup in Banach spaces", J. Math. Anal. Appl., 338, pp. 152-161.

[86] Y. Song (2007), "On a Mann type implicit iteration process for continuous

pseudo-contractive mappings", Nonlinear Anal., 67, pp. 3058-3063.

[87] Y. Su, X. Qin (2008), "Monotone CQ iteration processes for nonexpansive

semigroups and maximal monotone operators", Nonlinear Anal., 68, pp.

3657-3664.

[88] Y. Su, M. Li, H. Zhang (2011), "New monotone hybrid algorithm for

hemi-relatively nonexpansive mappings and maximal monotone operators",

Appl. Math. Comp., 217, pp. 5458-5465.

96

[89] T. Suzuki (2005), "Strong convergence of Krasnoselskii and Mann’s type

sequences for one- parameter nonexpansive semigroups without Bochner

integrals", J. Math. Anal. Appl., 305, pp. 227-239.

[90] T. Suzuki (2003), " On strong convergence to common fixed points of

nonexpansive semigroups in Hilbert space", Proc. Amer. Math. Soc., 131,

pp. 2133-2136.

[91] W. Takahashi (2000), Nonlinear Functional Analysis, Fixed Point Theory

and Its Applications, Yokohama Publishers, Yokohama, Japan.

[92] W. Takahashi, Y. Takeuchi, R. Kubota (2008), "Strong convergence the-

orems by hybrid methods for families of nonexpansive mappings in Hilbert

spaces", J. Math. Anal. Appl., 341, pp. 276-286.

[93] S. Thianwan (2009), "Common fixed points of new iterations for two

asymptotically nonexpansive nonself mappings in a Banach space", J. Com-

put. Appl. Math., 224, pp. 688-695.

[94] N. T. T. Thuy (2103), "A new hybrid method for variational inequality

and fixed point problems", Vietnam J. Math., 41, pp. 353-366.

[95] N. T. T. Thuy (2014), "A strongly convergent shrinking descent-like

Halpern’s method for monotone variational inequality and fixed point prob-

lems", Acta Math. Vietnam, 39, pp. 379-391.

[96] N. T. T. Thuy (2015), "An iterative method for equilibrium, variational in-

equality, and fixed point problems for a nonexpansive semigroup in hilbert

spaces", Bull. Malays. Math. Sci. Soc., 38, pp. 113-130.

[97] Z. M. Wang, Y. Su, S, Y. Cho, W. Lou (2011), "A new iterative algorithm

for equilibrium and fixed point problems of nonexpansive mapping", J.

Glob. Optim., 50, pp. 457-472.

97

[98] R. Wittmann (1992), "Approximation of fixed points of nonexpansive

mappings", Arch. Math., 58, pp. 486-491.

[99] H. K. Xu (1998), "Approximations to fixed points of contraction semi-

groups in Hilbert spaces", Numer. Funct. Anal. Optim., 19, pp. 157-163.

[100] Z. Xue (2008), "The comparison of the convergence speed between Pi-

card, Mann, Krasnoselskij and Ishikawa iterations in Banach spaces", Fixed

Point Theorey and Applications, vol. 2008, Article ID 387056, 5 pages.

[101] H. K. Xu (2005), "A strong convergence theorem for contractions semi-

groups in Banach spaces", Bull. Austr. Math. Soc., 72, pp. 371-379.

[102] H. K. Xu (2004), "Viscosity approximation methods for nonexpansive

mappings", J. Math. Anal. Appl., 298, pp. 279-291.

[103] H. K. Xu (2005), "A strong convergence theorem for contraction semi-

groups in Banach spaces", Bull. Austral. Math. Soc., 72, pp. 371-379 .

[104] H. K. Xu (2001), "Strong asymptotic behavior of almost-robits of non-

linear semigroups", Nonlinear Anal., 46, pp. 135-151.

[105] H. K. Xu, R. G. Ori (2001), "An implicit iteration process for nonexpan-

sive mappings", Numer. Funct. Anal. Optimiz., 22, pp. 767-773.

[106] Yamada, N. Ogura (2004), "Hybrid steepest descent method for vari-

ational inequality problem over the fixed point set of certain quasi-

nonexpansive mappings", Numer. Func. Anal. Opt., 25, pp. 619-656.

[107] G. M. Yanes, H. K. Xu (2006), "Strong convergence of the CQ method

for fixed point iteration processes", Nonlinear Anal., 64, pp. 2400-2411.

[108] Y. Yao, Y. C. Liou, J. C. Yao (2007), "Convergence theorem for equi-

librium problems and fixed point problems of infinite family of nonexpan-

98

sive mappings", Fixed Point Theory and Applications, vol. 2007, article ID

64363, 12 pages.

[109] I. Yildirim, M. Ozdemir, H. Kiziltunc (2009) "On the convergence of

a new two-step iteration in the class of quasi-contractive operators", Int.

Journal of Math. Analysis, 3, pp. 1881-1892.

[110] D. C. Youla (1987), "Mathematical theory of image restoration by the

method of convex projections", in: H. Stark (Ed.), Image Recovery: Theory

And Applications, Academic Press, Florida, pp. 29-77.

[111] T. Zamfirescu (1972), "Fixed point theorems in metric spaces", Archiv

der Mathematik, 23, pp. 292-298.

[112] S. S. Zhang (2009), "Convergence theorem of common fixed points

for Lipschitzian pseudo-contraction semi-groups in Banach spaces", Appl.

Math. Mech. -Engl. Ed., 30, pp. 145-152.

[113] S. S. Zhang (2010), "Weak convergence theorem for Lipschitzian pseu-

docontraction semigroups in Banach spaces", Acta Mathematica Sinica,

Einglish Series, 26, pp. 337-344.

[114] H. Zhou (2008), "Convergence theorems of common fixed points for a

finite family of Lipschitz pseudocontractions in Banach spaces", Nonlinear

Anal., 68, pp. 2977-2983.

99