Embed Size (px)
Citation preview
1
STATISZTIKASTATISZTIKA
4. El4. Előőadadááss
NormNormáális eloszllis eloszláás, s, megbmegbíízhatzhatóóssáági intervallumokgi intervallumok
22/62/62
300 dob300 dobááss
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5 6
33/62/62
300 dob300 dobáás 6 dobs 6 dobóókockakocka
0
5
10
15
20
25
30
35
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 44/62/62
6 dob6 dobóókocka, varikocka, variáácicióók szk száámama
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36
55/62/62
NormNormáális eloszllis eloszláás felfedezs felfedezőőii
�� Abraham de Abraham de MoivreMoivre fedezte fel fedezte fel éés s kköözzöölte le 1733lte le 1733--banban
�� PierrePierre--Simon Simon LaplaceLaplace
�� Carl Friedrich Carl Friedrich GaussGauss
66/62/62
Abraham de Abraham de MoivreMoivre (1667(1667--1754)1754)
2
77/62/62
PierrePierre--Simon Simon Laplace (1749Laplace (1749 --1827)1827)
88/62/62
Carl Friedrich Gauss (1777Carl Friedrich Gauss (1777--1855)1855)
99/62/62
A normA normáális eloszllis eloszláás mint modell s mint modell
�� A termA terméészetben nagyon sok mszetben nagyon sok méért rt paramparamééter normter normáális eloszllis eloszláással ssal íírhatrhatóó le, le, mint pmint pééldldáául az egyul az egyéének magassnek magassáága, ga, vvéérnyomrnyomáása, ssa, súúlya, stb. lya, stb.
�� Ez a modell jEz a modell jóól lel leíírja a mrja a méérréési si éértrtéékeknek keknek a ka köözzééppéértrtéék (vk (váárhatrhatóó éértrtéék) kk) köörrüüli li szszóórróóddáássáát.t.
�� A normA normáális elnevezlis elnevezéés arra utal, hogy a s arra utal, hogy a mméért adatainktrt adatainktóól ezt vl ezt váárjuk, mert ez a rjuk, mert ez a termterméészetes viselkedszetes viselkedééssüük.k.
1010/62/62
NormNormáális eloszllis eloszláás jels jelöölléésese
N(N(µµ, , σσ))
1111/62/62
NormNormáális eloszllis eloszláás s ssűűrrűűsséégfgfüüggvggvéényenye
( )2
2
2
21
)( σµ
πσ
−−=
x
exf
1212/62/62
NormNormáális eloszllis eloszláás s ssűűrrűűsséégfgfüüggvggvéényenye
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
46 47 48 49 50 51 52 53 54
(cm)
p
3
1313/62/62
EloszlEloszláásfsfüüggvggvéényny
( )dxexF
x x
∫∞−
−−= 2
2
2
21
)( σµ
πσ
1414/62/62
ValValóószszíínnűűsséégekgek
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
20 30 40 50 60 70 80
átlag
1515/62/62
Standard normStandard normáális eloszllis eloszláás jels jelöölléésese
N(0, 1)N(0, 1)
1616/62/62
StandardizStandardizáállááss
σµ−= i
i
xz
1717/62/62
Standard normStandard normááleloszlleloszláás s ssűűrrűűsséégfgfüüggvggvéényenye
π21
µµ , medián, módusz
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
-4 -2 0 2 40.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
-4 -2 0 2 4
2
2
21
)(x
ex−
=π
φ
1818/62/62
Standard normStandard normáális eloszllis eloszláás s eloszleloszláásfsfüüggvggvéényenye
dxexx x
∫∞−
−=Φ 2
2
21
)(π
4
1919/62/62
Standard normStandard normááleloszlleloszláás s eloszleloszláásfsfüüggvggvéényenye
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0,84
0,16 0,680,68
2020/62/62
Standard normStandard normááleloszlleloszláás 68%s 68%--os os valvalóószszíínnűűsséégege
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
-4 -2 0 2 4
0.000
0.050
0.100
0.150
0.200
0.250
0.300
0.350
0.400
-4 -2 0 2 4
2121/62/62
A normA normáál eloszll eloszláás nevezetes s nevezetes éértrtéékeikei
3,2999,9
2,5899
1,9695
168
µ ± z%σMegbízhatóság %
2222/62/62
ÖÖsszefoglalsszefoglalááss
2323/62/62
NORM.ELOSZLNORM.ELOSZLÁÁSS
NORM.ELOSZLNORM.ELOSZL ((xx ;;kköözzééppéértrt éékk ;;szszóórrááss ;;eloszleloszl áásfvsfv ))
X:X: Az az Az az éértrtéék, amelynk, amelynéél az eloszll az eloszláást ki kell st ki kell szszáámmíítani.tani.
KKöözzééppéértrtéék:k: Az eloszlAz eloszláás ks köözzééppéértrtééke (vke (váárhatrhatóóéértrtééke).ke).
SzSzóórráás:s: Az eloszlAz eloszláás szs szóórráása.sa.
EloszlEloszláásfvsfv:: Logikai Logikai éértrtéék. Ha k. Ha éértrtééke IGAZ, akkor ke IGAZ, akkor a NORM.ELOSZL fa NORM.ELOSZL füüggvggvéény az ny az eloszleloszláásfsfüüggvggvéény ny éértrtéékkéét szt száámmíítja ki, ha tja ki, ha éértrtééke ke HAMIS, akkor a sHAMIS, akkor a sűűrrűűsséégfgfüüggvggvéénynyéét.t.
2424/62/62
PPéélda 1.lda 1.ÁÁtlag: 100 kgtlag: 100 kg
SzSzóórráás: 10 kgs: 10 kg
NORM.ELOSZL(x;100;10;hamis)NORM.ELOSZL(x;100;10;hamis)
0
0,005
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,035
0,04
0,045
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
5
2525/62/62
PPéélda 2.lda 2.ÁÁtlag: 100 kgtlag: 100 kg
SzSzóórráás: 10 kgs: 10 kg
NORM.ELOSZL(x;100;10;igaz)NORM.ELOSZL(x;100;10;igaz)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 1502626/62/62
PPéélda 3.lda 3.
ÁÁtlag: 100 kgtlag: 100 kg
SzSzóórráás: 10 kgs: 10 kg
�� Mi a valMi a valóószszíínnűűsséége, hogy 80 kgge, hogy 80 kg--nnáál l kisebb lesz?kisebb lesz?
�� 2%2%
2727/62/62
INVERZ.NORMINVERZ.NORM
INVERZ.NORMINVERZ.NORM((valval óószszíínnűűsséégg ;;kköözzééppéértrtéékk;;szszóórrááss))ValValóószszíínnűűsséég:g: A standard normA standard normáális eloszllis eloszlááshoz tartozshoz tartozóó
valvalóószszíínnűűsséég.g.KKöözzééppéértrtéék:k: Az eloszlAz eloszláás ks köözzééppéértrtééke (vke (váárhatrhatóó éértrtééke).ke).SzSzóórráás:s: Az eloszlAz eloszláás szs szóórráása.sa.MegjegyzMegjegyz ééssHa bHa báármelyik argumentum rmelyik argumentum éértrtééke nem szke nem száám, akkor az m, akkor az
INVERZ.NORM az #INVERZ.NORM az #ÉÉRTRTÉÉK! hibaK! hibaéértrtééket adja vissza. ket adja vissza. Ha valHa valóószszíínnűűsséég < 0 vagy valg < 0 vagy valóószszíínnűűsséég > 1, akkor az g > 1, akkor az
INVERZ.NORM eredmINVERZ.NORM eredméénye a #SZnye a #SZÁÁM! hibaM! hibaéértrtéék lesz. k lesz. Ha szHa szóórráás s ≤≤ 0, akkor az INVERZ.NORM a #SZ0, akkor az INVERZ.NORM a #SZÁÁM! M!
hibahibaéértrtééket adja eredmket adja eredméénynyüül. l. Az INVERZ.NORM a standard normAz INVERZ.NORM a standard normáális eloszllis eloszláást st
hasznhasznáálja, ha klja, ha köözzééppéértrtéék = 0 k = 0 éés szs szóórráás = 1 (ls = 1 (láásd sd INVERZ.STNORM).INVERZ.STNORM). 2828/62/62
STNORMELOSZLSTNORMELOSZL
Z:Z: Az az Az az éértrtéék, amelynk, amelynéél az eloszll az eloszláást ki st ki kell szkell száámmíítani.tani.
MegjegyzMegjegyz ééssHa a z argumentum Ha a z argumentum éértrtééke nem szke nem száám, akkor m, akkor
a STNORMELOSZL az #a STNORMELOSZL az #ÉÉRTRTÉÉK! K! hibahibaéértrtééket adja eredmket adja eredméénynyüül.l.
2929/62/62
INVERZ.STNORMINVERZ.STNORMINVERZ.STNORMINVERZ.STNORM((valvalóószszíínnűűsséégg))ValValóószszíínnűűsséég:g: A standard normA standard normáális eloszllis eloszlááshoz tartozshoz tartozóó
valvalóószszíínnűűsséég.g.MegjegyzMegjegyz ééssHa a valHa a valóószszíínnűűsséég g éértrtééke nem szke nem száám, akkor az m, akkor az
INVERZ.STNORM az #INVERZ.STNORM az #ÉÉRTRTÉÉK! hibaK! hibaéértrtééket adja ket adja eredmeredméénynyüül. l.
Ha valHa valóószszíínnűűsséég < 0 vagy valg < 0 vagy valóószszíínnűűsséég > 1, akkor az g > 1, akkor az INVERZ.NORM eredmINVERZ.NORM eredméénye a #SZnye a #SZÁÁM! hibaM! hibaéértrtéék lesz. k lesz.
Az INVERZ.STNORM fAz INVERZ.STNORM füüggvggvéény adott valny adott valóószszíínnűűssééggéértrtéékkel kkel olyan z olyan z éértrtééket keres, amelynket keres, amelynéél STNORMELOSZL(z) = l STNORMELOSZL(z) = valvalóószszíínnűűsséég. g. ÍÍgy az INVERZ.STNORM pontossgy az INVERZ.STNORM pontossáága ga ffüügg az STNORM.ELOSZL pontossgg az STNORM.ELOSZL pontossáággááttóól. Az l. Az INVERZ.STNORM fINVERZ.STNORM füüggvggvéény iterny iteráácicióós keress kereséési eljsi eljáárráást st alkalmaz. Amennyiben a keresalkalmaz. Amennyiben a kereséés nem konvergs nem konvergáál 100 l 100 llééppéés uts utáán, a fn, a füüggvggvéény #HIny #HIÁÁNYZIK hibaNYZIK hibaéértrtéékkel tkkel téér r vissza.vissza.
MegbMegbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáányoknyok
(Konfidencia intervallumok)(Konfidencia intervallumok)
6
3131/62/62
PontbecslPontbecsléés s intervallumbecslintervallumbecslééss
3232/62/62
A kA köözzééppéértrtéék megbk megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáányanya
95,096,196,1 =
+≤≤−n
xn
xPσµσ
95,005,005,0 =
+≤≤−n
stx
n
stxP µ
Ismert σ:
Ismeretlen σ:
3333/62/62
StudentStudent--fféélele tt--eloszleloszlááss
3,002,001,000,00-1,00-2,00-3,00
0,40
0,30
0,20
0,10
0,00
fg=30
fg=4
fg=2
3434/62/62
tt--eloszleloszláás ss sűűrrűűsséégfgfüüggvggvéényenye
2
12
1
)( +
+
= f
ft
Ktf
ahol:
f=n-1 szabadságfok
K: a minta elemszámától (n) függőkonstans
ns
xt
/µ−=
3535/62/62
William William SealySealy GossetGosset, 1876, 1876--1937.1937.
StudentStudent, 1908, 19083636/62/62
A kA köözzééppéértrtéék 68%k 68%--os os megbmegbíízhatzhatóóssáági tartomgi tartomáányanya
68,0=
+≤≤−n
sx
n
sxP µ
7
3737/62/62
±±1 sz1 szóórráásnyi tsnyi táávolsvolsáágg
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
p
3838/62/62
±±1 sz1 szóórráásnyi tartomsnyi tartomáányba esnyba eséés s valvalóószszíínnűűsséége ge
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
p
84
16 6868
3939/62/62
A kA köözzééppéértrtéék 95%k 95%--os os megbmegbíízhatzhatóóssáági tartomgi tartomáányanya
95,096,196,1 =
+≤≤−n
sx
n
sxP µ
4040/62/62
±±1,96 sz1,96 szóórráásnyi tsnyi táávolsvolsáágg
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
p
4141/62/62
±±1,96 sz1,96 szóórráásnyi tartomsnyi tartomáányba esnyba eséés s valvalóószszíínnűűsséégege
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
p
97,5
2,5
9595
4242/62/62
A kA köözzééppéértrtéék 99%k 99%--os os megbmegbíízhatzhatóóssáági tartomgi tartomáányanya
99,058,258,2 =
+≤≤−n
sx
n
sxP µ
8
4343/62/62
±±2,58 2,58 szszóórráásnyi tsnyi táávolsvolsáágg
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
p
4444/62/62
±±2,58 sz2,58 szóórráásnyi tartomsnyi tartomáányba esnyba eséés s valvalóószszíínnűűsséégege
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
z
p
99,5
0,5
9999
4545/62/62
Gyakorlati alkalmazGyakorlati alkalmazááss
�� MinMinőőssííttőő vizsgvizsgáálatoklatok
�� SzabvSzabváány teljesny teljesííttéésese
�� Etalonhoz hasonlEtalonhoz hasonlííttááss
�� TeljesTeljesíítiti--e az ele az előőíírráást?st?
4646/62/62
Kefir zsKefir zsíírtartalma 3%rtartalma 3%
n=30n=30
áátlag= 3,2%tlag= 3,2%
s=0,5%s=0,5%
%38,3..
%02,3..
%18,096,1%)95int(
%091,0
==
±=±==
szélefelsőIC
szélealsóIC
saszkonfidenci
s
x
x
4747/62/62
n=30n=30
áátlag=75 kgtlag=75 kg
s= 15 kgs= 15 kg
ŐŐszi bszi búúza hektolitertza hektolitertöömege 80 kgmege 80 kg
kgszélefelsőIC
kgszélealsóIC
kgsaszkonfidenci
kgs
x
x
37,80..
63,69..
37,596,1%)95int(
74,2
==
±=±==
4848/62/62
A kA köözzééppéértrtéék megbk megbíízhatzhatóóssáági gi intervalluma vintervalluma vééges sokasges sokasáágbangban
95,01
96,11
96,1 =
−−+≤≤
−−−
N
nN
n
sx
N
nN
n
sxP µ
9
4949/62/62
A kA köözzééppéértrtéék megbk megbíízhatzhatóóssáági gi intervalluma vintervalluma vééges sokasges sokasáágbangban
SokasSokasáág kg köözzééppéértrtééke: 59 075 kgke: 59 075 kg
VVééletlen 121 elemletlen 121 eleműű mintaminta
Minta kMinta köözzééppéértrtééke: 61 155 kgke: 61 155 kg
Minta szMinta szóórráása:sa: 72 658 kg72 658 kg
Minta S.E.:Minta S.E.: 6 605 kg6 605 kg
Minta Minta fpcfpc:: 0,92640,9264
5050/62/62
A kA köözzééppéértrtéék megbk megbíízhatzhatóóssáági gi intervalluma vintervalluma vééges sokasges sokasáágbangban
( ) 95,07314849162 =≤≤ µP
( ) 95,09264,0660596,1611559264,0660596,161155 =××+≤≤××− µP
SokasSokasáág kg köözzééppéértrtééke: 59 075 kgke: 59 075 kg
5151/62/62
A szA szóórráás megbs megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáánya 1.nya 1.
21,2/1
21,2/
11
−−−
−<<−
nn
ns
ns
αα χσ
χ
5252/62/62
A khiA khi--nnéégyzet eloszlgyzet eloszlááss
�� A khiA khi--nnéégyzet eloszlgyzet eloszláást szoktst szoktáák k PearsonPearson--fféélele eloszleloszláásnak, ill. snak, ill. HelmertHelmert--ffééleleeloszleloszláásnak is nevezni.snak is nevezni.
�� A khiA khi--nnéégyzet eloszlgyzet eloszláás szs száármaztatrmaztatáása a sa a normnormáális eloszllis eloszláásbsbóóll
�� HasznHasznááljuk normljuk normáális lis éés nem norms nem normáális lis eloszleloszláássúú mintaelemek esetmintaelemek esetéénn
5353/62/620 2 4 6 8 10 12
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
ChiSquared Distribution: Degrees of freedom=1
Den
sity
5454/62/620 2 4 6 8 10 12
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
ChiSquared Distribution: Degrees of freedom=3
Den
sity
10
5555/62/620 5 10 15 20 25 30
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
ChiSquared Distribution: Degrees of freedom=10
Den
sity
5656/62/62
Excel KHI.ELOSZLExcel KHI.ELOSZLÁÁS fS füüggvggvéényny
SzintaxisSzintaxis
KHI.ELOSZLKHI.ELOSZLÁÁS(x;szabadsS(x;szabadsáágfok)gfok)
X: Az az X: Az az éértrtéék, amelynk, amelynéél az eloszll az eloszláást ki st ki kell szkell száámmíítani.tani.
SzabadsSzabadsáágfok: A szabadsgfok: A szabadsáágfokok szgfokok szááma.ma.
5757/62/62
A szA szóórráás megbs megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáánya 1.nya 1.
21,2/1
21,2/
11
−−−
−<<−
nn
ns
ns
αα χσ
χ
5858/62/62
SzSzóórráás 95%s 95%--os megbos megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáány 1.ny 1.
nn 10001000
alfaalfa 0,050,05
zz 1,9591,959
szszóórrááss 1010
C.I.alsC.I.alsóó 9,5809,580
C.I.felsC.I.felsőő 10,45910,459
5959/62/62
A szA szóórráás megbs megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáánya 2.nya 2.
( ) ( )121
121 2/12/1
−−
≈<≈<
−+ −−
n
zs
n
zs
αασ
Közelítés normális eloszlással
6060/62/62
SzSzóórráás 95%s 95%--os megbos megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáány 2.ny 2.
nn 10001000
alfaalfa 0,050,05
zz 1,9591,959
szszóórrááss 1010
C.I.alsC.I.alsóó 9,5799,579
C.I.felsC.I.felsőő 10,45810,458
11
6161/62/62
A variancia megbA variancia megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáányanya
12
11
21 2/1
22
2/1
2
−−
≈<≈<
−+ −− n
z
s
nz
s
αα
σ
Közelítés normális eloszlással
6262/62/62
Variancia 95%Variancia 95%--os megbos megbíízhatzhatóóssáági gi tartomtartomáányny
n =1000alfa = 0,025z = 1,959963variancia =100
C.I.alsó 91,937C.I.felső 109,612
![Microsoft Excel függvényekSzámtani átlag (ÁTLAG) ÁTLAG(szám1; [szám2]…) Az ÁTLAG segítségével a függvény szám1; [szám2]… nevű argumentumaiban megadott számok](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/611d8b1a4e4f6560256f5199/microsoft-excel-fggv-szmtani-tlag-tlag-tlagszm1-szm2-az-tlag.jpg)