Upload
evirinawati
View
291
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Standar Kompetensi :
Memahami operasi hitung bentuk aljabar.
Kompetensi Dasar :
Mengenal bentuk aljabar dan unsur-unsurnya, serta melakukan bentuk hitung pada
bentuk aljabar.
Apersepsi :
Gambar disamping adalah foto udara sebuah
perumahan. Jika panjang lahan utuk perumahan
dinyatakan dengan (3x – 2) km dan lebar lahan
dinyatakan dengan (2x – 1) km. Dapatkah kamu
menentukan luas lahan permukaan itu? Jika x di
ganti dengan 2. Berapa luas keliling lahan
perumahan tersebut?
Sebelum mempelajari materi operasi bentuk aljabar pada bab ini, kalian perlu
mengingat kembali operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan
pemangkatan bilangan bulat maupun pecahan. Materi tersebut menjadi dasar untuk
mempelajari materi bab ini.
Tujuan Pembelajaran :
1. Melalui apersepsi peserta didik dapat mendefinisikan pengertian suku, faktor, dan suku
jenis.
2. Menjelaskan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan
perpangkatan) suku sejenis dan tidak sejenis.
3. Dengan berbagai contoh soal peserta didik dapat menggunakan sifat perkalian bentuk
aljabar untuk menyelesaikan soal.
4. Menyelesaikan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan
perpangkatan) pecahan aljabar dengan penyebut satu suku.
5. Menyederhanakan hasil operasi pecahan aljabar.
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
Materi :
3.1 Arti Bentuk Aljabar
Pada operasi perkalian bilangan bulat, telah dibahas arti perkalian dua bilangan
bulat sebagai berikut :
2 x 6 = 6 + 6 , ………..jumlah enaman terdiri atas 2 suku ,
bila 6 kita ganti dengan apel maka,
2 x apel = apel + apel,……jika apel kita lambangkan dengan a maka,
Begitu juga dengan
3 x 5 = 5 + 5 + 5……jumlah limaan terdiri atas 3 suku,
jika 5 kita ganti pisang maka
3 x pisang = pisang + pisang + pisang, bila pisang kita lambangkan p maka,
Bentuk seperti 2a dan 3p dinamakan bentuk aljabar,
operasi perkalian bilangan bulat seperti a × a ditulis a2, a × a × a ditulis sebagai a3,
dan a × a × a × a × a ditulis sebagai a4, dan seterusnya.
Bentuk-bentuk lainnya seperti 2a, -5y,5n, 5q3, 6x + y, dan 3p + 4 jg dapat disebut
bentuk aljabar
Pada Bentuk 2a = 2 x a, 2 dan a disebut faktor perkalian dari 2a
Bentuk -5y = -5 x y, -5 dan y disebut faktor perkalian dari -5y,
Pada 5n = 5 × n, maka 5 dan n juga disebut faktor perkalian dari 5n
Begitu juga pada 10pq2r factor perkaliannya adalah 2 x 5 x p x q2x r
Coba perhatikan kasus berikut ini :
Terdapat 3 bolpoin, 4 buku dan 1 pensil di tas susi, kita juga dapat menuliskan
bahwa didalam tas susi ada 3 bolpoin + 4 buku + 1 Pensil, jika b melambangkan
bolpoin, k melambangkan buku, dan p melambangkan pensil maka bentuk 3b + 4k + 1p
adalah Bentuk aljabar,
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
2 x a = a + a = 2a
3 x p = p + p + p = 3p
3b, 4k, 1p disebut suku, b,k,p disebut variabel atau peubah dan bilangan –
bilangan 3,4,1 disebut koefisien
Bentuk aljabar adalah suatu bentuk kalimat matematika yang mengandung
variabel dan konstanta.
Bentuk aljabar seperti 2a, 5q3, dan -7xy disebut bentuk aljabar suku tunggal
karena hanya memiliki satu suku saja. Pada bentuk aljabar -3p + 2, -3 disebut
koefisien, p disebut variabel (peubah), dan 2 disebut konstanta.
-3 adalah koefisien p
Bentuk aljabar -3p + 2 2 adalah konstanta
p adalah variabel (peubah)
Bentuk aljabar -3p + 2 terdiri dari dua suku, yaitu -3p dan 2. Oleh karena itu disebut
bentuk aljabar suku dua atau binom. Bentuk aljabar seperti 4x + 2y – 5 disebut bentuk
aljabar suku tiga atau trinom. Sedangkan bentuk aljabar yang memiliki beberapa suku
seperti suku dua, suku tiga, suku empat,dan seterusnya disebut suku banyak atau
polinom.
Selanjutnya perhatikan ilustrasi berikut ini!
Didalam kulkas Andi terdapat 2 apel, 3 berimbing, 4 apel dan 5 berimbing, kita dapat
menuliskannya dengan 2a + 3b + 4a + 5b, 2 apel dan 4 apel merupakan buah yang
sejenis , 3 berimbing dan 5 berimbing juga merupakan buah yang sejenis jadi dapat kita
simpulkan bahwa 2a + 4a dan 3b + 5b adalah suku yang sejenis. sedangkan 2 apel dan
3 berimbing bukanlah buah yang sejenis demikian pula dengan 4 apel dan 5 berimbing
juga bukan buah yang sejenis jadi kita simpulkan bahwa 2a + 3b dan 4a + 5b bukan
suku yang sejenis
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
Suku sejenis, 2a dan 4a
Bentuk aljabar 2a + 3b + 4a + 5b
Suku sejenis, 3b dan +5b
Dari contoh-contoh diatas dapat disimpulkan bahwa suku-suku sejenis pada bentuk
aljabar hanya berbeda pada koefisiennya.
3.2 KPK dan FPB Bentuk Aljabar Suku Tunggal
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bentuk-bentuk aljabar tidak dicari melalui
himpunan kelipatan persekutuan, melainkan ditentukan dengan cara pemfaktoran
(faktorisasi). Demikian juga untuk menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) kita
harus mencari hasil kali factor primanya terlebih dahulu.
Berikut ini adalah pembahasan tentang hubungan antara KPK dan FPB dari bentuk
aljabar suku tunggal terhadap faktor-faktornya.
1. Tentukan KPK dari 2ab dan 10b
2ab = 2 × a × b
10b = 2 × 5 × b
Jadi, KPK dari 2ab dan 10b = 2 × 5 × a × b
2. Tentukan FPB dari 2ab dan 10b
2ab = 2 × a × b
10b = 2 x 5 x b
Jadi, FPB dari 2ab dan 10b = 2 x b
3. KPK dari 3xy2 dan 9y3z
3xy2 = 3 × x × y2
9y3z = 32 × y3 × z
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
Hasil kali faktor prima dan variabel yang berbeda
Hasil kali faktor prima dan variabel yang sama
Hasil kali faktor prima dan variabel yang berbeda dengan pangkat tertinggi
= 32 x x x y3 x z
FPB dari 3xy2 dan 9y3z
3xy2 = 3 x x x y2
9y3z = 32 × y3 × z
=3 x y2
4. p2q3r2 = p2 × q3 × r2
q2r4s3 = q2 × r4 × s3
KPK dari p2q3r2 dan q2r4s3 = p2q3r4s3
= p2 × q3 × r4 × s3 hasil kali variabel yang berbeda dengan pangkat yang tertinggi
FPB dari p2q3r2 dan q2r4s3 = q2r2
= q2 × r2 hasil kali variabel yang sama dengan
pangkat yang terendah
Dari uraian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa :
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
KPK merupakan hasil perkalian dari semua faktor-faktor (prima) dan
variabel yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi.
FPB merupakan hasil perkalian dari faktor-faktor (prima) dan variabel
yang sama denagn mengambil pengkat terendah.
Hasil kali faktor prima dan variabel yang sama dengan pangkat terendah
3.3 Pengertian Perkalian, Pemangkatan, dan Pembagian pada Bentuk Aljabar Suku
Tunggal
a. Perkalian
Telah dibahas bahwa bentuk aljabar 2 x a dapat disederhanakan menjadi 2a, dan
5 x x dapat disederhanakan menjadi 5x .
Sifat – sifat perkalian
perkalian bersifat komutatif
Misal :
a × 2 = 2a
2 × a = 2a
Jadi, a × 2 = 2 × a = 2a
x 3 = 3 x = 3
Dengan menggunakan cara dan sifat tersebut di atas, maka dapat diperoleh
hal-hal berikut ini.
a × b = ab
b × a = a × b = ab sifat komutatif
Perkalian bersifat assosiatif
Misal :
(4 x 5) x 3 = 60
4 x (5 x 3) = 60
Jadi, (4 x 5) x 3 = 4 x (5 x 3) = 60
Dengan demikian sifat assosiatif :
(a x b) x c = a x (b x c)
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
Mempunyai hasil yang sama
Mempunyai hasil yang sama
Perkalian bersifat distributif
(a + b) + (c + d) = a(c + d) + b(c + d)
= ac + ad + bc +bd
Atau
(a + b) + (c + d) = = ac + ad + bc +bd
b. Pemangkatan
Pada bahasan bilangan bulat telah dibicarakan bahwa pemangkatan suatu
bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama. Jadi untuk
sembarang bilangan a, maka
a2 = a × a a2
= a × a × a a2 x a3
= a2+3
(a2)3 = a2x3
(ab)2 = (ab) × (ab)
(a + b)2 = (a + b)(a + b)
(a – b)2= (a – b)(a – b)
Hal ini juga berlaku pada bentuk aljabar, misalnya :
b2 = b × b (-b)2 = (-b) × (-b) (-b)2 = -(b × b) (2b)2 = 2b × 2b
Dalam pemangkatan bentuk aljabar, perlu dibedakan pengertian antara -(b)2 dan
(-b)2, yaitu sebagai berikut
(i) Pada bentuk -(b)2, yang dikudratkan hanya b.
(ii) Pada bentuk (-b)2, yang dikuadratkan adalah -b.
c. Pembagian
Operasi pembagian merupakan hasil penyederhanaan dengan cara menghilangkan
factor – factor perkalian dari koefisien,konstanta dan variabel yang sama.
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
Misal:
1. 8ab : 4a = (2b)(4a) : (4a) = 2b, bentuk aljabar 8ab dan 4a mempunyai factor yang
sama yaitu 4a sehingga hasil pembagian 8ab dengan 4a dapat disederhanakan
menjadi 2b.
2. 2a : a = 2, karena 2a dan a memiliki factor yang sama yaitu a sehingga hasil
pembagian 2a dengan a dapat disederhanakan.
Demikian pula dengan 6xy dan 2y yang memiliki faktor yang sama yaitu 2y,
sehingga 6xy : 2y = 3x.
3.4 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Setelah kita mengenal suku-suku sejenis kita dapat belajar menyerderhanakan suku-
suku tersebut dengan penjumlahan dan pengurangan,
Contoh :
1. 4a + 2a = (4 + 2)a = 6a
Bandingkan dengan cara pengerjaan
4 ditambah 2 menjadi 6
2. 5p – 3p = 5 x p – 3 x p = (5 – 3)p = 2p
Jadi, dalam sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau perkalian terhadap
pengurangan, berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. ab + ac = a(b + c) atau ab + ac = (b + c)a
2. ab – ac = a(b – c) atau ab – ac = (b – c)a
Sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk menjumlahkan atau mengurangkan suku-
suku sejenis pada bentuk aljabar sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana.
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
3.5 Pecahan Bentuk Aljabar
Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang, penyebut, atau kedua-
duanya memuat bentuk aljabar. Misalnya :
p5
,3p
,2 abc
,m+2
n,dan
xx− y
Pada pembahasan ini akan dipelajari tentang pecahan-pecahan aljabar yang
penyebutnya merupakan suku tunggal seperti : p5
,3
2 q,2 abc
, danm+2
n.
2.5.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar
Pada bahasan bilangan pecahan telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan
yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara
menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnnya. Hal ini juga
berlaku untuk pecahan-pecahan bentuk aljabar. Jika pecahan-pecahan yang
akan dijumlahkan atau dikurangkan memiliki penyebut-penyebut yang
berbeda, maka penyebut-penyebut pecahan tersebut harus disamakan terlebih
dahulu.
Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan, tentukanlah KPK dari
penyebut-penyebut pecahan tersebut, kemudian masing-masing pecahan
diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan KPK yang sudah
ditentukan.
a. Penjumlahan Pecahan Bentuk Aljabar
1. 3 a6 +
2 a6 =
3 a+2 a6 =
5 a6
Penyebutnya sama
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
senilai senilai
2.2n3 m
+5 n4 m
= 8 n
12m +
15 n12m
= 8 n+15 n
12m =
23 n12 n
…… KPK dari 3m dan 4m adalah
12m
b. Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar
Misalkan : 7 m9
−2 m9
=7m−2m9
=5m9
Contoh :
Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan pecahan berikut ini!
1.3a +
4b 2.
58 a
−¿ a−34 a
Jawab:
1.3a
+ 4b
= 3 xba xb
+ 4 x ab x a
= 3 bab +
4 aab …………. KPK dari a dan b adalah ab
= 3 b+4 a
ab atau 4 a+3 b
ab
2.5
8 a – a−34 a =
58 a –
2(a−3)2 x 4a
=5
8 a -2 a−6
8 a …………KPK dari 8a dan 4a adalah 8a
= 5−(2 a−6)
8 a
=5−2 a+6
8 a
= −2 a+11
8 a
c. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar
Perhatikan perkalian dua bilangan berikut :
34 x
52 =
3 x54 x 2 =
158
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
Penyebut tidak sama
x
x
Hasil operasi perkalian bilangan pecahan di peroleh dengan mengalikan
pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Cara seperti ini
juga berlaku pada perkalian pecahan bentuk aljabar
Misalkan : 2 a5
×b6 = 2 a× b
5× 6
= 2 ab30
= ab15
Untuk pembagian dua bilangan pecahan, telah dibahas bahwa membagi
dengan satu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan
pecahan tersebut. Hal ini juga berlaku pada pembagian pecahan bentuk aljabar.
Misalkan : 3 k4 n
:9
8n = 3 k
4 n×
8 n9
= 3 k ×8n4 n×9
= 24 kn36 n
= 2 k3
2.5.2 Pemangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
Untuk menentukan hasil pemangkatan pada pecahan bentuk aljabar, perlu
diingat kembali arti pemangkatan suatu bilangan dan sifat perkalian pecahan
berikut ini.
(i) an = a × a × a × a . . . × a
n faktor
(ii)ab
×cd= a ×c
b × d
Kedua sifat diatas kita gunakan secara bersama-sama untuk menentukan
hasil pemangkatan dari pecahan bentuk aljabar.
Misal:
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
2
x 4
xx
(i)
(ii)
xx x2 4x
x 4
3a
= 3a
x 3a
= 9a
3.6 Perkalian Istimewa Bentuk Aljabar
3.6.1 Perkalian Suatu Bilangan dengan Suku Dua dan Suku Tiga
Perhatikan gambar 3.1 (i) yang menunjukan sebuah persegi
panjang dengan panjang (x + 4) dan lebar x, sehingga
luasnya = x(x +4).
Gambar 3.1 (ii) menunjukan bahwa untuk menentukan luas
persegi panjang pada gambar 3.1 (i) dapat dilakukan
dengan membagi persegi panjang tersebut menjadi dua
buah persegi panjang, sehingga luasnya menjadi x2 + 4x.
Oleh karena luas kedua persegi panjang pada gambar 3.1
sama, maka x(x +4) = x2 + 4x. Dengan demikian, bentuk
perkalian x(x +4) dapat dinyatakan sebagai bentuk
penjumlahan x2 + 4x.
Dengan menggunakan prinsip diatas, maka hasil perkalian
suatu bilangan dengan suku tiga dapat ditentukan seperti
berikut ini.
x(x + y + 4) = x(x + y) + 4x
= x(x + y) + 4x
= x2 + xy + 4x
Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan disebut
menjabarkan (menguraiakan).
Untuk sembarang bilangan x, y, dan k selalu berlaku :
x(x + k) = x2 + kx
x(x + y + k) = x2 + xy + kx
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
x(x + 4)
Gambar 3.1
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
x
2
x 3(i)
x
2
(ii)
3.6.2 Perkalian Suku Dua Dengan Suku Dua
a. Dengan Menggunakan Hukum Distributif
Persegi panjang-persegi panjang memiliki ukuran yang sama, sehingga luasnya
sama. Dengan demikian, terdapat hubungan sebagai berikut.
(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)……Gambar (ii)
= x2 + 3x + 2x + 6 …….Gambar (iii)
= x2 + 5x + 6
Pada Langkah 1 dan 2 digunakan hukum (sifat) distributif,
sehingga penjabaran bentuk perkalian (x + 2)(x + 3) seperti di atas
adalah adalah penjabaran menggunakan hukum distributif.
Pada penjabaran tersebut, ternyata suku dua yang pertama,
yaitu (x + 2) diuraikan, sedangkan suku dua yang kedua, yaitu (x +
3) tetap. Hal ini dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini.
(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)
Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan
dengan menggunakan hukum distributive yaitu
(x + a) (x + b) = x(x + b) + a(x + b)
b. Dengan Menggunakan Skema
Perhatikan hasil perkalian dua suku dua pada contoh sebelumnya dengan
mengamati langkah kedua.
(3+4 ) ¿ −¿ 2) = 3 x2 −¿ 6 x+4 x−8
Ternyata hasil perkalian dapat diperoleh dengan menggunakan skema berikut.
(3 x+4 ) ( x−2 )=3 x ( x )+3 x (−2 )+4 ( x )+4 (−2 )
¿3 x2−6 x+4 x−8
Langkah (2) disebut perkalian suku luar dan Langkah (3) disebut perkalian suku
dalam. Hasil perkalian suku luar dan suku dalam sering kali dapat dijumlahkan
(disederhanakan).
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
(x + 2)(x + 3)
2(x+3)
x(x+3)
x+3
X2 3x
2x 6
x
2
(iii)
Perkalian dua suku dua dapat dijabarkan dengan skema berikut:
1. ( x+ p ) ( x+q )=x ( x )+x (q )+ p ( x )+ p ( q )
= x2+ ( p+q ) x+pq
2. ( x+ p ) ( x−p )=¿ x2+ ( p−q ) x+ p (−p )
= x2+ p2
3.6.3 Pengkuadratan Suku Dua
Pengkuadratan suku dua secara umum ditulis dalam bentuk ¿
3.6.4 Penggunaan Perkalian Istimewa untuk Menghitung Hasil Perkalian Bilangan
Sifat-sifat perkalian istimewa bentuk aljabar dapat digunakan untuk menentukan
hasil perkalian bilangan-bilangan dengan cara yang paling mudah. Misalkan:
9 ×67=9× (60+7 )
= 9 ×60+9 ×7=603
78 ×82=(80−2 ) (80+2 )
= 80 × 80−2×2=6.396
Kesimpulan :
1. Bentuk gabungan antara bilangan dan huruf disebut bentuk
aljabar suku tunggal.
Contoh: 2 a , -3p, 5x2
Bilangan didepan huruf disebut koefisien dan huruf disebut
variabel.
Suku tunggal yang dihubungkan mengunakan tanda + atau –
dengan suku tunggal lain atau dengan sebuah bilangan disebut
bentuk aljabar suku banyak.
Contoh: 2 a−3 p , 5x2 + 2x – 1.
Bilangan tanpa variabel pada suku banyak disebut konstanta.
Suku-suku yang bervariabel sama dengan pangkat variabel yang
juga sama disebut suku sejenis.
Contoh: 2asejenis dengan 5a , 3x2 sejenis dengan 5x2.
2. Beberapa operasi hitung pada bentuk aljabar antara lain:
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
n faktor
Hasil penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dapat
ditentukan dengan menggunakan sifat ab±ac=a(b±c )atau
ba±ca=(b±c )a
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan
mensubstitusikan nilai-nilai variabelnya.
Hasil perkalian suku satu dengan suku banyak dapat ditentukan
dengan menggunakan sifat a (b+c )=ab+acatau a (b−c )=ab−ac .
Hasil perkalian suku dua dengan suku dua dapat ditentukan
dengan menggunakan sifat
(a+b)( c+d )=a (c+d )+b (c+d )=ac+ad+bc+cd .
Pengkuadratan suku dua (a+b)2=a2+2 ab+b2
(a−b )2=a2−2 ab+b2
Perkalian istimewa: (a+b)( c−d )=a2−b2
3. Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang,
penyebut, atau kedu-duanya memuat bentuk aljabar.
Pecahan-pecahan bentuk aljabar dapat dijumlahkan dan
dikurangkan jika penyebutnya sama. Jika penyebutnya belum
sama, maka harus disamakan terlebih dahulu .
Perkalian pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan
pembilang, dan penyebut dengan penyebut.
Pembagian pecahan dapat dihitung dengan cara perkalian yaitu
pecahan yang dibagi dikalikan dengan kebalikan pembaginya.
ab
:cd=a
b×d
c=ad
bc
Jika n adalah bilangan bulat positif dan
ab adalah bentuk aljabar,
maka ( a
b )n
didefinisikan sebagai: ( a
b )n
=ab×a
b×.. ..×a
b
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar