MTKP-3.1/4.1/1/1-8 PENERAPAN FUNGSI LOGARITMA. UKBM MATEMATIKA X... · Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka untuk memperkuat kompetensi anda, maka

1

UKBM MTKP-3.1/4.1/1/1-8 SMAN 1 Ponorogo

MTKP-3.1/4.1/1/1-8

PENERAPAN FUNGSI LOGARITMA

1. Identitas

a. Sekolah : SMAN 1 Ponorogo b. Mata Pelajaran : Matematika Peminatan c. Semester : Ganjil d. Kompetensi Dasar :

Kompetensi Dasar

3.1

Mendeskripsikan dan menentukan penyelesaian fungsi eksponensial dan

fungsi logaritma menggunakan masalah kontekstual, serta keber-

kaitanannya

4.1. Menyajikan dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan fungsi eksponensial dan fungsi logaritma

e. Materi Pokok : Penerapan Fungsi Logaritma f. Alokasi Waktu : 4 JP g. Tujuan Pembelajaran :

Melalui diskusi, tanya jawab, penugasan, presentasi dan analisis, peserta didik

dapat menyajikan masalah kontekstual dalam bentuk Fungsi Logaritma dan

dapat menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan Fungsi

Logaritma, sehingga peserta didik dapat menghayati dan mengamalkan ajaran

agama yang dianutnya, mengembangkan sikap jujur, peduli, dan

bertanggungjawab, serta dapat mengembangankan kemampuan berpikir kritis,

berkomuni-kasi, berkolaborasi, dan berkreasi (4C)

h. Materi Pembelajaran

Fakta Permasalahan kontekstual terkait konsep logaritma (peluruhan atom, bunga majemuk pada sistem perbankan) Konsep - Penyajian Masalah Kontekstual ke Dalam Fungsi Logaritma - Penyelesaian Fungsi Logaritma dari Masalah Kontekstual Prosedur - Langkah-langkah menyajikan masalah kontekstual ke dalam fungsi logaritma - Langkah-langkah menyelesaikan permasalahan kontekstual terkait fungsi logaritma

2


Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = ax, dengan a> 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi

korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis

Horizontal (lihat Gambar 1 untuk

kasus a> 1) pada gambar di bawah ini.

Oleh karena itu fungsi eksponensial

memiliki fungsi invers. Fungsi invers

tersebut dinamakan fungsi logaritma

dengan basis a dan didefinisikan dengan

f(x) = alog x.

2. Peta Konsep

3. Kegiatan Pembelajaran

a. Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan anda membaca dan memahami cerita di bawah ini.

Dari gambar di samping dapat

dipahami bahwa y = f(x) sehingga

f-1(y) = x atau f-1(x) = y. Definisi

ini membawa kita kepada definisi

fungsi logaritma sebagai berikut :

Misalkan a adalah bilangan

positif dengan a ≠ 1, maka Fungsi

logaritma dengan basis a,

didefinisikan denganf(x) = alog x

Sehingga alog x merupakan

pangkat dari a untuk menjadi x

3


Dalam proses peluruhan dari suatu zat radioaktif memerlukan waktu yang disebut

dengan waktu paruh, yaitu waktu yang diperlukan bagi zat radioaktif untuk berkurang

menjadi separuh dari jumlah semula. Setiap unsur radioaktif mempunyai waktu paruh

yang sudah tertentu.

Berdasarkan data waktu paruh untuk suatu radioisotop dapat dihitung jumlah

radioisotop tersebut yang masih tersisa dalam selang waktu tertentu( waktu paruh )

yaitu sebagai berikut :

Keterangan :

Nt = jumlah zat yang tersisa setelah waktu peluruhan

No = jumlah zat mula-mula

T = waktu peluruhan

t = waktu paruh

Sumber :http://unsur-unsur-radioaktif.blogspot.co.id/

Sejarah penemuan Sinar Radioaktif

Di alam terdapat zat-zat yang bersifat radioaktif. Hal ini diyakinikeberadaannya

berkat penemuan zat radioaktif oleh W.C. Rontgen, ahli fisika dari jerman pada

tahun 1895. Rontgen menemukan pancaran radiasi yang mengakibatkan

fluoresensi ketika arus elektron (katode) menumbuk suatu partikel tertentu.

Rontgen menamai radiasi tersebut sebagai sinar X.

Setahun kemudian, pada tahun 1896 Antonie Henry Becquerel, kimiawan dari Prancis menemukan garam kalium uranil sulfar (K2OU2(So4)2). Garam ini dapat mengeluarkan radiasi secara spontan. Penemuan ini mengungkapkan tentang adanya radioaktivitas. Radioaktivitas adalah gejala pemancaran radiasi zat radioaktif secara spontan. Sementara itu, sinar radiasi yang dipancarkan disebut sinar radioaktif. Pada tahun 1898, suami istri Marie Curie dan Pierre Curie Marie Curie merasa tertarik dengan temuan Becquerel, selanjutnya dengan bantuan suaminya Piere Curie berhasil memisahkan sejumlah kecil unsur baru dari beberapa ton bijih uranium. Unsur tersebut diberi nama radium. Pasangan Currie melanjutkan penelitiannya dan menemukan bahwa unsur baru yang ditemukannya tersebut telah terurai menjadi unsur-unsur lain dengan melepaskan energi yang kuat yang disebut radioaktif.Pada tahun 1903, Ernest Rutherford, fisikawan dari selandia menjelaskan bahwa inti atom yang tidak stabil (radionuklida) meng-alami peluruhan radioaktif. Partikel-partikel kecil dengan kecepatan tinggi dan sinar-sinar menyebar dari inti atom ke segala arah. Para ahli kimia memisahkan sinar-sinar tersebut ke dalam aliran yang berbeda dengan menggunakan medan magnet. Dan ternyata ditemukan tiga tipe radiasi nuklir yang berbeda yaitu sinar alfa, beta, dan gamma. Semua radionuklida secara alami memancarkan salah satu atau lebih dari ketiga jenis radiasi tersebut

http://unsur-unsur-radioaktif.blogspot.co.id/

4


Secara kontektual perhatikan contoh berikut :

Seorang peneliti fosil menemukan kandungan karbon radioaktif pada fosil kayu yang

ditelitinya. Unsur radioaktif tersebut tersisa kira-kira 1/16 dari asalnya. Jika diketahui

waktu paruh karbon radioaktif tersebut adalah 5600 tahun, dapatkah anda menentukan

berapa tahun usia fosil kayu tersebut.

Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan anda lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini.

b. Kegiatan Inti

1) Petunjuk Umum UKBM a) Baca dan pahami materi yang ada dalam UKBM ini; b) Setelah memahami isi materidalam bacaan berlatihlah untuk berfikir

tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKBM ini baik bekerja

sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya;

c) Kerjakan UKBM ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian

yang telah disediakan;

d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo

berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan

permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1 kalian boleh

sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes

formatif agar kalian dapat belajar ke UKBM berikutnya.

2) Kegiatan Belajar

Ayo! ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan konsentrasi. Anda pasti bisa !

Kegiatan Belajar 1

Perhatikan grafik di bawah ini !

Grafik di atas menggambarkan proses peluruhan suatu zat radiaoktf, sebagai contoh dalam menggambarkan Fungsi Logaritma. Untuk mengetahui sisa zat radioaktif tersebut setelah sekian periode waktu paruh, dapat ditentukan dengan rumus yang sudah dikenal pada bidang kimia seperti pada bagian pendahuluan di atas yaitu : Pada grafik peluruhan di atas sisa zat radioaktif setelah peluruhan ditentukan dengan rumus :

5


Sehingga sisa zat setelah peluruhan ( Nt ) ditentukan waktu peluruhan ( T ) dengan waktu paruh 2 satuan waktu, seperti pada tabel di bawah ini :

Fungsi di atas merupakan bentuk Fungsi Eksponen seperti yang anda pelajari pada UKBM sebelumnya. Jika kita akan menentukan waktu peluruhan dengan diketahui sisa zat radioaktif, maka dapat kita lakukan dengan menentukan invers Fungsi Eksponen tersebut menjadi Fungsi Logaritma sebagai berikut :

Keterangan :

Nt = jumlah zat yang tersisa setelah waktu peluruhan

No = jumlah zat mula-mula

T = waktu peluruhan

t = waktu paruh

Sehingga waktu peluruhan pada grafik di atas dapat ditentukan dengan rumus

jika sisa zat radioaktif diketahui, seperti pada tabel di bawah ini :

Nt 4 2 1 ½ ¼ 1/8 1/16 1/32 …

No 4 4 4 4 4 4 4 4 …

t 2 2 2 2 2 2 2 2 …

T 0 2 4 6 8 10 12 14 …

Tabel ini menunjukkan hitungan waktu peluruhan jika sisa zat radioaktif

diketahui. Jadi bentuk fungsi waktu peluruhan di atas merupakan bentuk identik Fungsi

Logaritma : f(x) = aLog x , dengan 0< a < 1 Masalah peluruhan zat radioaktif di atas merupakan salah satu contoh pene-

rapan Fungsi Logaritma. Penerapan pada bidang-bidang lain cukup banyak

kita dapatkan seperti pada bidang Biologi. Pada bidang Biologi, Logaritma

digunakan salah satunya adalah untuk menghitung waktu pada laju

pertumbuhan penduduk. Pada bidang Ekonomi, anda akan menggunakan

Logaritma ketika anda mempelajari tentang bunga majemuk.

T 0 2 4 6 8 10 12 14 …

Nt 4 2 1 ½ ¼ 1/8 1/16 1/32 …

6


Ayoo berlatih!

Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka untuk memperkuat kompetensi anda, maka selesaikan soal latihan berikut : 1) Tentukan nilai Fungsi Logaritma di bawah ini untuk nilai x yang diberikan:

a. f(x) = 2x untuk x = 3

b. f(x) = 3-x untuk nilai x = 2

c. f(x) = (¼)x untuk nilai x = -2

d. f(x) = 3-x untuk nilai x = ½

2) Tentukan nilai x jika diberikan nilai Fungsi Logaritma di bawah ini !

a. f(x) = (½)-x jika f(x) = 16

b. f(x) = 3-x jika f(x) = 27

c. f(x) = (1/5)xjika f(x) = 125

d. f(x) = 4x jika f(x) = 32

Apabila andatelah mampu menyelesaikan masalah terkait Fungsi Logaritma, maka

anda dapat melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

Kegiatan Belajar 2

Setelah anda belajar tentang penyelesaian Fungsi Logaritma pada contoh kegiatan

belajar 1, sekarang perhatikan uraian pembelajaran berikut!

Bacalah dan pelajari secara seksama, Jika sudah memahami, lanjutkan pada

kegiatan ayo berlatih berikutnya.

Perhatikan contoh (1) masalah kontekstual yang ada pada pendahuluan UKBM ini

dan mari kita berikan penyelesaiannya.

Seorang peneliti fosil menemukan kandungan karbon radioaktif pada fosil kayu

yang ditelitinya. Unsur radioaktif tersebut tersisa kira-kira 1/16 dari asalnya.

Jika diketahui waktu paruh karbon radioaktif tersebut adalah 5600 tahun,

dapatkah anda menentukan berapa tahun usia fosil kayu tersebut

Sebelum kita menyelesaikan permasalahan tersebut, kita perlu menerjemahkannya

kedalam model matematika dalam bentuk Fungsi Logaritma.

Diketahui :

- Sisa Zat radioaktif ( Nt ) : 1/16 dari semula

- Waktu paruh Karbon ( t ) : 5600 tahuin

- Ditanya usia fosil / waktu peluruhan : T

Penyelesaian :

Jadi usia fosil kayu adalah

22400 Tahun

7


Ayo berlatih!!

Setelah memahamicontoh di atas, maka selesaikanlah soal latihan berikutdengan

topik yang berbeda dengan contoh di atas, di buku kerja anda !

Soal Latihan 1.

Pak Andi menabung uang di bank sebesar Rp. 2.000.000,00 dan mendapatkan

bunga majemuk 20 % per tahun. Pada saat pak Andi meninggal dunia tidak

mewasiatkan adanya tabungan tersebut kepada anak-anaknya dan hanya

meninggalkan kartu ATM beserta pinnya. Suatu ketika anaknya memeriksa saldo

ATM dari tabungan pak Andi tersebut dan menunjukkan jumlah tabungannya

sekarang sebesar Rp. 4.976.640,00. Dengan bantuan Fungsi Logaritma, dapatkah

anda mengetahui sudah berapa lama pak Andi menabung uang tersebut.

Soal Latihan 2.

Kekuatan gempa bumi paling besar di abad moderen terjadi di Chilli pada tanggal

22 Mei 1960 dan diukur 9.5 pada skala Reichter. Sementara itu gempa bumi yang

melanda Sumatra Utara pada tanggal 28 Maret diukur 8.7 pada skala Reichter.

Dapatkah anda menghitung berpa kali lebih kuat gempa bumi yang terjadi di Chilli

dan Sumatra Utara tersebut? ( Petunjuk Intensitas Gempa dihitung dengan :

c. Penutup

Bagaimana kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1 dan 2,

berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah

kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada

UKBM ini di Tabel berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah anda telah dapat menjelaskan tentang Fungsi Logaritma ?

8


2. Dapatkah anda menentukan penyelesaian permasalahan terkait Fungsi Logaritma ?

3. Dapatkah anda menyajikan masalah kontekstual ke dalam bentuk Fungsi Logaritma ?

4. Dapatkah anda menyelesaikan masalah kontektual yang berkaitan dengan konsep Fungsi Logaritma ?

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah

kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang

kegiatan belajar terkait, yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan

Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!.Dan apabila

kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Penerapan Fungsi Logaritma.

Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Penerapan Fungsi

Logaritma, maka kerjakan soal quiz berikut secara mandiri di buku kerja kalian

masing-masing.

QUIZ UKBM 1-8 Penerapan Fungsi Logaritma

1. Tentukan taraf intensitas bunyi (dalam satuan desibel) untuk sumber bunyi dedaunan

10–1 W/m2 dan suara bisikan 10–10 W/m2.

(Petunjuk: cari rumus intensitas bunyi di literatur lain/internet)

9


Dimana posisimu?

Setelah menyelesaikan UKBM ini, mintalah kepada guru kalian untuk

mengikuti tes formatif. Ukurlah diri kalian melalui tes formatif dalam

menguasai materi Fungsi Logaritma dalam rentang 0 – 100, tuliskan ke dalam

kotak yang tersedia..

Semangat dan Sukses Buat Anda !!!

Documents

MTKP-3.1/4.1/1/1-8 PENERAPAN FUNGSI LOGARITMA. UKBM MATEMATIKA X... · Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka untuk memperkuat kompetensi anda, maka