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V é chamado o domínio, W o contra-
domínio.
T(v) é a imagem de v pela aplicação de T.
A transformação linear T : V V é
denominado de operator linear.
Exemplo
seja P uma matriz k×m ,
e Q uma matriz n×1.
seja T : Mm,n Mk,1
definida por
T(A) = PAQ.
Então T é uma TL.
T(A+B) = P(A + B)Q
= (PA + PB)Q
= PAQ + PBQ
= T(A) + T(B).
T(α A) = P(α A)Q
= α(PAQ)
= α T(A).
seja T : C C
definida por
T(z) = z
= o complexo
conjugado de z.
Então T é uma TL.
T(z + w) = z + w
= z + w
= T(z) + T(w).
T(αz) = αz
= α z
= α z
= α T(z).
Exemplo
seja V um espaço vetorial e {v1, …, vm} uma
base para V.
Definimos T : V R como
T(α1v1 + … + αmvm) = α1.
Logo T é uma TL.
seja T : Mn,n R definida por
T(A) = tr(A),
O traço de A, i.é., a soma dos elementos na
diagonal de A.
Então, T(A) = a11 + a22 + … + ann.
T é uma transformação linear.
Prova de (1):
T(0) + 0
= T(0), definição de 0
= T(0+0), definição de 0
= T(0) + T(0), linearidade
cancelando,
0 = T(0).
Prova de (2):
T(v) + T(-v)
= T(v + (-v)), linearidade
= T(0), definição de-
= 0, provado em (1)
= T(v) + (-T(v)), def.de -
assim, T(-v) = -T(v).
Exemplo
Achar a transformação linear T : P2 P3 tal
que
T(1 + x) = -1 + 3x2,
T(1 + x2) = 3x + 5,
T(x + x2) = x3 – 4 .
Temos que,
T(a + bx + cx2)=
= T(p(1 + x) + q(1 + x2) + r(x + x2))
= pT(1 + x) + qT(1 + x2) + rT(x + x2)
= ((a+b-c)/2)(-1+3x2) + ((a-b+c)/2)(3x+5)
+ ((-a+b+c)/2)(x3 –4)
= …
Projeção ortogonal
Seja W um subespaço de dimensão finita de um espaço
vetorial V com produto interno.
A projeção ortogonal de V em W é a transformação
T (v ) = projwv
Exemplo
seja U um subspaço de Rn.
e P : Rn Rn definida por
P(x) = projU(x)
P é uma transformação linear.
achar ker(T) e im(T).
seja A uma matriz m×n
seja T : Rn Rm definida como
T(x) = Ax.
T é uma transformação linear.
Achar ker(T) e im(T).
seja T : Mn,n Mn,n definida como
T(A) = AT – A.
mostre que T é uma transformação linear.
ache ker(T) e im(T).
T(A+B) = (A+B)T –(A+B)
= AT + BT – A – B
= (AT – A) + (BT – B)
= T(A) + T(B).
T(rA) = (rA)T – rA
= r(AT) – rA
= r(AT – A) = rT(A).
ker(T) = {A : T(A) = 0}
= {A : AT – A = 0}
= {A : AT = A}
= o conjunto das matrizes simétricas
im(T) = {T(A) : A is in Mn,n}
= {AT – A : A is in Mn,n}
seja P o espaço vetorial de todos os
polinômios
consideremos T : P P definida por
T(p(x)) = p(-x) – p(x).
Mostre que T é uma transformação linear
ache ker(T) e im(T).
T(p(x)+q(x)) = (p(-x)+q(-x)) – (p(x)+q(x))
= (p(-x) – p(x)) + (q(-x) – q(x))
= T(p(x)) + T(q(x)).
T(rp(x)) = rp(-x) – rp(x)
= r(p(-x) – p(x))
= rT(p(x)).
logo, T é transfromação linear.
TEOREMA
seja T : V W uma trasnformação linear
Então:
ker(T) é um subespaço de V,
im(T) é um subespaço de W.
Transformações lineares
injetoras e sobrejetoras
seja T : V W uma transformação linear.
Dizemos que :
T é sobre se imT = W.
T é injetora se
T(v1) = T(v2) implica que v1 = v2.
EXEMPLOS
Provar que T : P2 P3 onde T(p(x)) = xp(x)
é uma transformação linear.
Prove que T é um a um porém não é sobre.
T é um a um se
T(v1) = T(v2) implica v1 = v2.
se T(p(x)) = T(q(x)), então
o coeficiente de x2 de p(x)
= o coeficiente de x3 de T(p(x))
= o coeficiente de x3 de T(q(x))
= o coeficiente de x2 de q(x).
Similarmente para os outros coeficientes.
assim, p(x) = q(x).
T é uma a um se
T(v1) = T(v2) implica v1 = v2.
T não é um a um, desde que
para A = e B = ,
T(A) = T(B) = 2 – 2 = 0, sendo que A ≠ B.
3 2
2 3
1 2
2 1
seja T : Mn,n Mn,n definida como
T(A) = AT – A.
T não é sobre desde que
im(T) = conjunto das matrizes anti-simétricas
≠ Mn,n.
também, T não é injetora desde que
T(I) = T(0) = 0, porém I ≠ 0.
seja T : Mm,n Rmn uma transformação linear tal que para i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n.
T(Eij) = En(i-1)+j.
T(E11) = E1, T(E12) = E2, …, T(E1n) = En,
T(E21) = En+1, T(E22) = En+2, …, T(E2n) = E2n,
…, T(Emn) = Emn.
Then T is both one-to-one and onto.
uma transformação linear
é injetora se …
Teorema. seja T : V W uma
transformação linear
então T é injetora se e somente se
ker(T) = {0}.
Exemplo
seja P o espaço vetorial de todos os polinômios
Definimos T : P P como
T(p(x)) = p(-x) – p(x).
ker(T) = conjunto dos polinômios com potências ímpares
≠ {0}.
logo, T não é injetora
O Teorma da dimensão
seja T : V W uma transformação linear.
Se ker(T) e im(T) possuem dimensão
finita, então V tem dimensão finita e
dimV = dim(im(T)) + dim(ker(T)).
Prova
seja {b1, …,bk} uma base para ker(T).
seja {T(d1), …, T(dr)} uma base para im(T).
Então, dim(ker(T)) = k, e dim(im(T)) = r.
Isto mostra que
{b1, …,bk, d1, …, dr}
É uma base para V.
{b1, …,bk} is a basis of ker(T)
{T(d1), …, T(dr)} is a basis of im(T)
Suppose s1d1 + …+ srdr + t1b1 + … + tkbk = 0. Then
s1T(d1) + …+ srT(dr) + t1T(b1) + … + tkT(bk) = 0.
Since b1, …,bk are in ker(T), T(b1) = … = T(bk) = 0.
s1T(d1) + …+ srT(dr) = 0.
{T(d1), …,T(dr)} independent, implies s1 =…= sr = 0
Thus, t1b1 + … + tkbk = 0.
{b1, …,bk} independent, implies t1 = … = tk = 0.
So, {b1, …,bk, d1, …, dr} is linearly independent.
Therefore, {b1, …,bk, d1, …, dr} is a basis of V.