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Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 13
MÉTODO DE CROSS
Seja agora uma estrutura de nós fixos duas vezes hipergeométrica, i.e. tal que os nós não sofrem qualquer deslocamento de translação e contem 2 nós com incógnitas de rotação.
p
E, I
α
L2
A
B
C
D
1
2
3
L3 L1 . cos α
E
L4 4
p
E, I
α
L2
A
B
C
D
1
2
3
L3 L1 . cos α
E
L4 4
=
∆1 ∆2
Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método de Cross. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios:
p
E, I α
1
2
4
(RB)10
(RB)20
(RB)30
(RA)10
(RC)20
3
(RD)30
(RD)40
(RB)0=(RB)10+(RB)20+(RB)30
(RD)0=(RD)30+(RD)40
Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB e MD nos nós B e D que equilibrem os momentos fictícios (RB)0 e (RD)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por estes momentos concentrados aplicados nos nós são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nó a nó, e por aplicação dos conceitos anteriores, é estabelecido o equilíbrio da estrutura através de um processo iterativo. Nas expressões que a seguir se apresentam, designa-se por dXi o coeficiente de distribuição da rigidez da barra i no nó X, por rXY o coeficiente de transmissão de momento do nó Y para o nó X e por (RX)ij os momentos flectores no nó X da barra i correspondente à iteração de ordem j do método de Cross.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 14
E, I α
1
2
4
MB=-(RB)0
3
MD=-(RD)0
= (equilíbrio do nó B – iteração j = 1)
α
(RB)11
(RB)21
(RB)31
(RA)11
(RC)21
(RD)31
(RB)11+(RB)21+(RB)31=MB=MB1
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) 131
311211111
31131
121311211111
21121
111311211111
11111
131311211111
31131
121311211111
21121
111311211111
11111
BBDBBDBD
BBCBBCBC
BBABBABA
BBBB
BBBB
BBBB
MdrMKKK
KrR
MdrMKKK
KrR
MdrMKKK
KrR
MdMKKK
KR
MdMKKK
KR
MdMKKK
KR
⋅⋅=⋅++
⋅=
⋅⋅=⋅++
⋅=
⋅⋅=⋅++
⋅=
⋅=⋅++
=
⋅=⋅++
=
⋅=⋅++
=
+ (equilíbrio do nó D – desequilíbrio do nó B(!) – iteração j = 2)
(RD)32+(RD)42=MD-(RD)31=MD1
α
(RB)32
(RD)32
(RD)42
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )321
422322
32232
141422322
42242
131422322
32232
DBDDBDB
DDDD
DDDD
RrMKK
KrR
MdMKK
KR
MdMKK
KR
⋅=⋅+
⋅=
⋅=⋅+
=
⋅=⋅+
=
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 15
+ (equilíbrio do nó B – desequilíbrio do nó D(!) – iteração j = 3)
α
(RB)13
(RB)23
(RB)33
(RA)13
(RC)23
(RD)33
(RB)13+(RB)23+(RB)33=-(RB)32=MB3
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3333
2323
1313
3333
3223
3113
BDBD
BCBC
BABA
BBB
BBB
BBB
RrRRrRRrRMdRMdRMdR
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
+ (equilíbrio do nó D – desequilíbrio do nó B(!) – iteração j = 4)
(RD)34+(RD)44=-(RD)33=MD4
α
(RB)34
(RD)34
(RD)44
( )( )( ) ( )3434
4444
4334
DBDB
DDD
DDD
RrRMdRMdR
⋅=
⋅=
⋅=
+ (equilíbrio do nó B – desequilíbrio do nó D(!) – iteração j = 5)
α
(RB)15
(RB)25
(RB)35
(RA)13
(RC)23
(RD)35
(RB)15+(RB)25+(RB)35=-(RB)34=MB5
( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3535
2525
1515
5335
5225
5115
BDBD
BCBC
BABA
BBB
BBB
BBB
RrRRrRRrRMdRMdRMdR
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
⋅=
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 16
O processo repete-se até que o valor do momento a equilibrar nos nós seja inferior a um valor considerado como erro máximo admissível. Nessa altura calculam-se os momentos flectores finais nas extremidades das barras:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 04
14404
13303
13303
12202
12202
11101
11101
=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
+=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
=
=
=
E
n
iiDDD
n
iiDDD
n
iiBBB
n
iiCCC
n
iiBBB
n
iiBBB
n
iiAAA
R
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
RRR
sendo ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )01
41
3
01
31
21
1
DD
n
iiD
n
iiD
BB
n
iiB
n
iiB
n
iiB
RMRR
RMRRR
−==+
−==++
∑∑
∑∑∑
==
===
α
(RB)1
(RB)2
(RB)3
(RA)1
(RC)2
(RD)3
p
(RD)4
e por isso,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
0
0403043
0302010321
=−+=+
=−++=++
DDDDD
BBBBBBB
RRRRRRRRRRRR
Calculados os momentos, determinam-se os esforços transversos nas extremidades das barras por equilíbrio de forças e momentos flectores nas barras. Os esforços axias determinam-se por equilíbrio dos nós, tal como se apresentou anteriormente para o caso das barras axialmente indeformáveis.
Seja uma barra i com extremidades coincidentes com o nó X à esquerda e com o nó Y à direita,
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 17
L
TX TYE, I
p(x)
x
y
(X) (Y)
( )iXR ( )iYR
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )
( ) ( )[ ] ( ) ( )
( )
⋅−=
⋅−⋅−+−=
⇔
=−⋅−
=⋅−⋅−++⋅
∫
∫
∫
∫
=
=
=
=L
xXY
L
xiYiXX
Y
L
xX
L
xiYiXX
dxxpTT
LdxxLxpLRRT
TdxxpT
dxxLxpRRLT
0
0
0
0
0
0
Quanto à determinação das rotações dos nós, temos, considerando a mesma barra i,
L
TX
( ) ( )∑=
+n
jijXiX RR
10
TYE, I
p(x)
x
y
(X) (Y)
( ) ( )∑=
+n
jijYiY RR
10
=
L
TX0 TY0E, I
p(x)
x
y
(X) (Y)
( ) 0iYR( ) 0iXR
+
L
T’X T’YE, I x
y
(X) (Y)
( )∑=
n
jijXR
1( )∑
=
n
jijYR
1
Como a barra correspondente à primeira estrutura não sofre rotações nas extremidades, apenas teremos que considerar os momentos (RX)ij com j ≠ 0. Por aplicação do P.T.V., temos:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 18
L
T’X T’YE, I x
y
(X) (Y)
( )∑=
=∆n
jijXX RM
1( )∑
=
=∆n
jijYY RM
1θX θY
Diagrama de momentos flectores
∆M(x)= ∆MX-(∆MX+∆MY).x / L
∆MX
-∆MY
x
Estruturas auxiliares Diagrama de momentos flectores
Estrutura 1: E, I
L
T=-1/L
M=1
T=-1/L
M1(x)=1-x / L
1 x
Estrutura 2: E, I
L
T=-1/L
M=1
T=-1/L
M2(x)=-x / L -1
x
Aplicação do P.T.V.
Estrutura real e estrutura auxiliar 1:
( )YXX
Lx
xX MM
IELdx
IEMM
∆−∆⋅⋅⋅⋅
=⇒⋅∆⋅
=⋅ ∫=
=
26
10
1 θθ
Estrutura real e estrutura auxiliar 2:
( )XYY
Lx
xY MM
IELdx
IEMM
∆−∆⋅⋅⋅⋅
=⇒⋅∆⋅
=⋅ ∫=
=
26
10
2 θθ
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 19
Estes resultados correspondem à rotação das extremidades de uma barra de eixo rectilíneo
e secção constante, submetida apenas a momentos concentrados ∆Mx e ∆My aplicados nas
extremidades.
Resolvamos o exercício anterior aplicando o método de Cross. Seja então
p=10kN/m
E.I = K
αA
B
C
D
1
2
3
5,03,0
E
4,0 4
4,0
[m]
Determinação dos coeficientes de distribuição:
Nó B:
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) 13
4
51
41
51
51
444
4
135
51
41
51
41
444
4
134
51
41
51
51
444
4
321
3
311211111
3113
321
2
311211111
2112
321
1
311211111
1111
=++
=
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅
=++
=
=++
=
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅
=++
=
=++
=
⋅⋅+
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅
=++
=
LIE
LIE
LIE
LIE
KKKK
d
LIE
LIE
LIE
LIE
KKKK
d
LIE
LIE
LIE
LIE
KKKK
d
B
B
B
Nó D:
( )( ) ( )
( )( ) ( ) 31
15
43
54
43
34
3
3116
43
54
54
34
4
43
4
422322
4224
43
3
422322
3223
=+
=
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅
=+
=
=+
=
⋅⋅+
⋅⋅
⋅⋅
=+
=
LIE
LIE
LIE
KKK
d
LIE
LIE
LIE
KKK
d
D
D
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 20
Determinação dos momentos de fixação dos nós:
Barras [AB], [BC] e [DE]:
Momento flector à esquerda = 0 kNm
Momento flector à direita = 0 kNm
Barra [BD]:
Momento flector à esquerda = - p.L2/12 = -20,83 kNm
Momento flector à direita = p.L2/12 = 20,83 kNm
4/13 16/31
4/13 15/31
5/13 -20,8 -20,8
0,0
0,0
0,0
0,0 Estado inicial (j = 0):
0,0
4/13 16/31
4/13 15/31
5/13 -20,8 -20,8
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
+20,8*4/13 +20,8*5/13
+20,8*4/13
+20,8*2/13
*1/2
+20,8*2/13*1/2
+20,8*5/26
*1/2
Estado (j = 1):
(Mresidual)B = -20,8 kNm
4/13 16/31
4/13 15/31
5/13 -20,8 +20,8
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
+20,8*4/13 +20,8*5/13
+20,8*4/13
+20,8*2/13
+20,8*2/13
+20,8*5/26 Estado (j = 2):
(Mresidual)D = -24,0 kNm
-24,0*16/31
-24,0*15/31
*1/2 -24,0*8/31
4/13 16/31
4/13 15/31
5/13 -20,8 +20,8
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
+20,8*4/13 +20,8*5/13
+20,8*4/13
+20,8*2/13
*1/2
+20,8*2/13
+20,8*5/26
*1/2
Estado (j = 3):
(Mresidual)B = -6,2 kNm
-24,0*16/31
-24,0*15/31
-24,0*15/62 +6,2*4/13 *1/2 +6,2*2/13
+6,2*5/13
+6,2*4/13
+6,2*5/26
+6,2*2/13
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 21
4/13 16/31
4/13 15/31
5/13 -20,8 +20,8
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
+20,8*4/13 +20,8*5/13
+20,8*4/13
+20,8*2/13
+20,8*2/13
+20,8*5/26 Estado (j = 4):
(Mresidual)D = +0,9 kNm
-24,0*16/31
-24,0*15/31
-24,0*8/31 +6,2*4/13 +6,2*2/13
+6,2*5/13
+6,2*4/13
+6,2*5/26
+6,2*2/13
-1,0*16/31
-1,0*15/31
*1/2 -1,0*8/31
4/13 16/31
4/13 15/31
5/13 -20,8 +20,8
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
+20,8*4/13 +20,8*5/13
+20,8*4/13
+20,8*2/13
+20,8*2/13
+20,8*5/26 Estado (j = 5):
(Mresidual)B = -0,3 kNm
-24,0*16/31
-24,0*15/31
-24,0*8/31 +6,2*4/13 +6,2*2/13
+6,2*5/13
+6,2*4/13
+5,8*5/26
+5,8*2/13
-1,0*16/31
-1,0*15/31
-1,0*8/31
*1/2
*1/2 +0,3*4/13 +0,3*2/13 < 0,1
+0,3*5/13
+0,3*4/13
+0,3*5/26
+0,3*2/13
*1/2
4/13 16/31
4/13 15/31
5/13 -20,8 +20,8
0,0
0,0
0,0
0,0
0,0
+1,9 +10,5
+8,4
+8,4/2
-8,7
+10,5/2 Estado final:
(Mresidual)D < 0,1 kNm
-12,1
(Mresidual)B = 0,0 kNm
Esforços transversos e momentos flectores nas extremidades das barras:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 22
1
2
3
4
Te= 12,1/4 kN
Md=-12,1 kNm
Td= 12,1/4 kN
Me= 0 kNm
Md= 12,1 kNm Me=-18,9 kNm
Te= (6,8/5+10*5/2) kN
Td= (6,8/5-10*5/2) kN
p=10kN/m
Me= 4,2 kNm
Md= 8,4 kNm
Te=-4,2/5 kN
Td=-4,2/5 kN
Te= 15,8/4 kN
Md= 5,3 kNm Td= 15,8/4 kN
Me= 10,5 kNm
Note que o somatório dos momentos flectores nos nós é nulo. Por outro lado, os esforços axiais são determinados impondo o equilíbrio nos nós.
Rotações nas extremidades das barras:
1
2
3
4
p=10kN/m
θd= (4/K)*(2*10,5/2-10,5) rad = 0 rad
θe= (4/K)*(2*10,5-10,5/2) rad = 63/K rad
θe= (5/K)*(2*4,2-8,4) rad = 0 rad
θe= (5/K)*(2*8,4-4,2) rad = 63/K rad
θe= (5/K)*(2*1,9+8,7) rad = 62,5/K rad
θd= (5/K)*(-2*8,7-1,9) rad =-96,5/K rad
θe= (4/K)*(2*0,0+12,1) rad = 48,4/K rad
θd= (4/K)*(-2*12,1-0,0) rad = 96,8/K rad
sendo K = 1 / (6.E.I).
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 23
MÉTODO DE CROSS
Seja agora uma estrutura de nós móveis duas vezes hipergeométrica, sendo uma das incógnitas hipergeométricas de translação.
p
E, I
α A
B C
1
2
L2 L1 . cos α
p
E, I
αA
BC
1
2
L2 L1 . cos α
∆1 ∆2
=
Para que possamos resolver a estrutura pelo Método de Cross, é preciso que os nós da estrutura não sofram deslocamentos de translação e por isso teremos que restringir o
movimento de translação ∆2 obrigando-o, numa primeira fase, a ser nulo.
Sejam então os esforços momentos flectores nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios:
p
E, I
α
(RB0)10
(RB0)20
1
2
(RB0)0=(RB0)10+(RB0)20
(RA0)10
Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior um momentos MB no nó B que equilibre o momento fictício (RB0)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são determinados por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-se por (RX0)ij os momentos flectores no nó X da barra i correspondente à iteração de ordem j do método de Cross.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 24
E, I α
1
MB=-(RB0)0
2
= (equilíbrio do nó B – iteração j = 1)
α
(RB0)11 (RB0)21
(RA0)11
(RB0)11+(RB0)21=MB=MB1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 111
211111
111110
121211111
211210
111211111
111110
BBABBABA
BBBB
BBBB
MdrMKK
KrR
MdMKK
KR
MdMKK
KR
⋅⋅=⋅+
⋅=
⋅=⋅+
=
⋅=⋅+
=
Como existe apenas um nó a equilibrar, uma iteração é suficiente para determinar os momentos finais nas extremidades das barras:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 020
21020020
11010010
11010010
=
+=
+=
+=
C
BBB
BBB
AAA
RRRRRRRRRR
sendo ( ) ( ) ( )00210110 BBBB RMRR −==+
E, I α
1
2
p
(RB0)1
(RB0)2
(RA0)1
e por isso,
( ) ( ) 02010 =+ BB RR
Calculados os momentos flectores, pode-se, por aplicação do P.T.V., determinar a força que actua no apoio fictício horizontal, tal como já havia sido realizado para o caso das barras axialmente indeformáveis. Assim, libertando o apoio fictício, temos um mecanismo:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 25
E, I α
1 2 θ1=(1/sinα)/L1
∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2
que permite determinar o valor da reacção horizontal no apoio no nó C, R20:
E, I α
1 2 θ1=(1/sinα)/L1
∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2
E, I α
1
2
p
(RB0)1
(RB0)2
(RA0)1
R20
( ) ( )[ ] ( ) 0tan1
21 22201101020 =⋅⋅+⋅+⋅++⋅ αθθ LpRRRR BBA
Esta força é fictícia, já que na realidade não existe. A sua presença impede o nó C de se deslocar na direcção da força. A não existência dessa força implica um movimento de translação desse nó no sentido contrário à força.
Analisemos então o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação
sofre um deslocamento unitário ∆2=1. Os esforços momentos flectores nas barras
correspondentes à fixação dos apoios fictícios são:
E, I α
1 2
∆2=1
(RB2)10
(RB2)20
(RB2)0=(RB2)10+(RB2)20
(RA2)10
Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior um momentos MB no nó B que equilibre o momento fictício (RB2)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 26
E, I α
1
MB=-(RB2)0
2
= (equilíbrio do nó B – iteração j = 1)
α
(RB2)11 (RB2)21
(RA2)11
(RB)11+(RB)21=MB=MB1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) 111
211111
111112
121211111
211212
111211111
111112
BBABBABA
BBBB
BBBB
MdrMKK
KrR
MdMKK
KR
MdMKK
KR
⋅⋅=⋅+
⋅=
⋅=⋅+
=
⋅=⋅+
=
Como existe apenas um nó a equilibrar, uma iteração é suficiente para determinar os momentos finais nas extremidades das barras. Calculam-se então os momentos flectores finais nas extremidades das barras:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 022
21220222
11210212
11210212
=
+=
+=
+=
C
BBB
BBB
AAA
RRRRRRRRRR
sendo ( ) ( ) ( )02212112 BBBB RMRR −==+
E, I α
1
2 (RB2)1
(RB2)2
(RA2)1
∆2=1
e
( ) ( ) 02212 =+ BB RR
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 27
A aplicação do P.T.V. aos esforços resultantes nas barras, permite determinar o valor da reacção horizontal no apoio fictício no nó C, R22 correspondente à acção assentamento unitário do apoio:
E, I α
1 2 θ1=(1/sinα)/L1
∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2
E, I α
1
2 (RB2)1
(RB2)2
(RA2)1
∆2=1 R22
( ) ( )[ ] ( ) 01 2221121222 =⋅+⋅++⋅ θθ BBA RRRR
Mais uma vez, esta força é fictícia, já que na realidade não existe. A sua presença impõe no nó C um deslocamento unitário na direcção da força. Logo, como precisamos de garantir que o valor final da força calculada por sobreposição dos resultados sem e com
assentamento do apoio fictício seja nulo, o deslocamento do apoio fictício, i.e. o valor ∆2,
terá que obedecer à equação:
22
20222220 0
RR
RR −=∆⇒=∆⋅+
Finalmente, os esforços momentos flectores finais nas extremidades das barras são calculados por sobreposição de efeitos:
E, I α
1
2
p
(MB)1
(MB)2
(MA)1 α
L2L1 . cos α
∆2(MB)=(MB)1+(MB)2=0
(R2)=0
R2
=
E, I α
1
2
p
(RB0)1
(RB0)2
(RA0)1
R20
E, I α
1
2 (RB2)1
(RB2)2
(RA2)1
∆2=1 R22
+ * ∆2
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 28
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 02
222202
212101
212101
=
∆⋅+=
∆⋅+=
∆⋅+=
C
BBB
BBB
AAA
MRRMRRMRRM
Consideremos agora uma segunda estrutura de nós móveis 5 vezes hipergeométrica, sendo duas das incógnitas hipergeométricas de translação.
p
L1
E, I
L3
P1 P2
L2
A
B
E
D
C
pE, I
L2
P1 P2
∆3
∆1
∆2 ∆4
α ∆5
=
A
B
E
C
D
Para que possamos resolver a estrutura pelo Método de Cross, é preciso que os nós da estrutura não sofram deslocamentos de translação e por isso teremos que restringir os
movimentos de translação ∆1 e ∆2 obrigando-os, numa primeira fase, a serem nulos.
Sejam então os esforços momentos flectores nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios:
pE, I
P1 P2
(RB0)10 (RB0)20
(RA0)10
(RC0)20 (RC0)30
(RD0)30
(RD0)40
(RE0)40
(RB0)0=(RB0)10+(RB0)20
(RC0)0=(RC0)20+(RC0)30
(RD0)0=(RD0)30+(RD0)40
Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os momentos fictícios (RB0)0, (RC0)0 e (RD0)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por estes momentos concentrados aplicados nos nós são determinados por
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 29
aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-se
por (RX0)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = ∆2 = 0
depois de resolvida a estrutura.
pE, I
P1 P2
(RB0)1(RB0)2
(RA0)1
(RC0)2 (RC0)3
(RD0)3
(RD0)4
(RE0)4
(RB0)=(RB0)1+(RB0)2=0
(RC0)=(RC0)2+(RC0)3=0
(RD0)=(RD0)3+(RD0)4=0 R10
R20
Calculados os momentos flectores, pode-se, por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação, tal como já havia sido realizado para o caso do exemplo anterior. Assim, libertando cada um dos dois apoios fictícios separadamente, temos dois mecanismos:
L1
E, I
L2
L3
∆1
∆1 / tan α
θ11=1/L1 θ41=-θ11
θ21=-θ31=-2/L2/tanα
1
-∆1
∆1
E, I
L2
2 ∆2
∆2
1
θ12=0
?-∆2 / tanα
θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3
que permitem determinar os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R10 e R20:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0tan
1222
1
21412
1111
41404031303021202011101010
=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+
⋅++⋅++⋅++⋅++⋅
αθθ
θθθθ
LpLPLP
RRRRRRRRR EDDCCBBA
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0tan
1220
1
214221
42404032303022202012101020
=⋅⋅+⋅⋅+⋅+
⋅++⋅++⋅++⋅++⋅
αθ
θθθθ
LpLPP
RRRRRRRRR EDDCCBBA
Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impede que os nós B e C se desloquem na direcção das forças. A não existência dessas forças implica movimentos de translação desses nós no sentido contrário às forças.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 30
Analisemos então o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação no
nó B sofre um deslocamento unitário ∆1=1. Os esforços momentos flectores nas barras
correspondentes à fixação dos apoios fictícios são:
E, I
∆1=1
(RB1)10
(RB1)20
(RA1)10
(RC1)20 (RC1)30
(RD1)30
(RD1)40
(RE1)40
(RB1)0=(RB1)10+(RB1)20
(RC1)0=(RC1)20+(RC1)30
(RD1)0=(RD1)30+(RD1)40
Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os momentos fictícios (RB1)0, (RC1)0 e (RD1)0. Os momentos flectores nas extremidades das
barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-
se por (RX1)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = 1 e
∆2 = 0 depois de resolvida a estrutura.
E, I
(RB1)1
(RB1)2
(RA1)1
(RC1)2 (RC1)3
(RD1)3
(RD1)4
(RE1)4
(RB1)=(RB1)1+(RB1)2=0
(RC1)=(RC1)2+(RC1)3=0
(RD1)=(RD1)3+(RD1)4=0 ∆1=1 R11
R21
Calculados os momentos flectores, pode-se, mais uma vez por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação. Assim, considerando os dois mecanismos:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 31
L1
E, I
L2
L3
∆1
∆1 / tan α
θ11=1/L1 θ41=-θ11
θ21=-θ31=-2/L2/tanα
1
-∆1
∆1
E, I
L2
2 ∆2
∆2
1
θ12=0
?-∆2 / tanα
θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3
determinam-se os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R11 e R21:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01 41414131313121212111111111 =⋅++⋅++⋅++⋅++⋅ θθθθ EDDCCBBA RRRRRRRRR
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01 42414132313122212112111121 =⋅++⋅++⋅++⋅++⋅ θθθθ EDDCCBBA RRRRRRRRR
Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impõe um deslocamento unitário no apoio fictício no nó B e impede o nó C de se deslocar na direcção da força.
Analisemos agora o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação no
nó C sofre um deslocamento unitário ∆2=1. Os esforços momentos flectores nas barras
correspondentes à fixação dos apoios fictícios são:
E, I ∆2=1
(RB2)10
(RA2)10
(RC2)20
(RC2)30
(RD2)30
(RD2)40
(RE2)40
(RB2)0=(RB2)10+(RB2)20
(RC2)0=(RC2)20+(RC2)30
(RD2)0=(RD2)30+(RD2)40
(RB2)20
Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os momentos fictícios (RB2)0, (RC2)0 e (RD2)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-
se por (RX2)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = 0 e
∆2 = 1 depois de resolvida a estrutura.
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 32
E, I
∆2
(RB2)1
(RA2)1
(RC2)2
(RC2)3
(RD2)3
(RD2)4
(RE2)4
(RB2)=(RB2)1+(RB2)2=0
(RC2)=(RC2)2+(RC2)3=0
(RD2)=(RD2)3+(RD2)4=0
(RB2)2 ∆2=1
R12
R22
Calculados os momentos flectores, pode-se, mais uma vez por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação. Assim, considerando os dois mecanismos:
L1
E, I
L2
L3
∆1
∆1 / tan α
θ11=1/L1 θ41=-θ11
θ21=-θ31=-2/L2/tanα
1
-∆1
∆1
E, I
L2
2 ∆2
∆2
1
θ12=0
θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3
-∆2 / tanα
determinam-se os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R12 e R22:
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01 41424231323221222211121212 =⋅++⋅++⋅++⋅++⋅ θθθθ EDDCCBBA RRRRRRRRR
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01 42424232323222222212121222 =⋅++⋅++⋅++⋅++⋅ θθθθ EDDCCBBA RRRRRRRRR
Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impõe um deslocamento unitário no apoio fictício no nó C e impede o nó B de se deslocar na direcção da força.
Logo, como precisamos de garantir que o valor final das forças calculadas por sobreposição dos resultados sem e com assentamentos dos apoios fictícios seja nulo, os
deslocamentos dos apoios fictícios, i.e. os valores ∆1 e ∆2 terão que obedecer às equações:
=∆⋅+∆⋅+=∆⋅+∆⋅+
00
22212120
21211110
RRRRRR
Finalmente, os esforços momentos flectores finais nas extremidades das barras são calculados por sobreposição de efeitos:
Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 33
pE, I
P1 P2
(MB)1 (MB)2
(MA)1
(MC)2
(MC)3 (MD)3
(MD)4
(ME)4
(MB)=(RB)1+(RB)2=0
(MC)=(RC)2+(RC)3=0
(MD)=(RD)3+(RD)4=0 R1
R2
(R1)=(R2)=0
∆1
∆2
= pE, I
P1 P2
(RB0)1 (RB0)2
(RA0)1
(RC0)2 (RC0)3
(RD0)3
(RD0)4
(RE0)4
R10
R20
+
E, I
(RB1)1
(RB1)2
(RA1)1
(RC1)2 (RC1)3
(RD1)3
(RD1)4
(RE1)4
∆1=1 R11
R21
* ∆1 +
∆2
(RB2)1
(RA2)1
(RC2)2
(RC2)3
(RD2)3
(RD2)4
(RE2)4
(RB2)2
∆2=1
* ∆2
E, I
R12
R22
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 242141404
242141404
232131303
232131303
222121202
222111202
212111101
212111101
∆⋅+∆⋅+=
∆⋅+∆⋅+=
∆⋅+∆⋅+=
∆⋅+∆⋅+=
∆⋅+∆⋅+=
∆⋅+∆⋅+=
∆⋅+∆⋅+=
∆⋅+∆⋅+=
EEEE
DDDD
DDDD
CCCC
CCCC
BBBB
BBBB
AAAA
RRRMRRRMRRRMRRRMRRRMRRRMRRRMRRRM