Métodos Numéricos: Solución de los ejercicios …lacova.upc.es/~fpq/numerico/ejercicios/soluciones/num...Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 7 (a) Sabemos

Métodos Numéricos: Solución de los ejercicios

Tema 5: Resolución aproximada de ecuacionesFrancisco Palacios

Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de ManresaUniversidad Politécnica de Cataluña

Abril 2008, versión 1.4

Ejercicio 1 Consideramos la ecuación

x− e−x = 0.

(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución en el intervalo [0, 1].

(b) Demuestra que la ecuación tiene una única solución en el intervalo[0, 1].

(c) Si usamos el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], ¿cuán-tas iteraciones nos hacen falta para asegurar 4 decimales exactos?

(d) Calcula las 5 primeras iteraciones.

−>−

(a) α ' 0.5.

x 21.510.50-0.5-1

2.5

2

1.5

1

0.5

0-0.5

-1

(b) Existencia.f(x) = x− e−x,

f es continua en [0,1], además

f(0) = −1 ª, f(1) = 0. 63212 ⊕,

por lo tanto, existe una solución α ∈ (0, 1) .

1

Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 2

Unicidad. Calculamos la derivada

f 0(x) = 1 + e−x.

La derivada f 0 es positiva para todo x, por lo tanto, f es creciente en elintervalo y la raíz es única.

(c) Exigimos

|en| =b− a2n

=1

2n≤ 0.5× 10−4

2n ≥ 1

0.5× 10−4

n ≥ ln(20000)ln 2

= 14. 29

necesitamos n = 15 iteraciones.

(d) Iteraciones.

Fase 1a1 = 0 f(a1) = −1 ªc1 = 0.5 f(c1) = −0.1065 ª a2 = 0.5b1 = 1 f(b1) = 0.6321 ⊕ b2 = 1

Fase 2a2 = 0.5 f(a2) = −0.1065 ª a3 = 0.5c2 = 0.75 f(c2) = 0.2776 ⊕ b3 = 0.75b2 = 1 f(b2) = 0.6321 ⊕

c3 = 0.625,

c4 = 0.5625,

c5 = 0.59375. ¤


x− e−x = 0.

(a) Construye una representación gráfica con Maple y estima gráficamenteel valor de la raíz.

(b) Escribe un programa que permita aplicar el método de la bisección.Verifica el buen funcionamiento con el valor de las 5 iteraciones cal-culadas en el ejercicio anterior.

(c) Si partimos de intervalo [0, 1], ¿cuántas iteraciones nos hacen faltapara asegurar 7 decimales exactos?


(d) Usa el programa y el número de iteraciones calculado para aproximarla raíz con 7 decimales.

(e) Calcula el valor de la raíz con Maple, verifica el resultado del apartadoanterior.

−>−

(a) Puedes obtener el gráfico con la orden£> plot(x-exp(-x),x=0..1);

Valor estimado a partir del gráfico α ' 0.57.(b) Un programa simple es el siguiente⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> f:=x->x-exp(-x);a:=0; b:=1; n:=3;for i from 1 to n doc:=evalf((a+b)/2);fa:=f(a);fc:=f(c);if evalf(fa*fc)<0 then b:=c else a:=c fi;od;

Observemos que el programa no incorpora protección contra el caso f(ci) =0, no obstante, en cada iteración se imprime el valor de f(ci), lo que nospermite ver si en alguna iteración hemos determinado la raíz exacta.

(c) Exigimos1

2n≤ 0.5× 10−7

resulta n = 25.

(d) Usando el método de la bisección con intervalo inicial [0, 1], el valorobtenido en la iteración 25 es c25 = 0.56714329.

(e) Con el comando fsolve de Maple obtenemos£> s:=fsolve(x-exp(-x)=0);

s := 0.567143904

Error real.|e25| = |α− c25| = 0.12× 10−8.

El error obtenido nos confirma que, en efecto, c25 aproxima la raíz α con7 decimales exactos. ¤



lnx =1

x.




(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.

(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.

(f) Resuelve la ecuación con Maple.

−>−

(a) α ' 1.7.

x 420-2-4

5

4

3

2

1

0

-1

(b) Existencia.

f(x) =1

x− lnx

es continua en [1, 2], además

f(1) = 1 ⊕, f(2) = −0. 19 ª,

por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .


Unicidad.f 0(x) =

−1x2− 1x

negativa para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f & en el intervalo y la raíz esúnica.

(c) Exigimos

|en| =b− a2n

=1

2n≤ 0.5× 10−5

resulta

n ≥ln¡2× 105

¢ln 2

= 17. 6096.

Necesitamos n = 18 iteraciones.

(d) Valor de las iteraciones

c1 = 1.5,

c2 = 1.75,

c3 = 1.875,

c4 = 1.8125.

(e) c18 = 1.763225557.

(f) α = 1.763222834, |e18| = 0.2723× 10−5. 2


lnx = e−x.




(d) Calcula las 4 primeras iteraciones de forma manual.

(e) Calcula el valor aproximado usando un programa, verifica el resulta-do de las primeras iteraciones comparando con los valores calculadosmanualmente.

(f) Resuelve la ecuación con Maple.

−>−

(a) α ' 1.3.


x 543210-1

5

4

3

2

1

0-1

-2

(b) Existencia.f(x) = lnx− e−x

es continua en [1, 2], además

f(1) = −0.37 ª, f(2) = 0.56 ⊕,

por lo tanto, existe una solución α ∈ (1, 2) .Unicidad.

f 0(x) =1

x+ e−x

positiva para todo x ∈ [1, 2], por lo tanto, f % en el intervalo y la raíz esúnica.

(c) El intervalo tiene longitud 1, el resultado es el mismo que en el ejercicioanterior, necesitamos n = 18 iteraciones.

(d) Iteraciones

c1 = 1.5,

c2 = 1.25,

c3 = 1.375,

c4 = 1.3125.

(e) c18 = 1.309803011.(f) α = 1.309799586, |e18| = 0.3425× 10−5. 2

Ejercicio 5 Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado vertical-mente al aire y está descendiendo a su velocidad terminal1. La velocidadterminal se puede escribir, después de evaluar todas las constantes, como

(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2

donde v es la velocidad terminal en m/s. El primer término del lado derechorepresenta la fuerza de fricción y el segundo término representa la fuerza depresión.

1Shames, I. H., Mechanics of Fluids, McGraw-Hill, 1982, pag. 417.


(a) Sabemos por una estimación grosera, que la velocidad terminal es v '30m/s. Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raíz.

(b) Verifica el resultado construyendo un gráfico con Maple.

(c) Determina el número de pasos que se necesitan para aproximar la so-lución con 2 decimales usando el método de la bisección.

(d) Calcula la aproximación con un programa, verifica manualmente elvalor de los dos primeros pasos.

(e) Calcula el valor de la velocidad terminal con Maple.

−>−

(a) La función

f(v) = 1.962× 10−2 − 1.4× 10−5v1.5 − 1.15× 10−5v2

es continua en todo R.

f(20) = 0.01377, f(30) = 0.006 970, f(40) = −0.002 322,

tenemos una solución en el intervalo [30, 40]. Valor aproximado gráficamenteα ' 37.7.

x 403836343230

006

004

002

0

002

(b) Exigimos40− 302n

≤ 0.5× 10−2

y resulta n = 11.

(c) c1 = 35, c2 = 37.5, c11 = 37.73926.

(d) Resultado con Maple v = 37.73458, |e11| = 0.00468. ¤


Ejercicio 6 El tamaño crítico de un reactor nuclear se determina resol-viendo una ecuación de criticalidad 2. Un ejemplo simple de este tipo deecuaciones es

tan (0.1x) = 9.2 e−x.

La solución físicamente significativa es la menor raíz positiva. Se sabe, porexperiencia, que la raíz se encuentra en el intervalo [3, 4].

(a) Demuestra que, efectivamente, la ecuación tiene una raíz en [3, 4] yque tal raíz es única.

(b) Aproxima el valor de la raíz con 5 decimales usando el método de labisección.

(c) Verifica el resultado sustituyendo en la ecuación.

(d) Calcula el valor de la raíz con Maple.

−>−

(a) Existencia. El primer punto positivo en el que tan(t) es discontinua est1 = π/2 = 1. 571. Si x ∈ [3, 4], entonces 0.1x ∈ [0.3, 0, 4], por lo tanto, lafunción

f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x

es continua en [3, 4]. Además

f(3) = −0. 1487f(4) = 0. 2543

¾T. Bolzano=⇒ Existe un α ∈ (3, 4) tal que f(α) = 0.

Unicidad. Calculamos la derivada

f 0(x) =0.1

cos2 (0.1x)+ 9.2e−x.

Como f 0(x) > 0 en (3, 4), tenemos f % y la raíz es única.

(b) Como el intervalo es de longitud 1, necesitamos 18 intervalos. El re-sultado de la iteración 18 es c18 = 3.292926791, por lo tanto la soluciónes

α = 3.29293.

(c) Sustituyendo en la ecuación obtenemos

f(c18) = f(3.29293) = 0.2 442× 10−5

Sin embargo, esto no garantiza la proximidad de c18 a la raíz (¿por qué?).

(d) Resultado Maple α = 3.292924615, |e18| = 0.2176× 10−5. ¤2Lamarsh, J. R., Introduction to Nuclear Reactor Theory, Addison-Wesley, 1966.



x = e−x.

(a) Verifica, mediante una representación gráfica esquemática, que la ecua-ción tiene una solución α próxima a x0 = 0.5.

(b) Aproxima el valor de la solución con 8 decimales mediante el método deNewton-Raphson, usando como criterio de parada el error estimado.

(c) Demuestra que la solución obtenida es correcta.

−>−

(a) α ' 0.5.

x 3210-1

4

3

2

1

0

-1

(b)f(x) = x− e−x

f 0(x) = 1 + e−x

Método

⎧⎨⎩ x0 = 0.5

xj+1 = xj −xj − e−xj1 + e−xj

Detenemos las iteraciones cuando los 8 primeros decimales quedan fijos

x0 = 0. 5,x1 = 0. 56631 1003,x2 = 0. 56714 3165,x2 = 0. 56714 3290,x4 = 0. 56714 3290.

En principio, el resultado es

α = 0. 56714 329,


aunque no tenemos garantizado que el resultado sea correcto, puesto quehemos detenido las iteraciones usando el error estimado.(c) Error máximo admisible ² = 0.5× 10−8,

a = α− ² = 0.567143285, b = α+ ² = 0.567143295

f(a) = −8. 478× 10−9, f(b) = 7. 194× 10−9.Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar

|α− α| < 0.5× 10−8

y por lo tanto, la aproximación calculada α tiene 8 decimales exactos. ¤

Ejercicio 8 Resuelve la ecuación de criticalidad

tan (0.1x) = 9.2 e−x

usando el método de Newton-Raphson y el valor inicial x0 = 3.5. Calcula lasolución con 5 decimales exactos.

−>−

(a)f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x

f 0(x) =0.1

cos2 (0.1x)+ 9.2e−x

Método

⎧⎪⎨⎪⎩x0 = 3.5

xj+1 = xj −tan (0.1xj)− 9.2 e−xj

0.1cos2(0.1xj)

+ 9.2e−xj

Detenemos las iteraciones cuando los 5 primeros decimales quedan fijos

x0 = 3. 5,x1 = 3. 27703 008,x2 = 3. 29283 161,x3 = 3. 29292 461,x4 = 3. 29292 461.

α = 3.29292.

Verificamos el resultado; error máximo admisible ² = 0.5× 10−5,

a = α− ² = 3.292915, b = α+ ² = 3.292925.

f(a) = −4. 35953 4× 10−6, f(b) = 1. 74609× 10−7.Como se produce un cambio de signo, podemos asegurar

|α− α| < 0.5× 10−5. ¤


Ejercicio 9 Resuelve la ecuación

(0.002) (9.81) = 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2

usando el método de Newton-Raphson a partir del valor inicial v0 = 30m/s.Calcula la solución con 3 decimales exactos.

−>−

Tomamos

f(v) = 0.0 1962− 1.4× 10−5v1.5 + 1.15× 10−5 v2,

f 0(v) = −0.0000 21v. 5 + 0.0000 23v.⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩v0 = 30,

vj+1 = vj −f(vj)

f 0(vj).

Valores de las iteraciones

v0 = 30,v1 = 38.657611,v2 = 37.744895,v3 = 37.734579,v4 = 37.734578.

Valor aproximado de la velocidad terminal

v = 37.735.

Error máximo ² = 0.5× 10−3

a = v − ² = 37.7545 f(a) = 0.77× 10−7b = v + ² = 37.7355 f(b) = −0.919× 10−6

¾cambio de signo,

podemos asegurar|vT − v| ≤ 0.5× 10−3. ¤

Ejercicio 10 Aproxima el valor de√41 con 6 decimales exactos usando el

método de Newton-Raphson.

−>−

Sea x el valor buscadox =√41


y reformulamos ecuación como una ecuación cuadrática

x2 − 41 = 0.

Tenemos

f(x) = x2 − 41,f 0(x) = 2x.

Método ⎧⎨⎩x0 = 6.5,

xj+1 = xj −x2j − 412xj

.

Donde hemos tomado x0 = 6.5 como estimación inicial de√41. Iteraciones

x0 = 6.5,x1 = 6.4038462,x2 = 6.4031243,x3 = 6.4031242.

Valor aproximado con 6 decimales

α = 6.403124

Verificamos la solución. Error máximo admisible ² = 0.5× 10−6

a = α− ² = 6.4031235 f(a) = −0.49× 10−5a = α− ² = 6.4031245 f(b) = 0.34× 10−5

¾cambio de signo.

Podemos asegurar que

|α− α| ≤ 0.5× 10−6. ¤

Ejercicio 11 Aproxima el valor de 5√23 con 6 decimales exactos usando el

método de Newton-Raphson.

−>−

Formulamosx =

5√23⇐⇒ x5 − 23 = 0.

Tomamos la función

f(x) = x5 − 23,f 0(x) = 5x4.


Valor inicial25 = 3215 = 1

¾⇒ x0 = 1.5.

Método ⎧⎨⎩x0 = 1.5,

xj+1 = xj −x51 − 234x4j

.

Iteracionesx0 = 1.5,x1 = 2.10864198,x2 = 1.91958682,x3 = 1.87445650,x4 = 1.87217680,x5 = 1.87217123,x6 = 1.87217123.

Valor aproximado con 6 decimales

α = 1.872171. ¤

Ejercicio 12 Dado un número c, podemos calcular su inverso x = 1/c re-solviendo la ecuación

1

x− c = 0.

(a) Comprueba que si aplicamos el método de Newton-Raphson, podemoscalcular inversos sin hacer divisiones.

(b) Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores inicialesdeben estar próximos a la solución para que el método converja.

−>−(a) Formulamos

x =1

c⇐⇒ 1

x− c = 0.

Tomamosf(x) =

1

x− c

f 0(x) =−1x2

Método ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

x0 = aproximación inicial

xj+1 = xj −

1

xi− cÃ− 1x2j

! = 2xj − cx2j


½x0 = aproximación inicial,xj+1 = 2xj − cx2j .

(b) Para α =1

9, tomamos el valor inicial x0 = 0.1. Observa que es c = 9.

La fórmula de recurrència es½x0 = 0.1,xj+1 = 2xj − 9x2j .

Iteraciones.x0 = 0.1x1 = 0.11x2 = 0.1111x3 = 0.11111111x4 = 0.1111111

Tomamos1

9= 0.111111.

Para α =1

45, podemos tomar el valor inicial x0 = 0.01. La fórmula de

recurrència es ½x0 = 0.1,xj+1 = 2xj − 45x2j .

x5 = x6 = 0.02222222.

1

45= 0.022222

Para α =1

678, valor inicial x0 = 0.001

x4 = x5 = 0.00147493,

α = 0.001475. ¤


x = cos(x).

(a) Demuestra que la formulación

x =x+ cos(x)

2

es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0, 1].


(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.

(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.

(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.

(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.

−>−

En primer lugar, observamos que la ecuación

x = cos(x)

es equivalente a la ecuación

x =x+ cos(x)

2

pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x. En el segundo caso, la función de iteración es

g(x) =x+ cos(x)

2.

(a) Veamos que la función

g(x) =x+ cos(x)

2

cumple las condiciones del teorema de punto fijo.

• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 1].

• (Condición 2) Sean

m = minx∈[0,1]

g(x), M = maxx∈[0,1]

g(x).

Si x ∈ [0, 1], entonces g(x) ∈ [m,M ]. Debemos resolver un problema deextremos absolutos de una función continua sobre un intervalo cerrado.Calculamos la derivada

g0(x) =1− sin(x)

2,


se cumple g0(x) > 0, en todo [0, 1], por lo tanto g % en [0, 1] y

m = minx∈[0,1]

g(x) = g(0) = 0. 5, M = maxx∈[0,1]

g(x) = g(1) = 0. 77015 1.

Por lo tanto, cuando x toma valores en [0, 1], g(x) toma valores en

[0.5, 0. 77015 1] ⊂ [0, 1].

• (Condición 3) Hemos de calcular

M1 = maxx∈[0,1]

¯g0(x)

¯.

La función objetivo es

h(x) =

¯1− sin(x)

2

¯=1− sin(x)

2,

calculamosh0(x) = −1

2cos(x).

Como h0(x) < 0 en [0, 1], resulta h(x)&, por lo tanto

M1 = maxx∈[0,1]

¯g0(x)

¯= h(0) = 0.5.

En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0, 1] y que la iteración de punto fijo

xj+1 =xj + cos(xj)

2

converge a él para todo valor inicial x0 ∈ (0, 1) .(b) El error cumple

|ej | = |α− xj | ≤M j1(b− a) = (0. 5)

j (1− 0) = (0. 5)j ,

exigimos(0. 5)j ≤ 0.5× 10−5

y resolvemos en j, resulta

j ≥ln¡0.5× 10−5

¢ln (0. 5)

= 17. 6096.

Para asegurar 5 decimales exactos, necesitamos j = 18 iteraciones.


(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es

j xj0 0.5

1 0. 68879128

2 0. 73040306

3 0. 73765431

4 0. 73885125

5 0. 73904696

(d) Programa Maple⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> g:=x->(x+cos(x))/2;x0:=0.5;n:=17;for j from 0 to n dox.(j+1):=evalf(g(x.j));od;

Obtenemosx18 = 0.73908513.

(e) Valor obtenido con fsolve

α = 0.73908513. ¤


x = e−x

(a) Demuestra que la formulación

x =x+ e−x

2

es adecuada para resolver la ecuación mediante iteración de punto fijopara todo valor inicial x0 en el intervalo [0.5, 1].

(b) Determina el número de iteraciones necesario para obtener 5 decimalesexactos.

(c) Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual.

(d) Escribe un programa con Maple para calcular las iteraciones, verifica elresultado de las primeras iteraciones con los valores que has obtenidoen el apartado anterior.


(e) Verifica el resultado resolviendo la ecuación con Maple.

−>−

En primer lugar, observamos que

x = e−x ⇐⇒ x =x+ e−x

2

pues la segunda formulación se obtiene de la primera sumando x a amboslados y despejando x.

(a) Veamos que la función de iteración

g(x) =x+ e−x

2

cumple las condiciones del teorema de punto fijo.

• (Condición 1) g(x) es continua con derivada continua en todo R, porlo tanto, es de clase C1[0, 0.5].

• (Condición 2) Sean

m = minx∈[0,1]

g(x), M = maxx∈[0,1]

g(x),

calculamos

g0(x) =1− e−x2

,

estudiamos si g0(x) se anula

g0(x) = 0⇐⇒ 1− e−x = 0⇐⇒ e−x = 1⇐⇒ x = 0.

Vemos que la derivada tiene un único cero que está fuera del intervalo[0.5, 1], por lo tanto, g0 es de signo constante en el intervalo. Como

g0(1) =1− e−12

= 0. 31606,

se cumple g0(x) > 0, en todo [0.5, 1], en consecuencia g % en [0, 1] y

m = minx∈[0,1]

g(x) = g(0.5) = 0. 55326 5, M = maxx∈[0,1]

g(x) = g(1) = 0. 68394.

por lo tanto, cuando x toma valores en [0.5, 1], g(x) toma valores en

[0. 55326 5, 0. 68394] ⊂ [0.5, 1].


• (Condición 3) Hemos de calcular

M1 = maxx∈[0,1]

¯g0(x)

¯,

la función objetivo es

h(x) =

¯1− e−x2

¯.

En el apartado anterior, hemos visto que

1− e−x2

> 0, para x ∈ [0.5, 1],

por lo tanto, podemos eliminar el valor absoluto

h(x) =1− e−x2

.

Calculamos

h0(x) =e−x

2,

como h0(x) > 0 en [0.5, 1], resulta h(x)%, por lo tanto

M1 = maxx∈[0,1]

¯g0(x)

¯= h(1) = 0. 31606.

En consecuencia, podemos asegurar que existe un único punto fijo en elintervalo [0.5, 1] y que la iteración de punto fijo

xj+1 =xj + e

−xj

2

converge a él para todo valor inicial x0 ∈ (0.5, 1) .(b) El error cumple

|ej | = |α− xj | ≤ (0. 31606)j (0.5− 0) = (0. 31606)j (0.5) ,

exigimos(0. 31606)j (0.5) ≤ 0.5× 10−5

y resolvemos en j, resulta

j ≥ln¡10−5

¢ln (0. 31606)

= 9. 99539.

Para asegurar 5 decimales exactos, necesitamos j = 10 iteraciones.


(c) El valor de las primeras 5 iteraciones es

j xj0 0.75

1 0. 61118328

2 0. 57694580

3 0. 56927841

4 0. 56760603

5 0. 56724347

(d) Programa Maple. Es análogo al del problema anterior, ajustando ladefinición de la función g(x) y el número de iteraciones⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

> g:=x->(x+exp(-x))/2;x0:=0.75;n:=9;for i from 0 to n dox.(i+1):=evalf(g(x.i));od;

Obtenemosx10 = 0.56714334

La solución esα = 0.56714

(e) Valor obtenido con fsolve

α = 0.5671432904. ¤


tan (0.1x) = 9.2 e−x

con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo

x = x− λf(x).

toma como intervalo inicial [3, 4].

−>−

En primer lugar, escribimos la ecuación en forma normal f(x) = 0, esto es

f(x) = tan (0.1x)− 9.2 e−x.

Calculamosf(3) = −0. 14870 5, f(4) = 0. 25428 9,


por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (3, 4). Esti-mamos el valor de f 0(α) usando la pendiente media en el intervalo

f 0(α) ' f(4)− f(3)2− 1 = 0. 40299 4

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 1

0. 40299 4= 2. 48143.

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 3.5,xj+1 = xj − 2. 48143 (tan(0.1xj)− 9.2e−xj ) .

Resultan las iteracionesj xj0 3. 5

1 3. 28358 81

2 3. 29412 90

3 3. 29277 45

4 3. 29294 34

5 3. 29292 23

6 3. 29292 49

7 3. 29292 46

8 3. 29292 46

Podemos tomarα = 3.292925. ¤


x = cos(x)

con 6 decimales exactos usando una formulación de punto fijo del tipo

x = x− λf(x),

toma como intervalo inicial [0, 1].

−>−

Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con

f(x) = x− cos(x),

calculamosf(0) = −1, f(1) = 0. 45970.


Por el Teorema de Bolzano, tenemos una raíz α en el intervalo (0, 1). Esti-mamos el valor de f 0(α)

f 0(α) ' f(1)− f(0)1− 0 = 1. 45970

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 1

1. 45970= 0. 6851.

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,½x0 = 0.5,xj+1 = xj − 0.6851 (xj − cos (xj)) .

Obtenemosj xj0 0.51 0. 758681812 0. 736115783 0. 739518184 0. 739021605 0. 739094446 0. 739083777 0. 73908 5338 0. 73908 510 |e8| = 0.23× 10−6


Ejercicio 17 Calcula√55 con 6 decimales exactos usando una formulación

de punto fijo del tipox = x− λf(x),

determina un intervalo inicial adecuado.

−>−

Formulamosx =√55⇐⇒ x2 = 55.

Escribimos la ecuación en la forma f(x) = 0 con

f(x) = x2 − 55.

Calculamos

f(7) = −6f(8) = 9

¾T. Bolzano=⇒ solución α ∈ (7, 8) .


Estimamos

f 0(α) ' f(8)− f(7)8− 7 = 15

y calculamos λ

λ =1

f 0(α)' 1

15= 0.066667.

La fórmula de recurrencia es, por lo tanto,(x0 = 7.5,

xj+1 = xj − 0.066667³x2j − 55

´.

Obtenemosj xj0 7.51 7. 41666 62502 7. 41620 36973 7. 41619 85454 7. 41619 8488 |e4| = 0.57× 10−7


Ejercicio 18 El coeficiente de fricción f para el flujo turbulento en un tuboestá dado por3

1√f= 1.14− 2.0 log10

µe

D+

9.35

Re√f

¶donde Re es el número de Reynolds, e es la rugosidad de la superficie deltubo y D es el diámetro del tubo. Determina el valor de f para los datos

(a) D = 0.1m, e = 0.0025, Re = 3× 104

(b) D = 0.1m, e = 0.0001, Re = 3× 106

Indicación: El orden de magnitud de f es 10−2; además es mejor reescribirla ecuación en la forma

f =

∙1.14− 2.0 log10

µe

D+

9.35

Re√f

¶¸−2

−>−

Ver resolución con Maple.(a) f = 0.054114(b) f = 0.019721

3Correlación de Colebrook

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Métodos Numéricos: Solución de los ejercicios …lacova.upc.es/~fpq/numerico/ejercicios/soluciones/num...Francisco Palacios Tema 5: Resolución aproximada de ecuaciones. 7 (a) Sabemos