Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
1
Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek Dr. Obádovics J. Gyula
A differenciálegyenlet-rendszerek elmélete szerint a
,
homogén, ill. inhomogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása
, ill.,
t
tu
utt u)dueet
0
()( )()( fcx AA
az kezdeti feltételt kielégítő megoldása, pedig
, ill.
t
tu
utttduueet
0
0 )(),( )(0
)(0 fxxx AA
alakban előállítható, ahol az együtthatómátrix, az ismeretlen függvényvektor, c vektor elemei
pedig tetszőleges állandók [D2], [D3], [K7].
A dolgozatban ismertetésre kerülő módszer a homogén, ill. az inhomogén rendszer általános
megoldását
ill.
mátrixszorzattal, a kezdeti feltételt kielégítő megoldását pedig
, ill.
mátrixszorzattal képezi, ahol uDD ill. , a differenciálegyenlet-rendszer exponenciális alapmátrixa.
A uDD ill. , felírása az A Jordan mátrix alakja alapján elvégezhető.
Minden mátrixhoz található olyan nem szinguláris mátrix, amellyel az A mátrix
(1)
hasonlósági transzformációval
kvázidiagonális Jordan-féle alakra hozható, ahol és típusú mátrixok az ún. felső
Jordan-féle blokkok, melyeknek az alakja:
, (2)
ahol a sajátértékek multiplicitása egy típusú egységmátrix, pedig
(3)
típusú mátrix.
)()(
tdt
dAx
tx )()(
)(tt
dt
dfAx
tx
cx Atet )(
00)( xx t
0)(
00),( xxx
A ttet
nnija ][A )(tx
,)( TDcx t
t
tu
u duut
0
)()( 1fTDTcDTx
01
0),( xTDTxxt
t
tu
u duut
0
)(),( 10
10 fTDTxTDTxx
nnRA nnRT
)0det,(1 TRJATTJ nn
)(,),(),( 2211 ssdiag BBBJ ,
)(00
0)(0
00)(
22
11
ss
B
B
B
),( ns )( kk B kk tt
,
000
1000
010
001
)(kk ttk
k
k
k
kk CEB
)1,,1,1;,,2,1( 21 stttsk
k ,kt ktE kk tt
ktC
0000
1000
0100
0010
ktC
kk tt
2
Röviden jelölve: , ahol
Blokkok méretének és darabszámának megállapításához, (ha közvetlenül nem állapítható meg), felhasználjuk a
sajátértékekhez tartozó skW invariáns sajátalterek dimenziójára vonatkozó Frobenius-féle [K3],[K6].
),3,2,1(0dimdim2dim 11 sWWW sk
sk
sk
egyenlőtlenségből képzett
),3,2,1(,dimdimdim2)( 11 sWWWsB sk
sk
skk , (4)
formulát, ahol )(sBk a k sajátértékhez tartozó s méretű blokkok száma, és
sk
skW )ker( EA ),,2,1,0( kts , ),3,2,1( k (5)
a pedig a sajátérték minimálpolinomban lévő tényezőjének fokszáma. Nyilvánvaló, hogy
,00 kW és, ha , akkor ktk
sk WW (6)
Kiszámítjuk ahhoz a sajátértékhez az invariáns alterek dimenziószámát, amelynek a karakterisztikus polinomban
eggyel nagyobb a multiplicitása, mint a minimálpolinomban és alkalmazzuk a (4) formulát a
)(,),4(),3(),2(),1( kkkkkk tBBBBB
értékek kiszámítására.
A karakterisztikus polinom sajátértékeihez tartozó blokkok darabszáma általában kiszámítható az
)( EA kk rangnm
(7)
formulával, de a blokkok méretére nem kapunk választ, többszörös multiplicitású gyököknél a Frobenius
egyenlőtlenségből alkotott (4) formulát alkalmazzuk (l. a példákat).
A sajátértékhez a )1(kB értéke az -es, )2(kB értéke a -es, …, )( kk tB értéke a
méretű blokkok számát adja meg.
Példa. Állítsuk elő az mátrix Jordan-féle normálalakját, ha a
karakterisztikus polinomjának és minimálpolinomjának gyöktényezős alakja:
, .
Az mátrix minimálpolinomjának is van másodfokú tényezője, ezért a Jordan alak kvázi-
diagonális mátrix, és mivel egyik tényezője első fokú, ezért a J blokkjai a minimálpolinomból:
a karakterisztikus polinom maradék tényezőjéből: , tehát
.
Ellenőrzés: a 21 λ kétszeres sajátértékhez
224)2(1 EArangnm db blokk tartozik, vagyis 2 db -es.
A 62 λ kétszeres sajátértékhez
134)6(2 EArangnm db blokk tartozik, vagyis 1 db -es.
Ellenőrizzük az eredményt a (4) formulával.
Tegyük fel, hogy csak a karakterisztikus polinom gyöktényezős alakját ismerjük. Mivel a
tényezőjének fokszáma , így a (4) formulát esetre alkalmazzuk (természetesen a minimálpolinom
ismeretében elegendő -re alkalmazni).
Számítsuk ki a sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit:
ijkk a)(B
egyébként. 0
és 1 ha ,1
, ha ,
ij
ij
a
k
ij
kt k
kts
k 11 22 kk tt
2488
0200
1182
3328
A
22 )2()6()( k )2()6()( 2 m
44RA44RJ
,60
16],2[ 21
BB
]2[3 B
2000
0600
0160
0002
J
11
22
)2(
2kt 2,1s
1s
21
3
( ),
A (4) formula szerint:
202222dimdimdim2)1( 02111
111
11
11 dddWWWB
022222)2( 1321 dddB
tehát a sajátértékhez nem tartozik -es blokk, de van 2 darab -es blokkja.
Mivel a tényezőjének fokszáma , így a (4) formulát esetre alkalmazzuk.
A sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenziói:
( ),
A (4) formula szerint:
002122dimdimdim2)1( 02111
211
2122 dddWWWB ,
112222)2( 1322 dddB ,
tehát a sajátértékhez 1 darab -es blokk tartozik. A kétféle számítással kapott Jordan blokkok
azonosak.
Ha a karakterisztikus polinom többszörös sajátértékeihez tartozó (7) formulával kiszámított blokkok
darabszámából a blokkok méretére nem tudunk egyértelmű választ adni, akkor az egyértelműséget a
minimálpolinom segítségével biztosíthatjuk, vagy alkalmazzuk a (4) formulát. Tekintsük az
és
mátrixokat.
Az mátrix karakterisztikus polinomja: , azaz a 01 5-szörös sajátérték, és a
Jordan alakjához tartozó blokkok száma: 325)0(51 EArangm .
A mátrix karakterisztikus polinomja: , azaz a 01 5-szörös sajátérték és a
Jordan alakjához tartozó blokkok száma: 325)0(51 EBrangm .
Melynek mindkét esetben eleget lehet tenni
1 db -as és 2 db -es blokkal, vagy 2 db -es és 1 db -es blokkal.
Az A mátrix minimálpolinomja: , és a B mátrix minimálpolinomja: , ezért az A mátrix
Jordan blokkjai: 2 db -es, és 1 db -es blokk, a B mátrix Jordan blokkjai pedig : 1 db -as, és 2 db
-es blokk. Az A , ill. B mátrix -val, ill. -vel jelölt Jordan-féle normálalakja:
, .
A (4) formula alkalmazása:
Mivel az A mátrix minimálpolinomja másodfokú, fokszáma , így a (4) formulát elég
esetre alkalmazni.
Számítsuk ki a sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit ( ):
.22,2))2dim(ker(
,2))2dim(ker())dim(ker(
,0
22
11
0
idd
d
d
iEA
EAEA )1,1,1,1(diagE
21 22 11
)6( 2kt 2,1s
62
.22,2))6dim(ker(
,1))6dim(ker())dim(ker(
,0
22
21
0
idd
d
d
iEA
EAEA )1,1,1,1(diagE
62 22
12110
11100
01010
11100
11100
A
33210
22110
22110
11100
22110
B
55RA 5)( k
55RB 5)( k
33 11 22 112)( m 3)( m
22 11 33
11 AJ BJ
00000
00000
01000
00000
00010
AJ
00000
00000
00000
00100
00010
BJ
2kt 2,1s
01 )1,1,1,1,1(diagE
4
A (4) formula szerint:
105322dimdimdim2)1( 02111
111
11
11 dddWWWB ,
235522)2( 1321 dddB ,
tehát az A mátrix ötszörös sajátértékéhez 1 db -es blokk, és 2 darab -es blokk tartozik.
Mivel az B mátrix minimálpolinomja harmadfokú, fokszáma , így a (4) formulát elég
esetre alkalmazni.
Számítsuk ki a sajátértékhez tartozó invariáns sajátalterek dimenzióit ( ):
A (4) formula szerint:
204322dimdimdim2)1( 02111
111
11
11 dddWWWB ,
035422)2( 1321 dddB ,
145522)3( 2431 dddB ,
tehát a B mátrix ötszörös sajátértékéhez 2 db -es blokk, 0 számú -es blokk, valamint 1 db
-as blokk tartozik.
A transzformáció mátrixának kiszámítása
Definíció. Ha egy n-edrendű A mátrixnak n számú lineárisan független sajátvektora van, akkor azt a mátrixot,
amelynek oszlopai a sajátvektorok koordinátáival rendre megegyeznek, az A-hoz tartozó modálmátrixnak
mondjuk.
Példa. Ha
311
151
113
A , és TTT ]1,2,1[,]1,1,1[,]1,0,1[ 321 vvv az A sajátvektorai,
akkor a modálmátrix:
111
210
111
Q .
Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszerek pontos megoldásához az együtt-
hatómátrix Jordan-féle normálalakja mellett arra a reguláris mátrixra is szükség van, amellyel végzett
hasonlósági transzformáció előállítja az A mátrix J-vel jelölt
. ( ) (1)
Jordan-féle normálalakját.
Az (1) helyett tekintsük az
(2)
mátrixegyenletet.
A (2) egyenletből egy n-edrendű A mátrix Jordan-féle alakra való transzformációjához a T
transzformációs mátrix számú ismeretlen eleme n számú n ismeretlenes lineáris egyenletrendszer
megoldásával adható meg, ha A és J elemei ismertek.
A módszer különösen előnyösen alkalmazható minden olyan esetben, ha a megoldandó feladathoz a
sajátvektorok kiszámítása egyébként is szükséges.
1. lépés. A J mátrixot az A mátrix sajátértékei felhasználásával létrehozzuk.
.25,5))0dim(ker(
,3))0dim(ker(
,0
22
1
0
idd
d
d
iEA
EA
01 11 22
3kt 3,2,1s
01 )1,1,1,1,1(diagE
.35,5))0dim(ker(
,4))0dim(ker(
,3))0dim(ker(
,0
33
22
1
0
idd
d
d
d
iEB
EB
EB
01 11 22
33
nnRAnnRT
ATTJ1 nnRJ
0TJATTJAT ill.,
2n
5
2. lépés. a) Ha az n-edrendű A mátrixnak n számú különböző sajátértéke van, akkor az A lineárisan
független sajátvektorainak száma megegyezik rendszámával. Ekkor a sajátvektorok alkotják a Q modálmátrixot,
mellyel:
.
Ha a Q mátrix oszlopvektorainak sorrendjét – miként azt már említettük – úgy választjuk meg, ahogy a sa-
játértékek követik egymást a felírt J mátrixban, akkor a modálmátrix alakra, megegyezik a más módszerrel
számított hasonlósági transzformáció T mátrixával.
Ha az A mátrix sajátértékek növekvő sorrendjének megfelelő lineárisan független sajátvektorok:
,
akkor a T mátrix oszlopvektorait ezek a sajátvektorok ilyen sorrendben alkotják:
és így
).( 11 AQQATTJ
Ha az A mátrix karakterisztikus egyenletének van többszörös gyöke, de a minimálegyenletének
mindegyik gyöke egyszeres, akkor is a szabály szerint felírt Jordan-féle mátrix fődiagonálisában lévő
sajátértékeknek megfelelő sorrendben kell a sajátvektorokat elhelyezni a transzformáció T mátrixába [K6].
Példa. Például az mátrix karakterisztikus és minimálpolinomja:
, .
Az mátrix sajátértékeihez tartozó sajátvektorok:
.
Az A mátrix szabályosan felírt Jordan-féle normálalakja és a transzformáció mátrixa :
, ,
A T mátrix inverze és a számítás eredményének ellenőrzése:
, és .
b) Ha az A mátrixnak a rendjénél kevesebb lineárisan független sajátvektora van, akkor a T mátrix ismeretlen
elemeire felírt
(3)
mátrixegyenlet megoldása annyi lineáris egyenletrendszer megoldására vezethető vissza, amennyi ismeretlen
oszlopvektort kellett T-ben felvenni a sajátvektorok mellett.
Példa. Az mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja:
, .
Az mátrix sajátértékeihez tartozó lineárisan független sajátvektorok (a 1 kétszeres
sajátértékhez csak egy lineárisan független sajátvektor, v, tartozik):
.
Az A mátrix Jordan-féle normálalakjának blokkjai:
224)0(40 EBrangm ; 134))1((41 EBrangm , tehát a 0 sajátértékhez 2
11 -es blokk, a 1 sajátértékhez egy 22 -es blokk tartozik:
AQQJ1
i
)(,),(),( 21 n vvv
)()()( 21 n vvvT
721
2102
127
A
2)6)(12()( k )6)(12()( m
33RATTT ]1,2,1[)12(,]0,1,2[)6(,]1,0,1[)6( 21 vvv
)( QT
600
0120
006
J
011
120
211
)6()12()6( 21 vvvT 06det T
615
022
611
6
11T JATT
600
0120
0061
0TJAT
6462
3433
6361
3132
A
22 )1()( k 2)1()( m
44RA
TTT ]2,3,1,2[)1(,]0,3,1,3[)0(,]1,3,0,3[)0( 21 vvv
6
.
A transzformáció T mátrixában az oszlopvektorok sorrendje a J-re való tekintettel: a 0 sajátértékhez
tartozó sajátvektorokat az 1. és 4. oszlopba, a –1 sajátértékhez tartozó sajátvektort a 2. oszlopba, az ismeretlen x
vektort pedig a 3. oszlopba kell helyezni, azaz a sorrend:
.
A transzformáció T mátrixának feltételezett alakja: ,
és az egyenlet: , (*)
melyben szükséges, hogy az ismert vektoroknak megfelelő oszlopok minden eleme 0 legyen.
A (*) egyenletből, a 3. oszlop = 0 egyenletnek megfelelően, felírható a
egyenletrendszer, melynek triviálistól különböző egyparaméteres megoldásvektora:
.
A p paramétert úgy kell megválasztani, hogy lineárisan független vektorrendszert kapjunk. Például
választással ,
és a hasonlósági transzformáció T mátrixa: .
A , tehát T oszlopvektorai lineárisan függetlenek
Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja Ha a
(1)
egyenlőséget T-vel balról, -gyel pedig jobbról szorozzuk, akkor az A mátrixot ismert J esetén
(2)
alakban kapjuk.
Legyenek az A mátrix sajátértékei: , amelyekhez az A mátrix J Jordan-féle
normálalakjában a
(3)
különböző blokkjai tartoznak.
A J mátrixot kvázidiagonális mátrixnak tekintjük, és így
0000
0100
0110
0000
J
)0(,],,,[),1(),0( 243211 vxvv Txxxx
021
333
110
323
4
3
2
1
x
x
x
x
kT
0JTAT kk 0JTAT
`
02746200
03333300
0163500
0233300
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
kk
027462
033333
01635
02333
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
Tpppp ]12,32
5,,2
2
5[ x
1pT]3,
2
11,1,
2
9[ x
0321
32
1133
1110
32
923
T
02
1det T
teA
ATTJ1
1T1
TJTA
m ,,, 21 )( nm
)(,),(),( 2211 mm BBB
7
(4)
jelölést használjuk .
Blokkok képzése
Egy A mátrix exponenciális mátrixfüggvényének q multiplicitású sajátértékéhez tartozó,
blokkjának q-adrendű normálalakját, melyet -vel jelölünk, a következő formulával állíthatjuk elő:
1,1
1
2,1
2
1,1)(
)!1(!2!1 q
qtt
q
tttee CCCE
A
(5)
Tehát, ha ismert az exponenciális mátrixfüggvény A mátrixának Jordán-féle normálalakja, akkor
közvetlenül felírható az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja is, ha a blokkokat (5) szerint
képezzük.
1. Példa. Az mátrix karakterisztikus- és minimálpolinomja:
.
Figyelembe véve a karakterisztikus és minimálpolinom egyenlőségét, betartva a
blokkok növekedési sorrendjét :
.
Az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja (5) szerint képezve:
)!2!1
(
0000000000000001
2,1
2
1,11 CCEA tt
eee ttt
)(00
0)(0
00)(
22
11
mm
B
B
B
J
)(,),(),( 2211 mmdiag BBB
)( nm
Ate te )(A
q
q
qt
q
t
q
te
000
000
100
!)1(
)1(
0000
1000
0100
0010
!1
100
010
001
q
q
q
t
t
q
tt
q
ttt
e
1000
!1100
!)2(!110
!)1(!2!11
)2(
)1(2
te A
te A
5733
4623
6945
71065
A
3)1)(1()()( mk
100
110
011
],1[ 21 BB
1000
1100
0110
0001
J
teA
1000
0100
0010
0000
0000
0000
0000
0001
tt ee
8
.
Az (5) egyenlőség utolsó (jobb oldali) tagja alapján – az A mátrix Jordan-féle normálalakjának
ismeretében – közvetlenül is felírhatjuk az exponenciális mátrixfüggvény normálalakját.
Például, ha egy mátrix Jordan-féle normálalakja:
,
akkor , , ,
és így az exponenciális mátrixfüggvény normálalakja:
.
Az állandó együtthatójú differenciálegyenlet-rendszerek megoldása
modálmátrixszal Az általános megoldás függvényvektora:
, (2)
az
kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás függvényvektora:
, (3)
ahol a oszlopvektor elemei tetszőleges állandók, és
(4)
a kezdeti feltételt kielégítő megoldás együtthatóinak oszlopvektora.
1. Példa. Számítsuk ki az
)(3)()()(
)()(5)()(
)()()(3)(
tztytxtz
tztytxty
tztytxtx
homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer
kezdeti feltételt kielégítő megoldását!
Az együtthatómátrix:
.
A karakterisztikus- és minimálpolinom: ,
a sajátértékekhez tartozó sajátvektorok:
A sajátértékek negatívak, a megoldások stabilisak.
A Jordan-féle normálalak:
t
tt
ttt
t
e
et
e
et
et
e
e
t
t
t
000
!100
!2!10
000
0000
0000!2
000
0000
0000!1
000
0!1
00
00002
2
teA
55RA
70000
07000
00400
00140
00002
J
][ 21
teB
t
tt
e
tee4
44
20
B ][,][ 74
73
tt ee BB
teA
t
t
t
tt
t
t
e
e
e
tee
e
e
7
7
4
44
2
0000
0000
0000
000
0000
A
cDQx dt)(
Tnxxx ],,,[)0( 210 xx
01
0),( xQDQxx dt
TnCCC ],,,[ 21 c
001 cxQ
T, ]0,21[)0( 0 xx
311
151
113
A
)6)(3)(2()()( mk
.]1,2,1[)6(,]1,1,1[)3(,]1,0,1[)2( TTT vvv
),6,3,2( diagJ
9
az alaprendszer diagonálmátrixa:
A transzformáció mátrixa, mivel a mátrix rendjével azonos számú lineárisan független sajátvektor van,
modálmátrix: , (a sajátértékekhez tartozó sajátvektorok a Q mátrix 1., 2., 3.
oszlopát alkotják);
a modálmátrix inverze:
Az A mátrixszal adott differenciálegyenlet-rendszer általános megoldása, ha :
.2)(6
33
22
1
63
32
63
32
21
ttt
tt
ttt
dá
eCeCeC
eCeC
eCeCeC
t cQDx
A kezdeti feltételt kielégítő megoldáshoz kiszámítjuk oszlopvektort:
, tehát ,
és így már felírható a homogén differenciálegyenlet-rendszer kezdeti feltételt kielégítő megoldása:
.
A kezdeti feltételt kielégítő megoldást közvetlenül a (3) formulával is kiszámíthatjuk:
.
Transzformációs mátrix előállítása, ha eggyel kevesebb a sajátvektorok
száma
Az együtthatók A mátrixa, valamint karakterisztikus és minimál polinomja:
248
100
010
A , )()2)(2()( 2 mk ;
Sajátvektorok:
].4,2,1[)2(],4,2,1[)2( 21 vv
A 3. vektort a Transzformáció mátrixának kiszámítása c. fejezet 2. Példája szerint képezzük.
A harmadik ismeretlen koordinátájú vektor: ],,[ 3213 xxxv ,
t
t
t
tttd
e
e
e
eeediag6
3
2
632
00
00
00
),,(D
111
210
111
Q 6,3,2
.
6
1
3
1
6
13
1
3
1
3
12
10
2
1
1
Q
TCCC ],,[ 321c
0c
2
112
1
01
0 xQc2
1,1,
2
1321 CCC
ttt
tt
ttt
eee
ee
eee
t632
63
632
0
2
1
2
1
2
1
2
1
),( xx
ttt
tt
ttt
d
eee
ee
eee
tx
tx
tx
t632
63
632
01
3
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
)(
)(
)(
),( xQQDxx
10
Az A mátrix Jordan alakja és a feltételezett T mátrix:
200
120
002
J ;
3
2
1
44
22
11
x
x
x
T .
A 3v koordinátáinak kiszámítása: ,,1
TJATJATT 0TJAT ;
,
44800
2200
1200
21
32
21
0TJAT
xx
xx
xx
448
22
12
21
32
21
xx
xx
xx
,
44
12
p
p
p
x ,
044
122
111
és 0]1,-[1,akkor ,1Ha 3 Tvp , .
1044
311
4
111
4
11
T
Jordan alak és a eD alapmátrix : JATT
200
120
0021 ;
t
tt
t
e
e
tee
e
2
22
2
00
0
00
D
Az ]3,2,1[0 x kezdeti feltételt kielégítő megoldásvektor:
ttt
ttt
ttt
e
etee
etee
etee
tz
ty
tx
222
222
222
01
4
93
4
138
3
2
3
8
1316
3
4
3
16
13
)(
)(
)(
xTTD .
Megoldás nem szabályosan felírt Jordan mátrix alkalmazásával
Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldása azonosan előállítható akkor is,
ha az együtthatómátrixhoz tartozó Jordan-féle normálalak blokkjait tetszőleges sorrendben vesszük fel és a
transzformációmátrix oszlopvektorait a blokkok sorrendje szerint rendezzük.
Passzítás szabálya. Az állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet-rendszer megoldása akkor
sem változik, ha a Jordan-féle J normálalak blokkjainak tetszőleges sorrendjéhez passzítjuk a transzformáció T
mátrixában az oszlopvektorok, ill. a sajátvektorok és az ismeretlen oszlopvektor(ok) sorrendjét, valamint
egyszeres sajátértékek esetén az alaprendszer diagonálmátrixában, ill. többszörös gyökök esetén az
exponenciális mátrixfüggvény normál mátrixában fellépő blokkok sorrendjét.
Közelítő megoldás, ha a gyöktényezők nem lineárisak
1. Definíció. Azt a mátrixot, amelyet egy A mátrixból bármely elemének mk 10 ( 9191 m,k )
nagyságú megváltoztatásával kapunk mankómátrixnak nevezzük.
2. Definíció. Azt az egységmátrixot közelítő mátrixot, amelyben a főátló 1-hez közeli elemein kívül 0-hoz közeli
elemek is vannak, szemetes egységmátrixnak mondjuk.
Példa. Az eljárást a ,
dD
eD
)()()(
)(4)(3)(2
)(3)(2)(
tztytxdt
dz
tztytxdt
dy
tztytxdt
dx
1
0
1
)0( 0xx
11
homogén lineáris differenciálegyenlet-rendszer adott kezdeti feltételt kielégítő megoldásával szemléltetjük.
A rendszer mátrixa: ,
karakterisztikus- és minimálegyenlete azonos: , azaz a egyszeres, a
pedig kétszeres gyök. Így az A mátrixnak csak két lineárisan független sajátvektora van:
és ,
tehát modálmátrix nem hozható létre.
Kísérletezéssel az A mátrix egy vagy több elemét zérushoz közeli értékkel (pl. )109 8 megváltoztatva
elérhető, hogy a karakterisztikus egyenletnek, és így a minimálegyenletnek is egyszeres gyökei legyenek. Az így
előállított mátrixhoz a rendjével azonos számú lineárisan független sajátvektort kaphatunk.
Például az A mátrix helyett tekintsük az
811 109det,
111
4323200000009,1
AA
mankómátrixot (közelítő mátrixot). A számítások elvégzése után, a karakterisztikus egyenletnek és a minimál-
egyenletnek gyöktényezős alakját előállítva látjuk, hogy csak egyszeres gyököket tartalmaznak.
Az mátrix
000000000,1,00002999550,0,0000300045,0 321
sajátértékeihez tartozó sajátvektorok:
.
Az 1A mankómátrix Q modálmátrixának oszlopait rendre a sajátértékekhez tartozó (lineárisan
független) sajátvektorok koordinátái alkotják:
,
00000011det ,Q
Az alaprendszer diagonálmátrixa: ),,( 000000000,10002999550,0000300045,0 tttd eeediag D .
A mankómátrix Q modálmátrixának 10 jegyre kerekített közelítő inverzmátrixát jelölje : 1Q~
, azaz.
9999990000,04999998000,008941041062,08943725391,08943726200,0
120269,3728002672,3727003009,3727~ 11QQ .
A kezdeti feltételt kielégítő közelítő partikuláris megoldás függvényvektora:
01
0~
)()()(
),( xQDQxx dtztytx
t
,
ahol helyébe a kiszámított sajátértékeket kell helyettesíteni.
Számítsuk ki a mamkómátrix modálmátrixának és az inverzét közelítő 1~ Q mátrix szorzatát 9 tizedes
jegyre pontosan, és vizsgáljuk meg az egységmátrixtól való eltérését. A főátlón kívüli elemekből a megoldás
pontosságára nyerhetünk információt. A szorzatként előálló
000000820,110999996400,8000000000,0
000001639,09999997805,0000000000,0
000001000,010000,4000000000,1~
8
7
1QQ
szemetes egységmátrixban a főátlón kívüli elemek közül abszolút értékben a legnagyobb a –0,000001639 elem,
melynek normál alakja: 6106391 , . A normálalakból – miként azt a következő pontban bemutatjuk – arra
111
432
321
A ,0det A
0)1()()( 2 mk 11 02
T]0,1,1[1 vT]1,2,1[2 v
1A
321 ,,
321 ,,
7 3 2 1
10 80 , 1
000000361 , 2
000000000 , 2
,
503367 , 1863
006735 , 3727
944400 , 1862
,
4471867570 , 0
8943735141 , 0
4473209331 , 0
v v v
7 10 80 , 1 503367 , 1863 4471867570 , 0
000000361 , 2 006735 , 3727 8943735141 , 0
000000000 , 2 944400 , 1862 4473209331 , 0
Q
t t t
t t t
t t t
e e e
e e e
e e e
3 2 1
3 2 1
3 2 1
799998200 , 1 832401 , 3332 832402 , 3333
999998361 , 1 664804 , 6665 664804 , 6667
999998000 , 1 832702 , 3331 832701 , 3334
12
következtethetünk, hogy a megoldás legalább 6 értékes jegyre jó közelítést ad (figyelem ! a pontosság nem
) (l. a következő fejezetet).
A közelítő megoldás hibabecslése
1. A dolgozatban ii
xmaxx egyenlőséggel értelmezett vektornormát használjuk (a koordináták közül
abszolút értékben a legnagyobb szám a vektor normája).
2. A dolgozatban
j
iji
amaxA egyenlőséggel értelmezett mátrixnormát használjuk (az elemek abszolút
értékeit soronként összeadjuk és ezek közül a legnagyobb szám a mátrix normája).
Képezzünk A-hoz egy 1A -gyel jelölt mankómátrixot. Jelöljük az 1A modálmátrixát kQ -val, a modálmátrix
közelítő inverzmátrixát 1~kQ -gyel, az alapmátrixát kD -val. Ekkor a közelítő megoldásvektor:
01
0~
),( xQDQxx kkkk t . (***)
A (**) pontos és a (***) közelítő megoldásvektorok különbsége:
01
01
01
01
00 )~
(~
),(),( xQDQxTDTxQDQxTDTxxxx kkkkkkk tt (3)
0t behelyettesítéssel D is,
is egységmátrixot állít elő, azaz
.)~
()~
(~~
),(),( 01
011
01
01
01
01
00 xQQEExQQTTxQEQxTETxQDQxTDTxxxx kkkkkkkkkk tt
A transzformáció T mátrixa, a pontosan számított 1T inverzével szorozva, pontosan az E egységmátrixot
állítja elő, de a 1~ kkQQ nem pontos egységmátrix, hanem szemetes egységmátrix, amelyben, az 1A
mankómátrix -nal megváltoztatott eleme által bekövetkező kerekítési hibahalmozódás következtében, a
főátlón kívül 0-hoz, és a főátlóban 1-hez közeli elemek is megjelennek.
Mivel ,)~
(),(),( 01
00 xQQExxxx kkk tt
ezért a közelítő megoldásvektor koordinátáinak hibája az 0QQE 1~kk mátrix normájával becsülhető.
Ha n
kkn 10
~10 1)1( QQE
akkor a mankómátrix felhasználásával számított közelítő megoldásvektor koordinátái n-edik jegyig bezárólag
pontosak (az egész jegyeket is figyelembe kell venni).
Irodalomjegyzék Könyvek [K. … .]
1. Fagyajev, D. K.–Fagyajeva, V. N.: Numerische Methoden der linearen Algebra. VEB Deutscher Verlag der
Wissenschaften, Berlin, 1965., 1966.
2. Gantmacher, F. R.:Matrizenrechnung. I. és II. kötet. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1965., 1966.
3. Glazman, I. M.–Ljubics, Ju. I.: Konecsnomernyj linejnyj analiz. NAUKA” Fiz.-Mat. Lit. Moszkva, 1969.
4. Ince, E. L.: Ordinary Differential Equations. Dover Publications, New York, 1944.
5. Obádovics J. Gyula: Lineáris algebra példákkal. SCOLAR Kiadó, Budapest, 2001.
6. Obádovics J. Gyula: Mátrixok és differenciálegyenlet-rendszerek. SCOLAR Kiadó, Budapest, 2005.
7. Rózsa Pál: Lineáris algebra és alkalmazásai. 2. kiadás. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976.
Dolgozatok [D. … .] 1. Bickley, W. G.–McNamee, J.: Matrix and Other Direct Methods for the Solution of Systems of Linear Difference Equa-
tions. Phil. Trans. of the Roy. Soc., London 252 A (1959–60) 69–130 oldal
2. Eberly, W.: Asymptotically Efficient Algorithms for the Frobenius Form. (Preprint). Department of Computer Science
University of Calgary, 2000. máj 1.
3. Egerváry J.: Mátrix-függvények kanonikus előállításáról és annak néhány alkalmazásáról. MTA III. Osztályának
közleményei 3 (1953) 417–458 oldal.
4. Egerváry J.: Über eine konstruktive Methode zur Reduktion einer Matrix auf Jordansche Normalform. Acta
Mathematica Academiae Scientiarium Hungaricae 10 (1959) 31–54 oldal.
5. Giesbrecht, M.– Storjohann, A.: Computing Rational Forms of Integer Matrices, J. Symb. Comput. 34 (2002), 157-
172.
6. Gil, I.: Computation of the Jordan canonical form of a square matrix (Using the Axiom Programming Language). In
Proc. ISSAC’92, 138-145 oldal, Berkeley, USA, 1992.
6101
kD