Mục lục

Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN.............................................................................................................3

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM.................................................................................................................31.1.1 KHÔNG GIAN Rn.................................................................................................................31.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN..............................................................................................................31.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN......................................................................................6

1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG.....................................................................................................................71.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG...............................................................................................................71.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO.............................................................................................7

1.3 VI PHÂN.....................................................................................................................................81.3.1 VI PHÂN...............................................................................................................................81.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN.......................................................................................................81.3.3 VI PHÂN CẤP CAO.............................................................................................................8

1.4 CỰC TRỊ TỰ DO........................................................................................................................91.4.1 ĐỊNH NGHĨA.......................................................................................................................91.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ...........................................................................................................9

1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN.......................................................................................................11

1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT...........................................................................................141.6.1 ĐỊNH NGHĨA.....................................................................................................................141.6.2 CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT..............................................................14

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN...........................................................................................16

2.1 KHÁI NIỆM..............................................................................................................................16

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1.........................................................................................172.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT..............................................................................................172.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY............................................................................192.2.3 PHƯƠNGTRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1...........................................................................212.2.4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI.......................................................................................22

2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THỂ HẠ CẤP.....................................................................24

Toán cao cấp

Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM1.1.1 KHÔNG GIAN Rn

Rn = {(x1, x2, …, xn) xiR, 1≤ i ≤n}Một điểm trong Rn gồm bộ n số thực xác định điểm đó.- Khoảng cách giữa 2 điểm M(x1, x2, …, xn), N(y1, y2, …, yn):MN = MN ≥ 0, M, N Rn

- Giới hạn của dãy điểm :Cho dãy điểm Mk ( ) trong Rn, k = 1, 2, …. Dãy điểm Mk hội tụ tới M0 ( ) nếu

MkM0 = 0 hay Mk = M0

Định lý: Dãy điểm Mk ( ) hội tụ tới M0 ( ) khi và chỉ khi

…

Ví dụ : Tìm R2

= 2, = 1 nên = M0(2, 1)

1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN1) Hàm hai biến Cho là một tập hợp trong , người ta gọi ánh xạ , tức là một quy tắc cho tương ứng với mỗi cặp số thực một số thực duy nhất , ký hiệu là là hàm số hai biến số, và là hai biến số độc lập. Ta ký hiệu :

được gọi là miền xác định của hàm số . Tập hợp

gọi là miền giá trị của hàm số .Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm.Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau:

Sản phẩm A: , x là số lượng sản phẩm A.

3/25

Chương 1: Hàm nhiều biến

Sản phẩm B: , y là số lượng sản phẩm B.Hàm chi phí của hai sản phẩm A và B là :

Tính chi phí để sản xuất ra 10 sản phẩm A và 5 sản phẩm B.

Biểu diễn hàm hai biếnĐặt z = f(x,y). Tập hợp tất cả (x,y,z) trong không gian với toạ độ Oxyz thường tạo thành 1 mặt, gọi là biểu diễn của hàm z = f(x,y).Ví dụ : Cho hàm số z = f(x,y) = sin(x+y) có biểu diễn trên hệ trục Oxyz như sau:

Miền xác địnhMiền xác định của hàm số z = f(x,y) là tập hợp những cặp sao cho biểu thức có nghĩa. Ví dụ : Hàm số xác định với mọi cặp , miền xác định của nó là toàn bộ mặt phẳng.Hàm số xác định khi hay , miền xác định của nó là hình tròn đóng, tâm , bán kính ( hình 1).

4/25

Toán cao cấp

1O

y

x

hình 1 Hàm số được xác định khi hay , miền xác định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng (hình 2).

1

1O

y

x

Hình 22) Hàm n biếnCho hai tập D va U khác rỗng, D Rn , U R. Hàm n biến ký hiệu f: D U

với u = f(x1, x2, …, xn) U D: miền xác định gồm (x1, x2, …, xn), U: miền giá trị của hàm.Giá trị của hàm u = f(x1, x2, …, xn) tại điểm M0( , …, ) được ký hiệu là f( , …, ) hoặc f(M0). GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN1) Hàm hai biến * f(x,y) xác định trên D R2, (x0,y0) D,

5/25

Chương 1: Hàm nhiều biến

= A (xn,yn)D, xn x0, yn y0 thì f(xn,yn) A

Định nghĩa giới hạn này gọi là giới hạn kép (hay giới hạn bội).* Hàm hai biến còn có giới hạn lặp:

( f(x,y)) ( f(x,y))2) Hàm n biếnHàm n biến f(x1, x2, …, xn) xác định trên tập D có giới hạn b tại điểm M0 ( ) nếu mọi dãy điểm Mk ( ) D, k = 1, 2, … có giới hạn M0 ( ), (Mk M0) tức

Mk = M0 thì f( ) = b

Ta viết

* Để chứng minh hàm số f không có giới hạn tại điểm M0 ta chọn 2 dãy điểm Mk M0, M’k M0 đều có Mk = M0, M’k = M0 nhưng f(Mk) f(M’k)

Ví dụ:

Tìm , ta có = 1, = 2

= = 1.23 = 8 = 8

f(x, y) = , Chứng minh không tồn tại

Lấy 2 dãy Mn( ,0), Kn( , ) với n N*, Mn M0(0,0), Kn M0

= M0, = M0,

= = 0, = =

1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾNCho hàm số xác định trong miền . là điểm thuộc . Ta nói rằng hàm số liên tục tại nếu:

Tồn tại ,

6/25

Toán cao cấp

(1.1)

Hàm số được gọi là liên tục trong miền nếu nó liên tục tại mọi điểm của miền . 1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG1) Hàm hai biến f(x,y) xác định trên D R2, (x0,y0) DĐạo hàm riêng của f theo biến x tại (x0, y0)

(x0,y0) =

Đạo hàm riêng của f theo biến y tại (x0, y0)

(x0,y0) =

Nhận xét: đạo hàm theo biến x thì coi y là hằng số và ngược lại.Ví dụ : Tính các đạo hàm riêng của

Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của .

Ví dụ : Tính đạo hàm riêng của

2) Hàm n biếnHàm n biến f(x1, x2, …, xn) xác định tại M0 ( ) và lân cận của M0. Đạo hàm riêng của hàm f đối với biến xi tại M0 là

= =

1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO1) Hàm hai biến

Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng , theo các biến x, y nếu tồn tại, được

gọi là các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm f.

7/25

Chương 1: Hàm nhiều biến

Định lý: Hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy và fyx xác định và liên tục trong một lân cận của M0(x0,y0) thì fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0).2) Hàm n biếnXét hàm f(x1, x2, …, xn). Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp (m – 1) của đối với biến xj (1 ≤ j ≤ n) là đạo hàm riêng cấp m.Định lý: Nếu hàm số có các đạo hàm riêng các cấp liên tục thì đạo hàm riêng không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm.Ví dụ : Cho f = y2.lnx, tìm các đạo hàm riêng cấp 2

= , = 2y.lnx

= , = = 2.lnx

1.3 VI PHÂN1.3.1 VI PHÂN

Hàm 2 biến: Vi phân của hàm f(x,y) là df = dx + dy

Hàm n biến: Cho hàm n biến f(x1, x2, …, xn) có các đạo hàm riêng liên tục. Vi phân toàn phân của hàm f là

df = (x1, x2, …, xn). dxi

1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦNĐiều kiện để biểu thức P(x,y)dx + Q(x,y)dy trở thành một vi phân toàn phần: Giả sử P(x,y), Q(x,y) có đạo hàm riêng liên tục trong miền D nào đó. Biểu thức P(x, y)dx +Q(x, y)dy là một vi phân toàn phần khi và chỉ khi:

1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO* Vi phân cấp 2 của f(x,y) là d2f = d(df)

d2f = dx2 + 2 dxdy + dy2

* Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp m liên tục thì vi phân cấp m của hàm f là

8/25

Toán cao cấp

dmf =

Khi x, y là biến độc lập không phụ thuộc những biến khác thì

dmf =

1.4 CỰC TRỊ TỰ DO1.4.1 ĐỊNH NGHĨA* Hàm f đạt cực đại tại M0( ) nếu có một lân cận V của M0 sao cho với mọi M(x1, …, xn) V ta có

f( ) ≥ f(x1, …, xn)* Hàm f đạt cực tiểu tại M0( ) nếu có một lân cận V của M0 sao cho với mọi M(x1, …, xn) V ta có

f( ) ≤ f(x1, …, xn)* Khi f đạt cực đại hay cực tiểu, ta nói f đạt cực trị.Định lý Điều kiện cầnNếu ( ) là điểm cực trị địa phương của hàm f(x1, …, xn) và hàm f có các

đạo hàm riêng (i = 1, …, n) thì ( ) = 0

Điều kiện đủHàm f(x1, …, xn) xác định và liên tục tại lân cận điểm M0( ) và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục tại M0.

Giả thiết rằng ( ) = 0 với i = 1, …, n

Nếu d2f( ) xác định dương thì hàm f đạt cực tiểu tại M0( )Nếu d2f( ) xác định âm thì hàm f đạt cực đại tại M0( )Nếu d2f( ) không xác định thì hàm f không đạt cực trị tại M0( )1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ Định lý : Giả sử rằng là một điểm dừng của hàm số và hàm số có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm . Đặt: Khi đó:

* : hàm số đạt CT tại

* : hàm số đạt CĐ tại

9/25

Chương 1: Hàm nhiều biến

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số Ta có:

Tọa độ của điểm dừng là nghiệm của hệ

Vậy điểm dừng duy nhất là điểm .Vì nên , còn , vậy ham số đạt cực tiểu tại điểm và .

Nếu viết lại , ta thấy tại mọi , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ta đã thấy kết quả trên.Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số Ta có:

Tọa độ điểm dừng là nghiệm của hệ:

Đó là một hệ phương trình đối xứng. Thế từ phương trình đầu vào phương trình sau ta được

Phương trình này có hai nghiệm .Vậy ta có hai điểm dừng và . Vì nên:Tại ta có , điểm không là điểm cực trị.Tại ta có , , là điểm cực tiểu,

.Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số .Ta có:

Vậy chỉ có một điểm dừng là .Vì , nên tại ta có . Vậy chưa kết luận ngay được. Chú ý rằng . Hiệu ấy là dương nếu điểm nằm trong góc phần tư thứ nhất, là âm nếu nằm trong góc phần tư thứ ba. Do đó dấu của hiệu thay đổi ở lân cận điểm nên không là điểm cực trị.

10/25

Toán cao cấp

* : hàm số không đạt cực trị tại * : không kết luận về cực trị tại . Khi đó dùng định nghĩa để xét cực trị tại .1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện được gọi là bài toán cực trị có điều kiện.Ví dụ : Tìm cực trị của hàm với điều kiện

* Xét bài toán cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện . Hàm số được gọi là đạt cực tiểu có điều kiện tại nếu

và . Tương tự cho cực đại có điều kiện Cách tìm cực trị có điều kiện1) Phương pháp khửVí dụ : Tìm cực trị của hàm số với điều kiện 2x+y =32) Phương pháp nhân tử LagrangeĐiều kiện cần: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện . Giả sử hàm số z đạt cực trị có điều kiện tại M0(x0,y0) và các hàm số f(x,y) và

có các đạo hàm riêng cấp 1 tại . Khi đó tồn tại sao cho

được gọi là nhân tử Lagrange. M0(x0,y0) được gọi là điểm dừng ứng với .

Đặt thì L được gọi là hàm Lagrange và hệ (1) tương đương với

Điều kiện đủ: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện .Giả sử M0(x0,y0) là điểm dừng ứng với ( tức là thỏa hệ (1)) và các hàm số f(x,y) và có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục Đặt

11/25

Chương 1: Hàm nhiều biến

Thì H được gọi là ma trận Hesse* Nếu |H| < 0 thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại M0(x0,y0)* Nếu |H| > 0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M0(x0,y0)* Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M0(x0,y0).Ví dụ :Tìm cực trị của hàm f = xy với điều kiện x2 + y2 = 4Giải: điều kiện (x, y) = 4 - x2 - y2

Hàm phụ Lagrange: (x, y, ) = x.y + (4 - x2 - y2)Xét hệ phương trình

= ’ = 4 - x2 - y2 = 0 (1)

= ’x = y - 2x = 0 (2)

= ’y = x - 2y = 0 (3)

(2), (3) = , thế vào (1)

x = y = x = -y =

= = -

Ta có ’x = -2x; ’y = -2y’’xx = -2; ’’xy = 1 ’’yy = -2

* x = y = , =

Hb =

H2 = Hb = 32 > 0 f đạt cực đại tại M1 ( , ) với điều kiện (x, y ) = 0

* x = y = - , =

Hb =

H2 = Hb = 32 > 0 f đạt cực đại tại M2 (- , - ) với điều kiện (x, y ) = 0

* x = , y = - , = -

12/25

Toán cao cấp

Hb =

H2 = Hb = -32 < 0 f đạt cực tiểu tại M3 ( , - ) với điều kiện (x, y ) = 0

* x = - , y = , = -

Hb =

H2 = Hb = -32 < 0 f đạt cực tiểu tại M4 (- , ) với điều kiện (x, y ) = 0

Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x + y với điều kiện + = 1

Xét hàm phụ Lagrange

(x, y, ) = f(x, y) + (1 - - )= x + y + (1 - - )

Điểm dừng là nghiệm của hệ sau:

= 1 - - = 0 (1)

= 1 - . = 0 (2)

= 1 - = 0 (3)

(2), (3) x = , y = , thay vào (1) ta có

1 - - = 0 2 = =

Vậy có 2 điểm dừng: x1 = , y1 = ; x2 = , y1 =

Vì hàm f liên tục trên tập đóng và bị chặn

E = { (x, y) + = 1} nên hàm f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên E. Ở

đây có 2 điểm dừng nên f đạt cực đại tại 1 điểm và đạt cực tiểu tại điểm còn lại.

f( , ) = + =

f( , ) = + = - <

13/25

Chương 1: Hàm nhiều biến

Vậy f đạt cực đại tại M1( , ) và đạt cực tiểu tại M2( , )

1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT1.6.1 ĐỊNH NGHĨACho hàm số f(x,y) liên tục trong miền D đóng thì f(x,y) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất rong miền đó. Xét z = f(x,y) xác định trên miền D đóng.Số M gọi là giá trị lớn nhất của z nếu Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của z nếu 1.6.2 CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤTMuốn tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trong miền D này, ta thực hiện các bước sau:Tính giá trị của f tại các điểm dừng của f trong miền D.Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên biên của miền D.Số lớn(bé) nhất của 1) và 2) là giá trị lớn nhất, bé nhất cần tìm.Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f(x,y) = x2+2xy+3y2 trong miền đóng hình tam giác có các đỉnh A(-1,1), B(2,1). C(-1,-2)

Bước 1: Tìm điểm dừng của hàm số:Giải hệ phương trình

Có nghiệm là O(0,0) và f(0,0) = 1Bước 2: Tìm GTLN, GTNN trên biênTrên AB: y = 1, f(x,1) = x2 + 2x + 3, 1≤x≤2.Đạt cực tiểu tại -1. Và f(-1,1) = 2, f(2,1) = 11Trên AC: x = -1, f(-1,y) = 3y2 – 2y + 1, -2≤y≤1.Đạt cực tiểu tại y = 1/3, f(-1,1/3) = 2/3; f(-1,-2) = 17; f(-1,1) = 2Trên BC: y = x -1, nên f(x, x-1) = 6x2 – 8x + 3, -1≤x≤2.Đạt cực tiểu tại x = 2/3; f(2/3,-1/3) = 1/3; f(-1,-2) = 17; f(2,1) = 11.Bước 3: So sánh các giá trị, ta được GTLN là 17, GTNN là 0

14/25

Toán cao cấp

Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của trên miền giới hạn bởi Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của trên

15/25

Chương 2: Phương trình vi phân

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

2.1 KHÁI NIỆMPhương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng : f(x, y, y’, y’’, …, y(n)) = 0 (1)Trong đó x là biến số độc lập, y = y(x) là hàm số phải tìm, y’, y’’, .., y(n) là các đạo hàm của nó.Từ (1) ta đưa được về dạngy(n) = f(x, y, y’, …, y(n-1)) (2) Thì (2) là dạng giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất.Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thoả mãn phương trình ấy. Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó. Các nghiệm ấy có dạng :y = f(x) hoặc (x, y) = 0 hoặc x = x(t), y = y(t).Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n phụ thuộc n tham số y = y(x, c1, …, cn).Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệmCho hàm f(x, y, …, y(n-1)) xác định và liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận điểm (x0, y0, y0’, …, y0

(n-1)). Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) của (2) xác định ở lân cận điểm x0 thoả mãn điều kiện y(x0) = y0; y’(x0) = y0’; …; y (n-1)(x0) = y0

(n-1) (3) Nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện (3) là nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu. Điều kiện (3) là điều kiện ban đầu.Để tìm nghiệm của phương trình thoả điều kiện (3), trước hết tìm nghiệm tổng quát y(x, c1, …, cn), sau đó tìm c1, …, cn từ hệ

y(x0, c1, …, cn) = y0

y’(x0, c1, …, cn) = y0’y(n-1)(x0, c1, …, cn) = y0

(n-1)

Ví dụ: y’ = x

y = = x2 + c

y’’ = 2xy’ = 2 = x2 + c1

y = = x3 + c1x + c2

Đây là nghiệm tổng quátTìm nghiệm thoả mãn y(0) = 1, y’(0) = 2y(0) = c2 = 1, y’(0) = c1 = 2

16/25

Toán cao cấp

y(x) = x3 + 2x + 1

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1Phương trình vi phân cấp 1 giải được theo y’ có dạng

y’ = f(x, y) hay = f(x, y)

2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT1) Phương trình khuyết y : F(x, y’) = 0a) Phương trình giải ra được đối với y’ có dạng y’ = f(x). Chỉ việc lấy tích phân 2 vế, ta đượcy = = F(x) + Ctrong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x).b) Phương trình giải ra được đối với x có dạng x = f(y’). Đặt y’ = t, ta có x = f(t), dx = f’(t)dt, dy = tdx = t f’(t)dt, do đó y = = tf(t) - = tf(t) – F(t) + C, trong đó F(t) là một nguyên hàm của f(t). Ta được phương trình tham số của đường tích phân:x = f(t), y = tf(t) – F(t) + Cc) Phương trình có thể tham số hoá: x = f(t), y’ = g(t).Ta có dy = y’dx = g(t)f’(t)dt, do đó y = = h(t) + Ctrong đó h(t) là một nguyên hàm của g(t)f ’(t). Ta được phương trình tham số của đường tích phân.Ví dụ :1) 2x = 3(y’)3 – 4(y’)2 + 5y’ -1Đặt y’ = t, ta có

x = t3 – 2t2 + t -

dx = ( t2 – 4t + )dt

dy = t.dx = t.( t2 – 4t + )dt = ( t3 – 4t2 + t)dt

y = = t4 – t3 + t2 + C

Nghiệm phương trình x = t3 – 2t2 + t -

y = t4 – t3 + t2 + C

17/25

Chương 2: Phương trình vi phân

2) x = 2t2 + 3t, y’ = 3t -1dx = (4t + 3)dtdy = y’dx = (3t -1).(4t +3)dt = (12t2 + 5t -3)dt

y = = 4t3 + t2 – 3t + C

Nghiệm phương trình x = 2t2 + 3t

y = 4t3 + t2 – 3t + C

2) Phương trình khuyết x : F(y, y’) = 0

a) Phương trình dạng y’ = f(y) = f(y) dx =

Lấy tích phân hai vế ta được x = F(y) + C, F(y) là một nguyên hàm của

Phương trình dạng y = f(y’)Đặt y’ = t y = f(t), dy = f’(t)dt,

Mặt khác dy = tdx, vậy dx = = dt

x = = F(t) + C, F(t) là một nguyên hàm của , ta được phương trình

tham số của đường tích phân.c) Phương trình tham số hoá của F(y, y’) = 0 dưới dạng y = f(t), y’ = g(t).

Ta có dy = f’(t)dt = g(t)dx, suy ra dx = dt

Vậy x = = G(t) + C

Ví dụ :y’ = y2 + 2y -3* y = 1, y = -3 là nghiệm phương trình

* y ≠ 1, y ≠ -3: = y2 + 2y -3 dx =

x = x =

x = (lny-1-lny+3) + C

2y – 3(y’)3 + 6(y’)2 – 5y’ + 7 = 0

y = (y’)3 – 3(y’)2 + y’ - , đặt y’ = t

y = t3 – 3t2 + t -

18/25

Toán cao cấp

dy = ( t2 – 6t + )dt

dx = = ( t – 6 + )dt

x = t2 – 6t + lnt + C

2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LYDạng : f(y)dy = g(x)dxĐể tìm nghiệm, ta lấy tích phân 2 vế, giả sử F, G là nguyên hàm của f và g thì F(y) = G(x) + cPhương trình trên xác định một hàm ẩn của x. Nếu F có hàm ngược thì y = F-1(G(x) + c)

Ví dụ :

y’ = .(y2 + 1), thay y’ =

= .(y2 + 1) =

Lấy tích phân 2 vế: =

arctgy = ln(x2+1)+ c y = tg( ln(x2+1)+c)

xyy’ = y2 – 1

Thay y’ = , ta có y. =

* y2(x) – 1 = 0, x hay y(x) = 1, x là 2 nghiệm của phương trình

* Tìm nghiệm y(x) 1: =

2 = 2 ln y2-1 = lnx2 + c ln = c

= ec y2 -1 = ec.x2

* Một số phương trình đưa được về dạng biến số phân lya) Phương trình thuần nhất ( đẳng cấp )Dạng y’ = f(x, y) với f có tính chất f(tx, ty) = f(x, y), t

f có thể viết f(x, y) = f(x.1, x. ) = f(1, )

Đặt z = , ta có y = z.x và = y’ = z + x.

19/25

Chương 2: Phương trình vi phân

Phương trình trở thành

z + x. = f(1, z) hay x. = f(1, z) – z

Khi f(1, z) – z 0 ta có phương trình vi phân có biến phân ly

=

b) Phương trình dạng y’ = f

Nếu = 0 thì a’x + b’y = k(ax + by), k 0

Đặt z = ax + by

= a + b. hay = - .

Ta có phương trình vi phân có biến phân ly

- . = f

Nếu 0 thì hệ có một nghiệmduy nhất là (x0, y0).

Đặt z = hay y – y0 = z(x – x0), ta có y’ = z + z’(x – x0)

f = f = f

Vậy z + z’(x – x0) = f hay

Ví dụ :

xy’ = x + y, ta có y’ = = 1 +

Đặt z = y = x.z.

Lấy đạo hàm hai vế theo x:

= x. + z x. + z = z + 1

dz = = z = lnx + c

Thay y = x.z ta có nghiệm tổng quát y = x.(lnx + c)

20/25

Toán cao cấp

2) y’ =

Hệ có 1 nghiệm duy nhất x0 = 3 và y0 = -2

y’ = = 1+

Đặt z = hay y = (x – 3)z -2

Lấy đạo hàm hai vế theo x ta có

y’ = = (x – 3). + z

(x – 3). + z = 1 + z dz =

z = lnx-3 + cNghiệm tổng quát y = (x-3)( lnx-3 + c) -22.2.3 PHƯƠNGTRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1Dạng : y’+ p(x).y = q(x) (1) Trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trên (a, b) nào đó.Ta có thể viết y' = f(x, y); trong đó f(x, y) = -p(x).y + q(x)

Nên = -p(x). Theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm thì x0(a,b) và cho mọi

y0 tồn tại duy nhất y = y(x) sao cho y(x0) = y0.

* Để giải phương trình, trước tiên ta giải phương trình vi phân tuyến tính đẳng cấp tương ứng

y’+ p(x).y = 0 (2)

= -p(x).y

Ngoài nghiệm y(x) = 0, x (a, b), nghiệm còn lại là nghiệm

= -p(x)dx

= -

lny = R(x) + c, trong đó R(x) là nguyên hàm của –p(x).y = e R(x) + c = ec.eR(x), y = ec.eR(x)

Thay ec bằng A, A 0, nghiệm tổng quát của (2) là y = A.eR(x). Khi A = 0 ta có nghiệm đặc biệt y(x) = 0 của (2). Ta tìm nghiệm của (1) dưới dạng

y = A(x).eR(x) (3)Trong đó A(x) là hàm khả vi của x. Ta tìm A(x) để (3) là nghiệm (1). Ta lấy đạo hàm của y với R’(x) = -p(x)y’(x) = A’(x).eR(x) + A(x).eR(x).R’(x) = A’(x).eR(x) -p(x)A(x).eR(x)

21/25

Chương 2: Phương trình vi phân

Thay y’(x) và y(x) vào (1)A’(x).eR(x) -p(x)A(x).eR(x) + p(x).A(x).eR(x) = q(x)A’(x) = q(x)e-R(x)

A(x) = + c

Nghiệm tổng quát của (1) là y(x) = ( + c).eR(x)

Lưu ý: Nếu y1(x) là 1 nghiệm khác 0 của phương trình (2) thì

y(x) = ( + c).y1(x)

Ví dụ: y’ - .y = x3 (1)

Để giải (1), ta giải (2): y’ - .y = 0

Thay y’ = ta có = .y

Ngoài nghiệm y(x) = 0, x 0, nghiệm còn lại của (2) là nghiệm của phương trình

= .dx hay =

lny= lnx2 + c ln = c y = ec.x2

Nghiệm tổng quát của (2): y = A.x2, AR.Ta tìm nghiệm của (1) dạng: y(x) = A(x).x2

Lấy đạo hàm của y rồi thay vào (1):A’(x).x2 = x3 A’(x) = x

A(x) = = .x2 + c

Nghiệm tổng quát của (1) là

y(x) = ( .x2 + c).x2

2.2.4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLIDạng : y’ + p(x).y = q(x).ya a 0, a 1 (4) Chia 2 vế cho ya

+ p(x). y1-a = q(x)

Đặt z = y1-a thì z’ = (1 - a).y-a.y’

= .z’

.z’ + p(x).z = q(x)

Ta có

22/25

Toán cao cấp

z’ + (1 - a).p(x).z = (1 - a).q(x)Trước tiên ta giải

y’ + p(x).y = 0 (5)Nếu y1(x) là 1 nghiệm không tầm thường của (5), ta tìm nghiệm của (4) dưới dạngy(x) = A(x).y1(x)y’(x) = A’(x).y1(x) + A(x).y1’(x) = A’(x).y1(x) - A(x).p(x).y1(x)Thay vào (4) ta cóA’(x).y1(x) - A(x).p(x).y1(x) + p(x).A(x).y1(x) = q(x).[A(x)]a.[y1(x)]a

= q(x).[y1(x)]a-1. Aa

= q(x).[y1(x)]a-1dx

=

Ví dụ: y’ + 2y = y2.ex (1)

Ta giải y’ + 2y = 0 hay = -2y

Để tìm nghiệm y 0 ta phân ly biến số

= -2dx

= -2

lny = -2x + c y = e-2x + c = ec.e-2x

y = ec.e-2x hay y = A.e-2x, ARTa tìm nghiệm của (1) dạng y = A(x).e-2x,Lấy đạo hàm 2 vếy’ = A’.e-2x – 2Ae-2x

Thay vào (1) ta có: A’.e-2x = A2.e-4x.ex

Ngoài nghiệm A = 0, ta còn

= e-xdx

=

= -e-x – c A = , cR

Nghiệm tổng quát của (1):

y = , cR

23/25

Chương 2: Phương trình vi phân

Và một nghiệm đặc biệt y(x) = 0, x2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THỂ HẠ CẤP1) Phương trình y(n) = f(x) (1) y(n-1) = + c1

Tiếp tục tìm nguyên hàm (n-1) lần ta có nghiệm tổng quát.2) Phương trình f(x, y(n-1), y(n)) = 0 (2) Đặt z = y(n-1)

Khi đó y(n) = z’ và (2) đưa được về phương trình vi phân cấp 1f(x, z, z’) = 0Giải phương trình trên ta được z = z(x, c1). Để tìm nghiệm của (2) ta giải y(n-1) = z(x, c1)3) Phương trình f(y, y’, y’’) = 0 (3)Đặt p = y’, ta có

y’’= = . = p.

(3) trở thành phương trình vi phân cấp 1 của p

f(y, p, p. ) = 0

Giải phương trình trên ta được p = p(y, c1)Để tìm nghiệm của (3) ta giải phương trình vi phân cấp 1

= p(y, c1)

Ví dụ: y(3) = x

y’’ = = .x2 + c1, c1R

y’= = .x3 + c1.x + c2

y =

= .x4 + .x2 + c2x + c3; với c1, c2, c3R

2) y(3) - y’’ = x2 (1)

Đặt z = y’’ z’ = y(3)

z’ - .z = x2

Nghiệm tổng quát z(x) = x3 + c1.x2

y’’= x3 + c1.x2

y’= = .x4 + .x3 + c2

24/25

Toán cao cấp

y =

= x5+ c1.x4 + c2.x + c3; c1, c2, c3R

3) y3.y’’ = 1 (1)

Đặt p = y’, ta có y’’ =

(1) y3. = 1 pdp =

= .p2 = + c1

p2 = + c1

p =

= , c1 > 0

= dx

Hết

25/25