Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov

7/31/2019 Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov

1/74

1

II. KUVVETLER

2.1.ekil 2.12deki basit kiriin i kuvvetlerininkiri boyunca deiimi kesim yntemi ile

inceleyiniz ve T, M diyagramlarn iziniz.zm: nce mesnet tepkilerinin bulunmasgerekir. Bunlar Statikten bilinen dengedenklemleri yazlarak bulunabilir:

0x

F = 0AxF = 0BxF = 0

yF = 8y yA B+ =

0A

=M 3 8 8 0 3By ByF F T + = = 3 8 5Ay AyF F T+ = = 5AyF T=

Bu d kuvvetlerin dalmekil 2.13,ade

gsterilmitir. ekil 2.13,aden grld gibiubukta iki blge ayrlabilir. nce I blgesinde

balangtan z kadar uzaklkta bir kesim yapalm(ekil 2.13,b). Kesim noktasnda bilinmeyenkuvvetler N1, T1, M1 olsun. Bunlar hep pozitifolarak seelim. Bu parann denge denklemleriniyazalm (0 3 )z m . Kiriin eksenidorultusunda herhangi bir d ykuygulanmadndan normal kuvvetin sfr olacaaktr yani 1 0N = . Kiriin sol ya da sa paras

birer serbest cisim olarak ele alnsn.0yF = 0xF = 1 15 0 5T T T + = = 1 0M = 1 15 0 5M z M z = =

0z = iin 1 0M = , 3z m= iin 1 15M Tm= olur.zellii olan II blge, 8T ile sa mesnet arasnda seilmelidir (ekil 2.13,c). II

blgesinde balangtan z kadar uzaklkta bir kesim yapalm (3 8 )m z m . Kesimnoktasnda bilinmeyen kuvvetlerN2, T2, M2 olsun.Kiriin ekseni dorultusunda herhangi bir d yk uygulanmadndan bu blgede de normalkuvvet sfr olur yani 2 0N = . Kiriin sol ya da sa parasn birer serbest cisim olarak ele

alal

m. Kiriin solda kalan paras

n

n dengesi ifade edilirse;0yF = 2 2-T 5 8 0 3TT+ = = 2 0M = 2 25 8( 3) 0 3 24M z z M z + = = +

imdi i kuvvetlerinin kiri boyunca nasl bir deiim gsterdii incelenebilir.

Mesnettenuzaklk 0 0+ 1 2 3 3+ 4 5 6 7 8 8+ Kesmekuvveti 0 5 5 5 5 -3 -3 -3 -3 -3 -3 0Eilme

momenti 0 0 +5 +10 +15 +15 +9 +9 +6 +3 0 0

BA

3 m 5 m

8 T

ekil 2.12

8 T

II B

T3

M1

I

5 T

8 TA

3 m

ekil 2.13

5 Tz

)

b)

T1

N1

M2

z

c)

T2

N2

5 m 3 T

5 T


2/74


3/74

3

ekil 2.16,aden grld gibi ubukta blge ayrlabilir. Bunlar ekilde Romasaylar ile gsterilmitir. nce I blgesinde balangtanz kadar uzaklkta bir kesim yapalm(ekil 2.16,b). Kesim noktasnda bilinmeyen kuvvetlerN1, T1, M1 olsun. Bunlar hep pozitifolarak seelim. Bu parann dengedenklemlerini yazalm (0 0,5)z .

1 1 1+60=0, - +60 =0, - 60 z=0N T MDenklemler zlrse;

1 1 1=-60 g, =60 g, = 60 zK K KgmN T MII. blgesindeki kesimden

(ekil 2.16,c ) bu blgeye ait ikuvvetler hesaplanr (0,5 1)z .

2 2

2

60 0, 60 50 0,

50 ( 0,5) 60 0z z

+ = + =

+ =

N T

M

Buradan,2 2

2

60 , 10

10 25

Kg Kg

z Kgm

= =

= +

N T

M

2

2

0,5 30

1 35

z m Kg

z m Kgm

= =

= =

M

M

III. blgesinde (1 1,5)z hesapyapmak iin daha az kuvvetin

bulunduu sadaki paray gz nnealrz. Denge denklemleri yledir;

3 30, 70 0 = + =N T

3

3

3

70

70(1,5 ) 0

70 105

Kg

z

z

=

+ =

= +

T

M

M

3

3

1,5 0

1 35

z m

z m Kgm

= =

= =

M

M

Grld gibi normal kuvvet ve kesme kuvveti, yklerin etkiledii noktalarda ve yklerinyatay ve dey bileenleri kadar basamaklar yapmaktadr. Eilme momentinde ise atlamayoktur (ekil 2.17).

rnek 2.3.ekil 2.18deki ubuun kesme kuvveti veeilme momenti diyagramlarn alan yntemiyle iziniz.zm: nce denge denklemleri kurarak ubuunmesnet reaksiyonlarn bulalm. Bu bada hareketolmad iin

0xF = 0yF = 0 =M

olmaldr. Grld gibi yayl kuvvetin deeri 6 Tvehayali yeri A noktasndan 2,5 m uzaklktadr.

1 6 0

1 1 6 2,5 4 0A B

BF

+ =

+ =

F F

Buradan

T3

N3

50 Kg

M1

I

60 Kg

60 Kg50 Kg

BA

0,5 m 0,5 m0,5 m

100 Kg

ekil 2.16

70 Kg

IIIII

60 Kg

60 Kg

z

a)

b)

T1

N1

M2

60 Kg

60 Kg

z

c)

T2

N2

70 Kg

d)

M3

1,5-z

A C B

2 T/m

ekil 2.18

3 m1 m

1 T


4/74

4

4 , 3B AT T= =F F

bulunur. D kuvvetlerin dalmekil 2.19,ada gsterilmitir.Kesme kuvveti diyagramn izmek iin

alan yntemini kullanalm. Adaki tekil yk 3Tluk bir alan olarak hesaba girecektir. Kesme

kuvvet ile yk arasndaki bantda eksi iaretiolduundan yukar doru yk pozitif alan olarakhesaba girer. Bylece kesme kuvveti +3 Tolarak

balar. Cdeki 1 T aa doru ynelmi yktendolay kesme kuvvetini 1 T indirmek gerekir ve 2T olur. Cden Bye kadar (2 / ) 3 6T m m T = yk alan vardr, o halde kesme kuvvetinden 6 Tkarmak gerekir. +2 Tolan kesme kuvveti -4 Tainer. Bdeki 4 T tekil yk sebebiyle 4 Teklenirsesfra gelinir. Sfra gelme bir salama olanan

verir. Kesme kuvvetinin s

f

r olduu noktan

n yeriCDE ve BDF gendeki benzerlikorantlarndan bulunur:

mzz

z1

4

2

3==

D noktasnn Adan olan uzakl 2 m olur. Kesmekuvvetin dalmekil 2.19,bda gsterilmitir.

Moment diyagram iin kesme kuvveti diyagramnn alanlarn hesaplayacaz.Balangta dardan etkiyen moment olmadndan M(0)=0dr. Cdeki moment Adan Cyekadar kesme kuvveti alanna eittir:

3 1 3C

T m Tm= =M C ye kadar kesme kuvveti sabit olduundan sfrdan balayp doru orantl olarak 3 Tm yekadar gider. Maksimum moment D noktasnn solundaki kesme kuvveti alanna eittir.

( )max1

3 1 2 1 3 1 42

T T m Tm Tm= + = + =M

B deki moment, sadan gelinirse, sfr olarak bulunur. Soldan gelinirse btn kesme kuvvetialanna eittir.

1 13 1 2 1 4 2 0

2 2BT m T m T m= + =M

C den D ye ve D den B ye moment erileri ikinci dereceden parabollerdir (ekil 2.19,c).

2.4. Geometri lleri ve ykleriekil 2.20da verilen kmal kiriinT ve M diyagramlarn alan yntemiile izinizzm: Yayl kuvvetin edeeri2 / 5 10T m m T = ve yeri Amesnedinden 1,5m uzaklktadr.Ba kuvvetlerini bulalm.

0x

F = olduundan 0xA = 0xB = olur. 0yF = ve 0A =M koullarndan;

3 z

2E

3 T

4

3

D

M, Tm

BCA

A C B

2 T/m

ekil 2.19

3 m1 m

1 T

4 T

a)

z

T,T

3

-4

b)

c)Mmax

F

4T

A B

2 T/m

ekil 2.20

2 m

6T

1 m1m 2 m

3T 12T


5/74

5

35 0 35y y y yA B A B+ = + =

3 1 10 1,5 6 2 12 4 4 4 5 0 23y yB B T + = = ; 23 35 12y yA A T+ = =

bulunur. D kuvvetlerin dalmekil 2.21,ada gsterilmitir.

nce alan yntemi ilekesme kuvveti diyagramnn naslizildiini gsterelim. Solkmann ucundaki tekil yk biryayl yk olarak dnlebilir.Bylece kma ucundaki kesmekuvvetinin iddetinin hemensanda 3T demektir. aretkuralna gre, iareti negatifolduundan aa dorualnacaktr. Sol kmann ucu ile A

mesnedi arasnda dzgn yaylkuvvet etkidiinden kesme kuvvetidorusal olarak deiir. Mesnedinhemen solunda kesme kuvvetinin

iddeti 3 2 1 5AsolT

T T m T m

= + = olur.

areti negatif olduundandiyagramda yine aa doru olur.A mesnedin hemen sanda ise

12 5 7Asa

T T T T = = olur. areti

pozitif olduundan yukar dorualnacaktr. A mesnedi ile aklnortasnda dzgn yayl kuvvet(yk) etkidiinden kuvvetinin deiimi dorusaldr. Aklk ortasndaki tekil ykn hemensolundaki (C noktasnn hemen solundaki) kesite ait kesme kuvvetinin iddeti

7 2 2 3C solT

T T m T m

= = dur. areti pozitif olduundan yine yukar dorudur. Cnin hemen

sanda ise 6 3 3C saT T T T = + = olur. Bu durumda iaret negatif olduundan diyagramda

aa dorudur. C ile B arasnda dzgn yayl yk etkidiinden kesme kuvvetinin deiimidorusaldr. B noktasnn hemen solunda kesme kuvvetinin iddeti 3 4 7B solT T T T = = ,

Bnin hemen sanda ise 23 12 7 4B saT T T T T = = olur. areti pozitif olduundandiyagramda yukar doru alnacaktr. B mesnedi ile sa kmann arasnda yayl ykolmadndan kesme kuvveti deimez, yani sabit kalr. Sa kmann ucundaki 4Tluk tekilyk bulunan 4B saT T= deere eit olduu iin, byle bir kontrol yaplm olur (ekil 2.21,b).

Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram daha kolay izilebilir.Sol kmann ucundaki momentin sfr olduu aktr. A mesnedindeki moment kesmekuvveti diyagramnda kesitin solunda bulunan alanlarn cebirsel toplamna eittir.

3 51 4

2AM Tm

+= =

Alann iareti negatif olduundan st tarafta izilmitir. Sol kmann ucu ile A mesnedi

arasnda kesme kuvveti dorusal olarak deitii iin momentin deiimi paraboliktir. Kiri

6

4

M,Tm

7

4

3

T,T

A

4T

C B

2 T/m

ekil 2.21

2 m

6T

1 m1m 2 m

3T 12T

23T12T

3

7

5

a)

b)

c)


6/74

6

aklnda kesme kuvveti C noktasnda sfrdr. O halde moment C de maksimum deerinialacaktr. Momentin bu deeri sol taraftaki alanlarn cebirsel toplamna eittir.

3 72 4 6

2CM Tm

+= =

A ile C arasnda kesme kuvvetinin deiimi dorusal olduundan momentin deiimi

paraboliktir. Aklkta iaret pozitif olduundan altta izilmitir. B mesnet noktasndakimoment kesme kuvveti diyagramndan sa tarafndaki alana eittir.

4 1 4BM Tm= = Sa kmann ucunda moment sfrdr. B ile bu kesit arasnda moment dorusal olarak deiir.nk bu aralkta kesme kuvvetinin deiimi sabittir (ekil 2.21,c).

rnek 2.5. ekil 2.22deki ubukta normal kuvvet,kesme kuvveti ve eilme momenti diyagramlarn iziniz.zm: nce denge denklemleri kurarak ubuunmesnet reaksiyonlarn bulalm. Bu bada hareket

olmad

iinFx=0 Fy=0 M=0olmaldr. Yayl kuvvetin deerini ve etki merkezininhayali yerini bulalm:

200 0,5 100 , 0,75Y YKg d m= = =F 25 Kgmlk kuvvet momenti ift kuvvetleoluturduu iin A noktasnda tepki kuvvetiolumaz.

0 100 7,5 25 0

50

A

AKgm

= + + =

=M MM

D kuvvetlerin dalm ekil 2.23,adagsterilmitir. Bu ekilden grld gibiubukta blge ayrlabilir.

I. blgesinde: 0 0, 2z m

1 1

1

0, 100 0,

50 100 0z

= + =

+ =

N T

M

1

1

0, 100

50 100

Kg

z

= =

= +

N T

M1

1

1

0 500,2 30

z Kgz m Kgm

= = = = M M

II. blgesinde (0, 2 0, 5)z :

2 2 20, 100 0; 50 25 100 0z = + = + + =N T M

2 2

2

2

2

0, 100 ,

100 75

0,2 55 ,

0,5 25

Kg

z Kgm

z m Kgm

z m Kgm

= =

=

= =

= =

N T

M

M

M

III. blgesinde (0, 5 1)z yaplan kesimde yayl ykn bir ksmnn bir yanda, tekiksmnn da teki yanda kald hesaba katlarak;

200 Kg/mA

0,5 m0,3 m0,2 m

25 Kgm

ekil 2.22

25 Kgm

50 Kgm

50 Kgm

50 Kgm

50 Kgm

100 Kg

100 Kg

100 Kg

T3

T1

M1

200 Kg/m

A

IIIIII

25 Kgm

ekil 2.23

A

a)

b)N1

T2

M2

z

N2c)

M3

A

z

N3

d)

25 Kgm

100 Kg

A


7/74

7

3 3

3

0, 100 200( 0,5) 0

0,550 25 200( 0,5) 100 0

2

z

zz z

= + =

+ + + =

N T

M

Bu blgede sa paray almak sonuca dahaabuk gtrebilirdi. Yklerin kesite dik bileeniolmadndan normal kuvvet her yerde sfrolarak elde edildi. Kesme kuvveti ve eilmemomentinin diyagramlarnekil 2.24 degsterilmitir.

rnek 2.6. ekil 2.25deki ubuun kesmekuvveti ve eilme momenti diyagramlarniziniz.zm: nce denge denklemleri kurarakubuun mesnet reaksiyonlarn bulalm. Bu bada hareket olmad iin

0xF = 0yF = 0 =M

olmaldr. Yayl kuvvetin deerini 1 / 2 2T m m T = veetki merkezinin hayali yeri B noktasdr. Dengekoullarndan,

2 2 2 0 6

2 1 2 2 2 1 0 8 .A A

A A

T

Tm

= =

= =

F F

M M

D

kuvvetlerin da

l

m

ekil 2.26,ada gsterilmitir.

Kesme Kuvveti Diyagram. A nn hemen sandakesme kuvveti =6TT dur. A dan B ye kadar yk

alan 1 / 1 1T m m T = olduundan B ye gelincekesme kuvveti 1Tazalm olur. B deki 2 Tluk aatekil ykten dolay tekrar 2 T azalr. B den C yekadar yayl yk alan tekrar 1 T dur. O halde Cdekikesme kuvveti 1 Tdaha azalarak 2 Tkalr. C deki 2 Tluk tekil kuvvetten dolay sfra iner (ekil 26,b).

Eilme Momenti Diyagram. Adaki tekilmomentten dolay moment diyagram -8 Tm ile balar.Adan Bye kadar kesme momentinin alan

6 51 5,5

2Tm

+ =

dir. O halde B deki moment

8 5,5 2,5 Tm = olur. Bden Cye kadar kesme

kuvveti diyagramnn alan3 2

1 2,52

Tm+

= dir. C

deki eilme momenti sfr olur (ekil 26,c).

CB

2 T2 TA

ekil 2.25

1T/m

1 m 1 m

8 Tm

8

2,5

653

2

CB

2 T2 T

A

ekil 2.26

1T/m

1 m 1 m

T, T

M, Tm

a)

b)

c)

6 T

-25

- 55

+

- 50

-30

N, Kg

ekil 2.24

a)

100

T, Kg

b)

+

M, Kgm

c)-

0,2 m 0,3 m 0,5 m

+

20 parabol

23 3 3

3 3

0 200 200 100 200 100

0,5 25 1 0

z z z

z m Kgm z m

= = = +

= = = =

N T M

M M


8/74

8

rnek 2.7.ekil 2.27deki ubuun kesme kuvveti veeilme momenti diyagramlarn belirsiz integrasyonyntemiyle iziniz.zm: Yayl yk sfrdan balayarak q0 deerineykselmitir. Balangtan z kadar sadaki yayl yk

zl

qzq 0)( =

olarak bulunur. Toplam yayl yk genin alannaeittir:

2

lqQ o=

ve bilekenin yeri genin arlk merkezinde

lz3

2= dir.

Mesnet reaksiyonlarn bulalm.

0 koulundany =F B A Q+ =F F bulunur.0 koulundanB =M 0Al Q z + =F elde edilir.

Bu denklemler zlrse,1 1

2 3 6 2 6 3o o o o

A B A o

q l q l q l q l l Q q l

l= = = = =F F F

olur. D kuvvetlerin dalmekil 2.28,adagsterilmitir

Belirsiz integrasyon ynteminikullanacaz.

2

1

2

1

3

1 2

( ) 2

( )2

6

o o

o

o

q q zq z dz zdz C l l

q zz dz C dz

l

q zC z C

l

= = = +

= = + =

= + +

T

M T

C1 ve C2 bilinmeyen sabitleri bulmak iin A veBde momentin sfr olduunu ifade edelim: z=0da M=0 ve z=lde M=0. z=0 da M=0 olmakoulundan C2=0 bulunur. z=lde M=0

koulundan3

0 01 10 6 6

q q llC l C

l= + =

elde edilir. Sabitlerin deerleri dikkate alndnda kesme kuvvetinin ve momentin ifadeleri,2 3

0 0 0,2 6 6 6oq z q l q z q lz

l l= + = +T M

bulunur. Kesme kuvvetinin sfr olduu 0z uzakl iin 0 0,5773

lz l= = bulunur. Bu

noktada eilme momenti M maksimum olur ve deeri,

ekil 2.27

q0

AB

l

M

0

3

q l

T

0

6Aq l=F 0

2q l=Q

ekil 2.28

q0

AB

0

3Bq l=F

z

l

a)

0

6

q l

z0

20

9 3

q l

0

6q l

c)

b)

z


9/74

9

3

0 0 20

max

3 3

6 6 9 3

l lq q

q l

l

= + =M

olur. Kesme kuvvetinin ve eilme momentinin diyagramlar ekil 2.28de gsterilmitir.

Kesme kuvvetinin diyagram ikinci dereceden, eilme momentinin diyagram ise ncdereceden polinomlardr.

rnek 2.8.ekil 2.29 deki erevenin normal kuvvet,kesme kuvveti ve eilme momenti diyagramlarniziniz.zm: Yayl kuvvetin deeri 6T, bilekenin yeriAdan 2 m uzaklktadr. Ba kuvvetlerini bulalm.

0 2 6 3,5 2 1 0 4

0 6 0 2

y y

y y y

B B

y A B A

T

T

= + = =

= + = =

M F F

F F F F

D kuvvetlerin dalm ekil 2.30,a dagsterilmitir.

Kesim yntemini kullanacaz. AC, CD, CE ve EB birer kesim gereklidir.

AC blgesi ekil 2.30,b (0 3,5)z 2 0 2

2 1,5 0 2 1,5

T

z z

+ = =

= =

N N

T

Eilme momentinin ifadesini bulalm:

M T

2 T

Aa )

B

DC

E

ekil 2.30

1,5 T/m

T

2 T

4 T

2 T

A2 T

M

N

b )

D

T

N

1,5 T/m

z z

c)

d)

M

2 T

B

T

E

4 T

N

z

M

B

T

T

e )

A

2 T

B

DC

E

ekil 2.29

1,5 T/m

3,5 m 1 m0,5m

1 m

2--

0,19

2,19

DCA

2

ekil 2.31

0,75

N, T

2

T,T

3,25

D

1,33

M, Tm

4

--

+1,33 m

A C


10/74

10

2

1,5 2 02

2 0,75

zz z

z z

+ =

=

M

M

Kesme kuvveti 1,33z m= noktasnda sfr olur ve bu noktada eilme momenti maksimum

olur ( 1,33max Kgm=M ).DC blgesi ekil 2.30,c (0 0,5)z

2

0 0

1,5 0 1,5

1,5 0 0,752

z z

zz z

= =

= =

= =

N N

T T

M M

CE blgesi ekil 2.30, d (1 2)z 4 0 4

2 0 2

2 1 2 0 2 2

T T

T

z z

+ = =

= =

+ = = +

N N

T T

M M

EB blgesi ekil 2.25, e (0 1)z 4 0 4

0

0

T+ = =

=

=

N N

T

M

Normal kuvvetin, kesme kuvvetinin ve eilme momentinin dalm ekil 2.31dagsterilmitir.

2.9. Eilme momenti diyagramnda (ekil 2.32)verilen kiriin kesme kuvveti diyagramn ve d

kuvvetlerini belirleyiniz. AC erisi ikinci mertebedenbir paraboldr.zm: Moment diyagram A ile C arasnda birikinci derece parabol erisi olarak verildiine gre buksmda moment fonksiyonu 2M ax bx c= + + eklinde ifade edilir.

0x = iin 0M = ;3x m= iin 7,2M Tm= 5x m= iin 4M Tm=

koullarndan;

0 ; 7, 2 9 3 ; 4 25 5C a b a b= = + = + eklinde lineer denklem elde edilir. Budenklemlerin zmnden parabolnkatsaylar 0.8; 4.8; 0a b c= = = bulunur.Bylece paraboln denklemi

20,8 4,8M x x= + eklini alr. Kesme kuvvetive yayl yk aadaki bantlardan bulunur.

4,8 1, 6dM

T xdx

= =

1,6 1,6 /dT

q q T mdx

= = =

CD aralnda momentin deiimi dorusal

3 m 2 m3 m2 m

x

4,0

5, 6

EDA CB

M,Tm

+

-

7,2

ekil 2.32

2,8T

T

3 m 3 m2 m6 T

2,8 T

EDA B

+-

+

-C

4,8 T

3,2 T

1,6 T/m

4,8T2 m

ekil 2.33


11/74

11

olduundan kesme kuvvetini sabit kalr:5,6 4,0

3,23

CDT T sabit

= = =

DE aralnda da momentin deiimi dorusaldr. O halde,0 ( 5,6)

2,82DET T sabit

= = = CD ve DE blgelerinde yayl ykler sfrdr.Kesme kuvveti diyagram ve d kuvvetlerinin dalmekil 2.33de gsterilmitir.

2.10. Geometrik lleri ve ykleri ekil2,34de verilen sistemin N, T, Mdiyagramlarn iziniz.zm. Yayl kuvvetin deerini2 / 3 6T m T = ve yeri A noktasndan 3,5muzaklkta olur. Statik denge koullarndan;

2AxF T= 10

Ay ByF F T+ =

4 2 6 3,5 5 1,5 2 0 5,2By ByF F T + + = =

10 4,8Ay ByF F T= =

ba kuvvetleri bulunur. ekil 2.35,ada ba kuvvetlerinin dalm verilmitir.ACaralndaki kesme iin (0 2 )z m ;

1 12 0 2N N T+ = =

1 14,8 0 4,8T T T + = =

1 14,8 0 4,8M z M z = =

0z = da 1 0M = ve 2z m= de

1 9,6M T m= elde edilir.AB aralndaki kesme iin

(2 5 )m z m ;

2 22 0 2N N T+ = =

2 24,8 2 0 2 4,8T z T z z + = = +

2z m= de 2 0,8T T= ve 5z m= de

2 5,2T T= bulunur. 2 0T = olmas iin

2 4,8 0 2,4z z m + = = olur. Alanyntemini kullanarak momentin bunoktadaki maksimum deeri bulunur.

max

0,8 0,44,8 2 9,6 0,16 9,76

2M Tm

= + = + =

DBde 3 32 0 2N N T+ = = ve 3 0T = olur. Bu blgede yk olmadndanmoment sabit kalr. Alan yntemikullanlarak B noktasndaki momenthesaplanr.

0,8 0,4 5,2 2,64,8 2 9,6 0,16 6,76 32 2

M Tm = + = + =

1,5 m

2 T

2 T/ m

4 T

2 m 3 m 2 m

ekil 2.34

E

+

+

+

3

9,6

T, T2

0,8

0,4m

5,2T

DC BA

1,5 m

2 T

2 T/ m

4 T

2 m 3 m 2 m

ekil 2.35

a)

4,8T

4,8

5,2

2

b)

M, Tm

3

c)

9,76

++

+

-

3


12/74

12

Kesme kuvvetin ve kiri boyunca dalmekil 2.35de gsterilmitir.DEblgesinde etki eden 2Tkuvveti 2T T= kesme kuvveti ve 2 1,5 3M Tm= =

momenti oluturur.

2.11. Geometrik lleri ve ykleri ekil 2.36de verilen sistemin N,

T, M diyagramlarn iziniz.zm: ekilden grld gibi A dayak noktasna etkiyenkuvvetler;

3 ; 2Ax Ay

F T F T= =

dir. CB aralndaki kesitte;0; 2 0; 2 0N T M y= = =

yazabiliriz. Buradan 0y = da 0M = ve 2y m= da 2 2 4M Tm= = bulunur.kinci kesiti AB aralnda alrsak;

3 0 3 ; 2 0 2 ; 3 3 2( 2) 0N N T T T T M y = = = = =

Buradan 13 2M y= elde edilir. 0y = da (A noktasnda) 13M Tm= ve 3y m= de (Bnoktasnda) 13 2 3 7M Tm= = bulunur.

nc bir kesitin de DB aralnda yaplmas gerekir.0; 3 0 3 ; 3 0N T T T M x= = = = Burada 0x = da (D noktasnda) 0M = ve

1z m= de (B noktasnda) 1 3 3M Tm= = bulunur.Bunlar dikkate alnarak izilen N, T, M diyagramlarekil 2.37de gsterilmitir.

2.12. ekil 2.38de geometrik lleri ve yklenmedurumu verilen sistemin T, M diyagramlarn alanyntemi ile iziniz.zm: Sabit yayl ykn deeri ( )2 / 6 12T m T =

olup arlk merkezi A noktasndan 3 m uzaklktadr.gen ykn deeri genin alanna eittir

4 3 / 2 6

T

m Tm = ve A noktas

ndan 7 m uzakl

ktad

r.Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:

A

2 T

B

C

3 T

D

2 m

3 m

1 m

ekil 2.36

T,T

3

N,

T

3

M,Tm

13

7

3

x xx

y y y

A A A

B B B

C C C

D D D

4

ekil 2.37

2 T/ m4 T/ m

6 T

2 m 4 m 3 m

ekil 2.38


13/74

13

0x

F = 0

AxF = 0yF = 6 6 12 0 24Ay By Ay ByF F F F T+ = + =

0AM =

6 6 2 12 3 6 7 0

6 90 15

By

By By

F

F F T

=

= =

15 24 9Ay AyF T T F T+ = =

Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sistemeeklenerek serbest cisim diyagram izilir (ekil2.39,a).

nce alan yntemi ile kesme kuvvetidiyagramnn izimini ele alalm. A mesnedindekesme kuvvetinin iddeti reaksiyon kuvvetine

eittir yani 9Ttr. aret kuralna gre, iaretipozitif olduundan yukar doru alnacaktr. ABaralnda dzgn yayl kuvvet etkidiindenkesme kuvveti dorusal olarak deiir. Bnoktasnn hemen solunda kesme kuvvetinin

iddeti 9 2 2 5BsolT

T T m T m

= = olur. areti pozitif

olduundan diyagramda yine yukar doru olur. Bnoktasnn hemen solunda kesme kuvveti 6Tluktekil kuvvetin etkisi ile 5 6 1BsaT T T T = = olur. areti negatif olduundan diyagramda aa

doru olur. BC aralnda dzgn yayl kuvvet etkidiinden kesme kuvveti dorusal olarakdeiir. C mesnedinin hemen solunda kesme kuvveti 1 2 4 9C sol

TT T m T

m= = olur. areti

negatif olduundan diyagramda yine aa doru olur. C mesnedin hemen sanda ise9 15 6

C saT T T T = + = olur. areti pozitif olduundan yukar doru alnacaktr. CD

aralnda dorusal yayl kuvvet etkidiinden kesme kuvveti ikinci mertebeden bir parabol

biiminde deiir. D noktasnda kesme kuvveti4 3

6 02D

T T T

= = olur. Kesme kuvvetinin

dalmekil 2.39,bde gsterilmitir.Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram daha kolay izilebilir.

A mesnedindeki momentin sfr olduu aktr. AB arasnda kesme kuvveti dorusal olarakdeitii iin momentin deiimi paraboliktir. B nokrasnda momentin deeri sol taraftakiyamuun alanna eittir. Kesme kuvveti B noktasnda sfr olduu iin bu deer maksimumdeerini olacaktr.

9 52 14

2BM Tm

+= =

B ile C arasnda kesme kuvvetinin deiimi dorusal olduundan yine momentin deiimiparaboliktir. Aklkta iaret pozitif olduundan altta izilmitir. C mesnedindeki momentkesme kuvveti diyagramnn sol tarafndaki alanlarn toplamna eittir.

1 914 4 6

2

CM Tm+

= =

9 T

DA

2 T/ m4 T/ m

6 T

2 m 4 m

ekil 2.39

B Ca)

15T3 m

T,T9

5

1

9M,Tm

14

1

6

b)

c)


14/74

14

Sa kmann ucunda (D noktasnda) moment sfrdr. C ile D arasnda moment deiimi birnc mertebeden bir polinom olarak deiir. nk bu aralkta kesme kuvvetinin deiimiikinci mertebeden bir paraboldr (ekil 2.39,c).

2.13. ekil 2.40da geometrik lleri ve yklenme durumu

verilen erevenin N, T, M diyagramlarn iziniz.zm: Sabit yayl ykn deeri ( )5 / 6 30T m T = olup

arlk merkezi A noktasndan 3 m uzaklktadr.Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:

0xF = 4AxF T= 0

yF = 8 8 30 0 46Ay By Ay ByF F F F T+ = + =

0A

M = 6 8 2 8 4 30 3 4 3 0 6 150 25

By By ByF F F T = = =

23 46 21Ay Ay

F T T F T+ = =

Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sisteme eklenerek serbest cisim diyagram izilir(ekil 2.41,a).

Normal kuvvet A B ubuu boyunca heryerde ayndr.

0 4 0 4xN A N N T+ = = =

AA've BB'konsol ubuklarnda da ubuklarboyunca normal kuvvet srasyla aadakideerlere sahiptir.

0 21 0 21AyN F N N T+ = + = =

0 25 0 25ByN F N N T+ = + = = Normal kuvvetin ereve de dalmekil2.41,bde gsterilmitir.

A'Caralndaki kesitte ( )0 2z m ;21 5 0 21 5T z T z + = =

0 'da 21 , 2 'de 11z T T z m T T= = = =

CD aralndaki kesitte ( )2 4z m ;21 8 5 0 13 5T z T z + = =

2 'da 13 5 2 5 ,

4 'de 13 5 4 7

z m T T

z m T T T

= = =

= = =

Bu aralkta kesme kuvveti yn deitirdiiiin bu kuvvetin sfr (momentin maksimum)olduu noktann yerini bulalm.

13 5 0 2,6T z z m= = =

CB'aralndaki kesitte ( )4 6z m ;21 8 8 5 0 5 5T z T z + = =

4 'da 5 5 4 15 ,

6 'de 5 5 6 25

z m T T

z m T T

= = =

= = =

AA've BB'konsol ubuklarnda da ubuklar

boyunca kesme kuvveti her yerde ayndeere sahip olaca aktr.

D

5 T/ mT

2 m2 m

8T

BA

2 m3m

8 T

ekil 2.40

C

12

,6 m

25

15

11

7

3

21

4

T, T

4 T

25T

21T

4 T

21T

5 T/ m8T

BA

8 T

A'

4 T

2 m2 m 2 m3m

C B'

25T

a)

b)

c)

T,

T

44,9

12

M, Tmekil 2.41

d)


15/74

15

4 0 4T T T = = Normal kuvvetin ereve de dalmekil 2.41,cde gsterilmitir.Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram alan yntemi ile kolaylklaizilebilir. A' noktasndaki momentin 4 3 12AM Tm = = olduu aktr. A'C arasnda kesmekuvveti dorusal olarak deitii iin momentin deiimi paraboliktir. C nokrasnda

momentin deeri sol taraftaki alanlarn toplamna eittir.21 11

12 2 442

BM Tm+

= + =

Kesme kuvvetinin sfr olduu noktada momentin deeri maksimum olacaktr. C noktasndankesme noktasna kadar ksmda kesme kuvveti dorusal olarak deitii iin momentindeiimi paraboliktir.

max

3 0,644 44,9

2M Tm

= + =

D noktasna kadar kesme kuvvetinin deiimi dorusal olduundan yine momentin deiimiparaboliktir. D noktasnda moment kesme kuvveti diyagramnn sol tarafndaki alanlarn

toplamna eittir.7 1, 4

44,9 402C

M Tm

= =

B' noktasnda moment sfrdr. Gerektende,15 25

40 2 02B

M +

= =

D ile B' arasnda moment deiimi dorusal olduundan yine momentin deiimiparaboliktir.A' noktasndaki moment yukarda belirtildii gibi 12Tm dir. A noktasndaki moment sfrdr.

Gerektende 12 4 3 0AM = =

olur.Momentin ereve de dalmekil 2.41,dde gsterilmitir.

2.14. ekil 2.42degeometrik lleri ve yklenme durumuverilen sisteminkesit tesir diyagramlarn iziniz.zm: Sabit yayl ykn deeri drtgenin alanna eittir

3 2 6T

m Tm

= ve yeri A noktasndan 1 m uzaklktadr.

Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:0

xF = 0AxF =

0yF = 6 0 6Ay By Ay ByF F F F T+ = + = 0

AM = 4 6 1 2 0 4 4 1By By ByF F F T + = = =

1 6 5Ay AyF T T F T+ = =

Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sisteme eklenerek serbest cisim diyagram izilir(ekil 2.43,a).Kiri AC, CD ve DB olmak zere blgeye ayrlabilir. nce alan yntemi ile kesme kuvvetidiyagramnn izimini ele alalm. A noktasnda 5AT T= dr ve C noktasnda ise

5 3 2 1CT T= = olur. AC blgesinde sabit yayl yk olduundan kesme kuvveti dorusal

olarak azalacaktr. CB arasnda hibir kuvvet etkimediinden A mesnedinde kesme kuvveti

1BT T= olur. Kesme kuvvetinin dalmekil 2.43,bde gsterilmitir. Kesme kuvvetininsfr olduu noktann yeri genlerin benzerliinden bulunur.

C D

2 T m3 T/m

A B

1 m2 m 1 m

ekil 2.42


16/74

16

510 5 6 10 1,67

1 2

zz z z z m

z= = = =

Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra momentdiyagram izilebilir. A mesnedindeki moment sfrdr.Kesme kuvvetinin sfr olduu noktada moment

maksimum olur ve momentumun deiimi paraboldr.

max

5 5 1,674,175

2 2

zM Tm

= = =

C noktasnda.1 0,33

4,175 42C

M Tm

= =

Bu blgede de momentin deiimi paraboldr.D noktasnn solunda

4 1 1 3D sol

M Tm= =

olur. Bu noktann solunda tekil burulma momenti etki

gsterdiinden momentin deeri,3 2 1D saM Tm= =

olarak bulunur. B mesnedinde momentin sfr olduuaktr. CD ve DB blgelerinde kesme kuvveti sabitolduundan momentin deiimi dorusaldr. Momentinubuk boyunca dalmekil 2. 43,cde gsterilmitir.

2.15. ekil 2.44de geometrik lleri veyklenme durumu verilen sistemin kesittesir diyagramlarn iziniz.

zm: Sabit yayl ykn deeridrtgenin alanna eittir 3 3 9

Tm T

m = ve

yeri A noktasndan 6,5 m uzaklktadr.Ba kuvvetleri denge artlar kullanlarak elde edilir:

0x

F = 0AxF = 0yF = 10 9 0 19Ay By Cy Ay By CyF F F F F F T+ + = + + = 0

AM = 4 8 4,5 10 2 3 3 6,5 0 4 8 74By Cy By CyF F F F + + = + =

0D sa

M = 3 3 3 1,5 0 4,5Cy CyF F T = =

4 8 4,5 74 9,8By By

F F+ = =

9,5 4,5 19 5Ay AyF T F T+ + = =

Bulunan ba kuvvetleri d kuvvet olarak sisteme eklenerek serbest cisim diyagram izilir(ekil 2.45,a).

Kiri AE, EB, BD ve DC olmak zere drt blgeye ayrlabilir. nce alan yntemi ilekesme kuvveti diyagramnn izimini ele alalm. A noktasnda 5AT T= dr ve E noktasna

kadar yk olmadndan yatay gider. 5D solT T= olur. E noktasnda 10Tlk bir sreksizlik

olduundan 5 10 5EsaT T= = olur. Bu deer B noktasna kadar yatay devem eder.

5B sol E saT T T= = ve 5 9,5 4,5B saT T= + = olur. D noktasna kadar kesme kuvveti yatay olarak

B D

10 T 3 T/m

A C

5 Tm

2 m 1 m

ekil 2.44

3 m2 m

4

3

1

1

5

1

T, T

5T1T

C D

2 T m3 T/m

A B

1 m2 m 1 m

ekil 2.43

4,175M, Tm

a)

b)

c)

z


17/74

17

devem eder ve 4,5D sa DsolT T T= = olur. D noktasndan sonra toplam yayl yk deeri olan 9 T

drlerek C noktasndaki deer elde edilir 4,5 9 4,5CT T= = .

Kesme kuvvetinin dalm ekil 2.45,bde gsterilmitir. Kesme kuvvetinin sfrolduu noktann yeri genlerin benzerliinden bulunur.

4,53 2 3 1,5

4,5 3

zz z z z m

z= = = =

Kesme kuvveti diyagram izildikten sonra moment diyagram izilebilir. Amesnedindeki moment tekil 4,5Tm momentine eit olur 4,5AM Tm= . Dier noktalardakimomentlerin deerleri aadaki gibi bulunur.

4,5 5 2 5,5EM Tm= + = Deiim dorusaldr.

5,5 5 2 4,5B

M Tm= = Deiim dorusaldr.

4,5 4,5 1 0DM = =

Kesme kuvvetinin sfr olduu noktada moment maksimum olur.

max

4,5 1,50 3,375

2M Tm

= + = Deiim paraboldr.

4,5 1,53,375 0

2CM

= = Deiim paraboldr.

Momentin kiri boyunca dalmekil 2. 45,cde gsterilmitir

3,375

4,5

4,54,5

5

4,5 T9,5T5 T

E B D

10 T 3 T/m

A

5 Tm

2 m 1 m

ekil 2.45

3 m2 m

a)

T, T

z

5

5

5

4,5

5,5M, Tm

4,5 5

b)

c)


18/74

18

III. NORMAL KUVVET ETKS

rnek 3.1. ekil 3.24deki alminyumubuun emniyet gerilmesi 700 2cmKg , elastiklikmodl 5

27 10

KgE

cm

=

olarak verildiine ve toplamuzamasnn 0,8 mm den fazlaolmamas istendiine greubuun dikdrtgen kesitini

boyutlandrnz.zm:Uzamay gerekletiren kuvvet 4000N Kg= dir. Kesitin boyutlandrlmas, alannemniyet gerilmesine ve uzamaya gre hesaplanm en byk deerine gre yaplr. Emniyetgerilmesine gre gerekli alan;

424 10 5,714

700em

NA cm

= = =

Uzamaya gre gerekli alan;3

5

4 10 900,599 6,429

7 10 0,08

N lA cm cm

E l

= = = =

bulunur. Bu durumdaboyutlandrma uzamaya gre alnandeere gre yaplmaldr. Yani,

6,43A cm= . Dikdrtgen kesit iin3b h= olduuna gre

23 3A h h h= = olur. Buradan;

6,43 1,46 1,53 3

Ah cm cm= = =

3 3 1,5 4,5b h cm= = =

rnek 3.2. ekil 3.25,a deki ubuun kesiti sabittir ve malzemenin emniyet gerilmesi

21400

em

Kg

cm = dir. ubuun kesit alann bulunuz.

zm: nce ubukta normal kuvvet diyagramizilir. Birinci blgede ubukta meydana gelen

normal derimle 6T, ikinci blgede (6-10) -4T T= ,nc blgede ise (6 -10 8) 4T T+ = + olur.Bylece ubuktaki en byk normal kuvvetin 6 Tolduu grlmektedir (ekil 3.25,b). u haldenormal gerilim iin

N

A =

2

60001400

Kg

A cm

olur. Buradan, ubuun kesit alann iin

26000 4,31400

A cm= =

elde edilir.

300

300

FAB

FBC

8cm

10 cm

C

A

B

25T

a)

25T

b)

ekil 3.26

4 T

h

4 T

b=3h90 cm

ekil 3.24

4T

4 T

6 T

6 T 10 T 8 T 4 T

3 m 2 m4 m

ekil 3.25

++-

a)

b)


19/74

19

rnek 3.3.ekil 3.26,a deki sistemde AB ubuu kesiti ekilde verilen borudan yaplmtr.

21400em

Kg

cm = olduuna gre kesitin yeterli olup olmadn tahkik ediniz.

zm: AB ubuundaki kuvvet, B mafsalnn dengesinden hesaplanr. ekil 3.26,b dendenge koulu aadaki gibi yazlr:

00 veya sin 30 25 0y ABF F T= =

Buradan AB ubuundaki normal kuvvet,25

501

2

ABF T T= =

olur. Kesit alan A =4

)810( 22 = 28,26 cm

olduuna gre mafsaldaki gerilim iin50000

1769 140028,26

ABmafsal em

F

A = = = > = bulunur. O

halde kesit yeterli deildir.

rnek 3.4.Kopma mukavemeti 3700 2cmKg olan bir elik ubuun kendi arl altndakopmadan aslabilecei en byk boyu hesaplaynz (eliin zgl arl

3 37,8 10 Kg cm = ).

zm: ubuun kendi arl max maxN P V Al = = = olur. te yandanmaxN

A = dr. Bu

iki ifadeden;

max maxmax

N All

A A

= = =

elde edilir. Buradan elik ubuun kendi arl altnda kopmadan aslabilecei en bykboyu bulunur:

5max 3

37004,744 10 4744

7,8 10l cm m

= = = =

rnek 3.5.ekil 3.27deki ubuun tayabilecei P ykn hesaplaynz.2

100em

Kg

cm =

zm: ubua ait normal kuvvet diyagramekil 3.28de izilmitir. AB blgesinde normalkuvvet 2P olduundan, normal gerilme,

1

2 2

144 72

P P P

A = = =

olur. BC blgesinde normal kuvvet Polduundan, normal gerilme iin

2 100

P P

A = =

elde edilir. O halde en byk gerilemeAB blgesindedir. Denge durumunda

max em olmas gerektii koulundanubuun tayabilecei P yknhesaplanr.

100 P 7200 Kg72P

N

2P

C

ekil 3.28

P

P

A

B

2P

P

+

+

A1=144 cm2

ekil 3.27

P

P

A2=100 cm2


20/74

20

rnek 3.6. ekil 3.29,adaki ubuun arlndan doangerilmeleri hesaplaynz. zgl arlk dir.

zm: ubuun alttan z boyutunda bir parasn keselim(ekil 3.29, b). Bu parann arl W= A Z olur. Kesilen

parann dengesinden-W=0 =W = A Z N N N

elde edilir. Bu deeri alana blerek gerilmeler bulunur:

ZA

ZA

==

rnek 3.7. ekil 3.30dakiubukta normal kuvvet diyagramn iziniz ve AD arasndaki boy

deiimini hesaplaynz. Kesit alan 4 cm2 ve elastiklik modl 62

2 10Kg

cm olarak

verilmektedir.

zm. Bu ubuunnormal kuvvet diyagram

blgeden olumaktadr. Hertekil yk bir blgede snr

belirlemektedir. Bir blgeiinde yk yoksa eksenselnormal kuvvet diyagramnn

bir yatay doru olduu anmsanrsa,AB blgesinde 3 (0 1 )N T x m= ,BC blgesinde 5 (1 3 )N T m x m= ,

CD blgesinde 6 (3 3,5 )N T m x m= biiminde ayrma prensibiile kolaylkla hesaplanabilir.

Normal kuvvet diyagramekil 3.31de izilmitir.

ubuk boyuncakuvvet deitii iin her

blgedeki uzamannhesaplanmas iin

2

1

x

x

Nl dx

EA

= integrali ile

hesaplanabilir.AB blgesinde;

1001004

1 6 00

30003,75 10 0,0375

2 10 4l dx x cm

= = =

BC blgesinde;200

30042 6 100

100

50006,25 10 0,125

2 10 4l dx x cm

= = =

CD blgesinde;350

3504

3 6 300300

6000 7,5 10 0,03752 10 4

l dx x cm = = =

65

3

3 T 6 TA B C2T 1 TD

1m 2m 0,5mN,T

ekil 3.31

ekil 3.29

z

N

W

a) b)

3 T 6 TA B C2T 1 TD

1m 2m 0,5m

x

ekil 3.30


21/74

21

olarak elde edilir.AD arasndaki boy deiimini;

1 2 3 0,19l l l l cm = + + = olur. Eksi iareti ubuun boyunun ksaldn gsterir.

Genelde eer ubuun en kesiti sabit ise ubuun boyunun uzamas maksimum

normal kuvvete gre yaplr. O halde toplam uzama aadaki ekilde hesaplanr:

6

6000 3500,263

2 10 4

Nll cm

EA

= = =

rnek 3.8.ekil 3.32deki ubukta toplam boy uzamasn hesaplaynz. ubuun elastiklikmodl 6E= 2 10 / Kg cm dir.zm: ubuktaki normal kuvvet heryerde ayndr ve 24 T=N dur. Toplamuzama u ksmdaki uzamann toplamolarak hesaplanacaktr. Her bir parada

kesit sabit olduundan her bir kesimdekiubuu Hooke cismi olarak kabuledebiliriz. Bu durumda uzama miktar

ll

EA =

N

biiminde bulunur. Saysal deerleri kullanrsak, toplam uzama

6 6 6

24000 60 24000 100 24000 500, 024 0, 06 0,012 0, 096

2 10 30 2 10 20 2 10 50l cm

= + + = + + =

olur.rnek 3.9. ekil 3.33,ada boyutlar ve ykleme durumu verilen sistemde P=3T, l=3 m, A=10

cm2, 6 22 10 KgEcm

= dir. Sistem

scaklk T0C ikenmesnetletirilmitir. Scakln100 0C artmas durumundasistemdeki Y ve X bakuvvetlerini hesaplaynz.Malzemede scaklkla genleme

katsays 60

112 10

C

= olarak

verilmitir.zm: Bu ykleme durumunda A ve B mesnetlerinde sadece yatay tepkiler doar. Eldekitek denge denklemi,

0X Y P + = biiminde yazlabilir. ki bilinmeyen iin tek denge denklemi yazldna gre bu sistembirinci derece hiperstatiktir. Sistem ekil 3.33,bdeki duruma getirilsin. Bu durumun ncekisistemle ayn olmas iin A ve B noktalar arasndaki akln sfr olmas gerekir. AB kirii Pkuvvetinden ve scaklk deiiminden dolay uzar, X kvetinden dolay da ksalr. Bu boydeiiminin toplamnn sfr olmas bu problemdeki uygunlukartdr.Pden dolay AB ubuundaki uzama;

2

6

/ 3 3000 31,5 10

3 3 2 10 10P

P l P ll cm

EA EA

= = = =

Xden dolay AB arasndaki ksalma;

A3=50 cm2A2=20 cm

2

A1=30 cm2

0,6 m 1 m 0,5 m

24 T

ekil 3.32

24 T

2l/3

BA

l/3

PY X

BA PY X

ekil 3.33

a)

b)


22/74

22

5

6

3001,5 10

2 10 10XX l X

l X cmEA

= = =

Scaklktan dolay AB ubuunun uzamas;6 212 10 300 100 36 10Tl l T cm

= = =

olur. Bu deerler uygunluk koulunda yerine konulursa;

5 2 2

2

5

0

1,5 10 36 10 1,5 10

37,5 1025000

1,5 10

P X T X P Tl l l l l l

X

X Kg

+ = = + = +

= =

0X Y P + = denkleminden;25000 3000 22000Y X P Kg = + = + =

olur.

rnek 3.10. Duvar durumunu gsteren bir kesitiekil 3.34de verilen yma bir binann atdemesinden demenin oturduu 20cm lik tuladuvarnn 1m uzunluundaki ksmna den yaylyk 3 /T m dir. Tula duvarn (hatl dahil) zgl

arl 31700 /Kg m , ta duvarn (hatl dahil) zgl

arl 32000 /Kg m ve betonarmenin zgl arl32400 /Kg m olduuna gre 1 1 , 2 2 ve3 3

kesitlerinde oluan gerilmeleri hesaplaynz.zm: atdan tula duvarn 1m uzunluunagelen yk 3000 /Kg m dir. Tula duvarn 1

metresinin arl:0,20 3 1 1700 1020 /Kg m = O halde 1 1 kesitinin 1 metresine etkiyen yk 1020 3000 4020 /Kg m+ = olur. Bylece 1 1 kesitinde oluan gerilme;

21 1

40202,01 /

20 100

NKg cm

A = = =

Ta duvarn 1 metresinin arl:0,50 2 1 2000 2000 /Kg m = O halde 2 2 kesitinin 1 metresine etkiyen yk 4020 2000 6020 /Kg m+ = olur. Bylece2 2 kesitinde oluan gerilme;

22 2

4020 1, 2 /50 100

N Kg cmA

= = =

Temel hatln kendi arl:0,90 0,3 1 2400 648 /Kg m = Bylece 3 3 kesitinin 1 metresine etkiyen yk6020 648 6668 /Kg m+ = olur. Bylece 2 2 kesitinde oluan gerilme;

22 2

66680,74 /

90 100

NKg cm

A = = =

rnek 3.11.ekil 3.35,adeki koninin zgl arl ,

elastiklik modl Edir. Kendi arl etkisiyle uzamamiktarnn bulunuz.

Ta duvar50cm

at demesi

33

2 2

Tula duvar20cm

90 cm

30cm

2m

3m

BetonarmeTemel hatl

Blokaj

Deme

ekil 3.34

Zemin1 1

ekil 3.35

N

Wa)

b)

R

r

h


23/74

23

zm: Koninin alttan bir z uzunluundaki normal kuvveti bulalm (ekil 3.35,b). Buksmdaki yarap;r R

z h= veya R

h

zr=

olur. Tabann alan:2 2

2 2

2

z R RA r z

h h

= = =

Koninin hacmi:2

3

2

1

3 3

RV Az z

h

= =

Koninin arl:2

3

23

RW V z

h

= =

olur. Oysa normal kuvvet denge koulundan bulunabilir:

-W=0 =WN N veya2

3

23R zh

=N

Normal kuvvet deiken olduundan toplam uzanma miktar2

322

220 0

2

36

h hR

zdz hhl dz

RE A EE z

h

= = =

N

bulunur.

rnek 3.12. ekil 3.36,adeki bir ucu ankastre ubuun normal kuvvet diyagramn iziniz veAD arasndaki boy deiimini hesaplaynz.

Elastiklik modln 62

1 10Kg

Ecm

= alnz.

zm: nce balama yerindeki (Anoktas) reaksiyon kuvvetihesaplanr 3 1 4

AxF T= + = . Normal kuvvet

iin AB ve BC gibi iki blge ayrmakmmkndr.Her tekil yk bir blgede snr

belirlemektedir. Bir blge iinde yk yoksaeksensel normal kuvvet diyagramnn biryatay doru olduu anmsanrsa,AB blgesinde 4(0 1 )

AxN F x m= = ,

BD blgesinde4 3 1 (1 3,5 )N T m x m= =

olarak hesaplanr. Normal kuvvet diyagramekil 1,bde izilmitir.

ubuk boyunca kuvvet deitii iin her blgedeki uzamann hesaplanmas iin2

1

x

x

Nl dx

EA =

integrali ile hesaplanabilir. Normal kuvvet iin AB ve BD gibi iki blge olmas na ramen

ubuun en kesiti asndan BD blgesi de BC ve CD gibi iki blgeye ayrlabilir. Byleceubuun uzamas AB, BC ve CD hesaplanmas gerekmektedir.

N, T

1,5m1m1m

D

A2=1 cm2

A1=4 cm2

1TB CA

3T

ekil 3.36

a)

b)


24/74

24

AB blgesinde;100

10031 6 0

0

40001 10 0,1

1 10 4l dx x cm = = =

BC blgesinde;200

20042 6 100

100

1000 2,5 10 0,0251 10 4

l dx x cm = = = CD blgesinde;

3503503

3 6 200300

10001 10 0,15

1 10 1l dx x cm = = =

olarak elde edilir. AD arasndaki boy deiimini;

1 2 3 0,275l l l l cm = + + = olur.

rnek 3.13.ekil 3.37de grlen sistemde0em =

ve birim zgl

arl olduuna gre A1, A2 ve A3 kesit alanlarn hesaplaynz.zm. Kesit alan A1 olan blgede normal kuvvet 1 1 1N P L A= + olduu

iin 1 101

P L A

A

+= olur. Buradan A1bulunur.

0 1 1 1 0 1 1 1 1

0 1

PA P L A A L A P A

L

= + = =

Kesit alan A2 olan blgede normal kuvvet 2 1 1 2 2N P L A L A = + + olduu

iin 1 1 2 202

P L A L A

A

+ += olur. Buradan A2bulunur.

0 2 1 1 2 2A P L A L A = + +1 1

0 2 2 2 1 1 2

0 2

P L AA L A P L A A

L

+ = + =

1A in deeri burada yerine konulursa,

( )( )

1

0 1 0 1 11 12

0 2 0 2 0 2 0 1

PP L

L P P L P LP L AA

L L L L

+ ++

= = =

( )( )0

2

0 2 0 1

PA

L L

=

Kesit alan 3A olan blgede normal kuvvet 3 1 1 2 2 3 3N P L A L A L A = + + + olduu iin

1 1 2 2 3 30

3

P L A L A L A

A

+ + += olur. Buradan 3A bulunur.

0 3 1 1 2 2 3 3 0 3 3 3 1 1 2 2A P L A L A L A A L A P L A L A = + + + = + +

( )( )0

1 2

0 1 0 2 0 11 1 2 23

0 3 0 3

P PP L L

L L LP L A L AA

L L

+ + + +

= =

( )( ) ( )( )( )( )

0 2 0 1 1 0 2 2 03

0 3 0 2 0 1

P L L P L L P LA

L L L

+ +=

( )( )( )

20

3 0 3 0 2 0 1

PA

L L L

=

L2

A3

A2

P

A1 L1

L3

ekil 3.37


25/74

25

rnek 3.14. P kuvvet ile zemine aklan L uzunluklu birkazn yanal yzeyinin zerinde birim uzunlua

0( ) ( 1)z

aq z q e= eklinde srtnme kuvveti etki ediyor (ekil

3.38). Burada 0q ve a birer sabittir. Kazn tamam akld

anda P kuvvetini ve bu halde kazk boyunda meydana gelenksalmay hesaplaynz.zm. P kuvveti L uzunluklu kazn yanal yzeyininzerindeki toplam srtnme kuvvetine eittir.

0 0 0

0 0 0

( ) 1

LL L z z L

a a aP q z dz q e dz q ae z q ae L a

= = = =

z kesitindeki normal kuvvet;

( ) 0 0 00 0 0

( ) 1

zL L z

a a aN z q d q e d q ae q ae z a

= = = =

olur. Kazktaki boy deiimi,

( ) 220 00 0 0

22 22 20 0

2

2

12 2

LL L z z

a a

L L

a a

N z q q zl dz ae z a dz a e az

EA EA EA

q q aL L La e aL a e

EA EA a a

= = =

= =

rnek 3.15. ekil 3.39da grlen ubuk ift malzemeden yaplmtr. Malzemelerinelastiklik modlleri E1 ve E2; scaklkla genleme katsaylar 1 2ve ; kesit

alanlar 1 2veA A dir. ubuk T0 derecede imal edildiine gre evre scakl T olunca

oluacak gerilimleri bulunuz.zm: 1 ve 2 numaral malzemelerde scaklklaoluacak normal kuvvetler srasyla 1 2veN N olsun.

Boy deiimi sdan ve 1 2veN N normal kuvvetlerin

etkisi ile olacaktr. Scaklk Tye eitlenince her ikimalzemedeki boy deiimleri eit olacaktr.

( ) ( )1 21 0 2 01 1 2 2

N L N LT T L T T L

E A E A + = +

Bu denklem dzenlenirse

( ) ( )1 2

2 0 1 0

1 1 2 2

N L N LT T L T T LE A E A =

elde edilir. 1 2=-N N olduundan;

( )( )1 2 1 01 1 2 2

1 1N L T T L

E A E A

+ =

( )( )2 1 01

1 1 2 2

1 1

T TN

E A E A

=

+

elde edilir. te yandan;

1 2

L

ekil 3.39

z

P

0 1z

aq e

ekil 3.38


26/74

26

( )( )1 2 02 1

1 1 2 2

1 1

T TN N

E A E A

= =

+

olur. ubukta oluan gerilmeler,

( )( )2 1 0111

1

1 1 2 2

1 1T TN

AA

E A E A

= = +

ve ( )( )1 2 0222

2

1 1 2 2

1 1T TN

AA

E A E A

= = +

bulunur.

rnek 3.16. ekil 3.40deki gibi birgerilme hali verilmitir. Verilengerilimlere gre 30 eimli olanyzeylerdeki normal gerilimleri vekayma gerilimlerini bulunuz.zm: Grafik Yol. Normal gerilimlerverildiine gre gerilme ekseni zerinde

belirli bir lekte 1000 Kg/ cm alarak A

noktasn, 200 Kg/cm alarak da Bnoktasn elde ederiz. AB ap olmakzere Mohr dairesi izilir (ekil 3.41).1000 Kg/cm lk gerilmenin bulunduuyzle 30 yapan yzeye kar gelennokta, Adan 2x30=60 ters ynde giderek bulunur. Bulunan C noktasnn koordinatlargrafik olarak llr ve aranan gerilimler bulunur.

Prizmann teki yzeyi ise 1000Kg/cm lik gerilmeninbulunduu yzeyle30+90=120 yapmaktadr. Ohalde ona kar gelen noktay

bulmak iin A dan2x120=240 dnmelidir. Bu Ckarsna gelen D noktasdr. Cve D noktalarnda gerilimleri

bulmak iin lme yerinde ufakbir hesaplamada yaplabilir.

Mohr dairesinin merkezi(1000+200)/2=600 Kg/cm2dedir. Yarap ise (1000-200)/2=400 Kg/cm2 dr. Ohalde

2

2

2

2

600 400cos 60 600 400 0,5 800 /

400sin 60 400 0,866 346,4 /

600 400cos 60 600 0,5.400 400 /

400sin 60 400 0,866 346,4 /

o

o

o

o

OC Kg cm

CC Kg cm

OD Kg cm

DD Kg cm

= + = + =

= = =

= = =

= + = =

200 Kg /cm2

200 Kg /cm2

300

1000Kg/cm

2

1000Kg/cm

2

ekil 3.40

D

A0200

A

ekil 3.41

, Kg/cm2

C

1000M

,Kg/cm

2

C

D

346,4

-346,4

2400

2300


27/74

27

olur. Bylece 30 eimli olan yzeylerdeki normal gerilimleri (-346,4 Kg/cm2 ve 346,4Kg/cm2) ve kayma gerilimleri (400 Kg/cm2 ve 800 Kg/cm2) elde edilir. Sonular bir prizmazerinde gsterilmitir (ekil 3.42).

Analitik Yol.Normal gerilimlerin ve kayma gerilimlerin ifadelerini dikkate alrsak;

0 21 2 1 2

0 21 2

1000 200 1000 200cos 2 cos60 800 /

2 2 2 21000 200

sin 2 sin 60 346,4 /2 2

Kg cm

Kg cm

+ + = + = + =

= = =

Prizmann teki yzeyi ise bu yzeye dik olan yzey olduu iin 0 0 030 90 120 = + = dr.21000 200 1000 200 cos 240 400 /

2 2o Kg cm

+ = + =

21000 200sin 240 346,4 /2

o

Kg cm

= =

Sonular bir prizma zerinde gsterilmitir(ekil 3.42).

rnek 3.17. ekil 3. 43daki gibi birgerilme hali verilmitir. Verilen ykleregre 45 eimli duran bir prizmannyzeyindeki gerilimleri hesaplaynz.zm: Grafik Yol. Normalgerilimlerden biri 200 Kg/cm, dieri 40

Kg/cmdir. Bunlar lekle alnarak Mohrdairesi izilir. Normali x olan yzeye A noktas,normali y olan yzeye B noktas kar gelmektedir.

Normalix eksenine gre 45 dnm yzeyi bulmakiin, A noktasndan saat ibreleri ynnde 90dnmelidir. Bu bize C noktasn verir. Dier yzise ona dik olduundan C nin karsndaki Dnoktas elde edilir. Mohr dairesinin ap 240Kg/cm2, yarap ise 120 Kg/cm2 dir (ekil 3.44). Ohalde;

2 2

2 2

80 / ; 120 /

80 / ; 120 /

C C

D D

Kg cm Kg cm

Kg cm Kg cm

= =

= =

346,4 Kg /cm2

346,4 Kg /cm2

800 Kg /cm2

400 Kg /cm2

400 Kg /cm2

ekil 3.42

800 Kg /cm2

346,4 Kg /cm2

346,4 Kg /cm2

40 Kg /cm2

40 Kg /cm2

50

200Kg/cm

2

200Kg/cm

2

ekil 3.43

, Kg/cm2

D

40

BA-200

ekil 3.44C

M

,

Kg/cm

2

2450

0

120

-120


28/74

28

Analitik Yol. Normal gerilimlerin ve kayma gerilimlerin ifadelerini dikkate alrsak;

3 21 2

21 2 1 2

21 2

200 / , 40 /

200 40 200 40cos 2 cos90 80 /

2 2 2 2200 40sin 2 sin 90 120 /

2 2

o

c

o

c

Kg cm Kg cm

Kg cm

Kg cm

= =

+ + = + = + =

= = =

Sonrada

45 90 135o o o = + = alnarak, 2 270= olur. Bu deeri dikkate alrsak

2

2

200 40 200 40cos 270 80 /

2 2200 40

sin 270 120 /2

o

D

o

D

Kg cm

Kg cm

+ = + =

= =

olur. Sonular bir prizma zerinde ekil 3.45da gsterilmitir.

rnek 3.18. ekil 3.46da grleniki eksenli gerilme durumunda,verilen gerilmelerle 045 lik ayapan yzeylerde oluan normalgerilmeleri ve kayma gerilmelerini,a) analitik,

b) grafik yntemle belirleyiniz.zm: Analitik Yol. Normalgerilimlerin ve kayma gerilimlerinifadelerini dikkate alrsak;

0 21 2 1 2

0 21 2

1400 300 1400 300cos 2 cos90 850 /2 2 2 2

1400 300sin 2 sin 90 550 /

2 2

Kg cm

Kg cm

+ + = + = + =

= = =

Prizmann teki yzeyi ise bu yzeye dik olan yzey olduu iin 0 0 045 90 135 = + = dr.

21000 200 1000 200 cos 270 850 /2 2

o Kg cm+

= + =

21400 300 sin 270 550 /2

o Kg cm

= =

120Kg /cm2

80 Kg /cm2

120Kg /cm2

120 Kg /cm2

80Kg /cm2

ekil 3.45

80 Kg /cm2

80 K g/cm2

120 Kg /cm2

ekil 3.46

21400 /Kg cm21400 /Kg cm

2300 /Kg cm

2300 /Kg cm

045


29/74

29

Grafik Yol. Normal gerilimlerdenbiri 1400 Kg/cm, dieri 300Kg/cmdir. Mohr dairesinin ap;

21 2 1400 300 850 /2 2

Kg cm + +

= = ,

yarap ise21 2 1400 300 550 /

2 2Kg cm

= =

dir (Bunlar lekle alnarak Mohrdairesi izilir. Normali x olanyzeye A noktas, normali y olanyzeye B noktas kargelmektedir. Normali x ekseninegre 45 dnm yzeyi bulmakiin, A noktasndan saat ibreleri

ynnde 90

dnmelidir. Bu bize Cnoktasn verir. Dier yz ise ona dik olduundan C nin karsndaki D noktas elde edilir.(ekil 3.47). O halde;

2 2

2 2

850 / 550 /

850 / 550 /

C C

D D

Kg cm Kg cm

Kg cm Kg cm

= =

= =

Sonular bir prizma zerinde gsterilmitir(ekil 3.48).

rnek 3.19. ekil 3.49da verilmi gerilmedurumuna ait asal gerilimleri Mor dairesi

yardm

yla bulunuz.zm: Mohr dairesi zerindeki C ve D

noktalarnn koordinatlarbulunur: (150,600), ( 750,600)C D . Koordinat eksenleri izilir ve eit blmelerle normal vekayma gerilmeleri derecelendirilir. CDdoru paras Mohr dairesinin apnoluturur. CD dorusunun normalgerilme eksenini kestii noktann (M)dairenin merkezi olduunu kabullenerekC ve D noktalarndan gemesi kouluylaMohr dairesi izilir (ekil 3.50) .

ekilden; 2750 /R Kg cm= ,2

1 450 /OA Kg cm = = ,2

2 1050 /OB Kg cm = = olur. Normal

gerilmelerle oluturulan ann iki kataadaki gibi bulunur:

0600 4tan 2 2 0,927 53,13450 3

NCrad

MN = = = = =

Bylece iki eksenli gerilme durumu ekil 3.51deki gibi olur.

550D

1400300

C

B A, Kg/cm2

40

ekil 3.47

,

Kg/cm

2

2450

0

2700

550

2150 /Kg cm

2750 /Kg cm

2750 /Kg cm

2150 /Kg cm

2600 /Kg cm

2600 /Kg cm

ekil 3.49

2850 /Kg cm

2

850 /Kg cm

2550 /Kg cm

2

850 /Kg cm

2850 /Kg cm

2550 /Kg cm

ekil 3.48


30/74

30

IV. KESME ETKS

rnek 4.1.ekil 4.5de verilen birleimde ez = 100 Kg/cm, em =10 Kg/cm olduuna gre

birleimin tayabilecei P kuvvetini bulunuz.

zm: Ezilmeye alan paralar st ksm dnlrse ed l ve ih l kesit paralardr.

kisinin alanlar eit olduu iinPkuvvetinin yarsn biri, yarsn dieri karlar. Dolaysylaezilmeye gre tanabilecekPkuvveti

1 2 2 5 25 2 125 100 25000ez ezP A Kg = = = = olur.

Kesmeye gre hesap yaplrsa kesilmeye allan ksmlar be l ve fi l kesitleridir. be l vefi l alanlar eit olduuna gre

2 2 2 50 25 10 25000emP A Kg= = = ekilde hesaplanr. Dolaysyla birleim 25 Tyk tayabilir.

D

M

,

Kg/cm

2

300

C

B A, Kg/cm2

ekil 3.50

2

M O N

2450 /Kg cm

2450 /Kg cm

026,6

ekil 3.51

1050Kg/cm

2

1050Kg/cm

2

l

P

P

A'

5 cm

1 m 0,5 m 1 m 0,5 m 1 m

a b e f i k

c d g h

A

l=25 cm

ekil 4.5

A-A' kesiti


31/74

31

rnek 4.2.ekil 4.6da gsterilen ekte a, b, c boyutlarn hesaplaynz.2

100em ek

Kg

cm = ,

280

em bas

Kg

cm = ,

29

em

Kg

cm =

zm: ekmede en zayf kesit ( )1

2ekA a c a= , basnta ise basA c a= dir. O halde bu

kesitlerde ortaya kan gerilmeler emniyet gerilmelerinden az olmaldr.

4000 ( ) 801

( )2

ek emek emek emek

ek

P a c aA

a c a

400080 50bas embas embas

bas

Pac

A ac

fadelerin oran alnrsa;( ) 80 13

50 50 8050 5

a c a ca c c a

ac

= = =

21350 50 4,385

ac c c cm= = =

13 13 4,3811,39

5 5

ca cm

= = =

b boyu kesmeye gre hesaplanabilir. Kesilen alan kesA ba= dr. Bu kesitlerde ortaya kankesme gerilmesi kesme emniyet gerilmelerinden dk olmaldr.

40009 444, 44kes em em

kes

Pba

A ba

444,4439,02

11,39b cm= =

rnek 4.3. ekil 4.7deki bulonda 2 ,ez em em em = = olduuna gre bulonun ekme, ezilme ve kesilme tehlikesine

gre eit mukavemetli olmas iind

Dve

h

doran ne olmaldr?

zm: Bulonun ekme etkisi ile zorlanan kesiti2

4ek

dA

= ,

kesilmeye alan kesiti kesA dh= ve ezilme alan ise

( )2 2

4ez

D dA

= dr. Bulonun ekmeye gre tayaca kuvvet

2

14

ek em emdP A = = , kesilmeden tayabilecei kuvvet

a

a4 T 4 Ta

bb

c kesit

ekil 4.6

Dh

P

d

ekil 4.7


32/74

32

2 kes em emP A dh = = ve ezilmeksizin tayabilecei kuvvet ise( )2 2

34

ez ez ez

D dP A

= = olarak

hesaplanr. Bulonun ekme, ezilme ve kesilme tehlikesine gre eit mukavemetli olmaskoulunu kullanrsak,

2

1 2 44 em em em emd

P P dh d h

= = =

( )( )

2 222 2 2

1 34 4

em ez em ez

D ddP P d D d

= = =

2 veez em em em = = olduu dikkate alnrsa 4d h= ve

( )2 2 2 2 22 3 2 / 2 / 3d D d d D d D= = = bulunur. Son orantda 4d h= olduu dikkatealnrsa

/ 2 / 3 4 / 2 / 3 / 1 / 24d D h D h D= = = elde edilir.

rnek 4.4. Daire kesitli betonarme bir kolon N=200Tbir basn kuvveti etkisindedir (ekil 4.8). ap 50cm olarak verilen bu kolonun ykn zemineaktaracak olan temel plandaki boyutlar3 3m m dir.a) Kolonun temel plan delmemesi iin gvenlekullanlabilecek temel pla kalnl ne kadar

olmaldr (2

8emKg

cm = ) ?

b) Temel pla altnda oluan ve dzgn yayl

olduu kabul edilen zemin gerilmesini hesaplaynz.Betonarmenin zgl arl

32400

Kg

m = dr.

zm: a) Kolonun temel plan delmesimuhtemel olan kesitin alan 2 r t d t = olduundan

basn kuvvetinin maksimum deeri emN d = den byk olmamaldr. Buradan kolonun

temel plan delmemesi iin gvenle kullanlabilecek temel pla kalnl bulunur:200000

159,24 1603,14 50 8em

Nt cm cm

d = = = =

b) Temel plan arl,

3 3 1,6 2400 34600P Kg= = olur. Zemine aktarlan toplam yk,

200000 34600 200000 234600N P Kg= + = + =

olduu iin zeminde oluan gerilme,

2

2346002,6

300 300zemN Kg

A cm = = =

rnek 4.5.ekil 4.9da verilen at makasnn

ahabn ezilme emniyet gerilmesi2

100Kg

cm, kayma emniyet gerilmesi de

220

Kg

cmolarak

verilmektedir. P=15 Tolan bir kuvveti gvenlikle ta

yabilmek iin e ve h boyutlar

en az nekadar olmaldr? Levhann eni b=12 cm ve tg =3/4 olarak verilmitir.

t

3 m

3 m

=200 T

d=50

ekil 4.8

hP

h

hh

he

hH

hekil 4.9


33/74

33

zm: P kuvvetinin kiri ekseni dorultusundaki bileeni tehlike yaratacaktr. Bu bileen,4

cos 15 125

H P T T= = =

dr. Burada2

1 4cos cos

51 tg

= =

+

olduu dikkate alnmtr. Ezilmeye alan kesit

h b kesitidir. Dolaysyla12000

1012 100ez ez

HH hb h cm

b

=

Kesilmeye alan ksm ise eb yzeyidir. Bu dnce izlenereke uzunluu aadaki gibihesaplanr:

1200050

12 20em em

HH eb e cm

b

= =

rnek 4.6.ekil 4.10da gsterilen P yk ile

ykl dairesel bir plakta d=10 cm apnda birdelik almak istenmektedir. Balkta

22000ez

Kg

cm = ve plakta

2600em

Kg

cm =

olduuna gre tatbik edilmesi gereken Pkuvvetini bulunuz.zm: Baln ezilmeden tayabileceikuvvet

2

4 ezd

P

olur. Saysal deerler yerine konduunda23,14 (10)2000 157000 157

4P Kg T

= = =

olarak bulunur. Plan delinmesi iin gerekli kuvvet3,14 10 1 600 18840 18,84emP d b Kg T = = =

elde edilir. Bu kuvvet 157 Tdan kk olduundan, balk ezilmeden plakta delik alabilir.

max 18,84P T= olur.

rnek 4.7. 25 T kesme kuvvetinin etkidii ekil 4.11deki ekte kaynak dikiinin lk boyunu

hesaplaynz. Kaynakta emniyet gerilmesi2

900 ,k emKg

cm = 0,7 ,a cm= 0,7d cm= dr.

zm: Kesilen alan 2A d l= olduundan

b

P

ekil 4.10

25 TA

A'

ld

a

A-A' kesiti

ekil 4.11


34/74

34

2k em k emP P

A d l

olduu iin, buradan kaynak dikiinin lboyunu hesaplarz:25000

19,8

2 2 0,7 900k em

Pl cm

d

= =

Kaynak dikiinin gerek boyu artnameye gre;2 19,8 2 0,7 21,2

kl l a cm= + = + = olur.

rnek 4.8. ekil 4.12deki sistemle P yk tayan bir ubuk bir yapya balanmtr.Hesaplar bulonun levhay kesmeyecek ekilde yapldnda, (a) sistemin tayabileceimaksimum yk nedir? (b) Bu P yk altnda a mesafesinin minimum deeri ne olur? Bulonda

emniyet kayma gerilmesi 69 10em Kg = , ubukta 2 21400 , 1050 ,em emKg Kg

cm cm

= =

22800ez

Kg

cm = dr. 5 , 2 , 10b cm t cm d mm= = = alnz.

zm:(a)ncelenecek hususlarunlardr:ubuun kopmaya kar tayabilecei yk:

( ) (5 1) 2 1400 11200emP b d t Kg = = ubuun ezilmeye kar tayabilecei yk:

1 2 2800 5600ezP d t Kg = = Bulon xx ve yy yzlerinde kesilme tehlikesiyle kar karya olduuna gre, ift tesirli

olarak tayabilecei yk

a

a

t

P

Bulon

ubuk

P

'

'

b

ekil 4.12


35/74

35

2 22 12 2 900 1413

4 4emd

P Kg

= =

dr. O halde maksimum yk 1413P Kg= olurb) a mesafesi bulonun levhay kesmeme artndan bulunabilir.

2( ) 2

14130,0336

2 2 1050

em

em

PP a t a t

a a cm

bulunur.

rnek 4.9. ekil 4.13,adeki tek tesirli perinekinde 1 10 ,t mm= 2 8 ,t mm= 16 ,d mm=

6P T= ,2

1000 ,emKg

cm = olduuna gre gerekli

perin saysn bulunuz. Levhann geniliinihesaplaynz ve ekin tertibini yapnz.zm. Bir perinin kesmeye ve ezilmeye gretayabilecei 1Q ve 2Q kuvvetleri hesaplayalm.

Kesmeye gre kesit alan 2 / 4d olduu iintayabilecei yk,

( )22

1

3,14 1,61000 2010

4 4emd

Q Kg

= = =

olur. Ezilmeye alan mind t dir. O halde ezilmeye

gre tayabilecei yk;

( ) ( )2 min 1 2 1,6 1 0,8 1000 2880ez ezQ d t d t t Kg = = + = + =olur. 1 2Q Q< olduundan tek tesirli ekte bir perinin tayabilecei maksimum yk

1 2010Q Q Kg = = alnr. 6Tluk yk tayacak perin says6000

32010

Pn

Q= = olur. Levha

genilii, perinler aras 3d ve son perinin kenara uzakl1,5d alnarak bulunur:2 1,5 3 3 9 9 1,6 14,4b d d d d cm= + + = = =

Ekin tertibi ekil 4.13,bde gsterilmitir.

4.10.ekil 4.14,ade gsterilen tek tesirli (n=2)birleiminin tayabilecei maksimum P yk nekadardr? d = 21 mm (perin ap), b=15 cm(ana levhann genilii), 1,5t cm= (ana

levhann kalnl),2

1400emKg

cm = ,

2t 1050em

Kg

cm= , ez = 2400 2

Kg

cmdur.

zm: Zayflatlm kesitte ana levhann tayabilecei kuvvet;( ) ( )2 15 2 2,1 1,5 1400 22680emP b d t Kg = =

Kesmeye gre bir perinin tayabilecei yk;

P

2,5d2,5d

d

Pt2

t1

14,4cm

1,5d

3d

3d

1,5d

ekil 4.13

a)

b)

ekil 4.14

2P

t 2P

d

P


36/74

36

( )22

2

3,14 2,12 2 1050 7270

4 4em

dP Kg

= = =

olur. Perin says iki olduuna iin kesmeye gre perinlerin tayabilecei yk,

2 22 2 7270 14540P P Kg Kg= = =

Ezilmeye gre bir perinin tayabilecei yk,

3 2,1 1, 5 2400 7560ezP d t Kg = = = olarak hesaplandna gre iki perin iin tanabilecek yk,

3 3 2 7560 15120P P Kg= = =

olur. Bu kuvvetlerden en k 2 14540P Kg= olduu iin tek tesirli birlemenin

tayabilecei maksimum kuvvet max 14540 14,4P Kg T= = olur.

rnek 4.11. ekil 4.15deki ift tesirlibirleiminde ana levhann kalnl

10 ,t mm= perin ap 21d mm= olduuna gre birleimin tayabileceimaksimum P kuvvetini bulunuz.

20b cm= ,2

1400emKg

cm = ,

21000em

Kg

cm = ve

22800ez

Kg

cm = dr.

zm: Ana levhann tayabileceikesme kuvveti 1-1 kesitinde

1

1

( )

(20 2,1) 1 1400 250600 250,6emP b d t

P Kg T

= =

2-2 kesitinden levhann yrtlmas iin perinin ezilmesi gerekir. Bu sebeple;2 ( 2 ) (20 2 2,1) 10 1400 2,1 1 2800 28em ezP b d t d t T = + = + =

Bir perinin kesilmeye gre tayabilecei kuvvet2 2

3

3,14 (2,1)2 2 1000 6924 6,924

4 4emd

P Kg T

= = =

olarak bulunur. Bir perinin ezilmeye gretayabilecei kuvvet,

4 2,1 1 1800 5880 5,88ezP d a Kg T = = = perinin tayabilecei kuvvet ise:

4 43 17640 17,64P P Kg T= = = Bu durumda birleimin tayabileceikuvvet:

max 17,64P T

rnek 4.12. ekil 4.16daki ekintayabilecei en byk ekme kuvvetinihesaplaynz. Perinlerin aplar 17d mm= dir. Levhada ve perinlerde emniyet

gerilmeleri 21400em Kgcm

= , 21400em Kgcm =

PP

P P

2 1

2' 1'

b

ekil 4.15

21

PP

PP

8 mm10 mm

8 mm

1 2

10cm

ekil 4.16


37/74

37

dir. Perinlerin ezilme gerilmesini2

2800ez emKg

cm = alnz.

zm: Bir perinin tayabilecei yk kesmeye ve ezilmeye gre belirlenebilir.ift tesirli perin eklerinde kesmeye gre bir perinin tayabilecei yk;

22

13,14 1,7 14002 6352

4 2 2emddQ Kg

= = = = Ezilmeye gre bir perinin tayabilecei

yk;

2 min 1, 7 1 2800 4760ezQ d t Kg = = =

olur. 1 2Q Q> olduundan ezilme esas alnacaktr.

3 perinin tayabilecei yk 1 3 4760 14280P Kg= = olarak bulunur. Ana levhann en zayfkesiti 1 1 kesitidir. Her ne kadar 2 2 kesitinde levha iki perin delii kadar zayflam isede buradan yrtlma olmas iin nce 1 1 kesitinin mukavemeti sona ermelidir. O halde;1 1 kesitinde:

( ) ( )2 10 1,7 1 1400 11620emP b d t kg= = = 2 2 kesitinde

( ) ( )3 22 10 2 1,7 1 1400 4760 14000emP b d t Q kg= + = + =

Ek levhalar bakmndan en zayf kesit 2 2 kesitidir.( ) ( ) ( )4 2 10 2 1,7 2 0,8 1400 14784emP b d t kg= = =

Tanabilecek 1 2 3 4, , veP P P P yklerinden en k 2P olduundan tanabilecek maksimum

yk 11620P Kg= olur.

rnek 4.13.ekil 4.17,ade gsterilen

genilii b=21 cm ve kalnl12t mm= olan iki levha u ucagetirilerek birletirilecektir.

1,6 ,ez em = 0,8em em = olduunagre;a) Perin saysn bulunuz ve tertibigsteriniz.

b) Ek levhasn boyutlandrnz.zm: Perin saysn bulmak iin

perin apn bulmak gerekmektedir.Bunun iin bir perinde ezilme vekesme tehlikeleri eit alnr.

2 2 2 1,2 1,62 1,529

4 3,14ez em

ez em

em em

tddt d cm

= = = =

Buradan perinin ap seilir 1,6 16d cm mm= = .Perin saysn bulmak iin ezilmee kar mukavemet esas alnacaktr: 1 ezP dt= .

En zayf kesitte perin olduu kabul edilirse ( )max 3 emP b d t= olur. yle ise perin says,

( ) ( )max1

3 3 21 3 1,6 16

1,6 1,6em em

ez ez

b d t b d Pn

P dt d

= = = =

olur. O halde birlemede iki sra perin olacaktr. Perinlerin tertibi ekil 4.17,bdegsterilmitir.

tP

P Pb

P

b)

a)

2d3d2d

l

ekil 4.17


38/74

38

b) Ek levhalarn hesabnda en zayf kesitin P kuvvetini tayabilmesi esas alnacaktr.( ) ( )3 3 2em emP b d t b d t = =

1,20,6 6

2 2

t cmt cm mm = = = =

Ek levhann boyu,2 3 2 7 7 1,6 11,2l d d d d cm cm= + + = = =

rnek 4.14.ekil 4.18deki tek tesirli perin ekinde 1, 2, 3, 4 no.lu perinlere gelen kesmekuvvetlerini hesaplaynz. Perin ap 24 mm dir. Ezilme ve yrtlma tehlikesi yoktur. Kayma

emniyet gerilmesi 1200

Kg

cmolduuna gre bu ekin yk tar m?

zm: Perin deliklerinin arlk merkezi 0 noktasdr. P kuvvetinin bu noktaya tarsak0deki yatay ve dey kuvvetler ve moment

0 01 330 6 3 cos30 6 5,22 2

24 4 112,8 (Saat akrebi ynnde)

x y

y x

P P sin T P P T

M P P T cm

= = = = =

= =

Perin delikleri eit olduu iin her perine xP ve yP den dolay gelen kuvvetler

1 2 3 4

1 2 3 4

4 0,75

4 1,3x x x x x

y y y y y

P P P P P T

P P P P P T

= = = = =

= = = = =

, ,x yP P Mden dolay meydana gelen kuvvetler aadaki ekil 4.19de gsterilmitir.

Perinlerde oluan momentten dolay meydana gelen kayma gerilimleri aadaki biimdehesaplanr:

2

1

mi in

i ii

Mr

A r

=

=

24 cm

4 cm

4 cm 2

8 cm

ekil 4.18

1

3

4

*0

8 cm

y

P=6 T

300

4 cm


39/74

39

Burada ir- .i perin deliinin merkezinin merkezden uzakl, iA - .i perin deliinin alandr.

21 12 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

112,8 4,2312 12 /

12 4 4 12 320mM M

r T cmA r A r A r A r A A A A A A

= = = =+ + + + + +

22 22 2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 3 3 4 4

112,8 1,414 4 / ;

12 4 4 12 320m

M Mr T cm

A r A r A r A r A A A A A

= = = =

+ + + + + + 3 2 4 1,m m m m = =

Kuvvetler ise;

1 4 1

2 3 2

4,23

1,41m m m

m m m

P P A T

P P A T

= = =

= = =

olarak bulunur.

( )

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

2 23 3 3 3

2 24 4 4 4

( ) 5,147

( ) 2,521

1,458

( ) 3,715

x m y

x m y

x m y

x m y

P P P P T

P P P P T

P P P P T

P P P P T

= + + =

= + + =

= + =

= + =

En fazla zorlanan 1 numaralperindir. Bu perinde meydanagelen kayma gerilmesi

211 2

51471137,7 /

1,2

PKg cm

A

= = =

2 21137,7 / 1200 /Kg cm Kg cm< olduundan birleim bu P ykn tutar.

V. EYLEMSZLK MOMENTLER

rnek 5.1. Bir dikdrtgenin arlk merkezinden geen eksenlere gre 0, ,x yI I I eylemsizlik

momentlerini hesaplaynz. Eylemsizlik yaraplarn bulunuz.zm: Ixi hesaplamak iin ayny uzaklnda olan alanelemanlarndan oluan yatay bir erit seelim (ekil 5.10).

bdydA = olduundan/ 2

2 2 3

/ 2

1

12

h

x x

A h

I y dA I y bdy bh

+

= = =

elde edilir.yI yi hesaplamak iin b ile hyi deitirmek yeter:

/ 2 32 2

/ 2 12

b

y y

b

hbI x dA I hx dx

+

= = =

Polar eylemsizlik momenti (6.3) kullanlarak bulunur:3 3

2 20 ( )12 12 12x y

bh hb AI I I h b= + = + = +

Eylemsizlik yaraplar ise;2 2

00

2 3 2 3 2 3

yxx y

II Ih b b hi i i

A A A

+= = = = = =

x dx

x

y

y

dy

h

b

ekil 5.10

M Px

P1y P1mP1x

P2y P2mP2x

P3y P3mP3x

P4y P4mP4x

Py

ekil 4.19

12 cm

12 cm


40/74

40

olarak bulunur.

rnek 5.2. Bir genin tabanndan geen eksene gre eylemsizlik ve statik momentlerinihesaplaynz.zm : Tabana paralel birerit alrsak dA x dy= olur.

te yandanh y h y

bb h h

= =

olduundan

2 2 2 3

0 0 0

3 4 3

3 4 12

h h h

x

A

h y b bI y dA y b dy hy dy y dy

h h h

bh b h bh

h

= = = =

= =

elde edilir.

Bu genin tabanndan geen eksene gre statik momentini2 2 2

2

0 0 0 2 3 6

h h h

x

A

h y b b bh bh bhS ydA y b dy hydy y dy

h h h

= = = = =

olur.

rnek 5.3. Bir genin arlk merkezinden geen ve tabana paralel eksene gre eylemsizlikmomentini bulunuz.zm: genin tabanna gre eylemsizlik momentirnek 5.2 de bulunmutu:

3

12xbhI =

Paralel eksen teoremini kullanacaz. Baka bireksenden arlk merkezine doru geldiinizden

2

2

x k m x

k m G G x x

I I Ad

I I I I Ad

= +

= =

yazlacaktr. dx=h/3 olduundan;23 3

12 2 3 36xbh bh h bh

I = =

elde edilir.Benzer ilemlerle dikdrtgenin arlk merkezinden geen eksene paralel ve tabandan geeneksene gre eylemsizlik momentleri de bulunabilir:

3 3

36 36x ybh b h

I I= =

rnek 5.4. Bir dairenin apna gre eylemsizlik momentinive merkezine gre kutupsal eylemsizlik momentini bulunuz.Eylemsizlik yaraplarn hesaplaynz.zm: nce kutupsal eylemsizlik momentini hesaplayalm.Bunun iin 0dan ayn r uzaklnda bulunan elemanlarnmeydana getirdii halka eleman alalm. 2dA r dr =

dy

h-y

h

b

ekil 5.11

x

h/3

h

b

ekil 5.12

x0G

R

r

dr

x

y

ekil 5.13

0


41/74

41

olduundan kutupsal eylemsizlik momentini iin

42 3

0

0

22

R

A

RI r dA r dr

= = =

elde edilir.xI i bulmak iin simetri nedeniyle x yI I= olduundan (4.3)den yararlanalm:

4 4

0 0 0

12

2 4 2x y x xR R

I I I I I I I

= + = = = =

Eylemsizlik yaraplar;4

00 2

4

2

2 2

4 2x

x y

I R Ri

A R

I R Ri i

A R

= = =

= = = =

bulunur.

Burada bulunan sonular halka iin de kullanabiliriz(ekil 5.14). Halkann eylemsizlik momenti R2 yarapldaire levhann eylemsizlik momentinden R1 yarapldaire levhann eylemsizlik momenti kartlarak bulunur:

( )4 44 4 2 12 14 4 4x

R RR RI

= =

Bu ifadeden ince kalnlkl ( 2R d ) daire halkasnn

merkezinden geen eylemsizlik momenti de

hesaplanabilir (ekil 5.15). Sonuncu ifadenin eklinideitirirsek;

( )( )( )2 22 1 2 1 2 14x

R R R R R RI

+ +=

Burada 2 1 0R R R ve 2 1R R d = olduu gz nnealndnda

( ) ( )20 0 30

2 2

4xR d R

I R d

= =

elde edilir.

rnek 5. 5. ekil 5.16deki T kesitinin, arlkmerkezinden geen eksenlere gre eylemsizlikmomentlerini hesaplaynz.zm: Alan iki dikdrtgene ayralm. Arlkmerkezinin koordinatlar

1 1 2 2

1 2

2 12 6 9 2 13 144 2349

2 12 9 2 24 18

y A y Ay cm

A A

+ + += = = =

+ + +

4,5x cm= olarak bulunur.

Eylemsizlik momentleri, paralel eksen teoremindenyararlanarakyle hesaplanr:

R1

R2

x

y

ekil 5.14

0

d

R0

x

y

ekil 5.15

0

ax

ay

4 4,5 cm

9 cm

G

G2

2 cm

A2 cm G1

9 cm

ekil 5.16

4 cm

12 cm


42/74

42

3 32 2 4

3 34

2 12 9 22 12 3 9 2 4 798

12 12

12 2 2 98 121,5 129,5

12 12

x

y

I cm

I cm

= + + + =

= + = + =

rnek 5. 6. ekil 5.17deki kesitin arlk merkezinden geen eksenlere gre eylemsizlikmomentini hesaplaynz.zm: Kesitin arlk merkezinin tabandan uzakl

16 24 12 8 12 913

16 24 8 12

16 : 2 8

y cm

x cm

= =

= =

Eylemsizlik momentleri:3 3

2 2

4

16 24 8.1216 24 1 8 12 4

12 12

18816 2688 16128

xI

cm

= + + =

= =

3 3424 16 12 8 8192 512 7680

12 12yI cm

= = =

rnek 5.7.ekil 5.18deki birleik kiri, NPI20 profilinstne bir NPU16 konarak tekil edilmitir. Bileikkesitin arlk merkezinden geen eksenlere greeylemsizlik momentlerini ve eylemsizlik yaraplarnhesaplaynz.zm: Profil tablolarndan u deerler alnr:

2 4 4

2 4 4

20 : 33,5 , 2140 , 117

16 : 24 , 925 , 85,3

1,84 , 0,75

x y

x y

I A cm I cm I cm

U A cm I cm I cm

e cm d cm

= = =

= = =

= =

Bileik kesitin arlk merkezinin tabandan uzakl33,5 10 24,0 18,91 335 454

13,733,5 24,0 57,5

y cm + +

= = =+

.Paralel eksen teoremi kullanlarak2 2

4

2140 33,5 (13, 7 10) 85,3 24, 0 (18,91 13, 7)

2140 459 85 651 3335

x

x

I

I cm

= + + +

= + + + =

4117 925 1042y

I cm= + =

olarak elde edilir.Eylemsizlik yaraplar

3335 10427,62 4, 26

57,5 57,5x yi cm i cm= = = =

olarak bulunur.

rnek 5.8. ekil 5.19deki kesitin asal eylemsizlikeksenlerini ve asal eylemsizlik momentlerini bulunuz.zm: nce arlk merkezini bulalm:

4 cm

8 cm

3 cm

4 cm

16 cm

24 cm

12 cm

ekil 5.17

9 cm

G

eU16

I20

ekil 5.18

d

18,91cm

13,7cm

5,11cm

20cm

aG

12 cm

Aa)

20 cm

2 cm

2 cm

ax

ay

Av

0 aGax

ay

u

b)

ekil5.19


43/74

43

12 2 6 18 2 13

12 2 18 212 2 1 18 2 11

712 2 18 2

x cm

y cm

+ = =

+ +

= = +

Arlk merkezinden geen eksenlere gre birinci dikdrtgenin arlk merkezininkoordinatlar (3, -6), ininci dikdrtgenin arlk merkezinin koordinatlar ise (-2, 4) olur.Arlk merkezinden geen eksenlere gre eylemsizlik momentleri ve arpm eylemsizlikmomenti paralel eksek teoremi kullanarakyle bulunur:

( )( ) ( ) ( )

3 32 2 4

3 32 2 4

4

12 2 18 212 2 6 18 2 4 2420

12 12

2 12 18 212 2 3 18 2 2 660

12 12

0 12 2 3 6 0 18 2 2 4 720

x

y

xy

I cm

I cm

I cm

= + + + =

= + + + =

= + + + + + =

xyI nin hesabndaki ilk terim, alttaki dikdrtgenin kendi arlk merkezinden geen eksene

gre eylemsizlik momentidir, simetri nedeniyle sfrdr. kincisi paralel eksen teoremininsonucu olup [(5.15) forml] iaretler dikkate alnmtr.Asal eylemsizlik eksenlerinin yapt a (5.19) formlne gre

( ) 00 0

0 00 0

2 2 7202 0,818 2 39,3

2420 660

19,65 90 19,65 109,65

xy

x y

Itg

I I

= = = = +

= = + =

olur. Eksenler yandaki ekilde gsterilmitir. Asal eylemsizlik momentleri ise (5.20)denhesaplanr.

( )

2 2

2 2u v

22 4

u

2 2 2 2

2420 660 2420 660720 1540 1140 2680

2 2

x y x y x y x y

xy xy

I I I I I I I I

I I I I

I cm

+ + = + + = +

+ = + + = + =

( )2

2 4v

2420 660 2420 660720 1540 1140 400

2 2I cm

+ = + + = =

Bu deerler, (5.17) formlnde yerine yukarda

hesaplanan 0 deerleri konularak da bulunabilir.

Bir rnek olarak0

2 39,3 = iin uI yuhesaplayalm.0 0

u

4 4u

2420 660 2420 660cos39,3 ( 720)sin39,3

2 2

1540 880 0,774 720 0,633 2677 2680

I

I cm cm

+ = +

= + + = Probleme ait Mohr dairesi ayrca ekil 5.20 deizilmitir. stenirse sonular buradan grafik yolla

bulunabilir.

02680 I400

xyI

660, 720

39,30

2420, 720

ekil 5.20


44/74

44

rnek 5.9. ki U20lik profil ekil 5.21deki gibi birletirilerek bir bileik kesit meydanagetirilmitir. Bileik kesitin arlk merkezine gre asal eylemsizlik eksenlerini vemomentlerini bulunuz.

zm: Bir U20ye ait deerler profil tablolarndan u ekilde bulunur:

2 4 432,2 1910 148 2,01x y

A cm I cm I cm e cm= = = =

Buna gre bileik kesitin arlk merkezinin yeri yle bulunur:

10 32, 2 22, 01 32, 216

32, 2 32, 2

10 32, 2 17, 99 32, 214

32, 2 32, 2

x cm

y cm

+ = =

+

+ = =

+

Gden geen eksenlere gre;2 2

4

1910 32, 2 (14, 0 10) 148 32, 2 (17,99 14,0)

1910 515 148 513 3086

x

x

I

I cm

= + + +

= + + + =

2 2

4

4

148 32, 2 (22, 01 16, 0) 1910 32, 2.(16, 0 10)

148 1163 1910 1159 4380

32, 2 (14, 0 10) (22, 01 16) 32, 2 (17, 99 14, 0) (16, 0 10)

774 771 1545

y

y

xy

xy

I

I cm

I

I cm

= + + +

= + + + =

= +

= + =

olarak bulunur. Asal eylemsizlik ekseninin yapt a;

e

10 cm

U20 U20

G

ekil 5.21

10 cm

17,99 cm

22,01cm

v

u

14 cm

16 cm


45/74

45

00 0

2 15452 2,388 2 67,3

4380 3086tg

= = =

0 0 0 00 033,6 ve 33,6 90 56,4 = = + =

olur. Asal eylemsizlik momentleri de;2

2 4u

2

2 4v

3086 4380 3086 4380 1545 54082 2

3086 4380 3086 43801545 2058

2 2

I cm

I cm

+ = + + =

+ = + =

olarak bulunur. Asal eksenlerekil 5.21de gsterilmitir.

rnek 5.10.ekil 5.22deki kesitin arlk merkezindengeen xy ve uv eksen takmlarna gre eylemsizlikmomentlerini hesaplaynz.

zm: nce kesitin a

rl

k merkezini hesaplayal

m. xeksenine gre simetri olduu iin arlk merkezi xekseninin zerindedir.

2 15 7,5 22 6 1 2 15 7,54,48

2.15 2 26 2 152 15 1 2 26 15 2 15 29

152 15 2 26 2 15

x cm

y cm

+ + = =

+ + + +

= = + +

imdi eylemsizlik momentlerini hesaplayalm:3 3

2 415 2 2 262 14 15 2 14709,3312 12

xI cm

= + + =

3 32 2 426 2 2.153,48 2. 6 2 15 2 3,02 1756,79

12 12yI cm

= + + + =

x simetri ekseni olduuna gre 0xyI = olur. Asal eylemsizlik momentleri iin

( ) ( )u,v u,v4 4

u v

1 1cos 2 sin 2 ; 8233,06 3238,135

2 2

11471,12 ; 4994,92

x y x y xyI I I I I I I

I cm I cm

= + =

= =

4uv

1 3( )sin 2 cos 2 (14709,33 1756,79) 5608,45

2 2x x xyI I I I cm = + = =

elde edilir.

rnek 5.11. ekil 5.23deki kesitte x eksenine gre eylemsizlikmomentini hesaplaynz. 7 , 3a cm r cm= = zm: Karenin eksenine gre eylemsizlik momenti;

3 4

1 12 12xa a a

I

= = , daireninki ise3

2 12xr

I

= dir. Boluun eylemsizlik

momenti negatif olduundan kesitin eksenine gre eylemsizlikmomenti;

4 4 4 44

1

7 3,14 3179

12 12 12 12x

a rI cm

= = =

ekil 5.22

300

2 cm

2 cm

2 cm

30 cm

x

y

15cm

v

u

a

a

ekil 5.23


46/74

46

bulunur. Bu yntem koordinat eksenleri simetri ekseni olduundauygulanr.

rnek 5.12. ekil 5.24de gsterilen kesitin arlk merkezindengeen ve y eksenlerine gre eylemsizlik momentlerin

hesaplaynz. Uzunluklar cm cinsinden verilmitir.zm: Kesit kesit lleri 220 4cm ve 226 4cm olan ikidrtgenden ibarettir ve y eksenine gre simetriktir. Arlkmerkezinin koordinatlar;

10x cm=

1 1 2 2

1 2

20 4 2 26 4 1710,5

20 4 26 4

A y A yy cm

A A

+ + = = =

+ +

olur. Paralel eksenler teoremine gre eksenlerine greeylemsizlik momenti;

( ) ( )

3 32 2

4

20 4 4 2620 4 10,5 2 4 26 17 10,512 12

107 5780 5859 4394 16140

xI

cm

= + + + = + + + =

3 344 20 26 4 2667 139 2806

12 12yI cm

= + = + =

rnek 5.13. ekil 15.25de gsterilen kesitin arlkmerkezinden geen a) x ve y eksenlerine gre eylemsizlikmomentlerini; b) Asal eksenleri ve asal eylemsizlikmomentlerini hesaplaynz. Uzunluklar cm cinsinden

verilmitir.zm: nce arlk merkezinin koordinatlarn bulunur. Bu kesit lleri 218 3cm ve29 3cm olan iki drtgenden ibarettir.

Documents

Mukavemet Sorulari Vahid Ferecov