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MUROS DE CONTENCION

Por : Dr. Alberto Ordoñez C.* Como lo indica el nombre, los muros de contención son elementos estructurales diseñados para contener algo; ese algo es un material que, sin la existencia del muro, tomaría un a forma diferente a la fijada por el contorno del muro para encontrar su equilibrio estable. Tal es el caso de la arena que se amontona libremente, la cual forma un ángulo determinado con la horizontal (o la vertical, según la definición) al quedar en equilibrio, ese ángulo se denomina generalmente “ángulo de reposo” o “talud natural” (∅) o, por extensión, “ángulo de fricción interna”; estando todo el montón de esa arena en equilibrio, cualquier grano en la sección -mn- también lo estará por recibir igual presión de ambos lados; pero si quitamos la parte de la izquierda, la arena tenderá a adquirir su ángulo de reposo y por lo tanto la parte de la derecha ejercerá una presión sobre la sección mn, presión que deberá ser resistida por el muro de contención.

* Ex - Docente del Departamento Académico de Recursos de Agua y Tierra, Programa Académico de Ingeniería Agrícola de la Universidad Nacional Agraria - La Molina. Apartado 456 Lima, Perú.

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Algunos casos prácticos en que se necesitan muros de contención son los siguientes:

Fig. 1 P P

m

n

Q

Edificio con sótano

Fig. 5

Corte

relleno

Carretera en media ladera

Fig. 2

Estribo de puente

Fig. 3

Tanques para agua Arena, carbón, gravilla, etc.

3

Son muchos los factores que intervienen en el diseño de un muro de contención, pero el principal es el empuje del relleno. Para determinar el valor de este empuje existen varias teorías más o menos aceptadas hoy en día, con las cuales el estudiante debe familiarizarse para comprender hasta donde se puede ir en las aproximaciones. La literatura existente es muy amplia e incluye todos los textos de mecánica de suelos por su aplicación directa a los problemas estructurales recomendamos especialmente las obras de “Foundation Engineering” de Peck Hanson y Thormburn y “Earth Pressures and Retaining Walls” de W.C. Huntington. Las teorías más comúnmente usadas son las C.A. Coulomb (Francia 1776), y W.J.M. Rankine (Inglaterra 1857), las cuales pueden sintetizarse diciendo que el empuje activo de tierra es una fricción del empuje hidrostático debido a la misma altura de agua, la cuantía de la fricción depende del ángulo formado por la tierra del relleno con el horizontal trazada en el extremo superior del muro (δ) y del ángulo de fricción interna (∅) del mismo material de relleno, (el empuje de tierra actúa paralelo al relleno, o sea formando el mismo ángulo δ con la horizontal ); para una altura h de agua, el empuje hidrostático vale:

P´h = γ h El empuje activo debido a una altura igual de tierra vale:

Ph = Ka γh

h

Fig. 7

Empuje hidrostático

Empuje de tierras

P´h Ph

δ

4

siendo γ, el peso unitario del relleno y ka un factor menor que la unidad cuya expresión varía según la teoría que se esté aplicando; para materiales granulares puros, es decir, sin ninguna cohesión, las teorías de Coulomb y Rankine coinciden y la expresión de ka según Rankine es:

)(cos)(cos)cos(

)(cos)(cos)cos()cos(

22

22

φδδ

φδδδ

−+

−−=Ka

En la Tabla siguiente se dan los valores de Ka para los casos que más se presentan en la práctica de los ángulos δ y φ:

Talud δδδδ Valores de Ka 1:1 1:1'/2 1:02 1:2'/2 1:3 1:04 Horiz. φφφφ 450 26034' 26034' 21049' 18026 14002'

55 0.186 0.133 0.118 0.111 0.107 0.104 0.100 50 0.292 0.185 0.161 0.150 0.145 0.139 0.133 45 0.707 0.257 0.215 0.198 0.180 0.182 0.172 40 0.365 0.285 0.258 0.232 0.223 0.217 35 0.584 0.382 0.334 0.312 0.293 0.271 30 0.535 0.436 0.399 0.367 0.333 25 0.597 0.516 0.460 0.406 20 0.720 0.584 0.490

Los ángulos de fricción interna de los materiales generalmente usados como relleno dependen especialmente de su grado de compactación y de su contenido de humedad; así por ejemplo, el φ de una arena bien gradada puede variar de 460 a 340 dependiendo de si está bien compactada o suelta; por otra parte es bien difícil garantizar que el relleno detrás de un muro de contención consistirá siempre de un material bien definido o que su contenido de humedad será constante; generalmente el relleno consistirá de un conglomerado que contiene especialmente arenas de diferentes tamaños, gravas, limos y aún algo de arcilla; en estas condiciones y a falta de datos más exactos, deben tomarse los siguientes valores para el ángulo de fricción interna φ para efectos de diseño:

Carbón piedra 500 Conglomerado 330 a 350 Arena con buen drenaje 300 Arena con drenaje pobre 350

Las mismas observaciones pueden hacerse respecto al peso unitario de los materiales de relleno, estos varían generalmente entre 1500 y 1900 Kg/m3; tomando: γ = 1800 Kg/m3 para los casos normales, se está por el lado de la seguridad sin mayor exageración.

h Fig. 8

δ

h/3

E

5

El empuje activo total de tierras (E) se obtiene asimilando este al empuje hidrostático, o sea:

hhKaPE h .21

21 γ==

o sea 2

21

hKaE γ=

No importa cuan largo sea el mismo, para efectos de diseño se toma siempre un largo unitario, o sea un metro, de modo que si se toma γ en t/m3 y h en mts., el empuje total estará dado en ton/m. Este empuje total se considera que actúa paralelo al relleno y su punto de aplicación está al tercio de la altura a partir de abajo. Con frecuencia se presenta el caso de que el relleno detrás de un muro de contención está sometido a una sobrecarga (por ejemplo una carretera); esa sobrecarga causa un empuje adicional sobre el muro que se considera constante, lo mismo que en el caso de una sobre presión aplicada a un líquido, pero tratándose de una presión trasmitida a través de un suelo se toma:

P1 = W.Ka Para efectos de diseño es práctica común convertir la sobrecarga en una altura equivalente del mismo relleno con el objeto de facilitar los cálculos; de acuerdo con la figura se tiene:

P’= W. Ka = γh’. Ka

h

W

h/2 h/3

P

E

Fig. 9

E´

P´ Ph=P+P´

y

E

h´

6

γW

h =′∴

Siendo h’ la altura equivalente de tierra con peso unitario γ; W es la sobrecarga por m2; de esta manera se tendrá que la presión unitaria a una altura -h- sobre un muro sometido al empuje de tierras con peso unitario γ, y a una sobrecarga W será:

Ph = P + P’ = γhKa + Wka

= γhKa + γh’Ka

o sea: Ph = γKa (h + h’) En cuanto al empuje total se refiere, nótese que este estará compuesto por una parte triangular (cuyo centro de gravedad está al tercio de la altura) y una parte rectangular (cuyo centro de gravedad está a la mitad de la altura); o sea:

��

���

� ′+=′+=+= hhhKaKahhKahEEE 221 2

121 γγγ

esto es: ( )hhhKaE ′+= 221 2

1 γ

El centro de gravedad del conjunto, o sea la localización de E1, se deduce fácilmente teniendo en cuenta que se trata de un trapecio, así:

( )( )( )( )

( )( )

( )( )hh

hhhyseao

hhhhhhh

KahhhKaKahhhKah

PPPP

xh

yh

h

′+′+=

′+′+′+′+=

′+′+′+′+=

′+′+=

233

32

32

23

γγγγ

A veces sucede que la sobrecarga no se halla pegada a la cara posterior del muro, sino a cierta distancia de él; en ese caso se considera que la sobrecarga no afecta la porción de muro situada por encima de la intersección de la cara posterior con una línea trazada a 450 del bordo de la sobrecarga; no todos los autores están de acuerdo respecto a la magnitud de este ángulo y algunos consideran que debería ser más bien de 400 con la horizontal, con lo cual

7

quedaría afectada por la sobrecarga una mayor porción del muro; nosotros nos inclinamos más bien hacia al ángulo de 450 en vista de la casi unanimidad de criterios de una fuerza a través de terrenos relativamente compactos. Es obvio que en estos casos resulta más fácil para el diseño tratar cada empuje parcial por separado, en lugar de considerar de una vez el empuje total del conjunto. Cuando la sobrecarga no es uniformemente repartida, como en el caso de una carretera, la carga real puede convertirse en una uniforme equivalente sin mayor error, puesto que el efecto de la sobrecarga es generalmente pequeño en relación con el empuje del terreno. Hasta ahora hemos considerado el efecto de la tierra sobre el muro de contención, efecto que para desarrollares planamente necesita o supone el deslizamiento del muro con la cual el plano de rotura y el empuje quedan fijados; de no efectuarse ese desplazamiento, o sea si el muro se hace demasiado rígido, los empujes activos que se crean pueden llegar a ser bastante más altos que los dados por la expresión de Rankine, según se ha podido comprobar experimentalmente. Además de este empuje activo, que es ele efecto de la tierra sobre el muro, hay lugar a veces para considerar el llamado empuje pasivo que es el efecto del muro sobre la tierra; tal el caso del esquema anterior: el muro al desplazarse en una cantidad α comprime o empuja la tierra que se halla a su izquierda; esta tierra opone resistencia a esta compresión que es precisamente el empuje pasivo Ep; nótese que el empuje pasivo es de sentido contrario al empuje

Fig. 10

P´ P

45º

Fig. 11

EP

Ea

Plano de rotura

h1

α

8

activo, o sea que se oponen y la expresión del empuje pasivo, según Rankine, es:

φδδφδδ

δγ22

222

1coscoscos

coscoscoscos

21

−−

−+= xhEP

Al comparar las expresiones de Rankine para empuje activo y pasivo; se ve que la diferencia única es la inversión de los signos ante los radicales y para el caso particular de superficie horizontal delante del muro, la expresión para el empuje se simplifica bastante convirtiéndose en:

21)0( 2

1.

sen1sen1

hEP γφφ

δ −+==

Para efectos comparativos damos a continuación la expresión de Coulomb para hallar el empuje activo de un relleno granular (sin propiedades cohesivas):

2

2

22

)cos()cos()sen()sen(

1)cos()(cos

)(cos21

��

�

�

−+−+++

−=

δδφφ

φδ

WWZZ

WZW

WhE

Siendo:

φ = Angulo de fricción interna del material de relleno

W = Angulo del parámetro interior con la vertical.

Z = Angulo que forma el empuje con la normal al parámetro interior (debe ser menor que φ y se toma generalmente igual a 2/3φ).

δ = Angulo del relleno con la horizontal.

h = Altura total del muro.

Fig. 12 Ea

Zv h

δ

φ

δ φδ

φ

W

9

Anotamos que la fórmula de Coulomb se aplica únicamente a muros cuyos parámetros interiores son superficiales planas, como es el caso normal en muros de gravedad; para muros en voladizo la fórmula de Rankine resultados más correctos. Obsérvese que tanto la fórmula de Rankine como la de Coulomb hacen depender los empujes del ángulo de fricción interna del material de relleno; esta es una propiedad que puede establecerse fácilmente mediante ensayos de laboratorio para materiales granulares tales como la arena seca; los materiales cohesivos como las arcillas, por otra parte, no tienen una propiedad como el ángulo de fricción interna y por tanto para esos materiales las fórmulas contempladas no son aplicables. Los materiales cohesivos, cuando están secos, se comportan con frecuencia como si fuesen sólidos y por tanto puede realizarse en ellos cortes casi verticales sin necesidad de estructuras de contención, pero esos mismos materiales se desmoronan fácilmente al absorber humedad y pueden llega a ejerce empujes como la presión hidrostática; tienen además el problema adicional de los cambios volumétricos, lo cual relleno. Las arenas, que si son materiales adecuados para su utilización como relleno, pocas veces se encuentran en estado puro y con frecuencia vienen mezcladas con algo de limo o arcilla, lo cual cambia sus propiedades y hace menos exacta la aplicación de las fórmulas. La adición de alguna arcilla a una arena pura reduce evidentemente el empuje del conjunto debido a la pequeña cohesión de que gozará ese conjunto; como este es el estado normal de la mayoría de los materiales de relleno, es costumbre aumentar algo el ángulo de fricción interna de la arena pura (α 300) para la aplicación de las fórmulas de Rankine o Coulomb, con lo cual se tiene en cuenta la pequeña cohesión. Esta práctica puede ser peligrosa si el relleno no está provisto de un buen drenaje, pues el almacenamiento de humedad puede producir cambios volumétricos en el conjunto cuyas consecuencias son empujes mucho mayores que los calculados. La imposibilidad para garantizar la uniformidad de las propiedades de u material de relleno dado en cualquier época y la falta de información previa sobre los posibles cambios, son motivos adicionales que el calculista debe tener muy en cuenta y proceder en consecuencia con la debida cautela al diseñar un numero de contención. Tipos de muros de Contención Los muros de contención se clasifican por su perfil y los usados con mayor frecuencia son los siguientes:

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1) Muros de gravedad, son los que tienen en general un perfil trapezoidal y dependen principalmente de su peso propio para asegurar la estabilidad; se hacen generalmente de concreto ciclópeo o aún de piedras y no llevan ningún refuerzo: debe proporcionarse de tal manera que no haya esfuerzos de tracción en ninguna de las secciones; son muros muy económicos para alturas bajas (hasta 3 ó 3.50 metros aproximadamente).

2) Muros de semi-gravedad, son un poco más esbeltos que los anteriores

porque se toleran esfuerzos de tracción pequeños que se absorben con pequeñisimas cuantías de refuerzo y que en general pueden resultar aún más económicas que los muros de gravedad para alturas hasta de 4.00 mts.

3) Muros de voladizo, son muros en Concreto reforzado cuyo perfil común es

el de una T o L y están compuestos por mayoría de los caso, utilizan por lo menos parte del peso del relleno para asegurarse la estabilidad; este es el tipo de muro que con mayor frecuencia se presenta en la práctica del calculista y su utilización resulta económica hasta alturas de 6.00 mts. aproximadamente.

4) Muros con contrafuerte son los que están constituidos por placas

verticales que se apoyan sobre grandes voladizos espaciados

Fig. 13

Fig. 14

Vástago

Fig. 15 base

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regularmente que se denominen contrafuertes; este tipo de muro es conveniente cuando las alturas por vencer son en general, mayores de 6.00 mts.

Cualquiera de los tipos anteriores de muros pueden utilizarse para soportar una carga vertical además del empuje de tierras; como por ejemplo los muros extremos para soportar un puente, que se conocen con el nombre de estribos. La escogencia de un tipo determinado de muro dependerá, como es obvio, en primer lugar de la función que debe cumplir además de las condiciones del terreno, materiales de construcción que pueden conseguirse, economía general, etc. por lo cual la mayoría de las veces habrá que hacer varios diseños alternativos con base en predimensionamientos rápidos; con ello se podrá determinar con bastante seguridad el tipo de mano más adecuado para el caso y entonces proceder al diseño completo. Bases para el diseño de muros de contención Las fuerzas que actúan sobre un muro de contención pueden dividirse en dos grupos; fuerzas horizontales provenientes del empuje del terreno, sobrecargas, etc., y fuerzas verticales provenientes del peso propio, peso del relleno, sobrecarga, etc. La acción de las fuerzas horizontales tienden a desplazar el muro de su posición original y si ese desplazamiento es lo suficientemente grande, el muro ya no estará cumpliendo su función, o sea habrá fallado, aún si el desplazamiento tuvo lugar sin daños para las partes constitutivas del muro.

Fig. 16

placa Contrafuerte

base

Fig. 17

Puente

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El desplazamiento puede ser rotacional o lineal y contra ambos debe estar dirigido el diseño en lo que se denomina análisis de estabilidad. En el esquema a) puede verse como el empuje del relleno tiende a volcar el muro, junto con el relleno que hay directamente sobre el talón, alrededor del extremo del voladizo delantero (punto A); las fuerzas que se oponen a ese vuelco son precisamente las verticales, las cuales dan momentos de sentido contrario al del empuje con respecto al punto A. El factor de seguridad mínimo contra la posibilidad de volcamiento o sea relación entre momentos que impiden el volcamiento y momentos que tienden a producirlo alrededor del punto A, debe ser 2 según especificación de la mayoría de lo código. En el esquema b) puede apreciarse como la componente horizontal del empuje puede deslizar el muro, junto con la parte de relleno que está directamente sobre el talón, en el sentido del empuje. La fuerza que se opone a este deslizamiento es la fricción que hay entre la base del muro y el terreno de fundación principalmente; esta fricción es función de las fuerzas verticales que actúan sobre el muro del terreno de función en la forma f x V, siendo f el coeficiente de fricción entre el Concreto o material del muro y el terreno de fundación; este coeficiente tiene los siguientes valores usuales:

Arena o grava gruesas 0.5 a 0.7 Arena o grava finas 0.4 a 0.6 Arcillas duras 0.3 a 0.5 Arcillas blandas o limo 0.2 a 0.3

Para mejorar la estabilidad al deslizamiento conveniente no alisar mucho la superficie del terreno de fundación y dejar más bien una superficie rugosa. Nótese en el esquema b) que el muro, al deslizarse hacia la izquierda, debe empujar también el terreno que haya adelante de él, creando así un empuje pasivo que ayuda a la estabilidad al deslizamiento puesto que debe ser vencido antes de que el muro pueda deslizarse; e tendrá así que la fuerza que se opone al deslizamiento es:

Σv

ΣH

f Σv

Fig. 19

Fig. 18

E

Eh

(a)

Ev E

Eh

(b)

Ev

13

f V + Ep Como la fuerza que produce el deslizamiento es la horizontal ( 1H) y el factor de seguridad contra esta eventualidad está normalmente fijado en 1.5, se deberá tener que:

5.1≥+

H

EVf P

Debe advertirse que para poder contar con el empuje pasivo es necesario estar seguro de que el terreno delante del muro estará siempre ahí y de que estará en su posición antes de la colocación del relleno; esto no siempre es posible y de ahí que muchos ingenieros prefieran despreciar el efecto del empuje pasivo al buscar el coeficiente de seguridad mínimo de 1.5 o aumentar este coeficiente mínimo a 1.7 ó 1.8 al si tener en cuenta el efecto del empuje pasivo. Para aumentar el factor de seguridad al deslizamiento se utiliza muchas veces una “llave”, que consiste en una prolongación inferior del vástago y que tiene como efecto desplazar en parte el plano de posible falla desde la cara inferior de la base a la cara inferior de la llave aumentando así considerablemente el empuje pasivo que debe ser vencido, además se ve en el esquema que cuando hay llave la fricción que se opone al deslizamiento es la que hay entre concreto y suelo en las zonas ab y cd, mientras que en la zona d-e tenemos fricción entre suelo y suelo puesto que en d-e es el suelo el que debe romperse para producirse el deslizamiento, en consecuencia f1 será coeficiente de fricción entre concreto y suelo, mientras que f2 será el coeficiente de fricción del suelo o sea tg(φ). En la mayoría de los casos la llave se coloca inmediatamente debajo del vástago para poder anclar ahí los hierros del mismo, pero a veces puede resultar más ventajoso colocar esa llave más atrás y aún en el extremo del talón.

EP

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De todas maneras es prudente despreciar generalmente la altura del terreno por encima de la base por que éste puede ser removido con facilidad y en ese caso del triángulo de empuje pasivo a considerar como efectivo es el efg y no el ef’g’. El análisis de estabilidad debe incluir también, además de la seguridad el volcamiento y la seguridad al deslizamiento, el estudio de las reacciones del terreno las cuales no deben ser superiores en ningún punto a la fatiga admisible del terreno.

X=t/2

σ1

t/3<x<t/2

σ2 σ3

x=t/3

σ4

t

X<t/3

σ3

t Fig. 21

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Tratándose de una estructura sometida a cargas horizontales y verticales, la forma del diagrama de reacciones del terreno dependerá de la posición de la resultante de las cargas con respecto al centro de la base pudiéndose presentar los 4 casos esquematizados según la conocida expresión de la estática:

��

���

� ±= te

t

V 61σ

(recuérdese que los muros se diseñan por metro de longitud y por tanto b = 1.00 m). El caso 1) o sea cuando la resultante cae exactamente en la mitad de la base y el diagrama de reacciones es por tanto uniforme, es difícil y antieconómico de lograr porque generalmente requiere una base muy grande, el caso 4), o sea cuando la resultante cae fuera del tercio medio de la base, no es deseable porque parte de la base resulta inútil en vista de que no pueden suponerse o admitirse esfuerzos de tracción entre concreto y terreno, la base deberá dimesionarse, por tanto, de tal manera que se esté en el caso 2) con diagrama de reacciones trapezoidal o, como máximo, en el caso 3) con diagrama triangular. Para evitar la posibilidad de asentamientos diferenciales debe procurarse que la diferencia entre σ máx. y σ min. no sea muy grande. Una vez comprobada la estabilidad del muro, puede entrarse a estudiar la resistencia de cada una de sus partes con respecto a las fuerzas que las solicitan, o sea puede hacerse el análisis estructural. En un muro de gravedad el análisis estructural consistirá en la comprobación de que todas sus secciones están sometidas a esfuerzos de compresión por debajo de un límite admisible en un muro en cantilíver o con contrafuertes; este análisis consistirá en el estudio de cada una de las partes constitutivas sometida a un sistema determinado de fuerzas exteriores que producen momentos, esfuerzos cortantes, etc., y la colocación del refuerzo necesario para absorber los esfuerzos correspondientes. Como es apenas lógico, para un caso dado habrá varias soluciones que satisfagan tanto las condiciones de estabilidad como las de resistencia, así por ejemplo, para aumentar la seguridad al deslizamiento puede aumentarse el largo de la base o colocarse una llave, siendo iguales todos los demás considerados del caso; el factor económico será entonces el decisivo.

Fig. 22

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A través de lo anterior, el estudiante ya habrá podido darse cuenta que tanto para el análisis de estabilidad como para el estructural deben suponerse a priori las dimensiones del muro y estas a su vez dependen en definitiva del resultado de los dos análisis; es decir que se está ante un círculo vicioso, el cual se rompe mediante tanteos sucesivos. El proceso de diseño consiste entonces en suponer, con base en experiencia anterior generalmente, las dimensiones el análisis de este muro; verificar con esas dimensiones el análisis de estabilidad y el estructural; en la mayoría de los casos los análisis mostrarán la necesidad de algunos ajustes en las dimensiones iniciales pero normalmente con 2 ó 3 ensayos se llegará al dimensionamiento definitivo. Algunas guías para las dimensiones iniciales son las siguientes: 1) Para muros de gravedad al ancho de la base varía entre el 50 y el 60% de

la altura total, dependiendo principalmente de si hay sobrecarga o no; el ancho de la corona debe ser por lo menos de 30 cm.

2) Para muros en voladizo el ancho de la base también varía entre el 50 y

60% de la altura, el ancho de la corona debe ser 1/24 de la altura a 25 cm., (el mayor de los dos para facilidad de la colocación del Concreto); el ancho del muro en la base debe ser 1/12 de la altura; el espesor de la base debe ser por lo menos igual al espesor máximo del muro (1/12 h) y preferiblemente un poco mayor; el vástago debe colocarse sobre la base de tal manera que el voladizo delantero sea aproximadamente 1/3 del ancho de la base, con el objeto de que la resultante de las fuerzas exteriores caiga dentro del tercio medio de la base.

En claro que estas no son sino guías generales y cada caso deberá estudiarse y resolverse como problema particular. PROBLEMA

h h1

1/12 h

1/24 h

2/3 1/3

½ h a 2/3 h

1/12 h

Fig. 23

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Diseñar un muro de gravedad para una altura libre de 2.80 m., si el piso de fundación está a 70 cm., de profundidad y tiene una capacidad portante máxima de 1.25 Kg/cm2 siendo una arcilla arenosa con un factor de fricción de 0.5. El relleno será una arena con peso unitario de 1.80 t/m3, φ = 35º y δ = 26.5º. Después de varios tanteos se lleva a la sección indicada, en la cual puede aplicarse la ecuación de Coulomb si se desprecia la pequeña saliente de la base; se tendrá entonces:

902.0cos;95.0cosº2.18329.050.315.1

tg 2 ===∴== WWWW

º5.41)(º3.233532

32 =+==== WZZtomamos λφ

º3.38º5.262.18)(º5.8º5.2635)(º8.16º2.18º35)(º5.58º35º3.23)(

=−=−=−=−==−==+

δδφφ

φ

W

HW

Hz

18

Aplicando la ecuación de Coulomb:

2

2

22

)cos()cos()sen()sen(

1)cos(cos

)(cos21

��

�

�

−+−+++

−=

δδφφ

φδ

WWZZ

WZW

WhE

22

9856.0749.0148.0851.0

1749.0902.0

916.0)50.3(80.1

21

��

�

�+

=

xx

x

xxE

E = 7.50 t/m Este empuje obra a un tercio de la altura total, o sea a (1/3) 3.50 = 1.166 m. desde la base. Hacemos a continuación un cuadro evaluando cada una de las cargas y tomamos momentos con respecto al punto A que es el punto alrededor del cual podría producirse el volcamiento; tomamos como peso del comercio ciclópeo 2.30 t/m3, la distancia se deduce por triángulos semejantes así:

.61.000.300.1

166.100.3 1010 mX

X=∴=

−

despreciamos el efecto de la tierra que hay delante del muro.

Fuerza t/m x Brazo n Momento t-n/n P1 = ½ 0.30x3.00x2.30 = 1.035 0.45 0.465 P2 = 0.30x3.00x2.30 = 2.070 0.70 1.450 P3 = 00x3.00x2.30 = 3.450 1.183 4.090 P4 = ½ 0.25x0.20x2.30 = 0.057 0.116 0.000 P5 = 0.20x1.75x2.30 = 0.805 1.125 0.905 P6 = 0.30x2.00x2.30 = 1.380 1.000 1.380 P7 = ½ 1.15x0.57x1.80 = 0.595 1.616 0.960 P8 = ½ 1.00x3.00x1.80 = 2.700 1.515 4.095 P9 = 0.15x3.00x1.80 = 0.675 1.925 1.300 P10 = 0.662x7.50 = 4.960 1.461 7.250

V = 17.727 21.904 P11 = 0.749x7.50 = H =

5.61 1.166 - 6.550

19

MA = 15.354 t-n/n Seguridad al deslizamiento:

58.161.5

727.1750.0 == x

H

Vf

Seguridad al volcamiento:

34.355.6904.21 =

Reacciones del terreno:

(Ver la figura) Posición la resultante:

nV

MX A

A 865.0727,17354.15 ===

Como el tercio medio va desde 0.666 hasta 1.333 m. ∴

( )

���

=

±=

��

���

� ±=��

���

� ±=

=−=

2

2

/28.5/48.12

405.0186.800.2135.06

100.100.2

727.1761

135.0865.000.221

mt

mt

xxt

eA

V

e

σ

σ

σ

Se notará que en este caso, aunque por seguridad a volcamiento y al deslizamiento podría reducirse la sección sobre el todo si se tiene en cuenta que se ha despreciado totalmente el efecto del empuje pasivo; por la atiga del terreno la sección adoptada es apenas la justa, sin embargo podrían buscarse algunas soluciones alternas en busca de mayor economía.

200 m.

12.48 t/m2 11.58 t/m2

5.28 t/m2

20

Como en CD hay un cambio brusco de la sección, debe estudiarse por separado para comprobar que no habrá esfuerzos de tracción y que los de comprensión están por debajo del máximo admisible. El empuje hasta CD vale:

mtxxE /50.568.0)00.3(80.121 2 ==′

Evaluamos cargas y momentos con respecto al punto C.

Fuerza Brazo c Momento c P1 = 1.035 X 0.200 = 0.207 P2 = 2.70 X 0.450 = 0.932 P3 = 3.450 X 0.933 = 3.220 P7 = 0.595 X 1.366 = 0.812 P8 = 2.700 X 1.266 = 3.420 P9 = 0.675 X 1.675 = 1.130 P10 = 3.640 1.266 = 4.610

V = 14.165 14.310 P11 = 0749X5.50 =

41.10 1/3 x 3.00 = -4.110 ΣMC = 10.221

Posición de la resultante: mX C 724.0165.14221.10 ==

( )���

=±=��

���

� ±=

=−=

2

2

/33.6/4.11

285.0185.860.1076.06

160.1165.14

076.0724.060.121

mt

mtxf

me

O sea que tenemos un esfuerzo de compresión máximo de 1.14 kg/cm., muy por debajo del esfuerzo admisible para un concreto ciclópeo más o menos regular. Es claro que además deberá considerarse la posible acción de una fuerza horizontal debido a movimiento sísmico o viento; los esfuerzos principales pueden ser un poco mayores que los esfuerzos de compresión directos, pero el margen de seguridad es suficientemente amplio por lo cual es posible que en este caso particular se pueda obtener una sección más económica manteniendo la misma base pero disminuyendo el muro propiamente dicho. Las proyecciones de la base más allá de los puntos C y D deben verificarse para constatar que los esfuerzos de tracción que se representan en esos pequeños voladizos no son excesivo para que los resista el concreto solo; así en este caso examinamos el voladizo delantero de 25 cm.,

21

mmtxM

mt

/376.0125.025.0)58.1148.12(21

/58.1100.275.1

)28.548.12(28.5 2025

−=+=≈

=−+=σ

26

453

/905.01004.1

2537600

255021

1004.112

50100

cmKx

xI

Mf

cmC

cmxx

I

C =±=±=∴

==

==

lo cual es una tracción que puede tolerarse aún en un concreto de calidad pobre. PROBLEMA Diseñar un muro de contención en voladizo para una altura de 5.00 m. incluyendo 20 cm. de recubrimiento en la cara del muro; el relleno será un conglomerado con peso unitario de 1.80 t/m3 y ángulo de fricción interna de 33º41’; se colocará con talud de 1:2 y lleva una carretera de tráfico mediano situado a 3.00 m. horizontales del borde inferior del muro; el terreno de fundación es también un conglomerado igual al anterior con una capacidad portante de 1.5 kg/cm2 y coeficiente de fricción con el concreto de 0.55. Se empleará concreto de 2.500 psi y acero de Paz del Río con fs = 1400 kg/cm2.

(Ver gráfico en la hoja siguiente) Solución: Procederemos en primer lugar al predimensionamiento de acuerdo con las guías en la pag. III-1; como aquí se tiene relleno en talud y además sobre carga, conviene tomar de una vez dimensiones un poco amplias con respecto a esas guías. 1) Análisis de estabilidad. Para que el muro se mueva (giro o deslizamiento),

deberá vencer la resistencia del relleno que hay directamente sobre el talón para el análisis de estabilidad se considera la sección BC y para aplicar la ecuación de Rankine se tiene:

22

395.0692.080.0895.0

692.080.0895.0895.0

832.0)cos(14º33

446.0)sen(;895.0)cos(

43º2621

)tg(

=−+−−=

=→′===

′=�=

a

a

K

K

φφδδ

δδ

23

Empuje activo debido al relleno:

mtxxKhE ar /02.15399.0475.680.121

21 22 === δ

que actúa a una altura sobre AB de 1/3(0.50 + 5.00 + 0.975) = 2.158 m. La sobrecarga de la carretera está constituida por cargas móviles pero puede sustituirse sin mayor error por una carga uniforme de 500 kg/m2 que equivale a una altura adicional de relleno de:

h´ = 500/1800 = 0.278

Ps = δKah’ = 1.80 x 0.399 x 0.278 = 0.20 t/m-m (tal altura adicional produce la presión unitaria uniforme ps). Admitiendo que la sobrecarga se transmite a través del relleno según ángulo de 45º, afectará a la sección BC en una altura de: (0.50 + 5.00 + 0.45) = 5.95 m. y producirá una presión total de Es = 0.20 x 5.95 = 1.19 t/m que actúa a una altura sobre AB de ½ 5.95 = 2.975 m. Desprendiendo los 20 cm, de recubrimiento sobre el voladizo delantero, se tendrá:

Fuerza (t/m) KA (m) MA (t-m/m) P1 = 0.25x5.00x2.40 = 3.00 x 1.225 = 3.67 P2 = ½ 0.30x5.00x2.40 = 1.20 x 1.416 = 1.70 P3 = 0.50x3.30x2.40 = 3.96 x 1.650 = 6.53 P4 = ½ 0.20x5.00x1.80 = 0.90 x 1.483 = 1.34 P5 = 1.75x5.00x1.80 = 15.75 x 2.426 = 38.20 P4 = ½ 1.95x0.975x1.80 = 1.71 x 2.650 = 4.53 P7 = 0.446x15.02 = 6.70 x 3.300 = 22.10 P9 = 0.446x1.19 = 0.53 x 3.300 = 1.75

V = 33.75 M = 9.82 P8 = 0.895x15.02 = 13.45 x 2.158 = -29.00 P10 = 0895x1.19 = 1.07 x 2.975 = -3.18

H = 14.52 MA = 47.64 Seguridad al volcamiento:

79.82 / 32.18 = 2.48 > 2.00 Punto de aplicación de la resultante:

24

mV

MX A

AR 41.175.3364.47 ===

Queda dentro del tercio medio de la base (que va desde 1.10 hasta 2.20 m. desde A): La excentricidad vale: e = ½ (3.30) - 1.41 = 0.24 m. Las reacciones máxima y mínima del terreno son:

��� <

=

±=��

���

� ±=

2

22

/76.5/00.15/69.14

)438.01(22.1030.3

24.061

30.375.33

mt

mtmt

x

σ

σ

Seguridad al deslizamiento considerando únicamente la fricción entre Concreto y terreno de fundación,

275.152.14

75.3355.0 == x

H

Vf

que es muy bajo y por tanto se necesita una llave; colocando ésta inmediatamente debajo del vástago, como se indica en el esquema, ya no actuarán todas las fuerzas verticales con el coeficiente de fricción entre terreno y concreto y además podremos contabilizar como factor resistente el deslizamiento. El empuje pasivo (Ep) de la llave hacia la izquierda habrá fricción entre terreno y de la llave hacia la derecha habrá fricción entre concreto y terreno, o sea que ahora: Seguridad al deslizamiento:

++

HERRf P21 )tg(ϕ

σ2.10 = 5.75 + 8.93(2.10/3.30) = 5.76 + 5.68 = 11.44 t/m2

R1 = ½ (5.76 + 11.44) 2.10 = 18.05 t/m.

R2 = ½ (11.44 + 14.59) 1.20 = 15.70 t/m.

Escogiendo un factor de seguridad mínimo de 1.6 al deslizamiento ahora que se utiliza el empuje pasivo, se tendrá:

25

1.80 = (0.55 x 18.05 + 0.666 x 15.72 + Ep)/14.52

∴ Ep = 1.60 x 14.52 - 0.55 x 18.05 - 0.666 x 15.70 = 2.84 t/m. pero Ep = ½ γ Kp h

2p

con Kp = (1 + Senφ)/(1 - Senφ) = (1 + 0.544)/0.445 = 3.48 Luego 2.84 = ½ 1.80 x 3.48 h2

p ∴ hp = 0.95 m. Despreciando nuevamente los 20 cm, de relleno encima del voladizo delantero por la posibilidad de que no está siempre allí, la altura para producir empuje pasivo es la de la base más la de la llave; por tanto la altura mínima de la llave deberá ser de 0.95 - 0.50 - 0.45 m.; hacemos la llave de 50 cm. con lo cual la seguridad al deslizamiento será algo mayor de 1.60. 2) Análisis estructural. a) Vástago Las fuerzas que obran directamente sobre el vástago son; el empuje debido a 5.00 m. de altura (E’r) de relleno, el empuje debido a la sobrecarga (E’s) que como se ve en el esquema, sólo afecta a 3.50 m. del vástago si se acepta la transmisión a 45º, a través del relleno y las cargas verticales que, en este caso, son el peso propio = (P1 + P2), el peso del triángulo de relleno P4 y las componentes verticales de los empujes es E’r y E’s.

E´r

3.50

1.50

3.00

45º

1.75 1.665

Fig. 26

E´S

H´r

V´r

H´s

V´s

26

Las componentes horizontales de esos empujes producen flexión y corte sobre el vástago, siendo - ab - la crítica por tratarse de un voladizo; como sobre está sección actúan también las cargas verticales mencionadas se tendrá, en rigor, una sección sometida a compresión y flexión. Normalmente las cargas verticales son pequeñas en relación con la fricción y por tanto es práctica común despreciarlas y diseñar el vástago únicamente con flexión, lo cual está por el lado de la seguridad como se verá en este mismo ejemplo. Entonces:

E’r = ½ 1.80 x 5.002 x 0.339 = 8.99 t/m.

E’s = 0.20 x 3.50 = 0.70 t/m. Componentes horizontales:

H’r = 0.895 x 8.99 = 8.05 t/m.

H’s = 0.895 x 0.70 = 0.626 t/m.

Ma-b = 8.05 x 1.666 + 0.626 x 1.75 = 14.50 t-m/m. NOTA: Para efectos de diseño cada parte del muro es una placa y normalmente dimensiones serán tales que las cuantías de refuerzo resultarán bajas, o sea menores de 11; si se usan los factores de carga acostumbrados, se obtendrán entonces resultados muy similares por el método elástico o por rotura. Por estar el muro en contacto directo con el relleno es aconsejable utilizar un recubrimiento un poco mayor que en las placas comunes, por tanto para h = 45 cm. tomamos d = 40 cm. por tanto:

K = 1450 / (100 x 402) = 0.00906 → p = 0.00723

As = 0.00723 x 100 x 40 = 28.90 cm2/m.

Va-b = 0.99 + 0.626 = 9.616 t/m.

= 5616 / (100 x 40) = 2.40 kg/cm2 < c

o = 9616 / (11.20 x 0.875 x 40) = 24.6 cm/m. del lado del relleno: φ 7/8” 13 cm. Tratándose de un voladizo sometido a carga triangular o trapezoidal, el diagrama de momentos será una parábola de tercer grado que se anula en la

Armadura φ 7/8¨

27

corona del muro; por tanto no es necesario colocar esta armadura de φ7/8 13 cm., en toda la altura del vástago; dependiendo de la altura, la práctica común es dividir el muro en 2 ó 3 partes iguales y recortar la mitad o una tercera parte de la armadura en cada división en el caso presente, si dividimos la altura del muro en 3 partes iguales la armadura principal de φ 7/8 podría colocarse en la siguiente forma: Si se consideran también las cargas verticales, deberá tenerse en cuenta la posición de cada una de ellas en la sección crítica ab; así P1 estará a 25/2 = 12.5 cm. de la cara exterior; P2 estará a (25 + 1/3x20) = 31.7 cm., de la misma cara; P4 estará a (25 + 2/3x20) = 38.3 cm., el ancho del muro a 1.666 m. de altura sobre la sección ab es de 38.3 y a 1.75 cm. de altura el ancho es de 38 cm., por tanto la localización aproximada de las cargas verticales es como se indica en el esquema, (no exacta porque la armadura de tracción no es vertical en este caso) y al trasladar todas al eje de la armadura de tracción se tendrá:

V’r = 0.446 x 8.99 = 4.01 t/m. V’s = 0.446 x 0.70 = 0.31 t/m.

M’a-b = 14.50 + 3.00 (0.40 - 0.125) + 120 (0.40 - 0.317) + 0.31 (0.40 - 0.38) + (4.01+0.90) (0.40+0.383) = 15.5147 t-m/m.

N = 3.00 + 1.20 + 0.31 + 4.01 + 0.90 = 9.42 t/m.

b Fig. 28

a 0.125

0.317 0.350

0.383 0.400

0.450

28

K = 1551.47 / (100 x 402) = 0.00970 → p = 0.00777

As = 0.00777 x 100 x 40 - 9.42/1.40 = 23.36 cm2/m.

∴ del lado del relleno φ ¾, 12 cm. ó φ 7/8 16.5 cm. Nótese, pues, que la economía es apreciable (alrededor de varilla y media de φ 7/8 por cada metro de muro en este caso particular), pero consideraremos que no es muy prudente hacer toda la economía posible en este caso si se tienen en cuenta todas las incertidumbres existentes todavía con todo lo relacionado con la mecánica de suelos, colocar en este caso particular φ 7/8 15 cm, sería quizás una solución intermedia aceptable. b) Voladizo delantero: La sección crítica es la ac; sobre este voladizo actúa el relleno de 20 cm., hacia abajo y la reacción del terreno hacia arriba, como ya se dijo antes está por otro lado de la seguridad despreciar el efecto del pequeño relleno y por consiguiente la flexión de este voladizo será hacia arriba necesitando armadura de tracción abajo. Se tiene:

σ a-c = 5.76 + 8.93 ( 2.20 / 3.30 ) = 5.76 + 5.95

σ a-c = 11.71 t/m2

V a-c = ½ ( 14.69 + 11.71 ) 1.10 - ............................... t/m. Nótese que se ha deducido del corte en la sección ac el valor 1.32 t/m que es el peso propio de la base que no produce ni esfuerzo cortante ni flexión por estar íntegramente apoyando sobre el terreno y que está, sin embargo incluido las reacciones del terreno.

Fig. 29

b a

d c

1.10 .45 1.75

14.69 11.71 10.50

5.76

.50

.50

29

V a-c = 13180 / ( 100 x 45 ) = 2.93 k/cm2 < c

M a-c = 11.71 x 1.10 ( ½ ) 1.10 + ½ (14.69 - 11.71) 1.10 x ( 2/3 ) 1.10 - 0.50 x 1.10 x 2.4 x ( ½ )1.10 = 7.58 t-m/m.

K = 758 / ( 100 x 452 ) = 0.00374 → p = 0.00288

As = 0.00288 x 100 x 45 = 12.95 cm2/m → Abajo .39

.39

43

87

cm

cm

+″

″

φ

φ

�2/74.10

45575.022.2

)30.795.9(413180

cmKxjd

Vu

O

=+

==

c) Talón: Sobre esta parte de la base actúan las reacciones del terreno hacia arriba y el relleno hacia abajo, como las reacciones en esta parte de la base ya son relativamente pequeñas debido a la excentricidad, generalmente gobierna aquí la flexión hacia abajo y se necesitará armadura de tracción arriba. Según el profesor Huntington debe tenerse en cuenta, además, que la diferencia entre los empujes sobre la sección BC y sobre el vástago directamente también produce esfuerzos en el talón, aquí estas fuerzas serían:

E1 = Es - E’s = 1.19 - 0.70 = 0.49 t/m.

E2 = Er = E’r = 15.02 - 8.99 = 6.03 t/m. componentes verticales de esas diferencias:

Ey = E x senδ como senδ = 0.446

mtxE

mtxE

Y

Y

/69.2446.003.8

/22.0446.049.0

2

1

==

==�

Componentes horizontales de las mismas diferencias: En este caso multiplicando por Cosδ = 0.895

mtxE

mtxE

X

X

/40.5895.003.8

/44.0895.049.0

2

1

==

==�

30

Estas fuerzas actúan sobre la misma sección BC, a una altura sobre B igual a la mitad de la diferencia entre las alturas consideradas para evaluar Er y E’r. Entonces: σbd = 5.76 + 8.93 (1.75/3.20) = 10.50 t/m2

Vbd = 1.71 + 15.75 + 0.22 + 8.69 – ( ½ ) (10.50+5.76)1.75 x 24 = 8.27 t/m.

Vbd = 8270 / (100 x 45 ) = 1.84 kg/cm2 < c

Mbd = 1.71 x 1.10 + 15.75 x 0.875 + (0.22+2.69)1.75 ( ½ )(10.50 - 5.76) 1.75 ( ½ )1.75 + 2.10 ( ½ )1.75 - (0.44 + 5.40) [( ½ )(6.45-5.00) - 0.25] =

Mbd = 8.54 t-m.

K = 854 / (100 x 452 ) = 0.00421 → p = 0.00225

As = 0.00325 x 100 x 45 = 14.60 cm2/m.

o = 8270 / (0.55 x 0.875 x 45 ) = 22 cm/m. ∴ Arriba φ 5/8’ 13.5 cm.

Peso refuerzo = (26 x 6 + 26 x 6 + 26 x 3.50) 3.04 + 25 x 2 x 2.24 + (37 x 2

+ 38 x 5) 1.55 + (51 x 6 + 20 x 9.95) 0.56 = 2034 kg.

Volumen de Concreto = [(½)(0.25 + 0.45) 5.00 + 0.90 x 3.30 + (½)(0.45 + 0.25) 0.50] 10.0 = 35.75 m3

o sea: 2034 / 35.75 = 57 kg. de hierro / m3 de concreto