N 2

EJERCICIOS DE REPASO N° 1-B

1. Los siguientes datos (en miles de nuevos soles) representan las rentas netas anuales de una muestra de 32 trabajadores de una institución.

15; 23; 18; 15; 20; 22; 19; 18; 16; 30; 25; 18; 17; 16; 37; 1925; 28; 40; 35; 22; 21; 17; 21; 36; 30; 19; 26; 35. 20; 15; 35

a) Representa un histograma de frecuencias absolutas relativas con 5 intervalos de clase

b) Cuál es la renta promedio de los contribuyentes. Cuál su dispersión.

c) Dividir, a partir de datos tabulados la distribución en 2 categorías.

d) Es la distribución simétrica? Solución

Intervalo de Clase

Frecuencia

Absoluta

FrecuenciaAbsoluta

Acumulada

% Frecuenci

aAbsoluta

% FrecuenciaAbsoluta

Acumulada

Marca de

Clase o

Punto Medi

o

Media VarianzaDispersiónDesviación estándar

Coeficiente deVariación

[ ) fi Fi f'i F'i Xi fi Xi =Σ Xi fi /n (Xi – ) (Xi – )2 (Xi – )2 fiS2=

∑i=1

k

f i (x i−x )2

n-1S

15 21 15 15 47% 47% 270 18 24.19 -6.19 38.29 574.28

54.54 7.39 30.53%

21 27 8 23 25% 72% 192 24 24.19 -0.19 0.04 0.2827 33 3 26 9% 81% 90 30 24.19 5.81 33.79 101.3633 39 5 31 16% 97% 180 36 24.19 11.81 139.54 697.6839 45 1 32 3% 100% 42 42 24.19 17.81 317.29 317.29

32 774 150 29.06 844.63 1690.88

1

a) Representa un histograma de frecuencias absolutas relativas con 5 intervalos de clase

b) Cuál es la renta promedio de los contribuyentes. Cuál su dispersión. - Para datos agrupados:

X̄=∑i=1

k

f i*X i

n

∑i=1

k

f i*X i=774

n = 32

= 774/32

= 24.19 Respuesta: La renta promedio es de 24.19 soles

- Dispersión o Desviación estándar S:Primero calculamos la varianza:

2

15 - 21 21 - 27 27 - 33 33 - 39 39 - 450

2

4

6

8

10

12

14

16

HISTOGRAMARentas anuales

Frec

uenc

ia A

bsol

uta

S2=∑i=1

k

f i (x i−x )2

n-1 = 1690.88/(32-1)= 54.54

S = ± 7.39Interpretación: La desviación de la renta es de ± 7.39 soles del promedio.

c) Dividir, a partir de datos tabulados la distribución en 2 categorías.

Para dividir en dos categorías se empleará la Mediana (Me)

Me=Li+ (((N /2 )− Fi-1anterior )fi ∗a)

Me=21+ (((32/2)− 15)8

∗6)Me = 21.75

Las categorías son 2:

1era categoría va de 15 ≤ 21.75

2da. Categoría va de 21.75 a menos de 45.

d) Es la distribución simétrica?

Si la media=moda=mediana, la distribución es simétrica VerificamosMediana:

Me=Li+(((N /2 )− Fi-1anterior )fi ∗a)

Me=Li+(((N /2 )− Fi-1anterior )fi ∗a)

Me=21+ (((32/2)− 15)8

∗6)Me=21 .75

Formula de simetría

As = 3 ( – Me) / sAs = 3 (24.19 – 21.75) / 7.39

3

As= 0.99

Rpta No es simétrica: En este caso, El coeficiente dio un resultado positivo, (As mayor que 0) lo que implica que los datos se distribuyen en una distribución asimétrica positiva, es decir, es decir existe una mayor concentración de los valores a la izquierda de la media que a su derecha

2. Los datos siguientes se refieren al período de atención (en minutos) y la puntuación en un test de inteligencia (IQ) de 14 niños en edad escolar.

Período de atención (minutos)

Puntuación IQ

3,0 5,2 4,9 6,3 5,4 6,6 7,0 6,5 7,2 5,5 5,4 3,8 2,7 2,2

88 94 90 105 108 112 116 122 110 118 128 130 140 142

a) ¿Cuáles son los promedios del período de atención y del coeficiente de inteligencia?

Período de atención(minutos)

2.22.73.03.84.95.25.45.45.56.36.56.67.0

4

7.2

Promedio para datos sin agrupar

X̄=76 .814

=5 . 12

X̄ =5 .12 minutos

PuntuaciónIQ

889490

105108112116122110118128130140142

Promedio

X̄=160314

=214

X̄=114. 5 IQ

b) Calcular e interpretar comparativamente las dispersiones absolutas y relativas para cada variable

Período de atención

Calculamos la dispersión absoluta o desviación estándar S:

X1 X1- (X1- )2

2.2 5.12

-2.92 8.5264

2. 5.12 - 5.8564

5

7 2.423.0 5.12

-2.12 4.4944

3.8 5.12

-1.32 1.7424

4.9 5.12

-0.22 0.0484

5.2 5.12 0.08 0.00645.4 5.12 0.28 0.07845.4 5.12 0.28 0.07845.5 5.12 0.38 0.14446.3 5.12 1.18 1.39246.5 5.12 1.38 1.90446.6 5.12 1.48 2.19047.0 5.12 1.88 3.53447.2 5.12 2.08 4.3264

34.3236

S2=∑i=1

n

(x i− x )2

n-1 S2=34 . 32

14-1=2 . 64

S= 1.62 minutosInterpretación: La dispersión promedio con respecto al periodo de atención de los 14 niños con relación a la media es de 1.62 minutos

Dispersión Relativa:

CV= 1.62

5.12×1 00

CV=31.6%

6

Test de inteligencia

X1 X1- (X1- )2

88 114.5-

26.5 702.25

94 114.5-

20.5 420.25

90 114.5-

24.5 600.25105 114.5 -9.5 90.25108 114.5 -6.5 42.25112 114.5 -2.5 6.25116 114.5 1.5 2.25122 114.5 7.5 56.25110 114.5 -4.5 20.25118 114.5 3.5 12.25128 114.5 13.5 182.25130 114.5 15.5 240.25140 114.5 25.5 650.25142 114.5 27.5 756.25 3781.5

S2=∑i=1

n

(x i− x )2

n-1 S2=3781.5

13=290 .88

S= ±17 . 05 IQ

Interpretación: La dispersión promedio de los test de inteligencia de los 14 niños con relación a la media es de 17.05 IQ

Dispersión Relativa CV:

CV=17 .05 IQ

114 .5 IQ×100

CV= 14 .9 %

7

Cuando se quiere comparar el grado de dispersión de dos distribuciones que no vienen dadas en las mismas unidades o que las medias no son iguales se utiliza el llamado "Coeficiente de Variación” de Pearsonmayor coeficiente indica menor homogeneidad, o lo que es lo mismo, mayor dispersión o variabilidad

Interpretación: Las dispersiones absolutas no se pueden comparar porque una viene expresada en minutos y la otra en IQ, en cuanto a la dispersión relativa observamos que los niños tienen menos variación en el test de inteligencia, menos variación, es más homogéneo más preciso

c) Calcular e interpretar el coeficiente de asimetría.

Período de atención(minutos)

2.22.73.03.84.95.25.45.45.56.36.56.67.07.2

Mediana Datos No agrupados: En datos sin tabular: los datos se ordenan de menor a mayor y se ubica el valor central. Si hay dos valores centrales, entonces se promedianMe = (5.4 + 5.4)/2 = 5.4


As = 3 ( – Me) / sAs = 3 (5.12 – 5.4) / 1.62As= - 0.17

Interpretación: presenta una distribución asimétrica negativa (se concentran más valores a la izquierda de la media que a su derecha).

8

PuntuaciónIQ

889094

105108110112116118122128130140142

Mediana Datos No agrupados: En datos sin tabular: los datos se ordenan de menor a mayor y se ubica el valor central. Si hay dos valores centrales, entonces se promedianMe = (116 + 112)/2 = 114


As = 3 ( – Me) / sAs = 3 (114.5 – 114) / 17.05As = 0.09 positiva

Interpretación: En este caso, El coeficiente dio un resultado positivo, (As mayor que 0) lo que implica que los datos se distribuyen en una distribución asimétrica

9

positiva, es decir, es decir existe una mayor concentración de los valores a la izquierda de la media que a su derecha

3. Una empresa que vende computadoras recopiló datos con respecto al número de entrevistas que requerían cada uno de los 40 vendedores para iniciar una venta. La tabla siguiente representa la distribución de frecuencias absolutas.

N° de entrevistas N° de vendedores 0 – 4 5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 -25

6 10 12 8 4 40

a) Graficar el polígono de frecuencias porcentuales simples.

0 – 4 5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 -250%5%

10%15%20%25%30%35%

Poligono de frecuencias simples

10

b) Cuál es el número promedio de entrevistas que necesitaron los vendedores para iniciar su venta.

Intervalo de ClaseEntrevista Frecuencia

FrecuenciaAbsoluta

Acumulada



Acumulada

Marca de

Clase o Punto Medio

[ ) f1 F1 f'i F'i Xi Xif1

0 4 6 6 15% 15% 2 125 9 10 16 25% 40% 7 7010 14 12 28 30% 70% 12 14415 19 8 36 20% 90% 17 13620 25 4 40 10% 100% 22.5 90

40 60.5 452

X̄=∑i=1

k

f i*X i

nX̄=452

40

X̄ = 11. 3 Entrevistas Es el número promedio de entrevista que necesitan los

vendedores

c) Cuál es su variación absoluta y cuál su variación relativa. Interpretar.

Variación absoluta o Desviación Estándar:

S2=∑i=1

k

f i (x i−x )2

n-1S2=1471. 4

40-1S2=1471. 4

40-1 S2= 37 . 728

S= ±6 .14 Entrevistas

Interpretación: La dispersión promedio del número de entrevistas de los 40 vendedores con relación a la media es de 6.14

Variación relativa o Dispersión Relativa:

CV= 6 .14

11.3×100

CV= 54 . 3%Interpretación: El grado de variabilidad del número de entrevistas respecto del promedio es de 54.3%.

d) Cuál es el número de entrevistas que la mayoría requirió.

11

Calculamos la moda para datos agrupados

L i es el límite inferior de la clase modal.f i es la frecuencia absoluta de la clase modal.f i -1 es la frecuencia absoluta inmediatamente inferior a la clase modal.f i+1 es la frecuencia absoluta inmediatamente posterior a la clase modal.a i es la amplitud de la clase.

Mo=10+ ( (12− 10 )(12-10 )+(12- 8 )

∗4)Mo=10+ ( (12− 10 )

(12-10 )+(12- 8 )∗4)

Mo=11.3 ≈ 12

e) Calcular e interpretar el coeficiente de asimetría.


As = 3 ( – Me) / s


Me= 10+ ((( 40/2)− 16 )12

∗4 ) Me = 11.3As = 3 (11.3 – 11.3) / 6.14As= 0

Interpretación: presenta una distribución simétrica, las observaciones presentan un alto grado de simetría respecto al promedio.

12

13

4. La siguiente distribución de frecuencias representa el tiempo en segundos que los cajeros de un banco necesitan para servir a una muestra de clientes en el mes de diciembre.

Tiempo (segundos)

N° de clientes

20 -29 30 – 39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 100 – 109 110 – 119 120 -129

6 15 20 30 25 22 11 6 4 0 2

Hacer el análisis estadístico descriptivo

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Intervalo de Clase

FrecuenciaAbsoluta

FrecuenciaAbsoluta

Acumulada


Acumulada

% Frecuenci

aAbsoluta

Acumulada

Marca de Clase o Punto Medio

Media Variación Desviación estándar

Coeficiente deVariación

Dispersión Relativa

[ ] fi Fi f'i F'i Xi fi Xi=Σ Xi

fi /n(Xi – ) (Xi – )2 (Xi – )2 fi S2=

∑i=1

k

f i (x i−x )2

n-1S

20 29 6 6 4% 4.3% 147 24.50 61.02 -36.52 1334.06267 8004.37604

414.2654509 20.353512 33%

30 39 15 21 11% 14.9% 517.5 34.50 61.02 -26.52 703.566219 10553.493340 49 20 41 14% 29.1% 890 44.50 61.02 -16.52 273.069765 5461.395350 59 30 71 21% 50.4% 1635 54.50 61.02 -6.52 42.5733112 1277.1993460 69 25 96 18% 68.1% 1612.5 64.50 61.02 3.48 12.0768573 301.92143370 79 22 118 16% 83.7% 1639 74.50 61.02 13.48 181.580403 3994.7688780 89 11 129 8% 91.5% 929.5 84.50 61.02 23.48 551.083949 6061.9234490 99 6 135 4% 95.7% 567 94.50 61.02 33.48 1120.5875 6723.52497

100 109 4 139 3% 98.6% 418 104.50 61.02 43.48 1890.09104 7560.36417110 119 0 139 0% 98.6% 0 114.50 61.02 53.48 2859.59459 0120 129 2 141 1% 100.0% 249 124.50 61.02 63.48 4029.09813 8058.19627

141 8604.5 12997.3844 57997.1631

Moda

15

Mo=50 +( (30− 20 )(30-20 )+(30- 25 )

∗9)

Mo = 56 segundos

Interpretación: el tiempo que con mayor frecuencia se presenta en atender a la mayoría clientes es de 56 segundos Interpretación: el tiempo que con mayor frecuencia se presenta en atender los cajeros es de 56 segundos

Mediana


Me= 50+ (((141/2)− 41 )30

∗9)Me= 58.85 segundos

Interpretación: Los cajeros del banco necesitan de 58.85 segundos para atender al 50% de los clientes

AsimetríaAs = 3 ( – Me) / sAs = 3 (61.2 – 58.85) / 20.35As= 0.35

Interpretación: En este caso, El coeficiente dió un resultado positivo, (As mayor que 0) lo que implica que los datos se distribuyen en una distribución asimétrica positiva, es decir, es decir existe una mayor concentración de los valores a la izquierda de la media que a su derecha

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