8/13/2019 N Dic 21_Vandiver - On the Class Number of the Field in Fermat's Last Theorem

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MATHEMA T I C S : H . S . VA NDIVERON THE CLASS NUMBER OF THE FIELD 0 ( e 2 i r I P * ) AND THESECOND CASE OF FERMAT S LAST THEOREM

By H . S . V A N D I V Z RD B P A R T M I N T OF M A T I H M A T I C S , C O R N E L L U N I V E R S I T YC o m m u n i c a t e d b y L . E . D i c k s o n , March 3 1 , 1 9 2 0

I n t h e J u l y 1 9 1 9 n u m b e r o f t h e B u l l e t i n o f t h e A m e r i c a n M a t h e m a t i c a lS o c i e t y , p a g e 4 5 8 , I g a v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e r e s i d u e o f t h e f i r s t f a c t o ro f t h e c l a s s n u m b e r o f t h e f i e l d d e f i n e d b y e - i T / P , p b e i n g p r i m e , w i t h r e -s p e c t t o t h e m o d u l u s p a , i n t e r m s o f B e r n o u l l i n u m b e r s . I n t h e p r e s e n tp a p e r a n a n a l o g o u s e x p r e s s i o n f o r t h e r e s i d u e o f t h e f i r s t f a c t o r o f t h e c l a s sn u m b e r o f Q( e 2 i / P 1 ) m o d u l o p , w i l l b e o b t a i n e d a n d t h e r e s u l t u s e d t os h o w t h a t c e r t a i n r e s u l t s d u e t o B e r n s t e i n 1 on F e r m a t s l a s t t h e o r e m d on o t h a v e t h e g e n e r a l i t y s t t e b y h i m . I n v i e w o f t h e c r i t i c i s m s o nK u n m m e r s 1 8 5 7 m e m o i r on t h e l a s t t h e o r e m w h i c h I h a v e g i v e n e l s e w h e r e 2i t i s t h e n p o i n t e d o u t t h a t up t o t h e p r e s e n t t i m e no r i g o r o u s p r o o f o f t h et h e o r e m f o r t h e e x p o n e n t s 5 9 a n d 6 7 h a s b e e n g i v e n .W e s t l u n d 3 r e d u c e d t h e f i r s t f a c t o r o f t h e c l a s s n u m b e r o f Q ( e 2 i w / I P ) , i fn>i,to t h e f o r m

l l . p ( O s )h1=kX 1/2P - 2 ( p - 1 ) 2 1 / 2 n p n - 2 ( p . . ) 2 kw h e r e k i s t h e f i r s t f a c t o r o f t h e c l a s s number o f Q ( e 2 i T / m l ) , 0 = e 2 i r / ,A = ( p ( m ) = p n l ( p _ 1 ) , m = p n M , ml = p n - 1 , r i i s t h e l e a s t p o s i t i v er e s i d u e o f r i , m o d u l o p n , r b e i n g a p r i m i t i v e r o o t o f p n . Th e i n t e g e r st a k e s on a l l o d d v a l u e s < I u e x c e p t m u l t i p l e s o f p , a n d t h e f u n c t i o n q o ( 0 )d e f i n e d b y W e s t l u n d m a y b e p u t i n t h e f o r m( p ( O ) = rO r 1 00r - 1 .We s h a l l n o w r e d u c e k 1 m o d u l o p . To d o t h i s a m o d i f i c a t i o n o f t h e m e t h o du s e d b y K r o n e c k e r i n r e d u c i n g t h e f i r s t f a c t o r o f t h e c l a s s n u m b e r o f9 ( e 2 i / r P ) w i l l b e e m p l o y e d . 4 We h a v e( r - 0 1 1 ) o ( 0 ) = P g ( ) ( 2 )w h e r e g ( 0 ) =q . + q0. q A 1 0a n d q r r i - r i + 1q i = , .F r o m a n a r g u m e n t u s e d b y W e s t l u n d we a l s o h a v eAr 2 H ( r - _ - 1r 2

w1w h e r e , u l = p o ( m 1 ) . S i n c e r i s a p r i m i t i v e r o o t o f p n , t h e n r 2 =-1

4 I 6 P R O C . N . A . S .

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MATHE MA T I C S : H . S . VA NDI VERpp n l a , w h e r e a i s p r i m e t o p . H e n c e r 2 = (-1 p N- l a ) - 1 p a p 2 n l a , , w h e r e a , i s a m u l t i p l e a 2 a o f a . T h u s

Hr ) pn a p 2 n -1 =l a 2 ,s p n a pp aw h e n c e

I M P ( O )( 1 a 2 p ) _ s5 - H g ( O S )1 / 2 n P -2(p_ 1)2-1 sa n d s i n c e p n 2 p2 1 / 2 p 2 ( p 1 ) 2 _ 1 ( m o d p ) ,we h a v e

k - I H g ( O s ) ( m o d p ) . ( 3 )No w H g ( 0 5 ) = a , w h e r e a i s a r a t i o n a l i n t e g e r . C o n s i d e r t h e e x p r e s s i o n

sI I g ( x ) a , w h e r e x i s a n i n d e t e r m i n a t e . T h i s i s a p o l y n o m i a l i n x w h i c hsv a n i s h e s f o r x = 6 , a n d h e n c e i s d i v i s i b l e b y V ( x ) = I I ( x 0 ) , i r a n g i n go v e r t h e s o ( I A ) i n t e g e r s l e s s t h a n a n d p r i m e t o I A , s i n c e V ( x ) i s i r r e d u c i b l ei n t h e d o m a i n o f r a t i o n a l i n t e g e r s . We w r i t e t h e nl l g ( x S ) = a V ( x ) W ( x ) , ( 4 )w h e r e W ( x ) i s a r a t i o n a l i n t e g r a l f u n c t i o n o f x . L e tV s = V S ( X ) = H ( x w i )w h e r e i r a n g e s o v e r a l l t h e i n t e g e r s l e s s t h a n s a n d p r i m e t o i t , a n d w i sa p r i m i t i v e s 5 h r o o t o f u n i t y . T h e n

Xy_1=VAVCIV C2.... ( 5 )x -1 5w h e r e c l , C 2 ...... a r e a l l t h e n u m b e r s o f t h e f o r m p n 1 k , w h e r e k i s a d i -v i s o r o f p - 1 w h i c h i s < p - 1 . S i n c e r i s a p r i m i t i v e r o o t o f p n i t i sa l s o a p r i m i t i v e r o o t o f p . A l s o , ( 5 ) g i v e s

- 1 = V , , ( r ) V c I ( r ) V I 2 ( r ) . 6No w n o V , c a n b e d i v i s i b l e b y p s i n c e i t w o u l d t h e n f o l l o w t h a tr= 1 ( m o d p )w h i c h i s i m p o s s i b l e s i n c e c i s n o t a m u l t i p l e o f p - 1 . S i n c e t h e l e f t -h a n d m e m b e r o f ( 6 ) i s d i v i s i b l e b y p , we , t h e r e f o r e , c o n c l u d e t h a t V A ( r )O ( m o d p ) . S u b s t i t u t i n g x = r i n ( 4 ) a n d u s i n g ( 3 ) , we h a v ek i I l g ( r s ) ( m o d p ) . ( 7 )

SB y F e r m a t s t h e o r e m we h a v e

V O L , . 6 , I920 417

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4 1 8 MATHEMATICS: H . S . VANDIVER P R o c . N . A . Sl l g ( r s ) = l l ( g ( r 2 1 - 1 ) ) O n - 2 ( p - 1 ) ( m o d p ) , ( 7 a )s t

w h e r e t = 1 , 2 , 2 To r e d u c e g ( r 2 - 1 ) m o d u l o p , we h a v er r i = i+ 1 r r i - r i + 1

R a i s i n g t o t h e p o w e r 2 t , a n d n o t i n g t h a t r r i - r i + 1 0 ( m o d p ) , we g e t .2 5 2r r= i 2 + i 2 t ( r r i - r i + I r ? . 1 1 ( m o d p 2 ) .T r a n s p o s i n g , we h a v e2 t r ? + l ( r r i - r i + 1 ) = r 2 z r ? - r 7 2 t + 1 ( m o d p 2 ) .B u t , b y d e f i n i t i o n , r ri1 ( m o d p n )a n d t h e r e f o r e

( r r i r i + 1 ) r ? t + 1 1 = ( r r i r i + 1 ) r ( i + 1 ) ( 2 t - 1 ) (mod p 2 n )w h e n c e , i f i = o , 1 , . . . . . . , u - 1 .2 t p . t r 2 - - 1- r 2 5 Z r s 2 - _ 2 r , 2 t + 1 ( m o d p 2 n ) .No w Z r S 2 = 2 r 2 t + 1 = a l a 2 +...... a 2 t = S 2 1 iw h e r e t h e a s a r e t h e i n t e g e r s l e s s t h a n p n a n d p r i m e t o i t . H e n c eI I g ( r - - ( m o d p ) . ( 8 )9 ~ ~ 2 t p n r 2 l 1To r e d u c e t h e e x p r e s s i o n o n t h e r i g h t - h a n d s i d e we s h a l l f i r s t c o n s i d e rt h e q u a n t i t y S 2 5 . I t w i l l b e s h o w n t h a tS 2 t R 2 5 ( m o d p n + 1 ) ( 9 )f o r t

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MATHEMA T I C S : H . S . VANDIVERf o r 2 t < p - 1 a n d I T 1 P 0 ( m o d p n 2 ) . ( 9 c )A p p l y i n g t h e s e t o ( 9 b ) , t h e r e l a t i o n s ( 9 ) a n d ( 9 a ) f o l l o w . We a l s o h a v eby t h e B e r n o u l l i s u m m a t i o n f o r m u l ap n ( 2 1 ) p 2 t , n 2 t \ B 1 n ( 2 1 )R 2 1 = P p ( p2 t + 1 2 \ 122 t B 2 p n ( 2 1 - 3 ) . ( - 1 ) + l B t p n .w h e r e B 1 = 1 / 6 B 2 = 1 / 3 0 , e t c .By t h e von S t a u d t - C l a u s e n t h e o r e m , t h e B e r n o u l l i n u m b e r s B 1 , B 2 ,...... B ( p - 3 ) / 2 a l l h a v e d e n o m i n a t o r s p r i m e t o p . H e n c e i f 2 t < p - 1e v e r y t e r m i n t h e a b o v e e x p a n s i o n i s a n i n t e g e r , o r e l s e a f r a c t i o n w h o s ed e n o m i n a t o r i s p r i m e t o p . A l s o t h e n u m e r a t o r s e x c e p t i n t h e l a s t t e r m ,

a r e d i v i s i b l e b y p 2 n . I f 2 t = p - 1 , t h e n t h e d e n o m i n a t o r o f B p - 1 i sd i v i s i b l e b y p b u t n o t b y p 2 a n d , t h e r e f o r e , we m a y w r i t eR p - 1 p n - l a ( m o d p 2 n ) ( a a n i n t e g e r p r i m e t o p ) . ( 1 0 )

H e n c e we m a y w r i t eR 2 1 =( _ l ) t + 1 B 1 p ( m o d p n + 1a n d , t h e r e f o r e , f o r a n y t < ( p - 1 ) / 2 we h a v e r 2 1 ) S 2 t ( r 2 - 1 ) R 2 , ( - ) + B t r 2 - 1 ( m o d p )2 t p r 2 1 2 t p r 2 - 1 2 t r 2 t 1

F o r t = ( p - 1 ) / 2 , t h e c o r r e s p o n d i n g f a c t o r i n t h e r i g h t - h a n d membero f ( 8 ) t a k e s t h e f o r m ( r p l ) S P _ 2 ( l l a )( p - 1 ) p n r P - 2We h a v e f r o m ( 9 a ) S P R p ( m o d p n )a n d , t h e r e f o r e , t h e r e l a t i o n ( 1 O ) s h o w s t h a t ( r P- 1 - 1 ) S p i s d i v i s i b l e b yp n b u t n o t b y p n + 1 s i n c e r P - 1 - 1 i s d i v i s i b l e b y p b u t n o t b y p 2 . T h e nm o d u l o p , t h e e x p r e s s i o n ( l l a ) m a y b e r e d u c e d t o a n i n t e g e r p r i m e t o p .U s i n g t h i s i n c o n n e c t i o n w i t h ( 1 1 ) , ( 7 a ) a n d ( 8 ) , we o b t a i n/ ( p - 3 ) / 2 \pn - 2 ( p -1I I g ( f (t - - I I ) ( m o d p ) . ( 1 2 )

s \ = 1 /H e n c e , l l g ( r S ) a n d , t h e r e f o r e , k , i s d i v i s i b l e b y p i f a n d o n l y i f a t l e a s t o n e

so f t h e n u m b e r s B t ( t = 1 , 2. . . . . . . ( p - 3 ) / 2 ) i s d i v i s i b l e b y p . ( AB e r n o u l l i n u m b e r i s s a i d t o b e d i v i s i b l e b y a n i n t e g e r i when i t s d e n o m i n a -t o r i s p r i m e t o i a n d i t s n u m e r a t o r i s d i v i s i b l e b y i . ) No w B e r n s t e i n i nh i s a r t i c l e c i t e d a b o v e g i v e s t h e r e s u l t :U n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t t h e c l a s s n u m b e r o f 9 ( e 2 j , / p ) i s d i v i s i b l e b yp b u t n o t b y p 2 , t h e r e l a t i o n

VOL. 6 , I 1 9 2 0 419

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MATHEMA T I C S : H. S . VANDI VERx P y P Z P = 0 ( 1 3 )i s i m p o s s i b l e i n i n t e g e r s p r i m e t o e a c h o t h e r i f x y z 0 ( m o d p ) .I s h a l l now s h o w t h a t t h i s c r i t e r i o n c o n s t i t u t e s n o e x t e n s i o n o v e r t h e

o n e g i v e n b y Ku m m e r t o t h e e f f e c t t h a t ( 1 3 ) i s i m p o s s i b l e i n i n t e g e r s i fp i s a r e g u l a r p r i m e . F o r i f t h e f o r m e r a p p l i e s t o o t h e r t h a n r e g u l a r p r i m e sa s e x p o n e n t s , t h e n p must b e a p r i m e s u c h t h a t( p - 3 ) / 2l B s = 0 ( m o d p ) .i = 1

T h i s b e i n g t h e c a s e , i t f o l l o w s f r o m ( 1 2 ) t h a t k 1 0 ( m o d p ) , a n d b y K u m-m e r s t h e o r e m , 6 k i s a l s o d i v i s i b l e b y p . H e n c e h i =0 ( m o d p 2 ) c o n -t r a r y t o B e r n s t e i n s a s s u m p t i o n t h a t t h e c l a s s n u m b e r o f f l ( e 2 i / P 2 ) i s n o td i v i s i b l e by p 2 .

I n a p a p e r c i t e d a b o v e t h e w r i t e r p o i n t e d o u t e r r o r s i n K u m m e r s m e m o i ro f 1 8 5 7 o n t h e r e l a t i o n ( 1 3 ) . C o n s i d e r i n g t h i s i n c o n n e c t i o n w i t h t h ef a i l u r e o f B e r n s t e i n s c r i t e r i o n i t f o l l o w s t h a t F e r m a t s l a s t t h e o r e m h a sn o t b e e n r i g o r o u s l y p r o v e d f o r a l l n o n - r e g u l a r p r i m e s l e s s t h a n 1 0 0 . T h e s en o n - r e g u l a r p r i m e s a r e 3 7 , 5 9 a n d 6 7 . M i r i m a n o f f 8 g a v e a n a d e q u a t ep r o o f f o r t h e c a s e p = 3 7 , w h i c h l e a v e s t h e c a s e s p = 5 9 a n d 6 7 s t i l l t o b ed i s p o s e d o f .I n c o n n e c t i o n w i t h t h e c y c l o t o m i c c l a s s n u m b e r i t m a y b e n o t e d t h a tF u r t w a i n g l e r 7 p r o v e d t h a t t h e c l a s s n u m b e r o f 2 ( e 2 h r / P M ) i s d i v i s i b l e b yt h e p r i m e p i f , a n d o n l y i f , t h e f i r s t f a c t o r o f t h e c l a s s n u m b e r o f t h e f i e l dR ( e 2 i / P ) i s d i v i s i b l e b y p .2 . B e r n s t e i n 8 a l s o g a v e a c r i t e r i o n i n c o n n e c t i o n w i t h ( 1 3 ) f o r t h e c a s ew h e r e x , y a n d z a r e p r i m e t o p . He m a k e s t w o a s s u m p t i o n s t h e f i r s tb e i n g t o t h e e f f e c t t h a t t h e s e c o n d f a c t o r o f t h e c l a s s n u m b e r o f Q ( e 2 i t / P )i s d i v i s i b l e b y p , a n d s t a t e s 1 . c . , p . 5 0 7 , t h a t h i s c r i t e r i o n i n c l u d e s t h a to f K u m m e r s 1 8 5 7 m e m o i r s a s p e c i a l c a s e . T h i s i s n o t c o r r e c t , h o w -e v e r , a s t h e r e a r e n o p r i m e s , p l e s s t h a n 1 0 0 s u c h t h a t t h e 2 n d f a c t o r o ft h e c l a s s n u m b e r i s d i v i s i b l e b y p . ( T h i s f o l l o w s f r o m s o m e c o t n p u t a t i o n s -b y K u m m e r 9 i n c o n n e c t i o n w i t h c e r t a i n i n v e s t i g a t i o n s r e g a r d i n g t h e l a s t .t h e o r e m . ) T h i s b e i n g t h e c a s e , B e r n s t e i n s c r i t e r i o n c a n a t m o s t s u p p l e -ment K u m m e r s w h i c h l a t t e r c r i t e r i o n s t a t e d t h a t i f ( 1 3 ) i s s a t i s f i e d i ni n t e g e r s s u c h t h a t x y z i s p r i m e t o p t h e n B ( p 3 ) / 3 a n d B ( p 5 ) / 2 r e d i v i s -i b l e 1 0 b y p .T h i s c r i t e r i o n w o u l d e l i m i n a t e , f o r e x a m p l e , a l l p s l e s s t h a n 1 0 0 , w h i c hB e r n s t e i n s c o n d i t i o n d o e s n o t d o .

3 . K u m e r r i g o r o u s l y e s t a b l i s h e d t h e t h e o r e m t h a t ( 1 3 ) c a n n o t b es a t i s f i e d i n i n t e g e r s p r i m e t o e a c h o t h e r i f p i s a r e g u l a r p r i m e , a n d n o t e dt h a t a l l p r i m e s < 1 0 0 w e r e r e g u l a r e x c e p t 3 7 , 5 9 a n d 6 7 . But K u m m e r ?a l s o s h o w e d t h a t t h e f i r s t f a c t o r o f t h e c l a s s n u m b e r s o f U ( e 2 i , / P ) f o r a l lp r i m e s p , w h e r e 1 0 0 < p < 1 6 7 , e x c e p t i n g p = 1 0 1 , 1 0 3 , 1 3 1 , 1 4 9 a n d1 5 7 , w a s i n e a c h c a s e p r i m e t o p . 8 3 I t f o l l o w s t h a t t h e p r i m e s p w h i c h a r e

P R O C . N . A . S .2 0

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GENETICS: C . W. METZ> 1 0 0 a n d < 1 6 7 w i t h t h e e x c e p t i o n s n o t e d a b o v e a r e a l l r e g u l a r a n dt h e l a s t t h e o r e m i s p r o v e d f o r t h e s e e x p o n e n t s p .G o t t i n g e n N a c h r i c h t e n , 1 9 1 0 ( 5 0 7 - 1 6 ) .2 T h e s e P R o c z I D I N G s , 6 , 1 9 2 0 ( 2 6 6 ) .8 T r a n s . A m e r . M a t h . S o c . , 4 , 1 9 0 3 ( 2 0 1 - 1 2 ) .4 H i l b e r t , D i e T h e o r i e d e r A l g e b r a i s c h e n Z a h 1 k d r p e r s , p . 4 3 06 H i l b e t , 1 . c . , p . 4 2 9 .6 C r e U e , I I I , 1 8 9 3 ( 2 6 - 3 0 ) .7 I b i d . , 1 4 0 , 1 9 1 1 ( 2 9 ) .8 L . c . , p p . 4 8 2 - 8 8 .

9 A b h a n d l u n g e n B e r l i n A c a d e m y , 1 8 5 7 , p . 7 3 , v e r i f i c a t i o n o f 2 n d a s s u m p t i o n .1 0 Kummer, 1 . c . , p p . 6 3 - 5 .1 1 C r e l k e , 4 0 ( 9 3 - 1 3 9 ) .1 2 B e r l i n M o n a t s b e r i c h t e , 1 8 7 4 .1 3 H i l b e r t , 1 . c . , p p . 4 2 9 , 4 3 5 .

OBSERVATIONS ON THE STERILITY OF MUTANT HYBRIDSTN DROSOPHILA V I R I L I SBy C . W. M r s T z

S T A T I O N F O R E X P Z R I M Z N T A I 4 E V O L U T I O N , C A R N I G I Z I N S T I T U T I O N O F W A S H I N G T O NC o m m u n i c a t e d b y C . B . D a v e n p o r t , Ma y 2 8 , 1 9 2 0

I n a n e a r l i e r p a p e r b y Metz a n d B r i d g e s , a t t e n t i o n w a s c a l l e d t o twoc a s e s o f a p p a r e n t i n c o m p a t i b i l i t y b e t w e e n mutant r a c e s i n D r o s o p h i l a .One o f t h e s e c a s e s i n v o l v e d my d a t a o n t h e s e x l i n k e d c h a r a c t e r s r u g o s ea n d g l a z e d i n D r o s o p h i l a v i r i l i s . S u b s e q u e n t t o t h e p u b l i c a t i o n o f t h i sp a p e r a n o t h e r c h a r a c t e r a p p e a r e d i n D . v i r i l i s t h a t s h o w s t h e sa m e r e l a -t i o n s t o r u g o s e a n d g l a z e d t h a t t h e y d o t o o n e a n o t h e r . 2 A s t u d y o f t h e s et h r e e c h a r a c t e r s h a s b r o u g h t o u t some i n t e r e s t i n g r e l a t i o n s h i p s a n d h a sa p p a r e n t l y r e v e a l e d a n e r r o r i n t h e p r e v i o u s p u b l i c a t i o n t h a t s h o u l d b ec o r r e c t e d .I t ma y b e r e c a l l e d t h a t h y b r i d s b e t w e e n r u g o s e a n d g l a z e d w e r e i n -v a r i a b l y s t e r i l e , w h i l e s u p p o s e d l y p u r e s t o c k o f e a c h mutant wa s f e r t i l ea n d h y b r i d s o f e i t h e r w i t h o t h e r mutant s t o c k s w e r e f e r t i l e ; h e n c e i t wa sc o n c l u d e d t h a t r u g o s e a n d g l a z e d w e r e i n c o m p a t i b l e . I t a p p e a r s n o wt h a t a m i s t a k e w a s p r o b a b l y made i n t h e s t a t e m e n t t h a t p u r e s t o c k s o fb o t h r u g o s e a n d g l a z e d h a v e n o r m a l f e r t i l i t y . A p p a r e n t l y t h i s s h o u l dh a v e a p p l i e d o n l y t o r u g o s e , f o r l a t e r w o r k h a s s h o w n t h a t f e m a l e sh o m o z y g o u s f o r g l a z e d a r e u s u a l l y s t e r i l e a n d t h a t p u r e c u l t u r e s c a n n o t b em a i n t a i n e d - a t l e a s t w i t h o u t g r e a t d i f f i c u l t y . P o s s i b l y t h i s c o n d i t i o nh a s a r i s e n b y t h e s e c o n d a r y a p p e a r a n c e o f s t e r i l i t y f a c t o r s i n t h e s t o c ks i n c e t h e p r e v i o u s p a p e r wa s w r i t t e n , b u t more p r o b a b l y t h e e a r l i e r s t o c kw a s i m p u r e , a t l e a s t p a r t o f t h e t i m e - t h e i m p u r i t y h a v i n g b e e n o v e r -l o o k e d t h r o u g h c o n f u s i o n w i t h r u g o s e i n w h i c h t h e h o m o z y g o u s f e m a l e sa r e s o m a t i c a l l y n o r m a l . U n f o r t u n a t e l y n o a c c u r a t e r e c o r d s o f s t o c k

VOL. 6 , I 1 9 2 0 4 2 1

8/13/2019 N Dic 21_Vandiver - On the Class Number of the Field in Fermat's Last Theorem

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v e l o p m e n t o f s e i s m o l o g i c a n d v o l c a n o l o g i c r e s e a r c h d i r e c t l y b e f o r e b o t hn a t i o n a l a n d i n t e r n a t i o n a l b o d i e s q u a l i f i e d t o f u r n i s h a d v i c e a n d p r o m o t ea b r o a d c o o p e r a t i o n o f g r e a t v a l u e .

Y o u r s r e s p e c t f u l l y ,WHITMAN C R O S S C h a i r m a nWILLIm B o w i nARTHUR L . D A YH . E . G R Z G O R YH . F I Z L D I N G R u I D .

ERRA TA9.e.E.D q.e.E.DP . 2 1 5 . F o r v r e a d v

P . 2 6 8 . I n t h e o r e m I I f o r b u t B v x 0 r e a d b u t B , x n o t 0 ; a n d i n t h e o r e mIV f o r o r 0 + r e a d o r n o t .

P . 4 1 6 . F o r t h e d e n o m i n a t o r o f 1 ) r e a d 2 a p b w h e r e a = pn - p 1 ) 2 b =2n p n2 p) 2 - 1, a n d o n p . 4 1 7 r e a d p b f o r t h e d e n o m i n a t o r o f t h e s e c o n d2f r a c t i o n a n d a f o r t h e l e f t s i d e o f t h e n e x t f o r m u l a .

7 1 6 ER R A TA P R O C . N . A . S .