Wyznaczanie przemieszcze ń w kratownicy

∑∫=

⋅⋅=⋅=

n

P PP

PpP

L AE

NLNdL

EA

NN

1

δ

Całkujemy siły normalne na poszczególnych prętachi sumujemy dla całej konstrukcji

Zadanie: Wyznacz przemieszczenie pionowe węzła A z zasady prac wirtualnych, EA=const

3

18kN

16kNA

4

3

Wyznaczenie reakcji

3

V =4kN1

H =18kN1

12

V =20kN2

18kN

16kNA

4

3

Wyznaczenie sił w prętach od obciążenia zewnętrznego

18kN

16kNA

4

3 3

V =4kN1

H =18kN1

12

V =20kN2

34

D1 D2

G1

S1 S2K1 K2

Wykres sił normalnych w kratownicy

18kN

16kNA

4

3

V =4kN1

H =18kN1

12

V =20kN2

34

18

4

15

15

20525

N

[kN]

3

Obciążenie wirtualne

1A

4

3 3

12

Obciążenie wirtualne

1A

4

3 3

V =1/21

H =01

12

V =1/22

Wyznaczenie sił od obciążenia wirtualnego

1A

4

3 3

V =1/21

H =01

12

V =1/22

4 3

S1

S2

D1

D2

G1

K1

K2

Wykres sił od obciążenia wirtualnego

1A

4

3 3

V =1/21

H =01

12

V =1/22

34

1/2

3/8

3/8

1/25/85/8

N

Wyznaczenie przemieszczenia

1A

4

3 3

V =1/21

H =01

12

V =1/22

34

1/2

3/8

3/8

1/25/85/8

N

18kN

16kNA

4

3

V =4kN1

H =18kN1

12

V =20kN2

34

18

4

15

15

20525

N

[kN]

3

( )

EA

EA

EA

EAvA

4

513

58

5255

8

55

1

38

3153

8

3153180

1

45,0204)5,0(41

=

⋅⋅−⋅⋅−+

⋅

−⋅−⋅⋅+⋅⋅+

⋅⋅+⋅−⋅=

Metoda Si ł

Metoda Sił

• Metoda rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych

• Układy statycznie niewyznaczalne –układy mające więcej reakcji niż liczba równań równowagi

• Liczba niewiadomych reakcji określa stopień statycznej niewyznaczalności

Stopień statycznej niewyznaczalności dla belek i ram bez obwodu zamkniętego:

3−−= Prs lln

lr – liczba reakcji w układzie

lP – liczba przegubów z uwzględnieniem ich krotności

3 – liczba równań równowagi na płaszczyźnie

Metoda Sił – tok postępowania

• Wyznaczamy stopień statycznej niewyznaczalności układu

2305 =−−=sn

Układ dwukrotnie statycznie niewyznaczalny

Metoda Sił – tok postępowania

• Konstrukcję pozbawiamy więzów, tak aby powstałukład statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny

Metoda Sił – tok postępowania• W miejscu usuniętych więzów wprowadzamy nadliczbowe

niewiadome – uogólnione siły,zamiast blokady przesuwu – siły skupionezamiast blokady obrotu - moment

X1 X2

Metoda Sił – tok postępowania• Obciążamy schemat podstawowy pierwszą nadliczbową

X1=1

X =11

1121

d11

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X1 =1

d21

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X1 =1

Metoda Sił – tok postępowania• Wyznaczenie d11

X =11

M1

1M

∫∫ ==ss

dsEI

MMds

EI

MM 11111δ

Metoda Sił – tok postępowania• Wyznaczenie d21

X =11

M1

1M

X =12

M2

∫∫ ==ss

dsEI

MMds

EI

MM 21121δ

Metoda Sił – tok postępowania• Obciążamy schemat podstawowy drugą nadliczbową X2=1

X =12

1222

d22

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1

d12

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1

d22

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1

d12

–

d22

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1

wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1

d12

–

d22

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1

Metoda Sił – tok postępowania• Wyznaczenie d22 i d12

X =11

M1

X =12

M2

2

X =12

122

X =11

1121

∫=s

dsEI

MM 2222δ

∫=s

dsEI

MM 2112δ

Metoda Sił – tok postępowania• Wpływ obciążenia zewnętrznego - d10 i d20

X =11

M1

X =12

M2

X =12

1222

X =11

1121

M0

wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegoobciążeniem zewnętrznym

d20

–

d10

– wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegoobciążeniem zewnętrznym

Metoda Sił – tok postępowania• Wpływ obciążenia zewnętrznego - d10 i d20

X =11

M1

X =12

M2

X =12

1222

X =11

1121

M0

∫=s

dsEI

MM 0110δ

∫=s

dsEI

MM 0220δ

Metoda Sił – tok postępowania• Ogólnie – w przypadku belek i ram pod obciążeniem

statycznym

X =11

M1

X =12

M2

X =12

1222

X =11

1121

M0

∫=s

kjjk ds

EI

MMδ

∫=s

jj ds

EI

MM 00δ

Metoda Sił – tok postępowaniaW rzeczywistym schemacie statycznie niewyznaczalnym

przemieszczenia w miejsce podpór są równe 0, stąd

X =11

M1

X =12

M2

X =12

1222

X =11

1121

M0

Przemieszczenie na podporze 1

0102121111 =+⋅+⋅= δδδδ XX

Przemieszczenie na podporze 2

0202221212 =+⋅+⋅= δδδδ XX

Układ równań kanonicznych metody siłdla schematu dwukrotnie statycznie niewyznaczalnego:

X =11

M1

X =12

M2

X =12

1222

X =11

1121

M0

2120222121

10212111 ,0

0XX

XX

XX⇒

=+⋅+⋅=+⋅+⋅

δδδδδδ

Wyznaczenie wartości momentu w punkcie „i”od obciążenia zewnętrznego dla układu statycznie niewyznaczalnego:

02211 iiii MXMXMM +⋅+⋅=

Metoda sił – tok postępowania, podsumowanie:

=+⋅++⋅+⋅

=+⋅++⋅+⋅=+⋅++⋅+⋅

0...

.................................................................

0...

0...

02211

202222121

101212111

nnnnnn

nn

nn

XXX

XXX

XXX

δδδδ

δδδδδδδδ

• Obliczenie stopnia statycznej niewyznaczalności,• Przyjęcie schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego• Wrysowane wykresów od nadliczbowych X1,, X2 ,…, Xn• Wyznaczenie współczynników układu równań

• Rozwiązanie równań i obliczenie nadliczbowych X1, X2, …,X3• Wyznaczenie wartości momentów w charakterystycznych punktach na podstawie wzoru:

02211 iiii MXMXMM +⋅+⋅=

• Wyznaczenie wykresów sił T i N na podstawie wykresów momentów