N TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP ... · Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447

Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội.

Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447 - Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn!

1

TUYỂN TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO

LỚP 10 TP.HÀ NỘI

Bài 1: ( Hà Nội 2006 – 2007)

Cho O đường kính 2AB R ,C là trung điểm của OA , dây MN vuông góc với OA tại C .

Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM , H là giao điểm của AK và MN

a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.

b) Tính .AH AK theo R

c) Xác định vị trí của điểm K để tổng KM KN KB đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị lớn nhất

đó.

Hướng dẫn giải:

a) Vì K O đường kính AB AK KB

Suy ra: 90AKB

Xét tứ giác : 90 90 180BCHK HCK HKB

Suy ra BHCK nội tiếp

b) Theo phương tích ta có: 2. . 2 .2

RAH AK AB AC R R

H

K

C

N

M

OBA



2

c) Ta chứng minh tam giác BMN đều thật vậy:

Ta có:

2 2 23. .2 3

2

3

BM BN BC BA R R R

BM BN R

Lại có: 2

2 2 2 32 3

4 2

RMC OM OC R R MN MC R

Suy ra BMN đều.

Khi đó ta luôn có: KM KB KN ( Chứng minh bằng cách dựng hình phụ như hình vẽ )

Suy ra: 2 4 2KM KB KN KN R KN R

max

4KM KB KN R

Dấu “=” xảy ra khi , ,K O N thẳng hàng.

I

K

BM

N



3

Bài 2: ( Hà Nội 2007 – 2008 )

Cho ;O R tiếp xúc với đường thẳng d tại A . Trên d lấy điểm H không trùng với A sao cho

AH R . Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với d , đường thẳng này cắt đường tròn tại hai

điểm E và B . ( E nằm giữa B và H ).

a) Chứng mình ABE EAH và ~ABH EAH

b) Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn thẳng AC , đường thẳng CE cắt AB

tại K . Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp.

c) Xác định vị trí của điểm H để 3AB R .


a) Ta có 1

2ABE EAH sđ EA

Khi đó dễ dàng chứng minh: ~ABH EAH ( g.g )

b) Xét ACE có đường cao EH đồng thời là đường trung tuyến nên ACE cân tại E

Khi đó ACE CAE ABE

~ACK ABH (g.g)

90AKC

I

K

B

E

H

C

A

O



4

Xét tứ giác AHEK có: 90 90 180AHE AKE

Suy ra AHEK nội tiếp.

c) Từ C hạ CI AB I AB . Khi đó 3

2

RIA IB

3: cos

2

30

AIAIO OAI

OA

OAI

Mà OAI ABH ( 2 góc so le trong )

330

2 2

AB RABH AH

Khi đó H là giao điểm của d và 3

;2

RA

Bài 3: ( Hà Nội 2008 – 2009 )

Cho O có đường kính 2AB R và điểm E bất kì trên đường tròn ( E khác ,A B ). Đường

phần giác AEB cắt cạnh AB tại F và cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K

a) Chứng minh rằng: ~KAF KEA

b) Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn thẳng EF với OE , chứng minh rằng đường

tròn tâm I bán kính IE tiếp xúc với O tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F .

c) Chứng minh / /MN AB , trong đó ,M N lần lươt là giao điểm thứ hai của ,AE BE với đường

tròn I .

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác KPQ theo R khi E chuyển động trên đường tròn

O , với P là giao điểm của NF và AK ; Q là giao điểm của MF và BK .




5

a) Do EK là phân giác AEB45

AK KB

AEK BEK KAB

Khi đó dễ dàng chứng minh ~KAF KAE ( g.g )

b) Ta có 3 điểm , ,E I O thẳng hàng mà OI OE IE

suy ra I tiếp xúc với O tại E

Ta có: IE IF IEF IFE

EFA FEB FBE ( Tính chất góc ngoài ).

2.EFA FEB FBE FEI IEB FBE FEI IEB

2. 2. 2. 2.45 90EFA IFE IFA FEI IEB IFE FEI IEB FEB

Hay IF AB

Suy ra I tiếp xúc với AB tại F

Q

P

M NI

K

F

E

O BA



6

c) Ta có: IM IF IME cân tại I IEM IME

Lại do OE OA OAE cân tại O OAE OEA

EMI EAO mà chúng ở vị trí đồng vị / /MN AB .

d) Ta chứng minh được tứ giác: KPFQ là hình chữ nhật

KQ FP

Mặt khác APF vuông cân tại P FP PA

22

ABKQ PA KQ PK PA PK AK R

Lại có: PQ KF OK R

Suy ra: 1 2KPQCV R

min 1 2KPQCV R

Dấu “=” xảy ra khi E là điểm chính giữa cung AB

Bài 4: ( Hà Nội 2009 – 2010 )

Cho ;O R và điểm A nằm bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến ,AB AC với đường tròn (

,B C là các tiếp điểm )

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp.

b) Gọi E BC OA . Chứng minh rằng BE OA và 2.OE OA R

c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn ;O R lấy điểm K bất kì ( K khác ,B C ) . Tiếp tuyến tại

K của đường tròn ;O R cắt ,AB AC theo thứ tự tại ,P Q . Chứng minh rằng tam giác APQ có

chu vi không đổi khi điểm K chuyển động trên cung nhỏ BC .

d) Đường thẳng qua O vuông góc với OA cắt các đường thẳng ,AB AC theo thứ tự tại ,M N .

Chứng minh rằng: PM QN MN




7

a) Do ,AB AC là các tiếp tuyến 90ABO ACO

180ABO ACO

Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: AB AC

Lại có OA OB

Suy ra OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC

OB AC

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABO ta có: 2 2.OE OA OB R

c) Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:

;PK PB QK QC

APQCV AP AQ PQ AP PB AQ QC AB AC ( không đổi )

d) Ta có AMN cân tại A AMN ANM (1)

K

N

M

Q

P

E

C

B

O

A



8

Ta có: 180

902 2 2

BOC BAC BACPOQ

Lại có: 90 902

BACAOB BAO

2 2

BAC BACPOQ AOB AOQ POB AOQ POB

OQN POM (2)

Từ (1), (2) ta chứng minh được: ~POM OQN (g.g)

22. .

4

PM OM MNPM QN OM ON OM

ON QN

Ta có: 2 . 2.2

MNPM QN PM QN MN ( đccm )

Bài 5: ( Hà Nội 2010 – 2011 )

Cho đường tròn O đường kính 2AB R và điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác ,A B ).

Lấy điểm D thuộc dây BC ( D khác ,B C ). Tia AC cắt cung nhỏ BC tại điểm E , tia AC cắt

BE tại F .

a) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh: . .DADE DB DC

c) Chứng minh CFD OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE , chứng minh

IC là tiếp tuyến của O .

d) Biết DF R . Chứng minh 2tg AFB




9

a) Vì C O đường kính AB 90 90ACB FCD

Tương tự: 90FED

Xét tứ giác FCDE có: 180FCD FED tứ giác FCDE nội tiếp.

b) Dễ dàng chứng minh: ~ADC BDE ( g.g )

. .DA DC

DA DE DB DCDB DE

( đccm )

c) Theo câu a) tứ giác FCDE nội tiếp nên: CFD CED

mà OBC CED ( Tứ giác ACEB nội tiếp O

Lại do OCB cân tại O OCB OBC

I

F

E

D

C

O BA



10

Suy ra: CFD OCB

Xét tứ giác FCDE nội tiếp có: 90FCD FED

tâm I là trung điểm của FD

Khi đó: IC ID IF ICF cân tại I CFI ICF OCB

90OCI OCB ICD ICF ICD FCD

Suy ra: IC OC mà C O IC là tiếp tuyến của O

d) Chứng minh tương tự câu c) ta có: IE là tiếp tuyến của O

Suy ra: 2 2

ED RID IE

Mặt khác theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có IO là tia phân giác CIE

2

CIECIO OIE AFB

tan2

CI RAFB

OC

Bài 6: ( Hà Nội 2011 – 2012 )

Cho đường tròn O đường kính 2AB R . Gọi 1 2,d d lần lượt là hai tiếp tuyến của đường tròn

tại ,A B . Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn ( E không trùng ,A B ).

Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng 1 2,d d lần lượt tại ,M N .

a) Chứng minh tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh ENI EBI và 90MIN

c) Chứng minh: . .AM BN AI BI

d) Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm E của O . Hãy tính diện tích tam

giác MIN theo R khi 3 điểm , ,E I F thẳng hàng.




11

a) Vì 1d là tiếp tuyến của O tại A nên 1 90d BA MAI

Lại có: 90MN EI MEI

Xét tứ giác AMEI ta có: 90MAI MEI

Suy ra tứ giác AMEI nội tiếp.

b) Chứng minh tương tự ta có tứ giác: MNEI nội tiếp.

Khi đó: ENI EBI

Ta có:

F

N

M

E

I

d2

d1

BA

O



12

90

EMI EAI

EMI ENI EAI EBI

Suy ra: 90MIN

c) Ta có: 90AIM BNI BIN

Suy ra: ~AMI BIN ( g.g )

. .AM AI

AM BN AI BIBI BN

d) Khi , ,E I F thẳng hàng

Vì F là điểm chính giữa cung AB EF là phân giác AEB 45AEI BEI

Ta có: 45AEI AMI AMI vuông cân tại 2 22 2

R RA MI AI

Tương tự: 3 3

2 . 22 2

RNI IB R

Suy ra: 21 1 3 3

. . .2 2 42 2

MIN

R R RS MI NI

Bài 7: ( Hà Nội 2012 – 2013 )

Cho đường tròn ;O R đường kính AB . Bán kính OC vuông góc với AB , M là điểm bất kì

trên cung nhỏ AC , ( M khác ,A C ). BM AC H . K là hình chiếu của H trên AB .

a) Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp.

b) Chứng minh ACM ACK

c) Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho AM BE . Chứng minh tam giác ECM vuông cân

tại C

d) Gọi d là tiếp tuyến của O tại A . Gọi A là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm ,P C

nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB và .AP MB

RMA

. Chứng minh rằng

PB đi qua trung điểm của HK .




13

N

I

P

d

E

K

H

M

C

O BA

a) Vì C O đường kính AB 90ACB

Lại có: 90HK AB HKB

Xét tứ giác BCHK : 180HKB HCB

Suy ra tứ giác BCHK nội tiếp.

b) Theo câu a) BCHK nội tiếp ACK ABM

mà ABCM nội tiếp O ABM ACM

Suy ra: ACM ACK

c) Vì C là điểm chính giữa cung AB nên AC AB

Lại có: ;MAC EBC MA EB

Khi đó ta có: . .MAC EBC c g c



14

Suy ra: CM CE (1)

Mặt khác: MCE ECB mà 90 90HCE ECB HCE MCA MCE (2)

Từ (1),(2) ta có MCE vuông cân tại C

d) Theo giả thiết: .AP MB AP R OB

RMA MA MB MB

Mặt khác: PMA MBO ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

~ . .APM BOM c g c

APM cân tại P PA PM

Gọi I MB d ta có: APM vuông tại ,M P AI mà PM PA

Suy ra P là trung điểm AI

Lại do: / /AI HK AB

Suy ra BP cũng đi qua trung điểm của HK ( Hệ quả của đinh lí Ta – lét )

Bài 8: ( Hà Nội 2013 – 2014 )

Cho đường tròn O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ hai tiếp tuyến ,AM AN với

đường tròn ( ,M N là các tiếp điểm ). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn tại hai điểm

,B C ( AB AC , d không đi qua O )

a) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp.

b) Chứng minh rẳng: 2 .AN AB AC . Tính độ dài đoạn BC khi 4; 6AB AN

c) Gọi I là trung điểm của BC . Đường thẳng NI cắt đường tròn O tại điểm thứ hai T .

Chứng minh rằng / /MT AC .

d) Hai tiếp tuyến của O tại ,B C cắt nhau tại K . Chứng minh rằng K thuộc đường thẳng cố

định khi đường thẳng d thay đổi thỏa mãn đề bài.




15

a) Do ,AM AN là tiếp tuyến của O 90AMO ANO

Xét tứ giác AMON : 180AMO ANO AMON nội tiếp

b) Dễ dàng chứng minh: ~ABN ANC ( g.g ) 2.AB AN

AB AC ANAN AC

c) Vì I là trung điểm của BC 90OI BC AIO

Khi đó tứ giác AION nội tiếp1

2AIN AON MON

Mặt khác: 1

2MTN MON

K

T

I

C

B

N

M

O

A



16

Suy ra: MTN AIN ( mà chúng ở vị trí đồng vị ) / /MT AC

d) Dễ dàng chứng minh , ,K I O thẳng hàng ( do cùng nằm trên đường trung trực của BC )

Vì KB là tiếp tuyến của O 90KBO .

Xét KBO vuông tại B, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

2 2.OB OI OK OM

Khi đó: ~MIO KMO ( c.g.c )

KMO MIO (1)

Mặt khác ta chứng minh được 5 điểm , , , ,A M I O N cùng nằm trên một đường tròn.

Suy ra: 180MNO NMO MIO (2)

Từ (1),(2) ta có: 180 180NMO KMO NMO KMO

Suy ra 3 điểm , ,K M N thẳng hàng

Do ,M N cố định nên K luôn chuyển động trên một đường thẳng cố định.

Bài 9: ( Hà Nội 2014 – 2015 )

Cho ;O R đường kính AB cố định. Vẽ đường kính MN của đường ;O R ( M khác ,A B ).

Tiếp tuyến của ;O R tại B cắt đường thẳng ,AM AN lần lượt tại ,Q P .

a) Chứng minh rằng AMBN là hình chữ nhật.

b) Chứng minh 4 điểm , , ,M N P Q cùng nằm trên một đường tròn.

c) Gọi E là trung điểm của BQ . Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại F . Chứng

minh rằng F là trung điểm BP và / /ME NF .

d) Khi đường kính MN quay quanh O và thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí của đường

kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất.




17

a) Do M O đường kính AB nên: 90AMB

Tương tự: 90ANB MAN

Suy ra: AMBN là hình chữ nhật.

b) Do QB là tiếp tuyến của O QB AB

Khi đó: 90ABM AQB MBQ

Mặt khác AMBN là hình chữ nhật ABM ANM

Suy ra: ANM MQB tứ giác MNPQ nội tiếp, hay 4 điểm , , ,M N P Q thuộc cùng một đường

tròn.

F

E

P

Q

N

M

BA O



18

c) Xét ABQ có OE là đường trung bình / /OE AQ

mà / /OF OE

OF APAP AQ

Xét trong APB có O là trung điểm AB , / /OF AP nên F là trung điểm BP

Ta có E là trung điểm BQ ME EQ EB ( đường trung tuyến ứng với cạnh huyền )

MEB cân tại 180 2E MEB EBM

Tương tự: 180 2NFB NBF

Suy ra:

180 2 180 2 360 2 360 2.90 180NFB MEB NBF MBE NBF MBE

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên: / /ME NF

d) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác APQ ta có:

2 2 2

2 2 2

2

1 1 1 2

.

1 2. 8 2 8 4

4 .APQ APQ

AP AQ AB AP AQ

AP AQ R S R S RR AP AQ

Lại có:

2 2 22

2 2

4. 2

2 2

2 2AMN AMN

AM AN RAM AN R

S R S R

Ta có:

2

2 2 2

2

2

min

44 3

3

APQ

MNPQ APQ AMN

AMN

MNPQ

S RS S S R R R

S R

S R

Dấu “=” xảy ra khi:

AP AQ

AM AN

MN AB



19

Bài 10: ( Hà Nội 2015 – 2016 )

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Lấy điểm C trên đoạn thẳng AO (C khác ,A O ).

Đường thẳng đi qua C vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K . Gọi M là điểm bất kì trên

cung KB ( M khác ,K B ). Đường thẳng CK cắt đường thẳng ,AM BM lần lượt tại ,H D .

Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là N .

a) Chứng minh tứ giác ACMD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh . .CACB CH CD

c) Chứng minh 3 điểm , ,A D N thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của đường tròn đi qua trung

điểm của đoạn thẳng DH .

d) Khi M di động trên cung KB . Chứng minh rằng MN luôn đi qua một điểm cố định.


≡ I

F

M

E

N

K

D

CBA O



20

a) Vì M O đường kính 90AB AM MB AMB

Xét tứ giác ACMD : 90ACD AMB

Suy ra tứ giác ACMD nội tiếp.

b) Tương tự ta có: BCHM cũng là tứ giá nội tiếp

ADC AMC CBH

~ACD HCB ( g.g )

. .CA CD

CACB CD CHCH CB

( đccm )

c) Vì N O đường kính AB AN HB (1)

Mặt khác xét: ABD có ;AH DB DH AB

H là trực tâm ABD BH AD (2)

Từ (1),(2) suy ra: , ,A N D thẳng hàng.

Giả sử NE là tiếp tuyến tại N của O E DH

90ENO mà 90ANB

ENH ANO

Do: ANO NAO CHB NHE

Suy ra: ENH EHN ENH cân tại E EN EH

Khi đó dễ dàng chứng minh: EN ED

Suy ra: E là trung điểm ND .

d) Gọi F MN AB

Từ F dựng tiếp tuyến FI với O

Ta có: 180 2MCN MCH NCH NAH MBH ADB (3)

Lại có: 180MON NOA MOB



21

180 2

360 2 180 2180 2

NOA DABNOA MOB ADB ADB

MOB DBA

Suy ra: 180 2MON ADB (4)

Từ (3),(4) ta có: MON MCN

Suy ra: MOCN nội tiếp . .FN FM FC FO

Lại có: 2 2. . OFM FN FI FI FC F

~FIC FOI ( c.g.c ) 90FCI FIO IC AB

Suy ra: I K

Suy ra F là giao điểm của đường thẳng AB và tiếp tuyến của O tại K

Bài 11: ( Hà Nội 2016 – 2017 )

Cho đường tròn O và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn

O ( B là tiếp điểm ) và đường kính BC . Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I khác ,C O ).

Đường thẳng AI cắt đường tròn tại hai điểm ,D E ( D nằm giữa ,A E ). Gọi H là trung điểm

của đoạn thẳng DE

a) Chứng minh bốn điểm , , ,A B O H cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh AB BD

AE BE

c) Đường thẳng d đi qua E và song song với AO , d cắt BC tại K . Chứng minh / /HK DC

d) Tia CD cắt AO tại P , tia EO cắt BP tại F . Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật.




22

a) Vì H là trung điểm của DB OH DB hay OH DB

Lại có AB là tiêó tuyến của O 90ABO

Xét tứ giác : 180ABOH ABO AHO

Suy ra tứ giác ABHO nội tiếp.

b) Ta có: ABD AED ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung )

Khi đó dễ dàng chứng minh: ~ABD AEB ( g.g )

AB BD

AE BE

c) Ta có: / /HK AO OAH HEK ( 2 góc so le trong )

mà OAH HBO HEK HBO BHCE nội tiếp.

IHK IBE IDC

/ /HK DC ( 2 góc ở vị trí đồng vị )

d) Gọi M HK AO

M

F

P

KH E

D I

C

B

A

O



23

Theo định lí Ta – lét ta có: OC R OP

KC KC PM (1)

Lại có: AP AD AD

PM DH HE (2)

Dễ dàng chứng minh: ~APD EKH ( g.g ) AP AD

EK HE (3)

Từ (2), (3) ta có: PM EK

Suy ra: R OP OB

KC EK KC

Lại có: 180 180BOP AHB AHE BKE EKC

Suy ra: ~PBO ECK ~PBO ECK PBO KCE OEC

Suy ra tứ giác BECF nội tiếp mà , ,B E C O F O

Lại do: ,BC EF là các đường kính nên BECF là hình chữ nhật.

Bài 12: ( Hà Nội 2017 – 2018 )

Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác ABC . Gọi ,M N lần lượt là điểm chính giữa cung nhỏ

AB và cung nhỏ BC . Hai dây ,AN CM cắt nhau tại điểm I . Dây MN cắt các cạnh ,AB BC

lần lượt tại ,H K .

a) Chứng minh bốn điểm , , ,C N K I cùng một đường tròn.

b) Chứng minh: 2 .NB NK NM

c) Chứng minh BHIK là hình thoi.

d) Gọi ,P Q lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK và E là

trung điểm của đoạn thẳng PQ . Vẽ đường kính ND của đường tròn O . Chứng minh 3 điểm

, ,D E K thẳng hàng.




24

a) Do ,M N là điểm chính giữa cung nhỏ ,AB BC

nên ta có: sđ MA= sđ MB ; sđ NB = sđ NC

ta có: 1

2sđMA NN C CI sđ ; 1

2sđMB NN C AK sđ

Suy ra: NKC NIC CNKI là tứ giác nội tiếp hay , , ,C N K I thuộc cùng một đường tròn.

b) Do sđ NB = sđ NC

BMN KBN

Dễ dàng chứng minh: ~BMN KBN ( g.g ) 2 .BN NK

NB NK NMNM NB

c) Chứng minh tương tự câu a) ta có: AMHI là tứ giác nội tiếp.

Khi đó ta có: AHI AMI mà AMI ABI

Suy ra: AHI ABI mà chúng ở vị trí đồng vị / /HI BK

J

F

E

D

Q

P

I

K

H

N

M

CB

A

O



25

Tương tự ta có: / /IK HB

Suy ra: BHIK là hình bình hành (1)

Nhận thấy I là giao điểm 3 đường phân giác của ABC BI là phân giác ABC

2

ABCIBK

Gọi J BI HK

Lại có:1

2 22 2

1sđ BM s

ACB ABCB CK đJ N

Xét BJK có: 180

902 2

ABC ACB BACIBK BKP

Suy ra: BJK vuông tại J hay HK BI (2)

Từ (1), (2) suy ra tứ giác BHIK là hình thoi.

d)

Ta có N là điểm chính giữa BC BMN NBC

Khi đó xét P ta có PB là tiếp tuyến P PB BN

Mặt khác xét O có ND là đường kính nên BD BN

Ta có:

BD BN

BP BN

, ,B P D thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ta có: , ,C Q D thẳng hàng

Ta có: ;BHK CKQ là các tam giác cân tại ,P Q

Mặt khác: HBK QCK do BDC cân tại C

Suy ra: HKB QCK ( mà 2 góc này ở vị trí so le trong ) / /HK DQ

Tương tự: / /QK HD

Suy ra: DHKQ là hình bình hành.

Do E là trung điểm HQ nên , ,D E K thẳng hàng.



26

Documents

N TẬP CÁC BÀI HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP ... · Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề thi vào lớp 10 Tp.Hà Nội. Nguyễn Văn Vui – 0168.996.7447