Nacrtna geometrija u IPAQ Peta projektu Perspektiva

IPAQ Peta BIBLIOTEKA

Nacrtna geometrija

uIPAQ Peta projektu

***

Perspektiva

Glavni urednik: Mihael Kozina, prof.

Urednik: Petar Mladinic, prof.

Ljiljana Jelicic, Zlatko Lobor, Ivana Martinic, Petar Mladinic:

Nacrtna geometrija u IPAQ Peta

Perspektiva

Zagreb, 2015

Recenzenti: mr. sc. Paula Kurilj & mr. sc. Nikol Radovic

Lektorica: Lidija Farkas, prof. & Jelena Kasabasic Kusic, prof.

Korektorica: Ivana Martinic, prof.

Naslovni crtez Krematorija na Mirogoju u Zagrebu izradila je Branka Kaminski.

Naslovnicu dizajnirao: P♥

ierreM

Crteze izradio: P♥

ierreM

Nakladnik: V. gimnazija, Zagreb

c©

Ova knjiga se ne smije umnazati, preslikavati

i na bilo koji nacin uporabljivati, bez pisme-

nog dopustenja nakladnika.

CIP dostupan u racunalnom katalogu

Nacionalne i sveucilisne knjiznice u Zagrebu pod brojem 892494

ISBN 978-953-8053-00-9

Slog i prijelom

Petar Mladinic

Tisak

V. gimnazija, Zagreb

Nacrtna geometrija

u

IPAQ Peta projektu

***

Perspektiva

*****

V. gimnazija

Zagreb, 2015.

iv Perspektiva u IPAQ Peta

Sadrzaj

Predgovor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

1. Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Opci ciljevi nacrtne geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Primjena tehnologije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3. Oblik i prostor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Sadrzaj nacrtne geometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Abeceda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Dvocrtni postupak: tlocrt i nacrt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.3. Trocrtni postupak: tlocrt, nacrt i bokocrt . . . . . . . . . . . . . . 3

2.4. Prikazivanje tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.5. Prodori tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.6. Sjene tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.7. Metricki zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.8. Perspektiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Abeceda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1. Abeceda Sketchpada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Abeceda stereometrije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3. Neki planimetrijski poucci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4. Opcenito o projiciranju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4. Perspektiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1. Povijesne natuknice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.2. Temeljni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.3. Pravila perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4. Perspektiva s jednim nedogledom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5. Perspektiva s dva nedogleda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.6. Perspektiva s tri nedogleda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.7. Refleksija/zrcaljenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.8. Sjene tijela u perspektivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.9. Anamorfna perspektiva, ulicna i druge perspektive . . . . . . . . . 32

4.10. Izrada projekata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5. Zadatci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6. Radni listici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7. Popis Sketchpadovih i drugih fileova za poucavanje i istrazivanje,

te Sketchpadovih predlozaka za rad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8. Popis slika za analizu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

vi Perspektiva u IPAQ Peta

9. Broj sati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

10. Ishodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Dodatak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

A) Abeceda Sketchpada i konstrukcije elementarnih geometrijskih likova(1. dio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

B) Abeceda Sketchpada i konstrukcije elementarnih geometrijskih likova(2. dio), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

C) Abeceda stereometrije (1. dio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101D) Abeceda stereometrije (2. dio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

E) Temeljni pojmovi i pravila perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . 121F) Perspektiva s jednim nedogledom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

G) Perspektiva s dva nedogleda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179H) Sjene tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

I) Predrag Brodanac: Racunalna 3D grafika iz racunalne perspektive . . 199J) Mihael Kozina: Vizualna inteligencija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205K) Filip Mrvelj: Kako stvaram sliku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Provjera znanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

a) Abeceda stereometrije (1. dio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215b) Abeceda stereometrije (2. dio) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

c) Temeljni pojmovi i pravila perspektive . . . . . . . . . . . . . . . . . 229d) Perspektiva s jednim i s dva nedogleda . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Predgovor

Projekt Afirmativna nastava i inovativnoucenje i poucavanje u gimnazijama u okviru

Hrvatskoga kvalifikacijskog okvira skracenonazvan IPAQ Peta pociva na europskim

preporukama i kao takav je, dakle, dio siregaprocesa modernizacije sustava obrazovanja

u skladu s ciljevima odredenima u glavnimstrateskim dokumentima o poboljsanju obra-zovnog sustava - Hrvatskom kvalifikacijskom

okviru (HKO-u) i Nacionalnom okvirnomkurikulumu za predskolski odgoj i obrazovanje

te opce obvezno i srednjoskolsko obrazovanje(NOK-u).

Jedan je od glavnih zadataka projekta

osnaziti i podrzati daljnji razvoj i provedbuHrvatskoga kvalifikacijskog okvira s naglaskom

na potrebu podizanja kvalitete srednjoskolskogobrazovanja, razvojem kljucnih kompeten-

cija, uvodenjem koncepta ishoda ucenja teafirmativne nastave i inovativnog ucenja,edukacijom i osiguranjem nastavnih kapaciteta

gimnazija za provedbu moderniziranog sustavaobrazovanja, kako bi se stvorili preduvjeti za

uspjesan nastavak obrazovanja i usavrsavanjau struci, ali i za osposobljavanje ucenika za

njihovo ukljucivanje na trziste rada. Naime,mladi su ljudi jedna od najranjivijih kate-

gorija u Hrvatskoj - nakon zavrsnog ispita(mature), gotovo im je nemoguce naci posao

- djelomice zbog opcega nedostatka prilika zazaposljavanje, a djelomice zbog cinjenice dase u skolama uglavnom nudi teorijsko znanje,

a zanemaruje razvitak prakticnih vjestinaneophodnih za daljnje usavrsavanje na trzistu

rada.

Ovaj projekt odgovara na taj goruci prob-lem: u projektu se postojeci nastavni programi

prosiruju kurikulima koji ce nastavne programemodificirati i modernizirati; u skolama sudioni-

cama projekta poboljsava se didakticka oprema

i materijali, educiraju nastavnici, a sve kakobi se promovirala afirmativna nastava i inova-

tivno ucenje i poucavanje koji su temelj HKO-a; krajnji je cilj osigurati preduvjete da bi se

mladi ljudi odgovarajuce pripremili za daljnjeusavrsavanje i tako povecali svoju konkurent-

nost na suvremenom trzistu rada.

Problemi koje rjesavamo projektom IPAQ

Peta prepoznati su i u Programu VladeRepublike Hrvatske u mandatu 2011.-

2015.1 gdje su obrazovanje i znanost navedenikao kljucne pretpostavke razvoja gospodarstva

i cjelokupnog drustva, temeljne vrijednosti zaboljitak pojedinca i zajednice. Sukladno tomu,

u Smjernicama za strategiju odgoja,obrazovanja, znanosti i tehnologije2 (Pov-

jerenstvo Ministarstva znanosti, obrazovanjai sporta u suradnji s Hrvatskom akademijomznanosti i umjetnosti, travanj 2012.) ukazuje

se na potrebu preobrazbe svih razina obrazo-vanja tako da se osiguraju kvaliteta i znanje,

vjestine, inovativnost i kompetencije koje sukljucne za uspjesan rad i obrazovanje sto je

uskladeno sa suvremenim zahtjevima drustva igospodarstva.

Istovremeno, u pedagogijskim se znanostima

promice holisticki pristup stjecanju kljucnihkompetencija. Mnogi ce mladi u buducnostiraditi poslove koji danas jos i ne postoje.

Tehnoloske ce promjene nastaviti mijenjatisvijet na nacine koje danas jos ne mozemo

dokuciti, a mnogi izazovi, primjerice klimatskepromjene, zahtijevat ce korjenite prilagodbe

gospodarstva i drustva. U tom sve slozenijemsvijetu bitno je da svako dijete u skoli stekne

navike ucenja i stjecanja novih vjestina kakobi se cijeloga zivota moglo prilagodavati

1http://www.mvep.hr/CustomPages/Static/HRV/

files/1112272http://public.mzos.hr/Default.aspx?art=11662

viii Perspektiva u IPAQ Peta

novim izazovima. Isto tako sve je izrazenijapotreba informiranosti i obrazovnosti kao

preduvjeta uspjesna djelovanja u drustvu, aucenje demokratskoga ponasanja i tolerancije

mora zapoceti na sto ranijim stupnjevimaobrazovanja.

Konacno, ali ne i manje vazno, svaka osobamora steci kompetencije koje ce joj omogucitizadovoljenje kulturnih potreba u globalizira-

nome medukulturnom okruzenju uz postovanjei njegovanje vlastite kulturne i povijesne

bastine (”Smjernice”, str. 24). Kako se radi opromjenama i procesu cija je implementacija

vremenski zahtjevna, a na temelju iskustavaiz raznih europskih zemalja koja ukazuju na

to da se kljucne kompetencije mogu steci i utradicionalno organiziranoj skoli postupnim

uvodenjem elemenata kurikulskog pristupa- i mi smo u okviru ovog projekta odlucilinovim kurikulima nadograditi i modernizirati

postojece nastavne programe.Na tim je temeljima izgraden nas projekt

IPAQ Peta koji nastoji aktivno pridonijetidaljnjem razvoju i provedbi Hrvatskoga

kvalifikacijskog okvira tako da, u skladu sastrateskim dokumentima i ”Smjernicama”,

obrazovni sustav potice zanimanje ucenikaza studije iz polja matematickih, prirod-

noslovnih, biotehnickih i tehnickih znanosti,dok ce Vlada Republike Hrvatske, uz potporumedija, promicati ulogu prirodnih, biomedicin-

skih, biotehnickih i tehnickih znanosti kaonezaobilaznih sastavnica obrazovanja za vi-

sokotehnolosko inovacijsko drustvo znanja(”Smjernice”, str. 26).

Specificni ciljevi projekta

Specificni su ciljevi projekta:

1. Razvoj i modernizacija obrazovnoga sus-

tava i kvalifikacija u gimnazijama,

2. Modernizacija postojecih i razvoj napred-nih kurikula za gimnazije utemeljenim na

ishodima ucenja,

3. Razvoj nastavnih kapaciteta za provedbuinovativnog ucenja i poucavanja (student-

centered learning).

Nakon analize postojeceg stanja, pristupilose planiranju i izradi novih kurikula koji se

temelje na ishodima ucenja. Kurikuli ce obo-gatiti postojece nastavne programe i omoguciti

ucenicima da steknu kvalitetnije obrazovanje,da na bolji nacin iskoristite svoju kreativnost,

i da nauce primjenjivati moderne tehnologijekoje povecavaju produktivnost, konkurentnosti zivotni standard - sto su preduvjeti za

stvaranje drustva utemeljena na znanju, ocemu govori i Lisabonska strategija Europske

unije.

V. gimnazija vec je tradicionalno primjer

obrazovne institucije koja uvodenjem inovacijau redovni nastavni program odgovara novimzahtjevima i potrebama za daljnje skolovanje

ucenika na visokoskolskim ustanovama, ikoja, zajedno sa svojim partnerima u ovom

projektu, neprekidno inzistira na sustavnupromicanju kvalitete i relevantnosti znanja

i vjestina neophodnih za nove tehnologije,podrucja rada i zanimanja. U spomenutim

je nastojanjima od kljucne vaznosti razvojuniverzalnih vjestina (jezici, racunalnaa pis-

menost, komunikacijske vjestine, matematika,prirodoslovlje) koje omogucavaju fleksibilnosti brz prijelaz iz zanimanja u zanimanje.

Naime, dosadasnji rezultati studija na temuaktualnosti obrazovnoga sustava pokazuju

da su sadasnji nastavni programi zastarjeli,nefleksibilni i cesto nerelevantni u odnosu

na zahtjeve koje postavlja daljnje skolovanjena visokoskolskim ustanovama, da su nedo-voljno orijentirani na praksu i usto nedovoljno

prilagodeni interesima ucenika. Stoga je pr-venstvena svrha naseg projekta nadogradnja

postojecih nastavnih programa uvodenjemnovih kurikula uskladenih s potrebama mod-

ernoga drustva i sustava obrazovanja, kojice biti jasno povezani sa sadrzajima opcih

predmeta i uskladeni s gradivom koje seprovjerava na drzavnoj maturi.

Razvijeni su kurikuli za fiziku, informatiku,

matematiku (nacrtnu geometriju), biologijui kemiju, te interdisciplinarni kurikul envi-

ronmental design, koji ce povezati drustveneznanosti: likovnu umjetnost, povijest, zemljopis

i strane jezike; za terensku nastavu, koja

ix

obuhvaca podrucje biologije, kemije, tjelesnei zdravstvene kulture; te projektnu nastavu

koja obuhvaca podrucje biologije, kemijei stranih jezika. Ucenici ce se, na osnovi

kurikula nastalih u ovome projektu, kvalitetnopripremiti za uspjesno polaganje ispita na

drzavnoj maturi i za nastavak skolovanja navisokoskolskim ustanovama.

Da bi se postigli optimalni rezultati na

ispitima drzavne mature, ali i sire, neophodnoje otvaranje sustava odgoja i obrazo-

vanja prema znanjima i vjestinama kojepovecavaju ’sposobnost’ ucenja odnosno

vjestinu ’uciti kako uciti’. To su (izmeduostalih): jezicne i komunikacijske vjestine,

informacijska i komunikacijska pismenost,razumijevanje matematike, poznavanje stranih

jezika, socijalne kompetencije i sl. Temeljnoobiljezje Nacionalnog okvirnoga kurikula,koje i ovaj projekt promovira, prelazak je na

kompetencijski sustav i ucenicka postignuca(ishode ucenja) za razliku od (do)sadasnjega

koji je bio usmjeren na sadrzaj.Praksa usvajanja cinjenicnoga znanja zam-

jenjuje se sa stvaranjem sposobnosti razumi-jevanja, rjesavanja problema i prakticne prim-

jene znanja. Pomak prema kurikulskoj politicii prelazak s prijenosa znanja na razvoj kom-

petencija znaci zaokret u pristupu i nacinuprogramiranja odgoja i obrazovanja. Razvijenikurikuli, kao rezultati ovoga projekta, usm-

jereni su na ucenicke kompetencije i u skladu sus jednim od glavnih smjerova kurikulske poli-

tike u europskim i drugim zemljama.Medu temeljnim kompetencijama, koje je

odredila Europska unija (prema: Recommen-dation of the European Parliament and of the

Council of 18 December for lifelong learningn(2006/962/EC)), a Republika Hrvatska prih-

vatila sljedece su relevantne za postizanje plani-ranih rezultata u okviru projekta:

• komunikacija na materinskomu jeziku,

• komunikacija na stranim jezicima,

• matematicka kompetencija i osnovne kom-petencije u prirodoslovlju i tehnologiji,

• digitalna kompetencija,

• uciti kako uciti,

• socijalna i gradanska kompetencija,

• inicijativnost i poduzetnost,

• kulturna svijest i izrazavanje.

Novina koja se uvodi u okviru pro-

jekta Afirmativna nastava i inovativnoucenje i poucavanje u gimnazijama u

okviru Hrvataskoga kvalifikacijskog okvira(IPAQ Peta) je i planiranje i realizacija

medupredmetnih ili interdisciplinarnihtema koje pridonose medusobnom povezivanju

odgojno-obrazovnih podrucja i nastavnihpredmeta u skladnu cjelinu. Interdisci-

plinarni pristup i medupredmetno povezi-vanje omogucava cjelovit (holisticki) pristuprazvoju ucenickih kompetencija. Uvodenjem

odgojno-obrazovnih podrucja (povezanihmedupredmetnih tematskih cjelina), pored

stjecanja novih kompetencija, omogucava seucinkovitije planiranje i bolja konceptualna

povezanost odgojno-obrazovnih sadrzaja,s krajnjim ciljem da ucenici sagledavaju

probleme o kojima uce iz gledista razlicitihdisciplina odnosno nastavnih predmeta.

Ocekivani rezultati

Ocekivani su rezultati novi kurikuli izfizike, matematike i informatike te in-

terdisciplinarni koji obuhvacaju neketeme i ideje iz biologije, kemije, tje-

lesne i zdravstvene kulture, stranihjezika, likovne umjetnosti, povijesti i

zemljopisa, osim modernizacije postojecihnastavnih programa (relevantnosti i aktu-

alnosti, usmjerenosti na praksu te boljeprilagodbe interesima ucenika), razvijajukljucnu kompetenciju ucenika: uciti kako

uciti.

Razvojem kurikula cilj nam je osposobitiucenike za ucinkovitu organizaciju i upravljanje

vlastitim ucenjem te razviti pozitivan stavprema ucenju. Kompetencija uciti kako uciti

osnova je za cjelozivotno ucenje i znacajnaza daljnji obrazovni i profesionalni razvoj

ucenika (NOK). Novim se kurikulima ucenike

x Perspektiva u IPAQ Peta

osposobljava za organiziranje i pracenje us-vajanja, obrade i vrednovanja novoga znanja,

vjestina, sposobnosti i stavova te njihoveprimjene u razlicitim situacijama. Ucenici

ce, stjecanjem ove vazne kompetencije kojatakoder sadrzi znanje o strategijama i meto-

dama ucenja, nauciti procjenjivati i odabiratistrategije i metode ucenja koje im najboljeodgovaraju, te ce svjesno i samostalno preuzi-

mati odgovornost za vlastito ucenje i donosenjeodluka o vlastitomu obrazovnom putu.

Metodologija

Projekt je podijeljen u manje podprojektekojima je cilj razvoj odredena kurikula s

pratecim materijalima. Na samom pocetkuprovodenja projekta 16. listopada 2013. godineu Zagrebu je organizirana i odrzana uvodna

konferencija na kojoj je svim zainteresiranimstranama i medijima predstavljen projekt,

kontekst u kojem se projekt nalazi, planiraneaktivnosti i ocekivani rezultati projekta.

Nakon uvodne konferencije svaki je pod-projekt odrzao zasebne uvodne radionice zaclanove podprojektnih timova, kako bi detaljno

upoznao ukljucene nastavnike s planiranim ak-tivnostima i ocekivanim rezultatima, te defini-

ranim vremenskim okvirima. U okviru uvod-nih radionica zapocelo se s edukacijom clanova

svakog podprojektnog tima o afirmativnoj nas-tavi, inovativnom ucenju i poucavanju i nacinu

na koji ce razvoj predmetnog kurikula pri-donijeti ostvarenju sveobuhvatnog cilja pro-

jekta, a time i daljnjoj implementaciji HKO-a.

Edukacija je dovrsena na zavrsnim radioni-cama za clanove podprojektnih timova pri

cemu se detaljno predstavila konacna verzijakurikulaa cija je izrada bila u odgovornosti

pojedinacnog podprojekta.

Zavrsna je radionica u Zagrebu u veljaci2015. godine dala svim sudionicima detaljan

uvid u rezultate podprojektnih aktivnosti, pre-poruke za buduci period i koristenje razvijenih

kurikula.

Kurikul: Nacrtna geometrija

U drustvu utemeljenom na informacijama

i tehnologiji potrebno je kriticki misliti oslozenim temama, tumaciti dostupne infor-

macije, analizirati nove situacije i prilagoditiim se, donositi utemeljene odluke u svako-

dnevnomu zivotu, rjesavati razlicite probleme,ucinkovito primjenjivati tehnologiju te razm-jenjivati ideje i misljenja.

Buduci da matematika izucava kvantitativneodnose, strukturu, oblike i prostor, pravilnosti izakonitosti, analizira slucajne pojave, promatra

i opisuje promjene u razlicitim kontekstimate daje precizan simbolicki jezik i sustav za

opisivanje, prikazivanje, analizu, propitivanje,tumacenje i posredovanje ideja, matematicko

obrazovanje ucenicima omogucuje stjecanjeznanja, vjestina, sposobnosti, nacina misljenja

i stavova nuznih za uspjesno i korisno sudjelo-vanje u takvu drustvu.

Poucavanje i ucenje matematike ukljucuje

stjecanje znanja, vjestina i sposobnostiracunanja, procjenjivanja te logickoga i

prostornoga misljenja [naglasio P. M.].Matematicki pristup problemima obuhvacaodabir i pravilnu primjenu osnovnih

matematickih vjestina, otkrivanje pravil-nosti u oblicima i brojevima, izradbu modela,

tumacenje podataka te prepoznavanje i razmje-njivanje s njima povezanih ideja. Rjesavanje

matematickih problema zahtijeva kreativnost isustavan pristup. (NOK, str. 115.)

Osmisljavanje i izrada kurikula iz matema-

tike - nacrtna geometrija ima za svrhu, poredrazvoja kljucnih matematickih kompetencija i

kompetencije uciti kako uciti, razviti programmatematike - nacrtna geometrija prilagoden

Nacionalnom okvirnom kurikulumu (NOK, str.131.), s naglaskom na ishode ucenja: Obliki prostor i Primjena tehnologije. Cilj

kurikula je usavrsavanje i razvoj inovativnihobrazovnih metoda usmjerenih na ucenika,

te metoda davanja povratnih informacija.Kurikul ce se kao pilot projekt realizirati u

nastavi u okviru i nakon projekta IPAQ Peta,te ce se azurirati i unaprijediti prakticnim

iskustvima stecenima tijekom odvijanja pilot

xi

projekta. Stecena iskustva razmijenit ce se ipodijeliti kroz zavrsne radionice prvenstveno

s nastavnicima matematike sudionicima pro-jekta, ali i sa zainteresiranim nastavnicima

matematike u svim srednjoskolskim obra-zovnim ustanovama. Kurikul su zajednicki

osmislili i pripremili nastavnici matematikeiz V. gimnazije u Zagrebu i Gimnazije uMetkovicu te zagrebacki sveucilisni nastavnici.

Kako bi se nastavnici upoznali s novim

kurikulom, tijekom projekta organizirane su iodrzane 3 zavrsne radionice za po 20-ak nas-

tavnika vezane uz razvoj i provedbu kurikula,a pokazani su i primjeri dobre prakse. Dvije su

se radionice odrzale u V. gimnaziji u Zagrebu,a jedna u skoli partneru u Metkovicu. Na

ovakav se nacin ujedno osiguralo dobivanjepovratne informaciju strucnjaka i poboljsalasuradnja medu skolama sudionicama projekta.

U izradi kurikula nacrtna geometrija

uporabljen je edukativni softver Sketchpad5.03HR (program dinamicne geometrije) koji

omogucava ucenicima bolju vizualizaciju iucinkovitije i smislenije usvajanje znanja iz

nacrtne geometrije. Svim ucenicima i nas-tavnicima u partnerskim skolama osigurana

je besplatna uporaba Skechpada kako u skolitako i kod kuce.

Nastava ce biti dodatno unaprijedena videoi interaktivnim materijalima te, za hrvatske

prilike u srednjoskolskom obrazovanju jedin-stvenim i inovativnim, Classroom response sys-

temom tzv. klikerima.

”Klikeri” su jednostavni sustavi elek-tronickoga glasovanja, utemeljeni na bezicnoj

RF tehnologiji i cine nastavu dinamicnijomi omogucuju direktnu komunikaciju s vecim

brojem ucenika. Sustav je idealan za brzuprovjeru znanja i mjerenja prisutnosti na

nastavi.

Svaki ucenik ima jedan uredaj koji je bezicno

povezan s racunalom predavaca te u svakomtrenutku predavac moze provesti provjeru

znanja ili kviz. Prilikom postavljanja pitanja,na ekranu se pojavljuje slajd s pitanjem i

ponudenim odgovorima, te ucenici imajuzadano vrijeme za odgovor klikom na gumb.

Nakon isteka vremena, na ekranu se pojavljuje

graf s postotkom tocnih i netocnih odgovora.

Na samom se predavanju ne vidi tko jepoimenicno kako odgovorio, no predavac

naknadnim ulazom u bazu dobiva odgovori na to pitanje, tako da sustav omogucuje

kontinuirano pracenje znanja i aktivnostisvakog pojedinog ucenika.

Ovakva metoda brzih provjera znanja, najednostavan nacin omogucuje uvid u pracenjenastave i kvalitetu usvojena gradiva. Ovaj ce

se kurikul, kao pilot projekt, realizirati i u nas-tavi drugih podrucja u okviru i nakon projekta

IPAQ Peta, te ce se azurirati prema prakticnimiskustvima stecenima tijekom odvijanja pilot

projekta.

Nekoliko cinjenica

U listopadu 2011. godine Ministarstvoznanosti, obrazovanja i sporta RH na svojoj je

internetskoj stranici objavilo natjecaj Daljnjirazvoj i provedba Hrvatskoga kvalifikacijskog

okvira (HKO-a).

V. gimnazija prijavila se na taj natjecaj ovimprojektom. Prijavu su uoblicili Sanja Vrhovec

Vucemilovic, Zrinka Pongrac Stimac i MihaelKozina.

Agency for Vocational Education and Train-

ing and Adult Education, Organisationalunit for menagement of structural instruments

(DECFCO) i V. gimnazija u Zagrebu 27. lipnja2013. godine potpisali su Ugovor3 o realizaciji

projekta Afirmativna nastava i inovativnoucenje i poucavanje u gimnazijama u okviru

Hrvatskoga kvalifikacijskog okvira skracenonazvan IPAQ Peta u iznosu od 441.022, 75

eura.

Realizacija projekta IPAQ Peta zapocela je19. kolovoza 2013. godine i zavrsila 18. veljace

2015. godine.

Partneri V. gimnaziji u projektu bili suPrirodoslovno-matematicki fakultet u Zagrebu,

gimnazije u Vukovaru i Metkovicu te srednjeskole u Pakracu i Kninu. Suradnik u projektu

bila je Agencija za odgoj i obrazovanje RH(AZOO).

Voditelj projekta bio je Mihael Kozina.

3GRANT CONTRACT - EXTERNAL ACTIONS

OF THE EUROPEAN UNION - IPA 4.1.3.1.06.01.c03

xii Perspektiva u IPAQ Peta

U timovima podprojekata bili su:

• Za matematiku: Milena Culav Markicevic(voditeljica podprojekta), Zlatko Lobor

(voditelj podprojekta), Ljiljana Jelicic,Ana Dragovic, Nikol Radovic i Petar

Mladinic.

• Za fiziku: Tihomir Engelsfeld (voditeljpodprojekta), Ivana Vuksanovic Seva i

Angela Celic.

• Za informatiku: Saida Deljac (voditeljicapodprojekta), Predrag Brodanac, Marinko

Zubac i Sanja Pavlovic Sijanovic.

• Za terensku nastavu: Zrinka PongracStimac (voditeljica podprojekta), Zarko

Bratonja, Marija Zaninovic, Toni Cota,Vesna Ancic, Branko Krizan i Mario

Tusek.

• Za projektnu nastavu: DubravkaTurcinovic (voditeljica podprojekta),

Zrinka Pongrac Stimac, Ivana Dugalic,Dusanka Grgic, Anita Zivkovic, Mira

Radanovic, Marijana Zaninovic, SnjezanaPrimorac, Vlatka Rendulic Doslic, Delfa

Rados i Sonja Tolic.

• Za nastavne metode u biologiji i kemiji:Marijana Zgela (voditeljica podpro-

jekta), Romana Halapir Frankovic, VesnaBurusic, Vesna Ancic, Bojana DavdaSirovina i Mira Radanovic.

• Za dizajn urbanog okolisa (UED): SanjaVrhovec Vucemilovic (voditeljica podpro-

jekta), Vesna Misljenovic, Marina Sisak,Marija Santek, Karolina Ujakovic, Ljilja-na Ajdukovic, Velibor Stepanovic, Mari-

jana Svenda Lekic, Svjetlana Vorel, VlatkaRendulic Doslic i Natasa Vinkovic.

Neke aktivnosti

Ovdje cemo navesti samo neke aktivnostikoje su ostvarene u podprojektu Nacrtna ge-

ometrija.Projekt je predocen 29. ozujka 2014. go-

dine na Zupanijskom strucnom vijecu nas-tavnika matematike u Osijeku, na strucno-

metodickoj veceri Nastavne sekcije Hrvatskog

matematickog drustva 9. travnja 2014. go-dine, na Drzavnom natjecanju iz matematike

u Sibeniku od 2. do 4. travnja 2014. godine ina 6. kongresu nastavnika matematike RH u

Zagrebu od 1. do 3. srpnja 2014. godine.Za ucenike i nastavnike organizirana je i

Zimska skola Pete iz matematike od 8. do10. sijecnja 2014. u Zagrebu sa sljedecim pre-davacima/edukatorima i temama:

• Mihael Kozina: Vizualna inteligencija,

• Zvonimir Sikic: Povijest perspektive,

• Vesna Misljenovic: Perspektiva - pogled usvijet,

• Ivan Bogavcic: Perspektiva u umjetnosti,

• Zeljka Milin Sipus: Vrste projekcije i trans-

formacija

• Radovic, Lobor, Martinic, Jelicic i Mla-dinic: Elementi perspektive; Temeljne

geometrijske konstrukcije; Temeljni po-jmovi perspektive; Pravila perspektive;

Primjeri; Perspektiva s jednim nedogle-dom; Perspektiva s dva nedogleda;Uporaba transformacije u konstruiranju

perspektivne slike (vjezbe),

• ***: Prezentacija radova sudionika

a potom i Ljetna skola Pete koja je odrzana

od 7. do 12. srpnja 2014. godine u Zagrebupod nazivom 3D na 2D iliti Perspektivna ge-ometrija. Predavaci/edukatori i teme bili su:

• Mihael Kozina: Vizualna inteligencija,

• Zvonimir Sikic: Linearna perspektiva,

• Vesna Misljenovic: Perspektiva,

• Zlatko Lobor: Abeceda Sketch-pada;Abeceda stereometrije,

• Zeljka Milin Sipus: Svojstva paralelnog i

centralnog projiciranja,

• Nikol Radovic: Povijesne natuknice;O projiciranju (centralno, paralelno i

perspektivno),

xiii

• Ljiljana Jelicic: Perspektiva s jednim i sdva nedogleda,

• Damjan Uzelac: Arhitektonske ilustracije

Branke Kaminski,

• Predrag Brodanac: Racunalna 3D grafikaiz racunalne perspektive,

• Radovic, Lobor, Martinic, Jelicic i Mla-

dinic: Elementi perspektive; Temeljnegeometrijske konstrukcije; Temeljni poj-

movi perspektive; Pravila perspektive;Primjeri; Perspektiva s jednim nedogle-

dom; Perspektiva s dva nedogleda;Uporaba transformacije u konstruiranjuperspektivne slike (vjezbe),

• ***: Prezentacija radova sudionika

U Zagrebu je 26. i 27. rujna 2014. go-

dine organizirana i realizirana dvodnevna ra-dionica samo za nastavnike matematike. Pre-

davaci/edukatori kao i teme bili su isti kao iu spomenutoj Zimskoj i Ljetnoj skoli. Druga

je takva radionica, samo za nastavnike, re-alizirana 7. i 8. studenoga 2014. godine u

Metkovicu, a treca 28. i 29. studenoga 2014.godine ponovo u Zagrebu.

Pilotiranje, koje je naznaceno u projektuIPAQ Peta, planirano je od 5. sijecnja do 9.sijecnja 2015. godine u Zagrebu.

Projekt IPAQ Peta kao i podprojekt nacrtnegeometrije prezentirani su na medunarodnoj

konferenciji KUPM 2014 u Catezu (Slovenija)22. kolovoza 2014.

Projekt je prezentiran i u dnevnim informa-tivnim emisijama (radio i TV) te tiskovinama

Vecernji list, Jutarnji list i Skolske novine.Podprojekt Nacrtna geometrija - Perspektiva

posebice je prezentiran u strucnim casopisimaPoucak br. 59, listopad 2014. i Matka br. 90,prosinac 2014.

O konceptu i materijalimaSastavni su dio ove knjige/prirucnika i mape

u kojima se nalaze e-materijali (gsp, word i pdffileovi, slike za analizu, ucenicki radovi, razni

predlosci i ostali gsp fileovi/radovi).Nacrtna se geometrija treba uciti/poucavati

u dvogodisnjem ciklusu od 120 sati. Prvu

godinu valja poucavati perspektivu za kojuje predvideno 60 sati. To je predlozeno i

razradeno u ovom dokumentu. Ostale temenacrtne geometrije (koje su naznacene u

sadrzaju prirucnika, a ovdje nisu razradene)trebale bi biti u zaristu nastavka ovoga

projekta. Ufamo se da ce se naci i volje imogucnosti za ostvarenje ove ideje.

U konceptu poucavanja nacrtne geometrijeposli smo od povijesnog razvoja i ukazali na

svevremensku (povijesnu i jos vise suvremenu)potrebu vizualne pismenosti i na neraskidivu

vezu izmedu umjetnosti i matematike.

Iskustvo uporabe i poznavanje mogucnostiedukacijskoga softvera za ucenje i poucavanjematematike Sketchpad 5.03HR omogucava

nastavnicima i ucenicima da se u poucavanjui ucenju u potpunosti posvete matematickim

aspektima, a u drugi plan stave tehnikei ”tehnikalije” crtanja/konstruiranja. Di-

namicnost promjena gotovih radova unosi urad pozitivne emocije kao i velike mogucnosti

istrazivanja, eksperimentiranja i kreativnosti.Radovi ucenika koji se nalaze u odgovarajucoj

mapi, svjedoce da je na ovakav nacin mogucedostici sve aspekte i najvise razine modernogaucenja i poucavanja. Sinteticki pristup ge-

ometriji, koji je u temelju ovoga podprojekta,uporabom softvera ukazuje da geometrija ima

svoje vrlo vazno mjesto u skolskoj matematicii omogucuje vizualno opismenjavanje kao i

medusobno povezivanje razlicitih skolskihpredmeta/sadrzaja.

Zahvala

Zahvaljujemo se svima koji su nam pomogliuciniti ove materijale boljima. Posebno se

zahvaljujemo na savjetima, prijedlozima,ispravkama netocnosti i komentarima Nevenki

Antoncic, Dobrili Golubovic, Jeleni Gusic iZeljki Milin Sipus. Zahvaljujemo nasljednicima

Branke Kaminski, Filipu Mrvelju i DavoruRostuharu na dopustenju uporabe njihovih

radova.Petar Mladinic,

ravnatelj V. gimnazije u Zagrebu

[email protected]

xiv Perspektiva u IPAQ Peta

1. Uvod

Geometrija priblizava razum istini.

Platon

Drustvo koje se temelji na informacijamai tehnologiji, zahtijeva pojedince koji znaju

kriticki misliti o kompleksnim temama, in-terpretirati dostupne informacije, analizirati i

prilagodavati se novim situacijama, donositiutemeljene odluke u svakodnevnom zivotu,

rjesavati razlicite probleme te ucinkovitoprimjenjivati tehnologiju i razmjenjivati ideje imisli.

Buduci da matematika izucava kvantita-tivne odnose, strukturu, oblike i prostor,

pravilnosti i zakonitosti matematicko obrazo-vanje ucenicima omogucava stjecanje znanja,

vjestina, procesa i nacina misljenja koji suneophodni za uspjesno i korisno sudjelovanje u

takvu drustvu.

Poucavanje i ucenje nacrtne geometrije kao

matematicke discipline ukljucuje stjecanjeznanja, vjestina i sposobnosti vizualizacijeprostora.

Matematicki pristup problemima obuhvacaodabir i pravilnu primjenu osnovnih

matematickih vjestina, otkrivanje pravilnostiu oblicima, izradu modela, te prepoznavanje

i komunikaciju s njima povezanih ideja.Rjesavanje problema nacrtne geometrije zah-

tijeva kreativnost i sustavan pristup, sto imaglavnu ulogu u inovacijama te znanstvenim i

tehnickim otkricima.

Nacrtna geometrija ucenicima omogucava

postavljanje i rjesavanje matematickih prob-lema, poticuci ih pritom na istrazivanje,sustavnost, kreativnost, koristenje informacija

iz razlicitih izvora, samostalnost i ustrajnost.Svi ucenici mogu i trebaju iskusiti uspjeh u

aktivnostima nacrtne geometrije.

Uceci nacrtnu geometriju, ucenici ce steci

samopouzdanje i sigurnost u konstruiranjui prostornom zoru. Naucit ce upotrebljavati

matematicki jezik i prikaze, generalizirati iz

uocenih pravilnosti i veza te apstraktno misliti.Postat ce aktivni sudionici u procesu ucenja i

time se osposobiti za cjelozivotno ucenje.

Tijekom procesa ucenja ucenici ce uvid-

jeti vaznost nacrtne geometrije u njihovimzivotima, steci uvid u povijesni razvoj ove

grane matematike, kao i spoznati njezinuulogu i vaznost u drustvu tijekom proslosti,

sadasnjosti i buducnosti. U nastavnomu pro-cesu nove ce matematicke koncepte, prikaze,

vjestine i procese povezivati s vec poznatima,s kojima imaju iskustva i koje znaju rabiti.Bavit ce se problemima koji proizlaze iz

svakodnevnih, realnih i smislenih situacija itime uspostaviti poveznice izmedu matematike

i svakodnevnoga zivota te drugih podrucjaodgoja, obrazovanja i ljudske djelatnosti. Imat

ce prilike nacrtnu geometriju primijeniti urjesavanju projekata koji zahtijevaju primjenu

vlastitih znanja, vjestina i sposobnosti kao injihovu nadogradnju. Primjerene aktivnosti i

istrazivanja izvodit ce samostalno i timski, stoce ih osposobiti za pristup problemima kojiukljucuju primjenu matematike u raznolikim

kontekstima.

1.1. Opci ciljevi nacrtne geometrije

Ucenici ce:

• usvojiti temeljna znanja, vjestine i

procese, te uspostaviti i razumjetimatematicke odnose i veze;

• biti osposobljeni za rjesavanje

matematickih problema i primjenunacrtne geometrije u razlicitim kontek-

stima, ukljucujuci i svijet rada;

• razviti pozitivan odnos prema nacrtnojgeometriji, odgovornost za svoj uspjeh i

napredak te svijest o svojim postignucima;

2 Perspektiva u IPAQ Peta

• prepoznati i razumjeti povijesnu idrustvenu ulogu nacrtne geometrije u

znanosti, kulturi, umjetnosti i tehnologiji,kao i njezin potencijal za buducnost

drustva;

• biti osposobljeni za apstraktno i prostorno

misljenje te logicko zakljucivanje;

• ucinkovito komunicirati znanja iz nacrtnegeometrije, ideje i rezultate rabeci

raznovrsne prikaze;

• ucinkovito primjenjivati tehnologiju;

• steci cvrste temelje za cjelozivotno ucenje

i nastavak obrazovanja.

1.2. Primjena tehnologije

Ucenici ce moci:

• istrazivati i analizirati matematicke ideje,eksperimentirati s njima te provjeravati

pretpostavke racunala i racunalnoga pro-grama dinamicne geometrije Sketchpada,

• racionalno i ucinkovito rabiti racunaloza rjesavanje problema i modeliranje i u

situacijama kojima su u sredistu interesamatematicke ideje,

• razumjeti prednosti i nedostatke primjenetehnologije.

1.3. Oblik i prostor

Ucenici ce moci:

• rabiti projekcije tocke, pravca i kruznice,

te primijeniti metode nacrtne geometrijeza prikazivanje i istrazivanje svojstava ge-ometrijskih oblika,

• prepoznati, opisati i primijeniti sukladnost

i slicnost geometrijskih oblika,

• skicirati, opisati i interpretirati ravninskeprikaze prostornih oblika,

• rabiti geometrijske transformacije ravnineza opisivanje pravilnosti i svojstava ge-

ometrijskih uzoraka,

• prepoznati geometrijske objekte (likove itijela), njihova svojstva u svakodnevnomuokruzenju i umjetnosti te ih upotrijebiti za

opis i analizu svijeta oko sebe.

2. Sadrzaj nacrtne geometrije

Ovdje cemo samo nabrojiti sadrzaje nacrtne

geometrije koje predlazemo poucavati i uciti udvogodisnjem ciklusu.

2.1. Abeceda

1. Abeceda Sketchpada i konstrukcije ge-ometrijskih likova

2. Abeceda stereometrije

3. Neki planimetrijski poucci

4. Opcenito o projiciranju: centralno, para-

lelno i perspektivno

Perspektivna kolineacija i perspek-tivna afinost

5. Desarguesov poucak

6. Perspektivna kolineacija i perspektivnaafinost

7. Elipsa kao slika kruznice

2.2. Dvocrtni postupak: tlocrt i nacrt

1. Projekcije tocke

2. Projekcije pravca

3. Tragovi ravnine

4. Probodiste, presjek, . . .

2.3. Trocrtni postupak: tlocrt, nacrt ibokocrt

1. Bokocrt

2. Stranocrt

2.4. Prikazivanje tijela

1. Eckhartov postupak

2. Prizma i piramida

3. Valjak i stozac

4. Kugla

2.5. Prodori tijela

1. Probodiste pravca i tijela

2. Presjek ravnine i tijela

3. Prodor prizme i piramide

4. Prodor dva valjka

5. Prodor valjka i stosca

6. Prodor dva stosca

7. Prodor valjka i kugle

2.6. Sjene tijela

1. Sjena prizme

2. Sjena piramide

3. Sjena valjka

4. Sjena stosca

5. Sjena kugle

6. Sjena slozenog tijela

2.7. Metricki zadatci

1. Prava duljina duzine

2. Udaljenost tocke od pravca

3. Udaljenost tocke od ravnine


4. Prava velicina kuta

5. Prava velicina ravninskog lika

6. Prava velicina kuta dviju ravnina

2.8. Perspektiva

1. Uvod: povijesne natuknice, poticaji, slikarii utemeljenje Perspektive

2. Temeljni pojmovi:ociste, nedogled, horizont, distancijska

kruznica, vidni pravac, ...

3. Pravila perspektive

4. Perspektiva s jednim nedogledom

1. kvadrat/pravokutnik,

2. kruznica,

3. kocka i prizma,

4. piramida,

5. valjak,

6. stozac,

7. slozeno tijelo,

8. interijer i eksterijer.

5. Perspektiva s dva nedogleda


2. kruznica,

3. kocka i prizma,

4. piramida,

5. valjak,

6. stozac,

7. slozeno tijelo,

8. interijer i eksterijer.

6. Perspektiva s tri nedogleda

7. Refleksija/zrcaljenje

1. Horizontalno zrcalo

2. Vertikalno zrcalo

a) frontalno zrcalo,

b) bocno zrcalo.

8. Sjene tijela u perspektivi

9. Anamorfna perspektiva, ulicna i druge

perspektive

10. Izrada projekata

Ucenici ce odabrati dva projekta:

• analiza umjetnicke slike;

• crtanje ”nemoguceg” tijela;

• crtanje interijera (sa sjenama);

• crtanje eksterijera (sa sjenama);

• izrada jedne art-street slike;

• analiza i crtanje predloska za reklamukoja lezi na tlu;

• crtanje slike koja se gleda pod nekim

kutom, tj. sliku anamorfne umjet-nosti;

• analiza Marvelova stripa i izrada

jedne takve slike.

3. Abeceda

3.1. Abeceda Sketchpada

Software Sketchpad ima sve alate potrebne za

sve oblike ucenja i poucavanja matematike, patako i nacrtne geometrije.

Doznat cemo kako se pomocu Sketchpada cr-

taju i konstruiraju objekti, dijelovi kruznice ikruga, imenuju objekti, crtaju duzine i pravci

razlicite debljine i ”punoce”, tocke razlicite”velicine”, mjere objekti, bojaju objekti i sl.

U tu svrhu rijesimo sljedece zadatke.

Zadatak 3.1. Nacrtajte/konstruirajte

i imenujte nekoliko:

a) tocaka,

b) duzina,

c) pravaca,

d) polupravaca,

e) kruznica

f) dijelova kruga/kruznice.

Zadatak 3.2. Konstruirajte u tockiizvan zadanog pravca:

a) pravac usporedan sa zadanim pravcem,

b) okomicu na zadani pravac.

Zadatak 3.3. Nacrtajte/konstruirajte

(”klasicno” i/ili pomocu transformacije):

a) jednakostranicni trokut,

b) raznostranicni trokut,

c) kvadrat,

d) pravokutnik,

e) paralelogram,

f) nekoliko pravilnih mnogokutova.

Izmjerite im duljine stranica, kutove,

opseg i povrsinu.

Zadatak 3.4. Nacrtajte/konstruirajteuzorak (sl. 3.1.) i njime poplocite kvadrat

dimenzije 5 × 5.

Slika 3.1.

3.2. Abeceda stereometrije

Razmotrimo abecedu stereometrije i rijesimonekoliko zadataka. Temeljni model bit ce

predlozak dinamicne kocke.

Ucitajmo file Abeceda stereometrije.gsp

i na njemu ponovimo temeljne cinjenice. (Filesadrzava prezentacijski materijal kao i rjesenja

zadataka 3.5. - 3.8.)

1. Medusobni polozaj

Zadatak 3.5. U kakvu medusobnom

polozaju mogu biti:

a) dva pravca,

b) dvije ravnine,

c) pravac i ravnina?


2. Probodiste pravca i ravnine

Zadatak 3.6. Nacrtajte/konstruirajteprobodiste pravca AB s ravninom α, ako

su tocke A′ i B′ projekcije tocaka A i B

na ravninu α.

3. Ortogonalna projekcija

Zadatak 3.7. Nacrtajte ortogonalnu pro-

jekciju:

a) tocke,

b) duzine,

c) pravca,

na ravninu α.

4. Presjek dviju ravnina

Zadatak 3.8. Nacrtajte presjek ravnina

α i β.

5. Udaljenost i kut

Zadatak 3.9. Odgovorite na sljedeca

pitanja:

a) Kako se odreduje udaljenost tocke od

pravca i tocke od ravnine?

b) Kako se odreduje udaljenost dvaju pravaca,

a kako pravca od ravnine?

c) Kako se odreduje udaljenost dviju ravnina?

3.3. Neki planimetrijski poucci

U poucavanju, ucenju i istrazivanju primje-

njivat cemo neke planimetrijske poucke cijedokaze mozete naci u odgovarajucim skolskim

udzbenicima.

1. Talesovi poucci

Poucak 3.1. (o proporcionalnim duzinama)

Ako se dva pravca koja se sijeku presijeku sdva medusobno usporedna pravca, onda su do-

bivene korespodentne duzine medusobno pro-porcionalne, tj. vrijedi

|V A|

|V B|=

|V A1|

|V B1|=

|AA1|

|BB1|.

Slika 3.2.

Poucak 3.2. (o obodnom kutu nad promje-

rom) Obodni kut nad promjerom kruznice jepravi kut.

Slika 3.3.

2. Euklidov poucak

Poucak 3.3. Ako je zadan pravokutni trokutABC i noziste D njegove visine na hipotenuzu,

onda je |CD|2 = |AD| · |DB|.

Slika 3.4.

3. Abeceda 7

3. Poucak o ortocentru trokuta

Poucak 3.4. Visine trokuta su konkurentni

pravci, a ortocentar je konkurentna tocka.

Slika 3.5.

4. Desarguesov poucak

Poucak 3.5. Ako su za trokute ABC iA1B1C1 pravci AA1, BB1 i CC1 konkurentni,

onda su tri sjecista pravaca AB i A1B1, BC iB1C1 te AC i A1C1 kolinearna.

Slika 3.6.

Na slici 3.6. vidi se Desarguesov poucak uravnini, a na slici 3.7. u prostoru.

Slika 3.7.

3.4. Opcenito o projiciranju

Nacrtna geometrija matematicka je disciplinakoja geometrijske objekte iz 3D konstruktivnim

geometrijskim metodama projicira na 2D.Projiciranje je svako bijektivno preslikavanje

nekog skupa tocaka ili geometrijske figure pros-tora na skup tocaka ili geometrijsku figuru neke

ravnine.


1. Centralno projiciranje

Centralno projiciranje u prostoru sasredistem u tocki S na ravninu projici-

ranja π, (S 6∈ π), preslikavanje je kojesvakoj tocki A prostora, pridruzuje onu

tocku A′ koja je probodiste pravca AS

(zrake) i ravnine π (sl. 3.8.).

Slika 3.8.

2. Paralelno projiciranje

Paralelno projiciranje je projiciranje u ko-jemu su zrake projiciranja medusobno us-poredne. Kad su zrake paralelnog projici-

ranja okomite na ravninu projekcije, ondaje rijec o ortogonalnom projiciranju (sl.

3.9.).

Slika 3.9.

3. Perspektivna kolineacija

Perspektivna (ili centralna) kolineacija jest

preslikavanje skupa tocaka i skupa pravacaravnine na sebe, koje zadovoljava sljedece

uvjete:

a) Lezi li tocka na pravcu, njezina ceslika lezati na slici toga pravca.

b) Spojnice parova pridruzenih tocaka,koje se nazivaju zrake perspektivne

kolineacije, prolaze jednom tockomS, koja se naziva sredistem perspek-

tivne kolineacije.

c) Postoji tocno jedan pravac u ravninicija je svaka tocka pridruzena sama

sebi i koji se zove os perspektivne ko-lineacije.

4. Perspektivna afinost

Perspektivna afinost u ravnini jest pres-

likavanje skupa tocaka i skupa pravacaravnine na sebe, koje zadovoljava sljedece

uvjete:

a) Lezi li tocka na pravcu, njezina ceslika lezati na slici toga pravca.

b) Spojnice parova pridruzenih tocaka,

koje se nazivaju zrake afinosti,medusobno su usporedne.

c) Postoji tocno jedan pravac u ravninicija je svaka tocka pridruzena sama

sebi i koji se zove os afinosti.

Perspektivna afinost je zapravo posebanslucaj perspektivne kolineacije, gdje je

srediste kolineacije beskonacno dalekatocka, pa su time spojnice pridruzenih

tocaka postale usporedne.

Primjer 3.1. Nacrtajmo elipsu kao afinusliku kruznice.

Konstrukcija/rjesenje problema prikazano je naslici 3.10. Konstrukciju provodimo u sljedecem

nizu koraka:

1. Nacrtajmo/konstruirajmo kvadrat

ABCD.

2. Kvadratu opisimo (ili upisimo) kruznicu

k(S, r).

3. Nacrtajmo/konstruirajmo afinu slikukvadrata ABCD, ako je os afinostio = CD i tocke A i A′ medusobno su

pridruzene tocke. Afina slika kvadrataABCD je paralelogram A′B′C′D′.

4. Na kruznici k odaberimo bilo koju tocku

T .

5. Nacrtajmo/konstruirajmo afinu sliku

tocke T, tj. nacrtajmo tocku T ′.

3. Abeceda 9

6. Geometrijsko mjesto svih tocaka T i T ′,

(tj. lokus (T, T ′)) definira elipsu koja je

afina slika opisane (ili upisane) kruznice k

kvadratu ABCD.

Slika 3.10.

Primjer 3.2. Nacrtajmo elipsu, hiperbolui parabolu kao perspektivno kolinearne slike

kruznice.

Konstrukcija/rjesenje problema prikazano

je na slici 3.11. Konstrukciju provodimo usljedecem nizu koraka:

1. Nacrtajmo pravac h, tocke O, G i G′ tekruznicu k.

2. Na kruznici k odaberemo bilo koju tocku

T .

3. Nacrtajmo pravac TO.

4. Pravac GT i pravac h sijeku se u tocki N .

5. Tockom G′ nacrtajmo pravac p usporedan

s pravcem ON, tj. G′T ′ ‖ ON .

6. Tocka T ′ je presjek pravaca p i TO.

7. Geometrijsko mjesto svih tocaka T i T ′

(lokus (T, T ′)) definirat ce elipsu koja je

perspektivna slika kruznice k.

Slika 3.11.

Mijenjanje polozaja kruznice k prema pravcuh rezultirat ce hiperbolom i parabolom kao per-spektivnim slikama kruznice.

Napomena. Umjesto lokusa mozemouporabiti Transformacije|Definirajte

korisnicku transformaciju . . .|T → T ′

pomocu koje onda mozemo preslikavati bilokoji oznaceni objekt.

Zadatak 3.10. Nacrtajte perspektivno ko-linearnu sliku:

a) trokuta,

b) cetverokuta,

c) pletera u boji (sl. 3.12.),

Slika 3.12.


d) jednog pletera sa slike 3.13.,

Slika 3.13.

e) fotografije Aske (sl. 3.14.).

Slika 3.14.

4. Perspektiva

Uzde i kormilo slikarstva je perspektiva.

Leonardo da Vinci

Nacrtna se geometrija razvila nakon ovlada-vanja tehnikama, metodama i problemima per-

spektivnog projiciranja.

4.1. Povijesne natuknice

Perspektiva je izvorno renesansno otkrice. Prijerenesanse dugi su niz stoljeca umjetnici i obrt-

nici u razlicitim civilizacijama primjenjivalirazna rjesenja problema kako trodimenzionalni

objekt prikazati na dvodimenzionalnoj plohi.

1. Poticaji

Mnogi su razlozi koji su doveli do rodenjaperspektive: od iznimno jednostavne ideje da

se u crtanju na plohu rabi jedna sredisnjatocka (oko) do prijedloga koji ukljucuje aspekte

povijesti umjetnosti, znanosti, tehnologije, so-ciologije, filozofije i religije.

Slika 4.1.

Cetiri su temeljna poticaja:

1. Ideja crtanja ”onoga sto vidim”.

2. Eksperimenti s prikazom pojedinih

pravaca u kompoziciji slike.

3. Potraga za matematickim pravilima cr-

tanja.

4. Inspiracija utemeljena na optickoj teoriji.

Ideja reproduciranja, tj. crtanja ”onoga stovidim” razvijala se od pradavnih vremena (npr.slike u pecinama), preko starog Egipta (sl.

4.1.), anticke Grcke i Rima do renesanse i nasihdana.

Eksperimentiranje u prikazivanju pravacakoji su okomiti, horizontalni i/ili usporedni s

ravninom slike davalo je razlicita iskustva.Ilustracije tih pokusaja mozemo vidjeti na

sl. 4.2. (gore) Posljednja vecera koju je 1310.godine naslikao Duccio di Buoninsegna

(1255.-1319.) i na sl. 4.2. (dolje) NavjestenjeAmbrogija Lorenzettija (oko 1300.-1348.)iz 1344. godine.

Slika 4.2.

Rezultat provedenih eksperimenata jest


otkrice tocke koja ce kasnije biti poznata kaonedogledna tocka ili nedogled.

Potraga za matematickim pravilima u skladuje s renesansnim ozivljavanjem Pitagorinih

misli o svijetu matematike i potice misao dase matematika moze primijeniti u slikarstvu,

arhitekturi i glazbi.Optika je jedna od antickih znanosti.

Posvecena joj je znatna pozornost u razdoblju

prije renesanse. Ona razvija pocetnu perspek-tivnost na intelektualnoj i tehnickoj razini.

Intelektualno je pridonijela ideji perspektivezahtjevom da se proucava znanstveno, a

tehnicki je utjecala na oblikovanje pravila.Osnovna je hipoteza u ovoj teoriji da su

medusobno usporedne duzine unutar isto-ga kuta jednake, a temeljni je rezultat da

usporedni pravci konvergiraju.Ideju da su perspektiva i optika povezane u

svojem je radu predocio Alberti.

2. Slikari

Mnogi su renesansni slikari svojim

slikama/radovima dali velik obol u prikazivanjutrodimenzionalnih objekata na dvodimenzion-alnoj ravnini.

Spomenut cemo samo one najznacajnije. Uanalizi slika starih majstora moze se uociti nji-

hov doprinos i/ili ovladavanje pravilima per-spektive.

a) Filippo Brunelleschi (1377.-1446.) prvije crtao genijalne perspektivne kompozicije.

Svoju domisljatost i kreativnost predocio jeslikajuci crkvu sv. Ivana u Firenzi.

Slika 4.3.

b) Leon Battista Alberti (1404.-1472.)1435. godine zavrsio je svoje djelo Della pittu-

ra u kojem se nalazi prva poznata definicija

perspektivnog crtanja/predocavanja kao i prvapoznata prezentacija perspektivne konstrukcije

(vidi sl. 4.4.).

Slika 4.4.

c) Piero della Francesca (1415.-1492.) ta-

lijanski je slikar.

Njegovo razumijevanje perspektive i rjesenja

nekih problema koja je naznacio u tri traktata:Traktat o abaku, Kratka knjiga o pet pravilnihtijela i O perspektivi u slikarstvu eksplicitno su

uocljiva na njegovim slikama. Ilustracije radipogledajmo sl.4.5. Bicevanje Krista.

Slika 4.5.

d) Leonardo da Vinci (1452.-1519.) tali-janski je ”renesansni covjek” i genij. Njegovo

slikarsko remek-djelo Posljednja vecera (vidisl. 4.6.) savrseno ilustrira uporabu i rjesenja

problema perspektive. Otkrivanjem i analizom

4. Perspektiva 13

konstrukcija koje je da Vinci koristio mozemose uvjeriti u perspektivnu savrsenost ove slike.

Slika 4.6.

e) Albrecht Durer (1471.-1528.) njemackije renesansni slikar, teoreticar umjetnosti i

veliki zaljubljenik u geometriju. Sjedinio jetalijansku renesansu s ekspresivnim stilomnjemackoga reformatorskog doba.

Posvetio se teoriji umjetnosti te izmedu osta-log utemeljio znanost o proporcijama u knjiga-

ma Cetiri knjige o proporcijama.

Slika 4.7.

Na njegovim dvjema perspektivnim slikama

(vidi sl. 4.7.) ilustrirani su nacini na kojesu stari majstori stvarali svoje perspektivne

crteze.

3. Rodenje matematicke teorije perspek-

tive

Radanje egzaktnih znanosti u renesansi bilo

je moguce zato sto su poznati znanstvenicitoga doba, kao sto su Galileo Galilei, Jo-hannes Kepler, Christiaan Huygens i Isaac

Newton, bili okruzeni mnogim intelektualcimakoji su bili fascinirani proucavanjem prirode i

matematickih znanosti.

Neki od takvih bili su Guidobaldo March-ese del Monte (1545.-1607.) i Simon Stevin

(1548.-1620.). Godine 1600. Guidobaldo objav-ljuje svoje rezultate iz perspektive u knjizi Per-

spectivae libri sex.

Slika 4.8.

On je prvi shvatio vaznost i realizirao raz-

matranje perspektivne slike pomocu skupa us-porednih pravaca i stvorio pojam nedogleda.Na ilustraciji (sl. 4.9.) iz njegove knjige vidi

se vizualna piramida i uocava matematickotumacenje nastajanja slike.

Slika 4.9.

Nizozemski matematicar i vojni inzenjer Si-mon Stevin dao je velik obol matematickoj

utemeljenosti teorije perspektive. To je ocito u


njegovu prikazu kocke u perspektivi (sl. 4.10.).

Slika 4.10.

Mnoge tehnike crtanja, rjesenja problema

i teoreme osmislio je veliki broj europskihmatematicara. Nabrojimo neke od njih:

’sGravesande, Maroloise, Desargues, Huy-

gens, van Schooten, Mohr, Torricelli, Amato,Pozzo, Poncelet, Ozanam, Vaulezard, Niceron,Bosse, Taylor, Hamilton, Kirby, Highmore,

Emerson, Priestley, Schubler, Kastner, Lam-bert i dr.

Francuski matematicar Jean LouisVaulezard objavio je 1630. godine knjiguPerspective cilindrique et conique. Razma-

trao je poseban slucaj, crtez je postavljenhorizontalno, a njegova se slika projicira na

valjkastomu (cilindricnom) zrcalu (sl. 4.11.).

Slika 4.11.

Temeljni problem jest:

odredivanje dviju vrsta krivulja u horizon-

talnoj ravnini tako da se nakon reflektiranja na

cilindricnomu zrcalu vidi odgovarajuca mrezavertikalnih i horizontalnih osi.

Jean Francois Niceron (1613. - 1646.) bioje francuski svecenik i matematicar. Napisao je

1638. godine djelo La perspective curieuse oumagie artificiele des effets merveilleux u ko-

jemu razmatra geometriju anamorfnih slika uteoriji perspektive (sl. 4.12.).

Slika 4.12.

Konstruiranje anamorfnih slika pocetno suprimjenjivali u Kini odakle su pocetkom 17.

stoljeca stigle u Europu.

Kineske su se konstrukcije temeljile na

metodi pokusaja i pogrjesaka, dok su u Europiprimjenjivana geometrijska pravila ciji izvor

nije poznat.

4. Perspektiva 15

Na slici 4.13. prikazana je Niceronovakonstrukcija anamorfnih slika na vertikalnoj

ravnini.

Slika 4.13.

Johann Heinrich Lambert (1728. -

1777.) dizajnirao je posebnu ljestvicu (sl.4.14.) pomocu koje je crtao kruzni isjecak.

Slika 4.14.

Nazvao ju je elipticnom. Analiza njegoveljestvice pokazuje da je udaljenost f(n) od

sredista isjecka do tocke oznacene s n moguce

zapisati relacijom

f(n) = sin

(

arccos100 − n

n

)

.

Lambert je uocio medusobno perspektivno

pridruzivanje kruznica i elipsa i razjasnio kakose ostvaruje to pridruzivanje.

4. Monge zatvara krug

Teorija perspektive razvijala se neprekidno do

Gasparda Mongea.

Oko 300 godina nakon Piera della Francesceperspektivne metode postaju dio nacrtne

(deskriptivne) geometrije.

Gaspard Monge (1746.-1818.) francuskimatematicar, nakon 1760-ih, povezuje i kom-

binira u svojem poucavanju na Ecole royalede genie u Mezieresu stare elevacijske tehnike

perspektive s metodama koje ce kasnije postatidio diferencijalne geometrije. Godine 1795.

napisao je za potrebe Ecole normale trinaestlekcija deskriptivne geometrije. Godine 1799.

objavljeno je samo 9 lekcija jer je Mongehtio poboljsati 4 lekcije. One su i objavljene

nakon poboljsanja. Godine 1820. ukljucene sujos 3 lekcije: o sjenama, zracnoj perspektivi ilinearnoj perspektivi.

Monge je zamislio da se vertikalna ravni-na zarotira u horizontalnu ravninu oko nji-

hove presjecnice (sl. 4.15.). Tako dobivena novaravnina naziva se deskriptivna ravnina.

Slika 4.15.


U deskriptivnoj ravnini svaka je tocka A

prostora definirana ili odredena s dvije tocke

A′ i A′′.

Vazna je cinjenica da je Monge takoderpokazao kako se odredeni broj standard-

nih euklidskih konstrukcija moze provestiizravno u deskriptivnoj geometriji. Njegovse prvi primjer odnosi na problem kako se

tockom moze konstruirati pravac usporedan sazadanim pravcem. Na primjeru slike piramide

(sl. 4.16.) vidi se kako je Monge povezao svojdeskriptivni prikaz s perspektivnim prikazom.

Slika 4.16.

Usporedujuci na ovomu primjeru Mongeov

pristup s onim Piera della Francesce moze sereci da Monge nije nista novoga rekao nego

da je zatvorio krug u kojem je perspektivasadrzana u njegovoj deskriptivnoj geometriji.

S njegovim se radom zatvorio krug urjesavanju problema prikazivanja trodimen-

zionalnih objekata na dvodimenzionalnuravninu. Postupno je razvio novu disciplinu

prikazivanja trodimenzionalnih objekata na trimedusobno okomite ravnine (tlocrtnu, nacrtnu

i bokocrtnu ravninu).

Na slici 4.17. prikazan je tlocrt A′, nacrt A′′

i bokocrt A′′′ neke tocke A u prostoru.

Slika 4.17.

4.2. Temeljni pojmovi

Na slici 4.18. prikazani su polozaji ravnina: ho-rizontalne π1 i vertikalne π2, ocista O (slikareva

oka), polozaj pravca OP u prostoru i njegoveslike na horizontalnu ravninu i na ravninu slike.

Slika 4.18.

Horizontalna ravnina π1, na kojoj se nalazeobjekti, naziva se ravnina objekta, a na nju

okomita ravnina π2 zove se ravnina slike.Pravac OP zove se pravac projekcije tocke P

ili vidni pravac. Tocka Pc u kojoj pravac OP

probada ravninu slike naziva se slika tocke P .Transformacija koja pridruzuje tocke P i Pc

koje su uvijek kolinearne s cvrstom tockom O

naziva se perspektivna transformacija.

Probodiste ravnine π2 i pravca projekcijeocistem O, koji je okomit na ravninu π2, zove

se glavna tocka Oc.

4. Perspektiva 17

Pravac h koji je presjecnica ravnine slike π2 iravnine polozene tockom O usporedno s ravni-

nom objekata π1 zove se nedoglednica horizon-talne ravnine ili horizont ili obzor.

Slike svih pravaca okomitih na ravninu slike

imaju isti glavni nedogled OC (sl. 4.19.) jerse njihova zajednicka beskonacno daleka tocka

projicira u glavnu tocku.

Slika 4.19.

Slike medusobno usporednih horizontalnihpravaca koji nisu okomiti na ravninu slike,imaju isti nedogled Nn na nedoglednici (sl.

4.20.). Zasto?

Slika 4.20.

• Spojnica ocista O s tockom nekog objektaprobada ravninu projekcije. Probodista

vidnih pravaca daju perspektivnu slikuobjekta.

• Ravnina u kojoj se nalaze probodista zove

se ravnina slike.

• Okomitu projekciju OC ocistaO zvat cemo

glavna tocka, a udaljenost |OOC| distan-cija d ili ocna udaljenost.

• Kruznicu k(OC , r) = |OOC |) zove se dis-

tancijska kruznica.

Slika 4.21.

• Nedogled An pravca a probodiste je rav-

nine slike pravcem b koji je usporedan s a

i prolazi ocistem O.

• Perspektivna slika neizmjerno dalekogpravca ravnine zove se nedoglednica ili

nedogledni trag.

• Trag horizontalne ravnine je osnovica o.

Slika 4.22.

• Tocke D1 i D2 zovu se distancijske tocke i

vrijedi |OOc| = |OcD1| = |OcD2| = d.(Napomena: Na svakoj perspektivnoj slici

u fileu je istaknuta distancija koja se mozedinamicno mijenjati i na taj se nacin is-

trazivati njezina uloga.)

Napomena: Dinamicna prezentacija ovihtemeljnih pojmova nalazi se u Temeljni

pojmovi i pravila.gsp.


4.3. Pravila perspektive

Pravila perspektivnoga crtanja prvi je opisaoFilippo Brunelleschi. Potraga za pravilima per-

spektive rezultiralo je sljedecim:

• Perspektivna slika pravca je pravac.

• Perspektivna slika vertikalnog pravca jevertikalni pravac.

• Perspektivna slika horizontalnog pravcausporednog s osnovicom slike usporedna je

s osnovicom.

• Sve duzine ravnine koja je usporednas ravninom slike, smanjuju se pro-

porcionalno sto su udaljenije i ostajumedusobno u istom omjeru kao i origi-

nalne duzine.

• Perspektivne slike svih horizontala kojesu okomite na ravninu slike, sijeku se u

glavnoj tocki.

• Perspektivne slike svih horizontala koje sravninom slike zatvaraju velicinu kuta od

45◦ (pola pravog kuta), sijeku se u (odgo-varajucim) distancijskim tockama.

Posljednje sazimanje pravila izvedeno je1991. godine i sada glase ovako:

• Horizont (obzor) je pravac.

• Perspektivne slike pravaca u prostoru jesu

pravci na slici.

• Perspektivne slike skupova uspored-nih pravaca sijeku se u zajednickomnedogledu.

• Perspektivne slike pravaca usporednih s

ravninom slike usporedni su i zato nemajunedogled u konacnosti.

Primjeri

Primjenu ovih pravila mozemo ilustrirati urjesavanju nekoliko temeljnih problema per-

spektive.

Primjer 4.1. Nacrtajmo perspektivne sli-ke usporednih pravaca e i f.

Usporedni pravci imaju isti nedogled.

Slika 4.23.

Primjer 4.2. Nacrtajmo pravce a, b i c

koji su okomiti na ravninu slike.

Pravci okomiti na ravninu slike imaju isti ne-dogled kao i okomiti pravac ocistem. Njegov je

nedogled tocka Oc. Dakle, svi ovi okomiti pravciimaju isti nedogled Oc.

Slika 4.24.

Primjer 4.3. Odredimo pravu duljinu du-zine u horizontalnoj ravnini ako joj je perspek-

tivna slika:

Slika 4.25.

a) AcBc usporedna s osnovicom o,

4. Perspektiva 19

b) EcFc okomita na osnovicu o.

Na slici 4.26. prikazani su nacini konstru-iranja pravih duljina duzina. Na gornjoj se

slici vidi da se prava velicina duzine AB mozeodrediti na dva nacina, dok se za duzinu EF

moze uporabiti bilo koja nedogledna tocka (sl.

4.26. dolje).

Slika 4.26.

Primjer 4.4. Odredimo pravu duljinu du-zine AB koja je okomita na horizontalnu rav-

ninu i zadana perspektivnom slikom AcBc.

Slika 4.27.

Ako je duzina okomita na horizontalnu

ravninu, onda je i njezina perspektivna slika

okomita na horizontalnu ravninu. Zajednickinedogled dvaju usporednih pravaca tockom A,

odnosno tockom B je ociste Oc. U presjekutih pravaca i osnovice nacrtat cemo tocku

A, odnosno u presjeku ravnine tockom A

(okomite na osnovicu, u njoj mjerimo visine) i

pomocnog pravca tockom Bc tocku B. Izmjerilismo duljinu te duzine (sl. 4.28.).

Iz konstrukcije je vidljivo da su moguca

dva razlicita konstruktivna pristupa, ali krajnjirezultat, tj. duljina duzine mora biti ista.

Slika 4.28.

Primjer 4.5. U horizontalnoj ravnininacrtajmo kvadrat ABCD duljine stranice a

i razdijelimo ga na manje sukladne kvadrate(primjerice, 3x3, 5x5).

Na slici 4.29. nacrtana je podjela kvadrata na 9

dijelova. Uocavamo da je kvadrat u specijalnompolozaju, tj. stranica mu pripada osnovici.

Slika 4.29.

Primjer 4.6. U tockama E i G horizon-

talne ravnine nacrtajmo okomice i na njima


odredimo tocke F i H koje su udaljene odtocaka E i G za zadanu duljinu a = |AB|.

Na slici 4.30. prikazana je konstrukcijarjesenja. Temelji se na rjesavanju primjera 4.4.

Vazno je uociti da se duljina projekcije duzinemijenja, od dulje prema kracoj, kako se duzina

udaljava od ravnine pojiciranja.

Slika 4.30.

Primjer 4.7. Nacrtajmo perspektivnu sli-ku kruznice k(S, r) i njoj opisani kvadrat koji

leze u horizontalnoj ravnini.

Konstrukcija/rjesenje problema prikazano je

na slici 4.31.

Slika 4.31.

Tok konstrukcije mozemo provesti nizom ko-raka:

1. Nacrtamo kruznicu k(S, r) u pravoj/pre-

valjenoj velicini.

2. Kruznici k nacrtamo/konstruiramo tan-

gencijalni kvadrat ABCD.

3. Nacrtamo/konstruiramo perspektivnu sli-ku AcBcCcDc kvadrata ABCD.

4. Na kruznici k odaberemo proizvoljnu toc-ku T .

5. Nacrtamo/konstruiramo perspektivnu sli-

ku Tc tocke T (pomocu okomice tockom T

na osnovicu o i pravca ST ).

6. Geometrijsko mjesto svih tocaka T i Tc

(lokus (T, Tc)) je elipsa koja je perspek-tivna slika kruznice k.

Perspektivnu sliku kruznice i njoj opisanakvadrata u horizontalnoj ravnini mozemo nacr-

tati pomocu definirane transformacije (umjestolokusa). Tada algoritam ima sljedece korake:

1. Prevali se perspektivna slika tocke SC i do-bije se tocka S.

2. Nacrta se kruznica k(S, r) i tangencijalni

kvadrat ABCD.

3. Nacrta se bilo koja tocka T i njezina per-

spektivna slika TC .

4. Oznace se tocke T i TC i definira transfor-macija u Transformacije|Definirajte

korisnicku transformaciju. . . i uprozoru koji se pojavi na zaslonu upise

se naziv transformacije, primjericePerspektivna slika.

5. Oznaci se nacrtana kruznica i kvadrat te

uporabi Transformacije|Perspektivna

slika.

4. Perspektiva 21

Primjer 4.8. Nacrtajmo perspektivnu sli-ku stuba (u dvama posebnim polozajima).

Slika 4.32.

Na slici 4.32. prikazana su neka od mogucih

rjesenja!

Primjer 4.9. Odredimo velicinu kutapravca p, koji lezi u horizontalnoj ravnini, s

ravninom slike/platnom.

Slika 4.33.

Prvo rjesenje. Odabere se bilo koja tocka

A pravca p i prevali oko o. Dobije se tockaA0. Tocka P je presjek pravca p i osnovice o.

Tockama P i A0 odreden je pravac p0. Trazenikut je 6 A0Po (sl. 4.34. lijevo).

Drugo rjesenje. Na okomici na horizont h

u tockom Oc konstruira se tocka O0 tako da je

|OcO0| = d (sl. 4.34. desno). Kut 6 OcNO0 je

trazeni kut.

Slika 4.34.

Napomena: Dinamicne prezentacijeovih pravila i primjera nalaze se u da-

totekama Temeljni pojmovi i pravila.gsp

i Primjeri.gsp.

4.4. Perspektiva s jednim nedogledom

Slikarsko prikazivanje usporednih pravacapomocu nedogleda, tocke u kojoj se ti pravci

”sijeku”, bilo je u skladu s ”prirodnim”dozivljavanjem nacrtanog objekta.

Prikazimo to uporabom samo jednog ne-dogleda perspektivne slike sljedecih objekata.

(Prikazi su posebni slucajevi prikaza koji senalaze u datoteci Nedogledi.gsp.)

Ovim primjerima zelimo ilustrirati perspek-

tivno crtanje/konstruiranje slika u nastavimatematike uobicajenih likova i tijela, jednom

rijecju objekata, kao i vizualiziranje slozenijesituacije.


Slika 4.35.


2. kruznica,

Slika 4.36.

3. kocka/prizma,

Slika 4.37.

4. piramida,

Slika 4.38.

5. valjak,

Slika 4.39.

6. stozac,

Slika 4.40.

7. slozeno tijelo,

Zadatak 4.1. Nacrtajte za vjezbu ne-

ko slozeno tijelo i njegovu perspektivnusliku.

8. interijer i eksterijer neke realne situacije/-prostora.

Zadatak 4.2. Nacrtajte za vjezbu ne-

ki interijer i eksterijer i njihove perspek-tivne slike.

4.5. Perspektiva s dva nedogleda

Konstruiranje perspektivne slike s jednim ne-dogledom, na neki nacin, mozemo ”poopciti”

uvodenjem drugog nedogleda.

Prikazimo uporabom dva nedogleda perspek-

tivne slike objekata iz prethodnog odjeljka kako

4. Perspektiva 23

bismo ilustrirali to ”poopcenje”.(Prikazi se nalaze u Nedogledi.gsp.)


Slika 4.41.

2. kruznica,

Zadatak 4.3. Nacrtajte sliku kruzni-ce. Usporedite konstrukciju perspektivne

slike metodom 2 nedogleda i metodom1 nedogleda. Postoji li razlika u crtanju

kruznice u ovim slucajevima? Obrazlozitesvoj odgovor!

3. kocka i prizma,

Slika 4.42.

4. piramida,

Slika 4.43.

5. valjak,

Slika 4.44.

6. stozac,

Slika 4.45.


7. slozeno tijelo (cetiri uspravne cetverostra-ne prizme),

Slika 4.46.

8. interijer i eksterijer neke realne situacije/-

prostora.

Zadatak 4.4. Nacrtajte za vjezbu ne-ki interijer i eksterijer i njihove perspek-tivne slike uz uporabu dva nedogleda.

Kao ilustraciju vizualizacije prostora s dva

nedogleda pogledajmo kako je to ucinilahrvatska arhitektica i slikarica Branka

Kaminski (1956.-2002.).

Slika 4.47.

4.6. Perspektiva s tri nedogleda

Slika 4.48.

Perspektiva s tri nedogleda (jos se zove

zablja ili pticja perspektiva) daljnje je”poopcavanje” perspektivnog vizualizi-

ranja objekata. Tri linearno nezavisnadimenzijska vektora definiraju tri skupa

usporednih pravaca od kojih svaki, uperspektivi, ima svoj nedogled. Odatle i

naziv perspektiva s tri nedogleda.

Slika 4.49.

(Napomena: Slucajevi perspektive s jednim,

dva ili tri nedogleda nastaju kad dimen-zijski vektori definiraju jedan, dva ili tri

nedogleda.)

4. Perspektiva 25

Svaki smjer, tj. skup paralela ima svojnedogled sto se najbolje vidi na slici 4.48.

nekoliko prizama (nebodera gledanihodozgo) kao i na slici Branke Kaminski

(sl. 4.49.).

Ovakva perspektivna konstrukcija pos-toji samo ako su nedogledi vrhovi

siljastokutnog trokuta, tj. ako je or-tocentar ”nedoglednog” trokuta unutar

trokuta. (Dokazite ovu tvrdnju za vjezbu.)

4.7. Refleksija/zrcaljenje

Konstrukcije zrcaljenja (zrcalne slike) na

nekoj ravnini (horizontalnoj, frontalnoj,bocnoj i kosoj) temelji se na zakonima ge-ometrijske optike. Zrcalna je slika virtu-

alna slika objekta simetricna s obzirom nazrcalnu ravninu.

Geometrijska optika definira da su kutizmedu zrake ”svjetlosti”/”upadnog”

polupravca i okomice na objekt kojireflektira tu zraku i kut reflektirane zrake

i te okomice medusobno jednaki, tj. kut”upada” jednak je kutu reflektiranjazrake.

U nasem su razmatranju objekti koji re-flektiraju zrake pravac i ravnina (zrcalna

ravnina ili zrcalo).

Slika 4.50.

Pogledajmo konstrukciju reflektirane

zrake u tocki M pravca p, na slici 4.50.Tocka A′ ”kljuc” je konstrukcije. Pravac

p je os osne simetrije, a tocka A′ os-nosimetricna je slika tocke A. (Za vjezbu

dokazite da je 6 AMn = 6 nMsz.)

Reflektiranje zrake na ravnini svodi se na

prethodnu konstrukciju. Naime, upadnazraka i reflektirana zraka odreduju jednu

ravninu, tj. one leze u istoj ravnini ∆.Ta ravnina ∆ sijece ravninu refleksije Σ

(sl. 4.51.) u pravcu q (a to je pravac p izprethodne konstrukcije).

Slika 4.51.

Neka je zrcalna ravnina Σ u opcem

polozaju prema ravnini slike Π (sl. 4.52.).(Na slici su ravnine Σ i Π u posebnom

polozaju tako da ih vidimo/crtamo kaopravce Σ i Π.) Prema prethodnom za-

kljucujemo i nekoj tocki A zrcalna slikau odnosu na ravninu Σ jest tocka Az,

a tocka A je poloviste duzine AAz i uravnini je Σ.

Centralna projekcija tocke A na ravninu Πoznacena je s Ac, a projekcija zrcalne slike

Az oznacena je s Azc .

Pravac s je zraka svjetlosti koja se, pro-lazeci tockom A, odbija/zrcali/reflektira

od zrcalne ravnine Σ. Reflektirana zraka


sz dolazi u ociste O.

Slika 4.52.

1. Horizontalno zrcalo

Ravnina zrcala Σ moze biti povrsina vode(bazena, jezera, mora . . .) ili pak glatka isjajna povrsina podne ili stropne obloge.

U perspektivi s horizontalnom osi pogleda

konstrukcije zrcaljenja najjednostavnijesu. Okomice na zrcalnu ravninu usporedne

su s ravninom slike/platna Π. Duzine natakvim pravcima zrcale se bez promjene

duljina, a polovista ostaju polovista.

Slika 4.53.

”Kljuc” za konstruiranje zrcalne slike

tocke Ac je konstrukcija probodista A

vertikalnog pravca tockom Ac i zrcalne

ravnine Σ (sl. 4.53.). To probodiste A

poloviste je duzine AcAzc . Kako je tocka

Ac poznata, onda se pomocu tog polovista

A lako konstruira tocka Azc .

Slika 4.54.

Na slici 4.54. je fotografija Davora Ros-

tuhara iz Zagreba koja najbolje ilustriraopisano zrcaljenje u prirodi.

Odraz u vodi jezera u Maksimiru u

Zagrebu stuba koje je isklesala hrvatskaumjetnica Milena Lah (1920.-2003.) jos

je jedan primjer zrcaljenja u prirodi (sl.4.55.).

Slika 4.55.

4. Perspektiva 27

2. Vertikalno zrcalo

Razlikujemo dva polozaja vertikalnoga zr-

cala:

a) frontalno zrcalo,

b) bocno zrcalo.

U posebnom slucaju kad je bocno zrcalookomito na ravninu slike/platna (nedogledzrcala je tocka Oc) radi se o bokocrtnom

zrcalu.

Pravci stranica tlocrta prizme i odgo-

varajuci pravci zrcalnoga tlocrtamedusobno se sijeku na tragu s1 (donji

rub zrcala), sto ostaje sacuvano i naperspektivnoj slici. Nedogledi N z

1i N z

2

zrcalne slike simetricni su na horizontu h,

s obzirom na Oc nedogledima N1 i N2 (sl.4.56.).

Konstrukcija perspektivne zrcalne slikeprizme prikazane u perspektivi na sliciizvedena je na frontalnom zrcalu Σ.

Ravnina zrcala postavljena je usporedno sravninom slike Π.

Slika 4.56.

Zrcaljenje na vertikalnom bocnom zrcaluΣ prikazano je na slici 4.57. (koje je koso

prema ravnini slike Π).

Slika 4.57.

Nakon sto se konstruira tocka z1c os-

tale se tocke konstruiraju uporabomodgovarajucih nedogleda Nn (nedogled

okomica na trag s1) i Ns (nedogledaparalela s tragom s1), kao i zrcalnihslika zN1 i zN2 nedogleda N1 i N2.

Zrcalni nedogledi zN1 i zN2 leze nahorizontu, a dobiveni su iz jednakosti

velicina kutova 6 N1O0Ns = 6 NsO

0zN1.

(Detalji se konstrukcije mogu vidjeti u

fileu Zrcala/bocno zrcalo.gsp.)

Slika 4.58.

Zrcalna slika vertikalne duzine (”stilizira-

nog” covjeka) na bocnom zrcalu (sl.


4.58.) izravno ukazuje na postupakkonstruiranja.

(Detalji se konstrukcije mogu vidjeti ufileu Zrcala/bocno01.gsp.)

4.8. Sjene tijela u perspektivi

O sjeni

Izvor svjetlosti je tocka koja se moze nala-ziti u konacnosti ili u beskonacnosti. Zrake

svjetlosti jesu svi polupravci s pocetkom uizvoru svjetlosti.

Ako je izvor svjetlosti u konacnosti, ondase takva rasvjeta naziva centralnom. Ako

je izvor u beskonacnosti, onda su zrakemedusobno usporedne, pa se takva rasvje-

ta zove usporedna ili paralelna.

Primjerice, zarulja daje centralnu rasvje-tu, a Sunce paralelnu.

Svjetlost osvjetljuje dio tijela. Neosvijet-ljeni se dio nalazi u samosjeni.

Medasnji (konturni) bridovi (ili izvodnice

ili krivulje) izmedu osvijetljenih i tamnihploha zovu se rastavnice.

Glavni je zadatak konstruiranja sjenaodrediti one dijelove ploha tijela koje su u

samosjeni, kao i gdje ”pada” sjena tijela(na horizontalnu i/ili vertikalnu ravninu

te na drugo tijelo).

Bacenom sjenom neke tocke A na ravni-

nu α nazivamo probodiste zrake svjetlostikroz A s ravninom α.

Bacena sjena duzine, pravca ili krivulje

sastavljena je od bacene sjene njihovihtocaka.

Sjena tocke uvijek je tocka. Sjena duzinejest duzina ili tocka. To isto vrijedi za

pravac. (Zasto?)

Malo povijesti

Albrecht Durer medu prvima se bavio

rjesavanjem problema konstruiranja sjene

tijela. Godine 1525. ilustrirao je konstru-iranje sjene kocke, slika 4.59.

Slika 4.59.

No, u istoj knjizi nacrtao je gotov prikaz

kocke sa sjenom na horizontalnoj ravnini(sl. 4.60.) koja je pogrjesna. (Za vjezbu

nadite i objasnite pogrjesku u konstruk-ciji!)

Slika 4.60.

Francuski matematicar Gerard Desar-

gues (1591. - 1661.) godine 1639. ob-javljuje svoj poucak.

Poucak 4.1. Ako su za trokute ABC

i A1B1C1 pravci AA1, BB1 i CC1

konkurentni, onda su tri sjecista pravaca

4. Perspektiva 29

AB i A1B1, BC i B1C1 te AC i A1C1

kolinearna.

Slika 4.61.

Poznavanje Desarguesove metode per-spektivnog konstruiranja slika unijelo je

nov poticaj u slikarstvo. Ilustracije radi,pogledajmo kako je Jean Dubreil (1602.

- 1670.) godine 1642. nacrtao perspektivnusliku sa sjenama (sl. 4.62.).

Slika 4.62.

Daljnjim razvojem matematicke misli

i rjesavanjem problema perspektivnogaprikazivanja 3D na 2D usavrsile su se

razne metode.

Vrlo velik doprinos tomu dao je i J. H.

Lambert. Na slici 4.63. eksplicitno se vidi

njegovo rjesenje sjena objekata na horizon-talnu i vertikalnu ravninu.

Slika 4.63.

Dva rada, dvije fotografije i dvaprimjera

Slika 4.64.

Kako to danas rade ucenici pogledajmo na

slici 4.64. koje su konstruirali ucenik Luka


Zadro (gore) i Josip Antolis (dolje).

Oni su problem rjesavali uporabom soft-

vera Dinamicne geometrije nazvanomSketchpad.

Luka Zadro u svojem radu Projekt4.gsp

u prikazu dnevnog boravka konstruirasliku sa sjenama ciji su izvor dvije cen-tralne rasvjete: jedan je izvor TV zaslon,

a drugi je vatra u kaminu.

Slika 4.65.

Josip Antolis nacinio je i rad koji

je nazvao Prozor. ”Poigravao” se sasuncanim osvjetljenjem prozora i mije-

njanjem sjene prozora u mracnoj sobi. Uradu je koristena naredba Animacija koja

pokazuje kako se sjena mijenja promjenomkuta upada na ravninu prozora. Potpun

dozivljaj tih promjena mozete vidjeti u

fileu Prozor.gsp koji se nalazi u mapiUcenicki radovi. Na slici 4.65. prikazana

su tri polozaja sjene prozora. Rjesavanjesamo problema prozora omogucilo mu je

izradu slozenijeg rada Hodnik u kojemse ”poigrao” s dinamicnom promjenom

sjene s prozora tijekom suncanog dana,tj. s paralelnom rasvjetom i s centralnomrasvjetom sa stropa kad padne noc. U

mapi Ucenicki radovi nalazi se njegovrad Hodnik.gsp u kojem se moze vid-

jeti dinamicna promjena sjene. Ovdje,ilustracije radi, prezentiramo samo tri

staticna polozaja sjene.

Slika 4.66.

4. Perspektiva 31

Suvremeni umjetnicki fotografi svojimnam radovima omogucuju dozivljavanje

perspektivnog prikazivanja 3D takvokakvo nam stari majstori slikarstva

nikad nisu mogli pruziti. Ilustracije radi,pogledajte nekoliko fotografija (sl. 4.66.)

Davora Rostuhara iz njegove knjige (iizlozbe) Hrvatska iz zraka, KEK, Zagreb2014.

Ilustrirajmo konstruiranje sjene na hori-zontalnoj ravnini.

Primjer 4.10. Konstruirajmo sjenu

koju uspravna duzina AB baca na hori-zontalnu ravninu, ako je rasvjeta:

a) centralna,

b) paralelna.

Konstrukcije sjene duzine kad je rasvjetaparalelna i centralna prikazana je na slici

4.67.

Slika 4.67.

Primjer 4.11. Konstruirajmo sjenuuspravnog lika (sl. 4.68.) na horizontalnu

ravninu.

Slika 4.68.

Konstruirajmo najprije sjenu lika s para-

lelnom rasvjetom (noziste izvora svjetlostije na horizontu). Na slici 4.69. (gore) vidi

se konstrukcija. Na slici dolje prikazanaje konstrukcija sjene, ako je rasvjeta cen-

tralna.

Slika 4.69.


4.9. Anamorfna perspektiva, ulicna idruge perspektive

Anamorfna umjetnost bila je vrlo popular-na u 16. stoljecu kao i kasnijim stoljecima.

Danas je anamorfno crtanje vazno, primje-rice, u reklamnoj industriji zbog postavlja-

nja velikih reklamnih panoa pored auto-puta ili na neboderima.

Anamorfna umjetnost dio je perspek-tive. Postuje zakone perspektive. Na

neki je nacin ekstremni oblik perspek-tive jer anamorfna slika nastaje/crta

se na ravnini koja nije usporedna saslikarom/gledateljem. Ta ravnina moze

biti uspravna (okomita na tlo) i ukosena,tj. zatvara neki kut s ravninom gledatelja,ili horizontalna, tj. biti na tlu.

Slike koje se tako crtaju jesu distorzi-

rane/dilatirane. One se moraju gledati naodreden nacin (pod odredenim kutom ilipomocu cilindricnoga, odnosno konusnog

zrcala) kako bi se dobio uobicajen dozivljajslike (bez distorzije!).

Ilustracije radi pogledajmo platno/sliku4.70. Francuski veleposlanici koju je 1533.

godine naslikao Hans Holbein (1497. -1547.). Na klasicnoj perspektivnoj slici

nacrtana je i lubanja koja se moze vid-jeti nedistorzirana, ako se promijeni kut

gledanja.

Slika 4.70.

Nadalje pogledajmo i platno Kralj Eduard

VI., slika 4.71. koju je naslikao 1546.

godine nizozemski slikar William Scrotskoji je bio aktivan od 1537. do 1553.

godine. Portret Eduarda VI. jedna jecjelovita anamorfna slika.

Slika 4.71.

Anamorfno se platno/slika gleda podnekim kutom, tj. ravnina platna nije

usporedna s osnovicom, nije frontalna.Takvo gledanje, pod nekim kutom, dajedozivljaj nedistorziranoga crteza.

Konstruiranje anamorfnih slika pocetno se

primjenjivalo u Kini odakle je stiglo u Eu-ropu.

Kineske su se konstrukcije temeljile na

metodi pokusaja i pogrjesaka, dok su se uEuropi primjenjivala geometrijska pravila

ciji izvor nije poznat.

Spomenimo ponovo dvojicu matematicarai njihova djela koji su zasluzni za teoret-

sko i prakticno razjasnjenje konstrukcijaanamorfnih slika.

Jean Francois Niceron (1613. - 1646.)bio je francuski matematicar. Napisao je

1638. godine djelo La perspective curieuseou magie artificiele des effets merveilleux

u kojem razmatra geometriju anamorfnihslika u teoriji perspektive.

Jean Louis Vaulezard objavio je 1630.

godine djelo Perspective cilindrique etconique. U svojem djelu razmatra slucaj

kad je crtez postavljen horizontalno, a

4. Perspektiva 33

njegova se slika vidi u cilindricnomuzrcalu.

On je rijesio sljedeci problem:

treba odrediti dvije vrste krivulja u hori-zontalnoj ravnini tako da se u cilindricnom

zrcalu vide kao odgovarajuca mreza ver-tikalnih i horizontalnih linija.

Tu njegovu ideju koriste mnogi slikari od

17. stoljeca pa do danas.

Slika 4.72.

U fileu Ulicna i druge umjetnosti.gsp

vide se radovi Pozzoa i Orosza na

slikama 4.72. i Dalija na slici 4.73.

Slika 4.73.

U drugoj polovini 20. stoljeca zapoceo

je proces i realizacija drukcijeg pogledana anamorfnu umjetnost. Dio tog pokreta

koji se naziva Art street i koji se bavivizualizacijom 3D na 2D, tj. perspektivom,

naziva se 3D ulicno slikarstvo (3D Artstreet painting).

Ilustrirajmo to jednim radom njemackog

slikara Edgara Mullera poznatog kaomaestro madonnari (sl. 4.74.).

Slika 4.74.


Hrvatski slikar Filip Mrvelj takoder vrlouspjesno slika na tlu, ali i na zidovima (sl.

4.75).

Slika 4.75.

Suvremeni americki umjetnik/slikar Dick

Termes crta od 1968. godine svoje slikena sferi (sl. 4.76.). Njegova su djela nastala

primjenom sferne perspektive. U preslika-vanju tocaka prostora na sferu koristi tzv.

perspektivu sa 6 nedogleda.

U njegovu cast sferna se perspektivanaziva termosferna perspektiva.

Slika 4.76.

Branka Kaminski crtala je perspektivnusliku Gradeca u Zagrebu dajuci joj sfernu

zakrivljenost, tj. iluziju crtanja na sferi (sl.4.77.).

Slika 4.77.

Na kraju ove vrlo kratke povijesne skice

razvoja anamorfnoga slikarstva mozemo

4. Perspektiva 35

reci da je anamorfna umjetnost ”realizi-rala” crtanje (realno ili virtualno) na sve

”klasicne” plohe (ravninu, plast valjka istosca te sferu) kao i polozaje ravnine (ver-

tikalni, horizontalni i kosi, koji ovdje izobjektivnih razloga, tj. nedostatka sati ne

razmatramo, ali koji se moze realiziratifakultativno u formi zavrsnoga projekta).

4.10. Izrada projekata

Na pocetku ucenja Perspektive svaki

ucenik treba (rukom) nacrtati dvije slike:

• eksterijer (dugacka ulica s visokim

zgradama),

• interijer (crkva, stupovi s dvijestrane, lukovi, pod s plocicama ili

mozaikom).

Iste te dvije slike ponovo ce (rukom) nacr-tati na kraju poucavanja i usporedit ce ih.

Ucenici ce odabrati i realizirati barem

jedan od projekata s popisa:

• analiza umjetnicke slike;

• crtanje ”nemoguceg” tijela;



• izrada jedne art-street slike;

• analiza i crtanje predloska za reklamu

koja lezi na tlu;

• crtanje slike koja se gleda pod nekimkutom, tj. jedne anamorfne slike;

• analiza Marvelova stripa i izradajedne takve slike.

Kako bismo to ilustrirali pogledajmo neke

ucenicke radove. Velik broj fileova/radovaucenika moze se vidjeti u mapi Ucenicki

radovi.

Na slici 4.78. rad je ucenice Tamare Bilja-novic iz V. gimnazije u Zagrebu.

Slika 4.78.

Rad ucenice Marijane Peti iz V. gimnazijeu Zagrebu je na slici 4.79.

Slika 4.79.


Na slici 4.80. rad je ucenika Luke Zadre izXV. gimnazije u Zagrebu.

Slika 4.80.

Nezavrsen rad Klare Kranjcec i TomislavaNeumanna, ucenika V. gimnazije u Za-grebu je na slici 4.81. (Zavrsen rad nalazi

se u spomenutoj mapi.)

Slika 4.81.

Na slici 4.82. rad je koji je nacrtao IvanGlavinic, ucenik Gimnazije Metkovic.

Slika 4.82.

5. Zadatci

Za vjezbu rijesite sljedece zadatke.

1. Koji kut zatvaraju s osnovicom pravci u

horizontalnoj ravnini kojima je nedogled:

a) izmedu glavne tocke Oc i distancijske

tocke D1 (ili D2),

b) desno i lijevo od tocke D2 (ili D1)?

2. Nacrtajte perspektivnu sliku nekolikopravaca koji:

a) su okomiti na ravninu slike,

b) s ravninom slike zatvaraju kut od 45◦,

c) s ravninom slike zatvaraju kut manjiodnosno veci od 45◦.

3. Zadanu duzinu AB koja

a) lezi u horizontalnoj ravnini,

b) je okomita na horizontalnu ravninu,

podijelite na

a) 2,

b) 3,

c) 5,

d) m

dijelova.

4. Zadanu duzinu AB udvostrucite,utrostrucite i n-terostrucite.

5. Nacrtajte perspektivnu sliku pravca:

a) Pappova,

b) Pascalova,

c) Desarguesova.

Cuvaju li se svojstva tih pravaca?

6. Odredite prave velicine duzina AB i CD i

kuta izmedu pravaca AB i CD.

7. Sjeciste S pravaca a i b lezi izvan crtacegaprostora. Konstruirajte spojnicu tocke S i

neke po volji dane tocke P ravnine.

8. Konstruirajte okomicu na zadani pravacm koja prolazi nedostupnim sjecistem

zadanih pravaca p i q.

9. Konstruirajte spojnicu nedostupnih

sjecista A i B zadanih parova pravaca:a1, a2 i b1, b2.

10. Nacrtajte perspektivnu sliku s jednim ili

s dva nedogleda sljedecih likova kojima suzadane prave velicine duljina stranica:

a) kvadrata,

b) pravokutnika,

c) paralelograma,

d) trapeza,

e) trokuta.

11. Zadana je perspektivna slika nekog poligo-

na u horizontalnoj ravnini. Odredite pravevelicine duljina njegovih stranica i kutove

koje zatvaraju s osnovicom.

12. Nacrtajte perspektivnu sliku nekolikokvadrata medusobno:

a) sukladnih,

b) slicnih,

koji su

c) u horizontalnoj ravnini,

d) usporedni s ravninom slike.

13. Nacrtajte kuhinjski pod poplocan suklad-nim plocicama kvadratnoga oblika.

14. Zadana je perspektiva i u pravoj velicini:

a) kvadrat,


b) pravokutnik,

c) paralelogram,

d) trapez.

Nacrtajte njihovu perspektivnu sliku u:

a) horizontalnoj ravnini,

b) vertikalnoj ravnini okomitoj naplatno,

c) vertikalnoj ravnini koja nije okomitana ravninu slike (na platno), tj. kosoj

vertikalnoj ravnini.

15. U horizontalnoj ravnini zadana je perspek-tivna slika:

a) kvadrata,

b) pravokutnika,

c) paralelograma,

d) trapeza.

Nacrtajte njegovu pravu velicinu i izmjeri-

te duljine stranica te unutarnje kutove.

16. Nacrtajte kruznicu u

a) horizontalnoj ravnini,

b) vertikalnoj ravnini okomitoj na rav-ninu slike,

c) kosoj vertikalnoj ravnini.

17. Nacrtajte sliku grba RH u kosoj ver-tikalnoj ravnini.

18. U kosoj ravnini zadani su objekti

(kruznica, 5-erokut . . .). Nacrtajte per-spektivnu sliku tih objekata.

19. Nacrtaje nekoliko zeljeznickih pragova uperspektivi s dva nedogleda.

20. Nacrtajte tracnice i njihove pragove u raz-licitim polozajima prema ravnini slike.

21. Nacrtajte perspektivnu sliku svojeg imena

(ili inicijala), ako je zadan nedogled.

22. Nacrtajte (u opcem polozaju prema os-

novici) perspektivnu sliku sljedecih tijelakojima su zadane prave velicine duljina

stranica:

a) kocke,

b) kvadra,

c) trostrane prizme,

d) kvadratske piramide,

e) valjka,

f) stosca.

23. Nacrtajte perspektivnu sliku kocke s:

a) jednim nedogledom,

b) dvama nedogledima,

c) trima nedogledima.

24. Nacrtajte perspektivnu sliku kocke, ako je

zadana prednja strana, nedogled i distan-cija d = 7.

25. Nacrtajte perspektivnu sliku uspravnog

paralelepipeda.

26. Nacrtajte perspektivnu sliku kocke ako su

zadani nedogledi N1 i N2 i duljina brida a.

27. Nacrtajte perspektivnu sliku 4 sukladne ijednako razmaknute kocke.

28. Nacrtajte Rubikovu kocku dimenzija:

a) 3 × 3 × 3,

b) 4 × 4 × 4,

c) 5 × 5 × 5.

29. Nacrtajte suplju kocku.

30. Nacrtajte aleju:

a) kvadratskih,

b) cilindricnih

stupova.

31. Pretpostavite da imate sliku stupova vi-

sokih 10 m i koji se udaljavaju od proma-traca (slikara) po 30 m.

a) Izracunajte visinu slika stupova kad

je ravnina slike 60 cm od slikara.

b) Izracunajte koeficijent proporcional-

nosti (homotetije).

5. Zadatci 39

c) Nacrtajte sliku dva stupa.

32. Nacrtajte nekoliko rasvjetnih stupova jed-nake visine i jednaka medusobnog razmaka

koji se nalaze na istoj strani ulice/ceste.

33. Nacrtajte aleju sukladnih i jednako raz-

maknutih rasvjetnih stupova ili jarbola zazastave.

34. Nacrtajte stubiste s 3, 4 ili 5 stuba, ako je

svaka stuba duljine a, sirine b i visine c iako je stuba

a) usporedna s ravninom slike,

b) okomita na ravninu slike,

c) ukoso.

35. Na slikama a), b) i c) prikazan je pogledodozgo (tlocrt) triju kocaka na stolu.

Slika 5.1.

Nacrtajte nacrt onoga sto vidi svaka od

osoba A, B, C i D koje sjede oko stola.

36. Nacrtajte tlocrt, ako je nacrt zadan:

Slika 5.2.

37. Koji se od ljudi na slici a) ili b) cini jaci?Objasnite svoj odgovor!

Slika 5.3.

38. Tri stupa jednake visine medusobno surazmaknuta po 100 m.

Slika 5.4.

Koji od crteza prezentira tu situaciju? Ob-jasnite svoj odgovor!

39. Pogledajte sliku 5.5. Perspectival Absurdi-

ties Williama Hogartha.

a) Oznacite sve netocnosti prikaza re-

alnog svijeta na slici.

b) Objasnite sto umjetnik mora ucinitikako bi ispravio uocene netocnosti.


c) Zapisite svoje odgovore.

Slika 5.5.

40. Koji su objekti na Hogarthovoj slici (sl.

5.5.) pogrjesne velicine za svoju lokacijuili pogrjesne lokacije za svoju velicinu? Ob-

jasnite svoj odgovor!

41. Koliko perspektivnih apsurdnosti mozete

naci na Hogarthovoj slici?

42. Brod na slici 5.6. priblizno je 500 metara

udaljen od fotografa.

Slika 5.6.

a) Procijenite koliko su od fotografa

udaljene osobe koje sjede na oba-likoja nam je bliza.

b) Procijenite medusobnu udaljenost

brodova na suprotnoj obali.

c) Sto ste uporabili za procjenu svakeudaljenosti?

43. Na slici 5.7. prikazan je tlocrt petzeljeznickih pragova, trag ravnine slike,kut pod kojim se vidi prvi prag i slikar

(ociste).

Slika 5.7.

a) Kolika je duljina projekcije svakogpraga na slici?

b) Nacrtajte graf podataka. Hori-zontalna os je ”udaljenost praga

od ocista”, a vertikalna ”duljinaprojekcije praga”.

c) Odredite duljinu slike desetog, dvade-

setog, stotog i milijuntnog praga.

d) Koja jednadzba opisuje taj graf?

44. Odredite visinu Isusa Krista na slici Kris-tova smrt (sl. 5.8.) koju je oko 1500. go-

dine naslikao Mantegna. Izvorna je slika

5. Zadatci 41

velicine 68 cm × 81 cm.

Slika 5.8.

45. Nacrtajte kocku ili pravokutnu zgradurabeci 3 nedogleda: jedan na desnoj strani

vase stranice, jedan na lijevoj i jedan nadnu.

Kako izgleda realna kocka prikazana na tojslici?

46. Odredite nedoglede i horizont na fotogra-

fiji sv. Duje u Splitu (sl. 5.9.).

Slika 5.9.

47. Odredite nedoglede N1, N2 i N3 na dvjema

fotografijama 5.10.

a) Kakav je trokut N1N2N3?

b) Odredite ortocentar H trokutaN1N2N3.

c) Odredite nozista Mi, i = 1, 2, 3 visinatrokuta N1N2N3.

d) Sto je ortocentar H trokuta N1N2N3

za perspektivnu sliku?

Slika 5.10.

48. Moze li bilo koji trokut biti trokut ne-dogleda N1, N2 i N3? Obrazlozite svoju

tvrdnju!


49. Odredite nedoglede, horizont i zrcalo naslici 5.11.

Slika 5.11.

50. Odredite u perspektivi s 3 nedogleda uda-

ljenost ocista od ravnine slike.

51. Nacrtajte siljastokutni trokut i kruznicu

ciji je promjer jedna njegova stranica.Uporabom samo ravnala nacrtajte tri

njegove visine i ortocentar.

52. Nadite nedoglede i obzor na sljedecim

slikama ili fotografiji:

a) Le pont d’Argenteuil nastala 1874. go-dine (Monet, 1840.-1926.),

b) La Passage (Maurice Utrillo, 1883.-

1955.),

c) Le point de l’Europe nastala 1876.godine (Gustave Caillebotte, 1848.-

1894.),

d) The Flaitron Building izgradena1902. godine (Daniel Burnham).

53. Nacrtana je pravokutna kutija pomocudva nedogleda (sl. 5.12.).

Slika 5.12.

a) Zasto brid e konvergira/tezi u isti ne-

dogled kao brid a i b?

b) Zasto brid f tezi u isti nedogled kao

bridovi c i d?

c) Opisite sto se dogada s crtezom ku-tije kad oba nedogleda padnu u istutocku.

d) Opisite sto se dogada s crtezom

kutije kad se nedogledi udaljavaju(razmicu) jedan od drugoga.

54. Rekonstruirajte metodu kojom je FilippoBrunelleschi nacrtao sliku krstionice sv.

Ivana u Firenzi.

55. Nacrtajte pariski Slavoluk pobjede ili split-ski Dioklecijanov vodovod.

56. Johann Heinrich Lambert (1728.-1777.) postavio je sljedeca dva perspek-tivna problema:

1. Problem: U zadanoj tocki zadanogapravca nacrtajte pravac koji zatvarasa zadanim pravcem zadani kut.

2. Problem: Odsijecite duzinu zadane

duljine na zadanom pravcu od zadanetocke toga pravca.

57. Brook Taylor (1685.-1731.) postavio je

sljedeca cetiri perspektivna problema.

1. Problem: Zadan je kut ϕ i u ravninislike π horizont hα ravnine α za-

jedno sa sredistem Oα i distancijom

5. Zadatci 43

dα. Dana je slika l pravca u α i tockaA na l.

Konstruirajte u π pravac m kroz A

tako da je 6 (l, m) =i ϕ.

2. Problem: Zadan je omjer r : s i u π

duzina AB te njezin nedogled N .

Konstruirajte tocku C na AB tako da

je |AC| : |BC| =i r : s.

3. Problem: Zadan je omjer r : s i uravnini slike π horizont hα ravnine α

zajedno sa sredistem Oα i distancijomdα. Dane su slike l i m dvaju pravaca

u α, duzina AB na l i tocka D na m.

Konstruirajte tocku C na m tako da

je |AB| : |DC| =i r : s.

4. Problem: Zadana je glavna tocka O,

distancija d i horizont hα ravnine α.

Odredite nedogled Nα.

58. Koja je temeljna ideja ugradena u teoriju

perspektive?

59. Tko je prvi opisao kako treba crtati per-spektivnu sliku?

60. Opisite 4 pogrjeske u ”nekorektnoj” per-

spektivi.

61. Pronadite u povijesti umjetnosti nekolikoslika s nekorektnom perspektivom.

62. Reproducirajte Albertijevu Construzionelegittima rucno ili racunalno. Ako koristiteSketchpad onda mijenjajte polozaj ocista,

distancije i ostalih mjera.

63. Nacrtajte/fotografirajte jednu zgradu i re-producirajte kako je to Brunelleschi ucinio.

64. Razmotrite Suveeovu Invention of Draw-ing. Sto mozete uociti?

65. Nacrtajte plocnik poplocan s plocicama ra-

zlicitih oblika. (Na internetu pronadite ob-like takvih plocica!)

66. Nacrtajte

a) kocku,

b) oktaedar,

c) tetraedar.

67. Uporabite digitalnu kameru povezanu sracunalom i objasnite perspektivni pogled

na selektiranu scenu.

68. Camera obscura. Nacinite jednostavnu

kameru opskuru. Uporabite je u projektucrtanja perspektivne slike na njezinu

unutarnjem zidu. Objasnite svoju kamerui svoje crtanje slike.

69. Uporabite staklo ili prozirnu plastiku zacrtanje Durerove perspektive.

70. Na internetu pronadite nekoliko perspek-

tivnih slika i na njima oznacite ortogonalneobjekte i nedogled.

71. Nadite i proucite tekst Desarguesovapoucka i ukazite kako se poucak ”vidi”

u perspektivi s jednim nedogledom uumjetnosti.

72. Objasnite, nakon sto nacrtate kucu

s dva nedogleda, kako se primjenjujeDesarguesov poucak.

73. Razmotrite radove americkog slikaraThomasa Eakinsa

(www.pbs.org/wnet/americanmas-ters/episodes/thomas-easkins...).

Napisite esej o njegovoj uporabi perspek-tive.

74. Odaberite barem jednog od sljedecihsuvremenih slikara ili matematicara i

napisite esej o njegovoj uporabi perspek-tive:

a) Buckminster Fuller,

b) Salvatore Dali,

c) Kelly Houle,

d) Patrick Hughes,

e) Norman D. Cook,

f) Mauritz C. Escher,

g) Sandro del Prete,

h) Jos De Mey,

i) Oscar Reutersvard,


j) Roger Penrose,

k) Roy Lichtenstein,

l) Mathieu Hamaekers,

m) Shigeo Fukuda,

n) David Hockney,

o) Giorgio de Chirico,

p) Edgar Muller,

r) Julian Beever,

s) William Cochran,

t) John Pfahl.

Vase tvrdnje potkrijepite slikama!

75. Napisite esej o Branki Kaminski.

76. Napisite esej o Filipu Mrvelju.

77. Napisite esej o Davoru Rostuharu.

78. Zadana je perspektivna slika poligona

(trokuta, cetverokuta ili peterokuta) uravnini koja je usporedna s horizontalnom

ravninom. Konstruirajte sjenu mnogokutakoju baca paralelna kao i centralna

rasvjeta.

79. Zadana je perspektivna slika poligona(trokuta, cetverokuta ili peterokuta) uravnini koja je okomita na horizontalnu

ravninu. Konstruirajte sjenu poligona kojubaca paralelna kao i centralna rasvjeta.

80. Zadana je perspektivna slika

kruznice/kruga u ravnini koja je us-poredna s horizontalnom ravninom.Konstruirajte sjenu kruznice/kruga koju

baca paralelna rasvjeta kao i centralnarasvjeta.

81. Zadana je perspektivna slika

kruznice/kruga u ravnini koja je okomitana horizontalnu ravninu. Konstruirajte

sjenu kruznice/kruga koju baca paralelnarasvjeta kao i centralna rasvjeta.

82. Konstruirajte sjenu suplje kocke na hori-zontalnu ravninu, ako je izvor svjetlosti u

konacnosti i ako je beskonacno daleko.

83. Konstruirajte sjenu prizme na horizon-talnu ravninu, ako je izvor svjetlosti u

konacnosti i ako je beskonacno daleko. Os-novka prizme je u horizontalnoj ravnini.

84. Konstruirajte sjenu

a) piramide,

b) valjka,

c) stosca,

na horizontalnu ravninu, ako je rasvjetaparalelna i ako je centralna. Osnovka tijela

je u horizontalnoj ravnini.

85. Konstruirajte sjenu stubista, s barem 5stuba, na horizontalnu ravninu, ako je

rasvjeta paralelna i ako je centralna.

86. Na slici 5.13. prikazana je situacija snim-ljena na zaslonu televizora za vrijeme

jedne nogometne utakmice. Odredite kojisu reklamni panoi ”normalni”, a koji su

anamorfni.

Slika 5.13.

87. Konstruirajte jednu anamorfnu sliku na:

a) vertikalnoj ravnini,

b) horizontalnoj ravnini.

88. Konstruirajte simetralu kuta dvajupravaca koji se sijeku izvan crtacega

prostora.

6. Radni listici

Radni se listici nalaze u dodatku i sastavni su dio ove knjige.

Popis listica (u docx i pdf formatu):

A) Abeceda Sketchpada i konstrukcije elementarnih geometrijskih figura(1. dio),

B) Abeceda Sketchpada i konstrukcije elementarnih geometrijskih figura

(2. dio),

C) Abeceda stereometrije (1. dio),

D) Abeceda stereometrije (2. dio),

E) Temeljni pojmovi i pravila,

F) Perspektiva s jednim nedogledom,

G) Perspektiva s dva nedogleda,

H) Sjene tijela.


7. Popis Sketchpadovih i drugih fileova

za poucavanje i istrazivanje, te

Sketchpadovih predlozaka za rad

Ovdje se nalazi popis:

Sketchpadom realizirani fileovi

1. Abeceda Sketchpada i konstrukcije elementarnih geometrijskih figura (1. dio),


3. Abeceda stereometrije (1. dio),

4. Abeceda stereometrije (tlocrt, nacrt, bokocrt),

5. Temeljni pojmovi i pravila,

6. Perspektiva s jednim nedogledom,

7. Perspektiva s dva nedogleda,

8. Sjene tijela,

9. . . .

Wordom realizirani fileovi








8. . . .


Fileovi u pdf formatu








8. . . .

Ovi su fileovi sastavni dio projekta (i ove knjige) i nalaze se u odgovarajucim

mapama u dodatku knjige.

8. Popis slika za analizu

Navest cemo neke slike i imena starih majstora slikarstva. One trebaju posluziti

ucenicima za analizu. Te slike (kao i mnoge druge) nalaze se u mapi koja je dodatakovoj knjizi i sastavni je njezin dio. Podatci o njima mogu se pronaci na internetu.

Naslovi slika na engleskom su jeziku zbog lakseg pronalazenja na internetu.

1. Jacques-Louis David: Oath of the Horatii, 1784. godina,

2. Raphael: Marriage of the Virgin, 1504. godina,

3. Piero della Francesca: The Flagellation, vjerojatno 1455.-1460. godine,

4. Perugino: Giving of the Keys to St. Peter, 1581.-1582. godine,

5. Beccafumi: Stigmatization of St. Catherine, 1518. godina,

6. Tintoretto: Transport of the Body of St. Mark, 1562. godina,

7. Fra Filippo Lippi: Feast of Herpod, 1452.-1466. godine,

8. Botticelli: Annunciation, 1489.-1490. godine,

9. Leonardo da Vinci: The Last Supper, 1495.-1498.godine.


9. Broj sati

Program nacrtne geometrije predviden je za dvije skolske godine. U jednoj se

godini uci perspektiva, a u drugoj svi ostali sadrzaji.Godisnji je fond 30 tjedana x 2 sata = 60 sati. U tom je fondu predvideno 3

sata za individualne konzultacije za izradu dva projekta i do 4 sata za prezentiranjeucenickih radova (drugim ucenicima, roditeljima i ostaloj javnosti).

Za one ucenike kojima je, po prosudbi ucenika ili nastavnika, potrebno ”dodatno”upoznavanje s cinjenicama dolje napisanima, predlozena su jos 4 sata. Nastavnik ce,u tom slucaju, sam odrediti koga, kad i koliko treba pouciti/nauciti te cinjenice.

Ovdje se elaboriraju sadrzaji jedne godine ucenja dijela nacrtne geometrije, tj.perspektive, dok ce ostali sadrzaji biti razradeni u nastavku projekta IPAQ Peta.

Sadrzaj i broj sati za perspektivu

Uvod u perspektivu

1. Abeceda Sketchpada i konstrukcije geometrijskih figura . . . 4 sata

2. Abeceda stereometrije . . . 4 sata

3. Povijesne natuknice: poticaji, slikari i utemeljenje perspektive . . . 2 sata

4. O projiciranju: centralno, paralelno i perspektivno projiciranje . . . 1 sat

5. Afinost, Desarguesov poucak i konika kao slika kruznice . . . 1 sat

Elementi perspektive

6. Temeljni pojmovi . . . 2 sata

7. Pravila perspektive . . . 4 sata

8. Perspektiva s jednim nedogledom . . . 6 sati

9. Perspektiva s dva nedogleda . . . 6 sati

10. Perspektiva s tri nedogleda . . . 4 sata

11. Refleksija/zrcaljenje . . . 4 sata

12. Sjene tijela . . . 4 sata


Perspektiva danas

13. Anamorfna perspektiva, ulicna i druge perspektive . . . 4 sata

Projekt

14. Izrada projekata . . . 8 sati

15. Prezentacija projekata . . . 4 sata

16. Zakljucivanje ocjena . . . 2 sata

Dodatni sadrzaji

17. Temeljne euklidske konstrukcije, neki planimetrijski poucci, preslikavanja/trans-

formacije (translacija, rotacija, homotetija) . . . 4 sata

53

Razrada nastavne teme (modula)

Razred

Nastavni

predmet Nacrtna geometrija

Naziv nastavne

jedinice/teme

Uvod u perspektivu

(Abeceda DGS-a, Abeceda stereometrije, Povijesne natuknice, O

projiciranju:centralno i paralelno, Afinost, Desarguesov poučak i konika

kao slika kružnice)

Predloženi broj

nastavnih sati 12 (4+4+2+1+1)

Cilj Usvojiti i definirati temeljne pojmove

Razina 4

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Koristiti osnovne alate softwarea dinamične geometrije (DGS)

2. Prikazati složeno tijelo u kosoj projekciji pomoću zadanih tlocrta,

nacrta i bokocrta

3. Nacrtati tlocrt, nacrt i bokocrt složenoga geometrijskog tijela

prikazana u kosoj projekciji

4. Razlikovati perspektivne slike prema stilskim razdobljima u likovnoj

umjetnosti

5. Razlikovati centralno i paralelno projiciranje

6. Nacrtati elipsu kao afinu sliku kružnice

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava

Informatička učionica

Primjeri

provjere i

vrednovanja

1. Koristiti osnovne alate DGS

Zadanu dužinu podijelite na pet jednakih dijelova.

Nacrtajte kružnicu i opišite joj kvadrat.

2. Prikazati složeno tijelo u kosoj projekciji pomoću zadanih tlocrta,

nacrta i bokocrta

Pomoću zadanih tlocrta, nacrta i bokocrta nacrtajte kosu projekciju

pravilnog oktaedra.

3. Nacrtati tlocrt, nacrt i bokocrt složenoga geometrijskog tijela

prikazanog u kosoj projekciji

Nacrtajte tlocrt, nacrt i bokocrt složenoga poliedra prikazanog u kosoj

projekciji.

4. Razlikovati perspektivne slike prema stilskim razdobljima u

54

likovnoj umjetnosti

Navedite osnovne razlike u prikazivanju prostora u renesansi i baroku.

5. Razlikovati centralno i paralelno projiciranje

Odredite (ako postoji) centar projiciranja mnogokuta na ravninu koja je

usporedna s ravninom mnogokuta.

6. Nacrtati elipsu kao afinu sliku kružnice

U zadani paralelogram upišite elipsu.

Razred

Nastavni


Naziv nastavne

jedinice/teme Temeljni pojmovi

Predloženi broj

nastavnih sati 2

Cilj Izdvojiti temeljne pojmove perspektive i opisati uočene pravilnosti

Razina 4

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Opisati nastajanje perspektivne slike objekta koji se nalazi u

horizontalnoj, odnosno vertikalnoj ravnini

2. Pokazati na zadanoj umjetničkoj slici horizont i nedoglede

3. Odrediti distancijske točaka na horizontu

4. Objasniti što je optički/distancijski stožac i kako ga određujemo

5. Razmotriti utjecaj kuta koji pravac zatvara s ravninom slike na položaj

nedogleda na horizontu

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava


Primjeri

provjere i

vrednovanja

1. Opisati kako nastaje perspektivna slika objekta koji se nalazi u

horizontalnoj, odnosno vertikalnoj ravnini

Opišite kako promjena visine slikara, odnosno njegove udaljenosti od

platna utječe na dimenzije perspektivne slike objekta u horizontalnoj

ravnini.

2. Pokazati na slici horizont i nedoglede

Potražite netočnosti u prikazu realnog svijeta na sljedećoj slici: Maurice

Utrillo: La passage

3. Odrediti položaj distancijskih točaka na horizontu

Odredite položaj distancijskih točaka na horizontu

4. Objasniti što je optički/distancijski stožac i kako ga određujemo

55

Opišite o čemu ovisi povećanje volumena optičkoga/distancijskog

stošca.

5. Razmotriti utjecaj kuta koji pravac zatvara s ravninom slike na

položaj nedogleda na horizontu

U kakvu su položaju s ravninom slike pravci čije perspektvne slike

ostaju usporedni pravci, odnosno pravci koji imaju nedogled na

horizontu.

Razred

Nastavni


Naziv nastavne

jedinice/teme Pravila perspektive

Predloženi broj

nastavnih sati 4

Cilj Primijeniti pravila perspektive pri crtanju perspektivnih slika

geometrijskih likova i tijela.

Razina 4

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Nacrtati perspektivnu sliku kvadrata koji se nalazi u horizontalnoj

ravnini i usporedan je s osnovicom perspektive

2. Odrediti pravu duljinu dužine koja se nalazi u horizontalnoj ravnini i

zadana je svojom perspektivnom slikom

3. Odrediti pravu duljinu dužine okomite na horizontalnu ravninu koja je

zadana svojom perspektivnom slikom

4. Nacrtati perspektivnu sliku složenoga geometrijskog tijela usporedna

s osnovicom perspektive

5. Nacrtati perspektivnu sliku kružnice

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava


56

Primjeri

provjere i

vrednovanja

1. Nacrtati perspektivnu sliku kvadrata koji se nalazi u

horizontalnoj ravnini i i stranica mu je usporedna s osnovicom

Navedite i objasnite koja ste pravila koristili pri određivanju

perspektivne slike kvadrata koji se nalazi u horizontalnoj ravnini i

usporedan je s osnovicom.

2. Odrediti pravu duljinu dužine koja se nalazi u horizontalnoj

ravnini i zadana je svojom perspektivnom slikom

Istražite u zadanom DGS predlošku mijenja li se prava duljina dužine

koja je usporedna s osnovicom i nalazi se u horizontalnoj ravnini

odabirom proizvoljne točke nedogleda na horizontu.

3. Odrediti pravu duljinu dužine koja se nalazi u vertikalnoj ravnini

i zadana je svojom perspektivnom slikom

Nacrtajte perspektivne slike četiri jednako razmaknuta rasvjetna stupa

ako je zadana njihova prava duljina i međusobna udaljenost.

4. Nacrtati perspektivnu sliku složenoga geometrijskog tijela

usporedna s osnovicom perspektive

Nacrtajte perspektivnu sliku stolca prema zadanom predlošku.

5. Nacrtati perspektivnu sliku kružnice

Objasnite je li nužno pri konstrukciji perspektvne slike kružnice crtati

tangencijalni kvadrat.

Razred

Nastavni


Naziv nastavne

jedinice/teme Perspektiva s jednim nedogledom

Predloženi broj

nastavnih sati 6

Cilj

Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom perspektivnu sliku

geometrijskoga lika i tijela

Razina 5

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Odrediti pravu duljinu dužine zadane svojom projekcijom

2. Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom perspektivnu

sliku mnogokuta koji leži u horizontalnoj ravnini

3.Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom perspektivnu

sliku tijela kojem osnovka leži u horizontalnoj ravnini

4. Nacrtati perspektivnu sliku geometrijskoga tijela

57

5. Nacrtati perspektivnu sliku zamišljena eksterijera i interijera

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava


Primjeri

provjere i

vrednovanja

1. Odrediti pravu duljinu dužine zadane svojom projekcijom

Izračunajte opseg kvadrata koji se nalazi u horizontalnoj ravnini ako je

zadana njegova perspektivna slika.

2. Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom

perspektivnu sliku mnogokuta koji leži u horizontalnoj ravnini

Nacrtajte perspektivnu sliku šesterokuta koji leži u horizontalnoj ravnini.

3. Nacrtati primjenom perspektive s jednim nedogledom

perspektivnu sliku tijela kojem osnovka leži u horizontalnoj ravnini

Nacrtajte perspektivnu sliku trostrane prizme kojoj osnovka leži u

horizontalnoj ravnini.

4. Nacrtati perspektivnu sliku geometrijskog tijela

Nacrtajte perspektivnu sliku četverostrane prizme s osnovkom u

horizontalnoj ravnini gledane frontalno.

5. Nacrtati perspektivnu sliku zamišljenoga eksterijera i interijera

Nacrtajte perspektivnu sliku zamišljene sobe u kojoj se nalazite.

Razred

Nastavni


Naziv nastavne

jedinice/teme Perspektiva s dva nedogleda i tri nedogleda

Predloženi broj

nastavnih sati 10 (6+4)

Cilj

Nacrtati primjenom perspektive s dva ili tri nedogleda perspektivnu sliku

geometrijskoga lika i tijela.

Razina 5

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Razlikovati perspektivu s jedinim od perspektive s dva nedogleda

2. Razlikovati perspektivu s dva nedogleda od perspektive s tri

nedogleda

3. Nacrtati primjenom perspektive s dva nedogleda perspektivnu sliku

objekta zadana tlocrtom i nacrtom

4. Nacrtati primjenom perspektive s tri nedogleda perspektivnu sliku

objekta zadana tlocrtom i nacrtom

5. Nacrtati u odabranoj perspektivi perspektivnu sliku zamišljena objekta

58

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava


Primjeri

provjere i

vrednovanja

1. Razlikovati perspektivu s jedinim od perspektive s dva

nedogleda

Objasnite razliku između perspektive s jednim i perspektive s dva

nedogleda.

2. Razlikovati perspektivu s dva nedogleda od perspektive s tri

nedogleda

Za svaku od fotografija utvrdite kojem tipu perspektive pripada.

Giuliano da Maiano, Palazzo Strozzi, Firenza

Zvonik sv. Duje, Split

59

3. Nacrtati primjenom perspektive s dva nedogleda perspektivnu

sliku objekta zadana tlocrtom i nacrtom

Nacrtajte perspektivnu sliku kocke gledane pod zadanim kutom.

4. Nacrtati primjenom perspektive s tri nedogleda perspektivnu

sliku objekta zadana tlocrtom i nacrtom

Nacrtajte perspektivnu sliku kocke s pogledom odozgo.

5. Nacrtati u odabranoj perspektivi sliku zamišljena objekta

Nacrtajte u odabranoj perspektivi perspektivnu sliku zamišljene kuće.

Razred

Nastavni


Naziv nastavne

jedinice/teme Refleksija/zrcaljenje i sjene tijela

Predloženi broj


Cilj Nacrtati zrcalnu sliku tijela i njegovu sjenu na nekoj ravnini

(horizontalnoj, frontalnoj, bočnoj i kosoj)

Razina 4

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Nacrtati sliku geometrijskoga lika u horizontalnomu zrcalu

2. Nacrtati sliku geometrijskoga lika u vertikalnomu frontalnom zrcalu

3. Nacrtati sliku geometrijskoga lika u vertikalnomu bočnomu zrcalu

4. Nacrtati sjenu tijela na horizontalnoj ravnini

5. Nacrtati sjenu tijela na vertikalnoj ravnini

60

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava


Primjeri

provjere i

vrednovanja

1. Nacrtati zrcalnu sliku tijela u horizontalnom zrcalu

Nacrtajte zrcalnu sliku kvadra u horizontalnomu zrcalu

2. Nacrtati zrcalnu sliku tijela u vertikalnom frontalnom zrcalu

Nacrtajte zrcalnu sliku kvadra u vertikalnomu frontalnom zrcalu

3. Nacrtati zrcalnu sliku tijela u vertikalnom bočnom zrcalu

Nacrtajte zrcalnu sliku kvadra u vertikalnomu bočnom zrcalu

4. Nacrtati sjenu tijela na horizontalnoj ravnini

Nacrtajte sjenu kvadra u horizontalnoj ravnini

5. Nacrtati sjenu tijela na vertikalnoj ravnini

Nacrtajte sjenu kvadra u vertikalnoj ravnini

Razred

Nastavni


Naziv nastavne

jedinice/teme Anamorfna, ulična i druge perspektive

Predloženi broj

nastavnih sati 4

Cilj Opisati i razlikovati svojstva anamorfne, ulične i drugih perspektiva

Razina 4

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Objasniti kako nastaje anamorfna slika

2. Opisati povijesni razvoj anamorfne perspektive

3. Razlikovati anamorfnu, uličnu i druge perspektive

4. Prepoznati primjenu anamorfne, ulične i drugih perspektiva u

umjetnosti i svakodnevnomu životu

5. Nacrtati jednu anamorfnu sliku

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava


Primjeri

provjere i

vrednovanja

1. Objasniti kako nastaje anamorfna slika

Objasnite zašto dolazi do distorzije anamorfne slike?

2. Opisati povijesni razvoj anamorfne perspektive

Kad se pojavljuje anamorfno slikarstvo i kako se razvijalo do danas?

61

3. Razlikovati anamorfnu, uličnu i druge perspektive

Po čemu se razlikuju anamorfna i termosferna perspektiva?

4. Prepoznati primjenu anamorfne, ulične i drugih perspektiva

Objasnite zašto su reklamni panoi pored autoceste postavljeni pod

određenim kutom.

5. Nacrtati jednu anamorfnu sliku

Nacrtajte jednu anamorfnu sliku.

Razred

Nastavni


Naziv nastavne

jedinice/teme Izrada i prezentacija projekata

Predloženi broj


Cilj Izraditi i prezentirati projekt na zadanu temu

Razina 5

Ishodi učenja

(5 do 10)

Učenik će:

1. Osmisliti projekt na zadanu temu

2. Isplanirati faze projekta i vrijeme potrebno za realizaciju

3. Predvidjeti moguće poteškoće u realizaciji projekta

4. Realizirati planirani projekt

5. Prezentirati sadržaj i rezultat projekta

6. Komentirati probleme na koje je naišao u realizaciji projekta

Uvjeti u kojima

se izvodi

nastava


Primjeri

provjere i

vrednovanja

Učenik bira jedan od sljedećih projekata:

• analizu umjetničke slike;

• crtanje ”nemogućeg” tijela;



• izradu jedne art-street slike;

• analizu i crtanje predloška za reklamu koja leži na tlu;

• crtanje anamorfne slike;

• analizu Marvelova stripa i izradu jedne takve slike.

Nakon odabira teme učenik će isplanirati faze izrade projekta i vrijeme

62

potrebno za njegovu realizaciju. Očekuje se da učenik vodi bilješke pri

izradi projekta te da promisli o mogućim poteškoćama u realizaciji i

ponudi adekvatna rješenja.

Nakon što realizira projekt, učenik će ga prezentirati pomoću DGS

datoteke u kojoj je rad napravljen. U prezentaciji treba navesti

motivaciju prilikom odabira teme i detaljno opisati sve faze izrade

projekta kao i probleme s kojima se susretao pri realizaciji. Očekuje se

da učenik opiše ključne korake pri crtanju/konstruiranju nekog

geometrijskog lika/tijela i navede koje je alate i transformacije koristio u

DGS. Ukoliko postoje akcijski gumbi u prezentaciji, treba opisati

njihovu ulogu, odnosno što se događa pritiskom pojedina gumba.

Na kraju, učenik će komentirati postoji li nešto što bi promijenio,

drukčije napravio ili zbog vremenskog ograničenja nije stigao napraviti

te dati prijedloge za unapređenje uratka.

Literatura

1. Andersen, K. (2007): The Geometry of an Art - The History of the Mathemat-

ical Theory of Perspective from Alberti to Monge, Springer, New York.

2. Arnheim, R. (1997): Art and Visual Perception, University of California Press,

Berkeley.

3. Bozicevic, J. (1942): Linearna perspektiva, Nakladni odjel drzavne tiskare, Za-greb.

4. Bubennikov, A. V. (1981): Nacertatelnaja geometrija - zadaci dlja uprazneniji,Visaja skola, Moskva.

5. Calter, P. A. (2008): Squaring the Circle - Geometry in Art and Architectura,John Wiley and Sons, Hoboken.

6. Cipolla, R.; Giblin, P. (2000): Visual Motion of Curves and Surfaces, Cam-bridge University Press, New York.

7. COMAP (1999): Mathematics: Modeling Our World, course 3, W. H. Freeman,New York.

8. Cetveruhin, N. F.; Levickii, V. S.; Prijanisnikova, Z. I.; Tevlin, A. M.; Fedotov,

G. I. (1963): Nacertatelnaja geometrija, Visaja skola, Moskva.

9. Frantz, M.; Crannell, A. (2011): Viewpoints Mathematical Perspective and

Fractal Geometry in Art, Princeton University Press, Princeton.

10. Hockney, D. (2006): Secret Knowledge: Rediscovering the Lost Techniques of

Old Masters, Thames and Hudson, London.

11. Ivancevic, R. (1997): Likovni govor, Profil, Zagreb.

12. Ivancevic, R. (1996): Perspektive, Skolska knjiga, Zagreb.

13. Koroev, J. I.; Kotov, J. V.; Orsa, J. N. (1989): Sbornik zadac i zadanii po

nacertatelnoi geometrii, Stroiizdat, Moskva.

14. Kurilj, P.; Sudeta, N.; Simic, M. (2005): Perspektiva, Tehnicka knjiga, Zagreb.

15. Kurnik, Z.; Palman, D.; Pavkovic, B. (1972): Zadaci iz nacrtne geometrije,

Tehnicka knjiga, Zagreb.

16. Lawlor, R. (2007): Sacred Geometry, Thames & Hudson, London.

17. Livingstone, M. (2002); Vision and art: the biology of seeing, ABRAMS, New

York.


18. Mutabzija, D.; Rajcic, L. (1966): Nacrtna geometrija - udzbenik za II., III. iIV. razred gimnazije, Skolska knjiga, Zagreb.

19. Nice, V. (1971): Perspektiva, Skolska knjiga, Zagreb.

20. Otto, F.; Otto, E. (1966): Zbior zadan z geometrii wykreslnej, czesc pierwsza idruga, P. W. Naukowe,Warszawa.

21. Pal, I. (1966): Nacrtna geometrija s anaglifskim slikama, Tehnicka knjiga, Za-

greb.

22. Peic, M. (1971): Pristup likovnom djelu, Skolska knjiga, Zagreb.

23. Panofsky, E. (1997): Perspective as Symbolic Form, Zone Books, New York.

24. Radovic, N.; Svedrec, R.; Soucie, T.; Kokic, I. (2010): Vizualizacija prostora u

izometrijskoj mrezi tocaka, Zbornik radova 5. kongresa nastavnika matematike,

3. - 5. 7. 2012., Zagreb, 461 - 480.

25. Reynolds, B. E.; Fenton, W. E. (2006): College Geometry Using The Geome-

ter’s Sketchpad, Key College Publishing, Emeryville.

26. Scolari, M. (2012): Oblique drawing: a history of anti-perspective, MIT Press,Cambridge.

27. Seckel, A. (2006): Optical illusions: the science of visual perception, Firefly

Books Ltd., New York.

28. Steketee, S.; Jackiw, N.; Chanan, S. (2006): Prirucnik s uputama za Sketchpad,Proven, Zagreb.

29. Storey, G. A. (2006): Theory and Practice of Perspective, Dover Publica-tions,New York.

30. Strubecker, K. (1971): Nacrtna geometrija, Tehnicka knjiga, Zagreb.

31. Triglia, L. B.; Sammarone, S.; Zizzo, R. (1993): Di segno tecnico - metodo

tradizionale 1, Zanichelli.

32. Weisstein, E. W. (2009): Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, New York.

33. Wylie, C. R. (1970): Introduction to Projective Geometry, McGraw-Hill, NewYork.

34. Zasov, V. D.; Zengin, A. R.; Ikonnikova, G. S.; Krilov, N. N. (1975): Zadacnik

po nacertatelnoi geometrii, Visaja skola, Moskva.

35. * * * (1988); Matematiceskii enciklopediceskii slovar, Sovetskaja enciklopedija,Moskva.

36. * * * (1985); Enciklopediceskii slovar junogo matematika, Pedagogika, Moskva.

37. http://www.metanamorph.com/

Dodatak

U dodatku se nalaze radni listici za rad s ucenicima. Sastavni su dio za rad u

nastavi i odgovarajuci Sketchpad fileovi (s istim nazivom kao i docx fileovi).U dodatku se nalaze i tri strucna clanka kojima se naznacuje kompleksnost

poucavanja nacrtne geometrije odnosno perspektive. Smatramo da su za ukupnorazumijevanje poucavanja perspektive ovi clanci pocetni poticaj i da bi svaki nas-

tavnik trebao u tom smjeru ”nadograditi” svoje znanje. Dva su clanka nastalana temelju ove godine odrzanih predavanja na Zimskoj i Ljetnoj skoli matema-tike u Petoj, a treci je izravno svjedocenje kako umjetnik i ”nematematicar”

stvara/konstruira svoju sliku.Fileovi su:

A) Abeceda Sketchpada i konstrukcije elementarnih geometrijskih likova(1. dio),

B) Abeceda Sketchpada i konstrukcije elementarnih geometrijskih likova(2. dio),

C) Abeceda stereometrije (1. dio),

D) Abeceda stereometrije (2. dio),

E) Temeljni pojmovi i pravila perspektive,

F) Perspektiva s jednim nedogledom,

G) Perspektiva s dva nedogleda,

H) Sjene tijela,

I) Predag Brodanac: Racunalna 3D grafika iz racunalne perspektive,

J) Mihael Kozina: Vizualna inteligencija,

K) Filip Mrvelj: Kako stvaram sliku.


67

A) Abeceda Sketchpada i konstrukcije

elementarnih geometrijskih likova

(1. dio)

Na početku ćemo se upoznati s alatima za crtanje geometrijskih likova uporabom programa

Sketchpad 5.03HR. Sve alate koristit ćemo u narednim vježbama pri rješavanju složenijih zadataka.

Upoznat ćemo alate za crtanje i označavanje točke, dužine, pravca, polupravca, kružnice, kružnog luka

i mnogokuta. Svi se ti alati nalaze ili u alatnoj traci s lijeve strane radne površine ili u izborniku

Konstrukcije, ali primjenjujemo ih u različitim kontekstima.

Crtanje točke

Točke crtamo pomoću alata za crtanje točke koji se nalazi u alatnoj traci za crtanje i pisanje na

lijevoj strani radne površine.

1. Odaberimo alat za točku.

2. Klikom miša na radnoj površini crtamo točku.

68

Veličina i označavanje točke

Želimo li promijeniti veličinu točke, to činimo pomoću naredbe Veličina točke izbornika Zaslon

ili pomoću desnog klika miša. Na raspolaganju imamo četiri različite veličine točke (točkica, mala,

srednja i velika).

Točke označavamo pomoću alata za tekst koji se također nalazi na alatnoj traci s lijeve strane.

Kako bismo promijenili oznaku točke A, dovoljno je opet odabrati alat za tekst, a zatim

dvostruko kliknuti na oznaku A. Otvara se dijaloški prozor u kojem možemo promijeniti postojeću

oznaku (npr. T).

1. Označimo alat za tekst.

2. Označimo točku.


1. Upišimo novu oznaku.

2. Potvrdimo promjenu.

2. Odaberi veličinu točke. 2. Odaberimo veličinu točke.

69

Budući da u geometriji/matematici često više točaka ispunjava zadani uvjet, označavamo ih

indeksom. U tom slučaju, želimo li točku označiti sa T1, tada ćemo u dijaloškom prozoru upisati T[1].

Zadatak 1. Nacrtajte tri točke. Neka su srednje veličine te ih označite slovima P, Q i R.

Zadatak 2. Nacrtajte tri male točke te ih označite kao T1, T2 i T3.

Crtanje dužine

Dužine crtamo na dva načina.

1. Pomoću alata za ravne objekte (dužina).

2. Pomoću naredbe Dužina izbornika Konstrukcije (uz uvjet da su zadane rubne točke

dužine).

Zadatak 3. Nacrtajte dvije točke.

a) Označite točke slovima A i B.

b) Nacrtajte dužinu AB .

c) Dužinu AB označite slovom a.

d) Mijenjajte položaj točaka A i B.

1. Označimo alat za crtanje dužine.

2. Prvim klikom miša označimo početnu krajnju točku dužine.

3. Drugim klikom miša označimo drugu krajnju točku dužine.

1. Odaberi točke. 1. Označimo točke.

2. Konstrukcije→Dužina.

70

Crtanje pravca

Kao i dužinu, i pravac crtamo na dva načina

1. Pomoću alata za ravne objekte (pravac).

2. Pomoću naredbe Pravac izbornika Konstrukcije (uz uvjet da su zadane bar dvije točke

pravca).

Zadatak 4. a) Nacrtajte dvije točke.

b) Označite točke slovima P i Q.

c) Točkama P i Q nacrtajte pravac PQ .

d) Pravac PQ označite ga slovom p.

e) Mijenjajte položaj točaka P i Q.

1. Označimo alat za crtanje pravca.

2. Prvim klikom miša označimo jednu točku pravca.

3. Drugim klikom miša označimo drugu točku pravca.

1. Odaberi točke. 1. Odaberimo točke.

2. Konstrukcije→ Pravac.

71

Crtanje polupravca

Polupravac crtamo na dva načina.

1. Pomoću alata za ravne objekte (polupravac).

2. Pomoću naredbe Polupravac izbornika Konstrukcije (uz uvjet da su zadane dvije točke).

Pazite na poredak točaka!


b) Označite točke slovima P i A.

c) Nacrtajte polupravac (zraku) PA .

d) Polupravac PA označite slovom s.

e) Mijenjajte položaj točaka P i A.

1. Označimo alat za crtanje polupravca.

2. Prvim klikom miša označimo početnu točku polupravca.

3. Drugim klikom miša odredimo neku točku polupravca.

1. Odaberimo početnu točku polupravca.

2. Odaberimo neku točku polupravca.

3. Konstrukcije→ Polupravac.

72

Crtanje kružnice (središte + točka)

Kružnicu, određenu središtem i točkom, crtamo na dva načina.

1. Pomoću alata za kružnicu. (Alatom za crtanje kružnice, crtaju se kružnice kojima je

duljina polumjera proizvoljna, odnosno kružnica ovako nacrtana ne utječe na rješenje

zadatka.)

2. Pomoću naredbe Kružnica: središte + točka izbornika Konstrukcije (uz uvjet da je zadano

središte i jedna točka na kružnici). Uočite da je važan redoslijed označavanja točaka.


b) Označite točke slovima S i T.

c) Nacrtajte kružnicu sa središtem S koja sadrži točku T.

d) Kružnicu označite slovom k.

e) Točkama S i T nacrtajte dužinu ST .

f) Označite dužinu sa r.

g) Mijenjajte položaj točaka S i T.

1. Odaberimo alat za crtanje kružnice.

2. Prvim klikom miša odredimo središte kružnice.

3. Drugim klikom miša odredimo neku točku na kružnici.

1. Odaberimo središte kružnice.

2. Odaberimo neku točku na kružnici.

3. Konstrukcije→Kružnica: središte + točka.

73

Crtanje kružnice (središte + polumjer)

Kružnicu određenu središtem i polumjerom crtamo pomoću naredbe Kružnica: središte +

polumjer izbornika Konstrukcije.

Zadatak 7. Dana je dužina AB i točka S. Nacrtajte kružnicu k sa središtem S i radijusom

AB . Mijenjajte položaj točke S i duljinu dužine AB .

Točka na objektu

Na svakom objektu možemo odabrati neku njegovu točku. Kako bi ta točka sigurno pripadala

zadanom objektu (npr. kružnici), konstruiramo je pomoću naredbe Točka na kružnici izbornika

Konstrukcije.

Zadatak 8.

a) Na dužini AB odaberite proizvoljnu točku P.

b) Na kružnici k(S,r) odaberite proizvoljnu točku T.

c) Na rubu kvadratu EFGH odaberite proizvoljnu točku R.

3. Konstrukcije→ Kružnica: središte + polumjer.

2. Odaberimo polumjer.

1. Odaberimo središte.

2. Konstrukcije→ Točka na kružnici.

1. Odaberimo objekt.

74

Stil i označavanje crte

Crte (dužine, pravce, polupravce, kružnice i kružne lukove) možemo, kao i točke, označavati

pomoću alata za tekst. Također, možemo im mijenjati stil pomoću naredbe Stil crte izbornika Zaslon

ili pomoću desnog klika miša. Crte mogu biti pune, iscrtkane ili točkaste, a na raspolaganju imamo i

četiri debljine (vrlo tanka, tanka, srednja i debela).

Zadatak 9. Nacrtajte dužinu a.

a) Promijenite oznaku dužine u x.

b) Promijenite debljinu crte u

Srednja.

c) Promijenite stil crte u Puna.

d) Krajnje točke dužine označite s A i

B.

Zadatak 10. Nacrtajte dužinu b.

a) Promijenite oznaku dužine u y.

b) Promijenite debljinu crte u Debela.

c) Promijenite stil crte u Iscrtkana.

d) Krajnje točke dužine označite s P i

Q.

Zadatak 11. Nacrtajte dužinu c.

a) Promijenite oznaku dužine u z.

b) Promijenite debljinu crte u Tanka.

c) Promijenite stil crte u Točkasta.

d) Krajnje točke dužine označite s U i V.

1. Označimo crtu.

2. Odaberi debljinu.

3. Odaberi stil.

2. Odaberimo debljinu.

3. Odaberimo stil.

75

Boje

Svakom objektu (točka, dužina, pravac, ...) možemo promijeniti boju pomoću ponuđene

palete boja ili odabirom po volji bilo koje boje. Boje možemo mijenjati pomoću palete Boja izbornika

Zaslon ili pomoću desnog klika miša.

Zadatak 12. Sve točke na slici obojite u zeleno, sve crte u žuto, a unutrašnjost trokuta i kruga

u plavo.

Polovište

Polovište dužine konstruiramo pomoću naredbe Polovište izbornika Konstrukcije.

Zadatak 13.

Dana je dužina AB .

a) Odredite polovište dužine i

označite s P.

b) Mijenjajte položaj točaka A i B.

Zadatak 14. Dan je trokut ABC.

a) Odredite polovišta njegovih

stranica BC , CA i AB te ih redom

označite Pa, Pb i Pc.

b) Mijenjajte položaj vrhova trokuta

A, B i C.

1. Odaberimo dužinu.

2. Konstrukcije→ Polovište.

1. Označimo objekt.

2. Odaberi boju. 2. Odaberimo boju.

76

Presjeci

Točke presjeka (točno) dvaju objekata određujemo pomoću naredbe Presjeci izbornika

Konstrukcije.

Zadatak 15. Dani su pravac p i kružnica k.

a) Odredite točke presjeka pravca p i kružnice k te ih označi sa T1 i T2.

b) Mijenjaj položaj pravca p i kružnice te k. Koliko zajedničkih točaka mogu imati pravac i

kružnica?

Paralela i okomica

Ako su zadani pravac i neka točka u ravnini, onda paralelu sa zadanim pravcem kroz zadanu

točku konstruiramo pomoću naredbe Paralela izbornika Konstrukcije.

1. Odaberi dva objekta. 1. Odaberimo dva objekta.

2. Konstrukcije→ Presjeci.

1. Označimo pravac.


3. Konstrukcije→ Paralela.

77

Ako su zadani pravac i neka točka u ravnini, onda okomicu na zadani pravac zadanom

točkom konstruiramo pomoću naredbe Okomica izbornika Konstrukcije.

Zadatak 16.

Na slici su dani pravac AB i točka T.

a) Točkom T nacrtajte/konstruirajte pravac a paralelan/usporedan s pravcem AB .

b) Točkom T nacrtajte/konstruirajte pravac b okomit na pravac AB .

c) Mijenjajte položaj pravca AB i točke T.

Simetrala dužine

Kako bismo konstruirali simetralu neke dužine, povezat ćemo konstrukcije polovišta dužine i

okomice na dužinu zadanom točkom.



3. Konstrukcije→ Okomica.

1. Označimo dužinu.

2. Konstrukcije→ Polovište.

78

Zadatak 17.

Dana je dužina AB .

a) Nacrtajte simetralu s zadane dužine.

b) Mijenjajte položaj točaka A i B.

Zadatak 18. Dan je trokut ABC.

a) Nacrtajte simetrale svih stranica

zadanog trokuta.

b) Simetrale označi sa, sb i sc.

c) Mijenjajte položaj točaka A, B i C.

Simetrala kuta

Simetralu kuta crtamo pomoću naredbe Simetrala kuta izbornika Konstrukcije. (Za primjenu

te naredbe moraju biti zadane tri točke, pri čemu je vrh kuta srednja od tri točke koje određuju kut).

Redoslijed određivanja točaka kuta je važan.

Zadatak 19. Zadanom kutu ∠AVB nacrtajte simetralu sV. Mijenjajte položaj točke B.

Zadatak 20. Nacrtajte simetrale sA, sB i sC svih unutarnjih kutova zadanog trokuta ABC.

Mijenjajte položaj točaka A,B i C.

3. Označimo dužinu i njezino polovište.

4. Konstrukcije→ Okomica.

1. Označimo točku na jednom kraku.

2. Označimo vrh kuta.

3. Označimo točku na drugom kraku.

4. Konstrukcije→ Simetrala kuta.

79

Kružni luk

Kružni luk određujemo pomoću naredbe Kružni luk izbornika Konstrukcije. Za crtanje

kružnog luka potrebno je označiti kružnicu i neke njezine dvije točke. Prisjetimo se da dvije točke na

kružnici definiraju dva kružna luka. Od jedne krajnje točke luka do one druge, luk je orijentiran u

smjeru suprotnom od kretanja kazaljke na satu. Zamijenimo li redoslijed označavanja točaka na

kružnici, nacrtat ćemo drugi kružni luk određen tim točkama.

Zadatak 21. Na kružnici k dane su točke A, B, C i D.

a) Nacrtajte kružne lukove AB i CD .

b) Mijenjajte položaj točaka A, B, C i D.

Luk određen trima točkama

Kružni luk kroz tri točke crtamo pomoću naredbe Luk kroz 3 točke izbornika Konstrukcije.

Slično kao kod označavanja kuta, treba paziti na poredak točaka. Druga po redu odabrana točka je u

tom slučaju neka točka tog luka.

1. Označimo točku na kružnici.

2. Označimo drugu točku na kružnici.

3. Označimo kružnicu.

4. Konstrukcije→ Kružni luk.

1. Označimo jednu rubnu točku luka.

2. Označimo točku na luku.

3. Označimo rubnu točku luka.

4. Konstrukcije→ Luk kroz 3 točke.

80

Zadatak 22. Dane su točke A, B i C. Nacrtajte kružni luk AB kojem pripada točka C.

Crtanje mnogokuta / Unutrašnjost

Mnogokut crtamo tako da redom označimo njegove susjedne vrhove. Kada označimo sve

vrhove, naredbom Dužine izbornika Konstrukcije nacrtamo sve stranice.

Na sličan način možemo pobojati i unutrašnjost mnogokuta. Najprije redom označimo sve

vrhove, a zatim naredbom Unutrašnjost mnogokuta izbornika Konstrukcije istaknemo bojom

unutrašnjost mnogokuta.

Unutrašnjost mnogokuta možemo obojati i pomoću alata za mnogokut u alatnoj traci s lijeve

strane. Pri tome redom odaberemo sve vrhove, a na onom posljednjem dvostrukim klikom miša

završimo crtanje mnogokuta.

Napomena: Pomoću alata za mnogokutove može se crtati

samo stranice mnogokuta,

samo unutrašnjost mnogokuta,

stranice mnogokuta i njegova unutrašnjost.

1. Označimo vrhove redom kojim ih treba spajati.

2. Konstrukcije→Dužine.

1. Odaberi redom sve vrhove mnogokuta.

2. Konstruiraj unutrašnjost mnogokuta.

81

Zadatak 23. Dane su točke A, B, C, D i E. Nacrtajte peterokut ABCDE te obojite njegovu

unutrašnjost žutom bojom. Mijenjajte položaj točaka A, B, C, D i E.

Nakon izbornika Konstrukcije, upoznajmo i alate pomoću kojih izvodimo osnovne

transformacije ravnine (translacija, rotacija, dilatacija i zrcaljenje). Te se naredbe nalaze u izborniku

Transformacije.

2. Odaberimo redom sve vrhove mnogokuta.

1. Odaberimo alat za mnogokute.

82

Translacija

Zadatak 24. Točku T translatirajte za dani vektor AB . Sliku točke T označite T'. Mijenjajte

položaj točke T i vektora AB .

Zadatak 25. Trokut ABC translatirajte za dani vektor PQ . Vrhove dobivena trokuta označite

A', B' i C'. Mijenjajte položaj vrhova trokuta i vektora PQ .

1. Označimo početnu točku vektora.

2. Označimo završnu točku vektora.

3. Označimo vektor.


5. Translatirajmo točku.

6. Označeni.

7. Translatirajte.

83

Rotacija

Kako bi rotirali neki objekt, prvo moramo definirati središte rotacije i veličinu kuta.

1. Označimo središte rotacije.

2. Označimo središte.

6. Označimo kut.

3. Označimo točku A.

4. Označimo vrh V.

5. Označimo točku B.

8. Rotirajmo točku.


9. Označeni kut.

10. Rotirajte.

84

Osim za označeni kut, skupovi točaka mogu se rotirati i za točno određenu veličinu kuta.

Zadatak 26. Točku T rotirajte oko zadane točke O za zadanu veličinu kuta ∠AVB. Mijenjajte

položaj točaka T, O i B.

Zadatak 27. Četverokut PQRS rotiraj oko točke O za zadanu veličinu kuta ∠AVB. Vrhove

dobivena četverokuta označite P', Q', R' i S'. Mijenjajte položaj točaka P, Q, R, S, O i B.

85

Dilatacija (homotetija)

Kako bismo dilatirali neki objekt, prvo moramo definirati središte dilatacije i koeficijent.

1. Označimo središte dilatacije.

2. Označimo središte.


4. Dilatirajmo točku.

5. Zadani koeficijent.

6. Upišimo omjer.

7. Dilatirajte.

86

Osim za upisani omjer, skupovi točaka mogu se dilatirati i za neki već označeni koeficijent.

Zadatak 28. Dilatirajte točku T oko točke O za faktor k1

3 , tj. odredite točku T' na pravcu

OT za koju vrijedi OT OT1

'3

|, pri čemu su točke T i T' s iste strane točke O. Mijenjajte

položaj točaka O i T.

Zadatak 29.

a) Dilatirajte trokut ABC oko točke O za faktor k1

2 . Vrhove dobivena trokuta označite A',

B' i C'.

b) Dilatirajte trokut ABC oko točke S za faktor k1

2 . Vrhove dobivena trokuta označite

A'', B'' i C''.

87

Zrcaljenje ili osna simetrija

Zadatak 30. Točku T zrcalite s obzirom na pravac s . Sliku točke T označite T'. Mijenjajte

položaj točke T i pravca s.

Zadatak 31. Četverokut ABCD zrcalite s obzirom na pravac a. Vrhove dobivena četverokuta

označite A', B', C' i D'. Mijenjajte položaj točaka A, B, C, D i pravca a.


2. Označimo os simetrije.


4. Zrcalimo točku.

88

89

B) Abeceda Sketchpada i konstrukcije

elementarnih geometrijskih figura

(2. dio)

Prenošenje dužine

Zadatak 1. Zadan je pravac p i točka C na pravcu, te dužina . Odredite točku D na pravcu p

takvu da vrijedi |CD|=|AB|.

p

A

B

C

Koraci konstrukcije:

1. Kružnica k(C,|AB|).

2. Točke D1 i D2 (presjeci kružnice kC i pravca p)

3. Dužina .

4. Dužina .

kC

pD2

D1

A

B

C

90

Prenošenje kuta

Zadatak 2.

Zadan je kut ∠AVB i polupravac p s početnom točkom O. Konstruirajte kut ∠POQ takav da

točka P pripada polupravcu p te vrijedi |∠POQ|=|∠AVB|.

p

αAV

OB

RJEŠENJE_01 (prenošenjem kuta)


1. Kružnica kV(V,|VA|) i kO(O,|VA|) .

2. Točka C (presjek kružnice kv i polupravca VB).

3. Točka P (presjek kružnice ko i polupravca p).

4. Kružnica kP (P,|AC|).

5. Točke Q1 i Q2 (presjeci kružnica kO i kP)

6. Kutovi ; .

kV

kP

kO

p

α

C

Q1

Q2

P

AV

OB

91

RJEŠENJE_02 (rotacijom)


1. Proizvoljna točka P na polupravcu p.

2. Točka je O središte rotacije.

3. Označite kut ∠AVB.

4. Rotacija polupravca p oko središta O za označeni kut (oznažite polupravac).

5. Polupravac p'.

6. Označite kut ∠BVA.

7. Rotacija polupravca p oko središta O za označeni kut.

8. Polupravac p''.

p

p'

p''

α

P'

P''

P

AV

OB

92

Jednakostranični trokut

Zadatak 3. Konstruirajte jednakostranični trokut ΔABC sa stranicom zadane duljine a.

RJEŠENJE_01 (prenošenjem dužine)

Jednakostraničan trokut možemo konstruirati prenošenjem dužine zadane duljine

koristeći činjenicu da su sve stranice trokuta sukladnih duljina.


1. Pravac p.

2. Točka A.

3. Kružnica k1(A,a). 4. Točke B1 i B2 (presjeci kružnice k1 i pravca p).

5. Kružnice k2(B1,a) i k3(B2,a).

6. Točke C1 i C4 (presjeci kružnica k1 i k2).

Točke C2 i C3 (presjeci kružnica k1 i k3).

7. Trokuti AB1C1, AC2B2, AB2C3 i AC3B1.

k3

k2

k1

a

a

aa

p

C4C3

C2

B2

C1

B1A

RJEŠENJE_02 (rotacijom)

Jednakostraničan trokut možemo konstruirati rotacijom (svi su kutovi veličine 60°).


1. Pravac p.

2. Točka A.

3. Kružnica k1(A,a).

4. Točke B1 i B2 (presjeci kružnice k1 i

pravca p).

5. Označite točku A kao središte

rotacije.

6. Rotacija točke B1 za 60° u točku C1.

7. Trokut AB1C.

8. Rotacija točke B2 za - 60° u točku C2.

9. Trokut AC2B2.

10. Rotacija točke B2 za 60° u točku C3.

11. Trokut AB2C3.

12. Rotacija točke B1 za - 60° u točka

C4.

13. Trokut AB1C4.

93

k1

a

a

aa

p

C4C3

C2

B2

C1

B1A

Jednakokračni trokut

Zadatak 4. Konstruirajte jednakokračni trokut ΔABC s osnovicom duljine a i krakovima

duljine b.


1. Pravac n.

2. Točka A.


4. Točke B1 i B2 (presjeci kružnice k1 i

pravca n).

5. Kružnica k2(A,b).

6. Kružnica (B1,b) i (B2,b).

7. Točke C1 i C4 (presjeci kružnica k2 i

k3).

8. Trokuti AB1C1 i AC4B1.

9. Točke C2 i C3 (presjeci kružnica k1 i

k4).

10. Trokuti AC2B2 i AB2C3.

k4

k3k2

k1

a

b

n

C4C3

C2

B2

C1

B1A

94

Paralelogram

Zadatak 5. Konstruirajte paralelogram ABCD sa susjednim stranicama duljine a i b koje

zatvaraju kut veličine α. Koliko zadatak ima rješenja?


1. Pravac m.

2. Točka A.


4. Točke B1 i B2 (presjek kružnice k1 i pravca m).

5. Kružnica k2(A,|VP|).

6. Točke M' i M'' (presjek kružnice k2 i pravca m).

7. Kružnice k3(M',|PQ|) i k'3(M'',|PQ|).

8. Točke N', N'', N''', N'''' (presjeci kružnica k2

i k3; odnosno k2 i k'3 ).

9. Polupravci r = AN ' ; r' = AN ' ' ....

10. Kružnica k3(A, b).

11. Točka D1 (presjek kružnice k3 i polupravca r).

12. Pravac m' točkom D1 paralela s pravcem m.

13. Pravac p točkom B1 paralela s polupravcem r.

14. Točka C1 je presjek pravaca m' i p.

15. Paralelogram AB1C1D1 je jedno rješenje.

¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸¸Zadatak ima 4 rješenja.

k3'

k3

k3

k2

k1

a

b

m

r

r''

r'

r'''

m'

m''

p

p''''

p'''''

p''''''

α

N''''

N''

N'''

M''

C4D4

C2

D2

B2

C3D3

C1D1

N'

M'

B1PV

A

Q

95

Pravokutnik

Zadatak 6. Konstruirajte pravokutnik ABCD sa susjednim stranicama duljina a i b.

RJEŠENJE_01 Koraci konstrukcije: 1. Pravac r.

2. Točka A.

3. Kružnica k1(A, a).

4. Točke B1 i B2 (presjeci kružnice k1 i pravca r).

5. Kružnica k2(A, b).

6. Pravac n (okomica točkom A na pravac r).

7. Točke D1 i D2 (presjeci kružnice k2 i pravca n).

8. Pravci n' i n'' (okomice točkama B1 i B2 na

pravac r).

9. Pravci r' i r'' (točkama D1 i D2 paralele s ).

10. Točka C1 (presjek pravaca r' i n').

11. Pravokutnik AB1C1D1.

12. Točka C2 (presjek pravaca r' i n'').

13. Pravokutnik AD1C2B2.

14. Točka C3 (presjek pravaca r'' i n'').

15. Pravokutnik AB2C3D2.

16. Točka C4 (presjek pravaca r' i n').

17. Pravokutnik AD2C4B1.

k2

k1

a

b

r

r'

r''

nn'n''

C3

C2

D2 C4

B2

C1D1

B1A

RJEŠENJE_02 Kvadrat je moguće nacrtati/ konstruirati primjenom naredbi iz izbornika Transformacije.

96

Kvadrat

Zadatak 7. Konstruirajte kvadrat ABCD sa stranicama duljine a.

RJEŠENJE_01

Koraci konstrukcije: 1. Pravac c.

2. Točka A.

3. Kružnica ka(A, a).

4. Točke B1 i B2 (presjeci kružnice ka i pravca c).

5. Pravac d (okomica na c točkom A).

6. Točke D1 i D2 (presjeci kružnice ka i pravca d).

7. Pravci d' i d'' (okomice na pravac c točkama

B1 i B2).

8. Pravci c' i c'' (paralele s pravcem c točkama

D1 i D2).

9. Točka C1 (presjek pravaca c' i d').

10. Kvadrat AB1C1D1.

11. Točka C2 (presjek pravaca c' i d'').

12. Kvadrat AD1C2B2.

13. Točka C3 (presjek pravaca c'' i d'').

14. Kvadrat AB2C3D2.

15. Točka C4 (presjek pravaca c'' i d').

16. Kvadrat AD2C4B1.

ka

a

c

c'

c''

d d'd''

C3 D2 C4

B2

C2

C1D1

B1A

RJEŠENJE_02 Kvadrat je moguće nacrtati/ konstruirati primjenom naredbi iz izbornika Transformacije.

97

Pravilni šesterokut

Zadatak 8. Konstruirajte pravilni šesterokut ABCDEF sa stranicama duljina a. RJEŠENJE_01 Koraci konstrukcije:

1. Točka S.

2. Kružnica k1(S, a).

3. Točka A (proizvoljna točka kružnice k1).

4. Kružnica k2(A, a).

5. Točke B i F (presjek kružnica k1 i k2).

6. Kružnica k3(B, a).

7. Točke C i A (presjek kružnica k1 i k3).

8. Kružnica k4(C, a).

9. Točke D i B (presjek kružnica k1 i k4).

10. Kružnica k5(D, a).

11. Točke E i C (presjek kružnica k1 i k5).

k5

k4

k3

k2

k1

a

F

E

D

C

B

S

A

RJEŠENJE_02 Šesterokut je moguće nacrtati/ konstruirati primjenom naredbi iz izbornika Transformacije.

98

Četiri karakteristične točke trokuta

Težište trokuta

Težište trokuta je sjecište njegovih težišnica (dužina koja spaja vrh trokuta s polovištem nasuprotne

stranice).

Zadatak 9. Zadan je trokut ABC. Konstruirajte težište T zadanog trokuta.


1. Polovište A1 stranice a.

2. Polovište B1 stranice b.

3. Polovište C1 stranice c.

4. Težišnice ta = ; tb = ; tc =

5. Težište T (presjek težišnica tA, tB i tC).

c

a

b

ta

tc tb

T

C1

A1B1

AB

C

Ortocentar trokuta

Ortocentar trokuta je sjecište pravaca kojima pripadaju visine trokuta (okomice vrhom trokuta na

nasuprotnu stranicu).

Zadatak 10. Zadan je trokut ABC. Konstruirajte ortocentar H zadanog trokuta.

Koraci konstrukcije: 1. Vrhom A trokuta ABC okomica va na stranicu a.

2. Vrhom B trokuta ABC okomica vb na stranicu b.

3. Vrhom C trokuta ABC okomica vc na stranicu c.

4. Ortocentar H (presjek pravaca vA, vB i vC).

c

a

b

va

vb

vc

H

C

B

A

99

Središte trokutu opisane kružnice

Središte trokutu opisane kružnice je sjecište simetrala njegovih stranica.

Zadatak 11. Zadan je trokut ABC. Konstruirajte opisanu kružnicu zadanom trokutu.

Koraci konstrukcije

1. Polovišta A1, B1, C1 redom stranica a, b, c

trokuta ABC.

2. Pravci sa, sb, sc su redom simetrale stranica

a, b, c trokuta ABC.

3. Točka So (presjek simetrala sA, sB i sC).

4. Kružnica k(So,|SoA|).

k

c

a

b

sb

sa

sc

So

C1

A1

B1

C

B

A

Središte trokutu upisane kružnice

Središte trokutu upisane kružnice je sjecište simetrala njegovih unutarnjih kutova.

Zadatak 12. Zadan je trokut ABC. Konstruirajte upisanu kružnicu zadanom trokutu.

Koraci konstrukcije

1. Simetrale kutova sα, sβ, sγ su redom simetrale

kutova α, β, γ trokuta ABC.

2. Točka Su (središte trokutu upisane kružnice).

3. Točkom Su okomica na neku stranicu trokuta

ABC. Primjerice n je okomica na stranicu c

trokuta ABC.

4. Točka P (presjek pravca n i stranice c).

5. Kružnica k(Su,|SuP|).

k

c

a

b

n

sγ

sβ

sα

P

Su

C

B

A

100

101

C) Abeceda stereometrije

(1. dio)

Točke, pravci i ravnine u prostoru

Međusobni položaj dvaju pravaca u prostoru

a) Paralelni/usporedni pravci u prostoru su pravci koji pripadaju istoj ravnini i nemaju zajedničkih

točaka.

m

n

b) Ako pravci pripadaju istoj ravnini, a nisu paralelni, onda se oni sijeku.

q

p

c) Pravci su mimosmjerni/mimoilazni ako nemaju zajedničkih točaka i ne postoji ravnina kojoj

pripadaju oba pravca.

v

u

102

Međusobni položaj dviju ravnina u prostoru

a) Dvije ravnine međusobno su paralelne/usporedne ako nemaju zajedničkih točaka.

β

α

b) Ako se ravnine sijeku, njihov je presjek pravac koji nazivamo zajednička presječnica.

p

β

α

103

Međusobni položaj pravca i ravnine u prostoru

a) Pravac pripada ravnini ako su mu sve točke u ravnini.

p

α

b) Pravac je paralelan/usporedan s ravninom ako s njom nema zajedničkih točaka.

n

α

c) Pravac probada ravninu ako s njom ima točno jednu zajedničku točku, probodište.

p

α

104

Okomitost pravca i ravnine

Pravac p okomit je na ravninu α ako je okomit na sve pravce ravnine α probodištem P.

c

a

p

d

b

α

P

Ortogonalna projekcija

Neka je zadana ravnina α. Probodište okomice točkom T na ravninu α je ortogonalna projekcija

točke T na ravninu α, označavamo je s T'.

a) Ortogonalna projekcija točke na ravninu α.

α

A'

A

b) Ortogonalna projekcija dužine na ravninu α.

α

A'B'

A

B

105

Ortogonalna projekcija dužine na ravnu α jest dužina . Ona je spojnica projekcija A' i B' točaka

A i B. Ortogonalna projekcija bilo koje točke dužine pripada dužini .

c) Ortogonalna projekcija pravca na ravninu α.

α

A'B'

A

B

Ortogonalna projekcija pravca na ravninu α jest pravac A'B' određen ortogonalnim

projekcijama bilo kojih dviju točaka pravca AB na ravninu α.

Zadatak 1. Nacrtajte probodišta pravca određenog zadanim točkama A i B s ravninom α. Točke

A' i B' ortogonalne su projekcije točaka A i B na ravninu α.

Centralna projekcija

Neka je zadana ravnina α i točka S koja joj ne pripada. Centralna projekcija točke T na ravninu

α s obzirom na točku S jest probodište T' polupravca ST i ravnine α. Točku S nazivamo centar

(središte) projiciranja.

a) Centralna projekcija točke na ravninu α s obzirom na središte S.

α

S

A

A'

106

b) Centralna projekcija dužine na ravninu α s obzirom na središte S.

α

S

A B

A'

B'

c) Centralna projekcija pravca na ravninu α s obzirom na središte S.

p'

p

α

S

AB

A'

B'

Zadatak 2. Nacrtajte/konstruirajte probodište:

a) P pravca a (određena zadanom točkom A i kojem jedan dio, prikazan na slici, pripada pobočki

piramide) i ravnine α.

b) Q pravca b (određena zadanom točkom B i kojem jedan dio, prikazan na slici, pripada pobočki

piramide) i ravnine α.

a b

V

AB

107

Zadatak 3. Nađite probodište pravca AB određenog zadanim točkama A i B s ravninom α.

V

A B

Zadatak 4. Odredite presjek dviju ravnina koje su zadane tragovima.

a)

d3

d1

d2

a2

a1

a3

b)

s3

t2

t1

t3

s2

s1

c)

d3

d1

d2

n2

n1

n3

d)

k1e1

k3

e3k2

e2

108

Zadatak 5. Ako točke M, N, P pripadaju bridovima i nisu vrhovi tetraedra, konstruirajte presjek

ravnine MNP s tetraedrom.

M

P

N

Zadatak 6. Nacrtajte/ konstruirajte presjek kocke i ravnine DKM.

a)

M

K

D

b)

D

M

K

c)

KD

M

109

D) Abeceda stereometrije

Tlocrt – nacrt – bokocrt

110

Za prikazivanje 3D objekata u 2D ravnini koristimo ortogonalne projekcije na tri, u parovima

međusobno okomite ravnine, koje nazivamo ravnina tlocrta, ravnina nacrta i ravnina bokocrta.

Označavamo ih redom π1, π2 i π3. Na sljedećoj slici prikazana je projekcija neke točke prostora na

ravnine π1 (ravnina tlocrta), π2 (ravnina nacrta) i π3 (bokocrtna ravnina).

z

x

y

π3

π2

π1

P''

P'

P'''

P

Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π1 označavamo P' te je zovemo tlocrt točke P

(pogled odozgo).

Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π2 označavamo P'' te je zovemo nacrt točke P

(pogled sprijeda).

Ortogonalnu projekciju točke P na ravninu π3 označavamo P''' te je zovemo bokocrt točke P

(pogled zdesna). Uobičajeno je crtati desni bokocrt, osim ako nije drugačije definirano.

Primjer 1.

Nacrtajmo tlocrt, nacrt i bokocrt kocke.

BOKOCRT NACRT

TLOCRT

G'' H''

E'' F''

A'''B'''

D'''C'''

H''

G''

F''

E''

D''

C''B''

A''

H'

G'

F'

E'

B' C'

D'A'

111

Kosa projekcija

Kosa projekcija jedna je od metoda prikaza 3D na 2D. Uobičajeno je kosu projekciju kocke

crtati na sljedeći način:

xy

y

z

y30

α = 30°

n = 2

3

S

Istu kocku možemo promatrat na dva različita načina pa nevidljive bridove crtamo iscrtkano.

Kako bi se istaknula trodimenzionalnosti nacrtane kocke (a tako i svih ostalih geometrijskih

figura), uobičajeno je strane obojiti nijansama jedne boje (od najsvjetlije do najtamnije).

112

Primjer 2. Geometrijskom tijelu na slici nacrtajmo projekcije tlocrta, nacrta i bokocrta (i desni i lijevi).

BOKOCRTNACRT

TLOCRT

Rješenje:

Desni bokocrt Lijevi bokocrt

Tlocrt

Nacrt

113

Zadatak 1. Na idućim su slikama geometrijske figure prikazane u kosoj projekciji. Nacrtajte

projekcije tlocrta, nacrta i bokocrta (lijevi i desni) za svaku od figura.

a) b)

c)

d)

Primjer 3. Geometrijsko tijelo (figuru) prikazano projekcijama (tlocrt, nacrt i bokocrt),

nacrtajmo u kosoj projekciji.

114

Rješenje:

Zadatak 2. Geometrijske figure prikazane su svojim projekcijama. Nacrtajte ih u kosoj projekciji.

(Iscrtkanim linijama istaknuti su nevidljivi bridovi.)

a)

b)

c)

d)

115

e)

f)

g)

h)

Zadatak 3. Geometrijske figure prikazane su svojim projekcijama. Nacrtajte ih u kosoj projekciji.

(Iscrtkanim linijama istaknuti su nevidljivi bridovi.)

a)

b)

116

c)

d)

e)

f)

g)

h)

117

Rješenja:

1. a) b)

c) d)

2. a) b)

c)

d)

118

e)

f)

g)

h)

+z

3.

a)

b)

119

c)

d)

e)

f)

g)

h)

120

121

E) Temeljni pojmovi

Horizontalna ravnina

Perspektivnu sliku

čine probodišta

vizualnih pravaca i

ravnine slike

Udaljenost slikara od platna

Pravac okom

slikara

prema nekoj

točki objekta

Ravnina u kojoj se nalazi objekt

122

Vertikalna ravnina

Distancijska kružnica

Distancijske točke

Optički /

distancijski stožac

s polumjerom

baze d i

izvodnicama

duljine

| OD1|=


k (OC, r =|OOC | )

Perspektivnu sliku čine

probodišta vizualnih

pravaca i ravnine slike

O – očište

(predstavlja

oko slikara)

D1 i D2 - distancijske točke Vrijedi:

|OOC |=| OCD1|=| OC D2| = d

Glavna točka OC - okomita

projekcija očišta O na ravninu slike

Ravnina u kojoj se nalazi objekt

Perspektivna slika točke A

Distancija d - udaljenost |OOC|

123

Očište

Definicije

Perspektivna slika

Centralna projekcija ili perspektivna slika nalazi se između oka i objekta.

Vidni pravac

Spojnica očišta O i točke nekog objekta probada ravninu projekcije. Pravac koji određuju točka

objekta i očište zove se vidni pravac. Spojnice svih probodišta određuju perspektivnu sliku objekta.

Ravnina slike

Ravnina u kojoj se nalaze probodišta zove se ravnina slike.

Glavna točka i distancija

Okomitu projekciju očišta O zovemo glavna točka, a udaljenost distancija ili očna

udaljenost.

Horizont h je

presječnica

ravnine slike i

horizontalne

ravnine koja

prolazi očištem O

124


Kružnicu zovemo distancijska kružnica.

Sijeku li se?

Međusobno paralelni

pravci sijeku se u jednoj

točki na horizontu

Vertikalni pravci ostaju vertikalni

Pravci usporednii

s ravninom slike

ostaju usporedni


Distancija Glavna točka

Očište

Horizont

125

Usporedni pravci u horizontalnoj ravnini

Poseban slučaj: usporedni pravci okomiti na ravninu slike

Slike svih međusobno usporednih

pravaca okomitih na ravninu slike sijeku

se u istoj točki, glavnoj točki OC.

Slike svih međusobno usporednih pravaca,

koji nisu okomiti na ravninu slike, imaju isti

nedogled N na nedoglednici.

Usporedni pravci

Usporedni

pravci

okomiti na

ravninu slike

126

Primjer. Tračnice u horizontalnoj ravnini

Primjer 1. Nacrtajmo perspektivne slike usporednih pravaca e i f.

Nedogled tračnica

okomitih na

ravninu sllike je

glavna točka OC

Slike pragova usporednih s

ravninom slike pragovi su

usporedni s osnovicom

Usporedni pravci imaju isti

nedogled En = Fn

127

Primjer 2. Nacrtajmo perspektivne slike pravaca a, b i c koji su okomiti na ravninu slike.

Zadatak 1. Nacrtajte/konstruirajte nedoglede i obzor/horizont na sljedećim slikama:

Filippo Brunelleschi (1377.-1446.)_Bazilika San Lorenzo

Slike svih pravaca

okomitih na ravninu

sijeku se u nedogledu OC

128

Tintoretto (1518.-1594.) _Prenošenje tijela sv. Marka

Maurice Utrillo (1883.-1955.)_La pasage

129

Botticelli (1445.-1510.)

Gustave Caillebotte (1848.-1894.) _Le point de l'Europe (1876.)

130

Perspektivna slika prizme

Slike svih pravaca

okomitih na ravninu

slike sijeku se u jednoj

točki, nedogledu OC

Vertikalne

dužine ostaju

vertikalne

131

Horizont

Predložak za

crtanje:

Nedoglednica

Pespektivna slika neizmjerno dalekog pravca ravnine zove se nedoglednica ili nedogledni trag.

Horizontalna ravnina

Ravnina okomita na ravninu slike zove se horizontalna ravnina.

Obzor/horizont

Nedoglednica horizontalne ravnine zove se horizont h ili obzor.

Osnovica

Trag horizontalne ravnine je osnovica o.

Distancijske točke

Točke na horizontu h zovu se distancijske točke jer je

Pomoću parametra

mijenjamo

udaljenost od platna

132

Pravila perspektive

Pravilo 1

Perspektivna slika pravca je pravac.

Pravilo 2

Perspektivna slika vertikalnih pravaca jesu vertikalni pravci.

Pravilo 3

Perspektivna slika horizontalnoga pravca usporednog s osnovicom slike jest pravac usporedan s

osnovicom.

Pravilo 4

Sve dužine ravnine koja je usporedna s osnovicom slike, smanjuju se proporcionalno s udaljenošću

i ostaju međusobno u istom omjeru kao i originalne dužine.

Pravilo 5

Slike svih horizontala okomitih na ravninu slike sijeku se u glavnoj točki.

Pravilo 6

Slike svih horizontala koje s ravninom slike zatvaraju kut veličine , sijeku se u odgovarajućim

distancijskim točkama.

Pravila 1, 2

Vertikalne dužine

preslikavaju se u

vertikalne dužine

133

Pravilo 3

Perpektivna slika

horizontalne dužine

usporedne s osnovicom

je dužina usporedna s

osnovicom

134

Pravilo 4

Pravila 5, 6

Slike svih horizontala

okomitih na ravninu

slike sijeku se u

glavnoj točki.

Lik

perspektivna je

slika pravokutnika

Dužine ravnine koja je

usporedna s ravninom

slike, smanjuju se

proporcionalno s

udaljenošću i ostaju u

istom omjeru kao i

originalne dužine

135

Pravilo 6

Lik

perspektivna je

slika kvadrata

Osni presjek

optičkog/vizualnog

stošca je

jednakokračni

pravokutni trokut

Dijagonala

kvadrata ABCD

usporedna je s

dužinom

136

Zadatak 1. Nacrtajte perspektivnu sliku kvadrata duljine stranice a koji se nalazi u horizontalnoj

ravnini i razdijelite ga na manje kvadrate (primjerice, 3x3, 4x4, 5x5).

Skica kvadrata:

Odredimo proizvoljno

duljinu stranice kvadrata

i razdijelimo je na,

primjerice, 5 sukladnih

dužina.

Dijagonale kvadrata s

osnovicom zatvaraju

kut veličine 45°

137

Perspektivne slike svih

pravaca okomitih na

ravninu slike sijeku se u

istoj točki, OC (jer su

međusobno usporedni)

Točke presjeka

nasuprotni su vrhovi

manjih kvadrata.

Perspektivne slike

pravaca kojima

pripadaju dijagonale

svih manjih kvadrata,

s ravninom slike

zatvaraju kut veličine

45° pa se sijeku u

jednoj točki, D1 ili D2.

138

Točkama presjeka nacrtamo

pravce usporedne s

osnovicom o.

(perspektivne slike pravaca

usporednih s osnovicom

jesu usporedni pravci)

Točke presjeka su

vrhovi manjih

kvadrata kojima je

razdijeljen početni

kvadrat duljine

stranice a.

139

Perspektivna slika

kvadrata

podijeljenog na 25

manjih kvadrata

Spojimo dužinama

odgovarajuće točke

Kvadrat u

prevaljenoj/

pravoj veličini

140

Zadatak 2. Odredite pravu veličinu dužine u horizontalnoj ravnini čija je perspektivna slika:

a) dužina usporedna s osnovicom

RJEŠENJE_01

141

pravci i

Točke A i B presjek

su pravaca i

i osnovice o

Prava duljina

dužine

142

RJEŠENJE_02

Odaberemo

proizvoljnu točku

An na horizontu h

Pravci i

143

Točke A1 i B1 presjek

su polupravaca

i te

osnovice o

Uočimo da su

duljine dužina

jednake, tj.

144

Prikaz promatrane situacije na predlošku kocke (u prostoru):

Odabirom

proizvoljne točke An

na horizontu, duljina

dužine ,

odnosno se

ne mijenja

Prava (originalna)

duljina dužine

Vrijedi:

Perspektivna

slika dužine

paralelne s

osnovicom o

Perspektivne slike usporednih pravaca okomitih na

ravninu slike sijeku se u nedogledu, glavnoj točki

145

Zadatak 2. Odredite pravu veličinu dužine u horizontalnoj ravnini čija je perspektivna slika:

b) dužina čije su točke kolinearne s točkom .

Uočimo da su

točke

kolinearne jer je

dužina okomita

na ravninu slike

146

Rješenje ne ovisi o odabiru distancijske točke:

Pravci

i

Odaberemo jednu

distancijsku točku

Dužina

Točke E i F presjek

su pravaca i

i osnovice o

147

Odabirom

distancijske

točke duljina

dužine se ne

mijenja

148

Zadatak 3.

a) odredite pravu veličinu dužine koja je okomita na horizontalnu ravninu i zadana

perspektivnom slikom .

RJEŠENJE_01

točke E i F presjek su

pravcaca pravaca

i i osnovice o

Pravci i

149

Okomica na

osnovicu o u

točki A

Točka A je presjek

pravca i

osnovice o

150

RJEŠENJE_02

Proizvoljna točka

na horizontu

Točka B je presjek

pravca i

okomice iz m

Dužina

Pravci i

Točka je

presjek osnovice

o i pravca

151

Okomica

točkom A2 na

osnovicu o

Točka B2 je presjek pravca

i okomice iz A2 na osnovicu o

Dužina

Pomicanjem točke

po pravcu h

duljina dužine

se ne mijenja

152

Problem iz zadatka prikazan je na predlošku kocke (u prostoru):

Zadatak 3.

b) nacrtajte perspektivnu sliku dužine koja je od od osnovice o udaljena dvostruko više nego

dužina .

OC je okomita projekcija

točke O na ravninu slike

Duljina dužine smanjuje se

proporcionalno s udaljenošću

153

Pravac

Polovište

dužine

Presjek pravaca

Okomica točkom

FC na osnovicu o

154

Dužina

Presjek pravca

i okomice l

Perspektivne slike

polovišta dužina i

kolinearne su s točkom

155

Zadatak 4. Konstruirajte/nacrtajte okomice točkama i duljine a na horizontalnu ravninu.

Pravci

156

Točke presjeka

pravaca

i

osnovice o

Točkama

nacrtane

okomice e, f na

osnovicu

157

Pravci i

Na okomicama e i

g konstruiramo

točke udaljene za a

od točaka

158

Okomice na

osnovicu o

u točkama

i

Točke presjeka okomica i

te pravaca i

Okomice

duljine

u točkama

i

Sve dužine ravnine

koja je usporedna

s ravninom slike,

smanjuju se

proporcionalno s

udaljenošću i

ostaju međusobno

u istom omjeru

kao i originalne

dužine.

159

Zadatak 5. Nacrtajte perspektivnu sliku stuba prema sljedećim predlošcima:

a)

b)

a)

b)

Svi pravci okomiti na ravninu slike

međusobno su usporedni, tj. glavna točka

OC je nedogled tih pravaca.

Perspektivne slike

dužina usporednih s

osnovicom slike

također su usporedne

s osnovicom

Perspektivne

slike

vertikalnih

dužina ostaju

vertikalne

160

Zadatak 6: Nacrtaj perspektivnu sliku kružnice k (S, r) u horizontalnoj ravnini.

Kružnica k (S, r) u

prevaljenoj/pravoj

veličini

Tangencijalni

kvadrat ABCD

usporedan s

osnovicom

161

Pravci zatvaraju

s osnovicom o kut veličine

. Nedogledi tih

pravaca odgovarajuće su

distancijske točke i .

Pravci su okomiti

na osnovicu o. Perspektivne

slike tih pravca, pravci

i , sijeku se u OC jer je

glavna točka nedogled svih

pravaca okomitih na

osnovicu.

Kostruiramo

perspektivnu

sliku kvadrata

ABCD

Točke

jesu perspektivne

slike vrhova

kvadrata ABCD

162

Trapez

je perspektivna slika

kvadrata ABCD

Proizvoljna

točka T na

kružnici k.

163

Okomica m na

osnovicu točkom T

Paralela n s

dijagonalom

kvadrata točkom T

Točka TC presjek je dvaju

pravca točkom T

Nedogled okomice m

je glavna točka.

Nedogled

paralele n je

distancijska

točka D1

Nacrtamo/

konstruiramo

perspektivnu sliku

točke T pomoću

okomice na

osnovicu i paralele

s dijagonalom

kvadrata

164

odaberemo jednu

distancijsku točku

okomica na

osnovicu o

u točki A

Geometrijsko

mjesto točaka

(lokus) (T, Tc) je

perspektivna slika

(elipsa) kružnice k

165

F) Perspektiva s jednim nedogledom

Zadatak 1. Nacrtajte uporabom samo jednog nedogleda perspektivnu sliku kvadrata koji leži u

zadanoj horizontalnoj ravnini.

Otvorite datoteku kvadrat1.gsp.

Perspektivne

slike svih

pravaca

okomitih na

ravninu slike

sijeku se u

istoj točki,

nedogledu

OC

Perspektivne slike

svih pravaca koji s

ravninom slike

zatvaraju veličinu

kuta 45°, sijeku se u

distancijskoj točki D

Točke presjeka

perspektivnih slika

pravaca okomitih

na ravninu i

pravaca koji s

ravninom slike

zatvaraju veličinu

kuta 45°, vrhovi su

perspektivne slike

kvadrata

166

Zadatak 2. Nacrtajte uporabom samo jednog nedogleda perspektivnu sliku kvadrata koji leži u

horizontalnoj ravnini u proizvoljnom položaju.

Otvorite datoteku kvadarat2.gsp

Crtamo točke

presjeka okomica

iz vrha kvadrata i

osnovice o

Perspektivne

slike svih

pravaca

okomitih na

ravninu slike

međusobno

su usporedni

i sijeku se u

glavnoj točki

OC

Vrhom kvadrata

crtamo pravac koji

s ravninom slike

zatvara kut od 45°

Svim horizontalama

koje s ravninom

slike zatvaraju kut

od 45° nedogled su

distancijske točke

D1 i D2

Na isti se

način

nacrtaju

perspektivne

slike ostalih

vrhova

kvadrata

167

Zadatak 3. Nacrtajte uporabom samo jednog nedogleda perspektivnu sliku kružnice koja leži u

horizontalnoj ravnini

Otvorite datoteku kruznica.gsp.

Na kružnici k, nacrtamo proizvoljnu točku T

Označite točku T i točku TC te u izborniku Konstrukcije odaberemo naredbu Lokus.

Nacrtamo

perspektivnu

sliku točke T,

točku Tc,

slično kao i u

prethodnim

zadatcima

168

Zadatak 4. Nacrtajte perspektivnu sliku četverokuta koji leži u horizontalnoj ravnini.

Otvorite datoteku četverokut.gsp

Zadatak 5. U horizontalnoj ravnini nacrtajte/ konstruirajte geometrijskom liku po izboru,

perspektivnu sliku.

Nacrtajmo

perspektivn

u sliku

točke G,

točku GC

Nacrtajmo

perspektivne slike i

ostalih vrhova

Pomiči vrhove četverokuta, mijenja distancu

d i položaj očišta.

169

Zadatak 6.

a) Konstruirajte projekciju C CM N dužine MN koja je okomita na zadanu horizontalnu

ravninu pri čemu je zadana točka N svojom projekcijom NC dužina MN .

b) Nacrtajte perspektivnu sliku kvadrata koji leži u ravnini paralelnoj s ravninom slike ako mu

je dužina MN jedna stranica te NC projekcija točke N.

Otvorite datoteku kvadrat-frontalno.gsp

Točkom NC crtamo

okomicu m na osnovicu

o. Polupravac c cO N i

osnovica sijeku se u

točki 0N

Točkom N0 crtamo

okomicu na osnovicu i

prenesi dužinu MN .

Odredili smo točku M0.

Dužina 0 0M N je prava

duljina stranice

kvadrata.

MC je presjek okomice m

točkom Nc i polupravac

c 0O M

Stranica kvadrata KN i ML

horizontalne su i paralelne s

ravninom slike pa se projiciraju

paralelno s osnovnim tragom

170

Na isti način crtamo/

konstruiramo perspektivne slike

ostalih vrhova

Važno svojstvo:

Geometrijski lik koji je usporedan s ravninom slike, projicira se u njemu sličan geometrijski

lik. Slika geometrijskog lika bit će uvećana ili umanjena u odnosu na original, ovisno o tome

gdje se lik nalazi u odnosu na ravninu slike (ispred ili iza). Za lik koji je usporedan s

ravninom slike, kažemo da je postavljen frontalno u odnosu na ravninu slike.

171

Zadatak 7. Nacrtajte perspektivnu sliku kocke kojoj jedna pobočka ABCD leži u zadanoj

horizontalnoj ravnini ako je dužina c cA B projekcija jednog brida te pobočke.

Otvorite datoteku kocka-frontalno.gsp

Prava duljina stranice

kocke 0 0A B

Kao u zadatku 1.

nacrtajte

perspektivnu sliku

pobočke ABCD.

Mjerimo

visinu

kocke kao

u zadatku

6.

Perspektivnu sliku Fc točke F

možemo nacrtati koristeći se

saznanjem da je projekcija ove

pobočke kvadrat

172

Zadatak 8. Konstruirajte projekciju pravilne šesterostrane piramide zadane duljine visine v ako

njena osnovka leži u horizontalnoj ravnini.

Otvorite datoteku piramida.gsp.

Nacrtajmo

perspektivnu

sliku Ac vrha

A.

Na isti način

nacrtamo

perspektivne slike i

ostalih vrhova

šesterokuta

Odredi

projekciju

vrha piramide

Nacrtajmo

bočne bridove

piramide

173

Zadatak 9. Konstruirajte frontalnu perspektivu objekta danog ortogonalnim projekcijama.

Otvorite predložak objekt.gsp.

Objekt je postavljen tako da mu je barem jedna pobočka

paralelna s ravninom slike, glava zraka z1 ne siječe tlocrt

objekta pa se dobiva dojam pogleda na objekt sa strane

x

Prisjetimo se:

Svi bridovi okomiti na ravninu slike imaju

nedogled u točki Oc , a oni paralelni s

horizontalnom ravninom i ravninom slike

projiciraju se paralelno s osnovnim tragom

o.

Točke Ac i Bc određene su kao druga

probodišta zraka projiciranja položenih

točkama A i B.

174

Pravci c cA D i

c cB D

projiciraju se paralelno s

osnovnim tragom o , pravac

c cD C okomit je na ravninu slike

i ima nedogled u točki Oc.

Na vertikalnom pravcu

točkom Ec mjerena je duljina

visina te točke

175

Zadatak 10. Konstruirajte perspektivnu sliku s pogledom sprijeda složenog tijela zadana

projekcijama.

Otvorite predložak složeno tijelo.gsp

S˝

S`

Odredite perspektivnu sliku osnove ( kao u prethodnu zadatku )

Odredite visine i središta polukružnica.

x

176

Konstruirajmo tangentu iz točke OC na

polukružnicu:

Spojite dirne točke tangente i

polukružnica

177

Zadatak 11. Konstruirajte frontalnu perspektivu sobe prikazane u predlošku soba.gsp.

178

Zadatci za vježbu:

1. Konstruirajte perspektivnu sliku pravilnog peterokuta koji leži u horizontalnoj ravnini.

2. Konstruirajte perspektivnu sliku pravilne:

a) trostrane

b) četverostrane prizme zadane visine ako je zadana projekcija C CA B jednog brida

njene osnovice.

3. Konstruirajte perspektivnu sliku valjka ako njegova baza leži u horizontalnoj ravnini.

4. Konstruirajte perspektivnu sliku stošca zadane visine ako njegova baza leži u horizontalnoj

ravnini.

5. Konstruirajte perspektivnu sliku pravilne četverostrane piramide zadane visine ako je zadana

projekcija dijagonale AC njene osnovice ABCD koja leži u zadanoj horizontalnoj ravnini.

6. Konstruirajte pravilnu šesterostranu prizmu zadane visine ako njena osnovica leži u

horizontalnoj ravnini.

7. Konstruirajte perspektivnu sliku aleje.

8. Nacrtajte perspektivnu sliku unutrašnjosti sobe ako je stražnji zid prislonjen uz ravninu

slike. (Obavezno nacrtaj jedna vrata i jedan prozor sobe.)

179

G) Perspektiva s dva nedogleda

Perspektiva objekta u frontalnom položaju, osobito kad pokazujemo njegovu vanjštinu, djeluje

monumentalno ali pomalo kruto. Potpuniji i ljepši dojam o izgledu objekta postić ćemo ako os

pogleda nije okomita na koju bitnu pobočku objekta. Objekt promatramo u zakrenutu položaju s

obzirom na ravninu slike. Svi paralelni pravci imaju zajednički nedogled. Vertikalni pravci koji su

paralelni, ostaju u vidnom polju i uvijek ih vidimo međusobno vertikalne, a ostaju paralelni i u

perspektivi. U ovom slučaju govorimo o perspektivi s dva nedogleda.

Zadatak 1. Na crtežu Branke Kaminski prikazana je Nacionalna i sveučilišna knjižnica u

Zagrebu, djelo arhitekata Velimira Neidhardta, Davora Mancea, Zvonimira Krznarića i

Marijana Hržića. Nacrtajte nedoglede perspektivno paralelnih pravaca.

180

Zadatak 2. Konstruirajte perspektivnu sliku kocke zadane tlocrtom.

Kocka je zadana svojim tlocrtom i s osnovicom zatvara proizvoljan kut.

Odaberite očište O, mjesto odakle gledamo na objekt u prostoru.

Očištem O položimo paralele sa stranicama tlocrta zadane kocke. Njihovi presjeci s osnovicom su nedogledi

N1 i N2 u tlocrtu.

Horizont h je pravac u visini našeg oka. Na istu prenesimo točke N1 i N2.

Točka A pripada osnovici te je cA A . Odredimo perspektivne slike ostalih vrhova osnovke.

181

Mjerimo visinu kocke u Ac.

Crtamo perspektivne slike ostalih vrhova kocke. Perspektivno usporedni pravci na objektu sijeku se

u istom nedogledu.

182

Zadatak 3. Konstruirajte perspektivnu sliku objekta oblika prizme koji je u kosom položaju u

odnosu na ravninu slike.

Rješenje: Objekt je zadan svojim tlocrtom i s osnovicom zatvara kut α.

Odaberite očište O, mjesto odakle gledamo na objekt u prostoru.

Očištem O položimo paralele sa stranicama tlocrta zadanog objekta. Njihovi presjeci s osnovicom su

nedogledi N1 i N2 u tlocrtu.

Horizont h je pravac u visini našeg oka. Na istu prenesimo točke N1 i N2.

Veličina kuta

promjenjiva

183

Crtamo perspektivne slike ostalih vrhova tlocrta.

Na isti način crtamo perspektivne slike ostalih vrhova objekta. Perspektivno usporedni pravci na

objektu sijeku se u istom nedogledu.

Crtamo perspektivnu

sliku točke E

Prema mjerilu predmeta

odredimo njegovu visinu

E1c. Crtamo iz točaka Ec i

E1c u nedoglede N1 i N2

polupravce 1 cN E i

2 cN E ,

odnosno 1 1cN E i

2 1cN E

Na slici je prikazan postupak crtanja

perspektivne slike točke 1.

184

Mijenjajte kut koji objekt zatvara s ravninom osnovice.

Zadatak 4. Konstruirajte perspektivnu sliku objekta oblika kvadra koji je udaljen od ravnine slike

te zadan svojim tlocrtom i visinom.

Rješenje:

Promjenjiv kut

185

Na horizontu h, kao u zadatku 3. nacrtamo nedoglede.

Konstruirajmo perspektivnu sliku Pc točke P u kojoj produžetak stranice probada ravninu

slike te nanesemo visinu objekta. Točku Pc i krajnju točku visine spojimo s nedogledom N2 ( N1 ).

Nacrtajmo perspektivnu sliku točke A, točku Ac te mjerimo duljinu visinu objekta u

perspektivi.

P

P

Pc

Crtamo perspektivnu sliku

točaka 1 i 2.

186

Paralelni pravci imaju nedogled u istim točkama te lako dobijemo perspektivne slike ostalih točaka.

Mjerimo visinu

187

Dijeljenje površine pomoću dijagonala

Iz nekog razloga površinu A danoga objekta treba podijeliti na dva jednaka dijela, a površinu B na

četiri jednaka dijela. Onda ćemo to tlocrtno lako uraditi pomoću dijagonala, vidi sliku.

A

B

Zadatak 5. Dana je perspektivna slika objekta. Površinu A podijelite na dva jednaka dijela,

površinu B na četiri jednaka dijela, a površinu C na osam jednakih dijelova.

Otvorite datoteku dijeljenje 1.gsp

Površinu A pomoću dijagonala podijelimo na dva jednaka dijela.

Površinu B podijelimo na dva jednaka dijela te ponovimo dijeljenje na svakom od dobivenih

dijelova.

188

Površinu C podijelimo na četiri jednaka dijela, te ponovljenim postupkom svaki od dobivenih

dijelova podijelimo na dva dijela.

Zadatak 6. Opeke poredane u deset redova i poslagane jedna na drugu određuju zid. Nacrtajte

njegovu perspektivnu sliku.

Naravno, ova je metoda dobra ako je broj dijelova 2, 4, 8, 16, 32, …

Pretpostavimo da površinu želimo podijeliti na sedam jednakih dijelova. To ne možemo uraditi

metodom dijeljenja pomoću dijagonala.

189

Dijeljenje dužine na jednake dijelove metodom pomoćnog

nedogleda

Zadatak 7. Površinu A zadanog objekta podijelite na sedam jednakih dijelova. Površinu B na tri

jednaka dijela.

Otvorite datoteku dijeljenje2.gsp

U najnižoj točki objekta (točka T) nacrtamo pravac t paralelan s osnovicom/horizontom. Od točke T

na pravac t nanesimo sedam dužina jednakih duljina.

Nacrtajte pravac određen

točkama

h

h

t

190

Preostalim točkama pravca t i nedogledom Np nacrtamo pravce. Ovi pravci sijeku stranicu površine

A u točkama koje u perspektivi površinu A dijele na sedam jednakih dijelova.

Točka Np , presjek je ovog

pravca i horizontale. Ona je

nedogled svih pravaca

paralelna s njim.

h

t

h

h

191

Na isti način površinu B možemo podijeliti na tri jednaka dijela.

Zadatak 8. Konstruirajte primjenom perspektive s dva nedogleda perspektivnu sliku objekta

pravokutnog tlocrta i zadanog nacrta.

21 3

Zadatak 9. Konstruirajte primjenom perspektive s dva nedogleda perspektivnu sliku kućice.

ŠETNJA

192

Zadatak 10: Perspektivna slika stuba konstruirana je pomoću:

N1N2

a) jednog nedogleda,

b) dva nedogleda,

c) tri nedogleda?

193

H) Sjene tijela

Izvor svjetla u beskonačnosti:

Primjer 1. Sjena vertikalne dužine na horizontalnu ravninu.

Primjer 2. Sjena vertikalne dužine na horizontalnu i vertikalnu ravninu.

194

Izvor svjetla u konačnosti:

Primjer 3. Sjena vertikalne dužine na horizontalnu ravninu.

Primjer 4. Sjena vertikalne dužine na vertikalnu ravninu.

Zadatak 1. Konstruirajte sjenu pravokutnika ABCD u vertikalnoj ravnini ako je izvor svjetla S u

beskonačnosti.

195

Zadatak 2. Konstruirajte sjenu pravokutnika ABCD u vertikalnoj ravnini ako je izvor svjetla S u

konačnosti.

Zadatak 3. Konstruirajte sjenu trokuta ABC u vertikalnoj ravnini ako je izvor svjetla S u konačnosti.

Zadatak 4. Konstruirajte sjenu lika u vertikalnoj ravnini ako je izvor svjetla S u konačnosti.

196

Zadatak 5. Konstruirajte sjenu pravokutnika ABCD u vertikalnoj ravnini na ravninu π ako je izvor

svjetla S u beskonačnosti.

Zadatak 6. Konstruirajte sjenu pravokutnika ABCD u vertikalnoj ravnini na ravninu π ako je izvor

svjetla S u konačnosti.

Zadatak 7. Konstruirajte sjenu kocke na ravninu π ako je izvor svjetla S u beskonačnosti.

197

Zadatak 8. Konstruirajte sjenu kocke na ravninu π ako je izvor svjetla S u konačnosti.

Zadatak 9. Konstruirajte sjenu ljestvi na ravninu π ako je izvor svjetla S u beskonačnosti.

198

Zadatak 10. Konstruirajte sjenu ljestvi na ravninu π ako je izvor svjetla S u konačnosti.

Zadatak 11. Konstruirajte sjenu uspravnog valjka na ravninu osnovke ako je izvor svjetla u

beskonačnosti.

Zadatak 12. Konstruirajte sjenu uspravnog valjka na ravninu osnovke ako je izvor svjetla u

konačnosti.

Zadatak 13. Konstruirajte sjenu uspravnog valjka na vertikalnu ravninu ako je izvor svjetla u

beskonačnosti.

Zadatak 14. Konstruirajte sjenu uspravnog valjka na vertikalnu ravninu ako je izvor svjetla u

konačnosti.

199

I) Računalna 3D grafika iz računalne perspektive

Predrag Brođanac, V. gimnazija, Zagreb

Prikaz slike na zaslonu monitora često uzimamo zdravo za gotovo. Ne razmišljamo o načinu kako se

primjerice trodimenzionalni objekti prikazuju na zaslonu monitora? Kako se dobije

trodimenzionalnost u računalnim igrama?

U ne tako dalekim vremenima za prikaz grafike na računalu koristila se pravokutna projekcija. Nije

postojala trodimenzionalnost, likovi su prikazivani plošno. Primjer takve računalne grafike susrećemo

primjerice u igrici Super Mario.

Slika 1. Pravokutna projekcija – Super Mario

U međuvremenu je računalna grafika napredovala pa tako u suvremenijim računalnim igrama

susrećemo perspektivnu projekciju. Primjer igre u kojoj susrećemo perspektivnu projekciju jest

Quake 4.

Slika 2. Perspektivna projekcija – Quake 4

Općenito se postavlja pitanje kako dobiti trodimenzionalnost na zaslonu monitora? Kako

trodimenzionalne objekte iz prostora prikazati na zaslonu dvodimenzionalnog ekrana?

200

Na dani problem možemo gledati na sljedeći način: na vertikalni stalak postavimo primjerice

trodimenzionalnu rešetku kocke. Ispred kocke na nekoj udaljenosti postavimo staklo, a mi stanemo na

nekoj udaljenosti ispred stakla tako da se staklo nalazi između nas i kocke. Na staklu pisaljkom

zabilježimo mjesta na kojima vidimo vrhove trodimenzionalne rešetke kocke te dobivene točke

spojimo linijama koje odgovaraju bridovima rešetke kocke. Grafički bismo to mogli prikazati

sljedećom slikom:

Pozicija točaka na staklu ovisit će o nizu parametara:

Udaljenost gledatelja od stakla

Udaljenost slike od stakla

Pozicija (horizontalna/vertikalna) gledatelja s obzirom na sliku

…

Staklo će u računalu zamijeniti zaslon monitora.

Promotrimo nešto pojednostavljenu situaciju. Neka imamo zamišljeni trodimenzionalni koordinatni

sustav u kojem se nalazi staklo (zaslon), točka P(xp, yp, zp) koja se nalazi iza zaslona, a mi kao

promatrači koji gledamo prema monitoru i točki P, promatramo iz točke O(xo, yo, zo). Zanima nas koje

će koordinate (S(xs, ys)) na ekranu imati točka P iz perspektive nas kao promatrača.

201

Iz navedene skice lako uočavamo da je:

Odnosno:

Iz navedene relacije slijedi:

i

Nakon ovih uvodnih razmatranja imamo sve spremno za ilustraciju projekcije u konkretnom

programskom jeziku. Ilustraciju ćemo provoditi u programskom jeziku Python.

Za početak ćemo implementirati funkciju koja će koordinate točke iz trodimenzionalnog koordinatnog

sustava pretvarati u pripadne koordinate u dvije dimenzije (točke ekrana). Neka su dani sljedeći

parametri:

xp, yp, zp – koordinate točke u trodimenzionalnom koordinatnom sustavu

xo, yo, zo – koordinate točke iz koje gledamo

S – širina ekrana u pikselima

V – visina ekrana u pikselima

Funkcija će vraćati koordinate pripadne točke ekrana:

def iz3Du2D(xp, yp, zp, xo, yo, zo, S, V):

P(xp, y

p, z

p)

O(xo, y

o, z

o)

Q(xo, y

o, z

p)

S(xs, y

s) T(x

o, y

o)

202

xs = S / 2 + (zo * (xp - xo) / (zo + zp) + xo)

ys = V / 2 - (zo * (yp - yo) / (zo + zp) + yo)

return xs, ys

Pretpostavimo da imamo „platno za crtanje“ te naredbe Pythona koje nam omogućavaju crtanje

osnovnih geometrijskih oblika na tom platnu:

create_line(x1, y1, x2, y2 [, parametri]) – crta dužinu s krajevima u točkama (x1, y1) i (x2,

y2).

create_oval(x1, y1, x2, y2 [,parametri]) – crta elipsu koja je upisana u pravokutnik čiji je

gornji lijevi vrh u točki s koordinatama (x1, y1), a donji desni u točki s koordinatama (x2, y2)

Na točku možemo gledati kao na elisu čija su velika i mala poluos jednake te neka je polumjer

pripadne kružnice 2 piskela. Napišimo funkciju koja će zadanu točku P (xp, yp, zp) crtati na ekranu

dimenzija S x V ako točku promatramo iz koordinate O (xo, yo, zo):

def crtajTocku(xp, yp, zp, xo, yo, zo, S, V):

xs, ys = iz3Du2D(xp, yp, zp, xo, yo, zo, S, V)

PLATNO.create_oval(xs - 2, ys - 2, xs + 2, ys + 2, , fill = 'red')

return

Nadalje napišimo funkciju koja će crtati dužinu AB, pri čemu je A(xa, ya, za) i B(xb, yb, zb):

def linija(xa, ya, za, xb, yb, zb, xo, yo, zo, S, V):

crtajTocku(xa, ya, za, xo, yo, zo, S, V )

crtajTocku(xb, yb, zb, xo, yo, zo, S, V )

x1, y1 = iz3Du2D(xa, ya, za, xo, yo, zo, S, V)

x2, y2 = iz3Du2D(xb, yb, zb, xo, yo, zo, S, V)

PLATNO.create_line(x1, y1, x2, y2)

return

Sada imamo sve spremno za crtanje kocke koja se nalazi u prvom kvadrantu trodimenzionalnog

sustava a čija je duljina stranice a:

def kocka(a, xo, yo, zo, S, V):

linija(0, 0, 0, a, 0, 0, xo, yo, zo, S, V)

linija(0, 0, 0, 0, 0, a, xo, yo, zo, S, V)

linija(0, 0, 0, 0, a, 0, xo, yo, zo, S, V)

linija(a, a, 0, 0, a, 0, xo, yo, zo, S, V)

linija(a, a, 0, a, 0, 0, xo, yo, zo, S, V)

linija(a, a, 0, a, a, a, xo, yo, zo, S, V)

linija(a, 0, a, a, 0, 0, xo, yo, zo, S, V)

linija(a, 0, a, a, a, a, xo, yo, zo, S, V)

linija(a, 0, a, 0, 0, a, xo, yo, zo, S, V)

linija(0, a, a, 0, a, 0, xo, yo, zo, S, V)

linija(0, a, a, 0, 0, a, xo, yo, zo, S, V)

linija(0, a, a, a, a, a, xo, yo, zo, S, V)

return

Uz parametre:

koordinate promatrača: O(200, 150, 200)

dimenzije platna: 800 x 600

203

dobit ćemo sljedeću sliku:

Sličnu implementaciju mogli bismo napraviti i u drugim programskim jezicima, princip će biti skoro

ekvivalentan, tj. uz neke razlike u naredbama programskog jezika.

Gornja razmatranja dala su nam kratak uvid u načine kako trodimenzionalne objekte projicirati na

zaslon monitora. Ovo je abeceda svih programa koji unutar svog rada imaju trodimenzionalni prikaz.

Trodimenzionalnost se dobiva generiranjem niza jednostavnih trodimenzionalnih objekata (najčešće

trokuta). Kreiranje takvih složenih trodimenzionalnih objekata sastavljenih od trokuta s pripadnim

bojama, njihovo kretanje, sjene i sl. nazivamo renderiranjem. Renderiranja kompleksnih

trodimenzionalnih objekata u pozadini kriju znatan broj matematičkih operacija što zahtijeva veliku

snagu centralnog procesora. Upravo se iz tih razloga u današnja računala ugrađuju grafičke kartice s

vlastitim vrlo snažnim, matematičkim procesorima i radnim memorijama te se na taj način rasterećuje

centralni procesor i centralna memorija, a renderiranja kompleksnih objekata znatno su brža i teku

glatko.

204

205

J) Vizualna inteligencija

Mihael Kozina, V. gimnazija, Zagreb

Vid je proces stvaralačkog rekonstruiranja trodimenzionalne (3D) strukture i svojstava vanjskog

svijeta, što se temelji na tumačenju osjetnih podataka sadržanih u dvodimenzionalnoj (2D) slici

vizualnog prizora na mrežnici (Judaš i Kostović, 1997). Vizualni sustav ne stvara točnu presliku

vanjskog svijeta. Čini znatno više. Iz malih, iskrivljenih, dvodimenzionalnih, naopačke okrenutih

retinalnih slika, koje se projiciraju na vizualne receptore smještene na stražnjoj strani naših očiju,

vizualni sutav stvara točnu, detaljnu trodimenzionalnu percepciju. Ona je u nekim vidovima čak i bolja

od vanjske realnosti iz koje je nastala (Pinel, 2001). Odnos između onoga što vidimo fenomenološki i

onoga što vidimo racionalno, jest kao odnos između ikone i određena softvera na računalu.

Kako bismo stvorili sliku, potrebno je prisustvo svjetlosti. Svjetlost uđe u zjenicu i fokusira se pomoću

rožnice i leće na mrežnicu koja je smještena u stražnjem dijelu oka. Zjenica je okružena šarenicom,

koja se može širiti i skupljati, čineći tako zjenicu većom ili manjom, ovisno o količni svjetla koja

dolazi do oka.

Prirodno je pretpostaviti da oko radi poput kamere, ali to bi bila loša metafora zbog nekoliko razloga.

Prvo, nikada nemamo statičnu sliku na mrežnici jer se oči stalno pokreću. Drugo, čak kada bi mrežnica

poslala sliku u mozak, trebali bismo imati neku osobu u mozgu koja će gledati tu sliku. Tako možemo

ići do beskonačnosti ne objašnjavajući baš ništa.

Suočeni smo s problemom koji vizualni mozak mora riješiti – kako upotrijebiti šifrirane poruke koje

pristižu iz očiju da bismo objasnili svijet oko nas i da bismo donijeli odluku o njemu. Mozak se s

navedenim nosi na vrlo inteligentan način.

U mrežnici se nalazi 125 milijuna fotoreceptora koji su podraženi svjetlom koje dolazi do njih, i

počinju stvarati sitne električne potencijale. Ti signali prolaze sinapsama kroz mrežu stanica u

mrežnici, naposljetku aktivirajući ganglijske stanice mrežnice čiji se aksoni skupljaju u snop,

stvarajući vizualni živac. Ti aksoni ulaze u mozak gdje svoje akcijske potencijale prenose u različita

vizualna područja mozga.

Puno se zna o ranom stadiju obrade vizualnog signala. Najbrojniji fotoreceptori, štapići, tisuću su puta

osjetljiviji od čunjića druge vrste fotoreceptora. Grubo govoreći, po noći vidimo svojim štapićima, a

po danu čunjićima. Postoje tri vrste čunjića, osjetljivih na različite valne duljine svjetla.

Prejednostavno bi bilo reći da su čunjići jedini odgovorni za to da vidimo boje, ali jesu ključni za to.

Kada smo previše izloženi nekoj boji, pigment u čunjićima, koji reagiraju na tu boju, prilagod se i

daje manji doprinos ukupnoj percepciji boje.

Vizualna se kora sastoji od velikog broja područja, od kojih su neka zadužena za oblik, neka za boju,

neka za kretanje, neka za udaljenost. Stanice u moždanoj kori raspoređene su u stupiće. Važan je

pojam povezan sa stanicama koje reagiraju na vizualni podražaj, receptivno polje – dio mrežnice na

kojem će stanice reagirati na određenu sliku. U V1 polju, prvom stadiju obrade vizualnih informacija u

kori mozga, linije i kutevi u određenoj orijentaciji najbolje aktiviraju neurone koji se tamo nalaze.

Važno je otkriće da su neuroni unutar istog stupića u moždanoj kori aktivirani linijama i kutevima iste

orijentacije, dok su susjedni stupići najaktivniji kod linija i kuteva malo drukčije orijentacije. Taj se

obrazac pruža kroz cijelo V1 polje. To znači da neuroni imaju unutarnju organizaciju za tumačenje

svijeta, ali je ta organizacija podložna promjeni. Iskustvo može promijeniti do kojeg će stupnja

pojedina stanica biti aktivirana podražajima iz lijevog i desnog oka. Kao i svi osjetni sustavi, tako i

vizualna kora ima svojstvo plastičnosti.

Vizualni živac svakog oka projicira se u mozak. Vlakna živca jedne i druge strane susreću se u

optičkoj hijazmi, pola ih križa stranu, a pola ih ostaje na istoj strani. Snopovi vlakana iza hijazme čine

vizualni trakt, koji sadrži vlakna iz oba oka, te se projiciraju u vizualnu moždanu koru, prethodno se

206

prekapčajući u lateralnom koljenastom tijelu. Upravo se tu stvaraju unutarnji prikazi vizualnog svijeta.

Na način sličan onome kod osjeta dodira, lijeva strana vizualnog polja projicira se u desnu moždanu

polutku, i obratno. Budući da vizualni dijelovi mozga (a to su polje V1, V2 itd.) primaju informacije

od oba oka, reagirat će kada se slika pojavi na bilo kojem oku. To se zove binokularnost. Danas

smatramo da mreža u jednom vizualnom području ima mnogo sličnosti s mrežom u drugom, ali bi

mogle postojati malene razlike, koje odražavaju različite načine na koje svaki dio vizualnog mozga

tumači različite odlike vizualnog svijeta. Sve navedno omogućava nam da svijet percipiramo u tri

dimenzije.

Prvi je korak u svjesnom zapažanju oblika razlikovanje lika i pozadine. Naš vizualni sustav tijekom

svjesnog opažanja djeluje tako da od svih mogućih figura, prvo i najlakše uočava onu najjednostavniju

i najpostojaniju. Važnu ulogu pri svjesnom opažanju imaju i više spoznajne funkcije, naša prethodna

iskustva, iščekivanja i usmjerenost pozornosti.

Početkom 20. stoljeća skupina psihologa koji su pripadali geštalt školi psihologije, otkrili su da postoje

neke zakonitosti u strukturiranju ili organiziranju podražaja u razumljive cjeline. Gestalt je njemačka

riječ koja označava lik ili formu. Prije svega, tri osnivača Geštalt psihologije: Max Wertheimer, Kurt

Kofka i Wolfgang Kohler, bili su zainteresirani za percepciju. Kasnije se njihov interes proširio i

uključivao učenje, rješavanje problema i spoznaju. Prema geštaltistima, naše percepcije svakodnevnog

svijeta aktivno su organizirane u koherentne cjeline. Postoje principi koji to objašnjavaju:

Princip sličnosti - jednaki ili slični elementi čine grupe ili cjeline. Istovrsni se elementi

grupiraju u perceptivne jedinice.

Princip blizine - elementi koji su blizu jedan drugome imaju tendenciju da se grupiraju.

Princip zatvorenosti ili dobre forme- zatvorenost je tendencija da se zatvore ili nadopune

dijelovi konfiguracije koji nedostaju da bi percepcija bila cjelovita. Slika koja nam to

omogućuje ima dobru formu.

Iz svega su toga geštalt psiholozi pokazali da su perceptivna iskustva dinamična a ne statična,

organizirana a ne kaotična i predvidiva a ne neočekivana.Prema geštalt psiholozima naša tendencija da

organiziramo percepcije dovodi do perceptivne i psihološke okoline koja je često različita od fizičke,

što pak dovodi do iluzija ili varki osjetila. Prema tome kad reagiramo na okolinu, mi nužno ne

reagiramo na fizikalnu stvarnost, možda prije reagiramo na različitu fizikalnu stvarnost.

Mi se jako dobro snalazimo u trodimenzionalnom svijetu iako slika koja se projicira na našu mrežnicu

pri gledanju nije trodimenzionalna, već dvodimenzionalna. U stvaranju trodimezionalne slike svijeta

pomaže nam više znakova. Neki znakovi uključuju oba oka pa se nazivaju binokularnim, a neke je

moguće uočiti samo jednim okom i nazivaju se monokularnim. Različita slika na mrežnici lijevog i

desnog oka daje nam osjećaj prostornosti i predstavlja najvažniji binokularni znak dubine. Drugi je

binokularni znak dubine konvergencija očnih jabučica. Što nam je neki objekt bliže, to će se naše očne

jabučice više pomaknuti prema unutra što nam daje određenu informaciju o udaljenosti objekta.

Monokularni su znakovi dubine: veličina retinalne slike (što je predmet manji, to je retinalna slika

manja), jasnoća percepcije (zračna perspektiva), linearna perspektiva i prekrivanje.

Slika 1.

David D. Hoffman u svojoj knjizi (Visual Intelligence, 2000) pozabavio se načinom na koji ljudi

konstruiraju trodimentionalnu sliku svijeta iako je slika na mrežnici dvodimenzionalna. Hoffman

207

navodi kako temeljni problem percepcije dubine leži u činjenici da je slika na mrežnici

dvodimenzionalna te stoga ima bezbroj tumačenja u tri dimenzije.

Mi stvaramo dubinu prema određenim pravilima. Pravila nam nalažu da vidimo Neckerovu kocku u

3D, a druge slične figure puno teže možemo zamisliti u 3D (slika 1.). Pravila određuju koju ćemo 3D

figuru konstruirati od svih mogućih figura koje postoje. Nitko nas ne uči navedena pravila. Ona su

determinirana genima. Kako bi se razvila, potrebno nam je iskustvo. Mi nismo ni svjesni pravila

prema kojima konstruiramo 3D svijet. Znastavnici su uložili mnogo truda kako bi razotkrili neka od

pravila. Mi imamo ograničen kapacitet pamćenja i ne možemo zapamtiti bezbrojene slike na koje

nailazimo promatrajući svijet. Stoga je vjerojatnije da se u podlozi naših perceptivnih sposobnosti

nalazi konačan skup pravila koji nam osiguravaju beskonačan perceptivni kapacitet. Pravila nam

omogućavaju da razumijemo/percipiramo slike koje nikada prije nismo vidjeli. Ova pravila čine naš

vid inteligentnim.

Temeljno pravilo kaže kako stvaramo samo one „vizualne svijetove” za koje slika ostaje stabilna bez

obzira na položaj iz kojeg promatramo objekt.

Hoffman navodi još i druga pravila koja nam omogućavaju trodimenzionalnu percepciju svijeta:

1. Uvijek se ravna linija na slici tumači kao ravna linija u 3D.

2. Ako se vrhovi linija na slici sijeku, sijeku se i u 3D prostoru.

3. Uvijek se paralelne pravce na slici tumači kao paralelne u 3D prostoru.

4. Uvijek se bliske elemente na slici tumači kao bliske i u 3D.

5. Uvijek se glatku krivulju na slici tumači kao glatku krivulju u 3D.

6. Gdje je moguće, uvijek se krivulju na slici tumači kao obod promatrane plohe u 3D.

7. Gdje je moguće, uvijek se T-spoj na slici tumači kao točku gdje puni obod prikriva sam sebe.

Slika 2. Slika 3. Picasso: „Posvećenje proljeća“

Siluete možemo doživjeti kao trodimenzionalne, iako nemaju teksturu, sjene i boju (slika 3.).

Fizičar Jan Koenderink (1984., prema Hoffmanu, 2000.) ponudio je objašnjenje kako možemo

konstruirati zakrivljene oblike kada vidimo silute kao što su prikazane na Picassovoj slici, ako

zamislimo da smo muha na površini čaše. Iz navedene perspektive postoje dva glavna smjera kretanja

i njima korespondirajuće zakrivljenosti.

Na primjeru čaše posve je jasno da su glavni smjerovi okomiti jedan na drugi. Ono što nije jasno, ali je

u svakom slučaju točno da su glavni smjerovi okomiti jedan na drugi u svakoj točki neke glatke

površine koliko god je površina komplicirana (Euler, 1707-1783, prema Hoffmanu, 2000.). S druge

strane, površine i nisu toliko komplicirane. Javljaju se samo u tri osnovna oblika: konveksnom,

konkavnom i sedlastom (slika 4.).

208

Slika 4.

Iako umjetnici i drugi mogu negirati sedlasto zakrivljenje, naša vizualna inteligencija to ne čini. Kada

vidimo siluetu, npr. koju je Picasso nacrtao, stvaramo oblike pomoću konveksnih i sedlastih oblika.

8. Uvijek se svaku konveksnu točku na granici tumači kao konveksnu točku na obodu.

9. Uvijek se svaku konkavnu točku na granici tumači kao sedlastu točku na obodu.

10. Uvijek se površine/plohe u 3D konstruiraju tako da budu što glatkije.

Navedena nam pravila ukratko objašnjavaju kako vidimo trodimenzionalne oblike u

dvodimenzionalnim crtežima. Tek su nedavno ta pravila otkrivena, ali mi ih koristimo vrlo vješto još

od rođenja kako bismo konstruirali razne zakrivljene oblike oko nas. Potrebno je mnogo sposobnosti

(inteligencije) kako bi se navedena pravila uskladila i omogućila nam da vidimo/konstruiramo svijet

koji nas okružuje.

Literatura:

1. Hoffman, D. D. (2000): Visual Intelligence, W. W. Norton & Company, NY - London

2. Judaš, M.; Kostović, I. (1997): Temelji neuroznanosti, MD, Zagreb

3. Pinel, J. P. (2001): Biološka psihologija, Naklada Slap, Jastrebarsko

209

K) Kako stvaram sliku Filip Mrvelj, Slavonski Brod

Postoji više načina kako naslikati anamorfnu sliku. No, ja koristim uvijek isti: sliku prvo „naslikam“ u

glavi, tj. zamislim u glavi. I prije nego svoje ideje prenesem na papir kao koncept slike, razrađujem ih u

glavi i doslovno „slikam“ u mislima i planiram faze nastajanja.

U većini slučajeva ono što ću slikati određuje sam prostor koji sam izabrao za slikanje i implementiranje

ideje u taj prostor. Ponekad krećem od ideje, a ne od prostora. Ideji pokušavam naći dobro mjesto kako

bih je pretočio u sliku.

Ovisno o tome što slikom želim reći, gdje slikam i slično, uvijek prije slaganja same skice razjasnim

nedoumice i definiram nekoliko elemenata oko kojih gradim skicu:

a) želim li da motiv bude u prirodnoj veličini ili ne u odnosu na promatrača,

b) želim li naslikati nešto što treba biti što sličnije okolini ili ne, tj. kako promatraču stvoriti iluziju u kojoj

teško raspoznaje ono što je naslikano od onoga što nije!

Kada to definiram, sve je ostalo lakše…

Moja najveća slika nastala je 2011. godine u Slavonskom Brodu. Veličine je 1300 m² i u to je vrijeme bila

neslužbeno najveća anamorfna slika na svijetu. Ako bih morao birati između svojih slika, onda bi ona bila

210

među tri meni najdraže.

Veoma mi je draga, prije svega, zbog izvrsne lokacije (šetalište uz obalu rijeke Save), podloge (betonska

površina) te mogućosti pozicioniranja točke gledanja (očišta) na veću visinu kako bi iskoristivost

„betonskoga platna“ bila što bolja.

Kada sam definirao koje resurse imam na raspolaganju, tj. trenutno stanje i kvalitetu podloge, koliko

dnevno vremena mogu provoditi na slici, kada slika mora biti gotova (imao sam 25 dana za pripremu

podloge i slikanje) i ostalo, krenuo sam s izradom motiva koji mogu naslikati u tome roku, a koji najbolje

može „ispričati priču“ tog prostora.

Uvijek napominjem i smatram da je street art u neku ruku kompromis na koji se unaprijed pristaje jer su

uvjeti stvaranja slike rijetko idealni. Naravno da kompromisa nema ako imate izvrsne uvjete koji vam

omogućavaju potpuno ostvarenje zamišljene slike.

Raditi na ovoj slici upravo je bilo to, stalno prilagođavanje novim situacijama. Morao sam voditi računa o

nekoliko bitnih stvari koje su me čekale kao mali izazov. Naime, površina na kojoj sam trebao slikati ima

tri razine i dva velika cvjetnjaka u prvom planu slike. To je u pravilu najmanje deformiran dio slike. Ja ga

kao takvoga volim koristiti za što više detalja. Slikanje je u tim zonama anamorfne slike puno lakše. U

ovome slučaju imao sam sve samo ne ravnu površinu/plohu.

Gledajući nekih 5 - 6 metara iznad slike u definiranoj točki gledanja slike (očištu) i promatrajući rijeku

Savu i duljinu plohe za slikanje kao i cvjetnjake, pala mi je na um ideja naslikati obalu koja nestaje tako

da se Sava lagano prelijeva preko ruba.

Kako nisam mogao slikati na cvjetnjacima, njih sam koristio kao otoke i ukomponirao ih u ideju kao

elemente oko kojih sam gradio provaliju, tj. rupu. Cvjetnjaci su mi poslužili kao temeljni elementi s

kojima sam „prevario oko“ i pružio osjećaj promatraču da su oni dio nekada cjelovite površine. Na taj je

način ploha predočena kao da je iskidana i nestaje, a u isto su vrijeme cvjetnjaci bili maksimalno

iskorišteni za ideju slike.

Kako je glavni sudionik slike rijeka Sava, odlučio sam rupu napuniti vodom. Plava boja vode poslužila mi

je kao dobar kontrast u odnosu na vertikalne površine koje su tamne. Vertikalne su površine tamne kako bi

što bolje došle do izražaja i da bi asocirale na zemlju i dijelove betona.

Nakon pripreme površine/plohe uslijedilo je slikanje. U anamorfnu je slikarstvu proces slikanja drukčiji

nego kada se stvara obična slika. Ta izobličenost ima određene zakonitosti koje od slikara traže više

energije i usredotočenosti na ono što radi, a naročito kada se radi slika koja je dugačka 80 metara.

Način na koji sam svladao ovu tehniku, bila je moja slikarska intuicija.

Slikajući sliku u glavi, u biti krećem „od kraja“. Naime, točno znam kako određeni motiv ili slika mora

izgledati u prostoru na koji je prenosim, odnosno slikam i kako mora izgledati u oku promatrača. Sve dok

te odnose/ motiv na skici / ne dobijem u realnome prostoru, „priča“ nije gotova.

Jedna od dražih tema u mojem slikarstvu jesu zrakoplovi. Odrastao sam pokraj aerodroma, uz zvuk

zrakoplova i gracioznost jedrilica. Ako imate letački i slikarski gen, onda je ovo mjesto savršeno za

poticanje i razbuktavanje želja. Meni se to dogodilo!

Očito su mi zbog toga slike zrakoplova drage, da ne kažem najdraže. Ponekada dok slikam imam osjećaj

letenja. Izdvojio bih sliku iz Almere u Nizozemskoj. To mi je prva slika te tematike!

211

Naslikao sam velik broj slika. I u Hrvatskoj, ali i u svijetu. Evo još dvije slike kako bih ilustrirao tvrdnju

da se svaki podni prostor može uporabiti za ovakvo slikarstvo.

Slike su (lijevo): Migovi 21 (Rumunjska, Timisoara, acrylic na asfaltu) i (desno): Villaggio mall ( Doha,

Qatar, pvc folija na podlozi).

Evo i nekoliko slika koje su mi po nekim „sitnicama“ zanimljive.

Za ovaj sam rad dobio prvu nagradu na Blumberg Street art festivalu.

212

Ovu sam naslikao u Nuklearnoj elektrani u okolici Beča. Nuklearka je završena, ali nikada nije puštena u

rad. Zanimljivo je da sam u jednome trenutku bio jedina osoba u elektrani. Zaključan i sam! Elektrana

danas služi za edukaciju i zabavu . No, tada i u takvim uvjetima osjećaj rada bio je iznimno "specifičan".

Na Cipru sam naslikao prvu 3D sliku (na sjevernome dijelu Cipra, ali i na cijelome otoku).

Ona mi je posebno draga jer sam za nju dobio lokalno priznanje za kulturno zalaganje. Činjenica da sam

prvi umjetnik koji je ovu vrstu umjetnosti prezentirao na otoku, čini me ponosnim.

Provjera znanja

U predgovoru je napisano da ce nastava biti dodatno unaprijedena, za hrvatske

prilike u srednjoskolskom obrazovanju jedinstvenim i inovativnim, Classroom re-

sponse systemom, tzv. klikerima.

”Klikeri” su jednostavni sustavi elektronickoga glasovanja, temaljeni na bezicnojRF tehnologiji koji cine nastavu dinamicnijom i omogucuju direktnu komunikaciju s

vecim brojem ucenika. Sustav je idealan za brzu provjeru znanja i mjerenja prisut-nosti na nastavi.

Svaki ucenik ima jedan uredaj koji je bezicno povezan s racunalom predavaca i u

svakome trenutku predavac moze provesti provjeru znanja ili kviz. Tijekom postav-ljanja pitanja, na ekranu se pojavljuje slajd s pitanjem i ponudenim odgovorima te

ucenici imaju zadano vrijeme za odgovor klikom na gumb. Nakon isteka vremena,na ekranu se pojavljuje graf s postotkom tocnih i netocnih odgovora.

Na samome predavanju ne vidi se tko je poimence kako odgovorio, no predavacnaknadnim ulazom u bazu dobiva odgovor i na to pitanje tako da sustav omogucuje

kontinuirano pracenje znanja i aktivnosti pojedinog ucenika.Ovakva metoda brzih provjera znanja na jednostavan nacin omogucuje uvid u

pracenje nastave i kvalitetu usvojena gradiva.Ovdje dajemo prijedlog nekoliko primjera provjere znanja:

a) Abeceda stereometrije (1. dio),

b) Abeceda stereometrije (2. dio),

c) Temeljni pojmovi i pravila perspektive,

d) Perspektiva s jednim i dva nedogleda.

Ovi su primjeri dani kao pomoc nastavniku koji samostalno moze kreirati prov-jere znanja!


215

216

217

218

219

220

221

222

223

224

225

226

227

228

229

230

231

232

233

234

235

236

237

238

239

240

241

242

243

244

245

246

IPAQ Peta

Documents

Nacrtna geometrija u IPAQ Peta projektu Perspektiva