NADZEMNI VODOVI

Visokonaponske mreže i vodovi – predavanja II Kol Prof. dr Jadranka Radović

---- 1 ----

II. NADZEMNI ELEKTROENERGETSKI VODOVI

II.1. Osnovne karakteristike elemenata nadzemnih elektroenergetskih vodova (dalekovoda)

Slika II. 0. Dio nadzemnog elektroenenergetskog voda (raspon)

1. Fazna užad: ČAl / Osnovna konstrukciona karakteristika faznih užadi je:

Nazivni presjeci: ][/2

mmSS nČnAl :

..., 120/20, 150/25, 185/30, 210/35, 240/40, 360/57, 490/65, ... i

stvarni presjeci : ][/ 2mmSS

ČAl

121.6/19.5, 148.9/24.2, 183.8/29.8, 209/34.1, 243/39.5, 360.2/57.3, 490.3/63.60 Pri proračunima nadzemnih elektroenergetskih vodova, treba računati sa stvarnim presjecima .

Stvarni presjek užeta je: ][][][222

/ mmSmmSmmS ČAlČAl += Ostale karakteristike faznih užadi su :

Specifična težina: ]/[ 2/ mmmdaNp ČAl

Zaštitno uže, npr. Č III 50 mm2

fazna užad, npr. Al/Č 150/25 mm2

S

T

R

S

T

R

raspon, npr. a=300 m


---- 2 ----

Modul elastičnosti: ]/[ 2/ mmdaNEČAl .

Temperaturni koeficijent linearnog izduženja: ]/[ 2/ mmdaNČAlα

Karakteristike materijala provodnika

Materijal nž σnd

[daN/mm2] σid

[daN/mm2] p

[daN/m mm2] x 10-3

E [daN/mm2]

α [1/oC] 10-5

Al 7 19 - 37

7 7

12 12

2.7 2.7

6 000 5 700

2.3 2.3

Cu 7 19 - 37

18 18

30 30

8.9 8.9

11300 10500

1.7 1.7

Al/Č ε=0.95 18/19 24.5 46 5.33 13000 1.33 Al/Č ε=1.7 12/7 19 45.5 4.66 10700 1.53 Al/Č ε=4.4 70/7 13 24.5 3.75 8 700 1.78 Al/Č εεεε=6 26/7 11 21 3.5 7 700 1.89

Al/Č ε=7.7 24/7 10 19 3.36 7 400 1.96

2. Izolatori Izolacija nadzemnih elektroenergetskih vodova je u principu vazduh. Međutim, na mjestima gdje se provodnici postavljaju na stubove neophodno ih je izolovati izolatorima. Izolatori električno odvajaju (izoluju) provodnike od stubova i njihovih uzemljenih djelova. Istovremeno izolatori imaju važnu mehaničku ulogu na vodu, time što težinu provodnika, kao i dodatni teret (vjetar, led isl.) sa provodnika prenose na stub. Izolatori moraju imati odgovarajuća električna i mehanička svojstva i moroju biti otporni na atmosferske i hemijske uticaje, ne smiju pretjerano brzo stariti u pogonu i moraju biti ekonomični. Klasični materijal za izolatore je porcelan : kaolin (50%), glinic (25%) i kvarc (25%). Za izradu izolatora upotrebljava se i: steatit, koji ima veću mehaničku čvrstoću, a takođe i staklo kaljano na poseban način. Prednost je izolatora od stakla je što su sva oštećenja vidljiva, dok porcelanski izolatori mogu biti loši a na oko neoštećeni. Izolator se sastoje od izolacionog tijela i od metalnih djelova. Prema načinu kako nose provodnike izolatori se dijele:

- potporne i - lančaste.


---- 3 ----

Za presjeke

provodnika

do

h

mm

D

mm

d

mm

35 mm2

85 80 19/21

150 mm2

95 95 22/24

a.) za niski napon b.) za napone 10-35 kV Slika II.4. Potporni izolatori

Kod lančastih izolatora koji su danas u upotrebi za nadzemne elektroenergetske vodove postoje tri tipa:

- kapasti, - masivni i - štapni izolatori.

Najviše se upotrebljavaju kapasti izolatori.

Slika II.5. Kapasti izolator K 170/280

Broj članaka (kapa) u lančastom izolatoru zavisiti prvenstveno od nazivnog napona nadzemnog elektroenergetskog voda. Sa porastom napona imamo i veći broja članaka u lančastom izolatoru Tab.II.4. Karakteristike kapastih izolatorskih lanaca

Naz. npon

Un[kV]

Broj članaka 146/254

N Z

Ukupna dužina L [mm]

N Z

Masa [kg]

N Z do 35 2 (3) 2 (3) 577(723) 937(1083) 3,12 3,30

35 3 (4) 3 (4) 728 (874) 1188(1324) 5,35 5,00 110 7 (8) 7 (8) 1417(1563) 1914(2060) 9,14 7,03 220 13(15) 13(15) 2283(2575) 2770(3062) 18,88 13,11 400 2x17 (19) 2x17(19) 3489(3829) 4631(4971) 44,25 48,60

Un

kV

H

mm

D

mm

D1

mm

D2

mm

d

mm

d1

mm

10 130 135 70 110 28 31

20 185 175 85 145 31 35

35 290 260 107 210 40 45

h=170 mm

D=280 mm

d=16 mm


---- 4 ----

Električno pojačanje izolacije postiže se primjenom u izolatorskom lancu jednog ili dva članka više. Mehanički pojačana izolacija ostvaruje se primjenom dvostrukog, odnosno trostrukog lanca. Za pričvršćivanje provodnika o lančaste izolatore primjenjuju se odgovarajuće stezaljke: - na nosećim stubovima, koriste se nosne stezaljke, - na zateznim izolatorskim lancima, koji se primjenjuju na zateznim stubovima, primjenjuju se zatezne stezaljke. Postoje različiti tipovi stezaljki.

SI.6.a. Nosna stezaljka Sl.II.6.b.Izolatorski lanac sa nosnom stezaljkom

Slika II.7.a.) Zatezna stezaljka; b.) Izolatorski lanac sa zateznom stezaljkom;

c.)Kratko - spojni provodnik


---- 5 ----

SlikaII.8. Zaštitno uže na nosećem stubu

1 - nosna stezaljka

2 - zaštitno uže

3 - nosać stezaljke

4 - električna veza zaštitnog užeta

sa stubom


---- 6 ----

Sl.II.10. Izolatorski lanci za napon 110 kV

Sl.II.11. Izolatorski lanci s dva provodnika u snopu


---- 7 ----

Slika II.12. Izolatorski lanci za napon 400 kV sa dva provodnika u snopu

3. Stubovi nadzemnih elektroenergetskih vodova

Prema namjeni stubove dijelimo na: - noseće (nosive ili nosne) i - zatezne.

Noseći stub je stub koji služi za nošenje provodnika i zaštitnih užadi. Zatezni stub služi za zatezanje provodnika i zaštitnih užadi. Na stubove nadzemnih elektroenergetskih vodova djeluju sljedeće sile:

- vertikalne sile (težina provodnika, izolatora, pribora, zaštitne užadi, dodatnog tereta uslijed taloženja snijega, leda, inja i sl. i težina stuba). - sila zatezanja provodnika i - sila vjetra.

Vertikalno prema dolje djeluju: - težina provodnika, - težina dodatnog tereta i - težina izolatora. Ima slučajeva kada ova sila djeluje prema gore (kod stubova u velikim udolinama, kad su susjedni stubovi na znatno višem nivou). Horizontalno u smjeru trase voda djeluju sile horizontalnog zatezanja provodnika. Kod nosnih stubova te sile se poništavaju u cjelosti. U poremećenom stanju (npr. pucanje jednog ili više provodnika) nastupaju horizontalna dodatna naprezanja u smjeru trase. Noseći stubovi nisu opterećeni na zatezanje.


---- 8 ----

Horizontalno a u smjeru okomito na trasu voda djeluje pritisak vjetra na provodnike. Za silu djelovanja vjetra na provodnik koja se prenosi na stub mjerodavan je srednji raspona: asr=(a1+a2)/2, a za silu djelovanja težine provodnika koja se prenosi na stub mjerodavan je gravitacioni raspon : agr=agrl+agrd.

Zatezno polje Horizontalni razmak između dva susjedna stuba naziva se raspon (a [[[[m]]]]) . Srednji raspon (asr [m]) je poluzbir susjednih raspona, odnosno polovina zbira raspona sa jedne i druge strane stuba. Gravitacioni raspon (agr [m]) je horizontalna udaljenost od najniže tačke provodnika (lančanice) s jedne strane stuba do najniže tačke provodnika s druge strane stuba. Dio voda između dva zatezna (ili rasteretna) stuba naziva se zatezno polje. Hrizontalni raspon, iste visine tačaka ovješenja provodnika.

fX [[[[m]]]]

FXy

FXx=σσσσ Sp

FX [[[[daN]]]]

X

σσσσ [[[[daN/mm2]]]] x

O

a [[[[m]]]]

1

a/2 [[[[m]]]]

2

y

f [[[[m]]]]

a1 [[[[m]]]]

Z1 N1

N2 N3

Z2

a2 [[[[m]]]] a3 [[[[m]]]] a4 [[[[m]]]]

agr l [[[[m]]]] agr l [[[[m]]]]

asr [[[[m]]]]


---- 9 ----

Kosi raspon, različite visine tačaka ovješenja provodnika.

• 1 i 2 su ovjesišta, odnosno tačke u kojima je provodnik zategnut (učvršćen na zateznom stubu) ili ovješen na nosećem stubu,

• a[[[[m]]]] je raspon (horizontalno rastojanje između tačaka ovješenja, odnosno između stubova),

• h[[[[m]]]] je visinska razlika ovjesišta, odnosno visinska razlika raspona (vertikalno rastojanje između tačaka ovješenja-učvršćenja),

• f [[[[m]]]] je ugib (vertikalni razmak od provodnika od prave koja spaja ovjesišta, mjeren u sredini raspona),

• at [[[[m]]]] je totalni raspon (je raspon fiktivnog horizontalnog raspona, formiranog iz kosog raspona produžavanjem krive provodnika, odnosno zaštitnog užeta, do izjednačavanja visina tačaka ovješenja-učvršćenja).

• 1' je fiktivna tačka ovješenja totalnog raspona,

• ad [[[[m]]]] je dodatni ili dopunski raspon,

• FX [[[[daN]]]] je ukupna sila zatezanja provodnika u tački X (x,z), FXx=σσσσ Sp [[[[daN]]]] je horizontalna komponenta sile zatezanja,

• FXy [[[[daN]]]] je vertikalna komponenta sile zatezanja,

• σσσσ[[[[daN/mm2]]]] je horizontalna komponenta naprezanja provodnika. Trasa voda duž koje treba postaviti stubove ima prave dionice i lomove trasa pod različitim uglovima. Noseći stubovi se postavljaju duž pravolinijskog dijela trase, dok se zatezni stubovi postavljaju na mjestu loma trase. Zatezni stubovi se postavljaju i na kraju i početku trase i to su tzv. krajnji stubovi. Takođe na svakih 3 do 5 km (zavisno od napona voda, max 8 km i 30 raspona) pravolinijske trase dalekovoda moraju se umetnuti zatezni stubovi (rasteretni stubovi), koji rasterećuju vod kod montaže i u slučaju prekida provodnika. Izolatorski lanci na nosećim stubovima (nosni izolatorski lanci) postavljeni su gotovo vertikalno, a izolatorski lanci na zateznim stubovima (zatezni izolatorski lanci) gotovo horizontalno.

y

FXy

FXx=σσσσ Sp

FX

[[[[daN]]]] X

σσσσ x

O C

1

c [[[[m]]]]

at [[[[m]]]]

a [[[[m]]]] 1'

ad [[[[m]]]] a/2

2

f


---- 10 ----

Prema položaju u trasi voda stubovi se dijele na: - linijske, koji se nalaze u pravolinijskom dijelu trase i - ugaone, koji se nalaze na mjestima loma trase.

Noseći stubovi su linijski stubovi. Noseći stub može biti ugaoni samo ako je lom trase neznatan (sasvim mali uglovi skretanja trase). Zatezni stubovi su ugaoni stubovi. Zatezni stubovi mogu biti i linijski, a to su rasteretni stubovi. Visina stubova prvenstveno zavisi od visine nazivnog napona mreže. Istovremeno stubovi istog nazivnog napona i istog tipa rade se sa različitim visinama, a primjenu stuba određene visine diktiraju karakteristike terena i uslovi na terenu. Visine stubova se biraju tako da provodnici najniže faze na cijeloj trasi budu udaljeni od zemlje (sigurnosna visina) bar 6 m, a na prelazima preko puteva, željezniške pruge i sl. bar 7 m. Ako su u pitanju nepristupačni tereni, dovoljno je 4 m. Prema materijalu stubovi se dijele na:

- drvene - betonske i - čelično-rešetkaste

Drveni stubovi se u principu rade sve do napona 220 kV, međutim danas se prvenstveno upotrebljavaju kod niskonaponskih i srednjenaponskih nadzemnih vodova. Drveni stubovi se rade od smrče, jele, bora ili kestena a bagrem i hrast se koriste za pojedine djelove (prečke, pragovi, klinovi i dr.). Prednost drvenih stubova je u maloj težini i brzoj montaži. Drveni stubovi su jeftini u izgradnji, ali zbog reletivno male trajnosti skupi su u pogonu. Trajnost drvenih stubova je 7 do 8 godina Najprije istrunu u visini površine zemlje. Da bi im se vijek produžio na 15 do 20 godina drveni stubovi se impregniraju po raznim postupcima i raznim sredstvima. Tipične siluete (pojednostavljeni prikaz konstrukcije) drvenih stubova prikazane su na Sl.II.16.

Slika II.16. Tipične siluete drvenih stubova

a. niski napon, ugaoni

b. niski napon, linijski

c. 10-20 kV, linijski

d. 10-20 kV, ugaoni

e. 35 kV, noseći


---- 11 ----

Drveni stubovi se ukopavaju u zemlju direktno ili preko nogara. Nogari se primjenjuju u slučaju kad drveni stub nije impregniran. Nogari su impregnirani i postavljaju se u zemlju, dok je drveni stub obično neimpregniran i postavljen iznad zemlje. Na taj način se povećava životna dob drvenih stubova. Nogari se primjenjuju i za povećanje visine stuba. Armirano-betonski stubovi se izrađuju do napona 110 kV, ali se praktično upotrebljavaju u niskonaponskim mrežma i srednjenaponskim mrežama do nazivnog napona od 35 kV. U mrežama visokog napona armirano-betonski stubovi se ne upotrebljavaju zbog pretjerane težine i teškoća vezanih za njihov transport. Armirano betonski stubovi se rade od betona i čeličnih žica. Veoma su trajni, pod uslovom da su dobro izveden. Vijek trajanja armirano-betonskih stubova je oko 50 godina. Ovi stubovi su istovremeno laki za održavanje. Armirano-betonski stubovi se, po pravilu, ukopavaju pomoću betonskih temelja. Temeljni blok izliva se sa rupom u koju se smjesti i učvrsti stub. Na slici II.17 su date tipične siluete armirano-betonskih stubova.

Slika II.17. Tipične siluete armirano-betonskih stubova

Čelično-rešetkasti stubovi imaju najširu primjenu. Koriste se u mrežama višeg srednjeg napona (mrežama 35 kV) i u mrežama visokog napona: 110, 220, 400 kV i više. Ređe se mogu sresti u mrežama srednjeg napona 10 i 20 kV. U niskonaponskim i srednjenaponskim mrežama koje su izrađne sa drvenim ili armirano-betonskim stubovima često se pojedini specijalni stubovi kojima se realizuje ukrštanje sa putem, prugom, drugim nadzemnim vodom ili premošćenje jaruge ili rijeke grade kao čelično-rešetkasti. Čelično-rešetkasti stubovi se rade od čelika. Sastavi na rešetki se zavaruju i u komadima pogodnim za transport dopremaju na određena mjesta. Dalje se spajaju vijcima. Radi zaštite od korozije, moraju se premazivati. Da bi se izbjeglo često premazivanje, odnosno smanjili troškovi održavanja, vrši se vruće pocinčavanje. Vijek trajanja im je 50 godina. Neke tipične siluete čelično-rešetkastih stubova date su na slici II.18. Pored prikazanih tipova čelično rešetkastih stubova, danas se rade i mnogi drugi oblici, kojima se između ostalog teži zadovoljiti urbanističkim zahtjevima za što bolje uklapanje u ambijent.

b,c,d – 10 kV, 20 kV

e - 35 kV, 110 kV, "jela"

f - 110 kV, "portal"

g - 35 kV, 110 kV "bačva"

h - 35 kV, 110 kV

"dvostruka jela"


---- 12 ----

Čelično-rešetkasti stubovi se, po pravilu, ne ukopavaju direktno u zemlju. Za njih se prave temelji od armirano-betonskih blokova iz jedno ili četiri dijela (za svaki čelični nogar po jedan).

Slika II.18. Jednostruki člelilno - rešetkasti stubovi

Na slici II.19 prikazani su noseći čelično-rešetkasti stubovi za napone 35, 110 i 220 kV koji su najčešće korišćeni kod nas. Na slici su date i osnovne dimenzije stubova.

Slika II.19. Čelično-rešetkasti stubovi za napone 35, 110 i 220 kV

Čelično-rešetkasti stubovi se primjenjuju i za veoma visoke napone. Na slici II.20 su prikazana dva tipa čelično-rešetkastih stubova za napon 700 kV. Konkretno


---- 13 ----

na slici II.20.a je prikazan stub primjenjen u 735 kV mreži Kanade, a na Sl.II.20.b stub primjenjen u 750 kV mreži u Finskoj. Treba uočiti značajnu razliku u težini ove dvije konstrukcije, prva 25 t, a druga 10,5 t.

a) b)

Slika II.20. Čelično-rešetkasti stubovi za napon 700 kV

Čelično-rešetkasti stubovi se grade i za dvostruke vodove, kod kojih na stubovima imamo dva voda (dva puta po tri faze). Ovakvi vodovi zauzimaju manje prostora nego dva odvojena voda, a i znatno su jeftiniji, pri čemu je snaga prenosa ista. Ovo su osnovni razlozi primjene dvostrukih vodova, odnosno dvostrukih stubova koji nose njihove provodnike. Na slici II.21 su prikazana neka karakteristična rješenja dvostrukih čelično-rešetkastih stubova.

Slika II.21. Dvostruki čelično-rešetkasti stubovi

Na slici II.22 je prikazan čelično-rešetkastistub koji nosi dvostruke vodove tri različita naponska nivoa. Praktično, ovim rješenjem je "objedinjeno" 6 vodova: dva


---- 14 ----

voda napona 380 kV, dva voda napona 220 kV i dva voda napona 110 kV. Vodovi višeg napona smješteni su iznad vodova nižeg napona. Provodnici vodova 110 kV su jednostruki, provodnici voda 220 kV su sa dva, a provodnici 380 kV voda sa četiri provodnika u snopu po fazi. Ovakvim rješenjem maksimalno se štedi prostor, a omogućava prenos ogromnih količina električne energije.

Slika II.22. Višestruki noseći čelično- rešetkasti stubovi

Zaštitno

uže


---- 15 ----

II.2 Mehanički proračun nadzemnih elektroenergetskih vodova

1. Uticajni parametri Dva su osnovna parametra predmet razmatranja u mehaničkom proračunu nadzemnih elektroenergetskih vodova:

• naprezanje provodnika: ]/[ 2mmdaNσσσσ i • ugib provodnika: ][mf .

U svim uslovima djelovanja uticajnih parametara, prvenstveno spoljašnjih klimatskih uslova, mora se obezbijediti: - da vrijednost naprezanja ne prekorači granične vrijednosti i ugrozi "čvrstoću" provodnika, - da ugib provodnika ne poprimi nedozvoljene vrijednosti i ugrozi okolinu. Isti uslovi važe i za zaštitnu užad. Provodnici, odnosno zaštitna užad, nadzemnih elektroenergetsih vodova se mogu posmatrati kao potpuno savitlja, odnosno elastična užad i zbog toga su napregnuta samo na istezanje. Ukoliko je provodnik više zategnut utoliko mu je naprezanje veće (ugib manji), i obratno, ako je provodnik manje zategnut, naprezanje je manje (ugib veći). Na veličinu naprezanja i ugiba djeluju:

• vlastita težina provodnika i • klimatski uslovi: - temperaturne promjene okoline, - dodatni teret od inja snijega i leda - vjetar.

Mehanički proračun se izvodi sa specifičnim opterećenjima, tj. sa opterećenjima po jedinici dužine i jedinici poprečnog presjeka.

1.1 Vlastita težina provodnika se izražava preko specifične težine provodnika, odnosno specifičnog opterećenja provodnika:

S

gmmmmdaNp o=]/[

2,

gdje su:

pAl/Č [daN/ m mm2]

dAl/Č [mm]

SAl/Č [mm2]


---- 16 ----

2/81,9 smg = - ubrzanje Zemljine teže,

]/[ mkgmo - masa provodnika jedinične dužine,

][ 2mS - presjek provodnika,

Napomena: 2/1 skgmN = , NdaN 101 = . Za specifičnu težinu, odnosno specifično opoterećenje užadi koristićemo oznake:

• ]/[ 2/ mmmdaNpČAl - specidična težina, odnosno specifično

opterećenje faznih užadi (provodnika)

• ]/[2

mmmdaNpČ - specidična težina, odnosno specifično opterećenje

zaštitnih užadi. Specifična težina, odnosno specifično opterećenje provodnika (užeta) zavisi od materijala i konstrukcije provodnika (užeta) i daje se u katalozima proizvođača, priručnicima, kao i u Pravilniku (tabela II.2). 1.2. KLIMATSKI UTICAJI

Temperatura Usljed toplote, odnosno povećanja temperature okoline, provodnici se ljeti izduže, zbog čega se poveća ugib, a smanji naprezanje. Zimi se uslijed hladnoće, odnosno sniženja temperature okoline, provodnici skrate, zbog čega se ugib smanji, a naprezanje poveća. Prema Pravilniku, provodnike i zažtitnu užad nadzemnih vodova računamo pod sljedećim predpostavkama:

- minimalna temperatura -20 0C - maksimalna temperatura +40 0C - temperatura kod koje se pojavljuje zimski dodatni teret -5 0C - srednja temperatura (u našim okolnostima) +15 0C.

Dodatni teret U hladnom vremenskom periodu na provodnicima i ostalim elementima dalekovoda mogu se nahvatati inje, led ili snijeg, koje zajedničkim nazivamo dodatni teret. Situacija je još teža ako na tako zaleđenu površinu djeluje vjetar. Ta dodatna opterećenja mogu biti znatna i mogu dovesti do prekida provodnika, a pošto se sve sile naprezanja provodnika prenose na stubove, može doći i do težih havarija uslijed loma stubova. Pri projektovanju nadzemnih elektroenergetskih vodova moraju se svi elementi proračunati i konstruisati tako da i pri težim atmosferskim uslovima izdrže mehanička naprezanja.


---- 17 ----

Dodatni teret je opterećenje provodnika injem, ledom ili snijegom, koje djeluje vertikalno naniže i dodaje se težini provodnika. Dodatni teret se izražava preko specifične težine dodatnog tereta, odnosno specifičnog dodatnog opterećenja, koje se označava sa

]/[ 2mmmdaNpd ili ]/[

2mmmdaNp∆ .

Prema Pravilniku, dodatni teret se pojavljuje pri temperaturi -50C, te se za specifično dodatno opterećenje često koristi i oznaka ]/[ 2

5 mmmdaNp−−−− . Pri pojavi dodatnog tereta, djeluje ukupno opterećenje koje je jednako zbiru opterećenja provodnika i opterećenja dodatnog tereta.

Ukupna specifična težina, odnosno specifično opterećenje zaleđenog provodnika je zbir specifične težine provodnika i specifične težine

dodatnog tereta: ppmmmdaNpu ∆+=]/[2

• Za fazne provodnike:

ppmmmdaNpČAlČAl ∆+=∆+ /

2/ ]/[ ,

gdje je p∆ specifično dodatno opterećenje na fazni provodnik. • Za zaštitnu užad:

ppmmmdaNp ČČ ∆+=∆+ ]/[2

,

gdje je p∆ specifično dodatno opterećenje na zaštitno uže.

Normalni dodatni teret je najveći dodatni teret koji se na datom mjestu pojavljuje prosječno svakih 5 godina, ali ne manji od vrijednosti koja se računa po empirijskom izrazu:

S

dkmmmdNp z

18.0]/[

2 =∆ .

gdje su: zk - koeficijent zone leda sa vrijednostima 1, 1.6, 2.5 i 4, zavisno od klimatske zone (oblasti) kojom vod prolazi,

][ 2mmS - presjek provodnika (stvarni presjek faznog užeta -

][2

/ mmS ČAl ili stvarni presjek zaštitnog užeta - ][

2mmSČ )

pAl/Č [daN/ m mm2]

pd [daN/ m mm

2]

dAl/Č [mm]

SAl/Č [mm2]


---- 18 ----

][mmd - prečnik provodnika (prečnik faznog užeta - ][/ mmdČAl

ili

prečnik zaštitnog užeta - ][mmdČ

) Napomena: U mehaničkim proračunima Al/Č užadi uvijek se računa na sa stvarnim presjekom

provodnika, odnsno užeta: ČAlČAl SmmSmmS += ][][ 22

/.

Na izvjesnim dionicama voda, ako to klimatske prilike predjela zahtijevaju, datno opterećenje se može uzeti i veće od vrijednosti sa kz= 4, ali se ne uzima manje od vrijednosti sa kz= 1. Pored normalnog dodatnog tereta u nekim proračunima se pojavljuje i izuzetni dodatni teret. To je najveći dodatni teret koji se pojavljuje prosječno svakih 20 godina, ali ne manji od dvostruke vrijednosti normalnog dodatnog tereta:

ppiz ∆=∆ 2 .

Ukopno pterećenje pri izuzetnom dodatnom teretu je:

izČAlizČAlppp ∆+=∆+ //

Naprezanja provodnika pri dodatnom teretu Pri normalnom dodatnom teretu naprezanje provodnika ne smije preći

vrijednost maksimalnog radnog naprezanja - ]/[ 2mmdaNmσ ).

Maksimalno radno naprezanje ( ]/[ 2mmdaNm

σσσσ ) je zadata maksimalna vrijednost naprezanja za posmatrani dalekovod i pojavljuje pri najtežim klimatskim uslovima za naprezanje, odnosno pri dodatnom teretu i temperaturi pojave dodatnog tereta, a to je C

o5− , ili pak pri najnižoj temperaturi od C

o20− .

Da bismo iskoristili mehanička svojstva provodnika, montiramo ga tako da se pri najnepovoljnijim uslovima za naprezanje, a to je:

o5−−−− i opterećenje ppČAl

∆∆∆∆++++/

ili

Co20−−−− i opterećenje ČAl

p/

,

dostigne tačno vrijednost maksimalnog radnog naprezanja. Maksimalno radno naprezanje ne smije biti veće od normalno dozvoljenog

naprezanja: ]/[ 2mmdaNm

σσσσ ≤≤≤≤ ]/[ 2mmdaNndσσσσ .

Napomena: U mehaničkom proračunu vodova pojavljuju se tri karakteristične vrijednosti naprezanja:


---- 19 ----

Normalno dozvoljeno naprezanje ( ]/[ 2mmdaNndσ ) provodnika, odnosno zaštitnog

užeta je naprezanje koje se ne smije prekoračiti pod normalnim uslovima, tj. na temperaturi od -5 oC i normalnom dodatnom opterećenju i na temperaturi -20 oC bez dodatnog opterećenja i odnosi se na horizontalnu komponentu naprezanja.

Maksimalno radno naprezanje ( ]/[ 2mmdaNmσ ) provodnika, odnosno zaštitnog užeta

je odabrana računska vrijednost koju horizontalna komponenta naprezanja dostiže na temperaturi od -5oC pri normalnom dodatnom opterećenju, ili na temperaturi -20 oC bez dodatnog opterećenja.

Izuzetno dozvoljeno naprezanje ( ]/[ 2mmdaNidσ ) provodnika, odnosno zaštitnog

užeta je naprezanje koje se ne smije prekoračiti pod izuzetnim uslovima (temperatura od -5 oC i izuzetno dodatno opterećenje) i odnosi se na naprezanje u tački vješanja.

Važi: SF kidanjakidanjandm id====<<<<<<<<≤≤≤≤ σσσσσσσσσσσσσσσσ , gdje su:

]/[2

mmdaNkidanjaσ - naprezanje pri kojem dolazi do kidanja užeta

][daNFkidanja - sila kidanja provodnika, odnosno užeta.

Vjetar Provodnici, zaštitna užad, kao i stubovi nadzemnih elektroenergetskih vodova su izloženi djelovanju vjetra. Sila vjetra ne utiče na ugib provodnika, nego samo dovodi do pomjeranja provodnika u smjeru djelovanja sile vjetra. Dodatno, opterećenje od vjetra povećava naprezanje provodnika i sile koje djeluju na stubove. Opterećenje (sila) od vjetra računa se po obrascu:

[ ] α= sincAPdaNF vv ,

gdje su:

][ 2mA - površina objekta na koju vjetar djeluje,

]/[ 2mdaNPv - pritisak vjetra, c - koeficijent dejstva vjetra, za provodnike c=1 αααα - napadni ugao sile vjetra na površinu dejstva Mehanički proračun se izvodi pod predpostavkom da je pravac vjetra normalan na provodnik, odnosno da je 1sin ====αααα , a napadnuta površina za provodnik dužine

][ml i prečnika ][mmd je: 32 10][ −−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== dlmA .

⇒

[ ] 310−= vv ldPdaNF

α

provodnik

vjetar


---- 20 ----

Pritisak vjera se računa prema obrascu:

[ ]16

/2

2 vmdaNPv = ,

gdje je: ]/[ smv maksimalna brzina vjetra koja se na posmatranom dijelu trase pojavljuje prosječno svakih pet godina. Vrijednost pritiska vjetra izračunata po predhodnom obrascu se zaokružuje na prvu veću vrijednost iz tabele III.1, a u zavisnosti od visinske zone voda. Pri izračunavanju pritiska vjetra na provodnike uzima se visina tačke vješanja provodnika na izolator. Tabela III.1 Pritisak vjetra na provodnike Visinska zona voda Pritisak vjetra [daN/m2] Vodovi sa ukupnom visinom do 15 m nad zemljom 50 60 75 90 110 Osnovna visinska zona od 0 do 40 m nad zemljom 60 75 90 110 130 Djelovi voda u zoni između 40 i 80 m nad zemljom 75 90 110 130 150 Specifično opterećenje od vjetra je:

[[[[ ]]]]S

dP

lS

FmmmdaNp vv

v

32 10

/−−−−

======== .

Ukupno specifično opterećenje od težine provodnika i opterećenja od vjetra je:

22

vuv ppp ++++==== ,

Za fazne provodnike:

22

// vČAlvČAlppp ++++====++++

Dejstvo vjetra u izuzetnim slučajevima, kao npr. na zaleđene provodnike, može imati veliki uticaj na veličinu dodatnog opterećenja provodnika. Površina zaleđenog provodnika izložena vjetru može biti znatno veća nego golog provodnika. U takvim slučajevima čak i mala brzina vjetra stvara velika dodatna opterećenja. Prema Pravilniku, u mehaničkom proračunu vodova ne predpostavlje se istovremeno djelovanje dodatnog tereta i djelovanje vjetra. Međutim, te pojave nisu isključene, pa ukoliko su na osnovu hidrometeoroloških podataka registrovane treba ih uzeti u obzir. Tada se u izrazu za specifino opterećenje od vjetra prečniku mora dodati dvostruka naslaga dodatnog tereta, jer se za tu vrijednost povećava prečnik na koji djeluje vjetar:

pAl/Č [daN/ m mm2]

dAl/Č [mm]

SAl/Č [mm2]

pv [daN/ m mm2]

puv [daN/ m mm2]


---- 21 ----

Specifično opterećenje od vjetra na zaleđenom provodniku je:

[[[[ ]]]]S

bdPmmmdaNp v

zv

32 10)2(

/−−−−++++

==== ,

a ukupno specifično opterećenje od težine provodnika sa dodatnim teretom i vjetra na zaleđenu površinu provodnika je:

[[[[ ]]]] 222/zvuuzv

ppmmmdaNp ++++==== .

Prema Pravilniku, treba uporediti sljedeće dvije veličine specifičnih opterećenja:

1. rezultantu od opterećenja nezaleđenog provodnika i vjetra:

[ ] 222/ vuv ppmmmdaNp +=

2. opterećenje od težine provodnika sa izuzetnim dodatnim teretom (2pd ili, u nekim slučajevima definisanim Pravilnikom, 3pd): dizu ppp 2++++====

Ona veličina specifičnog opterećenja koja je veća, mjerodavna je za mehanički proračun voda pri izuzetnom opterećenju.

pAl/Č [[[[daN/m mm2]]]]

pd [[[[daN/m mm2]]]]

dAl/Č [[[[mm]]]]

SAl/Č [[[[mm2]]]]

b [[[[mm]]]] pv [[[[daN/ m mm

2]]]]

puzv [[[[daN/ m mm2]]]]


---- 22 ----

2. Kriva užadi dalekovoda - Horizontalni raspon

Provodnici i zaštitna užad nadzemnih elektroenergetskih vodova, pod uticajem vlastite težine i dodatnog tereta se ugibaju. Pri horizontalnom rasponu, između dvije susjedne tačke ovješenja (učvršćenja) A i B, uže (fazni provodnici i zaštitno uže) zauzima položaj kao na slici (LANČANICA).

Slika III.1. Kriva užeta u horizontalnom rasponu.

2.1. Jednačina krive užeta – tačan izraz (izvedeno na vj.):

p

p

xch

py

σ−

σ⋅

σ= ,

gdje su:

]/[ 2mmdaNσ - horizontalna komponenta naprezanja, jednaka u svakoj tački

užeta

]/[ 2mmmdaNp - specifična težina .

Ako je x osa pomjerena za p

σσσσ

jednačina krive užeta je:

p

xch

py

σ⋅

σ= .

x

O

a [[[[m]]]]

A

a/2 [[[[m]]]]

B

y

f [[[[m]]]]

1

2 L [[[[m]]]] dl [[[[m]]]]

x1 [[[[m]]]]

x2 [[[[m]]]]

σσσσ

x

O

a [[[[m]]]]

A

a/2 [[[[m]]]]

B

y

f [[[[m]]]] L [[[[m]]]]

σσσσ =σσσσo

σσσσ

σσσσ' σσσσ"

σσσσ/p


---- 23 ----

2.2. Približni izrazi za krivu užadi

Se dobijaju razvojem funkcije ch u red ( ...4!

x

2!

x1

42

++++++++++++====chx ).

Za slučaj koordinatnog početka pomjerenog za ordinatu σσσσ/p približni izraz za krivu užeta je:

...24

)(2

43

2

++++++++++++====xppx

py

σσσσσσσσσσσσ

S obzirom da je σ/p reda 1000 m, odnosno p/σ<<1, za raspone do 1000 m svi članovi reda sa stepenom većim od 4 su zanemarljivi. Za raspone od 500 do 1000 m za krivu užadi može koristiti približni izraz:

24

)(2

43

2 xppx

py


++= .

Za raspone do 500 m dovoljno je uzeti samo prva dva člana:

σσσσ

σσσσ2

2px

py += .

Pri kordinatnom početku u tjemenu lančanice približni izrazi za krivu užeta su: Za raspone od 500 do 1000 m:

24

)(2

43

2 xppxy

σσσσσσσσ++++====

Za raspone do 500 m:

σσσσ2

2pxy = .

3. Ugib Ugib se definiše kao vertikalno rastojanje između prave koja spaja tačke ovješenja užeta i krive užeta mjeren u sredini raspona (slika-za horizontalni raspon). 3.1. Tačan izraz

Jednačina provodnika je: p

p

xch

py

σσσσσσσσ

σσσσ−−−−====


---- 24 ----

Uvrštavanjem u jednačinu provodnika koordinate tačke B: ),2

( fa

B , dobijamo

izraz za ugib f [[[[m]]]]:

p

pach

pf

σσσσσσσσ

σσσσ−−−−====

2

3.2. Približni izrazi za ugib,

dobijaju se na osnovu razvoja ...4!

x

2!

x1

42

++++++++++++====chx .

...3848 3

342

++++++++====σσσσσσσσpapa

f .

Za raspone do 1000 m:

3

342

3848 σσσσσσσσpapa

f ++++==== .

Za manje raspone (reda 300 m):

σσσσ8

2 paf ==== .

U principu, ako je drugi član u izrazu 3

342

3848 σσσσσσσσpapa

f ++++==== veći od 5 cm, potrebno

ga je svakako uzeti u obzir. Istovremeno, ovaj član dolazi, kod istog raspona, više do izražaja ako su u pitanju manja zatezna naprezanja i veći zimski dodatni teret.

x

O

a [[[[m]]]]

A

a/2 [[[[m]]]]

B

y

f [[[[m]]]]

1

2 L [[[[m]]]] dl [[[[m]]]]

x1 [[[[m]]]]

x2 [[[[m]]]]

σσσσ


---- 25 ----

3.3. Ugib van sredine raspona Uopšteno, pod ugibom se može smatrati svako vertikalno rastojanje između prave koja spaja tačke ovješenja i ma koje tačke krive užeta. Ako to nije tačka užeta na sredini raspona, kaže se da je to ugib u tački X, odnosno na rastojanju x, i označava se sa fx [m].

Ugibi užeta u horizontalnom rasponu

Ugiba u poizvoljnoj tački X na rastojanju b [m] od tačke vješanja B, je:

p

pbach

pp

apch

pf

fff

x

x

σσσσσσσσ


σσσσ++++

−−−−−−−−−−−−====

−−−−====

2

)2(

2

1

⇒

−−−−−−−−====


2

)2(

2

pbach

apch

pf x

Za kraće raspone, reda 300 m, ugib u tački X užeta na rastojanju (horizontalnom) b od tačke ovješenja B, može se računati po približnom izrazu (izvesti!!!):

σσσσ2

)( bapbf x

−−−−==== .

Maksimalni ugib je definisan tačkom na užetu (lančanici) u kojoj je tangenta paralelna sa spojnicom tačaka ovješenja užeta. Kod horizontalnog (pravog) raspona maksimalni ugib je na sredini raspona fmax ≡ f. Kod umjerenih kosih raspona tačka u kojoj je ugib maksimalan je približno na sredini raspona, dok kod dužih kosih raspona tačka u kojoj je ugib maksimalan nije na sredini raspona.

x O

a [[[[m]]]]

A

a/2 [[[[m]]]]

B

y

f [[[[m]]]]

X L [[[[m]]]]

x [[[[m]]]] σσσσ

fx [[[[m]]]]

f1 [[[[m]]]]

b [[[[m]]]]

2x=a-2b [[[[m]]]]


---- 26 ----

4. Dužina užeta 4.1. Približni izraz za dužinu užeta Za horizontalni raspon, dužina užeta L [[[[m]]]] na rasponu a [m] je (izraz izveden na Vježbama):

σσσσ

σσσσ2

2ap

shp

L ==== .

4.2. Približni izraz za dužinu užeta

dobija se na osnovu razvoja ...3!

xx

3

++++++++====shx :

)24

1(2

22

σσσσap

aL ++++==== .

Dužina užeta se može izraziti preko ugiba σσσσ8

2 paf ==== :

a

faL

2

3

8++++==== .

Povećanje ugiba od f1 na f2 ima za posljedicu povećanje dužine užeta za:

∆ )(3

8 2

1

2

2 ffa

L −−−−====

5. Jednačina promjene stanja provodnika

Zbog promjene temperature ambijenta i strujnog opterećenja mijenja se temperatura provodnika. Uslijed promjene temperature mijenja se naprezanje provodnika, te se mijenjaju svi parametri u kojima ono figuriše. Sa promjenom temperature mijenja se i dužina, a samim tim i ugib provodnika. Takođe se naprezanje i ugib mijenjaju pri pri promjeni opterećenja.


---- 27 ----

Dakle, pri promjeni temperature ( ][0 Cθθθθ ) i opterećenja ( ]/[ 2mmmdaNp ,

]/[ 2mmmdaNp∆∆∆∆ , ]/[ 2mmmdaNpv

) provodnika, odnosno užeta nadzemnog

elektroenergetskog voda mijenjaju se i naprezanje ( ]/[ 2mmdaNσσσσ ) i ugib ( ][mf )užeta. Jednačina koja definiše promjenu naprezanja sa promjenom temperature i opterećenja je JEDNAČINA STANJA. Da bi se formirala jednačina stanja provodnika mora se definisati njegovo početno stanje, odnosno početni uslovi u kojima se nalazi uže (indeksirani sa “0”) :

- temperatura: θo [oC]

- naprezanje (horizontalna komponenta) : σo [daN/mm2] - specifično opterećenje: po [daN/m mm2]

Za početno stanje naprezanja uzima se stanje maksimalnog radnog

naprezanja: mσσσσσσσσ ====0

Dužina užeta ][0 mL na rasponu ][ma , pri početnim uslovima je :

0

0

0

00

22

σσσσσσσσ ap

shp

L ====

Zbog promjene temperature na θθθθ mijenja se dužina provodnika. Nova dužina je:

)](1[ 001 θθθθθθθθαααα −−−−++++==== LL

gdje je: α [1/°C] - temperaturni koeficijent linernog širenja provodnika.

Ako se promijeni i naprezanje na σσσσ , dužina užeta u novim uslovima: σσσσθθθθ ,, p je

−−−−++++====

ELL 0

1 1σσσσσσσσ

gdje je: ]/[ 2mmdaNE - modul elastičnosti provodnika, odnosno užeta. ⇒

(((( ))))[[[[ ]]]]

−−−−++++−−−−++++====

ELL 0

00 11σσσσσσσσ

θθθθθθθθαααα

S druge strane i ova dužina užeta ][mL se može izraziti preko lančanice:


---- 28 ----

σσσσ

σσσσ2

2ap

shp

L ====

Slijedi:

(((( ))))[[[[ ]]]]

−−−−++++−−−−++++====

E

apsh

p

apsh

p

00

0

0

0 1102

22

2σσσσσσσσ

θθθθθθθθαααασσσσ

σσσσσσσσ

σσσσ

(((( )))) (((( ))))

−−−−−−−−++++

−−−−++++−−−−++++====

EE

apsh

p

apsh

p

00

00

0

0

0

0 12

22

2σσσσσσσσ

θθθθθθθθαααασσσσσσσσ


σσσσσσσσ

σσσσ

Član (((( ))))E

00

σσσσσσσσθθθθθθθθαααα

−−−−−−−− , zbog veoma male vrijednosti koeficijenta α i veliko E se

kao beskonačno mala drugog reda može zanemariti. ⇒⇒⇒⇒

Jednačina stanja:

(((( ))))

−−−−++++−−−−++++====

E

apsh

p

apsh

p

00

0

0

0

0 12

22

2σσσσσσσσ


σσσσσσσσ

σσσσ

Ako se za dužinu provodnika, umjesto tačnih izraza upotrijebe približni izrazi

oblika )24

1(2

22

σσσσap

aL ++++==== , dobija se približan izraz jednačine stanja provodnika

na horizontalnom rasponu:

E

papa 0

02

0

2

0

2

2

22

)(2424


σσσσσσσσ−−−−

++++−−−−====−−−− ,

koji je veoma podesan za praksu i brze proračune (izvesti !!!). Za konkretnu primjenu jednačine stanja provodnika neophodno je odrediti početne (nulte "0") uslove. Za početnu vrijednost naprezanja treba usvojiti najveće radno naprezanje (zadato maksimalno radno naprezanje ]/[ 2mmmdaN

mσσσσ ):

ndm

σσσσσσσσσσσσ ≤≤≤≤====0 .


---- 29 ----

Za početnu vrijednost temperature treba usvojiti temperaturu na kojoj se

javlja početno naprezanje 0σσσσ odnosno maksimalno radno naprezanje :

mσσσσσσσσ ====0 .

Maksimalno radno naprezanje može pojaviti:

pri Co20−−−− , bez dodatnog tereta (ČAl

pp/

≡≡≡≡ ) ili

pri Co5−−−− , sa dodatnim teretom ( ppppČAlČAlu ∆∆∆∆++++====≡≡≡≡ ∆∆∆∆++++ //

)

Kod koje će se od ove dvije temperature javiti veće naprezanje, odnosno maksimalno radno naprezanja zavisi od veličine raspona i vrijednosti tzv. kritičnog raspona. Dakle, da bi se mogli odrediti početni uslovi, odnosno početna temperatura ( ][0 Coθθθθ ) i početna specifična težina ( ]/[ 2

0 mmmdaNp ) pri kojima imamo

najveće naprezanje, jednako maksimalnom radnom naprezanju ( mσσσσσσσσ ====0 ), moramo predhodno odrediti kritični raspon.

6. Kritični raspon

Maksimalno naprezanje materijala užeta nastaje pri najvećem opterećenju, a to je stanje kad je provodnik opterećen dodatnim teretom ( pp

ČAl∆∆∆∆++++

/, Co5−−−− ) ili pri najnižoj temperaturi ( Co20−−−− ).

Za određivanje uslova pri kojim je naprezanje maksimalno ( mσσσσ ) koristi se pojam kritičnog raspona . Kritični raspon ( ][mak ) je raspon pri kojem maksimalno radno naprezanje

imamo kako kod najniže temperature Co20−−−− , bez dodatnog opterećenja

(ČAl

p/

), tako i pri najvećem opterećenju ( mp ), odnosno pri temperaturi

Co5−−−− sa dodatnim teretom ( ppmmmdaNpČAlm

∆∆∆∆++++====/

2 ]/[ ).

Kritični raspon ima smisla računati samo iz jednačine za umjerene raspone, jer se kod velikih raspona unaprijed zna da su veći od kritičnog. Kod velikih raspona uticaj dodatnog opterećenja postaje dominantan i maksimalno naprezanje se sigurno pojavljuje na temperaturi od Co5−−−− sa dodatnim teretom p∆∆∆∆ . Kod kraćih raspona uticaj dodatnog tereta je manji, te se maksimalno naprezanje može pojaviti pri minimalnoj temperatuti od Co20−−−− .

Izraz za kritčni raspon ][mak

dobijamo iz jednačine stanja:


---- 30 ----

(((( ))))E

papa o

o

o

o σσσσσσσσθθθθθθθθαααα


++++−−−−====−−−−2

22

2

22

2424

u koju uvrštavamo:

- raspon je jednak kritičnom rasponu: k

aa ==== , - i dva stanja pri kojima je raspon jednak kritičnom rasponu su: stanje 1 - početno stanje, odnosno stanjem "0":

kaa ====

pppppČAlČAlm

∆∆∆∆++++====≡≡≡≡==== ∆∆∆∆++++ //0

Co50 −−−−====θθθθ

mσσσσσσσσ ====0

stanje 2

kaa ====

ČAlpp

/====

Co200 −−−−====θθθθ

mσσσσσσσσ ==== .

⇒⇒⇒⇒ (((( ))))E

papa mm

m

ok

m

k σσσσσσσσαααα


++++++++−−−−====−−−− 5202424 2

22

2

22

αααασσσσσσσσ

152424

2

2

2

2

2 −−−−====

−−−−−−−−

mm

o

k

ppa

Kritični raspon je:

22

360

ppa

m

mk −−−−====

αααασσσσ

U izrazu za kritični raspon je: pppp

ČAlČAlm∆∆∆∆++++====≡≡≡≡ ∆∆∆∆++++ //

i ČAl

pp/

≡≡≡≡ .

Kritični raspon definiše uslove pri kojim nastaje maksimalno naprezanje užeta. Ako je posmatrani raspon veći od kritičnog (

kaa >>>> ) maksimalno

naprezanje javlja se pri temperaturi Co5−−−− - uz dodatni teret ( ppČAl

∆∆∆∆++++/

) ⇒

Za k

aa >>>> početno stanje u jednačini stanja je:

ppppČAlČAl

∆∆∆∆++++======== ∆∆∆∆++++ //0

Co50

−−−−====θθθθ


---- 31 ----


Ako je posmatrani raspon manji od kritičnog (

kaa <<<< ) maksimalno

naprezanje javlja se pri temperaturi Co20−−−− sa specifičnim opterećenje samog provodnika (

ČAlp

/)

⇒ Za

kaa <<<< početno stanje u jednačini stanja je:

ČAlpp

/0====

Co200

−−−−====θθθθ


7. Kritična temperatura

Jedna od veličina koja određuje visinu stubova vazdušnih vodova je ugib provodnika. Opredjeljujući je ugib pri vertikalnom položaju provodnika, dakle bez djelovanja vjetra. Najveći ugib pri vertikalnom položaju provodnika nastaje pri najvećoj

temperaturi ( Co40 ) ili pri dodatnom opterećenju ( ppČAl

∆∆∆∆++++/

) i temperaturi

pojave dodatnog tereta ( Co5−−−− ).

Za određivanje uslova pri kojim je ugib maksimalan koristi se pojam kritične temperature.

Pri najvećoj temperaturi provodnik je opterećen samo svojom težinom (

ČAlp

/), a

naprezanje materijala provodnika je najmanje.

Pri temperaturi Co5−−−− , provodnik je opterećen sopstvenom težinom i dodatnim teretom ( ppp

ČAl∆∆∆∆++++====−−−− /5

), naprezanje je 5−−−−σσσσ (

mσσσσσσσσ ====−−−−5

, ako je posmatrani

raspon k

aa >>>> ), a ugib je određen izrazom

5

5

2

8 −−−−

−−−−====σσσσpa

f

Na kritičnoj temperaturi kθθθθ ugib provodnika jednak je ugibu

provodnika na temperaturi od Co5−−−− i sa dodatnim teretom.


---- 32 ----

Ugib pri opterećenju sopstvenom težinom ČAl

pp/

≡≡≡≡ i pri kritičnoj temperaturi k

θθθθ

je:

k

paf

θθθθσσσσ8

2

====

Naprezanje na kritičnoj temperaturi kθθθθσσσσ dobija se iz jednakosti posljednja dva

izraza

k

papa

θθθθσσσσσσσσ 88

2

5

5

2

====−−−−

−−−−

⇒

5

5

−−−−−−−−====

p

pk

σσσσσσσσ θθθθ .

Uvrštavanjem u jednačinu stanja:

stanje 1 - stanje "0": a

pppppČAlČAl

∆∆∆∆++++====≡≡≡≡==== ∆∆∆∆++++−−−− //50

Co50

−−−−====θθθθ

50 −−−−==== σσσσσσσσ

stanje 2 a

ČAlpp

/====

kθθθθθθθθ ====

5

5

−−−−−−−−====

p

pk

σσσσσσσσ θθθθ

dobijamo:

(((( ))))E

p

p

pa

p

ppak

5

5

5

2

5

2

5

2

2

2

5

2

5

22

52424

−−−−−−−−

−−−−

−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−⋅⋅⋅⋅

++++++++====−−−−⋅⋅⋅⋅

σσσσσσσσθθθθαααα

σσσσσσσσ,

⇒ izraz za kritičnu temperaturu:

−−−−++++−−−−====

−−−−

−−−−

5

5 15p

p

Ek αααα

σσσσθθθθ

Relacija za kritičnu temperaturu je direktno primjenljiva u slučaju kada je kaa >>>> ,

jer se tada unaprijed zna da je mσσσσσσσσ ====−−−−5 . Za raspone k

aa <<<< unaprijed se ne zna


---- 33 ----

naprezanje 5−−−−σσσσ , jer je ono u takvim slušajevima manje od maksimalnog radnog

naprezanja. U ovakvim slučajevima prvo se mora odrediti naprezanje 5−−−−σσσσ iz jednačine stanja, a zatim kritična temperatura.

• Ako Co

k40max ====<<<< θθθθθθθθ ,

maksimalni ugib imamo pri Co40max ====θθθθ

• Ako je Co

k40max ====>>>> θθθθθθθθ

maksimalni ugib imamo pri Co5−−−−====θθθθ sa dodatnim teretom

ppppČAlČAl

∆∆∆∆++++====≡≡≡≡ ∆∆∆∆++++−−−− //5

8. Montažne krive

Krive zavisnosti )(θθθθσσσσ i )(θθθθf nazivajuu se montažne krive i koriste se za određivanje naprezanja i ugiba pri montaži nadzemnih elektroenergetskih vodova. Kriva zavisnosti naprezanja od temperatute : )(θθθθσσσσ se određuje na osnovu jednačine stanja. Zatim se preko izraza za ugib i dobijenih vrijednosti naprezanja za različite temperature određuje kriva zavisnosti ugiba od temperature : )(θθθθf . Montaža voda se vrši pri povoljnim vremenskim uslovima, kada je temperatura obično iznad 15 °C, sem u izuzetnim slučajevima kod havarija. Prije konačnog fiksiranja provodnika za izolatore, provjeravaju se ugibi ili se na zateznim stubovima mjere sile zatezanja pomoću dinamometra. Potrebne vrijednosti ugiba ili sila zatezanja očitavaju se sa montažnih krivih.

9. Idealni raspon

Sva dosadašnja izvođenja bazirala su se na predpostavci konstantnih raspona i odnosila su se na horizontalne raspone. Praktično, predpostavka konstantnosti raspona je ispunjena za raspone između zateznih stubova na kojima su užad čvrsto uklještena. Međutim, duž trase se primjenjuju i noseći stubovi na kojima uže visi na vertikalnim visećim izolatorskim lancima. Izolatorski lanci su labavo okačeni o konzole nosećih stubova. Ti lanci se mogu od vertikalnog položaja manje ili više pomjerati, što znači da raspon između dva susjedna noseća stuba praktično nije konstantan. Zato se uvijek posmatra ne svaki raspon ponaosob već svako zatezno polje, sa svim rasponima između dva zatezna stuba (slika)


---- 34 ----

Zatezno polje Po Pravilniku, zatezno polje ne smije biti duže od 8 km i ne smije sadržati više od 30 raspona. Terenski i klimatski uslovi u praksi diktiraju znatno kraća zatezna polja. Teži se da rasponi u zateznom polju budu jednaki, ali to u praksi najčešće nije moguće postići. Ako je zatezno polje sastavljeno od raspona različitih dužina, pri promjeni temperature provodnici u rasponima različite dužine različito će se izdužiti. Uslijed toga dolazi do pomjeranja tačaka vješanja provodnika na nosećim stubovima i zakošenja izolatorskih lanaca. Tačke vješanja provodnika tako se pomjeraju da naprezanje u svim rasponima zateznog polja ostaje nepromjenjeno. Jednačinu stanja provodnika treba tako proširiti da se omogući njena primjena na cjelo zatezno polje. Jednačina stanja provodnika izvedena je pod predpostavkom da je raspon konstantan. Takva predpostavka važi praktično za zatezno polje, jer se u okviru zateznog polja neki rasponi povećavaju a drugi smanjuju. Množenjem jednačine stanja sa rasponom ][ma dobijamo oblik:

E

aapapa 0

02

0

2

0

3

2

23

)(2424



++++−−−−====−−−−

U takvoj jednačini stanja možemo uzeti u obzir cjelokupno zatezno polje i to tako da umjesto raspona a upisujemo dužinu zateznog polja sa svih n raspona:

n

n

ii aaaaa ++++++++++++++++====∑∑∑∑

====

...3211

,

i umjesto 3a upisujemo:

][1 ma

Z1 N1

N2 N3

Z2

grla

asr [m]

][2

ma ][3 ma ][

4ma

grda


---- 35 ----

33

3

3

2

3

11

3 ... n

n

ii aaaaa ++++++++++++++++====∑∑∑∑

====

Jednačina promjene stanja za cjelokupno zatezno polje tada glasi:

E

aaapap 0

02

0

32

0

2

32

)(2424



++++−−−−====−−−− ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑ .

To je isto kao kad bi imali neki ekvivalentni, odnosno tzv. idealni raspon:

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

========n

ii

n

i

i

a

a

a

1

1

3

.

Dakle, cjelokupno zatezno polje smo zamjenili jednim rasponom konstantne du\ine jednakim idealnom rasponu ][ma

i . U zateznom polju sve proračune treba vršiti sa idealnim rasponom. Promjena naprezanja se određuje na osnovu jednačine stanja provodnika za idealni raspon:

E

papaii 0

02

0

2

0

2

2

22

)(2424



++++−−−−====−−−− .

Idealnom rasponu pripada i idealni ugib:

σσσσ8

2 paf i

i ==== .

Stvarni ugibi u rasponima posmatranog zateznog polja određuju se po izrazu:

2

====

i

n

ina

aff ,


---- 36 ----

a koji slijedi iz jednakosti naprezanja u svim rasponima zateznog polja. Pri proračunu raspona u zateznom polju kritični raspon koji se određuje pomoću

izraza 22

360

ppa

m

mk −−−−====

αααασσσσ upoređuje se sa idealnim rasponom, bez obzira što u

zateznom polju može biti i većih i manjih stvarnih raspona od kritičnog raspona. Za kose raspone treba izvesti odgovarajuće izraze, uz konstataciju da užad dalekovoda sa tačkama vješanja na različitim visinama kao i užad sa tačkama vješanja na istoj visini, zauzimaju oblik lančanica, koje se za manje i umjerene raspone sa dovoljnom tačnošću mogu zamijeniti parabolama.

Kosi rasponi

σσσσ x

O

1

c [[[[m]]]]

at [[[[m]]]]

a [[[[m]]]]

1'

ad

f

h

2

f O [[[[m]]]]

at 1 [[[[m]]]]

y

σσσσ c σσσσ x

O C

1

c [[[[m]]]]

at [[[[m]]]]

a [[[[m]]]]

2'

ad a/2

f

h

2

2'

at1=at - 2ad

f 1

f O [[[[m]]]]

y


---- 37 ----

II.3 Električni proračun nadzemnih elektroenergetskih vodova

Osnovni zadatatak električnih proračuna je određivanje naponskih prilika duž voda i gubitaka snage u vodu.

1. Električni parametri voda

Električn parametri (parametri) voda su karakteristike voda koje utiču na električne prilike duž voda. Parametri voda su:

• otpornost ][ΩΩΩΩR

• induktivnost ][HL

• kapacitivnost ][FC

• odvodnost ][SG

Paramerti nadzemnih elektroenergetskih vodova zavise od:

• vrste materijala i konstrukcije provodnika • međusobnog položaja provodnika • rastojanja između provodnika • zaštitne užadi • atmosferskih prilika i naravno • dužine provodnika

Vodovi se uopšteno razlikuju po dužini, pa se zbog toga parametri voda daju po jedinici dužine, uobičajeno po kilometru dužine voda:

• jedinična otpornost , oznaka ]/[1 kmR ΩΩΩΩ ili ]/[0 kmR ΩΩΩΩ , ili ]/[ kmr ΩΩΩΩ

• jedinična induktivnost, oznaka ]/[1 kmHL , ili ]/[0 kmHL , ili ]/[ kmHl

• jedinična kapacitivnost, oznaka ]/[1 kmFC , ili ]/[0 kmFC , ili ]/[ kmFc

jedinična odvodnost, oznaka ]/[1 kmSG , ili ]/[0 kmSG , ili ]/[ kmSg . Umjesto termina "jedinična", često se upotrebljava termin "podužna": podužna otpornost, podužna induktivnost, podužna kapacitivnost i podužna odvodnost. Kod trofaznih vodova parametri se daju po fazi, dakle za jedan fazni provodnik, s tim da se kao povratni dio strujnog kruga uzima zamišljeni neutralni provodnik.

Elektroenergetski vodovi su elementi sa raspodjeljenim parametrima.


---- 38 ----

Slika : Parametri voda elementarne dužine dx Prema položaju u šemi voda,

• otpornost i induktivnost su uzdužni parametri, a • odvodnost i kapacitivnost su poprečni parametri voda.

Prema tome da li u njima nastaju gubici ili ne,

• otpornost i odvodnost su parametri u kojima nastaju gubici, a • induktivnost i kapacitivnost su parametri bez gubitaka.

Za otpornost R se često upotrebljavaju termini aktivna otpornost, da bi je razlikovali od induktivne otpornosti: LX L ωωωω==== ili kapacitivne otpornosti:

CXC ωωωω

1==== .

Parametri voda mogu imati različite vrijednosti. Ponekad neki od njih mogu imati zanemarljivu vrijednost u odnosu na vrijednosti drugih parametara. Zato se u električnim proračunima često ne uzimaju uvijek sva četiri parametra :

• Kod niskonaponskih vodova uglavnom preovladava omska otpornost i u većini slučajeva se ostala tri parametra zanemaruju.

• Pri električnim proračunima nadzemnih vodova srednjih napona (10, 20 i 35 kV) uzima se u obzir otpornost i induktivnost.

• Pri električnom proračunu vodova napona 110 kV i višeg uzima se u obzir otpornost, induktivnost i kapacitivnost, a u nekim proračunima i odvodnost.

• Kod vodova najviših napona (400 kV i više ) uzimaju se u obzir sva četiri parametra.

• Kod vodova za prenos električne energije se u određenim slučajevima, npr. pri proračunima električnih prilika u dugim vodovima, zanemaruju otpornost i odvodnost, te se uzimaju u obzir samo induktivnost i kapacitivnost.

• Kod proračuna struja kvara često se sa zanemarenjem ide još dalje, pa se za struju kratkog spoja uzima u račun samo induktivitet, a za struju zemljospoja samo kapacitivnost voda.

Parametri voda se daju po jedinici dužine, pa je za konkretne proračune potrebno poznavati dužinu voda. Kao dužinu voda treba uzeti stvarnu dužinu provodnika

][kml . U praktičnim proračunima za dužina provodnika često poistovjećuje sa zbirom raspona duž trase voda.

R1dx L1dx

C1dx G1dx


---- 39 ----

1. Aktivna otpornost (otpornost)

Otpornost provodnika je svojstvo koje dolazi do izražaja zbog toga što se "provodnik odupire" proticanju električne struje (usmjerenom kretanju elektrona). Otpornost po jedinici dužine je definisana padom napona, ili gubitkom snage po jedinici dužine voda, ako u vodu protiče jednosmjerna struja jačine 1 A:

21 ]/[I

P

I

UkmR ========ΩΩΩΩ

Pri proticanju jednosmjerne struje kroz provodnik, njena raspodjela po jedinici presjeka je ravnomjerna, pa je gustina struje po cijeloj površini presjeka provodnika ravnomjerna. Otpornost provodnika pri jednosmjernoj struji može se izračunati prema relaciji:

S

lR ρρρρ====−−−−

gdje su: ]/[ 2 kmmmΩΩΩΩρρρρ - specifična otpornost materijala provodnika:

kmmmAl /28 2ΩΩΩΩ====ρρρρ ,

kmmmCu /8,17 2ΩΩΩΩ====ρρρρ ,

kmmmČ

/1143 2ΩΩΩΩ====ρρρρ

][kml - dužina provodnika

][ 2mmS - presjek provodnika (za ČAl užad to je stvarni presjek Al

plašta).

Pri proračunu otpornosti užadi, treba računati sa stvarnim presjekom provodnika (aluminijumskog plašta).

Kod kombinovanih užadi (Al/Č) presjek čelika se ne uzima u obzir, tj. smatramo da struja protiče samo kroz aluminijumski plašt. Otpornost provodnika koji se koriste za nadzemne vodove, odnosno otpornost užadi nadzemnih vodova je veća od one određene prethodnom relacijom zbog sljedećih uzroka:

1. Kroz provodnike protiče naizmjenična struja. Pri proticanju naizmjenične struje, zbog skin efekta raspodjela struje kroz poprečni presjek nije ravnomjerna (gustina struje je najmanja u sredini provodnika, a najveća na površini provodnika). Povećanje otpornosti zbog skin efekta dato je relacijom:


---- 40 ----

)192

1(22

rRRρρρρ

µµµµωωωω++++==== −−−− ,

gdje su: ]/[ srωωωω - kružna učestanost ]/[ kmHµµµµ - magnetna permeabilnost provodnika

]/[ 2 mmmΩΩΩΩρρρρ - specifična otpornost materijala provodnika ][mmr - poluprečnik provodnika.

Uticaj skin efekta na povećanje otpornosti pri frekvenciji od 50 Hz je neznatan kod provodnika presjeka do 150 mm2 i iznosi od 0,1 do 0,5%. Međutim, kod provodnika većeg presjeka, uticaj skin efekta na povećanje otpornosti provodnika je znatan i ne smije se zanemariti. Tako npr., kod provodnika presjeka 300 mm2 ono iznosi oko 2%.

2. Zbog efekta blizine faznih provodnika dolazi do poremećaja u raspodjeli

struja po poprečnom presjeku provodnika. Efekat blizine nastaje kao posljedica djelovanja struje u jednom provodniku na raspodjelu struje u drugom, susjednom provodniku. Ovaj efekat je utoliko jači ukoliko su provodnici bliži jedan drugom (kao kod kablova, npr.). Kod nadzemnih vodova može se uticaj efekta blizine potpuno zanemariti.

3. Uže je sastavljeno od neizolovanih žica. Žice su po pojedinim slojevima

sukane, tako da je dužina svake žice u užetu veća od dužine užeta. Struja teče duž žica, a ne duž užeta. Kako je dužina žica za 2 do 3% veća od dužine užeta, biće i otpor zbog toga za 2 do 3% veći od onog računatog sa izmjerenom dužinom užeta.

4. Kod ČAl užadi otpornost se povećava i zbog tzv. transformatorskog

djelovanja. Kod ČAl užadi struja praktično teče samo kroz aluminijumski plašt, tj. oko čeličnog jezgra. U čeličnom jezgru se zbog promjenljivog magnetnog fluksa pojavljuju vrtložne struje i histerezisni gubici. Ono se zbog toga zagrijava pa se zagrijava i aluminijumski plašt. Ova pojava se naziva transformatorsko djelovanje ČAl užadi. Ovo djelovanje najviše

dolazi do izražaja kod užadi sa jednim slojem aluminijuma i uzrokuje povećanje otpornosti oko 2%. Kod užadi sa više slojeva poništava se ovo djelovanje, jer su žice u slojevima suprotno sukane.

Aktivna otpornost provodnika nadzemnih vodova se najčešće ne izračunava već se u praksi koriste podaci iz kataloga proizvođača ili iz odgovarajućikh priručnika (npr. Kajzerov ili Končarev priručnik). Uobičajeno, proizvođači daju otpornost svojih provodnika pri jednosmjernoj i pri naizmjeničnoj struji i pri temperaturi od 20 oC: ]/[201 kmR ΩΩΩΩ−−−− , R 1~20 ]/[ kmΩΩΩΩ .


---- 41 ----

Otpornost se mijenja sa temperaturom linearno (Slika), posmatrajući za praksu interesantan temperaturni opseg.

Slika: Promjena otpornosti sa temperaturom

Da bi se mogla odrediti otpornost na nekoj proizvoljnoj temperaturi (θθθθ , θθθθR ), potrebno je poznavati otpornost na određenoj temperaturi, obično 20oC ( 20R ) i temperaturu superprovodnosti ( 0θθθθ , 0

0====θθθθR ) za materijal provodnika.

Na osnovu Slike, otpornost na nekoj proizvoljnoj temperaturi (θθθθ , θθθθR ) je:

0

020

20 θθθθθθθθθθθθ

θθθθ −−−−

−−−−==== RR

gdje su: 20R - otpornost na temperaturi Co20

][0 Coθθθθ -temperatura superprovodnosti: 00

====θθθθR

Tabela: Temperature superprovodnosti

Materijal Meki bakar Tvrdi bakar Tvrdi aluminijum θ[0C] -234,5 -242 -228

Temperature superprovodnosti 0θθθθ se malo mijenjaju od materijala do

materijala provodnika koji se koriste u praksi.

Opornost se značajnije mijenja sa temperaturom, npr za bakar je: 46,120

80 ====R

R .

2. Induktivnost nadzemnih vodova

Pri proticanju naizmjenične struje kroz provodnik, oko njega se stvara naizmjenično elektromagnetno polje. Uslijed promjene fluksa u samom provodniku

20oC θθθθo

C

Rθθθθ

R20

R

θθθθ θθθθ0


---- 42 ----

se indukuje elektromotorna sila, nazvana sila samoindukcije1. Njen smjer, prema Lencovom pravilu, uvijek je takav da se suprostavlja naizmjeničnoj struji koja stvara promjenu fluksa. Otpor kojim je njeno dejstvo izraženo naziva se induktivna otpornost ili reaktansa provodnika ( ][ΩΩΩΩLX ). Ona je jednaka proizvodu iz kružne učestanosti (ωωωω ) i induktivnosti provodnika ( ][HL )2:

LX L ωωωω====ΩΩΩΩ][ Induktivnost voda je svojstvo voda da se odupire promjeni struje u provodniku. Pri proračunu induktivnosti nadzemnih vodova predpostavljamo da je permeabilnost magnetnog kruga konstantna. U tom slučaju je induktivnost definisana odnosom magnetskog fluksa i struje3 u provodniku. Pri tome treba računati sa tzv. obuhvatnim magnetskim fluksom, tj. zbirom svih magnetskih flukseva oko jednog provodnika.

1. Obuhvatni magnetski fluks proizvoljnog broja paralelnih provodnika jednog sistema

Posmatraćemo sistem od n prostorno paralelno postavljenih provodnika koji pripadaju jedom te istom strujnom krugu (Slika). Odredićemo obuhvatni fluks oko jednog provodnika do udaljenosti tačke A, a koji potiče od struja u svim provodnicima.

Slika: Sistem n povodnika

Obuhvatni fluks oko provodnika 1 do tačke A, koji stvara struja 1I tog provodnika, po jedinici dužine provodnika, je:

1 Prema Faradejevom zakonu je

dt

de

Φ−= .

2

dt

dILe −=

3 Iz predhodnih jednačina ⇒⇒⇒⇒

dI

dL

Φ= , a ako se fluks mijenja linearno sa strujom

IL

Φ= , pri

čemu za magnetski fluks treba uračunati obuhvatni fluks, odnosno onaj fluks koji je obuhvaćen

strujom I.

1

2

n

x1

x2

xn

D12

D1n

D2n

A


---- 43 ----

sr

xI 1111 ln

2ππππµµµµ

====ΦΦΦΦ

Podsjetimo se na koji način smo došli do ovog izraza:

Za provodnik poluprečnika a dužine l sa strujom I obuhvatni fluks je SdHS

rr

∫∫∫∫====ΦΦΦΦ µµµµ , gdje je

Hr

vektor magnetskog polja, a Sdr

orjentisani element površine ( ldxdS ==== ). Fluks ćemo rastaviti na spoljašnji SΦΦΦΦ i unutrašnji uΦΦΦΦ : us ΦΦΦΦ++++ΦΦΦΦ====ΦΦΦΦ

Spoljašnji fluks je: a

DlIdxl

x

ISdH

D

aS

s ln22

11111

1ππππ

µµµµππππ

µµµµµµµµ ============ΦΦΦΦ ∫∫∫∫∫∫∫∫rr

, pri čemu je ax ≥≥≥≥ i

gdje je D odstojanje ma koje tačke A u prostoru od ose provodnika.

Unutrašnji fluks obuhvaćen dijelom struje xI je: I

Ildx

x

I

I

ISdH x

axx

S

u ∫∫∫∫∫∫∫∫ ========ΦΦΦΦ0

22222

2ππππ

µµµµµµµµrr

, pri

čemu je ax ≤≤≤≤ .

Po presjeku provodnika raspodjela struje je ravnomjerna: ππππππππ

2

2

a

x

I

I x ==== , pa je

ππππµµµµ

ππππµµµµ

822

04

3

2

lIdx

a

lIxa

u ========ΦΦΦΦ ∫∫∫∫ . ⇒

⋅⋅⋅⋅++++====

++++====ΦΦΦΦ++++ΦΦΦΦ====ΦΦΦΦ

ππππµµµµ

ππππµµµµ

ππππµµµµ

ππππµµµµ

4ln

28ln

2

021 rus

a

DlI

a

DlI .

Za neferomagnetne materijale je 1====rµµµµ , pa je:

++++====ΦΦΦΦ 25,0ln

2

0

a

DlI

ππππµµµµ

,

odnosno: sr

DlIln

2

0

ππππµµµµ

====ΦΦΦΦ , gdje je 25,0−−−−==== aers .

Dijeljenjem posljednjeg izraza sa dužinom provodnika, dobija se fluks po jedinici dužine.

Veličina sr je srednji geometrijski poluprečnik provodnika poluprečnika a . U svim daljim analizama figuriše fluks po jedinici dužine. Fluks struje provodnika 2, oko provodnika 1 do odstojanja na kome se nalazi tačka A, uzimajući da je prečnik provodnika veoma mali, je:

12

22012 ln

2 D

xI

ππππµµµµ

====ΦΦΦΦ .

Slično će biti uslijed struje provodnika 3 i svih ostalih provodnika, sve do n - tog:

n

nnn

D

xI

1

01 ln

2ππππµµµµ

====ΦΦΦΦ .

Ukupni obuhvatni magnetski fluks oko provodnika 1 do udaljenosti na kojoj se nalazi tačka A uslijed struja svih provodnika, biće:


---- 44 ----

++++++++++++======== ∑∑∑∑

n

nn

s

n

iD

xI

D

xI

r

xI

112

22

11

0

1

ln...lnln2

ΦΦππππ

µµµµ

Pošto provodnici pripadaju istom strujnom kolu, važi: 0...21 ====++++++++++++ nIII .

Zamjenom nI u posljednji izraz za fluks, dobijamo:

(((( ))))

++++++++++++====ΦΦΦΦ −−−−

−−−−−−−−

n

n

n

nn

n

n

ns

n

x

x

D

DI

x

x

D

DI

x

x

r

DI 1

11

11

2

12

12

111

0 ln...lnln2ππππµµµµ

.

Neka je tačka A veoma udaljena od sistema provodnika, čime stvarno obuhvatamo cjelokupni fluks oko provodnika 1, tako da je: nxxx ============ ...21 .

Jednačina za obuhvatni magnerski fluks oko provodnika, po jedinici dužine, je:

++++++++++++====ΦΦΦΦ

n

n

s DI

DI

rI

112

210 1

ln...1

ln1

ln2ππππµµµµ

.

Ova jednačina se koristi za određivanje induktivnosti sistema proizvoljnog broja provodnika.

2. Induktivnost dvožičnog voda

Posmatrajmo dvožični vod sa dva ista provodnika i strujama u suprotnom smjeru (jednofazni sistem). Rastojanje između provodnika je D , a poluprečnik r.

Slika: Dvožični vod

Na osnovu opšteg izraza za obuhvatni magnetski fluks, dobijamo izraz za fluks dvožičnog voda (Slika):

sss r

DI

DI

rI

DI

rI ln

2

1041ln

1ln

2

1ln

1ln

2

70

12

210

ππππππππ

ππππµµµµ

ππππµµµµ −−−−

====

−−−−====

++++====ΦΦΦΦ ,

sr

DI ln102 7−−−−⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ .

D [[[[m]]]] 2r [[[[m]]]]

I[[[[A]]]] -I[[[[A]]]]


---- 45 ----

Induktivnost provodnika dvožičnog voda je odnos fluksa i struje: I

LΦΦΦΦ

====1 .

⇒

sr

DmHL ln102]/[ 7

1−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,

gdje su: ][mD - međusobna udaljenost dva provodnika,

][mrs - je srednji geometrijski poluprečnik provodnika, određen za pun

provodnike od nemagnetnog materijala izrazom: rrs 7788,0==== , u kojem je r stvarni poluprečnik provodnika.

U predhodnim jednačinama razmak između provodnika D i poluprečnik r ,

odnosno sr treba uvrštavati u istim jedinicama.

Isti izraz za induktivnost, dobićemo i u slučaju da struja nije jednoliko raspoređena u posmatranom provodniku, nego kad je koncentrisana na kružnici sa poluprečnikom sr . Dakle, struju u posmatranom provodniku možemo zamisliti koncentrisanu na kružnici poluprečnika sr i induktivnost računati po istom izrazu.

Možemo reći da poluprečnik sr daje neku srednju udaljenost struje same od sebe i nazvati ga srednji geometrijski poluprečnik.

3. Induktivnost trofaznog voda sa

simetričnim rasporedom faznih provodnika

Na Slici je prikazan raspored provodnika simetričnog trofaznog voda. Provodnici su raspoređeni u vrhovima jednakostraničnog trougla. Rastojanja između osa provodnika su D , a poluprečnici faznih provodnika r .

Slika: Trofazni simetrični vod Posmatrajmo provodnik jedne faze, npr. faze R.

D [m] 2r [m]

D [m] D [m]

R S

T


---- 46 ----

Kod simetričnih trofaznih sistema: 0====++++++++ TSR III , ⇒ TSR III ++++====−−−− . Za provodnik posmatrane faze R, obuhvatni fluks je:

(((( ))))

−−−−⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ

++++++++⋅⋅⋅⋅====

++++++++⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ

++++++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

DrI

DII

r

DI

DI

rI

DI

DI

rI

s

RR

TS

s

RR

TS

s

RR

RS

T

RS

S

s

RR

1ln

1ln102

1ln

1lnI102Φ

)1

ln1

ln1

ln(102

1ln

1ln

1ln102Φ

7

7

7

7

Podužna induktivnost (indeks 1 u oznaci induktivnosti) provodnika faze R (indeks R u oznaci induktivnosti) je odnos obuhvatnog fluksa i struje, konkretno:

sR r

DmHL ln102]/[ 7

1−−−−⋅⋅⋅⋅==== .

Istu vrijednost dobili bi da smo posmatrali bolo koji od druga dva fazna provodnika. ⇒ Podužna induktivnost provodnika simetričnog trofaznog voda je:

sr

DmHL ln102]/[ 7

1−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,

gdje je: D - rastojanje između faznih provodnika,

sr - srednji geometrijski poluprečnik provodnika.

U slučaju punog provodnika od nemagnetnog materijala je: rrs 7788,0==== . Srednji geometrijski poluprečnik užadi može se odrediti kao srednja geometrijska udaljenost svih n žica koje formiraju uže:

2............ 212222111211

nnnnnnns rrrrrrrrrr ====

nnrrr ..., ,2211 su identični i jednaki srednjem geometrijskom poluprečniku žice

žsž rr 7788,0====

2112 rr ==== je udaljenost osa žice 1 od žice 2, ...,

11 nn rr ==== je udaljenost osa žice 1 od žice n užeta.


---- 47 ----

Kod ČAl užadi se proračun komplikuje, jer sve šice nisu od istog materijala, a osim toga čelično jezgro ima veliku permeabilnost. Kako struja praktično teče Al plaštom, može se računati samo sa Al žicama. Olakšavajuća okolnost je što proizvođači užadi, pored ostalih konstrukcionih karakteristika daju i vrijednost srednjeg geometrijskog poluprečnika užeta

][mmrs . Te vrijednosti treba koristiti pri proračunima induktivnosti za konkretne nadzemne vodove.

Srednji geometrijski poluprečnik provodnika sa n užadi u snopu po fazi može se odrediti preko izraza za srednju geometrijsku udaljenost između užadi u snopu.

Provodnici sa dva užeta u snopu po fazi:

krkrrrrrr sss 14 22

12

21221211

2 ============

Provodnici sa tri užeta u snopu po fazi:

3 21

9 63

13

333231232221131211

2krkrrrrrrrrrrr sss ============

Provodnici sa četiri užeta u snopu po fazi:

4 31

4 21

4 21

16 484

1

444434241343332312423222114131211

41.141.141.1

)41.1(

2

krkkrkkr

kkr

rrrrrrrrrrrrrrrrr

sss

s

s

============

========

========

U svim predhodnim izrazima 1sr je srednji geometrijsko poluprečnik jednog

užeta, pri čemu su sva užad provodnika faza identična.

Induktivnost provodnika dvožičnog (jednofaznog) voda je jednaka induktivnosti provodnika trofaznog voda.

Objašnjenje: Neka kroz jedan provodnik dvožičnog voda teče struja I . Kroz drugi tada teče struja I−−−− , jer je jedan provodnik odlazni, a drugi povratni. Ako kroz jedan provodnik trofaznog voda protiče isto struja I , kroz ostala dva provodnika proticaće ukupna struja I−−−− . Ova razmatranja za struje vrjede i za magnetske flukseve, što znači da je pri istim jačinama struje kroz provodnik i kod dvožičnog i kod trofaznog voda isti obuhvatni fluks, odnosnao ista podužna induktivnost.

k [m] 2r[m]

r

k k

k

r

k k

k

k


---- 48 ----

4. Induktivnost trofaznog voda sa nesimetričnim rasporedom faznih provodnika

Na Slici je prikazan raspored faznih provodnika nesimetričnog trofaznog voda. Pošto induktivnost zavisi od međusobnog položaja provodnika, pri ovakvom rasporedu provodnika induktivnosti faznih provodnika su različite. Ovakvo stanje bi u pogonu dalekovoda izazvalo značajne poteškoće (različiti padovi napona, pomjeranje zvijezde napona i dr.). Zbog toga se konstruktivno osigurava električna simetrija vodova, koji su geometrijski nesimetrični, cikličnom zamjenom položaja provodnika na stubu, odnosno tzv. preplitanjem (Slika).

Slika: Trofazni nesimetrični vod

Slika: Preplitanje jednostrukog (tri fazna provodnika) voda - dva ciklusa

Preplitanje se izvodi tako da se dužina voda podijeli na odsječke (broj odsječaka je djeljiv sa 3, npr. 3,6,9 itd.), a svaka tri odsječka čine jedan pun ciklus preplitanja. Na slici je prikazano preplitanje jednostrukog (tri fazna provodnika) voda. Stubovi na kojima se vrši preplitanje nazivaju se prepletni ili transpozicioni stubovi. Na vodovima napona 10 kV preplitanje je obično nepotrebno. Na vodovima napona 35 kV (ponekad) i 110 i 220 kV (redovno) potrebno je preplitati provodnike. Pri tome je dovoljno izvršiti jedan ili dva ciklusa preplitanja, tj. podjeliti vod na 3 ili 6 jednakih odsječaka. Preplitanje, odnosno prevezivanje faznih provodnika poskupljuje vod, jer se može obaviti samo na specijalnim stubovima i zahtijeva povećani broj izolatorskih lanaca. Preplitanje faznih provodnika se vrši samo ako je ispunjen uslov:

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] kVkmkmlkVUn 5000≥≥≥≥⋅⋅⋅⋅

D12 [m] 2r [m]

D 13[m] D23 [m]

R

1

S

2

T

3

1

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

l/6 l/6 l/6 l/6 l/6 l/6


---- 49 ----

Podužna induktivnost trofaznog nesimetričnog - prepletenog voda: Posmatrajmo provodnik faze R, odnosno provodnik 1. Za struje važi: 0====++++++++ TSR III

Za provodnik faze R sa strujom RI , obuhvatni magnetski fluks u položajima I, II i III provodnika je:

++++++++⋅⋅⋅⋅====

++++++++⋅⋅⋅⋅====

++++++++⋅⋅⋅⋅====

−−−−

−−−−

−−−−

2313

7

1223

7

1312

7

1ln

1ln

1ln102

1ln

1ln

1ln102Φ

1ln

1ln

1ln102Φ

DI

DI

rIΦ

DI

DI

rI

DI

DI

rI

TS

s

RIIIR

TS

s

RIIR

TS

s

RIR

Srednja vrijednost ukupnog obuhvatnog fluksa, po jedinici dužine, oko provodnika faza R je:

++++++++⋅⋅⋅⋅====

++++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++++++====

−−−−

−−−−

3231213

3231312

7

231213231312

7

1ln

1ln

1ln102Φ

1ln

1ln

1lnI3102

3

1Φ

)ΦΦΦ(3

1Φ

DDDI

DDDI

rI

DDDI

DDDI

r

TS

s

RR

TS

s

RR

IIIRIIRIIRR

Označimo: 3231312 DDDDm ====

⇒

++++++++⋅⋅⋅⋅==== −−−−

m

T

m

S

s

RRD

ID

Ir

I1

ln1

ln1

ln102Φ 7

(((( ))))

++++++++⋅⋅⋅⋅====ΦΦΦΦ −−−−

m

TS

s

RRD

IIr

I1

ln1

ln102 7

1

1

( 1

1

1

1

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

l/6 l/6 l/6 l/6 l/6 l/6


---- 50 ----

⋅⋅⋅⋅====

−−−−⋅⋅⋅⋅==== −−−−−−−−

s

mR

m

R

s

RRr

DI

DI

rI ln102

1ln

1ln102Φ 77

Podužnu induktivnost provodnika faze R prepletenog trofaznog nesimetričnog voda je: RRR IL /1 ΦΦΦΦ==== , pri čemu sti izraz važi i za induktivnost provodnika druge dvije faze. Podužna induktivnost prepletenog trofaznog nesimetričnog voda je:

s

m

r

DmHL ln102]/[ 7

1−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,

3231312 DDDDm ==== je srednji geometrijski razmak između provodnika faza R,

S i T, odnosno međusobna srednja geometrijska udaljenost (M SGU).

sr je srednji geometrijski poluprečnik provodnika, ili sopstvena (vlastita)

srednja geometrijska udaljenost (S SGU).

5. Induktivnost trofaznog voda sa provodnicima u snopu

Vodovi veoma visokog napona se rade sa provodnicima u snopu, najčešće sa dva, tri i četiri provodnika u snopu, to jest po jednoj fazi. Radi izjednačavanja vrijednosti parametara pojedinih faza, vod se prepliže.

a)

b)

Slika:Vod sa dva provodnika u snopu: a) raspored provodnika, b) jedan ciklus preplitanja

R S T

1 2 a b x y

DRT =2d

DRS=d DST=d

k/2

k

1

1

1

2

2

2

a

a

a

b

b

b

x

x

x

y

y

y

I: l/3 II: l/3 III: l/3


---- 51 ----

Induktivnost po fazi i jedinici dužine trofaznog (prepletenog) voda sa provodnicima u snopu je:

s

m

r

DmHL ln102]/[ 7

1−−−−⋅⋅⋅⋅====

mD je srednji geometrijski razmak između provodnika faza R, S i T, odnosno međusobna srednja geometrijska udaljenost (M SGU):

1222112211 yxyxbybxayaxbabam DDDDDDDDDDDDD ==== ,

sr je srednji geometrijski poluprečnik faznih provodnika, ili sopstvena

(vlastita) srednja geometrijska udaljenost (S SGU):

421221211 rrrrrs ==== ,

gdje je: r11 = r22 ≡ rs1 - srednji geometrijski poluprečnik jednog užeta u snopu, a r12

= r21 ≡ k njihovo međusobno rastojanje. Kako je kD >>>>>>>> , pri proračunu induktivnosti trofaznih vodova sa provodnicima u snopu može se računati sa uprošćenim izrazom za M SGU:

3

STRTRSm DDDD ==== .

Pri horizontalnom rasporedu faznih provodnika M SGU je:

ddddDm 26,123 ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== .

6. Metoda SGU

za proračun podužne induktivnosti nadzemnih vodova

Prema metodi srednje geometrijske udaljenosti (metoda SGU) podužna induktivnost provodnika trofaznih nadzemnih elektroenergetskih vodova određena je izrazom:

s

m

r

DmHL ln102]/[ 7

1−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,

][mDm je srednja geometrijska udaljenost između faznih provodnika, ili kraće

međusobna srednja geometrijska udaljenost (M SGU), a

][mrs srednji geometrijski poluprečnik faznih provodnika, ili vlastita - sopstvena

(S SGU).


---- 52 ----

Za prepleteni trofazni voda ( faze 1, 2 i 3) sa jednim provodnikom po fazi:

M SGU je: 3231312][ DDDmDm ==== ,

S SGU je: ][mrs

Za prepleteni trofaznog voda sa više provodnika u snopu po fazi:

M SGU je: mbybxayaxyxyxbabam DDDDDDDDDDDDD .................. 22112211==== ,

S SGU je: ssss rrrrr ...... 212121====

Eksponent m je jednak proizvodu broja faza i svih rastojanja provodnika jedne faze od provodnika druge dvije faze. Eksponent s jednak je kvadratu broja provodnika po fazi. Za trofazni vod sa dva provodnika u snopu je 223 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====m , 22====s , ⇒:

M SGU je: 12

22112211 bybxayaxyxyxbabam DDDDDDDDDDDDD ==== ,

odnosno: 3231312 DDDDm ≈≈≈≈ .

S SGU je: krkrr sss 14 22

1 ======== .

Za trofazni vod sa tri provodnika u snopu je 333 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====m , 23====s , ⇒: M SGU je:

27333222111333222111 czcycxbzbybxazayaxzyxzyxzyxcbacbacbam

DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD ==== ,

odnosno: 3231312 DDDDm ≅≅≅≅ .

S SGU je: 3 21

3 63

1

2

krkrr sss ======== .

Na osnovu konkretnih proračuna podužnih induktivnosti trofaznih nadzemnih vodova može se zaključiti da se induktivna otpornost, odnosno reaktansa, nadzemnih elektroenergetskih vodova kreće u intervalu:

(((( )))) kmLX L /42,04,011 ΩΩΩΩ−−−−====⋅⋅⋅⋅==== ωωωω

Ovo je interval za vrijednosti pozitivnog i negativnog, odnosno direktnog i inverznog redosljeda.


---- 53 ----

7. Induktivnost sistema nultog redosljeda

Predhododni postupak za određivanje induktivnosti nadzemnih vodova daje induktivnost za proračune simetričnih režima. Analize nesimetričnih režima mogu se vršiti na različite načine. Jedna od klasičnih metoda je metoda simetričnih komponenti, gdje se sistem razlaže na dva simetrična trofazna sistema sa suprotnim faznim redosljedima (direktni i inverzni sistem, odnosno sistem pozitivnog i sistem negativnog redosljeda) i treći nulti sistem.

Induktivnosti direktnog i inverznog redosljeda su jednake, jer su nezavisne od redosljeda faza priključenog simetričnog trofaznog sistema napona.

Kad trofaznim vodovima teku struje nultog redosljeda, one su u svakoj fazi i po stavu i po veličini jednake. Struje nultog redosljeda, kao zbir identičnih struja u sve tri faze, vraćaju se kroz zemlju ili kroz zemlju i kroz zaštitnu užad. Dok su struje pozitivnog i negativnog redosljeda u svakoj fazi samo po veličini jednake, a pomjerene za 1200, dotle su struje nultog redosljeda identične u svim fazama i po stavu i po veličini. Zato se električna i magnetska polja proizvedena u ma kojoj tački prostora strujama nultog redosljeda znatno razlikuju od takvih polja proizvedenih strujama pozitivnog i negativnog redosljeda. Ovo znači i da je induktivost nultog redosljeda različita od induktivnosti pozitivnog i negativnog redosljeda, a koje se određuju na naprijed opisan način.

Induktivnost nultog redosljeda po fazi trofaznog voda je dva do tri puta veća od induktivnosti pozitivnog i negativnog redosljeda. Taj odnos se približava većoj vrijednosti kod vodova bez zaštitnih užadi.

7.a. Induktivnost nultog redosljeda

kod vodova bez zaštitne užadi

Pod predpostavkom da nema zaštitne užadi, povratni provodnik nultog redosljeda je zemlja. Struja, koristeći zemlju kao nulti provodnik, protiče kroz nju putanjama koje joj pružaju najmanju impedansu, koja se sastoji od otpornosti i induktivnog otpora. Zato se te putanje ne udaljavaju mnogo od vodova. U protivnom, induktivnost bi bila veoma velika s obzirom da induktivnost kola raste sa povećanjem razmaka između faznog i povratnog provodnika kola. Prema tome, povratna putanja nultih struja, očevidno, predstavljaće neke nepravilne putanje kroz zemlju. John R. Carson je pokazao da se za određivanje induktivnosti nultog redosljeda može koristiti opšti izraz koji služi za određivanje induktivnosti pozitivnog, odnosno


---- 54 ----

negativnog redosljeda vodova sa dva provodnika, unoseći u taj izraz izvjesne modifikacije. Na osnovu eksperimentalnih mjerenja, usvojeno je da povratni provodnik nultih struja kroz zemlju čini jedan fiktivni provodnik čiji srednji geometrijski

poluprečnik iznosi mrsz 1==== i da odstojanje između stvarnog provodnika i

povratnog fiktivnog provodnika treba računati po obrascu:

fmDmf

ρρρρ658 ][ 22 ==== ,

gdje su: ][Hzf - učestanost,

]/[ 3mΩΩΩΩρρρρ - otpornost zemlje, koja zavisi od vrsta i stanja tla. Za neke terene, u nedostatku tačnijih podataka, mogu se koristiti sljedeće

vrijednosti za ]/[ 3mΩΩΩΩρρρρ : • morska voda 1 • glina 10 • močvarno zemljište 300 • krečnjačko zemljište 1000 • granit 10000

Induktivnost nultog redosljeda možemo odrediti po obrascu za induktivnost po jedinici dužine sistema od dva provodnika 1 i 2 : polaznog sastavljenog od faznih provodnika i povratnog - zemlja (Slika) :

Slika: Provodnici sistema nultog redosljeda

R

DST DRT

DRS

S

T

rs

rs1=rm

Dmf =D1z= Dz1

rsz=1

-I

I 1

z


---- 55 ----

Induktivnosti provodnika 1 sa srednjim geometrijskim poluprečnikom 1sr (tri fazna provodnika – polazni provodnik) je:

1

12711 ln102

sr

DL −−−−⋅⋅⋅⋅==== .

Induktivnost provodnika 2 sa srednjim geometrijskim poluprečnikom 2sr (zemlja – povratni provodnik) je:

2

12712 ln102

sr

DL −−−−⋅⋅⋅⋅====

Ukupna podužna induktivnost posmatranog sistema od dva provodnika (polazni i povratni), na međusobnom rastojanju 12D , je:

21

2127

12111 ln102ss rr

DLLL

−−−−⋅⋅⋅⋅====++++==== .

U sistemu dva provodnika, za određivanje nulte induktivnosti, jedan provodnik (1) su svi fazni provodnici srednjeg geometrijskog poluprečnika ms rr ====1 , a drugi je povratni provodnik kroz zemlju (z) poluprečnika mrr zs 12 ======== (Slika), pri čemu je

rastojanje između ova dva provodnika određeno izrazom ][ 22 mDmf .

Induktivnost nultog redosljeda po jedinici dužine je:

m

mf

r

DkmHL

2

401 ln102]/[ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== −−−−

mr je srednji geometrijski poluprečnik (S SGU) provodnika od sve tri faze (m=3):

9 22232

STRTRSsm

TSTRTTSTSRSSRTRSRRm DDDrDDDDDDDDDr ======== , gdje je sr srednji geometrijski poluprečnik provodnika jedne faze, npr. za dva

provodnika u snopu određen izrazom krr ss 1==== .

Otpornost povratnog provodnika, tj. zemlje, prema pomenutim radovima J. Carsona, može se usvojiti da iznosi:

fkmRz310]/[ −−−−====ΩΩΩΩ ,

Za Hzf 50==== , otpornost po jedinici dužine povratnog provodnika (zemlje) iznosi

[[[[ ]]]]kmRz /05,0 ΩΩΩΩ==== .


---- 56 ----

Impedansa nultog redosljeda sistema provodnik-zemlja, po jedinici dužine, je:

(((( ))))s

mf

r

DjRkmZ

2

101 0628,005,0]/[ ++++++++====ΩΩΩΩ ,

gdje je ]/[1 kmR ΩΩΩΩ otpornost stvarnog-faznog provodnika.

Impedansa nultog redosljeda provodnika trofaznog voda bez zaštitne užadi, po jedinici dužine Kod trofaznih vodova imamo tri fazna provodnika (provodnici faze R, faze S i faze T), odnosno u opštem slučaju bilo koji broj m identičnih provodnika. Impedansa nultog redosljeda jednog provodnika takvog sistema, po jedinici dužine, je:

++++

++++⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====m

mf

r

Dj

m

RmZmZ

2

101

1

01 ln0628,005,0

Dakle, za trofazni nadzemni elektroenergetski vod impedansa nultog redosljeda po fazi i jedinici dužine je:

++++

++++⋅⋅⋅⋅====m

mf

r

Dj

RZ

2

101 ln0628,005,0

33 ,

gdje su: ]/[1 kmR ΩΩΩΩ - otpornost voda po fazi i jedinici dužine,

][ 22 mDmf - međusobna udaljenost provodnika voda i povratnog

provodnika zemlje, poluprečnika m1 , ][mrm sopstvena udaljenost svih faznih provodnika.

7.b. Induktivnost nultog redosljeda kod vodova sa zaštitnim užadima

Kad na vodu imamo zaštitnu užad (jedno ili dva) onda imamo dva povratna pronodnika: zemlju i npr. jedno zaštitno uže. Zemlja i zaštitno uže čine dva električno paralelno spregnuta provodnika, jer je zaštitno uže uzemljeno na svakom stubu (Slika).


---- 57 ----

Slika: Provodnici sistema nultog redosljeda za vod sa faznim užadima Za trofazni nadzemni elektroenergetski vod sa zaštitnim užadima impedansa nultog redosljeda po fazi i jedinici dužine je:

−−−−⋅⋅⋅⋅====ΩΩΩΩ

22

2

121101 ]/[

Z

ZZmkmZ ,

gdje je:

nm

mf

n

mf

m

mf

D

DjkmZ

r

Dj

n

RkmZ

r

Dj

m

RkmZ

2

12

2

222

2

111

ln0628,005,0]/[

ln0628,005,0]/[

ln0628,005,0]/[

++++====ΩΩΩΩ

++++

++++====ΩΩΩΩ

++++

++++====ΩΩΩΩ

U posljednjim izrazima su: ]/[1 kmR ΩΩΩΩ - otpornost faznih provodnika voda,

]/[2 kmR ΩΩΩΩ - otpornost jednog užeta zaštitnih užadi, m - broj faznih provodnika n - broj zaštitnih užadi

mr - srednji geometrijski poluprečnik (S SGU) svih faznih provodnika:

9 22232

STRTRSsm

TSTRTTSTSRSSRTRSRRm DDDrDDDDDDDDDr ======== ,

Dmf =DI z= DII z

rsz=1

1 2

m

rs1=rm

I

z

1 n

rs2=rn

II

Dmn=DI II = DII I I

II

z

I1

I2

I1-I2

12Z

11Z

22Z


---- 58 ----

nr - srednji geometrijski poluprečnik (S SGU) svih zaštitnih užadi, određen, npr. za dva zaštitna užeta izrazom:

124 2

122

212121

2

zszzszn

zszzszn DrDrDrDrr ============ ,

u kojem je szr srednji geometrijski poluprečnik jednog od dva identična

zaštitna užeta, a 12zD je rastojanje između zaštitnih užadi,

nmD - je srednja geometrijska udaljenost među faznim provodnicima i

zaštitnom užadi, odnosno M SGU faznih i zaštitnih užadi, određena relacijom: nm

znmzmzmznzzznzznm DDDDDDDDDD ............ 212221212111==== ,

u kojoj su znmD rastojanja između m-tog faznog provodnika i n-tog

zaštitnog užeta. Primjer 1 Odrediti impedansu pozitivnog, negativnog i nultog redosljeda po km dužine trofaznog voda sa provodnicima u horizontalnor ravni, za dva slučaja: a) vod je bez zaštitnih užadi, b) vod je sa dva zaštitna užeta. Provodnici su bakarna užad srednjeg geometrijskog poluprečnika rs=0,00382 m, otpornosti R1=0,284

Ω/km. Srednji geometrijski poluprečnik zaštitnog užeta je rs z=0,00111 m, a njegova otpornost R1

z=1,91Ω/km. Specifična otpornost zemlje je ρ = 100 Ω/m3. Prikaz položaja užadi voda dat je na slici (Slika).

Slika: Primjer 1

a) Induktivnost pozitivnog, odnosno negativnog redosljeda po fazi i jedinici dužine trofaznog voda prikazanog na slici je:

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

kmHL

kmHr

DDDL

kmHr

DmL

s

s

/001437,000382,0

484ln102

/ln102

/ln102

34

1

32313124

1

41

====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

−−−−

−−−−

Impedansa pozitivnog, odnosno negativnog redosljeda po fazi i jedinici dužine je:

(((( )))) kmjLfRZ /45,0284,02 111 ΩΩΩΩ++++====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==== ππππ

Impedansa nultog redosljeda voda bez zaštitne užadi je:

4 m 1 2 3 4 m

4 m

4 m 4 m 6,93

a b


---- 59 ----

(((( )))) kmjjZ

jZ

r

Dj

RZ

o

o

m

mf

o

/46,1434,0462,0

930ln0628,005,0

3

284,03

48400382,0

50

100658

ln0628,005,03

284,03

ln0628,005,03

3

1

9 22221

2

11

ΩΩΩΩ++++====

++++++++⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++

++++⋅⋅⋅⋅====

++++

++++⋅⋅⋅⋅====

b) Kad vod ima zaštitnu užad, impedanse pozitivnog i negativnog redosljeda ostaju iste kao kod voda bez zaštitnih užadi.

Impedansa nultog redosljeda za vod sa dva zaštitna užeta je: [[[[ ]]]]kmZ

ZZZ o /3

22

2

12

111 ΩΩΩΩ

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

(((( ))))

[[[[ ]]]] (((( )))) kmjjkmD

DjZ

kmj

jjkmr

Dj

n

RZ

kmjjkmr

Dj

m

RZ

nm

mf

n

mf

m

mf

/336,005,0

93,64

930ln0628,005,0/ln0628,005,0

/608,0005,1

0665,0

930ln0628,0005,1

400111,0

930ln0628,005,0

2

91,1/ln0628,005,0

/486,005,03

284,0

462,0

930ln0628,005,0

3

284,0/ln0628,005,0

23 4

2

12

2

222

2

111

ΩΩΩΩ++++====⋅⋅⋅⋅

++++====ΩΩΩΩ++++====

ΩΩΩΩ++++====

====⋅⋅⋅⋅++++====⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅++++++++====ΩΩΩΩ++++

++++====

ΩΩΩΩ

++++++++====⋅⋅⋅⋅++++++++====ΩΩΩΩ++++

++++====

⋅⋅⋅⋅

⇒ Vrijednost impedansa nultog redosljeda za vod sa dva zaštitna užeta je

3. Kapacitivnost nadzemnih vodova

Kapacitivnost voda je svojstvo voda da uz određeni napon primi izvjesno naelektrisanje (količinu elektriciteta). Jedinica za mjerenje kapacirivnosti je farad (F). Kod vodova za prenos električne energije predpostavljamo da je kapacitivnost po jedinici dužine voda konstantna, jer je dielektrična konstanta vazduha u kome se zatvara električno polje konstantna. Kapacitivnost provodnika ][FC je određena količnikom naelektrisanja ][CQ i napona ][VU .

1. Napon između dva provodnika uslijed naelektrisanja više provodnika paralelno raspoređenih u prostoru

Posmatraćemo sistem od n prostorno paralelno postavljenih provodnika poluprečnika a i odgovarajućih naelektrisanja Qn, kao na Slici.

(((( )))) [[[[ ]]]] (((( )))) kmjkmj

jjZo /239,1639,0/

608,0005,1

336,005,0486,005,0

3

284,03

2

1 ΩΩΩΩ++++====ΩΩΩΩ

++++

++++−−−−++++++++⋅⋅⋅⋅====


---- 60 ----

Uticaj zemlje ćemo zanemariti. Napon između bilo koja dva provodnika naći ćemo primjenom metode superpozicije. Napon izmeću tačaka na odstojanju D1 i D2 od ose provodnika sa naelektrisanjem Q je:

∫∫∫∫ ∫∫∫∫========2

1

2

102

D

D

D

D

x dxxl

QdxEU

εεεεππππ

⇒

1

2

0

ln2 D

D

l

QU

πεπεπεπε==== .

U ovim izrazima Ex je jačina električnog polja provodnika na rastojanju x od ose jednaka,

shodno Gausivom zakonu, SdEQ

S

∫∫∫∫==== 0εεεε ,

02 εεεεππππxl

QE x ====

0εεεε je dielektrična konstanta vakuma, odnosno vazduha:

[[[[ ]]]]kmF /1036

1 60

−−−−⋅⋅⋅⋅====ππππ

εεεε .

______________________________________________________________ Naponi između provodnika 1 i 2 i ... 1 i n su:

++++++++++++++++====

++++++++++++++++====

131

33

21

22

11

0

1

1

2

31

323

21

212

1

0

12

ln...lnlnln2

1

...

ln...lnlnln2

1

n

nnnn

n

n

nn

D

aQ

D

DQ

D

DQ

a

DQU

D

DQ

D

DQ

D

aQ

a

DQU

πεπεπεπε

πεπεπεπε

1Q , 2Q , ..., nQ su naelektrisanja (električni fluks) po km dužine provodnika

1,2,...n, respektivno.

1

2

n

D12 D1n

D2n

Q1

Q2

Q3

Qn

D13

D3n

D23


---- 61 ----

1.Kapacitivnost jednofaznog voda Posmatrajmo jednofazni vod koji čine dva provodnika 1 i 2 istog poluprečnika a , na međusobnom rastojanju DDD ======== 2112 (Slika). Naelektrisanje Q , odnosno Q−−−− je ravnomjerno raspoređeno po površini jednog i drugog provodnika. Uticaj zemlje se zanemaruje.

Slika: Jednofazni vod

Napon između provodnika 1 i 2 koji potiče od naelektrisanja Q provodnika 1, plus napon koji potiče od naelektrisanja Q−−−− provodnika 2 je:

−−−−−−−−

−−−−====

====

++++====

aD

aQ

a

aDQ

D

aQ

a

DQU

lnln2

1

lnln2

1

0

21

212

1

0

πεπεπεπε

πεπεπεπε

2

0

ln2

−−−−====

a

aDQU

πεπεπεπε.

Pošto je za nadzemne vodove DaD ≈≈≈≈−−−− , ⇒

a

DQ

a

DQU lnln

2 0

2

0 πεπεπεπεπεπεπεπε====

====

Po definiciji, kapacitivnost je: U

QC ==== ,

⇒ Kapacitivnost sistema dvožičnog voda po jedinici (km ) dužine je:

a

DC s

ln

01

πεπεπεπε==== .

Nakon uvrštavanja [[[[ ]]]]kmF /1036

1 60

−−−−⋅⋅⋅⋅====ππππ

εεεε , dobija se:

D [m] a [m]

Q -Q


---- 62 ----

a

DkmFC s

ln

105,55

2

1]/[

9

1

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== .

Kapacitivnost samo jednog provodnka po jedinici dužine (km ), odnosno kapacitivnost po fazi i jedinici dužine (km ) jednofaznog voda je jednaka dvostrukoj vrijednosti kapacitivnosti sC1 prema predhodnom izrazu:

a

DkmFC

ln

105,55]/[

9

1

−−−−⋅⋅⋅⋅====

Kapacitivnost jednog provodnika je kapacitivnost voda prema zemlji ili neutralnom provodniku.

3. Kapacitivnost trofaznog voda sa provodnicima raspoređenim u tjemenima ravnostranog trougla i

sa zanemarenim uticajem zemlje Prikaz provodnika trofaznog voda koji su raspoređeni u vrhovima jednakostraničnog trougla, dat je na Slici. Poluprečnici svih provodnika je isti i iznosi a . Za užad to je stvarni poluprečnik užeta.

Sl: Provodnici trofaznog voda raspoređeni u tjemenima jednakostraničnog trougla

Napon između provodnika 1 i 2 je:

++++++++====D

DQ

D

a

a

DQU 2 lnlnln

2

1321

0

1 Qπεπεπεπε

,

Napon između provodnika 1 i 3 je:

D [m] 2a [m]

D [m] D [m]

1 2

3


---- 63 ----

++++++++====D

aQ

D

DQ

a

DQU lnlnln

2

1321

0

13 πεπεπεπε.

Sabiranjem ova dva izraza i imajući u vidu da važi relacija 0321 ====++++++++ QQQ , dobija se:

a

DQUU ln

2

31

0

1312 πεπεπεπε====++++ .

Ako je sistem fazora napona simetričan, važi: 011312 3U UU ====++++ . ⇒

a

DQU ln

2

11

0

01 πεπεπεπε==== .

Kapacitivnost prema neutralnoj tački, po km dužine provodnika, je:

a

DU

QkmFC

ln

2]/[ 0

01

11

πεπεπεπε======== ,

odnosno:

a

DkmFC

ln

105,55]/[

9

1

−−−−⋅⋅⋅⋅====

1C je kapacitivnost trofaznog voda po fazi i km dužine. Ona se naziva još i pogonska kapacitivnost. To je kapacitivnost pozitivnog redosljeda. Kapacitivnost pozitivnog i kapacitivnost negativnog redosljeda nadzemnih trofaznih vodova, kao linearnih i statičkih kola, su identične, jer su nezavisne od redosljeda faza priključenih simetričnih fazora napona.

4. Kapacitivnost trofaznog voda sa provodnicima raspoređenim u tjemenima raznostranog trougla i

sa zanemarenim uticajem zemlje

Na Slici je prikazan raspored faznih provodnika nesimetričnog trofaznog voda, kod koga su provodnici smješteni u tjemenima raznostranog trougla. Poluprečnik svih provodnika je isti i iznosi a . Za užad to je stvarni poluprečnik užeta.


---- 64 ----

Slika: Trofazni nesimetrični vod

Kapacitivnosti faza prema neutralnoj tački za razmatrani sistem, ako nije izvršeno preplitanje provodnika, nisu jednake. Međutim, ako je izvršeno preplitanje (Slika), one su, kao jedna srednja vrijednost, međusobno jednake.

Slika: Preplitanje voda

Napon 12U sa provodnikom 1 u položaju 1, provodnikom 2 u položaju 2 i provodnikom 3 u položaju 3 je:

++++++++====

31

323

12

212

1

0

12 lnlnln2

1

D

DQ

D

aQ

a

DQU

πεπεπεπε .

Napon 12U sa provodnikom 1 u položaju 2, provodnikom 2 u položaju 3 i provodnikom 3 u položaju 1 je:

++++++++====

12

133

32

223

1

0

12 lnlnln2

1

D

DQ

D

aQ

a

DQU

πεπεπεπε .

I na kraju, napon 12U sa provodnikom 1 u položaju 3, provodnikom 2 u položaju 1 i provodnikom 3 u položaju 2 je:

++++++++====

23

213

13

231

1

0

12 lnlnln2

1

D

DQ

D

aQ

a

DQU

πεπεπεπε .

Srednja vrijednost fazora napona 12U je:

D12 [m] 2

D 13[m] D23 [m]

1 2

3

1(1)

1(2)

1(3)

1

1

1

2(2)

2(3)

2(1)

2

2

2

3(3)

3(1)

3(2)

3

3

3

l/6 l/6 l/6 l/6 l/6 l/6


---- 65 ----

++++++++====

231312

2313123

13231312

3

23

2313121

0

12 lnlnln6

1

DDD

DDDQ

DDD

aQ

a

DDDQU

πεπεπεπε .

Ako stavimo: 3

231312 DDDDm ==== , izraz za napon 12U poprima oblik:

++++====

m

m

D

aQ

a

DQU lnln

2

121

0

12 πεπεπεπε .

Slično se dobija srednja vrijednost fazora napona 13U :

++++====

m

m

D

aQ

a

DQU lnln

2

131

0

13 πεπεπεπε .

Pošto je: 011312 3UUU ====++++ i 0321 ====++++++++ QQQ , dobijamo:

a

DQU mln

2

11

0

01 πεπεπεπε==== .

Kapacitivnost prema neutralnoj tački, po km dužine provodnika, je:

a

DU

QkmFC

mln

2]/[ 0

01

11

πεπεπεπε======== ,

odnosno:

a

DkmFC

mln

105,55]/[

9

1

−−−−⋅⋅⋅⋅==== .

1C je kapacitivnost trofaznog voda po fazi i km dužine.

5. Kapacitivnost trofaznog voda sa provodnicima u

snopu

Kapacitivnost po fazi i jedinici dužine provodnika trofaznih nadzemnih elektroenergetskih vodova sa više provodnika po fazi (provodnici u snopu), sa zanemarenjem uticaja zemlje, određena je izrazom:


---- 66 ----

s

m

a

DkmFC

ln

105,55]/[

9

1

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,

gdje su: ][mDm

srednja geometrijska udaljenost između faznih provodnika, ili međusobna srednja geometrijska udaljenost (M SGU),

][mas

srednji geometrijski poluprečnik faznih provodnika, ili vlastita - sopstvena srednja geometrijska udaljenost ( S SGU), u kojem figuriše stvarni poluprečnik užeta a .

Za trofazni voda sa jednim provodnikom po fazi:

• M SGU je određena istom relacijom kao za induktivnost: 3

STRTRSm DDDD ==== ,

• S SGU je stvarni poluprečnik užeta: aas

==== .

Za trofazni vod sa 2 provodnika u snopu po fazi je: • M SGU se može približno, ali dovoljno tačno, računati kao:

3STRTRSm DDDD ≈≈≈≈ ,

• S SGU je: kakaas ⋅⋅⋅⋅========22 22 ,

gdje je: a stvarni poluprečnik užadi provodnika, k je međusobno rastojanje izmežu užadi u snopu.

Za trofazni vod sa 3 provodnika u snopu po fazi je:

• M SGU se može približno, ali dovoljno tačno, računati kao: • 3

STRTRSm DDDD ≈≈≈≈ ,

• S SGU je: 3 2kaas ⋅⋅⋅⋅==== , gdje je: a stvarni poluprečnik užadi provodnika, k je međusobno rastojanje izmežu užadi u snopu.

6. Metoda SGU

za proračun podužne kapacitivnosti nadzemnih vodova

Prema metodi srednje geometrijske udaljenosti (metoda SGU) podužna kapacitivnost provodnika trofaznih nadzemnih elektroenergetskih vodova određena je izrazom:

s

m

a

DkmFC

ln

105,55]/[

9

1

−−−−⋅⋅⋅⋅==== ,


---- 67 ----

][mDm je M SGU svih faznih provodnika,

][mas je S SGU provodnika jedne faze.

Za prepleteni trofazni voda sa jednim provodnikom po fazi:

M SGU je: 3231312][ DDDmDm ==== ,

S SGU je: amas ====][ , gdje je a stvarni poluprečnik užeta faznih provodnika. Za trofazni vod sa dva provodnika u snopu je:

M SGU je: 22322112211

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== bybxayaxyxyxbabam DDDDDDDDDDDDD ,

odnosno 3231312 DDDDm ≅≅≅≅ .

S SGU je: kakaas 12 22

1

2

======== , gdje je 1a stvarni poluprečnik jednog užeta faznih provodnika, a k njihovo međusobno rastojanje.

7. Uticaj zemlje na kapacitivnost trofaznih vodova

U dosadašnjim izvođenjima obrazaca za računanje kapacitivnosti pozitivnog, odnosno negativnog redosljeda trofaznih nadzemnih vodova, predpostavili smo da su provodnici dosta visoko postavljeni iznad zemlje, tako da se njen uticaj može zanemariti. U stvari, zemlja utiče na veličinu kapacitivnosti vodova, jer njeno prisustvo mijenja električno polje između provodnika. Pri određivanju kapacitivnosti vodova sa uvažavanjem uticaja zemlje, obično se primjenjuje standardna "metoda odslikavanja".

Na Slici je prikazan trofazni vod sa provodnicima raspoređenim u tjemenima raznostranog trougla i njihovi likovi po metodi odslikavanja.

Zemlja se, posebno za svaki provodnik iznad zemlje, zamjenjuje fiktivnim provodnicima, koji su smješteni ispod ravni zemlje po vertikalama odnosnih stvarnih provodnika, a na rastojanju od ravni zemlje jednakim odstojanju provodnika iznad zemlje. Svakom takvom fiktivnom provodniku pridružuje se naelektrisanje Q−−−− jednako po velični a suprotno po znaku naelektrisanju Q stvarnog provodnika. Fiktivni provodnik je neka vrsta slike provodnika sa zemljom kao ogledalom.

Dokazuje se, kapacitivnost po fazi i jedinici dužine trofaznog nadzemnog voda sa uračunavanjem uticaja zemlje određena je izrazom:

3

332211

231312

9

1

lnln

105,55]/[

HHH

HHH

a

DkmFC

m −−−−

⋅⋅⋅⋅====

−−−−


---- 68 ----

Slika: Provodnici trofaznog voda i njihove slike po "metodi ogledanja" Ako u posljednjem izrazu za odstojanje između stvarnih i fiktivnih provodnika stavimo: 332211231312 HHHHHH ==================== , što se, sa dovoljnom tačnošću, može uzeti za nadzemne vodove, izraz dobija se izraz kao za kapacitivnost bez uračunavanja uticaja zemlje. Zaključujemo, uz uvažavanje uticaja zemlje kapacitivnost voda postaje neznatno, praktično zanemarljivo veća. Uticaj zemlje na veličinu pogonske kapacitivnosti nadzemnih vododva je mali, pa se u praktičnim proračunima može zanemariti.

8. Kapacitvnost sistema nultog redosljeda

Kapacitivnost direktnog i inverznog (pozitivnog i negativnog) redosljeda su jednake, jer ne su nezavisne od redosljeda faza priključenog simetričnog trofaznog sistema napona. Kapacitivnost nultog redosljeda se razlikuje od kapacitivnosti pozitivnog i negativnog redosljeda. Kapacitivnost nultog redosljeda može se odrediti metode "odslikavanja" provodnika voda

1

2

D12

Q1

Q2

Q3

D23

D13

3

1′′′′

2′′′′

-Q1

-Q2

-Q3

3′′′′

H11 H12 H13

H22 H23 H33


---- 69 ----

8.a. Kapacitivnost nultog redosljeda kod vodova bez zaštitne užadi Na Slici su prikazani provodnici trofaznog voda (prepletenog) sa rasporedom provodnika u tjemenima raznostranog trougla i njihove "slike". Stvarni poluprečnici faznih provodnika su a , a međusobna rastojanje između provodnika i između provodnika i njihovih slika su pikazana na Slici.

Slika: Provodnici trofaznog voda i njihove slike - za sistem nultog redosljeda

Pri proticanju struje nultog redosljeda nadzemnim vodom koji čine identični provodnici, svaki provodnik toga voda opterećen je istom količinom elektriciteta 0Q po km dužine voda.

Kapacitivnost nultog redosljeda definisana je relacijom : 0

001 ]/[

V

QkmFC ==== ,

gdje je 0V napon nultog redosljeda, kao srednja aritmetička vrijednost napona nultog redosljeda provodnikaPošto je, napon nultog redosljeda svakog provodnika jednak polovini napona nultog redosljeda između stvarnog provodnika i njegove slike, važi relacija:

(((( ))))33221103

1

2

1′′′′′′′′′′′′ ++++++++⋅⋅⋅⋅==== VVVV .

Prema opštem izrazu za napon između provodnika 1 i n je:

++++++++====′′′′

13

130

12

120

110

0

11 ln2ln2ln2

1

D

HQ

D

HQ

a

HQV 2

πεπεπεπε

++++++++====′′′′

12

120

23

230

220

0

22 ln2ln2ln2

1

D

HQ

D

HQ

a

HQV 2

πεπεπεπε

1

2

D12

Q0

Q0

Q0

D23

D13

3

1′′′′

2′′′′

-Q0

-Q0

-Q0

3′′′′

H11 H12 H13

H22 H23 H33

am


---- 70 ----

++++++++====′′′′

23

230

13

130

330

0

33 ln2ln2ln2

1

D

HQ

D

HQ

a

HQV 2

πεπεπεπε

⇒

3

2

231312

231312

3

332211

0

00 ln

2

====

DDD

HHH

a

HHHQV

πεπεπεπε

Kapacitivnost je definisana odnosom: 0

001

V

QC ==== , koji daje:

3

2

231312

231312

332211

332211

0

10

ln

2

====

DDD

HHH

DDD

HHH

πεπεπεπεC ,

gdje smo stvarni poluprečnik a zamjenili sa D11, D22 i D33. Kapacitivnost nultog redosljeda provodnika po km dužine je:

9333231232221131211

9333231232221131211

001

ln

2

3

1

DDDDDDDDD

HHHHHHHHH

πεπεπεπε⋅⋅⋅⋅====C

odnosno:

m

m

a

HkmF

ln

105,55

3

1]/[

9

01

−−−−⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====C ,

gdje je: mH - srednja geometrijska udaljenost između provodnika i njihovih likova (M SGU provodnika i njihovih slika), a ma - srednji geometrijski poluprečnih svih faznih provodnika (S SGU svih faznih provodnika). U opštem slučaju, kada sistem ima m provodnika umjesto 3 (npr. 6 provodnika u slučaju dva provodnika u snopu, po fazi) za kapacitivnost nultog redosljeda važi izraz pri čemu su srednja geometrijska udaljenost između provodnika i njihovih likova (Hm) i srednji geometrijski poluprečnih svih faznih provodnika (am), jednaki:

2

2

............

............

212222111211

212222111211

mmnmmmmm

mmmmmmmm

DDDDDDDDDa

HHHHHHHHHH

====

====


---- 71 ----

8.b. Kapacitivnost nultog redosljeda kod vodova sa zaštitnom užadi

Posmatrajmo na početku sistem provodnik-zemlja i jedno zaštitno uže . Ovaj sistem, zajedno sa njegovom "slikom", prikazan je na Slici.

Slika: Sistem provodnik-zaštitno uže i njegova slika, za proračun nulte kapacitivnosti

Stvarni poluprečnik provodnika je aD ====11 , a zaštitnog užeta zzz aD ==== . Napon nultog redosljeda provodnika 1 jednak je polovini napona između stvarnog provodnika 1 i njegovog lika 1′:

1102

1′′′′==== UV

++++====

++++====

′′′′′′′′

′′′′

23

0

1

10

0

1

1

11

110

0

11

ln2ln2

1

ln2ln2

1

D

HQ

D

HQU

D

HQ

D

HQU

zz

z

zzz

z

zz

2

2

πεπεπεπε

πεπεπεπε

Pošto je zaštitno uže na istom potencijalu kao zemlja: 0====zzU Iz predhodnih jednačina dobijamo:

1

z

D1z

Q0

Qz

1′′′′

z′′′′

-Q0

-Qz

H11 H1z

Hzz


---- 72 ----

zz

zz

z

z

D

H

D

H

D

H

VQ

ln

ln

ln

22

1

1

11

11

000

−−−−

====πεπεπεπε

,

Kapacitivnost je definisana odnosom: 0

001

V

QC ==== .

Kapacitivnost nultog redosljeda provodnika po km dužine je:

zz

zz

z

z

D

H

D

H

D

H

kmFC

ln

ln

ln

105,55]/[

2

1

1

11

11

9

01

−−−−

⋅⋅⋅⋅====

−−−−

.

Za sistem od m provodnika i n zaštitnih užadi, kapacitivnost nultog redosljeda po fazi i jedinici dužine je:

n

n

mn

mn

m

m

a

H

D

H

a

H

mkmFC

ln

ln

ln

105,551]/[

2

9

01

−−−−

⋅⋅⋅⋅====

−−−−

gdje je: 2

............ 212222111211m

mmmmmmm HHHHHHHHHH ==== srednja geometrijska udaljenost

između stvarnih provodnika i njihovih slika ; 2

............ 212222111211m

mmmmmmm DDDDDDDDDa ==== srednji geometrijski poluprečnik svih

provodnika; 2 ............ 212221212211

nznznzznzznznzzzzzznzzzzzn HHHHHHHHHH ==== srednja geometrijska

udaljenost između zaštitnih provodnika i njihovih slika; 2 ............ 212221212111

nznznzznzznznzzzzzznzzzzzn DDDDDDDDDa ==== srednji geometrijski poluprečnik

svih zaštitnih užadi (sopstvena SGU); nm

znmzmzmznzzznzznm HHHHHHHHHH ⋅⋅⋅⋅==== ............ 212221212111 srednja geometrijska

udaljenost između stvarnih provodnika i slika zaštitnih užadi (međusobna SGU) i nm

znmzmzmznzzznzzmn DDDDDDDDDD ⋅⋅⋅⋅==== ............ 212221212111 srednja geometrijska

udaljenost između stvarnih provodnika i zaštitnih užadi (međusobna SGU).


---- 73 ----

Za trofazni nadzemni vod (m=3) sa jednim zaštitnim užetom (n=1) je:

n

n

mn

mn

m

m

a

H

D

H

a

H

kmFC

ln

ln

ln

105,55

3

1]/[

2

9

01

−−−−

⋅⋅⋅⋅====

−−−−

gdje je: 9

333231232221131211 HHHHHHHHHHm ==== srednja geometrijska udaljenost između stvarnih

provodnika i njihovih slika (M SGU između provodnika i njihovih slika); 9 2

231312

39333231232221131211 )( DDDaDDDDDDDDDam ======== srednji geometrijski poluprečnik

svih faznih provodnika, u kojem je a stvarni poluprečnih užeta faznih provodnika (S SGU svih faznih provodnika);

zzn HH ==== udaljenost između zaštitnog provodnika i njegove slike;

zn aa ==== stvarni poluprečnik zaštitnog užeta;

3321 zzznm HHHH ==== srednja geometrijska udaljenost između stvarnih provodnika i slika

zaštitnih užadi (M SGU između zaštitnih ušadi i njhovih slika) i 3

321 zzzmn DDDD ==== srednja geometrijska udaljenost između stvarnih provodnika i zaštitnih

užadi (međusobna SGU između faznih provodnika i zaštitne užadi).

Za trofazni nadzemni vod (m=3) sa dva zaštitna užeta (n=2), za izračunavanje nulte kapacitivnosti po fazi i jedinici dužine važi isti izraz, pri čemu je:

9333231232221131211 HHHHHHHHHHm ==== srednja geometrijska udaljenost između stvarnih

provodnika i njihovih slika ; 9 2

231312

39333231232221131211 )( DDDaDDDDDDDDDam ======== srednji geometrijski poluprečnik

svih faznih provodnika, u kojem je a stvarni poluprečnih užeta faznih provodnika; 22

22122211 zzzzzzzzn HHHHH ==== srednja geometrijska udaljenost između zaštitne užadi i

njihovih slika;

214 2

21

22

22122111

2

zzzzzzzzzzzzzzn DaDaDDDDa ============ sradnji geometrijski poluprečnik svih

zaštitnih užadi, pgdje je az stvarni poluprečnik zaštitnog užeta; 23

231322122111⋅⋅⋅⋅==== zzzzzznm HHHHHHH srednja geometrijska udaljenost između stvarnih

provodnika i slika zaštitnih užadi i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== 23

231322122111 zzzzzzmn DDDDDDD srednja geometrijska udaljenost između stvarnih

provodnika i zaštitnih užadi). Fazni provodnici zbog ugiba nisu strogo pravi i horizontalni. Pri izračunavanju kapacitivnosti nadzemnih vodova treba raditi sa srednjim visinama vješanja faznih provodnika koja se računa kao:


---- 74 ----

fhhsr3

2−−−−==== ,

gdje su: h - visina tačaka vješanja provodnika, f - ugib na nekoj temperaturi. Izolatori i čelično rešetkasti stubovi povećavaju nultu kapacitivnost za 5% do 10%, dok je njihov uticaj na pogonsku kapacitivnost zanemarljiv. Primjer 2 Naći kapacitivnost nultog redosljeda C01 po fazi i jedinici dužine za vod iz Primjera 1 (Slika), za dva slučaja: a) vod je bez zaštitnih užadi, b) vod je sa dva zaštitna užeta. Rastojanje provodnika od zemlje neka je 11 m, a stvarni poluprečnici provodnika i zaštitnog užeta su: a=0,00524m i az=0,00396m. Rješenje Potrebna rastojanja između užadi voda izračunata su i prikazana na Slici .

a) Kapacitivnost nultog redosljeda po fazi i jedinici dužine je:

[ ]

[ ] [ ]kmFkmF

DDDDDDDDD

HHHHHHHHHkmF

a

H

m

m

/00492,0/1092,4

514,0

5,22ln

105,55

3

1

84400524,0

)4,224,234,22(22ln

105,55

3

1

ln

105,55

3

1/

ln

105,55

3

1C

99

9 2223

9 23

9

9333231232212131211

9333231232221131211

99

01

µ=⋅=⋅

=

=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅=

⋅=

⋅=

−−

−−−

b) Nulta kapacitivnost po fazi i jedinici dužine trofaznog voda sa dva zaštitna užeta je:

[ ]kmF

a

H

D

H

a

H

C

n

n

mn

mn

m

m

/

ln

ln

ln

105,55

3

12

9

01

−

⋅=

−

gdje su :

mHHHHHHHHHHHHHHHH m 5,22)4,224,234,22(22)( 9 239 2231312332211

9333231232221131211 =⋅⋅===

mDDDaDDDDDDDDDam 514,0)484(0524,0)( 9 239 2231312

39333231232221131211 =⋅⋅=== ;

mHHHHH zzzzzzzzn 4,293092,284 22222122211

2 ===

mDaDaDDDDa zzzzzzzzzzzzzzn 089,0400396,0214 2

2122

221221112 =⋅====

mHHHHHHH zzzzzznm 9,252,266,256 2423231322122111 =⋅== ⋅

.8,493,646 2423231322122111 mDDDDDDD zzzzzzmn =⋅== ⋅⋅⋅

⇒


---- 75 ----

[ ] kmFkmFkmFC /00696,0/1096,6/

089,0

4,29ln

8,4

9,25ln

514,0

5,22ln

105,55

3

1 9

2

9

01 µ=⋅=

−

⋅= −

−

Slika: Primjer 2

9. Kapacitivna provodnost (susceptansa) voda

Kapacitivna provodnost voda po jedinici dužine (km ) dužine voda je:

11 ]/[ CkmSBC ωωωω==== gdje je: srf /3142 ======== ππππωωωω - kružna učestanost sistema učestanosti Hzf 50==== , ]/[1 kmFC - jedinična kapacitivnost voda.

1 2 3

4

4

6,93

z1

25,6

25,6

26,2

z2

4 4

28,92 30

22 23,4 22,4

z2′′′′ z1′′′′

1′′′′ 2′′′′ 3′′′′


---- 76 ----

Ukupna kapacitivna provodnost voda je:

lBSB CC 1][ ==== , gdje je: ][kml - dužina voda. Za prosječnu vrijednost jedinične kapacitivnosti od kmFC /01,01 µµµµ==== , dobijamo:

kmSBC /14,31001,0314 61 µµµµ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== −−−−

Ukupna kapacitivna provodnost voda dužine npr. kml 100==== je: SBC µµµµ314====

Kapacitivna otpornost (reaktansa) voda je: 11

1

11

CBX

C

C ωωωω======== .

Za prosječnu vrijednost jedinične kapacitivnosti od kmFC /01,01 µµµµ==== :

kmMkmXC ΩΩΩΩ====ΩΩΩΩ==== 318,0][14,3

106

1

Ukupna reaktansa voda dužine ][kml je: l

XX C

C1][ ====ΩΩΩΩ

10. Kapacitivna struja voda

Uslijed kapacitivnosti voda, javlja se reaktivna kapacitivna struja voda BI ili struja punjenja. Za vodove koji nisu suviše dugački, može se smatrati da ova struja linearno opada od početka ka kraju voda (Slila). Na bilo kojem mjestu voda ona zavisi od visine napona na tom mjestu. Promjene napona duž voda, koje nastaju uslijed pada napona, se mogu zanemariti i računati sa nazivnim naponom.

Slika: Kapacitivna struja u vodu

• •

l

IB

U2 U1 ↓Ib


---- 77 ----

Kapacitivna struja na početku voda jednaka je zbiru svih kapacitivnih struja duž voda:

[[[[ ]]]]ABU

lBU

I

lIII

VB

BBB

331

11

========

======== ∑∑∑∑ ,

gdje su: ]/[1 kmAIB - kapacitivna struja po jedinici dužine voda, ][kml - dužina voda, ][VU - nazivni linijski napon,

]/[1 kmSB - kapacitivna provodnost po jedinici dužine voda ( 11 CB ωωωω==== ), ][SBV - kapacitivna provodnost cijelog voda ( lBBV 1==== ) Kapacitivne struje zavise od visine napona voda, dužine voda i pogonske kapacitivnosti, koja opet zavisi od konstruktivnih karakteristika voda. U kraćim nadzemnim elektroenergetskim vodovima, napona do 35 kV, kapacitivne struje u poređenju sa strujama opterećenja su vrlo male, pa se zato mogu pri električnim proračunima zanemariti. Kod vodova viših napona, čije su i dužine veće, kapacitivne struje su znatnije i pri proračunima se moraju uzeti u obzir.

Uslijed kapacitivne provodnosti nastaje trofazna kapacitivna snaga, ili snaga punjenja, koja na jedinici dužine voda iznosi:

12

11 3]/[ BUUIkmMVArQ BB ======== , a za cijeli vod:

[[[[ ]]]]MVArBUUIQ BB23 ======== ,

gdje je ][kVU - linijski napon voda.

4. Odvodnost nadzemnih vodova

U vodovima visokog napona, osim gubitaka aktivne snage koji nastaju zbog zagrijavanja provodnika i koji zavise od otpornosti provodnika ][ΩΩΩΩR , javljaju se i gubici aktivne snage na izolaciji voda i uslijed jonizacije vazduha (korone). Odvodnost ][SG kod nadzemnih elektroenergetskih vodova je recipročna vrijednost poprečne otpornosti uslijed gubitaka kroz izolatore i otpornosti uslijed korone.


---- 78 ----

Odnos snage gubitaka, uslijed nesavršenosti izolatora i uslijed korone, i kvadrata napona, definiše odvodnost voda:

21 ]/[U

PkmSG

∆∆∆∆==== ,

gdje su: ]/[ kmMWP∆∆∆∆ - gubici snage sva tri fazna provodnika voda, ][kVU - linijski napon voda.

1. Gubici kroz izolatore nastaju zbog nesavršenosti izolatora, odnosno njihove površine koja je izložena prljanju te joj površinska otpornost nije beskonačna. Unutrašnja aktivna otpornost dielektrika izolatora je praktično beskonačna te su svi gubici aktivne snage izolatora skoncentrisani na njegovoj površini. Poprečna (otočna) otpornost voda koja potiče od izolatora je nelinearna funkcija napona, vremenskih uslova i stanja zaprljanosti površine izolatora, odnosno:

),,(1 izolatorapovršineuslovavremenskihUfRi ==== . Istraživanja na vodovima u eksploataciji, pokazuju da gubici snage na izolaciji voda , za nadzemne vodove napona 110 kV i 220 kV, iznose oko: ./41 kmkW−−−− Za nadzemne lelektroenergetske vodove, srednja vrijednost otočne otpornosti izolacije pri lijepom vremenu je oko:

kmMRi ΩΩΩΩ==== 201 a odgovarajuća podužna odvodnost:

kmSGi /05,01 µµµµ==== Vid se da je: kmMRi ΩΩΩΩ==== 201 >> kmMXC ΩΩΩΩ==== 318,0 , odnosno: kmSGi /05,01 µµµµ==== << kmSB /14,31 µµµµ==== Poprečna odvodnost 1iG se u većini slučajeva zanemaruje.

Pored ovih gubitaka javljaju se i gubici uslijed korone, odnosno jonizacije vazduha u okolini faznih provodnika. Korona se pojavljuje u slučajevima kada električno polje na površini faznog provodnika postane veće od kritičnog električnog polja za vazduh. U slučaju pojave korone, kao parametar u zamjenskoj šemi voda pojavljuje se i podužna odvodnost uslijed gubitaka korone (gubici su jednaki proizvodu odvodnosti i kvadrata napona). U određenim slučajevima ona može imati vrijednost koja nije zanemarljiva.

2. Gubici uslijed korone Vazduh, kao izolacija nadzemnih vodova, uvijek je djelimično jonizovan. Pod djelovanjem električnog polja joni se ubrzano kreću i sudaraju se sa


---- 79 ----

nejonizovanim česticama. Ukoliko je jačina električnog polja veća i gustina vazduha manja, biće brzina, a time i kinetička energija, jonizovanih čestica veća. Pri nekoj određenoj brzini joni uspijevaju da pri sudaru sa nejonizovanim česticama stvore nove jone, koji opet pri sudaru stvaraju nove jone itd. Vazduh pri tome postaje provodan. Pri temperaturi od +200C i barometarskom pritisku od 101223 Pa, intenzivna jonizacija nastaje kod jačine električnog polja od 30 kV/cm. Probojna čvrstoća vazduha za lijepo vrijeme pri kojoj nastupa jovizacija vazduha je prema tome 30 kV/cm, ili efektivna vrijednost sa kojom se računa 21,2 kV/cm. S obzirom da je između provodnika nadzemnih vodova razmak velik, neće doći do proboja između provodnika. Umjesto proboja pojaviće se tinjavo pražnjenje oko provodnika. Upravo ta pojava se naziva korina. Jačina električnog polja je najveća na površini provodnika , pa i tinjavo pražnjenje najveće oko samog provodnika. Na većoj udaljenosti od provodnika električno polje je slabije, zbog čega vazduh uglavnom zadržava izolaciono svojstvo. Pri pojavi korone oko provodnika se stvara vijenac ljubičastog svijetla i odatle ovoj pojavi i ime (na latinskom: corona = vijenac). Osim toga, javlja se i karakteristično pucketanje i osjeća se miris ozona. Jonizacija vazduha se vrši na račun električne energije u vodu, zbog čega je korona popraćena gubicima snage i energije. Kod sinusoidalne promjene napona korona postoji samo dotle dok je trenutna vrijednost napona bliska maksimalnoj vrijednosti, tako da se tinjava pražnjenja stalno pale i gase. Zbog toga nastaju elektromagnetski talasi koji pričinjavaju velike smetnje radio i tv uređajima. Ozon stvoren pojavom korone nagriza materijal provodnika. Korona je zbog svega ovoga, veoma nepoželjna pojava. Na pojavu korone, osim visine pogonskog napona, utiču rastojanja između provodnika, presjek provodnika, vremenske prilike (vlažnost, pritisak i temperatura okolnog vazduha), kao i hrapavost površine provodnika. Korona je veća odmah nakon montaže i puštanja voda u pogon nego kasnije u toku eksploatacije, radi veće hrapavosti površine novih užadi i radi prisustva prašine i raznih metalnih čestica preostalih poslije montaže. Napon pri kojem se pojavljuje korona naziva se kritični napon. Ako je pogonski napon manji od kritičnog napona, korona se ne može pojaviti. Ukoliko je pogonski napon veći od kritičnog napona korone, pojaviće se korona. Kritični napon se računa se preko tzv. Pikovog obrasca:

a

Damm

akVU m

vpfk ln)3,0

1(2

30][

δδδδδδδδ ++++==== ,

gdje su: ][kVU fk - kritični fazni napon

δδδδ - koeficijent relativne gustine vazduha pm - koeficijent hrapavosti provodnika


---- 80 ----

vm - koeficijent vremenskih prilika

][cmDm - M SGU faznih provodnika ][cma - poluprečnik provodnika. Koeficijent relativne gustine vazduha uzima u obzir stanje vazduha pri određenom atmosferskom pritisku i određenoj temperaturi okoline a izrečunava se prema

izrazu: T

T

b

bp 0

0

====δδδδ ,

gdje su: 0b i 0T - prtisak i apsolutna temperatura pri normalnim atmasferskim

uslovima pod kojim se podrazumijevaju: Pab 1013230 ==== , KT o)20273(0 ++++==== , pb i T - pritisak i apsolutna temperatura pri nekim drugim

atmasferskim uslovima.

⇒ t

b

t

b pp

++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

++++

++++====

−−−−

273

1089,2

273

20273

323101

3

δδδδ .

Ako je barometarski pritisak Pabp 101323==== Ct o20==== , koeficijent relativne

gustine vazduha 1====δδδδ . Koeficijent hrapavosti površine provodnika pm zavisi od broja žica u užadina, kao

i od starosti užadi i kreće se u granicama 0,82-0,92. Za idealno glatke cilindrične provodnike 1====pm .

Koeficijent vremenskih prilika vm v kreće se u granicama 0,3-1,0 (0,3 za veoma loše, a 1 za lijepo vrijeme) Smetnje uslijed korone mogu biti velike, pa se nastoji da se ona izbjegne. To se može postići jedino ako je radni napon voda manji od kritičnog: fkf UU <<<< . Da bi se spriječila pojava korone moraju se prilagoditi parametri od kojih zavisi veličina kritičnog napona. Povećanje poluprečnika provodnika osnovna je mjera za sprečavanje pojave korone. Analize pokazuju da se sa jednim užetom po fazi može ići do napona od 220kV. Počev od napona 400 kV treba obavezno preći na fazne provodnike u vidu snopa (dva ili više užadi po fazi na međusobnom rastojanju 30 do 50 cm),

gdje imamo značajno povećanje poluprečnika ( sa - srednji geometrijski

poluprečnik provodnika u snopu), a samim tim i povećanje kritičnog napona. Kritični napon kod vodova sa provodnicima u snopu računa se po obrascu:


---- 81 ----

s

mvp

s

fka

Dnamm

a

a

an

kVU ln)3,0

1(

)1(1

1

2

30][

δδδδδδδδ ++++

−−−−++++

====

gdje su: ][cmas - srednji geometrijski poluprečnik provodnika u snopu (S SGU) ][cma - poluprečnik užeta (jednog provodnika snopa) n - broj provodnika snopa. Provodnici u snopu imaju i tu prednost što se na taj način smanjuje induktivnost voda i time povećava njegova prenosna moć, pa se snopovi danas upotrebljavaju i tamo gdje to nije uslovljeno koronom. Gubici uslijed korone se povećavaju sa povećanjem napona, a time i jedinična odvodnost voda. Za vodove sa Al/Č užadima, za koje se može računati sa dustinom struje

2/2,1 mmA , gubici snage uslijed korone u trofaznom vodu mogu se računati po Pikovom obrascu:

5

2410625,1]/[

⋅⋅⋅⋅==== −−−−

fk

f

fkU

UUkmkWP

Ako je radni napon voda fkf UU 5,0≤≤≤≤ , gubici usled korone su beznačajno mali.

Ako je radni napon voda fkf UU 9,0≥≥≥≥ , gubici usled korone su izuzetno veliki i

zbog toga treba povećati presjek. Ako je radni napon voda fkf UU >>>> , nastupa opšta korona koja se ne sme

dozvoliti. Primjer 3 Ispitati pojavu korone, kao i koronske gubitke pri najvišem dozvoljenom naponu 220 kV voda za vrijeme vremenskih prilika:

a) Pabp 99990==== , Cto30==== , 1====vm

b) Pabp 97990==== , Ct o25==== , 8,0====vm

Fazni provodnici 257/360/ mmČAl postavljeni su na istoj visini (portalni stub) na rastojanju

8,5 m. Prečnik provodnika mmrd 6,262 ======== , a koeficijent hrapavosti provodnika 82,0====pm .

Rješenje

Za nazivni napon 220kV, najviši dozvoljeni napon prema kome se bira oprema, je kV245 ,

odnosno fazna vrijednost: .45,1413

245kVU f ========


---- 82 ----

M SGU je: mDdddDDDDm 71,105,826,126,1233231312 ====⋅⋅⋅⋅========⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅========

a) Pabp 99990==== , Ct o30==== , 1====vm

Koeficijent relativne gustine vazduha je: 954,030273

999901089,23

====++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

δδδδ

Kritični napon pri kojem nastaje korona je: a

Damm

akVU m

vpfk ln)3,0

1(2

30][

δδδδδδδδ ++++====

kVkVU fk 02,18733,1

1071ln33,1182,0)

33,1954,0

3,01(954,0

2

30][ ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅++++====

Kako je fkf UU <<<< , to opšta korona neće nastupiti, a gubici snage uslijed lokale korone su:

kmkWU

UUkmkWP

fk

f

fk /803,002,187

45,14145,14110625,110625,1]/[

5

24

5

24 ====

⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅==== −−−−−−−−

b) Pabp 97990==== , Ct o25==== , 8,0====vm

Koeficijent relativne gustine vazduha je: 95,025273

979901089,23

====++++

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====

−−−−

δδδδ

Kritični fazni napon pri kojem nastaje korona je: a

Damm

akVU m

vpfk ln)3,0

1(2

30][

δδδδδδδδ ++++====

kVkVU fk 05,14933,1

1071ln33,18,082,0)

33,195,0

3,01(95,0

2

30][ ====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅++++====

Kako je fkf UU <<<< , to opšta korona neće nastupiti, a gubici snage uslijed lokale korone su:

kmkWU

UUkmkWP

fk

f

fk /5,205,149

45,14145,14110625,110625,1]/[

5

24

5

24 ====

⋅⋅⋅⋅====

⋅⋅⋅⋅==== −−−−−−−−


---- 83 ----

II.4. Prenosne jednačine i zamjenske (ekvivalentne) šeme nadzemnih vodova

Pri proračunu električnih prilika u mrežama svaki element se prikazuje (zamjenjuje) zamjenskom (ekvivalentnom) šemom. Pri tome se zamjenske šeme elemenata formiraju pomoću parametara elemenata koji ih karakterišu. U proračunima se mogu upotrebljavati tačne ili približne zamjenske šeme, zavisno od cilja proračuna, zahtijevane tačnosti, konkretnih karakteristika elemenata i dr. Svaki trofazni elektroenergetski vod (nadzemni i kablovski) okarakterisan je sa četiri parametra:

]/[1 kmR ΩΩΩΩ - otpornost faze po jedinici dužine ]/[1 kmHL - induktivnost faze po jedinici dužine ]/[1 kmFC - kapacitivnost faze po jedinici dužine ]/[1 kmSG - odvodnost faze po jedinici dužine.

Parametri voda su ravnomjerno raspoređeni duž voda, odnosno vodovi su elementi sa raspodjeljenim parametrima.

Pri određivanju električnih prilika (napona, struja, snaga) za simetrične režime (fazori napona i struja simetrični, odnosno jednaki po veličini a pomjereni za 1200, i sva četiri parametra voda po svakoj fazi jednaka), dovoljno je posmatrati samo jednu fazu, odnosno koristiti jednofazne prikaze u kojima se vodovi ekvivalentiraju jednopolnim (jednofaznim ili monofaznim) zamjenskim šemama. Sva dalje razmatranja će se, ako se drugačije ne naglasi, odnositi na simetrične prostoperiodiče režime, u skladu sa kojim se zamjenske šeme daju u monofaznom prikazu i sa vrijednostima parametara za direktni (pozitivni) redosljed.

Parametri voda : otpornost 1R i induktivna otpornost 11 LX ωωωω==== čine rednu

(uzdužnu) impedansu voda po jedinici dužine voda:

)(]/[ 111 LjRkmZ ωωωω++++====ΩΩΩΩ ,

a parametri voda : provodnost 1G i kapacitivna provodnost 11 CB ωωωω==== obrazuju poprečnu admitansu voda po jedinici dužine:

)(]/[ 111 CjGkmY ωωωω++++====ΩΩΩΩ


---- 84 ----

1. Prenosne jednačine voda

Da se odredi u ustaljenom stanju raspodjela napona i struja u vodu posmatraćemo vod dužina l , predstavljen jednofaznom šemom na Slici. Fazni napon na početku voda je 1V , a na kraju voda 2V . Struje su 1I i 2I .

Slika: Jednofazna šema trofaznog voda Elementarni priraštaji napona i struje duž voda su:

)(1

1

xxx

xx

VVxYI

IxZV

∆∆∆∆−−−−⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆====∆∆∆∆

⋅⋅⋅⋅∆∆∆∆====∆∆∆∆

Ako predhodne jednačine podijelimo sa x∆∆∆∆ i stavimo da 0→→→→∆∆∆∆x , tada one poprimaju oblik:

x

x

x

x

VYdx

Id

IZdx

Vd

1

1

====

==== ,

pošto i

xV∆∆∆∆ teži nuli kad x∆∆∆∆ teži nuli.

Diferenciranjem prve jednačine po x uz uvažavanjem druge jednačine dobijamo:

x

x VYZdx

Vd⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==== 11

2

.

Opšte rješenje ove diferencijalne jednačine je:

112111 YZxshCYZxchCU x ++++==== , gdje su 1C i 2C integracione konstante. Za struju se dobija:

11

1

1

211

1

1

1 YZxchZ

YCYZxsh

Z

YCI x ++++====

Integracione konstante se dobijaju iz graničnih uslova voda, za kraj voda je:

xx II ∆−

xI∆

dxZ ⋅1

dxY ⋅1 xx VV ∆∆∆∆−−−− xV

1I

∆−2I

∆−

1V 2V

l x

x∆ xx ∆−


---- 85 ----

1

1

22

21

2

2:0

Y

ZIC

VC

VV

IIx

x

x

====

====

⇒⇒⇒⇒

====

========

Dolazimo do izraza, koji određuju fazor napona i struje u ma kojoj tački voda, kad su poznate veličine na kraju voda:

11

1

12112 YZxsh

Y

ZIYZxchVV x ++++====

11211

1

12 YZchIYZxsh

Z

YVI x ++++====

Ovo su osnovne jednačine prenosa snage vodom i nazivaju se prenosne jednačine voda ili jednačine telegrafičara.

Napona i struje na početku voda u funkciji napona i struje na kraju voda:

11

1

121121 YZlsh

Y

ZIYZlchVV ++++==== ,

11211

1

121 YZlchIYZlsh

Z

YVI ++++==== .

Napona i struje na kraju voda u funkciji napona i struje na početku voda:

11

1

111112 YZlsh

Y

ZIYZlchVV −−−−==== ,

11

1

111112 YZlsh

Z

YVYZlchII −−−−==== .

Veličina: 1 1Z Y jγ α β= = + je konstanta (koeficijent) prostiranja.

Realni dio ]/1[ kmαααα je konstanta slabljenja. Imaginarni dio ]/[ kmrββββ je fazna konstanta.


---- 86 ----

Veličina: 1

1

c

ZZ

Y= ima prirodu impedanse i naziva se karakteristična

impedansa. Sada se prenosne jednačine mogu napisati u obliku:

xshZIxchVV Cx γγγγγγγγ 22 ++++==== ,

xchIxshZ

VI

C

x γγγγγγγγ 22 ++++==== .

ili preko koeficijenata prenosnih jednačina:

C

x

Cx

xx

Z

xshC

xshZB

DxchA

γγγγ

γγγγ

γγγγ

====

====

========

u obliku:

22 IBVAV xxx ++++====

22 IDVCI xxx ++++====

Matrični oblik prenosnih jednačina, za napon i struju na početku voda :

1 2

1 2

U A B U

I C D I

= ⋅

,

, , ,A B C D su koeficijenti četvorokrajnika, odnosno koeficijenata prenosnih

jednačina određeni izrazima:

1

c

c

A ch l D

B Z sh l

C sh lZ

γ

γ

γ

= =

=

=


---- 87 ----

2. Konstanta prostiranja trofaznih nadzemnih vodova Konstanta prostiranja je definisana izrazom: 1 1Z Y jγ α β= = + .

Kod nadzemnih vodova otočna aktivna odvodnost je zanemarljivo mala, pa je konstanta prostiranja:

ββββααααωωωωωωωωγγγγ jCjLjRYZ ++++====++++≈≈≈≈==== 11111 )( ,

1

111 1

L

RjCLjωωωω

ωωωωγγγγ −−−−==== .

Kod nadzemnih vodova odnos 11 / LR ωωωω se kreće se opsegu od 25,05,0 −−−− .

Ako se za primjer uzme vod kod koga je: 2857,05,3/1/ 11 ========LR ωωωω , biće:

1

1

1 1 0,2857 1,0291 0,15.R

j j jLω

− = − = −

Sada se konstanta prostiranja za posmatrani slučaj može odrediti kao:

1 1 1 1

0,15 1,0291

0,15 1,0291i i

j

L C j L C

j

γ α β

ω ω

β β

= + =

= + =

= +

,

iββββ je fazna konstanta idealizovanog voda, odnosno voda bez gubitaka , kod

kojeg je: 01 ====R i 01 ====G , pa je:

ii jCLjCLjjBGjXRYZ ββββωωωωωωωωωωωωγγγγ ============++++++++======== 111122

111111 ))(( .

⇒

[ ][ ]

[ ]

[ ]

1 1

0

0

4

2

100 /10,472 10 /

300000 /

0,06 /

i

o

L C

v

f

v

rad srad km

km s

km

β ω

ω

π

π−

= ≅

≅ =

= =

= = ⋅ =

=


---- 88 ----

iββββ je izračunato za učestanost Hzf 50==== i brzinu svjetlosti u vazduhu

skmv /3000000 ====

Konsatnat prostiranja za posmatrani vod je:

[ ](1,572 10,776) 1/j kmγ = + .

Konstanta prostiranja kod realnih nadzemnih vodova je kompleksan broj sa dominantnim imaginarnim dijelom, odnosno konstanta slabljenja mnogo je manja od fazne konstante. 3. Karakteristična impedansa trofaznih nadzemnih vodova Karakteristična impedansa realnih trofaznih nadzemnih vodova može se odrediti kao:

[ ]1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 (1,0291 0,15)c ci

Z R j L L RZ j Z j

Y j C C L

ωω ω

+= ≅ = − = − Ω

,

[ ]1

1

ci

LZ

C= Ω je karakteristična impedansa idealizovanog voda, odnosno voda

bez gubitaka , kod kojeg je: 01 ====R i 01 ====G .

Karakteristična impedansa realnih trofaznih nadzemnih vodova je kompleksan broj sa dominantnim realnim dijelom.

4. Idealizovani vod Idealizovani vod je vodova bez gubitaka, kod kojeg je: 01 ====R i 01 ====G .

Konstanta prostiranja idealizovanog voda je:

iijCLjCLjjBGjXRYZ ββββωωωωωωωωωωωωγγγγ ============++++++++======== 1111

22111111 ))(( ,

⇒ Konstanta prostiranja idealizovanog voda je imaginarni broj: ii

jββββγγγγ ==== ,

odnosno jednaka faznoj konstanti. Kod idealizovanih vodova proizvod konstante prostiranja i dužine svodi se na:

i xx j x jγ β λ= = , gdje je:

x ixλ β= električna ugaona dužina voda.

Karakteristična impedansa idealizovanog voda:


---- 89 ----

1

1

1

1

11

11

1

1

C

L

Cj

Lj

jBG

jXR

Y

ZZ

iC ========++++

++++========

ωωωωωωωω

, je realan broj.

Kod idealizovanog voda, koeficijenti prenosnih jednačina su:

cos

sin

sin1 1

x xx x

x c ci x ci x

x

x x

c ci ci

A ch x ch j D

B Z sh x Z sh j jZ

C sh x sh j jZ Z Z

γ λ λ

γ λ λ

λγ λ

= = = =

= = =

= = =

5. Definicija snage u naizmjeničnom sistemu

Ako se uoče fazori napona V i struje I , čije su početne faze, odnosno argumenti određeni u odnosu na proizvoljno odabranu referentnu osu, i formira njihov proizvod dobiće se:

(((( ))))iuiu jjj

VIeIeVeIVSϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ++++====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== .

Gornji izraz očigledno ne predsatvlja prividnu snagu jer zbir argumenata (((( ))))iu ϕϕϕϕϕϕϕϕ ++++ nije fazni pomjeraj između struje i napona. Da bi se u rezultatu proizvoda fazora napona i struje pojavio njihov međusobni fazni pomjeraj, a ne zbir njihovih argumenata, potrebno je jedan od fazora konjugovati. Svejedno je koji će se fazor konjugovati. Uobičajeno je da se konjuguje struja. Tada se dobija korektan izraz za prividnu snagu:

(((( ))))iuiu jjj

VIeIeVeIVSϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ −−−−−−−− ====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅==== *

,

gdje je: ui u i

ϕ ϕ ϕ ϕ≡ = − fazni pomjeraj između napona i struje, odnosno

argument napona V u odnosu na struju I . U jednofaznom prikazu voda: S je prividna snaga jedne faze (npr. u MVA), V je fazor faznog napona (u kV), a

V

I

iuiu ϕ−ϕ=ϕ

iϕiϕ

f.o.


---- 90 ----

*I je konjugovana vrijednost fazora struje I (u kA).

Prividna snaga se može prikazati preko realne i imaginarne komponente:

jQPjVIVI

VIeVIeIVS jj iu

++++====++++====

========⋅⋅⋅⋅==== −−−−

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ sincos

)(*

Reralni dio prividne snage je aktivna snaga (u MW): cosP UI ϕ= , a imaginarni je reaktivna snaga (u MVAr): sinQ UI ϕ= .

Ako fazor struje zaostaje iza fazora napona, što je slučaj kod pretežno induktivne struje, argument 0>>>>==== iuϕϕϕϕϕϕϕϕ , pa je reaktivna snaga pozitivna.

Drugim rječima, induktivna reaktivna snaga je pozitivna ( 0>>>>indQ ). Kod pretežno kapacitivne struje, čiji fazor prednjači fazoru napona, je

0<<<<==== iuϕϕϕϕϕϕϕϕ , te je kapacitivna reaktivna snaga negativna ( 0<<<<kapQ ).

Treba zapamtiti da se ovakvi predznaci reaktivne induktivne i kapacitivne snage dobijaju ako se pri izračunavanju prividne snage konjuguje fazor struje. Takođe, treba uočiti da se svi izrazi odnose na jednofazni prikaz voda, pa su i sve snage snage po jednoj fazi.

6. Prirodna snaga prenosa

Režim voda u kome su njegove krajnje tačke zatvorene karakterističnom impedansom, naziva se režim prenosa prirodne snage.

Kada je vod na svom kraju zatvoren (opterećen) karakterističnom impedansom tada je:

cZ

VI 2

2 ==== , odnosno cZIV 22 ==== .

Prenosne jednačine u ovom slučaju, uz usvajanje fazora napona 2V za referentni

(po faznoj osi) 22 VV ==== , poprimaju oblik:

x

Cx eVxshVxchVxshZIxchVVγγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ 22222 ====++++====++++==== ,

xjxxjxxjx

x eeVeeVeVeVVλλλλααααββββααααββββααααγγγγ

22)(

22 ================ ++++ . i


---- 91 ----

x

c

x eIxchIxshIxchIxshZ

VI

γγγγγγγγγγγγγγγγγγγγ 22222 ====++++====++++==== ,

xjxxjxxjx

x eeIeeIeIeIIλλλλααααββββααααββββααααγγγγ

22)(

22 ================ ++++

Zaključujemo da su u režimu prenosa prirodne snage moduli napona i struje na bilo kom mjestu voda veći od njihovih vrijednost na kraju voda:

2VV x >>>> i 2II x >>>> , jer je:

1>>>>xe

αααα i 1====xje

λλλλ .

Prividna snaga:

pr

C

SZ

VIVS ≡≡≡≡========

*

22*

22 je prirodna snaga prenosa voda.

U režimu prenosa prirodne snage, prividna snaga na bilo kom mjestu voda x je:

xpr

jjx

C

xxx eSeeeZ

VIVS xx ααααλλλλλλλλαααα 22

*

22* ========⋅⋅⋅⋅==== −−−−

.

Ulazna impedansa voda zatvorena karakterističnom impedansom je:

C

x

xul Z

I

V

I

VZ ============

2

2 ,

dakle, jednaka je svojoj karakterističnoj impedansi. Kod idealizovanog voda, odnosno voda bez gubitaka, koeficijent slabljenja je jednak nuli, pa pri prenosu prirodna snage važi:

xjx eVV

λλλλ2====

xjx eII

λλλλ2====

CC ZZ ====

22 II ==== U režimu prenosa prirodne snage kod idealizovanog voda:

• Moduli napona i struja duž voda se ne mijenjaju, jer je slabljenje jednako nuli.


---- 92 ----

• Javlja se samo fazni pomjeraj između istoimenih veličina u različitim tačkama voda koji je jednak elektročnoj ugaonoj dužini dionice voda definisane posmatranim tačkama.

• Struja i napon u svakoj tački voda su u fazi. • Prividne snage u svim tačkama su jednake prirodnoj snazi koja je po

prirodi aktivna i jednaka:

CC

x

C

prprxZ

V

Z

V

Z

VPSS

22

221 ==================== .

Prirodna snaga stvarnih trofaznih vodova definiše se za nominalni napon kao:

C

n

Z

UP

pr

2

==== .

U posljednjem izrazu prP je aktivna trofazna snaga snaga a nU linijska

vrijednost nnominalnog, odnosno nazivnog napona trofaznog voda. Kod realnih vodova, prirodna snaga je kompleksna (sa malom reaktivnom komponentom), ali se u praktičnim razmatranjima smatra da je aktivna. U Tabeli su date su vrijednosti prirodnih snaga za nadzemne vodove standardnih nazivnih napona. Tabela: Prirodne snage realnih trofaznih vodova

Un [kV] 6 10 20 35 110 220 400 Zc [Ω] 400 400 400 400 400 400 320 Ppr [MW] 0,09 0,25 1 3,06 30,2 121 500

Karakteristična impedansa voda sa fazama u vidu snopa je manja nego kod vodova sa jednim užetom po fazi, zbog njihove manje podužne induktivnosti i veće podužne kapacitivnosti.

Pored povećanja napona, jedan od načina da se dobije veća prirodna snaga trofaznih vodova je izrada faznih provodnika u vidu snopa. Polazeći od predhodnih izraza, može se napisati sljedeća relacija:


---- 93 ----

1

1

2 2

. .

2 2

x

c

x

x x

mag el st

U L LZ

I C C

LI CUW W

= = =

⇒

= = =

Slijedi da su elektromagnetska i elektrostatička energija u svakoj tački voda, pri prenosu prirodne snage, uravnotežene. Za ovu pojavu se još kaže da vod sam sabe kompenzuje u pogledu reaktivnih energija ili snaga. Prirodna snaga voda je važan parametar, jer se aktivne snage bliske prirodnoj snazi mogu prenositi na velike daljine bez problema vezanih za naponske prilike na vodu, odnosno bez pada ili povećanja napona duž voda u odnosu na njegov polazni kraj.

7. Ekvivalentiranje voda sa raspodjeljenim parametrima zamjenskim šemama sa skoncentrisanim parametrima

Svaki trofazni vod sa raspodjeljenim parametrima može se zamjeniti ekvivalentnom šemom sa koncentrisanim parametrima cijelog voda, tako da su fazori ulaznih veličina 1U i 1I i izlaznih veličina 2U i 2I stvarnog voda i ekvivalentnog kola (šeme) potpuno identični.

Vodovi se ekvivalentiraju zamjenskim "Π" i "Τ" šemama.

Češće se koriste ekvivalentne "Π" šeme, jer se njihovom primjenom dobijaju mreže sa manjim brojem čvorova nego kad se koriste zamjenske "Τ" šeme.

Ekvivalentne "Π" ili "Τ" šeme sa skoncentrisanim parametrima ekvivalentne su samo za režime na krajevima voda i pomoću njih nije moguće analizirati naponske i strujne prilike duž voda.

7.a. Zamjenska "ΠΠΠΠ" šema voda (Slika)

Slika: Zamjenska "ΠΠΠΠ" šema voda

ΠZ 11 , SI22 , SI

1V 2V 2

ΠY

2

ΠY


---- 94 ----

Veza između ulaznih i izlaznih veličina "Π" šeme data je matričnom jednačinom:

⋅⋅⋅⋅

++++

++++

++++

====

⋅⋅⋅⋅

====

ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ

ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ

ΠΠΠΠΠΠΠΠ

ΠΠΠΠΠΠΠΠ

1

1

2

1

2

1

21

22

2

21

V

V

YZYZY

ZYZ

I

V

DC

BA

V

V .

Parametri Z Π i 2

Y Π ekvivalentne "Π" šeme određuju se izjednačavanjem

koeficijenata četvorokrajnika "Π" šeme sa koeficijentima četvorokrajnika matrične prenosne jednačine voda :

lchDD

lshZ

CC

lshZBB

lchAA

c

c

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

========

========

========

========

ΠΠΠΠ

ΠΠΠΠ

ΠΠΠΠ

ΠΠΠΠ

1

⇒

1

2

c

c

Z Z sh l

ch lY

Z sh l

γ

γ

γ

Π

Π

=

−=

Približna zamjenska "ΠΠΠΠ" šema voda

Za sve vodove u praksi važi relacija 111 <<<<<<<<YZ .

Stoga, za vodove dužine ispod 500 km, ako se u određivanju hiperbolnih funkcija

...!7!5!3

753

++++++++++++++++====αααααααααααα

ααααααααsh , ...!6!4!2

1642

++++++++++++++++====αααααααααααα

ααααch

izostave svi članovi sem prva tri greška nije veća od 0.2% , a ona nije veća od 0.5% ako se usvoje samo prva dva člana. Greška naglo opada sa opadanjem dužine voda. Za praktične svrhe, u izrazima za napon i struju duž voda (prenosne jednačine) uvijek je dovoljno koristiti samo pra dva člana. Ako dužina voda nije veća od 150 km može se zanemariti i drugi član, a da tačnost rezultata bude potpuno zadovoljavajuća. U ovom slučaju vod se zamjenjuje sa približnom "ΠΠΠΠ" šemom sa vrijednostima koncentrisanih parametara:


---- 95 ----

1

1

2 2 2

Z Z l Z

Y Y Yl

Π

Π

≡ = ⋅

≡ = ⋅

7.b. Zamjenska (ekvivalentna) "T" šema voda (Slika)

Slika : Zamjenska "T" šema voda

Veza između ulaznih i izlaznih veličina "T" šeme data je matričnom jednačinom:

⋅⋅⋅⋅

++++

++++++++====

⋅⋅⋅⋅

====

ΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ

ΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤΤ

ΤΤΤΤΤΤΤΤ

ΤΤΤΤΤΤΤΤ

1

1

2

1

2

1

21

22

221

V

V

YZY

YZZYZ

I

V

DC

BA

V

V

Parametri Z Τ i 2

Y Τ ekvivalentne "Τ" šeme određuju se izjednačavanjem

koeficijenata četvorokrajnika "Τ" šeme sa koeficijentima četvorokrajnika matrične prenosne jednačine voda :

lchDD

lshZ

CC

lshZBB

lchAA

c

c

γγγγ

γγγγ

γγγγ

γγγγ

========

========

========

========

ΤΤΤΤ

ΤΤΤΤ

ΤΤΤΤ

ΤΤΤΤ

1

⇒

1

2

c

c

Y Y sh l

ch lZ

Y sh l

γ

γ

γ

Τ

Τ

=

−=

,

gdje je: 1 1

c

c

YZ

= Ω .

2

ΤZ

2

ΤZ

11 , SI22 , SI

1V 2V ΤY


---- 96 ----

Približna zamjenska "T" šema voda

Ako dužina voda nije veća od 150 km može vod zamjeniti sa približnom "T" šemom, a da tačnost rezultata bude potpuno zadovoljavajuća. U ovom slučaju vrijednostima koncentrisanih parametara su:

1

1

2 2 2

Z Z l Z

Y Y l Y

Τ

Τ

⋅≡ =

≡ = ⋅

7.c. Zamjenska "I" šema voda (Slika) Za kratke vodove, a posebno kratke vodove napona do uključivo 35 kV, moše se ići dalje sa uprošćenjem zamjenskih šema voda. Konkretno, može se računati sa približnom "I" šemom.

Na Slici je uz indekse za snage i napone dodat simbol "f", da bi istakli da se radi o snagama po jednoj fazi i o faznim naopnima ( VU f ≡≡≡≡ )

Slika : Zamjenska "I" šema voda

U proračunima distributivnih mreža (kratle dionice vodova i niži naponi) najčešće se za vodove koriste zamjenske "I" šeme.

Izrazimo napon na početku voda ( 1U - linijska vrijednost napona) preko poznatog napona na kraju voda ( 2 2

U U= - linijska vrijednost napona) i snaga na kraju voda,

odnosno snaga potrošnje (2

P - aktivna trofazna snaga na kraju voda, 2

Q - reaktivna trofazna snaga na kraju voda).

Napon na početku voda je: 1 2 23 3( )U U Z I U R jX I= + = + + .

Snaga na kraju voda je:

1, fI S 2, fI S

[ ]1 1Z R jX Rl jX l= + = + Ω

1V 2V


---- 97 ----

*

2 2 2 2

2 2

2

3

3

S U I P jQ

P jQI

U

= = +

⇒

−=

Računajući sa posljednjeg izrazom za strujuj, za napon na početku voda dobijamo:

.

1 2

2 2

2

2

2 2 2 2

2

2 2

3( )

3( )3

U U R jX I

P jQU R jX

U

P R Q X P X Q RU j

U U

= + + =

−= + + =

+ −= + +

Documents

NADZEMNI VODOVI