Naizmenicne struje.pdf

PREDAVANJE 11 (PROF. D. KANDIĆ, MAŠINSKI FAKULTET-BEOGRAD) 1

KOLA SA PROSTOPERIODIČNIM STRUJAMA

1. Odziv RLC kola na prostoperiodičnu naponsku eksitaciju

Posmatrajmo prvo RL kolo prikazano na sl. 1a, koje se zatvaranjem prekidača S priključuje utrenutku t=0 na izvor prostoperiodične ems e(t)=Emcos(t+), gde je Em > 0. Početni fazni staveksitacije određen je njenim naponskim stanjem u trenutku uključenja. Početni uslov za struju ko-la glasi i(0)=0 [A], a njena kompletna varijacija za t > 0 određuje se iz nehomogene, linearne dife-rencijalne jednačine prvog reda sa konstantnim koeficijentima:

Lit

R i E t i dd

cos( ), (0) [A]m 0 . (1)

uR uL uC

e t( )

R L C

i t( )

(a)

e(t)

R

L

S

i t( )

u t( )

S

(b)Sl. 1

Rešenje diferencijalne jednačine (1) zbir je rešenja homogene jednačine is=Kexp[(-R/L)t] ko-je predstavlja sopstveni odziv kola (ili reakciju na priključenje eksitacije) i partikularnog integralaip=Imcos(t+) koji odgovara prinudnom odzivu kola, gde je =-. Dakle:

m p m( ) e cos( ), (0) 0 [A], (0) cos( )R tLi t K I t i K i I

, (2)

pri čemu se amplituda Im i fazna razlika =-u partikularnom integralu-prinudnom odzivu odre-đuju zamenom izraza Imcos(t+-) u diferencijalnu jednačinu (1) koju taj izraz mora zadovolja-vati t. Odatle za t 0 sledi:

L I t R I t E tm m msin( ) cos( ) cos( ) , tj.

m m m m( sin - cos ) sin( ) ( cos sin ) cos( )R I L I t R I L I t

(3)

E t R I L I R I L I Em m m m m mcos( ) sin - cos , cos sin 0 ,

pa se odatle lako dobijaju tražene veličine Im i 0, /2u sledećem obliku,

2 2m mm 2 2

, : ( ) ; arctan 02( )

E E LI Z R L ,

Z RR L

, (4)


gde je Z-impedansa RL kola. Veličina XL=L zove se induktivna otpornost savršenog kalema. Pri-nudni odziv, konstanta K, kompletan odziv kola i napon kalema za t 0 dati su sledećim relacijama:

m mp p

2( ) cos( ), (0) cos( ), 2E E

i t t K i fZ Z T

,

-m m( ) cos( ) e cos( )R tL

E Ei t t

Z Z

, (5)

-m

m m m md( ) cos( ) e sin( ), :d

R tL

Ei Ru t L E U t U L L It Z Z

.

Sopstvena komponenta odziva iščezava u prelaznom procesu koji traje do uspostavljanja stacionar-nog stanja kada struja kola postaje Imcos(t+), gde je =- početni fazni stav struje kola. Ugao=-koji predstavlja razliku početnih faza ems e(t) i struje i(t) u ustaljenom prostoperiodičnomrežimu zove se fazna razlika između ems i struje, dok je ugao -=fazna razlika između struje iems e(t). Fazna razlika zavisi sàmo od RL parametara kola i frekvencije . Mada komponentasopstvenog strujnog odziva asimptotski teži nuli kada t , intenzitet struje u toku prelaznog pro-cesa može biti skoro i dvostruko veći od amplitude prinudnog odziva, u slučaju kada je vremenskakonstanta L/R velika u odnosu na T. Početna vrednost sopstvene komponente zavisi od početnevrednosti prinudne komponente odziva, pa samim tim i od eksitacije. Pogodnim izborom trenutakauključenja eksitacije (tj. ) može se postići da sopstvena komponenta kompletnog odziva kola buderavna nuli, tako da je u njemu odmah po uključenju eksitacije uspostavljeno stacionarno stanje.Takvi trenuci, a ima ih po dva u svakoj periodi T, određeni su sa =/2 i 2=+3/2 i tada jei(t)=Imsin(t), respektivno. Naravno, u svakoj periodi postoje i dva trenutka kada je priključiva-nje eksitacije najnepovoljnije, naročito ako je L/R T, kada je struja prelaznog režima veća od oneu stacionarnom stanju. Takvi najnepovoljniji trenuci određeni su sa 3=i 4=+i tada je i(t)==Im{exp[-(R/L)t]-cos(t)}, respektivno. Na sl. 2 prikazana je varijacija normalizovane strujekola i/Im, a na sl. 3 varijacija normalizovanog napona u/Um kalema, u intervalu x:=t 0, 20u slučaju kada jei a:=L/R=0.1 i 20.

x [rad]

i/Im

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1 a=0.1

a=20

Sl. 2


Na sl. 2 uočava se da prelazni proces uspostavljanja prostoperiodične struje u kolu traje mno-go kraće kada je a malo (a=0.1), nego kada je ono veliko (a=20). S druge strane, na sl. 3 uočava sei da je u posmatranom slučaju za malo a (a=0.1) prelazni proces uspostavljanja prostoperiodičnognapona na kalemu praćen njegovim višestrukim premašenjem u odnosu na amplitudu Um u ustalje-nom stanju, kao i da je to premašenje sasvim neznatno u slučaju kada je a veliko (a=20).

x [rad]

u/Um

-2

0

2

4

6

8

10

a=0.1

a=20

Sl. 3

Posmatrajmo sada RLC kolo sa neopterećenim kondenzatorom (sl. 1b), koje se zatvaranjemprekidača S u trenutku t=0 priključuje na izvor ems e(t)=Emcos(t+). Početni uslov za struju kolaglasi i(0)=0 [A], a njenu varijaciju za t > 0 režira sledeća diferencijalna jednačina:

mm

00

cosd 1 dd cos( ), (0) 0 [A],

d d

t

t

Ei iL R i i t E t i

t C t L

. (6)

Pošto je i=CduC/dt, prethodna jednačina može se napisati u sledećem obliku:

2C C C

C m C20

d d dcos( ), (0) 0 [V], 0 [V/s]

d dd t

u u uL C R C u E t u

t tt

, (7)

a njeno rešenje sastoji se opet od sopstvenog odziva uCs i prinudnog uCp. U zavisnosti od prirodekorena karakteristične jednačine, odziv uCs javlja se u jednom od tri oblika [videti relacije (2.141)(2.143) na str. 504 u udžbeniku]. Prinudni odziv kola je prostoperiodičan oblika UCmcos(t+-1).Amplituda UCm i fazna razlika 1 mogu se odrediti posle zamene UCmcos(t+-1) u diferencijalnujednačinu (7), koju taj izraz mora zadovoljiti t 0. Odatle sledi:

2Cm 1 Cm 1 Cm 1cos( )- sin( ) cos( )L C U t R C U t U t

m cos( )E t , a izjednačavanjem koeficijenata uz cos( ) t i sin( ) t dobija se,

(1- ) cos sin2Cm Cm mL C U R C U E 1 1 ,

(8)(1- ) sin cos2

Cm CmL C U R C U 1 1 0.


Tražene veličine UCm i lako se određuju iz prethodne realacije:

m mCm 2

2

22,

1

1:

E EU

C ZC R L

C

Z R LC

,

(9)

1

1

arccot : 0 ,

1

arctan22 2

LC

R RC , ,

L

,

gde je Z impedansa RLC kola. Veličina XC=1/(C) zove se kapacitivna otpornost kondenzatora, aveličina X=XL-XC reaktansa RLC kola. Prinudna komponenta napona na kondenzatoru sada je ob-lika uCp=UCmcos(t+-1)=[Em/(CZ)]cos(t+--/2)=[Em/(CZ)]sin(t+-)Stoga je zat 0 kompletan izraz za napon na kondenzatoru predstavljen jednom od sledeće tri relacije:

(a) u K KEC Z

tp t p tC

me e sin( )

1 2

1 2

aperiodičan slučaj sopstvenog odziva,

(b) 0 mC 1 2( ) e sin( )t E

u K K t tC Z

kritičan slučaj sopstvenog odziva, (10)

(c) u K t K tEC Z

ttC 1 1

m[ cos( ) sin( )] e sin( )

1 2

pseudoperiodičan slučaj,

u zavisnosti od odnosa parametara RLC elemenata (videti str. 504 u udžbeniku). Sada ćemo odreditiintegracione konstante K1 i K2 iz početnih uslova (7), recimo, za pseudoperiodičan slučaj (c). Dakle:

m m1 1 1 2sin( - ) 0, cos( - )E EK K K

C Z C Z

(11)m m m

1 21 1

sin( - ), sin( - ) cos( - )E E E

K KC Z C Z C Z

,

pa je konačan izraz za kompletan napon na kondenzatoru posle uključenja eksitacije,

- -m mC 1 1

1

sin( - ) e cos( ) sin( - ) cos( - ) e sin( )+t tE Eu t t

C Z C Z

(12)m sin( - )E t

C Z

,

odnosno, kada se uvrsti -=0cosi 1=0sin, /2, [videti str. 504 u udžbeniku] sledi,

-0m mC 1 1

1 0

e sin( - ) sin( ) cos( - ) sin( ) sin( - ).tE Eu t t t

C Z C Z

(13)


U istom vremenskom intervalu struja kola i=CduC/dt određena je sledećom relacijom:

iEZ

t tEZ

tt LNM

OQP m - 0 me sin( - ) sin( ) cos( - ) sin( ) cos( - )

0

11 1 .

(14)

Dobijene relacije (13) i (14) pokazuju da odzivi kola zavise, ne samo od njegovih parametara,veličine eksitacije i njene frekvencije, veći od početne faze eksitacije . Kada je =+/2, napon istruja kondenzatora posle uključenja eksitacije određeni su ovim relacijama:

-0m mC 1

1

e sin( ) cos( )tE Eu t t

C Z C Z

,

(15)2

-0m m1

1

e sin( ) sin( )tE Ei t t

Z Z

.

U ustaljenom stanju amplituda napona na kondenzatora je UCm=Em/(CZ), dok je amplitudastruje Im=Em/Z. Na sl. 4 prikazane su varijacije normalizovanog napona kondenzatora uC/UCm i nor-malizovane struje i/Im u intervalu x=t 0, 5u kolu gde je: R=100 [, L=1 [mH], C=0,1 [F],0=105 [rad/s], ==5104 [rad/s], 1=( 3 /2)105 [rad/s], =2/3 i =/2. Sopstveni odziv kolavrlo brzo iščezava u toku vremena i u ustaljenom stanju ostaje sàmo prinudan odziv. Primetimo i dase iz dobijenih izraza (9), (13) i (14) lako mogu odrediti i odzivi kola sastavljenog od naponskog ge-neratora i sàmo dve vrste RLC elementa, tako što će se u te izraze uvrstiti parametar nedostajućegRLC elementa kao ravan nuli.

x [rad]

-1

-0.5

0

0.5

1

u/Ucm

i/Im

Sl. 4

Prethodni rezultati omogućavaju uvođenje kompleksne ili simboličke metode za rešavanjeelektričnih kola i mreža sa prostoperiodičnim eksitacijama (to su naponski i strujni generatori), istekružne frekvencije u kojima je uspostavljeno stacionarno stanje, ili ustaljen prostoperiodičnirežim. Prema prethodnom, kada u RLC kolu na sl. 1b vlada ustaljen prostoperiodičan režim, odnos-no kada je uspostavljeno prostoperiodično stacionarno stanje, tada je prema relacijama (9) i (14):


mm m mcos( ) cos( ), , -

Ee E t i I t I

Z početna faza struje,

(16)

22

11: , arctan

2 2

LCZ R L ,

C R

.

Trenutne vrednosti napona na RLC elementima čiji su referentni smerovi usaglašeni sa smeromstruje (videti sl. 1b, ibid.) date su relacijama koje slede.

1) Otpornik u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

R m Rm R m RR mcos( ) cos( )u R i R I U R It U t , tj.

U ustaljenom prostoperiodičnom režimu struja otpornika i napon na njemu sa usaglašenimsmerom uvek su u fazi (tj. R=). Efektivna vrednost (prostoperiodičnog) napona na otporni-ku je,

Rm mR 2 2

U R IU R I

, gde je I efektivna vrednost struje kola.

Ako je j-imaginarna jedinica (j: 1) , definišimo dalje sa I=Iexp(jkompleksnog predstavnikastruje kola i I t 2 cos( ) , a sa UR=URexp(jRkompleksnog predstavnika napona na ot-porniku R, R R R2 cos( ).u U t S obzirom da se u ustaljenom stanju struja kola i i napon naotporniku uR mogu predstaviti u svakom trenutku t u sledećem obliku:

i I u Ut t 2 2Re Ree ejR R

j m r m r , (17)

to se odatle pri usaglašenim smerovima za napon uR i struju i lako dobija sledeća implikacija,

t: RR Rj j2 e 2 et tu Re U R i R Ue R II R , (18)

budući da prethodna relacija u vremenskom domenu važi za svako t, pa tako i za t=0 i t=/2.Relacija (18) pokazuje da se kompleksni predstavnik napona na otporniku usaglašenog smera sastrujom, dobija kao proizvod termogene otpornosti R (ili "kompleksne impedanse" otpornika ZR=R)i kompleksnog predstavnika struje I.

2) Kalem u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

u Lit

L I t L I t U tL m m Lm L

dd

sin( ) cos( ) cos( )

2

Lm m L 2U L I , tj.

U ustaljenom prostoperiodičnom režimu struja kalema fazno zaostaje za naponom na njemusa usaglašenim smerom, za ugao /2 (tj.L-). Efektivna vrednost napona na kalemu je,

Lm mL L L( .)

2 2

U IU L L I X I X L induktivna otpornost kalema


Pored kompleksnih predstavnika struje i napona otpornika definišimo sa UL=ULexp(jLkomplek-snog predstavnika napona na kalemu induktivnosti L, L L L2 cos( ).u U t S obzirom da sestruja kola i i napon uL mogu predstaviti u svakom trenutku u sledećem obliku:

i I u Ut t 2 2Re Ree ejL L

j m r m r , (19)

to se odatle pri usaglašenim smerovima za napon uL i struju i lako dobija sledeća implikacija,

t: jLL L

jL

d2 e 2 (j ) (ed

j )t tiu Re U L R U L Ie II ZLt

, (20)

budući da prethodna relacija u vremenskom domenu važi za svako t, pa tako i za t=0 i t=/2.Relacija (20) pokazuje da se kompleksni predstavnik napona kalema usaglašenog smera sa strujom,dobija kao proizvod kompleksne impedanse kalema ZL=jL i kompleksnog predstavnika struje I.

3) Kondenzator u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

m mC Cm Csin( - ) cos( ) cos( )

2E I

u t t U tC Z C

Cm m C m C C

1 1(2

)U I X I X kapacitivna otpornost kondenzatoraC C

,

U ustaljenom prostoperiodičnom režimu struja kondenzatora fazno prednjači naponu na nje-mu sa usaglašenim smerom, za ugao /2 (tj. -C/2). Efektivna vrednost napona na kon-denzatoru je,

Cm mC C

1 1

2 2

U IU I X I .

C C

Pored kompleksnih predstavnika struje i napona otpornika i kalema, definišimo sa UC=UCexp(jCkompleksnog predstavnika napona u U tC C Ccos( ) 2 na kondenzatoru kapacitivnosti C.Pošto se struja kola i i napon uC mogu predstaviti u svakom trenutku u obliku:

j jCC2 e 2 et ti Re I u Re U , (21)

to se odatle pri usaglašenim smerovima za napon uC i struju i lako dobija sledeća implikacija,

t: j jCC CC

d2 e 2 (j ) 1

je

dt tu

i Re I C Re C U IU ICt

Z

,

(22)

budući da prethodna relacija u vremenskom domenu važi za svako t, pa tako i za t=0 i t=/2.Dobijena relacija (22) pokazuje da se kompleksni predstavnik napona na kondenzatoru usaglašenogsmera sa strujom, određuje kao proizvod kompleksne impedanse kondenzatora ZC=1/(jC) i komp-leksnog predstavnika struje I. U narednom tekstu sledi generalizacija dobijenih rezultata na mreže.


Û Pretpostavimo da se u bilo kojem čvoru mreže u ustaljenom prostoperiodičnom režimu stiče ngrana sa strujama i I t k nk k kcos( ) ( ) 2 1 , , čiji su kompleksni predstavnici res-pektivno k k kexp(j ).I I Ako je stanje u mreži kvazistacionarno, tada iz prvog Kirhofo-vog zakona primenjenog na taj čvor sledi:

n

kk

n nj

kkk 1 k 1 1=

0, 2 e 0: 0t Pr vi Kirhofov zakont I

u kompleksnom oblii Re I

ku

, (23)

budući da prethodna relacija u vremenskom domenu važi za svako t, pa tako i za t=0 it=/2.

Û Neka bilo koju konturu mreže u ustaljenom prostoperiodičnom režimu obrazuje m grana sanaponima u U t k mk k kcos( ) ( ) 2 1 , , čiji su kompleksni predstavnici respektivno

k k kexp(j ).U U Ako je u mreži stanje kvazistacionarno, tada se iz drugog Kirhofovogzakona za tu konturu dobija,

m mj

kkk 1 k=1

m

kk 1

0, 2 e 0: 0t Drugi Kirhofov zakont U

u kompleksnom obu

l kuRe U

i

, (24)

budući da prethodna relacija u vremenskom domenu važi za svako t, pa tako i za t=0 it=/2.

Û Relacije (18), (20) i (22), koje povezuju kompleksne predstavnike napona i struje otpornika,kalema i kondenzatora, respektivno, predstavljaju kompleksne oblike Omovog zakona za telinearne elemente, ili njihove konstitutivne relacije u ustaljenom prostoperiodičnom režimu pri usaglašenim smerovima napona i struja.

Û Na sličan način kao i u vezi prethodnih napomena, lako se pokazuje da je kompleksni pred-stavnik napona UAB između tačaka A i B u električnom kolu i tačaka i/iličvorova u električnojmreži, u ustaljenom prostoperiodičnom režimu jednak alegabrskoj sumi kompleksnih pred-stavnika svih električnih sila od tačke B do tačke A (B A) po bilo kojoj putanji, odnosno:

iAB ji j

Po bilo kojoj putanji: B AU E U , (25)

gde su E ii

i U jj

algebarske sume kompleksnih predstavnika elektromotornih, odnos-

no elektrootpornih sila, respektivno, formirane dužusvojene putanje, u referentnom smeru odtačke B do tačke A. Ako se referentni smer ems na toj putanji poklapa sa smerom B A, onase u sumu (25) unosi sa predznakom "+", dok se u suprotnom unosi sa predznakom "-". Kom-pleksni predstavnici napona uj (tj. Uj) koji figurišu u (25) odgovaraju: (1o) kompleksnim pred-stavnicima napona RLC elemenata, formiranim pomoću konstitutivnih relacija tih elemenatau ustaljenom prostoperiodičnom režimu, ili (2o) kompleksnim predstavnicima napona delovakola i mreža između parova tačaka ili čvorova, koji se zamenjuju tim naponima, u skladu sateoremom o kompenzaciji. Ako se referentni smer napona Uj poklapa sa smerom B A, tajnapon se u sumu (25) unosi sa predznakom "+", a u suprotnom se unosi sa predznakom "- ".

Na osnovu kompleksnog oblika Omovog zakona za linearne RLC elemente, prethodnoj defi-niciji kompleksnog predstavnika napona između tačaka kola i/ili čvorova mreže, može se dati slede-ći alternativan oblik:


Û Kompleksni predstavnik napona UAB između bilo kojih tačaka A i B u električnom kolu i tača-ka i/ili čvorova u električnoj mreži u ustaljenom prostoperiodičnom režimu jednak je algebar-skoj sumi svih električnih sila od tačke B do tačke A (B A) po bilo kojoj putanji, odnosno:

U E Z I B AAB i j j

ji

: Po bilo kojoj putanji , (26)

gde su E ii

i Z Ij jj

algebarske sume elektromotornih, odnosno elektrootpornih sila,

respektivno, formirane dužusvojene putanje, u referentnom smeru od tačke B do tačke A. Zjsu impedanse pojedinih RLC elemenata. Ako se referentni smer ems na toj putanji poklapa sasmerom B A, ona se u sumu (26) unosi sa predznakom "+", dok se u suprotnom unosi sapredznakom "-". U sumi (26) figurišu, ili struja kola, ili struje sàmo onih grana mreže kojepripadaju usvojenoj putanji. Kada se referentni smer struje Ij poklapa sa smerom B A,proizvod ZjIj se u sumu unosi sa predznakom "-", a u suprotnom unosi se sa predznakom "+".

Û Na osnovu prethodnog može se zaključiti da, u opštem slučaju, sve što je pokazano da važi uelektrokinetici vremenski konstantnih struja (osim teoreme o maksimalnom prenosu snage),važi i u kolima i mrežama u ustaljenom prostoperiodičnom režimu, stim što se kod njih koristekompleksni predstavnici napona i struja (a ne njihove trenutne vrednosti) i kompleksne impe-danse RLC elemenata. Prema tome, u ustaljenom prostoperiodičnom režimu u RLC kolima imrežama:

(a) Sa kompleksnim impedansama elemenata postupa se isto kao i sa otpornicima u termoge-nim mrežama (redno/paralelno ekvivalentiranje, transformacije tipa i obrnuto). Ekvi-valentna kompleksna impedansa kola ili mreže računata između dva njena čvora, u opštemslučaju je oblika Z=R+jX=Zej, gde je R-rezistansa, X-reaktansa, Z je moduo, a -argumentkompleksne impedanse Z. Kod pasivnih RLC mreža uvek je R 0, a X može biti > 0 ("pretežnoinduktivna" mreža) ili < 0 ("pretežno kapacitivna" mreža), u zavisnosti od RLC parametara ikružne frekvencije. Recipročna vrednost impedanse Z zove se kompleksna admitansa Y:

YZ R X

RR X

XR X

G B GR

R XB

XR X

1 12 2 2 2 2 2 2 2j

j j , , , (27)

gde se G zove konduktansa, a B susceptansa koje su korespondentne admitansi Y.

(b) Važe i odgovarajući oblici međusobnih ekvivalentnih transformacija naponskih i strujnihgeneratora i generatorskih grupa stim što figurišu kompleksni predstavnici ems naponskihgeneratora i struja strujnih, kao i kompleksne unutrašnje impedanse ili admitanse generatora(umesto termogenih otpornosti).

(c) Važe i odgovarajući kompleksni oblici teorema LVI mreža i svih metoda koje se koriste zaanalizu tih mreža (npr., metod konturnih struja, metod potencijala čvorova itd.).

Û Za RLC kolo na sl. 1b, iz kompleksnog oblika Omovog zakona za RLC elemente i drugog Kir-hofovog zakona (24), odmah se dobija sledeći kompleksni oblik Omovog zakona za kolo:

jj ( ) j

j

e e e1 1 ej j

j

E E E EI I IZ ZR L R L

C C

, (28)


2j 2

11 1e j arctan

LCZ Z R L , Z | Z | R L ,

C C R

,

gde je E-kompleksni predstavnik prostoperiodične ems generatora e(t), a Z-kompleksna impe-dansa rednog RLC kola. Znak "+" stoji kada su referentni smerovi ems i struje kola usagla-šeni, dok znak "-" stoji u suprotnom slučaju.

Ustaljen prostoperiodični režim koji vlada u RLC kolu na sl. 1b kada je frekvencija generatora=0=1/ LC zove se fazna rezonancija. Tada su ems i struja kola u fazi ( =0), kompleksnipredstavnik struje kola je I=E/R, a napona na kalemu i kondenzatoru UL=(jL/R)E=(j L C/ /R)Ei UC=E/(jCR)=(-j L C/ /R)E, respektivno. Prema tome, efektivne vrednosti napona na kalemui kondenzatoru kod rednog RLC kola u faznoj rezonanciji su UL=UC=( L C/ /R)E i u slučaju kadaje L C/ R one mogu višestruko da premaše efektivnu vrednost ems kola E. Usled toga u kolutada može nastupiti proboj dielektrika u kondenzatoru, ili oštećenje izolacije žice kod kalema. Prifaznoj rezonaciji naponi uL i uC su u protivfazi, tj. njihove početne faze razlikuju se za(L-C=.

Na opštem primeru koji sledi ilustrovaćemo eleganciju i prednosti primene kompleksnog ilisimboličkog računa u analizi linearnih električnih mreža u ustaljenom prostoperiodičnom režimu u odnosu analizu tih mreža u vremenskom domenu zasnovanoj na primeni Kirhofovih zakona.

Primer 1: U mreži na sl. 5a sa generatorima prostoperiodičnih ems-i e1=E1 2sin(t+),e2=E2 2cos(t+2)=E2 2 sin(t+2/2) i e3=E3 2sin(t+3) vlada ustaljen prostoperio-dični režim. Ako su poznate sve ems-e i svi RLC parametri, odrediti trenutne vrednosti strujagrana, kao i napona reaktivnih elemenata.

(a)

e1

e2 e3

i1

i2

i3

R1R2

L1

L2C

uR1

uL 1

uC

uR2

uL 2

1

0

2

11 2

3

0R L

C

(b)

i1 i3

i2

v1v2

v3

Sl. 5

Za mrežu na sl. 5a mogu se po IKZ (za čvor 1) i po IIKZ (za konture 1 i 2) napisati u vremen-skom domenu sledeće integro-diferencijalne jednačine koje su, naravno, po obliku nezavisne odvremenskih varijacija ems-i generatora (ove mogu biti vremenski konstantne, prostoperiodične, slo-ženoperiodične, aperiodične i mešovito):

IKZ za čvor 1: i i i1 2 3 0 ,

IIKZ za konturu: e R i L it

uC

i t et

1 1 1 12

20

2 0 zdd

(0) - 1 dC , (29)

IIKZ za konturu: e R i R i Lit

e1 1 1 2 3 23

3 0 dd

.


Pošto se traže odzivi u ustaljenom prostoperiodičnom režimu, primenom kompleksnog računa mo-guće je izbeći rešavanje sistema integro-diferencijalnih jednačina i problem analize svesti na reša-vanje sistema običnih algebarskih jednačina sa kompleksnim koeficijentima i kompleksnim rešenji-ma. Kompleksni oblici jednačina po IKZ i IIKZ za mrežu na sl. 5a glase:

IKZ za čvor 1: I I I1 2 3 0 ,

IIKZ za konturu : E R I L IC

I E1 1 1 1 2 2 2 0

j -1

j

, (30)

IIKZ za konturu : E R I R I L I E1 1 1 2 3 2 3 3 0 j .

Rešenja Ik=Ikexp(jk) (k=1, 2 i 3) prethodnog sistema su kompleksni predstavnici struja grana i1, i2i i3 , respektivno; Ik su efektivne vrednosti tih struja, a j početne faze (k=1, 2 i 3), u odnosu na istipočetni trenutak prema kojem su i napisani vremenski izrazi za ems-e generatora. Iz kompleksnogoblika Omovog zakona za elemente dobijamo kompleksne predstavnike napona reaktivnih eleme-nata, UL1=jL1I2=L1I2exp[j(2/2)], UC=I2/(jC)=I2/(C)exp[j(2-/2)] i UL2=jL2I3==L2I3exp[j(3/2)], odakle se dobijaju trenutne vrednosti struja grana i napona LC elemenata:

i I t k uIC

tk k k C2

2sin( ) ( ), sin FHG

IKJ2 13 2

2

, ,

(31)

u L I t u L I tL 2 2 L 3 31sin , sin F

HGIKJ F

HGIKJ

1 2 22

22

2

Primer 2: U delu neke električne mreže prikazanom na sl. 5b u kojoj vlada ustaljen prosto-periodični režim, poznati su potencijali čvorova 1, 2 i 3, respektivno, v1=V 2cos(t), v2==2V 2 sin(t+/3) i v3=4V 2cos(t+/6). Odrediti trenutne vrednosti potencijala nultogčvora i struja svih elemenata.Podaci: V=20 [V], =2103 [rad/s], R=10 [], L=10 [mH] i C=12,5 [F].

Kompleksni predstavnici potencijala čvorova v0, v1, v2 i v3 respektivno su: V0, V1=Vexp(j0),V2=2Vexp(-j) i V3=4Vexp(j6). Kompleksni predstavnici struja elemenata i1, i2 i i3 redom su:

IV V

RI

V VL

IV V

C

C V V11 0

22 0

33 0

3 01

,j

,

j

j ( )

, (32)

a s obzirom da prema IKZ u kompleksnom obliku mora biti I1+I2+I3=0, to se iz prethodnog skuparelacija dobijaju kompleksni predstavnik potencijala nultog čvora V0, kompleksni predstavnici stru-ja elemenata i njihove trenutne vrednosti:

1 23

110 0 1

jj

0 [V], ( ) 0 [V]; 2 [A], ( ) 2 2 cos( ) [A]1 1

jj

V VC V

VR LV v t I i t t

RCR L

,

IV

Li t t2

222 2 2

23

FHG IKJ

je [A], ( ) cos [A]

-j 23

, (33)

I C V i t t3 3 32 2 223

FHG

IKJ

j e [A], ( ) cos [A]

j 23

.


Studentima se preporučuje da pogledaju i druge interesantne probleme iz oblasti prostoperiodičnihstruja u knjizi ELEKTROTEHNIKA–ZBIRKA REŠENIH ISPITNIH ZADATAKA (D. Kandić, Akademska mi-sao, Beograd, 2000. god., 376 strana, ISBN 86-7466-025-8).

2. Snaga u kolima i mrežama sa prostoperiodičnim strujama. Aktivna, reaktivna i prividna

snaga. Faktor snage i faktor reaktivnosti prijemnika.

Posmatrajmo proizvoljan prijemnik kompleksne impedanse Z=U/I=Zej(sl. 6a), koji možebiti ili neki singularni potrošaču pravom smislu te reči, ili ekvivalentni deo neke električne mreže ilisistema specifiran količnikom kompleksnih predstavnika napona u između krajeva 1 i 2 (tj. U) istruje i (tj. I) usaglašene po smeru sa naponom u. Kompleksna impedansa Z zavisi od konstrukcio-nih parametara prijemnika i od kružne frekvencije T.

Singularni potro{a~,mreà ili sistem

u U,

i I,

je , |U | UZ Z Z Z| I | I

Z

(a)

e E,

i Ig g,

i I,

u U,

(b)

Trenutna snaga koju ovaj generatorodaje je ei, a trenutna snaga

koju prima je -ei.

Prijemnik kompleksne impedanse

1 2

Trenutna snaga koju ovaj generatorodaje je ui , a trenutna snaga

koju prima je -ui .g

g

cos - faktor snage prijemnika

sin - faktor reaktivnosti prijemnika

Sl. 6

Ako je prijemnik sa sl. 6a priključen na generator napona u=U 2 cos(t+) i ako je njegovastruja u ustaljenom prostoperiodičnom režimu i=I 2cos(t+), tada je trenutna snaga koju potro-šačprima data relacijom:

p t u t i t UI t t UI UI t( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos(2 ) 2

(34)

cos cos(2 ), -UI UI t gde je fazna razlika izmedju napona i struje .

Na sl. 7 prikazan je dijagram normalizovane trenutne snage prijemnika p(t)/(UI) u intervalu x=t [0, 2], u slučaju kada je =2/T=314 [rad/s] (f=50 [Hz], T=1/f=20 [ms]), u=U 2cos(t+34) ii=I 2cos(t+/2). Iz relacije (34) sledi da je frekvencija trenutne snage prijemnika 2f. Ta snaga, uslučaju kada je cos1, može biti čak i negativna u određenim vremenskim intervalima u tokusvake periode T/2=10 [ms] (videti sl. 7). To znači da se u tim intervalima prijemnik ponaša kaoizvor i da vraća energiju izvoru napona u(t). Na sl. 6b prikazana je usvojena konvencija o smerovi-ma napona i struje generatora koju valja poštovati da bi se pravilno odredila snaga generatora. Iz re-lacije (34) lako se zaključuje da je p(t) 0 (t), ako i samo ako je prijemnik čisto termogenog ka-raktera, tj. ako je =0 ( tj. ako su napon i struja prijemnika u fazi). Srednja ili aktivna snaga pri-jemnika P definiše se preko relacije (34) na sledeći način:


P p tT

p t tT

p t t UIT T

z z( ) ( ) d ( ) d cos [W]2 1

0

2

0

/

, (35)

i predstavlja srednju brzinu sa kojom se električni rad generatora u prijemniku pretvara u toplotu,mehanički rad (npr. kod motora naizmenične struje) ili u druge vidove rada ili energije i nepovratnoodlazi iz mreže. Primetimo da je kod idealnog kalema i kondenzatora cos=0, što znači da idealnireaktivni elementi ne konzumiraju aktivnu snagu. Međutim, statorski namotaji svakog motora naiz-menične struje mogu se predstaviti rednom vezom otpornika i kalema, i kod njih se coskreće uopsegu 0,70,9. U tehničkoj praksi, međutim, ne postoji neki veći interes za određivanjem trenutnesnage prijemnika (npr., kod motora, grejalica i drugih potrošača), većobično interes postoji za po-znavanjem njihove srednje, ili aktivne snage P. Usvojeno je da se coszove faktor snage, a sinfaktor reaktivnosti prijemnika.

x

-0.5

0

0.5

1

1.5p(t)

Frekvencija snage p(t) je 2f=100 [Hz]

Sl. 7

Trenutna i aktivna snaga čisto termogenog prijemnika (tj. otpornika) prikazanog na sl. 8a su:

2 2 2 22

R R R( ) 2( ) cos ( ) [1 cos(2 )] 0, ( )u t U U Up t t t P p tR R R R

, (36)

što znači da se električna energija u otporniku praktično stalno pretvara u toplotu (ali ne i obrnuto),zbog čega se za otpornik kaže da je čisto aktivni prijemnik.

R L C

u t U t( ) cos( ) 2

u t( ) u t( ) u t( )i tR( )

i t UR

tR ( ) cos( ) 2 L ( ) 2 cos( )2

Ui t tL

i tL ( ) i tC( )

C( ) 2 cos( )2

i t C U t

(a) (b) (c)

Sl. 8


Trenutna snaga idealnog kalema na sl. 8b je:

2 2

L L

2( ) ( ) ( ) cos( ) sin( ) sin(2 ),

U Up t u t i t t t t

L L

(37)

što znači da se kalem naizmenično ponaša kao prijemnik i kao generator. U toku jedne poluperiode(=T/4) snaga pL(t) je pozitivna, pa se tada energija generatora deponuje u magnetsko polje kalema, au toku druge poluperiode pL(t) je negativno, pa se deponovana energija kalema u celini vraća mreži.Zato se za idealni kalem kaže da je čisto reaktivni prijemnik.

Trenutna snaga idealnog kondenzatora na sl. 8c je:

2 2C C( ) ( ) ( ) 2 cos( ) sin( ) sin(2 ),p t u t i t C U t t C U t (38)

što znači da se i kondenzator naizmenično ponaša kao prijemnik i generator. U toku jedne poluperi-ode (=T/4) snaga pC(t) je pozitivna, pa se tada energija generatora deponuje u "elektrostatičko" poljekondenzatora, a u toku druge poluperiode pC(t) je negativno, pa se deponovana energija kondenza-tora u celini vraća mreži. Zato se i za idealni kondenzator kaže da je čisto reaktivni prijemnik.

Ukupna energija svih kalemova i kondenzatora u nekom električnom kolu ili mreži zove sereaktivna energija kola ili mreže.

Pretpostavimo sada da je prijemnik sa sl. 6a na proizvoljan način sastavljen od otpornika, ka-lemova i kondenzatora. Izborom referentnog trenutka t=0 može se postići da je početna faza naponau(t) =0. Tada se prema relaciji (34) trenutna snaga koju mreža-potrošačprima može predstaviti usledećem obliku:

p t u t i t U I U I t( ) ( ) ( ) cos cos(2 ) (39)

U I t U I tcos cos(2 ) sin sin(2 ) 1 .

Prva od komponenti UIcos[1+cos(2t)] u prethodnom izrazu po znaku nikada nije negativna iodgovara brzini sa kojom se energija generatora nepovratno predaje prijemniku. Srednja vrednost tekomponente u toku periode T je aktivna snaga P prijemnika. Druga komponenta UIsinsin(2t)periodično menja i znak i vrednost sa periodom T/2 i ona opisuje brzinu razmene energije izmeđugeneratora i prijemnika. Uobičajeno je da se maksimalna brzina te razmene, tj. Q=UIsinnazivareaktivna snaga prijemnika, a da se sin zove faktor reaktivnosti prijemnika, kao što je većranijerečeno. Jedinica za reaktivnu snagu je [VAr] "volt-amper reaktivni". Reaktivna snaga i faktorreaktivnosti otpornika su nula; reaktivna snaga kalema je QL=UI=LI2 > 0 (I je efektivna vrednoststruje kalema), a faktor reaktivnosti je sinL=1; reaktivna snaga kondenzatora je QC= -UI= -CU2

0 (U je efektivna vrednost napona na kondenzatoru), a faktor reaktivnosti je sinC= -1.Reaktivna snaga prijemnika je u praksi važna veličina, jer karakteriše nivo i brzinu razmene

energije između generatora i prijemnika po napojnim vodovima dužine i više kilometara. Naravno,da su u prenosu energije neizbežni gubici, a njihovu dopunsku komponentu stvara bašto bespotreb-no "šetanje" energije između generatora i prijemnika. Ta komponenta je utoliko veća, ukoliko je re-aktivna snaga prijemnika veća. U praksi obično nastojimo da eliminišemo te neopravdane gubitkeprimenom postupka koji se zove "popravka" faktora snage prijemnika, a koji počiva na sledećem.Prijemnici su retko kada čisto aktivni ili čisto reaktivni. Na primer, statorski namotaji motora naiz-menične struje svakako da imaju aktivnu, ali i pozitivnu reaktivnu snagu. Paralelnim priključiva-njem nekog kondenzatora namotaju motora, aktivna snaga celog sistema svakako se neće promeniti,međutim, u slučaju kada kapacitivnost kondenzatora ima tačno određenu vrednost, reaktivnu snagucelog sistema moguće je potpuno kompenzovati (Q=0), odnosno moguće je postići da faktor re-


aktivnosti sistema bude ravan nuli, a faktor snage jedinici. Tada je, za specificiranu aktivnu snaguprijemnika neophodnu za vršenje određenog rada, struja u napojnim vodovima minimalne efektivnevrednosti. Primetimo da su u tom slučaju napon i struja čitavog sistema u fazi, što znači da je u nje-mu uspostavljena fazna rezonancija (cos=1 ). Ukupna reaktivna energija sistema je tadakonstantna, ali se prostoperiodično sa frekvencijom 2f=2/T stalno odvija konverzija elektrostatičkeenergije u magnetsku, i obrnuto.

Popravak faktora snage induktivnog prijemnika: Za induktivan prijemnik na sl. 9a (to mo-že biti ekvivalentna ulazna impedansa nekog električnog kola ili mreže, pretežno induktivanvod, ili statorski namotaj nekog motora naizmenične struje), odrediti kapacitivnost kondenza-tora C tako da faktor snage sistema bude jednak jedinici.

R

Cu t U t( ) cos( ) 2 i tL( )

i tC ( )

(a)

L

i t( )

cosFaktor snage

prijemnika je

Prijemnik

(b)

E

Z g

Z p

I

U

Sl. 9

Kompleksni predstavnik napona u(t) je U=Uej(=0), dok su kompleksni predstavnici strujekondenzatora iC, struje kalema iL i glavne struje i, redom: IC=jCU, IL=U/(R+jL) i I=IC+IL==[jC+1/(R+jL)]U. Odatle se odmah dobija:

I I I CR L

UR

R LU C

LR L

U

FHG

IKJ

LNM

OQPC L 2 2j

j ( )j

( )

1

2 2 (40)

Pošto je polarni oblik kompleksnog predstavnika glavne struje I=IejIcos+jIsin, to se zaklju-čuje da će faktor snage celog sistema biti jednak jedinici =0ako je =0, tj. ako je imagi-narni deo kompleksnog predstavnika I ravan nuli. To će prema prethodnoj relaciji biti zadovoljenou slučaju kada je C=L/[R2+(L)2], pa na osnovu toga dalje sledi:

2 2 2 2

2, ( ) 2 cos( ) cos( )

( ) ( )R R C R U

I U U i t I t tLR L R L

. (41)

Posle popravke faktora snage, aktivna snaga mreže je nepromenjena P=RU2/[R2+(L)2], ali je zatoefektivna vrednost I glavne struje minimizirana na vrednost I=RU/[R2+(L)2]. Efektivna vrednoststruje prijemnika IL=U/[R2+(L)2]1/2=[1+(L/R)2]1/2I=I/cosostaje ista pre i posle popravke fakto-ra snage, a efektivna vrednost glavne struje I =ILcosposle popravke faktora snage manja je od IL.

Aktivnu snagu P i reaktivnu Q aktivnog prijemnika ( P 0) sa kompleksnom impedansomZ=Ze j=Zcos+jZsin=R+jX (sl. 6a), moguće je predstaviti u sledećem opštem obliku:

2 2cos cos 0 [W]P U I Z I R I , Q U I Z I X I sin sin [VAr] 2 2 . (42)


Pored trenutne, aktivne i reaktivne snage u mrežama sa prostoperiodičnim strujama koriste se jošiprividna snaga S i kompleksna prividna snaga S, čija je zajednička jedinica VA. Prividna snagaprijemnika sa sl. 6a definisana je kao:

2 2 2 [VA] ( cos sin )S U I Z I P Q P S Q S . (43)

Neka su U=Uexp(j) i I=Iexp(j) kompleksni predstavnici napona u i struje i na pristupu pri-jemnika, respektivno, dok je U=ZI, I=YU, Z=R+jX i Y=Z-1=G+jB. Kompleksna prividna snaga Sprijemnika definiše se na sledeći način:

j j j ( ) j: e ( e ) e e cos j sin jS U I U I U I U I U I U I P Q,

S Z I I R X I R I X I P Q ( j ) | | j j ,2 2 2 (44)

( j ) | | j j2S UUZ

Y U U G B U G U B U P Q FHG

IKJ

2 2 .

Prividna snaga mašina naizmenične struje predstavlja njihovu graničnu snagu sa kojom one mogutrajno raditi bez pregrevanja. U mnogim slučajevima na pločicama alternatora i transformatora oz-načava se upravo njihova prividna snaga.

Kompleksna prividna snaga koju generator ulaže (videti sl. 6b) definiše se na sledeći način:

SE IU I

P QP aktivna snaga generatora

Q reaktivna snaga generatoragg

g gg

g

j ,

RS|T|UV|W|

RSTUVW

(45)

S S P Q prividna snaga generatorag g g2

g2 | | .

U odeljku 4.2 poglavlja pod nazivom "ELEKTROKINETIKA" na strani 310 u udžbeniku navedenje i dokazan u najopštijem slučaju princip održanja trenutne snage u električnim kolima i mrežama:

(Princip održanja trenutne snage u električnim kolima i mrežama)–Zbir ulaznih ili izlaznihsnaga svih elemenata jednog električnog kola, ili grana jedne električne mreže, u svakomtrenutku jednak je nuli. Ako su uk i ik ( k n1, g ) naponi i struje grana mreže, respektivno, čijisu smerovi usaglašeni, navedeni princip može se formulisati na sledeći način:

t u i n: ( - )k kk=1

n

g

g

0 broj grana mreè . (46)

Može se primetiti da je princip održanja trenutne snage u električnim mrežama isključivo posledicadejstva Kirhofovih zakona u vremenskom domenu. Taj princip se lako može preformulisati u oblikkoji važi za kompleksne predstavnike napona i struja grana električne mreže u kojoj vlada ustaljenprostoperiodični režim.

(Princip održanja kompleksne prividne snage u električnim kolima i mrežama)–Zbir ulaz-nih ili izlaznih kompleksnih prividnih snaga svih elemenata jednog električnog kola, ili gra-na jedne električne mreže, uvek je jednak nuli. Ako su Uk i Ik kompleksni predstavnici naponai struje sa usaglašenim smerovima koji odgovaraju k-toj grani mreže ( k n1, g ) u ustaljenomprostoperiodičnom režimu, a Pk-aktivna, Qk-reaktivna i Sk=Pk+jQk-kompleksna prividna sna-ga te grane, tada se navedeni princip može formulisati u sledećem obliku:


U I S P Q nk kk=1

n

kk=1

n

kk=1

n

kk=1

n

g

g g g g

j 0 ( - ) broj grana mreè (47)

Skk=1

ng

0 Ovo je princip održanja kompleksne prividne snage u električnim kolima i mrežama u

ustaljenom prostoperiodičnom režimu,

Pkk=1

ng

0 Ovo je princip održanja aktivne snage u električnim kolima i mrežama u ustaljenom

prostoperiodičnom režimu,

Qkk=1

ng

0 Ovo je princip održanja reaktivne snage u električnim kolima i mrežama u ustalje-

nom prostoperiodičnom režimu.

3. Prilagođenje po snazi

U praksi često postoji potreba da se impedansa prijemnika odabere tako da njegova aktivnasnaga bude maksimalna. Za prijemnik se tada kaže da je (optimalno) prilagođen po snazi generatorutj. da je ostvaren uslov maksimalnog prenosa (aktivne) snage. Sa sličnim problemom većsmo sesreli u elektrokinetici vremenski konstantnih struja kada su prijemnik i unutrašnja otpornost genera-tora bili čisto termogenog karaktera. Tu smo pokazali da se prilagođenje po snazi može ostvariti akoi samo ako je otpornost prijemnika jednaka unutrašnjoj otpornosti generatora. Međutim, u kolimaprostoperiodične struje prijemnik u opštem slučaju karakteriše kompleksna impedansa Zp, a genera-tor kompleksna unutrašnja impedansa Zg (sl. 9b). Realan naponski generator (E, Zg) "kompleksneems" E prikazan na toj slici može biti, takođe i ekvivalentan Tevenenov generator koji predstavljaneku složenu električnu mrežu između neke njene dve tačke, ili dva čvora označena sa "Ø". Narav-no, "kompleksne ems, struje i naponi" nemaju nikakavog fizičkog smisla, većisključivo predstav-ljaju kompleksne predstavnike odgovarajućih prostoperiodičnih fizičkih veličina. Imajući to u vidu,mi govorimo o "kompleksnoj ems", umesto o kompleksnom predstavniku ems, ili o "kompleksnojstruji", umesto o kompleksnom predstavniku struje, ili o "kompleksnom naponu".

Ako su u kolu prikazanom na sl. 9b kompleksna impedansa generatora Zg=Rg+jXg, a prijem-nika Zp=Rp+jXp, tada su kompleksna struja I, napon U i prividna snaga Sp prijemnika:

I EZ Z

ER X R X

ER R X X

g p g g p p g p g p( j ) ( j ) ( ) j ( )

,

2 2g p g p

,( ) ( )

EI | I | E | E |R R X X

,

(48)2

p p p p2p pp 2 2

g p g p g p g p

( j ) ( j ),

( ) j ( ) ( ) ( )

R X E R X EU Z I S U I Z I

R R X X R R X X

P Q PR E

R R X XQ

X ER R X Xp p p

p

g p2

g p2 p

p

g p2

g p2j

( ) ( ) ( ) ( )

2 2

.


Na sličan način određuju se kompleksna prividna snaga Sg, aktivna Pg i reaktivna snaga Qgkoju generator ulaže:

S E I E ER R X X

R R X X

R R X XE P Qg

g p g p

g p g p

g p2

g p2 g g( ) - j ( )

( ) j ( )

( ) ( )j

2 ,

(49)

PR R E

R R X XQ

X X ER R X Xg

g p

g p2

g p2 g

g p

g p2

g p2

( )( ) ( )

( )( ) ( )

2 2

.

Aktivna snaga Pp prijemnika maksimalna je ako je Xp= -Xg i ako je istovremeno maksimalnasledeća funkcija od Rp:

2 2 2 2p p

p p g p p g2 2 2gg p g p

gp

p

( ) Kako je ( ) , tada4( ) ( )

R E R E E EP X X . P X XRR R R R R

RR

(50)

p g

2Ako je p g

p gp p p pmaxp g g

( )4

R R X X EP̂ P P P Z Z

R R R

.

Prijemnik kompleksne impedanse Zp optimalno je prilagođen naponskom generatoru komp-leksne impedanse Zg ako je Zp=Zg

*, tj. ako je Rp=Rg i Xp= -Xg. Aktivna snaga prijemnika tadaje maksimalna i jednaka E2/(4Rg). Uslov Zp=Zg

* zove se uslov prilagođenja po snazi.

Ako je prijemnik prilagođen po snazi generatoru, tada je aktivna snaga koju generator ulažePg=E2/(2Rg), dok je reaktivna snaga Qg=0 [VAr]. S obzirom da je aktivna snaga prijemnika tada Pp==E2/(4Rg), zaključujemo da se tačno jedna polovina uložene aktivne snage potroši na zagrevanje ge-neratora usled Džulovog efekta. Kod generatora male snage (u elektronskim i telekomunikacionimkolima i mrežama) prilagođenje po snazi ima određeni smisao, dok kod prijemnika velike snage (tosu prijemnici električne energije iz gradske mreže) takvo prilagođenje nema nikakav smisao, poštoono izaziva veliko i bespotrebno zagrevanje i generatora i mreže. U tim slučajevima se umesto naprilagođenje po snazi ide na minimizaciju gubitaka u generatoru i razvodnoj mreži.

4. Transformatori

Ekonomičan prenos električne energije na velika rastojanja teško da bi se mogao ostvariti bezuređaja kao što su električni transformatori. Transformatori mogu biti monofazni i polifazni (a naj-češće su trofazni). Oni, takođe, generalno govoreći, mogu raditi u približno linearnom, ali i u impul-snom režimu. Trofazni naizmenični naponi efektivne vrednosti 1015 kV, koji se u električnimcentralama produkuju u statorskim namotajima obrtnih električnih generatora, a koje pokreću gas-ne, ili hidroturbine (Peltonova za najveće brzine, Frensisova za srednje i Kaplanova za najmanjebrzine) pretvaraju se pomoću trofaznih električnih transformatora u napone od 110, 220 ili 380kVi kao takvi prenose putem dalekovoda. Glavni cilj povećavanja napona do blizu granice izdrž-ljivosti izolacije, pri određenoj prenetoj električnoj snazi, jeste minimizacija struja provodnika kakobi se maksimalno redukovali energijski gubici u prenosu usled Džulovog efekta i postigla velika u-šteda u količini upotrebljenog bakra. Ovo poslednje može se ilustrovati na sledećem jednostavnomprimeru. Pretpostavimo da je bakarnim vodom od dva provodnika poznate specifične otpornosti


Cu=1,810-8 [m], dužine l=200 [km] i prečnika d potrebno ostvariti prenos aktivne snage P=220[MW] do nekog čisto termogenog potrošača. Ako je efektivna vrednost napona na početku voda U==220 [V] i ako je induktivnost voda zanemarljiva u odnosu na termogenu otpornost odredimo dtako da gubitak aktivne snage P u vodu bude sàmo 5 % (tj. P=0,05P). Ako je I efektivna vred-nost prostoperiodične struje voda, tada je gubitak aktivne snage u njemu:

P P R Ild

Ild

PU

FHGIKJ0 05

8 822

22

2

,

Cu Cu , (51)

odakle se odmah dobija,

d lP

PU U

l P

FHG IKJ 80 05

4 10 2882

Cu Cu [m],

, . (52)

Iz poslednje relacije vidimo da se povećanjem napona U hiljadu puta, isto toliko puta smanjuje po-treban prečnik provodnika (pri gubitku snage od 5 %), koji tako postaje d'=d/1000 2,88 cm.Dakle, povećanjem napona u prenosu može se ostvariti velika ušteda u količini bakra.

Sa druge strane, na mestima prijema električne energije, odnosno na mestima gde se nalazekrajnji korisnici energije (razni potrošači: aparati u domaćinstvu, motori i drugi uređaji u industrij-skim pogonima itd.), napon zbog bezbednosti korisnika ne bi smeo da bude veliki. Zato se za sniža-vanje velikih dalekovodnih napona od 110, 220 i 380 kV, takođe, koriste odgovarajući transfor-matori. Smanjivanje dalekovodnih napona obično se odvija stepenasto u sledeća tri koraka: napondalekovoda 35 kV 6 ili 10 kV 400/231 V. Dakle, električni transformatori koji se ko-riste u energetici predstavljaju uređaje koji povećavaju napon na mestu gde je generator priključenna transmisioni vod, a smanjuju ga blizu mesta gde se nalaze prijemnici (krajnji potrošači).

Svaki transformator radi na principu statičke elektromagnetske indukcije, bez čije primene binavedena naponska konverzija bila jako složena i skupa. Primetimo i da statička indukcija nastajesàmo u sistemima sa vremenski promenljivim naponima i strujama, pa se električnim transformato-rima ne može ostvariti konverzija vremenski konstantnih, većsamo vremenski promenljivih napona.U opštem slučaju, transformatori uvek istovremeno konvertuju struje, napone i impedanse i moguraditi: (a) u približno linearnom prostoperiodičnom režimu, što je slučaj kod velikih mrežnihtransformatora u industrijskim pogonima i kod malih transformatora u uređajima u domaćinstvu,ispravljačima audio- i TV-prijemnika, i (b) u impulsnom režimu, što je slučaj kod nekih tipova im-pulsnih modulatora u telekomunikacionim uređajima i u kolima energetske elektronike.

Primene transformatora su mnogobrojne ne samo u energetskoj elektrotehnici u vezi saprenosom električne energije veći u drugim oblastima elektrotehnike. Tako, na primer, transfor-matori se u elektrotehnici koriste joši u sledeće svrhe:

U elektronskim uređajima za zagrevanje grejnih vlakana preko kojih se posredno zagrevajukatode elektronskih cevi i tako ostvaruje njihova termoelektronska emisija.

Za galvansku izolaciju kola i sklopova, kao i prilagođenje prijemnika na prostoperiodičneelektrične izvore u skladu sa teoremom o maksimalnom prenosu snage.

U industrijskim indukcionim pećima niskih frekvencija za otapanje metalnog praha i komadarude.

Za promenu broja faza. U sistemima za multiplikaciju frekvencije. Za regulaciju napona. Ko-riste se kao ispitni, merni, stabilizacioni i kao štedni ili autotransformatori.

U elektronskim kolima kao mrežni transformatori sa jednim ili više sekundara (recimo, kodispravljača za bipolarne izvore napajanja), kao antenski, mikrofonski i međufrekventni zapoboljšanje selektivnosti prijemnika.


Za zavarivanje, kao monofazni i trofazni sa vazdušnim procepom u magnetskom kolu zbogstabilnosti električnog luka.

Za povećanje napona paljenja kod nekih tipova neonskih cevi. Napon paljenja cevi obično jeza 2030 % veći od njenog pogonskog napona, pri čemu intenzitet struje cevi ne bi trebalo dapređe vrednost od 50mAda se cev ne bi oštetila.Transformator se obično sastoji od jezgra (to je, u stvari, njegovo magnetsko kolo) koje

ponekad može biti vazdušno, a najčešće je feromagnetsko i dva izolovana namotaja (na jezgru).Jedan namotaj, tzv. primar ili primarni namotaj sa N1 zavojaka vezuje se za dati napon, a drugi, tzv.sekundar ili sekundarni namotaj sa N2 zavojaka vezuje se za prijemnik, odnosno potrošač. Da bi sesmanjili gubici u transformatoru usled vrtložnih struja jezgro se: (1) za relativno niske radne frek-vencije do nekoliko kHz) pravi od tankih i međusobno izolovanih transformatorskih limova deb-ljine 0.1, 0.35 ili 0.5 mm, koji pored gvožđa sadrže 35 % silicijuma zbog povećanja specifičneelektrične otpornosti i (2) pravi od ferita za visoke frekvencije. Rasipni fluks primarnog i sekundar-nog namotaja postoji uvek ali se, ipak, on u praksi najčešće može zanemariti. Energijski gubici utransformatoru su trojaki: (a) Džulovi u namotajima, (b) u jezgru zbog vrtložnih struja i (c) u jezgruzbog histerezisa usled naizmeničnog magnećenja. Gubici (b) i (c) zajednički dovode do zagrevanjajezgra, odnosno magnetskog kola transformatora. Ipak, kod realnih transformatora ukupni gubici surelativno mali u odnosu na energiju koja se prenosi preko transformatora: kod transformatora malesnage gubici su manji od 10 %, dok su kod velikih gubici manji od 12 %. Kod velikih energetskihtransformatora otpornosti namotaja su reda veličine 0,01 , njihova reaktansa je obično reda stoti-nak , a koeficijent sprege između namotaja je oko 0,99. Međutim, kod malih transformatorakoeficijent sprege kreće se u opsegu 0,950,98.

Transformator kod koga ne postoji rasipni magnetski fluks i kod koga se svi gubici mogu za-nemariti u odnosu na energiju koja se preko njega prenosi zove se savršeni transformator. Zamiš-ljen savršeni transformator magnetske permeabilnosti jezgra Fezove se idealni transformator.

u t1( )

u t2( )

i t e t1 1( ), ( )

i t e t2 2( ), ( )

RL

1

11

RL

2

22

Z 2 (j )

Prije

mni

kN1 N2

0( )t

SFe

Fe

lFe

1

1'

2

2'

Primar Sekundar L12 0

2

1

Stub 1 Stub 2

Sl. 10

Na sl. 10 prikazan je monofazni transformator sa feromagnetskim jezgrom, čija je električnašema data na sl. 11a. Kod ovog transformatora 0 je zajednički magnetski fluks svih zavojaka pri-mara i sekundara, 1 je rasipni magnetski fluks primara, a 2 sekundara. Ukupan magnetski fluksprimara je 1=N1+1, pa je indukovana ems u njemu e1(t) = -d1/dt. Slično, magnetski flukssekundara je 2=-(N2+2), a indukovana ems u njemu je e2(t) = -d2/dt.

Na sl. 11b je prikazana električna šema monofaznog transformatora sa vazdušnim jezgrom.


R1Zg

Zg

Z2

Z2

u1

R1

R2

R2

N N1 2: L12 0

L11 L22

Visokonaponski namotaj

Niskonaponski namotaj

(a)

(b) (c)

e

N N1 2:

1

1

1'

1'

2

2

2'

2'

eu1

i1 i2

u2

i1 i2

u2

L12 0

L11 L22

Sl. 11

Prema obliku jezgra (magnetskog kola) transformatori mogu biti stubni (kao onaj na sl. 10) ioklopni. Stubni transformatori imaju namotaje na oba dela jezgra, a ovi su često zbog smanjenja ra-sipnog magnetskog fluksa raspodeljeni tako da se na svakom stubu nalazi po jedna polovina svakogod namotaja. Kod oklopnog transformatora namotaji su smešteni sàmo na središnjem delu jezgra(sl. 11c). Ipak, zbog određene uštede u bakru stubni transformatori se češće koriste od oklopnih.Sâmi namotaji transformatora mogu biti cilindrični i koturasti. Oklopni transformatori mogu imatiobe vrste namotaja, dok stubni obično imaju cilindrične. Redosled elemenata na transformatorskomjezgru je sledeći: jezgro izolacija namotaj nižeg napona izolacija namotaj višeg napona.

1o Slučaj: Savršen, linearan, monofazni transformator sa feromagnetskim jezgrom koji radi upraznom hodu (sl. 10). U ovom slučaju se, dakle, pretpostavlja da Z2 ( i2=0 A), dokse napon primara u1(t) usvaja kao prostoperiodičan.

Pošto je transformator savršen pretpostavlja se da R1 i R2 0 i da 1 i 2 0 Wb.Pod dejstvom napona u1(t) u primarnom kolu transformatora postoji struja praznog hoda i10(t), kojaje vrlo mala čak i kod velikih transformatora i obično se zove struja magnećenja, a označava se i sai(t). Ona nosi energiju koja je potrebna za uspostavljanje magnetskog polja u jezgru trnsformatora.Struja magnećenja generiše magnetomotornu silu Fm

0 =N1i10(t), koja proizvodi magnetski fluks

00(t)=N1i10(t)/Rm kroz svaki poprečni presek jezgra i kroz svaki zavojak primara, pri čemu je Rm

lFe/(FeSFe) magnetska otpornost jezgra. Zbog promene magnetskog fluksa 00(t), u primarnom

namotaju indukuje se ems e10(t) = -N1d0

0/dt koja se u svakom trenutku nalazi u dinamičkoj ravno-teži sa naponom -u1(t). Dakle, pošto je u1(t)=L11di10(t)/dt= -e1

0(t)=N1d00/dt, to fluks 0

0(t) zavisisàmo od primarnog napona u1(t) (L11 je induktivnost primara). S obzirom da je 0

0(t)=N1i10(t)/Rm,to će struja magnećenja biti utoliko manja ukoliko je magnetska otpornost jezgra Rm manja. Zbognačina namotavanja i usvojene orijentacije primarnog i sekundarnog namotaja (sl. 10) zaključuje seda je fluks po navojku sekundara -0 (međusobna induktivnost primara i sekundara je L12 0 obratiti pažnju na položaj tačaka!; kada je fluks kroz navojke primara pozitivan, tada je fluks kroznavojke sekundara negativan, i obrnuto). Zbog toga je indukovana ems sekundara u praznom hodu,e2

0(t) = --N2d00/dt=N2d0

0/dt=u2(t). Iz prethodnog odmah sledi da za savršeni transformator upraznom hodu, koji radi u prostoperiodičnom režimu, važe sledeće relacije:

uu

UU

NN

1

2

1

2

1

2

, (53)

iz kojih sledi da se izborom prenosnog odnosa ili preobražajnog broja transformatora N1/N2, naponu1(t) može transformisati u viši napon u2(t) kada je N2 N1, odnosno u niži napon kada je N1 N2.


2o Slučaj: Savršen, linearan, monofazni transformator sa feromagnetskim jezgrom koji radisa prijemnikom konačne impedanse u kolu sekundara (sl. 10). Kružna frekvencija prostoperi-odičnog napona u1(t) je a konačna kompleksna impedansa prijemnika je Z2(j).

Kada je u kolo sekundara priključen prijemnik konačne impedanse Z2(j), tada njegova strujai2(t) generiše komponentu magnetomotorne sile N2i2 koja teži da smanji fluks u jezgru proizvedenod strane komponente magnetomotorne sile primarnog namotaja N1i1. Međutim, pošto je u1(t)==N1d0

0/dt, to se fluks magnetskog kola, koji zavisi sàmo od primarnog napona, ne može promenitizbog postojanja sekundarne struje, a to znači da se mora povećati intenzitet struja primara sa i10(t)na i1(t)=i1

0(t)+i1'(t), tako da ukupna magnetomotorna sila Fm=N1(i10+i1')-N2i2=N1i10+(N1i1'-N2i2) imagnetski fluks kola 0 ostanu nepromenjeni (Fm=Fm

0 i 0=00). To se može postići ako i samo

ako je N1i1'-N2i2=0, odnosno ako je:

ii

II

NN

1

2

1

2

2

1

' ' . (54)

"Dopunska" struja primara i1'(t) koja je neophodna za očuvanje magnetskog fluksa jezgra (tj. daostane 0=0

0) zove se demagnetizaciona struja. S obzirom da je kod transformatora obično i10(t)

0,05i1(t), to se može smatrati da je i1(t) i1'(t), pa se tada za savršeni transformator mogu napisa-ti sledeće približne relacije:

ii

II

NN

1

2

1

2

2

1

. (55)

Relacije (53) i (55) zovu se jednačinama savršenog transformatora i kao takve mogu se koristiti zapribližnu analizu čak i realnih transformatora. Naime, za realni transformator jednačine naponskeravnoteže za primarno i sekundarno kolo, respektivno glase (videti sl. 10):

1 20 01 1 1 1 2 2 2 2

d dd d( )- ( )- 0, ( )+ ( )- 0

d d d du t R i t N u t R i t N

t t t t

, (56)

i u njima su obično pojedini članovi znatno manji od ostalih: R1i1 u1, R2i2 u2, 1N10 i2 N20, tako da se njihovim zanemarivanjem u (56) odmah dobija relacija (53). Ako se realnitransformator aproksimativno posmatra kao tanko linearno magnetsko kolo bez rasipanja, tada je:

0 m 1 1 2 2 1 1 2 20 0

Fem m

Fe Fe

( )- ( ) ( )- ( ),

F N i t N i t N i t N i tlR R

S

(57)

odakle se uz pretpostavku da je magnetska permeabilnost jezgra Fe vrlo velika, ali ne i beskonačna,a fluks u jezgru konačan, odmah dobija aproksimacija (55).

I na kraju, za idealni transformator to je savršeni transformator kod koga Fe i kojizadovoljava sledeća četiri uslova: (1) R1=R2=0 (u namotajima nema termogenih gubitaka), (2) |L12|== L L11 22 =N1N2/Rm ( =1, ne postoje rasipni fluksevi primarnog i sekundarnog namotaja), (3)Fe ( L11=N1

2/Rm , L22=N22/Rm ) i (4) Bm 0 ( 0 0, ni u jezgru ne postoje

energijski gubici) važe sledeće jednačine:

uu

ii

UU

II

NN

1

2

2

1

1

2

2

1

1

2

, (58)


koje pokazuju da idealni transformator ne konzumira snagu, pošto je trenutna vrednost ulazne snagetransformatora p1=u1i1 jednaka trenutnoj vrednosti izlazne snage p2=u2i2 sa smerovima struja inapona kao na sl. 10. Jednačine (58) mogu se približno primenjivati i kod realnih transformatora, aiz njih sledi da je ulazna impedansa transformatora eksitovanog prostoperiodičnim naponom u1(t), učijem je sekundaru prijemnik kompleksne impedanse Z2(j) (sl. 10), data sledećom relacijom:

ZUI

UU

II

UI

NN

NN

UI

NN

Z11

1

1

2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2(j ): (j ) FHG

IKJ , (59)

pa je odatle jasno da transformatori pored napona i struja konvertuju, takođe i impedanse, što semože iskoristiti kod rešavanja određenih problema iz optimalnog prilagođenja prijemnika na gene-rator u ustaljenom prostoperiodičnom režimu.

Transformatori sa vazdušnim jezgrom rade u linearnom režimu ( ne generišu nelinearnaizobličenja to znači da ako je na ulazu u transformator prostoperiodičan napon, takav napon je ina njegovom izlazu). Međutim, to nije slučaj kod transformatora sa feromagnetskim jezgrom, a po-gotovo kod onih velike snage u sistemima za prenos električne energije. Kod takvih transformatoramanje-više javljaju se nelinearna izobličenja, mada se u mnogim slučajevima aproksimativno možeuzeti da je radni režim i tih transformatora približno linearan. Transformatori koji pri radu unosezanemarljiva nelinearna izobličenja ulaznog napona zovu se linearni transformatori.

Sada ćemo za savršen, linearan transformator odrediti vezu između maksimalne vrednostimagnetske indukcije u jezgru Bm i efektivnih vrednosti prostoperiodičnih napona primara U1 i se-kundara U2. Pretpostavimo da je magnetski fluks u jezgru transformatora 0=msin(t), pri čemuje m=BmSFe. Pošto je transformator savršen, to na osnovu prethodnog sledi:

01 1 1 m 1 m Fe 1

d( ) cos( ) 2 cos( ) 2 cos( )

du t N N t f N B S t U t

t

02 2 2 m 2 m Fe 2

d( ) cos( ) 2 cos( ) 2 cos( )

du t N N t f N B S t U t

t

,

(60)

U f N B S f N B S1 1 12

24 44

m Fe m Fe, ,

m Fe m FeU f N B S f N B S2 2 2

22

4 44

, .

Maksimalna vrednost magnetske indukcije Bm u transformatoru određena je osnovnom, ili normal-nom krivom magnećenja materijala jezgra. Ako se napon U1 povećava, tada prema relacijama (60)raste i Bm do granice kada jezgro ulazi u magnetsko zasićenje. Preko te granice postaju sve duži iduži vremenski intervali u toku periode f=1/T napona u1(t) kada je magnetska indukcija u jezgrupraktično konstantna, a indukovane ems e1(t)-u primaru i e2(t)-u sekundaru praktično ravne nuli.Struju i1(t) tada ograničava sàmo neznatna otpornost primara R1, pa može doći do pregrevanja tognamotaja i termičkog oštećenja izolacije njegove žice. Da bi se to sprečilo, kao i nelinearna izobli-čenja koja nastaju usled magnetskog naprezanja materijala, ne preporučuje se rad transformatora sanaponima većim od nominalnih, dok je rad na manjim dopušten. Magnetsko zasićenje transformato-ra sa jezgrom od određenog materijala, koji radi sa specificiranim naponima, može se prema (60)izbeći povećanjem zapremine jezgra (tj. SFe), a time i mase feromagnetika (gvožđa). Međutim, uslučaju kada su materijal i dimenzije magnetskog kola transformatora (ili mašine naizmenične stru-je) unapred definisani, zasićenje jezgra se može izbeći održavanjem količnika efektivne vrednostiprostoperiodičnog napona napajanja U1 i radne frekvencije f na konstantnoj vrednosti (U1/f=Cst).


Takođe, nije preporučljivo ni da radna frekvencija transformatora bude niža od nominalne,opet, zbog toga što se može dogoditi da indukovana ems ne bude dovoljna da ograniči struju prima-ra na vrednost koja garantuje da neće doći do pregrevanja tog namotaja. Transformatori mogu raditina frekvencijama nešto višim od nominalne, ali sa povećanjem frekvencije rastu i nelinearna izobli-čenja napona i struja, kao i gubici u jezgru usled vrtložnih struja i histerezisa (poznato je da ciklushisterezisa "deblja" po H-osi sa povećavanjem radne frekvencije).

R1

Z g

Z 2u1

R2N N1 2: L12 0

L11 L22

(a)e

1

1'

2

2'

i1 i2

u2

R1Z g

Z 2u1

R2 L12 0L L11 12

L12

(b)e

1

1'

2

2'

i1 i2

u2

L L22 12

i i1 2

Sl. 12

Ako je transformator sa sl. 12a linearan, njegove jednačine tada će biti sledećeg oblika:

1 2 1 21 1 1 11 12 2 2 2 12 22 12

d d d d0

d d d di i i i

u R i L L , u R i L L , Lt t t t

(61)

1 1 2 1 2 21 1 1 11 12 12 2 2 2 12 22 12

d d d d d d( ) ( )

d d d d d di i i i i i

u R i L L L , u R i L L L .t t t t t t

Poslednji niz relacija u (61) omogućava da se linearni transformator, čija je električna šema data nasl. 12a, predstavi ekvivalentnom električnom šemom na sl. 12b, koja sadrži induktivnu T-mrežu saotočnom induktivnošću –L12 0 i rednim induktivnostima L11+L12 i L12+L22. U slučaju kada je na-pon u1(t) prostoperiodičan relacije (61) mogu se pretočiti u sledeći kompleksan oblik:

U R L I L I U L I R L I1 1 11 1 12 2 2 12 1 2 22 2 ( j ) j j ( j ) , , (62)

gde su U1, U2, I1 i I2 kompleksni predstavnici prostoperiodičnih napona u1(t) i u2(t) i struja i1(t) ii2(t), respektivno. Kako je U2=Z2I2 (videti sl. 12a), to se iz relacije (62) dobija ulazna impedansa Z1transformatora sa opterećenjem:

1 2 11 11 12 21 12

1 1 111 22 22

1 2 212 2 22

( j ) j( )

: jj

j ( j ) 0

R L I L I ULU

Z R L .I R L Z

L I R L Z I

(63)

Ta impedansa je Z1=R1+jL11 u slučaju kada Z2 , dok je u slučaju kada je Z2=0 ona:


Z R LL

R LR

LR L

R LL

R LL1

02 2

2

2

2j( )

j( )

( )j

( )( )

LNM

OQP

LNM

OQP1 11

12

2 221

12

22

222 11

12

22

2222

, (64)

Poseban oblik transformatora sa jednim namotajem i jednim kliznim kontaktom zove se auto-transformator ili štedni transformator (sl. 13a), koji može biti monofazni kada se preko njega ost-varuje prenos manjih snaga i trofazni kada je potreban prenos većih snaga. Detaljna električna šemamonofaznog transformatora prikazana je na sl 13b. Kod autotransformatora za snižavanje napona,pobudni napon se priključuje između krajeva 1-1', a sekundar 2-2' (na koji se priključuje prijemnik)predstavlja deo primara. Priključivanjem pobudnog napona na krajeve 2-2', a prijemnika na krajeve1-1', dobija se autotransformator za povećavanje napona kod kojeg je primar deo sekundara.

U 1

U 2

I 1

I 2I I1 2

N1

N2

}

1

1'

2

2'

Kliza~

A

B

C

(a)

}U 1

U 2

I 1

I 2

I I1 2

1

1'

2

2'

R1

R2

11L

22L

L12 0

(b)

Sl. 13

Za monofazni autotransformator sa detaljnom električnom šemom na sl. 13b kao za sistemod dva induktivno i galvanski spregnuta kola, može se napisati u ustaljenom prostoperiodičnom re-žimu sledeći sistem jednačina:

1 1 2 1 2 11 1 11 12 2 22 12( j ) j ( - ) ( j ) ( - ) jU R L I L I I R L I I L I ,(65)

1 1 22 12 2 22j ( j ) ( - )U L I R L I I ,

odnosno, posle njihovog sređivanja dobija se,

1 21 1 2 11 22 12 2 22 12[ j ( 2 )] [ j ( )]U R R L L L I R L L I ,(66)

1 22 2 22 12 2 22[ j ( )] ( j )U R L L I R L I .

Pošto je L0=1/Rm induktivnost jednog zavojka autotransformatora, to su induktivnosti delova namo-taja u zavisnosti od položaja klizača date relacijama L11=N1

2L0 i L22=N22L0. S obzirom da je jezgro

autotransformatora feromagnetsko i da je obično L12 11 22L L ( 1), to sledi da je L12

N1N2L0. Pored toga, kod autotransformatora u prvoj aproksimaciji obično se mogu zanemarititermogene otpornosti delova namotaja u odnosu na njihove reaktanse. Kako je permeabilnost jezgraautotransformatora vrlo velika, to je njegova ukupna magnetomotorna sila tada N1I1+N2(I1-I2) 0,pošto je magnetski fluks u jezgru konačan. Odatle je (N1+N2)I1 N2I2. Ako sa N=N1+N2 obeležimoukupan broj zavojaka autotransformatora, tada iz relacija (66) sledi da za prijemnik vezan u sekun-daru između tačaka 2-2' važi:


UU

NN

II

NN

1

2 2

1

2

21 1 , , (67)

Autotransformatori se jošzovu i štedni tranformatori zbog određenih ušteda u bakru u odnosu nakonvencionalne transformatore. Pretpostavimo da je srednja dužina zavojaka kod obe vrste transfor-matora l i da je gustina struje u njima u oba slučaja J. Zapremina bakra kod transformatora na sl. 10 pri efektivnim vrednostima struje primara I1=|I1| i sekundara I2=|I2 | je:

V NIJ

l NIJ

l lN I

JN I N I

1

12

2 1 11 1 2 22 ( ) . (68)

Zapremina bakra VAB kod autotransformatora sa sl. 13a, pri istom I1=|I1| i I2=|I2| je,

V NIJ

l V NI I

Jl

N IJ

II

lN I

JNN

lN I

JNN

lAC CB, ,

FHG

IKJ F

HGIKJ 1

12

2 1 2 2 1

2

2 2 2 2 2 11 1

(69)

V V V NN

N IJ

l N IJ

NN

l l NN

N IJAB AC CB 1 1 2 2 1 1 2 22 ,

gde smo sa VAC, VCB i VAB označili zapremine bakra delova namotaja autotransformatora A-C, C-B iA-B, respektivno. Iz relacija (68) i (69) sledi VAB /V=N1/N=N1/(N1+N2) 1, pa je odatle jasno zaštose autotransformatori zovu jošištedni transformatori (zbog uštede u bakru).

Autotransformatori se u laboratorijskim uslovima koriste za podešavanje i promenu napona uširokim granicama. Kao trofazni koriste se za puštanje u rad većih sinhronih i asinhronih motora, akao monofazni za regulaciju brzine komutatorskih, odnosno kolektorskih motora. Mada su gubicikod autotransformatora manji nego kod konvencionalnih transformatora, ipak, njihov osnovni ne-dostatak je lošija karakteristika kratkog spoja. Pri kratkom spoju sekundara autotransformatora nemora doći do reakcije zaštitnog osigurača u kolu primara, pa prodor visokog napona iz primara usekundar može biti trajan.

Odredimo sada stepen korisnog dejstva monofaznog transformatora sa feromagnetskimjezgrom prikazanog na sl. 10 u ustaljenom prostoperiodičnom režimu. Srednja snaga Džulovih gu-bitaka PCu u transformatoru (to su "gubici u bakru"), pri efektivnim vrednostima napona primara U1,sekundara U2, struje primara I1 i struje sekundara I2 je:

P R I R I R RII

I R RNN

I R I R IIICu e e n

2n

FHG

IKJ

LNMM

OQPP

FHG

IKJ

LNMM

OQPP

FHG

IKJ 1 1

22 2

22 1

1

2

2

22

2 12

1

2

22

2 22

2 22 2

2

(70)2 2

22 2Cun e2 2 1 Cun e2 2n 2 2 2 2n 2 2n

2n 1

;S N

P R R R , P R I , S U I , S U IS N

,

gde je Re2-ekvivalentna otpornost transformatora svedena na sekundar, PCun-nominalna snagaDžulovih gubitaka u namotajima, S2-prividna snaga sekundara i S2n-nominalna vrednost prividnesnage sekundara. Pretpostavljena je stalnost efektivnih vrednosti napona primara i sekundara. Nekaje cos2 faktor snage prijemnika u sekundaru sa kompleksnom impedansom Z2=Z2exp(j). Aktiv-na snaga prijemnika je P2=S2cos2. Pored gubitaka u bakru, u jezgru transformatora postoje i dvevrste gubitaka u gvožđu: usled histerezisa i usled vrtložnih struja. Ako je radna frekvencija f, zapre-


mina jezgra V i maksimalna indukcija u njemu Bm, tada se snaga gubitaka u jezgru usled histerezisaPh=khfBm

2V, a usled vrtložnih struja Pv=kvf2Bm

2V. Dakle, ukupna snaga gubitaka u jezgru trans-formatora ("gubici u gvožđu") je PFe=Pv+Ph=kvf2Bm

2V+khfBm2V=(kh+kvf)fBm

2V i pod određe-nim uslovima, odnosno pod određenim radnim režimom transformatora ona je praktično konstantnai nezavisna od prijemnika u sekundaru [videti relacije (60)]. Nominalna snaga gubitaka u bakru PCunpredstavlja snagu Džulovih gubitaka u oba namotaja kada su intenziteti struja primara i sekundaranominalni. Ta snaga se obično određuje eksperimentalno, ogledom kratkog spoja. I snaga gubitakau gvožđu određuje se eksperimentalno, ali ogledom praznog hoda. Oko detalja vezanih za ove eks-perimenate može se konsultovati priručnik za laboratorijske vežbe iz elektrotehnike.

Aktivna snaga primara (to je snaga koju generator ulaže u primar) je P1=P2+PFe+PCu, pa jestepen korisnog dejstva transformatora:

FHG

IKJ

PP

PP P P

S

S P P SS

PS

PS

S

2

1

2

2

2

22

2

22

Fe Cu

2

2 Fe Cun2n

2

2Fe Cun

2n2

cos

cos

cos

cos. (71)

S obzirom na činjenicu da jePS

PS

SP P

SFe Cun

2n2

Fe Cun

n22

2

2

gde znak "=" važi ako i samo ako je

PS

PS

SFe Cun

2n2

22 , odnosno ako je P P S

SPFe Cun

2nCu

FHG

IKJ 2

2

, tj. kada su gubici u bakru jednaki gubicima

u gvožđu to iz relacije (71) konačno sledi:

2 2 2max

Fe Cun Fe Cun Fe Cun2 22 2 2

2 2n 2n 2n

cos cos cos

cos cos 2 cos 2P P P P P PSS S S S

, (72)

čime je pokazano da je stepen korisnog dejstva transformatora najveći (=max) kada je radni režimtransformatora podešen tako da gubici u bakru budu jednaki gubicima u gvožđu.

Pregled različitih tipova transformatora (merni naponski i strujni transformatori, trofazni,impulsni itd.), njihove konstrukcione i funkcionalne karakteristike, hlađenje i drugo izlazi iz okviraovog kursa i neće se razmatrati.

Studentima koji su zainteresovani za proučavanje polifaznih kola sa prostoperiodičnim struja-ma, tj. za simetrične i nesimetrične trofazne sisteme (napona i prijemnika), na raspolaganju stoji od-ličan udžbenik "Osnovi elektrotehnike 2" (str. 362-377), autora B. Popovića, u izdanju Građevinskeknjige iz Beograda (1989). Tu se mogu naći i metodi generisanja obrtnog magnetskog polja pomoćudvofaznog i trofaznog sistema struja, što je u svakom slučaju korisno za razumevanje rada sinhronihi asinhronih motora naizmenične struje.

5. Izabrani zadaci iz prostoperiodičnih struja

Mnogi interesantni problemi sa detaljnim rešenjima, objašnjenjima i komentarima, kao i pre-gledom teorije, vezani za problematiku električnih mreža sa prostoperiodičnim strujama, trofaznesisteme, transformatore i električne mašine naizmenične i jednosmerne struje zainteresovanimstudentima stoje na raspolaganju u knjizi ELEKTROTEHNIKA–ZBIRKA REŠENIH ISPITNIH ZADATAKA


(D. Kandić, Akademska misao, Beograd, 2000. god., 376 strana, ISBN 86-7466-025-8). Odatle su ipreuzeti neki od zadataka koje sada navodimo, a koji su u ranijim rokovima bili na pismenom deluispita iz Elektrotehnike. Pored njih, na kraju materijala dat je i jedan lak test zadatak koji, takođe,preporučujemo da pokušate da rešite.

Zadatak 1: U kolu na sl. 14 pri otvorenom prekidaču P uspostavljen je ustaljen prostoperiodičnirežim. Odrediti:(a) trenutnu vrednost struje kola i i izračunati njegovu aktivnu i reaktivnu snagu.(b) kapacitivnost kondenzatora C koji je zatvaranjem prekidača P potrebno priključiti tako da mrežaN ima jedinični faktor snage. Kolika je tada efektivna vrednost struje generatora?

P

iC

L

Re

N e E t FHG

IKJ2

4cos

E 10 [V]

103 [rad / s]

R 10 [ ]

L10 [mH]

Sl. 14

Zadatak 2: U RC mreži na sl. 15 deluje naponski generator ems-e e=100cos(400t) [V] i u njoj jeuspostavljen ustaljen prostoperiodični režim. Ako je R=100 odrediti:(a) C tako da efektivne vrednosti struja iC i iR budu jednake. Odrediti zatim i trenutne vrednosti stru-ja i, iC i iR. Nacrtati fazorski dijagram mreže.(b) aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu mreže.(c) induktivnost kalema L koji je potrebno priključiti RC mreži tako da efektivna vrednost struje ibude minimalna. Kolika je u tom slučaju reaktivna snaga RLC mreže?

RCe

iRiC

i

L

Sl. 15

Zadatak 3: U kolu na sl. 16 (prekidačP je otvoren) uspostavljen je ustaljen prostoperiodični režim.(a) odrediti trenutne vrednosti struje i i napona uL i uC. Nacrtati fazorski dijagram kola.(b) izračunati aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu kola.(c) odrediti struju i kalema nakon zatvaranja prekidača P u trenutku t=0.Podaci: e=80 2 sin(104t) [V], R=400 [], L=5 [mH] i C=2 [F].


P

Lu

i

LR

eCu

C

Sl. 16

Zadatak 4: U mreži na sl. 17 (prekidačP-zatvoren) uspostavljen je ustaljen prostoperiodični režim.(a) odrediti trenutne vrednosti struje i i napona uL.(b) izračunati aktivnu i reaktivnu snagu, kao i maksimalnu reaktivnu energiju (R, L) grane.(c) odrediti R1 tako da napon uP na prekidaču u trenutku otvaranja t=0 bude trostruko veći od efek-tivne vrednosti ems.(d) Ako je prethodni ulov zadovoljen, odrediti trenutnu vrednost struje i za t 0.Podaci: e=20sin(104t+3/4) [V], R=100 [] i L=10 [mH].

Pu

P

Lu

i

L

1R Re

Sl. 17

Zadatak 5: U mreži na sl. 18 uspostavljen je ustaljen prostoperiodični režim. Odrediti:(a) trenutne vrednosti označenih struja i napona.(b) aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu mreže.(c) pokazati da su u ovoj mreži ems e i struja i u fazi (0, ).

e

Cu

Lu

2i

1i

iC

L

R

R

4 rad2 sin( ) [V], 10 [V], 2 10 , ;

s 4500 [ ], 25 [mH], 100 [nF].

e E t E

R L C

Sl. 18


Zadatak 6: U RLC kolu na sl. 19 uspostavljen je ustaljen prostoperiodični režim. Kalem je sa mag-netski linearnim torusnim jezgrom, ravnomerno je i gusto namotan i njegova induktivnost je L-kadaima N zavojaka, a L0-kada ima N0 zavojaka. Kondenzator kapacitivnosti C je pločast sa zanemarlji-vim ivičnim efektom površina svake elektrode je S, rastojanje između njih je d, a prostor izmeđuelektroda potpuno je ispunjenim homogenim dielektrikom relativne permitivnosti r. Odrediti:(a) trenutne vrednosti struje i kola i napona uR, uL i uC.(b) aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu kola.(c) maksimalan intenzitet polja u kondenzatoru.(d) kružnu frekvenciju 0 kada u kolu nastupa fazna rezonancija. Kolika je tada efektivna vrednostnapona kalema, a kolika efektivna vrednost napona kondenzatora?

R L C

i Ru Lu Cu

e

0 0

2r

2 sin( ) [V],

rad15 [V], 2000 , ;s 4

75 [ ];1000, 200, 2 [mH];

0 12 [m ], 0 1 [mm], 600

e E t

E

RN N L

S . d . .

Sl. 19

Zadatak 7: U mreži na sl. 20 uspostavljen je ustaljen prostoperiodični režim.(a) primenom Tevenenove teoreme odrediti trenutnu vrednost struje i.(b) koliku aktivnu i reaktivnu snagu ulaže generator?Podaci: e=20sin(t+/4), =103 [rad/s], R=1 [k], L=250 [mH] i C=2 [F].

i

eR

L

L

C C

1i

1i

2i2i

Sl. 20

Zadatak 8: U mreži na sl. 21 u kojoj deluje generator ems e uspostavljen je ustaljen prostoperiodi-čni režim. Poznate su efektivne vrednosti U1 i U2 napona u1 i u2, respektivno. Odrediti:(a) kapacitivnost C i otpornost r.(b) trenutne vrednosti svih struja.(c) aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu mreže.Podaci: e=90 2sin(103t) [V], U1 =50 [V], U2=60 [V] i R=60 [].


C

r

R

e

u1 u2

i

i1

i2

Sl. 21

Zadatak 9: U mreži prikazanoj na sl. 22 vlada ustaljen prostoperiodični režim. Odrediti:(a) trenutne vrednosti struja i, i1 i i2.(b) aktivnu, reaktivnu i prividnu snagu mreže.Podaci: e=100 2sin(104t) [V], R=100 [], L=10 [mH] i C=1 [F].

eC

L

i2

i1i

R

R

Sl. 22

Zadatak 10*: U mreži na sl. 23 u kojoj deluje naponski generator ems e=E 2 sin(t) uspostavljenje ustaljen prostoperiodični režim. Odrediti:(a) trenutne vrednosti struje i i napona uR, uL i uC.Nacrtati fazorski dijagram veličina e, i, uR, uL i uC.(b) Ako se vatmetar W može smatrati idealnim, odrediti šta on "meri" u ovom slučaju?Podaci: E=50 [V], f=1 [kHz], R1=2R=1 [k], C1=500/[nF], L=400/[mH] i C=5/(3) [F].

W

C

R

R1

R1

C1

C1 L

e

i

uR

uL

uC

I I

U

U

Sl. 23

Zadatak 11: U električnoj mreži na sl. 24 sa zatvorenim prekidačem P deluje naponski generatorems e=E 2 sin(t). Ako je u mreži uspostavljen ustaljen prostoperiodični režim odrediti:(a) trenutne vrednosti struje kalema iL i napona kondenzatora uC. Čemu služi otpornik R0?(b) aktivnu i reaktivnu snagu mreže.Podaci: E=54 [V], =103 [rad/s], R0=360 [], R1=100 [], R2=400 [], C=2 [F] i L=0,1 [H].


eR0

R1

R2L

iL

uC

C

P

Sl. 24

Zadatak 12: U mreži na sl. 25 uspostavljen je ustaljen prostoperiodični režim. Odrediti:(a) kapacitivnost C i otpornost R2 tako da snaga ovog otpornika bude maksimalna i izračunati je.(b) trenutne vrednosti struje kola i napona reaktivnih elemenata ako je uslov iz tačke (a) ispunjen.Nacrtati i fazorski dijagram ovog kola.Podaci: E=100 [V], =103 [rad/s], R1=5 [k], i L=40 [mH].

e E t 2 sin( )

R1

R2

L C

Sl. 25

Test zadatak: Metalni štap dužine L rotira oko ose OO ' u ravni normalnoj na linije homogenogmagnetskog polja indukcije B(sl. 26). Ako je kružna frekvencija rotacije štapa odrediti napon Uizmeđu njegovih krajeva.Podaci: B=|B|=0.3 [T], L=10 [cm] i =100 [rad/s].

OO'

BL

U

Sl. 26

Documents

Naizmenicne struje.pdf