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13
ÍNDICE
COMPETENCIA 1
Operaciones Fundamentales del Álgebra……………………………………
COMPETENCIA 2
Operaciones con Fracciones Algebraicas …………………………………..
COMPETENCIA 3
E xponentes y Radicales ………………………………………………………
COMPETENCIA 4
Ecuaciones Lineales o de Primer Grado ……………………………………
COMPETENCIA 5
Ecuaciones Lineales en Dos y Tres Variables……………………………….
COMPETENCIA 6
Ecuaciones Cuadráticas………………………………………………………..
ANEXO
Aprendiendo a Despejar ………………………………………………………
15
71
99
121
188
247
220
15
Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico Notación algebraica Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios
Leyes de los exponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios
División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios
PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo
Competencia
1 OPERACIONES FUNDAMENTALES DEL ÁLGEBRA
Explicar las Operaciones Fundamentales del Álgebra
Desarrollo de Productos Notables Factorización de polinomios
Saberes
1
2
4
3
16
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Por factor común Diferencia de cuadrados
Trinomio de la forma
Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación
1. A desarrollar suma de polinomios 2. A practicar la multiplicación de monomios y polinomios 3. A practicar la división entre monomios y polinomios 4. Todo mundo a desarrollar Productos Notables 5. Volviéndonos hábiles en la Factorización
Ejercicios
5
17
Definición de álgebra: Siendo el álgebra una rama de las matemáticas, sus operaciones son las mismas que las de la aritmética, es decir: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. El álgebra es una generalización de la aritmética. La aritmética emplea números para su estudio, pero el álgebra emplea letras y números.
NOTACIÓN Y TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA
LITERALES E INCOGNITAS.- Sabiendo que las letras son los símbolos más conocidos el ser humano, estas fueron tomados para representar valores numéricos, siendo su empleo convencional a determinadas condiciones o principios de los problemas razón que las divide en:
LITERALES.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores que son conocidos o que pueden obtenerse directamente, es decir, los datos dados en un problema se representan par medio de literales.
INCOGNITAS.- Son letras del abecedario que se utilizan para representar aquellos valores numéricos que se desconocen y que, para ser conocidos, deberán efectuarse operaciones matemáticas.
Saberes
Nombre Traducción del lenguaje común al lenguaje algebraico
Notación algebraica Valor numérico de una expresión algebraica Suma y resta de monomios y polinomios
No. 1
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para encontrar el volor númerico de una expresión algebraica, además de desarrollar sumas y restas con expresiones algebraicas
Manera didáctica de lograrlos
Mediante exposición y
tareas
18
VARlABLES Y CONSTANTES.- Todas las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del abecedario: a, b, c, d, e..., etc., se denominan también LITERALES ".
Todas las cantidades desconocidas se expresan por las ultimas letras del abecedario: s, t, u, v, w, x, y, z...se denominan '"INCOGNITAS". De lo anterior hacemos la siguiente observación:
VARIABLE.- Es una letra o símbolo que puede tomar cualquier valor de un conjunto de números, es decir, puede cambiar de valor. EJEMPLO:
Si tenemos la función y= 2x, Y si Ie asignamos valores a "x", resulta que el valor de "y" cambiara conforme "Varia" el valor de X", por ejemplo:
Sí x = 1 sí x = 2 sí x = 3
Y =2(1) Y = 2(2) Y = 2(3)
Y=2 y=4 y=6
CONSTANTE.- Es cualquier letra o símbolo con un valor numérico fijo, es decir, no pueden cambiar de valor. EJEMPLO: Cualquier numero, por ejemplo "9" siempre será nueve; π = 3.1416 es una constante que representa la razón de la circunferencia de un circulo al diámetro.
Traducción de expresiones del lenguaje común al lenguaje algebraico u viceversa.
Comenzaremos por traducir el lenguaje cotidiano a expresiones algebraicas. Estas expresiones algebraicas muestran situaciones concretas del mundo real de una manera abstracta.
Tal vez te parezca muy simple lo que vamos a traducir, pero esta sencillez te dará confianza para iniciar nuestro estudio algebraico.
En el lenguaje común o "verbal, se emplean palabras, mientras que en el lenguaje algebraico se emplean letras y símbolos, que permiten reducir las proposiciones verbales en proposiciones algebraicas muy simples y fáciles de comprender.
19
EJEMPLOS:
LENGUAJE COMUN: LENGUAJE ALGEBRAICO:
I.- Tres objetos cualesquiera. x .y, z.
2.- La semisuma de dos números 2
a b
3.- La suma de dos veces un numero mas tres veces el mismo 2n + 3n = 5n
número es igual a cinco veces dicho número.
4.- El cubo de un numero menos el doble del mismo número w³ - 2w
LENGUAJE ALGEBRAICO: LENGUAJE COMUN:
Suma de los cuadrados de dos números
2 El doble producto de por el radio
2 ( u – v ) El doble de la diferencia de dos números
El área de un rectángulo es igual al producto
de su largo por su ancho
Identificación de los elementos de una expresión algebraica.
En la notación algebraica es el medio que nos permite conocer los elementos que conforman una representaci6n matemática; por ejemplo:
EXPRESIÓN ALGEBRAICA.- Es una representación que se aplica a un conjunto de literales y números que conforman una o más operaciones algebraicas.
, 7 ; 2 5 ; 2 3 ; ; .
En las expresiones algebraicas, las partes que aparecen separadas por el signo (+) o (-) reciben el nombre de Términos algebraicos.
20
El término esta formado por coeficiente (parte numérica), variables (literales o letras), multiplicados entre sí, llamados factores.
Coeficiente Exponentes
7
Literales
Nombre Definición Ejemplo
Monomio (mono = uno) Expresión algebraica que consta de un solo término 5 ; 4 ;
3
Binomio (bi = dos) Expresión algebraica que
consta de dos términos
Trinomio ( tri = tres) Expresión algebraica que consta de tres términos
6 7
Polinomio (poli = muchos, en este caso más de dos)
Expresión algebraica que consta de dos o más términos. En este caso binomio y trinomio son polinomios
2 3 2
Clases de polinomios
Un polinomio es entero cuando ninguno de sus términos tiene denominador literal,
por ejemplo:
2x³ + 7x – 8 , 8
3
53
52
xx
Un polinomio es fraccionario, cuando algunos de sus términos tienen literales como denominadores, por ejemplo:
72
d
c
b
a
21
Un polinomio es racional cuando ninguno de sus términos contienen radicales, par
ejemplo:
2x² + 2xy + y²
Un polinomio es irracional cuando alguno de sus términos contiene algún radical, por
Ejemplo:
823 yx
Los polinomios se ordenan alfabéticamente y se agrupan de exponente mayor a exponente menor, los números constantes se escriben hasta lo último.
Ordenar el siguiente polinomio:
185
518
372
723223
232
yxx
xxyxyy
xyy
Grado de los polinomios
E1 grado de un término en una sola variable es la potencia de la variable. Si dos o
mas variables se hallan en un termino, el grado de término es la suma de las
potencias de las variables.
Ejemplo:
Grado de un término en una sola variable:
6x³ 3er grado.
2x 1er grado.
3³x 1er grado.
-3 grado cero porque 3 3
Grado de un término en varias variables:
72 x³ y³ 6to grado
22
4 x² y³ 5to grado
√3 3er grado
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA
Es una identidad sabemos que la incógnita puede adoptar cualquier valor y la igualdad siempre se cumplirá. Mientras que en una ecuación es necesario encontrar las solución, ya que la incógnita tiene un valor específico. La cantidad de soluciones para la incógnita en una ecuación está dada por el grado absoluto de la expresión algebraica.
Si es de primer grado sólo tiene una solución. Si es de segundo grado tendrá a lo más, dos soluciones reales; es decir, la incógnita puede adoptar dos valores diferentes y la igualdad se cumple.
Si es de tercer grado, tendrá a lo más tres soluciones... y así sucesivamente. Dentro de este tema todavía no estudiaremos el procedimiento para encontrar el valor de la incógnita; ese tema es abordado en los capítulos posteriores.
Lo que por el momento haremos es practicar un sencillo procedimiento: si conocemos el valor de las incógnitas para una expresión algebraica, lo sustituimos en ésta y encontramos el valor numérico.
Ejemplo 1: ¿Cuánto vale la siguiente expresión?
2 3 cuando 2 y 4
Solución: 2 2 3 4 2 4 12 8 12 20
Ejemplo 2: El valor numérico de 2 2 3 2 si 2, 3,
1, 2
Solución: 2 2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3
2 2 2 6 6
2 12 24
: Puede observarse el uso de corchetes para llevar un mejor orden en el
cálculo.
23
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS:
En la aritmética, los números positivos se suman, pero en el álgebra la adición puede realizarse entre números tanto positivos como negativos. La adición en este sistema más amplio de números es llamada a veces adición algebraica.
Para efectuar adiciones con polinomios, se realizan sumandos solo términos semejantes.
Los que se parecen (términos semejantes)
3 y Cada pareja de términos son semejantes ya que tanto las
4 8 letras como los exponentes son los mismos.
18 y 5
y
3 y 5 Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque las letras
2 y 5 son iguales, estas NO tienen el mismo exponente.
y Cada pareja de términos NO son semejantes, ya que aunque los
4 y 3 exponentes son iguales, las letras NO son las mismas.
Ejemplo 3: Combine los elementos semejantes
SUMANDO <‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐222 753 aaa =
215a ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ SUMA
24
Ejemplo 4: Sumar la expresión: .743253 22 babbababa
Solución: Puede agrupar los términos semejantes de la expresión, si usted desea de la siguiente manera:
3 3 5
2 7 4
5 4 8
Nota: También pude realizar la suma directamente, combinando elementos semejantes.
Ejemplo 5: Restar zyx 247 de .5911 zyx
MINUENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ZYX 5911
SUSTRAENDO ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ )247( ZYX
11 9 5
7 4 2
ZYX 7134 ‐‐‐‐‐ RESULTADO
Ejemplo 6: Suma y resta con Bolitas
Polinomio Se representa con Círculos
3 3 2
2 1
1
1
1
25
Si queremos sumar los dos polinomios anteriores tenemos:
Suma de polinomios Se representa con Círculos
3 3 2
2 1
5 2 3
5 2 3
Símbolos de agrupación de agrupación
Los símbolos de agrupación los cuales son los paréntesis ( ), los corchetes [ ], y las llaves{ }, son usados para hacer que el significado de ciertas expresiones, sea claro y para indicar el orden en el que las operaciones son realizadas.
Con frecuencia es conveniente quitar los símbolos de agrupación de una expresión, y para este propósito se usan los axiomas y propiedades del sistema de los números reales. Se explica el procedimiento con un ejemplo.
Ejemplo 6: Elimine los símbolos de agrupación y combine los términos
semejantes
222222 3}4)](3)(5[3{3 yxyyxxyxxyxx
Se aplica primero el axioma distributivo a la expresión en los paréntesis para
obtener
222222 3}4]3355[3{3 yxyyxxyxxyxx
Combinando términos semejantes dentro de los corchetes
22222 3}4]352[3{3 yxyyxyxxyxx
1
1
1
26
Eliminando los corchetes
22222 3}43523{3 yxyyxyxxyxx
Combinando términos semejantes dentro de las llaves
2222 3}38{3 yyxyxx
Quitando las llaves
2222 3383 yyxyxx
Combinando términos semejantes nos da el resultado final xyx 82 2
27
I. Relaciona la columna de la izquierda con la columna de la derecha, escribiendo en el paréntesis el número que corresponda
1.
( )
2.
( )
3.
( )
4.
( )
5.
( )
6.
( )
7.
( )
8.
( )
( )
( )
( )
( )
Ejercicios
Nombre A desarrollar sumas de polinomios No. 1
Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
28
II. Completa las siguientes operaciones. Utiliza los espacios disponibles:
III. Escribe un polinomio que represente el perímetro de las siguientes figuras. Simplifica los polinomios reduciendo términos semejantes.
a) b) c) d)
e) f) g) h)
a) b)
29
IV. Escribe un polinomio para cada arreglo de círculos, además encuentra la suma de polinomios.
V. Encuentre la suma indicada en los problemas siguientes:
a) )44()432()3( dcbdcbdcb Resp: dcb 68
b) )144()432()13( 222 xxxxxx
c) )32()23()22( rqprqprqp Resp: rqp 423
d) )36()32()32( yxwyxwyxw
a)
y
y
b)
y c)
30
VI. Sume las tres expresiones en cada uno de los siguientes ejercicios.
Sustraiga luego la tercera expresión de la suma de las dos primeras.
a) 7 3 11 ; 14 10 10 ;8 8 13a b c a b c a b c Resp: 15 34 ; 15 8a b c a b c
b) 3 4 ;2 4 7 ;3 5xy yz x x xy yz yz x xy
c) 2 3 7 ; 4 3 5 ;2 3 8r rs s s r rs rs s r Resp: 9 4 6 ;7r rs s r
VII. Quite los símbolos de agrupación y simplifique combinando términos
semejantes
a) 4 ( 3) (3 1)x y x Resp: 4x y
b) )2(3)2(2 yxyxyx
c) )32(2)3(2 yxyxyx Resp: yx 25
d) )52(2)3(42 bababa
e) ( ) (2 3 ) ( )x y x y x y Resp: y
f) 1 2 (3 ) 3a b a
g) (3 ) (4 3 )x x x Resp: 3 1x
h) )2(4323 yxxyx
i) xyxxyx )52(3632 Resp: yx 9338
j) )51(34221 aaa
k) yzyzxyx 2)2(422 Resp: zyx 446
l) baabcabcba 532)(2323
31
e) 2 3 5 6 ( ) 5a ab b a ab b a b Resp: 567 baba
f) 10 ( 3) ( 6)x y x y
VIII. Evalúe las expresiones siguientes, dado que 2, 3, 1a b c y 2d
a) 2a b c b) 2a b d c) 6 5a b d
d) 2 3a b c d e) ( 2 )b c d f) 2 2(3 2 )c a b
g) a d
a d
h) 3ab cd
c
i)
3 2
4
b ad
a
Respuestas a algunos ejercicios: a) 9; c) 29; d) 1; f) ‐22; h) 0;
32
LEYES DE LOS EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS
Exponente.- Indica el número de veces que un término deberá aparecer como factor de si mismo; por ejemplo:
a5 = (a) (a) (a) (a) (a)
La expresión a5 se llama potencia y se lee “a quinta”. La representación general es:
n- ésima potencia de a n Exponente (Entero positivo)
a Base
Leyes de los exponentes.- Se establecen cinco leyes fundamentales de los exponentes enteros y positivos, dichas leyes son:
Ley I.- “Cuando dos potencias de la misma base, se multiplican, su resultado es un término de la misma base y con un exponente igual a la suma de los exponentes de las potencias multiplicadas; Es decir:
Saberes
Nombre Leyes de los exponentes enteros positivos Multiplicación entre monomios Multiplicación de un monomio y un polinomio Multiplicación entre polinomios
No. 2
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar multiplicaciones entre monomios y polinomios
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
33
( )m n mna a
( )m m mab a b
m m
m
a a
b b
Ley II.- “Cuando dos potencias de la misma base, se dividen, su cociente es un término de la misma base y con un exponente igual a su diferencia de los exponentes de las potencias divididas”; Es decir:
nm
n
m
aa
a (Si m > n) mnn
m
aa
a
1
(Si n>m)
10 aa
a
a nmn
m
(Si m = n)
Ley III.- “Cuando una potencia base se eleva a un expo9nente, su resultado es un termino de la misma base y con una exponente al que se elevo la potencia”; Es decir:
Ley IV.- “cuando un producto de uno o mas factores se elevan todos ala vez un exponente, su resultado es un producto donde cada factor se eleva al exponente de dicho producto”;Es decir:
Ley V.- “cuando un cociente se eleva aun exponente su resultado es la potencia del dividendo (numerador) y la potencia del divisor (denominador), realizándose finalmente la división”; Es decir:
34
Ejemplo 1:
a) 53232 ))(( uuuu
b) 2242
4
mmm
m
c) 6)3)(2(32)( ccc
d) 6
3
)3)(2(
333
2
8.22
b
a
b
a
b
a
MULTIPLICACIONES DE MONOMIOS
Regla
Se multiplica el coeficiente y a continuación de ese producto se escribe letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente que tenga en los factores. El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos.
Ejemplos 2: a) Multiplicar .32 32 apora
53232 6)3)(2()3)(2( aaaa
b) Multiplicar 3 4
xbaxbaxabba 33211222 12)4)(3()4(3
c) Multiplicar 342 5 ymxporxy
553241342 55)5)(( ymxymxymxxy
d) Multiplicar 32 4 cbaporab nm
32132132 4)4)(1()4)(( cbacbacbaab nmnmnm
35
e) Efectuar la siguiente multiplicación 423222 )()3()2( bcbaab
844362422423222 )1()3()2()()3()2( cbbababcbaab
))()(()1()3()2( 843462432 cbbbaa
8118)1)(27)(4( cba
8118108 cba
f) Efectuar las operaciones indicadas y simplificarlas
23232234 )()3()()2( baabaab
))(27())(16()()3()()2( 646264423232234 baabababaabaab
610610 2716 baba
61043 ba
Multiplicación de Polinomios por Monomios
Reglas para Multiplicar un Monomio por un Polinomio Se multiplican el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso las reglas del signo, y se separan los productos parciales con sus propios signos. En otras palabras, se aplica la Ley Distributiva de la multiplicación.
Ejemplo 3: Multiplicar 3 6 7 4
)4(7)4(6)4(3)4)(763( 222222 axaxxaxxaxxx
234 282412 axaxax
36
2
2
4
763
ax
xx
La operación puede disponerse así 234 282412 axaxax
MULTIPLICACIONES DE POLINOMIOS POR POLINOMIOS
Regla para Multiplicar dos Polinomios Se multiplican todos los términos del multiplicador por cada uno de los términos del multiplicador, teniendo en cuenta la ley de los signos, y se reducen los términos semejantes.
Ejemplo 4: Multiplicar 4 3
Tendremos: 4 4
3 3
4 o sea 4
3 3 4 3 12
12
En el ejemplo siguiente se muestra otra forma de multiplicar.
Ejemplo 5: Multiplicar 4 3 2 5
4 3 5 2 4 5 4 2 3 5 3 2
20 8 15 6
20 23 6
37
Ejemplo 6: El siguiente rectángulo está seccionado y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total del rectángulo.
Solución: Primeramente, tenemos que buscar el valor de los lados de cada rectángulo pequeño para que coincida con el área de cada rectángulo pequeño. Por lo tanto:
4
6
Por lo tanto, los lados del rectángulo grande son 4 6 y 5 8
El área total será: 4 6 5 8 20 32 30 48
20
32
30
48
20
32
30
48
4
6
5 8
38
I. Efectúe las operaciones indicadas y simplifique:
1) ))(( 22 aba 2) ))(( 43 aab 3) ))(2( 32 yyx
4) 3 2( )( )a b b 5)
2 2 3( )( )a b a 6) 2 2(2 )(3 )x xy
7) 2 3 43 (2 )x y x y 8)
2 4 23 (4 )( )x x y x y 9) 3 2 3 2(3 )( )x y x y x
10) )2)(4)(7( 23 yxyyx 11) )2)(( 4323 yxzyzx 12) )3)((6 2332 xzyzyx
13) )5)(4)(( 322 yxxyx 14) )25)(3(2 323 baba 15) )5)(4(3 2xyxy
16) 2 2 3 33 (4 )( 9 )a b ab a b 17)
2 3 2( )a b ab 18) 2 2 26 (2 )a b ab
19) 2 2 2 3( ) (2 )a b ab 20)
2 2 3(4 ) ( )ab ab 21) 2 3 3 2( ) ( 8 )x y x y
22) 2 3 2 2 2 3( ) (2 ) ( 5 )xy x yz xz 23)
2 2 3 2 2 4 5 4( ) (8 ) ( 3 )a b abc b c
Ejercicios
Nombre A practicar las multiplicación de monomios y polinomios No. 2Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
39
24) 4323222 ))(3()2( cabaab 25)
5243223 )()9()2( bcacaab
26) 2 2 2 32 ( ) ( )a b a b 27)
2 2 2( 2 ) ( ) ( )ax a x 28) 2 2 2 22 ( ) (4 )( )a b a b
Respuesta para algunos de los ejercicios anteriores:
4) 3 3a b ; 5)
5 2a b ; 6) 3 26x y ; 7)
6 46x y ; 8) 7 312x y ; 9)
7 43x y ;
16) 6 6108a b ; 17)
4 7a b ; 18) 4 524a b ; 19)
7 88a b ; 21)12 564x y ;
22) 78820 zyx 23)
8 24 245184a b c ; 26) 2 2 2 32a b a b ; 27)
2 25a x ; 28) 2 22a b
II. Efectué la siguiente multiplicación entre un polinomio y un monomio.
(1) xporxx 23 23 Resp: 4 36 2x x
(2) 322 238 axporyyx
(3) xporxx 2342 Resp: 3 22 8 6x x x
(4) aaa 64 23 por ab3
III. Efectúe las multiplicaciones indicadas. Simplifique cuando sea
necesario.
1) 6( 7)x 2) 7( 4)x 3) ( 3)x y
4) 5 (2 3)x y 5) 4 ( 3)x y 6) 22 (3 2 )x x x
7) 26 ( 4 )x x x 8)
23 (3 5 )x x x 9) 3 22 (3 5)x x x
10) 2 22 ( 3 )ab a ab b 11)
2 3 2 2 42 ( 5 3 )a b a a b b
12) 3 2 25 ( 4 )a b ab b a 13)
3 2 22 (2 3 2)ab a b
14) 2 (5 6) 3 ( 4)x x x x 15) 4 ( 4) 2 (2 3)x x x x
40
16) 2 22 (3 4 6) ( 8)x x x x x 17)
2 2 3 2(2 3 4) ( 3 4 )x x x x x x x
Respuestas a los impares: 1) 6 42x ; 3) 3xy x ; 5) 4 12xy x ; 7) 3 26 24x x ;
9) 5 4 36 2 10x x x ; 11)
5 4 3 2 52 10 6a b a b a b ; 13) 3 3 5 34 6 4a b ab ab ; 15) 10x ;
17) 4x
IV. Efectué la siguiente multiplicación entre polinomios.
1. 1..3 apora Resp: 2 2 3a a
2. xyporyx 2..28
3. yxporxy 23..54 Resp: 2 215 22 8x xy y
4. abporba 84..
V. Efectué las operaciones con polinomios y simplifique:
1) ( 7)( 4)x x 9) 2( 1)((2 2 3)x x x
2) ( 6)( 6)x x 10) 2( 2)( 2 4)x x x
3) ( 1)( 6)x x 11) 2(2 1)(4 2 1)x x x
4) (3 1)(4 3)x x 12) 2 2( 2 )( 2 4 )x y x xy y
5) (3 2 )(3 4 )x x 13) 2 2( 2 1)( 2 1)x x x x
6) (7 3 )(8 5 )x x 14) ( 1)( 3) ( 4)x x x x
7) ( 4 )(3 4 )x y x y 15) (2x+1)(x-2)+ x(x+3)
8) ( 3)( 4)xy xy 16) ( 2)( 4) ( 2)x x x x
Respuestas a los impares: 1) 2 3 28x x ; 3) 2 7 6x x ; 5) 29 6 8x x ;
7) 2 23 16 16x xy y ; 9) 32 3x x ; 11) 38 1x ; 13) 4 24 4 1x x x ;15) 23 2x
41
VI. Los siguientes rectángulos están seccionados y cada sección es el resultado de multiplicar los lados de los rectángulos pequeños. Halla la multiplicación de los polinomios que equivale al área total de cada rectángulo. (Ver ejemplo 6 resuelto de esta sección).
1.
2.
3.
5
5
5
3
24
15
40
25
42
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Ejemplos: (1) Dividir abentreba 24 23
(2) Dividir baentrecba 234 ..5
cbaba
cbabacba
22
55
/52
34234
(3) Dividir 332 4/20 xyymx
mxxy
ymxxyymx 5
4
204/20
3
32332
Saberes
Nombre División entre monomios División entre un polinomio y un monomio División entre polinomios
No. 3
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar divisiones entre monomios y polinomios
Manera didáctica
de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
43
Ejemplo (4) Al aplicar las leyes de los exponentes, simplificar la expresión:
34
2
2
6
x yz
xy
Solución: Podemos simplificar la fracción primeramente antes de aplicar el
exponente exterior.
3 34 3 9 3 9 3
2 3 3 3
2
6 3 3 27
x yz x z x z x z
xy y y y
DIVISIÓN DE POLINOMIOS ENTRE MONOMIOS.
Regla para dividir un polinomio por un monomio. Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos.
Ejemplo 1) Dividir 3 2 23 6 9a a b ab entre 3a.
3 2 2 3 2 2
3 2 2 3 6 9 3 6 9(3 6 9 ) 3
3 3 3 3
a a b ab a a b aba a b ab a
a a a a
Resultado: 2 22 3a ab b
Ejemplo 2) Dividir 3 2 23 2a a b ab
ab
Solución: 3 2 2 3 2 2 23 2 3 2 3
2a a b ab a ab ab a
a bab ab ab ab b
Ejemplo 3) Dividir 2(3 ) (3 )
(3 )
x a a x a
x a
y simplificar
2(3 ) (3 )
(3 )
x a a x a
x a
= 2(3 ) (3 )
(3 ) 3 3(3 ) (3 )
x a a x ax a a x a a x
x a x a
44
DIVISIÓN DE POLINOMIOS
La división de polinomios respeta la siguiente serie de pasos:
1. Ordenamos los términos de ambos polinomios según las potencias de mayor a menor, o viceversa, de una de las letras comunes a los dos polinomios.
2. Dividimos el primer término del dividendo entre el primero del divisor, con esto obtenemos el primer término del cociente.
3. Multiplicamos el término del cociente del paso anterior por el divisor y se resta del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo.
4. Con lo obtenido en el paso anterior se repiten las operaciones de los pasos 2 y 3 hasta que obtenemos un residuo igual a cero o una expresión algebraica de grado menor que el del dividendo.
5. El resultado se expresa de la siguiente manera:
Ejemplo 1: Dividir 2 31 35 entre 2 7
3 5 cociente
Divisor 2 7 2 31 35 Dividendo
2 7
6 31 35
6 21
10 35
10 35
0 Residuo
El resultado es: 3 5
45
Ejemplo 2: Dividir 2 3 2 entre 3 2
2 3 6
3 2 2 3 2
2 6 4
3 3 2
3 9 6
6 5 2
6 18 12
13 14
El resultado lo expresamos de la siguiente manera:
2 3 6
46
I. Ejercicios: Efectuar la siguiente división entre monomios
(1) 243 214 abentreba Resp: 2 27a b
(2) 4343 baentrecba
(3) nmentrenm 225 Resp: 5
(4) 3232 88 xaentrexa
II. Simplifique aplicando las leyes de los exponentes.
1) 5
2
a
a 2)
3x
x 3)
6
12
a
a 4)
2
8
x
x 5)
10
10
x
x 6)
10
6
b
b 7)
8
10
( )a
a
8) 7
7
( )a
a
9) 8
4
( 1)
( 1)
x
x
10) 6
9
( )
( )
x y
x y
11) 3
3
bx
b 12)
6 4
3 2
x y
x y 13)
2 5
6 10
9
36
a b
a b 14)
8 7
4 9
6
18
a b
a b
15) 3
6
)( a
a
16)
6
2
)(
)(
yx
yx
17) xy
yx3
18) yx
yx2
33
19) 82
62
ba
ba 20)
ca
ba9
25
70
42
Ejercicios
Nombre A practicar las división entre monomios y polinomios No. 3Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
47
21) 85
23
66
44
ba
ba 22)
63
25
8
32
ba
ba
23)
312
96
5
25
ba
ba
24) 4
6
33
a
a 25)
2
2
2
ab
ba
26) 62
5
2a
a
27) 32 5
6
2
4
x y
xy
28) 34 2 7
3 4 72
x y z
x y z
29) 43 2 4
2 3
12
18
x y z
xy z
Respuestas para algunos ejercicios:
1) 3a ; 2) 2x ; 3) 6
1
a; 4)
6
1
x; 5) 1 ; 6) 4b ; 7)
2
1
a ; 8) 1 ; 9) 4( 1)x ; 10)
3
1
( )x y; 11) x ; 12) 3 2x y ; 13)
4 5
1
4a b; 14)
4
23
a
b ; 26)
18
64
a
27) 3
38
x
y; 28)
3
68
x
y ; 29)
8 416
81
x z
III. Efectué las operaciones entre un polinomio y un monomio y
simplifique.
1) 2 2
2
x 2) 10 5
5
x 3) 26 3
3
x x
x
4)
3 23x x x
x
5) 6 3
3
ax a
a
6) 3 2
2
7 14
7
x x
x
7)
2 3
2
10 15
5
x y x
x
8) 5 4 3
3
12 18 6
6
x x x
x
9) 3 2 2 3
2 2
36 24
12
x y x y
x y
10) 3 2
2
4 6 8
2
x x x
x
11)
6 4 2 2 4
3 3
2 3
3
x x y x y
x y
12) 26( ) 3( )
3( )
x a x a
x a
13) 2(2 ) (2 )
(2 )
x a x x a
x a
14) 3 2(2 ) (2 )
(2 )
x a x a
x a
48
Respuestas a los impares: 1) 1x ; 3) 2 1x ; 5) 2 1x ; 7) 2 3y x ; 9) 3 2x y ;
11) 3
3
2
3 3
x x y
y y x ; 13) x a
IV. Efectúe las divisiones entre polinomios siguientes:
1) 2 3 2
1
x x
x
2) 2 6
2
x x
x
3) 2 14 48
8
x x
x
4) 28 16 6
2 1
x x
x
5) 29 6 1
3 1
x x
x
6) 212 25 12
4 3
x x
x
7) 216 8 1
4 1
x x
x
8) 222 8 21
4 3
x x
x
9) 3 2
2
4 2 8
4
x x x
x
10) 4 3 2
2
3 2 6 3 2
2
x x x x
x x
11) 3 23 4 6
2 3
x x x
x
12) 3 24 7 21 9
4 3
x x x
x
13) 3 26 11 14 2
2 5
x x x
x
14) 4 2
2
2 11 39 15
3 5
x x x
x x
15) 4 3 2 2 3 4
2 2
2 3 3 5 3
2
x x y x y xy y
x xy y
16) 23
1249 2
x
xx 17)
65
281215 2
x
xx
18) 168
6448122
23
xx
xxx 19)
12
2862
234
xx
xxxx 20)
162
835122
24
xx
xxx
21) )3()73522( 22322344 yxyxxyyxyxyx
Respuestas para algunos ejercicios:
1) 2x ; 2) 3x ; 3) 6x ; 4) 4 6x ; 5) 3 1x ; 6) 3 4x ; 7) 4 1x
8) 2 7x ; 9) 2x ; 10) 23 1x x ; 11) 2 42 1
3 2x x
x
; 12) 2 9
64 3
x xx
13) 2 123 2 2
2 5x x
x
; 14) 22 6 3x x ; 15) 2 22 3x xy y
49
BINOMIOS CONJUGADOS
Si tenemos la multiplicación ¿cómo la resolverías?
Una forma de hacerlo es multiplicando Todos vs. Todos:
Aunque este método nos gusta mucho no es el más rápido, para esto estamos aprendiendo la multiplicación de binomios conjugados. El producto de la suma de dos números (a + b) por su diferencia (a – b) es un producto notable que recibe el nombre de binomios conjugados, y su producto recibe el nombre de diferencia de cuadrados.
2 2a b a b a b
Saberes
Nombre PRODUCTOS NOTABLES Binomios conjugados Producto de dos binomios cualesquiera Binomio al cuadrado Binomio al cubo
No. 4
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar productos notables por inspección
Manera didáctica
de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
50
Binomios conjugados = Diferencia de cuadrados
2 2a b a b a b
Los binomios conjugados son iguales a:
El cuadrado del primer término del binomio
Menos
El cuadrado del segundo término del binomio.
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios conjugados:
1. 8 3 8 3 8 3 8 3 64 9
2. 5 6 5 6 5 6 25 36
3.
2 22 25 3 5 3 5 3 25 9
9 4 9 4 9 4 81 16m n m n m n m n
Producto de trinomios que se pueden resolver como un binomio conjugado
4. 5 5 5 5 25
PRODUCTO DE DOS BINOMIOS CUALESQUIERA
Los términos correspondientes de los binomios byax y dycx son
semejantes. Su producto se obtiene por el procedimiento que se describe aquí
en donde se aplica la propiedad distributiva.
)()())(( dycxbydycxaxdycxbyax
22 bdybcxyadxyacx por distributividad y conmutividad
22 )( bdyxybcadacx ya que adxy+bcaxy = (ad+bc)xy
Por tanto, se tiene
Producto de dos binomios 22 )())(( bdyxybcadacxdycxbyax
Al observar el producto de la derecha, se ve que se tiene el producto de dos
binomios con términos semejantes correspondientes al ejecutar los pasos
siguientes:
51
1) Multiplíquense los primeros términos de los binomios para obtener el primer término del producto.
2) Súmense los productos obtenidos al multiplicar el primer término en cada binomio por el segundo en el otro. Esto da el segundo término en el producto.
3) Multiplíquense los segundos términos en los binomios para obtener el tercer término del producto.
Por lo general, el procedimiento requerido para efectuar esos tres pasos es mental, y el resultado puede escribirse sin necesidad de indicar los pasos intermedios. Esto se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1
Obtenga el producto de yx 52 y yx 34
22 15148)34)(52( yxyxyxyx
Obténgase los productos mentalmente
1. xx 42
2. xyxyxxyx 206)45()32(
3. yy 35
El ejemplo anterior está dada en dos variables, pero se aplica también si se
considera que 1y . De hecho, viene siendo bdxbcadacxdcxbax )())(( 2
Ejemplo 2
Encuentre ).53)(2( xx
103)5)(2()]3)(2()5)(1[())(3)(1()53)(2( 22 xxxxxx
52
BINOMIO AL CUADRADO
Un binomio al cuadrado es un producto notable, ya que podemos generalizar el
proceso para obtener su resultado.
El cuadrado de la suma de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b
Cuadrado del primer término más
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
La solución de un binomio al cuadrado es un trinomio que recibe el nombre
de trinomio cuadrado perfecto.
Cuando se trata de una diferencia lo único que cambia es el signo del segundo
término del trinomio.
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual: 2 2 2( ) 2a b a ab b
Cuadrado del primer término, menos
Doble producto del primero por el segundo, más
El cuadrado del segundo término.
Ejemplos: Desarrollar los siguientes binomios al cuadrado
1. 3 8 3 2 3 8 8 9 48 64
2. 3 5 3 2 3 5 5
9 25
3. 32
53
32
232
53
53
94
5 259
53
4. 4 2 3 4 2 3 4 2 2 4 2 3 3
16 16 4 24 12 9
BINOMIO AL CUBO
Un binomio al cubo es un producto notable ya que podemos generalizar el proceso para su solución. Esto significa que el binomio esta multiplicándose por si mismo tres veces:
3a b a b a b a b
Primero multiplicaremos dos binomios ya que como son tres términos, la multiplicación debemos realizarla por partes:
2 2 22a b a b a b a ab b .
Este resultado lo multiplicamos otra vez por el binomio:
2 2 3 2 2 32 3 3a ab b a b a a b ab b
Binomio al cubo = Cubo perfecto
3a b = 3 2 2 33 3a a b ab b
El cubo de un binomio es igual a:
Cubo del primer termino más
El triple producto del cuadrado del
primer termino por el segundo mas
El triple producto del Primer termino
por el cuadrado del segundo mas
Cubo del segundo termino.
54
Si el cubo es la diferencia de dos números el resultado quedaría:
3a b = 3 2 2 33 3a a b ab b
Ejemplos:
1. 2 5 2 3 2 5 3 2 5 5
8 60 150 125
2. 3 2 3 3 3 2 3 3 2 2
27 54 36 8
55
I. Realice los siguientes binomios conjugados:
1. )4)(4( xx 2. )7)(7( xx 3. )23)(23( yxyx 4. )86)(86( baba
5. )32)(32( 2222 yxyx 6. ))(( 2222 axax 7. )46)(46( 4242 baba
8. )74)(74( dcdc 9. 3 2 3 2
4 7 4 7x y x y
10.
2222
7
3
5
2
7
3
5
2baba
11. 12.
13. 14.
Ejercicios
Nombre Todo mundo a desarrollar Productos Notables No. 4Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
56
II. Completa la siguiente tabla:
Binomios conjugados Diferencia de cuadrados
a)
b) 9 25
c) 1 1
d) 4 10 4 10
e) 41
25
f) 9
16254
g) 2 0.2 2 0.2
h) 5 6 5 6
i) 2 3
j) 3 3
k) √2 √3 √2 √3
III. Realice los siguientes ejercicios usando el modelo para el producto de dos binomios cualesquiera.
1. )3)(1( xx 2. )4)(2( xx 3. )2)(3( xx 4. )23)(32( xx
5. )5)(43( xx 6. )32)(14( xx 7. )3)(2( yxyx 8. )32)(53( yxyx
9. )52)(116( dcdc 10. )59)(38( mkmk 11. )74)(103( baba
IV. Completa la siguiente tabla:
Multiplicación de dos binomios cualesquiera con un termino común
Resultados
a) 5 4
b) 15 17 30
c) 5 3
d) √5 6 √5 2
e) √2 1 √2 2 2 3√2
57
V. Obtenga el binomio al cuadrado de las siguientes expresiones:
1. 2)2( x 2. 2)3( x 3. 2)9( x 4. 2)( yx 5. 2)8( yx
6. 2)2( ba 7. 2)32( x 8. 2)54( x 9. 2)510( x 10. 2)25( nm
11. 2)4( m 12. 2)32( yx 13. 2)76( ba 14. 233 )( ba 15. 222 )23( xyyx
16. 2323 )54( abba 17. 2)232( zyx 18. 2)343( cba 19. 255 )( yx
VI. Completa la siguiente tabla:
Binomio elevado al cuadrado Polinomio
a) 3
b) 2 4 4
c) 7 16
d)
VII. Desarrollo los siguientes binomios al cubo:
1. 3)2( ba 2. 2)23( x 3. 3)15( x 4. 3)72( yx 5. 3)64( ba
6. 3)31( y 7. 32)2( y 8. 332 )32( qp 9. 323 )45( nm 10. 3
3
4
3
2
ba
VIII. Completa el desarrollo de los siguientes binomios al cubo
a) 5 2 3 3
___________________________________________________________
b) 3 2 3 3
___________________________________________________________
c) 3 3
___________________________________________________________
58
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Cada uno de los números que se multiplican entre sí para obtener un producto, se llama factor. Algunas veces es deseable escribir un polinomio como el producto de varios de sus factores. Este proceso se llama factorización. En particular, nos ocuparemos de factorizar polinomios con coeficientes enteros. Se dice que un polinomio está factorizado completamente si se expresa como el producto de polinomios con coeficientes enteros y ninguno de los factores de la expresión se puede ya escribir como el producto de dos polinomios con coeficientes enteros. A continuación, consideramos la factorización de algunos polinomios especiales.
I. Factor común. En este proceso se transforma una suma algebraica en un producto de factores, aplicando la propiedad distributiva. Para llevar a cabo este proceso es necesario identificar el factor común en el polinomio. El factor común puede ser un numero o un monomio, o bien un polinomio.
Saberes
Nombre FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS
Por factor común Diferencia de cuadrados Trinomio de la forma Trinomio de la forma Trinomio cuadrado perfecto Suma y diferencia de cubos Por agrupación
No. 5
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno conocerá los distintos tipos de factorización de polinomios.
Manera didáctica
de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
59
Ejemplos:
1) 5 5 5( )x y x y
El numero 5 es el que se repite en ambos términos, es decir, es el factor común. Y
los factores son 5 y (x + y).
2) ( )ax bx cx x a b c
Pude ver que la es la que se repite en todos los términos, es decir, es el factor
común, y los factores son x y (a – b + c).
3) 24 8 2x y xy y = 22 (2 4 1)y x x
El numero 2 y la letra y son los términos que se repiten en todos los términos, por
lo tanto, son comunes, es decir, 2y. Para encontrar el otro factor dividimos el
termino común y la expresión original 24 8 2x y xy y entre 2y, dando como
resultado, 22 4 1x x que representa al segundo factor.
4) Factorizar el polinomio 3 2 2 2 26 12 24x y x y xy
Solución: El máximo factor común es 26xy .
3 2 2 2 2
3 2 2 2 2 22 2 2
6 12 246 12 24 6
6 6 6
x y x y xyx y x y xy xy
xy xy xy
= 2 26 ( 2 4)xy x x
II. Diferencia de cuadrados
El producto de los factores ( )a b y ( )a b es 2 2a b , es decir, la diferencia de
dos términos cuadrados perfectos. Los factores de una diferencia de
cuadrados son la suma y diferencia de raíces cuadradas respectivas de
dichos cuadrados.
Ejemplo 1) Factorizar 29 4a .
Solución: La raíz cuadrada de 29a es 3a y la de 4 es 2.
60
Por consiguiente, 29 4 (3 2)(3 2)a a a
Ejemplo 2) Factorizar completamente 4 481x y .
Solución: 4 4 2 2 2 281 ( 9 )( 9 )x y x y x y
2 2( 9 )( 3 )( 3 )x y x y x y
Ejemplo 3) Factorizar completamente 46 6x .
Solución: 4 46 6 6( 1)x x
2 26( 1)( 1)x x
26( 1)( 1)( 1)x x x
Ejemplo 4) Factorizar completamente 2 24( 3)x y
Solución: 2 24( 3) [ 2( 3)][ 2( 3)]x y x y x y
( 2 6)( 2 6)x y x y
III. Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c.
Cuando desarrollamos el producto de binomios con término común obtenemos
como resultado un trinomio de la forma x2 + bx + c. Para factorizar el trinomio,
tenemos que encontrar el par de binomios que lo originaron, siguiendo el siguiente
procedimiento:
1. El primer término de ambos factores será la raíz cuadrada del primer
término.
2. Los otros dos términos deberán cumplir las siguientes condiciones:
Dos números que multiplicados den el valor del tercer termino del
trinomio (c).
Y sumados deben ser igual al coeficiente del segundo término del
trinomio (b).
61
Ejemplo: x2 + 5x + 6.
Dos números que multiplicados nos den x2, es decir, 2x ;. (x ) (x ).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (6) y sumados nos
den el coeficiente del segundo termino (5). (x + 3) (x + 2).
Entonces la factorización del trinomio x2 + 5x + 6 = (x + 3) (x + 2).
Ejemplo: a2 + 9a + 20.
Dos números que multiplicados nos den a2, es decir, 2a ;. (a ) (a ).
Dos números que multiplicados nos den el tercer termino (20) y sumados
nos den el coeficiente del segundo termino (9). (a + 5) (a + 4).
Entonces la factorización del trinomio a2 + 9a + 20 = (a + 5) (a + 4).
IV. Factorización de un trinomio de la forma ax2 + bx + c.
Para factorizar trinomios de la forma ax2 + bx + c, aplicamos la siguiente regla: El trinomio se factoriza en dos factores binomios cuyos primeros términos son aquellos que multiplicados den como producto el primer termino del trinomio dado; los segundos términos de los binomios son aquellos que multiplicados den lugar al tercer termino del trinomio, pero que el producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores, al sumarse algebraicamente den como resultado el termino central del trinomio.
Ejemplos: Factorizar los siguientes trinomios de la forma ax2 + bx + c.
a) 3x2 + 14x + 8 = Se determinan los primeros términos de los factores
binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (3x2) el primer termino
del trinomio, dichos términos son (3x)(x); los segundos términos de los
binomios son aquellos que multiplicados den (8) el tercer termino del
trinomio, dichos términos pueden ser (1)(8) y (2)(4), siendo la ultima
proposición la que cumple la condición de que la suma algebraica del
producto de los términos extremos e interiores de los binomios factores
resulte (14x) el termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización
es:
3x2 + 14x + 8 = (3x + 2) (x + 4)
62
b) 5x2 - 11x - 36 = Se determinan los primeros términos de los factores
binomios, siendo aquellos que multiplicados resulte (5x2) el primer termino
del trinomio, dichos términos son (5x)(x); los segundos términos de los
binomios son aquellos que multiplicados den (-36) el tercer termino del
trinomio, dichos términos pueden ser (-36)(1), (-18)(2), (-12)(3), (-9)(4), (-
6,6), (36)(-1), (18)(-2), (12)(-3), (6)(-6) y (9)(-4), siendo la ultima proposición
la que cumple la condición de que la suma algebraica del producto de los
términos extremos e interiores de los binomios factores resulte (-11x) el
termino central del trinomio dado. Por lo que su factorización es:
5x2 - 11x - 36 = (5x + 9) (x - 4)
V. El Tri perfecto (trinomio cuadrado perfecto)
Para que un trinomio sea cuadrado perfecto, se deben cumplir tres
condiciones:
1. Debe tener tres términos.
2. Debe tener raíz cuadrada exacta el primer y tercer término.
3. La doble multiplicación de la raíz del primer por el tercer término es el segundo término del trinomio original.
Ejemplo: Factoriza: 25 70 49
Primer paso: Verifica que éste sea un trinomio cuadrado perfecto (checando las condiciones).
Sí es un trinomio: 25 70 49
Sí tienen raíz cuadrada exacta el primer y el tercer términos: 5 7
Sí es el mismo resultado del segundo término del trinomio original
70x y la doble multiplicación de la primera raíz y la tercera raíz
2(5x)(7) = 70x
Segundo paso: Coloca el resultado
25 70 49 5 7 Se toma el signo que contiene el segundo
término del trinomio original.
63
VI. Suma y diferencia de cubos
La suma o diferencia de cubos es el resultado de la multiplicación de un binomio por un trinomio.
Suma y diferencia de cubos factores
Identificamos como suma de cubos a un binomio cuyos términos son cubos perfectos y tienen signos positivos; cuando poseen signos diferentes se trata de una diferencia de cubos. Los binomios y son suma y diferencia de cubos, respectivamente, debido a que ambos términos son cubos perfectos por tener raíz cúbica:
√ y
Ejemplo 1 Factorizar
Solución: El binomio es una suma de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signo positivo. Las raíces son: √8 2 y 27 3
Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el
modelo escrito arriba, el binomio es: 2 3 .
El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio
y
El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga
Con signo contrario resulta
El trinomio factor es:
Finalmente, la factorización es:
64
Ejemplo 2 Factorizar
Solución: El binomio es una diferencia de cubos porque ambos términos tienen raíz cúbica y signos diferentes. Las raíces son: √27 3 y √1 1
Estas raíces son los términos del binomio factor y, de acuerdo con el
modelo escrito arriba, el binomio es: 3 1 .
El trinomio se forma a partir del binomio factor de la siguiente manera: dos de sus términos son el resultado de elevar al cuadrado los términos del binomio
y
El término restante es resultado de la multiplicación de los términos del binomio considerando el signo contrario al que se obtenga
Con signo contrario resulta 3
El trinomio factor es:
Finalmente, la factorización es:
VII. Factorización por agrupación.
Con frecuencia, es posible agrupar los términos de un polinomio de tal manera que cada grupo tenga un factor común, entonces el método de factores comunes es aplicable. Se utiliza este método en los ejemplos siguientes.
Ejemplo 1 Factorice byaybxax
Solución: Obsérvese que los dos primeros términos tienen el factor común x , y el tercero
y el cuarto tienen el factor común y . Por tanto, los términos se agrupan como a
continuación se indica )()( byaybxax y se procede como sigue:
)()( byaybxaxbyaybxax con x como factor común del primer
)()( baybax grupo con y como factor común del
))(( yxba segundo grupo y con ba como factor
Común de )( bax y )( bay .
65
Ejemplo 2 Factorice yxyxx 5102 2
Solución: )5(2102 2 xxxx y )5(5 xyyxy así que
)5()5(25102 2 xyxxyxyxx
)2)(5( yxx
Ejemplo 3 Factorice bababa 222 22
Solución: Ya que ))2(2 22 babababa y )(222 baba
Se procede como está indicado a continuación:
)22()2(222 2222 babababababa
)(2))(2( bababa
)22)(( baba
Ejemplo 4 Factorice 222 24 babac
Solución: )2(424 222222 babacbabac
22 )()2( bac
)](2)][(2[ bacbac
)2)(2( bacbac
Ejemplo 5 Factoriza 25 3 10 6a ax a x .
Asociando 2 25 3 10 6 5 10 3 6a ax a x a a ax x .
Para facilitar las operaciones algebraicas, el primer término de un polinomio debe
ser positivo, si es posible. En este caso, el segundo binomio es positivo; entonces
aplicamos la propiedad conmutativa.
25 10 3 6a a ax x
23 6 5 10ax x a a
Factorizando: 3 2 5 2x a a a
Y de nuevo factorizando: 2 3 5a x a
66
Ejemplo 6 Factorizar 12 20 9 15ax bx ay by
12 20 9 15 (12 20 ) (9 15 )ax bx ay by ax bx ay by
12 20 9 15 4 (3 5 ) 3 (3 5 )ax bx ay by x a b y a b
(3 5 )(4 3 )a b x y
I. Factorizar por factor común
1) 4 4x 2) 12 6x 3) 18 27x 4) 3 29 6x x 5) 3 3bx b
6) yzxzxy 826 7) 22 1555 yxyx 8) aa 23 9) ababba 9123 22
10) 2 2xy x y 11) 2 24 8xy x y 12) 2 2 24 12x y x y 13) 2 26 4 10x y xy xy
14) 3 2 32x x y xy 15) 3 2 2 3 2 24 2 6x y x y x y 16) ( ) ( )x a b y a b
17) 3( 3) ( 3)a x a 18) )12()12(4 xxx 19) )()(3 baxba
Ejercicios
Nombre Volviéndonos hábiles en la Factorización No. 5Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
67
II. Factorice completamente por diferencia de cuadrados:
1) 2 16x 2) 2 36x 3) 29 25x 4) 281 x 5) 236 1x
6) 24 81x 7) 22 169 yx 8) 2 49 4x y 9) 4 2 24 9a b c 10) 6 4a b
11) 24 649 yx 12) 46 4981 dc 13) 612 4121 th 14) 64100 64100 yx
15) 2 2 49x y y 16) 8 12 1036 9a b c 17) 4 416 81x y 18) 2 2( 1)x y
19) 4)3( 2 ba 20) 22 )( zyx
III. Completa la siguiente tabla:
Diferencia de cuadrados Binomios conjugados
1.
2. 9 81 3 9 3. 121 144 4. 25 16 5 4
5. 625 529 6. 7. √ √ 8. 3 2 √3 √2
IV. Factorizar los trinomios de la forma siguientes:
1) 2 3 2x x 2) 2 7 12x x 3) 2 8 15x x 4) 2 9 20x x
5) 1892 xx 6) 1072 xx 7) 32122 xx 8) 30132 xx
9) 2 4 21x x 10) 2 12 45x x 11) 2 3 18x x 12) 2 8 12x x
13) 22 3212 yxyx 14) 22 96 yxyx 15) 22 2712 yxyx
16) 2 29 14x xy y 17) 2 211 28x xy y 18) 4 23 10x x 19) 4 27 8x x
20) 8118 24 xx 21) 2)(3)( 2 yxyx 22) 18)3(9)3( 2 yxyx
68
V. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Encuentra también el perímetro de cada rectángulo:
1. 2.
VI. Factorizar los trinomios de la forma siguientes
a) 22 3 1x x b) 23 7 2x x c) 22 7 6x x d) 22 11 5x x
e) 23 4 1x x f)
24 9 2x x g) 22 5 2x x h) 23 11 6x x
i) 24 8 6x x j) 22 15 8x x k) 23 7 6x x l) 24 5 6x x
m) 22 7 4x x n) 24 15 4x x ñ) 24 19 12x x o) 26 5 4x x
p) 26 23 18x x q) 26 7 2x x r) 26 11 4x x s) 26 31 18x x
t) 2 23 16 12x xy y u) 2 23 7 6x xy y v) 2 24 8 5x xy y w) 2 26 5 6x xy y
x) 4 25 8 4x x y) 4 22 5 12x x z) 4 28 29 12x x
VII. Si el área de cada rectángulo está representada por el trinomio correspondiente, determina los lados de cada uno de los rectángulos siguientes. Halla también el perímetro de cada rectángulo:
1. 2.
3 2
7 10
3 8 3
12 17 6
69
VIII. Factorizar los siguientes trinomios cuadrados perfectos:
1. 14 49 8. 64 112 49
2. 16 64 9. 16 64 3. 2 1 10. 26 169 4. 4 4 11. 16 8 1 5. 6 9 12. 9 12 4 6. 8 16 13. 18 81 (primero factorice por factor común)
7. 14 49 14. 24 144
IX. Si el área de cada cuadrado está representada por el trinomio cuadrado perfecto correspondiente, determina el lado y el perímetro de los cuadrados siguientes.
1. 2. 3.
X. Completa los espacios en blanco que llevan a la factorización de las expresiones indicadas:
1. 64
Ya que √ ________________ y √64 _____________
La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:
64 (______________) (____________________________)
2. 8 216
Ya que √8 ________________ y 216 _____________
La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:
2 1
6 9
10 25
70
8 216 (______________) (____________________________)
3. 27 125
Ya que 27 ________________ y √125 _____________
La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:
27 125 (______________) (____________________________)
4. 343 8
Ya que √343 ________________ y √8 _____________
La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:
343 8 (______________) (____________________________)
5. 2 27
Ya que 2 ________________ y 27 _____________
La expresión es una ________________________________ ya que se factoriza como:
2 27 (______________) (____________________________)
XI. Factorizar por agrupación los siguientes polinomios:
1) ayaxyx 33 2) cycxayax 22 3) bybxayax 4) yxyx 2222
5) byaybxax 6) bybxayax 22 7) bybxayax 362
8) zyxazayax 9) bbybxaayax 666333
10) azzyxayax 63242 11) yxyxx 5252 2 12) yxyxx 4123 2
13) 222 aabba 14) 332 xxx 15) 242 2 xxx
16) 123 xxx 17) 632 23 xxx 18) xxxx 22 234
71
1. Simplificación de fracciones algebraicas 2. Suma y resta de fracciones algebraicas 3. Multiplicación y división de fracciones algebraicas
1. A simplificar fracciones algebraicas 2. A sumar y restar fracciones algebraicas 3. Operaciones con multiplicación y división de fracciones.
Competencia
2 OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
Simplificación de fracciones algebraicas Suma y resta de fracciones algebraicas Multiplicación y división de fracciones algebraicas Fracciones complejas algebraicas
Saberes
Ejercicios
72
SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS
Se dice que una fracción está en términos mínimos o en su forma más simple si el numerador y el denominador no tienen factor común. Así podemos determinar si una fracción está en sus términos mínimos expresando el numerador y el denominador como productos de sus factores primos. Cualquier factor que aparezca tanto en el numerador como en el denominador, puede entonces ser
removido por división. Esto es,
Nota: Los números a y c en la expresión bc
ac son factores del numerador, no
términos como en a + c. También los números b y c son factores del denominador, no términos.
La fracción cb
ca
no se puede reducir a ninguna forma más simple; no es
igual a b
a ni a 1
1
b
a. Análogamente,
6
5
6
5 b
a
ba
Pero
a
b
a
b
a
a
a
ba
66
5
66
5
6
5
Saberes
Nombre Simplificación de fracciones algebraicas No. 1Instrucciones para
el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una fracción algebraica
Manera didáctica de lograrlos
Mediante exposición y
tareas
73
Para encontrar el máximo factor común, M.F.C., de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores comunes, cada uno con el mínimo exponente con que aparece en los polinomios dados.
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador y denominador son monomios, se dividen tanto el denominador entre su máximo factor común.
Ejemplo 1:
Reducir 3
23
54
36
abc
cba a sus términos mínimos.
Solución. El máximo factor común de los monomios cba 2336 y 354abc es abc18 .
Dividiendo numerador y denominador entre 18abc, se obtiene.2
2
3
23
3
2
54
36
c
ba
abc
cba .
Ejemplo 2: Reducir a su mínima expresión. 42
63
220
236
xxy
xyx.
Solución. El máximo factor común es 24 2 xxy .
Al dividir el numerador y denominador entre 24 2 xxy , obtenemos
3
42
42
63
25
9
220
236
x
yx
xxy
xyx
Para reducir a sus términos mínimos una fracción cuyo numerador o denominador o ambos son polinomios, se factorizan completamente, se determina su máximo factor común y luego se dividen por este.
Ejemplo 3: Reducir 22
232
12
1830
yx
xyyx a sus términos mínimos.
74
Solución. 22
232
12
1830
yx
xyyx 22
2
12
356
yx
xyxy
Dividiendo el numerador y denominador por 26xy , se obtiene
22
232
12
1830
yx
xyyx 22
2
12
356
yx
xyxy
x
xy
2
35 .
Ejemplo 4: Reducir yxyx
yx423
3
4836
24
a su mínima expresión.
Solución. yxyx
yx423
3
4836
24
xyyx
yx
4312
243
3
Se dividen numerador y denominador entre 12x3 y para obtener
yxyx
yx423
3
4836
24
xyyx
yx
4312
243
3
xy 43
2
.
Ejemplo 5: Reducir 1
322
2
x
xx a su mínima expresión.
Solución. Al factorizar el numerador y denominador, obtenemos
1
322
2
x
xx 11
132
xx
xx
Dividiendo el numerador y el denominador, entre su máximo factor común, 1x ,
1
resulta 1
322
2
x
xx
11
132
xx
xx
2 3
1
x
x
1
75
Nota La fracción 1
32
x
x esta reducida; el numerador y el denominador no
poseen ningún factor común.
Notas:
1. ababba
2. 222 ababba 3. 333 ababba
Ejemplo 6:
1
ab
ab
ab
ba
Hay que observar también que b
a
b
a
b
a
.
Ejemplo 8: Reducir 2
2
472
3148
xx
xx
.
Solución. 2
2
472
3148
xx
xx
2
32
412
3241
412
3214
x
x
xx
xx
xx
xx
xx 4114
76
I. Reducir las siguientes fracciones a sus términos mínimos:
1. 3
6
x
x 2.
7
2
x
x 3.
2
5
12
8
x
x 4.
6
3
24
9
x
x
5. 252
34
63
54
cba
cba 6.
386
548
80
64
zyx
zyx 7.
ba
abc2
3
15
20
8.
44 5
73
a b
ab
9. 222
33
6
2
ba
ba 10.
23
32
6
3
ab
ba 11.
2
33
6
3
bax
bax
12. 3
22
216
212
xx
xx
13. 42
223
21
14
yxxy
yxyx
14. 32
2
3216
168
xx
xx
15. baa
abba23
22
44
22
16. 2
22
)3(
9
ba
ba
17. 34
12
2
xx
x 18.
96
24112
2
xx
xx 19.
43
24102
2
xx
xx 20.
94
121122
2
x
xx
21. 143
122
2
xx
xx 22.
3114
2742
2
xx
xx
Ejercicios
Nombre A simplificar fracciones algebraicas No. 1Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
77
Respuestas a los ejercicios anteriores
1. 3x ; 3.
3
2 3x; 5.
cb
a2
2
7
6; 7.
a
c
3
4 3
; 9. b
a
9
2 5
11.
2
)(2 bax ; 13.
2
2
)(3
2
yx
x
; 15.
a
b
2;
17. 3
1
x
x; 19.
1
6
x
x; 21.
13
12
x
x
II. Señalar la respuesta correcta de las siguientes preguntas:
1. Al simplificar la fracción la respuesta correcta es:
a) b) c) d)
2. Al simplificar la fracción el resultado es:
a) b) c) d)
3. La simplificación de la fracción algebraica
es:
a) b) c) d)
78
ADICCIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS.
La adicción de fracciones algebraicas es semejante a la de fracciones aritméticas. Empezaremos tratando la suma de fracciones algebraicas con denominadores iguales, y luego, extenderemos el análisis a la suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos.
FRACCIONES CON DENOMINADORES IGUALES.
Se define la suma de fracciones con denominadores iguales mediante la
relación.
c
ba
c
b
c
a
Esto muestra que la suma de dos fracciones con el mismo denominador es
una fracción cuyo numerador es la suma de los numeradores, y cuyo denominador
es el denominador común.
Ejemplo 1: Efectuar xx
23
Saberes
Nombre Suma y resta de fracciones algebraicas No. 2
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar una suma y resta de fracciones algebraicas y simplificarlas
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
79
Solución. xx
23
xx
523
Observación. Para evitar errores al sumar los numeradores, es necesario encerrarlos entre paréntesis, aplicar la ley distributiva y luego efectuar operaciones.
Después de combinar las dos fracciones en una sola, se reducen términos semejantes y la nueva fracción a su mínima expresión.
Ejemplo 2: Efectuar
Solución.
xx
x
x
xx
x
xx 1
2
2
2
33
2
33222
Ejemplo Efectuar 2
2
2
4
x
x
x
Solución. 2
2
2
4
x
x
x
2
2
22
2
24
x
x
x
x.
Ejemplo 3: Efectuar 2
2
2
22
2
2
2
xx
xx
xx
x
Solución.
2
2
2
22
2
2
2
xx
xx
xx
x 2
22
2
22
2
2222
22
2
22
xx
x
xx
xxx
xx
xxx
2
2
12
12
xxx
x.
Ejemplo 4: Efectuar 3114
35
3114
92
2
2
2
xx
xx
xx
xx
80
Solución. 3114
35
3114
92
2
2
2
xx
xx
xx
xx 3114
359
3114
3592
22
2
22
xx
xxxx
xx
xxxx
14
4
314
34
314
34
3114
4122
2
x
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx.
Observación. La regla para sumar fracciones se puede extender a cualquier número de ellas.
c
a
c
a
c
a 321 c
a
c
a
c
aa
c
an
321 c
aaaa n 321
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS.
Para obtener el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de un conjunto de números, se descomponen éstos en sus factores primos y se escriben con sus exponentes respectivos. Luego se toman todas las bases, cada una a su potencia mayor.
Definición. Un polinomio p es el mínimo común múltiplo (m.c.m.), de un conjunto de polinomios, si:
1. Cada polinomio del conjunto divide a p y
2. Cualquier polinomio divisible por todos los polinomios del conjunto, es también
divisible por p.
Para encontrar el m.c.m. de un conjunto de polinomios, se factorizan los polinomios completamente y se toman todos los factores distintos, cada uno a la máxima potencia que aparezca en los polinomios dados.
Ejemplo 1 Determinar el m.c.m. de x2y, xy3 y y2z.
Solución. Los factores literales son x, y y z. La potencia máxima de x es 2, la
de y es 3, y la de z es 1. Por consiguiente, m.c.m. = x2y3z.
Ejemplo 2 Hallar el m.c.m. de 60x3, 72y2 y 80xy.
Solución. 53260 2
81
23 3272
5280 4
Por lo tanto, el m.c.m. de los coeficientes = .720532 24
El m.c.m. de los monomios 23720 yx .
Ejemplo 3 Determinar el m.c.m. de x(-2), (x-3)(x-2) y (x-2)2.
Solución. Los factores distintos son x, (x-2) y (x-3).
La mayor potencia de x es 1, la de (x-2) es 2, y la de (x-3) es 1.
Por consiguiente, m.c.m. = x(x-2)2 (x-3).
Obsérvese que el m.c.m. de (x-3) y (x-5) es (x-3)(x-5).
Ejemplo 4 Encontrar el m.c.m. de x2-x y x2-1.
Solución. Primeramente se factoriza cada polinomio completamente.
12 xxxx
1112 xxx
Por lo tanto, m.c.m. = 11 xxx .
Ejemplo 5 Hallar el m.c.m. de 2x2 + 3x-2 y 2x2-7x+3.
82
Solución.
212232 2 xxxx
312372 2 xxxx
Entonces, m.c.m. = 3212 xxx .
Ejemplo 6 Obtener el m.c.m. 132 2 xx , 21 x y 12 2 xx .
Solución.
112132 2 xxxx
11212
1112
2
xxxx
xxx
Puesto que 11 xx , podemos escribir x1 como 1 x o bien, 1x
como x 1 .
Reacuérdese que .11 xx
Por lo tanto, 112132 2 xxxx
111 2 xxx
A si que, m.c.m. 1112 xxx .
11212 2 xxxx
83
FRACCIONES CON DENOMINADORES DISTINTOS.
Las fracciones se pueden sumar solamente cuando sus denominadores son iguales. Si los denominadores no lo son, se obtienen su mínimo común múltiplo, llamado mínimo común denominador, m.c.d. (no confundir con M.C.D. que significa máximo común divisor). Se cambia cada fracción a una equivalente que
tenga el m.c.d. Como denominador mediante la regla, bc
ac
b
a y luego se
efectúan operaciones. La suma de fracciones algebraicas con denominadores distintos es, por lo tanto, una fracción cuyo numerador es la suma de los denominadores de las fracciones equivalentes, y cuyo denominador es el mínimo común denominador (m.c.d.). La fracción final debe conducirse a sus términos mínimos.
Ejemplo 1 Efectuar xxx 3
26
2
72
Solución. El m.c.d. =6x2.
Escribimos fracciones equivalentes con denominador 6x2 y luego se realizan
operaciones.
xxx 3
26
2
72
xx
x
xxx
x
23
22
6
66
32
372
222 6
22
6
66
6
37
x
x
xx
x
222 6
3617
6
43621
6
226637
x
x
x
xx
x
x
.
Ejemplo 2 Efectuar la operación y simplificar 2
2
3
xx
x
Solución. El m.c.d. = 23 xx .
Al escribir fracciones equivalentes con denominador 23 xx y efectuar luego
la suma, obtenemos.
2
2
3
xx
x
32
32
23
2
xx
x
xx
xx
23
622
23
322 2
xx
xxx
xx
xxx
23
6
xx
x.
84
En vez de escribir fracciones equivalentes con denominador igual al m.c.d. y luego combinar los numeradores de las fracciones, escribimos una sola fracción con el m.c.d. como denominador. Se divide el m.c.d. por el denominador de la primera fracción y luego se multiplica el cociente resultante por el numerador de esa fracción para obtener la primera expresión del numerador. Se repite el procedimiento con cada fracción y se relaciona con los resultados mediante los signos de las fracciones correspondientes.
Ejemplo 3
234
13642092
23
136
34
209
xxx
xxxx
xx
x
xx
x
El numerador no se encuentra factorizado; así no es posible efectuar reducción.
Hay que asegurarse de poner el producto entre paréntesis procedió por el signo
adecuado.
234
521164029 22
xxx
xxxx
234
521164029 22
xxx
xxxx
234
343
234
12133 2
xxx
xx
xxx
xx
24
43
xx
x.
85
Ejemplo 4 Efectuar la operación y simplificar.
222 34
5
492
23
12
2
xxxx
x
xx
x
Solución.
222 34
5
492
23
12
2
xxxx
x
xx
x
xxxx
x
xx
x
14
5
412
23
112
2
Tomamos el m.c.d. 4112 xxx
xxxx
x
xx
x
14
5
412
23
112
2
xxxx
x
xx
x
14
5
412
23
112
2
4112
12523124
xxx
xxxxx
4112
51025386 22
xxx
xxxxx
4112
51025386 22
xxx
xxxxx
4112
121
4112
21 2
xxx
xx
xxx
xx
4
1
4112
121
xxxx
xx.
86
I. Subraya la respuesta correcta de cada una de las siguientes preguntas:
1. Al sumar las fracciones algebraicas el resultado es:
a) b) c) d)
2. Al restar las fracciones el resultado es:
a) b) c) d) 0
3. Al sumar y simplificar las fracciones el resultado es:
a) b) c) d)
Ejercicios
Nombre A sumar y restar fracciones algebraicas No. 2Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
87
4. Al efectuar la simplificación de las fracciones
resulta:
a) b) c) d)
5. Al sumar y simplificar las fracciones resulta:
a) b) c) d)
II. Realizar las siguientes sumas con fracciones con igual denominador:
1. xxx
526 2.
xxx 2
1
2
3
2
7 3.
222
51520
xxx
4. 53
5
53
2
xx
x 5.
22
1
x
x
x
x 6.
32
2
32
23
x
x
x
x
7. 27
27
27
14
x
x
x
x 8.
1
2
1
2
xx
x 9.
2525
34 22
x
xx
x
xx
10. 24
1
24
13
x
x
x
x 11.
52
6
52
43
x
x
x
x 12.
xx
x
xx
x
84
4
84
422
13. 43
3
43
1222
xxxx
x 14.
352352
222
2
xx
x
xx
x
15. 6112
3
6112
322
2
2
2
xx
xx
xx
xx 16.
2323
32
2
2
2
xx
xx
xx
xx
88
Respuesta a los ejercicios impares anteriores
1. x
3; 3. 0 ; 5.
2
1
x; 7. 1; 9. x ; 11. 2 ; 13.
4
2
x; 15.
12 x
x ;
III. Reducir a una sola fracción y simplificar:
1. xxx 5
6
2
73 2.
y
x
y
x
y
x
5
2
2
3 3.
xxx 5
64
3
22 4.
22 2
1
3
133
xxx
5. x
x
x
x
2
2
5
13
6.
x
x
x
x
10
5
4
2
7.
x
x
x
x
7
3
14
67
8.
25
15
3
3
x
x
x
x
9. 2
54
xx 10.
4
5
3
3
xx 11.
32
3
2
xx
x 12.
2
1
32
xx
x
13. 1
1
32
2
xx 14.
1
1
12
2
xx
x 15.
39
62
x
x
x
x 16.
22
32
x
x
xx
x
17. 12
2
472
832
xxx
x 18.
9
18
12
722
xxx
x 19.
45
2
43
2322
xx
x
xx
x
20. 2
4
2
3
4
442
xxx
x 21.
4
1
152
11
127
7222
xxx
x
xx
x
Respuesta a los ejercicios impares anteriores
1. x10
7; 3.
215
6028
x
x ; 5.
x
x
10
811 ; 7.
14
5; 9.
2
)1)(3(
x
xx; 11.
)32)(2(
62 2
xx
x;
13. )1)(32(
5
xx; 15.
3x
x; 17.
)4)(12( xx
x
89
MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES.
El producto de las fracciones b
a y d
c se define como bd
ac ; o sea bd
ac
d
c
b
a .
Así que el producto de dos fracciones es una fracción cuyo numerador es el
producto de los numeradores, y cuyo denominador es de los denominadores. En
general,
n
n
n
n
b
a
b
a
b
a
bb
aa
b
a
b
a
b
a
b
a
4
4
3
3
21
21
3
3
2
2
1
1
n
n
b
a
b
a
bbb
aaa
4
4
321
321
n
n
bbbb
aaaa
321
321
Nota: Redúzcase siempre la fracción resultante a sus mínimos términos.
Saberes
Nombre Multiplicación y división de fracciones algebraicas No. 3Instrucciones para
el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para desarrollar una multiplicación o división con fracciones algebraicas
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
90
Ejemplo 1 Encontrar el producto yx
ba2
23
8
27 y
22
2
81
16
ba
yx.
Solución. b
ax
byax
yxba
ba
yx
yx
ba
3
2
818
1627
81
16
8
27322
323
32
3
2
23
Nota: Es más fácil reducir 818
1627
que 648
432, que es el resultado de los productos
de los coeficientes.
Es decir, no se puede multiplicar los números hasta que la fracción haya sido
simplificada.
Ejemplo 2 Simplificar
333
223
2323
3422
9
4
2
3
yx
yx
yx
yx
.
Solución.
333
223
2323
3422
9
4
2
3
yx
yx
yx
yx
3332
2232
2323
3422
3
2
2
3
yx
yx
yx
yx
.
996
464
646
1266
3
2
2
3
yx
yx
yx
yx
·
·
Para multiplicar fracciones cuyos numeradores o denominadores son polinomios, primeramente se factorizan estos completamente. Se consideran las fracciones como una sola, y se dividen los numeradores y denominadores por su máximo factor común para obtener una fracción equivalente ya reducida.
91
Ejemplo 3 Simplificar 3103
16
5112
32
2
2
2
xx
xx
xx
xx.
1 1 1
Solución. 3103
16
5112
32
2
2
2
xx
xx
xx
xx
5133
1213
512
3
x
x
xx
xx
xx
xx.
1 1 1
DIVISIÓN DE FRACCIONES
De la definición de división de fracciones, tenemos que:
a c a d
b d b c .
El resultado anterior muestra como transformar la división de fracciones en una multiplicación de fracciones.
Las fracciones d
c y c
d se llaman inversas multiplicativas o reciprocas.
Nota: La reciproca de la expresión a + b es ba
1 , no ba
11 .
La reciproca de ba
11 es
ba
111
o en forma simplificada,
ab
ab
.
ab
ab
baba
111
111
ab
ab
b
ab
a
abab
ba
abab
11
1
Ejemplo 1 Simplificar b
a
b
a
20
9
5
3 2
2
3
.
Solución. b
a
b
a
20
9
5
3 2
2
3
3
2 2
3 20 4
5 9 3
a b a
b a b
92
Nota: Obsérvese la diferencia entre
bcf
ade
f
e
c
d
b
a
f
e
d
c
b
a y
bce
adf
ce
df
b
a
df
ce
b
a
f
e
d
c
b
a
.
Ejemplo 2 Simplificar 35376
72012
15174
3282
2
2
2
xx
xx
xx
xx.
Solución. 35376
72012
15174
3282
2
2
2
xx
xx
xx
xx
765
7612
534
3412
xx
xx
xx
xx
Poniéndolo como un producto:
1 1 1 1
2 1 4 3 ( 5) 6 71
4 3 5 (2 1) 6 7
x x x x
x x x x
1 1 1 1
Ejemplo 3
2 2 2
2 2 2
24 49 40 36 63 88 72 18 77
54 51 14 27 30 8 8 37 20
x x x x x x
x x x x x x
Solución:
2 2 2
2 2 2
24 49 40 36 63 88 72 18 77
54 51 14 27 30 8 8 37 20
x x x x x x
x x x x x x
Es mejor ponerla toda como un producto
(8 5)(3 8) (3 4)(9 2) (6 7)(12 11)
(6 7)(9 2) (12 11)(3 8) (8 5)( 4)
x x x x x x
x x x x x x
3 4
4
x
x
93
OPERACIONES COMBINADAS Y FRACCIONES COMPLEJAS.
En las secciones anteriores tratamos la adición y sustracción de fracciones, así como su multiplicación y división. En todos los casos la respuesta final fue una fracción en forma reducida. En esta sección se usaran las cuatro operaciones en un solo problema y también se requerirá que la respuesta final sea una fracción reducida.
Cuando no hay símbolos de agrupación en el problema, primero se efectuaran las multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen. Solamente después de que todas las multiplicaciones y divisiones se han realizado, se efectúan las adiciones y sustracciones.
Ejemplo 1 Efectuar las operaciones indicadas y simplificar:
132
352
34
62
12
52
2
2
xx
xx
xx
x
x
Solución.
132
352
34
62
12
52
2
2
xx
xx
xx
x
x
112
312
13
32
12
5
xx
xx
xx
x
x
1 1 1
·
1 1 1
312
12235
3
2
12
5
xx
xx
xx 312
17
312
24155
xx
x
xx
xx.
Cuando hay símbolos de agrupación, como en el problema
2
123
2
4
xx
xx
94
se tiene la opción de efectuar primero la multiplicación o bien las operaciones de
los términos, dentro de los paréntesis. Este último es mas sencillo como se ilustra
en los ejemplos siguientes:
Ejemplo 2 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
2
123
2
4
xx
xx
Solución.
2
123
2
4
xx
xx
2
1263
2
42
2
1223
)2(
42 2
x
x
x
xxx
x
x
x
xxx
x
x
x
x
xx
x
x
x
xx3
2
23
2
2
2
63
2
22
.
Ejemplo 3 Realizar las operaciones indicadas y simplificar:
92
9
32
9
xx
xx
Solución.
92
9
32
9
xx
xx
92
992
32
932
x
xx
x
xx
332
923
332
92
32
332
92
992
32
932 22
xx
xx
xx
x
x
xx
x
xx
x
xx
Nota: Puesto que dcba se puede escribir como dc
ba
, podemos expresar
22
443
6113
xxxx en la forma
2
2
443
6113
xx
xx
la cual se llama fracción compleja.
95
Dada una fracción compleja, es posible simplificar el problema como está, en forma de
fracción, o escribirlo en forma de división, y simplificar. A veces puede simplificarse fácilmente
una fracción compleja multiplicando numerador y denominador por el mínimo común múltiplo
de todos los denominadores que intervienen.
Ejemplo 4 Simplificar
18
11
12
78
3
9
4
.
Solución.
2
5
2
5
4442
2732
18
11
12
7
1
728
3
9
4
1
72
18
11
12
78
3
9
4
Ejemplo 5 Simplificar
53
1223
13
135
xx
xx
Solución.
53
1223
13
135
xx
xx
12235313
1351353
53
1223
1
531313
135
1
5313
xxx
xxx
xx
xxx
xxx
1313
453
132313
42353
29913
814353
12109913
135143532
2
2
2
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
96
I. Efectué las siguientes multiplicaciones y simplifique:
1. 27
20
32
39
65
36 2.
128
15
125
58
87
64 3.
x
y
y
x 2
3
2 2
4
9
4. 63
82
42
32 7
21
4
ba
yx
yx
ba 5.
27
8
68
35
3
3
28
16
60
26
39
35
ba
xy
yx
ba
ba
yx 6.
2
3
3
2
2
x
y
y
x
7.
33
332
32
22
2
3
9
4
yx
yx
xy
yx 8.
432
22
24
323
3
5
10
6
yx
xy
xy
yx 9.
204
3
26
3062
2
2
3
x
xx
xx
xx
10. 32
122
42
34
2
xx
yx
yx
xx 11.
158
209
127
962
2
2
2
xx
xx
xx
xx
12. 152
1610
149
21102
2
2
2
xx
xx
xx
xx 13.
xx
xx
xx
xx
1128
1342
1340
9202
2
2
2
Ejercicios
Nombre Operaciones con multiplicación y división con fracciones No. 3Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
97
14. 22
22
22
22
20193
673
3207
5367
yxyx
yxyx
yxyx
yxyx
Respuesta a los ejercicios impares anteriores
1. 2
1; 3.
y
x
2
9; 5.
45
3
9
2
xa
y; 7.
27
4 3xy
9.
4
3x; 11. 1 ; 13.
8
6
x
x;
II. Efectuar las siguientes divisiones con fracciones:
1. 15 45
26 39 2.
56 63 27
38 57 16 3.
2 3
2
10 4
9 27
x x
y y 4.
2 3 3
2 4
17 51
26 13
a b a b
x x
5.
2 3 4
2 6 3
6 15
8 12
a b a b
x y xy 6.
2 4 4 9
4 2 3 6
4 8
9 27
a b a b
x y x y 7.
3 4 3 2
2 2 2 2
x y a b b
a b x y y
8. 2 2 6
3 3
14 4
25 10
a b b
b a a 9.
3 2
2 2 2
4
3 3
x x
x xy x y
10.
3 3 2
2 2 2 1
x x x x
x x x x
11.
2 2
2 2
9 6 27
2 3 10 9
x x x
x x x x
12.
2 2
2 2
2 8 4 4
3 4 6 8
x x x x
x x x x
13.
2 2
2 2
4 12 10 6
7 6 7 8
x x x x
x x x x
14.
2 2
2 2
3 2 6 16
5 4 20
x x x x
x x x x
15.
2 2 2
2 2 2
12 35 18 6 23 18 4 19 12
2 17 36 6 19 36 12 11 36
x x x x x x
x x x x x x
Respuesta e los ejercicios impares anteriores
1. 1
2; 3.
15
2
y
x; 5.
2
2 3
3
5
b
a xy; 7.
2a xy ; 9. 4( )
3
x y; 11.
2
2
9
( 3)
x
x
; 13. 1;
15. (3 2)(4 3)
(2 9)(3 2)
x x
x x
98
III. Efectuar las siguientes fracciones complejas:
1. 1
2
82
33
3
22
2
2
x
xx
xx
x
x 2.
86
168
124
123
32 22
xx
xx
xx
x
x
x
3. 1
11
2
x
x
x 4.
19
26
2
x
x
x 5.
13
11
13
xx
6.
2
21
4
xxx 7.
23
2
3
43
x
xx
xx 8.
12
1
12
1
xx
xx
9.
2
952
1
31
xx
xx 10.
4
1
4
14
4 xxx
x
11.
12
97
12
32
xx 12.
32
33103
32
1143
xx
xx
13.
3
21
2
1
4
3
14.
18
1
36
14
3
8
7
15.
2
2
3114
1112
xx
xx
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 5 1
( 3)( 4)
x
x x
; 3. 1
1x ; 5. 3 ; 7. (3 2)x x ; 9. ( 2)(2 1)x x
11. 4 1
14 2
x
x
; 13. 3
4; 15.
4
4 1
x
x
99
1. Exponentes enteros, negativos y cero 2. Exponentes fraccionarios 3. Operaciones con radicales
1. A practicar los exponentes positivos, cero y negativos 2. A practicar los exponentes fraccionarios 3. A practicar los radicales
Competencia
3 EXPONENTES Y RADICALES
Exponentes positivos, cero y negativos Exponentes fraccionarios Simplificación de radicales Adición y sustracción de radicales Multiplicación y división de radicales
Saberes
Ejercicios
100
EXPONENTES ENTEROS POSITIVOS, CERO Y NEGATIVOS
LEYES DE LOS EXPONENTES
Sea an = a . a . a … a ( n factores)
La cantidad an es llamada la n-ésima potencia de la base a, y n es llamado el exponente.
En este capitulo extenderemos la definición de exponentes para incluir a todos los números racionales. Antes de pasar a nuevos exponentes, sin embargo recordaremos cinco leyes de los exponentes que son validas para los exponentes enteros positivos. La base a y b en el enunciado de las leyes pueden ser cualquier números reales para los cuales no se anule ninguno de los denominadores en consideración.
LEY I
LEY II si Ley III
si Ley IV
Saberes
Nombre Exponentes enteros, negativos y cero No. 1Instrucciones para
el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes enteros, negativos y cero
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
101
si Ley V 0
Ahora determinaremos qué significado hay que darle al símbolo a0. Si la Ley II ha de ser válida cuando m = n, tenemos
Esta división nos dará, de acuerdo con la Ley II, un exponente nulo. Pero cualquier número distinto de cero dividido por sí mismo tiene como cociente a 1. Esto nos conduce a definir el exponente cero de la siguiente manera:
Ley VI
Dividiendo ambos miembros de esta ecuación por an, tenemos
Ley VII
Miscelánea de problemas resueltos
Ejemplo 1: 3 · 3 3 3 243 Ejempo 2: 3 3 3 729
Ejemplo 3: 4 · 5 20 1 Ejemplo 4: 3 3
Ejemplo 5: 3 3 3 3 1
Ejemplo 6:
Ejemplo 7: 4 2 16 8 128
Ejemplo 8:
0aaa
a nnn
n
0a
103
I. Encuentre el valor de cada una de las expresiones, usando las leyes de
los exponentes.
1. 22 . 23 2. (23)2 3. 4‐1
4. (‐ 4)0 5. (2a)0 6. 3‐3
7. 52 . 5‐3 8. (52)‐2 9. (2 . 3)‐2
10. (4‐2)‐2 11. (‐3)‐2 12. (3 . 8)0
13.
1
7
1
14.
1
3
2
15. (2 . 70)‐4
Ejercicios
Nombre A practicar los exponentes positivos, cero y negativos No. 1Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
104
II. Simplifique cada expresión realizando las operaciones indicadas y dejando el resultado sin exponentes negativos o nulos.
16. (2xy)‐2(3xy3) 17. (x2y‐2)‐1(x3y0)2 18. (a b‐3)(a‐1b‐1)‐1
19. 22
12
ba
ba 20.
ba
ba41
221
2
3
21.201
322
10
5
ba
ba
22.
2
2
23
73
7
x
z
yz
x 23.
363
354
4
8
yx
yx 24.
32
23
5
10
yx
xy
25.
2
10
23
2
r
qp 26.
3
1
42
pq
qp 27.
1
2
03
r
qp
28. 1
11
2
32
29.
11
11
12
12
30. 1
11
3
53
31.
2 2
1 1
x y
x y
32.
2
2 2
y
x y
33.
2 2
2( )
x y
xy
Solución a los ejercicios impares anteriores:
1. 32 ; 3. 1
4; 5. 1 ; 7. 1
5; 9.
1
36; 11.
1
9; 13. 7 ; 15.
1
16; 17.
4 2x y
19. b ; 21. 2 52
5
a b ; 23.
3
3
8x
y; 25.
6 4
2
p q
r; 27.
2
3
r
p; 29. 3 ; 31.
2 2
1
xy x y
33. 2 2x y
105
EXPONENTES FRACCIONARIOS
En esta sección vamos a extender la idea de exponentes para incluir todos los números racionales. Sin embargo, antes de introducir los exponentes fraccionarios, necesitamos considerar la siguiente definición.
Definición. Si a y b son dos números tales que la n-ésima potencia de a
(siendo n un entero positivo) es igual a b, entonces a es llamada la n-
ésima raíz de b.
De acuerdo con esta definición, las ecuaciones
22 = 4, (-2)2 = 4, 33 = 27, (-3)3 = -27
muestran que +2 y - 2 son raíces cuadradas de 4, que 3 es una raíz cúbica de 27. Puesto que cuatro tiene dos raíces cuadradas, podría uno preguntarse cuántas raíces n-ésimas tiene un número. Aunque la demostración aparece posteriormente, enunciamos ahora que todo número no nulo tiene dos raíces cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, a y así sucesivamente. Pero algunas de estas raíces se refieren a un nuevo sistema numérico. Este nuevo sistema numérico, que introduciremos después, no es naturalmente el sistema de los números reales. Vemos de inmediato que un numero negativo no tiene raíz real de orden par (cuadrada, cuarta, sexta y así sucesivamente). Esto es cierto porque cualquier potencia par de un nuecero positivo o negativo es número positivo. ahora deseamos concentrar nuestra atención solamente en los
Saberes
Nombre Exponentes fraccionarios No. 2Instrucciones para
el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes fracciopnarios
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
106
números reales. Diferiremos para después, por tanto, la consideración de números y raíces de números que son reales.
En lo que se refiere a las raíces de los números, escribimos los siguientes enunciados, pero sin demostración:
1. Un numero positivo tiene exactamente dos raíces pares reales, siendo una
de ellas positiva y la otra negativa.
2. Un número positivo o negativo tiene exactamente una raíz de orden impar,
siendo el signo de la raíz igual al signo del número.
3. Un número negativo no tiene raíces reales de orden par.
Si n es un número entero positivo, par, la raíz positiva n-ésima principal de a. Cuando n es impar, la raíz n-ésima real de un numero positivo o negativo a es llamada la raíz n-ésima principal. La raíz n-ésima principal de un numero se
denota por .n a El símbolo n a es llamado un radical, a es llamado el radicando y n es llamado el índice, u orden del radical. Estamos excluyendo de nuestra consideración el caso en que el radicando es negativo y el índice es un número par.
Tenemos a continuación algunos ejemplos de raíces principales
,636 ,283 ,3814 2325
Observamos que -6 es raíz cuadrada de 36 y de -3 es una raíz cuarta de 81, pero
ninguna es raíz principal. El negativo de la n-ésima raíz principal de un numero
a se denota por n a . Por tanto, 3814 .
Estamos ahora en posición de de considerar exponentes de la forma m/n, donde m es un entero positivo o negativo y n es un entero positivo. Tomamos en primer lugar m = 1 y buscamos una interpretación de .1 na Si la Ley III ha de ser valida, tenemos
107
En esta ecuación muestra la n-ésima potencia de de na1 es igual a a, o bien,
que na1 es una n-ésima raíz de a. Especificando esta raíz como la n-ésima
raíz principal de a, tenemos por definición / √
En esta definición a puede ser cualquier numero real cuando n es impar, pero excluimos los valores negativos de cuando n es par.
Aplicando la Ley III nuevamente, con el entero m 1, tenemos
√
y, además,
√
Resumiendo, tenemos la siguiente definición:
Si m/n es un número racional con n positivo, entonces
√ √
La forma n ma significa la n-ésima raíz principal de am, y la forma mn a significa la m-ésima potencia de la raíz n-ésima principal de a. En cada forma el denominador n del exponente indica una raíz y el numerador m indica una potencia. Sin embargo, nuevamente notamos, que n representa aquí a cualquier entero positivo y m representa a cualquier entero positivo o negativo.
Iniciamos nuestro estudio de exponentes definiendo exponentes enteros positivos y estableciendo las cinco leyes de operación. Extendemos entonces las definiciones para incluir a todos los números racionales. Aunque demostraciones completas de las leyes de los exponentes se hicieron tan solo para los exponentes enteros de positivos, es puede demostrar que las leyes son validas para todos los exponentes racionales.
Suponiendo que la Ley III es valida para los exponentes racionales, podemos demostrar que un exponente fraccionario puede reducirse a términos mínimos. Así si m, n y c son enteros, n y c son no nulos, tenemos
108
Ejemplo 1. 4288 22332 o también 8 √8 √64 4
Ejemplo 2.
27
1
3
1
81
181
334
43 .
Ejemplo 3.
823232 33553 .
Ejemplo 4.
224543313545314335 yxyxyxyx .
Ejemplo 5.
c
ba
cb
a
cb
a
2
44 3132
31
322121
232
34
.
109
I. Encuentre el valor de cada expresión.
1. 2116 2. 254 3.
3164
4.
32
27
8
5.
23
9
4
6.
41
81
16
7. 5432 8. 4415 9. 4415
II. Simplifique cada expresión, dejando los resultados sin exponentes
negativos o nulos.
10. 3432 xx 11.
5354 xx 12. 3432 xx
13. 3223 55 14.
6141 xx 15. 112 yx
Ejercicios
Nombre A practicar los exponentes fraccionarios No. 2Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
110
16. 4852y 17. 4431 yx 18.
3/ 2 1 3/ 2
5/ 2 5/ 2 1/ 2
9
4
a b
a b
19. 214121
324331
16
27
ba
ba
20.
51 2 3 5
0 2 5
x y
x y
21. 353131
322123
8
4
yx
yx
Respuesta a los ejercicios impares anteriores
1. 1
4; 3.
1
4 ; 5.
27
8; 7. 16 ; 9. 5 ; 11.
1/5x ; 13. 5/65 ; 15.
2
y
x;
17. 4 3x y ; 19.
1/ 63
4
ab ; 21.
5/64x
y
LEYES DE LOS RADICALES
De los reyes de los exponentes pueden obtenerse ciertas leyes útiles de radicales. Damos aquí una lista de 6 leyes para radicales que son consecuencia inmediata de las leyes correspondientes para exponentes, que aparecen en la columna de la derecha. en estas formulas imponemos la restricción de que c, m y n sean enteros positivos, e imponemos la restricción d que a y b, sean tales que
Saberes
Nombre Operaciones con radicales No. 3Instrucciones para
el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga radicales, además de realizar operaciones con radicales.
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
111
no se anule dominador alguno y tales que ningún radical de orden par tenga radicándoos positivos.
I. aaan
nn n aaannnn 11
II. nnn baab nnn baab 111
III. n
n
n
b
a
b
a
n
nn
b
a
b
a1
11
IV. n mcn cm aa
nmcncm aa
V. nmn m aa mnnm aa 111
VI. nq npmqq pn m aaa
nqnpmqqpnm aaa /
SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES
Estas leyes pueden emplearse para hacer cambios necesarios en los radicales, de los cuales los más comunes son:
1. Remover factores del radicando.
2. Remover el denominador de un radicando.
3. Expresar un radical dentro de un signo radical.
4. Incluir a un factor dentro de un signo radical.
Un radical se dice que esta en su forma más simple cuando se han llevado a cabo, y hasta donde es posible, las operaciones 1,2 y 3. La operación 2 es llamada racionalizando el denominador.
112
En los ejemplos ilustrativos y ejercicios siguientes, supondremos que todos los números literales son positivos.
Ejemplo 1. Simplifiquemos los radicales 2375 ba y 73 8 yx .
Solución,
aabaabababa 353532575 22223
323 633 7 228 yxyxyxyxyx .
Ejemplo 2. Racionalicemos los denominadores de
5
2 y 3
22x
b
105
1
5
10
25
10
25
10
5
2
33
3 3
3
33
32
42
1
2
4
8
4
8
4
2bx
xx
bx
x
bx
x
bx
x
b .
Ejemplo 3. Reduzcamos el orden de los radicales
4 225a y 6 938 yx
Solución,
aaa 5525 4 24 2
xyyxyxyyx 2228 36 336 93 .
113
Ejemplo 4. Incluyamos el coeficiente de
24
112
xx ,
con la potencia apropiada, dentro del signo radical.
Solución.
144
114
4
112 2
22
2
x
xx
xx .
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE RADICALES
Radicales del mismo orden y mismo radicando son llamados radicales semejantes. Una suma algebraica de radicales semejantes puede ser expresada como un radical sencillo usando la ley distributiva. Radicales no semejantes se transforman en radicales equivalentes que son semejantes mediante las simplificaciones pertinentes. Radicales que no se pueden expresar como radicales semejantes pueden sumarse interponiendo entre ellos un signo de ( + ), pero su suma no puede escribirse como un radical único.
Ejemplo 1. √20 √45 √80 4 5 9 5 16 5
2√5 3√5 4√5 √5
Ejemplo 2.
2√18 6 √4 2 9 2 6 √2
22326
24 .
114
Ejemplo 3.
√2 3√16 √2 √2 – 6 √2 √2
6 √2 √2
Los radicales no semejantes 3 2a y a2 no pueden combinarse en un
radical único.
Ejemplo 4.
abab
aba
abba
b
b
a
1111.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE RADICALES.
Para multiplicar radicales de órdenes distintos, es necesario explicarlos como radicales equivalentes del mismo orden. El orden de los nuevos radicales deberá ser el M.C.M. de los órdenes de los radicales originales. El orden de un radical puede elevarse (formula IV. Sec. 7-4) multiplicando el orden del radical y el exponente del radicando por el mismo entero positivo mayor que 1.
Ejemplo 1. Multipliquemos 2 √2 por 5 √3
Solución.
33 33 23 6106103522 bababaa .
Ejemplo 2. Encontremos el producto 5345332 .
Solución. Los binomios tienen cantidades semejantes, y multiplicamos de la
manera usual.
2√3 3√5 4√3 √5 8√9 2√15 12√15 3√25
115
8 3 10√15 3 5
15109 .
Ejemplo 3. Encontramos el producto de 35 y 3 26 .
Solución. Expresamos primero cada radical como un radical de orden 6, que es el mínimo común múltiplo de los órdenes de los radicales dados. Así,
66 236 26 33 10830233023302635
En la multiplicación, los radicales de dos órdenes distintos deben ser primero convertidos en radicales del mismo orden. Consideramos la división de dos radicales como completa cuando el cociente no tenga radicales en el denominador y el radical del numerador, si lo hay, esta expresado en su forma más simple. El proceso de quitar radicales de un denominador es llamado racionalización del denominador.
Ejemplo 4. Encontremos el cociente de √6 entre √5 .
Solución.
305
1
55
56
5
6
5
6
,
o, alternativamente,
305
1
5
30
5
5
5
6 .
Ejemplo 5. Encontramos el cociente de 6 √5 dividido por 22 .
Solución.
. 66 36 233
2002
3
4
256
2
2
22
56
22
56
116
De otro modo, convirtiendo a exponentes fraccionarios, tenemos
66 326362
2121
2131
21
31
2002
325
2
3
4
256
222
256
22
56
.
Cuando el divisor es un binomio que contiene un radical de segundo orden en uno o ambos términos, racionalizamos el denominador multiplicando el dividendo y divisor por expresión adecuadamente elegida. Para este propósito, observamos
que el producto de ba y ba es una expresión radical a – b. Por tanto, un factor de racionalización del tipo en consideración se obtiene cambiando el signo de uno de los términos del divisor.
Ejemplo 6. Dividamos 3223 por 3324 .
Solución.
5
66
2732
18624
3324
3324
3324
3223
3324
3223
117
I. Exprese cada uno de los siguientes radicales en su forma más
simple.
1. 12 2. 3 16 3. 2420 ba
4. 3 4248 yx 5. 3 5464 yx 6. 54 432 yx
7. 3
2 8.
a5
3 9. 3
9
8
10. 3
4
3 11. 4
27
2 12. 33
2
x
13. 3
3
2
y
x 14. 3
4
4
9
2
y
x 15. 4
34
b
c
Ejercicios
Nombre A practicar con los radicales No. 3Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
118
16. 43
3
8a 17. 4 9 18. 44 81x
19. 6 96 8x y 20.
8 46 81x y 21. 42
9
x
II. Dando el coeficiente el exponente apropiado, inclúyalo dentro del
signo radical.
23. 2 3 24. 2x y 25. 2
42
4
xx
x
26. 5
2
3 2
9
a x
x a ; 27.
33a b
b a 28. 2
1 12
4a
a
III. Emplee las leyes de radicales adecuadas para expresar cada uno de los radicales repetidos como un radical único.
29. 3 3 30.
3 3a 31.32 16
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 2 3 ; 3. 22 5a b ; 5.
234xy xy ; 7. 1
63
; 9. 323
3; 11. 41
63
;
13. 23118
3xy
y; 15. 41
42
bcc
; 17. 3 ; 19. 2xy y ; 21. 1
3xx
23. 12 ; 25. 4 x ; 27. 3ab ; 29. 6 3 ; 31. 62 2
IV. Simplifique los radicales en cada uno de los siguientes problemas y combine entonces todos los radicales semejantes.
1. 183250 2. 122775 3. 28 3 63 112
4. 12475220 5. 286350 6. 8
122
2
1
119
7. 1227
13
3
1 8. 60
5
35
3
53 9. 3 3 32 16 54 50
10. 333 548116 11. xxx 21838 3
12. xyyxxy 33 164 13. 3642 753123 yxyxyx
14. 3 443 43 16542 baabab 15. 3 623 353 2 81243 babaa
16. 3 43 316 54 24a a a 17. 3 3 32 4 2 52 2 16ab a b ab
18. 2 34 25 20 5a a a 19. 62 2 343 9 27a a a
20. 66 343 2 4 4 6 8a a a 21. 1 2
2 2
x
x x
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 4 2 ; 3. 7 7 ; 5. 5 2 5 7 ; 7. 2 3 ; 9. 3 37 2 50 ; 11. (2 8) 2x x
13. 2 3(2 15 ) 3x x x y y ; 15. 32 2(1 2 3 ) 3ab b a ; 17.
3 2(1 2 ) 2a b ab
19. 3a ; 21. 3
22
xx
x
V. Multiplique como se indica y simplifique el resultado.
1. 72 2. 2872 3. 3053
4. 32 218 xyyx 5. 33 96 6. 3 23 43 aa
7. 33 2 416 aba 8. 3 23 9. 3 32
10. 4 82 11. 43 xxx 12. 33 322
120
13. 43 432 14. 332432 15. aa 33
16. Encuentre el valor de 762 xx si 23x
17. Encuentre el valor de 12 2 xx si 12 x
18. Encuentre el valor de 52 xx si 23
VI.. Efectué las divisiones y exprese cada resultado en su forma más
simple.
19. 763 20. 3311 21. xx 287 2
22. aa 315 4 23. 35220 xx 24. 33 4108
25. 3 23 272 aa 26. 33 4 415 xx 27. 3 33
28. 393 29. 3 22 baab
30.5
3515 31.
53
1
32.
23
1
33.
25
2
34. 57
57
35. 532
354
36. 2372
2273
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1. 14 ; 3. 15 2 ; 5. 33 2 ; 7. 34a b ; 9. 6 72 ; 11. 12x x 13.
32 3 ;
15. 9 a ; 17. 6 3 2 ; 19. 3 ; 21. 1
2x ; 23.
1
x 25. 3 21
28aa
27. 6 3 ; 29. 6 5 41a b
a; 31.
3 5
4
; 33.
5 2 2
23
35.
9 15 26
7
121
1. Resolución de ecuaciones lineales en una variable
2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal
1. A practicar las ecuaciones lineales
2. A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal
Competencia
4 ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO
Explicar los algoritmos necesarios para resolver una ecuación lineal
Problemas en palabras que se resuelven por medio de una ecuación lineal o de primer grado
Saberes
Ejercicios
122
ECUACIONES LINEALES O DE PRIMER GRADO EN UNA VARIABLE
ECUACIÓN. El enunciado en que dos cantidades son iguales es llamado una ecuación. La manera acostumbrada de escribir una ecuación es la de colocar el símbolo (que se lee “es igual a”) entre las dos cantidades iguales. Una ecuación tiene, entonces dos miembros, el izquierdo y el derecho. Las ecuaciones comprenden usualmente una o más letras que son vistas como variables o incógnitas. Los números que al sustituir a las variables hacen iguales a los dos miembros de la ecuación se dice que satisfacen a, o que son una solución de, la ecuación. La totalidad de las soluciones es llamada el conjunto de soluciones.
Esto es una ecuación:
2x – 5 = x + 3
Primer miembro Segundo miembro
Ejemplo de raíz o solución de una ecuación
Es el valor o valores de la incógnita que hacen cierta la ecuación.
Así la raíz de 3x – 9 = 5x – 23 es x = 7
Porque: 3(7) – 9 = 5(7) – 23
12 = 12
Saberes
Nombre Resolución de ecuaciones lineales en una variable No. 1Instrucciones para
el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno comprenderá los algoritmos necesarios para resolver una ecuación de primer grado o lineal.
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
123
De igual manera las raíces de 7 10 0 son 2 y 5
porque: 2 7 2 10 0 5 7 5 10 0
4 – 14 + 10 = 0 25 – 35 + 10 = 0
- 14 + 14 = 0 - 35 + 35 = 0
0 = 0 0 = 0
Ecuación Identidad
Es una igualdad que es cierta para cualquier valor numérico que se le asigne a la literal (o literales); es una igualdad absoluta.
Por ejemplo: 4 6 10 (para cualquier valor de se cumple la
igualdad).
Ecuación Literal
Es aquella en la que algunas o todas las cantidades conocidas están
representadas por letras.
Por ejemplo: 0.
OPERACIONES CON ECUACIONES
1.- Si a cada miembro de una ecuación se le suma o resta una misma cantidad, la ecuación sigue siendo cierta.
2.- Si cada miembro de una ecuación se multiplica por un mismo numero, la ecuación sigue siendo cierta.
3.- Si cada miembro de una ecuación se divide entre un mismo numero (excepto cero) la ecuación sigue siendo cierta.
En esta sección resolveremos ecuaciones de la forma, o que son reducibles a la forma 0 donde representa a cualquier número y a cualquier número distinto de cero. Esta ecuación es de primer grado en y es llamada una ecuación lineal.
124
Ejemplo 1. Resolvamos la ecuación 4 10 1 2 .
4 10 1 2 Ecuación dada
4 10 2 10 1 2 2 10 sumando 2 10
6 9 reuniendo términos
ó 1.5 dividiendo por 6
Verificación: Sustituimos 1.5 por en cada miembro de la ecuación dada y encontramos,
4 1.5 10 1 2 1.5
6 10 1 3
4 4
Ejemplo 2. Resolver: 4 13
Multiplicamos por 2 ambos lados 2 4 2 13
5 8 2 26
Sumando 2 8 a ambos lados 5 8 2 8 2 26 2 8
3 18
Dividiendo entre 3 6
Verificación: 4 6 13
15 4 6 13
19 19
125
Transposición de términos
Por los ejemplos anteriores se ve que puede suprimir un término cualquiera en un miembro, siempre que se agregue al otro su simétrico.
Esto equivale a afirmar que puede pasarse un término de un miembro a otro respetando la siguiente regla:
Si el término esta sumando pasa restando
Si el término esta restando pasa sumando
Si el término multiplicando pasa dividiendo
Si el término esta dividiendo pasa multiplicando
A esto se le llama transposición de términos.
Intercambio de miembros
Es recomendable que los términos que contengan la incógnita se pongan siempre en el primer miembro de la ecuación:
Así, las ecuaciones 25 = 3x ‐ 4 y 12 = 2x + 3
Conviene escríbirlas 3x – 4 = 35 y 12x + 3 = 12
+ ‐
‐ +
X
÷ X
÷
126
Cambio de signo
En una ocasión cualquiera se puede cambiar los signos de todos sus
términos, lo que equivale a multiplicarlos por (- 1), con lo cual la igualdad no se
altera. Esto es de gran utilidad según se ve continuación:
Forma original Forma preferible
‐2x + 5 = ‐ 25 2x – 5 = 25
‐ 8x ‐ 3 = x – 6 8x + 3 = ‐x + 6
Ejemplo 3.
Comprobación:
7x – 5 = 3x – 25 7(‐5) ‐5 = 3(‐5) ‐25
7x – 3x = ‐25 + 5 ‐35 ‐5 = ‐15 ‐ 25
4x = ‐20 ‐40 = ‐40
20
4x
Ejemplo 4.
Resuelve: Comprobación:
16x – 192 = 0 16 (12) – 192 = 0
16x = 192 192 ‐ 192 = 0
192
16x 0 = 0
x = ‐5
x = 12
127
Ejemplo 5.
Resuelve: Comprobación:
X = 300+11x (‐30) = 300 + 11 (‐30)
X ‐ 11x =300 ‐30 = 300 ‐ 330
‐10x = 300 ‐30 = ‐30
10x = ‐300
300
10x
X= ‐30
Ejemplo 6.
Resuelve: comprobación:
2z + 96 = 15z – 8 ‐ 5z 2(13) + 96 = 15 (13) – 8 – 5 (13)
2z + 96 = 10z – 8 26 + 96 = 195 – 8 ‐ 65
2z ‐ 10z= ‐8 – 96 122 = 122
‐8z = ‐104
8z = 104
104
8z
Z = 13
128
Ejemplo 7.
Resuelve: comprobación:
5c – 9 + c = 2c – 73 5(‐16) – 9 + (‐16) = 2(‐16) ‐73
6c – 9 = 2c – 73 ‐80 – 9 – 16 = ‐32 ‐ 73
6c ‐ 2c = ‐ 73 + 9 105 = 105
4c = ‐64
64
4c
C = ‐16
Ejemplo 8.
Resuelve: Comprobación:
y – 2 = ‐5(39 ‐ y)‐ 3 49 ‐ 2 = ‐5 (39‐49) ‐3
y – 2 = ‐195 + 5y ‐ 3 47 = ‐5 (‐10) ‐3
y – 2 = ‐ 198 + 5y 47 = 50 ‐ 3
y‐ 5y = ‐ 198 + 2 47 = 47
‐4y = ‐196
4y = 196
196
4y
y=49
129
Ejemplo 9.
Resuelve: Comprobación:
84 ‐ 19y = ‐ 7 (60 + y) 84 – 19 (42) = ‐7 (60+42)
84 ‐ 19y = ‐ 420 ‐ 7y 84 – 798 = ‐7 (102)
‐19y + 7y = ‐ 420 – 84 ‐714 = ‐714
‐12y = 504
504
12y
y = 42
Ejemplo 10.
Resuelve: comprobación:
5(4x ‐ 7) ‐ (3x ‐ 1) 2 = ‐5 5 (4 (2) – 7) ‐ (3 (2 ) – 1) 2 = ‐5
20x – 35 ‐ 6x + 2 = ‐5 5 (8 – 7) – (6 – 1) 2 = ‐5
14x – 33 = ‐5 5(1) – 2(5) = ‐5
14x = 28 5 ‐ 10 = ‐5
‐5 = ‐5
2
130
ECUACIONES QUE CONTIENEN QUEBRADOS
Cuando una ecuación contiene quebrados, se transforman en otra equivalencia que tenga forma entera, multiplicando ambos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.
Ejemplo 11. Resuelve la siguiente ecuación:
3 335 100
4 5
x x m.c.m. de 4 y 5 = 20
3 320 35 20 100
4 5
x x Comprobación:
15x – 700 = 2000 – 12x 3*100 3*100
35 1004 5
15x + 12x = 2000 + 700 75 – 35 = 100 ‐60
27x = 2700 40 40
Ejemplo 12. Resolver la siguiente ecuación:
5 354
2 7 4
x x x m.c.m. de 2,7 y 4 = 28
5 3
28 28 542 7 4
x x x Comprobación:
14x – 20x = ‐1512 + 21x 56 5*56 3*56
542 7 4
15x ‐ 20x ‐ 21x = ‐1512 28 – 40 = ‐54 + 42
‐27x = ‐1512 ‐12 ‐12
X= ‐1512/‐27
X = 56
X = 100
131
Ejemplo 13. Resolver la ecuación
El m.c.m. de 5, 4 y 2 es 20
20 20 que resulta,
4 3 2 5 2 1 10
12 8 10 5 10
2 7 7/2
Ejemplo 14. Resolvamos la ecuación para para .
3 2 5 4 reuniendo términos
3 2 5 4 factorizando
Ejemplo 15. Resolver la ecuación: 3 2 3 4 3 2 6
Solución: 9 12 6 8 9 12 4 6 Desarrollando productos
9 6 8 9 12 4 6 Quitando paréntesis
18 18 Simplificando términos
1
132
I. Resuelve las siguientes ecuaciones y compruébala cada una.
1. 8 8 4 5x x x 2. 720 2157x x
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 7 2 9 6 4 3x x x 12. 12 22 3 2 13m m m
13. 2(7 8) 7(2 ) 26x x 14.
15. 3(7 2 ) 11 4(2 3)x x 16. 9( 1) 7(3 ) 38 0x x
17. 5(8 3) 3 2(4 3)x x 18. 6 17 13( 1) 4x x
Ejercicios
Nombre A practicar con las ecuaciones lineales No. 1Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
133
19. (5 )(2 ) ( 3) 0x x x x 20. 4(4 3) 3(7 6 ) 16x x x
21. 3 1 2 2
2 6 3 3
x x 22.
1 1
3 4 3 4
x x
23. 3 4 1
4 3 2 3
x x 24.
5 1 2 1
4 12 3 2
x x
25. 3 1 2
66 3
x x 26.
51
4 8
x x
27. 3 1 2 3
12 3
x x 28.
4 2 3 1
3 4 12
x x
29. 30.
31. 32.
33. 34.
35. 36.
37. 3 38. 2
39. 1 40.
41. 42.
43. 0.08 (x + 20) – 0.03x = 2.4 44. 0.08x – 0.03(21,000 –x) = 800
45. 0.07 12,000 0.08 600 46. 0.06 60,000 0.08 520
47. 0.25 0.1 12,000 375 48. 0.05 0.06 20,000 1080
49. 2 3 2 5 2 1 0 50. 3 4 4 3 3 2 5 19
51. 2 4 1 2 3 8 52. 2 3 2 3 6
134
Respuesta a los ejercicios impares: 1 3; 3 2; 5 1; 7
9 ; 11 ; 13 4; 15 1; 17 ; 19 ;
21 1; 23 4; 25 5; 27 3; 29 5; 31 2
33 6; 35 2; 37 ; 39 7; 41 5
43) 16; 45) 1600; 47 4500; 49) 2; 51 1
II. Subraya la respuesta de cada una de las siguientes preguntas:
1. El valor de al resolver la ecuación 5 6 31 es:
A) 5 B) 4 C) 5 D) 6
2. Al resolver la ecuación 11 6 6 20 8 el valor de es:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
3. El valor de en la ecuación 13 3 4 3 8 es:
A) 1 B) 3 C) 2 D) 1
4. La solución de la ecuación 2 3 1 11 8 es:
A) 1 B) 5 C) 2 D) 3
135
5. La solución de la ecuación 10 5 18 7 5 3 es:
A) 2 B) C) 3 D)
6. El valor de en la ecuación 4 3 3 2 6 7 2 5 2
A) 1 B) C) 1 D)
7. El valor de en la ecuación 9 1 13 es:
A) 3 B) 1 C) 6 D) 4
8. El valor de en la ecuación
A) 1/2 B) 3/4 C) 8/5 D) 5/3
9. Resuélvase la siguiente ecuación para " " :
A) 1/8 B) 2/3 C) 1/4 D) 2/3
10. Resuélvase para " " la siguiente ecuación:
A) 3/2 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/2
136
III. rucigrama algebraico
Aquí encontrarás un crucigrama muy divertido. Para llenarlo tendrás que resolver 17 ecuaciones de primer grado.
¡Anímate!
Verticales Horizontales
1) 3x + 2 = 32 3) 7x – 4 = 171 2) x/5 = 16 4) 8x – 920 = 7,080 3) 2x + 8 = 440 6) ½ x + 8 = 88 5) 2x - 9 = x + 18 7) 5x = 35,745 8) 9x + 9 = 900 10) 4x – 4 = 3x + 6 9) ¼ x - 2 = 250 11) 5/2 x + 40 = 500 13) x/3 - 11 = x - 233 12) x/9 – 43 = 1,000 15) x + 5 = 2x - 80 14) x/7 – 5 = 0
16) 5x – 4x + 3x + 8 = 8
¿Qué tal, resultó divertido?
137
IV. Con el perímetro dado, encontrar el valor de la incógnita.
i. Hallar el valor de si el perímetro del rectángulo es 38 cm
3 1
ii. Si el perímetro del cuadrado es 68 cm, hallar el valor de .
4 1
iii. Si el perímetro del triángulo isósceles es de 29 cm, hallar el valor de .
3 2
2 1
138
SOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN PALABRAS CON EL USO DE ECUACIONES LINEALES EN UNA VARIABLE
Los problemas planteados con palabras son enunciados que exprersan relaciones entre cantidades numéricas. Nuestro objetivo es traducir la expresión del problema a una ecuación algebraica que pueda resolverse por medios conocidos.
Para resolver un problema planteado con palabras, se procede como sigue:
1. Se determina la cantidad incógnita y se le representa con una variable. 2. Todas las demás cantidades incógnitas se deben expresar en términos de
la misma variable. 3. Se traducen los enunciados del problema relativos a la variable a una
ecuación algebraica. 4. Se resuelve la ecuación para la incógnita y luego se encuentran las otras
cantidades requeridas. 5. Se comprueba la respuesta en el problema original planteado con palabras,
no en la ecuación.
Las siguientes son ilustraciones de ciertas frases y problemas verbales y sus equivalentes algebraicos:
1. Un número aumentado en 5.
Saberes
Nombre Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal
No. 2
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para plantear una ecuación lineal que resuelva un problema práctico en un contexto determinado.
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
139
2. Un número disminuido en 7
7
3. Un número supera en 4 a otro
Primer número segundo número
4
4. Un número es 2 unidades menor que otro
Primer número segundo número
2
5. La suma de dos números es 30
Primer número segundo número
30
6. Tres enteros consecutivos
Primer número segundo número tercer número
1 2
7. Tres enteros impares consecutivos
Primer número segundo número tercer número
2 4
8. Tres enteros pares consecutivos
Primer número segundo número tercer número
2 4
9. Un número es la mitad de un segundo número
Primer número segundo número
140
10. Un número es el triple del otro
Primer número Segundo número
3
11. Un número es cuatro unidades menos que el doble de un segundo número
Primer número Segundo número
2 4
12. Un número supera en 6 al triple de un segundo número
Primer número Segundo número
3 6
13. El número supera en 6 al número b.
6 o bien 6
14. El número es 10 unidades menor que el número b
10 o bien 10
15. Un 6% de impuesto sobre dolares.
Impuesto = 6% 6 o
16. Un descuento se 15% sobre dolares
15% 15 o bien
17. El valor en dólares de billetes de cinco dólares:
Valor = 5 $5
18. La cantidad de plata contenida en libras de una aleación de plata al 6%.
Cantidad de plata = 6% libras
19. La cantidad de alcohol en 5 galones de una solución de alcohol al
80%.
141
Cantidad de alcohol = 80% 5 galones
20. Si Roberto puede caminar millas por hora, ¿qué distancia recorrerá en 3
horas?
En problemas de velocidad usaremos la fórmula que al despejar
la distancia
nos dá , por lo tanto el problema queda:
millas
21. Si Lorena conduce a 55 millas por hora, ¿Qué distancia puede recorrer en
horas?
Distancia =
22. Rafael puede viajar en su bicicleta a una velocidad promedio de 15 millas
por hora ¿Cuánto demorará en recorrer millas?
Tiempo =
23. La anchura de un rectángulo es de pies. ¿Cuál es el perímetro si la
longitud es el doble de su anchura?
Anchura Longitud
Perímetro = 2 veces el ancho + 2 veces el largo
Perímetro =2 2 2 2 4
142
24. La anchura de un rectángulo es de pies. ¿Cuál es el área del rectángulo
si su longitud mide 4 pies más que su anchura?
Anchura Longitud
pies 4 pies
Área = 4 pies cuadrados
EJEMPLO 1
Pedro tiene un trabajo en donde gana $150,000 anuales, que incluye un bono de $12,000 al final del año. Si recibe un pago quincenal, ¿Cuál es el ingreso bruto en cada cheque?
Con palabras
Ingreso por año= 24 pagos + bono
¿Qué conoces?
Ingreso por año= $150,000
Bono = $12,000
¿Qué quieres?
Cantidad en cada cheque = x
Ecuación
150,000 = 24x + 12,000
150,000 12,00024
$5,750.
Solución
Despejamos el valor de x de la ecuación
anterior,
El ingreso por cada cheque es de $5,750
143
EJEMPLO 2
Enrique invitó al Cinépolis a su esposa y durante la función compraron dos refrescos del mismo precio y dos bolsas de palomitas de $25 cada una. Si Roberto gastó $90 en total, ¿cuánto costó cada refresco?
Con palabras
Gasto total = 2 bolsas de palomitas de $25
cada una + 2 refrescos
¿Qué conoces?
Gasto total = $90
Costo de las palomitas = (2)($25) = $50
¿Qué quieres?
Precio de cada refresco = x
Ecuación
$90 = $50 + 2x
90 502
$20.00
Solución
Despejando x, tenemos:
Cada refresco costo $20.00
144
EJEMPLO 3
Karla invierte $120,000 en dos cuentas diferentes, de forma que en una de ellas le pagan el 6% y en la otra 5% anual de interés simple. Si el interés total es de $6,800 al año, ¿cuánto dinero esta invertido en cada una de las cuentas?
Con palabras
Interés total generado por $120,000 dividido
en dos cuentas.
¿Qué conoces?
Dinero invertido = $120,000 Tasa de interés de una cuenta = 6% Tasa de interés de la otra cuenta = 5% Interés total recibido = $6,800
¿Qué quieres?
Cantidad invertida al 6% = x Cantidad invertida al 5% = $120,000 ‐‐ x
Ecuación
0.06x + 0.05 (120,000 – x) = 6,800
0.06 6000 0.05 6800
0.01 6000 6800
0.01 6800 6000 800
8000.01
80,000
120,000 120,000 80,000 40,000
Solución
Silvia ha invertido $80,000 al 6% y $40,000 al
5%.
145
EJEMPLO 4
Un albañil puede hacer una obra en 4 días y otro en 5 días, ¿en cuánto tiempo terminaran la obra juntos?
Con palabras
Tiempo total de la obra = Tiempo empleado
por los albañiles trabajando juntos.
¿Qué conoces?
Tiempo del albañil 1 = 4 días
Tiempo del albañil 2 = 5 días
¿Qué quieres?
Tiempo total de la obra = x
4 51
Ecuación
El ritmo de trabajo de un albañil es de y el
del otro , por lo tanto, entre ambos
terminan el 100% de la obra en
4 51
5 4 20
Solución
2.222 días
El tiempo total para terminar la obra entre
ambos albañiles es de 2.222 días.
146
EJEMPLO 5
Un automóvil recorre una distancia del D.F. a Acapulco a una velocidad promedio de 120 Km/hr y de regreso viaja a una velocidad promedio de 90 Km/hr. Si todo el recorrido tomo 7horas. ¿cuál es la distancia del D.F. a Acapulco?
Con palabras
Tiempo total del viaje = Tiempo de ida +
tiempo de regreso
¿Qué conoces?
Velocidad promedio de ida = 120 Km/hr Velocidad promedio de regreso = 90 Km/hr Tiempo total del viaje = 7 hrs
¿Qué quieres?
Distancia del D.F. a Acapulco = x
120 907
Ecuación
La relación de velocidad es , entonces el
tiempo t es , luego, el tiempo de ida es
y el de regreso . Por lo tanto,
120 907
90 120 75,600
75,600210
360 .
Solución
La distancia del D.F. a Acapulco es de 360
Kms.
147
MÁS PROBLEMAS RESUELTOS
Problemas que se refieren a números
1. Cuales son los tres números consecutivos cuya suma es igual a 48?
Primer número: x
Segundo numero: x + 1
Tercer número: x + 2
Condición: (x) + (x+1) + (x+2) = 48
x + x + 1 + x + 2 = 48
3x + 3 = 48 Los tres números
3x = 48 – 3 son 15, 16 y 17.
3x = 45
x = 45 / 3
x = 15
2. Cuál es el número que aumentando en 20 se triplica? Número pedido a
condición:
X + 20 = 3x
X – 3x = -20
-2x = -20
2x = 20 por lo tanto x = 10
148
3. La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él.
Encontrar el número.
Solución Sea el número =
7
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 6, obtenemos
2 42 3
42 El número es 42.
4. Un número es el quíntuplo de otro. La suma de ambos es 90. Determinar
los dos números.
Solución primer némero segundo número
5
5 90
6 90 Primer número = 5 15 75
15 Segundo número = 15
5. Hallar dos números cuya suma sea 27 y que el séxtuplo del menor supere
en 9 unidades al triple del mayor.
Solución: Número menor Número mayor
27
6 3 27 9
6 81 3 9
9 90 Número menor = 10
10 Número mayor = 27-10 = 17
149
6. Encontrar dos enteros pares consecutivos tales que el cuádruplo del mayor
sea 8 unidades menos que el quíntuplo del menor.
Solución primer entero par segundo entero par
2
4 2 8 5
4 8 8 5 Primer entero par = 16
16 Segundo entero par = 16 + 2 = 18
7. La suma de tres números es 63. El segundo número es el doble del primero
y el tercero supera en tres al segundo. Encontrar los números.
Solución Primer número Segundo número Tercer número
2 2 3
2 2 3 63
5 3 63 Primer número = 12
5 60 Segundo número = 2 12 24
12 Tercer número = 24 + 3 = 27
150
Problemas de porcentaje
A veces la relación entre dos números se expresa como un porcentaje. Tanto por ciento significa “por cada cien” y se representa por el símbolo %. De esta manera
%
Para determinar qué tanto por ciento es un número de otro, se divide el
primer número entre el segundo, se multiplioca el cociente por 100% y se
simplifica.
Obsérvese que 100 % = 100
1. ¿Qué tanto por ciento es 24 de 40?
Solución
2. ¿Qué tanto por ciento es 238 de 350?
Solución
Para expresar un número como tanto por ciento, se multiplica el número por
100% y se simplifica.
151
3. Escribir 4 como un tanto por ciento
4 4 100% 400%
4. Expresar como un tanto por ciento.
Solución 100% % 64 % 64.04%
Para obtener un porcentaje de cualquier número, se cambia el símbolo de
tanto por ciento a , luego se multiplica pór el número y se simplifica.
5. ¿Cuál es el 70% de 48 ?
Solución 70% 48 70 48 33.6
6. ¿A qué es igual el 9 % 360 ?
Solución 9 % 360 9 360 360 33.3
La mayoría de los problemas de negocios y mezclas se relacionan con
porcentajes. En esta sección tratamos problemas de negocios.
Cuando se realizan depósitos de dinero en un banco, la cantidad que se
deposita se llama capital o principal y se denota por P.
La tasa de interés anual se denota por .
El interés que se recibe está representado por .
El interés recibido al cabo de un año es el producto del capital y la tasa de
interés.
La fórmula anterior es útil en la solución de problemas de tanto por ciento.
152
7. El precio de venta al menudeo de una máquina de coser es de $360
dólares. Si se ofrece en venta de $297, ¿cuál es el porcentaje de
reducción?
Solución Reducción de precio = 360 – 297 = 63.
Porcentaje de reducción = 100% % 17.5%
8. ¿A qué es igual el impuesto sobre un artículo que costó $540 si la tasa de
impuesto es de 6 % ?
Solución Impuesto = 6 % 540 540 $35.10
9. ¿En cuánto se venderá un refrigerador si el precio marcado es de $760 y la
tienda ofrece un 12% de descuento?
Solución Descuento = 12% 760 $91.20
Precio de venta = 760 – 91.20 = $668.80
10. Al Sr. Noble le costó $17,466 comprar un coche, incluido un 6.5% de
impuesto de venta. ¿Cuál era el precio de venta del coche antes de agregar
el impuesto?
Solución Sea el precio de venta del coche sin impuesto =
Impuesto = 6.5%
Precio de venta sin impuesto más impuesto igual a precio de venta total
6.5% 17,466
17,466
1000 65 17,466,000 (Se multiplica por 1000)
1065 17,466,000
16,400 Precio de venta sin impuesto $16,400
153
11. El precio de venta de una caja fuerte es de $350 luego de aplicar un 30%
de descuento. ¿Cuál es el precio regular de la caja fuerte?
Solución Sea el precio regular =
Descuento = 30%
El precio de venta es igual al precio regular menos el descuento
30% 350
350 (Se multiplica por 100)
100 30 35,000
70 35,000
500
Precio regular de la caja fuerte = $500
Definición Margen de utilidad es la cantidad que se agrega al costo de un
artículo para determinar el precio de venta de tal artículo. El margen de utilidad se
expresa normalmente como un tanto por ciento del costo o del precio de venta.
12. Un radio costó $80. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es
del 20% de dicho precio?
Solución Sea el costo cuando el margen de utilidad se calculo sobre el
costo, pero si dicho margen se calcula sobre el precio de venta, éste se
denota por .
Sea el precio de venta =
Margen de utilidad = 20%
El precio de venta menos el margen de utilidad es igual al costo.
20% 80
80 (Se multiplica por 100)
100 20 8000
80 8000
100 Precio de venta $100
154
13. El precio de venta de un equipo de tiro es de $584. ¿Cuál es el costo si la
utilidad es del 25% del mismo?
Solución Sea el costo =
Utilidad = 25%
Costo más utilidad sobre el costo es igual al precio de venta.
25% 584
584 (Se multiplicac por 100)
100 25 58,400
125 58,400
467.20
Costo = $467.20
14. Dos sumas de dinero que totalizan $20,000 ganan, respectivamentye, 5% y
6% de interés anual. Encontrar las cantidades si juntas ganan $1080.
Solución Primera cantidad Segunda cantidad
Capital 20,000
Tasa 5% 6%
Interés 5% 6%
5% 6% 20,000 1080
20,000 1080 (Se multiplica por 100)
5 6 20,000 108,000
5 120,000 6 108,000
12,000
Cantidad invertida al 5% = $12,000
Cantidad invertida al 6% = $8,000
155
15. Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las
inversiones obtuvo un 10% de utilidad, pero en la otra tuvo una pérdida de
12%. Si la pérdida neta fue de $540, ¿Qué cantidad tenía en cada
inversión?
Solución Primera inversión Segunda inversión
10,000
Ganancia de 10% Pérdida de 12%
Cantidad ganada = 10%
Cantidad perdida = 12% 10,000
Cantidad perdida menos cantidad ganada igual a perdida neta.
12% 10,000 10% 540
10,000 540 (Se multiplica por 100)
12 10,000 10 54,000
120,000 12 10 54,000
3000
Primera inversión = $3000
Segunda inversión = $7000
16. El interés anual producido por $24,000 supera en $156 al producido por
$17,000 con una tasa anual de interés 1.8% mayor. ¿Cuál es la tasa anual
de interés aplicada a cada cantidad?
Solución Capital $24,000 $17,000
Tasa % 1.8%
24,000 % 17,000 1.8 % 156 (Se multiplica por 100)
156
Las tasas de interés son 6.6% y 8.4%
Prolemas de mezclas
1. ¿Cuántos litros de agua deben agregarse a 6 litros de una solución de
sal al 8% y agua, para producir otra solución al 5% de sal?
Solución Una solución de sal al 8% significa que el 8% es ésta es
sal y el 92% agua.
Dicha cantidad en la solución original más la cantidad en el agua
agregada debe ser igual a la cantidad de sal en la solución final.
Cantidad original Cantidad agregada Cantidad final
6 litros
(Se multiplica por 100)
Deben agregarse 3.6 litros
157
2. ¿Cuantos litros de un líquido que contiene 74% de alcohol se debe
mezclar con 5 litros de otro liquido que contiene 90% de alcohol, se
desea una mezcla de 84% de alcohol?
Numero de litros de la solución de 74% de alcohol que debe emplearse = x
Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 74% = 0.74x
Numero de litros de alcohol aportados por la solución al 90% = 0.90 (5)=4.5
Numero de litros en la mezcla = x + 5
Numero de litros de alcohol en la mezcla = 0.84(x+5)
0.74x + 4.5 = 0.84( x+5)
0.74x + 4.5 = 0.84x + 4.2
0.74x – 0.84 = 4.2 – 4.5
- 0.10x = -0.3
0.3
0.10x x = 3 litros.
3. Un hombre mezcló 48 onzas de una solución de yodo al 4% con 40
onzas de una solución al 15% de la misma sustancia. ¿Cuál es el
porcentaje de yodo en la mezcla.
Solución Consideremos la cantidad de yodo en la solución
Primera solución Segunda solución Mezcla
48 onzas 40 onzas 88 onzas
4% de yodo 15% de yodo % de yodo
4% 48 15% 40 % 88
158
48 40 (88) (Se multiplica por 100)
4 48 15 40 88
192 600 88
792 88
9
La mezcla es una solución al 9% de yodo
4. Carlos mezcló una aleación de aluminio al 48% contra otra al 72% para
producir una aleación de aluminio al 57%. Si hay 20 libras más de la
aleación al 48% que de la aleación al 72%, ¿Cuántas libras hay en la
aleación total?
Solución 20 2 20
48% 72% 57%
48% 20 72% 57% 2 20 (Se multiplica por 100)
48 20 72 57 2 20
48 960 72 114 1140
6 180
30
El peso de la mezcla total = 2(30) + 20 = 80 libras
159
Problemas de valor monetario
1. Elena tiene $4.45 en monedas de 10¢ y 25¢. Si dispone en total de 28
monedas, ¿Cuántas tiene de cada clase?
Solución Monedas de 10¢ Monedas de 25¢
monedas
La suma de los valores de las monedas es igual a la cantidad total de
dinero
(Nota: 445, no 4.45)
Número de monedas de = 17
Número de monedas de
2. Ramona compró $10.60 dólares de estampillas de con un
total de 52 estampillas. Si la cantidad de estampillas de que compró es
el cuádruplo de la de , ¿Cuántas estampillas de cada clase compró?
160
Solución 10¢ 15¢ 25¢
52 5 estampillas 4
La suma de los valores de las clases individuales de estampillas es igual a
la cantidad total.
10 15 52 5 25 4 1060 (Nota: 1060, no
10.60)
10 780 75 100 1060
35 280
8
Número de estampillas de 10¢ = 8
Número de estampillas de 15¢ = 52 – 5(8) = 12
Número de estampillsa de 25¢ = 4(8) = 32
3. Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de 189¢ la libra y otra
de 129¢. Si la combinación pesa 450 libras y se vende a 145¢ cada una,
¿Cuántas libras de cada clase forman la mezcla?
Solución 189¢ por libra 129¢ por libra 145¢ por libra
libras libras
La suma de los precios de las clases individuales es igual al precio de la
mezcla
189 129 450 450 145
189 58,050 129 62,250
60 7200
120
Número de libras a 189¢ 120
Número de libras a 129¢ 330
161
Problemas de Movimiento
La distancia recorrida, en kilómetros, es igual al producto de la velocidad, en
kilómetros por hora, por el tiempo, en horas. En símbolos,
1. Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 375 km entre sí y
cuyas velocidades difieren en 5 km por hora, se dirigen el uno hacia el otro.
Se encontrarán dentro de 3 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada
automóvil?
Solución Primer auto Segundo auto
Velocidad
Tiempo
Distancia
Las sumas de las distancias recorridas es igual a 375 kilómetros
Velocidad del primer auto ; velocidad segundo auto
162
2. Dos automóviles parten de un mismo lugar y viajan en direcciones
opuestas. El primer automóvil hace un promedio de 55 km por hora,
mientras el segundo tiene uno de 65 km por hora. ¿En cuántas horas se
encontrarán a 720 kilómetros entre sí?
Solución Primer auto Segundo auto
Velocidad 55 km/h 65 km/h
Tiempo x hr x hr
Distancia 55 65
La suma de las distancias recorridas es igual a 720 kilómetros.
55 65 720
120 720
6
Tiempo en el que los autos estarán a una distancia de 720 kms entre sí 6
3. Un avión de reacción que vuela a una velocidad de 650 kms por hora va a
alcanzar a otro que lleva una delantera de 4 horas y está volando a una
velocidad de 400 kms por hora. ¿Cuánto tardará el primer avión en alcanzar
el segundo?
Solución Primer avión Segundo avión
Velocidad 650 400
Tiempo 4
Distancia 650 400 4
El primer avión alcamzará al segundo cuando ambos hayan recorrido la misma
distancia
650 400 4
650 400 1600
163
250 1600 6
El tiempo requerido es 6 , o 6 , 24
Problemas de Geometría
El perímetro de un cuadrado es igual a cuatro veces la longitud de su lado.
El área de un cuadrado es igual al cuadrado de la longitus de su lado.
El perímetro de un rectángulo es igual al doble de su base más el doble de su altura.
El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura.
La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
El área de un triángulo es igual a un medio del producto de la base por la altura.
Se dice que dos ángulos son complementarios si su suma es 90°.
Dos ángulos son suplementarios si su suma es 180°.
1. La base de un rectángulo es 3 pies menor que el doble de la altura, y el
perímetro es de 42 pies. Obtener las dimensiones del rectángulo.
Solución Véase la figura de este problema
Altura Base 2 3
2 3
2 2 2 3 42
2 4 6 42
6 48
8
Altura del rectángulo = 8 pies; Base del rectángulo 2 8 3 13 pies
164
2. La base de una pintura rectangular es 8 pulgadas menor que el doble se
su altura. Si el marco tiene 4 pulgadas de ancho y un área de 816 pulgadas
cuadradas, hallar las dimensiones de la pintura sin el marco.
Solución Véase la figura de este problema.
Altura Base Área
Sin marco . 2 8 . 2 8
Con marco 8 . 2 2 8
x x+8
2x-8
2x
El área de la pintura incluyendo el marco, menos el área de la pintura sin
este último,
es igual al área del marco.
2 8 2 8 816
2 16 2 8 816
24 816
34
Altura de la pintura = 34 pulgada
Base de la pintura = 2(34) – 8 = 60 pulgadas
165
3. La suma de la base y la altura de un triángulo es 28 pies. Encontrar el área
del triángulo si su base es 8 pies menos que el doble de su altura.
Solución Base Altura
2 8
2 8 28
2 8 28
3 36
12
2 12 8 16
12
Á 16 12 96
Problemas en donde se realiza un trabajo
1. La persona A puede hacer cierto trabajo en 8 hr, la persona B en 10 hr,
y la persona C en 12 hr. ¿Cuánto tiempo tomará efectuar el trabajo si A
y B se ponen a trabajar durante 1 hr y A y C terminan después?
Solución: Las partes del trabajo que realizan en una hora A, B y C son
18 , 1
10 , 112, respectivamente. La contribución de cada trabajador
es la parte que hace en una hora multiplicada por el número de horas
que trabaja. Si designamos con el número total de horas requeridas
166
para hacer el trabajo, entonces A trabaja horas, B trabaja 1 hora y C
trabaja 1 hr. Por tanto,
= parte del trabajo hecho por A
= Parte del trabajo hecho por B
= Parte del trabajo hecha por C
El trabajo total se completa sumando estas partes y, por tanto;
1
15 12 10 10 120
25 118
4 hr.
Por lo tanto, requerido es 4 hr.
2. Un recipiente, alimentado por 3 llaves, puede ser llenado en 30 minutos
por la primera, en 20 minutos por la segunda y en 40 minutos por la
tercera, ¿en cuánto tiempo llenarán el recipiente las 3 llaves juntas?
Tiempo que tardan las 3 llaves juntas: x
La primera llena en x minutos: 1
30* (x) =
30
x
La segunda llena en x minutos 1
20 *(x) =
20
x
La tercera llena en x minutos: 1
40*(x) =
40
x
167
Condición: 30
x + 20
x + 40
x = 1 (Se iguala a 1 porque se realiza un
trabajo)
4x + 6x + 3x = 120
13x = 120
9.23
168
RALACIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON LA FUNCIÓN LINEAL
Hay ecuaciones lineales que únicamente depende de una incógnita; se les conoce como ecuaciones lineales con una incógnita 2 5 2 y con tres 3 5 11 .
LLaass eeccuuaacciioonneess ddee pprriimmeerr ggrraaddoo ttiieenneenn iinnccóóggnniittaass eelleevvaaddaass aa llaa ppootteenncciiaa 11 yy nnoo ssee
mmuullttiipplliiccaann ppoorr ffaaccttoorr;; ssii ssuucceeddiieerraa eessttoo ssee ccoonnvveerrttiirrííaann eenn eeccuuaacciioonneess ddee sseegguunnddoo
ggrraaddoo..
EEJJEEMMPPLLOO Una compañía de telefonía móvil define un costo de $4 por minuto de llamada. Establezcamos una expresión matemática para esta situación.
SSOOLLUUCCIIÓÓNN
aa.. Datos
Costo de la llamada: $4 por minuto. El siguiente cuadro presenta pares ordenados y puedes reconocer que los minutos están relacionados con el incremento del costo.
Referencia Minutos (x) Costo (y)
Al minuto 0 el costo es $0. 0 4(0)= 0
Al minuto 1 el costo es $4. 1 4(1)= 4
Al minuto 2 es costo es $8. 2 4(2)= 8
Al minuto 3 el costo es $12. 3 4(3)= 12
… … …
Al minuto x el costo se representa con la ecuación: y=4x. x 4x
bb.. Análisis
La ecuación 4 muestra dos variables: y es el costo total y x es el número de
minutos. La combinación de ambas describe la relación existente entre el costo y el tiempo en minutos cuando se habla por el teléfono móvil. Su representación gráfica se muestra a continuación.
PRECIO DE LAS LLAMADAS
169
Como puedes ver en la grafica de la página anterior se define una recta creciente, y esto quiere decir que cuanto más hable el usuario, mayor será el costo. En la gráfica se nota que existe el conjunto de números en y el conjunto de números en . A la variable , denominada dependiente, la podemos representar con , es decir
. A cada elemento del conjunto de números en le corresponde uno y sólo uno del conjunto de números en . Cuando una relación de pares ordenados se rige por estas condiciones se conoce como función. Comprueba qué efecto tendría la gráfica si un elemento estuviera relacionado al mismo tiempo con dos o más números. Al primer conjunto (minutos) lo denominamos dominio de la función. Cada uno de los elementos del dominio de la función tiene una imagen en el segundo conjunto (costo). Al conjunto de todas las imágenes se le llama rango o contradominio de la función.
cc.. Síntesis Interpretativa En este caso se formaron las parejas: (0, 0), (1, 4), (2, 8), (3, 12),…, , . La variable es cualquier número natural que represente el número de minutos, y es cualquier número natural que represente el costo. Veamos una representación gráfica de esta correspondencia.
170
UUnnaa ffuunncciióónn eess uunnaa ccoorrrreessppoonnddeenncciiaa eennttrree ddooss ccoonnjjuunnttooss ddee nnúúmmeerrooss,, ddee mmaanneerraa qquuee aa ccaaddaa
vvaalloorr ddeell pprriimmeerr ccoonnjjuunnttoo oo ddoommiinniioo llee ccoorrrreessppoonnddee uunn úúnniiccoo vvaalloorr ddeell sseegguunnddoo ccoonnjjuunnttoo ((oo
nniinngguunnoo)),, qquuee llllaammaammooss iimmaaggeenn oo ccoonnttrraaddoommiinniioo..
Una forma de interpretar una función es como si fuera una fábrica: la materia prima es el dominio que pasa a través de la fábrica y entrega un producto (rango).
Si consideramos la correspondencia de los pares ordenados (5, 25), (‐3, 2), (5, 0), (1/2,
2 , (√2, ½), podemos reconocer que un valor del dominio se relaciona más de una vez
con elementos del contradominio (5, 25) y (5, 0). En estas condiciones no se habla de
función, sino de relación.
3
0
1
2
3
0
1
2
Dominio Imagen o contradominio
3
5
0
2
√2
25
12
√2 12
171
Resolver los siguientes problemas en palabras:
A) Problemas que se refieren a números
1. Si a un número se le suma 15, el resultado es 21. Determine el número
2. Cuando se resta 11 de cierto número, el resultado es 52. Obtenga el
número.
3. Si al doble de un número se le aumenta 7, resulta 35. Halle el número.
4. El triple de un número disminuido en 19 es 53. Determine el número.
5. Ocho veces un número es 30 unidades más que 6 veces el mismo.
Encuentre el número.
6. Si a siete tantos de un número se le suma 6, resulta el número
aumentado en 24. Obtenga el número.
7. El tercio de un número, sumado con su cuarta parte da 35, ¿Cuál será el
número?
Ejercicios
Nombre A resolver problemas en palabras por medio de una ecuación lineal
No. 2
Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
172
8. Dos terceras partes de un número exceden a la mitad de él en tres
unidades. Encuentre el número.
9. La suma de dos números es 24. Uno de ellos es el triple del otro.
Obtenga ambos.
10. Un número supera en 7 a otro número. Determine los dos si su suma es
29.
11. Un número es 40 unidades menor que otro. Obtenga ambos si su suma
es 280.
12. Un número es de otro número y la suma de ambos es 126. Encuentre
los números.
13. Un número es de otro y la suma de ambos es 230. Hállelos.
14. La suma de dos números es 48. El cuádruplo del menor es igual al
doble del mayor. Encuentre los números.
15. Un número es 3 unidades menor que otro. Determine ambos si el
cuádruplo del menor es una unidad menos que el triple del mayor.
16. La mitad de un entero es igual a dos quintos de otro. Obtenga los dos si
su suma es 27.
17. Un entero supera en 4 a otro. Encuentre ambos si un cuarto del menor
es igual a un quinto del mayor.
18. La suma de tres números es 44. El segundo es el doble del primero, y el
tercero es 4 menos que el primero. Hállelos.
19. La suma de tres números es 78. El segundo es el doble del primero, y el
tercero es el triple del primero. Obtenga los números.
20. Halle tres enteros consecutivos tales que la suma del primero y el
segundo supere en 20 al tercero.
21. Encuentre tres enteros consecutivos tales que la suma del segundo y el
tercero sea 9 unidades menor que el triple del primero.
Respuesta de los impares: 1) 6 ; 3) 14; 5) 15; 7) 60; 9) 18,6; 11) 120,160
13)92,138 15) 8,11; 17) 20,16; 19) 13,26,39; 21) 12,13,14
173
B) Problemas de porcentaje
1. Cierto automóvil se vendió en $16,000 dólares hace dos años. El mismo
modelo se vende este año en $18,000. ¿Cuál es el porcentaje de
aumento en el precio de compra?
2. Margarita obtiene en sus exámenes un total de 240 puntos de 320
posibles. ¿Cuál es su calificación porcentual?
3. El precio por libra de cierto corte de carne es $2.52 dólares en el año
presente. Si el precio correspondiente fue de $2.40 el año pasado, ¿cuál
es el porcentaje de aumento del precio por libra?
4. Si se asignan 8.4 millones de barriles de petróleo diarios para el
consumo de cierto país y solamente se utilizan 6.3 millones, ¿qué
porcentaje de la asignación no se consume?
5. Mirna gasta $75 dólares a la semana en alimentos. ¿Cuánto deberá
gastar a la semana si su precio aumenta 8%?
6. Mauricio gana $2100 dólares al mes. ¿Cuánto ganará mensualmente si
su salario se incrementa 6%?
7. El ingreso bruto de una empresa es de $450,000. ¿Cuál es el nuevo
ingreso si las ventas aumentan 12%?
8. Una casa se vendió en $168,500 dólares. ¿Cuánto recibe el propietario
si el corredor de bienes raíces tiene una comisión del 6% sobre el precio
de venta?
9. Este año, la depreciación de un automóvil es de $2260.8 dólares en
base a una tasa de depreciación del 12%. ¿Cual era el precio del auto?
10. Un corredor de bienes raíces recibió una comisión de $31,440 por la
venta de una casa en Los Ángeles. ¿En cuanto se vendió la casa si el
corredor cobró un 6% del precio de la venta?
11. El descuento aplicado a un equipo estereofónico fue de $1164.6 en
base a una tasa del 18%. ¿Cuál era el precio normal del equipo?
12. Paty compró un abrigo de pieles con un impuesto del 6.5% incluido, en
$8903. ¿Cuál fue el precio del abrigo sin impuesto?
174
13. El señor Eduardo compró un televisor a color con un impuesto del 6.5%
incluido, en $788.1. ¿Cuál es el precio de venta del televisor antes de
aplicar el impuesto?
14. ¿En cuanto se venderá un sofá si su precio normal es de $840 y la
tienda ofrece un 15% de descuento?
15. Un equipo de aire acondicionado fue vendido en $345 luego de aplicar
un 25% de descuento. ¿Cuál era el precio normal del equipo?
16. ¿Cuál es el precio normal de un traje si se ha vendido en $245 luego de
aplicar un 12.5% de descuento?
17. El costo de un alimentador para aves es de $45 y su precio de venta es
de $63. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el costo?
18. El costo de una botella de licor es $19.25 y su precio de venta es de
$25. ¿Cuál es el margen de utilidad sobre el precio de venta?
19. El precio de venta de un reloj es de $126. ¿Cuál es el costo si el margen
de utilidad es de 40% del costo?
20. El precio de venta de una estufa eléctrica es de $756. ¿Cuál es el costo
si la ganancia es el 35% del costo?
21. El costo de una alfombra es de $581. ¿Cuál es el precio de venta si el
margen de utilidad es es 30% del precio de venta?
22. El costo de un automóvil es de $7320. ¿Cuál es el precio de venta si el
margen de utilidad es el 25% del precio de venta?
23. Dos sumas de dinero que totalizan $30,000 ganan, respectivamente, 6%
y 9% de interés anual. Encuentre ambas cantidades si, en conjunto,
producen una ganancia de $2,340.
24. Dos sumas de dinero que totalizan $45,000 ganan, respectivamente,
6.8% y 8.4% de interés anual. Halle ambas cantidades si juntas dan una
ganancia de $3,524.
25. Ines tiene $10,000 invertidos al 6%. ¿Cuánto debe invertir al 7.5% para
que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $2,400?
26. Juan tiene $9,000 invertidos al 7%. ¿Cuánto debe invertir al 9.2% para
que el interés de ambas inversiones le den un ingreso de $4,862?
175
27. La Sra. López invirtió dos sumas iguales de dinero, una de 5.25% y la
otra de 7.75%. ¿Cuánto invirtió en total si su ingreso por interés fue de
$1040?
28. El Sr.Rico realizó dos inversiones cuiya diferencia es de $18,000. La
inversión menor es al 7.8% y la mayor al 8.6%. determine las cantidades
invertidas si el ingreso anual total por intereses es de $2,860.
29. El Sr. Braulio invirtió una parte de $40,000 al 6.2% y el resto al 7.4%. Si
su ingreso por la inversión al 7.4% fue de $1,328 más que el de la
inversión al 6.2%, ¿qué tanto estaba invertido en cada tasa?
Respuesta a los problemas impares: 1) 12.5%; 3) 5%; 5) $81; 7) $504,000;
9) $18,840; 11) $6,470; 13) $740; 15) $460; 17) 40%; 19) $90; 21) $830
23) $12,000 a 6%; $18,000 a 9%; 25) $24,000; 27) $16,000;
29) $12,000 a 6.2%; $28,000 a 7.4%
C) Problemas de mezclas
1. ¿Cuántos galones de agua deben agregarse a 2 galones de una solución
de sal al 10% y agua, para producir una solución al 4%?
2. ¿Cuántas onzas de alcohol deben añadirse a 100 onzas de una solución al
12% de yodo en alcohol para obtener una solución al 8% de yodo?
3. ¿Cuántos litros de una solución de sal al 30% deben agregarse a 10 litros
de igual solución al 16% para producir una al 20%?
4. ¿Cuántas onzas de una solución de yodo al 16% deben añadirse a 60
onzas del mismo tipo de solución al 3% para obtener una al 8%?
5. ¿Cuántas pintas de una solución con desinfectante al 4% deben agregarse
a 20 pintas de otra igual al 30% para obtener una al 12%?
6. ¿Cuántos litros de una solución de ácido al 80% deben añadirse a 15 litros
de igual solución al 6% para hacer una al 20%?
176
7. Un hombre mezcló 100 libras de una aleación de cobre al 90% con 150
libras del mismo tipo de aleación al 60%. ¿Cuál es el porcentaje de cobre
en la mezcla?
8. Un platero mezcló 20 kilogramos de una aleación de plata al 70% con 55
kilogramos de la misma aleación al 40%. ¿Cuál es el porcentaje de plata en
la mezcla?
9. Susana mezcló 800 gramos de una solución de yodo al 6% con 700 gramos
de una solución del yodo al 9%. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la
mezcla?
10. Jaime mezcló 45 litros del mismo tipo de solución al 18% con 60 litros de
una al 32%. ¿Cuál es el porcentaje de ácido en la mezcla?
11. Rodrigo mezcló 60 libras de una aleación de aluminio al 30% con 140 libras
de la misma aleación. ¿Cuál es el porcentaje de aluminio en la segunda
aleación si la mezcla es de 65% de aluminio?
12. Un químico mezcló 200 gramos de una solución de yodo al 30% con 500
gramos de otra solución de yodo. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la
segunda solución si la mezcla es de 20% de yodo?
13. Margarita mezcló 30 litros de una solución desinfectante al 46% con 55
litros de otra. ¿Cuál es el porcentaje de desinfectante en la segunda si la
mezcla contiene 24% de desinfectante?
14. René mezcló 42 kilogramos de una aleación de cobre al 80% con 78
kilogramos de otra aleación. ¿Cuál es el porcentaje de cobre en la segunda
aleación si la mezcla es de 57.25% de cobre?
15. Julia mezcló una aleación de plata al 40% con otra, al 90%, para hacer una
al 75%. Si hay 20 onzas más de la aleación al 90% que la de 40%,
¿Cuántas onzas hay en la mezcla total?
16. Un agricultor mezcló un fertilizante que contiene 20% de nitrógeno con otro
de 60% para hacer un fertilizante con 34% de nitrógeno. Si hay 36 kg
menos del fertilizante de 60% que del de 20%, ¿Cuántos kilogramos hay en
la mezcla total?
177
17. Una planta procesadora de alimentos desea producir 1020 litros de salsa de
tomate con 30% de azúcar. Si tienen una salsa con 16% de azúcar y otra
con 50%, ¿Qué cantidad de cada clase de salsa deben de emplear?
Respuesta a los problemas impares: 1) 3 galones; 3) 4 litros; 5) 45 pintas; 7) 72%;
9) 7.4%; 11) 80%; 13) 12%; 15) 50 onzas; 17) 600 litros al 16%; 420 litros al 50%
D) Problemas de valor monetario
1. Pedro tiene $3.40 en monedas de 5¢ y 10¢. Si dispone en total de 47
monedas, ¿cuántas de cada clase posee?
2. Rosa tiene $4 en monedas de 5¢ y 25¢. Si posee un total de 32 monedas,
¿cuántas tiene de cada clase?
3. Raymundo tiene $7.60 en monedas de 10¢ y 25¢. Si en total dispone de 40
monedas, ¿cuántas de cada clase posee?
4. Leonor tiene 6 monedas más de 25¢ que de 10¢. Si el valor total es de
$9.20, ¿cuántas tiene de cada clase?
5. Raquel posee 8 monedas más de 5¢ que de 10¢. Si el valor total es de
$3.10, ¿cuántas monedas de cada clase posee?
6. Gerardo compró $8.7 dólares de estampillas de 15¢ y 25¢. Si adquirió 42
de éstas en total, ¿cuántas de cada clase compró?
7. Ramiro tiene 99 dólares en billetes de $1, $5 y $10. Hay 26 de ellos en total
y la cantidad de billetes de $1 es el doble de la de $5. ¿cuántas tiene de
cada clase?
8. Alma tiene $13 dólares en monedas en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si en
total posee 92 monedas y el número de éstas de 10¢ es el doble del de 5¢,
¿cuántas posee de cada clase?
178
9. Nora tiene el doble de monedas de 25¢ que de 5¢ y tiene 3 más de 5¢ que
de 10¢. Si el valor total de las monedas es $8.15, ¿cuántas tiene de cada
clase?
10. Naty compró $9.20 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de
50. Si la cantidad de las de 25¢ que compró es el doble de la
correspondiente a las de 15¢, cuántas estampillas adquiró de cada clase?
11. Eduardo compró $5.75 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un
total de 39. Si la cantidad de estampillas de 15¢ es el triple de las de 10¢,
¿cuántas consiguió de cada clase?
12. Doroteo compró 11 dólares de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total
de 58. Si la cantidad de 25¢ es el cuádruplo de las de 15¢, ¿cuántas obtuvo
de cada clase?
13. Un abarrotero mezclal 2 clases de nuez, una vale $2.59 la libra y, la otra,
$3.99. Si la mezcla pesa 84 libras y vale $3.09 la libra, ¿cuántas libras de
cada clase utiliza?
14. Un tendero mezcla 2 clases de grano de café, uno vale $2.79 la libra y el
otro $3.09. Si la mezcla pesa 400 libras y se vende $3.09 la libra, ¿cuántas
libras de cada clase de grano emplea?
15. Un confitero mezcla caramelo que vale 139¢ la libra con otro a 84¢ la libra.
Si la mezcla pesa 240 libras y se vende a 177¢ la libra, ¿cuántas libras de
cada clase de caramelo usa?
16. ¿Cuántas libras de té de $4.59 la libra deben mezclarse con 27 libras de un
té de $3.79 la libra para producir una mezcla con un precio de $3.99 la
libra?
17. Micaela compró $13.55 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de
62. Si hay 2 estampillas más de 15¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas
adquirió de cada clase?
18. Roque compró $10.70 de estampillas de 10¢, 15¢ y 25¢ con un total de 53.
Si el número de las de 25¢ es 4 menos que el quíntuplo de las de 10¢,
¿cuántas consiguió de cada clase?
179
19. Soila Jhonson tien $7 dólares en monedas de 5¢, 10¢ y 25¢. Si posee 39
en total y hay 5 más de 25¢ que el doble de las de 10¢, ¿cuántas monedas
de cada clase hay?
20. Bruno dispone de $20 dólares en monedas de 10¢, 25¢ y 50¢. Si en total
tiene 110 y hay 2 menos de 10¢ que el séxtuplo de las de 50¢, ¿cuántas
posee de cada clase?
21. La recaudación por la venta de 35,000 boletos para un partido de futbol
americano fue de $305,500.00. Si se vendieron a $8 y $11, ¿cuántas de
cada clase fueron vendidos?
Respuesta a los problemas impares:
1) 26 monedas de 5¢; 21 de 10¢ 13) 54 libras a $2.59 y 30 libras a $3.99
3) 16 monedsa de 10¢; 24 de 5¢ 15) 144 libras a 139¢; 96 libras a 84¢
5) 26 monedas de 5¢; 18 de 10¢ 17) 5 de 10¢; 12 de 15¢; 45 de 25¢
7) 14 de $1; 7 de $5; 5 de $10 19) 7 de 5¢; 9 de 10¢, 23 de 25¢
9) 13 monedas de 5¢; 10 de 10¢; 26 de 25¢ 21) 26,500 a $8; $8,500 a $11
11) 8 de 5¢; 24 de 15¢; 7 de 25¢
E) Problemas de Movimiento
1. Dos grupos de boy scouts que se hallan a 25 millas entre sí, decidieron
acampar juntos en cierto punto intermedio. Si uno de los grupos camina
1/3 de milla por hora más aprisa que el otro y se encuentran en 3 horas,
¿cuál es la velocidad de cada grupo?
2. Dos automóviles que están a una distancia de 464 millas entre sí y
cuyas velocidades difieren en 8 mph, se dirigen el uno hacia el otro. Se
encontrarán dentro de 4 horas. ¿Cuál es la velocidad de cada
automóvil?
180
3. Dos automóviles parten del mismo lugar y viajan en direcciones
opuestas. El primer auto hace un promedio de 45 mph y el segundo,
tiene uno de 50 mph. ¿En cuántas horas se encontrarán a 570 millas
entre sí?
4. Dos coches parten de un mismo punto en direcciones opuestas. Uno de
ellos hace un promedio de 6 mph más que el otro. Determine las
velocidades de ambos sí al cabo de 5 horas se encuentran a 528 millas
entre sí.
5. Un avión a reacción que vuela a una velocidad de 750 mph va a
alcanzar a otro que partió dos horas antes y que vuela a una velocidad
de 500 mph. ¿A qué distancia del punto de partida encontrará el primer
avión al segundo?
6. Un automóvil parte a una velocidad de 50 mph. Un segundo sale 3
horas más tarde a una velocidad de 65 mph para alcanzar al primero.
¿En cuántas horas alcanzará el segundo auto al primero?
7. Un hombre cabalgó de ida a una velocidad de 30 mph y de regreso a
una velocidad de 35 mph. Su viaje redondo duró 6 horas. ¿Qué
distancia recorrió?
8. Bertha condujo su automóvil 48 minutos a cierta velocidad. Una
descompostura la obligó a reducirla en 30 mph por el resto del viaje. Si
la distancia total recorrida fue de 65 millas y le tomó 2 horas y 3 minutos,
¿qué distancia manejó a la velocidad baja?
9. Enrique manejó 40 millas. En las primeras 20 hizo un promedio de 60
mph y condujo las restantes 20 a una velocidad promedio de 40 mph.
¿Cuál fue la velocidad promedio del recorrido total?
10. Un hombre manejó 20 millas a una velocidad media de 30 mph y las
siguientes 80 a la de 60 mph. ¿Cuál fue la velocidad promedio del
recorrido total?
11. Samuel viajó en autobús a una ciudad a 60 millas de distancia y regresó
a casa en su bicicleta. El autobús viajó al doble de la velocidad de la
181
bicicleta y el viaje redondo duró 4 horas. ¿A qué velocidad viajó
Samuel en su bicicleta?
Respuesta a los problemas impares: 1) 4 ; 4 ; 3) 6 h; 5) 3,000 millas;
7) 105 millas; 9) 48 mph; 11) 20 mph
F) Problemas de Geometría
1. La base de un rectángulo mide 6 pies más que su altura y el perímetro
es de 96 pies. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
2. La altura de un rectángulo mide 8 pies menos que la base. Si el
perímetro del rectángulo es de 60 pies, halle las dimensiones de éste.
3. La base de un rectángulo es el triple de la altura, y el perímetro es de
256 pies. Obtenga las dimensiones del rectángulo.
4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de la altura, y el
perímetro es de 146 pies. Determine las dimensiones del rectángulo.
5. La base de un rectángulo mide 7 pies menos que el doble de la longitud,
y el perímetro es de 58 pies. Encuentre el área del rectángulo.
6. La base de un rectángulo mide 10 pies más que el doble de su altura y
el perímetro es de 170 pies. Halle el área del rectángulo.
7. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 3 pulgadas
cada uno y los otro dos disminuyen 2 cada uno, el área aumenta en 8
pulgadas cuadradas. Encuentre el lado del cuadrado.
8. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 5 pulgadas cada uno y
los otros dos disminuyen 3 cada uno, el área se incrementa en 33
pulgadas cuadradas. Obtenga el lado del cuadrado.
182
9. Si dos lados opuestos de un cuadrado se incrementan en 6 pulgadas
cada uno y los otros dos lados disminuyen 4 cada uno, el área
permanece constante. Determine el lado del cuadrado.
10. Si dos lados opuestos de un cuadrado aumentan 10 pulgadas cada uno
y los otros dos disminuyen 8 cada uno, el área decrece 20 pulgadas
cuadradas. Hallar el lado del cuadrado.
11. La base de un cuadrado sin marco mide el doble de su altura. Si el
marco tiene 2 pulgadas de ancho y su área es de 208 pulgadas
cuadradas, encuentre las dimensiones del cuadrado sin marco.
12. La base de una pintura sin marco es 3 pulgadas menos que el doble de
su altura. Si el marco tiene 1 pulgada de ancho y su área es de 34
pulgadas cuadradas, ¿cuáles son las dimensiones de la pintura sin
marco?
13. Un edificio ocupa un terreno rectangular que mide de largo 30 pies
menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea el edificio tien
10 pies de anchura y un área de 4,600 pies cuadrados. ¿Cuáles son las
dimensiones del terreno que ocupa el edificio?
14. Una construcción se asienta en un terreno rectangular que mide de
largo 10 pies menos que el doble de su ancho. La banqueta que rodea
la construcción tiene 8 pies de anchura y su área es de 2,496 pies
cuadrados. Determine las dimensiones del terreno de la construcción.
15. La longitud de un edificio es de 20 pies menos que el doble de su
anchura. El alero de la azotea es de 2 pies de ancho en todos los lados
del edificio y su área es de 536 pies cuadrados. Si el costo del techo por
pie cuadrado es de $3.60, determine el costo total del techo.
16. La longitud de un cuarto es de 9 pies menos que el doble de su anchura.
La alfombra del cuarto está a 1.5 pies de las paredes. El área de la parte
descubierta del piso es de 99 pies cuadrados. Si el costo de una yarda
cuadrada de la alfombra es de $162, obtenga el costo total de la
alfombra. (1 yarda = 3 pies)
183
17. Un lado de un triángulo mide el doble de otro. El tercer lado ed de 6
pulgadas y el perímetro es de 18. Encuentre la longitud de cada uno de
los lados.
18. La suma de la base y la altura de un triángulo es 35 pies. Encuentre el
área del triángulo si su base mide 10 píes menos que el doble de su
altura.
19. La suma de la base y la altura de un triángulo es 62 pies. Encuentre el
área del triángulo si su altura mide 22 pies menos que el doble de su
base.
Respuesta a los problemas impares: 1) 21 pies, 27 pies; 3) 32 pies, 96 pies; 5) 204 pies
cuadrados; 7) 14 pulgadas; 9) 12 pulgadas; 11) 32 pulgadas, 16 pulgadas; 13) 130 pies, 80 pies; 15)
$16,329.60; 17) 4 pulg, 6 pulg, 8 pulg; 19) 476 pies cuadrados.
G) Problemas donde se realiza un trabajo
1. Una llave llenaría un tanque en 10 horas, y otra llave lo llenaría en 15
horas. Estando el tanque vació, ¿en cuanto tiempo se llenara, si se abren
las dos llaves a la vez?
Resp: 6 horas
2. Un hombre puede hacer cierto trabajo en 21 hr, otro hombre puede hacer el
trabajo en 28 hr, y un muchaco puede hacer el trabajo en 48 hr. Encuentre
cunto tiempo necesitaría para hacer el trabajo si los tres trabajaran juntos.
3. LA persona A puede pintar una casa en 10 días y la persona B puede pintar
una casa en 12 días. ¿Cuánto tiempo tomaría pintar la casa trabajando los
dos hombres conjuntamente?
4. Un trabajador voluntario requirió 2 horas para escribir la dirección de un
grupo de sobres para un fondo de cariadad, mientras que el segundo
trabajador requirió tres horas para el mismo grupo de sobres, ¿cuánto
184
tiempo tomaron los 2 trabajadores para escribir la dirección a un grupo
similar de sobres?
5. Un trabajador de mantenimiento necesitó 8 horas para lavar las ventanas
de cierto edificio. El mes siguiente su ayudante tomó 10 horas para lavar las
ventanas. Si los dos trabajadores lo hicieran juntos, ¿cuánto tiempo tomaría
en lavar las ventanas?
6. Un tanque puede llenarse con u tubo en 9 hr y con otro tubo en 12 hr. Si el
tanque está vacío al empezar, ¿en cuánto tiempo se llenará el tanque de
agua sí está saliendo el agua por un tercer tubo a una razón de 16 de la
capacidad del tanque por hora?
7. Una persona A puede hacer cierto trabajo en 4 hr, B puede hacer la tarea
en 6 hr, y C puede hacer la tarea en 8 hr. ¿Cuánto tiempo llevaría hacer la
tarea si A y B trabajan una hora y después B y C terminan el trabajo?
Respuesta a los problemas impares: 1) 6 hr; 3) 5 días; 5) 4 horas; 7) 3 hrs
185
H) En cada una de las siguientes situaciones completa los datos que faltan en la tabla para encontrar la solución.
1. Las medidas de un cartel. Un anuncio tiene impresa su parte central con forma rectangular, que mide 100 por 140 centímetros y está enmarcada con una banda de ancho constante. El perímetro del cartel es 1.5 veces el del área impresa. ¿Cuál es el ancho de la banda, y cuáles son las dimensiones del cartel?
Imagen del problema
Datos
Perímetro del área impresa = (2)(100) + (2)(140) = 480
Perímetro del cartel = 1.5 veces el perímetro del
área impresa = 720
Lo que se pide
Ancho de la banda = x
Dimensiones del cartel = (100 + 2x)(140 + 2x)
Perímetro = 2(100 + 2x) + 2(140 + 2x)
Ecuación
Solución
Ancho de la banda =
Dimensiones del cartel =
186
2. Que tan alto es el edificio. Se desea calcular la altura de un edificio y, para tal fin, una persona de 1.80 m mide la sombra que proyecta el edificio y ésta resulta ser de 10 m, mientras que su propia sombra es de 1 m. ¿Cuál es la altura h del edificio?
3.
Imagen del problema
Datos
Sombra del edificio =
Sombra de la persona =
Altura de la persona =
Lo que se pide
Altura del edificio =
101.80
1
Ecuación
Considerando las razones entre triángulos
Solución
Altura del edificio =
187
II)) AACCTTIIVVIIDDAADD GGRRUUPPAALL Formen grupos de trabajo de cuatro a cinco estudiantes y desarrollen los siguientes cálculos. Respondan en una hoja aparte y presente su información al grupo.
1. En un café internet el costo por utilización del servicio es $0.20 por minuto. aa.. Expresen mediante una función entre el costo y el tiempo, y grafiquen la función. bb.. ¿Cuál es el costo por hora de servicio? cc.. Si el dueño del establecimiento tiene 5 computadoras para el servicio y abre 9 horas al día, ¿Cuánto es el máximo que obtendría de ganancia por día?
2. En un billar el costo por jugar en una mesa es de $35 por hora. aa.. ¿Cuál es el costo por jugar t horas? bb.. ¿Cuál es la utilidad máxima que obtendría el dueño, del establecimiento por esa mesa, si abre 12 horas diarias. cc.. ¿Cuál es la utilidad que obtendría el dueño, si tiene 10 mesas? dd.. Si 2 jugadores ocupan la mesa y pagaron $180, ¿Cuánto tiempo jugaron?
188
1. Ecuaciones lineales en dos y tres variables Método Gráfico Método por Suma y Resta Método por Igualación Método por Sustitución Método por Determinantes
2. Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.
1. A resolver ecuaciones lineales en dos y tres variables 2. A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones
lineales.
Competencia
5 ECUACIONES LINEALES EN DOS Y TRES VARIABLES
Explicar los distintos métodos que existen para resolver una ecuación lineal en dos o tres variables.
Resolución de problemas en palabras que dan lugar a una ecuación lineal en dos o tres variables.
Saberes
Ejercicios
189
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
Sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Los elementos del conjunto solución de una ecuación lineal constituyen una cantidad infinita de parejas ordenadas que pueden representarse gráficamente con una línea recta.
Cuando de dibujan las gráficas de dos ecuaciones lineales en dos variables en un sistema de coordenadas cartesianas surge una de las siguientes posibilidades:
1. Las dos rectas coinciden 2. Las rectas no se intersecan; en tal caso se llaman rectas paralelas 3. Las rectas se intersecan precisamente en un punto.
Solución de sistemas de dos ecuaciones lineales en dos variables
Muchas veces se requiere encontrar la solución común, o conjunto solución común de dos o más ecuaciones que forman un sistema de ecuaciones.
DEFINICIÓN: El conjunto solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables que tienen la forma y es el conjunto de todas las parejas ordenadas de números que constituyen soluciones comunes a las dos ecuaciones. Es la intersección del conjunto solución de una de las ecuaciones con el de la otra.
Saberes
Nombre Ecuaciones lineales en dos y tres variavles No. 1Instrucciones para
el alumno Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para simplificar una expresión que contenga exponentes fraccionarios
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
190
1. Cuando las dos rectas se intersecan exactamente en un punto, el conjunto solución del sistema es la pareja ordenada formada por las coordenadas del punto de intersección.
2. Cuando las dos rectas coinciden, lo cual significa que al dibujarlas una recta queda sobre la otra, el conjunto solución del sistema es el de cualquiera de las ecuaciones.
3. Cuando las dos rectas no se intersecan, el conjunto solución del sistema es el conjunto vacio .
Algunos de los métodos de solución son los siguientes:
1. Solución Gráfica
2. Solución por Suma y Resta
3. Solución por igualación
4. Solución por Sustitución
5. Solución por Determinantes
I. Solución grafica
Ejemplo 1 Resolver el siguiente sistema:
2x + y = 16………………..1
x + y = 10………………..2
Se procede como sigue:
En la ecuación (1) despejamos el valor de (y), colocando esta incógnita es
función de (x) como a continuación se indica:
y = 16 – 2x
Ahora efectuamos una tabulación (damos valores a x y vemos que valores adopta
y).
191
En la ecuación (2) también despejamos a (y) y tabulamos:
Tabulaciones
A continuación, graficamos ambas ecuaciones (ambos lugares geométricos) en un
sistema de ejes coordenados:
La solución grafica del sistema de ecuaciones simultaneas esta dada por el
punto de intersección entre ambas rectas.
Solución: x = 6 y = 4
Comprobación: 2(6) + (4) = 16
192
II. Solución por suma o resta
Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de
eliminación por suma o resta, se aplica el siguiente procedimiento:
1. Multiplicamos los dos miembros de una ecuación, o de ambas, por factores
tales que igualen los coeficientes de una misma incógnita.
2. Sumamos las ecuaciones si dichos coeficientes son de signos contrarios, y las
restamos si son del mismo signo.
3. Resolvemos la ecuación resultante del paso anterior, con lo cual obtenemos el
valor de una incógnita.
4. Sustituimos este valor en cualquiera de las ecuaciones originales y resolvemos
para la otra incógnita.
Ejemplo 2 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
x + y = 4 ecuación 1
+ x – y = 2 ecuación 2
Sumamos ambas ecuaciones
2x = 6 3
Sustituimos en 1: Podemos hacer la comprobación
(3) + y = 4 x + y = 4 3 + 1 = 4
y = 4 – 3 x – y = 2 3 – 1 = 2
y = 1 Solución: x = 3, y = 1
193
Ejemplo 3 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:
X + 2y = 5………………….1
X + y = 4………………….2
Multiplicamos la ecuación 2 por (- 1) y la sumamos a la ecuación 1. Nota: Usted tiene la libertad de eliminar cualquiera de las variables, según sea su preferencia.
X + 2y = 5 Sustituyendo y = 1 en ec. (2) Comprobación:
‐x –y = ‐4 1 4 Ecuación (1): 3 2 1 5
y = 1 4 1 3 5 5
Solución: , Ecuación (2): 3 1 4
4 4
Ejemplo 4 Resuelve las siguientes ecuaciones simultáneas:
15 20 10 ………………….1
25 30 80 …………………..2
Multiplicamos la ecuación 1 por 3 y la ecuación 2 por 2 y luego las sumamos:
45 60 30
50 60 160
95 190
2
Sustituimos en ecuación 1 (porque es mi elección, pudiera ser la ecuación 2)
15 2 20 10
20 10 30
20 20 por lo tanto 1
194
III. Solución por igualación
Para resolver un sistema de dos ecuaciones simultaneas, eliminando por el
método de igualación, aplicamos el siguiente procedimiento:
1. Despejamos en cada ecuación la incógnita que se quiere eliminar.
2. Igualamos las dos expresiones del paso anterior.
3. Resolvemos la ecuación resultante de la igualación, con lo cual obtenemos el
valor de una de las incógnitas.
4. Sustituimos el valor hallado en una de las expresiones que representa el valor
de la otra incógnita y resolvemos para ella.
Ejemplo 5. Resuelve:
X + y = 12 (1
X – y = 8 (2
Despejamos a x en ambas ecuaciones e igualamos:
De 1: x = 12 – y de 2: x = 8 +y
Por lo tanto: Como: 12 Comprobación
12 –y = 8 + y 12 2 (10) + (2) = 12
‐y –y = 8 – 12 10 12 = 12
‐2y = ‐ 4 (10) – ( 2) = 8
2y = 4 8 = 8
y = 2
195
Ejemplo 6 Resolver el sistema: 3 2 12 ecuación 1
5 3 1 ecuación 2
Aunque pudiera despejar la x , elijo despejar la “ y “ por ilustración al alumno:
De ecuación (1): 2 12 3 De ecuación (2): 3 1 5
(Se multiplicó por -1) 3 5 1
Igualamos:
Multiplicamos por el m.c.m. = 6 6 6
Lo cual nos da: 3 12 3 2 5 1 Al sustituir x = 2 en la
36 9 10 2 ecuación (1) despejada:
38 19 3
2 Solución: ,
196
IV. Solución por sustitución:
El procedimiento es el siguiente:
1. Despejamos una incógnita en una de las ecuaciones.
2. Sustituimos la ecuación que representa su valor en la otra ecuación.
3. Resolvemos la nueva ecuación con lo cual se obtiene el valor de la incógnita
no eliminada.
4. Sustituimos el valor así hallado en la expresión que representa el valor de la
otra incógnita, y resolvemos la ecuación resultante.
Ejemplo 7 Resuelve: x + y = 23………………… (1
x – y = 7………………… (2
Despejamos el valor de y en la ecuación 1:
y = 23 – x …………………… (3
El valor de y obtenido en la ecuación 3 se sustituye en la ecuación 2:
x – (23 – x) = 7
x – 23 + x = 7 Sustituimos x = 15 en ecuación (3)
2x = 7 + 23 23 15 8
2x = 30 x = 15 Solución: ,
197
Ejemplo 8 Resolver por sustitución el sistema:
4 9 12 ……………….. 1
2 6 1 ……………….. 2
De la primera ecuación, y la sustituimos en la segunda ecuación:
2 6 1
6 1
Al multiplicar ambos miembros de la ecuación por 2, obtenemos
9 12 12 2
21 14
Sustituyendo en resulta:
Solución : y
198
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS CON MÁS DE DOS
INCÓGNITAS
Para resolver estos sistemas se pueden escoger cualquiera de los métodos vistos anteriormente.
Ejemplo 9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas:
2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1
10x + 9y – 3z = 50………………… (2
4x – 8y + z = 15…………………. (3
Elijo eliminar a (y) de las ecuaciones 1 y 2, multiplicamos la ecuación 1 por 9 y la
ecuación 2 por 6 y sumamos ambas expresiones:
+ 18x – 54y – 45z = ‐ 99
60x + 54y – 18z = 300
78x ‐ 63z = 201…………….. (4
Ahora multiplicamos la ecuación 2 por 8 y la ecuación 3 por 9 y las sumamos:
80x + 72y – 24z = 400
+ 36x – 72y + 9z = 135
116x ‐ 15z = 535 ………. (5
Ahora hagamos simultáneas las ecuaciones 4 y 5. Eliminemos a z multiplicando la ecuación 4 por (- 15) y la ecuación 5 por 63 y luego sumemos:
‐1170x + 945z = ‐ 3015
7308x – 945z = 33705
6138x = 30690
199
30690
6138x por lo tanto 5
Sustituimos en 5: Sustituimos en 1:
116(5) –15z = 535 2(5) – 6y – 5(3) = ‐11
580 – 15z = 535 10 – 6y – 15 = ‐ 11
‐15z = 535 – 580 ‐6y ‐5 = ‐11
‐15z = ‐ 45 ‐6y = ‐11+5
15z = 45 ‐6y = ‐6
z = 3 y = 1
Solución: , ,
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR DETERMINANTES (Regla de Cramer)
Antes de entrar a la resolución de ecuaciones simultaneas por determinantes,
veamos que es un determinante y como se resuelve.
Determinante de segundo orden. Es la ordenación cuadricular de 4 números
y se desarrolla de la manera siguiente.
Calcula el valor del siguiente determinante:
3 52 7
3 7 5 2 21 10 31
200
Determinante del tercer orden. Es una ordenación cuadricular de números, que consta de 3 columnas y 3 renglones .
El desarrollo de un determinante de tercer orden es el siguiente: (Se repiten las dos primeras columnas)
- - - + + +
Calcula el valor del siguiente determinante:
2 6 5
10 9 34 8 1
2 6 5
10 9 34 8 1
2 6
10 94 8
2 9 1 6 3 4 5 10 8
5 9 4 2 3 8 6 10 1
2 9 1 6 3 1 5 10 8 5 9 4 2 3 8 6 10 1
18 72 400 180 48 60 682
El determinante vale
201
Veamos ahora la aplicación de los determinantes a la resolución de sistemas de
ecuaciones simultáneas. El procedimiento es el siguiente:
1. Se ordenan las ecuaciones de tal modo que las constantes aparezcan en el
miembro de la derecha y las variables en el de la izquierda.
2. Calculamos el valor del determinante formado por la ordenación cuadricular de
los coeficientes de las incógnitas; a dicho determinante le llamaremos ∆ (delta).
3. En el determinante ∆ sustituimos la primer columna (correspondiente a los
coeficientes de la primer incógnita por la columna de las constantes de las
ecuaciones y calculamos el valor de este nuevo determinante al cual le
llamaremos ∆x (delta equis).
Si sustituimos la segunda columna en delta por la columna de las constantes,
entonces tendremos a ∆y (delta ye) y así sucesivamente
Aplicando la siguiente formula (regla de Cramer)
∆
∆,
∆
∆,
∆
∆
Nota: Si en lugar de x, y, z las incógnitas tuvieran otras literales, únicamente
haremos las modificaciones pertinentes.
Ejemplo 10 Resuelve por determinantes el sistema siguiente:
2X + 3Y = 8
3X ‐ Y = 1
∆ 2 33 1
2 1 3 3 2 9 11
∆ 8 31 1
8 1 3 1 11
202
∆ 2 83 1
2 1 3 8 22
11
111
xx
222
11
yy
Ejemplo 11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones simultáneas por determinantes:
2x – 6y – 5z = ‐11…………………. (1
10x + 9y – 3z = 50………………… (2
4x – 8y + z = 15…………………. (3
∆2 6 5
10 9 34 8 1
682 Nota: El alumno debe verificar el valor de los determinantes
Por lo tanto, la solución es:
∆11 6 5
50 9 315 8 1
3410 ∆
5
∆2 11 5
10 50 34 15 1
682 ∆
1
∆2 6 11
10 9 504 8 15
2046 ∆
3
X = 1
Y = 2
203
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN DOS VARIABLES QUE
CONTIENEN SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y FRACCIONES
Cuando alguna o ambas ecuaciones contienen símbolos de agrupación, se aplica la ley distributiva para eliminarlos. Se escriben ecuaciones equivalentes de la forma
y, luego, se resuelve.
Ejemplo 12 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
3 2 4 13 y 5 2 3 19
Solución: Se simplifican ambas ecuaciones separadamente:
3 2 4 13 5 2 3 19
3 3 2 8 13 10 5 3 19
11 13 ……………. Ec. (1) 7 5 19 ………………Ec. (2)
Resolvemos ahora el sistema formado por las ecuaciones (1) y (2)
7 77 91 Ec. (1) multiplicada por 7
7 5 19
72 72
1
Sustituyendo 1 en la ecuación (1) tenemos,
11 1 13
2
El resultado es ,
204
Ejemplo 13 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones
7 ; 13
Solución: Multiplicamos la primera ecuación por 4, y la segunda por 12, lo cuál da:
2 3 28 10 20 30 280
9 10 156 3 27 30 468
47 188
4
Sustituyendo 4 en cualquier ecuación da:
2 4 3 28 12
205
EJERCICIOS
I. Resuelve por método grafico los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
1. 4
2
x y
x y
2. 3
1
x y
x y
3. 5
1
x y
x y
4. 3 2 7
3 5
x y
x y
5. 3 4
3 2
x y
x y
II. Resuelve por el método de eliminación por suma o resta los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
6. 2
2 1
x y
x y
7. 4 6
3 1
x y
x y
8. 2 6
3 8
x y
x y
9. 6 7 10
8 13 6
x y
x y
10. 2 3
3 2 8
x y
x y
11. 3 2
3 5 6
x y
x y
12. 2 7 26
5 9
x y
x y
13. 5 2 3
7 3 10
x y
x y
14. 4 3 6
3 5 19
x y
x y
Ejercicios
Nombre A resolver ecuaciones lineales en dos y trtes variables No. 1Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
206
III. Resuelve por método de eliminación por igualación los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
15. 5 1
3 7
x y
x y
16. 2 2
3 7
x y
x y
17. 5
4 10
x y
x y
18. 4 5 2
5 3 21
x y
x y
19. 2 11 67
2 5 20
y x
x y
20. 3 7 2
7 8 2
x y
x y
21. 4 3 5
3 2 3
x y
x y
22. 2 3 5
3 4 18
x y
x y
IV. Resuelve por el método de eliminación por sustitución los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas:
23. 3 0
2 5
x y
x y
24. 4 5
3 4 17
x y
x y
25. 5 7
5 3 3 2
y x
x y x
26. 3 2
3 5 6
x y
x y
27. 7 6 17
3 18
x y
x y
28. 37
2 3 31 13
x y
x y x y
29. 2 6
2 4 3
x y y
x y y
V. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los
métodos de eliminación:
30.
12
2 2 2 3
3 7
x y z
x y z
x y z
31.
2 4 2 0
3 5 3 4
7 2 7
x y z
x y z
x y z
32.
3 2 9
4 3 19
2 8
x y z
x y z
x y z
33.
7
1
3
x y z
x y z
y z x
34. 2 9
5 2 6
x y z
x z y
x y z
35.
14
6
(4 )
x y z
x y z
y x z
VI. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas por el
método de determinantes.
36. 2 4
3 4 1
x y
x y
37. 3 5
2 3 7
x y
x y
38. 4 3 2
4 0
x y
x y
39.
3 2 4 1
4 5 2
2 3 6
x y z
x y z
x y Z
207
VII. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones por cualquiera de los métodos que usted quiera.
40 2 3 3 2 4 0 41. 3 2 3 2
4 1 4 3 2 2 4
42. 4 1 3 2 19 43. 3 2 7 2
5 4 3 9 4 6 7 26
44. 3 2 2 3 4 45. 2 3 4 3 2 7 35
7 2 4 17 2 3 7
46. 3 2 2 2 26 47. 3 2 2 3 4
2 3 2 22 4 3 2 2
48. 3 2 3 4 3 11 49. 5 3 2 2 5 21
6 4 21 2 2 9
50. 51.
52. 53.
VIII. Aquí tienes más ecuaciones para que practiques por el método que
gustes:
54. 3 0 55. 4 5 56. 4 3 57. 3 1
2 5 3 4 17 2 3 2 7
208
58. 2 3 59. 2 12 60. 2 4 61. 3 1
3 3 9 6 19 3 2 27 2 3
62. 2 3 12 63. 7 6 17 64. 3 1 65. 5 1
4 5 20 3 18 7 6 11 4 1
66. 2 2 67. 1 68. 4 6 7 69. 15 9 5
6 7 8 2 3 5 3 5 6 8 7
70. 8 3 8 83 71. – 2 2 1 72. 2 5 18
7 5 7 126 5 4 16 7 5 5 83
4 4 3 17 8 4 2 10 9 5 7 99
73. – 3 5 9 61 74. – 5 5 67 75. – 3 3 7 33
5 4 7 64 2 9 9 21 4 9 9 128
6 8 15 8 9 8 96 3 5 5 45
Solución a los ejercicios impares anteriores:
1. 3, 1x y ; 3. 3, 2x y ; 5. 1, 1x y ; 7. 1, 2x y ; 9. 4, 2x y
11. 2, 0x y ; 13. 1, 1x y ; 15. 1, 4x y ; 17. 2, 3x y ;
19. 5, 6x y ; 21. 1, 3x y ; 23. 1, 3x y ; 25. 2, 1x y ;
27. 5, 3x y ; 29. 3, 0x y ; 31. 1, 2, 3x y z ; 33. 4, 2, 5x y z
35. 10, 5, 1x y z ; 37. 2, 1x y ; 39. 1, 3, 1x y z
41. 2, 4; 43. 4, 2; 45. 1, 2; 47. 2, 2;
49. 1, 4; 51. 8, 3; 53. 15, 15 55. 3, 2
57. 1, 2 59. 2, 7; 61. , 63. 5, 3
65. , 67. , 69. , ; 71. 1, 2, 3;
73. 6, 5, 2; 75. 5, 9, 3
209
PROBLEMAS QUE DAN LUGAR A UN SISTEMA DE ECUACIONES CON DOS O MÁS INCÓGNITAS
Muchos problemas con enunciado contienen más de una cantidad desconocida; con frecuencia la ecuación que se plantea en la resolución del problema resulta ser más sencilla si se introduce más de una incógnita. Sin embargo, antes de que el problema esté completamente resuelto, el número de ecuaciones originadas tiene que se igual al número de incógnitas empleadas.
1. Un arrendatario recibió $ 1,200 de alquiler de dos residencias en 1 año; el
precio del alquiler de una de ellas era de $10 por mes más que la otra.
¿Cuánto recibió el arrendatario por mes por cada una si la casa más cara
estuvo desocupada 2 meses?
Solución: Sea,
el alquiler mensual de la casa más cara,
el alquiler mensual de la otra, entonces
Saberes
Nombre Problemas en palabras que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales
No. 2
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para resolver un problemas cotidiano empleando una ecuación lineal en dos o tres variables.
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
210
10 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)
ya que una tenía un costo de $10 por mes más que la otra. Además, ya que la primera casa fue alquilada durante 10 meses y la otra por 12 meses, se sabe que 10 12 es la cantidad total recibida. De aquí que,
10 12 1200 ‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)
Ahora, se tienen las ecuaciones (1) y (2) con las incógnitas y ; se
resolverán simultáneamente por eliminación de y. El resultado es como sigue:
12 12 120 ecuación (1) por 12
10 12 1200
22 1320 Sustituyendo 60 por x en ecuación (1) da:
De este modo 60 60 10 50 50
Por tanto, la renta mensual fue de $60 y $50, respectivamente.
2. Un comerciante de tabaco mezcló un grado de tabaco que vale $1.40 por libra con otro que vale $1.80 por libra a fin de obtener 50 libras de una mezcla que vendió a $1.56 por libra. ¿Qué peso de cada calidad fue empleado?
Solución: Sea,
el número de libras del de $1.40 empleado
el número de libras del de $1.80 empleado
Entonces
50 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (1)
Ya que había 50 libras en la mezcla. Asimismo, 1.40 es el valor en dólares con la
primera calidad, 1.80 es el valor en dólares con la segunda calidad y también
tenemos que 1.56 50 78 es el valor en dólares de la mezcla. Por tanto,
1.40 1.80 78 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ ecuación (2)
211
Ya que (1) y (2) son las ecuaciones requeridas, podemos resolverlas como sigue:
1.40 1.40 70 ecuación (1) por 1.40
1.40 1.80 78
0.40 8
.
20
Sustituyendo 20 por en la ecuación (1), se obtiene 20 50 30
Por lo tanto, el comerciante utilizó 30 libras de $1.40 y 20 libras de $1.80 en la mezcla.
3. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces
el segundo excede en 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.
Solución: Primer número Segundo número
2 3 9 2 3 9 ecuación (1)
12 7 12 7 12 12 ecuación (2)
Resolviendo el sistema tenemos que,
8 12 36 ecuación (1) por 4
7 12 12
48
48
Al sustituir x por 48 en cualquier ecuación resulta 29
Los números son 48 y 29
212
4. Catalina invirtió parte de su dinero al 8% y el resto al 12%. El ingreso obtenido por ambas inversiones totalizó $2,240. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso hubiera totalizado $2,760. ¿Qué cantidad de dinero había en cada inversión?
Solución: Inversiones originales Inversiones intercambiadas
x al 8% ; y al 12% x al 12% ; y al 8%
0.08 0.12 2240 0.12 0.08 2760
8 12 244,000 12 8 276,000
2 3 61,000 …….. (1) 3 2 69,000 ………..(2)
Al resolver las ecuaciones (1) y (2) tenemos,
4 6 122,000 ecuación (1) por 2
9 6 207,000 ecuación (2) por 3
5x = 85,000
x = 17,000
Sustituyendo x por 17,000, se obtiene 9,000
Las inversiones son $17,000 y $9,000
213
5. Si la base de un rectángulo disminuye 2 pulgadas y la altura aumenta 2, su
área se incrementa en 16 pulgadas cuadradas. Si la base aumenta 5
pulgadas y la altura disminuye 3, el área aumenta 15 pulgadas cuadradas.
Encontrar el área del rectángulo original.
Solución: Sea la altura del rectángulo en pulgadas = x
Sea la base del rectángulo en pulgadas = y
Primero: Segundo:
2 2 16 5 3 15
2 2 4 16 5 3 15 15
2 2 20 5 3 30 ……… ec. (2)
10 …… ec. (1)
Resolviendo las ecuaciones obtenidas,
3 3 30 ec. (1) por 3
5 3 30
2 60
30
Sustituyendo x por 30 obtenemos y = 40
Por consiguiente, el área del rectángulo original 30 40 1200
6. Si una solución de glicerina al 40% se agrega a otra al 60%, la mezcla resulta al 54%. Si hubiera 10 partes más de la solución al 60%, la mezcla sería al 55% de glicerina. ¿Cuántas partes de cada solución se tienen?
Solución: Primero : Sean
40% 60% 54%
40% 60% 54%
214
40 60 54
14 6 0 que al dividirla entre 2
7 3 0 Ecuación 1
Segundo: Sean 10 10
40% 60% 55%
40% 60% 10 55% 10
40 60 10 55 10
40 60 600 55 55 550
15 5 50
3 10 Ecuación 2
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos:
7 3 0 7 3 0
3 10 x (‐3) 9 3 30
Sumando resulta 2 30
15
Al sustituir por 15, obtenemos 35
Las partes correspondientes a las soluciones de glicerina son 15 y 35
7. Una caja registradora contiene $50 en monedas de 5 centavos, de diez centavos y 25 centavos. En total son 802 monedas, siendo 10 veces mayor el número de las de 5 centavos que el de las de 10 centavos. Encontrar cuantas monedas hay de cada valor.
Numero de monedas de 5¢ = x
Numero de monedas de 10¢ = y
Numero de monedas de 25¢ = z
215
Condiciones:
.05x + .1y + .25z = 50 ………………. Ecuación (1)
x + y + z = 802 ……………… Ecuación (2)
x = 10y ……………… ecuación (3)
En esta ocasión decidimos resolver el sistemas por determinantes:
15.205.25.5.21.0
101
11
1.05.
0101
111
25.1.05.
150505000200500
100
1802
1.50
0100
11802
25.1.50
x
Por lo tanto, 70015.2
1505
x
x
Sustituimos en 3: 10y = 700 y = 70
Sustituimos en 2: (700) + (70) + z = 802 z = 32
700 monedas de 5¢
70 monedas de 10¢
32 monedas de 25¢
216
I. RESOLVER LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN DOS VARIABLES
1. El doble de un número supera en 9 al triple de otro, mientras que 12 veces el segundo excede En 12 unidades al séptuplo del primero. Hallar ambos.
2. El doble de un número es 4 unidades menor que otro, mientras que el quíntuplo del primero es 3 unidades menor que el doble del segundo. Halle los dos números.
3. El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades menor que el doble del segundo.. Encuentre ambos números.
4. Marcos invirtió parte de su dinero al 12% y el resto al 15%. El ingreso por
ambas inversiones totalizó $3000. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $2940. ¿Qué cantidad tenía en cada inversión?
5. El precio del boleto de avión México-Guadalajara es de $850 para adulto y de
$500 para niño. Si se vendieron un total de 50 boletos y se obruvieron ingresos por $36,900, ¿cuántos adultos y cuántos niños viajaron en el avión?
Ejercicios
Nombre A resolver problemas cotidianos que dan lugar a un sistema de ecuaciones lineales.
No. 2
Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
217
6. El restaurante Los Comales paga a sus camateros $500 a la semana más las
propinas que promedian $100 por mesa. El restaurante Las Cacerolas paga $1,000 a la semana pero las propinas promedian sólo $50 por mesa. ¿Cuántas mesas " " tendría que atender un mesero de modo que su salario semanal " " fuera el mismo en ambos restaurantes?
7. Una notaria cobra $3500 por elaborar un título de propiedad y $2000 por el
acta constitutiva de una empresa. En un mes realizó un total de 22 operaciones que representaron un ingreso de $53,000 por estos conceptos, pero en sus registros no se anotó cuántos títulos de propiedad y cuántas actas constitutivas se elaboraron y ahora se requiere conocer esos datos; Obténlos a partir de la información requerida.
8. Si 6 libras de naranjas y 5 libras de manzanas cuestan $4.19 dólares, mientras que 5 libras de naranjas y 7 de manzanas cuestan $4.88 dólares, determina el presio por libra de cada fruta.
9. Si 5 libras de almendras y 4 de nueces cuestan $30.30 dólares, mientras que 8
libras de almendras y 6 de nueces cuestan $47.20 dólares, determinar el precio por libra de cada producto.
10. Si 12 libras de papas y 6 de arroz cuestan $7.32 dólares, mientras que 9 libras
de papas y 13 de arroz cuestan $9.23 dólares, ¿cuál es el precio por libra de cada producto?
11. Si 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan $12.53, mientras que 7 de
maíz y 9 de chícharos cuestan $12.52 dólares, halle el precio por paquete de cada producto.
12. Si la longitud de un lote rectangular disminuye 10 pies y la ancura aumenta 10, el área del lote se incrementa en 400 pies cusdrados. Si la longitud aumenta 10 pies y la anchura disminuye 5, el área del lote permanece constante. Halle el área del lote original.
13. Si la base de un rectángulo aumenta 2 pulgadas y la altura disminuye 2, el área disminuye 16 pulgadas cuadradas. Si la base disminuye 1 pulgada y la altura aumenta 2, el área se incrementa en 20 pulgadas cuadradas. Determine el área original del rectángulo.
218
14. Un ganadero ha vendido 60 terneras y 240 ovejas a un comprador por $17,160 dólares, y con los mismos precios ha vendido 40 terneras y 180 ovejas por $12,240. Encuentre los precios por cabeza de cada una de las especies de animales vendidos.
15. Un hombre tiene dos inversiones, una que le deja anualmente un interés de 3% y otra de 4%. El ingreso anual total causado por las inversiones es $170. Si se intercambiaran las razones de interés, el interés total anual sería de $180. Encuentre el monto de cada inversión.
16. Si una aleación de plata al 8% se combinara con otra al 20%, la mezcla contendría 10.4% de plata. Si hubiera 10 libras menos de la aleación al 8% y 10 más de la aleación al 20%, la mezcla resultaría al 12.8% de plata. ¿Cuántas libras de cada aleación se tienen.
17. Si una solución de ácido al 20% se agrega a otra al 50%, resulta una mezcla al 38%. Si hubiera 10 galones más de la solución al 50%, la nueva mezcla resultaría al 40% de ácido. ¿Cuántos galones se tiene de cada solución?
18. Una empresa constructora cobra $350 por elaborar un plano y $600 por un diseño. En un año registró haber efectuado 420 operaciones que representaron un ingreso de $207,000, ¿cuántos planos elaboró?
19. El precio de entrada a un espectáculo es $40 por adulto y $10 por niño. Si se vendieron en total 450 boletos y se obtienen ganancias por $9000, ¿cuántos niños entraron al espectáculo?
II. RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS USANDO UN SISTEMA LINEAL EN TRES VARIABLES
20. Encuentre tres números tales que la suma del primero y segundo es 67, la suma del primero y tercero es 80, y la suma del segundo y el tercero es 91.
21. La suma de tres ángulos de un triángulo es 180°. La suma de dos de los ángulos es igual al tercer ángulo y la diferencia de los dos ángulos es igual a 2/3 del tercer ángulo. Encuentre los ángulos.
219
22. Un hombre realiza tres inversiones de un total de $24,000 con razones de interés de 6%, 7% y 8% anual. El ingreso tatal anual es de $720 y el ingreso de la inversión al 7% es $40 menos que el ingreso combinado de las otras dos inversiones. Encuentre el monto total de cada inversión.
23. La biblioteca de una escuela gastó $895 en la compra de 40 libros en total,
correspopndientes al las asignaturas de matemáticas, geografía e inglés. En la “Librería Cristal” los precios son: $28 cada libro de matemáticas, $25 de geografía y $15 el de inglés. Si los hubiera comprado en la “Librería Quijote” habría gastado $915 en la adquisición del mismo número de libros, pero a un precio de $31 cada libro de matemáticas, $24 de geografía y $14 el de inglés. ¿Cuántos libros de matemáticas, geografía e inglés se adquirieron?
24. Armando ha pagado en el supermercado un total de 1560 pesos por 240 litros
de leche, 60 kg de azúcar y 120 litros de aceite. Calcula el precio de cada artículo, sabiendo que 10 litros de aceite cuestan el triple de 10 litros de leche y que 10 kg de azúcar cuestan igual que 40 litros de aceite más 40 litros de leche.
25. En la caja fuerte del abuelo hay 50,000 pesos en billetes de $50, $100 y $200.
En total son 802 billetes, siendo 10 veces mayor el número de los de cincuenta que los de cien pesos. Ayuda a mi abuelo a descifrar cuántos billetes hay en cada denominación.
Respuesta a los problemas impares anteriores:
1) Los números son 48 y 29; 3) 6 y 17; 5) 34 adultos, 16 niños; 7) 6 titulos de
propiedad, 16 actas contitutivas; 9) Almendras a $3.50, nueces a $3.20;
11) Maiz a 63¢, chícharos a 89¢; 13) 160 pulgadas cuadradas; 15) $3000 al 3%, $2000 al
4%; 17) 20 galones, 30 galones, 19) 300 niños; 21) 15°, 75°, 90°;
23) 15 de matemáticas, 10 de geografía y 15 de inglés; 25) 690 de $50, 69 de $100, 43 de
$200 pesos.
220
1. Métodos de solución de una ecuación cuadrática o de segundo grado Métodos de solución:
Gráfico Factorización Completando el trinomio cuadrado perfecto Fórmula General
Ecuaciones con radicales Ecuaciones reducibles a una de segundo grado Ecuaciones que dan lugar a ecuaciones cuadráticas
2. Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática.
1. A resolver ecuaciones en forma cuadráticas 2. A resolver problemas en palabras por medio de ecuaciones de segundo
grado
Competencia
6 ECUACIONES CUADRÁTICAS
Métodos de solución de una ecuación cuadrática Ecuaciones que se reducen a una ecuación
cuadrática Problemas en palabras que se resuelven con una
ecuación cuadrática
Saberes
Ejercicios
221
ECUACIONES CUADRÁTICAS.
Definición
Una ecuación con una sola incógnita es de segundo grado o cuadrática cuando después de reducida a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es 2.
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO
Toda ecuación de segundo grado con una incógnita puede reducirse en
forma general:
En donde a es el coeficiente de la incógnita al cuadrado, b es el coeficiente de la incógnita a la primera potencia y c es el termino independiente.
Ecuación cuadrática completa
Una ecuación de segundo grado es completa cuando consta de 3 términos: uno en que aparece la incógnita al cuadrado, en otro en que aparece la incógnita a la primera potencia y en un término independiente.
Saberes
Nombre Métodos de solución de una Ecuación Cuadrática o de Segundo Grado
No. 1
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para resolver una ecuación cuadrática por cualquier método.
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
ax2 + bx + c = 0
222
Ecuación cuadrática incompleta:
Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando carece del término independiente o del término con la incógnita a la primera potencia.
Cuadráticas puras y cuadráticas mixtas
Es cuadrática pura ax2 + c = 0
ax2 + bx = 0
Son cuadráticas mixtas
ax2 + bx + c = 0
RESOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS PURAS
En todas las cuadráticas puras, la incógnita es igual a más menos la raíz cuadrada del cociente del término independiente cambiado de signo entre el coeficiente de x2 .
Ejemplo 1:
Resuelve la siguiente ecuación:
2x2 + 7 = 194
5 2
x
8x2+ 28 = 5x2 + 76 (se multiplicó la ecuación anterior por 4)
8x2‐ 5x2 + 28 – 76 = 0
3x2‐48 = 0
√16 4
La solución es 4 ; 4
223
RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS INCOMPLETA
La ecuación de segundo grado en que falta el término independiente tiene una raíz nula (igual a cero), y la otra es igual al cociente formado por el coeficiente del termino en x con signo contrario entre el coeficiente de x2.
ax2 + bx = 0 0
x(ax + b) = 0 Esta es otra solución
Esta es una solución
Ejemplo 2:
Resuelve la siguiente ecuación:
x2 – 9x = 0 Igualamos cada factor a cero
x(x – 9) = 0 0 9 0
9
RESOLUCIÓN DE LAS CUADRÁTICAS MIXTAS COMPLETAS.
Métodos para resolver cuadráticas mixtas incompletas
Método
Gráfico
Factorización
Completando
el cuadrado
Por Fórmula
General
0
224
Resolución de cuadráticas mixtas completas por el método grafico
Procedimiento:
1. Igualamos la cuadrática a una nueva variable (y)
2. Tabulamos: dando valores a x calculamos los valores que adopta y.
3. Graficamos.
4. Los valores de x para los cuales y vale cero, serán las raíces solución
de la ecuación.
Ejemplo 3: Resolver por el método gráfico 2 8 0
1. Sea 2 8
2. Se hace hace una tabla de valores de que corresponden a los valores asignados de conforme se muestra en la siguiente tabla:
3. Usar los pares de valores que aparecen en la tabla como coordenadas de los puntos en el sistema de coordenadas rectangulares.
4. Dibujar la curva a través de estos puntos. La gráfica resultante es una parábola. Ver la figura.
Las soluciones o raíces de la ecuación son los puntos en donde 0, ya que esto conduce a la ecuación original 2 8 0 . En la tabla podemos ver que las raíces son:
y
225
Resolución de cuadráticas mixtas completas por factorización
Procedimiento:
1. Factorizamos la ecuación.
2. Igualamos cada sector a cero y resolviendo para la incógnita en cada
caso obtenemos las raíces de la ecuación.
Ejemplo 4: Podemos comprobar el resultado de la ecuación anterior,
resolviéndola por factorización.
2 8 0
4 2 0
4 0 2 0
4 2
4 2
Ejemplo 5:
Resuelve la siguiente ecuación:
0352 2 xx
(x – 3) (2x + 1) = 0 31 x
x – 3 = 0 2
12 x
2x + 1 = 0
226
Resolución de cuadráticas mixtas completando el cuadro
Ejemplo 6:
Resuelve la siguiente ecuación:
x2 + 6x – 16 = 0
1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:
x2 + 6x = 16
2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado (la mitad de 6 es 3, que el cuadrado de 9, por lo tanto,
x2 + 6x + 9 = 16 + 9
x2 + 6x + 9 = 25
3. Como el primer miembro es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:
2( 3) 25x
4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos:
3 5
3 5
Por lo tanto las raíces son:
3 5
3 5
227
Ejemplo 7:
Resuelve la siguiente ecuación:
2x2 + 9x – 5 = 0
En este caso, primero dividimos la ecuación entre 2 para que el coeficiente de x2
sea la unidad.
0
1. Cambiar el término independiente al segundo miembro:
2. Agregar a cada miembro de la ecuación la mitad del coeficiente de x elevado al
cudrado: (la mitad de es /
/ que al elevarlo al cuadrado da .
3. Como el lado izquierdo de la ecuación es un trinomio cuadrado perfecto, lo sustituimos por un binomio al cuadrado:
4. Sacamos raíz cuadrado a ambos lados de la ecuación, y obtenemos
Por lo tanto las raíces son:
5
228
Resolución de cuadráticas mixtas completas por formula general
Deducción de la formula general. La formula general se deduce al resolver la
ecuación literal.
2 0ax bx c
Por el método de completar cuadrado:
a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
a
bac
a
bx
a
b
a
c
a
bx
a
bx
a
cx
a
bx
a
cx
a
bx
2
4
2
2
4
2
4
4
2
4
4
2
44
0
2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
2
2
Formula general
a
acbbx
2
42
229
La naturaleza de las raíces puede deducirse a partir del valor numérico del
radicando (b2- 4ac), también llamado discriminante, de acuerdo con las siguientes
reglas:
1. Si (b2 -4ac) > 0. y además cuadrado perfecto, acb 42
Es racional: las raíces son reales, desiguales y racionales.
2. Si b2 -4ac)> 0, ser cuadrado perfecto, acb 42
Es irracional; las raíces son reales, desiguales e irracionales
3. Si (b2 -4ac) = 0, las raíces son reales e iguales y cada raíz vale –
b/2a.
4. Si (b2 – 4ac) < 0, entonces acb 42 es imaginario: las raíces son
complejas.
Ejemplo 8:
x2 – 8x + 15 = 0
X = a
acbb
2
42
h
; ;
X = )1(2
)15)(1(4)8()8( 2
2
282
48
2
60648
x
x
x
32
6
52
10
2
1
x
x
230
Ejemplo 9: Resolver la ecuación cuadrática siguiente:
5x2 – 24x -5 = 0
10
10057624
)5(2
)5)(5(4)24()24( 2
x
x
5
ECUACIONES QUE COMPRENDEN RADICALES DE SEGUNDO ORDEN
Ejemplo 10: Resuelve la siguiente ecuación
032122 2 xxx
Cambiamos el segundo miembro de la ecuación a los términos que no tienen
radical.
122 2 xx = 2x -3
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
2x2- 2x +1 = (2x -3)2
2x2 -2x +1 = 4x2 -12x +9
2x2- 2x +1 - 4x2 +12x -9 = 0
- 2x2 +10x -8 = 0 multiplicando por -1 y dividiendo entre 2
x2-5x +4 = 0
102624
1067624
x
x
231
(x-4)(x-1) = 0
x -4 = 0 x = 4 x-1=0 x = 1
¡Muy importante!
Los valores obtenidos no significan que sean las soluciones pedidas. Tenemos
que comprobar estos valores sustituyéndolos en la ecuación original, debido a que
se pudieron ver introducido raíces extrañas.
Comprobación:
Al sustituir el valor de x = 4 en la ecuación original nos da:
22(4) 2(4) 1 2(4) 3 0
32 8 1 8 3 0
25 5 0
0 0
Podemos ver que si se cumple la igualdad, por lo tanto x = 4 si es solución.
Al sustituir el valor de x = 1 en la ecuación original nos da:
22(1) 2(1) 1 2(1) 3 0
2 2 1 2 3 0
1 1 0
2 0
Podemos ver que obtenemos un absurdo, por lo tanto x = 1 no es solución.
232
ECUACIONES REDUCIBLES A UNA DE SEGUNDO GRADO
Ejemplo 11: Resuelve
3x4 = 2x2 + 1
Hacemos la sustitución z = x2 quedando:
3z2 = 2z + 1
3z2 - 2z – 1 = 0
z = 6
1242
)3(2
)1)(3(4)2()2( 2
1 z2 = 3
1
Pero, x2 = z, por lo tanto: 1
1 Son cuatro soluciones.
Ejemplo 12: Resuelve
8x6 = 19x3 +27
Sustitución: x3 = z
8z2 = 19z +27
8z2 -19z – 27 = 0
19 19 4 8 27
2 819 √361 864
1619 35
16
19 3516
5415
278
19 3516
1616
1
233
Pero como tenemos:
; sacando raíz cúbica a ambos lados da: primera solución
1; sacando raíz cúbica a ambos lados da: √ 1 1 segunda solución
ECUACIONES QUE DAN LUGAR A ECUACIONES CUADRATICAS
Cuando una ecuación contiene fracciones puede escribirse en una forma más simple si ambos miembros de la ecuación se multiplican por el mínimo común denominador (m.c.d.) de las fracciones presentes en la ecuación.
Si una ecuación se multiplica por un polinomio en la variable, la ecuación resultante podría no ser equivalente a la original. Esto significa que la ecuación resultante puede poseer raíces que no satisfacen la ecuación original. Los valores obtenidos para la variable que satisfagan la ecuación original, son las raíces de esta. En otras palabras tenemos que comprobar los resultados obtenidos sustituyendo en la ecuación original.
EJEMPLO 13.
Resolver la ecuación 6 4 .
Solución: Se multiplican ambos miembros de la ecuación por 3 .
6 3 15 4 3
6 18 15 4 12
6 12 0
3 4 2 3 0
3 4 0, esto es, y también 2 3 0, esto es,
234
Al comprobar en la ecuación original,
Para 6 4 Para 6 4
8 12 4 9 5 4
4 4 4 4
Por lo tanto el conjunto solución es: ,
EJEMPLO 14. Resolver
Solución: Primeramente factorizamos los denominadores
Se multiplican ambos miembros por 2 3 4 y nos queda,
10 4 3 3 12 2
Que al hacer las operaciones y simplificar 10 25 15 0
2 5 3 0 Se dividió la ecuación anterior 5
2 3 1 0
2 3 0, es decir o bien 1 0, es decir 1
El conjunto solución es: , 1
La comprobación se deja como ejercicio.
235
I. Resuelve para x las siguientes ecuaciones por el método de factorización:
1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
17. 18. 19. 20.
21. 22. 23.
24. 25. 26.
27. 28. 29.
30. 31. 32.
33. 34. 35.
36. 37. 38.
Ejercicios
Nombre A resolver ecuaciones en forma cuadrática No. 1Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
236
39. 3 12 9 0 40. 2 3 2 0 41. 3 5 2
42. 4 3 1 43. 4 4 3 44. 3 8 3
45. 6 1 46. 6 35 6 47. 3 12 5
48. 6 12 49. 9 4 12 50. 4 12 9 0
51. 9 6 1 0 52. 2 3 0 53. 9 18 0
54. 2 6 0 55. 2 7 4 0 56. 6 11 3 0
II. Resuelva para las siguientes ecuaciones completando el cuadrado:
1. 2 3 0 2. 7 6 0 3. 3 10 0
4. 12 0 5. 7 30 0 6. 3 18 0
7. 14 15 8. 4 21 9. 14 24
10. 72 11. 4 4 12. 6 9
13. 6 8 0 14. 2 15 0 15. 5 36
16. 8 4 17. 0 18. 2 3 0
19. 3 5 0 20. 2 7 21. 2 3 1 0
22. 2 1 23. 2 5 2 24. 4 1 5
25. 3 32 20 26. 3 8 14 27. 5 13 6 0
28. 4 24 35 29. 4 3 8 30. 9 2 3
31. 4 9 12 0 32. 1 2 0 33. 3 2 0
Respuesta a los ejercicios impares anteriores:
1) 3,1 3) 2,5 5) 3,10 7) 1,14 9) 12,2 11) 2, 2
13) 4,2 15) 9, 4 17) 1,0 19) , 0 21) 1, 23) 2,
25) , 8 27) 2, 29) , 31) , 33) √
237
III. Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la fórmula cuadrática:
1. 2 0 2. 3 0 3. 3 5 0 4. 8 3 0
5. 6 0 6. 4 3 0 7. 4 0 8. 36 0
9. 2 0 10. 8 0 11. 12 0 12. 18 0
13. 4 1 0 14. 9 25 0 15. 2 3 0 16. 3 1 0
17. 5 6 0 18. 3 7 0 19. 2 9 0 20. 25 4 0
21. 4 9 0 22. 8 7 0 23. 3 4 0
24. 5 24 0 25. 7 12 0 26. 6 0
27. 9 20 0 28. 6 16 0 29. 2 8 0
30. 4 32 31. 3 18 32. 2 2
33. 2 4 34. 4 4 35. 2 3
36. 4 4 37. 6 9 0 38. 36 12
39. 6 10 19 40. 18 27 4 0 41. 6 2 0
42. 8 14 15 43. 9 3 20 44. 2 17 36
45. 12 9 31 46. 10 9 9 0 47. 24 21 65
48. 8 30 27 49. 3 10 6 0 50. 2 4 3 0
51. 3 6 2 0 52. 5 9 3 0 53. 9 1 6 0
54. √2 5 55. √3 4 56. √5 2
57. √7 5 58. 2√3 1 59. 3√2 8
238
Respuestas a los problemas impares anteriores:
1) 2,0 3) 0, 5) , 0 7) 2, 2 9) √2, √2
11) 2√3, 2√3 13) , 15) √ , √
Se racionalizó el denominador
17) √ , √
Se racionalizó 19) √ , √
Se racionalizó 21) ,
23) 4,1 25) 4, 3 27) 4,5 29) 2,4 31) 3,6
33) 1 √5, 1 √5 35) √ , √
37) 3, 3 39) ,
41) , 43) , 45) , 47) , 49) √ , √
51) √ , √
53) , 55) √ √ , √
57) √ √ , √ √
59) 4√2, √2
IV. Contesta cada una de las siguientes preguntas:
1. Si el área del triangulo siguiente es 48 , ¿Cuál valor de " " ?
4
239
2. Si se sabe que el perímetro del triángulo mostrado es de 74 unidades, ¿cuál de las
opciones es un valor de que satisface la condición del problema?
2 5
2 13 7 2 1
A) B) C) 2 D)
3. Si la resta de las áreas de los rectángulos es de 816 , ¿cuánto vale ?
60
20
V. Resuelva las siguientes ecuaciones. Verifique el resultado.
1. √ 5 3 2. √ 7 2 3. √6 8 4. √5 6 2
5 . √4 4 6. √3 2 5 7. √ 3 √ 1 3
8. √2 13 √ 10 1 9. √ 2 √ 5 1 10. √2 11 √ 2 2
240
10 . 4 5 1 0 11. 10 9 0 12. 3 5 12 0
13 . 7 12 0 14. 4 10 2 0 15. 2 7 4 0
Solución a los problemas de número impar: 1) 2; 3) 2,4; 5) 4; 7) No hay solución; 9) 6
11 . 1, 3 ; 13. √3 , 2 ; 15. 2, tiene solo dos soluciones reales.
VI. Resuelva las siguientes ecuaciones que dan lugar a una ecuación cuadrática:
1. 2 2. 3 4 3. 6 5
4. 12 8 0 5. 1 6. 3
7. 4 5 8. 2 1 9. 5 6
10. 2 1 11. 1 12. 6
13. 5 14. 5 15. 3
16. 1 17.
18. 19.
20. 21.
22. 23.
241
24.
25.
Respuesta a los ejercicios con número impar:
1. 2,4 3. , 5. 1 √3, 1 √3 7. , 3 9. 2,4
11. 1 √2, 1 √2 13. , 1 15. 2,5 17. 1,2 19. 3, 2
21. 2 √6, 2 √6 23. 2,3 25. 1,2
242
Ejemplo 1. La suma de dos números naturales es 48 y la diferencia de sus cuadrados supera en 36 al producto de los números. Encontrar ambos números.
Solución: Primer número Segundo número
Planteamiento:
esto es,
O bien , es decir,
Los números son 30 y .
Se elimina ‐78 porque no es un número natural.
Saberes
Nombre Problemas en palabras que dan lugar a una ecuación cuadrática
No. 2
Instrucciones para el alumno
Lee y analiza la información y aclara cualquier duda con tu profesor
Saberes a adquirir El alumno adquirirá la habilidad para plantear un problema cotidiano que lleve a su solución por medio de una ecuación cuadrática.
Manera didáctica de lograrlos
Mediante
exposición y tareas
243
Ejemplo 2. La diferencia de dos números naturales es 8 y la diferencia de sus
recíprocos es . Hallar los números.
Solución Primer número Segundo número
8
Planteamiento: Nota:
77 8 77 2 8
77 616 77 2 16
2 16 616 0
8 308 0
22 14 0
22 0, esto es, 22
14 0, o sea, 14
Los números son 14 y 14 8 22
Se elimina 22, puesto que no es número natural
Ejemplo 3. Una persona realizó un trabajo por $192 dólares. El trabajoEl trabajo le llevó 4 horas más de lo que suponía y entonces ganó $2.40 menos por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo ese trabajo?
Solución: Sea horas el tiempo esperado para efectuar el trabajo.
Razonamiento: La tarifa horaria que esperaba recibir, menos $2.40 es igual a la tarifa horaria
real que ganó la persona.
Planteamiento: 2.40
192 4 2.4 4 192
192 768 2.4 9.6 192
2.4 9.6 768 0
4 320 0
244
20 16 0
20 0, es decir, 20
O bien 16 0, o sea, 16
El tiempo esperado para realizar el trabajo es 16 horas. Se elimina 20 porque carece de sentido.
Ejemplo 4. La base de un rectángulo mide 4 pies más que el doble de su altura. El área del rectángulo es de 448 pies cuadrados. Encontrar las dimensiones del rectángulo.
Solución:
Altura Base
2 4
Planteamiento: 2 4 448
2 4 448 0
2 224 0
16 14 0
16 0, esto es, 16
O bien 14 0, es decir, 14
La altura del rectángulo es 14 pies y su base es 2 14 4 32 pies.
245
Resuelve los siguientes problemas en palabras que llevan al planteamiento de una ecuación de segundo grado para su solución.
1. El producto de dos números naturales consecutivos supera en 2 al séxtuplo del siguiente número consecutivo. Encuentre los dos primeros números.
2. El producto de dos números pares consecutivos es 10 unidades menor que 13 veces el siguiente número par. Halle los dos números.
3. La suma de dos números es 21 y de sus cuadrados es 225. Obtenga los dos números.
4. La suma de dos números es 25 y la de sus cuadrados es 317. Encuentre los números.
5. La diferencia de dos números naturales es 8 y la suma de sus cuadrados es 194. Halle los números.
6. La diferencia de dos números naturales es 9 y la suma de sus cuadrados es 305. Obtenga los números.
7. La suma de dos números naturales es 17. La diferencia de sus cuadrados supera en 19 al producto de los números. Determine dichos números
Ejercicios
Nombre A resolver problemas con palabras por medio de ecuaciones de segundo grado
No. 2
Instrucciones para el alumno
Realiza los ejercicios indicados, si tienes dudas repasa la sección de conocimientos y ejemplos o pide ayuda a tu compañero o a tu profesor.
Actitudes a formar
Orden Responsabilidad
Manera didáctica de lograrlas
Ejercicios y tareas sobre el tema
Competencias genéricas a desarrollar
Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.
Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
Manera didácticas de lograrlas
Participación activa cuando surjan las respuestas o dudas
246
8. La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del producto de los números. Halle los números.
9. La suma de dos números es 14 y la de sus recíprocos es . Obtenga los
números. 10. La diferencia de dos números naturales es 4 y la suma de sus recíprocos es
. Obtenga los números.
11. La diferencia de dos números naturales es 6 y la de sus recíprocos es .
Halle los números. 12. Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes
más, el costo por estudiante habría sido $2 dólares menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?
13. Una excursión a esquiar costó $300 dólares. Si hubieran sido 3 miembros menos en el club, el costó por persona habría sido $5 dólares más. ¿Cuántos miembros hay en el club?
14. Un hombre pintó su casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo que se suponía y entonces ganó $2 dólares más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se suponía que pintaría la casa?
15. Una persona realizó un trabajo por $90 dólares. Empleó 3 horas más de lo que se suponía y entonces gano $5 dólares menos por hora de lo que esperaba. ¿En cuánto tiempo se suponía que llevaría a cabo el trabajo?
16. La base de un rectángulo mide 4 pies más que su altura y el área es de 192 pies cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo.
17. La base de un rectángulo mide 3 pies más que el doble de su altura y el área es de 189 pies cuadrados. Halle las dimensiones del ractángulo.
18. Un hombre desea construir una caja metálica abierta. Las caja debe tener una base cuadrada, los lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5,184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.
19. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se duplica y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye 2 pies, el área del rectángulo resultante supera en 32 pies cuadrados al área del rectángulo original. Encuentre la longitus del área del cuadrado.
20. Si cada uno de los lados opuestos de un cuadrado se incrementa 5 pulgadas más que el doble del lado del cuadrado, y cada uno de los otros lados opuestos se disminuye en 7 pulgadas, el área del rectángulo resultante supera en 55 pulgadas cuadradas al área del cuadrado inicial. Halle la longitus del lado del cuadrado.
247
Respuesta a los problemas de número impar:
1) 7;8 3) 9;12 5) 5;13 7) 6;11 9) 6;8 11) 12;18 13) 15 miembros 15) 6 hrs.
17) a = 9 pies, b = 21 pies 19) 8 pies
248
ANEXO
A P R E N D I E N D O A D E S P E J A R
I. Resuélvase las ecuaciones siguientes para la variable indicada.
1) Despéjese a
3
3
3
3
3
2) Despéjese r
1
1
1
250
6) Despéjese r
4
4
4
4 4
4 4
4 4
4 4
4
2
7) De la ecuación de la constante universal de los gases (R); despejar la presión (P):
8) De la formula de fuerza gravitacional (F), despejar masa m
′
′
′
251
′
9) De la formula de distancia (d), despejar aceleración (a):
12
12
2
2
10) De la formula de fuerza recuperadora de un Movimiento Armónico Simple (MAR), despejar T:
4
4
4
4
Simplificando:
2
252
EJERCICIOS
a) De la formula de aceleración (a) , despejar v
b) De la ecuación de dilatación lineal; Longitud final L es igual a longitud inicial L mas el coeficiente de dilatación térmica (α) por el diferencial de temperatura t t ; despejar la temperatura final t :
c) De la ley de Coulomb, despejar la distancia r:
′
d) De la relación de resistencia en paralelo, despejar la resistencia 1 1 1
e) El área de un cilindro está dada por 2 . Resuelva para h y r.
f) El nivel de energía de un objeto es . Resuelva para la
variable m.
g) La fórmula que mida la velocidad de oscilación de una masa en un resorte es:
Donde k, es la constante del resorte. A es la amplitud o desplazamiento máximo de la masa, x es la distancia a la masa que se mueve. Despejar A.
h) La formula , aparece en el estudio de la mecánica de
fluidos. Despeje para la variable r y .