Neizrazita logika u prometu i transportu - Relacijemafpz.fpz.hr/~goldh/FL/USS2001-2-Fuzzy relacije.pdfNeizrazita logika - Relacije 2-7 Neizrazite granice X X YY ﬁy je približno

Neizrazita logika - Relacije 2-1

Fuzzy logika u prometu i transportu

2. Neizrazite relacije

Hrvoje Gold, Fakultet prometnih znanosti, Zagreb


Neizrazite relacije - Uvod (1)

Izrazitost granica

Izrazita (čvrsta) granica Neizrazita (labava) granica

X X

YY


Neizrazita relacija je neizraziti skup u vi�edimenzionalnom prostoru

Neizrazite relacije - Uvod (2)

X X

Y

µ µNeizraziti skup Neizrazita relacija

Neizrazita relacija je neizraziti skup uprostoru Kartezijevog produkta


∈

=××protivnomu

RxxxXXX n

nR 0),,,(1

: 2121

KLχ

χR je karakteristična funkcija izrazitog skupa

Podskup Kartezijevog produkta X1 × ... × Xnizrazitih skupova X1,..., Xn

Izrazita n-arna relacija


Neizrazita n-arna relacija

[ ]1,0: 21 →×× nR XXX Lµ

je funkcija članstva neizrazite relacije

Podskup Kartezijevog produkta X1 × ... × Xnneizrazitih skupova X1,..., Xn

∫ ××=

nXX nnR xxxxxxRK

LL1

),/(),( 2121µ


Izrazite i neizrazite relacije (1)

Izrazite binarne relacije:�y je jednako x��y je manje od x�

Jasno izra�ene granice

X

y < x

X

Y Y

y = x


Neizrazite granice

X X

Y Y

�y je pribli�no jednako x�

�y je malo manje od x�

Neizrazite binarne relacije:�y je pribli�no jednako x��y je malo manje od x�

Izrazite i neizrazite relacije (2)


Neizrazita binarna relacija R ⊂⊂⊂⊂ X ×××× Y- neprekidni oblik

[ ]1,0: →×YXRµ

∫ ×=

YX R yxyxR ),/(),(µ

Neizrazita binarna relacija R između skupova X i Y

Kada je X = Y, onda je R neizrazita relacija na X


Neizrazita binarna relacija R ⊂⊂⊂⊂ X ×××× Y- diskretni oblik

=

−

−

−

−

),(),(),(),(

),(),(),(),(),(),(),(),(

121

2122212

1112111

2

1

121

mnRmnRnRnR

mRmRRR

mRmRRR

n

mm

yxyxyxyx

yxyxyxyxyxyxyxyx

x

xx

R

yyyy

µµµµ

µµµµµµµµ

L

MMOMM

L

L

M

L

Prikaz u matričnom obliku - neizrazita matrica


1. Primjer neizrazitih relacija (1)

{ }{ }321

321

,,,,yyyYxxxX

==

=

7.02.05.01.09.04.03.06.01

""

3

2

1

321

xxx

blizu

yyy

�Blizina� između x1 i y2 iznosi 0.6�Blizina� između x1 i y1 iznosi 1.0

y1 je bli�e x1 od y2

n-matrica


=

100010011

""

3

2

1

321

xxx

blizu

yyy

�blizu� znači udaljenost manju od 100 km

Boole-ova matrica



Tri para: Ivan i Maja, Matija i Ana, Luka i Jana

=

100010001

""Luka

MatijaIvan

ozenjeni

JanaAnaMaja

ž



=

5.09.03.00.13.01.02.00.00.1

""LukaMatijaIvan

prisni

JanaAnaMaja

Stupanj prisnosti → [0, 1]



Projekcija neizrazite n-arne relacije

Neka je R neizrazita relacija na Kartezijevom produktu X1 × ... × Xn, te neka je polje (i1, ..., ik) podpolje od (1, ..., n). Projekcija relacije R nad Xi1, ..., Xik je definirana kao

[ ]

∫ ×× ××

=

iki jmjXX ikinRXX

iki

xxxx

XXRproj

K KKK

K

1 1

),,/(),,(max

,,;

11

1

µ

pri čemu je polje (j1, ..., jm) dopuna od (i1, ..., ik), tj. podpolje od (1, ..., n) dobiveno oduzimanjem (i1, ..., ik).


Projekcija neprekidne binarne relacije

R je neizrazita relacija na Kartezijevom produktuX × Y.

[ ] xyxXRprojX

RY∫

= ),(max; µ

Projekcija R nad Y je neizraziti skup

[ ] yyxYRprojY

RX∫

= ),(max; µ

Projekcija R nad X je neizraziti skup


Projekcija prekidne binarne relacije

[ ] i

n

ijiR

YyxyxXRproj

j∑

=∈

=1

),(max; µ

{ } { }nn yyyYxxxX ,,,,,,, 2121 LL ==R je neizrazite relacija na Kartezijevom produktu X × Y.

Projekcija R nad X je neizraziti skup

Projekcija R nad Y je neizraziti skup

[ ] i

n

jjiR

XxyyxYRproj

i∑

=∈

=

1

),(max; µ


Projekcija neizrazite binarne relacije

Y

X

R

proj[R; X]A


Primjer projekcije neizrazitebinarne relacije (1)

{ }{ }n

n

yyyYxxxX

,,,,,,

21

21

L

L

== YXR ×⊂

=

7.04.01.08.02.05.03.00.16.0

3

2

1

321

xxx

R

yyy


[ ]

Axxxxx

xXRproj

=++=++

=

321

3

2

1

/7.0/8.0/0.1/)7.0,4.0,1.0max(/)8.0,2.0,5.0max(

/)3.0,0.1,6.0max(;

[ ]

Byyyyy

yYRproj

=++=++

=

321

3

2

1

/8.0/0.1/6.0/)7.0,8.0,3.0max(/)4.0,2.0,0.1max(

/)1.0,5.0,6.0max(;



=

7.04.01.08.02.05.03.00.16.0

3

2

1

321

xxx

R

yyy

visinasjene

0.6 1.0 0.8

izvor svjetla

Y os



Valjkasto produljenje neizrazite n-arne relacije

Neka je R neizrazita relacija na Kartezijevom produktu X1× ... × Xn.

Valjkasto produljenje v(R) od R nad X1× ... × Xnje definirana kao

∫ ××=

nXX nnR xxxxxxRvK

KK1

),,,/(),,,()( 2121µ


Valjkasto produljenje neprekidne neizrazite binarne relacije

A je neizraziti skup na univerzalnom skupu X. Valjkasto produljenje v(A) od A na X × Y je neizrazita relacija

∫ ×=

YX A yxxAv ),/()()( µ

B je neizraziti skup na univerzalnom skupu Y. Valjkasto produljenje v(B) od B na X × Y je neizrazita relacija

∫ ×=

YX B yxyBv ),/()()( µ


{ } { }nn yyyYxxxX ,,,,,,, 2121 LL ==

Valjkasto produljenje prekidne neizrazite binarne relacije (1)

A je neizraziti skup na univerzalnom skupu X.Valjkasto produljenje v(A) od A na X × Y je neizrazita matrica

=

−

)()()()(

)()()()()()()()(

)( 2222

1111

2

1

121

nAnAnAnA

AAAA

AAAA

n

mm

xxxx

xxxxxxxx

x

xx

Av

yyyy

µµµµ

µµµµµµµµ

L

MMOMM

L

L

M

L


{ } { }nn yyyYxxxX ,,,,,,, 2121 LL ==

Valjkasto produljenje prekidne neizrazite binarne relacije (2)

B je neizraziti skup na univerzalnom skupu Y.Valjkasto produljenje v(B) od B na X × Y je neizrazita matrica

=

−

)()()()(

)()()()()()()()(

)( 2222

1111

2

1

121

nBnBnBnB

BBBB

BBBB

n

mm

yyyy

yyyyyyyy

x

xx

Bv

yyyy

µµµµ

µµµµµµµµ

L

MMOMM

L

L

M

L


Valjkasto produljenje neizrazite binarne relacije

Y

X

v(A)

A

Projekcija i valjkasto produljenje neizrazite relacije su suprotne operacije.


Primjer valjkastog produljenja neizrazitebinarne relacije (1)

YXR ×⊂

=

7.04.01.08.02.05.03.00.16.0

3

2

1

321

xxx

R

yyy

{ }{ }n

n

yyyYxxxX

,,,,,,

21

21

K

K

==


=

7.07.07.08.08.08.00.10.10.1

)(

3

2

1

321

xxx

Av

yyyValjkasto produljenjeneizrazitog skupa A na Kartezijevomproduktu X × Y

=

8.00.16.08.00.16.08.00.16.0

)(

3

2

1

321

xxx

Bv

yyyValjkasto produljenjeneizrazitog skupa B na Kartezijevomproduktu X × Y

Primjer valjkastog produljenja neizrazite binarne relacije (2)


Posebne neizrazite relacije

Simetričnosti R-1:

Identičnosti I:

Nule Z:

Jedinice U:

),(),(1 yxxy RR µµ =−

≠=

=yxyx

yxI 01

),(µ

YyXxxyZ ∈∀∈∀= ,0),(µ

YyXxxyU ∈∀∈∀= ,1),(µ


Posebne neizrazite relacije - Primjeri

=

9.05.01.06.03.07.04.08.00.1

R

=−

9.06.04.05.03.08.01.07.00.1

1R

=

100010001

I

=

000000000

Z

=

111111111

U


Operacije s neizrazitim relacijama

YXSYXR

×⊂×⊂

Unija neizrazitih relacija R i S:

Presjek neizrazitih relacija R i S:

Komplement neizrazitih relacije R:

),(),(),( yxyxyx SRSR µµµ ∨=∪

),(1),( yxyx RR µµ −=¬

),(),(),( yxyxyx SRSR µµµ ∧=∩

{ }{ }n

n

yyyYxxxX

,,,,,,

21

21

K

K

==

Rµ


Neizrazita relacija sadr�avanja

YXSYXR

×⊂×⊂

YyXxyxyxSR SR ∈∀∈∀≤⇔⊆ ,),(),( µµ

{ }{ }n

n

yyyYxxxX

,,,,,,

21

21

K

K

==

( )11

11

111

111

)(

)(

−−

−−

−−−

−−−

⊆=⊆

=

∩=∩

∪=∪

SRSR

RR

SRSR

SRSRSvojstva neizrazite relacije zamjene


Slaganje neizrazitih relacija- poseban slučaj

x0

y0

X

Y

y = f(x) x0 →→→→ y0

y = neizrazita f(x) x0 →→→→ neizrazito y0

y = f(x)


A

B

X

Y

R ⊂ X × Y, A ⊂ X : B ⊂ Y → B = A ο R

Neizrazita relacija R

Slaganje neizrazitih relacija- opći slučaj


Ulazno-izlazna relacija

f

Ry = B = A ο R

y = y0 = f(x0)x = x0

x = A

A - ulazni skup, B - izlazni skup


Max-min slaganje neizrazitih relacija (1)

1.Slaganje neizrazitog skupa A i neizrazite relacije R

A ⊂ X, R ⊂ X × Y : y = A ο R

R

y = A ο Rx = A

[ ]),()(max)( yxxy RAXxRA µµµ ∧=∈o

Rezultat slaganja je neizraziti skup na Y s funkcijom članstva


2.Slaganje neizrazite relacije R i neizrazite relacije S

R ⊂ X × Y, S ⊂ Y × Z : z ⊂ R ο S

R

z = A ο (R ο S)x = A

S

R ο S

x y z

Max-min slaganje neizrazitih relacija (2)

[ ]),(),(max),( zyyxzx SRYy

SR µµµ ∧=∈

o


Slaganje kao mno�enje matrica

=

dcba

R

=

hgfe

S

++++

=

⋅

=⋅

dhcfdgcebhafbgae

hgfe

dcba

SR

∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧

=

=

)()()()()()()()(

hdfcgdechbfagbea

hgfe

dcba

SR oo

min -> mno�enje, max -> zbrajanje


Svojstva slaganja neizrazitih relacija

WZUZYTSYXRR

XAA

×⊂×⊂

×⊂′⊂′

,,,

( )

TRSRTSTRSRUSR

USRUSRRSSR

RSSRRARARRARARARRARARARAARARARAA

oo

ooo

oooo

oo

oo

ooo

ooo

ooo

ooo

⊆⇒⊆∩=∩

==

≠′∩=′∩′∪=′∪

′∩=′∩′∪=′∪

−−−

)()()()()(

)()(

)()(

111


Primjer slaganja skupa i relacije (1)

{ } { }321321 ,,,,, yyyYxxxX ==

[ ]5.00.12.0321

=Axxx

=

9.03.02.05.00.16.01.09.08.0

3

2

1

321

xxx

R

yyy


[ ]

[ ]

[ ]5.01.06.0

5.05.05.03.01.02.02.06.02.0)]9.05.0()5.00.1()1.02.0(),3.05.0()0.10.1()9.02.0(),2.05.0()6.00.1()8.02.0[(

9.03.02.05.00.16.01.09.08.0

5.00.12.0

321

=

∨∨∨∨∨∨=∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧∧∨∧∨∧=

==

yyy

RAB oo

Primjer slaganja skupa i relacije (2)


Primjer slaganja neizrazitih relacija (1)

{ } { } { }321321321 ,,,,,,,, zzzZyyyYxxxX ===

=

7.02.05.01.09.04.03.06.00.1

3

2

1

321

xxx

R

yyy

=

8.08.01.02.09.07.05.01.00.1

3

2

1

321

yyy

S

zzz

Tri grada iz tri �upanije

R je blizina gradova između �upanije X i YS je blizina gradova između �upanije Y i Z


=

7.07.05.04.09.07.05.06.00.1

3

2

1

321

xxx

SR

zzz

o

RοS je blizina gradova između �upanije X i Z uz put kroz �upaniju Y

0.1max

1.01.03.0 :3Put

6.07.06.0 :2Put

0.10.10.1 :1Put

11.0

33.0

1

17.0

26.0

1

10.1

10.1

1

⇒

=∧→→

=∧→→

=∧→→

zyx

zyx

zyx

Postoje tri puta između x1 i z1

Primjer slaganja neizrazitih relacija (2)


Documents

Neizrazita logika u prometu i transportu - Relacijemafpz.fpz.hr/~goldh/FL/USS2001-2-Fuzzy relacije.pdfNeizrazita logika - Relacije 2-7 Neizrazite granice X X YY ﬁy je približno