Nessun titolo diapositiva - ing.unitn.itfisica2/fisicatlc3/slides/lez3-4-16;22;23-11-04.pdf• Ottica fisica Si occupa della natura ondulatoria della luce. Fenomeni quali INTERFERENZA,

InterferenzaInterferenza

1. L’interferenza 2. Il principio di Huygens3. L’esperienza di Young 4. L’interferometro di Michelson5. Interferenza su lamine sottili6. Schiera di fenditure

OTTICA

Natura della luce: Corpuscolare e ondulatoria

• Ottica geometrica

Si ignora il carattere ondulatorio della luce e si parla di raggi luminosi che si propagano in linea retta.

Fenomeni della RIFLESSIONE e RIFRAZIONE: studio dei sistemi ottici centrati.

• Ottica fisica

Si occupa della natura ondulatoria della luce.

Fenomeni quali INTERFERENZA, DIFFRAZIONE e POLARIZZAZIONE.

Questi fenomeni non si possono spiegare adeguatamente con l’ottica geometrica, ma considerando la natura ondulatoria della luce si raggiunge una descrizione soddisfacente.

1. L’interferenza1. L’interferenza

il trionfo dell’ottica ondulatoria (Young, 1801-1803)

il trionfo dell’ottica ondulatoria ovvero: (Young, 1801-1803)

Tomas Young dimostrò sperimentalmente per primo la validità della teoria ondulatoria della luce e ne misurò la lunghezza d'onda.

In generale si ha interferenza quando due o più onde dello stesso tipo e stessa frequenza, con una differenza di fase costante tra di loro, attraversano la stessa regione dello spazio nello stesso istante.

1. L’interferenza1. L’interferenza

Considerazioni introduttive.Consideriamo due onde piane monocromatiche:

) cos( ) (z, 111011 ϕ+ω−= tzkEtE

) cos( ) (z, 222022 ϕ+ω−= tzkEtE

per il principio di sovrapposizione:

) (z, ) (z, ) (z, ) (z, 21ris tttt EEEE +=≡

) cos() cos( ) (z, 2220211101 ϕ+ω−+ϕ+ω−= tzkEtzkEtE

ovvero:

l’interferenzal’interferenza

si noti,riguardo al periodo temporale:

)cos( )( 11011 ϕ+ω= tEtE

)cos( )( 22022 ϕ+ω= tEtE

T1

T2

)( )( )( 21 ttt EEE +=

T = m.c.m.(T1, T2)

l’interferenza materiale del ticacaratteris impedenza εµ

=Zl’interferenza

quindi l’intensità luminosa associata a E è:

tt dZE

TdtS

TSI

TT

T 1 )( 1

0

2

0∫∫ ==≡ T = m.c.m.(T1, T2)

ovvero:

=

++=

+= ∫∫∫∫ 2 1 11 )( 1

021

0

22

0

21

0

221 tttt dEE

TdE

TdE

TZd

ZEE

TI

TTTT

tdtzktzkTEE

ZII

T

) cos( ) cos( 2 0

2221110201

21 ∫ ϕ+ω−ϕ+ω−++=

se ω1 ≠ ω2 l'integrale si annulla:

21 III += ω1 ≠ ω2


nmdxnxsmx

nmnm

dxnxsmx

nmnm

dxnxmx

, 0 in cos 1per 1per 0

in sin 1

per 1per 0

cos cos1

2

0

2

0

2

0

∀=

=≠

=

=≠

=

∫

∫

∫

π

π

π

π

π

π


prendiamo invece ω1 = ω2 = ω (segue: k1= k2 = k)

ponendo: fasetkz 1 ≡ϕ+ω−=α 2 ϕ+ω−=∆+α tkze

ivafase relat 12 ≡ϕ−ϕ=∆ovvero: Tdtdtd π=ω=α 2

ponendo:

=∫ ϕ+ω−ϕ+ω−++= ) cos( ) cos( 2 0

2221110201

21 tdtzktzkTEE

ZIII

Tsi ha:

αααπ

π

dEEZ

II )cos( cos 2

2 2

0

020121 ∫ ∆+++=


αααπ

π

dEEZ

III )cos( cos 2

2 2

0

020121 ∫ ∆+++=

sviluppando cos(α+∆) = cosαcos∆ - sinα sin∆ , e considerando che:

21 αcos , 0 sinα cosα 2 ==

TT

si ha:

∆++=∆++= cos cos 020121

020121 Z

EZ

EIIZEEIII

ovvero:

cos 2 2121 ∆++= IIIII

12 ϕ−ϕ≡∆con

interferenza didue onde

monocromatiche

interferenza didue onde

monocromatiche


si noti: cos 2 2121 ∆++= IIIII 21 II + ≠

in particolare, se I1 = I2 = I0 si ha:

)cos 1(2 cos 2 2 000 ∆+=∆+= IIIIinterferenza didue onde con

uguale ampiezza

interferenza didue onde con

uguale ampiezza

I

∆-5π -3π -π 5π3ππ

4I0

2I0

I = Imax = 4I0 se ∆ = ±2mπ

I = Imin = 0 se ∆ = ±(2m+1)π

onde in fase

onde in opposizione di fase

I = 2Io se ∆ = ±(2m+1/2)πonde in quadratura

l’interferenzal’interferenza )cos 1(2 cos 2 2 000 ∆+=∆+= IIII

importante!onde mutualmente coerenti

(coerenza temporale)onde mutualmente coerenti

(coerenza temporale)∆ ≡ ϕ1 - ϕ2 = cost. in t

si ha interferenzasi ha interferenza l’energia si ridistribuiscel’energia si ridistribuisce

onde incoerenti onde incoerenti ∆ ≡ ϕ1 - ϕ2 = variabilealtrimenti, se:

no interferenzano interferenza 21 III +=

Introduciamo ora:

2. Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens

“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”

2.

Introduciamo ora:

Il principio di Huygens2. Il principio di Huygens

“Ogni punto del fronte d’onda diviene sorgente di un’onda sferica”

onda piana

fronte d’onda diaframma

onda sferica


3. L’esperimento di Young3. L’esperimento di Young

frangescure

fenditure

D

S

sorgentepuntiforme

luce + luce = buio!luce + luce = buio!

schermo

3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa

3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa3. L’esperimento di Young: descrizione qualitativa

L’esperimento di YoungL’esperimento di Young

l’interpretazione ondulatorial’interpretazione ondulatoria

Scoerenti

diaframma

θS1

S2θ

∆s

s

s’

D

onde sferiche

schermo

P

∆s = s’ - s = Dsinθ∆s = s’ - s = Dsinθ

le due onde arrivano in P con una differenza di percorso (cammino) ∆s:

l’esperimento di Young

diaframma

θS1

S2θ

∆s

s

s’

D

∆s = s’ - s = Dsinθ

E1

E2

) 'cos( ) cos( )( )( '00

21 ϕ+ω−+ϕ+ω−=+= tksEtksEttss

EEE

[ ] ) 'cos( ) cos( 0 ϕ+ω−+ϕ+ω−≅ tkstksLEE ∆ ≡ δl = k(s - s’)

ovvero: sinθ 2 Dlλπ

=δ

Eluce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

)cos 1(2 cos2 2 000 lIlIII δ+=δ+=

onde sferiche

“cammino ottico”“cammino ottico”



λπ

=

λπ

+=δ+= sinθ cos4 sinθ 2cos 12 )cos 1(2 2000 DIDIlII

θS1

S2

∆s

s

s’D

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

I

sin θ≅ Ly

2Dλ

Dλ

23Dλ 2

Dλ

25Dλ0

04I

I

θsin

I = 4I0 se 2

2 λ=∆ ms

I = 0 se 2

2( )1 λ=∆ +ms

.. . . 3, 2, 1, 0, =m

sinθD

m λ=

2

)12(sinθD

m λ+=


y

∆s = DsinθL

l’esperimento di Young luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

DLy λ ≅∆

2DLλ

DLλ

23

DLλ 2

DLλ

25

DLλ0

04I

I

DLλ

si noti la distanza fra i massimi sullo schermo:

λ )(sinD

=θ∆

sin θ≅ Ly

y

S1

S2

D

y

∆s

s’

L

D θ

sI

θ


l’esperimento di Youngl’esperimento di Young

effetto di uno spostamento della sorgente puntiformeeffetto di uno spostamento della sorgente puntiforme

diaframma

θS1

S2

s

s’

luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buio

S

S’luce

luce

luce

luce

luce

luce

buio

buio

buio

buio

buio

buiosorgenti

S’’

S’’’

S’’’’

la radiazione da sorgenti

struttura compattatramite l’uso di una lente I

estese non dannointerferenza alla Youngsorgenti estese non dannointerferenza alla Young

estesenon ha coerenza spaziale

la radiazione da sorgenti estesenon ha coerenza spaziale

l’esperimento di Youngl’esperimento di Youngeffetto di una sorgente puntiforme

non monocromaticaeffetto di una sorgente puntiforme

non monocromatica

S2∆s

Dθ

sorgentebianca

S

frangiabianca

4I0

2I0

1

Dλ 2 1

Dλ0

I

θsin 2

Dλ 2 2

Dλ

se ∆λ/D ≥ 1 non c’è interferenza alla Young

se ∆λ/D ≥ 1 non c’è interferenza alla Young

la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale

la radiazione non ha sufficiente coerenza temporale

λπ

=δ+= sinθ cos4 )cos 1(2 200 DIlII

S1

EsercizioEsercizio

Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?

Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con due fenditure separate di 0,1 mm ed una distanza diaframma-schermo di 50 cm. Se si osserva una separazione tra due massimi (o minimi) consecutivi di 2,5 mm, qual è la lunghezza d’onda della luce che illumina le fenditure?

o

A5000100,550

01,025,0

λ

5 =×=×

=∆

=

⇓

≅

−

∆

cmcm

cmcmLyD

DLy

λ

S1

S2

D

y

∆s

s’

L

θ

sI

∆y

EsercizioEsercizio

Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga λ = 30 cm.

Due altoparlanti collegati ad un unico audio amplificatore sono separati di 5 m. Camminando lungo una linea retta parallela alla congiungente gli altoparlanti e distante da essa 100 m, a quale distanza si percepiscono due massimi (o minimi) consecutivi? Si supponga λ = 30 cm.

mm

mmD

Ly 0,60,5

3,0100λ =×

=≅∆

D L=100 m

I intensità suono

∆yD=5m

4. L’interferometro di Michelson4. L’interferometro di Michelson

S

s

I = I0

2

2 λ=∆ ms

I = 0

2

2( )1 λ=∆ +ms

2λ λ

2λ3

2λ 2λ50

0I

I

s∆

specchiofisso

)'(2 sss −=∆

specchiomobile

specchiosemiriflettente

s’

)cos 1(2 0 lII ∆+=

sl ∆λπ

=∆2

linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson

0)'(2 =−=∆ sss

quello che contaè il cammino ottico

quello che contaè il cammino ottico

S

s

n

specchiofisso

specchiosemiriflettente

s’

linterferometro di Michelsonlinterferometro di Michelson

S

specchio(mobile)

diga

interferometro

controllo di posizione con risoluzione < 4 λ

applicazioni all’ingegneria ambientale e civileapplicazioni all’ingegneria ambientale e civile

considerazioni sul cammino ottico

per un’onda monocromatica la fase dipende dal cammino ottico:

z

) cos( ) (z, 101 ϕ+ω−= tkzEtE ] ) (cos[ ) (z, 202 ϕ+ω−+= t szkEtE

ssks l

0λ2 π

==δ

nel vuoto:

in un mezzo con indice di rifrazione n si ha:

z

) 'cos( ) (z, 101 ϕ+ω−= tzkEtE

n ] ) ('cos[ ) (z, 202 ϕ+ω−+= t szkEtE

ssss kl n

0λ2

λ2 ' ' π

=π

==δ

nel mezzo:

considerazioni sul cammino ottico

ciò vale ovviamente anche allo stesso istante t

) cos( ) (z, 0 ϕ+ω−= tkzEtE

z

sks l0λ

2 π==δ

nel vuoto:s

] ) (cos[ ) (z, 0 ϕ+ω−+= t szkEtE

sss kl n0λ

2 λ

2 ' ' π=

π==δ

nel mezzo:

z

) 'cos( ) (z, 0 ϕ+ω−= tzkEtE

n ] ) ('cos[ ) (z, 0 ϕ+ω−+= t szkEtE

s

θ

θ’

A

B

C

D

dn

θn1 = 1

luce monocromatica

( ) =θθ−=θ−=−=δ sin'sin 2 2 sin 2 ABnABACnABADABCs n

'cos d2 'cos 2 )'sin1( 2 'sin 'sin 2 2 22 θ=θ=θ−=θθ−= nnABnABnABnAB

quindi: )'cos d2(λ2

λ2

00

θπ

=δπ

=∆ ns

n1 = 1

n1<n2: + πn1<n2: + π

ma:

5. Interferenza su lamina sottile5. Interferenza su lamina sottile

linterferenza su lamina sottilelinterferenza su lamina sottile

interferenzadistruttiva

frangiascura2

2 'cos2 d λ=θ mn

quindi:

interferenzacostruttiva

frangiachiara2

)1(2 'cos2 d λ+=θ mn

θ

θ’

A

B

C

D

dn

θ

dalla posizione sulla lamina

luce monocromatica

frange di uguale inclinazionefrange di uguale inclinazione

a d fissato non dipendono a d fissato non dipendono dalla posizione sulla lamina

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottili

2)1(2 'cos2 d λ

+=θ mn frangiachiara

2 2 'cos2 d λ

=θ mn frangiascura

non dipende dalla posizione ma da θ:funziona anche con sorgenti estesenon dipende dalla posizione ma da θ:

funziona anche con sorgenti estese

dn2n1

chia

ra

chia

ra

scur

a

n1


dd 2 'cos2 nns ≅θ=δn

m2

0d λ= frangia

scura

nm

4)1(2 0d λ

+= frangiachiara

incidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale

lamine a spessore variabile: frange di ugual spessorelamine a spessore variabile: frange di ugual spessore

n0

45 λ

n0

43 λ

n0

41 λ

0n2

n1

n1

una frangia ogni λ/2 una frangia ogni λ/2

misure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici pianemisure di spessore in pellicole trasparentimisure di riscontro superfici piane


misure di riscontro superfici pianemisure di riscontro superfici piane

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale

nm

2 0d λ

= frangiascura

nm

4)1(2 0d λ

+= frangiachiara

R < 0.1%R < 0.1%

rivestimenti anti-riflessorivestimenti anti-riflesso

n0

41 λ

n1 = 1

n2 < n < n1

n2 > n

condizione di frangia scuraper n < n2

condizione di frangia scuraper n < n2

interferenza su lamine sottiliinterferenza su lamine sottiliincidenza quasi-normaleincidenza quasi-normale

0

n1

n1

n2

pellicole a spessore variabilepellicole a spessore variabile

sorgenti non monocromatiche (luce bianca)sorgenti non monocromatiche (luce bianca)

nm

4)1(2 0d λ

+= frangiachiara

aria

acqua

olio, benzina


aria

acqua saponata

aria

aria

acqua

olio, benzina

Riepilogo: l’interferenza Riepilogo: l’interferenza

cos 2 2121 ∆++= IIIII 120

λ2 ϕ−ϕ+δ

π≡∆ scon

I = 0 se 2λ2( sin 0)1+δ =θ= mDs

IMAX se 2λ2 sin 0mDs =θ=δ

esperimento di Youngdue sorgenti puntiformidue onde pianeinterferometro di Michelson

I = 0 se

2λ2(2 0)1'cos

2+=δ =θ mdnsIMAX se

2λ22 0'cos

2mdns == θδ

21, nn∀I = 0 se

4λ12( 0

2

)1n

md +=IMAX se

2λ1 0

2

n

md =incidenza normale

riflessione su lamine sottili

Esercizio numericoEsercizio numerico

4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda λ0 = 0.632 µm e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.

4.1 Si immagini di voler realizzare un esperimento di Young con luce di lunghezza d’onda λ0 = 0.632 µm e lo schermo a L = 2 m dalle fenditure. Calcolare quanto devono essere distanti le fenditure perché due massimi successivi sullo schermo distino 1 mm.


4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con λ0 = 0.6 µm che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.

4.2 Un interferometro di Young a due fenditure distanti D = 1 mm è illuminato da un’onda piana monocromatica con λ0 = 0.6 µm che si propaga nella direzione x normale allo schermo. In tali condizioni si ha in O un massimo di intensità. Calcolare il valore minimo di cui si deve inclinare il fronte d’onda rispetto a x perché in O si abbia un minimo di intensità.


4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (λ0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.

4.4 Due fasci paralleli, provenienti dalla stessa sorgente monocromatica S (λ0 = 5890 Å) vengono fatti passare attraverso due tubi vuoti di uguale lunghezza l = 20 cm e quindi interferiscono producendo sullo schermo un sistema di frange di interferenza. Se uno dei due tubi viene riempito d’aria la frangia centrale si sposta nella posizione che prima occupava la 98 -esima frangia. Determinare l’indice di rifrazione dell’aria.


4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo α fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda λ0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo α.

4.5 Due lastrine di vetro rettangolari con facce piane e parallele, poste una sull’altra, formano un piccolo angolo α fra di loro. Illuminate con luce monocromatica di lunghezza d’onda λ0 = 6328 Å ad incidenza normale mostrano in riflessione N = 10 frange di interferenza per centimetro di lunghezza. Determinare l’angolo α.


4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.

4.6 Una pellicola di acqua saponata in aria dello spessore d = 2900 Å viene illuminata con luce bianca incidente normalmente. Assumendo per l’indice di rifrazione della pellicola n = 1.33, determinare il colore che predominerà nella luce riflessa.

6. Schiera di fenditure (di sorgenti)6. Schiera di fenditure (di sorgenti)

d

d

d

d

d

d sin θ

θ

S1

S2

S3

S4

S5

S6 D

P

Differenza di fase tra le onde provenienti da due fenditure consecutive:

θλπθδ sin2sin dkdl ==

Campo elettrico totale in P

)5sin()4sin()3sin( )2sin()sin()sin( 0

ltkxltkxltkxltkxltkxtkxEE

δωδωδωδωδωω

+−++−++−+++−++−+−= {

}

Utilizziamo il metodo dei fasori

=

=

=

2sin2

62

sin2

0

φδφ

δ

RE

l

lREδl

δl

δl

δl

δl

R

R

δl

δl/2

φ

φ/2

E0

Dalle relazioni precedenti, eliminando R, si ottiene:

( )( )2/sin

2/6sin0 l

lEEδδ

=

( )( )2/sin

2/sin0 l

lNEEδδ

=

e quindi l’intensità è

( )( )2/sin

2/sin2

2

0 llNII

δδ

=

Poniamo αααδ

sinsin

2 0NIIl

=⇒=

Massimi principali:

02

0

coscos

sinsinlim ma

re,denominato il che numeratore il sia annullano si ... ,2 ,1 ,0con per

ININNNN

mm

=⇒==

=±=

→ αα

αα

πα

α

Posizione dei massimi principali:

... ,2,1,0con sin2

=±=== mmdl πλ

θπδα

... ,3,2,1con sin == md

m λθ

Minimi : al di fuori dei valori precedenti, il denominatore non si annulla mai, invece il numeratore si annulla anche per

0 punti questiin ... ,2 ,1 ,0'con 'per 0sen

==±==

ImmNNα πα

Tra due massimi principali ci sono N – 1 minimi

Esempio.

Per N = 4

eaccettabilnon

2 2

3 4

3

2

2

4

4

3

2

1

⇓=→=

=→=

=→=

=→=⇒

πδπα

πδπα

πδπα

πδπα

l

l

l

l 2πδ =l

πδ =l

23πδ =l

Massimi secondari: Poiché l’intensità è una funzione di θ sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.Le posizioni dei massimi secondari si ottengono ponendo

( ) ... 1,2,3,con 2

12 cui da

1sin

'''' =+±=

=

mmN

Nπα

α

In questi punti( ) ( ) 2''

2

max2''0

212sin

212sin

1

+=

+=

NmN

I

Nm

IIππ

Esempio.

Per N = 4

eaccettabilnon

45

85

43

83

2

1

⇓

=→=

=→=⇒

πδπα

πδπα

l

l

Grafico dell’intensità nell’interferenzadi 8 fenditure equispaziate

Massimi principali

02

.... ,4 ,2 ,0INI

l=

= ππδ

°== 180πδl

°== 902πδl

°== 454πδl

MinimiTra 2 massimi principali ci sono N-1 minimi in cui

0=IPoiché l’intensità è una funzione di θ sempre positiva, tra due minimi deve esistere un massimo (secondario), quindi tra due massimi principali ci sono N-2 massimi secondari.

Grafico dell’intensità nell’interferenza di 2, 8, 16 fenditure equispaziate

N = 2 N = 8 N = 16

Per N →∞

dλ

Ndλ

Ndλ

Ndλ

Ndλ

Ndλ

MAX PRINCMAX PRINC

minminminmin

MAXSEC

MAXSEC

MAXSEC

N = 5Imax �

I � 1/N2

N2

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