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FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Markus Sinnl2
http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnl
basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic, Mag. ChristianSpreitzer und Mag. Reinhard Ullrich
2Sprechstunde: MI, 10-11 Uhr [03/321]
Administratives
Vorlesung und Übung
8 Einheiten (?) + 2 Testtermine
1. Test: Mitte November2. Test: Ende des SemestersTerminvorschläge?
Benotung
zwei Tests zu je 12 Punkten
Beispiele zum Vorbereiten
Voraussetzung um positiv zu sein
mind. 50% angekreuzte Beispielemind. 15 Punkte aus den beiden Tests und den Zusatzpunktenauf die angekreuzten Beispiele
Markus Sinnl3 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Administratives
Beispiele zum Vorbereiten
Kreuzerl-Liste unterhttp://www.univie.ac.at/nuhag-php/kreuz/
J. Brandstetter, W. Schachinger: Wirtschaftsmathematik 2,Beispielsammlung
Beispiele an Tafel rechnen
nicht vorbereitet/gar nicht anwesend: sämtliche in dieserStunde angekreuzten Beispiele gestrichen!
zu spät/früher gehen: nur die Kreuzerl angerechnet werden,die während der Anwesenheit der/des Studierendenvorgerechnet werden
Aufgaben können nicht außerhalb der Übung gebracht werden.
Markus Sinnl4 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Administratives
Zusatzpunkte für X angekreuzte Beispiele
55% ≤ X < 65%: +1 Punkt65% ≤ X < 75%: +2 Punkte75% ≤ X < 85%: +3 Punkte85% ≤ X < 95%: +4 Punkte95% ≤ X ≤ 100%: +5 Punkte
Note für P Punkte
wenn Voraussetzungen für positive Note erfüllt
15 ≤ P < 18: Genügend18 ≤ P < 21 : Befriedigend21 ≤ P < 25 : Gut25 ≤ P : Sehr gut
Markus Sinnl5 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Administratives
Literatur
J. Brandstetter, W. Schachinger: Wirtschaftsmathematik 2,Beispielsammlung
W. Schachermayer: Angewandte Mathematik II für BWL undIBWL, Skriptum
erhältlich im Facultas-Shop
weiterführend: K. Sydsaeter, P. Hammond: Mathematik fürWirtschaftswissenschaftler
Tutorium
Kontakt: Tinatini Buturishvili, e-mail:[email protected]
Markus Sinnl6 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Themen
Wiederholung: Funktionen in einer Variablen, Graph
Funktionen von zwei Variablen
Begriff des DefinitionsbereichsGraph als “Funktionengebirge”Niveaulinien
Markus Sinnl7 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen in einer Variablen - Definition und Beispiele
Reellwertige Funktion einer reellen Variablen:
Eine Funktion f einer reellen Variablen x mit DefinitionsbereichD ist eine Regel, die jeder Zahl x in D ⊆ R genau eine reelle Zahlf (x) zuordnet. Die Menge W ⊆ R der Werte f (x), die man erhält,wenn x im Definitionsbereich variiert, heißt Wertebereich von f .
Schreibweise:
f : D →W , x 7→ f (x)
Beispiele:
Lineare Funktion: f : R→ R, f (x) = cx (c∈R)Affine Funktion: f : R→ R, f (x) = kx + d (d 6= 0)Quadr. Funktion: f : R→ R, f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0)Wurzelfunktion: f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) =
√x
Markus Sinnl8 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen in einer Variablen zeichnen - Graph
Graph einer Funktion:
Sei f : D →W . Dann heißt die Menge
Graph(f ) = {(x , y) ∈ D ×W | f (x) = y}
der Graph von f .
Der Graph von einer reellen Funktion f in einer Variablen x lässtsich in einem zweidimensionalen Koordinatensystem zeichnen,indem man bei jedem x-Wert auf der horizontalen Achse (x-Achse)den zugehörigen Funktionswert f (x) in Richtung der vertikalenAchse (y -Achse) aufträgt.
Der Graph einer Funktion in einer Variablen ist eine Kurve im R2.
Markus Sinnl9 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen in einer Variablen zeichnen - Beispiele
Der Graph einer affinen Funktion f (x) = kx + d ist eine Gerade:
Markus Sinnl10 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen in einer Variablen zeichnen - Beispiele
Der Graph einer quadratischen Funktion f (x) = ax2 + bx + c ,a 6= 0, ist eine Parabel:
Markus Sinnl11 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen - Definition und Beispiele
Reellwertige Funktion von zwei reellen Variablen:
Eine Funktion f von zwei Variablen x und y mit DefinitionsbereichD ⊆ R2 ist eine Regel, die jedem Punkt (x , y) in D genau einereelle Zahl f (x , y) zuordnet.
Beispiele:
Lineare Funktion: f (x , y) = c1x + c2y
Affine Funktion: f (x , y) = c1x + c2y + d
Quadr. Funktion: f (x , y) = ax2 + by2 + cx + dy + e
Cobb-Douglas-Funktion: f (x , y) = xc1y c2 (c1, c2 > 0)
Markus Sinnl12 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen, Definitionsbereich
Definitionsbereich:
Der Definitionsbereich einer Funktion (x , y) 7→ f (x , y) ist dieMenge aller Zahlenpaare (x , y), für die der Ausdruck f (x , y)definiert ist.
Beispiele: Skizziere den Definitionsbereich:
1 f (x , y) = x3+y3
x2+y2
2 f (x , y) = sin(x+y)x+y3 f (x , y) =
√y − x
4 f (x , y) = ln(x2 − y2)
Markus Sinnl13 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Graph, Beispiele
Graph einer Funktion von zwei Variablen:
Für f : R2 → R ist Graph(f ) = {(x , y , z) ∈ R3 | f (x , y) = z} ein“Funktionsgebirge”: An einem Punkt (x , y) ∈ R2 wird derzugehörige Funktionswert f (x , y) in z-Richtung aufgetragen.
Der Graph einer Funktion von zwei Variablen ist eine Fläche im R3.
Sattelfläche:
f : R2 → Rf (x , y) = x2 − y2
Markus Sinnl14 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Beispiele
Paraboloid:
f : R2 → [0,∞)f (x , y) = x2 + y2
Markus Sinnl15 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Beispiele
Wellenfläche 1:
f : R2 → [−1, 1]f (x , y) = sin(x) cos(y)
Applet im Web:
http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/
flaechen3d/
Markus Sinnl16 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/flaechen3d/http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/flaechen3d/
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Niveaulinien
Niveaulinien:
Die Menge {(x , y) ∈ R2 | f (x , y) = c} heißt Niveauline derFunktion f zum Wert c .
Niveaulinien einer Funktion von zwei Variablen sind Kurven imDefinitionsbereich, entlang derer der Funktionswert konstant ist.
Wellenfläche 2:
f : R2 → [−1, 1]f (x , y) = cos(x) cos(y)
Markus Sinnl17 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Niveaulinien
Beispiel:
Die Seehöhe ist eine Funktion von zwei Variablen (geographischeLänge und Breite), deren Definitionsbereich lokal als Teilmenge desR2 betrachtet werden kann. Die Niveaulinien dieser Funktion sindgenau die in einer Landkarte eingezeichneten Höhenschichtlinien.
Darstellungen:
3D: Relieflandkarte2D: Niveaulinien
Markus Sinnl18 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Niveaulinien
Niveaulinien skizzieren:
Die Niveaulinien von f : R2 → R zum Wert c entsprechen derLösungsmenge der Gleichung f (x , y) = c und sind in der RegelKurven im R2. Die wichtigsten solchen Kurven neben Geradensind sogenannte Kegelschnitte.
Markus Sinnl19 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Niveaulinien
Kegelschnitte - Gleichungen:
Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (a, b):
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Ellipse mit Halbachsen a und b:
x2
a2+
y2
b2= 1
Hyperbeln mit Asymptoten y = ±bax :
x2
a2− y
2
b2= 1 und
y2
b2− x
2
a2= 1
Parabel mit vertikaler Achse:
y = ax2 + bx + c
Markus Sinnl20 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Niveaulinien
Beispiel: f (x , y) = log(1 + x2 + 9y2)
1 + x2 + 9y2 = const.⇐⇒ x2
32+ y2 = const.
Niveaulinien sind daher Ellipsen!
Verhältnis der Halbachsen ist 3:1.
-5
0
5
-2-1
01
2
0
1
2
3
4
-4 -2 0 2 4
-2
-1
0
1
2
Markus Sinnl21 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1
Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Niveaulinien
Beispiele: Skizziere die Niveaulinien:
1 f (x , y) = |x |+ |y |2 f (x , y) = y + |y − x2|
Je dichter die Niveaulinien liegen, umso steiler ist dort derFunktionsgraph (vgl. Höhenschichtlinien)!
Markus Sinnl22 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1